Pt vô tỉ, pp biến đổi tương đương

1. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
1
A. PT Có dấu giá trị tuyệt đối
Lý thuyết

























BA
A
BA
A
BA
B
BA
BABA
0
0
0
2
Bài 1. Giải phương trình:
1) x 1 2 ; 2) 1 2x x 1 3) 2
x 3x 2 2 4) 3x 2 x 2
Bài 2. Giải và biện luận phương trình sau
2
1) 3x m x 1
2) x 4x 2 x m 2 m 0
PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ
1. PP nâng lũy thừa
1.1. Dạng cơ bản
Dạng 1.    
 
   
0f x
f x g x
f x g x

  

Dạng 2.    
 
   2
0g x
f x g x
f x g x
 
  

Dạng 3.        33 f x g x f x g x  
Các bước giải
Bước 1. Đặt điều kiện (Nếu căn bậc 3 thì ta không cần đặt điều kiện)
Bước 2. Bình phương hai vế
Bước 3. Giải ra nghiệm, so sánh với điều kiện để loại đi nghiệm không thỏa mãn
Bước 4. Thử nghiệm vào pt ban đầu, nếu thỏa mãn thì ta Kết luận
Bài 3. Giải phương trình:
1) 2
1 1x x   2) 2 3 0x x   Đs 1) x = 1; 2) x = 3
3) 2
2 3 4x x x   4) 2
3 9 1 2x x x   
Bài 4. Giải phương trình:
1) 3 6 3x x    2) 3 2 1 3x x    Đs 1) x = -3;6; 2) x = 2

2. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
2
3) 3 2 1x x    4) 9 5 2 4x x    Đs 3) x = 1; 4) x = 0
Bài 5. Giải phương trình:
1) 3
3 1 4x   2) 3
3 2 1 0x   Đs 1) x = 21; 2) x = -13
Bài 6. Giải phương trình:
1) 1 4 4 25 25 2 0x x x       2) 2 2 2
9 18 2 2 16 32 3 0x x x      
Đs 1) x = 2; 7x  
Bài 7. Giải phương trình:
2
( 2) 4 2x x x x    Đs 4x 
1.2. Dạng hiệu      f x g x h x  ta chuyển về      f x g x h x  rồi bình phương
Bài 8. Giải phương trình:
1) 3 4 2 1 3x x x     Đs
1
2
x 
2) 3 4 2 4x x x    Đs vô nghiệm
3) 3 7 2 8x x x     ; 4) 2 3 5 2x x x    
Bài 9. * Giải phương trình:
1) 1 4 9 0x x x x       . 2) 1 16 4 9x x x x      
Đs 1) x = 0; 2) x = 0
1.3. Phương trình dạng:        f x g x h x k x   ta lại chuyển thành dạng
       f x h x k x g x   sau đó bình phương, thì giải sẽ đơn giản hơn
Bài 10. Giải phương trình: 3 3 1 2 2 2x x x x     
Bài giải Điều kiện:
3
1
3
0
1
x
x
x
x
 

  

 


0x 
Nếu bình phương luôn 2 vế phương trình thì sẽ như thế nào? Rất phức tạp
Nếu chuyển vế ta có:
3 3 1 2 2 2x x x x      3 1 2 2 4 3x x x x      

3. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
3
   
2 2
3 1 2 2 4 3x x x x       (Bình phương hai vế - chú ý ta viết dấu suy ra)
2 2
6 8 2 4 12 1x x x x x       (phù hợp với điều kiện)
Thay vào pt ban đầu ta thấy thỏa mãn. Vậy x = 1
Bài 11. Giải phương trình
3
21
1 1 3
3
x
x x x x
x

      

Đs 1 3, 1 3x x   
Giải 2):
Điều kiện : 1x  
Ta có nhận xét :
3
21
. 3 1. 1
3
x
x x x x
x

    

, từ nhận xét này ta có lời giải như sau :
3
21
(2) 3 1 1
3
x
x x x x
x

       

Bình phương 2 vế ta được:
3
2 2 1 31
1 2 2 0
3 1 3
xx
x x x x
x x
  
        
  
Thử lại : 1 3, 1 3x x    là nghiệm
1.4. Phương trình xuất hiện nhân tử chung
Bài 12. Giải phương trình:
1) 2 2
( 3) 4 9x x x    ; 2)
2 2
( 3) 3 2 8 15x x x x x     
3)
2 2
( 4) 10 2 8x x x x     4)     2
1 2 2x x x x x   
Bài tự luyện
Bài 13. Giải phương trình:
1) 2 2 2
2 3x x x x x x     ; 2) 2 2 2
3 2 6 5 2 9 7x x x x x x       
3) 2 2 2
3 2 4 3 5 4x x x x x x       
Bài 14. Giải phương trình:
1)
2
3 2 1
3 2
x
x x
x
   

2)
2
4 3 1
4 3
x
x x
x
   


4. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
4
3)
2
1 2 1
1
x
x x
x

    

Đs x = 0;
2. Phương trình chứa căn thức bậc 3 dạng 3 3 3
A B C 
Mũ 3 hai vế của phương trình ta có:
 3 3 3 33 3
3 .A B C A B A B A B C       (*)
Thế 3 3 3
A B C  vào pt (*) ta được phương trình : 3
3 . .A B A BC C  
Bài 15. Giải phương trình 3 3
1 7 2x x   
HD lập phương 2 vế, đs x = -1; x = 7
Bài 16. Giải phương trình
1) 3 3 3
5 6 2 11x x x     ; 2) 3 3 3
2 1 1 3 1x x x     Đs 7
6
x 
4. Phương pháp đưa về bình phương trong căn
Biến đổi pt về dạng 2 2
( ) ( )A B C D m   
Bài 17. Giải phương trình:
1) 3 4 1 8 6 1 5x x x x       
2)        3 4 1 6 1 8 1x x x x
3) 2 2 2 1 2 3 4 2 1 1x x x x      
4) 2 3 2 5 2 2 5 2 2x x x x        Hướng dẫn: nhân 2 vào hai vế
Đs 1) 1 10x  ; 2) x = 5; x = 10 3) x = 13…; 4)
5
3
2
x 

5. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
5
5. Phương pháp biến đổi thành tích dạng đơn giản
   0au bv ab vu u b v a      
Đặc biệt a = b = 1 ta có dạng:   1 1 1 0u v vu u v      
Bài 18. Giải phương trình: 2
3 2 1 2 4 3x x x x x x      
Đk: 1x  
    
      
               
             
2
3 2 1 2 4 3 3 1 3 2 2 1 0
3 1 1 2 1 1 0 1 1 3 2 0
x x x x x x x x x x x x
x x x x x x x
    
  
    
1 1 0 0
(TMÑK)
13 2 0
x x
xx x
.
Bài 19. Đề thi chuyên Thái Bình 2013 – 2014
4 7 4 1 (7 )( 1) 1x x x x x       
Lời giải Đk: 1 7x 
Pt 4 7 4 1 (7 )( 1) 1x x x x x        
  1 7 1 4 0x x x      
4
17( )
x
x l

  
Đs x = 4
Bài tự luyện
Bài 20. Đề thi chuyên ngữ 2014 Giải phương trình: 2 2
2 7 3 ( 1)( 3)x x x x    
Bài 21. Giải phương trình
1) 2
10 21 3 3 2 7 6x x x x       ; 2) 2
8 15 3 3 2 5 6x x x x      
3) 2
2 1 ( 1) 0x x x x x x       4) 3 2 2 2
3 3 2 3 2 2x x x x x x x       
Bài 22. Giải các phương trình:
a)
2
x
3x 2 1 x
3x 2
. ĐS: x 1.
b) 2 2
x 3x 2 x 3 x 2 x 2x 3 . ĐS: x 2.
c) 2
x 3 2x x 1 2x x 4x 3 . x 0 x 1

6. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
6
d) 2 2 2
x 8x 15 x 2x 15 x 9x 18 . x 3
e) 2 2
2x 8x 6 x 1 2x 2 . ĐS: x 1.
g) 2
x x 2 2 x 2 2 x 1 . ĐS: x 3.
h) 2
x x 1 x x 1. x 0 x 1.
Bài 23. Giải phương trình:
1) 3 23 3
1 2 1 3 2x x x x       2) 3 244
1 1x x x x     ĐS1) x=0, 1; 2) x=0, 1.
Bài 24. Giải phương trình 3 2 1 6 4 (2 1)( 4) 7 0x x x x       
Bài 25. Giải phương trình: x x x x x2
2 3 1 3 2 2 5 3 16        .
Bài 26. Giải phương trình sau      2 3
5 2 1 1x x x x x
7. Biến đổi thành hiệu bình phương
Bài 27. Giải phương trình: 2
4x 2x 3 8x 1
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
3
2x 3 0 x
2
.
2 2
2
2 9 1 3 1
4x 6x 2x 3 2 2x 3 2x 2x 3
4 4 2 2
3 1 5 21
2x 2x 3 x2x 3 2x 1
2 2 4
3 1 2x 3 1 2x 3 172x 2x 3 x
2 2 4
.
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là
5 21 3 17
x x
4 4
Tự luyện
Bài 28. Giải phương trình
1)
4
3 4
3
x
x x
x
  

; 2) 2
2 3 9 4x x x    3)
2
7 4
4
2
x x
x
x
 


Đs 1) x = 1; 2)
5 97
1;
18
x
 
 ;
Bài 29. Giải phương trình

7. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
7
a) 4 3 10 3x x 2. ĐS: x 3.
Bài 30. Giải phương trình:  4 2
729 8 1 36x x   
1
x 2 2 82
9
8. Biến đổi thành tổng không âm
Bài 31. Giải phương trình: 2
4 x 1 x 5x 14
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: x 1.
2
x 5x 14 4 x 1 0
2
x 1 4 x 1 4 x 6x 9 0
2 2
2
x 1 2.2 x 1 2 x 3 0
2 2
x 1 2 x 3 0
x 1 2 0
x 3
x 3 0
.
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm phương trình là x 3.
Bài 32. Giải:     2 2 3 2
2 1 6 9 6 1 9 2 10 38 0x x x x x x x           
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: 2
x 1 9 x 0 1 x 3 .
2 2
3 2 2
x 1 2 x 1 1 9 x 6 9 x 9
x x 9x 9 6 x 1 9 x 9 0
22
2 2 2
x 1 1 9 x 3 x 1 9 x 6 x 1 9 x 9 0
222
2 2
x 1 1 9 x 3 x 1 9 x 3 0
2 2
x 1 1 9 x 3 x 1 9 x 3 0 x 0.

8. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
8
● So với điều kiện, phương trình có nghiệm duy nhất x 0.
Tự luyện
Bài 33. Giải phương trình: x 4 x 3 2 3 2x 11 x 1
Bài 34. Giải phương trình: 13 x 1 9 x 1 16x
5
x
4
Bài 35. Giải các phương trình:
a) 2
x x 6 4 1 3x . ĐS: x 1.
b) 4 2 2 2
x 2x x 2x 16 2x 6x 20 0 . ĐS: x 2.
c) 2 2
x 2 x 1 3x 1 2 2x 5x 2 8x 5. ĐS: x 1
d) 2
4x 12 x 1 4 x 5x 1 9 5x .
e)
1 1
x y 4 2 2x 1 2y 1
x y
. ĐS: x y 1
g) 2
2x x 3 x 2x x 2. ĐS: x 1.
9. Biến đổi thành tích dạng nâng cao
Chú ý:    ( )m ax b cx d ax b cx d      
Bài 36. D năm 2006 Giải phương trình: 2
2x 1 x 3x 1 0
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
1
x
2
.
Cách giải 1. Biến đổi đưa về phương trình tích số
2
2x 1 x x 2x 1 0
2
2
2x 1 x x 2x 1 0
2x 1 x x 2x 1 x 2x 1 0
x 2x 1 1 x 2x 1 0

9. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
9
2x 1 x
2x 1 1 x
22 2
1 x 0x 0
2x 1 x 2x 1 1 x
x 1 x 2 2 .
● So với điều kiện, nghiệm của phương trình là x 1 x 2 2 .
Cách giải 2. Biến đổi và nhân lượng liên hợp để đưa về phương trình tích số
2
2x 1 1 x 3x 2 0
2x 1 1 2x 1 1
x 1 x 2 0
2x 1 1
2 x 1
x 1 x 2 0
2x 1 1
2
x 1 x 2 0
2x 1 1
.
Đến đây, giải tiếp tục được kết quả x 1 x 2 2 .
Cách giải 3. Xem đây là dạng A B.
2
2x 1 x 3x 1
2
2
2
x 3x 1 0
2x 1 x 3x 1
4 3 2
3 5 3 5
x
2 2
x 6x 11x 8x 2 0
2
2
3 5 3 5
x
2 2
x 1 x 4x 2 0

10. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
10
3 5 3 5
x
2 2
x 1 x 2 2
x 1 x 2 2 .
Cách giải 4. Đặt ẩn số phụ
Đặt
2
t 1
t 2x 1 0 x
2
. Lúc đó: 4 2
t 4t 4t 1 0
2
2
x 1t 2x 1 1
t 1 t 2t 1 0
x 2 2t 2x 1 2 1
.
Bài 37. Giải phương trình: 2
x x 5 5
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: x 5 0 x 5.
2
x x 5 x x 5 0
2
2
x x 5 x x 5 0
x x 5 x x 5 x x 5 0
x x 5 x 1 x 5 0
x 5 x 1
x 5 x 1 2
2
x 0
x 0 1 21
1 x1 21 1 21x 5 x 2x x
2 2
.
2
x 1x 1 0 1 17
2 x1 17 1 17 2x 5 x 1 x x
2 2
.
● Kết hợp với điều kiện, nghiệm của phương trình là
1 21 1 17
x x
2 2
.

11. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
11
Bài 38. Giải phương trình:
2
2 x 5x 2
x x 2
2x 2
Bài giải tham khảo
● Điều kiện:
2
x x 2 0, x
x 1
2x 2 0
.
2 2
x 5x 2 2x 2 x x 2
2 2
x x 2 2x 2 x x 2 4x 0
2
2 2 2
x x 2 2x x x 2 2 x x 2 4x 0
2 2 2
x x 2 x x 2 2x 2 x x 2 2x 0
2 2
x x 2 2x x x 2 2 0
2
2
x x 2 2x x 1
x 2x x 2 2
.
Bài 39. Giải phương trình:    3 2 3 3
3 2 1 2 1x x x x      
3 3
3 3 3 33x 1 x 2 x 1 x 2 x 1 x 2 0
2 2
3 3 3 33x 1 x 2 x 1 2 x 1 x 2 x 2 0
2
3 3 3 3
x 1 x 2 x 1 x 2 0
3 3
3 3
x 1 x 2 3
x
2x 1 x 2
.
Bài 40. Giải phương trình: 2
2x 6x 10 5 x 2 x 1 0
Trích Đề thi thử Đại học lần 1 năm 2013 khối A, B, D – THPT Lê Hữu Trác 1
Bài giải tham khảo
● Điều kiện: x 1.

12. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
12
2
2 x 2 2 x 1 5 x 2 x 1 0
22
2 x 2 x 2 x 1 2 x 1 4 x 2 x 1 0
.
.
● So với điều kiện, phương trình có hai nghiệm: x 3 x 8 .
Bài tự luyện
Bài 41. Giải phương trình: 2 2
x 3 10 x x x 12 x 3
Bài 42. Giải phương trình: 2
x 2 7 x 2 x 1 x 8x 7 1
x 5
x 4
Bài 43. Giải phương trình: 2 6
x 3x 2 x 2 2x x 5
x
x 1 x 2
Bài 44. Giải phương trình: 2
x 2 x 1 x 1 x x x 0 x 2
Bài 45. Giải phương trình:
a) 2
x x 7 7 . ĐS:
1 29
x 2 x
2
.
b) 2
x x 1 1. ĐS:
1 5
x 1 x 0 x
2
.
Bài 46. Giải phương trình:
x 2 2 x 2 x 1 2 x 1 2 x 2 x 1 0
2 x 2 x 1 0 1
2 x 2 x 1 x 2 2 x 1 0
2 x 1 x 2 0 2
2
x 2
x 2 x 3
1 x 1 2 x 2 x 3
4x 17x 15 0 5
x
4
2
x 2
x 2
x 02 x 1 x 2 x 8
x 8x 0
x 8

13. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
13
a) 2
4x 14x 11 4 6x 10 .
3 13
x
4
b) 2 2
3x 3x 2 x 6 3x 2x 3 .
c) 2
x x 2 3x 2 x 1.
d)
2
2 3x 3x 2
x x 2
3x 1
.
e) 2
2x 7 2x 7 x 9x 7
Bài 47. Giải phương trình:
a)
x 2 2 2x 1
x 2
x 2x 1
.
b) 2
x 1 2 x 1 x 1 1 x 3 1 x . x 0
Bài 48. Giải phương trình:
a) 2
x 2x 3 3 x 5 1 3x 2x 13x 15 2x 3 .
b) 2 2 3 4
4 1 1 5 4 2x x x x x x       . ĐS:
1 3 2 5 1 19 2 21
x
2 2
.
Tổng không âm
Bài 49. Giải phương trình:
a) 4 2
x x 3x 5 2 x 2 0. ĐS: x 1.
b) 4 3 2
x 2006x 1006009x x 2x 2007 1004 0.
Đề Nghị Olympic 30/04 – THPT chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – Quảng Nam
HD:
22
2 1
PT ... x x 1003 2x 2007 1 0 x 1003
2
.
c) * 2 2 24
x x x 3x 2007 2005x 4 4x 30 x x 1 2006.
Đề Nghị Olympic 30/04 – THPT chuyên Trần Đại Nghĩa – Tp. Hồ Chí Minh
HD:
22
2 2 24 1 5
PT x x 1 2005 x 1 x 30 x x 1 0 x
2
.

14. PT vô tỉ - pp biến đổi Thầy Hồng Trí Quang
14