DÃY SỐ - CẤP SỐ

GIẢI TÍCH
11
GV: PHAN NHẬT NAM
DÃY SỐ - CẤP SỐ

GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TOÁN HỌC
A. Cơ sở lý thuyết :
1. Mục đích : Phương pháp quy nạp dùng để chứng minh các mệnh đề chứa biến P(n), với
biến n là các số nguyên dương.’
 Bước 1: Chứng minh P(n) là mệnh đề đúng với n = p
 Bước 2: Từ giả thuyết P(n) là mệnh đề đúng với n = k, ta phải chứng minh P(n)
cũng là mệnh đề đúng với n = k + 1
2. Các cách chứng minh quy nạp thông dụng :
 Loại 1: Chứng minh đẳng thức )()( ngnf  : Từ đẳng thức )()( kgkf  ta thêm
một vài đại lương để có được )()1( khkf  . Ta cần chứng minh
)1()(  kgkh
 Loại 2: Chứng minh bất dẳng thức )()( ngnf  : Từ bất đẳng thức )()( kgkf 
ta thêm một vài đại lương để có được )()1( khkf  . Ta cần chứng minh
)1()(  kgkh
 Loại 3: Chứng minh nu chia hết cho số a. Từ giả thuyết ku chia hết cho a, biến đổi
biểu thức 1ku về dạng )(..1 kfaubu kk  trong đó a, b là các số nguyên suy ra
1ku cũng chia hết cho a.
B. Bài tập áp dụng :
câu 1 : CMR: *Nn
a. 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n2
b. 1 4 7 10 ... (3 2) (3 1)
2
n
n n       
c. 12
+ 22
+ 32
+ ... + n2
=
6
)12)(1(  nnn
d. 13
+ 23
+ 33
+ ... + n3
=
4
)1( 22
nn
e. 1.2 + 2.3 + 3.4 + ... + n(n+1) =
3
)2)(1(  nnn
.
a. 2n
> 2n + 3 (n  4)

b.
( 1)
2 22 ... sin
2
nx n x
sin sin
sinx sin x nx
x
sin

   
c. (1 + a)n
> 1 + na (a > 0, n  2) c.
1 1
1 ... 2
2
n
n
   
a. (13n
- 1) chia hết cho 12
b. (19n
- 1) chia hết cho 9.
c. 2 2 2 1
7.2 3n n 
 chia hết cho 5 ( 1n  ).
d.
3 2 3 1
5.3 2n n 
 chia hết cho 19. ( 1n  ).
câu 4 : Chứng minh rằng với số tự nhiên 1n ta có :
)12.....(5.3.12))...(2)(1(  nnnnnT n
n
câu 5 : Chứng minh rằng với số tự nhiên 0n ta có :



sin2
2sin
2cos....2cos.2cos.cos 1
1
2


 n
n
n
nS
câu 6 : Chứng minh rằng với số tự nhiên 2n , và 1x thì bất đẳng thức sau luôn
đúng :
nnn
xx 2)1()1( 
câu 7 : Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương 5n , ta đều có: 2
2 nn

câu 8 : Cho a > 0 , b > 0. Chứng minh
22
nnn
baba 





 
với *Nn
câu 9 : Cho naaa ,...,, 21 cùng dấu, niai ,1,01  Chứng minh rằng :
nn aaaaaaaa  ...1)1)...(1)(1)(1( 321321
câu 10 : Tính tổng : 
ôsn
S

 2...22...222222
câu 11 : Daõy soá (an) ñöôïc cho nhö sau: 1 12, 2n na a a   vôùi n = 1, 2, …
Chöùng minh raèng vôùi moïi n  N* ta coù: 1
2cos
2
n n
a



.
câu 12 : Chöùng minh raèng soá ñöôøng cheùo cuûa moät ña giaùc loài n caïnh laø
( 3)
2
n n 
.

DÃY SỐ
A. Cơ sở lý thyết :
1. Định nghĩa :
nun
RNu

*:
2. Tính chất :
a. Tính đơn điệu của dãy số :
i. Dãy nu được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n, ta có : 1 nn uu
ii. Dãy nu được gọi là dãy số tăng nếu với mọi n, ta có : 1 nn uu
b. Tính chất bị chặn của dãy số :
i. Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
*Nn thì Mun 
ii. Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
*Nn thì mun 
iii. Dãy số nu được gọi là dãy số bị chặn , nếu vừa bị chặn trên và vừa bị chặn
dưới, tức là tồn tại hai số M, n sao cho *Nn thì muM n 
câu 1 : Sáu số hạng đầu tiên của một dảy số là :
70;37;20;11;6;3 654321  uuuuuu
a. Lập số hạng tổng quát của một dãy số thỏa 6 số dạng đầu cho ở trên .
b. 935, 1034 có thuộc dãy số trên không.
câu 2 : Cho dãy số :
     
nacn
n uuuu 2...22...;;222;22;2: 321  Chứng minh rằng :
 nu là dãy số tăng và bị chặn.
câu 3 : Cho dãy số  nu với số hạng tổng quát :
n
n
n
u 






1
1
Chứng minh  nu là dãy số tăng .
câu 4 : Cho dãy số    
nacn
nu 6...66  . Chứng minh  nu là dãy tăng và bị chặn

câu 5 : Xét tính đơn điệu của dãy số :
a.
n
n
un
12

 c. n
nu 31
b. nn
n
u
3
 d.
nn
n
un


 2
2
13
e.
2
n n
n
u 
câu 6 : Xét tính bị chặn của dãy số :
a.
nn
n
un


 2
2
13
c.
n
un
.2
cos


b.
2
n n
n
u  d.
n
nu 






5
2
câu 7 : Cho dãy số  nu :





 nn uu
u
.2
3
1
1
Xác định công thức tổng quát của  nu





 1.2
1
1
1
nn uu
u





 1.2
2,1
21
21
nnn uuu
uu





 21
21
.2.3
3,2
nnn uuu
uu








3
4
3
1
1
n
n
u
u
u
Xác định công thức tổng quát của  nu từ đó
suy ra dãy số  nu giãm và bị chặn dưới.








4
3
0
1
1
n
n
u
u
u
Xác định công thức tổng quát của  nu từ đó
suy ra dãy số  nu giãm và bị chặn dưới





 2.2
1,0
11
21
nnn uuu
uu

CẤP SỐ CỘNG
1. Định nghĩa cấp số cộng : nu là cấp số công duun nn  1,2 (d là hằng số )
2. Tính chất :
a. Số hạng tổng quát của cấp số cộng : *,)1(1 Nndnuun 
b. nu là cấp số công và nk 2 ta có :
2
11  
 kk
k
uu
u
c. Tổng của n số hạng đầu tiên :
 
2
.)1(2
2
)( 11
1
ndnunuu
uS n
n
i
in



 
B. Các dạng bài tập cơ bản :
Loại 1: Xác định cấp số cộng thỏa mãn các điều kiện cho trước :
 Phân tích giả thuyết để tìm được 2 giả thuyết có liên quan đến cấp số cộng cần tìm
 Gọi u1 và d lần lượt là số hạng đầu tiên và công sai của cấp số cộng cần tìm. Từ 2 dử
kiện ở bước 1 sử dụng các công thức ở phần A để thiết lập một hệ phương trình gồm
2 biến u1 và d
 Giải hệ phương trình ở bước 2 ta có được u1 và d. Khi đó cấp số cộng cần tìm là :
Ví dụ 1: Giả sử  nu là cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó nếu biết :





1170
60
2
12
2
4
157
uu
uu
Giải :
Loại này ta chỉ cần sử dụng công thức :
Ta có : duu 617  duu 14115  duu 314  duu 11112 
Gt


















063365
1030
1170)730()730(
1030
1170)11()3(
60202
2
1
22
1
2
1
2
1
1
dd
du
dd
du
dudu
du






3
01
d
u
hoặc






5
3
361
d
u
Vậy có hai cấp số cộng thỏa yêu cầu bài toán là : 3)1(  nun và
5
3
)1(36  nun
*,)1(1 Nndnuun 
*,)1(1 Nndnuun 

Ví dụ 2: Hãy xen vào giữa hai số 2 và 37 sáu số ,để tám số đó lập thành cấp số cộng
Giải :
Giả sử cấp số cộng thỏa yêu cầu là dnuun )1(1  (với u1 : số hạng đầu d: công sai)
Theo giả thuyết ta có : 21 u và 378 u . Khi đó ta có :
57237718  ddduu
Vầy 6 sô được xen vào giữa thủa yêu cầu bài toán là : 7, 12, 17, 22, 27, 32
Ví dụ 3: Hãy tìm cấp số cộng thỏa tính chất :
*,3 2
NnnnSn  trong đó nn uuuuS  ...321
Giải :
Bình luận : Trong bài toán này người ta chỉ cho một giả thuyết, thế nhưng muốn tìm ra
công thức tổng quát ta cần có ít nhất 2 giả thuyết .
Ta lại để ý giả thuyết trên đúng *Nn nên với mỗi số tự nhiên 0n cụ thể ta thu
được một phương trình , thế nhưng với cách nghĩ đó thì ta chỉ kiểm tra được bài toán
đúng với vài giá trị cụ thể của n chứ không đúng vì vậy ta phải giải bài toán
trên theo phương pháp điều kiện cần và điều kiện đủ, cụ thể như sau:
Điều kiện cần :
Vì bài toán đúng *Nn nên với n = 1 và n = 2 thì bài toán đúng tức là ta có:
411.31 2
11  uSn (1)
1422.32 2
212  uuSn (2)
Từ (1) và (2) ta có : 6)1(4
6
4
10
4
10
4 1
1
1
2
1


















nu
d
u
du
u
u
u
n
Điều kiện đủ :
Xét cấp số cộng có công thức tổng quát : 6)1(4  nun *Nn ta có :
      nnSnn
nnndnu
S nn 



 21
3)1(34
2
)1(68
2
)1(2
Vậy cấp số cộng 6)1(4  nun thỏa yêu cầu bài toán
*Nn

Loại 2: Các bài toán chứng minh ba số a, b, c nào đó lập thành cấp số cộng :
Phân tích giả thuyết để có được một đẳng thức theo a, b, c : 0),,( cbaf (1)
dùng các phép biến đổi đại số để đưa (1) về dẳng thức bcabcacba 20)2)(,,( 
từ đó theo tính cấp số cộng ta có : a, b, c theo thứ tự đó tạo thành cấp số cộng (đpcm)
Chú ý : nn uuuuu ,,...,, 1321  là cấp số cộng duuuuuuuu nn  1342312 ...
Ví dụ 1: Cho a, b, c > 0 . Chứng minh rằng ba số a, b, c lập thành cấp số cộng khi và
chỉ khi
abcacb 
1
;
1
;
1
cũng lập thành cấp số cộng.
Giải :
Ta có : là cấp số cộng 

     caab
bc
cacb
ab





      bcabcabbcbcabab 2
 a, b, c lập thành cấp số cộng (đpcm)
Ví dụ 2: Chứng minh rằng trong tam giác ABC nếu
2
tan,
2
tan,
2
tan
CBA
lập thành cấp số
cộng thì CBA cos,cos,cos cũng lập thành cấp số cộng :
Bình luận : Với các bài toán lượng giác trong tam giác thì ngoài các chú ý trên phương
pháp ta cần phải luôn để ý các tính chất của hệ thức lượng cơ bản trong tam giác:
Trong tam giác ABC ta có các công thức sau
 Định lý hàm số sin : R
A
BC
B
AC
C
AB
2
sinsinsin

 Định lý hàm số cosin :  BCABCACBCACAB ˆcos..222

 CBABCABBCABAC ˆcos..222

 BACABACABACBC ˆcos..222

abcacb 
1
;
1
;
1
caabcbca 






1111



2
)
22
()
2
(
B
Sin
B
Sin
CA
Sin 
 
,
2
)
22
()
2
(
B
Sin
B
Cos
CA
Cos 
 
    BBCASin sinsin   ,     CosBBCosCACos  
Giải :
Vì lập thành cấp số cộng nên ta có :
2
tan2
2
tan
2
tan
BCA

2
cos
2
cos
2
sin2
2
cos
2
sin
2
cos
2
sin
2
2
cos
2
cos
2
sin
2
cos
2
cos
2
sin
CABBCA
B
B
CA
CACA





 








 









2
cos
2
cos
2
sin
2
cos
22
sin
CACABBB
2
cos
2
sin
22
cos
2
sin
2
cos2 CABBBB 








2
cos
2
coscos
2
cos
22
sin
2
sin
2
cos 22 CACA
B
CACABB 







 


  BCACAB cos2coscoscoscos
2
1
cos   là cấp số cộng
Loại 3: Các bài toán chứng minh tính chất của cấp số cộng :
 Phân giả thuyết theo u1 và d : f(u1, d) = 0 (1)
 Sử dụng các công thức để biến đổi một về của đẳng thức cần chứng minh:
VT = g(u1, d) (2)
 Thay (1) vào (2) ta có điều phải chứng minh.
Ví dụ : Giả sử  nu là cấp số cộng có tính chất : 2
2
n
m
S
S
n
m
 với nm  .
Chứng minh rằng :
12
12



n
m
u
u
n
m
Giải :
Theo giả thuyết ta có :
 
  n
m
dnu
dmu
n
m
ndnu
mdmu
n
m
S
S
n
m







)1(2
)1(2
2
)1(2
2
)1(2
1
1
2
2
1
1
2
2
   1111 202)1(2)1(2 udmndudmnmudnmnu  {vì nm  }
2
tan,
2
tan,
2
tan
CBA
CBA cos,cos,cos

12
12
]2)1(1[
]2)1(1[
)1(
)1(
1
1
2
1
1
1










n
m
nu
mu
dnu
dmu
u
u ud
n
m
(đpcm)
Loại 4: Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm tạo thành cấp số cộng :
Bài toán 1: Tìm điều kiện để phương trình 023
 dcxbxax có ba nghiệm lập
thành cấp số cộng :
Cách giải
 123
0 dcxbxax Giả sử (1) có 3 nghiệm 321 ;; xxx
Khi đó ta có ĐNT : Rxxxxxxxadcxbxaxxf  ,))()(()( 321
23
Rxxxaxxxxxxxxaxxxxaaxdcxbxax  ,)()( 321133221
2
321
323
 (*)321
a
b
xxx 
Đều kiện cần : Để đồ thị hàm số cắt Ox tại 3 điểm 321 ;; xxx lập thành cấp số cộng
thì 231 2xxx  thay vào (*) ta có
a
b
x
3
2  là một nghiệm của (1)  điều kiện của
m.
Đều kiện đủ : Thay m tìm được ở trên vào phương trình một để kiểm tra lại :
Với m nào mà phương trình (1) có ba nghiệm lập thành cấp số cộng thì được
chọn .Khi giải lại (1) với m cụ thể cần để ý (1) đã có sẵn một nghiệm
a
b
x
3
2 
Ví dụ : Tồn tại hay không m để phương trình sau có 3 nghiệm lập thành cấp số cộng:
01223 23
 mxxx .
Giải
Giả sử phương trình (1)
có 3 nghiệm 321 ;; xxx
Khi đó ta có ĐNT : Rxxxxxxxmxxxxf  ,))()((1223)( 321
23
Rxxxxxxxxxxxxxxxxmxxx  ,)()(1223 321133221
2
321
323
01223 23
 mxxx

 (*)3321  xxx
Đều kiện cần : Để phương trình có 3 nghiệm 321 ;; xxx lập thành cấp số cộng thì
231 2xxx  thay vào (*) ta có 12 x là một nghiệm của (1)
 0121.21.31 23
 m  m =
2
3
Đều kiện đủ : Với m =
2
3
ta có : phương trình (1) trở thành 0423 23
 xxx
   





5151042
1
0421 2
2
xvàxxx
x
xxx
Vậy khi m =
2
3
thì phương trình đã cho có 3 nghiệm: 51 , 1, 51 lập thành cấp
số cộng có công sai là d = 5
Bài toán 2: Tìm điều kiện để phương trình : 024
 cbxax có 4 nghiệm lập thành
cấp số cộng :
Cách giải :
 224
0 cbxax
Đặt 02
 xt khi đó (2)
)3(2
0 cbtat
(2) có 4 nghiệm phân biệt  (3) có 2 nghiệm dương phân biệt 21;tt
(*)
0
0.
04
21
21
2
m
a
b
tt
a
c
tt
acb














Khi đó (2) có 4 nghiệm : 24131221 ;;; txtxtxtx  (trong đó 210 tt  )
Để 4321 ;;; xxxx lập thành cấp số cộng  342312 xxxxxx 
 121212112 932 ttttttttt 
Kết hợp Viét cho phương trình (3) ta có được giá trị m sau đó kiểm tra điều kiện (*)

Ví dụ : Tìm m để PT: 01)55( 24
 mxmx có 4 nghiệm lập thành cấp số cộng.
Giải
Đặt 02
 xt khi đó (2)
)3(2
01)55(  mtmt
(2) có 4 nghiệm phân biệt  (3) có 2 nghiệm dương phân biệt 21;tt
(*)
25
21
055
01.
0214625
21
21
2









 m
mtt
mtt
mm
Khi đó (2) có 4 nghiệm : 24131221 ;;; txtxtxtx  (trong đó 210 tt  )
Để 4321 ;;; xxxx lập thành cấp số cộng 
 121212112 932 ttttttttt  (a)
Theo viét cho phương trình (3) ta có





)(1
)(55
21
21
cmtt
bmtt
Thay (a) vào (b) ta có )1(
2
9
)1(
2
1
21  mtmt thay vào (c) ta có :







9
5
1
1)1(
4
9 2
m
m
mm { m = - 1 bị loại so với (*)}
Khi m = -
9
5
thì (3) trở thành 2
9
2
04209 21
2
 tvàttt
Vậy m = -
9
5
thì phương trình đã cho có 4 nghiệm 2;
3
2
;
3
2
;2  lập thành cấp
số cộng có công sai là d =
3
22
342312 xxxxxx 

C. Bài tập áp dụng :
câu 1 : Giả sử  nu là cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó nếu biết :





17
10
61
351
uu
uuu
câu 2 : Giả sử  nu là cấp số cộng. Tìm cấp số cộng đó nếu biết :






2
45
9
6
4
S
S
câu 3 : Tính tổng : 9932
2.288...2.102.72.41 S





 2;12
2
11
21
nuuu
uu
nnn
1. Chứng minh rằng : nnn uuv  1 là cấp số cộng.
2. Từ đó suy ra công thức thính nu theo n
câu 5 : Giả sử  nu là cấp số cộng có tính chất :
n
m
u
u
n
m
 với nm  .
)1(
)1(



nn
mm
S
S
n
m
câu 6 : Hỏi ba số 1, 3 , 3 có đồng thời thuộc cấp số cộng nào không
câu 7 : Cho 3 cạnh a, b, c của tam giác ABC lập thành cấp số cộng.
2
sin3sin.sin 2 B
CA 
câu 8 : Cho  nu là cấp số cộng có các số hạng đều dương. Tính tổng :
nn uuuuuuuu
S








1433221
1
...
111
theo 1u và n
câu 9 : (BT vui) Cho 10 hàng gạch, mỗi hàng gồm 10 viên. Bề mặt ngoài giống hệt
nhau. Trong 10 hàng gạch này thì có đúng một hàng sai quy cách (đúng quy cách là
mọi viên trong hàng đều nặng 1kg, sai quy cách là mọi viên trong hàng đều nặng 0,9kg
). Hỏi bằng cách nào để từ một lần cân có thể phát hiện được hàng gạch sai quy cách .
câu 10 : Tính tổng các nghiệm thuộc  2008,1 của phương trình
câu 11 : Chứng minh rằng nếu 222
,, cba lập thành cấp số cộng thì
abcacb 
1
,
1
,
1
theo thứ tự đó cũng lập thành cấp số cộng

CẤP SỐ NHÂN
1. Định nghĩa cấp số nhân : nu là cấp số nhân quun nn .,2 1 (q là hằng số )
2. Tính chất :
a. Số hạng tổng quát của cấp số nhân : *,1
1 Nnquu n
n  
( 1p )
b. nu là cấp số nhân và nk 2 ta có : 11
2
.  kkk uuu
c. Tổng của n số hạng đầu tiên :
1
)1(1
1 

  q
qu
uS
nn
i
in )0,1(  qq
Loại 1: Xác định cấp số nhân thỏa mãn các điều kiện cho trước :
 Phân tích giả thuyết để tìm được 2 giả thuyết có liên quan đến cấp số nhân cần tìm
 Gọi u1 và d lần lượt là số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân cần tìm. Từ 2 giả
thuyết ở bước 1 sử dụng các công thức ở phần A để thiết lập một hệ phương trình
gồm 2 biến u1 và d. ta cần để ý them công thức :
nkNnquu kn
kn  
1*,,
 Giải hệ phương trình ở bước 2 ta có được u1 và d. Khi đó cấp số cộng cần tìm là :
*,1
1 Nnquu n
n  
Ví dụ : Bốn số lập thành một cấp số nhân.Nếu theo thứ tự ta bỏ bớt ở 4 số đó đi 2,1,7,27
thì được một cấp số cộng.Tìm cấp số nhân.
Giải
Gọi cấp số cộng về sau là dududuu 3,2,, 1111  ; thì cấp số nhân ban đầu là
273,72,1,2 1111  dududuu
Theo tính chất của cấp số nhân suy ra hệ sau đây :


Với d=8 ta có cấp số nhân phải tìm là : 7, 14, 28, 56 ;
Với d=-6 ta có cấp số nhân phải tìm là : 7, 0, 0 , 14 (loại )
Vậy chỉ có duy nhất một cấp số nhân thỏa mãn yêu cầu đề ra là :7, 14 , 28 , 56 .
Loại 2: Các bài toán chứng minh các số lập thành cấp số nhân, tính chất của cấp số nhân :
Cách giải tương tự như ở loại 2, 3 trong bài cấp số cộng :
Ví dụ : Cho ba số a, b, c theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân. Chứng minh rằng :
222
))(( cbacbacba 
Giải
222
))(( cbacbacba  (1)
VT(1) =    22222
2)()()( bcacabcabcabca  (2)
Theo giả thuyết : a, b, c theo thứ tự lập thành cấp số nhân nên ta có : 2
. bca  (3)
Thay (3) vào (2) ta có : VT(1)
2222222
2 cbabcba  (đpcm)
Loại 3: Các bài toán tính tổng :
Ví dụ : Tính tổng :
992
2.100...2.32.21 S
Giải
Từ giả thuyết ta có :
1009932
2.1002.99...2.32.222 S
9921009932
2.100...2.32.212.1002.99...2.32.222  SSS
1009932
2.1002).99100(...2).43(2).23(2)12(1 
=   100
99
10099432
2.100
12
)12(
.212.1002...22221 



12.99122.100 100100100


Ví dụ : Giả sử  nu là cấp số nhân. Trong đó niui ,1,0 
Biết rằng :  nuuuu ...321 
nuuuu
1
...
111
321
Chứng minh rằng : n
n
nuuuu


...... 321
Giải
Gọi u1 , q là số hạng đầu tiên và công bội của cấp số nhân theo giả thuyến khi đó ta có
Dãy số






nu
1
cũng là cấp số nhân có công bội là
q
1
và số hạng đầu là
1
1
u
Thật vậy : Vì  nu là cấp số nhân nên ta có : 1
1. 
 n
n quu
Xét :
quuqqu
qu
qu
qu
u
u
nn
n
n
n
n
n
n 1
.
111
.
.
.
1
.
1
1
1
1
1
1
2
1
2
1
1
1
1






 vì q không đổi nên
q
1
. Vậy theo định
nghĩa của cấp số nhân ta có






nu
1
cũng là cấp số nhân có công bội là
q
1
Khi đó ta có :


























)1(
)1(
)1(
)1(
1
1
)1
1
(
1
1
...
111
'
1
)1(
...
1
1
1
11
321
1
321
qqu
q
qq
qu
q
qu
uuuu
S
q
qu
uuuuS
n
n
n
nn
n
n
n
nn
 2
)1(
1
)1(2
1
12
1
1
11
)1(
)1(
.
1
)1(









nn
nnnn
n
n
n
n
nn
quququ
q
qqu
q
qu




(1)
Mặt khác ta có :      1
1
3
1
2
111321 .............. 
 n
n ququququuuuuu
2
)1(
1
)1(...4321
1



nn
nnn
ququ (2)
Từ (1) và (2) ta có : n
n
nuuuu


...... 321 (đpcm)

Loại 4: Tìm điều kiện để phương trình 023
 dcxbxax có ba nghiệm lập thành cấp
số nhân :
Cách giải :
 123
0 dcxbxax Giả sử (1) có 3 nghiệm 321 ;; xxx
Khi đó ta có ĐNT : Rxxxxxxxadcxbxaxxf  ,))()(()( 321
23
Rxxxaxxxxxxxxaxxxxaaxdcxbxax  ,)()( 321133221
2
321
323
(*).. 321
a
d
xxx 
Đều kiện cần : Để phương trình có 3 nghiệm 321 ;; xxx lập thành cấp số nhân thì
2
231. xxx  thay vào (*) ta có 3
2
a
d
x  là một nghiệm của (1)  điều kiện của m.
Đều kiện đủ : Thay m tìm được ở trên vào phương trình (1) để kiểm tra lại :
Với m nào mà phương trình (1) có ba nghiệm lập thành cấp số nhân thì được chọn
Khi giải lại (1) với m cụ thể cần để ý (1) đã có sẵn một nghiệm 3
2
a
d
x 
Ví dụ : Tìm m để phương trình : 08)45()13( 23
 xmxmx có 3 nghiệm lập thành
cấp số nhân.
Giải
Cách giải : 08)45()13( 23
 xmxmx
(1)
.Giả sử (1) có 3 nghiệm 321 ;; xxx
Khi đó ta có ĐNT : Rxxxxxxxxmxmxxf  ,))()((8)45()13()( 321
23
Rxxxxxxxxxxxxxxxxxmxmx  ,)()(8)45()13( 321133221
2
321
323
 (*)8.. 321 xxx
Đều kiện cần : Để phương trình có 3 nghiệm 321 ;; xxx lập thành cấp số nhân là
2
231. xxx  thay vào (*) ta có 283
2 x là một nghiệm của (1)

 2024082)45(2)13(2 23
 mmmm
Đều kiện đủ : Khi m = 2 thì phương trình (1) trở thành :
4,2,10)45)(2(08147 223
 xxxxxxxxx
Vậy khi m = 2 thì (1) có 3 nghiệm là 1 ; 2 ; 4 theo thứ tự đó lập thành cấp số nhân có
công bội là q = 2
C. Bài tập áp dụng :
câu 12 : Giả sử  nu là cấp số nhân. Tìm cấp số cộng đó nếu biết :





21
168
654
321
uuu
uuu
câu 13 : CMR với mọi cấp số nhân với công bội 1q ta có :
nn
nn
nn
n
SS
SS
SS
S
23
2
2 



câu 14 : Cho cấp số nhân a, b, c, d. Chứng minh :  2222
)()()( dabdaccb 
câu 15 : Cho tam giác ABC có 3 góc A,B,C lập thành cấp số nhân có công bội q = 2.
Chứng minh rằng : cba hhh  ( cba hhh ,, là các đường cao kẻ từ A, B, C)
câu 16 : Tìm một cấp số nhân có 4 số hạng đầu thỏa mãn hệ thức :





85
15
2
4
2
3
2
2
2
1
4321
uuuu
uuuu
câu 17 : Dãy  nu xác định như sau :





 11
21
23
3,2
nnn uuu
uu
hãy xác định số hạng tổng
quát nu của dãy số trên. Tính tổng nuuu  ...21
câu 18 : Tính tổng : 
7
7..77...777777
ôsn
S


câu 19 : Cho x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình : 032
 axx và x3 , x4 là hai
nghiệm của phương trình : 0122
 bxx . Biết x1 , x2 , x3 , x4 lập thành cấp số nhân.
Tìm a, b
câu 20 : Giả sử  nu là cấp số cộng có tính chất : nm SS  với nm 
Chứng minh rằng : 0nmS

câu 21 : Cho cấp số cộng  nu trong đó niui ,1,0 
nnn uu
n
uuuuuu 113221
11
...
11 


câu 22 : Giả sử  nu là cấp số nhân. Trong đó niui ,1,0 
Biết rằng :  nuuuu ...321

nuuuu
1
...
111
321
Chứng minh rằng : n
n
nuuuu


...... 321
câu 23 : Cho dãy số  nu : với
c
ban
un

 (a, b, c là các hệ số và c 0).
Chứng minh rằng  nu là một cấp số cộng
câu 24 : Cho dãy số  nu định bởi :  *
1
2
1
1
Nn
u
u
u
u
n
n
n










Đặt
n
n
n
u
u
v
1
 . Chứng minh rằng  nu là một cấp số cộng
câu 25 : Chứng minh rằng 3 số a, b, c lập thành cấp số cộng thì 3 số :
)();();( 222222
bcbccacababa  theo thứ tự đó tạo thành cấp số cộng.
câu 26 : Cho dãy số  nu định bởi :  *
5
8
1
1
1
Nnu
u
u
n
n









1. Xác định số hạng tổng quát của dãy số  nu
2. Chứng minh rằng dãy số  nv được định bởi 8 nn uv là cấp số nhân
câu 27 : xác định cấp số nhân biết rằng cấp số nhân đó có 5 số hạng,công bội bằng số
hạng thứ nhất ,hiệu số hạng thứ hai và số hạng đầu bằng 48

câu 28 : Cho cấp số nhân  nu thỏa mã 1042  uu và 21531  uuu .Tìm số
hạng đầu tiên và công bội
câu 29 : Xác định cấp số nhân gồm bốn số hạng. Biết rằng tích các số hạng bằng 210
và
hiệu của số hạng thứ ba và số hạng thứ hai là bằng 4.
câu 30 : Cho một dãy gồm 4 số nguyên.Biết rằng ba số hạng đầu lập thành một cấp số
cộng ,ba số hạng cuối lập thành một cấp số nhân..Tổng số hạng đầu và cuối là 37,còn
tổng hai số hạng giữa là 36.Tìm 4 số ấy.
câu 31 : Ba số dương mà tổng là 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số
nhân,hoặc là số hạng thứ nhất ,thứ tư và thứ hai mươi lăm của một cấp số cộng .Tìm ba
số ấy.
câu 32 : Ba số có tổng là 15 lập thành một cấp số cộng .Nếu lần lượt thêm 1,1,4 vào
chúng thì ta được một cấp số nhân.Tìm cấp số cộng ấy.

DÃY SỐ - CẤP SỐ

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to DÃY SỐ - CẤP SỐ

More from DANAMATH

Recently uploaded

DÃY SỐ - CẤP SỐ