Ejercicios

1. .Instituto Universitario Politécnico
“Santiago Mariño”
Extensión Maturín
Esc. Ingeniería Eléctrica y Electrónica
Transformada de la Place
EJERCICIOS: TRANSDORMADA DE
LA PLACE
Autor:
Oscar Ariza, C.I:26.117.819
Asesora:
Mariangela Pollonais
Maturín, Enero del 2017

2. A. Determine la transformada de Laplace de las siguientes funciones.
3. H (t) = 𝑒−2𝑡
. 𝑠𝑒𝑛 5𝑡
𝐾
( 𝑠 − 𝑎) 2 + 𝑘2
=
5
( 𝑠 + 2) 2 + 52
=
5
( 𝑠 + 2) 2 + 25
5. Q (t) = 𝑆𝑒𝑛2
.at
𝑆𝑒𝑛2
𝑥 =
1 − 𝑐𝑜𝑠2𝑥
2
ℒ {
1−𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑡
2
} = ℒ
1
2
{
1
𝑠
} − ℒ
1
2
{ 𝑐𝑜𝑠2𝑎𝑡} =
1
𝑠
−
𝑆
2( 𝑆2 + 4𝑎2 )
6. 3𝑒−𝑡
+ 𝑆𝑒𝑛6𝑡
3ℒ{ 𝑒−𝑡 } + ℒ{ 𝑆𝑒𝑛 6𝑡} =
3
𝑠+1
+
6
𝑆2 +36
1
𝑠−𝑎
𝑘
𝑆2 + 𝑘2
8. H (t) = -3cos2t + 5sen4t
ℒ{−3𝑐𝑜𝑠2𝑡 + 5𝑠𝑒𝑛4𝑡} = −3ℒ{−3𝑐𝑜𝑠2𝑡} + 5 ℒ{ 𝑠𝑒𝑛4𝑡}
= −3. (
𝑆
𝑆2 + 22
) + 5. (
4
𝑆2 + 42
)
= −
3𝑠
𝑆2 + 4
+
20
𝑆2 + 16
12. 𝐺( 𝑡) = 𝑒4𝑡 ( 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡)
𝑒4𝑡 ( 𝑡 − 𝑐𝑜𝑠𝑡) = 𝑡𝑒4𝑡
− 𝑒4𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡
ℒ{ 𝑡𝑒4𝑡 } − ℒ{ 𝑒4𝑡
𝑐𝑜𝑠𝑡} =
1
( 𝑠 − 4) 2
−
(𝑆 − 4)
( 𝑆 − 4) 2 + 1

3. B. En los siguientes ejercicios calcule la transformada inversa de Laplace de
la función s dada
2. 𝐺( 𝑠) =
1
𝑆(𝑆+1)
1
𝑆(𝑆+1)
= ℒ−1
{
1
𝑠(𝑠+1)
}
ℒ−1
{
1
𝑠( 𝑠 + 1)
} =
1
𝑠( 𝑠 + 1)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
( 𝑠 + 1)
∗ 𝑠( 𝑠 + 1)
1 = 𝐴( 𝑠 + 1) + 𝐵𝑆
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑆 = −1 => 1 = −𝐵 => 𝐵 = −1
𝑃𝑎𝑟𝑎 𝑆 = 0 => 𝐴 = 1
ℒ−1
{
1
𝑠
} − ℒ−1
{
1
𝑠 + 1
} = 1 − 𝑒−𝑡
3. 𝐻( 𝑠) =
2𝑠
(𝑆2 +1)2
𝑡𝑠𝑒𝑛𝑘𝑡 =
2𝐾𝑠
( 𝑆2 + 𝑘2 )2
𝑆𝑒𝑛𝑘𝑡 + 𝑘𝑡𝑐𝑜𝑠𝑘𝑡 =
2𝑘 𝑆2
( 𝑆2 + 𝑘2 )2
ℒ−1
{
2𝑠
( 𝑆2 + 1)2
} = 𝑡 𝑠𝑒𝑛𝑡
6. 𝑅( 𝑠) =
3𝑆2
( 𝑆2 +1)2
=
3.2.𝑆2
2( 𝑆2 + 12 )2
ℒ
−1 {
3
2
∗
2𝑆2
𝑆2 +1)2
}
=
3
2
ℒ−1
{
2𝑆2
( 𝑆2 +1 ) 2 } =
3
2
( 𝑆𝑒𝑛𝑡 + 𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡) =
3
2
𝑠𝑒𝑛𝑡 +
3
2
𝑡𝑐𝑜𝑠𝑡
7. 𝑅( 𝑠) =
2
𝑆4 {
1
𝑠
+
3
𝑆2 +
4
𝑆6 } =
2
𝑆5 +
6
𝑆6 +
8
𝑆10
2ℒ−1
{
1
𝑆5 } + 6ℒ−1
{
1
𝑆6 } + 8ℒ−1
{
1
𝑆10 } = 2ℒ−1
{
4!
𝑆5 } + 6ℒ−1
{
5!
𝑆6 } + 8ℒ−1
{
9!
𝑆10 }
2 + 𝑡4
+ 6𝑡5
+ 8𝑡9
15. 𝐻( 𝑠) =
𝑆2 − 2s+3
𝑠(𝑆2 −3𝑠+2)
=
𝑆2
−2𝑠 +3
𝑠(𝑠−1)(𝑠−2)
𝑆2
− 2𝑠 + 3
𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
=
𝐴
𝑠
+
𝐵
(𝑆 − 1)
+
𝐶
(𝑆 − 2)
∗ 𝑠(𝑠 − 1)(𝑠 − 2)
𝑆2
− 2𝑠 + 3 = 𝐴( 𝑠 − 1)( 𝑠 − 2) + 𝐵𝑆( 𝑠 − 2) + 𝐶𝑠( 𝑠 − 1)
𝑠 = 0 3 = 2𝐴 =>
3
2

4. 𝑠 = 1
1 − 2 + 3 = −𝐵 => 𝐵 = −2
𝑠 = 2
4 − 4 + 3 = 2𝐶 => 𝐶 =
3
2
3
2
ℒ−1
{
1
𝑆
} − 2ℒ−1
{
1
( 𝑆 − 1)
}+
3
2
ℒ−1
{
1
(S − 2)
} =
3
2
− 2𝑒 𝑡
+
3
2
𝑒2𝑡
C. Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales
28) 𝒚′
− 𝟐𝒚 = 𝟏 − 𝒕 𝒚( 𝟎) = 𝟏
𝑳[1] =
1
𝑆
𝑳[ 𝑡 𝑛] =
𝑛!
𝑆 𝑛+1
𝑳[ 𝑒 𝑎𝑡] =
1
𝑆 − 𝑎
𝑳 [𝑦′
( 𝑡)] = 𝑆𝑦( 𝑆) − 𝑦(0) = 𝑆𝑦( 𝑆) − 1
−2𝑳[𝑦( 𝑡)] = −2𝑦( 𝑆)
𝑳[1] =
1
𝑆
𝑳[−𝑡] = −
1
𝑆2
𝑆𝑦( 𝑆) − 1 − 2𝑦( 𝑆) =
1
𝑆
−
1
𝑆2
𝑦( 𝑆)(𝑆 − 2) =
𝑆2
− 𝑆
𝑆3
+ 1
𝑦( 𝑆) =
𝑆2
− 𝑆 + 𝑆3
𝑆3(𝑆 − 2)
=
𝑆(𝑆2
+ 𝑆 − 1)
𝑆3(𝑆 − 2)
=
𝑆2
+ 𝑆 − 1
𝑆2(𝑆 − 2)
𝑆2
+ 𝑆 − 1
𝑆2(𝑆 − 2)
=
𝐴𝑆 + 𝐵
𝑆2
+
𝐶
𝑆 − 2

5. 𝑆2
+ 𝑆 − 1 = ( 𝐴𝑆 + 𝐵)( 𝑆 − 2) + 𝐶𝑆2
𝑆2
+ 𝑆 − 1 = 𝐴𝑆2
+ 𝐵𝑆 − 2𝐴𝑆 − 2𝐵 + 𝐶𝑆2
{
𝐴 + 𝐶 = 1 → 𝐶 = 1 +
1
4
=
5
4
−2𝐴 + 𝐵 = 1 → 𝐴 =
1 −
1
2
−2
= −
1
4
−2𝐵 = −1 → 𝐵 =
1
2
−
1
4
𝑳−𝟏
[
1
𝑆
] +
1
2
𝑳−𝟏
[
1
𝑆2
] +
5
4
𝑳−𝟏
[
1
𝑆 − 2
]
−
1
4
+
2
4
𝑡 +
5
4
𝑒2𝑡
=
1
4
(2𝑡 + 5𝑒2𝑡
− 1)
29) 𝒚′′
− 𝟒𝒚′
+ 𝟒𝒚 = 𝟏 𝒚( 𝟎) = 𝟏, 𝒚′( 𝟎) = 𝟒
𝑳[1] =
1
𝑆
𝑳[ 𝑒 𝑎𝑡] =
1
𝑆 − 𝑎
𝑳[ 𝑡 𝑛
𝑒 𝑎𝑡] =
𝑛!
( 𝑠 − 𝑎) 𝑛+1
𝑳[𝑦′′(𝑡)] = 𝑆2
𝑦( 𝑆) − 𝑆𝑦(0) − 𝑦′
(0) = 𝑆2
𝑦( 𝑆) − 𝑆 − 4
−4𝑳 [𝑦′
( 𝑡)] = −4(𝑆𝑦( 𝑆) − 𝑦(0)) = −4𝑆𝑦( 𝑆) + 4
4𝑳[𝑦( 𝑡)] = 4𝑦( 𝑆)
𝑳[1] =
1
𝑆
𝑆2
𝑦( 𝑆) − 𝑆 − 4 − 4𝑆𝑦( 𝑆) + 4 + 4𝑦( 𝑆) =
1
𝑆

6. 𝑆2
𝑦( 𝑆) − 4𝑆𝑦( 𝑆) + 4𝑦( 𝑆) =
1
𝑆
+ 𝑆
𝑦( 𝑆)( 𝑆2
− 4𝑆 + 4) =
1 + 𝑆2
𝑆
𝑦( 𝑆) =
1 + 𝑆2
𝑆( 𝑆 − 2)2
𝑆2
+ 1
𝑆( 𝑆 − 2)2
=
𝐴
𝑆
+
𝐵
𝑆 − 2
+
𝐵
( 𝑆 − 2)2
𝑆2
+ 1 = 𝐴( 𝑆 − 2)2
+ 𝐵𝑆( 𝑆 − 2) + 𝐶𝑆
𝑆2
+ 1 = 𝐴𝑆2
− 4𝐴𝑆 + 4𝐴 + 𝐵𝑆2
− 2𝐵𝑆 + 𝐶𝑆
{
𝐴 + 𝐵 = 1 → 𝐵 = 1 −
1
4
=
3
4
−4𝐴 − 2𝐵 + 𝐶 = 0 → 𝐶 = 1 +
6
4
=
10
4
=
5
2
4𝐴 = 1 → 𝐴 =
1
4
1
4
𝑳−𝟏
[
1
𝑆
] +
3
4
𝑳−𝟏
[
1
(𝑆 − 2)
] +
5
2
𝑳−𝟏
[
1
( 𝑆 − 2)2
]
1
4
+
3
4
𝑒2𝑡
+
5
2
𝑡𝑒2𝑡
=
1
4
(10𝑡𝑒2𝑡
+ 3𝑒2𝑡
+ 1)
30) 𝒚′′
+ 𝟗𝒚 = 𝒕 𝒚( 𝟎) = 𝒚′( 𝟎) = 0
𝑳[𝑦′′(𝑡)] = 𝑆2
𝑦( 𝑆) − 𝑆𝑦(0) − 𝑦′
(0) = 𝑆2
𝑦( 𝑆)
9𝑳[𝑦(𝑡)] = 9𝑦( 𝑆)
𝑳[ 𝑡] =
1
𝑆2
𝑆2
𝐹(𝑆) + 9𝐹(𝑆) =
1
𝑆2
𝐹(𝑆) =
1
𝑆2(𝑆2 + 32)
=
1
27
[
27
𝑆2(𝑆2 + 32)
]

7. 𝑳[ 𝑘𝑡 − sin 𝑘𝑡] =
𝐾3
𝑆2(𝑆2 + 𝐾2)
1
27
𝑳−𝟏
[
27
𝑆2(𝑆2 + 32)
] =
3𝑡 − sin3𝑡
27
32) 𝒚′′
− 𝟔𝒚′
+ 𝟖𝒚 = 𝒆 𝒕
𝒚( 𝟎) = 𝟑, 𝒚′( 𝟎) = 𝟗
𝑳[ 𝑒 𝑎𝑡] =
1
𝑆 − 𝑎
𝑳[𝑦′′(𝑡)] = 𝑆2
𝑦( 𝑆) − 𝑆𝑦(0) − 𝑦′
(0) = 𝑆2
𝑦( 𝑆) − 3𝑆 − 9
−6𝑳 [𝑦′
( 𝑡)] = −6(𝑆𝑦( 𝑆) − 𝑦(0)) = −6𝑆𝑦( 𝑆) + 18
8𝑳[𝑦( 𝑡)] = 8𝑦( 𝑆)
𝑳[ 𝑒 𝑡] =
1
𝑆 − 1
𝑆2
𝑦( 𝑆) − 3𝑆 − 9 − 6𝑆𝑦( 𝑆) + 18 + 8𝑦( 𝑆) =
1
𝑆 − 1
𝑆2
𝑦( 𝑆) − 6𝑆𝑦( 𝑆) + 8𝑦( 𝑆) =
1
𝑆 − 1
+ (3𝑆 − 9)
𝑦( 𝑆)( 𝑆2
− 6𝑆 + 8) =
1
𝑆 − 1
+ (3𝑆 − 9)
𝑦( 𝑆) =
1 + (𝑆 − 1)(3𝑆 − 9)
( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 2)( 𝑆 − 4)
=
3𝑆2
− 9𝑆 − 3𝑆 + 10
( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 2)( 𝑆 − 4)
=
3𝑆2
− 12𝑆 + 10
( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 2)( 𝑆 − 4)
3𝑆2
− 12𝑆 + 10
( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 2)( 𝑆 − 4)
=
𝐴
( 𝑆 − 1)
+
𝐵
( 𝑆 − 2)
+
𝐵
( 𝑆 − 4)
3𝑆2
− 12𝑆 + 10 = 𝐴( 𝑆 − 2)( 𝑆 − 4) + 𝐵( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 4) + 𝐶( 𝑆 − 1)( 𝑆 − 2)
Para S=2
12 − 24 + 10 = 𝐵(1)(−2) → 𝐵 = 1
Para S=4

8. 48 − 48 + 10 = 𝐶(3)(2) → 𝐶 =
10
6
=
5
3
Para S=1
3 − 12 + 10 = 𝐴(−1)(−3) → 𝐴 =
1
3
1
3
𝑳−𝟏
[
1
( 𝑆 − 1)
] + 𝑳−𝟏
[
1
(𝑆 − 2)
] +
5
3
𝑳−𝟏
[
1
(𝑆 − 4)
]
1
3
𝑒 𝑡
+ 𝑒2𝑡
+
5
3
𝑒4𝑡
=
1
3
(5𝑒4𝑡
+ 3𝑒2𝑡
+ 𝑒 𝑡
)