www.toanhocdanang.com Phone: 0935334225 https://www.facebook.com/ToanHocPhoThongDaNang

1. HÌNH HỌC
11
GV: PHAN NHẬT NAM
PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
AI(-1; 0)
O
D(1; 0)
 1;C x y
 ;B x y
x
y

2. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 2 www.toanhocdanang.com
PHÉP QUAY
A. Cơ sở lí thuyết :
1. Định nghĩa :Ký hiệu 
IQ là phép quay tâm I với góc quay  .
   ,
'
! '
( , ')
I
IM IM
Q M M
góc LG IM IM



    

 
Ký hiệu : ')( MMQI 
 Phép quay hoàn toàn xác định khi biết tâm quay (điểm cố định ) và góc quay
(góc không đổi)
 Chiều dương của phép quay trùng với chiều dương của đường tròn lương
giác.
Nhận xét :Cho phép quay 
IQ
 Nếu  2k thì phép quay 
IQ là một phép đồng nhất
 Nếu  )12(  k thì phép quay 
IQ là một phép đối xứng tâm.
2. Biểu thức tọa độ :: Cho điểm O(0 ; 0) và góc  . Khi đó ta có phép quay 
IQ :

IQ : M(x ; y) M’(x’ ; y’)
Khi đó tọa độ của ảnh M’ được xác định theo công thức







cossin'
sincos'
yxy
yxx
3. Tính chất của phép quay :
 Định lý : Phép quay bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ (phép quay là phép
dời hình)
 Hệ quả :
i. Phép quay biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi
thứ tự của chúng.
ii. Phép quay biến :
 Đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó.
 Biến đa giác thành đa giác bằng đa giác đã cho.
 Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính bằng bán kính đường tròn đã
cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm đường tròn gốc}.
B. Các dạng toán thường gặp :
I. Bài toán 1 : Cho góc  cố định và điểm A(x, y) tìm tọa độ của điểm A’ là ảnh của A qua
phép quay tâm O(gốc tọa độ) và góc quay 
Cách giải :
 Gọi : ),(1 OxtiaOA và ),'(2 OxtiaOA
 Khi đó ta có :
( ; )A x y
'( ', ')A x y
x
y
O
1
2


3. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 3 www.toanhocdanang.com

y
x
x
y
 11 cot,tan 
















1
1
1
1
sin
cos
sin.
cos.




y
OA
x
OA
OAy
OAx và















2
2
2
2
sin
'
'
cos
'
'
sin'.'
cos'.'




y
OA
x
OA
OAy
OAx































1
1
1
1
11
1112
sin
)sin(
'
cos
)cos(
'
sin)sin(
'
cos)cos(
'
'
')(






yy
xx
xy
xx
OAOA
AAQI



















cossin'
sincos'
)cossin('
)sin(cos'
yxy
yxx
y
x
yy
x
y
xx
 Vậy )cossin;sincos('')( 
yxyxAAAQI 
Chú ý : với tâm quay là điểm tùy ý I(a, b)  O Ta có thể đưa về bài toán trên bằng cách
thực hiện
phép dời trục : Oxy IXY công thức tọa độ của phep dời trục





byY
axX
II. Bài toán 2 :Cho điểm điểm I(a ; b) , góc  và hình (H) có phương trình 0),( yxf tìm
phương trình ảnh (H’) của hình (H) qua phép quay 
IQ :
Phương pháp :
 Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .
 Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép quay tâm I góc quay  . Sử dụng bài toán 1 để
tìm tọa độ M theo x’ , y’ và a, b , 
 0)';'()(  yxgHM
 (H’) là ảnh của (H) qua phép quay 
IQ  (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’
0);(':)'(  yxfH
ĐB :
i. Nếu (H) là đường thẳng ta có thể thực hiện như sau.
 Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (H) .
 Sử dụng bài toán 1 ta có tọa độ của )cossin;sincos(' 0000  yxyxM  và
)cossin;sincos(' 1111  yxyxM  là ảnh của M và N qua phép quay 
IQ

4. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 4 www.toanhocdanang.com
 Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’




cos)(sin)(
)cossin(
sin)(cos)(
)sincos(
:)'(
1101
00
0101
00
yyxx
yxy
yyxx
yxx
d






  ')( AAQI

ii. Nếu (H) là đường tròn ta có thể thực hiện như sau.
 Xác định tâm O(x0 ; y0) và bán kính R của đường tròn (H).
 Sử dụng bài toán 1 ta có tâm )cossin;sincos(' 0000  yxyxO  là ảnh của O
qua phép quay 
IQ .
 Đường tròn (C’) {là ảnh của (C) qua phép phép quay 
IQ } có tâm là
)cossin;sincos(' 0000  yxyxO  và bán kính R
    22
00
2
00 )cossin()sincos(:)'( RyxyyxxC  
III. Chứng minh các tính chất hình học và tính các yếu tố trong một hình :
Phương pháp :
 Từ giả thuyết chọn một điểm I cố định phù hợp để xây dựng tâm quay và tìm một góc
 không đổi để làm làm góc quay.
 Thực hiện phép quay 
IQ vừa tìm ở trên.
 Dùng tính chất của phép quay 
IQ để chứng minh các yếu tố hình học hoặc xác định
các tính chất của hình.
IV. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước :(quỷ tích)
 Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho
 




)(, constIMIE
IMIE

.
 Xác định hình (H) là quỷ tích của E.
 Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép quay 
IQ .
V. Dựng hình :
 (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định và điểm I cố định cho trước sao cho khi
thực hiện phép quay 
IQ ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định tại điểm M
cần dựng.
 Thực hiện các phép quay 
IQ để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần dựng .
VI. Chứng tỏ một phép biến hình f là phép quay 
IQ .
 Từ giả thuyết tìm điểm I cố định và góc  không đổi .
 Chứng tỏ với mọi điểm M qua phép biến hình f cho ra M’ thì ta đều có
 




',
'
IMIM
IMIM

5. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 5 www.toanhocdanang.com
C. Các ví dụ minh họa :
Ví dụ 1:Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x; y). Tìm M’ là ảnh của M qua phép quay ( , )OQ 
Áp dụng :
a. Tìm M’ là ảnh của M(2; 2) qua phép quay 0
( ,45 )O
Q
b. Tìm ảnh của đường tròn  
2 2
( ): 1 4C x y   qua phép quay 0
( ,60 )O
Q
HD:Đặt : 2 2
r OM x y   , góc lượng giác ,Ox OM  . Khi đó ta có:
cos
sin
x r
y r





( , ) : '( '; ')OQ M M x y  có
' ' cos( ) cos sin
( , ') ' sin( ) sin cos
OM OM r x r x y
Ox OM x r x y
   
     
      
 
      
Vậy điểm cần tìm là: '( cos sin ; sin cos )M x y x y    
a. Ta có: 2 2r OM  , Gọi  ,Ox OM  khi đó (2 2 cos ; 2 2sin )M  
0
( ,45 )
: '( '; ')O
Q M M x y có
0 0 0
0 0 0 0
' cos( 45 ) cos45 sin 45 0'
( , ') 45 ' sin( 45 ) sin 45 cos45 2 2
M M
M M
x r x yOM OM r
Ox OM x r x y

 
       
 
       
Vậy    0
( ,45 )
(2 ; 2) ' 0; 2 2O
Q M M
b. (C) có tâm I(1;0) và bán kính R = 2 .
Tương tự như trên ta có: 0
( ,60 )
'O
Q I I
0 0
'
0 0
'
1
cos60 sin60
1 32
' ;
2 23
sin60 cos60
2
I I I
I I I
x x y
I
y x y

    
     
    

Gọi  0
( ,60 )
( ') ( )O
C Q C  (C’) có tâm I’ bà bán kính R = 2
22
1 3
( '): 4
2 2
C x y
  
           
Ví dụ 2:( Bài 34 - tr10 - BTHH11NC) Cho đường thẳng a và một điểm G không nằm trên a .
Với mỗi điểm A nằm trên a ta dựng tam giác đều ABC có tâm là G. Tìm quỹ tích hai điểm B
và C khi A chạy trên a?
Hướng Dẩn giải:
Vẽ hình . Từ hình vẽ và tính chất của tam giác đều ta thấy góc 0
120AGC AGB    .
Như vậy phép quay tâm G với góc quay 0
120  biến A thành C và biến A thành B .
Nhưng A chạy trên d vì thế B và C chạy trên đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d

6. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 6 www.toanhocdanang.com
qua phép quay  0
,120G
Q .
Ví dụ 3:( Bài toán 1-tr17-HH11NC) Cho hai tam giác đều OAB và OA’B’ . Gọi C và D
lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng AA’ và BB’. Chứng minh OCD là tam giác đều ?
Hướng Dẩn giải:
Xét phép quay tâm O với góc quay bằng góc lượng giác ( OA,OB)= 0
60 . Rõ ràng A biến
thành B và A’ biến thành B’
vì thế cho nên phép quay đã biến đoạn thẳng AA’ thành đoạn thẳng BB’ .
Từ đó suy ra phép quay đã biến C thành D , do đó OC=OD .
Vì góc quay bằng 0
60 cho nên tam giác cân OCD là tam giác đều .
Ví dụ 4: ( Bài 43-tr11-BTHH11NC) Về phía ngoài của tam giác ABC vẽ các hình vuông
BCMN và ACPQ có tâm là O và O’ .
a. Chứng minh rằng khi cố định hai điểm A,B và cho C thay đổi thì đường thẳng NQ
luôn đi qua một điểm cố định .
b. Gọi I là trung điểm của AB . Chứng minh rằng IOO’ là tam giác vuông cân
Hướng Dẩn giải:
a. Vẽ hình theo giả thiết đã cho . Từ hình vẽ , giải cho học sinh bài toán phụ :
Cho hai điểm A,B cố dịnh , với mỗi điểm M và với hai phép quay tâm A , tâm B có cùng
góc quay thì phép hợp của hai phép quay là một phép đối xứng mà tâm đối xứng là đỉnh
góc vuông của tam giác vuông cân OAB (O là tâm đối xứng).
Như vậy :    , ,
: :A B
Q C N Q C Q NQ    đi qua tâm đối xứng H được xác định bằng
cách dựng tam giác vuông cân HAB
b. Tương tự như trên : ': ; :O OQ C B Q C A AB   đi qua tâm đối xứng I được xác định
bằng tam giác vuông cân OO’I ( với I là đỉnh của góc vuông ). Như vậy tam giác O’OI là
tam giác vuông cân
Bài tập áp dụng:

7. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 7 www.toanhocdanang.com
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d: 2x – y + 1 = 0. Tìm ảnh của đường
thẳng d qua
phép quay tâm O và góc quay 900
.
ĐS: ': 2 1 0d x y  
Bài 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(3; 4). Hãy tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A
qua phép quay tâm O góc quay 900
.
ĐS: A’(- 4 ; 3)
Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy. Tìm phép quay biến điểm A(-1; 5) thành điểm B(5; 1)
HD: Ta có: ( 1;5)OA  

và (5;1)OB 

 
 0
( ,90 )0
2626
, 90. 0
O
OA OBOA OB
B Q A
OA OBOAOB OA OB
     
    
    
  
Bài 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A(4; 1). Hãy tìm tọa độ điểm A’ là ảnh của A
qua phép quay tâm O góc quay - 900
.
HD: Gọi A’(a, b) ta có: (4 ;1)OA 

, ' ( ; )OA a b

Vì
   
 0
2 2 2 2
0; 90
' ' 14 1
'
, ' 90 4. ' 0 3 4 0O
OA OA OA OA aa b
A Q A
OA OA bOAOA a b
        
       
       
    hay 1
4
a
b
 


(1; 4)N  hay ( 1; 4)N 
Thử lại điều kiện   0
, ' 90OA OA  
 
ta thấy (1; 4)N  thỏa mãn.
Bài 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2
( ):( 3) ( 2) 4C x y    . Tìm (C’) là ảnh
của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 900
.
HD: Gọi I’ là ảnh của I qua  0
,90O
Q . Khi đó ta có
   0
,90
'( 2;3)O
Q I I  . Do đó
2 2
( '):( 2) ( 3) 4C x y   
Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn 2 2
( ):( 2) ( 2 3) 5C x y    . Tìm (C’) là ảnh
của (C) qua phép quay tâm O, góc quay 600
.
HD: Gọi I’ là ảnh của I qua  0
,60O
Q . Khi đó ta có
   0
,60
'( 2;2 3)O
Q I I  .
Do đó 2 2
( '):( 2) ( 2 3) 5C x y   
Bài 7. Tìm ảnh của các điểm A(2; 3), B(-2 ; 3), C(0 ; 6), D(4 ; -3) qua phép đối xứng tâm O góc
quay  sau:
a. 0
90  b) 0
90   c) 0
180  d) 0
60 
Bài 8. Tìm ảnh của đường thẳng sau qua phép quay tâm O góc quay 900
:
a. d: 2x – y = 0 b) x + y + 2 = 0 c) 2x + y – 4 = 0 d) y = 2
Bài 9. Tìm ảnh của các đường tròn sau qua phép quay tâm O góc quay -900
.
a. 2 2
( ):( 1) ( 1) 9C x y    b. 2 2
( ): ( 2) 4C x y  
c. 2 2
( ): 4 2 4 0C x y x y     d. 2 2
( ): 2 4 11 0C x y x y    
Bài 10.Cho tam giác đều ABC có tâm O . Tìm ảnh của tam giác ABC qua phép quay  0
; 120O
Q 
.

8. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 8 www.toanhocdanang.com
HD:
   00 ,120
:
, 120 O
OA OB
Q A B
OA OB



   . Tương tự ta cũng có:  0
,120
:O
Q B C và  0
,120
:O
Q C A
Bài 11. Cho hình vuông ABCD có tâm O. M là trung điểm của AB, N là trung điểm của OA.
Tìm ảnh của AMN qua phép quay  0
,90O
Q .
HD: Gọi M’ , N’ lần lượt là trung điểm của AD và OD ta có:
  00 ( ;90 )
:
, 90 O
OA OD
Q A D
OA OD



  
Tương tự 0
( ;90 )
: 'O
Q M M và 0
( ;90 )
: 'O
Q N N
Bài 12. Cho lục giác đều ABCDEF (ký hiệu các đỉnh theo chiều dương) Gọi O là tâm của
đường tròn ngoại tiếp của nó. I là trung điểm AB.
a. Tìm ảnh của tam giác AIF qua phép quay 0
( ,120 )O
Q
b. Tìm ảnh của tam giác AOF qua phép quay 0
( ,60 )E
Q
HD:a.
  00 ( ,120 )
:
, 120 O
OA OC
Q A C
OA OC



   tương tự : 0
( ,120 )
:O
Q B D , 0
( ,120 )
:O
Q F B
0 0
( ,120 ) ( ,120 )
( ) :O O
CD Q AB Q I J    (với J là trung điểm BD).
Do đó :  0
( ,120 )O
CJB Q AIF  
b. ĐS:  0
,60
:E
Q AOF CDO  
Bài 13. Cho ba điểm A, B, C theo thứ tự trên thẳng hàng. Dựng hai tam giác đều ABE và BCF
cùng một phía .Gọi M, N lần lượt là trung điểm AF và CE. Chứng minh rằng BMN là một
tam giác đều.
HD:
   00 , 60
:
, 60 B
BA BE
Q A E
BA BE 


 
   tương tự :  0
, 60
:B
Q F C

     0 0 0, 60 , 60
: :
, 60B B
BM BN
Q AF EC Q M N
BM BN 

    
 
  BMN là tam giác đều
Bài 14. Cho nữa đường tròn tâm O đường kính BC. Điểm A chạy trên nữa đường tròn đó. Dựng
ở phía ngoài của tam giác ABC một hình vuông ABEF. Tìm quỷ tích điểm E.
HD: Xét phép quay  0
,60B
Q
Bài 15.Cho đường thẳng d và điểm O cố định không thuộc d, M là điểm di động trên d. Hãy xác
định quỷ tích của M sao cho OMN là một tam giác đều.
HD: Xét phép quay  0
,60O
Q ,  0
, 60O
Q 

9. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 9 www.toanhocdanang.com
Bài 16. Cho hai đường tròn (O,R) và (O’,R) cắt nhau tại A và B. Từ điểm I cố định kẻ các
tuyến IMN với (O), MB và NB cắt (O’) tại M’ và N’. Chứng minh rằng M’N’ luôn đi qua
điểm cố định.
HD: Đặt:  , 'AO AO  .  ,
: 'A
Q I I  I’ cố định
mà  ,
: ' 'A
Q MN M N  do đó M’N’ qua I’ cố định
Bài 17. Cho hai hình vuông ABCD và BEFG. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AG và CE.
Chứng minh rằng BMN là một tam giác vuông cân
HD: Xét phép quay  0
,90B
Q
Bài 18.Cho tam giác ABC. Qua A dựng hai tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Gọi M là
trung điểm của BC và H là giao điểm của AM và EF. Chứng minh rằng AH là đường cao
của tam giác AEF.
HD: Gọi D là điểm đối xứng F qua A và K là trung điểm AE .
khi đó ta có:  0
,90
:A
Q M K AM AK  . Để ý AK là đường trung bình của DEF
Bài 19.Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 2 và có các đỉnh vẽ theo chiều dương. Gọi I là
tâm của ABCD. Trên cạnh BC lấy BJ = 1. Xác định phép biến hình biến AI

thành BJ

HD: Gọi O là giao điểm của trung trực AB và cung lớn AB .  0
,45
:O
Q AI BJ
 
Bài 20. Cho tam giác ABC. Dựng phía ngoài của tam giác các hình vuông BCIJ, ACMN,
ABEF. Gọi O, P, Q lần lượt là tâm đối xứng của chúng.
a. Gọi D là trung điểm của AB. Chứng minh rằng: DOP là tam giác vuông cân.
b. Chứng minh rằng AO PQ và AO = PQ
HD: a.  0
,90
:C
Q MB AI
b.  0
,90
:D
Q OA PQ
Bài 21.Cho tam giác ABC có các đỉnh kí hiệu theo chiều âm. Dựng phía ngoài tam giác đó các
hình vuông ABDE và BCKF. Gọi P là trung điểm AC, H là điểm đối xứng của D qua B, M
là trung điểm của đoạn FH. Chứng minh rằng DF  BP và DF = 2 BP
HD: Xét phép quay  0
,90
:B
Q BP BM . Để ý đến BM là đường trung bình của tam giác
HDF.
Bài 22. Cho tứ giác lồi ABCD. Phía ngoài dựng các tam giác đều ABM và CDP. Phía tring
dựng các tam giác đều BCN và ADK. Chứng minh MNPK là hình bình hành.
HD:  0
,60
:B
Q MN AC và  0
,60
:D
Q PK CA MN PK 
Lý luận tương tự ta cũng có: MK = PN
Bài 23.Cho tam giác ABC. Dựng ở ngoài của tam giác các tam giác đều BCA1, ACB1, ABC1.
Chứng minh AA1, BB1, CC1 đồng quy và có độ dài bằng nhau.
HD:Gọi 1 1I AA CC  . 0 1 1( ,60 )
:B
Q AA C C 0 0
1 1 1( , ) 60 60AA CC AIC   

10. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 10 www.toanhocdanang.com
Gọi 1E CC sao cho  0
60
IE IA
EIA
EIA

 

đều.
khi đó ta có :      0 1 1, 60
: , , , ,A
Q B I B C E C
 . Mà 1E CC 1I BB  .
Do đó AA1, BB1, CC1 đồng quy tại điểm I.
Bài 24. Chứng minh các đoạn nối tâm của các hình vuông dựng trên các cạnh của hình bình
hành về phía ngoài, hợp thành một hình vuông.
HD: Xét phép quay :  0
2
3 1, 90
:I
Q I I
 ;  0
4
3 1,90
:I
Q I I
Bài 25.Cho tam giác ABC. Qua A dựng hai tam giác ABE và ACF vuông cân tại A. Gọi I, M, J
lần lượt là trung điểm của EB, BC, CF. Chứng minh IMJ là tam giác vuông cân.
HD: Xét phép quay :  0
,90
:A
Q EC BF .
Để ý MI và MJ lần lượt là các đường trung bình của EBC và FBC
Bài 26. Cho tam giác ABC . Dựng về phía ngoài của tam giác đó các hình vuông ABEF và
ACIK. Gọi M là trung điểm của BC. Chứng minh rằng AM vuông góc với FK và AM =
1
2
FK.
HD: Gọi ( )AD D B . Sau đó xét phép quay 0
( ,90 )A
Q
Bài 27.Cho tam giác đều ABC có tâm O. Gọi D, E lần lượt là các điểm thuộc các cạnh AB, BC
sao cho AD AE AB  . Chứng minh OD = OE và  0
120DOE  .
HD: Xét phép quay  0
,120O
Q .
Bài 28.Cho hình vuông ABCD và điểm M trên cạnh AB. Đường thẳng qua C vuông góc với
CM, cắt AB và AD tại E và F. Gọi N là giao điểm của CM và AD. Chứng minh rằng :
a. CM + CN = EF.
b. 2 2 2
1 1 1
CM CN AB
 
HD: a.
CBM CDF CM CF
CDN CBE CE CN
    
 
    
khi đó ta có phép quay  0
,90
:C
Q E N và  0
,90
:C
Q M F
b. Xét CNF ta có: 2 2 2
1 1 1
CN CF CD
  lại có CF = CM và CD = AB  (đpcm)
Bài 29. Cho tam giác ABC. Dựng về phía ngoài tam giác các hình vuông ABDE và ACIJ sao
cho C, D nằm khác phía so với AB. Chứng minh rằng giao điểm của BI và CD nằm trên
đường cao AH của tam giác ABC.
HD: Gọi O là tâm của ACIJ và K thuộc tia đối của tia AH sao cho AK = BC.
Khi đó ta dễ dàng chứng minh được
   00 ,90
:
, 90 O
OK OB
OAK OCB Q K B
OK OB

    

  
 0
,90
:O
Q KC BI CK BI    . Lý luận tương tự ta cúng có : BK CD

11. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 11 www.toanhocdanang.com
Do đó AH, BI, CD đồng quy tại trực tâm của tam giác KBC.
------------------------------------------Hết--------------------------------------
PHÉP VỊ TỰ
A. Cơ sở lý thuyết :
1. Định nghĩa : Cho điểm I cố định và số thực k không đổi. Khi đó ta có:
 : ! ' : ' .f M M IM k IM f   
 
 là phép vị tự tâm I tỷ số k.
M’ là ảnh của M qua phép vị tự tâm I tỷ số k.
Ký hiệu :
k
IV : phép vị tự tâm I tỷ số k.
)(' MVM k
I hoặc k
IV : M M’
 Phép vị tự hoàn toàn xác định nếu ta biết được một điểm I cố định (tâm vị tự) và một
số k không đổi (tỷ số vị tự).
 Nếu k = 1 thì
k
IV là phép đồng nhất.
 Nếu k = - 1 thì
k
IV là phép đối xứng tâm I.
 Nếu 1k và )(MVM k
I thì MI 
2. Biểu thức tọa độ : Cho phép vị tự
k
IV tâm I(a ; b) và tỷ số 0k khi đó ta có :
   : ; ’ ’ ; ’k
IV M x y M x y có tọa độ được xác định theo công thức





bkkyy
akkxx
)1('
)1('
3. Tính chất của phép vị tự :
Định lý : xét phép vị tự
k
IV khi đó ta có :
k
IV : M M’
N N’  MNkNM .'' 
Hệ quả :
 Phép vị tự biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng và không thay đổi
thứ tự của chúng.
 Phép vị tự
k
IV :
 Biến đa giác thành đa giác đồng dạng với đa giác đã cho theo tỷ số k .
 Biến đường tròn thành đường tròn có bán kính là RkR ' {trong đó R là bán
kính đường tròn đã cho. {khi đó ta chỉ cần xác định ảnh của tâm}.

12. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 12 www.toanhocdanang.com
4. Tâm vị tự của hai đường tròn : Cho hai đường tròn : C(O,R) và C’(O’,R’)
Gọi OM và O’M’ lần lượt là 2 bán kính của (C), (C’) sao cho 2 vectơ '', MOOM cùng chiều
 Nếu IMMOO  '' thì I là tâm của phép vị tự R
R
IV
'
{I là tâm vị tự ngoài}
 Nếu IMMOO  '' 1 { )(1 MDM O } thì I là tâm của phép vị tự R
R
IV
'

{I là tâm vị tự trong}
 Nếu 'OO  : Khi đó R
R
OV
'
và R
R
OV
'

Đều biến đường tròn (O,R) thành đường tròn (O’,R’)
B. Các dạng toán thường gặp :
I. Các bài toán tọa độ :
1. Xác định phương trình ảnh d’ của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(a;b) và tỷ số k :
Phương pháp 1:
 Chọn điểm M(x0 ; y0) cụ thể thuộc đường thẳng (d) và vectơ pháp tuyến );( BAn
của đường thẳng d.
 Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x0’ ; y0’) là ảnh của M qua phép vị tự
k
IV
 Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua M’ và có vectơ pháp tuyến );( BAn
0)'()'(:)'( 00  yyBxxAd
Phương pháp 2:
 Chọn hai điểm M(x0 ; y0) , N(x1 ; y1) cụ thể thuộc đường thẳng (d) .
 Dùng biểu thức tọa độ để tìm M’(x0’ ; y0’) và N’(x1’ ; y1’) là ảnh của M và N qua
phép vị tự
k
IV
 Đường thẳng (d’) là đường thẳng đi qua 2 điểm M’ và N’
''
'
''
'
:)'(
10
1
10
1
yy
yy
xx
xx
d






2. Xác định phương trình ảnh (C’) của đường tròn (C) qua phép vị tự
k
IV :
 Xác định tâm O(x0 ; y0) và bán kính R của đường tròn (C).
 Dùng biểu thức tọa độ để tìm tọa độ ảnh O’(x0’ ; y0’) của tâm O qua phép vị tự
k
IV
 Đường tròn (C’) là đường tròn có tâm O’ và bán kính Rk :
    222
0
2
0 '':)'( RkyyxxC 
3. Xác định phương trình ảnh (H’) của đường (H) qua phép vị tự
k
IV :
 Gọi M(x ; y) là điểm tùy ý trên đường (H): 0),( yxf .
 Gọi M’(x’ ; y’) là ảnh của M qua phép vị tự
k
IV :

13. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 13 www.toanhocdanang.com
)
'
;
'
(
'
'
b
k
by
a
k
ax
M
b
k
by
y
a
k
ax
x


















 0)
'
;
'
()( 



 b
k
by
a
k
ax
fHM
 (H’) là ảnh của (H) qua phép vị tự
k
IV  (H’) là tập hợp tất cả các điểm M’
0);(:)'( 



 b
k
by
a
k
ax
fH
II. Các bài toán hình học cổ điển :
1. Chứng minh các yếu tố hình học :
 Từ giả thuyết xác định một điểm I cố định phù hợp để xây dựng tâm vị tự, số k không
đổi làm tỷ số vị tự.
 Xác định một phép vị tự phù hợp theo tâm I và tỷ số k.
 Dùng tính chất hoặc biểu thức tọa độ của phép vị tự để chứng minh các yếu tố trong
hình hoặc xác định các tính chất của hình.
2. Tìm tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn một tính chất nào đó cho trước :(quỷ tích)
 Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho IEkIM . (I là điểm cố định và k là số
không đổi – Tức là có được ba điểm thẳng hàng và biết được tỷ số độ dài của chúng.
Trong đó có hai điểm thay đổi và một điểm cố định).
 Xác định hình (H) là quỷ tích của E.
 Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) - ảnh của (H) qua phép vị tự tâm I tỷ số k.
3. Dựng hình :
 (Dựng điểm M) Tìm một hình (H) cố định ,điểm I cố định và số k không đổi sao cho
khi thực hiện phép vị tự tâm I tỷ số k ta có được ảnh là hình (H’) giao với (C) cố định
tại điểm M cần dựng.
 Thực hiện phép tịnh tiến theo vectơ v để tìm các điểm còn lại từ đó ta có hình cần
dựng .
C. Các ví dụ minh họa:
Ví dụ 1: Cho 2 đường tròn (C) : (x + 1)2
+ (y – 1)2
= 4 và (C’) : x2
+ y2
– 4x – 2y – 4 = 0. Tìm tâm
vị tự và tỉ số vị tự
(C) có tâm H(-1; 1) và bán kính R = 2.
(C’) có tâm H’(-1; 1) và bán kính R’ = 3.
Gọi I là tâ vị tự của (C) và (C’) khi đó ta có:
3
,
2
3
: ' '
2I
V H H IH IH I 
 
 
  
 
 (tâm vị tự ngoài)

14. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 14 www.toanhocdanang.com
3
,
2
3
: ' '
2I
V H H IH IH I 
 
 
   
 
 (tâm vị tự trong)
Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B . Một cát tuyến di động MAN
cắt đường tròn (O) tại A, M và cắt (O’) tại A, N. Tìm tập hợp trung điểm I của MN.
Giải:
Gọi P là trung điểm OO’. Hạ OE và O’G , PH vuông góc với MN.
Ta có H nhìn đoạn AP cố định dưới một góc vuông
 tập hợp các điểm của H là đường tròn (C) có đường kính AP
I là trung điểm MN  1
2
2
AI AM AN AE AG AH    
     
 ,2
:A
V H I  và      ,2
: 'A
V C C
Do đó quỷ tích của điểm I là đường tròn      ,2
' A
C V C
D. Bài tập áp dụng:
Bài 1: Tìm ảnh của các điểm sau qua phép vị tự tâm I(-1; 3), tỷ số k = - 3 :
A(-1 ; 3) B(-3 ; 1) C(0; 5) D(3; 0) O(0; 0)
Bài 2: Cho phép vị tự tâm I tỷ số
1
2
k  biến M thành M’. Tìm tọa độ điểm I trong các trường hợp:
a. M(4; 6) và M’(-3 ; 5).
b. M(-1; 4) và M’(-3 ; -6).
c. M(2; 3) và M’(6 ; 1).
Bài 3: Tìm ảnh của đường thẳng d qua phép vị tự tâm I(1; 2), tỷ số k = 3 trong các tường hợp sau.
a. d: x + 2y – 5 = 0
b. d: x – 2y + 3 = 0
c. y – 5 = 0
Bài 4: Trong mặt phẳng tọa độ cho hai đường thẳng d: x – 2 y + 1 = 0 và d’: x – 2y + 4 = 0 và
điểm I(2; 1). Tìm số thực k sao cho phép vị tự tâm I tỷ số K biến d thành d’.
Bài 5: Tìm ảnh của các đường sau qua phép vị tự tâm I(1; 2), tỷ số k = 3.
a. 2 2
( ):( 1) ( 5) 4C x y   
.
A
O’
A
N
M
E
G
I
B
P
H

15. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 15 www.toanhocdanang.com
b.
2 2
( ): 1
9 4
x y
E  
c.
2 2
( ): 1
16 1
x y
H  
d. 2
( ): 2P y x
Bài 6: Tìm phép vị tự biến đường tròn 2 2
( ): 2 10 22 0C x y x y     thành đường
tròn 2 2
( '): 4C x y 
Bài 7: Cho tam giác ABC có trọng tâm G(2; 3). Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các
cạnh BC, AC, AB. Đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP có phương trình
là 2 2
( ):( 1) ( 1) 4C x y    . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC
HD: theo tính chất trọng tâm ta có:  , 2
2 :G
GM GA V M A
  
 

Từ đó ta có:    , 2 , 2
: :( ) ( ')G G
V MNP ABC V C C 
   
Bài 8: Cho tam giác ABC có điểm A(5; 1) và nội tiếp đường tròn 2 2
( ):( 2) ( 3) 25C x y    .
Trọng tâm G nằm trên đường thẳng d: x + 3y + 4 = 0 và độ dài cạnh BC bằng 8.
Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC.
HD: Gọi M là trung điểm của BC. Khi đó pitago ta có:
2
2
3
2
AB
IM R
 
   
 
(với I là tâm (C))
M chạy trên đường tròn 2 2
1( ):( 2) ( 3) 9C x y    .
 13 3
, ,
2 2
: ( ')
A A
V M G G C V C G   
   
   
    là giao điểm của (C’) và đường thẳng d
Bài 9: Cho tam giác ABC có trọng tâm G, trực tâm H và tâm đường tròn ngoại tiếp I .
Chứng minh ba điểm G, H, I thẳng hàng . Tỉnh tỷ số:
GH
GI
HD: GọiA’, B’, C’lần lượt là trung điểm BC, AC, AB .
Khi đó dể thấy được I là trực tâm của tam giác A’B’C’.

16. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 16 www.toanhocdanang.com
1 1
; ;
2 2
1
: ' ' ' :
2G G
V ABC A B C V H I GI GH   
    
   
       
 
Bài 10: Cho tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (C) . Biết BC cố định và A thay đổi. Tìm
quỷ tích trọng tâm G của tam giác ABC.
HD: Gọi I là trung điểm của BC. Xét phép vị tự 1
,
3
I
V 
 
 
.
Bài 11: Cho đường tròn (O) có đường kính AB cố định. Gọi C là điểm đối xứng của A qua B, PQ
là đường kính thay đổi của (O). Đường thẳng CQ cắt PA và PB lần lượt tại M và N. Tìm quỷ
tích của M và N khi PQ thay đổi.
HD: Xét các phép vị tự  ,2
:C
V Q M và 1
,
2
:
C
V Q N 
 
 

Bài 12: Cho đường tròn (O,R) đường kính AB. Một đường tròn (O’) tiếp xúc với (O,R) và
đoạn AB lần lượt tại C và D, đường thẳng CD cắt đường tròn (O) tại I chứng minh
rằng  AI BI
HD: Xét phép vị tự
,
'
:R
C
R
V D I 
 
 
 (Vì
,
'
:( ') ( )R
C
R
V O O 
 
 
 và C, I, D thẳng hàng )
Bài 13: Cho Cho tam giác ABC .Dựng hình vuông MNPQ nội tiếp trong tam giác ABC.
HD: Dựng hình vuông BCDE bên ngoài tam giác ABC.
Xét phép vị tự :  ,A k
V trong đó
AQ
k
AE
 với Q là giao điểm của AE và BC.
Bài 14: Cho đường tròn (O,R)và đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn (O).
Từ một điểm M tùy ý trên d, kẻ hai tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn (O).
a. Chứng minh PQ luôn đi qua một điểm cố định.
b. Tìm tập hợp trung điểm K của PQ, Tâm O’ của đường tròn ngoại tiếp tam giác MNQ và
trực tâm H của tam giác MPQ.
HD: a. KẻOI d , OI cắt PQ tại N. Xét phương trình đường tròn ngoại tiếp
MPOQI và đường tròn (O).xét phương tích 2
.OI ON r N 
 
cố định.
b. Tập hợp các điểm K là đường tròn (O1) đường kinh NO.
Tập hợp các điểm O’ là đường trung trực đoạn OI.

17. PHÉP QUAY & PHÉP VỊ TỰ
GV:PHAN NHẬT NAM – 0935 334 225 17 www.toanhocdanang.com
Tập hợp các điểm H là đường tròn (O2) = ( ,2)OV
Bài 15: Cho điểm A ở ngoài đường tròn (O,R) và đường kính MN quay xung quanh tâm O.
AM và AN cắt đường tròn (O) tại B và C.
a. Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN luôn đi qua điểm cố định khác A.
b. Chứng minh BC luôn đi qua một điểm cố định.
c. Tìm tập hợp trung điểm I của BC và trọng tâm G của tam giác ABC.
HD: a. AO cắt (AMN) tại D. 2
. .OAOD OM ON R D   
   
cố định.
b. AO cắt BC tại E. 2 2
.AE AD AO R E  
 
cố định.
c. Tập hợp các điểm I là đường tròn (O1) đường kính EO.
Tập hợp các điểm G là đường tròn    2 12
,
3
A
O V O 
 
 

Bài 16: Cho đường tròn (O,R), đường kính AB. Một đường thẳng d vuông góc với AB tại
một điểm C nằm ngoài đường tròn. Một điểm M chạy trên đường tròn (O). AM cắt đường
thẳng d tại D, CM cắt (O) tại N và BD cắt (O) tại E.
a. Chứng minh AM.AD không phụ thuộc vào vị trí của điểm M.
b. Tứ giác CDNE là hình gì ?
c. Tìm tập hợp trọng tâm G của tam giác MAC.
HD: a. AM.AD = AB.AC không đổi.
b. NE // CD  CDNE là hình thang.
c. Gọi I là trung điểm AC. Kẻ GK // MO. Tập hợp các điểm G là đường tròn
,
3
R
K
 
 
 
là ảnh của đường tròn (O,R) qua phép 1
,
3
I
V 
 
 
.