Tài liệu đề cập đến phương pháp tham số hóa trong tọa độ phẳng, nhằm tìm tọa độ điểm thuộc đường thẳng có tính chất nhất định. Nó cung cấp các bước từ việc phân tích giả thuyết, lập phương trình đến giải hệ phương trình để xác định tọa độ. Ngoài ra, tài liệu còn đính kèm các ví dụ minh họa cho các bài tập cụ thể liên quan đến tam giác, hình vuông và các đường thẳng.

1. CHUYÊN ĐỀ :
TỌA ĐỘ PHẲNG
GV: PHAN NHẬT NAM
PHƢƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA
ĐỘ PHẲNG
AI(-1; 0)
O
D(1; 0)

2. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
Mục đích: Tìm tọa độ điểm khi biết điểm đó thuộc đường thẳng và có tính chất P cho trước.
Phƣơng pháp chung:
 Sắp xếp các điểm theo thứ tự ưu tiên từ nhiều giả thuyết đến ít giả thuyết
Cần để ý: : 0 ;
am c
A d ax by c A m
b
 
      
 
 Phân tích giả thuyết kết hợp với các công thức tính : Góc, khoảng cách, diện tích ,
quan hệ vuông góc , song song, 3 điểm thẳng hàng … để lập phương trình chứa các
tham số ở bước 1 (bao nhiêu tham số thì cần bấy nhiêu phương trình)
 Giải phương trình hoặc hệ phương trình ở bước trên ta có được các điểm cần tìm.
Ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD có hai điểm
A, D thuộc trục hoành và hai điểm B, C thuộc đường tròn
2
25
( ): ( 1) 2
4
C x y
 
    
 
.
Xác định tọa độ các đỉnh của hình vuông đó biết hoành độ điểm B bé hơn 1.
Hƣớng dẫn giải:
ABCD là hình vuông / / / / :BC AD BC Ox BC y m    (với 0m  )
Lại có B,C ( ) ,C B C  là hai giao điểm phân biệt của BC và (C)
 hoành độ B, C là 2 nghiệm phân biệt của phương trình
2
25
( 1) 2
4
x m
 
    
 
(1)
25
(1) 2 ( 1)
4
x m     hoặc 25
2 ( 1) 1
4
x m     , với 1 2 1 2m   
Mà A và D thuộc trục hoành, do đó tọa độ các đỉnh của hình vuông ABCD có dạng:
25
2 ( 1) ;
4
B m m
 
   
 
, 25
2 ( 1) ;
4
C m m
 
   
 
, 25
2 ( 1) ; 0
4
A m
 
   
 
và 25
2 ( 1) ; 0
4
D m
 
   
 
Do ABCD là hình vuông nên : 2
2 2 ( 1) 2AB BC m m m       hoặc
2
5
m  
Loại kết quả
2
5
m   vì 25 21
2 ( 1) 1
4 20
Bx m      (mâu thuẩn với điều kiện)
Với m = 2 ta có:
1
; 0
4
A
 
 
 
,
1
; 2
4
B
 
 
 
,
9
; 0
4
C
 
 
 
và
9
; 2
4
D
 
 
 

3. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com
Ví dụ 2: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ,Oxy cho điểm M(2; - 5) và đường tròn (C)
có phương trình:    
2 2
1 1 25x y    . Lập phương trình đường thẳng d đi qua điểm
M và cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho MA = 5MB.
Hƣớng dẫn giải:
Gọi H là trung điểm của AB khi đó ta có
Gọi ( ; )n a b { 2 2
0a b  } là VTPT của d
: 2 5 0d ax by a b    
 
2 2 2
2 2 2 2 2
45
3 11 3 11
25 45 9 25 ,
2 2
9
MH MI IH IH
BH BI IH IH IH IH IH d I d
MH BH
    


           
 

2 2
2 2
2 5 3 11
5 16 5 0
2
a b a b
a ab b
a b
   
      

8 3 11
7
8 3 11
7
a b
a b
  


  


   : 8 3 11 7 51 3 11 0d x y      hoặc    : 8 3 11 7 51 3 11 0d x y     
Ví dụ 3: Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có trung tuyến kẻ
từ A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình 2x – 5y – 1 = 0 và x + 3y – 4 = 0.
Đường thẳng BC đi qua K(4; -9). Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết điểm
C thuộc đường thẳng d: x – y – 6 = 0 và điểm B có hoành độ âm.
Hƣớng dẫn giải:
Gọi trung tuyến :2 5 1 0AM x y   ,đường cao : 3 4 0BH x y  
Ta có:
 
(3 5 ;1 2 )
(4 3 ; )
; 6
A AM A a a
B BH B b b
C d C c c
    

  
   
(đk:
4
3
b  )
M là trung điểm BC
4 3 6
;
2 2
b c b c
M
    
  
 
Lại có:
11 11
11 3 36 0 12 ; 18
3 3
M AM b c C b b
 
         
 
BC đi qua B và K  :(9 ) 3 23 36 0BC b x by b    
(9 )(11 36) 36 (11 54) 69 108 0 3C BC b b b b b b           hoặc
18
11
b   (loại)
( 5; 3)
(1; 5)
B
C

 

AC qua C và vuông góc BH :3 8 0AC x y   
(3;1)A AC AM A  
....
.
A
M
B
H
A
B CM
K(4;-9)
H
.

4. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
Bài tập áp dụng:
Bài 1. (A - 2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(6;6),
đường thẳng đi qua trung điểm của AB và AC là x + y – 4 = 0. Tìm tọa độ B và C, biết
điểm E(1; -3) nằm trên đường cao đi qua đỉnh C của tam giác đã cho.
HD: Gọi M là trung điểm BC, khi đó: A và M đối xứng nhau qua x + y – 4 = 0 ( 2; 2)M  
: 4 0BC x y    . ( ; 4)B BC B m m    , M là trung điểm BC ( 4 ; )C m m   . . 0ABCE 
ĐS: B(0; - 4) , C(-4; 0) hoặc B(-6; 2), C(2; -6)
Bài 2. (B - 2009) Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A(-1;4)
và các đỉnh B, C thuộc đường thẳng d: x – y – 4 = 0. Xác định tọa độ các điểm B và C, biết
diện tích tam giác ABC bằng 18.
HD: Gọi M là trung điểm BC M là hình chiếu của A lên d
7 1
;
2 2
M
 
  
 
.
( ; 4)B d B m m   .M là trung điểm BC (7 ; 3 )C m m   . 1
18 . 18
2
ABCS AM BC m   
ĐS:
11 3 3 5
; , ;
2 2 2 2
B C
   
   
   
hoặc
3 5 11 3
; , ;
2 2 2 2
B C
   
   
   
Bài 3. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đường phân giác trong
của góc A và đường cao kẻ từ B lần lượt có phương trình 12x + 4y – 5 = 0 và x – y – 2 = 0.
Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC, biết M(1; -
5
2
) là trung điểm của cạnh BC.
HD: ( ; 2)B BH B m m   ,Gọi B’ đối xứng B qua phân giác trong AD 39 8 24 67
' ;
40 40
m m
B AC
  
  
 
M là trung điểm BC (2 ; 3 )C m m    .
AC qua điểm C và vuông góc BH : 2 1 0AC x y m    
1 17 17 23
; , ;
1 8 8 8 8
8 3
: 0
4
B C
C AC m
AC x y
    
              
   

.
7
1;
4
A AC AD A
 
    
 
Bài 4. (B - 2013)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có chân đường
cao hạ từ A là
17 1
;
5 5
H
 
 
 
, chân đường phân giác tring của góc A là D(5; 3) và trung điểm
của cạnh AB là M(0; 1). Tìm tọa độ đỉnh C.
HD: BC đi qua H và D :2 7 0BC x y    . AH qua H và vuông góc BC : 2 3 0AH x y   
Ta có:
(3 2 ; )
( ; 2 7)
A AH A a a
B BC B b b
  

  
. M là trung điểm AB
3 2 0 3 ( 3;3)
2 7 2 3 (3; 1)
a b a A
a b b B
      
    
      
AD: y – 3 = 0 . Gọi M’ đối xứng M qua AD '(0;5)M AC  :2 3 15 0AC x y   
(9;11)C AC BC C  

5. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
Bài 5. (B - 2011)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d: x – y – 4 = 0
và d’: 2x – y – 2 = 0. Tìm tọa độ điểm N thuộc d’ sao cho đường thẳng ON cắt đường thẳng
d tại điểm M thỏa mãn OM.ON = 8.
HD: Theo gt ta có:
( ; 4) ( ; 4)
' ( ; 2 2) ( ; 2 2)
M d M m m OM m m
N d N n n ON n n
      

     
O, N, M thẳng hàng OM và ON cùng phương
4
(2 2) ( 4)
2
n
m n n m m
n
     

 
22 2 2 2
. 8 (5 8 4) 2( 2) (5 6 )(5 10 8) 0 0OM ON n n n n n n n n             hoặc
6
5
n 
Bài 6. (D - 2011)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 0) và đường tròn
(C): 2 2
2 4 5 0x y x y     . Viết phương trình đường thẳng d cắt (C) tại hai điểm M và N
sao cho tam giác AMN vuông cân tại A.
HD:
AN AM
gt AI
IN IM

 

là trung trực của MN d có VTPT là (0; 2) :AI d y m   
PTHĐGĐ của d và (C): 2 2
2 4 5 0x x m m     (1). ĐK: 2 10 2 10m      .
Gọi 1 2,x x là nghiệm của (1) 1 2
2
1 2 1 2
( ; ) , ( ; )
2; 4 5
M x m N x m
x x x x m m

 
    
;
 
 
1
2
1;
1;
AM x m
AN x m
  

 
AMN vuông tại A 2 2
1 2 1 2. 0 ( ) 1 0 2 3 0 1AM AN x x x x m m m m              hoặc 3m  
Bài 7. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD có A(5; -7) , điểm
C thuộc vào đường thẳng d có phương trình: x – y + 4 = 0 . Đường thẳng đi qua D và trung
điểm của đoạn AB có phương trình: 3x – 4y – 23 = 0 . Tìm tọa độ của B và C, biết điểm B
có hoành độ dương.
HD: Gọi M là trung điểm AB, G là trọng tâm ABD G AC DM    .
(4 1; 3 5)G DM G t t    ; ( ; 4)C d C c c   , ( ; 4)M DM M m m  
Ta có:
5 3(4 4) 2 (9;1)
3
11 3(3 2) 13 (13;17)
c t t G
AC AG
c t c C
     
     
     
M là trung điểm của AB (2 5; 2 15)B m m  
(2 10; 2 22)AB m m   . (2 18; 2 2)CB m m   .
ABCD là hình chữ nhật . 0AB CB ABCB   
Bài 8. (A - 2010)Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng 1 : 3 0d x y 
và 2 : 3 0d x y  . Gọi (C) là đường tròn tiếp xúc với d1 tại A, cắt d2 tại B và C sao cho tam
giác ABC vuông tại B. Viết phương trình đường tròn (C), biết tam giác ABC có diện tích
bằng
3
2
và điểm A có hoành độ dương.
HD: 1 ( ; 3 )A d A m m   . Khi đó theo gt ta có: : 3 4 0AC x y m   , : 3 2 0AB x y m  

6. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
2
3
;
2 2
m m
B AB d B
 
      
 
;  2 2 ; 2 3C AC d C m m     . 3AB m , 3BC m
1 1 3 1
. 3 .3
2 2 2 3
ABCS AB BC m m m     hoặc
1
3
m   (loại)
Suy ra :
1
; 1
3
A
 
 
 
và
2
; 2
3
C
 
  
 
; 2AC  Gọi I là trung điểm AC 1 3
;
22 3
I
 
   
 
ĐS:
2 2
1 3
( ): 1
22 3
C x y
   
     
  
Bài 9. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Đường thẳng
BC có phương trình 3 3 0x y   . Biết hai đỉnh A, B nằm trên trục hoành và bán
kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC bằng 2.Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC.
HD:  1;0B Ox BC B   . ( ; 0)A Ox A a  { 1a  }.
AC qua A và vuông góc Ox :AC x a  .  ; 3 3C AC BC C a a   
Khi đó ta có: 1AB a  , 3 1AC a  và 2 1BC a 
Lại có:  
2 2 3 31 1
. ( ). 3 1 1 (3 3).2
2 2 2 3 1
ABC
a
AB AC S AB AC CB r a a
a
  
          
  
(vì 1a  )
Bài 10. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có đỉnh B thuộc
đường thẳng d: 2x – y + 2 = 0 và đỉnh C thuộc d’: x – y – 5 = 0. Gọi H là hình chiếu của B
lên AC. Gọi M
9 2
;
5 5
 
 
 
, N(9; 2) lần lượt là trung điểm của AH và CD. Tìm tọa độ các đỉnh
của hình chữ nhật.
HD:
 
 
; 2 2
' ; 5
B d B b b
C d B c c
  

  
Gọi 72 76
2 2 ; 2 2
5 5
E AN BE HE MN H c b c b
 
         
 
Theo giả thuyết ta có:
. 0 1 1
,
4 9. 0
CN BC b b
c cMC BH
    
  
   
,B C
Bài 11. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ ,Oxy cho tam giác ABC có đỉnh A(3; - 7), trực tâm là
H(3; - 1), tâm đường tròn ngoại tiếp là I(-2; 0). Xác định tọa độ đỉnh C, biết C có hoành độ
dương.
HD: Goi G là trọng tâm tam giác ABC. A’, B’, C’ lần lượt là trung điểm BC, AC, AB.
Ta có:  1 1
( , ) ( , )
2 2
1 1 1
' ' ' ( ) ;
2 3 3G G
V ABC A B C V H I GI GH G
 
 
           
 
(vì I là trực tâm ' ' 'A B C )
Lại có: : 3 : ( ; ), ( ; )BC AH x BC y m B b m C c m     (với c b , 7m   , 0c  )
G là trọng tâm ABC
3 1 4 ( 4 ; 3) (7 ; 10)
7 1 3 ( ; 3) ( 3; 4)
b c b c B c BA c
m m m C c HC c
              
      
          
H là trực tâm ABC 2
. 0 4 61 0 2 65 ( 2 65 ; 3)BA HC BAHC c c c C              

7. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Bài 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC. Đường trung tuyến kẻ từ A và
đường thẳng BC lần lượt có phương trình là : 3x + 5y – 8 = 0 và x – y – 4 = 0. Đường thẳng
qua A vuông góc BC cắt đường tròn ngoại tiếp ABC tại điểm D(4; -2). Viết phương trình
đường thẳng AB và AC biết rằng hoành độ của điểm B không lớn hơn 3.
HD: Gọi H là trực tâm của ABC, Trung tuyến AM: 3x + 5y – 8 = 0 (M là trung điểm BC)
Dễ dàng chứng minh được: H và D đối xứng nhau qua BC (2; 0)H .
AH qua H và vuông góc BC : 2 0AH x y    .
Ta có: (1;1)A AH AM A  
, ( ; 4), ( ; 4)B C BC B b b C c c    (với b c ).
M là trung điểm BC
( 6; 2)
; 4 7 (7 ; 3 )
2 2 ( 2; 4)
BA c cb c b c
M AM b c B c c
HC c c
      
           
    
H là trực tâm của ABC
2
. 0
5
c
AB CH BA HC
c

      
(2; 2)
(5;1)
B
C



hoặc
(5;1)
(2; 2)
B
C



(loại)
Bài 13. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho hình thang cân ABCD có đáy AB, CD biết
CD = 2AB, phương trình hai đường chéo AC: x + y – 4 = 0 và BD: x – y – 2 = 0, các tọa
độ điểm A, B đều dương và hình thang có diện tích bằng 36.
HD: (1;1)ACn  , (1; 1)BDn   lần lượt là VTPT của AC và BD.
Ta có: . 0AC BDn n  AC BD 
Gọi (3;1)I AC BD I   .
Theo talet: 3 3AC BD IA IB   .
( ; 4 ), 0 4
( ; 2), 2
A AC A a a a
B BD B b b b
    

   
2 3 22 2 1 (1; 3)1 9
. 36
5 (5; 3)2 2 3 22 2
ABCD
aIA a AIA
S AC BD
b BbIB
      
         
    
2IC IA  (7 ; 3)C  . 2ID IB  ( 1; 3)D  
Bài 14. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hình thang vuông tại A, B và có diện
tích 50, đỉnh C(2; -5),AD = 3BC.Biết rằng đường thẳng AB đi qua điểm 1
;0
2
M
 
 
 
, đường
thẳng AD đi qua N(-3; 5). Viết phương trình đường thẳng AB biết rằng đường thẳng AB
không song song với các trục.
HD: Gọi (2 ; )ABn a b ( . 0a b  ) là VTPT của AB.
Vì ( ; 2 )ADAB AD n b a    là VTPT của AD.
Khi đó ta có: :2 0AB ax by a   và : 2 3 10 0AD bx ay b a   
2 2
5 5
( , )
a b
CB d C AB
a b

 

, 2 2
5 20
( , )
b a
AB d C AD
a b

 


8. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
2 2 2 2
2 2 2 2
4( )
50 50 . 25 1 4 3 4
2 4 4
ABCD
a b b aAD BC AB
S BC AB a ab b a b
a b a b
 
           
 
Vì AB không song song với trục  . 0a b  nên ta có
2
3
a b  hoặc
3
16
a b
:4 3 2 0AB x y   và :6 16 3 0AB x y  
Bài 15. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A, có trực tâm
H(-3; 2).Gọi D, E là chân đường cao kẻ từ B và C. Biết rằng điểm A thuộc đường thẳng
d: x – 3y – 3 = 0, điểm F(-2; 3) thuộc đường thẳng DE và HD = 2. Tìm tọa độ điểm A.
HD: Gọi M AH DE  . (3 3; )A d A a a   .
ABC cân tại A  (3 6; 2)HA a a   là VTPT của DE :(3 6) ( 2) 3 18 0DE a x a y a      
Xét AHD ta có: 2
. . ( , ) 4HD HM HA HAd H DE  
2 2
2 2
4 4
(3 6) ( 2) . 4 1 1 2
(3 6) ( 2)
a
a a a a
a a

         
  
hoặc 0a 
(9; 2)
(3; 0)
A
A

 

Bài 16. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(-2 ; -1), trực
tâm H(2; 1)và 20BC  . Gọi B’ C’ lần lượt là chân đường cao kẻ từ các đỉnh B, C. Lập
phương trình đường thẳng BC, biết rằng trung điểm M của cạnh BC nằm trên đường
thẳng có phương trình 2 1 0x y   , tung độ của điểm M dương và đường thẳng B’C’
đi qua điểm D(3; - 4).
HD: : 2 1 0 (2 1; )M d x y M m m      {với m > 0}.
O(0; 0) là trung điểm của AH.
Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp BCB’C’(C) có đường kính BC
 
2 2 2 2 2
( ): (2 1) ( ) 5 ( ): 2(2 1) 2 5 4 4 0C x m y m C x y m x my m m              
Gọi (C’) là đường tròn ngoại tiếp AB’HC’(C’) có đường kính AH 2 2
( '): 5C x y  
Ta có:   2
', ' ( ) ( ') ' ':2(2 1) 2 5 4 1 0B C C C B C m x my m m        
Lại có 2
(3; 4) ' ' 5 5 0 1D B C m m       hoặc 1m   (loại) (3;1)M
BC qua M(3; 1) và có VTPT (4;2)AH  :2 7 0BC x y   
Bài 17. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – y + 3 = 0. Viết
phương trình đường tròn có tâm thuộc d, cắt trục Ox tại A và B, cắt trục Oy tại C và D sao
cho AB = CD = 2
HD: Gọi đường tròn cần lập là (C) có tâm ( ; 2 3)I m m (vì I d ) và bán kính R.
Khi đó ta có: ( , ) 2 3d I Ox m  và ( , )d I Oy m
Theo Pitago:
 
 
2
2 2
2 2
2 2 2
2 2
( , )
(2 3) 1 (1)2
1 (2)
( , )
2
AB
d I Ox R
m R
m RCD
d I Oy R
  
          
 
   
    

9. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
(1)– (2) vế theo vế ta có: 2 2
(2 3) 0 (3 3)( 3) 0 1m m m m m          hoặc 3m  
Với 1m   ta có: I(-1; 1) và R = 2 2 2
( ):( 1) ( 1) 2C x y    
Với 3m   ta có: I(-3; -3) và R = 10 2 2
( ):( 3) ( 3) 10C x y    
Bài 18. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho điểm A(2; 1). Trên tia Ox, Oy lần lượt lấy hai điểm
B, C sao cho tam giác ABC vuông tại A. Xác định tọa độ hai điểm B, C khi diện tích tam
giác ABC đạt giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị nhỏ nhất đó.
HD: B,C lần lượt thuộc tia Ox, Oy ( ;0)B b và (0; )C c {với 0b  và 0c  }
: 1 : 0
x y
BC BC cx by bc
b c
      .  2; 1AB b   và  2; 1AC c  
ABC vuông tại A . 0 5 2 0AB AC c b      ,
5
0
2
b 
2 2
BC b c  ,
2
2 2 2 2
2 8 102
( , )
b bc b bc
d A BC
b c b c
  
 
 
2
2 2 2
2 2
2 8 101 1
( , ). 4 5
2 2
ABC
b b
S d A BC BC b c b b
b c
 
     

Lập bảng biến thiên của hàm số: 2
( ) 4 5f b b b   trên đoạn
5
0;
2
 
  
ta có: 1 ( ) 5f b 
Do đó: 1 5ABCS    1ABCMin S  khi
2
1
b
c



hay   1ABCMin S  khi B(2; 0) và C(0; 1)
Bài 19. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn    
22
: 1 1C x y   .Gọi MA,
MB là các tiếp tuyến của (C) kẻ từ M {với A, B là tiếp điểm}.Tìm tọa độ điểm M thuộc
đường thẳng d : y – 3 = 0 sao cho đường thẳng AB cách gốc tọa độ O một khoảng lớn nhất.
HD: ( ;3)M d M m 
Gọi  1 1;A x y và  2 2;B x y khi đó: 1 1 1
2 2 2
: ( 1) 0
: ( 1) 0
MA x x y y y
MB x x y y y
   

   
là hai tiếp tuyến của (C).
Mà 1 1
2 2
2 3 0
: 2 3 0
2 3 0
mx yM MA
AB mx y
M MB mx y
   
     
    
2 2
3 3 3
( , )
22 2
d O AB
m m

  
 
.
Do đó :  
3
( , )
2
Max d O AB  khi 0m  tức là M(0; 3)
Bài 20. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn    
22
: 1 1C x y   . Tìm tọa
độ điểm M thuộc đường thẳng d : y – 3 = 0 sao cho các tiếp tuyến của (C) kẻ từ M cắt trục
hoành Ox tại hai điểm A, B và bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác MAB bằng 4.

10. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Bài 21. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có B(4; -5), phương
trình đường thẳng chứa đường cao kẻ từ A và trung tuyến kẻ từ B lần lượt có phương trình
là x – 3y – 7 = 0 và x + y + 1 = 0. Tìm tọa độ các điểm A, C biết diện tích tam giác ABC
bằng 16.
HD: Gọi đường cao AH: x – 3y – 7 = 0 và trung tuyến BM: x + y + 1 = 0.
BC đi qua B và vuông góc AH :3 7 0BC x y    .
(3 7; )A AH A a a   . ( ; 7 3 )C CB C c c   .
M là trung điểm AC
3 7 3 7
; 2 8 (2 8; 6 17)
2 2
a c a c
M BM c a C a a
    
         
 
2 2
( 1) ( 7 17)AC a a      . 2
:( 1) ( 7 17) 10 21 7 0AC a x a y a a        
2
2 2
2 2
10 52 82
16 ( , ). 32 ( 1) ( 7 17) 32
( 1) ( 7 17)
ABC
a a
S d B AC AC a a
a a
 
         
    
2
2
2
5 26 57 0 ( ) 13 2 11
5 26 41 16
55 26 25 0
a a VN
a a a
a a
     
      
  
Bài 22. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho đường tròn  
2 2
1
4
( ): 2
5
C x y   và hai
đường thẳng d: x – y = 0 , d’: x – 7y = 0. Xác định tọa độ tâm K và bán kính đường tròn
(C’); biết đường tròn (C’) tiếp xúc với các đường thẳng d, d’ và K thuộc đường tròn (C).
HD: Gọi ( ; )K a b . (C’) tiếp xúc với d và d’
7
( , ) ( , ')
2 50
a b a b
d K d d K d R R
 
     
5 5 7 2a b a b a b      hoặc 2b a  (2 ; )K b b hoặc ( ; 2 )K a a .
Với (2 ; )K b b ta có: 2 4 8 4
( ) 25 40 16 0 ;
5 5 5
K C b b b K
 
         
 
,
2 2
5
R 
2 2
8 4 8
( '):
5 5 25
C x y
   
       
   
Với ( ; 2 )K a a ta có: 2 16
( ) 5 4 0 ( )
5
K C a a VN    
Bài 23. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C):    
2 2
x 1 y 2 4    và đường
thẳng d có phương trình x + y – 3 = 0. Tìm trên d điểm M sao cho từ đó có thể kẻ được hai
tiếp tuyến với (C) là MA, MB (A, B là hai tiếp điểm) sao cho 3MAB IABS S  với I là tâm
đường tròn (C)
HD: (C) có tâm I(1; -2) và bán kính R = 2
Gọi H là trung điểm AB. : 3 0 ( ;3 )M d x y M m m     
3 3 4MAB
IAB
S MH
gt MI IH
S IH
     
Xét MAI ta có:

11. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
2
2 2 2 2 1 (1;2)
. 4 4 ( 1) (5 ) 4 6 5 0
5 (5; 2)4
m MMI
AI MI HI MI m m m m
m M
 
                  
Bài 24. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn   2 2
: 9C x y  , đường
thẳng : 3 3 0d x y    và điểm A(3; 0). Gọi M là một điểm thay đổi trên (C) và B là
điểm sao cho tứ giác ABMO là hình bình hành .Tính diện tích tam giác ABM, biết trọng
tâm G của tam giác ABM thuộc d và G có tung độ dương.
HD: Gọi M(a; b). ABMO là hình bình hành  
3
3;
0
b
b
x a
OA MB B a b
y b
 
    
 
G là trọng tâm ABM
2 6 2
;
3 3
a b
G
 
  
 
.
2 6 2 2 3 3 3 2 3 3 3
3 3 0 ;
3 3 2 2
a b a a
G d b M a
     
           
 
2
2 2 3 3 3
( ) 9
2
a
M C a
  
     
 
Bài 25. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho đường tròn 2 2
( ):( 2) ( 1) 5C x y    và đường
thẳng : 3 9 0.d x y   Từ điểm M thuộc d kẻ hai đường thẳng tiếp xúc với (C) lần lượt tại A và B.
Tìm tọa độ điểm M sao cho độ dài AB nhỏ nhất.
HD:  3 9;M d M m m   . Gọi H là trung điểm AB. (C) có tâm I(2; -1) và bán kính 5R 
Xét MAI ta có: 2 2 2 2 2
1 1 1 1 1
5 5AH AI MI AI MI
   
 
Do đó: AB nhỏ nhất  AH nhỏ nhất  MI2
nhỏ nhất.
2
2 2 2 2 22 484 16 11 8 8
(3 9 2) ( 1) 10 2 10
10 100 10 5 5 5
MI m m m m m
   
               
   
Vậy AB nhỏ nhất khi
11
5
m   tức là
12 11
;
5 5
M
 
 
 
Bài 26. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn 2 2
( ): 2 6 6 0C x y x y     và
đường thẳng d: y = – 3 . Gọi A và B là hai tiếp điểm của hai tiếp tuyến với (C) kẻ từ điểm
M thuộc đường thẳng d. Tìm tọa độ điểm M biết đường thẳng AB tạo với hai trục tọa độ
thành một tam giác cân.
HD: Gọi  1 1;A x y và  2 2;B x y . ( ; 3)M d M m  
khi đó: 1 1 1 1
2 2 2 2
:( 1) ( 3) 3 6 0
:( 1) ( 3) 3 6 0
MA x x y y x y
MB x x y y x y
      

      
là hai tiếp tuyến của (C).
Mà 1 1
2 2
( 1) 6 15 0 1 15
:( 1) 6 15 0 :
( 1) 6 15 0 6 6
m x y mM MA m m
AB m x y m AB y x
M MB m x y m
       
          
      
Suy ra AB có hệ số góc là:
1
6
m
k



12. PHƯƠNG PHÁP THAM SỐ HÓA TRONG TỌA ĐỘ PHẲNG
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
AB tạo với hai trục tọa độ thành tam giác cân 0
( , ) 45AB Ox 
0 7 :3 3 4 01
tan 45 1 1 6
5 : 2 2 7 06
m AB x ym
k m
m AB x y
    
              
Vậy có hai điểm M cần tìm: M(7; -3) và M(-5; -3)
Bài 27. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy , cho đường tròn (C):   
2 2
1 2 4x y    . M
là điểm di động trên đường thẳng d: x – y + 1 = 0. Chứng minh rằng từ M kẻ được hai tiếp
tuyến MT1, MT2 tới (C) (T1, T2 là tiếp điểm) và tìm toạ độ điểm M, biết đường thẳng T1T2
đi qua điểm A(1;-1).
HD: (C) có tâm I(1; -2) và bán kinh R = 2.
Ta có: 2 2
1 ( 2) 1
( , ) 2 2
1 ( 1)
d I d R
  
  
 
.
Do đó M d  thì M đều nằm phía ngoài (C) nên từ M luôn kẻ được hai tiếp
tuyến đến (C) (đpcm).
Viết phương trình T1T2 tương tự viết phương trình đường AB trong bài 26.
Bài 28. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ ,Oxy cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường
thẳng chứa đường chéo AC là x + 2y – 9 = 0. Xác định tọa độ các đỉnh của hình chữ nhật đã
cho biết rằng diện tích của hình chữ nhật đó bằng 6, đường thẳng CD đi qua điểm N(2; 8),
đường thẳng BC đi qua điểm M(0; 4) và đỉnh C có tung độ là một số nguyên.
HD: ta có: (9 2 ; )C AC C c c   (c Z ).  7 2 ; 8NC c c   ,  9 2 ; 4MC c c  
2
. 0 5 44 95 0 5
N CD
NC MC NC NC c c c
M CB

         

hoặc
19
5
c  (loại) ( 1; 5)C 
Khi đó ta có: : 4 0CD x y   và : 6 0CB x y  
(9 2 ; )A AC A a a   .
15 3
( , )
2
a
AB d A BC

  và
5
( , )
2
a
AD d A DC

 
2
6 . 6 (5 ) 4 3ABCDS AB AD a a        hoặc 7a  (3; 3)A hoặc ( 5; 7)A 
B , D lần lượt là hình chiếu vuông góc của A lên BC và DC.