Problemas resueltos algebra de Baldor

1. EJERCICIO 1
1. Una deuda se expresa en sentido EJERCICIO 3
negativo. Luego inicalmente el estado
económico de Pedro es - 60 bs.
Al recibir 320 bs. Aumenta su capital 1. + 32 m ; − 16 m
tantos bs. como ha recibido; entonces 2. + 10 m ; − 4 m
la operaciòn queda expresada como
se indica 3. 50 − 85 = − 35 m
− 60 + 320 = + 260 bs. 4. − 6 ⋅11= − 66m
2. 1.170 − 1. 515 = − 345 sucres
5. -8 × 6 =-48 m
3. 200 + 56 − 189 = + $ 67
9 × 6 =+ 54 m
4. − 665 − 1.178 + 2 . 280 = + 437 soles
5. 20 − 15 + 40 − 75 = − $ 30 6. 400 ⋅ 2 = + 800 m → corredor
− 400 ⋅ 3 = − 1. 200 m → yo
6. − 67 + 72 − 16 + 2 = − $ 9
7. Los 40 pies de longitud del poste
7. 200 − 78 − 81− 93 + 41− 59 = − 70 colones se reparten asi: 15 pies que sobresalen
8. − 45 − 66 − 79 + 200 − 10 = 0 - se asumen en sentido positivo- .
25 pies que se encuentran enterrados.
- se asumen en sentido negativo - .
Al introducir 3 pies màs, se adicionan
EJERCICIO 2 a los que estan bajo el suelo y se deben
descontar de los que estan por encima.
1. 12 − 15 = − 3∃ Aritmèticamente significa:
2. − 3 + 8 − 6 = − 1∃ 40 = 15 + 25
− 25 − 3 = − 28 pies
3. 15 − ( − 3) = 15 + 3 = 18∃ + 15 − 3 = + 12 pies
( )
4. − − 8 + 5 = 8 + 5 = 13∃
5. − 4 + 7 + 2 − 11= − 6∃ 8. 55 − 52 = + 3 m
9. − 32 + 15 = − 17m
6. − 8 + 4 ⋅1 = − 8 + 4 = − 4∃ → 7 am
10. 35 − 47 = − 12 m
− 8 + 4 ⋅ 2 = − 8 + 8 = 0∃ → 8 am
− 8 + 4 ⋅ 5 = − 8 + 20 = + 12∃ → 11am 11. − 39 + 56 = + 17m
12. 90 − 58 − 36 = − 4 m
7. − 1− 2 ⋅ 2 = − 1− 4 = − 5∃ → 10 am
− 1− 2 ⋅ 3 = − 1− 6 = − 7∃ → 11am 13. 72 − 30 ⋅1= 72 − 30 = + 42 m
72 − 30 ⋅ 2 = 72 − 60 = + 12 m
− 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅1= − 1− 6 + 3 = − 4∃ → 12 am
72 − 30 ⋅ 3 = 72 − 90 = − 18 m
− 1− 2 ⋅ 3 + 3 ⋅ 3 = − 1− 6 + 9 = + 2∃ → 2 pm
72 − 30 ⋅ 4 = 72 − 120 = − 48 m
8. − 56 + 7 = − 49 ∃
14. − 120 − (− 60) ⋅ 1 = − 120 + 60 = − 60 Km
9. − 71 + 5 = − 66∃ long
− 120 − (− 60) ⋅ 2 = − 120 + 120 = 0
− 15 + (− 5) = − 20∃ lat.
− 120 − (− 60) ⋅ 3 = − 120 + 180 = + 60 Km
− 120 − (− 60) ⋅ 4 = − 120 + 240 = + 120 Km
10. 18 + 3 =+ 21∃ long
65 -4 =+ 61∃ lat.
11. -75 +135 =+ 60 años

2. EJERCICIO 7. 27. 11a + 8a + 9a + 11a = 39a
1. x + 2x = 3x 28. mx + 1 + 3mx + 1 + 4mx + 1 + 6mx + 1 = 14mx + 1
2. 8a + 9a = 17a
29. − x2 y − 8x2 y − 9x2 y − 20x2 y = − 38x 2 y
3. 11b + 9b = 20b
30. − 3am − 5am − 6am − 9am = − 23am
4. − b − 5b = − 6b
1 1 1 4 + 2 +1 + 8 15
5. − 8m − m = − 9m 31. a+ a+ a+a = a= a
2 4 8 8 8
6. − 9m − 7m = − 16m
2 1 1 1 8 + 10 + 2 + 1 21
32. ax + ax + ax + ax = ax = ax
7. 4a x + 5a x = 9a x 5 2 10 20 20 20
8. 6a x + 1 + 8a x + 1 = 14a x + 1 33. 0,5m + 0,6m + 0,7m + 0,8m = 2,6m
9. − mx + 1 − 5mx + 1 = − 6mx + 1 1 1 1
34. − ab − ab − ab − ab
7 14 28
10. −3a x − 2 − a x − 2 = − 4a x − 2 − 4 − 2 − 1− 28 35 5
= ab = − ab = − ab
1 1 1+ 1 2 28 28 4
11. a+ a= a = a =a
2 2 2 2
2 3 1 1 1 3
3 1 6ab + ab 7 35. − x y − x 3y − x3y − x y
3 6 9 12
12. ab + ab = = ab
5 10 10 10 −2 4 − 6 − 4 − 3 3 37 3
= x y=− x y
36 36
1 1 2 +1 3 1
13. xy + xy = xy = xy = xy
3 6 6 6 2 36. ab 2 + ab 2 + 7ab 2 + 9ab 2 + 21ab 2 = 39ab 2
1 4 − 1− 4 5 37. − m − m − 8m − 7m − 3m = − 20m
14. − xy − xy = = − xy = − xy
5 5 5 5
38. − x a + 1 − 8x a + 1 − 4x a + 1 − 5x a + 1 − x a + 1 = − 19x a + 1
5 2 1 − 20 − 3 2 23 2
15. − a b − a 2b = a b =− ab 1 1 1 1 1
6 8 24 24 39. a+ a+ a+ a+ a
2 3 4 5 6
7 −8−7 15 30 + 20 + 15 + 12 + 10 87 29
16. − a − 8 a = 8 a = − 8 a = a= a= a
60 60 20
17. 8a + 9a + 6a = 23a
1 1 1 1 1
18. 15x + 20x + x = 36x 40. − ab − ab − ab − ab − ab
3 6 2 12 9
19. − 7m − 8m − 9m = − 24m −12 − 6 − 18 − 3 − 4 43
= ab = − ab
36 36
20. − a 2b − a 2b − 3a 2b = − 5a 2b
21. a x + 3 a x + 8a x = 12a x
22. − 5a x + 1 − 3a x + 1 − 5a x + 1 = − 13a x + 1
EJERCICIO 8
1 2 6+3+4 13
23. a + a + a = a= a
1. 8a − 6a = 2a
2 3 6 6
2 1 − 6 − 4 −1 11 2. 6a − 8a = − 2a
24. − x − x− x= x=− x
3 6 6 6 3. 9ab − 15ab = − 6ab
1 3 2 + 3 + 10 15 3 4. 15ab − 9ab = 6ab
25. ax + ax + ax = ax = ax = ax
5 10 10 10 2 5. 2a − 2a = 0
3 5 −9 − 10 − 12 2 31 2 6. − 7b + 7b = 0
26. − a x − a x − a x = a x=−
2 2 2
a x
4 6 12 12
7. − 14xy + 32xy = 18xy

3. 8. − 25x 2 y + 32x 2 y = 7x 2 y 5 m + 1 7 m + 1 10 − 7 m +1 3 m + 1 1 m + 1
35. a − a = a = a = a
6 12 12 12 4
9. 40x 3 y − 51x 3 y = − 11x 3y
1 2 12 − 1 2 11 2
36. 4a − a = a = a
2
10. −m2n + 6m2n = 5m2n 3 3 3
11. − 15xy + 40xy = 25xy 3 − 20 + 3 17
37. − 5mn + mn = mn = − mn
12. 55a 3b 2 − 81a 3b 2 = − 26a 3b 2 4 4 4
13. − x 2 y + x 2 y = 0 38. 8a x + 2b x + 3 − 25a x + 2b x + 3 = − 17a x + 2b x + 3
14. −9ab 2 + 9ab2 = 0 7 m n m n −7+8 m n 1 m n
39. − a b +a b = a b = a b
8 8 8
15. 7x 2 y − 7x2 y = 0
40. 0,85mxy − 0,5mxy = 0,35mxy
16. − 101mn + 118mn = 17mn
17. 502ab − 405ab = 97ab
18. − 1024 x + 1018x = − 6x
EJERCICIO 9
19. −15ab + 15ab = 0
1 3 2−3 1 1. 9a − 3a + 5a = 11a
20. a− a= a=− a
2 4 4 4 2. − 8x + 9x − x = 0
3 1 3−2 1 3. 12mn − 23mn − 5mn = − 16mn
21. a− a= a= a
4 2 4 4 4. − x + 19x − 18x = 0
5 2 5 2 10 − 5 2 5 2 5. 19m − 10m + 6m = 15m
22. a b− a b= a b= a b
6 12 12 12 6. −11ab − 15ab + 26ab = 0
4 2 9 2 −8+ 9 2 1 2 7. − 5a X + 9a X − 35a X = − 31a X
23. − x y + x y= x y= x y
7 14 14 14
8. − 24a X + 2 − 15a X + 2 + 39a X + 2 = 0
3 5 3 − 10 7
24. am − am = am = − am 2 1 2 + 1− 3 0
8 4 8 8 y+ y−y= y= y=0
9.
3 3 3 3
3 −5+3 2
25. − am + am = am = − am 3 1 1 − 12 + 5 − 10 17
5 5 5
10. − m+ m− m = m =− m
5 4 2 20 20
5 7 20 − 21 1
26. mn − mn = mn = − mn 3 2 1 3+2− 8 2 3
6 8 24 24 a b + a 2b − a 2b = a b = − a 2b
11.
8 4 8 8
3 2 − 11+ 3 2 8
27. − a b + a b= a b = − a 2b
2
12. − a + 8a + 9a − 15a = a
11 11 11
13. 7ab − 11ab + 20ab − 31ab = − 15ab
28. 3,4a 4b3 − 5,6a 4b 3 = − 2,2a 4b 3
14. 25x 2 − 50x 2 + 11x 2 + 14x 2 = 0
29. − 12yz + 3,4yz = 2,2yz
,
15. − xy − 8xy − 19xy + 40xy = 12xy
30. 4a x − 2a x = 2a x
16. 7ab + 21ab − ab − 80ab = − 53ab
31. − 8a x + 1 + 8a x + 1 = 0
17. − 25xy 2 + 11xy 2 + 60xy 2 − 82xy 2 = − 36xy 2
32. 25ma − 1 − 32ma − 1 = − 7ma − 1
18. −72ax + 87ax − 101ax + 243ax = 157ax
33. − x a + 1 + x a + 1 = 0 19. − 82bx − 71bx − 53bx + 206bx = 0
1 m − 2 1 m − 2 − 1+ 2 m − 2 1 m − 2 20. 105a 3 − 464a 3 + 58a 3 + 301a 3 = 0
34. − a + a = a = a
4 2 4 4

4. 1 1 1 1
x− x+ x− x=
30 − 20 + 15 − 12
x=
13
x
EJERCICIO 10
21.
2 3 4 5 60 60
1 1 1 1 4 − 4 + 2 −1 1
22. y− y+ y− y= y= y 1. 7a + 6a − 9b − 4b
3 3 6 12 12 12 7a + 6a = 13a − 9b − 4b = − 13b
3 2 1 2 1 2 = 13a − 13b
23. 5 a b − 6 a b + 3 a b − a b
2
18 − 5 + 10 − 30 2 7 2 2. a + b − c − b − c + 2c − a
= a b=− a b a−a =0 b −b =0 − c − c + 2c = 0
30 30
=0
5 2 1 2 3 2
24. − 6 ab − 6 ab + ab − 8 ab
2
3. 5x − 11y − 9 + 20x − 1− y
− 20 − 4 + 24 − 9 2 9 3 5x + 20x = 25x − 11y − y = − 12y − 9 − 1 = − 10
= ab = − ab 2 = − ab2 = 25x − 12y − 10
24 24 8
25. − a + 8a − 11a + 15a − 75a = − 64a 4. − 6m + 8n + 5 − m − n − 6m − 11
26. − 7c + 21c + 14c − 30c + 82c = 80c − 6m − m − 6m = − 13m 8n − n = 7n 5 − 11= − 6
= − 13m + 7n − 6
27. − mn + 14mn − 31mn − mn + 20mn = mn
28. a 2 y − 7a 2 y − 93a 2 y + 51a 2 y + 48a 2 y = 0 5. − a + b + 2b − 2c + 3a + 2c − 3b
− a + 3a = 2a b + 2b − 3b = 0 − 2c + 2c = 0
29. − a + a − a + a − 3a + 6a = 3a
= 2a
1 2 7 1
x+ x− x+ x−x
30.
2 3 6 2 6. − 81x + 19y − 30z + 6y + 80x + x − 25y
3+4−7+3−6 3 1 − 81x + 80x + x = 0 19y + 6y − 25y = 0 − 30z
= x=− x= − x
6 6 2 = − 30z
3 1 5 7. 15a 2 − 6ab − 8a 2 + 20 − 5ab − 31+ a 2 − ab
31. − 2x + 4 x + 4 x + x − 6 x
15a 2 − 8a 2 + a 2 = 8a 2
− 48 + 18 + 6 + 24 − 20 20 5
= x=− x= − x − 6ab − 5ab − ab = − 12ab 20 − 31= − 11
24 24 6
= 8a − 12ab − 11
2
32. 7a x − 30 a x − 41a x − 9a x + 73a x = 0
8. − 3a + 4b − 6a + 81b − 114b + 31a − a − b
33. − a x + 1 + 7a x + 1 − 11a x + 1 − 20a x + 1 + 26a x + 1 = a x + 1
−3a − 6a + 31a − a = 21a
34. a + 6a − 20a + 150a − 80a + 31a = 88a 4b + 81b − 114b − b = − 30b
35. − 9b − 11b − 17b − 81b − b + 110b = − 9b = 21a − 30b
36. − a 2b + 15 a 2b + a 2 b − 85 a 2b − 131a 2b + 39 a 2b = − 162 a 2b
9. − 71a b − 84a b + 50a b + 84a b − 45a b + 18a b
3 4 2 3 4 2 3 3
37. 84m2 x − 501m2 x − 604m2 x − 715m2 x + 231m2 x + 165m2 x − 71a 3b + 50a 3b − 45a 3b + 18a 3b = − 48a 3b
= − 1340m2 x
− 84a 4b 2 + 84a 4b2 = 0
5 3 2 2 3 2 1 3 2 5 3 2 = − 48a 3b
38. a b + a b − a b − a b + 4a 3b 2
6 3 4 8
20 + 16 − 6 − 15 + 96 3 2 111 3 2 10. − a + b − c + 8 + 2a + 2b − 19 − 2c − 3a − 3 − 3b + 3c
= ab = ab
24 24 −a + 2a − 3a = − 2a b + 2b − 3b = 0
=
37 3 2
a b = 4 5 a 3b 2 − c − 2c + 3c = 0 8 − 19 − 3 = − 14
8
8 = − 2a − 14
39. 40a − 81a + 130a + 41a − 83a − 91a + 16a = − 28a
40. − 21ab + 52ab − 60ab + 84ab − 31ab − ab − 23ab = 0

5. 11. m + 71mn − 14m − 65mn + m − m − 115m + 6m
2 2 3 2 2 3
m + 6m = 7m
3 3 3
m − 14m − m − 115m2 = − 129m2
2 2 2
71 − 65mn = 6mn
mn
= 7m3 − 129m2 + 6mn
12. x y − x y + x y − 8x y − x y − 10 + x y − 7x y − 9 + 21x y − y + 50
4 3 2 2 4 2 3 2 3 2 4 3
x 4 y − 8x 4 y + 21x 4 y = 14x 4 y − x 3 y 2 + x 3 y 2 − 7x 3 y 2 = − 7x 3y 2
x 2y − x2y = 0 − y3 − 10 − 9 + 50 = 31
= 14x y − 7x y − y + 31
4 3 2 3
13. 5a x + 1 − 3b x + 2 − 8c x + 3 − 5a x + 1 − 50 + 4b x + 2 − 65 − b x + 2 + 90 + c x + 3 + 7c x + 3
− 8c x + 3 + c x + 3 + 7c x + 3 = 0 − 3b x + 2 + 4b x + 2 − b x + 2 = 0 5a x + 1 − 5a x + 1 = 0 − 50 − 65 + 90 = − 25
= − 25
14. am + 2 − xm + 3 − 5 + 8 − 3am + 2 + 5xm + 3 − 6 + am + 2 − 5xm + 3
− x m + 3 + 5 x m + 3 − 5x m + 3 = − x m + 3 am + 2 − 3am + 2 + am + 2 = − am + 2 −5+8−6= −3
m+3 m+2
=−x −a −3
15. 0,3a + 0,4b + 0,5c − 0,6a − 0,7b − 0,9c + 3a − 3b − 3c
0,3a − 0,6a + 3a = 2,7a 0,4b − 0,7b − 3b = − 3,3b 0,5c − 0,9c − 3c = − 3,4c
= 2,7a − 3,3b − 3,4c
1 1 3 1 3 1
16. a + b + 2a − 3b − a − b + −
2 3 4 6 4 2
1 3 2+8−3 7 1 1 2 − 18 − 1 17 3 1 3−2 1
a + 2a − a = a= a b − 3b − b = b=− b − = =
2 4 4 4 3 6 6 6 4 2 4 4
7 17 1
= a− b+
4 6 4
3 2 1 1
17. m − 2mn + m2 − mn + 2mn − 2m2
5 10 3
3 2 1 6 + 1− 20 2 13 1 − 6 − 1+ 6 1
m + m2 − 2m2 = m = − m2 − 2mn − mn + 2mn = mn = − mn
5 10 10 10 3 3 3
13 2 1
= − m − mn
10 3
18. − 3 a 2 + 1 ab − 5 b 2 + 2 1 a 2 − 3 ab + 1 b 2 − 1 b 2 − 2ab
3
4 2 6 4 6 3
3 2 7 2 − 9 + 28 2 19 2 1 3 2−3−8 9
− a + a = a = a ab − ab − 2ab = ab = − ab
4 3 12 12 2 4 4 4
5 2 1 2 1 2 − 5 + 1− 2 2 6 2
− b + b − b = b =− b =−b 2
6 6 3 6 6
19 2 9
= a − ab − b 2
12 4

6. 3 2 2 1
19. 0,4x y + 31+ xy − 0,6y 3 − x 2 y − 0,2xy 2 + y 3 − 6
2
8 5 4
2 2−2 2 3 2 3 − 16 2 14 2
, ,
0,4x 2 y − x 2 y = x y=0 xy − 0,2xy 2 = xy = xy = 0,175xy 2
5 5 8 8 8
1 − 2,4 + 1 3 ,
14 3
− 0,6y 3 + y 3 = y =− y = − 0,35y 3 31− 6 = 25
4 4 4
= 0,175xy 2 − 0,35y 3 + 25
3 7 m − 2 3 m−1 1 m− 2 1
a m−1
b − + a − b − 0,2a m − 1 + b m − 2
20. 25 50 5 25 5
3 m − 1 3 m −1 3 + 15 − 5 m − 1 13 m − 1 7 m − 2 1 m − 2 1 m − 2 − 7 − 2 + 10 m − 2 1 m − 2
a + a − 0,2a m − 1 = a = a − b − b + b = b = b
25 5 25 25 50 25 5 50 50
13 m − 1 1 m − 2
= a + b
25 50
EJERCICIO 11
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 m = 1/2 n = 1/3 p = 1/4
1. 3ab = 3 ⋅1⋅ 2 = 6
4a 4 ⋅1 4 2
2. 5a 2b3 c = 5 ⋅12 ⋅ 23 ⋅ 3 = 5 ⋅ 8 ⋅ 3 = 120 12. = = =
3bc 3 ⋅ 2 ⋅ 3 18 9
2 1 1 4 2
3. b mn = 2 ⋅ ⋅ = =
2
2
2 3 6 3  1 1
5⋅ 2 2 ⋅   20 ⋅
5b m 2 2
 2 4 = 5 = 60
13. = =
2 3
 1   1 1 1 1 6 1
4. 24m n p = 24     ⋅ = 6⋅ ⋅ = = 1 1 1 1
2 3
np
 2   3 4 27 4 108 18 ⋅
3 4 12 12
3
2 4 2 3 2 4 2  1 2 1 8 1 3 3 3 3 3 ⋅ 8 24
5. a b m = ⋅ 1 ⋅ 2 ⋅   = ⋅ 4⋅ = = ⋅2
3 3  2 3 8 24 3 14.
4
b
6
=4 = 4 = 4 = =1
2 2 2 2 2 ⋅ 9 18 6
7 3 2 7
2
 1  1 189 1 1 189 63 c ⋅3
6. c p m = ⋅ 33 ⋅   ⋅ = ⋅ ⋅ = = 3 3 3 3
12 12  4  2 12 16 2 384 128
1
2⋅
2 3
 1   1 1 1 1 1 1
7. m n p =     ⋅ = ⋅ ⋅ = 2m 2 = 1 = 1=3
b c a
 2   3 4 4 27 4 432 15. =
n2  1
2
1 1
 
5 b −1 c − 2 5 2 −1  1 
3− 2
5 1 5  3 9 3
8. a ⋅ m = ⋅1 ⋅   = ⋅ =
6 6  2 6 2 12
1 1 24
9. 2bc 2 = 2 ⋅ 2 ⋅ 32 = 4 ⋅ 9 = 36 = 6 24mn 24 ⋅ ⋅ 4
16. = 2 3 = 6 =
2 ⋅ n2 p2 2
 1  1 
2
1 1 1
1 3 2⋅     2⋅ ⋅ 2⋅
10. 4m ⋅ 12bc = 4 ⋅ ⋅ 12 ⋅ 2 ⋅ 32 = 2 ⋅ 3 216 = 2 ⋅ 6 = 12
3 2
2  3  4  9 16 144
4 4
1 1 1 8 4 = = = 24
11. mn ⋅ 8a b = ⋅ ⋅ 8 ⋅14 ⋅ 23 = ⋅ 64 = =
4 3 1 1
2 3 6 6 3 2⋅
12 6

7. 3 ⋅ 3 64 ⋅ 2 3 ⋅ 36
17. 3 ⋅ 64b c =
3 3 6
= 3 ⋅ 3 64 ⋅ 8 ⋅ 729 = 3 ⋅ 3 373.248 = 3 ⋅ 72 = 216
2m 1
2⋅
2
3 3 1 3 4 3 3 3
18. ⋅ apb 2 ⋅ 1⋅ ⋅ 2 2 ⋅ ⋅ 1
5 =
5 4
=
5 4
= 5 = 5 = 5 = 6 = 2
3 3 250 3 ⋅ 3 125 3 ⋅ 5 15 75 25
⋅ 125bm 3 ⋅ 3 125 ⋅ 2 ⋅ 1 3 ⋅ 3
2 2 2 2 2 2 2 2
EJERCICIO 12
Para resolver los problemas del 1 al 18 las literales toman los siguientes valores:
a = 3 b = 4 c = 1/3 d = 1/2 m = 6 n = 1/4
1. a 2 − 2ab + b 2 = 32 − 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 42 = 9 − 24 + 16 = 1
1 1 1 4 + 12 + 9 25
2 2
 1 1 1  1
2. c + 2cd + d =   + 2 ⋅ ⋅ +   = + + = =
2 2
 3 3 2  2 9 3 4 36 36
a b 3 4
3. + = + = 9 + 8 = 17
c d 1 1
3 2
1
c m 6 2 2 − 72 + 6 64
4. − +2= 3 − + 2 = − 24 + 2 = =−
d n 1 1 3 3 3
2 4
a 2 b 2 m2 32 42 62 9 16 36
5. − + = − + = − + = 3 − 8 + 6 =1
3 2 6 3 2 6 3 2 6
3 1 3 1 1 1 1 1− 10 + 5 4
6. c − b + 2d = ⋅ − ⋅ 4 + 2 ⋅ = − 2 + 1= =−
5 2 5 3 2 2 5 5 5
1 1
3⋅ 4⋅
ab ac bd 3 ⋅ 4 3 − 2 = 12 + 1 − 2 = 48 + 2 − 1 = 144 + 6 − 1 = 149 = 49 2
+ − = + 3
7. n d m 1 1 6 1 1 6 3 3 3
4 2 4 2
1 1 4 + 1+ 12 17
8. b + n + 6m = 4 + + 6⋅6 = 2 + + 6 = = =8 2
1
4 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 2 − 16 + 1 13
9. c 3a − d 16b + n 8d = ⋅ 3 ⋅ 3 − ⋅ 16 ⋅ 4 + ⋅ 8 ⋅ = ⋅ 3 − ⋅16 + ⋅ 2 = 1− 8 + = =− =−6
2 2 1
2
3 2 4 2 3 2 4 2 2 2
ma 63 216
10. = 4 = = 216 ⋅ 16 = 3.456
 1 1
b
d
 
 2 16

8. 2 2
 1  1 1 1
3  4 
11. 3 c 2 + 4n =  3 +  4  = 3 + 4 = 1 + 1 = 2 + 1 = 3 = 1
2
4 m 4 6 4 6 12 24 24 24 8
2 2
4d 2 16n 2  1  1 2 8 1 1
12. + − 1= 2 ⋅   + 8 ⋅   − 1 = + − 1 = + − 1= 1 − 1 = 0
2 2  2  4 4 16 2 2
a + b b + m 3 + 4 4 + 6 7 10
− = − = − = 21− 20 = 1
13. c d 1 1 1 1
3 2 3 2
b−a m−b 4−3 6−4 1 2
+ + 5a = + + 5 ⋅ 3 = + + 15 = 4 + 4 + 15 = 23
14. n d 1 1 1 1
4 2 4 2
1 1
12 ⋅ − 3 16 ⋅ − 3
12c − a 16n − a 1 3 4 1 4−3 4−3 1 1 3 − 4 + 48 47
15. − + = − + = − +2= − +2= = = 1 23
2b m d 2⋅4 6 1 8 6 8 6 24 24 24
2
3a 6m 3⋅ 3 6⋅6 9 36 3 6
16. 4b + − = 4⋅4 + − = 16 + − = 4 + − = 4 + 1− 1= 4
3 6 3 6 3 6 3 6
1 1 1
4 + 2⋅ 3⋅ + 8⋅
17. b + 2d 3c + 8d 2 3 2 2 + 1 1+ 2 3 3 6 − 3 3
− = − = − = − = =
2 4 2 4 2 4 2 4 4 4
2
9  1
3⋅ 2 +  
3⋅
2 ⋅ a b 3⋅ 2 + d
2 2 2
2⋅ 3 ⋅4 2
1 2 ⋅ 144
2
4  21
18. + − a⋅ n = + − 3⋅ = + − 3⋅
3 4 3 4 4 3 4 2
3 9
2 ⋅ 12 3⋅ 2 3 24 2 3 9 3 64 + 9 − 12 61 5
= + − = + − = 8+ − = = =78
3 4 2 3 4 2 8 2 8 8
EJERCICIO 13
Para los problemas 1 al 24 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 d = 4 m = 1/2 n = 2/3 p = 1/4 x = 0
1. (a + b)⋅ c − d = (1 + 2)⋅ 3 − 4 = 3 ⋅ 3 − 4 = 9 − 4 = 5
( )( ) ( )(
2. a + b b − a = 1 + 2 2 − 1 = 3 ⋅ 1 = 3 )
 1  2  4 − 1  9 − 2  7+8
( )( 2
)
3. b − m c − n + 4a =  2 −   3 −  + 4 ⋅ 1 = 
 2   3
2
  + 4= ⋅ + 4= + 4=
 2  3  2 3 2 2
3 7 7
=
15 1
2
=72
4. (2m + 3n)(4 p + b ) =  2 ⋅ 2 + 3⋅ 2   4 ⋅ 4 + 2  = (1+ 2)(1+ 4) = 3⋅ 5 = 15


2 1

3 
1 

2
 1
( )(  2
)( 4
2 2
) 3 
1
5. 4m + 8 p a + b 6n − d =  4 ⋅ + 8  1 + 2  6 ⋅ − 4 = 2 + 2 ⋅ 3⋅ 0 = 0
2 2
( ) 2 
( )

9.  2 − 1 1
( )( )( )( ) (
6. c − b d − c b − a m − p = 3 − 2 4 − 3 2 − 1  −  = 1⋅ 1⋅ 1
  
)( )( ) 2
1 1
4
 =
4  4
 1 2  3+ 4 7 168 − 7 161
2
( 2
) 2
(
7. b c + d − a m + n + 2 x = 2 3 + 4 − 1 
2

) ( ) +  + 2⋅ 0 = 4⋅ 7 − 
2 3  6 
 = 28 − =
6 6
=
6
= 26 5
6
( ) 1
( )
8. 2mx + 6 b + c − 4d = 2 ⋅ ⋅ 0 + 6 2 + 3 − 4 ⋅ 4 = 6 4 + 9 − 4 ⋅ 16 = 6 ⋅ 13 − 64 = 78 − 64 = 14
2 2 2 2 2 2
2
( )
 1 1
 8⋅ 16 ⋅ 
 8m 16 p 
 +  a= 2+ 4  ⋅1 = 4 + 4 = 4 + 2 = 2 + 2 = 2 + 6 = 8 = 2 2
9.  9n b 
3
 9⋅ 2 2  18 2 6 3 3 3
 3  3
(
10. x + m a + d − c = 0 +
b c a
) 2
(1 + 4 − 3 ) = 2 (1+ 64 − 3) = 2 ⋅ 62 = 31
1 2 3 1 1 1
 1 1
11. (
4 m + p a 2 + b2
÷ =
2 ) 4 + 
4 1 + 2
÷
2 2
 2 + 1 1 + 4
= 4 ÷
3 5 3 27
= 4⋅ ÷ = = =52
2
a c 1 32
 4  9 4 9 5 5
5
9
( )(
12. 2m + 3n + 4 p 8 p + 6n − 4m 9n + 20 p )( )
 1 1  1 1  2 1
=  2 ⋅ + 3⋅ + 4 ⋅   8 ⋅ + 6 ⋅ − 4 ⋅   9 ⋅ + 20 ⋅  = ( 1 + 2 + 1)(2 + 4 − 2)(6 + 5) = 4 ⋅ 4 ⋅ 11 = 176
2 2
 2 3 4  4 3 2  3 4
(
13. c m + n − d m + p + b n + p
2 2 2
) ( ) ( )
1 2  1 1  2 1 7 3 11 21 44 126 − 144 + 44 26
= 32  +  − 4 2  +  + 2 2  +  = 9 ⋅ − 16 ⋅ + 4 ⋅ = − 12 + = = = 2 12 = 2 1
2
2 3  2 4  3 4 6 4 12 2 12 12 12
6
 c2 + d 2 2   32 + 4 2 2  1  9 + 16 2  1  25 2  1 1 5
  m=  ⋅ = 
÷ ÷  2  1 ÷ 2  ⋅ 2 =  1 ÷ 2  ⋅ 2 = 5⋅ 2 = 2 = 2 2
1
14.   
 a d  1 4    
15. (4 p + 2b)(18n − 24 p) + 2 (8m + 2)(40 p + a )
 1  1  1  1 
=  4 ⋅ + 2 ⋅ 2  18 ⋅ − 24 ⋅  + 2  8 ⋅ + 2  40 ⋅ + 1 = (1 + 4)(12 − 6) + 2 (4 + 2) (11) = 5⋅ 6 + 2 ⋅ 66 = 30 + 132 = 162
2
 4  3 4  2  4 
2
2 5+
2 5+
d 2 4  1 2+ 4 1 6
a+ 5 + 2 1+  
b⋅ m = 2⋅  2 2 ⋅ 4 = 2 ⋅ 5 + 8 = 3 ⋅ 5 + 8 = 3 ⋅ 13 = 3 ⋅ 208 = 624 = 312
16. =
d −b p2 4 − 2  1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2
 
 4 16 16 16 16
 2 2 90 − 2 88
2
( ) 2
( )
17. a + b ⋅ c + 8b − m ⋅ n = 1 + 2 ⋅ 3 + 8 ⋅ 2 − ⋅   = 3⋅ 25 − ⋅ = 3⋅ 5 − = 15 − =
2 2 1
2  3
1 2
2 3
2
6 6 6
= = 14 4 = 14 2
6
6 3
 2
 a+c  1+ 3 6⋅ 
6n  1  4 4
 ÷ (c + d )⋅ p =  ÷ (3 + 4)⋅
3 1 2 4
 + + = +  ÷ 7⋅ = =
18.  2
 b   2 2  4  2 2  2 7 7
 
  2

10. ( ) ( )
19. 3 c − b ⋅ 32m − 2 d − a ⋅ 16 p −
2
n
= 3 (3 − 2)⋅ 32 ⋅ − 2 (4 − 1)⋅ 16 ⋅ − = 3⋅ 16 − 6 ⋅ 4 − = 3⋅ 4 − 6 ⋅ 2 − 3 = 12 − 12 − 3 = − 3
1 1 2 6
2 4 2 2
3
6abc 3mn cdnp
20. + −
2 ⋅ 8b 2(b − a ) abc
1 2 2 1
3⋅ ⋅
6 ⋅ 1⋅ 2 ⋅ 3 3⋅ 4 ⋅ ⋅
= +
2 3
− 3 4 = 36 + 1 − 2 = 6 + 1 − 1 = 18 + 12 − 8 = 22 = 11
2 ⋅ 8⋅ 2 2(2 − 1) 1⋅ 2 ⋅ 3 2 ⋅ 16 2 6 8 2 3 24 24 12
a 2 + b2 12 + 2 2 5 + 216 221
2 + 3 (a + b)(2a + 3b) = 2 + 3 (1 + 2)(2 ⋅ 1 + 3⋅ 2) = + 3⋅ 3⋅ 8 = + 72 =
5 5
21. = = 73 2
b −a
2
2 − 12 3 3 3 3
3
2
 1 1   1 1  1 1 
22. b +  +  +  + + 
2
 a b   b c   n m
2
 
 1 1   1 1  1 1 
2 2
 3 5  3  5  7 21 49 70 35
= 2 +  +   +  +  +  = 4 +  ⋅  +  + 2 = 4 + +   = +
2
= = = 17 2
1
 1 2   2 3  2 1   2 6  2  4  2 4 4 4 2
 3 2
(2m + 3n)(4 p + 2c) − 4m 2
n2
4 189 − 4 185
2 2
 1 2  1   1  2
=  2 ⋅ + 3⋅   4 ⋅ + 2 ⋅ 3 − 4     = (1 + 2)(1 + 6 ) − 4 ⋅ ⋅ = 3⋅ 7 − = 21 − =
23. 1 4 4
= = 20 9
5
 2 3  4   2   3 4 9 9 9 9 9
c 3 2 2
b2 − 22 −
3 − n = 3 − 3 = 3 − 3 = 3 − 4 = 6 − 4 = 54 − 28 = 26
24. 2ab − m b − m 1 1 1 3 7 9 7 9 63 63
2 ⋅1⋅ 2 − 2− 4−
2 2 2 2 2
EJERCICIO 14
1. a + b + m
(
10. $ x + a − m ) 18. x2 m2
2. m2 + b3 + x 4 (
11. m − a − b − c Km ) ( ) (
19. $ 3a + 6b ; $ ax + bm )
12. $ (n − 300)
3. a + 1 ; a + 2 20. (a + b)( x + y )
4. x − 1 ; x − 2 13. (365− x) días 21. $ (8 x + 48)
5. y + 2 ; y + 4 ; y + 6
22. bs. (a − 8)(x + 4)
14. $ 8a ; $15a ; $ ma
(
6. $ a + x + m ) c
15. 2a + 3b + 75
7. m − n 2 23. sucres
x
(
8. bs. x − 6 ) 16. a ⋅ b m2
a
(
9. x − m Km ) 17. 23n m2 24. $
m

11. 3.000
25. n − 1 colones a +b
29. $ m − 2
x
26. a − 3 soles  x
30.  x + 2 x +

 hab.
2
m
m
27.
14   a 2a  
31. 1000 −  a + +  sucres
3 4 
.
  
x +1 km
28. h
a
EJERCICIO 15
3 2
1. m, n → m + n 20. − 4x 2 y , x y
8
( )
2. m , − n → m + − n = m − n 3
− 4x 2 y + x 2 y =
− 32 + 3 2
x y=−
29 2
x y
3. − 3a , 4b → − 3a + 4b 8 8 8
4. 5b , 6a → − 6a + 5b 3 3
mn , − mn
( )
21.
5. 7 , − 6 → 7 + − 6 = 7 − 6 = 1 8 4
3 3 3−6 3
6. − 6 , 9 → − 6 + 9 = 3 mn − mn = mn = − mn
8 4 8 8
7. − 2x , 3y → − 2x + 3y
22. a , b , c → a + b + c
8. 5mn , − m → 5mn + (− m) = 5mn − m
23. a , − b , c → a − b + c
9. 5a , 7a → 5a + 7a = 12a
24. a , − b , 2c → a − b + 2c
( )
10. − 8 x , − 5x → − 8 x + − 5x = − 8 x − 5x = − 13x 25. 3m , − 2n , 4p → 3m − 2n + 4p
11. − 11m , 8m → − 11m + 8m = − 3m 26. a 2 , − 7ab , − 5b2 → a 2 − 7ab − 5b2
12. 9ab , − 15ab → 9ab − 15ab = − 6ab
27. x 2 , − 3xy , − 4y 2 → x 2 − 3xy − 4y 2
13. − xy , − 9xy → − 9xy − xy = − 10xy
28. x3 , − x2 y , 6 → x3 − x 2y + 6
( )
14. mn , − 11mn → mn + − 11mn = mn − 11 mn = − 10mn
29. 2a , − b , 3a → 2a + 3a − b = 5a − b
1 2 1 2
15. a , − b → a− b 30. − m , − 8n , 4n → − m − 8n + 4n = − m − 4n
2 3 2 3
31. −7a , 8a , − b → − 7a + 8a − b = a − b
3 3 3 3
16. b, c→ b+ c 1 2 3
5 4 5 4 32. x, y, − x
2 3 4
1 2 1 2 3 4−6
17. b, b→ b+ b= b=b 1 3 2
x− x+ y=
2 1 2
x+ y=− x+ y
3 3 3 3 3 2 4 3 8 3 4 3
1 1 1 1 2
18. − xy , − xy → − xy − xy = − xy = − xy 3 2
2 2 2 2 2
33. − 5 m , − m , − 3 mn
3 2 3 2 −3−5 2 8 2
19. − abc , − abc − m − m − mn = m − mn = − m − mn
5 5 5 3 5 3 5 3
3 2 5
− abc − abc = − abc = − abc 34. − 7a 2 , 5ab , 3b 2 , − a2
5 5 5
− 7a 2 − a 2 + 5ab + 3b 2 = − 8a 2 + 5ab + 3b 2

12. 35. − 7mn2 + 17mn2 − 5m − 4m = 10mn2 − 9m EJERCICIO 16
36. x − 7x − 8x y + 4x y + 5 = − 6x − 4x y + 5
3 3 2 2 3 2
1. 3a + 2b − c
37. 5x 2 − x 2 + 9xy − 6xy + 7y 2 = 4x2 + 3xy + 7y2 10. ab + bc + cd
2a + 3b + c
− 8ab − 3bc − 3cd
38. − 8a 2b − a 2b + 5ab 2 − 11ab 2 − 7b 3 5a + 5b 5ab + 2bc + 2cd
= − 9a b − 6ab − 7b
2 2 3
− 2ab
2. 7a − 4b + 5c
− 7a + 4b − 6c
39. m − 8m n + 7m n + 7mn − n
3 2 2 2 3
11. ax − ay − az
= m − m n + 7mn − n
3 2 2 3 −c
− 5 ax − 7ay − 6az
3. m+n−p 4 ax + 9ay + 8az
1 1 2 1
40. a − a + b+ b−6 −m−n+ p
2 4 3 5 ay + az
2 −1 10 + 3 1 13 0
= a+ b−6= a + b−6
4 15 4 15 12. 5x − 7y + 8
4. 9x − 3y + 5 − 4x − y + 6
41. a − a − 3b + 4b − 8c + 8c = b
− x − y +4 − 3x + 8y + 9
− 5x + 4 y − 9
− 2x + 23
42. m3 + 5m3 − 5m3 − 4m2n − 4m2n − 7mn2 3x
= m3 − 8m2n − 7mn2 13. − am + 6mn − 4s
5. a+ b − c − am − 5mn + 6s
43. 9x − x − 11y − 6y + 4z − 6z = 8x − 17y − 2z
2a + 2b − 2c 3am − 5mn − 2s
− 3a − b + 3c
am − 4mn
44. 6a + 9a − 5ab − 7b − 8b − 11
2 2 2 2
2b
= 15a − 5ab − 15b − 11
2 2
14. 2a + 3b
6. p+ q+ r 6b − 4c
45. − x y + x y − 5xy + 7 xy − 4y − 8
2 2 2 2 3 3 4
− 2p − 6q + 3r −a + 8c
= 2xy 3 − 4y 4 − 8
p + 5q − 8r
a + 9b + 4c
1 1 − 4r
46. 3a − a + b − b − 4 + 6
2 2 15. 6m − 3n
6 −1 1− 2 5 1 − 4n + 5p
= a+ b+2= a− b+2
2 2 2 2 7. − 7x − 4y + 6z −m − 5p
10x − 20y − 8z
1 2 3 2 2 1 5 5 5m − 7n
x + x + xy − xy + y 2 − y 2 − 5x + 24y + 2z
47.
2 4 3 3 6 6
− 2x
2 + 3 2 2 −1 5 2 1 16. 2a + 3b
= x + xy = x + xy
4 3 4 3 + 5c − 4
8. − 2m + 3n − 6 8a +6
48. 5ax − 5ax − 6a x + 1 + a x + 1 + 5a x + 1 + 8a x + 2 = 8a x + 2
3m − 8n + 8 + 7c − 9
3 2 2 2 1 1 − 5m + n − 10 10a + 3b + 12c − 7
49. x + x − xy − xy + y 2 + 5y 2
4 3 3 3
− 4m − 4n − 8
3+ 4 2 3 1+ 15 2 7 2 16 2 17. 2x − 3y
= x − xy + y = x − xy + y
4 3 3 4 3 + 5z + 9
9. − 5a − 2b − 3c 6x −4
3 2 1 1 1 5
50. a b − a 2b + a 2b + ab 2 + ab 2 − ab 2 7a − 3b + 5c 3y −5
4 4 2 2 6
3 − 1+ 4 2 3+3−5 3 2 1 − 8a + 5b − 3c 8x + 5z
= a b+ ab = a b + ab 2
2
4 6 2 6 − 6a −c

13. 18. 8a + 3b − c 21. 5a x − 3am − 7an 24. a+ b − c +d
5a − b + c − 8a + 5a − 9a
x m n a− b + c −d
−a −b − c − 2a + 3b − 2c + d
− 11a x + 5am + 16an
7a − b + 4c − 3a − 3b + 4c − d
− 14a x + 7am
19a + 3c − 3a + 2c
a +1
22. 6m − 7m
a+2
− 5ma + 3 25. 5ab − 3bc + 4cd
19. 7x + 2y −4
a +1 a+2 a+3
+ 2bc + 2cd − 3de
+ 9y − 6z + 5 4m − 7m −m − 2ab + 4bc + 3de
− y + 3z − 6 − 5ma + 1 + 3ma + 2 + 12ma + 3 − ab − 3bc − 6cd
8 x − 3y −5
5ma + 1 − 11ma + 2 + 6ma + 3 2ab
15x + 7y − 3z − 10
26. a − b
b−c
20. − m − n − p
23. 8x + y + z + u c+d
m + 2n −5 −c
− 3x − 4y − 2z + 3u a
− 6m + 3p + 4 c−d
4x + 5y + 3z − 4u
5m + 2n −8 −a +d
− 9x − y + z + 2u
a −d
− m + 3n + 2p − 9
y + 3z + 2u 2a
EJERCICIO 17 7. m2 + n2 12. a
3
− 4a + 5
+ 4n2 − 3mn a 3 − 2a 2 +6
1. x + 4 x
2
x 2 − 5x − 5m − 5n 2 2
+ a − 7a + 4
2
2x 2 − x − 4m 2
− 3mn 2a − a 2 − 11a + 15
3
2. a + ab
2
8. 3x + x 3 13. − x2 + x − 6
− 2ab + b 2 − 4x 2 + 5 x − 7x 2
3
+5
a − ab + b
2 2 − x + 4x − 6
3 2
−x 3
+ 8x − 5
3x −1 − 8x + 9x − 6
2
3. x
3
+ 2x
− x2 +4 9. x 2 − 3xy + y 2 14. a
3
− b3
x − x + 2x + 4
3 2 − x + 3xy − 2y
2 2
+ 5a b − 4ab
2 2
x 2 + 3xy − y 2 a 3
− 7ab2 − b3
4. a
4
− 3a 2
x + 3xy − 2y
2 2
2a 3 + 5a 2b − 11ab 2 − 2b 3
+ a3 + 4a
a 4 + a 3 − 3a 2 + 4a 10. a 2 − 3ab + b 2 15. x 3 + xy 2 + y 3
+ a − 5ab − b
2 2
x − 5x y
3 2
− y3
5. − x 2 + 3x
− 2a + 8ab − b
2 2
2x 3 − 4xy 2 − 5y 3
x3 +6
−b 2
4x 3 − 5x 2 y − 3xy 2 − 5y 3
x 3 − x 2 + 3x + 6
11. − 7x 2 + 5x − 6 − 7m2n + 4n3
6. x 2 − 4 x 16.
4 x + 8x − 9
2
+m 3
+ 6mn − n3
2
− 7x + 6
−x 2
− 7x + 14 − m + 7m n
3 2
+ 5n3
3x 2 −5
− 4 x 2 + 6x − 1 + 6mn2 + 8n3
4x 2 − 11x + 1

14. 24. − 8a 2m + 6am2 − m3
17. x
4
− x2 + x
+ a 3
− 5am2 + m3
+ x 3 − 4x 2 +5
− 4a + 4a m − 3am2
3 2
+ 7x 2 − 4x + 6
+ 7a 2m − 4am2 −6
x 4 + x 3 + 2x 2 − 3x + 11
− 3a + 3a m − 6am
3 2 2
−6
18. + a + a4 +6
6
25. x
5
− x 3y 2 − xy 4
+a 5
− 3a 3
+8
+ 2x y 4
+ 3x y 2 3
− y5
+ a 3 − a 2 − 14
+ 3x y 3 2
− 4xy − y 54
+ a + a + a − 2a − a
6 5 4 3 2
x5 + 5xy 4 + 2y 5
2x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 3x 2 y 3
19. x
5
+ x −9
+ 3x 4 − 7x 2 +6 26. a 5 + a6 + a2
− 3x 3
− 4x + 5 + a 4 + a3 + 6
x 5 + 3x 4 − 3x 3 − 7x 2 − 3x + 2 + 3a 2 − 8 + 5a
−a 5
− 4a 2 + 6 − 5a
20. a + a +a +a +a +4
3 6 4 3
+ a2 + 5
27. a4 − b4
+ 4a + 7 a 2
− a 3b + a 2b 2 − ab 3
− 8 a2 − 6
− 3a + 5a 3b − 4a 2b 2
4
a 3 + 5a −1
− 4a 3b + 3a 2b 2 − 3b 4
− 2a 4 − ab 3 − 4b 4
21. x
4
− x 2y2
− 5x 3 y + 6xy 3 28. m3 − n3 + 6m2n
− 4 xy 3 + y 4 + n3 − 4m2n + 5mn2
− 4x y 2 2
−6 m − n3
3
+ 6mn2
x 4 − 5x 3 y − 5x 2 y 2 + 2xy 3 + y 4 − 6 − 2m + n − 2m n
3 3 2
11mn2
22. + x + xy
2
29. a
x
− 3a x − 2
− x 2 + 4 xy − 7y 2 x −1
+ 5a + 6a x − 3
− x 2 + 6xy + 5y 2
+ 7a x − 3 + a x − 4
− 6x 2 − 4xy + y 2
+ ax −1 − 13a x − 3
− 7 x 2 + 7 xy − y 2 x −1 x−2
a + 6a
x
− 3a + ax − 4
23. a 3 − 8ax 2 + x 3 30. − a x + a x + 1 + ax + 2
− 6ax − x + 5a x
2 3 2
− 3a x+3
−a x −1
+a x−2
3a 3 − x 3 − 5a 2 x −a x
+ 4a x+3
− 5a x + 2
a + 14ax − x
3 2 3
+a x −1
−a x−2
+ ax + 2
5a 3 − 2x 3 − 2a x + a x + 1 + a x + 3 − 3a x + 2
x+3 x+2 x +1
⇒a − 3a +a − 2a x

15. 5 2 2 2 3
EJERCICIO 18 6. x − y + xy
6 3 4
1 2 1
1. x + xy 1
− x2 +
1 2
y −
1
xy
2 3 6 8 2
1 1
+ xy + y2 1
− x2 +
1 2
y +
5
xy
2 4 3 4 6
1 2 2+3 1 1 5 1 5 − 1− 2 2 − 16 + 3 + 6 2 9 − 6 + 10
x + xy + y 2 = x 2 + xy + y 2 x + y + xy
2 6 4 2 6 4 6 24 12
2 7 2 13 1 13 7 2
1 = x2 − y + xy ⇒ x 2 + xy − y
2. a + 2 ab
2 6 24 12 3 12 24
1 1 2 1 2
7. a 3 − ab + b3
− ab + b 2
4 2
3 2 5 2
1 1 − ab − 2b 3 + a b
− ab − b2 8 6
4 5 1 3 3 3 1 2
a − b − a b
2 − 1− 1 5−2 2 3 2 4 5 2
a +
2
ab + b = a2 + b
4 10 10 4 + 1 3 − 4 − 3 2 5 − 10 − 3 3 5 − 3 2
a + ab + b + a b
4 8 5 6
5 7 8 2 5 1 7 8
2 = a 3 − ab 2 − b 3 + a 2b ⇒ a 3 + a 2b − ab 2 − b 3
3. x
2
+ xy 4 8 5 6 4 3 8 5
3
1 8. x4 − x2 + 5
− xy + y2
6 2 3 3
−3 + x − x
5 2 3 8
− xy + y2
6 3 3 4 5 3 3
− x + x − x
4 − 1− 5 3+2 2 5 6 4
x2 + xy + y
6 3 5−3 4 2 4+5 3 −3−6
x − x + 2+ x + x
2 5 1 5 5 6 8
= x 2 − xy + y 2 = x 2 − xy + y 2
6 3 3 3 2 9 9 2 3 9
= x 4 − x2 + 2 + x3 − x ⇒ x4 + x 3 − x 2 − x + 2
5 6 8 5 2 8
3 2 1 2 2 3 1 2 3
4. x − y 9. m − mn2 + n
4 2 3 4 5
2 1 2 1 3 3 1 2
− xy + y + mn2 − n + m n
5 6 8 5 6
1 2
1 1 2 m3 − n3 − m n
+ xy + y 2
10 3
2 + 3 3 −2 + 1 2 2 − 3 − 5 3 1− 3 2
3 2 − 4 +1 − 3 + 1+ 2 2 3 2 3 m + mn + n + m n
x + xy + y = x − xy 3 8 5 6
4 10 6 4 10 5 1 6 2 5 1 1 6
= m3 − mn2 − n3 − m2n ⇒ m3 − m2n − mn2 − n 3
3 8 5 6 3 3 8 5
2 2 1 1 2 2 4
5. a + ab − b 10. x
4
+ 2x 2 y 2 + y
3 5 2 7
5 2 1 1 2 5 4 3 2 2 1 4 1 3
a − ab + b − x + x y − y − xy
6 10 6 6 8 14 6
1 2 2 1 4 5 3
1 2 1 1 2 − x y + y − x y
− a + ab − b 4 7 6
12 20 3
6 − 5 4 16 + 3 − 2 2 2 4 − 1+ 2 4 1 3 5 3
8 + 10 − 1 2 4 − 2 + 1 − 3 + 1− 2 2 x + x y + y − xy − x y
a + ab + b 6 8 14 6 6
12 20 6 1 17 2 2 5 4 1 3 5 3
= x4 + x y + y − xy − x y
17 2 3 4 17 2 3 2 6 8 14 6 6
= a + ab − b2 = a + ab − b2
12 20 6 12 20 3 1 4 5 3 17 2 2 1 3 5 4
⇒ x − x y+ x y − xy + y
6 6 8 6 14

16. 2 3 4
11. x − + 13. a − +
6
5
x x a4 a2
3 5
3 5 3 3 1
1 3 2 + a − a − a
− 3x 5 − x + x 5 8 2
10 8
3 4 5 2
1 3 1 2 2 4 − a − a +6
+ x − x − x 7 8
6 4 3
3
1 3 3 − a −6
− x + x −4 8
12 5
−7 −3 4 8−5 2 3 5 3 3 −4−3
− 8 + 2 − 1 3 8 − 1+ 6 3−2 2 2 4 a6 + a + a + a − a + a
− 2x 5 + x + x+ x − x −4 7 8 5 8 8
12 10 8 3
10 4 3 2 3 5 3 3 7
= a6 − a + a + a − a − a
7 8 5 8 8
7 3 13 1 2
= − 2x 5 − x + x + x2 − x4 − 4 3 5 10 4 3 3 3 2 7
12 10 8 3 ⇒ a6 + a − a − a + a − a
5 7 8 8 8
2 7 3 1 2 13
⇒ − 2x 5 − x 4 − x + x + x −4
3 12 8 10
2 3 5 2 1 3 14. x5 − y5
12. a +ax − x 1 3 2 3 4 1 5
9 6 3 + x y − xy − y
10 4 6
3 7 2 1 3
− a2x − ax − x −
1 5
y +
3 4 5
x y − x2y3
7 8 9 9 5 6
2 3 2 1 5
2 1 1 2 − x y − y + 2x 4 y
− a3 + a2x − ax 5 3
3 2 4 1− 4 3 2 3 4 − 18 − 3 − 2 − 6 5 3 + 10 4 5
x5 + x y − xy + y + x y − x2y3
2−6 3 −6+7 2 20 − 21− 6 2 − 3 − 1 3 10 4 18 5 6
a + a x+ ax + x 3 3 2 3 4 29 5 13 4 5
9 14 24 9 = x5 − x y − xy − y + x y − x2 y 3
10 4 18 5 6
4 1 2 7 4
= − a3 + a x− ax 2 − x 3 ⇒ x5 +
13 4
x y−
3 3 2 5 2 3 3 4 29 5
x y − x y − xy − y
9 14 24 9 5 10 6 4 18
EJERCICIO 19
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:
a = 2 b = 3 c = 10 x = 5 y = 4 m = 2/3 n = 1/5
3. x4 − y4
1. 4x − 5y 2x 4 − 5x 2 y 2 − 8
− 3x + 6y − 8 − 4x 4
+ 7x 3y + 10xy 3
− x+ y
− x 4 − y 4 − 5x 2 y 2 − 8 + 7x 3 y + 10xy 3
2y − 8
⇒ − x 4 + 7x 3 y − 5x 2 y 2 + 10xy 3 − y 4 − 8
⇒ 2⋅4 − 8 = 8 − 8 = 0
= − 54 + 7 ⋅ 5 3 ⋅ 4 − 5 ⋅ 52 ⋅ 4 2 + 10 ⋅ 5 ⋅ 4 3 − 4 4 − 8
= − 625 + 28 ⋅125 − 5 ⋅ 25 ⋅16 + 50 ⋅ 64 − 256 − 8
= − 625 + 3.500 − 2.000 + 3.200 − 256 − 8 = 3.811
2. x 2 − 5x + 8
− x 2 + 10x − 30
4. 3m − 5n + 6
− 6x 2 + 5x − 50 − 6m − 20n + 8
− 6x 2 + 10x − 72 12m − 20n − 12
⇒ − 6 ⋅ 5 2 + 10 ⋅ 5 − 72 = − 6 ⋅ 25 + 50 − 72 9m − 45n + 2
= − 150 + 50 − 72 = − 172 2 1 18 45
⇒ 9 ⋅ − 45 ⋅ + 2 = − + 2 = 6 − 9 + 2 = −1
3 5 3 5

17. 5. nx + cn − ab
8nx − 2cn − ab 10. x 3 y − xy 3 + 5
nx − ab − 5 5x 3 y − 6 + x 4 − x 2y2
10nx − cn − 3ab − 5 − 6xy + 2
3
+ x2 y2
1 1
⇒ 10 ⋅ ⋅ 5 − 10 ⋅ − 3 ⋅ 2 ⋅ 3 − 5 + 3xy 3 + 1 − y4
5 5
6x 3y − 4xy 3 + 2 + x 4 − y4
50 10
= − − 6 ⋅3 − 5 ⇒ x + 6x y − 4xy − y + 2
4 3 3 4
5 5
= 10 − 2 − 18 − 5 = − 15 = 5 4 + 6 ⋅ 53 ⋅ 4 − 4 ⋅ 5 ⋅ 43 − 44 + 2
= 625 + 24 ⋅125 − 20 ⋅ 64 − 256 + 2
6. a3 + b3 = 625 + 3.000 − 1280 − 256 + 2 = 2.091
.
− 3a b + 8ab − b 3
2 2
− 5a 3 − 6ab 2 +8 3 2
a
2 2
b +
11.
+ 3a b 2
− 2b 3 4 3
1 1
− 4a 3
+ 2ab − 2b3 + 82 − ab + b 2
3 9
⇒ − 4 ⋅2 + 2⋅2⋅3 − 2⋅3 + 8
3 2 3
1 1
+ ab − b 2
= − 4 ⋅ 8 + 4 ⋅ 9 − 2 ⋅ 27 + 8 6 3
= − 32 + 36 − 54 + 8 = − 42 3 2 − 2 +1 6 + 1− 3 2
a − ab + b
4 6 9
7. 27m
3
+ 125n 3 3 1 4
= a 2 − ab + b 2
− 9m n + 25mn
2 2 4 6 9
− 14mn 2 −8 3 1 4
⇒ ⋅ 22 − ⋅ 2 ⋅ 3 + ⋅ 32
+ 10m n + 11mn 2
2 4 6 9
3 1 4
27m3 + m2 n + 22mn 2 + 125n 3 − 8 = ⋅ 4 − ⋅ 6 + ⋅ 9 = 3 − 1+ 4 = 6
3 2 2 3
4 6 9
 2  2 1 2  1  1
⇒ 27 ⋅   +   ⋅ + 22 ⋅ ⋅   + 125 ⋅   − 8
 3  3 5 3  5  5
9 2 25 2 1
8 4 1 44 1 1 m + n −
= 27 ⋅ + ⋅ + ⋅ + 125 ⋅ −8 12. 17 34 4
27 9 5 3 25 125
7 2 5 2 1
4 44 4 44 m + n + − 15mn
=8+ + + 1− 8= + +1 34 17 2
45 75 45 75
7 2 1
20 + 132 + 225 377 − m − − 30mn
= = = 1 152
225 34 4
225 225
+ 3
a −1
+ y b − 2 + mx − 4 18 + 7 − 7 2 25 + 10 2 − 1 + 2 − 1 + 12
8. x m + n + − 45mn
a −1 b−2 x −4 34 34 4
2x − 2y − 2m 18 2 35 2 12
b−2 = m + n + − 45mn
+ 3y − 2m x − 4 34 34 4
9 2 35 2
3x a −1 + 2 y b − 2 − 3mx − 4 ⇒
17
m − 45mn +
34
n +3
5−4
 2
2 2
9  2 2 1 35  1
⇒ 3⋅ 52 −1 + 2 ⋅ 4 3 − 2 − 3  = 15 + 8 − 2 = 21 =   − 45⋅ ⋅ +
17  3 
  +3
3 5 34  5
 3
9 4 90 35 1
= ⋅ − + ⋅ +3
b −1 x −3 17 9 15 34 25
9. n − m +8 4 35 4 7
= − 6+ + 3= + −3
− 5nb −1 − 3m x − 3 + 10 17 850 17 170
40 + 7 − 510 463
4nb −1 + 5m x − 3 − 18 = =− = − 2 123
170
170 170
mx − 3
5−3
 2  2
2
4
⇒  =  =
 3  3 9

18. 1 2 3
13. b m − cn − 2 14. 0,2a 3 + 0,4ab2 − 0,5a 2b
2 5
3 2 1 + 0,6ab2 − 0,3a 2b − 0,8b 3
b m − cn + 6
4 10 − 0,4a 3 − 0,8a 2b +6
1 2 1
− b m + cn + 4 0,2a 3
+ 15a 2b + 0,9b3
,
4 25
1
− b 2m + 2cn +
3 ab 2 − 0,1a 2b + 0,1b 3 + 6
8 5
⇒ − 0,1a b + ab + 0,1b3 + 6
2 2
4 + 6 − 2 −1 2 − 30 − 5 + 2 + 100 − 10 + 30 + 20 + 3
b m+ cn + = − 0,1⋅ 22 ⋅ 3 + 2 ⋅ 32 + 0,1 ⋅ 33 + 6
8 50 5
7 2 67 43 7 2 2 67 1 43 = − 0,3 ⋅ 4 + 2 ⋅ 9 + 0,1⋅ 27 + 6
⇒ b m+ cn + = ⋅3 ⋅ + ⋅10 ⋅ +
8 50 5 8 3 50 5 5 = − 12 + 18 + 2,7 + 6
,
7 ⋅ 9 ⋅ 2 67 43 126 670 43 21 67 43
= + + = + + = + + = 25,5
24 50 5 24 250 5 4 25 5
525 + 268 + 860 1. 653
= = = 16 100
53
100 100
EJERCICIO 20
21. − 8x a + 2 − 11= − 8xa + 2 − 11
1. − 8 − 5 = − 13
22. 6a n − (− 5a n ) = 6a n + 5a n = 11a n
2. − 7 − 4 = − 11
3. 8 − 11 = − 3 23.− 45a x −1 − (− 60a ) = − 45a + 60a = 15a
x −1 x −1 x −1 x −1
4. − 8 − (− 11) = − 8 + 11 = 3
24. 54bn −1 − (− 86b ) = 54b + 86b = 140b
n −1 n −1 n −1 n −1
( )
5. − 1 − − 9 = − 1 + 9 = 8
6. 2a − 3b = 2a − 3b 25. − 35ma − (− 60m ) = − 35m + 60m = 25m
a a a a
7. 3b − 2 = 3b − 2  1 1 10 + 1 11 1
26. 5 −  −  = 5 + =
 2
= =52
8. 4x − 6b = 4x − 6b 2 2 2
9. − 5a − 6b = − 5a − 6b 2 3 −8−9 17
27. − − = =−
( )
10. − 8 x − − 3 = − 8 x + 3 3 4 12 12
11. −9a − 5b2 = − 9a 2 − 5b 2
2 1 2  2 2 1 2 2 2 3 2 2
28. x −− x  = x + x = x = x
3  3  3 3 3
( )
12. − 7 xy − − 5 yz = − 7 xy + 5 yz
4 3  5 3  24 + 25 3 49 3
13. 3a − 4a = − a 29. x y −  − x y = x y= x y
5  6  30 30
14. 11 2 − 25 m2 = − 14m2
m
1 2  3 2  − 1+ 6 2 5 2
− 6 x 2 y − (− x 2 y) = − 6x 2 y + x 2 y = − 5x 2 y 30. − ab −  − ab  = ab = ab
15. 8  4  8 8
11a 3m2 − (− 7a 3m2 ) = 11a 3m2 + 7a 3m2 = 18a 3m2
31. − 2 − 3 = − 5
16.
( )
32. 7 − − 1 = 7 + 1 = 8
17. − 8ab 2 − (− 8ab 2 ) = − 8ab 2 + 8ab 2 = 0
33. − 8 − (− 5) = − 8 + 5 = − 3
18. 31x 2 y − (− 46 x 2 y) = 31x 2 y + 46 x 2 y = 77 x 2 y 34. 5 − (− 4 ) = 5 + 4 = 9
19. − 84a 2b − (− 84a 2b) = − 84a 2b + 84a 2b = 0 35. − 7 − (− 7) = − 7 + 7 = 0
20. 3a x + 1 − 5b x + 2 = 3a x + 1 − 5b x + 2 36. 2a − (− 5) = 2a + 5

19. 37. −3x − b = − 3x − b EJERCICIO 21
38. − 2n − 5m = − 2n − 5m
1. a +b 2. 2x − 3y
(
39. 3b − − 6a = 6a + 3b ) −a +b x − 2y
40. 8b − (− 5a ) = 5a + 8b
3 3 2b 3x − 5y
41. − 7a − (− 9 ) = − 7a + 9 3. 8a + b 4. x − 3x
2
(
42. 25ab − − 25 = 25 ab + 25 ) 3a −4 5x − 6
11a + b − 4 x 2 + 2x − 6
( )
43. 3a − − a = 3a + a = 4a
44. − 4b − (− 3b) = − 4b + 3b = − b 5. a − a b
3 2
6. x−y+z
54 x 3 − (− 11x 3 ) = 54 x 3 + 11x 3 = 65x 3
− 7a 2b − 9ab 2 −x+y−z
45.
a 3 − 8a 2b − 9ab 2 0
46. 78a 2b − 14a 2b = 64a 2b
47. − 54a 2 y − (− 43a 2 y ) = − 54a 2 y + 43a 2 y = − 11a 2 y
48. − ab − 9ab = − 10ab 7. x + y − z 8. x 2 + y 2 − 3xy
x+ y − z − 3x 2 + y 2 + 4xy
49. − 31x y − (− 31x y) = − 31x y + 31x y = 0
2 2 2 2
2 x + 2 y − 2z − 2x 2 + 2y 2 + xy
50. − 3a − a = − 4a
x x x
⇒ − 2x 2 + xy + 2y 2
51. 311a x +1 − (− 7a x +1 ) = 311a x +1 + 7a x +1 = 318a x +1
9. x3 − x2 + 6 10. y
2
+ 6y 3 −8
52. 105m − 9m = 96m
x x x
− 5x − 6 + 4 x
2
3y − 2y
2 4
− 6y
53. − 31a x −1
− 18a x −1
= − 49a x −1
x − 6x 2
3
+ 4x 4 y 2 − 2y 4 + 6y 3 − 6 y − 8
⇒ − 2y 4 + 6 y 3 + 4 y 2 − 6y − 8
54. − 236ma − (− 19m ) = − 236ma a
+ 19ma = − 217ma
55. − 85a x + 2 − 54a x + 2 = − 139a x + 2 11. a 3 − 6ab 2 + 9a
+ 8a − 15a 2b − 5
56. − (− 6a ) = + 6a
1 1
4 4 a 3 − 6ab 2 + 17a − 15a 2b − 5
2 − 2 + 15 13 ⇒ a 3 − 15a 2b − 6ab 2 + 17a − 5
57. − − ( − 5) = =
3 3 3
12. x 4 + 9xy 3 − 11y 4
7 3 3 3
58. − m − m − 20y 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2
10 8
− 56 − 30 3 86 3 43 3 x 4 + 9xy 3 − 31y 4 + 8x 3 y + 6x 2 y 2
= m =− m =− m
80 80 40 ⇒ x 4 + 8x 3y + 6x 2 y 2 + 9xy 3 − 31y 4
5 2 2  11 2 2  13. a + b + c − d ab + 2ac − 3cd − 5de
59. a b −− ab  14.
6  12  − 8ab + 4ac + 5cd − 5de
a + b−c+d
10 + 11 2 2 21 2 2 7 2 2
= ab = ab = ab 2a + 2b − 7 ab + 6ac + 2cd − 10de
12 12 4
15. x 3 + 6x 2 − 9x − 19
1 3 2
60. − a b − 45a 3b 2 − 6x 3 + 11x 2 − 21x + 43
9
− 1− 405 3 2 − 406 3 2 − 5 x 3 + 17 x 2 − 30x + 24
= ab = a b = − 45 9 a 3b2
1
9 9

20. 16. y − 9y + 6y − 31
5 3 2
− 31y 3 + 8y 2 + 11y 4 + 19y
y 5 − 40y 3 + 14 y 2 + 11y 4 + 19y − 31 ⇒ y 5 + 11y 4 − 40y 3 + 14 y 2 + 19y − 31
17. 5m3 − 9n3 + 6m2n − 8mn2
− 5m3 + 21m2n − 14mn2 + 18
− 9n3 + 27m2n − 22mn2 + 18 ⇒ 27m2n − 22mn2 − 9n3 + 18
18. 4 x 3 y − 19xy 3 + y 4 − 6x 2 y 2
25x 3 y + 51xy 3 − 32 x 2 y 2 + x 4
29x 3 y + 32 xy 3 + y 4 − 38x 2 y 2 + x 4 ⇒ x 4 + 29 x 3 y − 38x 2 y 2 + 32 xy 3 + y 4
19. m + m n − 9m n + 19
6 4 2 2 4
+ 30m2n4 + 61+ 13m3n3 − 16mn5
m6 + m4n2 + 21 2n4 + 80 + 13m3n3 − 16mn5 ⇒ m6 + m4n2 + 13m3n3 + 21m2n4 − 16mn5 + 80
m
20. − a 5b + 6 a 3b 3 − 18 ab 5 + 42
8a 6
+ 11a b 4 2
+ 11a b2 4
− 9b 6
8a 6 − a 5 b + 11a 4 b 2 + 6a 3b 3 + 11a 2b 4 − 18 ab 5 − 9b 6 + 42
21. 1 − x + x − x + 3x − 6x
2 4 3 5
24 + 30x 2 − 8x 4 − 15x + x6
25 + 29 x 2 − 7 x 4 − x 3 − 12x − 6x 5 + x 6 ⇒ x 6 − 6 x 5 − 7 x 4 − x 3 + 29 x 2 − 12 x + 25
22. − 6x 2 y 3 + 8 x 5 − 23x 4 y + 80x 3 y 2 − 18
+ 51x 4 y + 21x 3 y 2 − 80 + y 5 − 9xy 4
− 6x 2 y 3 + 8 x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 98 + y 5 − 9xy 4 ⇒ 8x 5 + 28x 4 y + 101x 3 y 2 − 6 x 2 y 3 − 9xy 4 + y 5 − 98
23. m
6
− 8m4n2 + 21m2n4 − 6mn5 + 8
23m n 5
− 14m n 3 3
+ 24mn5 − 8n6 + 14
m6 + 23m5n − 8m4n2 − 14m3n3 + 21 2n4 + 18mn5 − 8n6 + 22
m
24. x − 8x + 16x − 23x − 15
7 5 2
− 51x + 18 + 8 x 6 − 25 x 4 + 30x 3
x 7 − 59x + 16x 5 − 23x 2 + 3 + 8x 6 − 25x 4 + 30x 3 ⇒ x 7 + 8x 6 + 16x 5 − 25 x 4 + 30x 3 − 23x 2 − 59 x + 3
25. 9a 6 − 15a 4b 2 + 31a 2b 4 − b 6 + 14
+ 15a b 4 2
− 3 b − 25a b − 53 a b + 9 ab
6 5 3 3 5
9a 6
+ 31a b − 4b 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 9 ab 5 + 14 ⇒ 9a 6 − 25a 5b − 53 a 3b 3 + 31a 2b 4 + 9 ab 5 − 4b 6 + 14
2 4
ax + ax +1 − ax + 2
− 5a x + 6a x + 1 + a x + 2
26.
− 4a x + 7a x + 1

21. a −1
27. m − m
a
+ 3ma − 2
4ma − 5ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3
5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 3ma + 1 − 8ma − 3 ⇒ − 3ma + 1 + 5ma − ma − 1 − 2ma − 2 − 8ma − 3
m+4
28. a − 7am + 2 − 8a m + 6am − 1
+ 14a m + 2 + 8a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1
a m + 4 + 7a m + 2 − 8am + 14a m − 1 + 5am + 3 + 11a m + 1 ⇒ am + 4 + 5am + 3 + 7am + 2 + 11a m + 1 − 8a m + 14a m − 1
a+2
29. x − 7 x a + 9x a − 1 + 25x a − 2
− 19x a − 45x a − 1 + 11x a + 1 − 60x a − 3
a+2 a −1 a−2
x − 26x − 36x
a
+ 25x + 11x a + 1 − 60x a − 3 ⇒ x a + 2 + 11x a + 1 − 26x a − 36x a − 1 + 25x a − 2 − 60x a − 3
n+1 n−2
30. m − 6m + 8mn − 3 − 19mn − 5
− 5mn − 2 − 6mn − 3 − 9mn − 5 − 8mn − mn − 4
mn + 1 − 11mn − 2 + 2mn − 3 − 28mn − 5 − 8mn − mn − 4 ⇒ mn + 1 − 8mn − 11mn − 2 + 2mn − 3 − mn − 4 − 28mn − 5
EJERCICIO 22
b− a 7. − a + 2b − 3c
b− a − a + b − 2c
1.
2b − 2a ⇒ − 2a + 2b − 2a + 3b − 5c
2. 2x + 3y 8. − 3n + 4m + 5p
−x+y + n − m −p
x + 4y − 2n + 3m + 4p ⇒ 3m − 2n + 4p
3. − 7a + 5 9. x + 3y − 6z
5a −b x−y +z
− 2a + 5 − b ⇒ − 2a − b + 5 2x + 2y − 5z
4. − x 2 + 6 10. − 5b 2 + 8ab + a 2
−x 2
+ 5x 6b 2 − ab − 3a 2
− 2x + 6 + 5 x ⇒ − 2 x + 5 x + 6
2 2
b 2 + 7ab − 2a 2 ⇒ − 2a 2 + 7ab + b 2
5. x 2 y + 5xy 2 − 5m2 − n2 + 6mn
+ xy 2
−x 3
− m2 + n2 + 3mn
11.
x 2 y + 6xy 2 − x 3 ⇒ − x 3 + x 2 y + 6 xy 2 − 6m2 + 9mn
6. 7a 2b + 5ab 2 12. − 8x 2 + 5x − 4
− 6a 2 b + 8a 3 + x − 6 + x3
a b + 5ab + 8a ⇒ 8a + a b + 5ab
2 2 3 3 2 2
− 8x 2 + 6 x − 10 + x 3 ⇒ x 3 − 8x 2 + 6x − 10

22. 14m2 − 8n + 16 23. y + y + y + 9
6 3 2
13.
− 14m 2
− 9 −m 3
− 23y 3 + 5 − 8y 4 + 15y 5 + 8y
− 8n + 7 − m3 ⇒ − m3 − 8n + 7 y 6 − 22y 3 + y 2 + 14 − 8y 4 + 15y 5 + 8y
⇒ y 6 + 15y 5 − 8y 4 − 22y 3 + y 2 + 8y + 14
14. 8ab + 5bc + 6cd
− ab + bc − 6cd
24. x − x + 3x − 5x − 9
8 6 4 2
7 ab + 6bc
− 36 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x
15. a − 9a b − b
3 2 3
x 8 − x 6 + 3x 4 − 5x 2 − 45 − 7x 7 − 5x 5 + 23x 3 − 51x
− 25a 2b + b 3 + 8ab 2 ⇒ x 8 − 7x 7 − x 6 − 5x 5 + 3x 4 + 23x 3 − 5x 2 − 51x − 45
a 3 − 34a 2b + 8ab 2
25. x 7 − 3x 5 y 2 + 35x 4 y 3 − 8x 2 y 5 + 60
16. 6x − 8x y − 6xy
3 2 2 + 60x 4 y 3 + x 2 y 5 − y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6
− xy 2 + 6y 3 − 4 x − 3x y + 95x y − 7 x y + 60 − y 7 − 90x 3 y 4 + 50xy 6
7 5 2 4 3 2 5
⇒ x 7 − 3x 5 y 2 + 95x 4 y 3 − 90x 3 y 4 − 7x 2 y 5 + 50xy 6 − y 7 + 60
6x 3 − 8x 2 y − 7xy 2 + 6y 3 − 4
x+3
17. m2 − 9n + 11c + 14 26. a − 8a x + 1 − 5
− m2 − 7n + 8c −d + 5a x + 1 − a x + 2 + 6a x
− 16n + 19c + 14 − d ⇒ 19c − d − 16n + 14 a x + 3 − 3a x + 1 − 5 − a x + 2 + 6a x
⇒ a x + 3 − a x + 2 − 3a x + 1 + 6a x − 5
18. 5a + 9a b − 40ab 3 + 6b 4
4 3
− 7a 3b + 8a 2b 2 − 5ab 3 − b 4 27. − 8an + 16an − 4 + 15an − 2 + an − 3
5a 4 + 2a 3b + 8a 2b 2 − 45ab 3 + 5b 4 − 7an − 5an − 2 − an − 3 − 8an − 1
− 15an + 16an − 4 + 10an − 2 − 8an − 1
19. x 5 − 8x 4 + 25x 2 + 15 n −1 n−2
⇒ − 15a − 8a n
+ 10a + 16an − 4
− 6x 2 + 7 − 6x 3 + 9x
x 5 − 8x 4 + 19x 2 + 22 − 6x 3 + 9x
28. 15x a + + 5x a + − 6x a + 41x a −
3 2 1
⇒ x 5 − 8x 4 − 6x 3 + 19x 2 + 9x + 22
+ 9x a + 2 + 18x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4
20. − 3xy 4 − 8x 3 y 2 − 19y 5 + 18 15x a + 3 + 14x a + 2 − 6x a + 59x a − 1 − 31x a + 1 + x a + 4
− 6xy 4
− 25y 5
−x +x y
5 2 3
⇒ x a + 4 + 15x a + 3 + 14x a + 2 − 31x a + 1 − 6x a + 59x a − 1
− 9xy 4 − 8x 3 y 2 − 44y 5 + 18 − x 5 + x 2 y 3
⇒ − x 5 − 8x 3 y 2 + x 2 y 3 − 9xy 4 − 44y 5 + 18 m −1
29. 9a − 21am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5
5am − 1 − 12am − 2 + am + 8am − 4
21. x 3 − 6x 4 + 8x 2 − 9 + 15x
− 25x 3 + 18x 2 + 46 − 25x + 11x 5 14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 14am − 5 + am + 8am − 4
⇒ am + 14am − 1 − 33am − 2 + 26m − 3 + 8am − 4 + 14am − 5
− 24x 3 − 6x 4 + 26x 2 + 37 − 10x + 11x 5
⇒ 11x 5 − 6x 4 − 24x 3 + 26x 2 − 10x + 37
30. − 15mx + 3 + 50mx + 1 − 14mx − 6m x − 1 + 8mx − 2
22. a
5
− 26a 3b 2 + 8ab 4 − b 5 + 6 m x+4
+ 23m x+2
+ 6mx + 1 + mx − 1
− 8a 4b − a 3b 2 + 15a 2b 3 + 45ab 4 +8 m x+4
− 15m x+3
+ 23m x+2
+ 56m x +1
− 14m − 5mx − 1 + 8m x − 2
x
a − 8a b − 27a b + 15a b + 53ab − b + 14
5 4 3 2 2 3 4 5

23. EJERCICIO 23
11. x − 1
2
− xy − y 2
1. 1
− a +1 x 2 − 1 − xy − y 2 ⇒ x 2 − xy − y 2 − 1
−a+2
12. a
3
+6
2. 0 − 5a 2b + 8ab 2 − b 3
− a+8
a 3 − 5a 2b + 8ab 2 − b 3 + 6
− a+8
13. x
3
+ y3
−9 + 5 x y − 17 xy
2 2
+5
3.
− 3a − a + 5
2 x + 5 x y − 17 xy + y + 5
3 2 2 3
− 3a − a − 4 ⇒ − a − 3a − 4
2 2
14. x
4
−1
4. + 16 − 9 x y + 8x y + 15 xy
3 2 2 3
− 5xy + x − 162
x − 9x 3 y + 8 x 2 y 2 + 15 xy 3 − 1
4
− 5xy + x 2 ⇒ x 2 − 5xy
15. a
5
+ b5
+ 11a b − 2a b − 8a b + 4ab
4 2 3 3 2 4
5. 1
a + 11a 4b − 2a 2b3 − 8a 3b 2 + 4ab 4 + b5
5
− a 3 + a 2b − ab 2
⇒ a 5 + 11a 4b − 8a 3b2 − 2a 2b3 + 4ab 4 + b5
1− a + a b − ab ⇒ − a + a b − ab + 1
3 2 2 3 2 2
16. x
4
+ x2 + 50
6. x 3
− 5x 3
+ 25x
x 3 + 8 x 2 y + 6xy 2
x 4 − 5x 3 + x 2 + 25x + 50
2x 3 + 8x 2 y + 6 xy 2
17. y + y − 41
6
3
7. a
− 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2
+ 8a 2b − 6ab 2 + b 3
y 6 + y − 41 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2
a 3 + 8a 2b − 6ab 2 + b 3
⇒ y 6 − 9y 5 − 17y 4 + y 3 − 18y 2 + y − 41
8. + y4 18. a
6
+ 9a 4b 2 + a 2b 4
5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3 + 15a b 5
− 17a b 3 3
+ 14ab 5 + b 6
5x 3 y − 7x 2 y 2 + 8 xy 3 + y 4 a 6 + 15a 5b + 9a 4b 2 − 17a 3b 3 + a 2b 4 + 14ab 5 + b 6
19. x + x − 11x
4 3
9. m4
− 5m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4 − 5 x + x 2 + 34
− 4m4 + 18am3 − 7a 2m2 − a 3m + a 4 x 4 + x 3 − 16x + x 2 + 34 ⇒ x 4 + x 3 + x 2 − 16 x + 34
20. m
3
−1
10. 16 − m2n − 7mn2 + 3n3
14 − b + a − c − d
m3 − m2n − 7mn2 + 3n3 − 1
30 − b + a − c − d ⇒ a − b − c − d + 30

24. EJERCICIO 24
5 3 2 3
1.
1 2
a 6. 6 m + 9
n
2
1 2 1 2 1 3 1 2 3
a + ab − b 2 + n + m n − mn2
4 3 5 5 2 8
2 +1 2 1 2 5 3 10 + 9 3 1 2 3
a + ab − b 2 m + n + m n − mn2
4 3 5 6 45 2 8
3 2 1 2 2
= a + ab − b 5 3 1 2 3 19 3
4 3 5 ⇒ m + m n − mn + 2
n
6 2 8 45
2. 15
3 2 1 3
4 2 5 7. a + ab − b2
− xy − yz + 7 3 5
5 3 9 5 2 1 1
− a − ab +
4 2 135 + 5 14 2 8
− xy − yz +
5 3 9 6−5 2 2−3
4 2 140 a + ab
= − xy − yz + 14 6
5 3 9 1 2 1 3 1
4 2 a − ab − b 2 +
= − xy − yz + 15 5 9
14 6 5 8
5 3
3 2 5 1 2
3 8. x + xy − y
bc 8 6 10
3.
5 3 2 3
1 3 2 x + xy − 2y 2
− bc + ab + cd 5 10
6 4 9 15 + 24 2 50 + 18 1+ 20 2
18 − 5 3 2 x + xy − y
bc + ab + cd 40 60 10
30 4 9 39 2 68 21 2 39 2 17 21 2
3 13 2 = x + xy − y = x + xy − y
⇒ ab + bc + cd 40 60 10 40 15 10
4 30 9
5
9. a + a − +
3 2
1 2 a
4. a − b 6
2 3 7 2 9 7
4 2 1 + a − a −
− a − b + 8 10 8
5 9 2 8 + 7 2 10 + 9 20 − 21
5−8 6+2 1 a3 + a − a+
a− b+ 8 10 24
10 9 2 15 2 19 1
3 8 1 =a +
3
a − a−
=− a− b+ 8 10 24
10 9 2
7 4 3
10 . m + 12 mn −
3 2
n
5 2 3 2 7
5. 9 x − 8
y
5 5 2 1
1 2 5 3 − mn2 − n3 + m n+
− y − xy + 9 21 8
10 7 11
21− 20 4+7 3 5 2 1
5 2 30 + 8 2 5
x − y − xy +
3 m3 + mn2 − n + m n+
9 80 7 11 36 7 21 8
5 38 2 5 3 5 1 11 1
= x2 − y − xy + ⇒ m3 + m2n + mn2 − n3 +
9 80 7 11 21 36 7 8
5 5 19 2 3
⇒ x 2 − xy − y +
9 7 40 11

25. 3 4 3 5 3 2 4 1 3 7 8
11. x + x3y − xy + y 12. a+ b − c + d
5 4 7 3 2 5 8 9
5 2 2 1 5 4 7 1 1 7
− x4 − x y + xy 3 − y + b − c + d −
8 3 6 20 8 9 8
3−5 4 3 3 5 15 − 7 3 4 − 5 4 1 12 + 7 7 +1 8 +1 7
x + x y − x2y 2 − xy + y a+ b− c+ d−
5 4 8 21 6 2 20 8 9 8
2 3 5 8 3 1 4 1 19 8 9 7
= − x 4 + x3y − x2y 2 − xy − y = a+ b− c+ d −
5 4 8 21 6 2 20 8 9 8
1 19 7
= a+ b− c+ d −
2 20 8
EJERCICIO 25
1. 3 2 5 6. 5 2 1 2 1
a − a a b+ ab −
8 6 8 4 3
5 7 2 5 3
− a2 + ab − 6 − a
6 8 6
9 − 20 2 5 11 2 5 5 2 2 + 7 2 1+ 18 5 3
a − a=− a − a a b+ ab − − a
24 6 24 6 8 8 3 6
5 2 9 2 19 5 3
= a b + ab − − a
2. 8a + 6b −5 8 8 3 6
1 3 5 5 9 19
− a + b ⇒ − a 3 + a 2b + ab2 −
2 5 6 8 8 3
16 − 1 30 + 3 15 33
a+ b−5 = a+ b−5
2 5 2 5
2 3 5 2 2 1
7. mn + mn + mn3 − 6
2 2 11 14 3
3. x + x y − 6
3
3 7 2 2 2
m4 − mn + mn3
7 2 8 9
− x y
9 2 3 20 − 49 2 2 3 + 2
m4 + m n+ mn + mn3 − 6
6−7 2 1 11 56 9
x3 + x y − 6 = x3 − x2y − 6
9 9 2 29 2 2 5
= m4 + m3n − m n + mn3 − 6
11 56 9
4. a + b − c
1 3 2
− a + b − c
2 4 3
7 4 1 3 2 2 2 3 1 4
2 −1 4+3 3+2 1 7 5 8. − x y + x y + x y + xy − 7
a+ b− c= a+ b− c 8 14 3 3
2 4 3 2 4 3 1 5 3 3 2 1 2
x − x y + xy 4 −
2 7 8 9
2 5 1
5. m + n + p 1 5 7 4 1− 6 3 2 2 2 3 8 + 3 4 63 + 2
3 6 2 x − x y+ x y + x y + xy −
2 8 14 3 24 9
−m − n + p
1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4 65
2−3 5−6 1+ 2 1 1 3 = x − x y− x y + x y + xy −
m+ n+ p= − m− n+ p 2 8 14 3 24 9
3 6 2 3 6 2 1 5 7 4 5 3 2 2 2 3 11 4
= x − x y− x y + x y + xy − 7 2
9
2 8 14 3 24

26. 7 5 2 4 2 1 2 6
9. x y+ x y − x 3y 3 − x 2 y 4 + xy 5 + y
9 3 8 13
7 4 2 1 2 4
− x6 + x y − x y − xy 5 + y6
9 11
7 5 6 + 7 4 2 1 3 3 11+ 1 2 4 2 + 13 6 7 13 4 2 1 3 3 12 2 4 15 6
− x6 + xy+ x y − x y − x y + y = − x6 + x5 y + x y − x y − x y + y
9 9 8 11 13 9 9 8 11 13
1 3 7 2 5 2 7 3 2
10. x − x y + xy − y −
3 9 8 11 5
2 3 1 2 3
x + x y − xy 2 − 6
3 6 4
1+ 2 3 14 − 3 2 5 − 6 2 7 3 2 + 30 11 2 1 7 32
x − x y+ xy − y − = x3 − x y − xy 2 − y 3 −
3 18 8 11 5 18 8 11 5
3 4 2 3 2 4 5 6
11. mn − mn + n
10 7 9
2 6 7 4 2 5 2 4 1 6 3
m + mn − mn − n +
13 20 14 3 5
2 6 6 + 7 4 2 6 + 5 2 4 5 − 3 6 3 2 6 13 4 2 11 2 4 2 6 3
m + mn − mn + n + = m + mn − mn + n +
13 20 14 9 5 13 20 14 9 5
3 5 7 4 7 3 2 1 2 3 1 5
12. 8 c + 22 c d +
12
c d + c d
2
−
3
d − 35
5 4 5 3 2 3 3 5
+ c d + c d − cd 4 − d
11 6 4 13
3 5 7 + 10 4 7 + 10 3 2 1 2 3 3 4 13 + 9 5
c + c d+ c d + c d − cd − d − 35
8 22 12 2 4 39
3 17 4 17 3 2 1 2 3 3 4 22 5
= c5 + c d+ c d + c d − cd − d − 35
8 22 12 2 4 39
EJERCICIO 26
Para los problemas 1 al 14 las literales toman los siguientes valores:
a = 1 b = 2 c = 3 x = 4 y = 5 m = 3/2 n = 2/5
2. a + b
3 3
1. a − ab
2
+ 2b 3 + 5a 2b − 6ab 2
− 3ab − b 2
a + 3b3 + 5a 2b − 6ab 2 ⇒ a 3 + 5a 2b − 6ab 2 + 3b 3
3
a 2 − 4ab − b 2
= 13 + 5 ⋅12 ⋅ 2 − 6 ⋅1⋅ 22 + 3 ⋅ 23 = 1+ 5 ⋅ 2 − 6 ⋅ 4 + 3 ⋅ 8
= 12 − 4 ⋅ 1⋅ 2 − 2 2 = 1 − 8 − 4 = − 11
= 1+ 10 − 24 + 24 = 11

27. 1
3. a
2 2 3 1
8. 3 m n + 4 mn − 2 n
2 2 3
1 5
−a − b+ c
2 3 1 2 1 2 1 3
1− 2 1 5 1 1 5
mn + mn + n + m3
a − b+ c=− a− b + c 6 4 2
2 2 3 2 2 3 4+1 2 3+ 1 2 5
1 1 5 1 m n+ mn + m3 = m3 + m2 n + mn2
⇒ − ⋅1− ⋅ 2 + ⋅ 3 = − − 1 + 5 6 4 6
2 2 3 2 3 2 2
 3 5  3 2 3  2  27 5 18 3 4
−1− 2 + 10 7 =  +   ⋅ +   = + ⋅ + ⋅
= = =3 21
 2 6  2 5 2  5 8 6 20 2 25
2 2
27 3 12 675 + 150 + 48 873
= + + = =
8 4 50 200 200
4. 3m − 5n
2 2
− m2 − 10n 2 − 8mn
9. a
5
− 3a 2b 4 + b 5
2m2 − 15n 2 − 8mn ⇒ 2m2 − 8mn − 15n 2
2 2
− a b + 5a b
4 2 3 3
 3 3 2  2 9 48 4
= 2   − 8 ⋅ ⋅ − 15   = 2 ⋅ − − 3⋅ a − a 4b2 + 5a 3b 3 − 3a 2b4 + b 5
5
 2 2 5  5 4 10 5
9 24 12 45 − 48 − 24 27 = 15 − 14 ⋅ 22 + 5 ⋅13 ⋅ 23 − 3 ⋅12 24 + 25
= − − == =− = 1− 4 + 5 ⋅ 8 − 3 ⋅16 + 32 = 1− 4 + 40 − 48 + 32 = 21
2 5 5 10 10
5. x
4
− 18x 2 y 2 + 15y 4 10. − ab + 10mn − 8mx
16x y3
+ 6xy − 9y 4
3 − 15ab
x 4 + 16x 3y − 18x 2 y 2 + 6xy 3 + 6y 4 − 16ab + 10mn − 8mx
3 2 3
= 4 + 16 ⋅ 4 ⋅ 5 − 18 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 4 ⋅ 5 + 6 ⋅ 5
4 3 2 2 3 4
= − 16 ⋅1⋅ 2 + 10 ⋅ ⋅ − 8 ⋅ ⋅ 4
2 5 2
= 256 + 80 ⋅ 64 − 18 ⋅16 ⋅ 25 + 24 ⋅125 + 6 ⋅ 625
= − 32 + 6 − 48 = − 74
= 256 + 5.120 − 7.200 + 3.000 + 3.750 = 4.926
3
11. a
6. a − 7am + m
3 2 3
+ 5am + 5m3 − 8a 2 m
2 − 11a 2b + 9ab 2 − b 3
a 3 − 2am2 + 6m3 − 8a 2 m ⇒ a 3 − 8a 2 m − 2am2 + 6m3 a 3 − 11a 2b + 9ab 2 − b3
3  3
2
 3 24
3
9 27 = 13 − 11⋅12 ⋅2 + 9 ⋅1⋅ 22 − 23
= 13 − 8 ⋅ 12 ⋅ − 2 ⋅ 1  + 6   = 1 − − 2⋅ + 6⋅
2  2  2 2 4 8 = 1− 22 + 36 − 8 = 7
9 81 4 − 48 − 18 + 81 19
= 1 − 12 − + = =
2 4 4 4
1 4
12. x
64
2 2 7 1 2 2 5 3
7. a + ab − b2 − x − x+
3 8 5 3 6 8
1 1 2 1 4 2 2 5 3
− a 2 − ab + b x − x − x+
6 10 64 3 6 8
4 −1 2 7 − 8 2 −1 2 1 2 1 1 1 4 2 2 5 3
a + ab − b = a − ab − b 2 = ⋅4 − ⋅4 − ⋅4 +
6 8 10 2 8 10 64 3 6 8
1 1 1 2 1 2 4 32 20 3 96 − 256 − 80 + 9
⇒ ⋅12 − ⋅1 ⋅ 2 − ⋅2 = − − = 4− − + =
2 8 10 2 8 10 3 6 8 24
1 1 2 10 − 5 − 8 3 231 77
= − − = =− =− =− = −9 8
5
2 4 5 20 20 24 8

28. 3 2 2 2
13. x3 + x y− xy 2 x −1 x 5
16 5 14. a + a − ax − 3 + ax − 2
3 3 3 2 1 3 5 6
− x + xy + y
4 5 25 − ax −1 + 9a x − 3 − a x − 2
4−3 3 3 2 2−3 2 1 3 2 − 5 x − 1 x 5 − 54 x − 3
x + x y− xy + y a +a − a
4 16 5 25 5 6
1 3 2 1 2 1 3 3 49 x − 3
⇒ x3 + x y+ xy + y ⇒ ax − ax −1 + a
4 16 5 25 5 6
1 3 2 1 1 3 3 49 4 − 3
= ⋅ 43 + ⋅ 4 ⋅ 5 + ⋅ 4 ⋅ 52 + ⋅5 = 14 − ⋅14 − 1 + ⋅1
4 16 5 25 5 6
1 15 4 125 3 49 + 30 − 18 + 245 257
= ⋅ 64 + ⋅16 + ⋅ 25 + =1 − + = = = 8 17
30
4 16 5 25 5 6 30 30
= 16 + 15 + 20 + 5 = 56
EJERCICIO 27
7. − m + n − p m−n+p
1. + ab + b 2 a2 2m − 2n + 2p −m+n−p
a2 − 5b 2 − a 2 − ab + 4b 2
m− n + p 0
a 2 + ab − 4b 2 − ab + 4b 2
8. 9ax − a 2 x 2 − 5ax + 3a 2
2. a+8 1 − 9ax + 7a 2 + 25 x 2 − 25 x 2 − 6a 2
−a+6 − 14
6a 2 + 25x 2 − 24 x 2 − 5ax − 3a 2
14 − 13
9. 5a 2 + 6a − 4 a3 −1
3. − x + 4xy 2 − 8a + 6 − 2a 3 − 5a 2 + 2a − 2
3
2a 3
+ 5x 2 y + y3 2a 3 + 5a 2 − 2a + 2 − a 3 − 5a 2 + 2a − 3
− x 3 + 5x 2 y + 4xy 2 + y 3
5 x 3 − 9x 2 +4 x4 −1
− 7x y2 − 11x − 7x
4 3
− 6x 11x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 4
10.
x 3 − 5x 2 y − 4xy 2 − y 3 − 11x 4 − 2x 3 − 9x 2 − 6x + 4 12x 4 + 2x 3 + 9x 2 + 6x − 5
x 3 − 12x 2 y − 4xy 2 − y 3
11. 35a 2b − 7ab 2 − 11 a3 + b3
− 7a − 35a b + 8ab + 6
3 2 2
7a − ab
3 2
+5
4. − 3m n + 4mn − n
3 2 3
5m4
− 7a 3
+ ab − 5
2
8a − ab + b + 5
3 2 3
3m n − 4mn + 5n3
3 2
− 4n3
+ 4n3 5m4 − 4n3
12. − 11n4 + 14n2 − 25n + 8
5. 8a + 9b − 3c 6a 19n3 − 6n2 + 9n − 4
− 7a − 9b + 3c −a − 11n4 + 19n3 + 8n2 − 16n + 4
a 5a
n5 − 7n3 + 4n
6. a −b +c a +b−c
11n − 19n3 − 8n2 + 16n − 4
4
− 2a + b − c a
−a 2a + b − c n5 + 11n4 − 26n3 − 8n2 + 20n − 4

29. 20. x 4 − 6x 2 y 2 + y 4 x 4 − 2x 2 y 2 + 32y 4
13. − 6a 3m + 5am3 −6 + 8x y + 31y
2 2 4
− x 4 − 2x 2 y 2 − 32y 4
7a − 5a m − 11a m
4 3 2 2
− 6m 4
x 4 + 2x 2 y 2 + 32y 4 0
7a − 11a m − 11a m + 5am − 6m − 6
4 3 2 2 3 4
21. − 6n + n + n2
5 4
a4 − 8a 2m2 + m4
+ 7n3 − n2 − 8n − 6
− 7a 4 + 11a 3m + 11a 2m2 − 5am3 + 6m4 + 6
− 6n5 + n4 + 7n3 − 8n − 6
− 6a 4 + 11a 3m + 3a 2m2 − 5am3 + 7m4 + 6
− 6n5 + n4 + 7n3 − 8n − 6
− 4x 4 y + 13x 2 y 3 − 9xy 4 n 6
+ 3n4 + 8n3 − 19
14.
− 6x 5
+ 8x y 3 2
+ xy 4
− 2y 5
n − 6n + 4n + 15n − 8n − 25
6 5 4 3
− 6x − 4x y + 8x y + 13x y − 8xy − 2y
5 4 3 2 2 3 4 5
22. a
5
− 3a 3b2 + 6ab 4
x5 − 30x 3 y 2 + 40xy 4 + y 5
+ 22a b + 10a 3b2 − 11ab 4 − b5
4
6x 5 + 4x 4 y − 8x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 8xy 4 + 2y 5
a 5 + 22a 4b + 7a 3b 2 − 5ab 4 − b 5
7x 5 + 4x 4 y − 38x 3 y 2 − 13x 2 y 3 + 48xy 4 + 3y 5
a 5 + 22a 4b + 7a 3b2 − 5ab 4 − b 5
15. a + b 2a
− 5a b 4
+ 7a b 2 3
− b5
a−b − 2a + b
a 5 + 17a 4b + 7a 3b 2 + 7a 2b3 − 5ab 4 − 2b 5
2a b
16. 8x +9 8x + 6y + 4
6y − 5 2
23. 4m3 − 5m2 − 2m − 3m3 − 5m2 + 6m + 4
8x + 6y + 4 8 x + 6y + 6
− 7m3 + 8m + 4 m4 −5
17. x
2
− 6y 2
x − 7 xy + 34y
2 2 − 3m − 5m + 6m + 4
3 2
m − 3m − 5m + 6m − 1
4 3 2
− 7 xy + 40y 2 9y 2 − 16
24. 7a 2 − 11ab + b 2 2b 2 − 8
x 2 − 7 xy + 34y 2 x 2 − 7 xy + 43y 2 − 16
− 7a 2 + 11ab + b 2 − 8 +4
18. 4a + 8ab − 5b
2 2
5a + ab + b
2 2 2b 2 − 8 2b 2 − 4
a 2 − 7ab + 6b 2 − 4a 2 − ab + b 2
25. 3a − 4b + 5c
5a 2 + ab + b 2 a2 + 2b 2 − 7a + 8b − 11 − 5a + 6b − 2c − 11
− a + 2b − 7c − a + b + 2c
19. x 3 − y3 − 5a + 6b − 2c − 11 − 6a + 7b − 11
− 14x y + 5xy
2 2
x − 14x 2 y + 5xy 2 − y 3
3
26. 5a 3 + 14a 2 − 19a + 8
a5 + 9a − 1
x − 14x y + 5xy − y
3 2 2 3
− a4 + 3a 2 −1
3x 3 − 19y 3 a −a5 4
+ 5a + 17a − 10a + 6
3 2
4x 3 − 14x 2 y + 5xy 2 − 20y 3 − a 4 + 3a 3 −5
a − 2a + 8a + 17a − 10a + 1
5 4 3 2

30. 27. m
4
+ 10m2n2 + 15n4 5
+ y5
29. x
− 11m n − 14m n − 3mn + n4
3 2 2 3
3x y + 21x y + 18x y − y 5
4 3 2 2 3
m − 11m n − 4m n
4 3 2 2
− 3mn + 16n3 4
x 5 + 3x 4 y + 21x 3 y 2 + 18x 2 y 3
6m4 + 7m2n2 + 8mn3 − n4 x 5 + 32x 4 y − 26x 3 y 2 + 18x 2 y 3 − 2xy 4 + y 5
− m + 11m n + 4m2n2 + 3mn3 − 16n4
4 3
− x 5 − 3x 4 y − 21x 3 y 2 − 18x 2 y 3
5m + 11m n + 11 n + 11mn − 17n
4
m 3 2 2 3 4
29x 4 y − 47x 3 y 2 − 2xy 4 + y 5
28. a
5
+ 4a 3b 2 + 8ab 4 − b5 x −1
30. 3a + 6a
x
− 7a b 4
+ 15a b − 25ab + 3b
2 3 4 5
a x − 7a x − 1 + a x − 2
− a 3b2 + 3a 2b3 − 5ab 4
4a x − a x − 1 + a x − 2
a 5 − 7a 4b + 3a 3b2 + 18a 2b 3 − 22ab 4 + 2b 5
8a x + 2 − 7a x + 1 − a x + 12 a x − 1
3a 5
− 6a b − 21ab
2 3 4
−6 − 4a x
+ ax −1 − ax − 2
− a + 7a b − 3a b − 18a b + 22ab − 2b
5 4 3 2 2 3 4 5
8a x + 2 − 7a x + 1 − 5a x + 13 a x − 1 − a x − 2
2a + 7a b − 3a b − 24a b + ab
5 4 3 2 2 3 4
− 2b − 6 5
EJERCICIO 28
1. x
2
+5 x−4 x 2 + 2x − 1 6. a2 x − 3x 3 − 5a 2 x + 11ax 2 − 11x 3
2x − 6 −x+6 −2 a 3
+ 3ax 2
a − 4a 2 x + 6ax 2 + 8x 3
3
x + 2x − 1
2
2 x + 2x − 3
2
a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3 a 3 − 9a 2 x + 17ax 2 − 3x 3
2. 3a − 5b + c 7a + b 4a − 6b − 2c
a − b − 3c − 8b − 3c − 7a + 7b + 3c a 3 + a 2 x + 3ax 2 − 3x 3
− a 3 + 9a 2 x − 17ax 2 + 3x 3
4a − 6b − 2c 7a − 7b − 3c − 3a + b + c
10a 2 x − 14ax 2
3. x
3
+1 9x + 4 6x 3 − x 2 +8
5x 3 − x 2 + 7 − 3x 2 − x + 1 3x 2 − 8x − 5
6x − x + 8
3 2
− 3x + 8 x + 5
2
6x + 2x 2 − 8x + 3
3
7. x
4
+ x2 −3
a +1 2
a 4
+2 a +a3 2 −x 3
− 3x + 5 − 7 x 3 + 8x 2 − 3x + 4
4.
a3 −1 a −2 − a4 −a x 4
− 5x + 4 x
2
x 4
−3
a3 + a2 a4 + a − a4 + a3 + a2 − a 2x − x − 4 x + x + 2
4 3 2
x − 7 x + 8 x − 3x + 1
4 3 2
5. ab + bc + ac 5ab − 3bc + 4ac ab − 6bc + 9ac − 9 2x 4 − x 3 − 4 x 2 + x + 2
− 7bc + 8ac − 9 − ab + 3bc + 5ac − 4ab − 9ac
− x 4 + 7 x 3 − 8x 2 + 3x − 1
ab − 6bc + 9ac − 9 4ab + 9ac − 3ab − 6bc −9
x 4 + 6x 3 − 12x 2 + 4x + 1

31. 8. m
4
− n4
17m n − 4m n − 7mn3
3 2 2
− m4 +6 17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4
− m4 + 6m2n2 − 80n4 − m2n2 + mn3 − 4 m4 + m2n2 − mn3 −2
17m3n + 2m2n2 − 7mn3 − 81n4 − m4 − m2n2 + mn3 + 2 m4 + 17m3n + 3m2n2 − 8mn3 − 81n4 − 2
9. + a3 + a − 7
a −a
5 4
− 6a 2 + 8 − a 4 − 4a 3 + a 2 a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27
− 5a 2 − 11a + 26 16a 3 − 8a 2 − 7a − 15 + a 4 − 12a 3 + 7a 2 + 7a + 15
a 5 − a 4 + a 3 − 11a 2 − 10a + 27 − a 4 + 12a 3 − 7a 2 − 7a − 15 a5 − 11a 3 − 4a 2 − 3a + 42
10. 3x
2
− y2 x 2 − 3xy − y 2 20x 2 − 11xy + 8y 2
− 11xy + 9y − 14 2
19x − 8xy + 9y
2 2
− 3x 2 + 11xy − 8y 2 + 14
3x 2 − 11xy + 8y 2 − 14 20x 2 − 11xy + 8y 2 17 x 2 + 14
11. a −1 a2 −3 12. a 2 − ab + b 2
− a +1 a −4 3a 2 − 8ab + 7b 2 − a 2 + 9ab + 3b 2 − a 2 + ab − 4b2
0 − 3a + 8 − 5a + 11ab − 17b
2 2
− 8ab − 7b 2
a 2 − 2ab + 9b 2
a 2 − 2a + 1 − a 2 + 2ab − 9b2 − a 2 + ab − 4b 2 − ab + 5b 2
13. m
4
−1
− m3 + 8m2 − 6m + 5 m5 − 16 m5 − 16m4 + 7m2 − 19
− m − 7m + 1
2
− 16m + 7m − 3 4 2
− m + m − 7m2 + 13m − 5
4 3
m4 − m3 + 7m2 − 13m + 5 m5 − 16m4 + 7m2 − 19 m5 − 17m4 + m3 + 13m − 24
14. x
5
− y5
− 2x y + 5x y − 7 x y
4 3 2 2 3
− 3y 5 7x 4 y − x 3 y 2 + 11xy 4 − x 5 + 2 x 4 y + 2 x 3 y 2 + 7 x 2 y 3 − 6 xy 4 + 4y 5 + 8
− 7x y
3 2
+ 6 xy 4
−8 − xy 4
−1 7x 4 y − x 3 y 2 + 10xy 4 −1
x − 2x y − 2 x y − 7 x y + 6xy − 4y − 8
5 4 3 2 2 3 4 5
7 x y − x y + 10xy − 1
4 3 2 4
− x + 9x y + x y + 7 x y + 4xy 4 + 4y 5 + 7
5 4 3 2 2 3
15. − a + 7a 4 − 8a
6
− 3a 5
+ 11a 3 − a 2 +4
− 6a 4 − 11a 3 − 2a + 8 − 3a 4 + 7a 2 − 8a + 5 5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13
− 5a 3
+ 5a − 4a + 1
2
5a 5
− 7a + 41a − 50a + 8
3 2
a + 3a 5 − a 4 + 5a 3 − 4a 2 + 14a − 13
6
− a 6 − 3a 5 + a 4 − 5a 3 + 4a 2 − 14a + 13 5a 5 − 3a 4 − 7a 3 + 48a 2 − 58a + 13 a 6 + 8a 5 − 4a 4 − 2a 3 + 44a 2 − 44a
16. a
5
− 7a 3 x 2 + 9 + 18a 3 x 2 − 4x 5 − 8
− 20a x 4
+ 21a x − 19ax
2 3 4
− 9a x − 17a x + 11a x
4 3 2 2 3
+ 9a 3 x 2 − 7ax 4 + x 5 − 80 a5 + 36
a − 20a x + 2a x + 21a x − 26ax + x − 71
5 4 3 2 2 3 4 5
a − 9a x + a x
5 4 3 2
+ 11a x − 4 x
2 3 5
+ 28
a 5 − 9a 4 x + a 3 x 2 + 11a 2 x 3 − 4 x 5 + 28
− a + 20a 4 x − 2a 3 x 2 − 21a 2 x 3 + 26ax 4 − x 5 + 71
5
11a 4 x − a 3 x 2 − 10a 2 x 3 + 26ax 4 − 5x 5 + 99

32. EJERCICIO 29
7 7 4 3 2
5. 12 a
4
a − a3 + a2 −6
1 3 12 7 5
1. a + b a 3 3 2 2 3 4 1 1
2 4 − a + a −6 a − a+
2 3 1 5 7 5 4 5 3
− a + b − a − b 7 4 3 3 2 2 7+9 4 3 3 2 2 1 18 − 1
3 4 3 4 a − a + a −6 a − a + a − a−
12 7 5 12 7 5 5 3
3−2 2+3 9−4 5
a+ b a− b 4 4 3 3 2 2
= a − a + a −
1
a−
17
3 4 12 4 3 7 5 5 3
1 5 5 5
= a+ b = a− b
3 4 12 4
1 2 1 5 2
6. − x+ y− z y −
2 3 4 9 5
3 1 3 3 2 1 2 1 5 13
2. a−6 a + a − y− z +3 x− y+ z− 3
8 2 5
9 5 2 9 20
5 3 5 3 3 2 3
− a3 + a2 a − a − a+6 1 6 −1 5+8 1 13 2 + 15
6 5 6 5 8 − x+ y− z+3 x + z−
5 3 3 3+5 3 3 2 9 20 2 20 5
− a3 + a2 + a − 6 a − a+6 1 5 13 1 13 17
6 5 8 6 8 =− x+ y− z+3 = x+ z−
4 3 2 9 20 2 20 5
= a3 − a + 6
3 8
3 7 3 2 3
3. a + 3b a+ b +6 7. − a b + ab2 − b3
5 3 2 4
2 2 1 1 1 2 5 2 3
− a − b +6 − a+ b a b − ab 2 + b
5 3 5 6 8 6 3
5−2 9 −2 3 −1 14 + 1 12 − 1 2 9 − 10 2 3 − 2 3
a+ b+6 a+ b+6 − a b+ ab − b
5 3 5 6 8 12 3
3 7 2 5 11 1 1
= a+ b+6 = a+ b+6 = − a 2b − ab 2 − b 3
5 3 5 2 8 12 3
1 3 1 3
a −
b
2 3
1 3 3 2 1
4. 3 x − 7
x +
5
11 2
a b+
1 1
ab 2 + b 3
8 12 3
1 2 2
x − x+6 1 3 11 2 1
14 9 a + a b+ ab 2
2 8 12
1 3 6 −1 2 2 1+ 30
x − x − x+
3 14 9 5
1 3 5 2 2 31
= x − x − x+ 1 2 2 1 1 1 3
3 14 9 5 8. a − b b + c a+ b − c
2 9 3 5 2 9 5
1 3 5 1 1 1
−
5 3
x b − c − b − c − b− c
6 3 5 9 10 9 10
1 3 5 2 2 31 1 2−3 3 6−5 2 −1 1 6 +1
− x + x + x− a− b− c b+ c a − c
3 14 9 5 2 9 5 9 10 2 10
5+2 3 5 2 2 1 1 3 1 1 1 7
− x + x + x−
31 = a+ b − c = b+ c = a− c
6 14 9 5 2 9 5 9 10 2 10
7 3 5 2 2
=− x + x + x−6 5
1
6 14 9

33. 1 3 1 2 1 1 2 2 1 1 3 19 2 2 1
9. 3 a + 8 a +
5 4
a −
3
a+
4 3
a −
40
a −
3
a +
8
3 3 1 1 3 29 2 1 1 19 2 3 1
− a2 − a− a − a − − a3 + a + a −
5 4 10 3 40 8 3 40 4 10
1 3 5 − 24 2 3 2 −1 1 3 10 − 29 2 2 2 −1 8−9 10 − 8
a + a − a+ a + a − a+ a+ −
3 40 4 10 3 40 3 8 12 80
1 3 19 2 3 1 1 3 19 2 2 1 1 2 1 1
= a − a − a+ = a − a − a+ = a+ = a+
3 40 4 10 3 40 3 8 12 80 12 40
3 2 5 2 2 2 2 1 2 2 3 2 7 13 2 1
10. 5 x − 6 xy +
9
y
9
x +
9
xy −
3
y −
5
x + xy +
3 6
y +
2
3 1 1 17 2 22 3 2 1 3 2 7 1 1
− xy − y2 + x − xy − y − x − xy − y 2 +
2 3 4 45 9 2 2 5 3 9 4
3 2 10 + 18 2−3 2 1 10 + 17 2 1− 22 4+9 2 1 39 − 2 2 2 + 1
x − xy + y + x + xy − y − y +
5 12 9 4 45 9 6 2 18 4
3 2 28 1 2 1 27 2 21 13 2 1 37 2 3
= x − xy − y + = x − xy − y − = y +
5 12 9 4 45 9 6 2 18 4
3 2 7 1 2 1 3 2 7 13 2 1
= x − xy − y + = x − xy − y −
5 3 9 4 5 3 6 2
2 1 3 1 2 1 2 1 3 2 3 3 7
3
− a b + − −
a b + ab 2 − b 3 −
11. 7 a 5
b
2 4
ab
5 4 8 2 10
3 3 1 3 5 1 2 3 1 2 3 3 1 3
− a 2b + ab 2 + b − a 2b + ab − b 3 − − a 3 + a 2b − ab 2 + b
4 8 10 4 8 2 2 7 4 8 10
2 3 3 2 3 2 −1 3 2−5 2 2 +1 2 3 3 2 + 5 2 3 15 − 1 3 7
a − a b + ab 2 − b a b+ ab − b − − a − b −
7 4 8 10 4 8 2 10 7 10 10
2 3 3 2 3 2 1 3 3 2 3 2 3 3 7 2 3 14 3 7 2 3 7 3 7
= a − a b + ab − b = − a b + ab − b − =− a − b − =− a − b −
7 4 8 10 4 8 2 10 7 10 10 7 5 10
1 2 2 1
12. mn − mn3 − n4
3 4
2 4 3 2 2 2 5 4 5 4 2
m + m3n − mn + n m − n4
7 5 5 3 14 5
1 4 7 3 1 2 2 2 4 5 4 1 3 11 2 2 1
m − mn + mn − n − m − m n− m n + mn3
14 20 4 3 14 4 60 4
4 + 1 4 12 − 7 3 20 − 24 + 15 2 2 1 3−5+2 4 1 3 11 2 2 1 2
m + m n+ m n − mn3 − n − m n− m n + mn3 − n4
14 20 60 4 3 4 60 4 5
5 4 5 3 11 2 2 1 0
= m + m n+ m n − mn3 − n4
14 20 60 4 3
5 4 1 3 11 2 2 1
= m + m n+ m n − mn 3
14 4 60 4

34. 1 1
13. x+ y
2 3
3 1
y − z
4 6
2 1
z + m 5
5 4
1 1 3 1 13 7 1 1 3
− m + n+ − x− y− z+ m − n −
2 3 8 2 12 30 4 3 8
1 4+9 5 − 12 1− 2 1 3 1 13 7 1 1 40 − 3
x+ y− z+ m + n+ − x− y− z+ m − n +
2 12 30 4 3 8 2 12 30 4 3 8
1 13 7 1 1 3 1 13 7 1 1 37
= x+ y+ z− m + n+ =− x− y− z+ m − n +
2 12 30 4 3 8 2 12 30 4 3 8
5 4 1 3 3
14. a + a − a
6 2 5
2 2 3
− a − a + 5
3 8
3 4 3 3 1 2 2 11 4 1 3 1 2 152
− a − a + a − a − a − a +
8 4 6 3 24 12 2 33
1 3 39 3 1 3 3
+ a + a + − a4 + a −
6 40 11 12 8
20 − 9 4 6 − 9 + 2 3 4 − 1 2 24 + 15 − 39 165 − 22 + 9 11− 24 4 1 1216 − 99
.
a + a − a − a+ a − a2 +
24 12 6 40 33 24 2 264
11 4 1 3 3 2 0 152 11 4 1 3 1 2 152 .
13 4 1 2 1117
= a − a − a − a+ = a − a − a + =− a − a +
24 12 6 40 33 24 12 2 33 24 2 264
EJERCICIO 30
1. x3 − x2 +5 4. x 3 − 4x 2 +8 7. 5a + 8ab − b − 11
3 2 3
− x + x + 3x − 5 − 6
3 2
− x 3 + 4 x 2 + x − 13 − a3 + b3
3x −6 x− 5 4a 3 + 8ab 2 − 11
Rta. − x + x + 3x − 11
3 2
Rta. x − 4 x − x + 13
3 2
Rta. 5a + 8ab − b3 − 11
3 2
1 1
2. − 5a + 9b − 6c 5. m4 − 3mn3 + 6n4 8. x− y−4
2 3
5a − 9b + 6c + 8x + 9 − m4 + 4m2n2 + 3mn3 − 6n4 − 8 1 1
− x+ y
8x + 9 4m2n2 −8 2 3
Rta. 5a − 9b + 6c + 8x + 9 Rta. m − 4m2n2 − 3mn3 + 6n4 + 8
4 −4
1 1
3. a3 − b3 6. 4x + 5x − 5x − 2
3 2
Rta. x− y−4
2 3
− a 3 − 8a 2b + 5ab2 − 3b3 − 5x 2 − 4 x + 8
− 8a 2b + 5ab2 − 4b 3 4x 3 − 9x + 6
Rta. − a − 8a b + 5ab − 3b
3 2 2 3
Rta.4x 3 + 5x 2 − 5x − 2

35. 9. 5x 2 − 7 xy − 8y 2 10. n3 11. 0
− 5x + 7 xy + 8y + 1
2 2
− 9m + 8m n − 5mn + n
3 2 2 3 − a + 5a − 8
3
1 − 9m + 8m n − 5mn + 2n
3 2 2 3 − a 3 + 5a − 8
Rta. − 5 x + 7xy + 8y + 1
2 2
10m − 8m n + 5mn − 2n
3 2 2 3 Rta. 0
m3
Rta. 10m3 − 8m2n + 5mn2 − 2n3
EJERCICIO 31
1. x − ( x − y) 6. a + (a − b) + (− a + b) 11. x + y + ( x − y + z ) − ( x + y − z)
= x− x+ y = a + a−b− a+b = x+ y+ x− y+ z− x− y+ z
=y = 2a − a = a = x − y + 2z
(
2. x + − 3x − x + 5
2 2
) 7. a + − b + 2a − a − b
2 2 2 2 2
12. a − (b + a ) + (− a + b) − (− a + 2b)
= x − 3x − x + 5
2 2
= a − b + 2a − a + b
2 2 2 2 2 = a − b − a − a + b + a − 2b
= − 3x + 5 = 3a − a = 2a
2 2 2 = − 2b
3. a + b − (− 2a + 3) 8. 2a − {− x + a − 1} − {a + x − 3} ( ) (
13. − x 2 − y 2 + xy + − 2 x 2 + 3xy − − y 2 + xy ) [ ]
= a + b + 2a − 3 = 2a + x − a + 1 − a − x + 3 = − x + y + xy − 2 x + 3xy + y − xy
2 2 2 2
= 3a + b − 3 = 1+ 3= 4
= − 3x 2 + 3xy + 2 y 2
4. 4m − (− 2m − n)
2 2 2
(
9. x + y − x + 2 xy + y + − x + y
2 2 2
) [ ] 2
[ 2 2
]{
14. 8x + − 2 xy + y − − x + xy − 3 y − x − 3xy
2 2
} ( )
= 4m + 2m + n = x + y − x − 2 xy − y − x + y
2 2 2 2 2 2
= 8x − 2 xy + y + x − xy + 3y − x + 3xy
2 2 2 2 2
= 6m + n = − x − 2 xy + y
2 2 = 8x 2 + 4 y 2
5. 2 x + 3 y − (4 x + 3 y) 10. (− 5m + 6) + (− m + 5) − 6 15. − (a + b) + (− a − b) − (− b + a ) + (3a + b)
= 2 x + 3y − 4 x − 3 y = − 5m + 6 − m + 5 − 6 = − a − b − a − b + b − a + 3a + b
= − 2x = − 6m + 5 =0
EJERCICIO 32
[
1. 2a + a − (a + b) ] [
2. 3x − x + y − (2 x + y) ] [
3. 2m − (m − n) − (m + n) ]
[
= 2a + a − a − b ] [
= 3x − x + y − 2 x − y ] [
= 2m − m − n − m − n ]
= 2a + a − a − b = 3x − x − y + 2 x + y = 2m − m + n + m + n
= 2a − b = 4x = 2m + 2n

36. [( ) (
4. 4 x + − x − xy + − 3 y + 2 xy − − 3x + y
2 2 2 2 2
) ( )] [
11. − (− a + b) + − (a + b) − (− 2a + 3b) + (− b + a − b) ]
[
= 4 x + − x + xy − 3 y + 2 xy + 3x − y
2 2 2 2 2
] [
= a − b + − a − b + 2a − 3b − b + a − b ]
= a − b − a − b + 2a − 3b − b + a − b
= 4 x 2 − x 2 + xy − 3 y 2 + 2 xy + 3x 2 − y 2
= 3a − 7b
= 6 x 2 + 3xy − 4 y 2
5. a + {(− 2a + b) − (− a + b − c) + a} {[
12. 7m − − m + 3n − 5 − n − − 3 + m
2 2 2
( ) ( )] }− (2n + 3)
= a + {− 2a + b + a − b + c + a} {[
= 7m2 − − m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2 ]} − 2n − 3
= 7m − {− m − 3n + 5 − n − 3 + m } − 2n − 3
= a − 2a + b + a − b + c + a 2 2 2
=a+c
= 7m2 + m2 + 3n − 5 + n + 3 − m2 − 2n − 3
[
6. 4m − 2m + (n − 3) + − 4n − (2m + 1)] [ ] = 7 m2 + 2 n − 5
[
= 4m − 2m + n − 3 + − 4n − 2m − 1 ] [ ]
= 4m − 2m − n + 3 − 4n − 2m − 1 {[
13. 2a − (− 4a + b) − − − 4a + (b − a ) − (− b + a ) ]}
= − 5n + 2
{[
= 2a + 4a − b − − − 4a + b − a + b − a ]}
= 6a − b − { 4a − b + a − b + a}
[ (
7. 2 x + − 5x − − 2 y + {− x + y} )]
= 6a − b − 4a + b − a + b − a
[
= 2 x + − 5x − ( − 2 y − x + y ) ] =b
[
= 2 x + − 5x + 2 y + x − y ]
= 2 x − 5x + 2 y + x − y
= − 2x + y ( [ {
14. 3x − 5 y + − 2 x + y − (6 + x) − (− x + y)} ])
( [
= 3x − 5 y + − 2 x + {y − 6 − x} + x − y ])
{ [
8. x − − 7 xy + − y + − x + 3xy − 2 y
2 2
( 2 2
)] } = 3x − (5 y + [− 2 x + y − 6 − x + x − y] )
= 3x − (5 y − 2 x + y − 6 − x + x − y)
{ [
= x 2 − − 7 xy + − y 2 − x 2 + 3xy − 2 y 2 ]}
= 3x − 5 y + 2 x − y + 6 + x − x + y
= x 2 − {− 7 xy − y 2 − x 2 + 3xy − 2 y 2 } = 5x − 5y + 6
= x 2 + 7 xy + y 2 + x 2 − 3xy + 2 y 2
= 2 x 2 + 4 xy + 3y 2
[ {
15. 6c − − (2a + c) + − (a + c) − 2a − (a + c) + 2c } ]
[
= 6c − − 2a − c + { − a − c − 2a − a − c } + 2c ]
[ {
9. − (a + b) + − 3a + b − − 2a + b − (a − b) + 2a } ] [
= 6c − − 2a − c − a − c − 2a − a − c + 2c ]
[
= − a − b + − a + b − {− 2a + b − a + b} ] = 6c + 2a + c + a + c + 2a + a + c − 2c
[
= − a − b + − a + b + 2a − b + a − b ] = 6a + 7c
= − a − b − a + b + 2a − b + a − b
= a − 2b
( ) [ {
16. − 3m + n − 2m + − m + 2m − 2n − 5 ( ))} − (n + 6)]
(
= − 3m − n − [ 2m + {− m + (2m − 2n + 5)} − n − 6]
{
10. (− x + y ) − 4 x + 2 y + − x − y − ( x + y )[]}
= − 3m − n − [2m + {− m + 2m − 2n + 5 } − n − 6]
= − x + y − {4 x + 2 y + [− x − y − x − y ] }
= − 3m − n − [2m − m + 2m − 2n + 5 − n − 6]
= − x + y − {4 x + 2 y − x − y − x − y}
= − 3m − n − 2m + m − 2m + 2n − 5 + n + 6
= − x + y − 4x − 2 y + x + y + x + y
= − 6m + 2n + 1
= − 3x + y

37. {[ ( )]
17. 2a + − 5b + (3a − c) + 2 − − a + b − (c + 4) − (− a + b) } [ {( ) [ ( ) (
23. − x + − x + y − − x + y − z − − x + y − y )] }]
= − [ x + {− x − y − [− x + y − z + x − y ] − y}]
= 2a + {− [5b + 3a − c + 2 − (− a + b − c − 4) ] + a − b}
= 2a + {− [5b + 3a − c + 2 + a − b + c + 4] + a − b} = − [ x + {− x − y + x − y + z − x + y − y}]
= 2a + {− 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b} = − [x − x − 2 y + z ]
= 2a − 5b − 3a + c − 2 − a + b − c − 4 + a − b = − x + x + 2y − z = 2y − z
= − a − 5b − 6
[ { ( ) ( ) [ ( ) ] }]
24. − − a + − a + a − b − a − b + c − − − a + b
[ ( )] {
18. − − 3x + − x − (2 y − 3) + − (2 x + y ) + (− x − 3) + 2 − ( x + y) }
= − [ − a + {− a + a − b − a + b − c − [a + b] }]
= − [− 3x + (− x − 2 y + 3)] + {− 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y}
= − [− a + {− a − c − a − b}]
[ ]
= − − 3x − x − 2 y + 3 − 2 x − y − x − 3 + 2 − x − y
= 3x + x + 2 y − 3 − 4 x − 2 y − 1 = − [− a − a − c − a − b ] = 3a + b + c
=−4
EJERCICIO 33
[ ][ ] {[
19. − − (− a ) − + (− a ) + − − b + c − + (− c)] [ ]}
[ ] { [ ]}
= − [a] − − a + b − c − − c 1. a − b + c − d
= − a + a + {b − c + c} (
= a + −b+ c− d )
= b− c+ c
2. x − 3xy − y + 6
2 2
=b
= x 2 + (− 3xy − y 2 + 6)
{[ ]} { [
20. − − − (a + b) − + − (− b − a) − (a + b)]} 3. x 3 + 4 x 2 − 3x + 1
= − {− [ − a − b] } − { + [ b + a] } − a − b = x 3 + ( 4 x 2 − 3x + 1)
= − {a + b} − {b + a} − a − b 4. a 3 − 5a 2b + 3ab 2 − b 3
= − a− b− b− a − a− b
= a 3 + ( − 5a 2b + 3ab 2 − b 3 )
= − 3a − 3b
5. x − x + 2 x − 2 x + 1
4 3 2
{[ ]} { [ ]} [ {
21. − − − (a + b − c) − + − (c − a + b) + − − a + (− b) }] = x 4 − x 3 + ( 2 x 2 − 2 x + 1)
= − {− [− a − b + c] } − {+ [− c + a − b] } + [− {− a − b}]
6. 2 a + b − c + d
[
= − {a + b − c} − {− c + a − b} + a + b ] (
= 2a − − b + c − d )
= − a− b+ c+ c− a+ b+ a+ b
= − a + b + 2c 7. x + x + 3x − 4
3 2
= x 3 − (− x 2 − 3x + 4)
[ {
22. − 3m + − m − n − m + 4 ( ( ))}+ {− (m + n) + (− 2n + 3)}]
8. x 3 − 5 x 2 y + 3 xy 2 − y 3
= − [ 3m + {− m − (n − m − 4)} + {− m − n − 2n + 3}]
= x 3 − (5x 2 y − 3xy 2 + y 3 )
= − [3m + {− m − n + m + 4} − m − n − 2n + 3 ]
9. a − x − 2 xy − y
2 2 2
= − [3m − m − n + m + 4 − m − n − 2n + 3]
= a 2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 )
= − 3m + m + n − m − 4 + m + n + 2n − 3
= − 2m + 4n − 7
10. a + b − 2bc − c
2 2 2
= a 2 − (− b 2 + 2bc + c2 )

38. EJERCICIO 34
1. x + 2 y + ( x − y ) 6. − 2a + (− 3a + b)
[
= x − − 2 y − (x − y) ] [
= − 2a − (− 3a + b) ]
2. 4m − 2n + 3 − (− m + n) + (2m − n)
[
= 4m − 2n − 3 + (− m + n) − (2m − n) ]
2
(
7. 2 x + 3xy − y + xy + − x + y
2
) ( 2 2
)
[
= − − 2 x 2 − 3xy + ( y 2 + xy) − (− x 2 + y 2 ) ]
3. x − 3xy + x − xy + y
2
[( ) ]
2 2
= x2 − {3xy − [( x − xy) + y ] }
2 2
8. x 3 − − 3x 2 + 4x − 2
[ ]
4. x 3 − 3x 2 + − 4 x + 2 − 3x − 2 x + 3 ( ) = − − x 3 + − 3x 2 + 4 x − 2
{ }
[ [ ]
= x 3 − 3x 2 − − 4 x + 2 + 3x + (2 x + 3) ]
{
[ ( )] }
5. 2a + 3b − − 2a + a + b − a
9. [m − (3m + 2m + 3)]+ (− 2m + 3)
4 2
= − {− [ m − (3m + 2m + 3)] − (− 2m + 3)}
= 2a − [− 3b + {− 2a + [a + (b − a )] }]
4 2
EJERCICIO 35
17. ambn ⋅− ab = − am + 1bn + 1
1. 2 ⋅ − 3 = − 6 18. − 5ambn ⋅− 6a 2b3 x = 30am + 2bn + 3 x
2. − 4 ⋅− 8 = 32 19. xmync ⋅ − xmync x = − xm + myn + nc1+ x = − x 2my 2nc1+ x
3. − 15 ⋅16 = − 240
20. − mxna ⋅− 6m2n = 6mx + 2na + 1
4. ab ⋅− ab = − a1+ 1b1+ 1 = − a 2b2
5. 2x2 ⋅− 3x = − 6x 2 + 1 = − 6x3
EJERCICIO 36
6. − 4a 2b ⋅ − ab 2 = 4a 2 + 1b1+ 2 = 4a 3b3
7. − 5x 3 y ⋅ xy 2 = − 5x3 + 1y1+ 2 = − 5x 4 y 3 1. am ⋅ am + 1 = am + m + 1 = a 2m + 1
8. a 2b 3 ⋅ 3a 2 x = 3a 2 + 2b 3 x = 3a 4b3 x 2. − xa ⋅ − x a + 2 = x a + a + 2 = x 2a + 2
9. − 4m2 ⋅− 5mn2p = 20m2 + 1n2p = 20m3n2p 3. 4anb x ⋅− ab x + 1 = − 4an + 1b x + x + 1 = − 4an + 1b 2 x + 1
10. 5a y ⋅− 6x = − 30a x y
2 2 2 2
4. − a n + 1b n + 2 ⋅ a n + 2b n = − a n + 1+ n + 2 bn + 2 + n = − a 2n + 3b 2n + 2
11. − x 2 y3 ⋅− 4y3 z4 = 4x2 y 3 + 3 z4 = 4x2 y 6 z4 5. − 3an + 4bn + 1 ⋅ − 4an + 2bn + 3 = 12a 2n + 6b2n + 4
12. abc ⋅ cd = abc1+ 1d = abc 2d 6. 3x 2 y 3 ⋅ 4x m + 1y m + 2 = 12x 2 + m + 1y 3 + m + 2 = 12xm + 3 y m + 5
13. − 15x 4 y3 ⋅− 16a 2 x 3 = 240a 2 x 4 + 3 y 3 = 240a 2 x7 y 3 7. 4xa + 2b a + 4 ⋅ − 5xa + 5ba + 1 = − 20x 2a + 7b 2a + 5
14. 3a 2b3 ⋅− 4x 2 y = − 12a 2b3 x 2 y 8. ambnc ⋅ − amb 2n = − am + mbn + 2nc = − a 2mb3nc
15. 3a 2bx ⋅ 7b3 x 5 = 21a 2b1+ 3 x1+ 5 = 21a 2b 4 x 6 9. − xm + 1y a + 2 ⋅− 4xm − 3 y a − 5 c 2 = 4x2m − 2 y 2a − 3c 2
16. − 8m2n3 ⋅ − 9a 2mx 4 = 72a 2m2 + 1n3 x 4 = 72a 2m3n3 x 4 10. − 5manb − 1c ⋅− 7m2a − 3nb − 4 = 35m3a − 3n2b − 5c

39. EJERCICIO 37
3 m 2 3 1 3 m+1 3
1 2 4 3 1 4 4 5 2 8. − a ⋅ − ab3 = ⋅ am + 1b 3 = a b
1. a ⋅ a b = ⋅ a 5b = a b = a 5b 4 5 2 5 10
2 5 2 5 10 5
5 m n 3
3 2 7 2 3 9. a b ⋅− ab 2c
2. − m n ⋅− am 6 10
7 14
1 1 1
3 7 2 5 21 2 5 3 2 5 = − ⋅ am + 1 bn + 2 c = − am + 1bn + 2 c
= − ⋅− a m n= a m n= amn 2 2 4
7 14 98 14
2 x m +1 3 x −1 m
2 2 3 3 2 4 6 2 6 4 2 10. − a b ⋅− a b
3. x y ⋅− a x y = − a x y = − a2x 6y 4 9 5
3 5 15 5
2 1 2 x − 1 2m + 1 2 2 x − 1 2m + 1
= ⋅ a b = a b
1 3 4 4 3 2 4 3 5 5 1 3 5 5 3 5 15
4. − m n ⋅− a m n = amn = amn
8 5 40 10
3 m n 4 12 3m 2n 3 3m 2n
7 2 3 14 4 1 11. a b ⋅ − a 2mbn = − a b =− a b
5. − abc ⋅ a = − a bc = − a 4bc 8 5 40 10
8 7 56 4
2 x +1 x − 3 2 44 x − 3 2
3 3 4 5 3 1 12. − a b c ⋅− a b
6. − x y ⋅ − a 2by 5 = a 2bx 3y 9 = a 2bx 3 y 9 11 7
5 6 6 2 4 8
= 2 ⋅ a 2 x − 2b x − 1c 2 = a 2 x − 2b x − 1c 2
1 3 3 m+1 1 m+1 7 7
7. a ⋅ am = a = a
3 5 15 5
EJERCICIO 38 3 3 1 x a
8. − m ⋅− 5a 2m ⋅− am
5 10
1. a ⋅− 3a ⋅ a 2 = − 3a1+ 1+ 2 = − 3a 4 15 2 + x 3 +1+ a 3 x+2 a+4
=− a m =− a m
2. 3x 2 ⋅− x 3 y ⋅ − a 2 x = 3a 2 x 2 + 3 +1y = 3a 2 x 6 y 50 10
3. − m2n ⋅− 3m2 ⋅− 5mn3 = − 15m2 + 2 + 1n1+ 3 = − 15m5n4 9. 2a ⋅− a 2 ⋅ − 3a 3 ⋅ 4a = 24a1+ 2 + 3 + 1 = 24a7
4. 4a 2 ⋅− 5a 3 x 2 ⋅− ay 2 = 20a 2 + 3 +1x 2 y 2 = 20a 6 x 2 y2 10. − 3b 2 ⋅ − 4a 3b ⋅ ab ⋅− 5a 2 x
= − 60a 3 + 1+ 2 b 2 + 1+ 1x = − 60a 6b 4 x
5. −am ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2b x = − 6am +1+ 2b1+ x = − 6am + 3b x + 1
1 3 2 2 3 6 2 + 4 3 +1 1 11. a mb x ⋅− a 2 ⋅ − 2ab ⋅− 3a 2 x
6. x ⋅− a x ⋅− a 4m = a x m = a 6 x 4m
2 3 5 30 5 = − 6a m + 2 + 1+ 2b x + 1x = − 6am + 5b x + 1x
2 m 3 2 4 1 2 3 10 3 3 2
7. a ⋅ a b ⋅− 3a 4b x + 1 12. − x y ⋅− xy 2 ⋅− x ⋅− x y
3 4 2 5 3 4
18 m + 2 + 4 4 + x + 1 3 6 2 + 1+ 3 + 2 1+ 2 + 1 3 8 4
=− a b = − a m + 6b x + 5 = x y = x y
12 2 8 4
EJERCICIO 39
4. a − 4a + 6a
3 2
2. 8x 2 y − 3y 2 3. x − 4x + 3
2
1. 3x 3 − x 2
− 2x 2ax 3 − 2x 3ab
− 6x + 2x
4 3
16ax 5 y − 6ax 3 y 2 − 2x 3 + 8 x 2 − 6 x 3a 4b − 12a 3b + 18a 2b

40. 5. a − 2ab + b
2 2
13. x 3 − 3x 2 + 5x − 6
− ab
− 4x 2
− a 3b + 2a 2b 2 − ab 3
− 4 x 5 + 12 x 4 − 20x 3 + 24 x 2
6. x − 6 x − 8x
5 3
14. a − 6a x + 9a x − 8
4 3 2 2
2 2
3a x 3
3bx
3a 2 x 7 − 18a 2 x 5 − 24a 2 x 3
3a 4bx 3 − 18a 3bx 4 + 27a 2bx 5 − 24bx 3
7. m4 − 3m2n2 + 7n4 n+ 3
15. a − 3a n + 2 − 4a n + 1 − an
− 4m3 x
− an x 2
− 4m7 x + 12m5n2 x − 28m3n4 x
− a 2n + 3 x 2 + 3a 2n + 2 x 2 + 4a 2n + 1x 2 + a 2n x 2
8. x − 4x y + 6 xy
3 2 2
16. x 4 − 6 x 3 + 8 x 2 − 7x + 5
ax 3 y
− 3a 2 x 3
ax 6 y − 4ax 5 y 2 + 6ax 4 y 3
− 3a 2 x 7 + 18a 2 x 6 − 24a 2 x 5 + 21a 2 x 4 − 15a 2 x 3
9. a − 5a b − 8ab
3 2 2
17. − 3x + 5x y − 7 xy − 4y
3 2 2 3
− 4 a 4m 2
2 2
5a xy
− 4a 7m2 + 20a 6bm2 + 32a 5b 2m2
− 15a 2 x 4 y 2 + 25a 2 x 3 y 3 − 35a 2 x 2 y 4 − 20a 2 xy 5
m −1
10. a − a
m
+ am − 2
18. x a + 5 − 3x a + 4 + x a + 3 − 5x a + 1
− 2a
− 2x 2
− 2a m + 1 + 2a m − 1+ 1 − 2a m − 2 +1
− 2x a + 7 + 6x a + 6 − 2 x a + 5 + 10x a + 3
= − 2a m + 1 + 2a m − 2a m −1
m+1 19. a 8 − 3a 6b 2 + a 4b 4 − 3a 2b 6 + b 8
11. x + 3xm − x m − 1
2m − 5a 3 y 2
3x
− 5a11y 2 + 15a 9b 2 y 2 − 5a 7b 4 y 2 + 15a 5 b 6 y 2 − 5a 3b 8 y 2
3 x 3 m + 1 + 9 x 3m − 3 x 3m − 1
m −1 n + 2 m−2 n+4
m − 1 n +1 m−2 n+ 2 20. a b + 3a b − a b
m n
+ a m − 3b n + 6
12. a b + a b − a b
m n
4a mb 3
3a 2b
4a 2 mb n + 3 + 12a 2 m −1b n + 5 − 4a 2 m − 2b n + 7 + 4a 2 m − 3b n + 9
3a m + 2bn + 1 + 3am + 1bn + 2 − 3a mbn + 3
EJERCICIO 40
1 2 3 1 2 2 1 2
a− b 2 3 a− b+ c a2 + ab − b 2
1. 2 3 2. 3 a − 4 b 3. 5 6 5 4. 5 3 9
2 2 5 3a 2 x
a 2 3 − ac 2
5 − a b 3
3 6 2+2 3 6
2 1+ 2 4 2 15 1+ 1 2 5 10 2 + 1 a x + a2 + 1bx − a 2b 2 x
a − a b 4 6 3 1+ 1 − a c + abc 2 − 5 3 9
10 15 − a3 + 1b + a b 15 18 15
ac
9 12 6 2
1 3 4 2 5 2 = a 4 x + a3bx − a 2b 2 x
= a − a b 4 4 1 3 2 = − a 2c 2 + abc 2 − ac 3 5 3
5 15 =− a b+ a b 18 3
9 2

41. 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2
5. x − xy − y 2 a − b + x − y
3 5 4 2 3 4 5
5
3 3 − a 2m
y 8
2
5 2+ 2 5 2 2 5 2 2 5 2 2
3 2 3 6 3 8. − a m+ a b m− a mx + a my
x y − xy 3 + 1 − y 2 + 3 16 24 32 40
6 10 8 5 4 5 2 2 5 2 2 1 2 2
=− a m+ a b m− a mx + a my
1 3 3 16 24 32 8
= x 2 y 3 − xy 4 − y 5
2 5 8
2 3 1 2 5 1
9. m + m n − mn2 − n3
6. 3a − 5b + 6c 3 2 6 9
3 2 3 3 2 3
− a x mn
10 4
9 2 + 1 3 15 2 3 18 2 3 6 3 + 2 3 3 2 + 2 1+ 3 15 1+ 2 2 + 3 3 2 3 + 3
− a x + a bx − a cx m n + m n − m n − mn
10 10 10 12 8 24 36
9 3 3 3 2 3 9 2 3 1 3 5 1
=− a x + a bx − a cx = m5n3 + m4 n4 − m3n5 − m2n6
10 2 5 2 8 8 12
2 4 2 2 1 4 2 6 1 4 2 3 2 4 1 6
7. x −x y + y x − x y + x y − y
9 3 5 3 5 10
3 3 4 5
x y − a3x 4 y3
7 7
6 4 +3 4 3 2 + 3 2 + 4 3 3 4 + 4 10 3 6 + 4 3 5 3 4 + 4 2 + 3 15 3 2 + 4 4 + 3 5 3 4 6 + 3
x y − x y + x y 10. − a x y + a x y − a x y + a x y
63 7 21 35 21 35 70
2 7 4 3 5 6 1 3 8 2 5 3 1 3 4 9
= x y − x y + x y = − a 3 x10 y 3 + a 3 x 8 y 5 − a 3 x 6 y 7 + a x y
21 7 7 7 21 7 14
EJERCICIO 41
1. a + 3 3. x + 5 5. − x + 3 7. 3x − 2 y
a −1 x−4 −x+5 2x + y
a 2 + 3a x + 5x
2
x 2 − 3x 6x 2 − 4 xy
− a−3 − 4x − 20 − 5x + 15 + 3xy − 2 y 2
a 2 + 2a − 3 x + x − 20
2
x 2 − 8x + 15 6x 2 − xy − 2 y 2
2. a − 3 4. m − 6 6. − a − 2 8. 5x − 4y
a +1 m−5 −a −3 − 3x + 2y
a 2 − 3a m2 − 6m a 2 + 2a − 15x 2 + 12xy
a−3 − 5m + 30 + 3a + 6 + 10xy − 8y 2
a − 2a − 3
2
m − 11m + 30
2
a 2 + 5a + 6 − 15x 2 + 22xy − 8y 2

42. 9. 5a − 7b 11. − a + b 13. − 9m + 8n
a + 3b 8a − 4b 6m + 4n
5a 2 − 7ab − 8a 2 + 8ab − 54m2 + 48mn
+ 15ab − 21b 2
+ 4ab − 4b 2
− 36mn + 32n2
5a 2 + 8ab − 21b2 − 8a 2 + 12ab − 4b2 − 54m2 + 12mn + 32n2
10. 7x − 3 12. 6m − 5n 14. − 7y − 3
2x + 4 m−n 2y − 11
14x 2 − 6x 6m2 − 5mn − 14y 2 − 6y
+ 28x − 12 − 6mn + 5n 2
+ 77y + 33
14x + 22x − 12
2
6m − 11 + 5n
2
mn 2
− 14y + 71y + 33
2
EJERCICIO 42
1. x + xy + y 5. a + a − a 9. m − m + m − 2
2 2 3 2 3 2
x−y a −1 am + a
x 3 + x 2 y + xy 2 a 4 + a3 − a2 am4 − am3 + am2 − 2am
− x y − xy − y
2 2 3
−a −a
3 2
+a + am3 − am2 + am − 2a
x3 − y3 a4 − 2a 2 + a am4 − am − 2a
6. m + m n + n 10. 3a − 5ab + 2b
4 2 2 4
2. a − 2ab + b
2 2 2 2
a −b m −n
2 2 4a − 5b
a − 2a b + ab
3 2 2
m6 + m4n2 + m2n4 12a 3 − 20a 2b + 8ab 2
− a 2b + 2ab 2 − b 3 − m4n2 − m2n4 − n6 − 15a 2b + 25ab 2 − 10b 3
a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 m6 − n6 12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3
7. x − 2x + 3x − 1
3 2
3. a + 2ab + b 11. 5m − 3m n + n
2 2 4 2 2 4
a +b 2x + 3 3m − n
a 3 + 2a 2b + ab 2 2x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 2 x 15m5 − 9m3n2 + 3mn4
+ a b + 2ab + b
2 2 3
+ 3x − 6 x + 9x − 3
3 2
− 5m n
4
+ 3m n
2 3
− n5
a 3 + 3a 2b + 3ab 2 + b 3 2x 4 − x 3 + 7x − 3 15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5
12. a + a + 1
2
4. x − 3x + 1 9. 3y − 6y + 5
3 2 3
x+3 y2 + 2 a2 − a − 1
x 4 − 3x 3 +x 3y 5 − 6y 3 + 5y 2 a 4 + a3 + a2
+ 3x − 9x
3 2
+3 + 6y 3
− 12y + 10 − a3 − a2 − a
x4 − 9x 2 + x + 3 3y 5 + 5y 2 − 12y + 10 − a2 − a − 1
a4 − a 2 − 2a − 1

43. 13. x 3 + 2x 2 − x 19. x 2 − 2xy + y 2
x 2 − 2x + 5 − x 2 + xy + 3y 2
x + 2x − x
5 4 3
− x 4 + 2x 3 y − x 2 y 2
− 2x − 4 x + 2x
4 3 2
+ x 3 y − 2x 2 y 2 + xy 3
+ 5x + 10x − 5 x
3 2
+ 3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4
x5 + 12x 2 − 5x − x 4 + 3x 3 y − 5xy 3 + 3y 4
20. n − 2n + 1
2
14. m − 3m n + 2mn
3 2 2
m − 2mn − 8n
2 2 n2 − 1
m5 − 3m4n + 2m3n2 n4 − 2n3 + n2
− 2m4n + 6m3n 2 − 4m2n 3 − n2 + 2n − 1
− 8m3n 2 + 24m2n 3 − 16mn 4 n4 − 2n3 + 2n − 1
m − 5m n
5 4
+ 20m n − 16mn
2 3 4
15. x 2 + x + 1 21. a − 3a b + 4ab
3 2 2
x2 − x − 1 a 2b − 2ab 2 − 10b 3
a 5b − 3a 4b 2 + 4a 3b 3
x4 + x3 + x2
− 2a 4b 2 + 6a 3b 3 − 8a 2b 4
− x3 − x2 − x
− 10a 3b 3 + 30a 2b 4 − 40ab 5
− x2 − x −1
a 5b − 5a 4b 2 + 22a 2b 4 − 40ab 5
x4 − x 2 − 2x − 1
16. x − 3x + 2
4 2
22. 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3
x 2 − 2x + 3 2x + 3y
x 6
− 3x 4
+ 2x 2
16x 4 − 24 x 3 y + 12x 2 y 2 − 18xy 3
− 2x 5
+ 6x 3
− 4x + 24x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4
+ 3x 4
− 9x 2
+6 16x 4 − 24 x 2 y 2 − 27y 4
x 6 − 2x 5 + 6x 3 − 7 x 2 − 4 x + 6
23. 2y − 3y + y − 4
3 2
17. m3 + m2 − 4m − 1
2y + 5
m3 + 1
4 y 4 − 6y 3 + 2y 2 − 8y
m6 + m5 − 4m4 − m3
+ 10y 3 − 15y 2 + 5y − 20
+ m3 + m2 − 4m − 1
4y + 4y 3 − 13y 2 − 3y − 20
4
m6 + m5 − 4m4 + m2 − 4m − 1
24. − a + 2ax + 3x
3 2 3
18. a − 5a + 2
3
a −a+5
2 2a 2 − 3ax − x 2
a5 − 5a 3 + 2a 2 − 2a 5 + 4a 3 x 2 + 6a 2 x 3
−a 4
+ 5a − 2a
2 + 3a x
4
− 6a 2 x 3 − 9ax 4
+ 5a 3
− 25a + 10 +a x3 2
− 2ax 4 − 3x 5
a5 − a4 + 7a 2 − 27a + 10 − 2a + 3a x + 5a x
5 4 3 2
− 11ax 4 − 3x 5

44. 30. y − 2y + 1
2
25. x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3
− x 2 − xy − y 2 y 4 − 2y 2 + 2
− x 6 + 3x 5 y − 2x 4 y 2 − x 2 y 3 y 6 − 2y 5 + y 4
− x 5 y + 3x 4 y 2 − 2x 3 y 3 − x 2 y 4 − 2y 4 + 4y 3 − 2y 2
− x 4 y 2 + 3x 3 y 3 − 2x 2 y 4 − xy 5 + 2y 2 − 4y + 2
− x 6 + 2x 5 y − 3x 2 y 4 − xy 5 y 6 − 2y 5 − y 4 + 4y 3 − 4y + 2
31. m − 3m + 4
4 2
26. a 3 − 5a 2 + 2a − 3
a − 2a − 7
3 3m3 − 2m + 1
a 6 − 5a 5 + 2a 4 − 3a 3 3m7 − 9m5 + 12m3
− 2a 4 + 10a 3 − 4a 2 + 6a − 2m 5
+ 6m3 − 8m
− 7a + 35a − 14a + 21
3 2 +m 4
− 3m 2
+4
a − 5a
6 5
+ 31a − 8a + 21
2 3m − 11m + m + 18m − 3m − 8m + 4
7 5 4 3 2
27. m + m − m + 3 32. a + a − a + 1
4 3 2 3 2
m − 2m + 3
2
a + a 2 − 2a − 1
3
m6 + m5 − m4 + 3m2 a6 + a 5 − a 4 + a3
− 2m5 − 2m4 + 2m3 − 6m +a + a5 4
− a3 + a2
+ 3m4 + 3m3 − 3m2 +9 − 2a 4 − 2a 3 + 2a 2 − 2a
m6 − m5 + 5m3 − 6m + 9 − a 3 − a2 + a − 1
a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1
28. a 4 + a 3b − 3a 2b 2 − ab3 + b 4 33. 8x − 12x y − 6xy + y
3 2 2 3
a 2 − 2ab + b2 3x 2 − 2xy + 4y 2
a 6 + a 5b − 3a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4 24x 5 − 36x 4 y − 18x 3y 2 + 3x 2 y 3
− 2a b − 2a b + 6a b + 2a b − 2ab
5 4 2 3 3 2 4 5
− 16x 4 y + 24x 3 y 2 + 12x 2 y 3 − 2xy 4
+ a b + a b − 3a b − ab + b
4 2 3 3 2 4 5 6
+ 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4y 5
a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3 − 3ab5 + b6 24x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5
29. x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4 34. 5a − 4a + 2a − 3a − 1
4 3 2
x 2 + xy − 2y 2 a 4 − 2a 2 + 2
x −x y+ x y
6 5 4 2
− x y3 3
+ x y 2 4
5a 8 − 4a7 + 2a 6 − 3a 5 − a 4
+ x 5 y − x 4 y 2 + x 3 y 3 − x 2 y 4 + xy 5 − 10a 6 + 8a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 2a 2
− 2x y + 2x y
4 2 3 3
− 2x y + 2xy − 2y
2 4 5 6
+ 10a 4 − 8a 3 + 4a 2 − 6a − 2
x6 − 2x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6 5a 8 − 4a7 − 8a 6 + 5a 5 + 5a 4 − 2a 3 + 6a 2 − 6a − 2

45. 35. x − x + x − x + 1
4 3 2
40. 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2
x − 2x + 3x + 6
3 2 a 4 − 3a 2 + 4a − 5
x7 − x 6 + x 5 − x 4 + x 3 3a 9 − 6a 7 + 2a 6 − 3a 5 + 2a 4
− 9a 7 + 18a 5 − 6a 4 + 9a 3 − 6a 2
− 2x 6 + 2x 5 − 2x 4 + 2x 3 − 2x 2
+ 12a 6
− 24a 4 + 8a 3 − 12a 2 + 8a
+ 3x 5 − 3x 4 + 3x 3 − 3x 2 + 3x
− 15a 5
+ 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10
+ 6x 4 − 6x 3 + 6 x 2 − 6x + 6
3a 9 − 15a 7 + 14a 6 − 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10
x 7 − 3x 6 + 6x 5 + x 2 − 3x + 6
36. 3a + 2a − 5a − 4 41. a + b − c
3 2
a + a − 2a + 1
3 2 a−b+c
3a 6 + 2a 5 − 5a 4 − 4a 3 a 2 + ab − ac
+ 3a 5 + 2a 4 − 5a 3 − 4a 2 − ab − b 2 + bc
− 6a 4 − 4a 3 + 10a 2 + 8a + ac + bc − c 2
+ 3a 3 + 2a 2 − 5a − 4 a2 − b 2 + 2bc − c 2
3a 6 + 5a 5 − 9a 4 − 10a 3 + 8a 2 + 3a − 4
37. 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y 42. x + 2y − z
y 4 − 3y 2 − 1 x−y+z
5y 8 − 3y 7 + 4 y 6 + 2y 5 x 2 + 2xy − xz
− 15y 6 + 9y 5 − 12y 4 − 6y 3 − xy − 2y 2 + yz
− 5y 4 + 3y 3 − 4y 2 − 2y + xz + 2yz − z 2
5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y x 2 + xy − 2y 2 + 3yz − z 2
38. m − 2m n + 3m n − 4n 43. 2x − 3y + 5z
4 3 2 2 4
− m3 + 3m2n − 5mn2 + n3 − x + y + 2z
− m7 + 2m6n − 3m5n2 + 4m3n4
− 2x 2 + 3xy − 5xz
+ 3m n − 6m n + 9m n
6 5 2 4 3
− 12m2n5
+ 2xy − 3y 2 + 5yz
− 5m5n2 + 10m4n3 − 15m3n4 + 20mn6
+ m4n3 − 2m3n4 + 3m2n5 − 4n7
+ 4 xz − 6yz + 10z 2
− m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7 − 2x 2 + 5xy − xz − 3y 2 − yz + 10z 2
39. x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6 44. x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z2
x − 2x y + 3xy
5 3 2 4 x +y+z
x11 − 3x 9 y 2 − x 7 y 4 + x 5 y 6 x 3 − x 2 y − x 2z + xy 2 − xyz + xz 2
− 2x 9 y 2 + 6x 7 y 4 + 2x 5 y 6 − 2x 3 y 8 + x2y − xy 2 − xyz + y 3 − y 2 z + yz 2
+ 3x 7 y 4 − 9x 5 y 6 − 3x 3 y 8 + 3xy10 +x z 2
− xyz − xz 2
+ y 2z − yz 2 + z 3
x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10 x3 − 3xyz + y3 + z3

46. x −1 x−2
EJERCICIO 43 7. a + 3a − 2a
x
x−2
ax − ax −1 + a
x+ 2 x +1
1. a − a + a
x
a 2x + 3a 2 x − 1 − 2a 2x − 2
a +1 − a 2 x − 1 − 3a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3
a x+ 3
−a x +2
+a x +1
+ a 2 x − 2 + 3a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4
+ a x + 2 − a x +1 + a x a 2x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4
x+ 3
a +a x
a+4
8. m − ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1
2. − xn + 3 + 2xn + 2 + xn + 1 a−3
− ma − 1 + ma − 2 + m
x +x2
− m2a + 3 + m2a + 2 + 2m2a + 1 − m2a
− x n + 5 + 2x n + 4 + x n + 3
+ m2a + 2 − m2a + 1 − 2m2a + m2a − 1
− x n + 4 + 2x n + 3 + x n + 2
+ m2a + 1 − m2a − 2m2a − 1 + m2a − 2
− x n + 5 + x n + 4 + 3 x n + 3 + xn + 2 2a + 3 2a + 2
−m + 2m + 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2
a+ 2 a +1 a −1
3. m + m − m + m
a
m2 − 2m + 3 9. x a − 1 + 2x a − 2 − x a − 3 + x a − 4
a−3
ma + 4 + ma + 3 − ma + 2 + ma + 1 xa − 1 − xa − 2 − x
− 2ma + 3 − 2ma + 2 + 2ma + 1 − 2ma x 2a − 2 + 2x 2a − 3 − x 2a − 4 + x 2a − 5
a+ 2 a +1 a −1
+ 3m + 3m − 3m + 3m
a
− x 2a − 3 − 2 x 2a − 4 + x 2 a − 5 − x 2 a − 6
ma + 4 − ma + 3 + 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1 − x 2 a − 4 − 2 x 2 a − 5 + x 2 a − 6 − x 2a − 7
x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4 x 2a − 4 − x 2a − 7
n+ 2 n +1
4. a + 3a − 2a
n
n +1
a +a n
n −1 2 n− 2 3 n−3 4
10. a b − a b + 2a b − a b
n
2n + 3 2n + 2 2n + 1
a + 3a − 2a anb2 − an − 2b4
+ a 2n + 2 + 3a 2n +1 − 2a 2n
a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + 2a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b6
a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n − a 2n − 2b 5 + a 2n − 3b 6 − 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b 8
a 2nb3 − a 2n − 1b 4 + a 2n − 2b5 − 2a 2n − 4b7 + a 2n − 5b8
5. x a + 2 + 2x a +1 − x a
x a + 3 − 2x a + 1
11. a x + b x
x 2 a + 5 + 2x 2 a + 4 − x 2 a + 3 a m + bm
2a + 3 2a + 2 2a + 1
− 2x − 4x + 2x
am + x + amb x
2a + 5
x + 2x 2 a + 4 − 3x 2a + 3 − 4 x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1 + a x bm + bm + x
m+ x
a + a b + a xbm + bm + x
m x
x −1 x−2
6. a − 2a
x
+ 3a
a 2 + 2a − 1 x −1 n−1
12. a − b
x+2 x +1
a − 2a + 3a x
a−b
x +1
+ 2a − 4a x + 6a x − 1 a x − abn − 1
x −1 x−2
− a + 2ax
− 3a − a x − 1b + bn
x+2 x −1 x−2
a − 2a + 8a x
− 3a a − ab
x n −1
− a x − 1b + bn

47. 13. − 5a m + + a m + + 3a m
2 2 2 1 2
6a 3m − 1 − 8a 3m − 2 + a 3m − 3
− 30a 5m + 1 + 6a 5m + 18a 5m − 1
+ 40a 5m − 8a 5m − 1 − 24a 5m − 2
− 5a 5m − 1 + a 5m − 2 + 3a 5m − 3
− 30a 5m + 1 + 46a 5m + 5a 5m − 1 − 23a 5m − 2 + 3a 5m − 3
a + 2 x −1 a +1 x a x +1
14. x y − 4x y + 3x y
− 2x 2a − 1y x − 2 − 4x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3 y x
− 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 8x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1
− 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2 x − 1 − 12x 3a − 2 y 2x
− 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1
− 2x 3a + 1y 2 x − 3 + 4x 3a y 2 x − 2 + 28x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2x + 1
EJERCICIO 44
1 2 1 1
3. x − xy + y 2
2 3 4
1 1
1. a− b 2 3
2 3 x− y
3 2
1 1
a+ b 2 3 2 2 2
3 2 x − x y + xy 2
6 9 12
1 2 1
a − ab 3 2 3 2 3
6 9 − x y + xy − y 3
4 6 8
1 1
+ ab − b2 2 3 8 + 27 2 2+6 2 3 3
4 6 x − x y+ xy − y
6 36 12 8
1 2 4−9 1
a − ab − b 2 1 3 35 2 8 3 3
6 36 6 = x − x y+ xy − y
2
3 36 12 8
1 5 1
= a2 + ab − b2 1 3 35 2 2 2 3 3
6 36 6 = x − x y + xy − y
3 36 3 8
2
2. x − y 1 2 2
5 4. a − ab + b2
4 3
1 5
x+ y 1 3
3 6 a− b
4 2
1 2 2
x − xy 1 3 1 2 2
3 15 a − ab + ab2
16 4 12
5 10 2
+ xy − y 3 2 3 2 6 3
6 30 − ab + ab − b
8 2 6
1 2 4 − 25 10 2
x − xy − y 1 3 2+3 2 2 + 18 2
3 30 30 a − a b+ ab − b3
16 8 12
1 21 1
= x2 + xy − y 2 1 3 5 2 20 2
3 30 3 = a − a b+ ab − b3
16 8 12
1 7 1
= x2 + xy − y 2 1 3 5 2 5
3 10 3 = a − a b + ab 2 − b
16 8 3

48. 2 2 1 1 3 2 1 2
5. m + mn − n2 6. x + x−
5 3 2 8 4 5
3 2 1
m − mn + 2n2 2x − x + 2
3
2 3
6 4 3 3 3 2 2 6 5 2 4 4 3
m + m n − m n x + x − x
10 6 4 8 4 5
2 1 1 3 3 1 2 2
− m3n − m2n2 + mn 3 − x − x + x
5 3 2 24 12 15
4 2 2 4 6 2 2 4
+ m2n2 + mn3 − n + x + x −
5 3 2 8 4 5
6 4 15 − 12 3 45 + 20 − 48 2 2 3 + 4 2 6 5 2 4 96 + 15 3 2 − 18 2 8 + 30 4
m + m n− m n + mn3 − n4 x + x − x − x + x−
10 30 60 6 2 8 4 120 24 60 5
6 4 3 3 17 2 2 7 3 5 1 4 111 3 16 2 38 4
= m + m n − m n + mn3 − n4 = x + x − x + x + x−
10 30 60 6 4 2 120 24 60 5
3 4 1 3 17 2 2 7 3 5 1 4 37 3 2 2 19 4
= m + m n − m n + mn3 − n4 = x + x − x + x + x−
5 10 60 6 4 2 40 3 30 5
2 3 1 1 2
1 1 3 x − x2y + xy
7. − 2 x + 3 ax + 2 a 8.
2 2
7 5 2
1 2 2 5 2
x − xy + y
3 2 2 4 3 6
x − ax + a 2
2 3 2 5 1 4 1 3 2
x − x y + x y
3 4 3 3 9 2 2 28 20 8
− x + ax + a x 4 4 2 3 2 2 2 3
4 6 4 − x y + x y − x y
21 15 6
1 1 2 2 3
+ ax 3 − a x − a3x 10 3 2 5 2 3 5
2 3 2 + x y − x y + xy 4
42 30 12
2 2 2 2 6 4
− a x + a3x + a 2 5
x −
21+ 80 4
x y+
105 + 112 + 200 3 2 10 + 5 2 3 5
x y − x y + xy 4
6 9 6 28 420 840 30 12
3 4 3 + 3 3 27 − 4 − 4 2 2 27 − 4 3 6 =
2 5
x −
101 4
x y+
417 3 2 15 2 3
x y − x y +
5
xy 4
− x + ax + a x − a x + a4 28 420 840 30 12
4 6 12 18 6
1 5 101 4 139 3 2 1 2 3 5
3 6 19 2 2 23 3 6 = x − x y+ x y − x y + xy 4
= − x 4 + ax 3 + a x − a x + a4 14 420 280 2 12
4 6 12 18 6
3 4 19 2 2 23 3
= − x + ax +
3
a x − a x+a 4
4 12 18
1 3 1 2 1 1
9. x + x − x+
4 3 4 2
3 2 1 1
x + x−
2 10 5
3 5 3 4 3 3 3 2
x + x − x + x
8 6 8 4
1 4 1 3 1 2 1
+ x + x − x + x
40 30 40 20
1 3 1 2 1 1
− x − x + x −
20 15 20 10
3 5 60 + 3 4 45 − 4 + 6 3 90 − 3 − 8 2 1+ 1 1
x + x − x + x + x−
8 120 120 120 20 10
3 63 4 47 3 79 2 2 1 3 5 21 4 47 3 79 2 1 1
= x5 + x − x + x + x− = x + x − x + x + x−
8 120 120 120 20 10 8 40 120 120 10 10

49. 3 1 2 1
10. 4 m − 2 m n + 5 mn − 4 n
3 2 2 3
2 2 2 5
m − mn + n2
3 3 2
6 5 2 4 4 3 2 2 2 3
m − m n + m n − m n
12 6 15 12
6 4 2 3 2 4 2 3 2
− m n+ m n − m n + mn 4
12 6 15 12
15 3 2 5 2 3 10 5 5
+ m n − m n + mn 4 − n
8 4 10 8
6 5 4+6 4 32 + 40 + 225 3 2 10 + 16 + 75 2 3 20 + 120 5
m − m n+ m n − m n + mn4 − n5
12 12 120 60 120 8
1 5 10 4 297 3 2 101 2 3 140 5 5 1 5 5 4 99 3 2 101 2 3 7 5
= m − m n+ m n − m n + mn − n = m − m n +
4
m n − m n + mn 4 − n5
2 12 120 60 120 8 2 6 40 60 6 8
EJERCICIO 45
4. m − 5m n + 6mn + n por m − 4mn − n
3 2 2 3 3 2 3
1. x − x + x por x − 1
3 2 2
1− 1+ 1 1− 5 + 6 + 1
1+ 0 − 1 1 + 0 − 4 −1
1− 1+ 1 1− 5 + 6 + 1
− 1+ 1− 1 − 4 + 20 − 24 − 4
−1 + 5 − 6 −1
1− 1+ 0 + 1− 1
= x5 − x 4 + x 2 − x 1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1
= m6 − 5m5n + 2m4n2 + 20m3n3 − 19m2n4 − 10mn5 − n6
2. x + 3 x − 5x + 8 por x − 2x − 7
4 3 2 3 2
5. x − 8x + 3 por x + 6x − 5
4 2 4 2
1+ 3 − 5 + 0 + 8 1+ 0 − 8 + 0 + 3
1− 2 + 0 − 7 1+ 0 + 6 + 0 − 5
1+ 3 − 5 + 0 + 8 1+ 0 − 8 + 0 + 3
− 2 − 6 + 10 + 0 − 16 + 6 + 0 − 48 + 0 + 18
− 7 − 21+ 35 + 0 − 56 − 5 + 0 + 40 + 0 − 15
1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56 1+ 0 − 2 + 0 − 50 + 0 + 58 + 0 − 15
= x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56 = x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15
6. a 6 − 3a 4 − 6a 2 + 10 por a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2
3. a + 3a b − 2a b + 5ab − b
4 3 2 2 3 4
por a − 2ab + b
2 2 1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10
1+ 3 − 2 + 5 − 1 1+ 0 − 4 + 0 + 3 + 0 − 2
1− 2 + 1 1+ 0 − 3 + 0 − 6 + 0 + 10
1+ 3 − 2 + 5 − 1 − 4 + 0 + 12 + 0 + 24 + 0 − 40
− 2 − 6 + 4 − 10 + 2 + 3 + 0 − 9 + 0 − 18 + 0 + 30
+1 + 3 − 2 + 5 −1 − 2 + 0 + 6 + 0 + 12 + 0 − 20
1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1 1+ 0 − 7 + 0 + 9 + 0 + 23 + 0 − 52 + 0 + 42 + 0 − 20
= a + a b − 7a b + 12a b − 13a b + 7ab − b
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 = a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2

50. 8. m − 7m + 9m − 15 por m − 5m + 9m − 4m + 3
12 8 4 16 12 8 4
7. x 9 − 4x 6 + 3x 3 − 2 por 3x 6 − 8x 3 + 10
1− 7 + 9 − 15
1+ 0 + 0 − 4 + 0 + 0 + 3 + 0 + 0 − 2
1− 5 + 9 − 4 + 3
3 + 0 + 0 − 8 + 0 + 0 + 10
1− 7 + 9 − 15
3 + 0 + 0 − 12 + 0 + 0 + 9 + 0 + 0 − 6
− 5 + 35 − 45 + 75
− 8 + 0 + 0 + 32 + 0 + 0 − 24 + 0 + 0 + 16
+ 9 − 63 + 81 − 135
+ 10 + 0 + 0 − 40 + 0 + 0 + 30 + 0 + 0 − 20
− 4 + 28 − 36 + 60
3 + 0 + 0 − 20 + 0 + 0 + 51+ 0 + 0 − 70 + 0 + 0 + 46 + 0 + 0 − 20 + 3 − 21 + 27 − 45
= 3x15 − 20x12 + 51x 9 − 70x 6 + 46x 3 − 20 1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45
= m28 − 12m24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m4 − 45
10. 6a − 4a + 6a − 2 por a − 2a + a − 7
5 2 4 2
9. x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5 por 2x 2 + 4y 2 6+0+0−4+6−2
1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1 1+ 0 − 2 + 1− 7
2+0+4 6+0+ 0 −4+ 6 −2
2 − 6 − 12 − 8 + 0 − 2 − 12 + 0 + 0 + 8 − 12 + 4
+ 4 − 12 − 24 − 16 + 0 − 4 + 6+ 0 +0−4 +6 − 2
2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4 − 42 + 0 + 0 + 28 − 42 + 14
= 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20 x 4 y 3 − 24 x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4y 7 6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14
= 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14
12. 3x 4 − 4x 3 y − y 4 por x 3 − 5xy 2 + 3y 3
11. n − 3n + 5n − 8n + 4 por n − 3n + 4
6 4 3 4 2 3 − 4 + 0 + 0 −1
1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4 1+ 0 − 5 + 3
1+ 0 − 3 + 0 + 4 3 − 4 + 0 + 0 −1
1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4 − 15 + 20 + 0 + 0 + 5
− 3 + 0 + 9 − 15 + 0 + 24 − 12 + 9 − 12 + 0 + 0 − 3
+ 4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 32 + 16 3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3
1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16 = 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5 xy 6 − 3y 7
= n10 − 6n8 + 5n7 + 13n6 − 23n5 − 8n 4 + 44n3 − 12n2 − 32n + 16
13. x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10 por x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6
1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6
1+ 0 − 4 + 0 − 5 + 0 + 1
1+ 0 + 0 + 0 − 5 + 0 + 0 + 0 + 3 + 0 − 6
− 4 + 0 + 0 + 0 + 20 + 0 + 0 + 0 − 12 + 0 + 24
− 5 + 0 + 0 + 0 + 25 + 0 + 0 + 0 − 15 + 0 + 30
+ 1 + 0+ 0 + 0− 5 +0+ 0+0+ 3 +0 −6
1+ 0 − 4 + 0 − 10 + 0 + 21+ 0 + 28 + 0 − 23 + 0 + 9 + 0 + 33 + 0 − 6
x16 − 4 x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16
15. a − 5a − 7a por 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x
x+2 x +1 x −1
m−1 m− 3
14. a − 3a + 5a por a 2 − 5
m
1− 3 + 0 + 5 1− 5 + 0 − 7
1+ 0 − 5 7 + 0 + 6 +1
1− 3 + 0 + 5 7 − 35 + 0 − 49
− 5 + 15 + 0 − 25 + 6 − 30 + 0 − 42
+ 1 −5+ 0 −7
1− 3 − 5 + 20 + 0 − 25
7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7
= a m + 2 − 3a m + 1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3
= 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3
− 78a 2 x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x −1

51. 16. x − 5x a − 6 x a − 2 por 6x a + 1 − 4 x a + 2x a − 1 + x a − 2
a+2
17. a
2x + 2
− 3a 2 x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1 por 6a 3x + 1 − 5a 3x + 3a 3x − 1
1+ 0 − 5 + 0 − 6 1− 3 − 1− 5
6 − 4 + 2 +1 6−5+3
6 + 0 − 30 + 0 − 36 6 − 18 − 6 − 30
− 4 + 0 + 20 + 0 + 24 − 5 + 15 + 5 + 25
+ 2 + 0 − 10 + 0 − 12 + 3 − 9 − 3 − 15
+ 1+ 0 − 5 + 0 − 6
6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15
6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6 = 6a 5x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x +1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2
= 6x 2a + 3 − 4 x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a
− 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4
EJERCICIO 46
( )(
4. x + 1 x − 1 x + 1
2 2 2
)( ) ( )(
6. a − b a − 2ab + b a + b
2 2
)( )
(
1. 4 a + 5 a − 3 )( ) x +12 a 2 − 2ab + b 2
4a + 20
x2 + 1 a+b
a−3
x4 + x2 a 3 − 2a 2b + ab2
4a 2 + 20a
+ x2 + 1 + a 2b − 2ab2 + b3
− 12a − 60
x 4 + 2 x2 + 1 a 3 − a 2b − ab 2 + b 3
4a 2 + 8a − 60
a−b
x2 − 1
a 4 − a 3b − a 2b 2 + ab 3
x 6 + 2 x 4 + x2
(
2. 3a x + 1 x − 1
2
)( ) − x4 − 2 x 2 − 1
− a 3b + a 2b 2 + ab3 − b 4
3a 2 x + 3a 2 a 4 − 2a 3b + 2ab3 − b 4
x6 + x4 − x2 − 1
x−1
3a 2 x 2 + 3a 2 x
− 3a 2 x − 3a 2
3a 2 x 2 − 3a 2 ( )(
5. m m − 4 m − 6 3m + 2 )( ) ( )(
7. 3x x 2 − 2 x + 1 x − 1 x + 1 )( )
m − 4m
2
3x − 6 x + 3x
3 2
m− 6
x−1
( )(
3. 2 a − 3 a − 1 a + 4 )( ) m 3 − 4 m2
3x 4 − 6 x 3 + 3x 2
2a − 6 − 6m2 + 24m
− 3 x 3 + 6 x 2 − 3x
a −1
m − 10m + 24m
3 2
3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3x
2a 2 − 6a 3m + 2
− 2a + 6 x+1
3m4 − 30m3 + 72m2
2a 2 − 8a + 6 3x 5 − 9 x 4 + 9 x 3 − 3x 2
+ 2m3 − 20m2 + 48m
a+4 + 3x 4 − 9 x 3 + 9 x 2 − 3 x
3m4 − 28m3 + 52m2 + 48m
2a 3 − 8a 2 + 6a 3x 5 − 6 x 4 + 6 x 2 − 3x
+ 8a − 32a + 24
2
2a 3
− 26a + 24

52. 11. (x − 3)(x + 4)( x − 5)( x + 1)
( )(
8. x − x + 1 x + x − 1 x − 2
2 2
)( ) x−3 x−5
x2 − x + 1 x+ 4 x+1
x2 + x − 1 x 2 − 3x x 2 − 5x
+ 4 x − 12 + x −5
x4 − x3 + x2
x 2 + x − 12 x2 − 4 x − 5
+ x3 − x2 + x
x2 − 4x − 5
− x2 + x − 1
x 4 + x 3 − 12 x 2
x4 − x2 + 2x − 1 − 4 x 3 − 4 x 2 + 48x
x− 2 − 5x 2 − 5x + 60
x 5
− x + 2x − x
3 2
x 4 − 3x 3 − 21x 2 + 43x + 60
− 2x 4
+ 2x − 4x + 2
2
12. (x − 3)( x + 2 x + 1)( x − 1)(x + 3)
2 2 2
x − 2 x − x + 4 x 2 − 5x + 2
5 4 3
x + 2x + 1
2
x2 − 3
x2 + 3 x−1
x + 2x + x
4 3 2
x 3
− 3x
9. (a − 3)(a + 2)(a − 1)
m m −1 m −1
+ 3x 2 + 6 x + 3 − x2 +3
a −3
m
x 4 + 2 x3 + 4 x2 + 6x + 3 x 3 − x 2 − 3x + 3
a m −1 + 2 x 3 − x 2 − 3x + 3
2 m −1 m −1
+a − 3a x 7 + 2 x 6 + 4 x 5 + 6 x 4 + 3x 3
2a m
−6 − x 6 − 2 x 5 − 4 x 4 − 6 x 3 − 3x 2
2 m −1 m −1
2a + a m
− 3a −6 − 3x 5 − 6 x 4 − 12 x 3 − 18 x 2 − 9 x
a m −1 − 1 + 3x 4 + 6 x 3 + 12 x 2 + 18 x + 9
2 m −1 3m − 2 2m−2 m −1
2a +a − 3a − 6a x +x −x
7 6 5
− x 4 − 9 x 3 − 9 x2 + 9 x + 9
2 m −1 m −1
− a + 3a − 2a + 6
m
13. 9a (3a − 2)(2a + 1)(a − 1)(2a − 1)
2
2 m −1 3m − 2 2m−2 m −1
a +a − 3a − 3a − 2a m + 6
27a 3 − 18a 2 2a − 1
⇒ a 3m − 2 + a 2 m −1 − 3a 2 m − 2 − 2a m − 3a m −1 + 6
2a + 1 a−1
54a 4 − 36a 3 2a 2 − a
+ 27a − 18a 3 2
− 2a + 1
(
10. a a − 1 a − 2 a − 3)( )( ) 54a − 9a − 18a
4 3 2
2a − 3a + 1
2
a2 − a 2a 2 − 3a + 1
a−2
108a 6 − 18a 5 − 36a 4
a3 − a2 − 162a 5 + 27a 4 + 54a 3
− 2a + 2a2
+ 54a 4 − 9a 3 − 18a 2
a − 3a + 2a
3 2
108a − 180a + 45a 4 − 45a 3 − 18a 2
6 5
a−3
a 4 − 3a 3 + 2a 2
x +1
14. a a + b
x
(
x +2
)(a x +1
− b x + 2 )b x
2 x +1 x+2
a +a b x
− 3a 3 + 9a 2 − 6a
x +1 x
a b − b2 x + 2
a 4 − 6a 3 + 11a 2 − 6a
a 3 x + 2b x + a 2 x + 1b 2 x + 2
− a 2 x + 1b2 x + 2 − a xb 3x + 4
a 3 x + 2b x − a xb 3 x + 4

53. EJERCICIO 47 ( ) 2
(
11. 3 x + y − 4 x − y + 3x 2 − 3 y 2 )
2
1. 4 ( x + 3) + 5( x + 2) = 3( x + y )( x + y ) − 4 ( x − y )( x − y ) + 3x 2 − 3 y 2
= 4 x + 12 + 5x + 10
= 3( x 2 + xy + xy + y 2 ) − 4( x 2 − xy − xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2
= 9 x + 22
= 3( x 2 + 2 xy + y 2 ) − 4( x 2 − 2 xy + y 2 ) + 3x 2 − 3 y 2
( ) (
2. 6 x + 4 − 3 x + 1 + 5 x + 2
2 2 2
) ( ) = 3x 2 + 6 xy + 3 y 2 − 4 x 2 + 8 xy − 4 y 2 + 3x 2 − 3 y 2
= 6x + 24 − 3x − 3 + 5x + 10
2 2 2
= 2 x 2 + 14 xy − 4 y 2
= 8x + 31 2
12. (m + n) − (2m + n) + (m − 4n)
2 2 2
3. a (a − x ) + 3a( x + 2a ) − a( x − 3a )
= a 2 − ax + 3ax + 6a 2 − ax + 3a 2 = (m + n )(m + n ) − (2m + n)(2m + n) + (m − 4n)(m − 4n)
= 10a + ax 2
= m2 + 2mn + n 2 − (4m2 + 4mn + n 2 ) + m2 − 8mn + 16n 2
4. x ( y + 1) + y ( x + 1) − 3x y
2 2 2 2 2 2 = 2m2 − 6mn + 17n 2 − 4m2 − 4mn − n 2
= − 2m2 − 10mn + 16n 2
= x 2 y 2 + x 2 + x 2 y 2 + y 2 − 3x 2 y 2
= − x2 y2 + x2 + y2
( ) ( ) ( )(
13. x a + x + 3x a + 1 − x + 1 a + 2 x − a − x ) ( ) 2
5. 4m − 5mn + 3m (m + n ) − 3m(m − n ) + 3ax + 3x − (ax + 2 x + a + 2 x ) − (a − x)(a − x )
3 2 2 2 2 2 2
= ax + x 2 2
= 4m3 − 5mn 2 + 3m4 + 3m2 n 2 − 3m3 + 3mn2
= 4ax + x + 3x − ax − 2 x
2 2
− a − 2 x − (a − ax − ax + x )
2 2
= 3m4 + m3 + 3m2 n 2 − 2mn2
= 3ax − x 2 + x − a − a 2 + ax + ax − x 2
2 3 3 2 2 2
(
6. y + x y − y x + 1 + y x + 1 − y x − 1
2 2 2
) ( ) ( ) = − 2 x 2 + x + 5ax − a − a 2
= y2 + x2 y3 − x2 y3 − y3 + x2 y2 + y2 − x2 y2 + y2
= − y 3 + 3y2
14. (a + b − c) + (a − b + c) − (a + b + c)
2 2 2
( ) ( )( )
7. 5 x + 2 − x + 1 x + 4 − 6 x a+b− c a−b+ c
= 5x + 10 − ( x + 4 x + x + 4) − 6 x
2 a+ b− c a−b+ c
a 2 + ab − ac a 2 − ab + ac
= − x + 10 − x 2 − 4 x − x − 4
+ ab + b 2 − bc − ab + b 2 − bc
= − x 2 − 6x + 6
− ac − bc + c 2 + ac − bc + c 2
8. (a + 5)(a − 5) − 3(a + 2)(a − 2) + 5(a + 4) a + 2ab − 2ac + b − 2bc + c
2 2 2
a − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2
2
= a 2 − 5a + 5a − 25 − 3(a 2 − 2a + 2a − 4) + 5a + 20
a+b+ c
= a 2 + 5a − 5 − 3 (a 2 − 4)
a+b+ c
= a 2 + 5a − 5 − 3a 2 + 12
a 2 + ab + ac
= − 2a 2 + 5a + 7 + ab + b 2 + bc
9. (a + b)(4a − 3b) − (5a − 2b)(3a + b) − (a + b)(3a − 6b) + ac + bc + c 2
= 4a 2 + ab − 3b 2 − (15a 2 − ab − 2b 2 ) − (3a 2 − 3ab − 6b 2 ) a + 2ab + 2ac + b + 2bc + c 2
2 2
= 4a 2 + ab − 3b 2 − 15a 2 + ab + 2b 2 − 3a 2 + 3ab + 6b 2
a 2 + 2ab − 2ac + b 2 − 2bc + c 2
= − 14a 2 + 5ab + 5b 2
a 2 − 2ab + 2ac + b 2 − 2bc + c 2
( ) ( )
10. a + c − a − c
2 2
− a 2 − 2ab − 2ac − b 2 − 2bc − c 2
= (a + c)(a + c) − (a − c)(a − c) a 2 − 2ab − 2ac + b 2 − 6bc + c 2
= a + ac + ac + c − (a − ac − ac + c )
2 2 2 2 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 − 2ab − 2ac − 6bc
= a 2 + 2ac + c 2 − a 2 + ac + ac − c 2
= 4ac

54. ( ) (
2
15. x + x − 3 − x − 2 + x + x − x − 3
2 2 2
) (
2
)2
( ) (
2
16. x + y + z − x + y x − y + 3 x + xy + y
2 2
)( ) ( )
x + x− 3
2
x + x−2
2 x+ y+ z x+ y
x+ y+ z x− y
x + x− 3
2
x2 + x − 2
x 2 + xy + xz x 2 + xy
x 4 + x 3 − 3x 2 x4 + x3 − 2x2
+ xy + y 2 + yz − xy − y 2
+ x 3 + x 2 − 3x + x3 + x2 − 2x
− 3 x 2 − 3x + 9 − 2x2 − 2x + 4 + xz + yz + z 2 x2 − y2
x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9 x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 4 x + 4 x + 2 xy + 2 xz + y + 2 yz + z
2 2 2
x2 − x − 3 x 2 + 2 xy + 2 xz + y 2 + 2 yz + z 2
x2 − x − 3 − x2 + y2
3x + 3xy2
+ 3y 2
x 4 − x 3 − 3x 2 x 4 + 2 x 3 − 5x 2 − 6 x + 9
− x 3 + x 2 + 3x − x 4 − 2 x 3 + 3x 2 + 4 x − 4 3x 2 + 5xy + 2 xz + 5y 2 + 2 yz + z 2
− 3x 2 + 3x + 9 x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9 ⇒ 3x 2 + 5y 2 + z 2 + 5xy + 2 xz + 2 yz
x 4 − 2 x 3 − 5x 2 + 6 x + 9 x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 4 x + 14
[
18. 3 ( x + 2) − 4 ( x + 1) 3( x + 4) − 2 ( x + 2)][ ]
[ ][
17. x + (2 x − 3) 3x − ( x + 1) + 4 x − x
2
] [ ][
= 3x + 6 − 4 x − 4 3x + 12 − 2 x − 4 ]
[ ][ ]
= x + 2 x − 3 3x − x − 1 + 4 x − x 2 = [− x + 2][x + 8]
= [3x − 3][2 x − 1] + 4 x − x 2
= − x 2 − 8 x + 2 x + 16
= 6 x 2 − 3x − 6 x + 3 + 4 x − x 2 = − x 2 − 6 x + 16
= 5x − 5x + 3
2
20. [(x + y) − 3(x − y) ][(x + y)(x − y) + x (y − x)]
2 2
[( )( )][ ( ) ( )]
) (
19. m + n m − n − m + n m + n 2 m + n − 3 m − n )(
[ ][
= x 2 + 2 xy + y 2 − 3 (x 2 − 2 xy + y 2 ) x 2 − y 2 + xy − x 2 ]
= [m − n − (m + 2mn + n )][2m + 2n − 3m + 3n]
[ ][xy − y ]
2 2 2 2
= x + 2 xy + y − 3x + 6xy − 3 y
2 2 2 2 2
= [m − n − m − 2mn − n ][− m + 5n]
[ ][ ]
2 2 2 2
= − 2 x 2 + 8xy − 2 y 2 xy − y 2
= [− 2mn − 2n ][− m + 5n] 2
= − 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 + 8 x 2 y 2 − 8xy 3 − 2 xy 3 + 2 y 4
= 2m2 n − 10mn2 + 2mn 2 − 10n 3 = − 2 x 3 y + 10x 2 y 2 − 10xy 3 + 2 y 4
= 2m n − 8mn − 10n
2 2 3
EJERCICIO 48 [
3. − 3x − 2 y + ( x − 2 y) − 2 ( x + y) − 3(2 x + 1) ]
[
= − 3x − 2 y + x − 2 y − 2 x − 2 y − 6 x − 3 ]
[
1. x − 3a + 2 (− x + 1) ] [
= − − 4x − 6y − 3 ]
[
= x − 3a − 2 x + 2 ] = 4x + 6y + 3
= x − 3a + 2 x − 2
= 3 x − 3a − 2
{
4. 4 x 2 − − 3x + 5 − − x + x 2 − x [ )] } (
= 4x2 − {− 3x + 5 − [− x + 2 x − x ] }
[ ]
2
2. − (a + b) − 3 2a + b (− a + 2)
[
= − a − b − 3 2a − ab + 2b ] = 4x2 − {− 3x + 5 + x − 2 x + x } 2
= − a − b − 6a + 3ab − 6b = 4x2 − {− 4 x + 5 + x } 2
= − 7a − 7b + 3ab ⇒ − 7a + 3ab − 7b = 4x2 + 4x − 5− x2
= 3x 2 + 4 x − 5

55. { [
5. 2a − − 3x + 2 − a + 3x − 2 − a + b − 2 + a ( )) ] }( [{(
10. m − 3(m + n) + − − − 2m + n − 2 − 3[m − n + 1] + m) }]
= m − 3m − 3n + [ − {− (− 2m + n − 2 − 3m + 3n − 3) + m}]
= 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x − 2 (− a + b − 2 − a )] }
= − 2m − 3n + [ − {− (− 5m + 4n − 5) + m}]
= 2a − {− 3x + 2 [− a + 3x + 2a − 2b + 4 + 2a ] }
= − 2m − 3n + [− {5m − 4n + 5 + m}]
= 2a − {− 3x + 2 [3a + 3x − 2b + 4 ] }
= − 2m − 3n + [− {6m − 4n + 5}]
= 2a − {− 3x + 6a + 6 x − 4b + 8}
[
= − 2m − 3n + − 6m + 4n − 5 ]
= 2a + 3x − 6a − 6 x + 4b − 8 = − 2m − 3n − 6m + 4n − 5
= − 4a − 3x + 4b − 8 ⇒ − 4a + 4b − 3x − 8 = − 8m + n − 5
[
6. a − ( x + y ) − 3 ( x − y) + 2 − ( x − 2 y) − 2 (− x − y) ]
[
= a − x − y − 3x + 3 y + 2 − x + 2 y + 2 x + 2 y ]
= a − 4x + 2y + 2 x + 4y [ ] { [
11. − 3( x − 2 y ) + 2 − 4 − 2 x − 3( x + y) ] } − {− [− (x + y)] }
= a − 4x + 2 y + 2x + 8y = − 3x + 6 y + 2 {− 4 [− 2 x − 3x − 3 y ] } − {− [− x − y] }
= a − 2 x + 10 y = − 3x + 6 y + 2 {− 4[− 5x − 3 y] } − {x + y}
= − 3x + 6 y + 2 {20 x + 12 y} − x − y
{ [
7. m − (m + n) − 3 − 2m + − 2m + n + 2 (− 1 + n) − (m + n − 1) ]}
= − 4 x + 5 y + 40 x + 24 y
{ [
= m − m − n − 3 − 2m + − 2m + n − 2 + 2n − m − n + 1 ]} = 36 x + 29 y
{ [
= − n − 3 − 2m + − 3m + 2n − 1 ]}
= − n − 3 {− 2m − 3m + 2n − 1}
= − n − 3 { − 5m + 2n − 1}
= − n + 15m − 6n + 3
{ [
12. 5 − (a + b) − 3 − 2a + 3b − (a + b) + (− a − b) + 2 (− a + b) − a] }
= − 7n + 15m + 3 ⇒ 15m − 7n + 3 { [ ] }
= 5 − a − b − 3 − 2a + 3b − a − b − a − b − 2a + 2b − a
{ [ ] }
= 5 − a − b − 3 − 6a + 3b − a
{ [
8. − 2 (a − b) − 3(a + 2b) − 4 a − 2b + 2 − a + b − 1 + 2 (a − b)]} = 5 {− 2 a − b + 18a − 9b}
= − 2a + 2b − 3a − 6b − 4 {a − 2b + 2 [− a + b − 1 + 2a − 2b] } = 5{16a − 10b}
= − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2 [a − b − 1] } = 80a − 50b
= − 5a − 4b − 4 {a − 2b + 2a − 2b − 2}
= − 5a − 4b − 4 {3a − 4b − 2}
= − 5a − 4b − 12a + 16b + 8 {[
13. − 3 − + (− a + b) ] } − 4 {− [− (− a − b)] }
= − 3{− [− a + b] } − 4 {− [a + b] }
= − 17a + 12b + 8
= − 3{a − b} − 4 {− a − b}
[ { }]
9. − 5 ( x + y) − 2 x − y + 2 − x + y − 3 − ( x − y − 1) + 2 x
= − 3a + 3b + 4a + 4b
= − 5x − 5y − [2 x − y + 2{− x + y − 3 − x + y + 1}] + 2 x
= a + 7b
= − 3x − 5y − [2 x − y + 2 {− 2 x + 2 y − 2}]
[
= − 3x − 5y − 2 x − y − 4 x + 4 y − 4 ] { {[ ]} [
14. − a + b − 2 (a − b ) + 3 − 2a + b − 3 (a + b − 1) − 3 − a + 2 (− 1 + a ) ]}
= − 3x − 5y − [− 2 x + 3 y − 4]
= − {a + b − 2 a + 2b + 3 {− [2a + b − 3a − 3b + 3] } − 3[− a − 2 + 2a ] }
= − 3x − 5y + 2 x − 3 y + 4
= − x − 8y + 4 = − {− a + 3b + 3 {a + 2b − 3} − 3a + 6}
= − {− 4a + 3b + 6 + 3a + 6b − 9}
= − {− a + 9b − 3}
= a − 9b + 3

56. EJERCICIO 49 1 8 9 4 −4 1
12. − a b c ÷ 8c = − = − a 8b9
8 9 4 4
a b c
8 8
1. − 24 ÷ 8 = − 3
16 6 4 − 3 16
2. − 63 ÷ − 7 = 9 13. 16m n ÷ − 5n = −
6 4 3
mn = − m6n
5 5
3. − 5a 2 ÷ − a = 5a 2 − 1 = 5a
108 7 6 − 6 8 − 8 27 7
14. − 108a b c ÷ − 20b c = =
7 6 8 6 8
ab c a
4. 14a 3b 4 ÷ − 2ab 2 = − 7a 3 − 1b4 − 2 = − 7a 2b 2 20 5
5. − a 3b 4 c ÷ a 3b 4 = − a 3 − 3b 4 − 4 c = − c 2 2 −1 6 − 6 2
15. − 2m n ÷ − 3mn = m n = m
2 6 6
6. − a b ÷ − ab = a 2 − 1 1− 1 3 3
2
b =a
16. a x ÷ a 2 = a x − 2
7. 54x y z ÷ − 6xy z = − 9x2 − 1y 2 − 2z3 − 3 = − 9x
2 2 3 2 3
17. − 3a xbm ÷ ab 2 = − 3a x − 1bm − 2
8. − 5m2n ÷ m2n = − 5m2 − 2n1− 1 = − 5
5 m − 3 n − 4 1− 1 5
9. − 8a 2 x 3 ÷ − 8a 2 x 3 = a 2 − 2 x 3 − 3 = 1 18. 5a b c ÷ − 6a b c = −
m n 3 4
a b c = − a m − 3bn − 4
6 6
xy 2 − 1 xy
10. − xy ÷ 2y = − =−
2 1 x−m m−n
19. a b ÷ − 4a b = −
x m m n
2 2 a b
4
5 4 − 4 5 −1 5
11. 5x y ÷ − 6x y = − x y = − y4
4 5 4 a−x x−2 3−3 3 3
20. − 3m n x ÷ − 5m n x = m n x
a x 3 x 2 3
= m a − xnx − 2
6 6 5 5
EJERCICIO 50
2. 2x a + 4 ÷ − x a + 2 = − 2x a + 4 − b+ 2 g= − 2x a + 4 − a − 2 = − 2x 2
a
1. am + 3 ÷ am + 2 = a m+3− m+2 b g= am + 3 − m − 2 = a 1 2n + 3 − b+ 4g 1 1
2n + 3
÷ − 4xn + 4 = − = − x 2n + 3 − n − 4 = − xn − 1
n
4. x x
3 m − 2 − b − 5 g 3 m −2 − m + 5 3 3 4 4 4
m− 2
3. − 3a ÷ − 5am − 5 = = a = a
m
a
5 5 5 m + 3 m −1 7 m + 3 − 4 m − 1− 2 7 m − 1 m − 3
6. − 7x y ÷ − 8x 4 y 2 = x y = x y
x−2 n 4 x − 2 − 3 n −2 4 x − 5 n − 2 8 8
5. − 4a b ÷ − 5a b = b = a b
3 2
a
5 5 n −1 n +1 n −1 n +1 4 n − 1− n + 1 n + 1− n − 1 4
8. − 4x y ÷ 5x y = − x y =−
5 5 5 5
7. 5a
2m − 1 x − 3
b ÷ − 6a 2m − 2
b x−4
= − a 2m −1− 2m + 2 b x − 3 − x + 4 = − ab
6 6
5 1− m 2 − n 3 − x
10. − 5ab c ÷ 6a b c = −
2 3 m n x
a b c
9. am + nb x + a ÷ amba = am + n − mb x + a − a = anb x 6
EJERCICIO 51
1
1 2 2 2 2 3 2 2
x ÷ = x = x
1. 2 3 2 4 5. − 2 x 4 y 5 ÷ − 2 = 9 x 4 y 5 = 2 x 4 y 5 = 1 x 4 y 5
3 9 2 18 9
1 3
3 6. 3m4n5p 6 ÷ − m4np 5 = − 1 m4 − 4n5 − 1p 6 − 5 = − 9n4p
3
3 3 4 2 15 3
− a b ÷ − a b = 5 a 3 − 2b1− 1 = a= a 3
2. 5 5 4 20 4
7
5 7 2 5 6 5 5 6 8 2 − 1 5 − 5 6 − 6 = 14 a = 7 a
2
7. − 8 a b c ÷ − 2 ab c = 5 a b c 40 20
2 5 3 1 3 12 5 2
xy z ÷ − z = − 3 xy 5 z 3 − 3 = − xy = − 4xy 5
3. 3 6 1 3
6 2
2 x m 3 2 10 x − 1 m − 2
7 8. a b ÷ − ab = − 3 a x − 1bm − 2 = − a b
3 5 3 9
7 m n 3 28 m − 1 n − 2 7 m − 1 n − 2
− a b ÷ − ab 2 = 8 a m − 1b n − 2 = a b = a b 5
4. 8 4 3 24 6
4

57. 3 11. − 2a x + 4bm − 3 ÷ − 1 a 4b 3 = 2 a x + 4 − 4bm − 3 − 3 = 4a xbm − 6
3 3 5 3 x 2 1
− c d ÷ d =− 8 c 3 d 5 − x = − 12 c 3 d 5 − x = − 1 c 3 d 5 − x
9. 8 4 3 24 2 2
4 1 3
12. − a x − 3bm + 5 c 2 ÷ a x − 4bm −1
3 15 5
3 m n 3 6 m n− 3 1 1
a b ÷ − b 3 = − 4 a m b n− 3 = − a b = − a mb n − 3
10. 4 2 3 12 2 5 1
= − 15 a x − 3 − x + 4b m+ 5 − m + 1c 2 = − ab 6 c 2 = − ab 6 c 2
2 3 45 9
5
EJERCICIO 52
a x + am − 1 a x am − 1
a 2 − ab a 2 ab 10. = 2 + 2 = a x − 2 + am − 3
1. a − ab ÷ a = = − =a −b
2
a2 a a
a a a
m+2
11. 2a − 3a
m
+ 6am + 4
2. 3x y − 5a x ÷ − 3x
2 3 2 4 2
3x 2 y 3 − 5a 2 x 4 3x 2 y 3 5a 2 x 4 5 2 2
− 3a 3
= = − = − y3 + a x
− 3x 2 − 3x 2 − 3x 2 3 2am 3am + 2 6am + 4 2
= − + = − am − 3 + am − 1 − 2am + 1
− 3a 3 − 3a 3 − 3a 3 3
3. 3a − 5ab − 6a b
3 2 2 3
m −1 n + 2 m−2 n+4
− 2a 12. a b + a b − a b
m n
2 3
3a 3
5ab 6a b2
3 5 2 3 ab
= − − = − a 2 + b 2 + 3ab 3
− 2a − 2a − 2a 2 2 ambn am − 1bn + 2 am − 2bn + 4
= 2 3 + −
ab a 2b 3 a 2b 3
x 3 − 4x 2 + x x 3 4x 2 x
4. = − + = x 2 − 4x + 1 = a b + a b − a m − 4 bn + 1
m−2 n−3 m− 3 n−1
x x x x
m+2
13. x − 5 x m + 6 xm + 1 − x m − 1
5. 4x − 10x − 5x
8 6 4
xm − 2
2x 3 m+2
x 5x m 6x m + 1 x m − 1
4x 8 10x 6 5x 4 5 = m−2 − m− 2 + m− 2 − m−2
= 3− − = 2x 5 − 5x 3 − x x x x x
2x 2x 3 2x 3 2
= x 4 − 5x 2 + 6x 3 − x ⇒ x 4 + 6 x 3 − 5 x 2 − x
6. 6m − 8m n + 20mn
3 2 2
x + 4 m−1
− 2m 14. 4a b − 6a x + 3 b m − 2 + 8a x + 2 b m − 3
6m3 8m2n 20mn2 − 2a x + 2 b m − 4
= − + = − 3m2 + 4mn − 10n2
− 2m − 2m − 2m 4a x + 4 b m − 1 6a x + 3 b m − 2 8a x + 2 b m − 3
= x+2 m−4
− x+2 m−4
+
− 2a b − 2a b − 2a x + 2b m − 4
7. 6a b − 3a b − a b
8 8 6 6 2 3
2 3
= − 2a 2b 3 + 3ab 2 − 4b
3a b
6a 8b 8 3a 6b6 a 2b 3 1
= 2 3− − = 2a 6b 5 − a 4b3 − EJERCICIO 53
3a b 3a 2b3 3a 2b3 3
8. x − 5x − 10x + 15x
4 3 2
1 2 2
− 5x x x
3 6 3
1. 2 − 3 = x − = x −1
x4 5x 3 10x 2 15x 1 2 2 4 6 4
= − − + = − x 3 + x 2 + 2x − 3 x x
− 5x − 5 x − 5x − 5 x 5 3 3
9. 8m n − 10m n − 20m n + 12m n
9 2 7 4 5 6 3 8 1 3 3 2 1
a a a
2m 2 3 −5 + 4
3 3 3
8m9n2 10m7n4 20m5n6 12m3n8 − − −
= − − + 2. 5 5 5
2m2 2m2 2m2 2m2
5 3 15 2 5 5 5
= 4m n − 5m n − 10m n + 6mn
7 2 5 4 3 6 8 =− a + a − a = − a 3 + a2 − a
9 15 12 9 12

58. 2 3 3 2 2 1 m 1 m−1
3. 1 m 4 mn mn a a
2 2 2 1
3 3 +4 = am − 1 + am − 2 = a m − 1 + a m − 2
4 − + 8 6. 1 1
1 2 1 2 1 2 a a 3 4 3 2
m m m
4 4 4 2 2
4 8 12 2 8 3
= m2 − mn + n = m2 − mn + n2 2 x +1 1 x −1 2 x
4 3 8 3 2 7. a a a
3 − 4 − 5
1 x−2 1 x−2 1 x−2
2 4 3 1 3 4 1 2 5 a a a
4. x y x y x y 6 6 6
3 xy 6
− 5 + 4 − 12 3 6 12 2 12 2 3
1 1 1
− xy 3 − xy 3 − xy 3 − xy 3
1 = a − a− a ⇒ 4a 3 − a − a
5 5 5 5 3 4 5 5 2
10 3 5 2 5
=− x + x y − xy 2 + 5y 3 3 n−1 m+ 2 1 n m +1 2 n +1 m
3 5 4 8. − a x ax a x
4 + 8 −3
10 3 5 2 2 2 2
= − x + x y − xy + 5y 3
2
− a 3x2 − a3x 2 − a 3x2
3 4 5 5 5
15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 10 n − 2 m − 2
2 5 1 3 3 = a x − a x + a x
a ab 8 16 6
5. 5 ab 5 2 4 1 2 3 1 5
−3 − = a − ab − b 15 n − 4 m 5 n − 3 m − 1 5 n − 2 m − 2
5a 5a 5a 25 15 5 = a x − a x + a x
8 16 3
EJERCICIO 54
1. a + 2a − 3
2
a+3 6. a 2 + 5a + 6 a+2 11. − 8a 2 + 12ab − 4b 2 −a +b
− a 2 − 3a a −1 − a − 2a
2
a+3 + 8a 2 − 8ab 8a − 4b
− a−3 3a + 6 4ab − 4b 2
+ a+3 − 3a − 6 − 4ab + 4b 2
2. a − 2a − 3
2
a +1 7. 6x 2 − xy − 2y 2 2x + y
− 6 x 2 − 3xy 3x − 2y 12. 6m2 − 11 + 5n2
mn m−n
−a −a
2
a−3
− 6m + 6mn
2
6m − 5n
− 3a − 3 − 4 xy − 2y 2
+ 3a + 3 + 4 xy + 2y 2 − 5mn + 5n2
+ 5mn − 5n2
3 . x + x − 20
2
x+5 8. − 15 x 2 + 22 xy − 8y 2 − 3 x + 2y
− x 2 − 5x x−4 + 15x 2 − 10xy 5x − 4y
13. − 54m + 12mn + 32n − 9m + 8n
2 2
− 4x − 20 12 xy − 8y 2
+ 54m2 − 48mn 6m + 4n
+ 4x + 20 − 12xy + 8y 2
− 36mn + 32n2
4. m − 11 + 30
2
m m−6 9. 5a + 8ab − 21b
2 2
a + 3b + 36mn − 32n2
− m2 + 6m m−5 − 5a 2 − 15ab 5a − 7b
− 5m + 30 − 7ab − 21b 2 14. − 14y 2 + 71y + 33 − 7y − 3
+ 5m − 30 + 7ab + 21b 2
+ 14y 2 + 6y 2y − 11
+ 77y + 33
5. x 2 − 8x + 15 −x+3 10. 14x 2 + 22x − 12 7x − 3
− 77y − 33
− x + 3x
2
−x+5 − 14x + 6x 2
2x + 4
− 5x + 15 28x − 12
+ 5x − 15 − 28x + 12

59. 15. x3 − y3 x − y 21. 3y 5 − 12y + 5y 2 + 10 y2 + 2
−x +x y
3 2
x 2 + xy + y 2 − 3y − 6 y
5 3
3y 3 − 6 y + 5
2
x y − 6y 3 − 12y
− x 2 y + xy 2 + 6y 3 + 12y
xy − y 2 3
5y 2 + 10
− xy + y 2 3
− 5y 2 − 10
16. a 3 − 3a 2b + 3ab 2 − b 3 a − b
am4 − am − 2a am + a
− a 3 + a 2b a 2 − 2ab + b 2 22.
− am4 − am3 m3 − m2 + m − 2
− 2a 2b + 3ab2
− am3
+ 2a 2b − 2ab 2
+ am3 + am2
ab 2 − b3
am2 − am
− ab 2 + b3
− am2 − am
17. x 4
− 9x 2
+x+3 x+3 − 2am − 2a
− x 4 − 3x 3 x 3 − 3x 2 + 1 + 2am + 2a
− 3x 3 − 9 x 2
+ 3x 3 + 9x 2 23. 12a 3 − 35a 2b + 33ab 2 − 10b 3 4a − 5b
x+3 − 12a 3 + 15 a 2b 3a 2 − 5ab + 2b 2
−x−3
− 20a 2b + 33ab 2
18. a 4
+a a +1 + 20a 2b − 25ab 2
−a − a 4 3
a −a +a
3 2
8ab 2 − 10b 3
−a 3
− 8ab 2 + 10b 3
+a +a3 2
a2 + a 24. 15m5 − 5m4n − 9m3n2 + 3m2n3 + 3mn4 − n5 3m − n
−a −a 2 − 15m + 5m n
5 4
5m4 − 3m2n2 + n4
− 9m3n2 + 3m2n3
19. m6 − n6 m 2 − n2
+ 9m3n2 − 3m2n3
− m 6 + m 4 n2 m4 + m2n2 + n4
3mn4 − n5
m 4n2
− 3mn4 + n5
− m4n2 + m2n4
m2n4 − n6
− m2n4 + n6
EJERCICIO 55
20. 2x − x + 7x − 3 2x + 3
4 3
− 2x 4 − 3x 3 x 3 − 2x 2 + 3x − 1
1. a 4 − a 2 − 2a − 1 a2 + a + 1
− 4x 3
− a4 − a3 − a2 a2 − a − 1
+ 4 x 3 + 6x 2
− a − 2a − 2a
3 2
6x 2 + 7 x
+ a3 + a 2 + a
− 6x 2 − 9x
− a2 − a − 1
− 2x − 3
2x + 3 + a2 + a + 1

60. 2. x 5 + 12x 2 − 5x x 2 − 2x + 5 8. − x + 3x y
4 3
− 5xy 3 + 3y 4 x 2 − 2xy + y 2
− x + 2x − 5 x
5 4 3
x 3 + 2x 2 − x + x − 2x y + x y
4 3 2 2
− x 2 + xy + 3y 2
2 x − 5 x + 12x
4 3 2
x 3 y + x 2 y 2 − 5xy 3
− 2x 4 + 4 x 3 − 10x 2 − x 3 y + 2x 2 y 2 − xy 3
− x + 2x − 5x
3 2
3x 2 y 2 − 6xy 3 + 3y 4
+ x − 2x + 5 x
3 2
− 3x 2 y 2 + 6xy 3 − 3y 4
3. m5 − 5m4n + 20m2n3 − 16mn 4 m2 − 2mn − 8n 2 9. n4 − 2n3 + 2n − 1 n2 − 2n + 1
− m + 2m n + 8m n
5 4 3 2
m − 3m n + 2mn
3 2 2
− n4 + 2n3 − n2 n2 − 1
− 3m4n + 8m3n 2 + 20m2n 3
− n2 + 2n − 1
+ 3m4n − 6m3n 2 − 24m2n 3
+ n2 − 2n + 1
2m3n2 − 4m2n 3 − 16mn 4
− 2m3n 2 + 4m2n 3 + 16mn 4
10. a 5b − 5a 4b 2 + 22a 2b 4 − 40ab 5 a 2b − 2ab 2 − 10b 3
− a b + 2a b + 10a b
5 4 2 3 3
a 3 − 3a 2b + 4ab 2
4. x4 − x 2 − 2x − 1 x2 − x −1
− 3a b + 10a b + 22a b
4 2 3 3 2 4
− x 4 + x 3 + x2 x2 + x + 1
+ 3a 4b 2 − 6a 3b 3 − 30a 2b 4
+x 3
− 2x
4a 3b 3 − 8a 2b 4 − 40ab 5
− x 3 + x2 + x
− 4a 3b 3 + 8a 2b 4 + 40ab 5
x − x −1
2
− x2 + x + 1 11. 16x 4 − 24x 2 y 2 − 27y 4 8x 3 − 12x 2 y + 6xy 2 − 9y 3
− 16x + 24x y − 12x y + 18xy
4 3 2 2 3
2 x + 3y
5. x − 2x + 6x 3 − 7 x 2 − 4x + 6 x 4 − 3x 2 + 2 24 x 3 y − 36x 2 y 2 + 18xy 3 − 27y 4
6 5
− x6 + 3x 4 − 2x 2 x 2 − 2x + 3 − 24 x 3 y + 36x 2 y 2 − 18xy 3 + 27y 4
− 2x 5 + 3x 4 + 6x 3 − 9x 2 − 4 x
+ 2x 5 − 6x3 + 4x
12. 4y + 4y − 13y − 3y − 20 2y + 5
4 3 2
3x 4
− 9x 2
+6
− 4y 4 − 10y 3 2y 3 − 3y 2 + y − 4
− 3x 4
+ 9x 2
−6
− 6y 3 − 13y 2
+ 6y 3 + 15y 2
6. m6 + m5 − 4m4 + m2 − 4m − 1 m3 + m2 − 4m − 1
2y 2 − 3y
− m6 − m5 + 4m4 + m3 m3 + 1
− 2y 2 − 5y − 20
m3 + m2 − 4m − 1
− 8y − 20
− m3 − m2 + 4m + 1
8y + 20
7. a5 − a 4 + 7a 2 − 27a + 10 a2 − a + 5
13. − 2a − 3a x + 5a x − 11ax 4 − 3x 5 − a 3 + 2ax 2 + 3x 3
5 4 3 2
− a + a − 5a
5 4 3
a 3 − 5a + 2
+ 2a 5
− 4a x − 6a x3 2 2 3
2a 2 − 3ax − x 2
− 5a + 7a − 27a
3 2
3a 4 x + a 3 x 2 − 6a 2 x 3 − 11ax 4
+ 5a 3 − 5a 2 + 25a − 3a 4 x + 6a 2 x 3 + 9ax 4
2a − 2a + 10
2 3
a x 2
− 2ax 4 − 3x 5
−a x 3 2
+ 2ax 4 + 3x 5
− 2a 2 + 2a − 10

61. 14. − x + 2x y − 3x 2 y 4 − xy 5 x 4 − 3x 3 y + 2x 2 y 2 + xy 3
6 5
+ x − 3x y + 2x y + x y
6 5 4 2 3 3
− x 2 − xy − y 2
− x y + 2x y + x y − 3x y
5 4 2 3 3 2 4
19. y − 2y − y + 4y − 4y + 2 y 4 − 2y 2 + 2
6 5 4 3
+ x 5 y − 3x 4 y 2 + 2x 3 y 3 + x 2 y 4
−y 6
+ 2y 4
− 2y 2
y 2 − 2y + 1
− x y + 3x y − 2 x y − xy
4 2 3 3 2 4 5
− 2y 5 + y 4 + 4 y 3 − 2y 2 − 4 y
+ x 4 y 2 − 3x 3 y 3 + 2x 2 y 4 + xy 5
+ 2y 5 − 4y 3 + 4y
y 4
− 2y 2
+2
15. a − 5a + 31a 2 − 8a + 21 a 3 − 2a − 7
6 5
− y4 + 2y 2 −2
−a 6
+ 2a + 7a
4 3
a − 5a + 2a − 3
3 2
− 5a + 2a + 7a + 31a
5 4 3 2
20. 3m7 − 11m5 + m4 + 18m3 − 3m2 − 8m + 4 m4 − 3m2 + 4
+ 5a 5 − 10a 3 − 35a 2
− 3m7 + 9m5 − 12m3 3m3 − 2m + 1
2a 4 − 3a 3 − 4a 2 − 8a
− 2m5 + m4 + 6m3 − 8m
− 2a 4 + 4a 2 + 14a + 2m5 − 6m3 + 8m
− 3a 3 + 6a + 21
m4 − 3m2 +4
+ 3a 3 − 6a − 21 − m4 + 3m2 −4
16. m6 − m5 + 5m3 − 6m + 9 m 4 + m3 − m2 + 3
21. a 6 + 2a 5 − 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a − 1 a3 + a2 − a + 1
− m6 − m5 + m 4 − 3m2 m2 − 2m + 3
− a6 − a5 + a4 − a3 a 3 + a 2 − 2a − 1
− 2m5 + m4 + 5m3 − 3m2 − 6m
a 5 − a 4 − 4a 3 + 2a 2
+ 2m5 + 2m4 − 2m3 + 6m
− a5 − a4 + a3 − a2
3m4 + 3m3 − 3m2 +9
− 2a 4 − 3a 3 + a 2 − a
− 3m4 − 3m3 + 3m2 −9
+ 2a 4 + 2a 3 − 2a 2 + 2a − 1
17. a 6 − a 5b − 4a 4b 2 + 6a 3b 3 − 3ab 5 + b 6 a 2 − 2ab + b 2 − a3 − a2 + a − 1
− a + 2a b − a b
6 5 4 2
a + a b − 3a b − ab + b
4 3 2 2 3 4
+ a3 + a2 − a + 1
a b − 5a b + 6a b
5 4 2 3 3
− a 5b + 2a 4b 2 − a 3b 3
22. 24 x 5 − 52x 4 y + 38x 3 y 2 − 33x 2 y 3 − 26xy 4 + 4y 5 8 x 3 − 12x 2 y − 6xy 2 + y 3
− 3a 4b 2 + 5a 3b 3 − 24x 5 + 36x 4 y + 18x 3 y 2 − 3 x 2 y 3 3x 2 − 2xy + 4 y 2
+ 3a 4 b 2 − 6a 3b 3 + 3a 2b 4
− 16x y + 56x y − 36x y − 26xy
4 3 2 2 3 4
− a 3b 3 + 3a 2b 4 − 3ab 5 + 16x 4 y − 24x 3 y 2 − 12x 2 y 3 + 2xy 4
+ a 3b 3 − 2a 2b 4 + ab 5
32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 − 24xy 4 + 4 y 5
a b − 2ab + b
2 4 5 6
− 32x 3 y 2 − 48x 2 y 3 + 24xy 4 − 4 y 5
− a b + 2ab − b
2 4 5 6
18. x6 − 2x 4 y 2 + 2x 3 y 3 − 2x 2 y 4 + 3xy 5 − 2y 6 x 2 + xy − 2y 2
− x − x y + 2x 4 y 2
6 5
x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4
−x y
5
+ 2x y 3 3
x 5 y + x 4 y 2 − 2x 3 y 3 23. 5a 8 − 4a 7 − 8a 6 + 5a 5 + 6a 4 − 2a 3 + 4a 2 − 6a a 4 − 2a 2 + 2
− 5a 8 + 10a 6 − 10a 4 5a 4 − 4a 3 + 2a 2 − 3a
+ x4y2 − 2x 2 y 4
− 4a + 2a + 5a − 4a − 2a
7 6 5 4 3
− x 4 y 2 − x 3 y 3 + 2x 2 y 4
+ 4a 7 − 8a 5 + 8a 3
− x3y3 + 3xy 5
+ 2a 6 − 3a 5 − 4a 4 + 6a 3 + 4a 2
+ x 3 y 3 + x 2 y 4 − 2xy 5
− 2a 6 + 4a 4 − 4a 2
x 2 y 4 + xy 5 − 2y 6
− 3a 5
+ 6a 3
− 6a
− x2y4 − xy 5 + 2y 6
3a 5 − 6a 3 + 6a

62. 24. x − 3x + 6x + x 2 − 3x + 6 x 3 − 2x 2 + 3x + 6
7 6 5
− x 7 + 2 x 6 − 3x 5 − 6x 4 x 4 − x 3 + x2 − x + 1
− x + 3x − 6 x
6 5 4
+ x 6 − 2x 5 + 3x 4 + 6x 3 29. 3a 9 − 15a 7 + 14a 6 − 28a 4 + 47a 3 − 28a 2 + 23a − 10 3a 5 − 6a 3 + 2a 2 − 3a + 2
x − 3x + 6x + x
5 4 3 2 − 3a + 6a − 2a + 3a − 2a 4
9 7 6 5
a 4 − 3a 2 + 4a − 5
− x + 2x − 3x − 6 x − 3x
5 4 3 2
− 9a + 12a + 3a − 30a + 47a − 28a
7 6 5 4 3 2
− x 4 + 3x 3 − 5x 2 − 3x + 9a 7 − 18a 5 + 6a 4 − 9a 3 + 6a 2
+ x − 2x + 3x + 6 x + 6
4 3 2
+ 12a 6 − 15a 5 − 24a 4 + 38a 3 − 22a 2 + 23a
x − 2x
3 2
+ 3x + 6 − 12a 6 + 24a 4 − 8a 3 + 12a 2 − 8a
− x + 2 x − 3x − 6
3 2
− 15a 5
+ 30a 3 − 10a 2 + 15a − 10
+ 15a 5
− 30a 3 + 10a 2 − 15a + 10
25. 3a + 5a − 9a − 10a + 8a + 3a − 4 3a + 2a − 5a − 4
6 5 4 3 2 3 2
− 3a 6 − 2a 5 + 5a 4 + 4a 3 a 3 + a 2 − 2a + 1 30. a 2 − b2 + 2bc − c 2 a+b−c
− a 2 − ab + ac a−b+c
+ 3a − 4a − 6a + 8a
5 4 3 2
− 3a 5 − 2a 4 + 5a 3 + 4a 2 − ab − b 2 + ac + 2bc
+ ab + b 2 − bc
− 6a 4 − a 3 + 12a 2 + 3a
+ 6a + 4a − 10a − 8a
4 3 2 ac + bc − c 2
− ac − bc + c 2
3a 3 + 2a 2 − 5a − 4
− 3a 3 − 2a 2 + 5a + 4
31. − 2x + 5xy − xz − 3y − yz + 10z 2x − 3y + 5z
2 2 2
+ 2 x 2 − 3xy + 5 xz − x + y + 2z
26. 5y 8 − 3y 7 − 11y 6 + 11y 5 − 17y 4 − 3y 3 − 4y 2 − 2y 5y 4 − 3y 3 + 4y 2 + 2y
− 5y + 3y − 4y − 2y
8 7 6 5
y − 3y − 1
4 2 2 xy + 4 xz − 3y 2 − yz
− 2xy + 3y 2 − 5yz
− 15y 6 + 9y 5 − 17y 4 − 3y 3
+ 15y − 9y + 12y + 6y
6 5 4 3
4 xz − 6yz + 10z 2
− 5y 4 + 3y 3 − 4 y 2 − 2y − 4 xz + 6yz − 10z 2
+ 5y − 3y + 4y + 2y
4 3 2
27. − m7 + 5m6n − 14m5n2 + 20m4n3 − 13m3n4 − 9m2n5 + 20mn6 − 4n7 − m3 + 3m2n − 5mn2 + n3
+ m7 − 3m6n + 5m5n 2 − m4n 3 m4 − 2m3n + 3m2n 2 − 4n 4
2m6n − 9m5n 2 + 19m4n 3 − 13m3n 4
− 2m6n + 6m5n2 − 10m4n 3 + 2m3n4
− 3m5n 2 + 9m4n 3 − 11 3n 4 − 9m2n 5
m
+ 3m5n 2 − 9m4n 3 + 15m3n 4 − 3m2n 5
4m3n 4 − 12m2n5 + 20mn 6 − 4n 7
− 4m3n 4 + 12m2n 5 − 20mn 6 + 4n 7
28. x11 − 5x 9 y 2 + 8x 7 y 4 − 6 x 5 y 6 − 5x 3 y 8 + 3xy10 x 5 − 2x 3 y 2 + 3xy 4
− x11 + 2x 9 y 2 − 3x 7 y 4 x 6 − 3x 4 y 2 − x 2 y 4 + y 6
− 3x 9 y 2 + 5x 7 y 4 − 6 x 5 y 6
32. x 3 + y3 − 3xyz + z 3 x 2 − xy − xz + y 2 − yz + z 2
+ 3x 9 y 2 − 6x 7 y 4 + 9 x 5 y 6
− x3 + x 2y + x2z − xy 2 + xyz − xz 2 x+y+z
− x 7 y 4 + 3x 5 y 6 − 5x 3 y 8
x 2 y + x 2 z + y 3 − xy 2 − 2 xyz + z 3 − xz 2
+ x 7 y 4 − 2 x 5 y 6 + 3x 3 y 8
− x2 y − y 3 + xy 2 + xyz + y 2 z − yz 2
+ x 5 y 6 − 2 x 3 y 8 + 3xy 10
2
x z − xyz + z − xz + y 2 z − yz 2
3 2
− x 5 y 6 + 2 x 3 y 8 − 3xy 10
−x z 2
+ xyz − z 3 + xz 2 − y 2 z + yz 2

63. 33. a 5 + b5 a + b
−a −a b
5 4
a 4 − a 3b + a 2b 2 − ab 3 + b 4
− a 4b 37. x15 + y 15 x3 + y 3
+ a 4b + a 3b 2 −x −x y
15 12 3
x12 − x 9 y 3 + x 6 y 6 − x 3 y 9 + y 12
3 2
a b −x y12 3
− a 3b 2 − a 2b 3 x12 y 3 + x 9 y 6
−a b 2 3
x9y6
+ a 2b 3 + ab 4 − x9y 6 − x6y 9
ab 4 + b 5 − x6y 9
− ab 4 − b 5 x 6 y 9 + x 3 y 12
x 3 y12 + y15
34. 21x 5
− 21y 5
3x − 3y − x 3 y 12 − y 15
− 21x + 21x y
5 4
7 x + 7 x y + 7 x y + 7 xy + 7 y
4 3 2 2 3 4
21x 4 y
− 21x 4 y + 21x 3 y 2 38. x 3 + 3x 2 y + 3xy 2 + y 3 − 1 x 2 + 2xy + x + y + y 2 + 1
− x − 2x y − xy
3 2 2
− x − xy − x
2
x + y −1
21x 3 y 2
x 2 y + 2 xy 2 + y 3 − 1− x 2 − xy − x
− 21x 3 y 2 + 21x 2 y 3
− x 2 y − 2xy 2 − y 3 − xy − y2 − y
21x 2 y 3
− 1− x − 2xy − x − y 2 − y
2
− 21x 2 y 3 + 21xy 4
+ 1+ x 2 + 2xy + x + y 2 + y
21xy 4 − 21y 5
− 21xy 4 + 21y 5
16x 8 − 16y 8 2x 2 + 2y 2
35.
− 16x − 16x y
8 6 2
8x 6 − 8 x 4 y 2 + 8x 2 y 4 − 8y 6
− 16x 6 y 2
+ 16x 6 y 2 + 16x 4 y 4 39. x
5
+ y5 x 4 − x 3 y + x 2 y 2 − xy 3 + y 4
− x + x y − x y + x y − xy
5 4 3 2 2 3 4
x+y
16x 4 y 4
− 16x y − 16x y
4 4 2 6 x 4 y − x 3 y 2 + x 2 y 3 − xy 4 + y 5
− x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5
− 16x 2 y 6 − 16y 8
+ 16x 2 y 6 + 16y 8
36. x 10 − y 10 x2 − y2
− x10 + x 8 y 2 x8 + x6y2 + x4y 4 + x2y6 + y8
x8y2
− x8y2 + x6y4 EJERCICIO 56
6 4
x y
− x6y 4 + x 4 y6 ax+3 + ax a +1
1.
x4 y 6 − ax +3 − ax +2 a x + 2 − a x +1 + a x
− x 4y 6 + x2y 8 −a x+2
x 2 y 8 − y 10 + a x + 2 + a x +1
− x 2 y 8 + y 10 a x +1 + a x
− a x +1 − a x

64. 2. − x n + 5 + xn + 4 + 3xn + 3 + x n + 2 x 2 + x
+ x n + 5 + xn + 4 − x n + 3 + 2x n + 2 + x n + 1
+ 2x n+ 4
+ 3x n+ 3 8. − m2a + 3 + 2m2a + 2 + 2m2a + 1 − 4m2a − m2a − 1 + m2a − 2 − ma − 1 + ma − 2 + ma − 3
− 2x n+ 4
− 2x n+ 3 + m 2 a + 3 − m2 a + 2 − m 2 a + 1 ma + 4 − ma + 3 − 2ma + 2 + ma + 1
xn + 3 + x n + 2 + m2a + 2 + m2a + 1 − 4m2a
− xn+ 3 − xn+ 2 − m2a + 2 + m2a +1 + m2a
2m2a + 1 − 3m2a − m2a − 1
− 2m2a + 1 + 2m2a + 2m2a − 1
3. ma + 4 − ma + 3 + 6ma + 1 − 5ma + 3ma − 1 m2 − 2m + 3 − m 2 a + m2 a − 1 + m 2 a − 2
− ma + 4 + 2ma + 3 − 3ma + 2 ma + 2 + ma + 1 − m a + ma − 1 + m 2 a − m2 a − 1 − m2 a − 2
m a+3
− 3m a+2
+ 6m a +1
− ma + 3 + 2ma + 2 − 3ma + 1
9. x 2a − 2 + x 2a − 3 − 4x 2a − 4 − x 2a − 7 x a − 1 − x a −2 − x a − 3
− ma + 2 + 3ma + 1 − 5ma − x 2a − 2 + x 2a − 3 + x 2a − 4 x a − 1 + 2x 2 a − 2 − x a − 3 + x a − 4
+ ma + 2 − 2ma + 1 + 3ma
+ 2x 2a − 3
− 3x 2a − 4
ma + 1 − 2ma + 3ma − 1 − 2 x 2 a − 3 + 2x 2 a − 4 + 2x 2 a − 5
− ma + 1 + 2ma − 3ma − 1
− x 2a − 4 + 2x 2a − 5
+ x 2a − 4 − x 2a − 5 − x 2a − 6
4. a 2n + 3 + 4a 2n + 2 + a 2n + 1 − 2a 2n a n + 1 + a n
+ x 2a − 5 − x 2a − 6 − x 2a − 7
− a 2 n + 3 − a 2n + 2 a n + 2 + 3a n + 1 − 2a n
− x 2a − 5 + x 2a − 6 + x 2a − 7
3a 2n + 2 + a 2n + 1
− 3a 2n + 2 − 3a 2n + 1 2n −1 4 2n − 2 5
− 2a 2n − 4b 7 + a 2n − 5b 8 a nb − a n − 1b 2 + 2a n − 2b 3 − a n − 3b 4
10. a b − a b + a b
2n 3
− 2a 2n +1
− 2a 2n
−a b +a
2n 3 2n − 1 4
b − 2a 2n − 2
b +a
5 2n − 3
b6 a nb 2 − a n − 2 b 4
2a 2n + 1 + 2a 2n −a 2n − 2
b +a
5 2n − 3
b − 2a
6 2n − 4
b +a
7 2n − 5
b 8
+ a 2n − 2b 5 − a 2n − 3b 6 + 2a 2n − 4b 7 − a 2n − 5b 8
5. x 2 a + 5 + 2 x 2 a + 4 − 3x 2 a + 3 − 4x 2 a + 2 + 2x 2 a + 1 x a + 3 − 2x a + 1
− x 2a + 5 + 2x 2 a + 3 x a + 2 + 2x a + 1 − x a
+ 2x 2a + 4
−x 2a + 3
11. a m + x + a mb x + a x b m + b m + x ax + bx
− 2x 2a + 4 + 4x 2 a + 2
− a m + x − a mb x a m + bm
− x 2a + 3 + 2x 2 a + 1
a b +b
x m m+ x
+ x 2a + 3 − 2x 2 a + 1
− a xb m − b m + x
6. ax+2 − 2a x + 8a x − 1 − 3a x − 2 a x − 2a x − 1 + 3a x − 2
−a x+2
+ 2a x +1
− 3a x
a 2 + 2a − 1
2a x + 1 − 5a x + 8a x − 1 12. a x − a x − 1b + b n − ab n − 1 a−b
− 2a x +1
+ 4a − 6a
x x −1 − a x + a x − 1b a x −1 − b n − 1
n−1
− a x + 2a x − 1 − 3a x − 2 b − ab n
+ a − 2a
x x −1
+ 3a x−2 − b n + ab n − 1
7. a 2 x + 2a 2 x − 1 − 4a 2 x − 2 + 5a 2 x − 3 − 2a 2x − 4 a x − a x −1 + a x − 2
− a 2 x + a 2 x − 1 − a 2x − 2 a x + 3a x − 1 − 2a x − 2
3a 2 x − 1 − 5a 2x − 2 + 5a 2 x − 3
13. 3a 5m − 3 − 23a 5m − 2 + 5a 5m − 1 + 46a 5m − 30a 5m + 1 a 3m − 3 − 8a 3m − 2 + 6a 3m − 1
− 3a 2 x − 1 + 3a 2 x − 2 − 3a 2 x − 3
− 3a 5m − 3 + 24a 5m − 2 − 18a 5m − 1 3a 2m + a 2m + 1 − 5a 2m + 2
− 2a 2 x − 2 + 2a 2 x − 3 − 2a 2 x − 4
+ a 5m − 2
− 13a 5m − 1
+ 46a 5m
+ 2a 2 x − 2 − 2a 2 x − 3 + 2a 2 x − 4
− a 5m − 2 + 8a 5m − 1 − 6a 5m
− 5a 5m − 1 + 40a 5m − 30a 5m + 1
5a 5m − 1 − 40a 5m + 30a 5m + 1

65. 14. 2x 3a + 1y 2x − 3 − 4x 3a y 2 x − 2 − 28x 3a − 2 y 2 x + 30x 3a − 3y 2 x + 1 − x a + 2 y x − 1 + 4 x a + 1y x − 3x a y x + 1
3a + 1 2 x − 3 3a 2 x − 2 3a − 1 2 x − 1
− 2x y + 8x y − 6x y − 2x 2a − 1y x − 2 − 4 x 2a − 2 y x − 1 − 10x 2a − 3y x
+ 4 x 3a y 2 x − 2 − 6x 3a − 1y 2x − 1 − 28x 3a − 2 y 2 x
− 4x 3a y 2 x − 2 + 16x 3a − 1y 2x − 1 − 12x 3a − 2 y 2 x
10x 3a − 1y 2x − 1 − 40x 3a − 2 y 2x + 30x 3a − 3 y 2 x + 1
− 10x 3a − 1y 2 x − 1 + 40x 3a − 2 y 2 x − 30x 3a − 3 y 2 x + 1
EJERCICIO 57
1 2 5 1 1 1
1. a + ab − b 2 a+ b
6 36 6 3 2 3 4 1 3 17 2 2 7 3 2
5. m + m n− m n + mn 3 − n 4 m − mn + 2n 2
1 1 1 1 5 10 60 6 2
− a 2 − ab a− b 3 4 2 3 4 2 2 2 2 1 1
6 4 2 3 − m + m n− m n m + mn − n2
5 5 5 5 3 2
1 1
− ab − b 2 1 3 65 2 2 7
9 6 m n− m n + mn3
2 60 6
1 1
ab + b 2 1 3 1 2 2 2
− m n + m n − mn 3
9 6 2 3 3
3 2 2 1
1 2 7 1 2 − m n + mn3 − n4
2. x + xy − y 2 x− y 4 2
3 10 3 5 3 2 2 1
m n − mn3 + n 4
1 2 1 5 4 2
− x2 + xy x+ y
3 15 3 6
5 1 3 5 1 4 37 3 2 2 19 4 1
xy − y 2 6. x + x − x + x + x− 2x 3 − x+2
6 3 4 2 40 3 30 5 3
5 1 3 5 1 3 3 2 3 2 1 2
− xy + y 2 − x + x − x x + x−
6 3 4 8 4 8 4 5
1 4 4 3 1 2 19
x − x − x + x
1 3 35 2 2 2 3 3 1 2 1 1 2 5 12 30
3. x − x y+ xy − y x − xy + y 2
3 36 3 8 2 3 4 1 1 2 1
− x4 + x − x
1 3 2 2 1 2 2 3 2 12 2
− x + x y− xy x− y
3 9 6 3 2 4 3 2 4
− x + x−
3 2 1 2 3 3 5 15 5
− x y+ xy − y
4 2 8 4 3 2 4
x − x+
3 2 1 2 3 3 5 15 5
x y− xy + y
4 2 8
9 1 13 1 3 2 2
1 3 5 2 5 1 3 7. a 4 − a 3x − a 2x 2 + ax 3 − x 4 a − ax + x 2
4. a − a b + ab 2 − b 3 a− b 4 12 18 3 2 3
16 8 3 4 2 9 4 3 3 3 2 1 1
− a + a x− a x 2 2
a + ax − x 2
1 3 3 2 1 2 2 4 2 2 3 2
− a + ab a − ab + b 2
16 8 4 3 1 3 13 2 2 13 3
a x− a x + ax
1 5 2 2 12 18
− a 2b + ab 1 1 2 2 2 3
4 3 − a3x + a x − ax
2 3 9
1 2 3 2
ab− ab 3 2 2 1 3 1 4
4 2 − a x + ax − x
4 2 3
1 2 3 2 2 1 3 1 4
ab − b 3 a x − ax + x
6 4 2 3
1
− ab 2 + b3
6

66. 1 5 101 4 139 3 2 1 2 3 5 2 3 1 2 1
8. x − x y+ x y − x y + xy 4 x − x y + xy 2
14 420 280 2 12 7 5 2
1 5 1 4 1 3 2 1 2 2 5
− x + x y− x y x − xy + y 2
14 20 8 4 3 6
4 4 13 3 2 1 2 3
− x y+ x y − x y
21 35 2 3 5 21 4 47 3 79 2 1 1 1 3 1 2 1 1
9. x + x − x + x + x− x + x − x+
4 4 2 3 2 1 2 3 8 40 120 120 10 10 4 3 4 2
+ x y− x y + x y
21 15 3 3 1 3 3 3 2 3 2 1 1
− x5 − x4 + x − x x + x− x
5 3 2 1 2 3 5 8 2 8 4 2 10 5
x y − x y + xy 4
21 6 12 1 4 1 3 11 2 1
x − x − x + x
5 3 2 1 2 3 5 40 60 120 10
− x y + x y − xy 4
21 6 12 1 4 1 3 1 2 1
− x − x + x − x
40 30 40 20
1 3 1 2 1 1
− x − x + x−
20 15 20 10
1 3 1 2 1 1
x + x − x+
20 15 20 10
1 5 5 4 99 3 2 101 2 3 7 5 3 3 1 2 2 1
10. m − m n+ m n − m n + mn4 − n5 m − m n + mn 2 − n3
2 6 40 60 6 8 4 2 5 4
1 5 1 4 4 3 2 1 2 3 2 2 2 5
− m + m n− m n + m n m − mn + n2
2 3 15 6 3 3 2
1 4 53 3 2 91 2 3 7
− m n+ m n − m n + mn 4
2 24 60 6
1 4 1 3 2 4 2 3 1
m n− m n + m n − mn4
2 3 15 6
15 3 2 5 2 3 5 5
m n − m n + mn 4 − n
8 4 8
15 3 2 5 2 3 5
− m n + m n − mn4 + n5
8 4 8
EJERCICIO 58
1. x 5 − x 4 + x 2 − x ÷ x 3 − x 2 + x
1− 1+ 0 + 1− 1 1 − 1+ 1
3. a 6 + a 5b − 7a 4b 2 + 12a 3b 2 − 13a 2 b 4 + 7ab 5 − b 6 ÷ a 2 − 2ab + b 2
− 1+ 1− 1 1+ 0 − 1
1+ 1− 7 + 12 − 13 + 7 − 1 1− 2 + 1
− 1+ 1− 1 ⇒ x2 − 1 − 1+ 2 − 1 1+ 3 − 2 + 5 − 1
+ 1− 1+ 1
3 − 8 + 12 ⇒ a 4 + 3a 3b − 2a 2b2 + 5ab 3 − b 4
−3+6− 3
2. x 7 + x 6 − 11x 5 + 3x 4 − 13x 3 + 19x 2 − 56 ÷ x 3 − 2x 2 − 7
− 2 + 9 − 13
1+ 1− 11+ 3 − 13 + 19 + 0 − 56 1− 2 + 0 − 7
2− 4+ 2
− 1+ 2 − 0 + 7 1+ 3 − 5 + 0 + 8
5 − 11 + 7
3 − 11+ 10 − 13 ⇒ x 4 + 3x 3 − 5x 2 + 8
− 5 + 10 − 5
− 3 + 6 − 0 + 21
− 1 + 2 −1
− 5 + 10 + 8 + 19
+ 1 − 2 +1
+ 5 − 10 + 0 − 35
8 − 16 + 0 − 56
− 8 + 16 − 0 + 56

67. 4. m − 5m n + 2m n + 20m n − 19m n − 10mn − n ÷ m − 4mn − n
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6 3 2 3
1− 5 + 2 + 20 − 19 − 10 − 1 1+ 0 − 4 − 1
− 1− 0 + 4 + 1 1− 5 + 6 + 1
− 5 + 6 + 21 − 19 ⇒ m3 − 5m2n + 6mn2 + n3
5 + 0 − 20 − 5
6 + 1 − 24 − 10 8. m28 − 12m 24 + 53m20 − 127m16 + 187m12 − 192m8 + 87m 4 − 45 ÷ m12 − 7m 8 + 9m4 − 15
− 6 − 0 + 24 + 6 1− 12 + 53 − 127 + 187 − 192 + 87 − 45 1− 7 + 9 − 15
1 + 0 − 4 −1 − 1+ 7 − 9 + 15 1− 5 + 9 − 4 + 3
−1 − 0 + 4 +1 − 5 + 44 − 112 + 187 ⇒ m16 − 5m12 + 9m8 − 4m4 + 3
+ 5 − 35 + 45 − 75
5. x 8 − 2x 6 − 50x 4 + 58x 2 − 15 ÷ x 4 + 6x 2 − 5 9 − 67 + 112 − 192
1− 2 − 50 + 58 − 15 1+ 6 − 5 − 9 + 63 − 81 + 135
− 1− 6 + 5 1− 8 + 3
− 4 + 31 − 57 + 87
− 8 − 45 + 58 ⇒ x 4 − 8x 2 + 3 + 4 − 28 + 36 − 60
+ 8 + 48 − 40 3 − 21 + 27 − 45
3 + 18 − 15 − 3 + 21 − 27 + 45
− 3 − 18 + 15
6. a14 − 7a12 + 9a10 + 23a 8 − 52a 6 + 42a 4 − 20a 2 ÷ a 8 − 4a 6 + 3a 4 − 2a 2
1− 7 + 9 + 23 − 52 + 42 − 20 1− 4 + 3 − 2
− 1+ 4 − 3 + 2 1− 3 − 6 + 10
9. 2x 7 − 6x 6 y − 8x 5 y 2 − 20x 4 y 3 − 24x 3 y 4 − 18x 2 y 5 − 4 y 7 ÷ 2x 2 + 4 y 2
− 3 + 6 + 25 − 52 ⇒ a − 3a 4 − 6a 2 + 10
6
2 − 6 − 8 − 20 − 24 − 18 + 0 − 4 2+0 +4
3 − 12 + 9 − 6
−2−0− 4 1− 3 − 6 − 4 + 0 − 1
− 6 + 34 − 58 + 42
− 6 − 12 − 20 ⇒ x 5 − 3x 4 y − 6x 3 y 2 − 4x 2 y 3 − y 5
+ 6 − 24 + 18 − 12
6 + 0 + 12
10 − 40 + 30 − 20
− 12 − 8 − 24
− 10 + 40 − 30 + 20
+ 12 + 0 + 24
− 8 + 0 − 18
7. 3x − 20 x + 51x − 70 x + 46 x − 20 ÷ 3x − 8 x + 10
15 12 9 6 3 6 3
+ 8 + 0 + 16
3 − 20 + 51 − 70 + 46 − 20 3 − 8 + 10
− 2+0−4
− 3 + 8 − 10 1− 4 + 3 − 2
2+0+ 4
− 12 + 41 − 70 ⇒ x 9 − 4 x 6 + 3x 3 − 2
12 − 32 + 40
9 − 30 + 46 10. 6a 9 − 12a 7 + 2a 6 − 36a 5 + 6a 4 − 16a 3 + 38a 2 − 44a + 14 ÷ a 4 − 2a 2 + a − 7
− 9 + 24 − 30 6 + 0 − 12 + 2 − 36 + 6 − 16 + 38 − 44 + 14 1+ 0 − 2 + 1− 7
− 6 + 16 − 20 − 6 − 0 + 12 − 6 + 42 6+0+0−4+6−2
6 − 16 + 20 − 4 + 6 + 6 − 16 + 38 ⇒ 6a 5 − 4a 2 + 6a − 2
+ 4 + 0 − 8 + 4 − 28
6 − 2 − 12 + 10 − 44
− 6 − 0 + 12 − 6 + 42
− 2 + 0 + 4 − 2 + 14
+ 2 − 0 − 4 + 2 − 14

68. 11. n − 6n + 5n + 13n − 23n − 8n + 44n − 12n − 32n + 16 ÷ n − 3n + 5n − 8n + 4
10 8 7 6 5 4 3 2 6 4 3
1+ 0 − 6 + 5 + 13 − 23 − 8 + 44 − 12 − 32 + 16 1+ 0 − 3 + 5 + 0 − 8 + 4
− 1− 0 + 3 − 5 − 0 + 8 − 4 1+ 0 − 3 + 0 + 4
− 3 + 0 + 13 − 15 − 12 + 44 − 12 ⇒ n4 − 3n2 + 4
+ 3 + 0 − 9 + 15 + 0 − 24 + 12 12. 3x 7 − 4 x 6 y − 15x 5 y 2 + 29x 4 y 3 − 13x 3 y 4 + 5xy 6 − 3y 7 ÷ x 3 − 5xy 2 + 3y 3
4 + 0 − 12 + 20 + 0 − 36 + 16 3 − 4 − 15 + 29 − 13 + 0 + 5 − 3 1+ 0 − 5 + 3
− 4 + 0 + 12 − 20 − 0 + 36 − 16 − 3 − 0 + 15 − 9 3 − 4 + 0 + 0 −1
− 4 + 0 + 20 − 13 ⇒ 3x 4 − 4 x 3 y − y 4
+ 4 + 0 − 20 + 12
− 1+ 0 + 5 − 3
1 −0−5+3
13. x16 − 4x14 y 2 − 10x12 y 4 + 21x10 y 6 + 28x 8 y 8 − 23x 6 y10 + 9x 4 y12 + 33x 2 y14 − 6y16 ÷ x 6 − 4x 4 y 2 − 5x 2 y 4 + y 6
1− 4 − 10 + 21+ 28 − 23 + 9 + 33 − 6 1− 4 − 5 + 1
− 1+ 4 + 5 − 1 1+ 0 − 5 + 0 + 3 − 6
14. a m + 2 − 3a m +1 − 5a m + 20a m − 1 − 25a m − 3 ÷ a 2 − 5
− 5 + 20 + 28 − 23 ⇒ x10 − 5x 6 y 4 + 3x 2 y 8 − 6y10 1 − 3 − 5 + 20 + 0 − 25 1+ 0 − 5
+ 5 − 20 − 25 + 5 − 1− 0 + 5 1− 3 + 0 + 5
3 − 18 + 9 + 33
− 3 + 0 + 20 ⇒ am − 3am − 1 + 5am − 3
− 3 + 12 + 15 − 3
+ 3 + 0 − 15
− 6 + 24 + 30 − 6
+ 5 + 0 − 25
+ 6 − 24 − 30 + 6
− 5 − 0 + 25
15. 7a 2 x + 5 − 35a 2 x + 4 + 6a 2 x + 3 − 78a 2x + 2 − 5a 2 x + 1 − 42a 2 x − 7a 2 x − 1 ÷ 7a x + 3 + 6a x + 1 + a x
7 − 35 + 6 − 78 − 5 − 42 − 7 7 + 0 + 6 +1
−7− 0 −6− 1 1− 5 + 0 − 7
− 35 + 0 − 79 − 5 ⇒ a x + 2 − 5a x + 1 − 7a x − 1
+ 35 + 0 + 30 + 5
− 49 + 0 − 42 − 7
49 − 0 + 42 + 7
16. 6x 2a + 3 − 4x 2a + 2 − 28x 2a + 1 + 21x 2a − 46x 2a − 1 + 19x 2a − 2 − 12x 2a − 3 − 6x 2a − 4 ÷ 6x a + 1 − 4x a + 2x a − 1 + x a − 2
6 − 4 − 28 + 21− 46 + 19 − 12 − 6 6 − 4 + 2 +1
− 6 + 4 − 2 −1 1+ 0 − 5 + 0 − 6
− 30 + 20 − 46 + 19 ⇒ x a + 2 − 5x a − 6x a − 2
+ 30 − 20 + 10 + 5
− 36 + 24 − 12 − 6
36 − 24 + 12 + 6
17. 6a 5 x + 3 − 23a 5 x + 2 + 12a 5 x + 1 − 34a 5 x + 22a 5 x − 1 − 15a 5 x − 2 ÷ a 2 x + 2 − 3a 2x + 1 − a 2 x − 5a 2 x − 1
6 − 23 + 12 − 34 + 22 − 15 1− 3 − 1− 5
− 6 + 18 + 6 + 30 6−5+3
− 5 + 18 − 4 + 22 ⇒ 6a 3 x + 1 − 5a 3 x + 3a 3 x − 1
+ 5 − 15 − 5 − 25
3 − 9 − 3 − 15
− 3 + 9 + 3 + 15

69. EJERCICIO 59
3. 9x 3 + 6x 2 + 7 3x 2
7
a 2 + b2 − 9x 3 3x + 2 +
1. a2 2. a4 + 2 a3 3x 2
b2
− a4 a+
2 + 6x 2
− a2 1+
a2 a3
− 6x 2
b 2 +2
+7
4. 16a 4 − 20a 3b + 8a 2b 2 + 7ab 3 4a 2 9. x 3 − x 2 + 3x + 2 x2 − x + 1
3
− 16a 4 4a 2 − 5ab + 2b 2 +
7b 2x + 2
− x3 + x2 − x x+ 2
4a x − x +1
− 20a 3b + 2x + 2
+ 20a 3b
8a 2 b 2 10. x3 + y3 x−y
− 8a b 2 2
2y 3
− x3 + x2y x 2 + xy + y 2 +
x−y
+ 7ab 3
x2y
5. x 2 + 7x + 10 x + 6 − x 2 y + xy 2
4 xy 2 + y 3
− x 2 − 6x x + 1+
x+6
− xy 2 + y 3
x + 10
−x − 6 2y 3
+4
6. x 2 − 5x + 7 x−4 11. x5 + y5 x−y
3 2y 5
− x + 4x
2
x − 1+ −x + x y
4 4
x 4 + x 3 y + x 2 y 2 + xy 3 + y 4 +
x−4 x−y
−x+7 x4 y
x−4 − x4 y + x3y 2
x3y2
+3
− x3y2 + x2y3
7. m4 − 11m2 + 34 m2 − 3 x2y3
10 − x 2 y 3 + xy 4
− m4 + 3m2 m2 − 8 + 2
m −3 + xy 4 + y 5
− 8m + 342
− xy 4 + y 5
8m − 24
2
2y 5
+ 10
x 2 − 6xy + y 2 x +y 12. x + 4 x − 5x + 8 x2 − 2x + 1
3 2
8.
8y 2
6x + 2
− x 2 − xy x − 7y + − x3 + 2x2 − x x + 6+
x+y x2 − 2x + 1
− 7xy + y 2 6 x 2 − 6x + 8
+ 7xy + 7y 2
− 6 x 2 + 12 x − 6
+ 8y 2 6x + 2

70. 14. x − 3x + 9x 2 + 7 x − 4 x 2 − 3x + 2
5 4
13. 8a − 6a b + 5ab − 9b 2a − 3b
3 2 2 3
12b3 20 x − 10
− 8a 3 + 12a 2b 4a 2 + 3ab + 7b 2 + − x 5 + 3x 4 − 2x 3 x 3 − 2x + 3 +
2a − 3b x 2 − 3x + 2
6a 2b + 5ab 2 − 2x 3 + 9x 2 + 7x
− 6a 2b + 9ab 2 + 2x 3 − 6x 2 + 4 x
14ab 2 − 9b 3 3x 2 + 11x − 4
− 14ab 2 + 21b 3 − 3x 2 + 9x − 6
20x − 10
12b 3
EJERCICIO 60
Para los problemas del 1 al 9 las literales toman los siguentes valores:
a = - 1 b = - 2 c = - 1/2
1. a − 2ab + b 2. 3a − 4a b + 3ab − b 3. a − 3a + 2ac − 3bc
2 2 3 2 2 3 4 3
= (− 1) − 2 (− 1) ⋅ 2 + 2 2 = 3 (− 1) − 4 (− 1) ⋅ 2 + 3 (− 1) 2 2 − 2 3  1  1
= (− 1) − 3(− 1) + 2 (− 1)  −  − 3⋅ 2  − 
2 3 2
4 3
 2  2
= 1+ 2 ⋅ 2 + 4 = 1+ 4 + 4 = 9 = − 3 − 4 ⋅ 2 − 3⋅ 4 − 8 = − 3 − 8 − 12 − 8 = − 31
1 1
= 1 + 3 + 2 ⋅ + 6⋅ = 1+ 3 + 1+ 3 = 8
2 2
4. a − 8a c + 16a c − 20a c + 40ac − c
5 4 3 2 2 3 4 5
2 3 4 5
4 1 3 1 2 1  1  1
= (− 1) − 8 (− 1)  −  + 16 (− 1)  −  − 20 (− 1)  −  + 40 (− 1)  −  −  − 
5
 2  2  2  2  2
1 1 1 1 1 5 5 1 1 − 32 + 1 31
= − 1 + 8 ⋅ − 16 ⋅ + 20 ⋅ − 40 ⋅ + = − 1+ 4 − 4 + − + = − 1+ = =−
2 4 8 16 32 2 2 32 32 32 32
( ) ( 2
5. a − b + b − c − a − c ) (
2
)
2
( ) (
3
6. b + a − b − c − a − c ) (
3
)3
  1  
2
 1 
2 3 3
= (− 1 − 2) +  2 −  −   −  − 1 −  −   [   1  
]  1 
= 2 + (− 1) −  2 −  −   −  − 1 −  −  
2 3
  2    2    2    2 
 1 
2
1
2
 5  1 
2 2
= (− 3) +  2 +  −  − 1 +  = 9 +   −  −   1 
3
1
3
 5  1
3 3
[ ]
2 3
 2  2 = 2 − 1 −  2 +  −  − 1 +  = 13 −   −  − 
 2  2  2  2  2  2
25 1 24 125 1 124 31 2 − 31 29
= 9+ − = 9+ = 9 + 6 = 15 = 1− + = 1− = 1− = =− = − 14 2
1
4 4 4 8 8 8 2 2 2
7. ab + ac − bc ( ) ( 2
8. a + b + c − a − b − c + c ) 2
c b a 2 2
  1    1   1
 1  1 1 =  − 1+ 2 +  −   −  − 1− 2 −  −   +  − 
− 1 −  2  −    2    2   2
− 1⋅ 2  2  2 2 2 2
= + − = + −
−1  1 
2
1
2
1  1  5
2 2
1 2 1 2 2 1
− = 1−  −  − 3 +  − =   −  −  −
2 2  2  2 2  2  2 2
1 1 12 + 1 13 1 25 1 1 − 25 − 2
= 4 + − 1= 3 + = = =34 1
= − − =
26
= − = −62 = −621
4 4 4 4 4 4 2 4 4
4
( ) (
9. 3 2a + b − 4a b + c − 2c a − b ) ( )
[ ]
  1   1

 1 2
 2 2
[  3 6
2 2
]
= 3 2 (− 1) + 2 − 4 (− 1)  2 +  −   − 2  −  (− 1 − 2) = 3 − 2 + 2 + 4  2 −  + (− 3) = 3⋅ 0 + 4   − = 6 − 3 = 3
 2   2

71. Para los problemas 10 al 16 las literales toman los siguientes valores:
a = 2 b = 1/3 x = - 2 y = - 1 m= 3 n = 1/2
11. (a − x ) + ( x − y ) + ( x − y )(m + x − n)
4 2 2
10. x − x y + 3xy − y 3
2 2 2
2
8 2 2
[ ] [ ] [2  1
= 2 − (− 2) + − 2 − (− 1) + (− 2) − (− 1)  3 + (− 2) − ]
2 2
(− 2) − (− 2) (− 1) + 3(− 2)(− 1)
2
4 2 2
− (− 1)
3  2
=
 1  1
8
16 − 4 − 6
2 2
[ ] [ ] [ ]
= 2 + 2 + − 2 + 1 + 4 − 1  3 − 2 −  = [ 4] + − 1 + 3 1 − 
2 2
 2
2 2
 2
[ ]
= − + + 1 = 2 + 2 − 3+ 1 = 2
8 2 2  1 3 34 + 3 37
= 16 + 1 + 3   = 17 + = = = 18 1
 2
2
2 2 2
( ) (
12. − x − y + x 2 + y 2 x − y − m + 3b x + y + n)( ) ( )
[
= − − 2 − (− 1) + (− 2) + (− 1)][ 2 2
][− 2 − (− 1) − 3]+ 3⋅ 1  − 2 + (− 1) + 2  = − [− 2 + 1]+ [4 + 1][− 5 + 1]+  − 2 − 1 + 2 
3
1 1
 1  5 38 + 5

[ ] 2  2
5
= 1 + 5 − 4 +  − 3 +  = 1 − 20 +  −  = − 19 − = −
2 2
43
= − = − 21 2
2
1
4x x3  1 1
x− y 14. − +  −  x + x4 − m
13. (3x − 2 y )(2n − 4m) + 4 x y − 2 2 3y 2 + y 3  n b 
2
 
(− 2) − (− 1) 4 (− 2 ) (− 2)  1 1
3
[  1
 2
] 
= 3(− 2) − 2 (− 1)  2 ⋅ − 4 ⋅ 3 + 4 (− 2) (− 1) −

2 2
2 = − +  −  (− 2 ) + (− 2 ) − 3
3 (− 1) 2 + (− 1)
3
4
 1 1
− 2+1 −1  2 3
[ ][
= − 6 + 2 1 − 12 + 4 ⋅ 4 ⋅ 1 − ] = − 4 − 11 + 16 − [ ] −8 −8
+ (2 − 3)(− 2) + 16 − 3 = + 8 + (− 1)(− 2) + 13
2 2 8
= −
1 1 − 3 2−1 3
= 44 + 16 + = 60 + = 60 2 1
2 2 8 8 8 + 69 77
= + 21 + 2 = + 23 = = = 25 2
3
15. x ( x − y + m) − ( x − y )( x + y − n) + ( x + y ) (m − 2n)
2 2 2 2 2 3 3 3 3
[ 
][ 1
] [ ]
2 1
= (− 2) − 2 − (− 1) + 3 − − 2 − (− 1) (− 2) + (− 1) −  + − 2 + (− 1)  32 − 2 ⋅ 
2 2 2
 2  2
 1  1 9 160 + 9 169
= 4 [1 + 1] − [− 2 + 1]  4 + 1 −  + [− 2 − 1] (9 − 1) = 4 ⋅ 2 − [− 1] 5 −  + [− 3] (8) = 8 + + 9 ⋅ 8 = 80 + =
2 2 9
= = 84 2
1
 2  2 2 2 2 2
1
16. 3a + 2 y + 3n − m + 2 ( x 3 − y 2 + 4) = 3⋅ 2 + 2 (− 1) +
3⋅
x m y n −2 3 −1 1
( ) ( ) [ 3 2 ]
2 − 3 + 2 − 2 3 − − 1 2 + 4 = − 3 − 2 − 3 − 6 + 2 − 8 − 1+ 4
[ ]
2
4+ 9 114 + 13
= − 9−
6
[ ]
13
6
13
+ 2 − 5 = − 9 − − 10 = − 19 − = −
6 6
=−
127
6
= − 21 1
6
EJERCICIO 61
1. 7 am 8 am 9 am 10 am 5. 3 2a 2 − 3a + 8
↓ ↓ ↓ ↓ 2a 2 − 3a + 5 8a + 5
+5 ∃
+2 ∃
−1 ∃
−4 ∃
2a 2 − 3a + 8 2a 2 + 5a + 13 Rta
{[ ( ( ))] }
3. x 2 − 3xy x2
6. − 3x 2 − − 4 x 2 + 5x − x 2 − x + 6
3xy − y 2 − x2 + y2
x2 − y2 y 2 Rta = − 3x 2 − { − [4 x + 5x − ( x − x − 6)] }
2 2
4. 3x 2 − 5x + 6
= − 3x 2 − { − [4 x + 5x − x + x + 6] }
2 2
− 3x 2 + 8 x − 6 Rta
3x = − 3x 2 − {− 3x 2 − 6 x − 6} = − 3x 2 + 3x 2 + 6 x + 6 = 6 x + 6

72. ( )(
7. x + y x − y − x + y ) ( ) 2
1 3 1 1 3 1 1
= x 2 − xy + xy − y 2 − ( x + y )( x + y ) 12. a − ab 2 + b a+ b
4 90 15 2 3
= x 2 − y 2 − (x 2 + 2 xy + y 2 ) 1 1
− a 3 − a 2b
1 2 1 1
a − ab + b 2
4 6 2 3 5
= x 2 − y 2 − x 2 − 2 xy − y 2
1 2 1
= − 2 xy − 2 y 2 − a b− ab 2
6 90
8. a = 2 b = 3 c = 1 1 2 1
a b + ab 2
1 2 1
a + ab + b 2
c− b 6 9 2 5
3 (a + b) − 4 (c − b) +
−a 1 1 3 1 2 1 1
ab 2 + b − a + ab − b2
1− 3 10 15 2 3 5
= 3(2 + 3) − 4 (1 − 3) +
−2 1 1 3 3 +1 4
− ab 2 − b ab = ab
−2 10 15 3 3
= 3 ⋅ 5 − 4 (− 2 ) +
−2
= 15 + 8 + 1 = 23 + 1 = 24
13. − 3ab 2 − b3 a 3 − a 2b + b3
9. 3x
2
− 5y 2 2 x 2 + 5xy + 6 y 2 2a b + 3ab − b
2 2 3
− 2a 2b + 2b3
− x + 3xy − y
2 2
− x − 5xy
2
2a 2b − 2b 3 a 3 − 3a 2b + 3b 3
2 x + 3xy − 6 y
2 2
x 2
+ 6y 2
a 3 − 3a 2b + 3b 3
2 x + 3xy − 6 y
2 2
a 2 − ab + b2
x 2
+ 6y 2
a 5 − 3a 4b + 3a 2b 3
3x + 3xy
2
Rta − a b + 3a b4 3 2
− 3ab 4
2 2 1 1 2 + a b − 3a b
3 2 2 3
+ 3b 5
10. a − ab + b
3 2 5 a 5 − 4a 4b + 4a 3b2 − 3ab 4 + 3b 5
1 2 3
a + ab − 2b2
2 4
14. x − 5x + 4x
3 2
1 4 1 3 1 2 2
a − a b+ ab
3 4 10 − 6x 2 − 6 x + 3 2x 3 − 16x 2 + 5x + 12
1 3 3 − 8x + 8x − 3 2
− x 3 + 19x 2 − 6x
+ a 3b − a 2b2 + ab 3
2 8 20
4 2 x 3 − 19x 2 + 6x x 3 + 3x 2 − x + 12
− a 2b 2 + ab 3 − b4
3 5
1 4 1 3 193 2 2 23 3 2 4 x 3 + 3x 2 − x + 12 x2 − x + 3
a + a b− a b + ab − b
3 4 120 20 5 − x 3 + x 2 − 3x x+4
x5 − x 3 + 5x 2 4x − 4x + 12
2
11.
− 2x 4
+ 2x − 10x
2 − 4x 2 + 4x − 12
+ 6x 3
− 6 x + 30
x − 2x + 5x + 7 x − 16x + 30
5 4 3 2
x 2 − 2x + 6
− x + 2x − 6 x
5 4 3
x3 − x + 5
− x + 7 x − 16x
(2 + x) (1+ x ) − (x − 2)( x 2 + x − 3) = x 2 (3x + 10) + 2 (3x − 1)
3 2 2 2 2
15.
+ x 3 − 2x 2 + 6x
5 x 2 − 10x + 30
(4 + 4 x + x ) (1+ x ) − (x + x
2 2 4 3
− 5x 2 − 2 x + 6) = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2
− 5 x 2 + 10x − 30 4 + 5x 2 + 4 x + 4 x 3 − x 3 + 5x 2 + 2 x − 6 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2
3x 3 + 10 x 2 + 6x − 2 = 3x 3 + 10 x 2 + 6 x − 2

73. 16. x = − 2 y = 1 21. [x − (3x + 2)][x + (− x + 3)]
2 2
= x 2 ( x 2 − 4 x + 4) − (7 x + 6)
(x + y) (x − y) + 2 (x + y)(x − y)
2 2
[x 2
][
− 3x − 2 x 2 − x + 3 ] = x 4 − 4 x3 + 4 x 2 − 7 x − 6
= (− 2 + 1) (− 2 − 1) + 2 (− 2 + 1)(− 2 − 1)
2 2
x 4 − x 3 + 3x 2 − 3x 3 + 3x 2 − 9 x − 2 x 2 + 2 x − 6 = x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 7 x − 6
= (− 1) (− 3) + 2 (− 1)(− 3) x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6 = x4 − 4x 3 + 4 x2 − 7x − 6
2 2
= 1⋅ 9 + 2 ⋅ 3 = 9 + 6 = 15
[
22. x ( x + y ) − x ( x − y ) ] [2 (x 2
]
+ y 2 ) − 3( x 2 − y 2 )
17. x + 2x + 8
2
= x 2 + xy − x 2 + xy = 2 x + 2 y 2 − 3x 2 + 3 y 2
2
x+4 x 2 + 4x + 6 = 2 xy = − x 2 + 5y 2
x−6 4x − 8x − 3 Rta
2
− x 2 + 5y 2 − 2 x 3 y + 10 xy 3
x + 4x + 6
2
5x 2 − 4x + 3
2 xy 4 x 3 y − 7 xy 3 Rta
18. − {3a + (− b + a ) − 2 (a + b) } [
− 2 (a + b) − (a − b) ] − 2 x y + 10 xy 2 x 3 y + 3xy 3
3 3
= − {3a − b + a − 2a − 2b} [
= − 2 a +b− a +b ]
= − {2a − 3b} − y3 x − y x 2 + 3xy − y 2
3
= − 2 [ 2b ] 23. x
= − 2 a + 3b = − 4b −x +x y 3 2
x + xy + y
2 2
x 2 + xy + y 2
− 4b x2y x 4 + 3x 3 y − x 2 y 2
2a − 3b − x y + xy
2 2
+ x 3 y + 3x 2 y 2 − xy 3
2 a − 7b Rta
xy 2 + x 2 y 2 + 3xy 3 − y 4
[(
19. 5x + − 3x − x − y ))]
( [
8 x + − 2 x + (− x + y) ] − xy + y 2 3
x + 4x y + 3x 2 y 2 + 2xy 3 − y 4 Rta
4 3
= 5x + [− (3x − x + y )] [
= 8x + − 2 x − x + y ]
= 5x + [− 2 x − y ] = 8 x − 3x + y
( )(
24. x − y x + xy + y − x + y x − xy + y
2 2 2 2
) ( )( )
= 5x − 2 x − y = 5x + y
= 3x − y
[
= x 3 + x 2 y + xy 2 − x 2 y − xy 2 − y 3 − x 3 − x 2 y + xy 2 + x 2 y − xy 2 + y 3 ]
5x + y [
= x3 − y3 − x 3 + y3 ]
3x − y = x3 − y3 − x 3 − y 3
15x 2 + 3xy = − 2 y3
− 5xy − y 2 25. a = 4 b = 9 c = 25
15x − 2 xy − y
+ 2 (b − a ) 2 − 3 (c − b)
2 2
Rta ab 9b c
c a b
1 3 1 2 5 1 1 2 1
4⋅9 9⋅9
+ 2 (9 − 4) − 3 (25 − 9)
20. x + x y+ xy 2 + y 3 x − xy + y 2 25
4 24 12 3 2 4 =
25 42 9
1 3 1 2 1 2 1 1
− x + x y − xy x+ y 36 81 5 6 9 5
4 8 2 2 3 = + 2⋅5 − 3⋅ 16 ⋅ = + 10 ⋅ − 48 ⋅
1 2 1 1 25 16 3 5 4 3
x y− xy 2 + y 3 6 45 12 + 225 − 800 − 563
6 12 3
= + − 80 = = = − 56 10
3
1 2 1 1 5 2 10 10
− x y+ xy − y 3
2
6 12 3
26. x 3 + 3x 2 − 4x − 12 x + 3 x2 − 4 =x−2
[
2 x + − 5x − ( x − y ) ] − 4x + y − x − 3x 3 2
x −4
2
?
− 4x − 12
[ ]
1 1
= 2 x + − 5x − x + y − x − y
2 3 + 4x + 12 x2 −4 x−2
8+ 1 3− 1
[
= 2 x + − 6x + y ] −
2
x+
3
y x + 2x
2
x+2 Rta
9 2 2x − 4
= 2 x − 6x + y − x+ y Rta
2 3
− 2x + 4
= − 4x + y

74. { (
27. 4 x − 3x − x − (4 + x ) + x − x + (− 3) )} [ { }] 28. x + 7x − 5
2
2 2 2
x2 − 9 x 4 − 11x 3 + 21x Rta
= 4 x2 − {3x − ( x − 4 − x )} + [ x − {x − 3}] Si
2 2
x=−2
x + 7x − 5x
4 3 2
18x − 14x − 84 x + 45
3 2
= 4 x 2 − {3x − x 2 + 4 + x } + x 2 − x + 3 [ ] 6 x 2 − 5x − 1
− 9x 2 − 63x + 45 x 4 + 7 x 3 − 14x 2 − 63x + 45
= 6 (− 2) − 5 (− 2) − 1
2
= 4 x2 − 4 x + x 2 − 4 + x 2 − x + 3 x 4 + 7 x 3 − 14 x 2 − 63x + 45
= 6 x − 5x − 1
2
= 6 ( 4) + 10 − 1
= 24 + 10 − 1 = 33 30. 3 [
− x 2 + (− 3x + 4) − (− x + 3) ]
x + 5x − 6
3 2
[
= − x − 3x + 4 + x − 3
2
]
29. (a 2
+b 2
)(a + b)(a − b) 4
[
= a − 3a + 2 (a + 2) − 4 (a + 1) − a + b 4
] x 3 + 5x 2 − 3 [
= − x2 − 2 x + 1 ]
(a 2
+b 2
)(a − ab + ab − b ) = a − [3a + 2a + 4 − 4a − 4 − a + b ]
2 2 4 4 = − x2 + 2 x − 1
(a + b )(a − b ) = a − [b ]
2 2 2 2 4 4
x 3 + 5x 2 −3 x2 − x + 2
a −a b +a b −b
4 2 2 2 2 4
=a −b 4 4
x+1 − x2 + 2x − 1
a −b
4 4
=a −b 4 4
x 3 + 5x 2 + x − 2 Rta x +1
EJERCICIO 62 10. (3a + 8b ) = 9a + 48a b + 64b
3 4 2 6 3 4 8
( )
1. m + 3 = m2 + 6m + 9
2
11. (4m + 5n ) = 16m + 40m n + 25n
5 6 2 10 5 6 12
2. (5 + x ) = 25 + 10 x + x 12. (7a b + 5x ) = 49a b + 70a b x + 25x 4 2
2 2 2 3 4 6 2 3 4 8
3. (6a + b) = 36a + 12ab + b 13. (4ab + 5xy ) = 16a b + 40ab xy + 25x y
2 2 2
2 3 2 2 4 2 3 2 6
4. (9 + 4m) = 81 + 72m + 16m
2
14. (8x y + 9m ) = 64 x y + 144 x ym + 81m
2
2 3 2 4 2 2 3 6
5. (7 x + 11) = 49 x + 154 x + 121
2 2
15. ( x + 10 y ) = x + 20 x y + 100 y
10 12 2 20 10 12 24
6. ( x + y ) = x + 2 xy + y
2 2 2
16. (a + a ) = a + 2a n 2
+a m+ n
(1+ 3x2 ) = 1+ 6x2 + 9 x 4 2 m 2m 2n
7.
17. (a + b ) = a + 2a b + bx +1 2 x x +1 2 x +2
( ) 2 x 2x
8. 2 x + 3 y = 4 x 2 + 12 xy + 9 y 2
9. (a x + by ) = a x
2 2 2 4 2
+ 2a 2 xby 2 + b 2 y 4 18. ( x + y ) = x + 2x y + y
a +1 x −2 2 2a +2 a +1 x − 2 2 x −4
EJERCICIO 63
8. (x − 1) = x − 2 x + 1
2 2 4 2
( )
1. a − 3 = a 2 − 6a + 9
2
9. ( x − 3ay ) = x − 6ax y + 9a y
5 2 2 10 5 2 2 4
2. ( x − 7) = x − 14 x + 49
2
10. (a − b ) = a − 2a b + b
2
7 7 2 14 7 7 14
3. (9 − a ) = 81 − 18a + a
2 2
4. (2 a − 3b ) = 4a − 12ab + 9b
2 2 2
(
11. 2m − 3n = 4m2 − 12mn + 9n 2 )2
5. (4ax − 1) = 16a x − 8ax + 1
2 2 2 12. (10x − 9 xy ) = 100x − 180x y + 81x y
3 5 2 6 4 5 2 10
13. ( x − y ) = x − 2 x y + y n 2
(a 3 − b3 ) = a 6 − 2a 3b3 + b6
2 m 2m m n 2n
6.
14. (a − 5) = a − 10a + 25
2
(3a − 5b2 ) = 9a 8 − 30a 4b2 + 25b4
2 x −2 2 x −4 x −2
4
7.
15. ( x − 3x ) = x
a +1
− 6x + 9 x a −2 2 2a + 2 2a −1 2a − 4

75. EJERCICIO 64
( )(
11. 1 − 8 xy 8 xy + 1 = 1 − 64 x 2 y 2 )
( )( )
1. x + y x − y = x 2 − y 2 ( )( )
6. n − 1 n + 1 = n 2 − 1
2. (m − n )(m + n) = m − n 2 2 7. (1 − 3ax )(3ax + 1) = 1 − 9a x 2 2 12. (6x − m x)(6x + m x) = 36x − m x
2 2 2 2 4 4 2
3. (a − x )( x + a ) = a − x 2 2 8. (2m + 9)(2m − 9) = 4m − 81 2 13. (a + b )(a − b ) = a − b
m n m n 2m 2n
4. (x 2
+ a 2 )( x 2 − a 2 ) = x 4 − a 4 9. (a − b )(a + b ) = a − b
3 2 3 2 6 4
14. (3x − 5 y )(5 y + 3x ) = 9 x − 25 y
a m m a 2a 2m
( )(
5. 2a − 1 1 + 2a = 4a 2 − 1 ) 10. ( y − 3 y)( y + 3 y) = y − 9 y
2 2 4 2 15. (a x +1
− 2b x −1 )(2b x −1 + a x +1 ) = a 2 x + 2 − 4b2 x − 2
EJERCICIO 65
8. (a − 2a + 3)(a + 2a + 3) = a + 2a + 9
2 2 4 2
( )( )
1. x + y + z x + y − z = x + 2 xy + y − z 2 2 2
9. (m − m − 1)(m + m − 1) = m − 3m + 1
2 2 4 2
2. ( x − y + z)( x + y − z) = x − y + 2 yz − z 2 2 2
( )( )
10. 2a − b − c 2a − b + c = 4a 2 − 4ab + b2 − c 2
3. ( x + y + z)( x − y − z) = x − y − 2 yz − z 2 2 2
11. (2 x + y − z)(2 x − y + z) = 4 x 2
− y 2 + 2 yz − z 2
4. (m + n + 1)(m + n − 1) = m + 2mn + n − 1 2 2
5. (m − n − 1)(m − n + 1) = m + n − 2mn − 1 2 2
12. (x − 5x + 6)(x + 5x − 6) = x − 25x + 60x − 36
2 2 4 2
6. ( x + y − 2)( x − y + 2) = x − y + 4 y − 4 2 2 13. (a − ab + b )(a + b + ab ) = a + a b + b
2 2 2 2 4 2 2 4
7. (n + 2n + 1)(n − 2n − 1) = n − 4n − 4n − 1
2 2 4 2 14. ( x − x − x )( x + x + x ) = x − x − 2 x − x
3 2 3 2 6 4 3 2
EJERCICIO 66
( ) 3
1. a + 2 = a 3 + 6a 2 + 12 a + 8 ( ) 3
5. 2 x + 1 = 8 x 3 + 12 x 2 + 6 x + 1 ( )3
9. 4n + 3 = 64n 3 + 144n 2 + 108n + 27
6. (1 − 3 y ) = 1 − 9 y + 27 y
2. ( x − 1) = x − 3 x + 3x − 1 ( )
3
− 27 y 3 10. a 2 − 2b = a 6 − 6a 4b + 12a 2b 2 − 8b 3
3 3 2 2 3
3. (m + 3) = m + 9m + 27m + 27
3 3 2
7. (2 + y ) = 8 + 12 y
2 3 2
+ 6y4 + y6 ( ) 3
11. 2 x + 3 y = 8 x 3 + 36 x 2 y + 54 xy 2 + 27 y 3
4. (n − 4) = n − 12n + 48n − 64 ( ) (1− a ) = 1− 3a
3 3
3 2
8. 1 − 2n = 1 − 6n + 12n 2 − 8n 3 2 3
12. 2
+ 3a 4 − a 6
EJERCICIO 67
( )( )
1. a + 1 a + 2 = a 2 + 3a + 2 ( )( )
9. a − 11 a + 10 = a 2 − a − 110 17.(a − 2)(a + 7) = a
5 5 10
+ 5a 5 − 14
2. (x + 2)( x + 4) = x + 6 x + 8 2 10. (n − 19)(n + 10) = n 2
− 9n − 190 18. (a + 7)(a − 9) = a
6 6 12
− 2a 6 − 63
3. ( x + 5)(x − 2) = x + 3x − 10 2
11. (a + 5)(a − 9) = a − 4a − 45
2 2 4 2
( )(
19. ab + 5 ab − 6 = a 2b 2 − ab − 30 )
4. (m − 6)(m − 5) = m − 11m + 30 12. ( x − 1)( x − 7) = x − 8 x + 7 (xy − 9)(xy + 12) = x y + 3xy − 108
2
2 2 4 2 2 2 2 4 2
20.
5. ( x + 7)( x − 3) = x + 4 x − 21
13. (n − 1)(n + 20) = n + 19n − 20 21. (a b − 1)(a b + 7) = a b + 6a b − 7
2
2 2 4 2 2 2 2 2 4 4 2 2
6. ( x + 2)(x − 1) = x + x − 2 2
14. (n + 3)(n − 6) = n − 3n − 18
3 3 6 3
22. ( x y − 6)(x y + 8) = x y + 2 x y − 48
3 3 3 3 6 6 3 3
7. ( x − 3)( x − 1) = x − 4 x + 3 2
8. ( x − 5)( x + 4) = x − x − 20 2 15. ( x + 7)( x − 6) = x + x − 42
3 3 6 3
23. (a − 3)(a + 8) = a + 5a − 24
x x 2x x
16. (a + 8)(a − 1) = a + 7a − 8
4 4 8 4
24. (a − 6)(a − 5) = a
x +1
− 11a + 30 x +1 2 x +2 x +1

76. EJERCICIO 68 20. (x − 2)(x + 5) = x
4 4 8
+ 3x 4 − 10
( )(
21. 1 − a + b b − a − 1 = − 1 + a 2 − 2ab + b 2 )
( ) 2
1. x + 2 = x 2 + 4 x + 4
2. ( x + 2)( x + 3) = x + 5x + 6 2
22. (a + b )(a − b ) = a − b
x n x n 2x 2n
3. ( x + 1)( x − 1) = x − 1 2 23. ( x − 8)( x + 9) = x
a +1
− x − 72 a +1 2a +2 a +1
4. ( x − 1) = x − 2 x + 1 24. (a b + c )(a b − c ) = a b − c
2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 4
5. (n + 3)(n + 5) = n + 8n + 15 ( )
2 3
25. 2a + x = 8a 3 + 12a 2 x + 6ax 2 + x 3
6. (m − 3)(m + 3) = m − 9
(x − 11)(x − 2) = x − 13x + 22
2
2 2 4 2
26.
7. (a + b − 1)(a + b + 1) = a + 2ab + b −1
27. (2a − 5b ) = 4a − 20a b + 25b
2 2
3 4 2 6 3 4 8
8. (1 + b) = 1 + 3b + 3b + b
3 2 3
28. (a + 12 )(a − 15 ) = a − 3a − 180
3 3 6 3
9. (a + 4)(a − 4) = a − 16
2 2 4
29. (m − m + n)(n + m + m ) = m + 2m n + n
2 2 4 2 2
− m2
10. (3ab − 5x ) = 9a b − 30abx
2 2 2 2 2
+ 25x 4
30. ( x + 7)( x − 11) = x − 4 x − 77
4 4 8 4
( )(
11. ab + 3 3 − ab = 9 − a 2b 2 )
12. (1 − 4ax )
2
= 1 − 8ax + 16a 2 x 2
( ) 2
31. 11 − ab = 121 − 22ab + a 2b2
13. (a + 8)(a − 7) = a
2 2 4
+ a 2 − 56
32. (x y − 8)(x y + 6) = x y − 2 x y − 48
2 3 2 3 4 6 2 3
33. (a + b)(a − b)(a − b ) = a − 2a b + b
( )( )
2 2 4 2 2 4
14. x + y + 1 x − y − 1 = x 2 − y 2 − 2 y − 1
15. (1 − a )(a + 1) = 1 − a 2
34. ( x + 1)( x − 1)( x − 2) = x − 3x + 2 2 4 2
16. (m − 8)(m + 12) = m 2
+ 4m − 96 35. (a + 3)(a + 9)(a − 3) = a − 81
2 4
17. (x − 1)(x + 3) = x + 2 x − 3
2 2 4 2
36. ( x + 5)( x − 5)( x + 1) = x − 24 x − 25 2 4 2
18. ( x + 6)( x − 8) = x − 2 x − 48
3 3 6 3
( )( )( )( )
37. a + 1 a − 1 a + 2 a − 2 = a 4 − 5a 2 + 4
19. (5x + 6m ) = 25x + 60 x m + 36m
4 2 38. (a + 2)(a − 3)(a − 2)(a + 3) = a − 13a 2 + 36
3 6 3 4 8 4
a 2 x + 2 − 100
EJERCICIO 69 14. = a x + 1 + 10
a − 4b
2 2
a x + 1 − 10
7. = a − 2b
a + 2b
1− 9x 2m + 4
1. x − 1 = x − 1
2 m+2
15. 1 + 3x m + 2 = 1− 3x
25 − 36x 4
x +1 8. = 5 + 6x 2
1− x 2
5 − 6x 2
(x + y ) − z = x + y + z 2 2
2. 1− x = 1+ x
9.
4x − 9m n
2
= 2x − 3mn2
2 4 16.
(x + y ) − z
2x + 3mn2
1 − (a + b)
2
x2 − y2
3. x + y = x − y = 1− a − b
1 + (a + b)
36m − 49n x 2 2 4 17.
10. = 6m + 7nx 2
6m − 7nx 2
4 − (m + n)
2
y2 − x2
= y+x 81a 6 − 100b 8 = 2 − m− n
2 + (m + n)
4.
11. 9a 3 + 10b 4 = 9a − 10b
3 4 18.
y−x
x2 − 4 x − (x − y)
2 2
5. x + = x − 2 a 4b6 − 4x 8 y10
12. a 2b 3 + x 4 y 5 = a b + 2x y
2 3 4 5
=y
x + (x − y)
2 19.
2
9 − x4
6. 3 − x 2 = 3 + x
2
x 2n − y 2n
= xn − y n
(a + x) − 9 = a + x − 3
2
13. xn + yn 20.
(a + x) + 3

77. EJERCICIO 70 EJERCICIO 71
1+ a 3
1. 1+ a = 1− a + a
2
x4 − y4 m5 + n 5
1. = x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 2. = m4 − m3n + m2n2 − mn3 + n4
x−y m+n
1− a 3
2. 1− a = 1+ a + a
2
a 5 − n5
3. = a 4 + a 3n + a 2n2 + an3 + n4
a −n
x3 + y 3
3. = x 2 − xy + y 2 x6 − y6
x+y = x 5 − x 4 y + x 3 y 2 − x 2 y 3 + xy 4 − y 5
4.
x+y
8a 3 − 1
4. 2a − 1 = 4a + 2a + 1
2
a6 − b6
5. = a 5 + a 4b + a 3b 2 + a 2b 3 + ab 4 + b5
a −b
8x 3 + 27y 3
= 4x 2 − 6xy + 9y 2
5. 2x + 3y x7 + y7
6. = x 6 − x 5 y + x 4 y 2 − x 3 y 3 + x 2 y 4 − xy 5 + y 6
x+y
27m3 − 125n3
6. = 9m2 + 15m + 25n2
3m − 5n a 7 − m7
7. = a 6 + a 5m + a 4m2 + a 3m3 + a 2m4 + am5 + m6
64a + 343
3 a −m
7. = 16a 2 − 28a + 49
4a + 7 a 8 − b8
8. = a7 − a 6b + a 5b 2 − a 4b 3 + a 3b 4 − a 2b 5 + ab6 − b7
216 − 125y 3 a+b
8. = 36 + 30y + 25y 2
6 − 5y x10 − y10
9. = x 9 + x 8 y + x 7 y 2 + x 6 y 3 + x 5 y 4 + x 4 y 5 + x 3 y 6 + x 2 y 7 + xy 8 + y 9
1 +a b 3 3 x−y
9. = 1− ab + a 2b 2
1+ ab m9 + n9
10. = m8 − m7n + m6n2 − m5n3 + m4n4 − m3n5 + m2n6 − mn7 + n8
729 − 512b 3 m+n
10. = 81+ 72b + 64b 2
9 − 8b
m9 − n9
11. = m8 + m7n + m6n2 + m5n3 + m4n4 + m3n5 + m2n6 + mn7 + n8
a 3x3 + b3 m−n
11. ax + b = a x − axb + b
2 2 2
a10 − x10
n3 − m3 x 3 12. = a 9 − a 8 x + a 7 x 2 − a 6 x 3 + a 5 x 4 − a 4 x 5 + a 3 x 6 − a 2 x 7 + ax 8 − x 9
a+x
12. n − mx = n + nmx + m x
2 2 2
1− n5 1− a 6
13. 1− n = 1+ n + n + n + n 14. 1− a = 1+ a + a + a + a + a
2 3 4 2 3 4 5
x 6 − 27y 3
13. x 2 − y = x + 3x y + 9y
4 2 2
3
1+ a 7
15. 1+ a = 1− a + a − a + a − a + a
2 3 4 5 6
8a 9 + y 9
14. 2a 3 + y 3 = 4a − 2a y + y
6 3 3 6
1− m8
1− x12 16. 1+ m = 1− m + m − m + m − m + m − m
2 3 4 5 6 7
15. 1− x 4 = 1+ x + x
4 8
x 4 − 16
27x 6 + 1 17. = x 3 + 2x 2 + 4x + 8
16. 3x 2 + 1 = 9x − 3x + 1
4 2
x−2
x 6 − 64
64a 3 + b9 18. = x 5 − 2x 4 + 4x 3 − 8x 2 + 16x − 32
17. 4a + b3 = 16a − 4ab + b
2 3 6
x+2
x 7 − 128
a 6 − b6 = x 6 + 2x 5 + 4x 4 + 8x 3 + 16x 2 + 32x + 64
18. a 2 − b2 = a + a b + b
4 2 2 4 19. x−2
125 − 343 x15 a 5 + 243
= 25 + 35x 5 + 49 x10 20. = a 4 − 3a 3 + 9a 2 − 27a + 81
19. 5 − 7x 5 a+3
n +1 4 2
6 x 6 − 729
20. n2 + = n − n + 1 21. = x 5 + 3x 4 + 9x 3 + 27x 2 + 81x + 243
1 x−3

78. 625 − x 4 m8 − 256
22. = 125 − 25x + 5x 2 − x 3 23. = m7 + 2m6 + 4m5 + 8m4 + 16m3 + 32m2 + 64m + 128
x+5 m−2
x10 − 1 9 8 x 5 + 243y 5
24. = x + x + x7 + x6 + x5 + x 4 + x3 + x2 + x + 1 25. = x 4 − 3x 3 y + 9x 2 y 2 − 27xy 3 + 81y 4
x −1 x + 3y
16a 4 − 81b 4
26. = 8a 3 + 12a 2b + 18ab 2 + 27b3
2a − 3b
64m6 − 729n6
27. = 32m5 − 48m4n + 72m3n2 − 108m2n3 + 162mn4 + 243n5
2m + 3n
1. 024x10 − 1
28. = 512x 9 + 256x 8 + 128x 7 + 64x 6 + 32x 5 + 16x 4 + 8x 3 + 4x 2 + 2x + 1
2x − 1
512a 9 + b9
29. = 256a 8 − 128a 7b + 64a 6b2 − 32a 5b 3 + 16a 4b 4 − 8a 3b 5 + 4a 2b6 − 2ab7 + b8
2a + b
a 6 − 729
30. = a 5 + 3a 4 + 9a 3 + 27a 2 + 81a + 243
a −3
EJERCICIO 72
m16 − n16
8. m4 − n4 = m + m n + m n + n
12 8 4 4 8 12
x6 + y6
1. x 2 + y 2 = x − x y + y
4 2 2 4
a18 − b18
a 8 − b8 9. = a15 − a12b 3 + a 9b6 − a 6b9 + a 3b12 − b15
2. a 2 + b2 = a − a b + a b − b a 3 + b3
6 4 2 2 4 6
x 20 − y 20
10. x 5 + y 5 = x − x y + x y − y
15 10 5 5 10 15
m10 − n10
3. m2 − n2 = m + m n + m n + m n + n
8 6 2 4 4 2 6 8
m21 + n21
11. m3 + n3 = m − m n + m n − m n + m n − m n + n
18 15 3 12 6 9 9 6 12 3 15 18
a12 − b12
4. a 3 + b 3 = a − a b + a b − b
9 6 3 3 6 9
x 24 − 1 18 12 6
a12 − x12 12. x 6 − = x + x + x + 1
5. a 3 − x 3 = a + a x + a x + x
9 6 3 3 6 9
1
a 25 + b 25
13. a 5 + b 5 = a − a b + a b − a b + b
20 15 5 10 10 5 15 20
x15 + y15
6. x 3 + y 3 = x − x y + x y − x y + y
12 9 3 6 6 3 9 12
m12 + 1 a 30 − m30
7. m4 + = m − m + 1
8 4
14 a 6 − m6 = a + a m + a m + a m + m
24 18 6 12 12 6 18 24
1
EJERCICIO 73
x4 −1 2 x 6 − 27y 3
1. = x −1 = x 4 + 3x 2 y + 9y 2
1+ x 2 4. x 2 − 3y
8m3 + n6 x 6 − 49y 6
2. 2m + n2 = 4m − 2mn + n
2 2 4
5. = x 3 − 7y 3
x 3 + 7y 3
1 − a5 a14 − b14
3. 1− a = 1+ a + a + a + a
2 3 4
6. = a12 + a10b2 + a 8b 4 + a 6b6 + a 4b8 + a 2b10 + b12
a2 − b2

79. 1 + a3 64x 6 − 343y 9
7. 1+ a = 1− a + a
2
16. = 16x 4 + 28x 2 y 3 + 49y 6
4x 2 − 7y 3
16x 2 y 4 − 25m6 a18 − b18
= 4xy 2 − 5m3
17. a 3 + b 3 = a − a b + a b − a b + a b − b
15 12 3 9 6 6 9 3 12 15
8. 4xy 2 + 5m3
x 27 + y 27
9. x 3 + y 3 = x − x y + x y − x y + x y − x y + x y − x y + y
24 21 3 18 6 15 9 12 12 9 15 6 18 3 21 24
a 27 + y 27
10. a 9 + y 9 = a − a y + y
18 9 9 18 (a + x) − y
2 2
=a+ x+ y
18.
(a + x) − y
a 4b 4 − 64x 6 1+ x11 10 9 8 7 6 5 4 3 2
11. a 2b2 + x 3 = a b − 8x
2 2 3
8 19. x + 1 = x − x + x − x + x − x + x − x + x − x + 1
1− a 2b 4 c 8 x 40 − y 40
12. 1− ab 2c 4 = 1+ ab c
2 4
20. x 8 − y 8 = x + x y + x y + x y + y
32 24 8 16 16 8 24 32
32x 5 + 243y 5
13. = 16x 4 − 24x 3 y + 36x 2 y 2 − 54xy 3 + 81y 4
2x + 3y
25 − (a + 1)
2
9 − 36x10
= 4− a = 3 − 6x 5
5 + (a + 1)
14. 21. 3 + 6x 5
1− x12 x 8 − 256 7
= x + 2x 6 + 4x 5 + 8x 4 + 16x 3 + 32x 2 + 64x + 128
15. 1− x 4 = 1+ x + x
4 8
22. x−2
EJERCICIO 74 2. x − 3x + 2 x − 2 ÷ x + 1
3 2
3. x − x + 5 ÷ x − 2
4 3
= (− 1) − 3 (− 1) + 2 (− 1) − 2
3 2
1. x − 2x + 3 ÷ x − 1
2
= 24 − 23 + 5
= 1 − 2 ⋅1+ 3
2
= − 1− 3− 2 − 2 = − 8 = 16 − 8 + 5 = 13
= 1− 2 + 3 = 2 6. x + 3x − 2 x + 4 x − 2 x + 2 ÷ x + 3
5. m + m − m + 5 ÷ m − 4
4 3 2 5 4 3 2
= (− 3) + 3(− 3) − 2(− 3) + 4(− 3) − 2(− 3) + 2
5 4 3 2
=4 +4 −4 +5
4 3 2
4. a − 5a + 2a − 6 ÷ a + 3
4 3 2
= 256 + 64 − 16 + 5 = 309 = − 243 + 3⋅ 81 − 2 (− 27) + 4 ⋅ 9 + 6 + 2
= (− 3) − 5 (− 3) + 2 (− 3) − 6
4 3 2
= − 243 + 243 + 54 + 36 + 8 = 98
8. 6 x + x + 3x + 5 ÷ 2 x + 1
3 2
= 81 − 5 (− 27) + 2 ⋅ 9 − 6 3 2
 1  1  1
= 81 + 135 + 18 − 6 = 228 = 6  −  +  −  + 3 −  + 5 9. 12x − 21x + 90 ÷ 3x − 3
3
 2  2  2
 1 1 3 3 1 3 = 12 ⋅1 3 − 21⋅1+ 90
7. a − 2a + 2a − 4 ÷ a − 5
5 3 = 6 −  + − + 5= − + − + 5
 8 4 2 4 4 2 = 12 − 21+ 90 = 81
= 5 5 − 2⋅5 3 + 2⋅5 − 4 − 3 + 1 − 6 + 20 12
= = = 3
= 3 .125 − 2 ⋅125 + 10 − 4 4 4 12. a + a − 8a + 4a + 1 ÷ 2a + 3
6 4 2
= 3 .125 − 250 + 10 − 4 = 2 . 881 11. 5x 4 − 12 x 3 + 9 x 2 − 22 x + 21 ÷ 5x − 2  3  3
6
 3
4
 3
2
=  −  +  −  − 8 −  + 4 −  + 1
 2
4
 2
3
 2
2
 2  2  2  2  2
= 5   − 12   + 9   − 22   + 21
 5  5  5  5
10. 15x − 11x + 10 x + 18 ÷ 3x + 2 729 81 9 12
3 2
= + − 8⋅ − + 1
3 2 16 8 4 44 64 16 4 2
 2  2  2 = 5⋅ − 12 ⋅ + 9⋅ − + 21
= 15  −  − 11  −  + 10  −  + 18 625 125 25 5 729 81 729 81
 3  3  3 = + − 18 − 6 + 1 = + − 23
16 96 36 44 64 16 64 16
 8 4 20 = − + − + 21
= 15  −  − 11⋅ − + 18 125 125 25 5 729 + 324 − 1. 472 419
 27  9 3 = = −
80 36 44 64 64
40 44 20 =− + − + 21
=− − − + 18 125 25 5
9 9 3 − 80 + 180 − 1.100 + 2 . 625 1. 625
− 40 − 44 − 60 + 162 18 = = = 13
= = =2 125 125
9 9

80. EJERCICIO 75 11. x 6 − 3x 5 + 4x 4 − 3x 3 − x 2 + 2 ÷ x + 3
1. x − 7 x + 5 ÷ x − 3
2 6. n4 − 5n3 + 4n − 48 ÷ n + 2 1 −3 4 − 3 −1 0 2 −3
1 −5 0 4 − 48 −2 −3 18 − 66 207 − 618 1. 854
1 −7 5 3
− 2 14 − 28 48 1 −6 22 − 69 206 − 618 1. 856
3 − 12
1 − 7 14 − 24 0 = x 5 − 6x 4 + 22x 3 − 69x 2 + 206x − 618 Re s. 1. 856
1 −4 −7
= n3 − 7n2 + 14n − 24 Re s. 0
= x − 4 Re s. − 7 12. 2x 3 − 3x 2 + 7x − 5 ÷ 2x − 1
1
2 −3 7 − 5
7. x − 3x + 5 ÷ x − 1
4 2
2. a − 5a + 1÷ a + 2
2
1 −1 3
1 0 0 −3 5 1
1 −5 1 −2 2 −2 6 −2
1 1 1 −2
− 2 14 = x 2 − x + 3 Re s. − 2
1 1 1 −2 3
1 − 7 15
13. 3a − 4a + 5a + 6 ÷ 3a + 2
3 2
= a − 7 Re s. 15 = x 3 + x 2 + x − 2 Re s. 3
2
3 −4 5 6 −
3
8. x + x − 12x − x − 4x − 2 ÷ x + 4 −2 −6
5 4 3 2
4
3. x − x + 2x − 2 ÷ x + 1
3 2
1 1 − 12 − 1 −4 −2 −4 3 −6 9 0
1 −1 2 − 2 −1
− 4 12 0 4 0 = a 2 − 2a + 3 Re s. 0
−1 2 − 4
1 −3 0 −1 0 −2
1 −2 4 −6 14. 3x − 4x + 4x − 10x + 8 ÷ 3x − 1
4 3 2
= x 4 − 3x 3 − x Re s. − 2
1
= x − 2x + 4 Re s. − 6
2
3 −4 4 − 10 8
3
9. a 5 − 3a 3 + 4a − 6 ÷ a − 2 1 −1 1 −3
4. x 3 − 2x 2 + x − 2 ÷ x − 2
1 0 −3 0 4 −6 2 3 −3 3 −9 5
1 −2 1 −2 2
2 4 2 4 16 = x3 − x2 + x − 3 Re s. 5
2 0 2
1 2 1 2 8 10
1 0 1 0 15
15. x − x + 8 x + x − 1 ÷ 2x + 3
6 4 3 2
= a 4 + 2a 3 + a 2 + 2a + 8 Re s. 10
= x + 1 Re s. 0
2
15 3
1 0 −1 1 0 −1 −
5. a 3 − 3a 2 − 6 ÷ a + 3 x 5 − 208 x 2 + 2076 ÷ x − 5 8 2
3 9 15 3 9
1 −3 0 −6 −3 1 0 0 − 208 0 2 . 076 5 − − 0 −
2 4 8 2 4
− 3 18 − 54 5 25 125 − 415 − 2 . 075
10. 1 3 5 3 5
1 − 6 18 − 60 5 25 − 83 − 415 1 1 − 0 1 −
2 4 2 4
= a 2 − 6a + 18 Re s. − 60 = x 4 + 5 x 3 + 25x 2 − 83x − 415 Re s. 1 1 5 3 4 5 3 1 3 5
= x − x + x + x− Re s.
2 4 8 2 4 4
EJERCICIO 76
1. x 2 − x − 6 ÷ x − 3 7. a +1 Es factor de a 3 − 2a 2 + 2a + 5
Exacta (6 múltiplo de 3)
(− 1) 3
− 2(− 1) + 2(− 1) + 5
2
2. x + 4x − x − 10 ÷ x + 2
3 2
= − 1− 2 − 2 + 5 = 0
Exacta (10 múltiplo de 2)
No existe residuo, luego a + 1 divide exacta-
3. 2x 4 − 5x3 + 7x2 − 9x + 3 ÷ x − 1 mente al polinomio, por lo que se deduce es
Inexacta (1 no anula el polinomio) un factor de este.
4. x 5 + x 4 − 5x 3 − 7x + 8 ÷ x + 3 8. x − 5 divide a x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10
Inexacta (8 no es múltiplo de 3) 55 + 6 ⋅ 5 4 + 6 ⋅ 53 − 5 ⋅ 52 + 2 ⋅ 5 − 10
5. 4x3 − 8x 2 − 11x − 4 ÷ 2x − 1 = 3125 − 3750 + 750 + 125 + 10 − 10 = 0
Exacta (4 múltiplo de 1) Al sustituir x por 5 en el polinomio, este se
6. 6x 5 + 2x 4 − 3x 3 − x2 + 3x + 3 ÷ 3x + 1 anula, entonces x - 5 divide con exactitud a
Inexacta (- 1 no anula el polinomio) x 5 + 6x 4 + 6x 3 − 5x 2 + 2x − 10

81. 9. 4x − 3 divide a 4x4 − 7x 3 + 7x2 − 7x + 3 17. 15n5 + 25n4 − 18n3 − 18n2 + 17n − 11 ÷ 3n + 5
4 3 2 − 25 0 30 − 20 5
 3  3  3  3
4  − 7  + 7  − 7  + 3 − 18 − 3 −6
 4  4  4  4 15 0 12
324 189 63 21 Inexacta; coc. 5n − 6n + 4n − 1; Re s. − 6
4 2
= − + − +3
256 64 16 4
18. 7 x − 5 x + k ÷ x − 5
2
324 − 756 + 1. 008 − 1. 344 + 768 0
= = =0 35 150
256 256
La variable x del dividendo se reemplaza 7 30 0
por 3/4 (4x - 3 = 0 luego x = 3/4) que es el Sik = − 150 se anula
divisor.
valor de la variable del divisor. Se observa
su anulación, por consiguiente, 4x - 3 es 19. x 3 − 3x 2 + 4 x + k ÷ x − 2
un divisor exacto de tal polinomio.
2 −2 4
10. 3n + 2 no es factor de 1 −1 2 0
3n5 + 2n4 − 3n3 − 2n2 + 6n + 7 porque 7 no es k + 4 = 0 , luegok = − 4
múltiplo de - 2 / 3, lo cual significa que al
reemplazar tal valor en el polinomio re- 20. 2a
4
+ 25a + k ÷ a + 3
sultará un residuo, por ende la división − 6 18 − 54 87
no será exacta y 3n + 2 no se puede
concebir como factor de dicho polinomio. 2 − 6 18 − 29 0
11. 2a 3 − 2a 2 − 4a + 16 ÷ a + 2 Para k = − 87 se cumple que k + 87 = 0
− 4 12 − 16
21. 20x − 7 x + 29x + k ÷ 4 x + 1
3 2
2 −6 8 0 −5 3 −8
Exacta; coc.2a 2 − 6a + 8 20 − 12 32 0
k − 8 = 0 entoces k = 8
12. a
4
− a + 2a + 2 ÷ a + 1
2
−1 1 0 − 2
1 −1 0 2 0
Exacta; coc. a 3 − a 2 + 2 EJERCICIO 77
13. x 4 + 5x − 6 ÷ x − 1
x5 + 1 a 5 + 32
1 1 1 6 Inexacta Re s. 64
1. x − 1 Inexacta Re s. 2 9. a−2
1 1 1 6 0
a 4 + b4
Exacta; coc. x 3 + x 2 + x + 6 2. Inexacta Re s. 2b 4
a+b
14. x
6
− 39x 4 + 26x 3 − 52x 2 + 29x − 30 ÷ x − 6 x 7 − 128
6 36 − 18 48 − 24 30 x8 −1 10. Inexacta Re s. − 256
3. x 2 + Exacta x+2
1 6 −3 8 −4 5 0
1
Exacta; coc. x 5 + 6x 4 − 3x 3 + 8x 2 − 4x + 5 a11 + 1
4. a − Inexacta Re s. 2
1
15. a − 4a − a + 4a + a − 8a + 25 ÷ a − 4
6 5 4 3 2
16a 4 − 81b 4
4 0 −4 0 4 − 16 a 6 + b6 11. Exacta
5. 2 Inexacta Re s. 2b 6 2a + 3b
1 0 −1 0 1 −4 9 a + b2
Inexacta; coc. a 5 − a 3 + a − 4 ; Re s. 9 x7 − 1
6. x − Exacta
1 a 3x6 + b9
16. 16x − 24 x + 37x − 24x + 4 ÷ 4x − 1
4 3 2
12. ax 2 + b3 Exacta
4 −5 8 −4 x3 − 8
7. x + 2 Inexacta Re s. − 16
16 − 20 32 − 16 0
Exacta; coc. 4 x 3 − 5x 2 + 8x − 4 x 4 − 16
8. Exacta
x+2

82. EJERCICIO 78
1. 5x = 8x − 15 2. 4 x + 1= 2 3. y − 5 = 3y − 25 4. 5x + 6 = 10x + 5 5. 9y − 11= − 10 + 12y
5x − 8x = − 15 4x = 2 − 1 y − 3y = − 25 + 5 5x − 10x = 5 − 6 9y − 12y = − 10 + 11
− 3x = − 15 4x = 1 − 2y = − 20 − 5x = − 1 − 3y = 1
− 15 1 − 20 −1 1
x= x= y= x= y=−
−3 4 −2 −5 3
x=5 y = 10 1
x=
5
6. 21− 6x = 27 − 8x 7. 11x + 5x − 1= 65x − 36 8. 8 x − 4 + 3x = 7 x + x + 14 9. 8x + 9 − 12x = 4x − 13 − 5x
− 6x + 8x = 27 − 21 16x = 65x − 36 + 1 11x − 4 = 8 x + 14 − 4 x + 9 = − x − 13
2x = 6 16x − 65x = − 35 11x − 8 x = 14 + 4 − 4x + x = − 13 − 9
6 − 49x = − 35 3x = 18 − 3x = − 22
x=
2 − 35 18 − 22
x= x= x=
x=3 − 49 3 −3
5 x=6 22
x= x=
7 3
10. 5y + 6y − 81= 7y + 102 + 65y 11. 16 + 7x − 5 + x = 11x − 3 − x 12. 3x + 101− 4 x − 33 = 108 − 16 x − 100
11y − 81= 72y + 102 8x + 11= 10x − 3 − x + 68 = 8 − 16x
11y − 72y = 102 + 81 8x − 10x = − 3 − 11 − x + 16 x = 8 − 68
− 61y = 183 − 2x = − 14 15 x = − 60
183 − 14 − 60
y= x= x=
− 61 −2 15
y=−3 x=7 x=−4
13. 14 − 12x + 39x − 18x = 256 − 60x − 657x 14. 8x − 15x − 30x − 51x = 53x + 31x − 172
9x + 14 = − 717x + 256 − 88x = 84 x − 172
9x + 717x = 256 − 14 − 88x − 84x = − 172
726x = 242 − 172x = − 172
242 − 172
x= x=
726 − 172
1 x =1
x=
3
EJERCICIO 79
1. x − (2 x + 1) = 8 − (3x + 3) 2. 15x − 10 = 6 x − (x + 2) + (− x + 3) 3. (5 − 3x ) − (− 4 x + 6) = (8 x + 11) − (3x − 6)
x − 2 x − 1 = 8 − 3x − 3 15x − 10 = 6 x − x − 2 − x + 3 5 − 3x + 4 x − 6 = 8x + 11 − 3x + 6
− x − 1 = 5 − 3x 15x − 10 = 4 x + 1 x − 1 = 5x + 17
− x + 3x = 5 + 1 15x − 4 x = 10 + 1 x − 5x = 17 + 1
2x = 6 11 − 4 x = 18
x=
6 11 18
x= x=
2 x=1 −4
x=3 9
x= −
2

83. 4. 30 x − (− x + 6) + (− 5x + 4) = − (5x + 6) + (− 8 + 3x ) 5. 15x + (− 6 x + 5) − 2 − (− x + 3) = − (7 x + 23) − x + (3 − 2 x)
30 x + x − 6 − 5x + 4 = − 5x − 6 − 8 + 3x 15x − 6 x + 5 − 2 + x − 3 = − 7 x − 23 − x + 3 − 2 x
26 x − 2 = − 2 x − 14 10 x = − 10x − 20
26 x + 2 x = − 14 + 2 10 x + 10 x = − 20
28x = − 12 20 x = − 20
12 − 20
x=− x=
28 20
3 x= −1
x=−
7
[ ]
6. 3x + − 5x − ( x + 3) = 8 x + (− 5x − 9) [ ] [
7. 16 x − 3x − (6 − 9 x ) = 30 x + − (3x + 2) − ( x + 3) ]
[ ]
3x + − 5x − x − 3 = 8 x − 5x − 9 [ ]
16 x − 3x − 6 + 9 x = 30 x + − 3x − 2 − x − 3 [ ]
3x + [− 6 x − 3] = 3x − 9 [ ]
16 x − 12 x − 6 = 30 x + − 4 x − 5 [ ]
3x − 6 x − 3 = 3x − 9 16 x − 12 x + 6 = 30 x − 4 x − 5
− 3x − 3 = 3x − 9 4 x + 6 = 26 x − 5
− x − 1= x − 3 4 x − 26 x = − 5 − 6
− x − x = − 3+ 1 − 22 x = − 11
−2 − 11 1
− 2x = − 2 ⇒ x = =1 x= =
−2 − 22 2
[ {
8. x − 5 + 3x − 5x − (6 + x) = − 3}]
{ }
9. 9 x − (5x + 1) − 2 + 8 x − (7 x − 5) + 9 x = 0
x − [5 + 3x − {5x − 6 − x}] = − 3
9 x − 5x − 1− {2 + 8 x − 7 x + 5} + 9 x = 0
x − [5 + 3x − {4 x − 6}] = − 3
4 x − 1− {x + 7} + 9 x = 0
4 x − 1− x − 7 + 9 x = 0 [
x − 5 + 3x − 4 x + 6 = − 3 ]
12 x − 8 = 0 [ ]
x − 11 − x = − 3
12 x = 8 x − 11 + x = − 3
8 2 x = − 3 + 11
x=
12 8
2 2x = 8⇒ x = =4
2
x=
3 [ ] [
10. 71 + − 5x + (− 2 x + 3) = 25 − − (3x + 4) − (4 x + 3) ]
{ [ ] }
11. − 3x + 8 − − 15 + 6 x − (− 3x + 2) − (5x + 4) − 29 = − 5 [ ]
71 + − 5x − 2 x + 3 = 25 − − 3x − 4 − 4 x − 3[ ]
− {3x + 8 − [− 15 + 6 x + 3x − 2 − 5x − 4] − 29} = − 5 [ ]
71 + − 7 x + 3 = 25 − − 7 x − 7 [ ]
71 − 7 x + 3 = 25 + 7 x + 7
− {3x − 21 − [− 21 + 4 x ] } = − 5
74 − 7 x = 32 + 7 x
− {3x − 21 + 21 − 4 x} = − 5 74 − 32 = 7 x + 7 x
− {− x} = − 5 42 = 14 x
x=−5 42
=x
EJERCICIO 80 14
3= x
1. x + 3 ( x − 1) = 6 − 4 (2 x + 3) 2. 5( x − 1) + 16 (2 x + 3) = 3 (2 x − 7) − x 3. 2 (3x + 3) − 4 (5x − 3) = x (x − 3) − x (x + 5)
x + 3x − 3 = 6 − 8 x − 12 5x − 5 + 32 x + 48 = 6 x − 21 − x 6 x + 6 − 20 x + 12 = x 2 − 3x − x 2 − 5x
4 x − 3 = − 8x − 6 37 x + 43 = 5x − 21 − 14 x + 18 = − 8 x
4 x + 8x = − 6 + 3 37 x − 5x = − 21− 43 − 14 x + 8 x = − 18
12 x = − 3 32 x = − 64 − 6 x = − 18
−3 1 − 64 − 18
x= ⇒ x= − x= ⇒ x= − 2 x= ⇒ x=3
12 4 32 −6

84. 4. 184 − 7 (2 x + 5) = 301 + 6 ( x − 1 ) − 6
( )( ) (
10. x + 1 2 x + 5 = 2 x + 3 x − 4 + 5 )( )
184 − 14 x − 35 = 301 + 6 x − 6 − 6
2 x + 7 x + 5 = 2 x − 5x − 12 + 5
2 2
149 − 14 x = 289 + 6 x
7 x + 5x = − 7 − 5
149 − 289 = 6 x + 14 x
12 x = − 12
− 140 = 20 x
− 12
− 140 x=
=x 12
20
x= −1
− 7= x
5. 7 (18 − x ) − 6 (3 − 5x ) = − (7 x + 9) − 3 (2 x + 5) − 12 11. (x − 2) − (3 − x)
2 2
=1
126 − 7 x − 18 + 30 x = − 7 x − 9 − 6 x − 15 − 12 x 2 − 4 x + 4 − 9 + 6x − x2 = 1
108 + 23x = − 13x − 36 2x − 5= 1
23x + 13x = − 36 − 108 2x = 6
36 x = − 144 6
x=
− 144 2
x=
36 x=3
x= − 4
( )( )
12. 14 − 5x − 1 2 x + 3 = 17 − 10 x + 1 x − 6 ( )( )
( ) ( ) ( ) (
6. 3x x − 3 + 5 x + 7 − x x + 1 − 2 x 2 + 7 + 4 = 0 )
14 − (10 x 2
+ 13x − 3) = 17 − (10 x 2
− 59 x − 6)
3x 2 − 9 x + 5x + 35 − x 2 − x − 2 x 2 − 14 + 4 = 0
14 − 10 x 2 − 13x + 3 = 17 − 10 x 2 + 59 x + 6
− 5x + 25 = 0
− 13x − 59 x = 6
− 5x = − 25
− 72 x = 6
− 25
x= 6
−5 x=
− 72
x=5
1
7. − 3(2 x + 7) + (− 5x + 6) − 8 (1− 2 x) − (x − 3) = 0 x= −
12
− 6x − 21 − 5x + 6 − 8 + 16 x − x + 3 = 0
4 x − 20 = 0 13. ( x − 2) 2
+ x ( x − 3) = 3( x + 4)( x − 3) − ( x + 2)( x − 1) + 2
4 x = 20 x − 4 x + 4 + x 2 − 3x = 3 ( x 2 + x − 12) − ( x 2 + x − 2) + 2
2
20 2 x 2 − 7 x + 4 = 3x 2 + 3x − 36 − x 2 − x + 2 + 2
x=
4
2 x 2 − 7 x + 4 = 2 x 2 + 2 x − 36 + 4
x=5
− 7 x − 2 x = − 36
8. (3x − 4)(4 x − 3) = (6x − 4)(2 x − 5) − 9 x = − 36
12 x 2 − 9 x − 16 x + 12 = 12 x 2 − 38 x + 20 − 36
− 25x + 38 x = 20 − 12 x=
−9
13x = 8 x= 4
8
x=
14. (3x − 1) − 5( x − 2) − (2 x + 3) − (5x + 2)( x − 1) = 0
2 2
13
( )( ) (
9. 4 − 5x 4 x − 5 = 10 x − 3 7 − 2 x )( ) 9 x 2 − 6x + 1− 5x + 10 − 4 x 2 − 12 x − 9 − 5x 2 + 3x + 2 = 0
− 20 x + 41x − 20 = − 20 x + 76 x − 21
2 2 − 20x + 4 = 0
41x − 76 x = − 21 + 20 − 20x = − 4
− 35x = − 1 −4
x=
−1 − 20
x=
− 35 x=
1
1 5
x=
35

85. 2 ( x − 3) − 3 ( x + 1) + ( x − 5)( x − 3) + 4 ( x 2 − 5x + 1) = 4 x 2 − 12
2 2
15.
2 x 2 − 12 x + 18 − 3x 2 − 6 x − 3 + x 2 − 8x + 15 + 4 x 2 − 20 x + 4 = 4 x 2 − 12
4 x 2 − 46 x + 34 = 4 x 2 − 12
− 46 x = − 12 − 34
− 46 x = − 46
− 46
x=
− 46
x=1
7 (x − 4) − 3 (x + 5) = 4( x + 1)(x − 1) − 2
2 2
5( x − 2) − 5( x + 3) + (2 x − 1)(5x + 2) − 10 x 2 = 0
2 2 19.
16. 7 x − 56 x + 112 − 3x − 30 x − 75 = 4 x 2 − 4 − 2
2 2
5x 2 − 20 x + 20 − 5x 2 − 30 x − 45 + 10 x 2 − x − 2 − 10 x 2 = 0 4 x 2 − 86 x + 37 = 4 x 2 − 6
− 51x − 27 = 0 − 86 x = − 6 − 37
− 51x = 27 − 86 x = − 43
27 − 43
x= x=
− 51 − 86
1
9 x=
x= − 2
17
17. x − 5x + 15 = x ( x − 3) − 14 + 5( x − 2) + 3(13 − 2 x )
2
x 2 − 5x + 15 = x 2 − 3x − 14 + 5x − 10 + 39 − 6 x
− 5x + 15 = − 4 x + 15
5 (1 − x ) − 6 ( x 2 − 3x − 7) = x ( x − 3) − 2 x ( x + 5) − 2
2
20.
− 5x + 4 x = 0
5 − 10 x + 5x 2 − 6 x 2 + 18 x + 42 = x 2 − 3x − 2 x 2 − 10 x − 2
− x= 0
x= 0 − x 2 + 8 x + 47 = − x 2 − 13x − 2
8 x + 13x = − 2 − 47
18. 3(5x − 6)(3x + 2) − 6 (3x + 4)( x − 1) − 3(9 x + 1)( x − 2) = 0 21x = − 49
3(15x 2 − 8 x − 12) − 6 (3x 2 + x − 4) − 3(9 x 2 − 17 x − 2) = 0 − 49
x=
45x 2 − 24 x − 36 − 18x 2 − 6 x + 24 − 27 x 2 + 51x + 6 = 0 21
21x − 6 = 0 7
x= −
21x = 6 3
6
x=
21
2
x=
7
EJERCICIO 81
[
1. 14 x − (3x − 2) − 5x + 2 − ( x − 1) = 0 ] 2. (3x − 7) 2
[
− 5(2 x + 1)( x − 2) = − x 2 − − (3x + 1) ]
[
14 x − 3x + 2 − 5x + 2 − x + 1 = 0 ] 9 x 2 − 42 x + 49 − 5(2 x 2 − 3x − 2) = − x 2 − − 3x − 1 [ ]
9 x 2 + x 2 − 42 x + 49 − 10 x 2 + 15x + 10 = 3x + 1
[
11x + 2 − 4 x + 3 = 0 ]
− 27 x + 59 = 3x + 1
11x + 2 − 4 x − 3 = 0
− 27 x − 3x = 1− 59
7 x − 1= 0
7x = 1 − 30 x = − 58
− 58 29
x=
1 x= ⇒ x=
7 − 30 15

86. {
3. 6 x − (2 x + 1) = − − 5x + − (− 2 x − 1) [ ]} 8. (x + 2)(x + 3)(x − 1) = (x + 4)( x + 4)(x − 4) + 7
6 x − 2 x − 1 = − − 5x + 2 x + 1 { ]} [ ( x + 5x + 6)(x − 1) = (x + 4)(x − 16) + 7
2 2
4 x − 1 = − {− 5x + 2 x + 1} x 3 − x 2 + 5x 2 − 5x + 6x − 6 = x 3 − 16 x + 4 x 2 − 64 + 7
4 x − 1 = − {− 3x + 1} 4 x 2 + x − 6 = 4 x 2 − 16 x − 57
4 x − 1 = 3x − 1 x + 16 x = − 57 + 6
4 x − 3x = − 1 + 1 17 x = − 51
x=0 − 51
x= ⇒ x= − 3
( ) {
4. 2 x + 3 − x − 1 = − 3x + 2 x − 1 − 3 x + 2
2 2
( ) ( )} 17
2 x − 3x 2
− 3 = − {3x 2
+ 2 x − 2 − 3x − 6} 9.
(x + 1) − (x − 1) = 6x (x − 3)
3 3
2 x − 3x 2 − 3 = − {3x 2
− x − 8} x 3 + 3x 2 + 3x + 1 − ( x − 3x + 3x − 1) = 6x − 18x
3 2 2
2 x − 3x 2 − 3 = − 3 x 2 + x + 8 x + 3x + 3x + 1 − x + 3x − 3x + 1 = 6x 2 − 18x
3 2 3 2
2x − x = 8 + 3 6 x 2 + 2 = 6 x 2 − 18x
x = 11 2 = − 18 x
2 1
{ [(
5. x − 3x + x x + 1 + 4 x − 1 − 4 x
2 2 2
) ( ]} = 0 ) − 18
= x⇒ − = x
9
x 2
− {3x + [x + x + 4 x − 4 − 4 x ] } = 0
2 2 2
3 ( x − 2) ( x + 5) = 3( x + 1) ( x − 1) + 3
2 2
10.
x − {3x + [x + x − 4] } = 0
2 2
3( x 2 − 4 x + 4)( x + 5) = 3 ( x 2 + 2 x + 1)( x − 1) + 3
x 2 − {3x + x 2 + x − 4} = 0 (3x 2
− 12 x + 12)( x + 5) = (3x 2 + 6 x + 3)( x − 1) + 3
3x + 15x − 12 x 2 − 60 x + 12 x + 60 = 3x 3 − 3x 2 + 6 x 2 − 6 x + 3x − 3 + 3
3 2
x 2 − 4 x − x2 + 4 = 0
3x 2 − 48x + 60 = 3x 2 − 3x
− 4x = − 4 − 48x + 3x = − 60
−4 − 45x = − 60
x=
−4 − 60 4
x= ⇒ x=
− 45
x=1 3
6. 3(2 x + 1)(− x + 3) − (2 x + 5) = − − − 3 ( x + 5) + 10 x 2
2
[{ } ]
3(− 2 x + 5x + 3) − 4 x − 20 x − 25 = − − {− 3x − 15} + 10 x 2
2 2
[ ] EJERCICIO 82
− 6 x + 15x + 9 − 4 x − 20 x − 25 = − 3x + 15 + 10 x
2 2
[ 2
]
− 10 x 2 − 5x − 16 = − 3x − 15 − 10x 2 1. x → N º mayor
− 5x + 3x = 16 − 15 x − 8 → N º menor
− 2x = 1 x + x − 8 = 106
1 2 x − 8 = 106
x= − 2 x = 106 + 8
2
114
7. (x + 1)(x + 2)(x − 3) = (x − 2)( x + 1)( x + 1) x=
2
(x + 3x + 2)( x − 3) = ( x − x − 2)(x + 1)
2 2 x = 57 → N º mayor
x − 3x + 3x − 9 x + 2 x − 6 = x + x 2 − x 2 − x − 2 x − 2
3 2 2 3
x − 8 ⇒ 57 − 8
− 7 x − 6 = − 3x − 2
= 49 → N º menor
− 7 x + 3x = − 2 + 6
− 4x = 4
4
x= ⇒ x= −1
−4

87. 2. x → Nº mayor 6. A + B = 1.080 soles 10. 2x → Nº menor
x − 32 → Nº menor A − 1.014 = B 2x + 2 → Nº mayor
x + x − 32 = 540 A + A − 1.014 = 1.080 2x + 2x + 2 = 194
2x = 540 + 32 2A = 1.080 + 1.014 4x = 194 − 2
2x = 572 2 .094
A= x=
192
572 2 4
x= A = 1.047 soles
2 x = 48
x = 286 → Nº mayor 2x ⇒ 2 ⋅ 48
A − 1.014 = B = 96 → Nº menor
x − 32 ⇒ 286 − 32 ⇒ 1.047 − 1.014 = B 2x + 2 ⇒ 2 ⋅ 48 + 2
= 254 → Nº menor 33 soles = B = 96 + 2
7. x → Nº mayor = 98 → Nº mayor
3. A + B = 1.154 bs. x − 1→ Nº menor
A − 506 = B x + x − 1= 103
11. x → Nº mayor
A + A − 506 = 1.154 2x = 103 + 1
x − 1→ Nº medio
2A = 1.154 + 506 x=
104
x − 2 → Nº menor
2A = 1.660 2
x = 52 → Nº mayor x + x − 1+ x − 2 = 186
1.660
A= 3x − 3 = 186
2
x − 1⇒ 52 − 1 3x = 189
A = 830 bs.
189
= 51→ Nº menor x=
3
A − 506 = B 8. x → Nº menor
x = 63 → Nº mayor
⇒ 830 − 506 = B x + 1 → Nº medio
x − 1⇒ 63 − 1
324 bs. = B x + 2 → Nº mayor
= 62 → Nº medio
x + x + 1+ x + 2 = 204
x − 2 ⇒ 63 − 2
4. x → Nº mayor 3x + 3 = 204
= 61→ Nº menor
x − 24 → Nº menor 3x = 204 − 3
x + x − 24 = 106 201
x=
2x = 106 + 24 3
130 x = 67 → Nº menor
x=
2
x = 65 x → Nº mayor x + 1⇒ 67 + 1 12. caballo + coche + arreos = 325
= 68 → Nº medio coche + 80 = caballo
x − 24 ⇒ 65 − 24 x + 2 ⇒ 67 + 2 coche − 25 = arreos
= 41→ Nº menor = 69 → Nº mayor coche + 80 + coche + coche − 25 = 325
9. x → Nº 1 x + 1→ Nº 2 3 coches + 55 = 325
5. A + B = 56 años x + 2 → Nº 3 x + 3 → Nº 4 3 coches = 270
A + 14 = B 270
x + x + 1+ x + 2 + x + 3 = 74 coche =
A + A + 14 = 56 3
4x + 6 = 74
2A = 56 − 14 coche = $ 90
4x = 74 − 6
42
A= 68
2 x= coche + 80 = caballo
4
A = 21años ⇒ 90 + 80 = caballo
x = 17 → Nº 1
x + 1⇒ 17 + 1 $ 170 = caballo
A + 14 = B coche − 25 = arreos
= 18 → Nº 2
21+ 14 = B ⇒ 90 − 25 = arreos
x + 2 ⇒ 17 + 2 x + 3 ⇒ 17 + 3
35 años = B $ 65 = arreos
= 19 → Nº 3 = 20 → Nº 4

88. EJERCICIO 83
13. x → Nº mayor
x → 1º 1. x → edad Juan
x − 32 → Nº medio 16.
x − 20 → 2º 3x → edadPedro
x − 65 → Nº menor
x − 20 − 40 → 3º x + 3x = 40
x + x − 32 + x − 65 = 200
⇒ x − 60 → 3º 4 x = 40
3x − 97 = 200
3x = 297 x + x − 20 + x − 60 = 310 x=
40
297 3x = 310 + 80 4
x= 3x = 390 x = 10 → edad Juan
3
3x ⇒ 3 ⋅10
x = 99 → Nº mayor x=
390
= 30 → edadPedro
x − 32 ⇒ 99 − 32 3
x = 130 → 1º
= 67 → Nº medio 2. x → Arreos
x − 65 ⇒ 99 − 65 x − 20 ⇒ 130 − 20 4x → Caballo
= 34 → Nº menor = 110 → 2º x + 4x = 600
x − 60 ⇒ 130 − 60 5x = 600
= 70 → 3º 600
x=
5
14. x → 1º cesto x = $ 120 → Arreos
x − 10 → 2º cesto 4x ⇒ 4 ⋅120
x − 15 → 3º cesto x → mayor
17. = $ 480 → Caballo
x + x − 10 + x − 15 = 575 x − 20 → menor
x − 18 → medio 3. x → 1º piso
3x − 25 = 575
3x = 600 x + x − 20 + x − 18 = 88 x
→ 2º piso
3x − 38 = 88 2
600
x= 3x = 88 + 38
x
3 x + = 48
2
x = 200 → 1º cesto 3x = 126
2x + x
x − 10 ⇒ 200 − 10 126 = 48
x= 2
= 190 → 2º cesto 3 3x = 48 ⋅ 2
x − 15 ⇒ 200 − 15 x = 42 → mayor
3x = 96
x − 20 ⇒ 42 − 20
= 185 → 3º cesto 96
= 22 → menor x=
3
x − 18 ⇒ 42 − 18 x = 32 Habt. → 1º piso
= 24 → medio x 32
15. x → mayor ⇒
2 2
x − 55 → medio = 16 Habt. → 2º piso
x − 70 → menor
18. x → mayor 4. A + B + C = 300
x + x − 55 + x − 70 = 454
x − 36 → menor B = 2A
3x − 125 = 454
x + x − 36 = 642 C = 3A
3x = 454 + 125
2x − 36 = 642 ⇒ A + 2A + 3A = 300
3x = 579
2x = 642 + 36 6A = 300
579
x= 2x = 678 300
3 A=
x = 193 → mayor 678 6
x=
x − 55 ⇒ 193 − 55 2 A = 50 colones
x = 339 → mayor B = 2A ⇒ 2 ⋅ 50
= 138 → medio
x − 70 ⇒ 193 − 70 = 100 colones
x − 36 ⇒ 339 − 36 C = 3A ⇒ 3 ⋅ 50
= 123 → menor
= 303 → menor = 150 colones

89. 5. A + B + C = 133 8. x → 1º parte
13. x → 1º parte
B 4x → 2º parte
A= x
→ 2º parte
2 5x → 3º parte
3
C = 2B x + 4x + 5x = 850 4x
B 10x = 850 → 3º parte
⇒ + B + 2B = 133 3
2 850 x 4x
x= x+ + = 96
B 10 3 3
+ 3B = 133
2 x = 85 → 1º parte 3x + x + 4 x
B + 6B = 96
= 133 4x ⇒ 4 ⋅ 85 3
2 = 340 → 2º parte 8x = 96 ⋅ 3
7B = 133 ⋅ 2 8x = 288
5x ⇒ 5 ⋅ 85
266
B= = 425 → 3º parte x=
288
7 8
B = 38 Sucres x = 36 → 1º parte
A=
B 38
⇒ 9. x → Nº buscado x 36
2 2 ⇒ = 12 → 2º parte
2x = x + 111 3 3
= 19 Sucres 4x 4 ⋅ 36
2x − x = 111
C = 2B ⇒ 2 ⋅ 38 ⇒ = 4 ⋅12 = 48 → 3º parte
x = 111→ Nº buscado 3 3
= 76 Sucres
14. x → EdadEnrique
6. x → Nº mayor x → edadRosa
10. 2x → EdadPedro
x 3x + 15 → edadMaría
→ Nº menor 3x → Edad Juan
6
x + 3x + 15 = 59
x 6x → EdadEugenio
x + = 147 4x = 59 − 15
6 x + 2x + 3x + 6x = 132
4x = 44
6x + x 12x = 132
= 147 44
6 x= 132
7x = 147 ⋅ 6 4 x=
12
x = 11→ edadRosa
7x = 882 x = 11→ EdadEnrique
3x + 15 ⇒ 3 ⋅11+ 15
882 2x ⇒ 2 ⋅11 = 22 → EdadPedro
x= = 33 + 15
7 3x ⇒ 3 ⋅11 = 33 → Edad Juan
x = 126 → Nº mayor = 48 → edadMaría
6x ⇒ 6 ⋅11 = 66 → EdadEugenio
x 126
⇒
6 6
= 21→ Nº menor 11. x → Nº buscado
8 x = x + 21
EJERCICIO 84
7. A + B + C = 140 8 x − x = 21
A 7 x = 21 x → 1º parte
B = ⇒ 2B = A 1.
2 21 3x → 2º parte
C x=
B = ⇒ 4B = C 7 3x − 40 → 3º parte
4 x = 3 → Nº buscado x + 3x + 3x − 40 = 254
2B + B + 4B = 140
7x = 254 + 40
7B = 140
12. x → Mi edad 7x = 294
140
B= 294
7 3x + 7 = 100 x=
B = 20 Quetz. 3x = 100 − 7 7
x = 42 → 1º parte
A = 2B ⇒ 2 ⋅ 20 3x = 93
3x ⇒ 3 ⋅ 42 = 126 → 2º parte
= 40 Quetz. 93
x= 3x − 40 ⇒ 3 ⋅ 42 − 40
C = 4B ⇒ 4 ⋅ 20 3
x = 31→ Mi edad = 126 − 40 = 86 → 3º parte
= 80 Quetz.

90. 5. x → 1º Número 8. A + B + C = 152
2. A + B + C = 130
x−6 B+8
C = 2A → 2º Número B = 2 A − 8⇒ =A
5 2
B − 15 = C ⇒ B − 15 = 2A x − 6 → 3º Número B − 32 = C
B = 2A + 15 x−6 B+8
A + 2A + 15 + 2A = 130 x+ + x − 6 = 72 + B + B − 32 = 152
5 2
5A = 130 − 15 x 6 B 8
2x + − = 78 + + 2 B = 152 + 32
5A = 115 5 5 2 2
115 10x + x 6 B + 4B
A= = 78 + = 184 − 4
5 5 5 2
A = 23 Balb. 11x 390 + 6 5B = 180 ⋅ 2
=
B = 2A + 15 ⇒ 2 ⋅ 23 + 15 = 46 + 15 = 61Balb. 5 5 360
11x = 396 B=
C = 2A ⇒ 2 ⋅ 23 = 46 Balb. 5
396 B = $ 72
x=
3. x → 1º Número 11 B + 8 72 + 8 80
x = 36 → 1º Número A= ⇒ = = $ 40
x−8 2 2 2
→ 2º Número
2 x−6 36 − 6 C = B − 32 ⇒ 72 − 32 = $ 40
⇒
x − 18 → 3º Número 5 5
x−8 =
30
= 6 → 2º Número
x+ + x − 18 = 238
2 5
x 8 x − 6 ⇒ 36 − 6 = 30 → 3º Número
2x + − = 256
2 2
4x + x 6. A + B = 99
= 256 + 4 9. x → Nº buscado
2 B = 3A + 19 x − 80 = 220 − 2 x
5x = 260 ⋅ 2 A + 3A + 19 = 99 x + 2x = 220 + 80
520 4A = 99 − 19 3x = 300
x=
5 4A = 80 300
x = 104 → 1º Número 80 x=
A= 3
x − 8 104 − 8 96 4
⇒ = = 48 → 2º Número x = 100 → Nº buscado
2 2 2 A = 20 bs.
x − 18 ⇒ 104 − 18 = 86 → 3º Número B = 3A + 19 ⇒ 3 ⋅ 20 + 19
= 60 + 19 = 79 bs.
4. x → Costo traje
x 7. x → cm de azúl 10. x → Tengo ahora
→ Costo sombrero
8 x − 14 2x + 10 = x + 60
→ cm deblanco
x − 30 → Costo bastón 2 2x − x = 60 − 10
x x − 14 x = 50 S /. → Tengo ahora
x + + x − 30 = 259 x+ = 74
8 2
x x 14
2x + = 259 + 30 x+ − = 74
8 2 2 11. x → Parte separada
16x + x 2x + x x + 80 → La otra parte
= 289 = 74 + 7
8 2 x + x + 80 = 910
17x = 289 ⋅ 8 3x = 81⋅ 2 2x = 910 − 80
2 .312 162
x= x= 830
17 3 x=
2
x = $ 136 → Costo traje x = 54 → cmde azúl x = 415 cm
x 136 x − 14 54 − 14 ⇒ 4 ,15 m → Parte separada
⇒ = $ 17 → Costo sombrero ⇒
8 8 2 2
x + 80 ⇒ 415 + 80 = 495 cm
x − 30 ⇒ 136 − 30 = $ 106 → Costo bastón =
40
= 20 → cmde blanco ⇒ 4 , 95 m → La otra parte
2

91. 12. x → Edad padre 14. x → Nº buscado
x−3 13. A + B + C = 9 . 000 8 x − 60 = 60 − 7 x
→ Edad hijo
3 B + 500 = A 8 x + 7 x = 60 + 60
x−3 B − 800 = C 15 x = 120
x+ = 83
3 B + 500 + B + B − 800 = 9 . 000 120
x 3 x=
x + − = 83 3B = 9 .000 + 300 15
3 3 9 . 300 x = 8 → Nº buscado
3x + x B=
= 83 + 1 3
3 B = 3 .100 Votos 15. x → Edad hom bre
4x = 84 ⋅ 3 2x − 17 = 100 − x
A = B + 500 ⇒ 3 .100 + 500 = 3 . 600 Votos
252 2x + x = 100 + 17
x= C = B − 800 ⇒ 3 .100 − 800 = 2 . 300 Votos
4 3x = 117
x = 63 → Edad padre 117
x=
x − 3 63 − 3 60 3
⇒ = = 20 → Edad hijo
3 3 3 x = 39 → Edad hom bre
EJERCICIO 85 3. x → Partemayor 6. x → Nº mayor
x − 232 → Partemenor x − 88
→ Nº menor
1. x → Nº mayor x + x − 232 = 1.080 3
2x = 1.080 + 232 x − 88
2x x+ = 540
→ Nº menor 1.312 3
3 x= x 88
2x
2 x+ − = 540
x+ = 100 x = 656 → Partemayor 3 3
3 3x + x 88
x − 232 ⇒ 656 − 232 = 540 +
3x + 2x = 424 → Partemenor
3 3
= 100 4 x 1. 620 + 88
3 =
5x = 100 ⋅ 3 4. A + B = 150 3 3
A − 46 = B 4 x = 1. 708
300
x= A + A − 46 = 150 x=
1.708
5 4
2A = 150 + 46
x = 60 → Nº mayor x = 427 → Nº mayor
196
2x 2 ⋅ 60 A= x − 88 427 − 88
⇒ = 40 → Nº menor 2 ⇒
3 3 A = 98 Soles 3 3
339
B = A − 46 ⇒ 98 − 46 = = 113 → Nº menor
2. x → Edad padre 3
= 52 Soles
x − 15
→ Edad hijo x → Ang. mayor x → N º mayor
2 5. 7.
x + 45 x − 12
x − 15 → Ang. menor → N º menor
x+ = 60 2 4
2
x + 45  x − 12 
x 15 x+ = 180 x−   = 36
x+ − = 60 2  4 
2 2 x 45 x 12
2x + x 15 x+ + = 180 x− + = 36
= 60 + 2 2 4 4
2 2 2x + x 45 4x − x
= 180 − = 36 − 3
3x 120 + 15 2 2 4
= 3x 360 − 45
2 2 = 3x = 33⋅ 4
3x = 135 2 2 3x = 132
3x = 315
135 132
x= 315 x=
3 x= 3
3 x = 44 → N º mayor
x = 45 → Edad padre x = 105 ∃ → Ang. mayor x − 12 44 − 12
x − 15 45 − 15 x + 45 105 + 45 ⇒ = 8 → N º menor
⇒ = 15 → Edad hijo ⇒ = 75∃ → Ang. menor 4 4
2 2 2 2

92. 8 x → Costo perro 9. A + B = 84 10. x → Nº Señoritas
x A − 16 = B + 20 x − 15
→ Costo collar → Nº Jovenes
8 ⇒ A − 16 − 20 = B 2
x x − 15
x + = 54 A − 36 = B x+ = 60
8 2
A + A − 36 = 84
8x + x x 15
= 54 2A = 84 + 36 x + = 60 +
8 2 2
9x = 54 ⋅ 8 120
A= 2 x + x 120 + 15
2 =
9x = 432 2 2
A = $ 60
432 3x = 135
x= B = A − 36 ⇒ 60 − 36 = $ 24
9 135
x=
x = $ 48 → Costo perro 3
x 48 x = 45 → Nº Señoritas
⇒ = $ 6 → Costo collar x → Nº mayor
8 8 12. x − 15 45 − 15
⇒ = 15 → Nº jovenes
x + 150 2 2
→ Nº menor
3
x → Parte mayor x → Esti log ráfica
11. x + 150 13.
x + 16 x+ = 506 x − 10 → Lapicero
→ Parte menor 3
3 x + x − 10 = 18
x + 16 x 150
x+ = 160 x + = 506 − 2x = 28
3 3 3
28
x 16 3x + x 1.518 − 150 x=
x + = 160 − = 2
3 3 3 3 x = 14 bs. → Esti log ráfica
3x + x 480 − 16 4x = 1.368
= x − 10 ⇒ 14 − 10 = 4 bs. → Lapicero
3 3
1. 368
4x = 464 x=
4
464 14. x → Parte roja
x= x = 342 → Nº mayor
4 x + 4 → Parte negra
x = 116 → Parte mayor x + 150 342 + 150
⇒ x + x + 4 = 84
x + 16 116 + 16 3 3
⇒ 2x = 80
3 3 492
= = 164 → Nº menor x = 40 cm → Parte roja
132 3
= = 44 → Parte menor x + 4 ⇒ 40 + 4 = 44 cm → Parte negra
3
EJERCICIO 86 3. 2x → Tiene A 5. x → Nº var ones
x → TieneB x
→ Nº Srtas
1. 2 x → Edad actual A 2x − 30 = x − 5 3
x → Edad actual B 2x − x = 30 − 5 x
+ 14 = x − 10
2 x − 10 = 3 ( x − 10) x = $ 25 → TieneB 3
x
2 x − 10 = 3x − 30 2x ⇒ 2 ⋅ 25 = $ 50 → Tiene A − x = − 10 − 14
3
2 x − 3x = − 30 + 10 x
4. → Tiene A x − 3x
− x = − 20 2 = − 24
x → Tiene B 3
x = 20 → Edad actual B − 2x = − 72
+ 66 = 2 ( x − 90)
x
2 x ⇒ 2 ⋅ 20 = 40 → Edad actual A 2 x = 36 → Nº var ones
x + 132
= 2 ( x − 90) x 36
⇒ = 12 → Nº Srtas
2. 2
3x → Edad A 3 3
x + 132 = 4 (x − 90)
x → Edad B x + 132 = 4 x − 360 6. 3x → Edad padre
3x + 5 = 2 ( x + 5) − 3x = − 492 x → Edad hijo
3x + 5 = 2 x + 10 x=
− 492 3x − 5 = 2 ( x + 10)
−3
3x − 2 x = 10 − 5 3x − 5 = 2 x + 20
x = 164 colones → Tiene B
x = 5 → Edad B x = 25→ Edad hijo
x 164
3x ⇒ 3⋅ 5 = 15 → Edad A ⇒ = 82 → colones Tiene A 3x ⇒ 3⋅ 25 = 75 → Edad padre
2 2

93. 8. 5x → Tiene Enrique 9. x → Bolsa 1
7. x → Nº mayor x → Tiene suhno. x − 400 → Bolsa 2
2x − 56 → Nº menor 5x − 0 ,5 = x + 0 , 5 x + x − 400 = 1. 400
x + 2x − 56 = 85 5x − x = 0 , 5 + 0 , 5 2x = 1. 800
3x = 141 4x = 1 x = 900 S /. → Bolsa 1
141 1 x − 400 ⇒ 900 − 400 = 500 S /. → Bolsa 2
x= x=
3 4
x = 47 → Nº mayor x = $ 0 , 25 → Tiene suhno
2x − 56 ⇒ 2 ⋅ 47 − 56 5x ⇒ 5 ⋅ 0 , 25 12. 3x → Edad actual Juan
= 94 − 56 = 38 → Nº menor = $ 1, 25 → Tiene Enrique x → Edad actual hijo
3x + 22 = 2 ( x + 22)
11. 2 x → Edad act . padre 3x = 2 x + 44 − 22
10. 4x → Días Trab.Pedro x → Edad act . hijo
x = 22 → Edad actual hijo
x → Días Trab.Enrique 2 x − 14 = 3( x − 14) 3x ⇒ 3⋅ 22 = 66 → Edad actual Juan
4x − 15 = x + 21 2 x − 14 = 3x − 42
13. A + B = 84 ⇒ A = 84 − B
4x − x = 21+ 15 2 x − 3x = − 42 + 14 A + 80 = 3 ( B + 4)
3x = 36 − x = − 28 ⇒ 84 − B + 80 = 3B + 12
x=
36 x = 28 → Edad act . hijo − B − 3B = 12 − 164
3 Edades hace 14 años : − 4 B = − 152
x = 12 → Días Trab.Enrique 2 x − 14 ⇒ 2 ⋅ 28 − 14 − 152
B=
4x ⇒ 4 ⋅12 = 42 años → padre −4
= 48 → Días Trab.Pedro x − 14 ⇒ 28 − 14
B = $ 38
A = 84 − B ⇒ 84 − 38 = $ 46
= 14 años → hijo
EJERCICIO 87
1. 2x → Nº Sombreros 3. 16 − x → Pr ob. reslt . 5. 35 − x → Trajes de 30 Q
x → Nº trajes x → Pr ob. no reslt . x → Trajes de 25 Q
4x + 50x = 702 12 (16 − x) − 5x = 73 30 (35 − x ) + 25x = 1.015
54x = 702 192 − 12 x − 5x = 73 1. 050 − 30 x + 25x = 1.015
x=
702 − 17 x = 73 − 192 − 5x = 1.015 − 1.050
54 − 119 − 35
x = 13 → Nº trajes x= x=
− 17 −5
2x ⇒ 2 ⋅13 x = 7 → Trajes de 25 Q
x = 7 → Pr ob. no reslt .
= 26 → Nº Sombreros 35 − x ⇒ 35 − 7 = 28 → Trajes de 30 Q
16 − x ⇒ 16 − 7 = 9 → Pr ob. reslt .
6. x → Traje Cal.
2. x → Cab. x − 7 → Traje inf.
4. 50 − x → Días trab.
x − 6 → Vacas 32 x + 18 ( x − 7) = 1.624
x → Días no trab.
600 x + 800 ( x − 6) = 40 .000 32 x + 18x − 126 = 1. 624
3(50 − x) − 2 x = 90
600 x + 800 x − 4 .800 = 40 .000 50x = 1.750
150 − 3x − 2 x = 90
1. 400x = 44 .800 1.750
− 5x = − 60 x=
44 .800 50
x= − 60 x = 35balb. → Traje Cal.
1. 400 x=
−5 x − 7 ⇒ 35 − 7 = 28balb. → Traje inf.
x = 32 → Cab.
x = 12 → Días no trab.
x − 6 ⇒ 32 − 6 = 26 → Vacas
50 − x ⇒ 50 − 12 = 38 → Días trab.

94. 8. 3 x + 5 → Sac. Frij. 9. 80 − x → Cedro 10. 1. 050 − x → P. mayor
x → Sac. azúc. x → Caoba x → P. menor
7. 3x → N º Lápices
x → N º cuad . 6 (3 x + 5) + 5 x = 582 0 , 75 (80 − x ) + 0 , 90 x = 68 , 40 (1. 050 − x ) − 2 x = 1. 825
3
0 , 05 ⋅ 3x + 0 , 06 x = 1 , 47 18 x + 30 + 5x = 582 60 − 0 , 75x + 0 , 90 x = 68 , 40 .150 − 3x − 2 x = 1.825
3
0 ,15x + 0 , 06 x = 1 , 47 23 x = 552 0 ,15x = 8 , 40 − 5x = 1.825 − 3.150
0 , 21x = 1, 47 552 8 , 40 − 5x = − 1. 325
x= x= − 1. 325
1 , 47 23 0 , 15 x=
x= x = 24 −5
0 , 21 x = 56
x=7 ⇒ 24 → Sac. azúc. x = 265
⇒ 56 pies → Caoba
3
⇒ 7 → N º cuad . 3 x + 5 ⇒ 3 ⋅ 24 + 5 ⇒ 265 → P. menor
80 − x ⇒ 80 − 56
= 77 → Sac. Frij. 1. 050 − x ⇒ 1. 050 − 265
3x → 3 ⋅ 7 = 21→ N º Lápices = 24 pies3 → Cedro
= 785 → P. mayor
EJERCICI0 88
4. x → Costo casa
7. x → Gasté
x → 1º x x
1. = + 2 . 000 85 − x = 4x
2x → 2º 4 6
85 = 5x
x x + 12 . 000
x + 2x − 20 → 3º = 85
4 6 =x
⇒ 3x − 20 → 3º 5
6x = 4x + 48 . 000
x + 2x + 3x − 20 = 196 17 = x
2x = 48 . 000
6x = 196 + 20 ⇒ $ 17 → Gasté
48 .000
216 x=
x= 2
6 x = 24 . 000bs. → Costo casa
x = 36 → 1º
x → Nº mayor x → Edad act . B
2x ⇒ 2 ⋅ 36 = 72 → 2º 5. 8.
2 ( x − 12) → Edad A hace 12 años
2 x − 156
3x − 20 ⇒ 3 ⋅ 36 − 20 → Nº menor
3
= 108 − 20 = 88 → 3º 2 x − 156 2 ( x − 12) + 24 + 68 = 3 ( x + 12)
x+ = 108
3 2 x − 24 + 92 = 3x + 36
2x 156
x+ = 108 + 2 x − 3x = 36 − 68
2. 3x → Edad A 3 3
x → Edad B 3x + 2x 324 + 156 − x = − 32
=
x = 32 → Edad act . B
3x − 5 = 4 ( x − 5)
3 3
5x = 480 Edad actual de A :
3x − 5 = 4 x − 20
2 ( x − 12) + 12 ⇒ 2 (32 − 12) + 12
480
x=
3x − 4 x = − 20 + 5 5
x = 96 → Nº mayor = 2 ⋅ 20 + 12 = 52 años
− x = − 15
2 x − 156 2 ⋅ 96 − 156
x = 15 → Edad B ⇒
3 3
3x ⇒ 3⋅ 15 = 45 → Edad A 36
= = 12 → Nº menor
3
9. x → mon. 10 cts.
3. x → Par zap. 22 − x → mon. 5 cts.
6. x → Ancho
2 x + 50 → Traje
461− 11= 9x 0 , 10 x + 0 , 05 (22 − x ) = 1 , 85
50 (2 x + 50) + 35x = 16 . 000 0 , 10 x + 1 ,10 − 0 , 05x = 1, 85
450 = 9x
100 x + 2.500 + 35x = 16 .000 450 0 , 05x = 1, 85 − 1 ,10
135x = 16 .000 − 2. 500 =x
9 0 , 05x = 0 , 75
13. 500 50 = x 0 , 75
x= x=
135 ⇒ 50 pies → Ancho 0 , 05
x = 100 soles → Par zap.
x = 15 → mon.10 cts.
2 x + 50 ⇒ 2 ⋅ 100 + 50 = 250 soles → Traje
22 − x ⇒ 22 − 15 = 7 → mon. 5 cts.

95. x → Parte hijo x → Lunes
10. x → N º buscado 15. 19.
x + 2 . 000 → Parte hijas 2 x → Martes
12 ( x − 24) = 24 ( x − 27) 3x + 2 (x + 2 . 000) = 16 .500 4 x → Miercoles
12 x − 288 = 24 x − 648 3x + 2 x + 4 . 000 = 16 .500 8 x → Jueves
12 x − 24 x = − 648 + 288 5x = 12 . 500 8 x − 30 → Viernes
− 12 x = − 360 12 .500 8 x − 20 → Sábado
x=
x + 2 x + 4 x + 8 x + 8 x − 30 + 8 x − 20 = 911
− 360 5
x= x = 2 .500 31x − 50 = 911
− 12
⇒ 2 .500 colones → Parte hijo 31x = 911 + 50
x = 30 → N º buscado x + 2 .000 ⇒ 2 .500 + 2 . 000 = 4 .500 961
x=
11. x → c / cab. ⇒ 4 .500 colones → Parte hijas 31
x = $ 31→ Lunes
35x = 40 ( x − 10)
x → N º mayor
16.
x − 1→ N º menor 2 x ⇒ 2 ⋅ 31 = $ 62 → Martes
35x = 40 x − 400 4 x ⇒ 4 ⋅ 31 = $ 124 → Miercoles
x 2 − (x − 1) = 31
2
− 5x = − 400 8 x ⇒ 8 ⋅ 31 = $ 248 → Jueves
x − x + 2 x − 1 = 31
2 2
− 400 8 x − 30 ⇒ 8 ⋅ 31 − 30 = $ 218 → Viernes
x= 2 x = 32
−5 8 x − 20 ⇒ 8 ⋅ 31 − 20 = $ 228 → Sábado
x = 16 → N º mayor
x = $ 80 → c / cab.
x − 1⇒ 16 − 1 = 15→ N º menor 20. x → Nº 1
12. x → Nº buscado 17. 3x → Edad A x − 18 → Nº 2
3x − 55 = 233 − x x → Edad B x + x − 18 = 3 ⋅18
3x + x = 233 + 55 x
→ Edad C 2x = 54 + 18
5
4x = 288 72
x − 12 → Edad C x=
288 2
x= Luego :
4 x x = 36 → Nº 1
x = 72 → Nº buscado = x − 12
5 x − 18 ⇒ 36 − 18 = 18 → Nº 2
x → N º menor x = 5 ( x − 12) x → Tiene A
13. 21.
x = 5x − 60
x + 1→ N º medio 3( x − 16) → Tiene B
− 4 x = − 60
x + 2 → N º mayor
x = 15 → Edad B x + 3 ( x − 16) = 36
2 x + 3( x + 1) + 4 ( x + 2) = 740 3 x ⇒ 3 ⋅ 15 = 45 → Edad A x + 3x − 48 = 36
2 x + 3x + 3 + 4 x + 8 = 740 x − 12 ⇒ 15 − 12 = 3 → Edad C 4 x = 84
9 x = 740 − 11 18. x → Edad act . A 84
729 x+5 x=
x= 4
→ Edad B en 5 años
9 3 x = $ 21→ Tiene A
x = 81 x + 20
→ Edad B en 20 años 3( x − 16) ⇒ 3 (21 − 16)
⇒ 81 → N º menor 2
= 3⋅ 5 = $15 → Tiene B
x + 1⇒ 81 + 1 = 82 → N º medio Luego :
x + 2 ⇒ 81 + 2 = 83 → N º mayor x+5 x + 20 22. 3x → Tiene A
+ 15 =
3 2 x → Tiene B
14. x → A caballo x + 5 + 45 x + 20
= x
→ Tiene C
3x → Enauto 3 2 2
x − 20 → A pie 2 ( x + 50) = 3( x + 20) x 
x + 3x + x − 20 = 150 3x − 1 − ( x − 3) = 2  + 20
2 x + 100 = 3x + 60 2 
5x = 150 + 20 − x = − 40 3x − 1 − x + 3 = x + 40
170 x = 40 → Edad act . A
x= 2 x − x = 40 − 2
5 Edad actual de B : x = 38 → Tiene B
x = 34 Km → A caballo
x + 20 40 + 20 3x ⇒ 3⋅ 38 = $ 114 → Tiene A
3x ⇒ 3 ⋅ 34 = 102 Km → Enauto − 20 ⇒ − 20
2 2 x 38
x − 20 ⇒ 34 − 20 = 14 Km → A pie = 30 − 20 = 10 años ⇒ = $19 → Tiene C
2 2

96. 23. x → Costo tienda 27. 4 x → Cab. 30. 2 x → L arg o
x x x → Vacas x → Ancho
− 800 =
5
x − 4 . 000 x
7
4 x + 5 = 3 (x + 5) (2 x − 6)(x + 4) = 2 x 2
=
5 7 4 x + 5 = 3x + 15 2 x 2 + 2 x − 24 = 2 x 2
7 x − 28 .000 = 5 x x = 10 → Vacas 2 x = 24
2 x = 28 .000
4 x ⇒ 4 ⋅ 10 = 40 → Cab. x = 12 m → Ancho
x = 14 . 000
2 x ⇒ 2 ⋅ 12 = 24m → L arg o
⇒ 14 . 000 bs. → Costo tienda
28 x → Lunes
x → Cab. peor 31. 3x → Padre hace 5 años
24. x + 6 → Martes
2 ( x + 15) → Cab. mejor x → Hijo hace 5 años
x + 12 → Miercoles
x + 2 ( x + 15) = 120
x + 18 → Jueves 3x + 10 = 2 ( x + 10)
x + 2 x + 30 = 120 3x + 10 = 2 x + 20
4x → Jueves
3x = 90 x = 10 años
x + 18 = 4x
x = $ 30 → Cab. peor
− 3x = − 18 Edad actual Padre :
2 ( x + 15) = 2 (30 + 15)
x = $ 6 → Lunes 3x + 5 ⇒ 3⋅ 10 + 5 = 35 años
= 2 ⋅ 45 = $ 90 → Cab. mejor
x + 6 ⇒ 6 + 6 = $ 12 → Martes Edad actual Hijo :
25. x → queda A
3x → queda B x + 12 ⇒ 6 + 12 = 18 → Miercoles x + 5 ⇒ 10 + 5 = 15 años
x + 3x = 160 4x ⇒ 4 ⋅ 6 = $ 24 → Jueves 32. 3x → Edad A en 4 años
4x = 160
x → Edad B en 4 años
x = 40
29. x → Tenía ppio. 3x − 6 = 5 ( x − 6)
2 x − 50 + 2 (2 x − 50) − 390 = 0
Como A tenía 80 Q.
⇒ lo que perdío A 3x − 6 = 5x − 30
= 80 − x ⇒ 80 − 40 = 40 Q. 2 x − 440 + 4 x − 100 = 0 − 2 x = − 24
26. 2 x → Emp. A 6 x = 540 x = 12 años
x → Emp. B 540 Edad Actual A :
x=
2 (2 x − 400) = x + 400 6 3x − 4 ⇒ 3⋅ 12 − 4 = 32 años
4 x − 800 = x + 400 x = 90
Edad Actual B :
3x = 1. 200 ⇒ 90 soles → Tenía ppio.
x − 4 ⇒ 12 − 4 = 8 años
x = $ 400 → Emp. B
2 x ⇒ 2 ⋅ 400 = $ 800 → Emp. A
EJERCICIO 89
20. 2a x + 2ax − 3ax
2 2
1. a + ab = a a + b
2
( ) 11. 9a 3 x 2 − 18ax 3 = 9ax 2 (a 2 − 2 x ) = ax (2a + 2 x − 3)
( )
2. b + b 2 = b 1 + b 12. 15c d + 60c d = 15c d
3 2 2 3 2 2
(c + 4d ) 21. x 3 + x 5 − x 7 = x 3 (1 + x 2 − x 4 )
3. x + x = x ( x + 1)
2 13. 35m2 n3 − 70m3 = 35m2 (n3 − 2m)
22. 14 x 2 y 2 − 28 x 3 + 56 x 4
4. 3a − a = a (3a − 1)
3 2 2
14. abc + abc2 = abc 1 + c ( ) = 14 x 2 ( y 2 − 2 x + 4 x 2 )
5. x − 4 x = x (1 − 4 x )
3 4 3
(2a − 3xy )
15. 24a 2 xy 2 − 36x 2 y 4 = 12 xy 2 2 2
23. 34ax 2 + 51a 2 y − 68ay 2
6. 5m + 15m = 5m (1 + 3m) = 17a (2 x 2 + 3ay − 4 y 2 )
16. a + a + a = a (a + a + 1)
2 3 2
3 2 2
7. ab − bc = b (a − c)
17. 4 x − 8 x + 2 = 2 (2 x − 4 x + 1)
2 2 24. 96 − 48mn 2 + 144n 3
8. x y + x z = x ( y + z)
2 2 2
= 48 (2 − mn 2 + 3n 3 )
18. 15 y + 20 y − 5 y = 5 y (3 y + 4 y − 1)
3 2 2
9. 2a x + 6ax = 2ax (a + 3x )
2 2
25. a 2b 2 c 2 − a 2 c 2 x 2 + a 2 c 2 y 2
10. 8m − 12mn = 4m (2m − 3n) 19. a − a x + ax = a (a − ax + x ) = a 2 c 2 (b 2 − x 2 + y 2 )
2 3 2 2 2 2

97. 26. 55m2 n 3 x + 110m2 n 3 x 2 − 220m2 y 3 34. 12 m2 n + 24m3n 2 − 36m4 n 3 + 48m5n 4
= 55m2 (n 3 x + 2n 3 x 2 − 4 y 3 ) = 12m2 n (1 + 2mn − 3m2 n 2 + 4m3n 3 )
27. 93a 3 x 2 y − 62a 2 x 3 y 2 − 124a 2 x
35. 100a 2b 3c − 150ab 2 c 2 + 50ab 3c 3 − 200abc2
= 31a x (3axy − 2 x y − 4)
2 2 2
= 50abc (2ab 2 − 3bc + b 2 c 2 − 4c)
x − x + x − x = x (1 − x + x − x ) x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x = x (x 4 − x 3 + x 2 − x + 1)
2 3 4 2 3
28.
36.
29. a − 3a + 8a − 4a = a (a − 3a + 8a − 4)
6 4 3 2 2 4 2
37. a − 2a + 3a − 4a + 6a
2 3 4 5 6
30. 25x − 10 x + 15x − 5x
= a 2 (1 − 2a + 3a 2 − 4a 3 + 6a 4 )
7 5 3 2
= 5x (5x − 2 x + 3x − 1)
2 5 3
38. 3a 2 b + 6ab − 5a 3b 2 + 8a 2bx + 4ab2 m
x − x + 2 x − 3x = x ( x − x + 2 x − 3)
15 12 9 6 6 9 6 3
= ab (3a + 6 − 5a 2b + 8ax + 4bm)
31.
32. 9a 2 − 12ab + 15a 3b 2 − 24ab 3
39. a − a + a − a + a − a
20 16 12 8 4 2
= 3a (3a − 4b + 5a 2b 2 − 8b 3 )
= a 2 (a 18 − a 14 + a 10 − a 6 + a 2 − 1)
33. 16 x 3 y 2 − 8 x 2 y − 24 x 4 y 2 − 40 x 2 y 3
= 8 x 2 y (2 xy − 1 − 3x 2 y − 5y 2 )
EJERCICIO 90
1. a ( x + 1) + b ( x + 1) = ( x + 1)(a + b) 19. (x + 2)(m − n) + 2 (m − n) = (m − n)(x + 4)
2 2
( ) ( ) ( )( )
2. x a + 1 − 3 a + 1 = a + 1 x − 3 ( ) ( )( ) ( )(
20. a x − 1 − a + 2 x − 1 = x − 1 a − a − 2 = − 2 x − 1 ) ( )
3. 2 ( x − 1) + y ( x − 1) = ( x − 1)(2 + y )
21. 5x (a 2 + 1) + (x + 1) (a 2 + 1) = (a 2 + 1)(6x + 1)
4. m (a − b) + (a − b) n = (a − b)(m + n)
22. (a + b)(a − b) − (a − b)(a − b )
5. 2 x (n − 1) − 3 y (n − 1) = (n − 1)(2 x − 3 y )
= (a − b)(a + b − a + b) = 2b (a − b )
6. a (n + 2) + n + 2 = (n + 2)(a + 1)
7. x (a + 1) − a − 1 = (a + 1)( x − 1)
( )( ) (
23. m + n a − 2 + m − n a − 2 = 2m a − 2 )( ) ( )
24. ( x + m)( x + 1) − ( x + 1)( x − n)
8. a 2 + 1− b (a 2 + 1) = (a 2 + 1)(1 − b)
= ( x + 1)( x + m − x + n) = ( x + 1)(m + n)
( ) ) ( )((
9. 3x x − 2 − 2 y x − 2 = x − 2 3x − 2 y )
25. ( x − 3)( x − 4) + ( x − 3)( x + 4) = ( x − 3) 2 x
10. 1 − x + 2a (1 − x ) = (1 − x )(1 + 2a )
11. 4 x (m − n) + n − m = (m − n)(4 x − 1) 26. (a + b − 1)(a + 1) − a
2 2
− 1 = (a 2 + 1)(a + b − 2)
12. − m − n + x (m + n) = (m + n)(x − 1) 27. (a + b − c)( x − 3) − (b − c − a )( x − 3)
13. a (a − b + 1) − b (a − b + 1) = (a − b + 1)(a − b
3 2 3 2
) = ( x − 3)(a + b − c + a − b + c) = ( x − 3) 2a
14. 4m (a 2 + x − 1) + 3n ( x − 1 + a 2 ) = (a 2 + x − 1)(4m + 3n) ( ) ( ) () ( )(
28. 3x x − 1 − 2 y x − 1 + z x − 1 = x − 1 3x − 2 y + z )
29. a (n + 1) − b (n + 1) − n − 1 = (n + 1)(a − b − 1)
15. x (2a + b + c) − 2a − b − c
= x (2a + b + c) − (2a + b + c) = (2a + b + c)( x − 1) 30. x (a + 2) − a − 2 + 3 (a + 2) = (a + 2)(x + 2)
16. ( x + y )(n + 1) − 3 (n + 1) = (n + 1)( x + y − 3) 31. (1 + 3a )( x + 1) − 2a ( x + 1) + 3 ( x + 1) = ( x + 1)(a + 4)
17. ( x + 1)( x − 2) + 3 y ( x − 2) = ( x − 2)( x + 1 + 3 y )
( )( ) (
32. 3x + 2 x + y − z − 3x + 2 − x + y − 1 3x + 2 ) ( )( )
18. (a + 3)(a + 1) − 4 (a + 1) = (a + 1)(a + 3 − 4) = (a + 1)(a − 1) = (3x + 2)( x + y − z − 1 − x − y + 1) = − z (3x + 2)

98. EJERCICIO 91
17. n x − 5a y − n y + 5a x
2 2 2 2 2 2
9. 3abx − 2 y − 2 x + 3aby
2 2 2 2
1. a 2 + ab + ax + bx = (3abx 2 + 3aby 2 ) − (2 y 2 + 2 x 2 ) = (n 2 x − n 2 y 2 ) − (5a 2 y 2 − 5a 2 x )
= (a 2 + ab) + (ax + bx ) = 3ab (x 2 + y 2 ) − 2 (x 2 + y 2 ) = n 2 ( x − y 2 ) − 5a 2 ( y 2 − x )
= a (a + b) + x (a + b) = (x 2 + y 2 )(3ab − 2) = n 2 ( x − y 2 ) + 5a 2 (x − y 2 )
= (a + b)(a + x ) = ( x − y 2 )(n 2 + 5a 2 )
10. 3a − b + 2b x − 6ax
2 2
2. am − bm + an − bn = (3a − 6ax) − (b 2 − 2b 2 x) 18. 1 + a + 3ab + 3b
= (am − bm) + (an − bn) = (1 + a ) + (3ab + 3b)
= 3a (1 − 2 x ) − b 2 (1 − 2 x )
= m (a − b) + n (a − b) = (1 + a ) + 3b (a + 1)
= (1 − 2 x )(3a − b 2 )
= (a − b)(m + n) = (1 + a )(3b + 1)
11. 4a x − 4a b + 3bm − 3amx
3 2
3. ax − 2bx − 2ay + 4by 19. 4am − 12amn − m + 3n
3 2
= (ax − 2bx ) − (2ay − 4by ) = (4a 3 x − 4a 2b ) + (3bm − 3amx )
= (4am3 − 12amn) − (m2 − 3n)
= x (a − 2b) − 2 y (a − 2b) = 4a 2 (ax − b) + 3m (b − ax )
= 4am (m2 − 3n) − (m2 − 3n)
= (a − 2b)( x − 2 y ) = 4a 2 (ax − b) − 3m (ax − b)
= (m2 − 3n)(4am − 1)
= (ax − b)(4a 2 − 3m)
4. a x − 3bx + a y − 3by
2 2 2 2 2 2
20. 20ax − 5bx − 2by + 8ay
= (a 2 x 2 − 3bx 2 ) + (a 2 y 2 − 3by 2 ) 12. 6ax + 3a + 1 + 2 x
= (20ax + 8ay) − (5bx + 2by )
= (6ax + 3a ) + (1 + 2 x )
= x 2 (a 2 − 3b) + y 2 (a 2 − 3b) = 4a (5x + 2 y ) − b (5x + 2 y)
= 3a (2 x + 1) + (2 x + 1)
= (a 2 − 3b)( x 2 + y 2 ) = (5x + 2 y )(4a − b)
= (2 x + 1) (3a + 1)
5. 3m − 2n − 2nx 4 + 3mx 4 21. 3 − x 2 + 2abx 2 − 6ab
13. 3x − 9ax − x + 3a
3 2
= (3m + 3mx 4 ) − (2n + 2nx 4 ) = (3 − x 2 ) + (2abx 2 − 6ab)
= (3x 3 − x ) − (9ax 2 − 3a )
= 3m (1 + x 4 ) − 2n (1 + x 4 ) = (3 − x 2 ) + 2ab (x 2 − 3)
= x (3x 2 − 1) − 3a (3x 2 − 1)
= (1 + x 4 )(3m − 2n) = (3 − x 2 ) − 2ab (3 − x 2 )
= (3x 2 − 1)( x − 3a )
= (3 − x 2 )(1 − 2ab)
6. x − a + x − a x
2 2 2
14. 2a x − 5a y + 15by − 6bx
2 2
= − (a 2 + a 2 x) + ( x 2 + x ) = (2a 2 x − 5a 2 y ) + (15by − 6bx)
22. a + a + a + 1
3 2
= − a 2 (1 + x) + x ( x + 1) = (a 3 + a 2 ) + (a + 1)
= a 2 (2 x − 5 y ) + 3b (5 y − 2 x )
= ( x + 1)( x − a 2 ) = a 2 (a + 1) + (a + 1)
= a 2 (2 x − 5 y) − 3b (2 x − 5 y )
= (a 2 + 1)(a + 1)
7. 4 a 3 − 1 − a 2 + 4a = (2 x − 5 y )(a 2 − 3b)
= (4a 3 + 4a ) − (1 + a 2 ) 15. 2 x 2 y + 2 xz 2 + y 2 z 2 + xy 3
23. 3a 2 − 7b 2 x + 3ax − 7ab 2
= (3a 2 + 3ax ) − (7b 2 x + 7ab 2 )
= 4a (a 2 + 1) − (1 + a 2 ) = (2 x 2 y + xy 3 ) + (2 xz 2 + y 2 z 2 )
= 3a (a + x ) − 7b 2 ( x + a )
= (a 2 + 1)(4a − 1) = xy (2 x + y 2 ) + z 2 (2 x + y 2 )
= (a + x )(3a − 7b 2 )
= (2 x + y 2 )( xy + z 2 )
8. x + x − xy − y
2 2 2
24. 2am − 2an + 2a − m + n − 1
= ( x + x 2 ) − ( xy 2 + y 2 ) 16. 6m − 9n + 21nx − 14mx
= (2am − 2an + 2a ) − (m − n + 1)
= (6m − 14mx ) − (9n − 21nx )
= x (1 + x ) − y 2 ( x + 1)
= 2a (m − n + 1) − (m − n + 1)
= 2m (3 − 7 x ) − 3n (3 − 7 x )
= ( x + 1)( x − y 2 ) = (2a − 1)(m − n + 1)
= (3 − 7 x )(2m − 3n)

99. 25. 3ax − 2by − 2bx − 6a + 3ay + 4b 28. 2 x 3 − nx 2 + 2 xz 2 − nz 2 − 3ny 2 + 6 xy 2
= (3ax − 6a + 3ay ) − (2by + 2bx − 4b) = − (nx 2 + nz 2 + 3ny 2 ) + (2 x 3 + 2 xz 2 + 6 xy 2 )
= 3a ( x − 2 + y ) − 2b ( y + x − 2)
= − n ( x 2 + z 2 + 3 y 2 ) + 2 x (x 2 + z 2 + 3 y 2 )
= ( x + y − 2)(3a − 2b )
= (2 x − n)(x 2 + 3 y 2 + z 2 )
26. a 3 + a + a 2 + 1 + x 2 + a 2 x 2 29. 3x 3 + 2axy + 2ay 2 − 3xy 2 − 2ax 2 − 3x 2 y
= (a 3 + a 2 + a 2 x 2 ) + (a + 1 + x 2 ) = (3x 3 − 3xy 2 − 3x 2 y ) + (2axy + 2ay 2 − 2ax 2 )
= a 2 (a + 1 + x 2 ) + (a + 1 + x 2 ) = 3x ( x 2 − y 2 − xy) + 2a ( xy + y 2 − x 2 )
= (a 2 + 1) (a + 1 + x 2 ) = 3x ( x 2 − y 2 − xy) − 2a (− xy − y 2 + x 2 )
= (3x − 2a )( x 2 − xy − y 2 )
27. 3a − 3a b + 9ab − a + ab − 3b
3 2 2 2 2
30 a b − n + a b x − n x − 3a b x + 3n x
2 3 4 2 3 2 4 2 2 3 4
= (3a − 3a b + 9ab ) − (a − ab + 3b
3 2 2 2 2
) = (a 2b3 + a 2b 3 x 2 − 3a 2b3 x ) − (n4 + n 4 x 2 − 3n 4 x)
= 3a (a − ab + 3b ) − (a − ab + 3b
2 2 2 2
) = a 2b3 (1 + x 2 − 3x) − n 4 (1 + x 2 − 3x )
= (3a − 1)(a − ab + 3b 2 2
) = (a 2b3 − n 4 )(1 + x 2 − 3x)
EJERCICIO 92 n2 n 
2
17. 49m6 − 70am3n 2 + 25a 2 n 4 28. + 2mn + 9m2 =  + 3m
3 
1. a 2 − 2ab + b2 = a − b ( ) 2 9
= (7m3 − 5an2 )
2
2. a 2
+ 2ab + b = (a + b) 2 2 ) ( )
29. a + 2a a + b + a + b
2
( 2
18. 100 x 10 − 60a 4 x 5 y 6 + 9a 8 y12
= (a + a + b) = (2a + b)
2 2
− 2 x + 1 = ( x − 1)
2
3. x 2
= (10 x − 3a y )4 6 2
30. 4 − 4 (1 − a ) + (1 − a)
5
2
y + 2 y + 1 = ( y + 1)
4 2 2 2
19. 121 + 198 x 6 + 81x 12 = (11 + 9 x 6 )
4.
= (2 − 1 + a ) = (1 + a)
2 2 2
5. a 2 − 10a + 25 = a − 5 ( ) 2
31. 4m − 4m (n − m) + (n − m)
20. a − 24am x + 144m x
2 2 2 4 4
2 2
6. 9 − 6x + x 2 = 3 − x ( ) 2
= (a − 12m2 x 2 ) = (2m − n + m) = (3m − n)
2
2 2
16 + 40 x + 25x = (4 + 5x
2 4 2 2
) 21. 16 − 104 x + 169 x = (4 − 13x ) 32. (m − n) + 6 (m − n) + 9
7. 2 4 2 2 2
8. 1 − 14a + 49a = 1 − 7a 2
( ) 2
22. 400 x 10 + 40 x 5 + 1 = (20 x 5 + 1) = (m − n + 3)
2 2
9. 36 + 12m2 + m4 = (6 + m 2 2
) 33. (a + x ) − 2 (a + x )( x + y ) + ( x + y )
2 2 2
a 
2
a
− ab + b =  − b
1 − 2a 3 + a 6 = (1 − a )
2
23.
10. 3 2 4 2  = (a + x − x − y ) = (a − y )
2 2
a 8 + 18a 4 + 81 = (a 4 + 9)
2
2b b2  b 
34. (m + n) − 2 (a − m)(m + n) + (a − m)
2 2 2
11. 24. 1 + + =  1+ 
3 9  3
= (m + n − a + m) = (2m + n − a)
a 6 − 2a 3b3 + b6 = (a 3 − b3 )
2 2
2
2
12. b4  2 b2 
25. a − a b + = a −  ( ) ( )( ) ( )
4 2 2 2 2
35. 4 1 + a − 4 1 + a b − 1 + b − 1
13. 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 = 2 x − 3 y ( ) 2 4  2
= (2 + 2a − b + 1) = (2a − b + 3)
2 2
9b − 30a b + 25a = (3b − 5a )
2
2 2 4 2 2 1 x 2 25x 4  1 5x 2 
14. − + = − 
36. 9 ( x − y ) + 12 ( x − y )( x + y ) + 4( x + y )
26.
36  5 6 
2 2
25 3
1 + 14 x y + 49 x y = (1 + 7 x y)
2
= (3x − 3 y + 2 x + 2 y ) = (5x − y )
2 4 2 2
15. 2 2 2
y4  3 y2 
27. 16 x − 2 x y + =  4x − 
6 3 2
16. 1 − 2a + a = (1 − a
5 10 5 2
) 16  4

100. EJERCICIO 93
x 2 y 2 z 4  x yz 2   x yz 2 
(
1. x 2 − y 2 = x + y x − y )( ) 27. − = +  −
100 81  10 9   10 9 

( )( )
2. a 2 − 1 = a + 1 a − 1
x 6 4a 10  x 3 2a 5   x 3 2a 5 
( )( )
3. a 2 − 4 = a + 2 a − 2 28. − = +   −
49 121  7 11   7 11 

4. 9 − b = (3 + b )(3 − b)
2
1 8  1  1 
5. 1 − 4m = (1 + 2m)(1 − 2m) 29. 100m n − x =  10mn 2 + x 4   10mn 2 − x 4 
2 4
2
16  4  4 
6. 16 − n = (4 + n)(4 − n)
(a + b n )(a n − b n )
2
30. a 2 n − b 2 n = n
7. a − 25 = (a + 5)(a − 5)
2
1  n 1   n 1
8. 1 − y = (1 + y )(1 − y )
2
31. 4 x −
2n
=  2x +   2x − 
9  3  3
9. 4a − 9 = (2a + 3)(2a − 3)
2
a 4 n − 225b 4 = (a 2 n + 15b 2 )(a 2 n − 15b 2 )
25 − 36 x 4 = (5 + 6 x 2 )(5 − 6 x 2 )
32.
10.
y 2 n  3m y n   3m y n 
11. 1 − 49a 2b 2 = 1 + 7ab 1 − 7ab( )( ) 33. 16 x
6m
− =  4x +   4x − 
49  7 7
12. 4 x 2 − 81y 4 = (2 x + 9 y 2 )(2 x − 9 y 2 )
b12 x  5n b 6 x   5n b 6 x 
a 2b8 − c 2 = (ab 4 + c)(ab 4 − c) 34. 49a − =  7a +   7a − 
10 n
13.
81  9   9 
14. 100 − x 2 y 6 = (10 + xy 3 )(10 − xy 3 ) 1  n 2 n 1  n 2 n 1
35. a b − = a b +  a b − 
2n 4n
15. a − 49b = (a + 7b
10 12 5 6
)(a − 7b )
5 6 25  5  5
16. 25x y − 121 = (5xy
2 4 2
+ 11 )(5xy − 11) 2
36.
1  1   1 
− x 2n =  + x n   − x n 
100  10   10 
17. 100m2 n 4 − 169 y 6
= (10mn 2 + 13 y 3 )(10mn 2 − 13 y 3 )
18. a 2 m4 n 6 − 144 = (am2 n 3 + 12)(am2 n 3 − 12) EJERCICIO 94
19. 196 x 2 y 4 − 225z12
= (14 xy 2 + 15z 6 )(14 xy 2 − 15z 6 )
( )
2
1. x + y − a 2 = x + y + a x + y − a ( ) )(
20. 256a12 − 289b 4 m10
2. 4 − (a + 1) = (2 + a + 1)(2 − a − 1) = (3 + a )(1 − a)
2
= (16a 6 + 17b 2 m5 )(16a 6 − 17b 2 m5 )
3. 9 − (m + n) = (3 + m + n)(3 − m − n )
2
21.1 − 9a b c d = (1 + 3ab c d
2 4 6 8 2 3 4
)(1− 3ab c d )
2 3 4
4. (m − n) − 16 = (m − n + 4)(m − n − 4)
2
22. 361x14 − 1 = (19 x 7 + 1)(19 x 7 − 1) 5. ( x − y) − 4 z = ( x − y + 2 z)(x − y − 2 z)
2 2
1 1 1  6. (a + 2b) − 1 = (a + 2b + 1)(a + 2b − 1)
2
23. − 9a 2 =  + 3a  − 3a
4 2 2 
7. 1 − ( x − 2 y ) = (1 + x − 2 y )(1 − x + 2 y )
2
a2  a  a 
24. 1 − = 1+  1− 
25  5   5  8. ( x + 2a ) − 4 x 2
2
1 4x  1 2x   1 2x  = ( x + 2a + 2 x)( x + 2a − 2 x ) = (3x + 2a )(2a − x )
2
25. − = +   − 
16 49  4 7   4 7 
( ) ( ) = (a + b + c + d )(a + b − c − d )
9. a + b − c + d
2 2
a2 x6  a x3   a x3 
− = +  −  10. (a − b) − (c − d ) = (a − b + c − d )(a − b − c + d )
2 2
26.
36 25  6 5   6 5 

101. 11. ( x + 1) − 16 x 2 25. (2a + b − c) − (a + b)
2 2 2
= ( x + 1 + 4 x)( x + 1− 4 x) = (5x + 1)(1 − 3x) = (2a + b − c + a + b )(2a + b − c − a − b)
= (3a + 2b − c)(a − c)
12. 64m2 − (m − 2n)
2
= (8m + m − 2n)(8m − m + 2n) = (9m − 2n)(7m + 2n) ( ) ( 2
26. 100 − x − y + z = 10 + x − y + z 10 − x + y − z )( )
( ) ( ) ( )( ) − ( y − x ) = (x + y − x )( x − y + x ) = ( y )(2 x − y )
2 2 2
13. a − 2b − x + y = a − 2b + x + y a − 2b − x − y 27. x 2
14. (2a − c) − (a + c) 28. (2 x + 3) − (5x − 1)
2 2
2 2
= (2a − c + a + c)(2a − c − a − c) = ( 3a ) (a − 2c) = (2 x + 3 + 5x − 1)(2 x + 3 − 5x + 1) = (7 x + 2)(4 − 3x )
15. ( x + 1) − 4 x 29. ( x − y + z ) − ( y − z + 2 x )
2 2
2 2
= ( x + 1 + 2 x )( x + 1 − 2 x ) = (3x + 1)(1 − x ) = ( x − y + z + y − z + 2 x )(x − y + z − y + z − 2 x )
= (3x ) (2 z − 2 y − x )
16. 36 x 2 − (a + 3x )
2
= (6x + a + 3x)(6 x − a − 3x ) = (9 x + a )(3x − a )
30. (2 x + 1) − ( x + 4)
2 2
a 6 − (a − 1) = (a 3 + a − 1)(a 3 − a + 1) = (2 x + 1 + x + 4)(2 x + 1− x − 4) = (3x + 5)( x − 3)
2
17.
18. (a − 1) − (m − 2) 31. (a + 2 x + 1) − ( x + a − 1)
2 2 2 2
= (a − 1 + m − 2)(a − 1 − m + 2) = (a + m − 3)(a − m + 1) = (a + 2 x + 1 + x + a − 1)(a + 2 x + 1 − x − a + 1)
= (2a + 3x )( x + 2)
19. (2 x − 3) − (x − 5)
2 2
= (2 x − 3 + x − 5)(2 x − 3 − x + 5) = (3x − 8)( x + 2) ( ) 2
(
32. 4 x + a − 49 y 2 = 2 x + 2a + 7 y 2 x + 2a − 7 y )( )
( ) ( )( ) 33. 25 ( x − y ) − 4 ( x + y )
2 2 2
20. 1 − 5a + 2 x = 1 + 5a + 2 x 1 − 5a − 2 x
= (5x − 5 y + 2 x + 2 y )(5x − 5 y − 2 x − 2 y )
21. (7 x + y ) − 81 = (7 x + y + 9)(7 x + y − 9)
2
= (7 x − 3 y )(3x − 7 y )
m6 − (m2 − 1) = (m3 + m2 − 1)(m3 − m2 + 1)
2
22.
34. 36 (m + n) − 121(m − n)
2 2
16a − (2a + 3) = (4a + 2a + 3)(4a − 2a − 3)
2
= (6m + 6n + 11m − 11n)(6m + 6n − 11m + 11n)
10 2 5 2 5 2
23.
( ) (
2
24. x − y − c + d ) = (x − y + c + d )(x − y − c − d )
2
= (17m − 5n)(17n − 5m)
EJERCICIO 95
10. 4 x + 25 y − 36 + 20 xy
2 2
7. a + 4 − 4a − 9b
2 2
4. a − 2a + 1− b
2 2
1. a + 2ab + b − x
2 2 2
= (a − 2) − 9b 2 = (2 x + 5 y ) − 36
2
= (a − 1) − b 2
2
= (a + b ) − x 2
2 2
= (a + 3b − 2)(a − 3b − 2) = (2 x + 5 y + 6)(2 x + 5 y − 6)
= (a + b + x )(a + b − x ) = (a − 1 + b)(a − 1 − b)
8. x + 4 y − 4 xy − 1
2 2 11. 9 x 2 − 1 + 16a 2 − 24ax
5. n + 6n + 9 − c
2 2
2. x − 2 xy + y − m
2 2 2
= (x − 2 y ) − 1 = (3x − 4a ) − 1
2
= (n + 3) − c2
2
= (x − y) − m
2
2 2
= ( x − 2 y + 1)( x − 2 y − 1) = (3x − 4a + 1)(3x − 4a − 1)
= ( x − y + m)( x − y − m) = (n + 3 + c)(n + 3 − c)
12. 1 + 64a b − x − 16ab
2 2 4
9. a − 6ay + 9 y − 4 x
2 2 2
6. a + x + 2ax − 4
2 2
3. m + 2mn + n − 1
2 2
= (a + x ) − 4 = (a − 3 y ) − 4 x 2 = (8ab − 1) − x 4
2 2
2
= (m + n) − 1
2
= (a + x + 2)(a + x − 2) = (a − 3 y + 2 x)(a − 3 y − 2 x) = (8ab − 1 + x 2 )(8ab − 1 − x 2 )
= (m + n + 1)(m + n − 1)

102. 21. 9 x − a − 4m + 4am 30. 9 x + 4 y − a − 12 xy − 25b − 10ab
2 2 2 2 2 2 2
13. a − b − 2bc − c
2 2 2
= 9 x 2 − (a 2 − 4am + 4m2 ) = (9 x − 12 xy + 4 y ) − (a + 10ab + 25b 2 )
2 2 2
= a 2 − (b 2 + 2bc + c 2 )
= 9 x 2 − (a − 2m) = (3x − 2 y ) − (a + 5b)
2 2 2
= a 2 − (b + c)
2
= (3x + a − 2m)(3x − a + 2m) = (3x − 2 y + a + 5b)(3x − 2 y − a − 5b)
= (a + b + c)(a − b − c)
31. 2 am − x − 9 + a + m − 6 x
2 2 2
22. 16 x y + 12ab − 4a − 9b
2 2 2 2
14. 1 − a + 2ax − x = (a 2 + 2am + m2 ) − ( x 2 + 6 x + 9)
2 2
= 16x 2 y 2 − (4a 2 − 12ab + 9b 2 )
= 1 − (a − 2ax + x
2 2
) = (a + m) − ( x + 3)
2 2
= 16x 2 y 2 − (2a − 3b)
2
= 1 − (a − x ) = (a + m + x + 3)(a + m − x − 3)
2
= (4 xy + 2a − 3b)(4 xy − 2a + 3b)
= (1 + a − x)(1 − a + x ) 32. x − 9a + 6a b + 1 + 2 x − b
2 4 2 2
23. − a + 25m − 1 − 2a
2 2
= ( x 2 + 2 x + 1) − (b 2 − 6a 2b + 9a 4 )
15. m − x − 2 xy − y = 25m2 − (a 2 + 2a + 1)
2 2 2
= m2 − ( x 2 + 2 xy + y 2 ) = ( x + 1) − (b − 3a 2 )
2 2
= 25m2 − (a + 1)
2
= m2 − ( x + y) = ( x + 1 + b − 3a 2 )( x + 1 − b + 3a 2 )
2
= (5m + a + 1)(5m − a − 1)
= (m + x + y)(m − x − y ) 33. 16a − 1 − 10m + 9 x − 24ax − 25m
2 2 2
24. 49 x − 25x − 9 y + 30 xy
4 2 2
= (16a 2 − 24ax + 9 x 2 ) − (25m2 + 10m + 1)
16. c − a + 2a − 1 = 49 x 4 − (25x 2 − 30 xy + 9 y 2 )
2 2
= (4a − 3x) − (5m + 1)
2 2
= c2 − (a 2 − 2a + 1)
= 49 x 4 − (5x − 3 y )
2
= (4a − 3x + 5m + 1)(4a − 3x − 5m − 1)
= c2 − (a − 1) = (7 x 2 + 5x − 3 y )(7 x 2 − 5x + 3 y )
2
34. 9m − a + 2acd − c d + 100 − 60m
2 2 2 2
= (c + a − 1)(c − a + 1)
25. a − 2ab + b − c − 2cd − d = − (a − 2acd + c d ) + (9m2 − 60m + 100)
2 2 2 2
2 2 2
= (a − b) − (c + d ) = (3m − 10) − (a − cd )
2 2
17. 9 − n − 25 − 10n
2 2 2
= 9 − (n + 10n + 25)
2
= (a − b + c + d )(a − b − c − d ) = (3m − 10 + a − cd )(3m − 10 − a + cd )
= 9 − (n + 5)
2
26. x + 2 xy + y − m + 2mn − n
2 2 2 2
35. 4a − 9 x + 49b − 30 xy − 25 y − 28ab
2 2 2 2
= (3 + n + 5)(3 − n − 5) = ( x + y) − (m − n) = (4a 2 − 28ab + 49b 2 ) − (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 )
2 2
= − (n + 8)(n + 2) = ( x + y + m − n)( x + y − m + n) = (2a − 7b) − (3x + 5 y )
2 2
27. a + 4b + 4ab − x − 2ax − a
2 2 2 2
= (2a − 7b + 3x + 5 y )(2a − 7b − 3x − 5 y )
18. 4a − x + 4 x − 4
2 2
= (a + 4ab + 4b ) − ( x + 2ax + a ) 36. 225a − 169b + 1 + 30a + 26bc − c
2 2 2 2 2 2 2
= 4a 2 − ( x 2 − 4 x + 4)
= (225a 2 + 30a + 1) − (169b 2 − 26bc + c 2 )
= (a + 2b) − ( x + a )
2 2
= 4a 2 − ( x − 2)
2
= (15a + 1) − (13b − c)
= (a + 2b + x + a )(a + 2b − x − a)
2
= (2a + x − 2)(2a − x + 2) = (15a + 1 + 13b − c)(15a + 1 − 13b + c)
= (2a + 2b + x )(2b − x )
37. x − y + 4 + 4 x − 1 − 2 y
2 2
19. 1 − a − 9n − 6an
2 2
28. x + 4a − 4ax − y − 9b + 6by
2 2 2 2
= 1 − (a 2 + 6an + 9n 2 ) = ( x 2 + 4 x + 4) − ( y 2 + 2 y + 1)
= ( x 2 − 4ax + 4a 2 ) − ( y 2 − 6by + 9b2 )
= 1 − (a + 3n) = ( x + 2) − ( y + 1)
2 2 2
= ( x − 2a ) − ( y − 3b)
2 2
= (a + 3n + 1)(1 − a − 3n) = ( x + 2 + y + 1)( x + 2 − y − 1)
= ( x − 2a + y − 3b)( x − 2a − y + 3b)
= ( x + y + 3)( x − y + 1)
20. 25 − x − 16 y + 8 xy
2 2
29. m − x + 9n + 6mn − 4ax − 4a
2 2 2 2
38. a − 16 − x + 36 + 12a − 8 x
2 2
= 25 − ( x 2 − 8 xy + 16 y 2 ) = (m2 + 6mn + 9n 2 ) − ( x 2 + 4ax + 4a 2 ) = (a + 12a + 36) − ( x 2 + 8 x + 16)
2
= 25 − ( x − 4 y ) = (m + 3n) − ( x + 2a )
2
= (a + 6) − ( x + 4)
2 2 2 2
= (5 + x − 4 y)(5 − x + 4 y ) = (m + 3n + x + 2a )(m + 3n − x − 2a ) = (a + 6 + x + 4)(a + 6 − x − 4)
= (a + x + 10)(a − x + 2)

103. 7. 4a + 3a b + 9b 14. c − 45c + 100
4 2 2 4 4 2
EJERCICIO 96
+ 9a 2b 2 − 9a 2b 2 + 25c2 − 25c2
1. a 4 + a 2 + 1 4a 4 + 12a 2b 2 + 9b 4 − 9a 2b 2 c4 − 20c2 + 100 − 25c2
= (2a 2 + 3b ) = (c2 − 10) − 25c2
2 2 2
+ a2 − a2 − 9a 2b 2
(a + 2a + 1) − a
4 2 2
= (2a 2 + 3ab + 3b 2 )(2a 2 − 3ab + 3b 2 ) = (c2 + 5c − 10)(c2 − 5c − 10)
= (a + 1) − a 8. 4 x − 29 x + 25
2 4 2
15. 4a − 53a b + 49b
2 2 8 4 4 8
= (a + a + 1)(a − a + 1)
2 2 + 9x2 − 9 x2 + 25a 4b 4 − 25a 4b 4
4 x 4 − 20 x 2 + 25 − 9 x 2 4a 8 − 28a 4b 4 + 49b8 − 25a 4b 4
2. m + m n + n
= (2 x 2 − 5) − 9 x 2 = (2a 4 − 7b 4 ) − 25a 4b 4
4 2 2 4 2
2
+ m2 n 2 − m2 n 2
= (2 x 2 + 3x − 5)(2 x 2 − 3x − 5) = (2a 4 + 5a 2b 2 − 7b 4 )(2a 4 − 5a 2b 2 − 7b 4 )
m4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m 2 n 2
9. x + 4 x y + 16 y
8 4 4 8
16. 49 + 76n 2 + 64n 4
= (m2 + n 2 ) − m2 n 2
2
+ 4x4 y4 − 4x4 y4 + 36n 2 − 36n 2
= (m2 + n 2 + mn)(m2 + n 2 − mn)
x 8 + 8 x 4 y 4 + 16 y 8 − 4 x 4 y 4 49 + 112n 2 + 64n 4 − 36n 2
3. x + 3x + 4 = (x 4 + 4 y 4 ) − 4 x 4 y 4 = (7 + 8n2 ) − 36n 2
8 4 2 2
+ x −x
= (8n 2 + 6n + 7)(8n 2 − 6n + 7)
4 4
= ( x 4 + 2 x 2 y 2 + 4 y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 + 4 y 4 )
x + 4x + 4 − x
8 4 4
10. 16m − 25m n + 9n 17. 25x − 139 x y + 81y
4 2 2 4 4 2 2 4
= ( x 4 + 2) − x 4
2
+mn 2 2
−m n 2 2
+ 49 x 2 y 2 − 49 x 2 y 2
= (x 4 + x 2 + 2)(x 4 − x 2 + 2) 16m − 24m n + 9n − m n 25x 4 − 90x 2 y 2 + 81y 4 − 49 x 2 y 2
4 2 2 4 2 2
= (4m2 − 3n 2 2
) − m2 n 2 = (5x 2 − 9 y 2 ) − 49 x 2 y 2
2
4. a + 2a + 9
4 2
+ 4a 2 − 4a 2 = (4m2 + mn − 3n2 )(4m2 − mn − 3n2 ) = (5x 2 + 7 xy − 9 y 2 )(5x 2 − 7 xy − 9 y 2 )
a 4 + 6a 2 + 9 − 4a 2 11. 25a 4 + 54a 2b 2 + 49b 4
18. 49 x + 76 x y + 100 y
8 4 4 8
= (a 2 + 3) − 4a 2 + 16a b − 16a b
2 2 2 2 2
+ 64 x 4 y 4 − 64 x 4 y 4
= (a 2 + 2a + 3)(a 2 − 2a + 3) 25a + 70a b + 49b − 16a b 49 x 8 + 140 x 4 y 4 + 100 y 8 − 64 x 4 y 4
4 2 2 4 2 2
= (5a + 7b 2 2
) = (7 x 4 + 10 y 4 ) − 64 x 4 y 4
2
2
− 16a b 2 2
5. a 4 − 3a 2b 2 + b 4
= (5a 2 + 4ab + 7b 2 )(5a 2 − 4ab + 7b 2 ) = (7 x 4 + 8 x 2 y 2 + 10 y 4 )(7 x 4 − 8 x 2 y 2 + 10 y 4 )
+ a 2b 2 − a 2b 2
12. 36 x 4 − 109 x 2 y 2 + 49 y 4 19. 4 − 108 x + 121x
2 4
a 4 − 2a 2b 2 + b 4 − a 2b 2
+ 25x y 2 2
− 25x y2 2
+ 64 x 2
− 64 x 2
= (a 2 − b2 ) − a 2b 2
2
36x 4 − 84 x 2 y 2 + 49 y 4 − 25x 2 y 2 4 − 44 x 2 + 121x 4 − 64 x 2
= (a 2 + ab − b2 )(a 2 − ab − b 2 )
= (6x 2 − 7 y 2 ) − 25x 2 y 2 = (2 − 11x 2 ) − 64 x 2
2 2
6. x − 6 x + 1 = (6x 2 + 5xy − 7 y 2 )(6 x 2 − 5xy − 7 y 2 ) = (2 + 8 x − 11x 2 )(2 − 8 x − 11x 2 )
4 2
+ 4x2 − 4x2
13. 81m + 2m + 1
8 4
20. 121x − 133x y + 36 y
4 2 4 8
x − 2 x + 1− 4 x 2
4 2
+ 16m 4
− 16m 4
+ x2 y4 − x2 y4
= ( x − 1) − 4 x
2 2 2
81m + 18m + 1 − 16m
8 4 4
121x 4 − 132 x 2 y 4 + 36 y 8 − x 2 y 4
= ( x + 2 x − 1)( x − 2 x − 1) = (9m + 1) − 16m = (11x 2 − 6 y 4 ) − x 2 y 4
2 2 4 2 4 2
= (9m4 + 4m2 + 1)(9m4 − 4m2 + 1) = (11x 2 + xy 2 − 6 y 4 )(11x 2 − xy 2 − 6 y 4 )

104. 21. 144 + 23n 6 + 9n12 25. 1 − 126a b + 169a b
2 4 4 8
+ 49n 6 − 49n6 + 100a 2b 4 − 100a 2b 4
144 + 72n 6 + 9n12 − 49n 6 1 − 26a 2b 4 + 169a 4b8 − 100a 2b 4
= (12 + 3n 6 2
) = (1 − 13a 2b 4 ) − 100a 2b 4
2
− 49n 6
= (12 + 7n 3 + 3n 6 )(12 − 7n 3 + 3n 6 ) = (1 + 10ab 2 − 13a 2b 4 )(1 − 10ab 2 − 13a 2b 4 )
22. 16 − 9 c 4 + c8 26. x y + 21x y + 121
4 4 2 2
+ c 4
−c 4
+ x2 y2 − x2 y2
16 − 8c 4 + c8 − c4 x 4 y 4 + 22 x 2 y 2 + 121 − x 2 y 2
= (4 − c4 ) − c4 = ( x 2 y 2 + 11) − x 2 y 2
2 2
= (4 + c 2 − c4 )(4 − c 2 − c4 ) = ( x 2 y 2 + xy + 11)( x 2 y 2 − xy + 11)
23. 64a − 169a b + 81b 27. 49c + 75c m n + 196m n
4 2 4 8 8 4 2 2 4 4
+ 25a 2b4 − 25a 2b4 + 121c4 m2 n2 − 121c4 m2 n 2
64a 4 − 144a 2b4 + 81b8 − 25a 2b4 49c8 + 196c4 m2 n 2 + 196m4 n 4 − 121c4 m2 n 2
= (8a 2 − 9b 4 2
) = (7c4 + 14m2 n 2 ) − 121c4 m2 n 2
2
− 25a 2b4
= (8a 2 + 5ab − 9b 4 )(8a 2 − 5ab − 9b 4 ) = (7c4 + 11c2 mn + 14m2 n 2 )(7c 4 − 11c2 mn + 14m2 n 2 )
24. 225 + 5m2 + m4 28. 81a b − 292a b x + 256 x
4 8 2 4 8 16
+ 25m 2
− 25m 2
+ 4a b x 2 4 8
− 4a 2b 4 x 8
225 + 30m2 + m4 − 25m2 81a 4b8 − 288a 2b 4 x 8 + 256 x16 − 4a 2b 4 x 8
= (15 + m2 ) − 25m2 = (9a 2b 4 − 16 x 8 ) − 4a 2b 4 x 8
2 2
= (m2 + 5m + 15)(m2 − 5m + 15) = (9a 2b 4 + 2ab 2 x 4 − 16 x 8 )(9a 2b 4 − 2ab 2 x 4 − 16 x 8 )
EJERCICIO 97
4
+ 64 y 4 4
+ 324b 4 5. 4 + 625x 8
1. x 3. a
+ 16 x 2 y 2 − 16 x 2 y 2 + 100 x 4 − 100 x 4
+ 36a 2b 2 − 36a 2b 2
4 + 100 x + 625x − 100 x 4
4 8
x 4 + 16 x 2 y 2 + 64 y 4 − 16x 2 y 2 a 4 + 36a 2b 2 + 324b 4 − 36a 2b 2
= (2 + 25x 4 ) − 100 x 4
2
= ( x 2 + 8 y 2 ) − 16 x 2 y 2 = (a 2 + 18b 2 ) − 36a 2b 2
2 2
= (25x 4 + 10 x 2 + 2)(25x 4 − 10 x 2 + 2)
= ( x 2 + 4 xy + 8 y 2 )( x 2 − 4 xy + 8 y 2 ) = (a 2 + 6ab + 18b 2 )(a 2 − 6ab + 18b 2 )
2. 4 x
8
+ y8 6. 64 + a 12
4. 4 m
4
+ 81n 4
+ 4x4 y4 − 4x4 y4 + 16a 6 − 16a 6
+ 36m2n 2 − 36m2 n 2
4x + 4x y + y − 4x y
8 4 4 8 4 4
64 + 16a 6 + a 12 − 16a 6
4m4 + 36m2 n 2 + 81n 4 − 36m2n 2
= (2 x + y 4
)
4 2
− 4x y 4 4
= (8 + a 6 ) − 16a 6
2
= (2 x 4 + 2 x 2 y 2 + y 4 )(2 x 4 − 2 x 2 y 2 + y 4 ) = 2m + 9n ( 2
)
2 2
− 36m n 2 2
= (a 6 + 4a 3 + 8)(a 6 − 4a 3 + 8)
= (2m 2
+ 6mn + 9n 2 )(2m2 − 6mn + 9n 2 )

105. 7. 1 + 4n 4 8. 64 x 8 + y8 9. 81a
4
+ 64b 4
+ 4n 2
− 4n 2
+ 16 x y 4 4
− 16 x y
4 4
+ 144a b 2 2
− 144a 2b 2
1 + 4 n 2 + 4n 4 − 4n 2 64 x 8 + 16 x 4 y 4 + y 8 − 16 x 4 y 4 81a 4 + 144a 2b2 + 64b 4 − 144a 2b2
= (1 + 2n2 ) − 4n2 = (8 x 4 + y 4 ) − 16 x 4 y 4 = (9a 2 + 8b 2 ) − 144a 2b2
2 2
2
= (2n2 + 2n + 1)(2n2 − 2n + 1) = (9a 2 + 12ab + 8b2 )(9a 2 − 12ab + 8b 2 )
= (8 x 4 + 4 x 2 y 2 + y 4 )(8 x 4 − 4 x 2 y 2 + y 4 )
EJERCICIO 98
(
)( )
1. x 2 + 7 x + 10 = x + 5 x + 2 (
27. a 2 − 14a + 33 = a − 11 a − 3 )( ) 37. m − 2m − 168
2
2. x − 5x + 6 = ( x − 3)( x − 2)
168 2
2
28. m2 + 13m − 30 = m + 15 m − 2 ( )( ) 84 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
3. x + 3x − 10 = ( x + 5)( x − 2)
2 2
( )( )
29. c − 13c − 14 = c − 14 c + 1 42 2 2 ⋅ 7 = 14
4. x + x − 2 = ( x + 2)(x − 1)
2
30. x 2 + 15x + 56 = ( x + 8)( x + 7) 21 3 ⇒ 14 − 12 = 2
− 15x + 54 = ( x − 9)( x − 6) = (m − 14)(m + 12)
5. a + 4a + 3 = (a + 3)(a + 1)
2 31. x 2 7 7
+ 7a − 60 = (a + 12)(a − 5)
1
6. m + 5m − 14 = (m + 7)(m − 2)
2 32. a 2
38. c + 24c + 135
2
7. y − 9 y + 20 = ( y − 5)( y − 4) 33. x − 17 x − 60
2 2
135 3
8. x − x − 6 = ( x − 3)( x + 2)
60 2
2 45 3 3⋅ 3 = 9
30 2 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
3⋅ 5 = 15
9. x − 9 x + 8 = ( x − 8)( x − 1)
15 3
3⋅ 1 = 3
2
15 3
5 5 ⇒ 15 + 9 = 24
10. c + 5c − 24 = (c + 8)(c − 3)
2 5 5 ⇒ 20 − 3 = 17
1 = (c + 15)(c + 9)
= ( x − 20)( x + 3)
11. x − 3x + 2 = ( x − 2)( x − 1)
2 1
39. m − 41m + 400
2
12. a + 7a + 6 = (a + 6)(a + 1) 34. x + 8 x − 180
2
2
400 2
180 2
13. y − 4 y + 3 = ( y − 3)( y − 1)
2
90 2 2 ⋅ 3⋅ 3 = 18
200 2 2 4 = 16
52 = 25
14. n − 8n + 12 = (n − 6)(n − 2)
100 2
2 45 3 2 ⋅ 5 = 10
50 2 ⇒ 25 + 16 = 41
3 ⇒ 18 − 10 = 8
15. x + 10 x + 21 = ( x + 7)( x + 3)
15
= (m − 25)(m − 16)
2
= ( x + 18)( x − 10)
25 5
5 5
16. a + 7a − 18 = (a + 9)(a − 2)
2
5 5
1
17. m − 12m + 11 = (m − 11)(m − 1)
2 1
35. m − 20m − 300
2
18. x − 7 x − 30 = ( x − 10)( x + 3) 40. a + a − 380
2
2
300 2
380 2
19. n + 6n − 16 = (n + 8)(n − 2)
2 150 2 2 ⋅ 3⋅ 5 = 30
75 3 2 ⋅ 5 = 10 190 2 2 2 ⋅ 5 = 20
20. a − 21a + 20 = (a − 20)(a − 1)
2
25 5 ⇒ 30 − 10 = 20 95 5 19 ⋅ 1 = 19
21. y + y − 30 = ( y + 6)( y − 5)
19 ⇒ 20 − 19 = 1
= (m − 30)(m + 10)
2 19
5 5
= (a + 20)(a − 19)
22. a − 11a + 28 = (a − 7)(a − 4)
1
2 1
23. n − 6n − 40 = (n − 10)(n + 4) 41. x + 12 x − 364
2
36. x + x − 132
2
2
132 2 364 2
24. x − 5x − 36 = ( x − 9)( x + 4)
2
2 ⋅ 13 = 26
66 2 2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12 182 2
25. a − 2a − 35 = (a − 7)(a + 5)
2
33 3 11⋅ 1 = 11 91 7 2 ⋅ 7 = 14
11 ⇒ 12 − 11 = 1 13 ⇒ 26 − 14 = 12
26. x + 14 x + 13 = ( x + 13)( x + 1)
2 11 13
1 = ( x + 12)( x − 11) 1 = ( x + 26)( x − 14)

106. 42. a + 42a + 432
2
47. c − 4c − 320
2
45. x − 2 x − 528
2
432 2
216 2 2 3 ⋅ 3 = 24 528 2 320 2
108 2 2 ⋅ 32 = 18 264 2 2 3 ⋅ 3 = 24 160 2 2 4 = 16
54 2 ⇒ 24 + 18 = 42 132 2 2 ⋅ 11 = 22 80 2 22 ⋅ 5 = 20
27 3 = (a + 24)(a + 18) 66 2 ⇒ 24 − 22 = 2 40 2 ⇒ 20 − 16 = 4
9 3 33 3 = ( x − 24)( x + 22) 20 2 = (c − 20)(c + 16)
3 3 11 11 10 2
1 1 5 5
1
43. m − 30m − 675
2
675 3
46. n + 43n + 432
2
225 5 3⋅ 5⋅ 3 = 45
48. m − 8m − 1. 008
432 2 2
45 3 3⋅ 5 = 15
216 2 2 = 16
4
1. 008 2
15 3 ⇒ 45 − 15 = 30
108 2 33 = 27 504 2 2 2 ⋅ 7 = 28
5 5 = (m − 45)(m + 15)
54 2 ⇒ 16 + 27 = 43 252 2 2 2 ⋅ 32 = 36
3 = (n + 16)(n + 27)
1
27 126 2 ⇒ 36 − 28 = 8
44. y 2 + 50 y + 336
9 3 63 3 = (m − 36)(m + 28)
336 3
3 3 21 3
112 2 3⋅ 7 ⋅ 2 = 42
1 7 7
56 2 2 =8 3
1
28 2 ⇒ 42 + 8 = 50
14 2 = ( y + 42)( y + 8)
7 7
1
18. a b − 2a b − 99
4 4 2 2
13. x 4 + 7ax 2 − 60a 2
EJERCICIO 99
= ( x 2 + 12a )( x 2 − 5a )
99 3 3⋅ 3 = 9
1. x + 5x + 4 = (x + 4)( x + 1)
4 2 2 2
14. ( 2 x ) − 4 ( 2 x ) + 3
2
33 3 11⋅ 1 = 11
11 11 ⇒ 11 − 9 = 2
2. x 6 − 6 x 3 − 7 = ( x 3 − 7)( x 3 + 1) = (2 x − 3)(2 x − 1) 1 = (a 2b2 − 11)(a 2b 2 + 9)
3. x 8 − 2 x 4 − 80 = (x 4
− 10)(x 4 + 8) 15. (m − n) + 5(m − n) − 24
2
19. c + 11cd + 28d
2 2
(
4. x 2 y 2 + xy − 12 = xy + 4 xy − 3 )( ) = (m − n + 8)(m − n − 3) = (c + 7d )(c + 4d )
)( )
5. ( 4 x ) − 2 ( 4 x ) − 15 = 4 x − 5 4 x + 3 ( 16. x + x − 240 20. 25x − 5 (5x ) − 84
2 8 4 2
+ 13(5x) + 42 = (5x + 7)(5x + 6)
240 2 84 2
6. (5x )
2
120 2 24 = 16 42 2 2 2 ⋅ 3 = 12
( )( )
7. x 2 + 2ax − 15a 2 = x + 5a x − 3a 60 2 3⋅ 5 = 15 21 3 7 ⋅1 = 7
8. a − 4ab − 21b = (a − 7b)(a + 3b)
2 2
30 2 ⇒ 16 − 15 = 1 7 7 ⇒ 12 − 7 = 5
9. ( x − y ) + 2 ( x − y ) − 24 = ( x − y + 6)( x − y − 4)
2
15 3 = ( x 4 + 16)( x 4 − 15) 1 = (5x − 12)(5x + 7)
5 5
10. − x + 4 x + 5 21. a − 21ab + 98b
2 2 2
= − ( x 2 − 4 x − 5) = − ( x − 5)(x + 1) = (5 − x )(x + 1)
1 98 2 2 ⋅ 7 = 14
17. − y + 2 y + 15
2
7 ⋅1= 7
x + x 5 − 20 = (x 5 + 5)(x 5 − 4)
49 7
10
= − ( y − 2 y − 15)
11. 2 7 7 ⇒ 14 + 7 = 21
12. m2 + mn − 56n 2 = m + 8n ( )(m − 7n) = − ( y − 5 )( y + 3) = (5 − y )( y + 3) 1 = (a − 14b)(a − 7b)

107. 22. x y + x y − 132
4 4 2 2 27. − n 2 + 5n + 14 32. − x 2 + 4ax + 21a 2
132 2 = − (n − 5n − 14)
2
= − ( x 2 − 4ax − 21a 2 )
2 ⋅ 2 ⋅ 3 = 12
= − (n − 7)(n + 2) = (7 − n)(n + 2) = − ( x − 7a)(x + 3a )
66 2
33 3 11⋅ 1 = 11
28. x + x − 930
6 3 = (7a − x )( x + 3a )
11 11 ⇒ 12 − 11 = 1
= ( x 2 y 2 + 12)( x 2 y 2 − 11)
930 2
1 33. x 8 y 8 − 15x 4 y 4 − 100a 2
465 5 2 ⋅ 5⋅ 3 = 30
23. − x + 2 x + 48 = ( x 4 y 4 − 20a )( x 4 y 4 + 5a )
4 2
93 3 31⋅ 1 = 31
= − (x − 2 x − 48)
4 2
31 31 ⇒ 31 − 30 = 1
34. (a − 1) + 3 (a − 1) − 108
2
= − (x 2 − 8)(x 2 + 6) = (8 − x 2 )( x 2 + 6) 1 = ( x 3 + 31)( x 3 − 30)
108 2
24. (c + d ) − 18(c + d ) + 65 29. (4 x ) − 8 (4 x 2 ) − 105
2
2 2
54 2 2 2 ⋅ 3 = 12
= (c + d − 13)(c + d − 5) 105 5 27 3 32 = 9
25. a + 2axy − 440 x y
2 2 2 21 3 5⋅ 3 = 15 9 3 ⇒ 12 − 9 = 3
440 2 7 7 7 ⋅1= 7 3 3 = (a − 1 + 12)(a − 1 − 9)
2 ⋅ 5 = 20 1 ⇒ 15 − 7 = 8 = (a + 11)(a − 10)
2
220 2 1
110 2 11⋅ 2 = 22 = (4 x 2 − 15)(4 x 2 + 7)
55 5 ⇒ 22 − 20 = 2 35. m + abcm − 56a b c
2 2 2 2
30. x 4 + 5abx 2 − 36a 2b 2
11 11 = (a + 22 xy )(a − 20 xy ) = (m + 8abc )(m − 7abc)
1 = ( x 2 + 9ab)( x 2 − 4ab)
36. (7 x ) + 24(7 x 2 ) + 128
2 2
26. m n − 21m n + 104
6 6 3 3
31. a − a b − 156b
4 2 2 4
104 2 128 4
156 2 4 2 = 16
52 2 2 =8 3
32 4
26 2 13⋅ 1 = 13 78 2 2 ⋅ 3 = 12
2
8 4 4⋅2 = 8
13 13 ⇒ 13 + 8 = 21 39 3 13⋅ 1 = 13 2 2 ⇒ 16 + 8 = 24
13 ⇒ 13 − 12 = 1
= (m3n3 − 13)(m3n 3 − 8) = (7 x 2 + 16)(7 x 2 + 8)
13
1 1
1 = (a 2 − 13b 2 )(a 2 + 12b 2 )
EJERCICIO 100
7. 4a + 15a + 9
2
10.20 y + y − 1
2
4. 5x + 13x − 6 = 16a 2 + 15( 4a ) + 36
2
1. 2 x + 3 x − 2
2
= 400 y 2 + 1(20 y ) − 20
= 4 x 2 + 3 (2 x ) − 4 = 25x 2 + 13 (5x ) − 30 (4a + 12)(4a + 3)
(5x + 15)(5x − 2)
= (20 y + 5)(20 y − 4)
(2 x + 4)(2 x − 1) 4 =
= =
5 = (a + 3)(4a + 3) 5⋅ 4
= (4 y + 1)(5 y − 1)
2
= ( x + 2)(2 x − 1) = ( x + 3)(5x − 2) 8. 10a + 11a + 3
2
= 100a 2 + 11(10a ) + 30
5. 6 x − 5x − 6
2
2. 3x − 5x − 2
2
= 36 x 2 − 5 ( 6 x) − 36
(10a + 6)(10a + 5) 11. 8a 2 − 14a − 15
= 9 x 2 − 5 ( 3x ) − 6 =
2⋅5 = 64 a 2 − 14 (8a) − 120
(3x − 6)(3x + 1) =
(6x − 9)(6x + 4) = (5a + 3)(2a + 1)
= 3⋅ 2
120 2
3 9. 12m2 − 13m − 35 60 2 2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
= ( x − 2)(3x + 1) = (2 x − 3)(3x + 2) = 144m2 − 13(12m) − 420 30 2 2⋅ 3= 6
3. 6 x + 7 x + 2 6. 12 x − x − 6 4 ⋅ 7 = 28
2 2
420 4 15 3 ⇒ 20 − 6 = 14
= 36x + 7 ( 6x) + 12 = 144 x 2 − 1(12 x) − 72 5⋅ 3 = 15
(8a − 20)(8a + 6)
2 105 5
3 ⇒ 28 − 15 = 13
(6x + 4)(6x + 3) (12 x − 9)(12 x + 8) 5 =
21 5
4⋅ 2
= = (12m − 28)(12m + 15)
2⋅ 3 3⋅ 4 7 7 =
4⋅3 1 = (2a − 5)(4a + 3)
= (3x + 2)(2 x + 1) = (4 x − 3)(3x + 2) 1 = (3m − 7)(4m + 5)

108. 17. 20n − 9n − 20
2
23. 14m − 31m − 10
2
12. 7 x − 44 x − 35
2
= 400n − 9( 20) − 400
2
= 196m2 − 31(14m) − 140
= 49 x 2 − 44 (7 x) − 245 400 2 140 2
245 5
200 2 2 4 = 16 70 2 5⋅ 7 = 35
49 7 7 ⋅ 7 = 49 35 5 2⋅2 = 4
100 2 52 = 25
7 7 5⋅1 = 5 7 7 ⇒ 35 − 4 = 31
50 2 ⇒ 25 − 16 = 9
1 ⇒ 49 − 5 = 44 (14m − 35)(14m + 4)
(7 x − 49)(7 x + 5) 25 5 =
(20n − 25)(20n + 16) 1 =
7⋅2
= 5⋅ 4 = (2m − 5)(7m + 2)
7
= ( x − 7)(7 x + 5) 5 5 = (4n − 5)(5n + 4) 24. 2 x + 29 x + 90
2
1 = 4 x 2 + 29 (2 x ) + 180
18. 21x + 11x − 2
2
180 2
13. 15m + 16m − 15 = 441x 2 + 11(21x) − 42
2
90 2 22 ⋅ 5 = 20
= 225m2 + 16 (15m) − 225
=
(21x + 14)(21x − 3) 45 3 32 = 9
225 5 7⋅ 3 15 3 ⇒ 20 + 9 = 29
5⋅ 5 = 25
= (3x + 2)(7 x − 1)
45 5
9 3 3⋅ 3 = 9 5 5 =
(2 x + 20)(2 x + 9)
19. 15m2 + m − 6 2
3 3 ⇒ 25 − 9 = 16
= 225m2 + 15m − 90 = (2 x + 10)(2 x + 9)
(15m + 25)(15m − 9)
1
1 =
5⋅ 3 =
(15m + 10)(15m − 9) 25. 20a − 7a − 40
2
5⋅ 3 = 400a 2 − 7 (20a ) − 800
= (3m + 5)(5m − 3)
= (3m + 2)(5m − 3)
800 4
200 4 42 ⋅ 2 = 32
20. 15a − 8a − 12
2
14. 2a + 5a + 2 52 = 25
2
50 5
= 225a 2 − 8 (15a ) − 180
= 4a + 5 ( 2a ) + 4
2 10 5 ⇒ 32 − 25 = 7
(2a + 4)(2a + 1)
180 2
2 =
(20a − 32)(20a + 25)
= 90 2 2 ⋅ 32 = 18 2
4⋅5
2
45 5 5⋅ 2 = 10 = (5a − 8)(4a + 5)
= (a + 2)(2a + 1)
1
9 3 ⇒ 18 − 10 = 8
26. 4n + n − 33
2
3 3 =
(15a − 18)(15a + 10) = 16n2 + 4n − 132
15. 12 x − 7 x − 12
2
3⋅ 5 132 2
= 144 x 2 − 7 (12 x) − 144 = (5a − 6)(3a + 2)
1 66 2 2 2 ⋅ 3 = 12
144 2
21. 9 x + 37 x + 4 11⋅ 1 = 11
2
33 3
24 = 16
= 81x 2 + 37 ( 9 x ) + 36
72 2 11 11 ⇒ 12 − 11 = 1
32 = 9
36 2
(9 x + 36)(9 x + 1) =
(4n + 12)(4n − 11)
18 2 ⇒ 16 − 9 = 7 = 1
9 4
9 3 =
(12 x − 16)(12 x + 9) = (x + 4)(9 x + 1) = (n + 3)(4n − 11)
4⋅3 27. 30 x 2 + 13x − 10
22. 20n + 44n − 15
2
3 3 = (3x − 4)(4 x + 3) = 400n2 + 44 ( 20n) − 300 = 900 x 2 + 13 ( 30 x ) − 300
1 300 2 300 2
150 2 2 ⋅ 5 = 50 2 150 2 52 = 25
16. 9a + 10a + 1
2
75 5 2⋅ 3= 6 75 5 2 ⋅ 3 = 12
2
= 81a 2 + 10 ( 9a ) + 9 15 5 ⇒ 50 − 6 = 44 15 5 ⇒ 25 − 12 = 13
=
(9a + 9)(9a + 1) (20n + 50)(20n − 6) (30 x + 25)(30x − 12)
3 3 = 3 3 =
9 10 ⋅ 2 5⋅ 6
= (a + 1)(9a + 1) 1 = (2n + 5)(10n − 3) 1 = (6 x + 5)(5x − 2)

109. EJERCICIO 101 7. − 10x 2 − 7 x + 12 12. 7 x 6 − 33x 3 − 10
1. 6 x + 5x − 6 = − (10 x 2 + 7 x − 12) = (7 x 3 ) − 33 (7 x 3 ) − 70
4 2 2
= (6 x 2 2
) + 5 (6 x 2 ) − 36 [
= − (10x ) + 7 (10 x ) − 120
2
] (7 x 3
− 35)(7 x 3 + 2)
=
=
(6x 2
+ 9)(6 x 2 − 4) 120 2 7
3⋅ 2 60 2 5⋅ 3 = 15
= ( x 3 − 5)(7 x 3 + 2)
2 3=8
= (2 x 2 + 3)(3x 2 − 2)
30 2
13. − 3a 2 + 13a + 30
15 5 ⇒ 15 − 8 = 7
2. 5x 6 + 4 x 3 − 12 = − (3a 2 − 13a − 30)
[
− (10x + 15)(10x − 8) ]
= (5x )
3 2
+ 4 (5x 3 ) − 60 3 3 =
5⋅ 2 = − (9a 2 − 13 ( 3a ) − 90)
(5x 3
+ 10)(5x 3 − 6) 1 = − (2 x + 3)(5x − 4) =−
(3a − 18)(3a + 5)
=
= (2 x + 3)(4 − 5x )
5 3
= (x + 2)(5x − 6)
3 3 = − (a − 6)(3a + 5)
8. 21x − 29 xy − 72 y
2 2
= (6 − a )(3a + 5)
3. 10 x + 29 x + 10 = 441x 2 − 29 (21xy ) − 1.512 y 2
8 4
= (10 x ) + 29 (10 x 4 ) + 100 14. − 6 x + 7 x + 5
8 4
4 2 1. 512 2
(10 x + 25)(10 x 4 + 4)
2 ⋅ 7 = 56 = − (6 x 8 − 7 x 4 − 5)
3
4 756 2
= 3 = 27
( )
3
= − (6 x 4 ) − 7 (6 x 4 ) − 30
378 2
5⋅ 2
2
189 3 ⇒ 56 − 27 = 29
= (2 x 4 + 5)(5x 4 + 2) (21x − 56 y)(21x + 27 y) (6 x 4
− 10)(6 x + 3) 4
63 3 = =−
4. 6a x + 5ax − 21
2 2
7⋅3 2⋅ 3
(6ax ) 2 + 5 ( 6ax ) − 126 21 3 = (3x − 8 y )(7 x + 9 y ) = − (3x 4 − 5)(2 x 4 + 1)
126 2
= (5 − 3x 4 )(2 x 4 + 1)
7 7
63 3 2 ⋅ 7 = 14 1
21 7 3⋅ 3 = 9 9. 6m − 13am − 15a
2 2
15. 6a 2 − ax − 15x 2
3 3 ⇒ 14 − 9 = 5 = 36m − 13 (6am) − 90a
2 2
= 36a 2 − 6ax − 90 x 2
=
(6ax + 14)(6ax − 9) (6m − 18a )(6m + 5a ) (6a − 10x)(6a + 9 x)
1 = =
2⋅3 6 2⋅3
= (3ax + 7)(2ax − 3) = (m − 3a )(6m + 5a ) = (3a − 5x )(2a + 3x )
5. 20 x y + 9 xy − 20 10. 14 x − 45x − 14
2 2 4 2
16. 4 x + 7mnx − 15m n
2 2 2
= (20 xy) + 9 (20 xy) − 400 = (14 x 2 ) − 45 (14 x 2 ) − 196
2
= ( 4 x) + 7mn ( 4 x) − 60m2n 2
2 2
400 2 196 2
=
(4 x + 12mn )(4 x − 5mn)
200 2 52 = 25 98 2 7 ⋅ 7 = 49 4
100 2 24 = 16 49 7 2⋅2 = 4 = ( x + 3mn)(4 x − 5mn)
50 2 ⇒ 25 − 16 = 9 7 ⇒ 49 − 4 = 45
7 17.18a + 17ay − 15y
2 2
25 5 =
(20xy + 25)(20xy − 16) (14 x 2
− 49)(14 x 2 + 4) = (18a ) + 17 y (18a ) − 270 y 2
2
5⋅ 4 1 = 270 2
7⋅2
= (4 xy + 5)(5xy − 4) 33 = 27
= (2 x 2 − 7)(7 x 2 + 2)
5 5 135 5
1 27 3 5⋅ 2 = 10
11. 30a − 13ab − 3b
2 2
6. 15x − ax − 2a
2 2 9 3 ⇒ 27 − 10 = 17
= (15x) − a (15x ) − 30a 2
2 = 900a 2 − 13 (30ab) − 90b 2
3 3 =
(18a + 27 y)(18a − 10 y)
(15x − 6a)(15x + 5a) =
(30a − 18b)(30a + 5b) 9⋅2
= 6⋅ 5 1 = (2a + 3 y )(9a − 5 y )
3⋅ 5
= (5x − 2a )(3x + a ) = (5a − 3b)(6a + b)

110. 18. − 8 x + 2 x + 15 23. − 6 y 2 + 11xy − 4 x 2
4 2
= − (8 x 4 − 2 x 2 − 15) = − (6 y 2 − 11xy + 4 x 2 )
21. 30m + 17am − 21a
2 2
(
= − (8 x 2 ) − 2 (8 x 2 ) − 120
2
) = (30m) + 17a ( 30m) − 630a 2
2
(
= − (6 y ) − 11x(6 y ) + 24 x 2
2
)
(8x 2
− 12)(8 x 2 + 10)
630 2
=−
(6 y − 8x)(6 y − 3x)
=− 315 5 5⋅ 7 = 35 2⋅ 3
4⋅ 2 2 ⋅ 32 = 18
= − (3 y − 4 x )(2 y − x )
63 3
= − (2 x 2 − 3)(4 x 2 + 5) 21 3 ⇒ 35 − 18 = 17
= (4 x − 3y )(2 y − x )
= (3 − 2 x 2 )(4 x 2 + 5) 7 7 =
(30m + 35a)(30m − 18a)
5⋅ 6
19. − 25x + 5x + 6
8 4
= (6m + 7a )(5m − 3a )
= − (25x 8 − 5x 4 − 6)
1
(
= − (25x 4 ) − 5 (25x 4 ) − 150
2
) 24. − 20a + 27ab − 9b
2 2
(25x 4
− 15)(25x 4 + 10) = − (20a 2 − 27ab + 9b 2 )
=−
5⋅ 5 (
= − ( 20a ) − 27b(20a ) + 180b 2
2
)
22. − 15a + 16a − 4
2
= − (5x − 3)(5x + 2)
4 4 180 2
= − (15a 2 − 16a + 4) 2 2 ⋅ 3 = 12
= (3 − 5x )(5x + 2)
90 2
( )
4 4
= − (15a ) − 16 (15a ) + 60 5⋅ 3 = 15
2
45 5
20. 30 x − 91x − 30
10 5
(15a − 10)(15a − 6) 9 3 ⇒ 15 + 12 = 27
= (30 x 5 2
) − 91(30 x ) − 900 5 =−
5⋅ 3 (20a − 15b)(20a − 12b)
3 3 =−
=
(30x 5
− 100)(30 x + 9) 5
= − (3a − 2)(5a − 2)
5⋅ 4
= − (4a − 3b)(5a − 3b)
10 ⋅ 3 = (3a − 2)(2 − 5a )
1
= (3x − 10)(10 x + 3)
5 5 = (4a − 3b)(3b − 5a )
EJERCICIO 102
(
12. 8 + 36 x + 54 x 2 + 27 x 3 = 2 + 3x ) 3
1. a 3 + 3a 2 + 3a + 1 = a + 1 ( )
3
13. 8 − 12a 2 − 64a 4 − a 6 = No es cubo perfecto
2. 27 − 27 x + 9 x − x = 3 − x 2 3
( )
3
14. a 6 + 3a 4b3 + 3a 2b6 + b9 = (a 2 + b3 )
3
3. m3 + 3m2 n + 3mn 2 + n 3 = m + n ( )
3
x 9 − 9 x 6 y 4 + 27 x 3 y 8 − 27 y12 = ( x 3 − 3 y 4 )
3
15.
4. 1 − 3a + 3a − a = 1 − a 2 3
( ) 3
16. 64 x 3 + 240 x 2 y + 300 xy 2 + 125 y 3 = 4 x + 5 y ( )
3
5. 8 + 12a 2
+ 6a + a = (2 + a
4 6 2 3
) 216 − 756a 2 + 882a 4 − 343a 6 = (6 − 7a 2 )
3
17.
)
6. 125x 3 + 75x 2 + 15x + 1 = 5x + 1 ( 3
7. 8a − 36a b + 54ab − 27b = (2a − 3b)
3 2 2 3 3
18. 125x 12 + 600 x 8 y 5 + 960 x 4 y10 + 512 y15 = (5x 4
+ 8 y5 )
3
a18 + 3a 12 + 3a 6 + 1 = (a 6 + 1)
3
8. 27m + 108m n + 144mn + 64n = (3m + 4n)
3 2 2 3 3 19.
9. x 3 − 3x 2 + 3x + 1 = No es cubo perfecto
20. m3 − 3am2 n + 3a 2 mn 2 − a 3n 3 = m − an ( )3
10. 1 + 12a 2b − 6ab − 8a 3b 3 = No es cubo perfecto 21. 1 + 18a 2b 3 + 108a 4b 6 + 216a 6b 9 = (1+ 6a b ) 2 3 3
( ) − 125 y = (4 x − 5 y ) 4 3
3
11. 125a 3 + 150a 2b + 60ab2 + 8b3 = 5a + 2b 22. 64 x 9 − 240x 6 y 4 + 300 x 3 y 8 12 3

111. EJERCICIO 103
(1+ 7n)(1− 7n + 49n ) 20. 1 + 343n 3 = 2
1. 1 + a = (1 + a )(1 − a + a )
3
21. 64a − 729 = (4a − 9)(16a + 36a + 81)
2 3 2
2. 1 − a = (1 − a )(1 + a + a )
3
22. a b − x = (ab − x )(a b + abx + x )
2 3 3 6 2 2 2 2 4
3. x + y = (x + y)( x − xy + y )
3 3
23. 512 + 27a = (8 + 3a )(64 − 24a + 9a )
2 2 9 3 3 6
4. m − n = (m − n )(m + mn + n )
3 3
24. x − 8 y = ( x − 2 y )( x + 2 x y + 4 y )
2 2 6 12 2 4 4 2 4 8
5. a − 1 = (a − 1)(a + a + 1)
3
25. 1 + 729 x = (1 + 9 x )(1 − 9 x + 81x )
2 6 2 2 4
6. y + 1 = ( y + 1)( y − y + 1)
3
26. 27m + 64n = (3m + 4n )(9m − 12mn + 16n )
2 3 9 3 2 3 6
7. y − 1 = ( y − 1)( y + y + 1)
3
27. 343x + 512 y = (7 x + 8 y )(49 x − 56 xy + 64 y )
2 3 6 2 2 2 4
8. 8 x − 1 = (2 x − 1)(4 x + 2 x + 1)
3
28. x y − 216 y = ( xy − 6 y )(x y + 6 xy + 36 y )
2 3 6 9 2 3 2 4 5 6
9. 1 − 8 x = (1 − 2 x)(1 + 2 x + 4 x )
3
29. a b x + 1 = (abx + 1)(a b x − abx + 1 )
2 3 3 3 2 2 2
10. x − 27 = ( x − 3)( x + 3x + 9)
3
30. x + y = ( x + y )( x − x y + y )
2 9 9 3 3 6 3 3 6
11. a + 27 = (a + 3)(a − 3a + 9)
3
31. 1. 000 x − 1 = (10 x − 1)(100 x + 10 x + 1)
2 3 2
12. 8 x + y = (2 x + y )(4 x − 2 xy + y )
3 3
32. a + 125b = (a + 5b )(a − 5a b + 25b )
2 2 6 12 2 4 4 2 4 8
13. 27a − b = (3a − b)(9a + 3ab + b )
3 3
33. x + y = ( x + y )( x − x y + y )
2 2 12 12 4 4 8 4 4 8
14. 64 + a = (4 + a )(16 − 4a + a )
6
34. 1 − 27a b = (1 − 3ab)(1 + 3ab + 9a b )
2 2 4 3 3 2 2
15. a − 125 = (a − 5)(a + 5a + 25)
3
35. 8 x + 729 = (2 x + 9)(4 x − 18 x + 81)
2 6 2 4 2
16. 1 − 216m = (1 − 6m)(1 + 6m + 36m )
3
36. a + 8b = (a + 2b )(a − 2ab + 4b )
2 3 12 4 2 4 8
17. 8a + 27b = (2a + 3b )(4 a − 6ab + 9b )
3 6
37. 8 x − 125 y z = (2 x − 5 yz )(4 x + 10 x yz + 25 y z )
2 2 2 4 9 3 6 3 2 6 3 2 2 4
18. x − b = ( x − b )( x + x b + b )
6 9 2
38. 27m + 343n = (3m + 7n )(9m − 21m n + 49n )
3 4 2 3 6 6 9 2 3 4 2 3 6
19. 8 x − 27 y = (2 x − 3 y )(4 x + 6 xy + 9 y )
3 3
39. 216 − x = (6 − x )(36 + 6 x + x )
2 2 12 4 4 8
EJERCICIO 104 )[( ) ( ) ] ( ) 3
5. x + 2 y + 1 = x + 2 y + 1 x + 2 y − x + 2 y + 1 ( 2
1. 1 + ( x + y ) = (1 + x + y )[1 − ( x + y ) + ( x + y ) ] = (x + 2 y + 1)( x + 4 xy + 4 y − x − 2 y + 1)
3 2 2 2
6. 1 − (2a − b) = [1 − (2a − b)][1 + (2a − b) + (2a − b) ]
= (1 + x + y )(1 − x − y + x + 2 xy + y )
3 2
2 2
2. 1 − (a + b) = [1 − (a + b)][1 + (a + b) + (a + b) ]
3 = (1 − 2a + b)(1 + 2a − b + 4a − 4ab + b )
2 2 2
7. a + (a + 1) = (a + a + 1)[a − a (a + 1) + (a + 1) ]
3 2
= (1 − a − b)(1 + a + b + a + 2ab + b )
3 2
2 2
= (2a + 1)(a − a − a + a + 2a + 1)
3. 27 + (m − n) = (3 + m − n)[9 − 3(m − n) + (m − n) ]
2 2 2
3 2
= (2a + 1)(a + a + 1) 2
= (3 + m − n)(9 − 3m + 3n + m − 2mn + n )
8. 8a − (a − 1) = [2a − (a − 1)][4a + 2a (a − 1) + (a − 1) ]
2 2
3 3 2 2
4. ( x − y) − 8 = ( x − y − 2)[( x − y) + 2 ( x − y) + 4]
3 2
= (2a − a + 1)(4a + 2a − 2a + a − 2a + 1) 2 2 2
= (x − y − 2)( x − 2 xy + y + 2 x − 2 y + 4) 2
= (a + 1)(7a − 4a + 1)
2 2

112. ( )
9. 27 x 3 − x − y
3
14. ( x − y ) − ( x + y )
3 3
= [3x − ( x − y )][9 x + 3x ( x − y ) + ( x − y ) ] = [(x − y ) − (x + y )][( x − y ) + ( x − y )( x + y ) + ( x + y ) ]
2 2 2 2
= (3x − x + y )(9 x + 3x − 3xy + x − 2 xy + y ) 2
= ( x − y − x − y )( x − 2 xy + y + x − y + x + 2 xy + y )
2 2 2 2 2 2 2 2 2
= (2 x + y )(13x − 5xy + y ) 2
= − 2 y (3x + y )
2 2 2
10. (2a − b) − 27 15. (m − 2) + (m − 3)
3 3 3
= (2a − b − 3)[(2a − b) + 3 (2a − b) + 9] = [(m − 2) + (m − 3)][(m − 2) − (m − 2)(m − 3) + (m − 3) ]
2 2 2
= (2a − b − 3)(4a − 4ab + b + 6a − 3b + 9) 2
= (m − 2 + m − 3)(m − 4m + 4 − m + 5m − 6 + m − 6m + 9)
2 2 2 2
11. x − ( x + 2) = (2m − 5)(m − 5m + 7)
6 3
2
= [ x − ( x + 2)][ x + x ( x + 2) + ( x + 2) ] 16. (2 x − y ) + (3x + y )
2 3 3
2 4 2
= ( x − x − 2)( x + x + 2 x + x + 4 x + 4) = [(2 x − y ) + (3x + y )][(2 x − y ) − (2 x − y )(3x + y ) + (3x + y ) ]
2 2
2 4 3 2 2
= ( x − x − 2) ( x + x + 3x + 4 x + 4)
2 4 = (2 x − y + 3x + y )(4 x − 4 xy + y − 6 x + xy + y + 9 x + 6 xy + y )
3 2 2 2 2 2 2 2
12. (a + 1) + (a − 3)
3 3
= (5x ) (7 x + 3xy + 3 y ) 2 2
17. 8 (a + b) + (a − b)
= (a + 1 + a − 3)[(a + 1) − (a − 3)(a + 1) + (a − 3) ]
3 3
2 2
= [2 (a + b) + (a − b)][4 (a + b) − 2 (a + b)(a − b) + (a − b) ]
2 2
= (2a − 2)(a + 2a + 1 − a + 2a + 3 + a − 6a + 9)
2 2 2
= (2a + 2b + a − b)(4a + 8ab + 4b − 2a + 2b + a − 2ab + b )
= (2a − 2)(a − 2a + 13)
2 2 2 2 2 2
2
= (3a + b)(3a + 6ab + 7b )
13. ( x − 1) − ( x + 2)
2 2
3 3
18. 64 (m + n) − 125
= [ x − 1 − ( x + 2)][( x − 1) + (x − 1)( x + 2) + (x + 2) ]
3
2 2
= [4 (m + n) − 5][16 (m + n) + 4 (m + n) (5) + 25]
2
= ( x − 1− x − 2)( x − 2 x + 1 + x + x − 2 + x + 4 x + 4)
2 2 2
= − 3 (3x + 3x + 3) = − 9 (x + x + 1)
2 = (4m + 4n − 5)(16m + 32mn + 16n + 20m + 20n + 25)
2
2 2
EJERCICIO 105
243 − 32b5 = (3 − 2b)(81 + 54b + 36b 2 + 24b 3 + 16b 4 )
(a + 1)(a − a + a − a + 1)
10.
1. a 5 + 1 = 4 3 2
a 5 + b5c5 = (a + bc)(a 4 − a 3bc + a 2b2 c 2 − ab3c 3 + b4 c4 )
2. a − 1 = (a − 1)(a + a + a + a + 1)
11.
5 4 3 2
12. m − a x
7 7 7
3. 1 − x = (1 − x)(1 + x + x + x + x )
5 2 3 4
= (m − ax)(m6 + m5ax + m4 a 2 x 2 + m3a 3 x 3 + m2 a 4 x 4 + ma 5 x 5 + a 6 x 6 )
4.a + b
7 7
= (a + b)(a 6 − a 5b + a 4b 2 − a 3b 3 + a 2b 4 − ab5 + b 6 )
13. 1 + x 7 = (1+ x)(1− x + x 2
− x 3 + x 4 − x5 + x 6 )
14. x 7 − y 7
5. m7 − n 7
= ( x − y)( x 6 + x 5 y + x 4 y 2 + x 3 y 3 + x 2 y 4 + xy5 + y 6 )
= (m − n)(m6 + m5n + m4 n2 + m3n3 + m2n 4 + mn5 + n 6 )
15. a 7 + 2 .187
(a + 3)(a − 3a + 9a − 27a + 81)
6. a 5 + 243 = 4 3 2
= (a + 3)(a 6 − 3a 5 + 9a 4 − 27a 3 + 81a 2 − 243a + 729)
7. 32 − m = (2 − m)(16 + 8m + 4m + 2m + m )
(1− 2a)(1+ 2a + 4a + 8a + 16a + 32a + 64a )
5 2 3 4
16. 1 − 128a 7 = 2 3 4 5 6
8. 1 + 243x = (1 + 3x )(1 − 3x + 9 x − 27 x + 81x )
5 2 3 4
17. x10 + 32 y = (x + 2 y )(x − 2 x y + 4 x y − 8 x y + 16 y )
5 2 8 6 4 2 2 3 4
9. x 7 + 128 18. 1 + 128 x 4
= (x + 2)( x 6 − 2 x 5 + 4 x 4 − 8 x 3 + 16 x 2 − 32 x + 64) = (1 + 2 x 2 )(1 − 2 x 2 + 4 x 4 − 8 x 6 + 16x 8 − 32 x10 + 64 x12 )

113. EJERCICIO 106
(a + 1)(a − a + 1)
18. a 6 + 1 = 2 4 2
1. 5a + a = a 5a + 1
2
( ) 19. 8m − 27 y = (2m − 3 y )(4m + 6my
3 6 2 2 2
+ 9 y4 )
( )
2. m + 2mx + x = m + x
2 2 2
3. a + a − ab − b = (a + a ) − (ab − b)
2 2
20. 16a 2 − 24ab + 9b 2 = 4a − 3b ( ) 2
= a (a + 1) − b(a + 1) 21. 1 + a 7 = (1+ a)(1− a + a 2
− a3 + a4 − a5 + a6 )
= (a + 1)(a − b) 22. 8a 3 − 12a 2 + 6a − 1 = 2a − 1 ( )3
4. x − 36 = x − 6 = ( x + 6)(x − 6)
2 2 2
23. 1 − m2 = (1 + m)(1− m)
5. 9 x − 6 xy + y = (3x − y ) x 4 + 4 x 2 − 21 = ( x 2 + 7)( x 2 − 3)
2 2 2
24.
6. x − 3x − 4 = ( x − 1)( x + 4)
(5a + 1)(25a − 5a 2 + 1)
2
25. 125a 6 + 1 = 2 4
7. 6 x 2 − x − 2
26. a + 2ab + b − m
2 2 2
= 36 x 2 − 6 x − 12
(6x − 4)(6x + 3) = (a + b) − m2 = (a + b + m)(a + b − m)
2
=
3⋅ 2 27. 8a 2b + 16a 3b − 24a 2b 2 = 8a 2b 1 + 2a − 3b ( )
= (3x − 2)(2 x + 1) 28. x 5 − x 4 + x − 1
(1+ x)(1− x + x )
8. 1 + x 3 = = (x − x ) + (x − 1) = x (x − 1) + (x − 1) = ( x + 1)( x − 1)
2 5 4 4 4
9. 27a − 1 = (3a − 1)(9a + 3a + 1)
3 2
29. 6 x + 19 x − 20
2
10. x + m = ( x + m)( x − x m + x m − xm + m ) = 36x + 19 ( 6 x ) − 120 2
5 5 4 3 2 2 3 4
11. a − 3a b + 5ab = a (a − 3ab + 5b )
120 2
3 2 2 2 2
60 2 2 ⋅ 3 = 24 3
12. 2 xy − 6 y + xz − 3z 30 2 5⋅1 = 5
= 2 y ( x − 3) + z ( x − 3) = ( x − 3)(2 y + z) 15 3 ⇒ 24 − 5 = 19
13. 1 − 4b + 4b 2 = 1 − 2b ( ) 2
=
(6x + 24)(6x − 5)
5 5
14. 4 x + 3x y + y
4 2 2 4 6
+x y 2 2
−x y 2 2 1 = (x + 4)(6 x − 5)
4x + 4x y + y − x2 y2 25x 4 − 81y 2 = (5x 2 + 9 y)(5x 2 − 9 y)
4 2 2 4
30.
= (2 x 2 + y 2 ) − x 2 y 2 (1− m)(1+ m + m )
2
31. 1 − m3 = 2
= (2 x + xy + y
2 2
)(2 x 2
− xy + y 2
) 32. x − a + 2 xy + y + 2ab − b
2 2 2 2
15. x − 6 x y + y = ( x 2 + 2 xy + y 2 ) − (a 2 − 2ab + b2 )
8 4 4 8
+ 2x y 4 4
− 4x y 4 4
= ( x + y ) − (a − b)
2 2
x − 2x y + y − 4x y
= ( x + y + a − b)( x + y − a + b)
8 4 4 8 4 4
= (x 4 − y 4 ) − 4 x 4 y 4
2
33. 21m5n − 7m4 n 2 + 7m3n3 − 7m2 n = 7m2 n (3m3 − m2 n + mn 2 − 1)
= ( x 4 + 2 x 2 y 2 − y 4 )( x 4 − 2 x 2 y 2 − y 4 )
( ) ( ) ( ) ( )(
34. a x + 1 − b x + 1 + c x + 1 = a − b + c x + 1 )
16. a 2 − a − 30 = a − 6 a + 5 ( )( )
35. 4 + 4 ( x − y ) + (x − y) = (2 + x − y)
2 2
17. 15m + 11m − 14
2
= 225m2 + 11(15m) − 210 36. 1 − a 2b 4 = (1+ ab )(1− ab )
2 2
=
(15m + 21)(15m − 10) 37. b 2 + 12ab + 36a 2 = b + 6a ( )2
3⋅ 5
x 6 + 4 x 3 − 77 = (x 3 + 11)( x 3 − 7)
= (5m + 7)(3m − 2)
38.

114. 39. 15x − 17 x − 4 (1+ 6x )(1− 6x + 36x )
4 2
52. 1 + 216 x 9 = 3 3 6
= (15x 2 2
) − 17 (15x ) − 60
53 x − 64 = (x − 4)( x + 4 x + 16)
2
3 2
=
(15x 2
− 20)(15x + 3) 2
54. x 3 − 64 x 4 = x 3 1 − 64 x ( )
5⋅ 3
= (3x 2 − 4)(5x 2 + 1)
55. 18ax y − 36 x y − 54 x 2 y 8 = 18 x 2 y 3 (ax 3 − 2 x 2 − 3 y 5 )
5 3 4 3
40. 1 + a − 3b( ) 3 56. 49a 2b 2 − 14ab + 1 = 7ab − 1 ( )
) (
( )( ) ( )( )
[ ]
2
57. x + 1 − 81 = x + 1 + 9 x + 1 − 9 = x + 10 x − 8
= (1 + a − 3b) 1 − (a − 3b) + (a − 3b)
2
58. a − (b + c) = (a + b + c)(a − b − c)
2 2
= (1 + a − 3b)(1 − a + 3b + a 2 − 6ab + 9b ) 2
59. (m + n) − 6 (m + n) + 9 = (m + n − 3)
2 2
41. x + x + 25
4 2
61. 9a + 63a − 45a
3 2
60. 7 x + 31x − 20
2
+ 9x2 − 9 x2
= ( 7 x) + 31( 7 x) − 140
2 = 9a (a 2 + 7 − 5a )
x 4 + 10 x 2 + 25 − 9 x 2
140 2 62. ax + a − x − 1
= (x 2 + 5) − 9 x 2 = (ax + a ) − (x + 1)
2
70 2 7 ⋅ 5 = 35
= (x + 3x + 5)(x − 3x + 5)
2 2
35 5 2 =4 2
= a (x + 1) − ( x + 1)
42. a − 28a + 36
8 4 7 7 ⇒ 35 − 4 = 31 = (a − 1)( x + 1)
+ 16a 4 − 16a 4 1 =
(7 x + 35)(7 x − 4) 63. 81x 4 + 25 y 2 − 90 x 2 y
7
a 8 − 12a 4 + 36 − 16a 4 ⇒ 81x 4 − 90 x 2 y + 25 y 2
= ( x + 5)(7 x − 4)
= (a 4 − 6) − 16a 4 = (9 x 2 − 5 y )
2 2
64. 1 − 27b + b
2 4
= (a 4 + 4a 2 − 6)(a 4 − 4a 2 − 6) 65. m + m n + n
4 2 2 4
+ 25b 2 − 25b 2
43. 343 + 8a 3 = (7 + 2a )(49 − 14a + 4a 2 ) 1 − 2b 2 + b 4 − 25b 2
+ m2 n 2 − m2 n 2
44. 12a 2bx − 15a 2 by = 3a 2b 4 x − 5 y ( ) = (1 − b 2 ) − 25b 2
2 m 4 + 2 m2 n 2 + n 4 − m2 n 2
= ( x + 5y)( x − 3y ) = (m2 + n 2 ) − m2 n 2
2
45. x 2 + 2 xy − 15 y 2
= (1 + 5b − b 2 )(1 − 5b − b 2 )
46. 6am − 4an − 2n + 3m = (m2 + mn + n 2 )(m2 − mn + n 2 )
= (6am + 3m) − (4an + 2n)
= 3m (2a + 1) − 2n (2a + 1)
66. c 4 − 4d 4 = (c2 + 2d 2 )(c 2 − 2d 2 )
= (3m − 2n)(2a + 1) 67. 15x 4 − 15x 3 + 20 x 2 = 5x 2 (3x 2
− 3x + 4 )
− 4b c = (9a + 2bc )(9a − 2bc ) 68. a − x −a− x
6 2 8 3 4 3 4 2 2
47. 81a
(
48. 16 − 2a + b = 4 + 2a + b 4 − 2a − b) (
2
)( ) = (a 2 − x 2 ) − (a + x) = (a + x)(a − x) − (a + x) = (a + x)(a − x − 1)
49. 20 − x − x
2
70. 6m + 7m − 20
4 2
= − ( x 2 + x − 20) 69. x − 8 x − 240
4 2
= (6m )
2 2
+ 7 (6m2 ) − 120
= − ( x + 5)( x − 4) 240 4
120 4
= ( x + 5)(4 − x ) 60 4 4 ⋅ 5 = 20
4 ⋅ 3 = 12 30 3 4⋅2 = 8
50. n 2 + n − 42 = n + 7 n − 6 ( )( ) 15
5
3
5 ⇒ 20 − 12 = 8 10 5 5⋅ 3 = 15
51. a − d + n − c − 2an − 2cd
2 2 2 2
⇒ 15 − 8 = 7
= ( x − 20)( x + 12)
2 2 2 2
1
= (a 2 − 2an + n 2 ) − (c 2 + 2cd + d 2
) (6m 2
+ 15)(6m2 − 8)
=
= (a − n) − (c + d )
1
3⋅ 2
2 2
= (a − n + c + d )(a − n − c − d ) = (2m2 + 5)(3m2 − 4)

115. 71. 9n 2 + 4a 2 − 12an ⇒ 9n 2 − 12an + 4a 2 84. a 10 − a 8 + a 6 + a 4 = a 4 (a 6 − a 4 + a 2 + 1)
= (3n − 2a )
2
( ) ( ) (
85. 2 x a − 1 − a + 1 = 2 x a − 1 − a − 1 = a − 1 2 x − 1 ) ( )( )
72. 2 x + 2 = 2 (x + 1)
2 2
( )( ) ( ) ( )( ) ) (
86. m + n m − n + 3n m − n = m − n m + n + 3n = m − n m + 4n )(
( ) () )( (
73. 7a x + y − 1 − 3b x + y − 1 = 7a − 3b x + y − 1 ) 87. a 2 − b3 + 2b3 x 2 − 2a 2 x 2
74. x + 3x − 18 = ( x + 6)( x − 3)
2
= − (b 3 − 2b3 x 2 ) + (a 2 − 2a 2 x 2 )
75. (a + m) − (b + n) = (a + m + b + n )(a + m − b − n )
= − b3 (1 − 2 x 2 ) + a 2 (1 − 2 x 2 ) = (1 − 2 x 2 )(a 2 − b 3 )
2 2
76 x + 6 x y + 12 xy + 8 y = ( x + 2 y)
3 2 2 3 3 2
88. 2am − 3b − c − cm − 3bm + 2a
2 1  1
89. x − x + =  x − 
2
8a − 22a − 21
= (2am − cm − 3bm) − (3b + c − 2a ) 9  3
2
77. 3
= (8a ) − 22 (8a ) − 168
2
168 4
= m (2a − c − 3b) − (3b + c − 2a ) 90. 4a 2 n − b 4 n
42 2 3⋅ 2 = 6 = m (2a − 3b − c) + (2a − 3b − c) = (2a n + b2 n )(2a n − b2 n )
21 3 4 ⋅ 7 = 28 = (2a − 3b − c)(m + 1)
7 7 ⇒ 28 − 6 = 22
91. 81x − (a + x ) = (9 x + a + x)(9 x − a − x) = (10 x + a)(8 x − a )
2
(8a − 28)(8a + 6)
2
1 =
4⋅ 2 92. a + 9 − 6a − 16 x
2 2
= (2a − 7)(4a + 3)
= (a 2 − 6a + 9) − 16 x 2 = (a − 3) − 16 x 2 = (a − 3 + 4 x )(a − 4 x − 3)
2
78. 1 + 18ab + 81a 2b 2 = 1 + 9ab ( )
2
93. 9a − x − 4 + 4 x
2 2
79. 4a − 1 = (2a + 1)(2a − 1)
6 3 3
= 9a 2 − ( x 2 − 4 x + 4) = 9a 2 − ( x − 2) = (3a + x − 2)(3a − x + 2)
2
80. x − 4 x − 480
6 3
94. 9 x 2 − y 2 + 3x − y
480 4
120 3 5⋅ 4 = 20 = (9 x 2 − y 2 ) + (3x − y ) = (3x + y )(3x − y ) + (3x − y ) = (3x − y )(3x + y + 1)
4 ⋅ 3⋅ 2 = 24
40
10
4
5 ⇒ 24 − 20 = 4
(
95. x 2 − x − 72 = x − 9 x + 8 )( )
100. 49 x 2 − 77 x + 30
= (x − 24)( x + 20) 96. 36a − 120a b + 49b
4 2 2 4
3 3
2 2
= ( 49 x ) − 77 ( 49 x ) + 1. 470
2
1 + 36a 2b2 − 36a 2b 2 1. 470 7
81. ax − bx + b − a − by + ay
36a 4 − 84a 2b 2 + 49b 4 − 36a 2b2
= (ax + ay − a ) − (bx + by − b)
210 7
= (6a 2 − 7b 2 ) − 36a 2b 2
2 30 5
= a (x + y − 1 ) − b (x + y − 1 ) 6 6 7 ⋅ 5 = 35
= (a − b)( x + y − 1) = (6a 2 + 6ab − 7b 2 )(6a 2 − 6ab − 7b2 ) 1 7 ⋅ 6 = 42
82 6am − 3m − 2a + 1 97. a − m − 9n − 6mn + 4ab + 4b
2 2 2 2 ⇒ 42 + 35 = 77
= (6am − 3m) − (2a − 1 ) (49 x − 35)(49 x − 42)
= (a 2 + 4ab + 4b 2 ) − (m2 + 6mn + 9n 2 ) =
= 3m (2a − 1) − (2a − 1 ) = (3m − 1 )(2a − 1 ) 7⋅7
= (a + 2b) − (m + 3n)
2 2
83. 15 + 14 x − 8 x = (7 x − 5)(7 x − 6)
2
= − (8 x 2 − 14 x − 15) = (a + 2b + m + 3n)(a + 2b − m − 3n)
[
= − (8 x ) − 14 (8 x ) − 120
2
] 98. 1 −
4 8  2 4  2 4
a =  1+ a   1− a  101. x − 2abx − 35a b
2 2 2
120 4 9  3  3  + 36a 2b 2 − 36a 2b 2
30 3 4 ⋅ 5 = 20
x − 2abx + a 2b2 − 36a 2b 2
2
10 5 3⋅ 2 = 6 99. 81a
8
+ 64b12
= ( x − ab) − 36a 2b 2
2
2 2 ⇒ 20 − 6 = 14 + 144a 4b 6 − 144a 4b 6
(8x − 20)(8x + 6) = ( x − ab + 6ab)( x − ab − 6ab)
1 =− 81a 8 + 144a 4b 6 + 64b12 − 144a 4b 6
4⋅2 = ( x + 5ab)( x − 7ab)
= − (2 x − 5)(4 x + 3) = (9a 4 + 8b 6 ) − 144a 4b 6
2
= (5 − 2 x )(4 x + 3) = (9a 4 − 12a 2b 3 + 8b 6 )(9a 4 + 12a 2b 3 + 8b 6 )

116. ( ) 116. 49a − x − 9 y + 6 xy
3 2 2 2
102. 125x 3 − 225x 2 + 135x − 27 = 5x − 3
103. (a − 2) − (a + 3)
2 2 =− [ (x 2
− 6xy + 9 y 2 ) − 49a 2 ]
= (a − 2 + a + 3)(a − 2 − a − 3) = (2a + 1)(− 5) [
= − ( x − 3 y) − 49a 2
2
]
104. 4a m + 12a n − 5bm − 15bn
2 2 = − (7a + x − 3 y )(− 7a + x − 3 y )
= (4a 2 m + 12a 2n) − (5bm + 15bn) = (7a + x − 3 y )(7a − x + 3 y)
= 4a 2 (m + 3n) − 5b (m + 3n) = (m + 3n)(4a 2 − 5b) 117. x 4 − y 2 + 4 x 2 + 4 − 4 yz − 4 z 2
= ( x 4 + 4 x 2 + 4) − ( y 2 + 4 yz + 4 z 2 )
(1+ 3x )
105. 1 + 6 x 3 + 9 x 6 = 3 2
= ( x 2 + 2) − ( y + 2 z )
2 2
106. a + 3a b − 40b = (a + 8b)(a − 5b)
4 2 2 2 2
= ( x 2 + 2 + y + 2 z)( x 2 + 2 − y − 2 z)
107. m + 8a x = (m + 2ax )(m − 2axm + 4a x )
3 3 3 2 2 2
118. a 3 − 64 = (a − 4)(a 2 + 4a + 16)
108. 1 − 9 x + 24 xy − 16 y
a 5 + x 5 = (a + x )(a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 + x 4 )
2 2
[ ]
119.
= − (9 x 2 − 24 xy + 16 y 2 ) − 1
a 6 − 3a 3b − 54b 2 = (a 3 − 9b)(a 3 + 6b)
[
= − (3x − 4 y) − 1 ]
2 120.
121. 165 + 4 x − x 2
[
= − (3x − 4 y + 1)(3x − 4 y − 1) ] = − ( x 2 − 4 x − 165)
= (3x − 4 y + 1)(1 + 4 y − 3x ) 165 5
33 3 5⋅ 3 = 15
109. 1 + 11x + 24 x
2
11 11 11⋅ 1 = 11
= ( 24 x ) + 11( 24 x ) + 24
2
1 ⇒ 15 − 11 = 4
=
(24 x + 8)(24 x + 3) = − ( x − 15)( x + 11)
8⋅ 3
= (15 − x ) ( x + 11)
= (3x + 1)(8 x + 1)
122. a + a + 1
4 2
110. 9 x 2 y 3 − 27 x 3 y 3 − 9 x 5 y 3 = 9 x 2 y 3 (1 − 3x − x 3 ) + a2 − a2
(
111. a + b − c
2 2
) − 9x y
2 2 2 2 a 4 + 2a 2 + 1 − a 2
= (a 2 + b 2 − c + 3xy)(a + b2 − c2 − 3xy) = (a 2 + 1) − a 2
2
2 2
= (a 2 + a + 1)(a 2 − a + 1)
(
112. 8 a + 1 − 1 ) 3
][ ]
x2 y6  x y3   x y3 
[
= 2 (a + 1) − 1 4 (a + 1) + 2 (a + 1) + 1
2
123. − = +  − 
4 81  2 9   2 9 
= (2a + 2 − 1)(4a + 8a + 4 + 2a + 2 + 1) 2
8 xy y 2  y
2
124. 16 x + + =  4x + 
2
= (2a + 1)(4a 2 + 10a + 7) 5 25  5
125. a b + 4a b − 96
4 4 2 2
113. 100 x y − 121m
4 6 4
+ 100 − 100
= (10 x 2 y 3 + 11m2 )(10 x 2 y 3 − 11m2 )
a b + 4a b + 4 − 100
4 4 2 2
(
114. a + 1
2
) + 5(a + 1 ) − 242 2
= (a 2b 2 + 2) − 100
2
= (a + 1 + 8)(a + 1 − 3) = (a
2 2 2
+ 9)(a − 2) 2
= (a 2b 2 + 2 + 10)(a 2b 2 + 2 − 10)
115. 1 + 1. 000 x 6 = (1+ 10x )(1− 10x 2 2
+ 100 x 4 ) = (a 2b 2 + 12)(a 2b 2 − 8)

117. 126. 8a x + 7 y + 21by − 7ay − 8a x + 24a bx
2 3 2
= (7 y + 21by − 7ay) + (8a 2 x − 8a 3 x + 24a 2bx) 130. 729 − 125x 3 y12 = (9 − 5xy 4 )(81 + 45xy 4 + 25x 2 y 8 )
= 7 y (1 + 3b − a ) + 8a 2 x (1 − a + 3b) ( ) ( ) ( ) ( )( )
2 2
131. x + y + x + y = x + y + x + y = x + y x + y + 1
= (1 + 3b − a )(7 y + 8a x ) 2
132. 4 − a + b + 2ab
2 2
( )
127. x + 11x − 390
4 2
4 − a 2 − b 2 + 2ab
390 3
130 2 13⋅ 2 = 26 + b2 − b2
65 5 5⋅ 3 = 15 4 − a2 + 2ab − b 2
13 13 ⇒ 26 − 15 = 11 = 4 − (a 2 − 2ab + b 2 )
= ( x + 26)( x − 15)
= 4 − (a − b)
2 2
1 2
128. 7 + 33m − 10m
= (2 + a − b)(2 − a + b)
2
= − (10m2 − 33m − 7)
2
[
= − (10m) − 33 (10m) − 70 ] 133. x − y + x − y
3 3
(10m − 35)(10m + 2) = (x 3 − y 3 ) + (x − y )
=−
5⋅ 2
= (x − y )( x 2 + xy + y 2 ) + ( x − y ) = ( x − y )( x 2 + xy + y 2 + 1)
= − (2m − 7)(5m + 1)
= (7 − 2m)(5m + 1) 134. a − b + a − b
2 2 3 3
129. 4 (a + b) − 9 (c + d )
2 2 = (a 2 − b 2 ) + (a 3 − b 3 )
[ ][
= 2(a + b) + 3 (c + d ) 2(a + b) − 3 (c + d ) ] = (a + b)(a − b) + (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
= (2a + 2b + 3c + 3d )(2a + 2b − 3c − 3d ) = (a − b)(a + b + a 2 + ab + b 2 )
EJERCICIO 107
7. 3ax + 3ay
3 3
1. 3ax 2 − 3a 12. x 3 − x + x 2 y − y
= 3a ( x 2 − 1) = 3a ( x + 1)( x − 1) = 3a ( x + y 3 3
) = (x 3 − x) + (x 2 y − y)
2. 3x 2 − 3x − 6 = 3a ( x + y )( x − xy + y 2 2
) = x (x 2 − 1) + y (x 2 − 1)
= 3( x 2 − x − 2) = 3 ( x − 2)( x + 1) 8. 4ab − 4abn + an
= (x 2 − 1)( x + y ) = (x + 1)(x − 1)( x + y )
2 2
= a (4b − 4bn + n ) = a (2b − n)
2 2 2
3. 2a x − 4abx + 2b x
2 2
13. 2 a 3 + 6a 2 − 8a
= 2 x (a 2 − 2ab + b 2 ) 9. x − 3x − 4
= 2a (a 2 + 3a − 4) = 2a (a + 4)(a − 1)
4 2
= 2 x (a − b) = 2 x (a − b)(a − b)
2
= ( x − 4)( x + 1)
2 2
14. 16 x − 48 x y + 36 xy
3 2 2
= ( x + 2)( x − 2)( x + 1)
= 4 x (4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 ) = 4 x (2 x − 3 y)
2
4. 2a 3 − 2 2
= 2 (a 3 − 1) = 2 (a − 1)(a 2 + a + 1) 10. a − a − a + 1
3 2
15. 3x 3 − x 2 y − 3xy 2 + y 3
5. a − 3a − 28a
3 2 = (a 3 − a 2 ) − (a − 1) = (3x 3 − x 2 y ) − (3xy 2 − y 3 )
= a (a 2 − 3a − 28) = a (a − 7)(a + 4) = a (a − 1) − (a − 1)
= x 2 (3x − y ) − y 2 (3x − y )
2
= (a − 1)(a − 1)
= (3x − y )(x 2 − y 2 ) = (3x − y )( x + y )(x − y )
2
6. x − 4 x + x − 4
3 2
= (x 3 + x 2 ) − (4 x + 4) = (a − 1)(a + 1)(a − 1)
16. 5a 4 + 5a
= x ( x + 1) − 4 ( x + 1) 11. 2ax − 4ax + 2a
= 5a (a 3 + 1) = 5a (a + 1)(a 2 − a + 1)
2 2
= (x − 4)(x + 1) = (x + 2)(x − 2)( x + 1) = 2a ( x 2 − 2 x + 1) = 2a ( x − 1)
2
2

118. 17. 6ax − ax − 2a 27. 4 x 2 + 32 x − 36
2
35. x − 3x 2 − 18 x 3
= a (6 x − x − 2)
2 = 16 x 2 + 32 ( 4 x ) − 144
= x (1 − 3x − 18 x 2 )
= a (36 x − 6 x − 12)
144 2
= − x (18 x 2 + 3x − 1)
2
22 = 4
a (6 x − 4)(6 x + 3)
72 2
= 36 4 4 ⋅ 3⋅ 3 = 36 [
= − x (18x ) + 3 (18x) − 18
2
]
2⋅3
9 3 ⇒ 36 − 4 = 32 − x (18 x + 6)(18 x − 3)
= a (3x − 2)(2 x + 1) =
3 3 =
(4 x + 36)(4 x − 4) 6⋅ 3
18. n 4 − 81 4
= − x (3x + 1)(6x − 1)
= (n − 9)(n + 9) = (n + 3)(n − 3)(n + 9) = ( x + 9)(4 x − 4)
= x (3x + 1)(1 − 6x )
2 2 2 1
19. 8ax 2 − 2a = 4 ( x + 9)( x − 1)
36. 6ax − 2bx + 6ab − 2b
= 2a (4 x 2 − 1) = 2a (2 x − 1)(2 x + 1)
2
20. ax 3 + 10ax 2 + 25ax
(
28. a 4 − a + 2 )
2
= (6ax − 2bx ) + (6ab − 2b 2 )
= (a + a + 2)(a − a − 2) = 2 x (3a − b) + 2b (3a − b)
= ax ( x 2 + 10 x + 25) = ax ( x + 5)( x + 5)
2 2
= (a + a + 2)(a − 2)(a + 1)
2 = (3a − b)(2 x + 2b)
21. x − 6 x − 7 x
3 2
= 2 ( x + b )(3a − b)
= x ( x 2 − 6 x − 7) 29. x − 25x − 54
6 3
37. am − 7am + 12am
= x ( x 2 − 6 x − 7 + 16 − 16) = ( x 3 − 27)(x 3 + 2)
3 2
= am (m2 − 7m + 12)
= x ( x 2 − 6 x + 9 − 16) = ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)( x 3 + 2)
= am (m − 4)(m − 3)
[
= x ( x − 3) − 4 2
2
] 30. a + a
6
38. 4a x − 4a
2 3 2
= x ( x − 3 + 4)( x − 3 − 4) = a (a 5 + 1)
= 4a 2 ( x 3 − 1)
= x ( x + 1)( x − 7) = a (a + 1)(a 4 − a 3 + a 2 − a + 1)
= 4a 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1)
22. m + 3m − 16m − 48
3 2
31. a b + 2a bx + abx − aby
3 2 2 2
= (m3 + 3m2 ) − (16m + 48) 39. 28 x y − 7 xy
3 3
= ab (a + 2ax + x − y
2 2 2
) = 7 xy (4 x 2 − y 2 )
= m2 (m + 3) − 16 (m + 3)
= (m + 3)(m2 − 16) [
= ab (a + x ) − y 2
2
] = 7 xy (2 x − y )(2 x + y )
= (m + 3)(m − 4)(m + 4) = ab (a + x + y )(a + x − y ) 40. 3abx − 3abx − 18ab
2
23. x − 6 x y + 12 xy − 8 y
3 2 2 3 = 3ab ( x 2 − x − 6)
32. 3abm − 3ab
2
= (x − 2 y ) = (x − 2 y )(x − 2 y )( x − 2 y )
3
= 3ab (m2 − 1) = 3ab ( x − 3)( x + 2)
( )(
24. a + b a − b − a − b
2 2
) ( 2 2
) = 3ab (m + 1)(m − 1) 41. x 4 − 8 x 2 − 128
= (a 2 − b 2 )(a + b − 1) 128 4
33. 81x y + 3xy
4 4
4 ⋅ 4 = 16
= (a + b)(a − b)(a + b − 1)
32 4
= 3xy (27 x 3 + y 3 ) 8 4 4⋅ 2 = 8
25. 32a 5 x − 48a 3bx + 18ab2 x
= 3xy (3x + y )(9 x 2 − 3xy + y 2 ) 2 2 ⇒ 16 − 8 = 8
= 2ax (16a 4 − 24a 2b + 9b 2 ) 1 = ( x 2 − 16)( x 2 + 8)
34. a 4 − a 3 + a − 1
= 2ax (4a 2 − 3b) = ( x + 4)( x − 4)( x 2 + 8)
2
= (a 4 − a 3 ) + (a − 1)
= 2ax (4a 2 − 3b)(4a 2 − 3b) 42. 18 x y + 60 xy + 50 y
2 2 3
= a 3 (a − 1) + (a − 1)
26. x − x + x − x = 2 y (9 x 2 + 30 xy + 25 y 2 )
4 3 2
= (a − 1)(a 3 + 1)
= x ( x − x + x − 1)
3 2
= 2 y (3x + 5 y )(3x + 5 y )
= (a − 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)
[
= x x ( x − 1) + (x − 1) = x ( x − 1)(x + 1)
2
] [ 2
]

119. ( )(
43. x − 2 xy a + 1 + y a + 1
2 2
( ) ) ( ) ( ) 3
51. 9 x − y − x − y 57. 7 x + 32a x − 15a x
6 2 4 4 2
= (a + 1)( x − 2 xy + y ) = (x − y )[9 ( x − y ) − 1] = x (7 x + 32a x − 15a )
2 2 4 2 2 4
2 2
= (a + 1)( x − y)( x − y ) = (x − y )[3 ( x − y ) + 1] [3 (x − y ) − 1] = x [ (7 x ) + 32a (7 x ) − 105a 2 2 2 2 2 4
]
= (x − y )(3x − 3 y + 1)(3x − 3 y − 1) 105 5
44. x + 2 x y − 3xy
3 2 2
5⋅ 7 = 35
= x ( x 2 + 2 xy − 3y 2 )
21 3
52. 6a x − 9a − ax 3⋅ 1 = 3
2 3 2
7 7
= x ( x + 3 y)( x − y )
= a (6ax − 9a − x 2 2
) 1 ⇒ 35 − 3 = 32
45. a x − 4b x + 2a y − 8b y
2 2 2 2
= − a (x − 6ax + 9a
2
) 2 x 2 (7 x 2 + 35a 2 )(7 x 2 − 3a 2 )
=
= (a 2 x − 4b2 x) + (2a 2 y − 8b2 y) = − a (x − 3a )( x − 3a )
7
= x 2 ( x 2 + 5a 2 )(7 x 2 − 3a 2 )
= x (a 2 − 4b2 ) + 2 y (a 2 − 4b 2 ) = a (3a − x )( x − 3a )
= (a 2 − 4b2 )( x + 2 y)
2m + 2
58. x − x 2 y 2n
53. 64a − 125a
4
= (a − 2b)(a + 2b)(x + 2 y ) = ( x m +1 + xy n )( x m +1 − xy n )
= a (64 − 125a 3
) = x (x m + y n ) x (x m − y n )
46. 45a x − 20a = a (4 − 5a )(16 + 20a + 25a )
2 4 2
2
= x 2 ( x m + y n )( x m − y n )
= 5a 2 (9 x 4 − 4)
= 5a 2 (3x 2 + 2)(3x 2 − 2) 59. 2 x + 5x − 54 x − 135
4 3
54. 70 x + 26 x − 24 x
4 3 2
= 2 x 2 (35x 2 + 13x − 12) = (2 x 4 − 54 x ) + ( 5x 3 − 135)
(
47. a 4 − a − 12 )
2
[
= 2 x 2 ( 35x ) + 13 ( 35x ) − 420 ] = 2 x ( x 3 − 27) + 5 ( x 3 − 27)
= (a 2 + a − 12)(a 2 − a + 12)
2
= ( x 3 − 27)(2 x + 5)
= (a + 4)(a − 3)(a 2 − a + 12)
420 2
= ( x − 3)( x 2 + 3x + 9)(2 x + 5)
210 2
48. bx − b − x + 1 105 5
2 2
60. ax 3 + ax 2 y + axy 2 − 2ax 2 − 2axy − 2ay 2
= (bx 2 − x 2 ) − (b − 1)
21 3
7 7 = a (x 3 + x 2 y + xy 2 − 2 x 2 − 2 xy − 2 y 2 )
= x 2 (b − 1) − (b − 1)
[
= a ( x 3 + x 2 y + xy2 ) − (2 x 2 + 2 xy + 2 y 2 ) ]
1
= (b − 1)(x 2 − 1) 2 2 ⋅ 7 = 28
= (b − 1)(x + 1)( x − 1) 3⋅ 5 = 15 = a [x (x 2
+ xy + y ) − 2 ( x + xy + y
2 2 2
)]
⇒ 28 − 15 = 13 = a (x − 2)( x + xy + y 2 2
)
49. 2 x + 6 x − 56 x
4 3 2
(35x + 28)(35x − 15)
= 2 x 2 ( x 2 + 3x − 28) = ( ) 4
7 ⋅5 61. x + y − 1
= 2 x 2 ( x + 7)( x − 4) = 2 x 2 (5x + 4)(7 x − 3) [
= (x + y ) + 1 (x + y ) − 1
2
][ 2
]
50. 30a − 55a − 50 = ( x + 2 xy + y + 1)(x + y + 1)(x + y − 1)
2 2 2
= ( 30a ) − 55 ( 30a ) − 1. 500 55. a 7 + 6a 6 − 55a 3
2
62. 3a 5 + 3a 3 + 3a
= a 3 (a 4 + 6a 3 − 55)
1. 500 2
5⋅ 2 = 20 = 3a (a 4 + a 2 + 1)
2
750 2
52 ⋅ 3 = 75 = a 3 (a 2 + 11)(a 2 − 5)
= 3a (a 4 + a 2 + 1 + a 2 − a 2 )
375 5
75 5 ⇒ 75 − 20 = 55
(30a − 75)(30a + 20) 56. 16a b − 56a b + 49ab
[
= 3a (a 4 + 2a 2 + 1 ) − a 2 ]
5 3 3 5
=
= ab (16a − 56a b + 49b )
15 5
[ ]
15⋅ 2 4 2 2 4
= 3a (a + 1 ) − a
2
= (2a − 5)(15a + 10)
2 2
= ab (4a 2 − 7b 2 )
3 3 2
1 = 5 (2a − 5)(3a + 2) = 3a (a + a + 1 )(a − a + 1 )
2 2

120. EJERCICIO 108 9. 9 x 4 + 9 x 3 y − x 2 − xy
1. 1 − a 8 = (9 x 4 + 9 x 3 y ) − ( x 2 + xy) 16 a − 25a + 144
4 2
= (1+ a 4 )(1− a 4 ) = 9 x 3 (x + y) − x (x + y)
144 4
4 2 = 16
= (1+ a 4 )(1+ a 2 )(1 − a 2 )
36 4
= (9 x 3 − x )( x + y) 9 3 32 = 9
= (1+ a 4
)(1+ a )(1+ a)(1− a)
2
= x (9 x − 1)( x + y ) 2
3 3 ⇒ 16 + 9 = 25
2. a − 1 = x (3x + 1)(3x − 1)( x + y )
6
1
= (a 3 + 1)(a 3 − 1) 10. 12ax + 33ax − 9a
4 2 = (a 2 − 16 )(a 2 − 9 )
= (a + 1) (a 2 − a + 1)(a − 1)(a 2 + a + 1) = 3a (4 x 4 + 11x 2 − 3) = (a + 4)(a − 4)(a + 3)(a − 3)
3. x − 41x + 400
[
= 3a (4 x 2 ) + 11(4 x 2 ) − 12 ]
4 2
17. a x − a y + 2ax − 2ay
2 2 3 2 3 3 3
= (a 2 x 3 − a 2 y 3 ) + (2ax 3 − 2ay 3 )
400 4
100 5 42 = 16 3a (4 x 2 + 12)(4 x 2 − 1)
=
4 = a 2 ( x 3 − y 3 ) + 2a ( x 3 − y 3 )
20 5 52 = 25
4 4 ⇒ 25 + 16 = 41 = 3a(x 2 + 3)(4 x 2 − 1) = (a 2 + 2a )( x 3 − y 3 )
1 = ( x 2 − 25)( x 2 − 16) = 3a (x 2 + 3)(2 x + 1)(2 x − 1) = a (a + 2)( x − y )( x 2 + xy + y 2 )
= ( x + 5)( x − 5)( x + 4)( x − 4) 11. x − y
8 8
18. a + 2a − a − 2a
4 3 2
4. a − 2a b + b 4 = (x + y )(x − y ) = (a 4 + 2a 3 ) − (a 2 + 2a)
4 2 2 4 4 4 4
= (a − b )2 2 2
= (x + y ) (x + y )( x − y )
4 4 2 2 2 2
= a 3 (a + 2) − a (a + 2)
= [(a + b)(a − b)] = (a + b) (a − b) = (x + y )( x + y )( x + y )( x − y ) = (a 3 − a )(a + 2)
2 2 2 4 4 2 2
12. x − 7 x − 8 = a (a 2 − 1)(a + 2)
6 3
5. x + x − 2 x
5 3
= x ( x 4 + x 2 − 2) = (x − 8)(x + 1)
3 3
= a (a + 1)(a − 1)(a + 2)
= x (x + 2)( x − 1)
2 2 = (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1)
2 3
19. 1− 2a 3 + a 6
= x (x + 2)(x + 1)( x − 1) = (x − 2)( x + 2 x + 4)( x + 1)(x − x + 1)
2 2
= (a 3 − 1)
2 2
13. 64 − x
6
6. 2 x + 6 x − 2 x − 6
4 3
[
= (a − 1)(a 2 + a + 1) ]
2
= (2 x + 6x ) − (2 x + 6)
4 3 = (8 + x 3 )(8 − x 3 )
= (2 + x )(4 − 2 x + x 2 )(2 − x )(4 + 2 x + x 2 ) = (a − 1) (a 2 + a + 1)
2 2
= 2 x 3 ( x + 3) − 2 ( x + 3)
= (2 x 3 − 2)( x + 3) 14. a − a b − a b + b 20. m − 729
5 3 2 2 3 5 6
= 2 ( x 3 − 1)( x + 3) = (a − a b ) − (a b − b
5 3 2 2 3 5
) = (m2 − 9)(m4 + 9m2 + 81)
= 2 ( x − 1)( x 2 + x + 1)( x + 3) = a 3 (a 2 − b 2 ) − b 3 (a 2 − b2 ) = (m + 3)(m − 3)(m4 + 9m2 + 81 + 9m2 − 9m2 )
7. 3x 4 − 243 = (a 2 − b 2 )(a 3 − b 3 ) [
= (m + 3)(m − 3) (m4 + 18m2 + 81) − 9m2 ]
= 3( x − 81) 4
= (a + b)(a − b)(a − b)(a + ab + b 2 2
) = (m + 3)(m − 3)[(m + 9) − 9m ]
2 2 2
= 3( x + 9)(x − 9)
2 2 15. 8 x 4 + 6 x 2 − 2
= (m + 3)(m − 3)(m + 3m + 9)(m − 3m + 9)
2 2
= 3( x + 9)( x + 3)( x − 3)
2 = 2 (4 x + 3x − 1)
4 2
21. x − x
5
8. 16 x − 8 x y + y
4 2 2 4
= 2 (4 x[ 2 2
) + 3 (4 x ) − 4 2
] = x (x 4 − 1)
= (4 x − y ) 2 2
2 (4 x 2 + 4)(4 x 2 − 1)
2
= x (x 2 + 1)(x 2 − 1)
=
= [(2 x + y )(2 x − y )]
2
= x (x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)
4
= (2 x + y )(2 x − y )(2 x + y )(2 x − y ) = 2 ( x 2 + 1)(4 x 2 − 1) = 2 (x 2 + 1)(2 x + 1)(2 x − 1)

121. 22. x 5 − x 3 y 2 + x 2 y 3 − y 5 33. 16m − 25m + 9
4 2
27.1 − a b
6 6
= (x 5 − x 3 y 2 ) + ( x 2 y 3 − y 5 ) = (1 − a 3b 3 )(1 + a 3b 3 ) = (16m ) − 25(16m2 ) + 144
2 2
= x 3 (x 2 − y 2 ) + y 3 (x 2 − y 2 ) = (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + a 3b 3 )
144 4
36 4 4 2 = 16
= (x + y 3 3
)(x 2
−y 2
) = (1 − ab)(1 + ab + a 2b 2 )(1 + ab)(1− ab + a 2b 2 ) 9 3 32 = 9
= (x + y )(x 2 − xy + y 2 )(x + y)( x − y)
3 3 ⇒ 16 + 9 = 25
28. 5ax + 10ax − 5ax − 10a
3 2
1
23. a b − a b − a b + ab = (5ax 3 + 10ax 2 ) − (5ax + 10a ) (16m − 16)(16m2 − 9)
4 3 2 2 3 4 2
=
= (a b − a b ) − (a b − ab
4 3 2 2 3 4
) = 5ax 2 ( x + 2) − 5a ( x + 2)
16
= (m2 − 1)(16m2 − 9)
= a b (a − b) − ab (a − b)
3 3
= (5ax 2 − 5a )( x + 2)
= (m + 1)(m − 1)(4m + 3)(4m − 3)
= (a 3b − ab 3 )(a − b) = 5a ( x 2 − 1)(x + 2) 34. 3abx 2 − 12 ab + 3bx 2 − 12b
= ab (a 2 − b 2 )(a − b) = 5a ( x + 1)( x − 1)( x + 2) = (3abx 2 + 3bx 2 ) − (12ab + 12b)
= ab (a + b)(a − b)(a − b)
= 3bx 2 (a + 1) − 12b (a + 1)
29. a x + b y − b x − a y
= (3bx 2 − 12b)(a + 1)
2 2 2 2 2 2 2 2
24. 5a − 3 .125
4
= 5 (a 4 − 625) = (a x − b x ) + (b y − a y
2 2 2 2 2 2 2 2
) = 3b ( x 2 − 4)(a + 1)
= 5 (a 2 + 25)(a 2 − 25) = x (a − b ) + y (b − a ) = 3b ( x + 2)( x − 2)(a + 1)
2 2 2 2 2 2
= 5 (a + 25)(a + 5)(a − 5)
2 = x (a − b ) − y (a − b )
2 2 2 2 2 2
35. 3a m + 9am − 30m + 3a + 9a − 30
2 2
= (a − b )( x − y )
2 2 2 2
= (3a 2 m + 9am − 30m) + (3a 2 + 9a − 30)
(
25. a + 2a
2
) 2
− 2 (a + 2a ) − 3
2
= (a + b)(a − b)( x + y )( x − y ) = 3m (a 2 + 3a − 10) + 3 (a 2 + 3a − 10)
= (a + 2a ) − 2 (a + 2a ) − 3 + 4 − 4 = (3m + 3)(a 2 + 3a − 10)
2 2 2
{[(a + 2a) − 2 (a + 2a)+ 1]− 4} 30. x + x − 2 = 3 (m + 1)(a + 5)(a − 2)
2 8 4
= 2 2
= (x + 2)(x − 1 )
4 4
36. a x − 5a x + 6a + x − 5x + 6
3 2 3 3 2
= (a 2 + 2a − 1) − 4
2
= (x 4 + 2)( x 2 + 1)( x 2 − 1) = (a 3 x 2 − 5a 3 x + 6a 3 ) + ( x 2 − 5x + 6)
= (a 2 + 2a − 1 + 2)(a 2 + 2a − 1 − 2)
= (x 4 + 2)( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) = a 3 ( x 2 − 5x + 6) + ( x 2 − 5x + 6)
= (a 2 + 2a + 1)(a 2 + 2a − 3) = (a 3 + 1)( x 2 − 5x + 6)
= (a + 1) (a + 2a − 3 + 4 − 4) = (a + 1)(a 2 − a + 1)(x − 3)( x − 2)
2
31. a + a − 9a − 9a
2 4 3 2
= (a + a ) − (9a + 9a )
= (a + 1) [(a + 2a + 1) − 4 ] ( ) ( )( )
2 4 3 2
37. x x − y − 2 x − 1 x − y
2 2 2 2 2 2
= a (a + 1) − 9a (a + 1)
[(a + 1) − 4] )[x − (2 x − 1) ] = (x − y
3
= (a + 1)
2 2 2 2 2
= (a 3 − 9a )(a + 1)
= ( x + y)( x − y)( x − 2 x + 1)
= (a + 1) (a + 1 + 2) (a + 1 − 2)
2
2
= a (a − 9)(a + 1) 2
= ( x + y)( x − y)( x − 1)
2
= (a + 1) (a + 3)(a − 1) = a(a + 3)(a − 3)(a + 1)
2
38. a ( x + 1) + 3ax ( x + 1)
3
26. a x + 2ax − 8a − 16a = a ( x + 1)(x − x + 1) + 3ax ( x + 1)
2 3 3 2
2
32. a x + a x − 6a − x − x + 6
2 2 2 2 2
= (a x + 2ax ) − (8a + 16a )
2 3 3 2
= (x + 1)[a (x − x + 1) + 3ax ]
= (a x + a x − 6a ) − ( x + x − 6)
2
2 2 2 2 2
= ax (a + 2) − 8a (a + 2)
3
= (x + 1)(ax − ax + a + 3ax )
= a ( x + x − 6) − ( x + x − 6)
2
2 2 2
= (ax − 8a )(a + 2)
3
= (x + 1)(ax + 2ax + a )
= (a − 1)( x + x − 6)
2
2 2
= a ( x − 8)(a + 2)
3
= a ( x + 1)(x + 2 x + 1)
= (a + 1)(a − 1)( x + 3)( x − 2)
2
= a ( x − 2)(x 2 + 2 x + 4)(a + 2) = a ( x + 1)(x + 1) = a (x + 1)
2 3

122. EJERCICIO 109 6. 2a − 2a − 4a − 2a b + 2ab + 4b
4 3 2 2 2 2 2 10. x + x − 81x − 81
7 4 3
= (2a 4 − 2a 3 − 4a 2 ) − (2a 2b 2 − 2ab 2 − 4b 2 ) = (x 7 + x 4 ) − (81x 3 + 81)
1. x − xy = x 4 ( x 3 + 1) − 81(x 3 + 1)
9 8
= 2a 2 (a 2 − a − 2) − 2b 2 (a 2 − a − 2)
= x (x − y ) = (x 4 − 81)(x 3 + 1)
8 8
= 2 (a − a − 2)(a − b ) 2 2 2
= x (x − y )( x + y )
= (x 2 + 9)(x 2 − 9)( x + 1)(x 2 − x + 1)
4 4 4 4
= 2 (a − 2)(a + 1)(a + b)(a − b)
= x(x + y )(x − y )(x + y )
2 2 2 2 4 4
= (x 2 + 9)(x + 3)(x − 3)(x + 1)( x 2 − x + 1)
= x (x + y )(x + y )( x − y )( x + y )
2 2 4 4
11. x − x
17
7. x + 5x − 81x − 405x
= x ( x16 − 1)
6 5 2
2. x − 40 x + 144 x
5 3
= ( x + 5x ) − (81x + 405x)
= x ( x 4 − 40 x 2 + 144)
6 5 2
= x ( x 8 + 1)(x 8 − 1)
= x 5 (x + 5) − 81x ( x + 5)
= x ( x 2 − 36)( x 2 − 4) = x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 4 − 1)
= x ( x − 6)( x + 6)( x + 2 )( x − 2 ) = ( x 5 − 81x )( x + 5)
= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x 2 − 1)
= x ( x 4 − 81)( x + 5)
3. a + a b − a − ab
= x ( x 8 + 1)(x 4 + 1)(x 2 + 1)(x + 1)(x − 1)
= x ( x 2 − 9)( x 2 + 9)( x + 5)
6 3 3 4 3
= (a 6 + a 3b3 ) − (a 4 + ab3 ) 12. 3x − 75x − 48 x + 1. 200
6 4 2
= x ( x + 3)( x − 3)( x 2 + 9)( x + 5)
= a 3 (a 3 + b 3 ) − a (a 3 + b3 ) = (3x 6 − 75x 4 ) − (48 x 2 − 1. 200)
= (a 3 − a)(a 3 + b3 ) = 3x 4 ( x 2 − 25) − 48 ( x 2 − 25)
8. 3 − 3a 6
= a (a 2 − 1)(a + b)(a 2 − ab + b 2 ) = (3x 4 − 48)( x 2 − 25)
= 3 (1 − a 6 )
= a (a + 1)(a − 1)(a + b)(a 2 − ab + b2 ) = 3( x 4 − 16)( x + 5)( x − 5)
= 3 (1 − a 3 )(1 + a 3 )
= 3( x 2 + 4)( x 2 − 4)( x + 5)( x − 5)
= 3 (1 − a )(1 + a + a 2 )(1 + a )(1 − a + a 2 )
4. 4 x − 8 x + 4
= 3( x 2 + 4)( x + 2)( x − 2)(x + 5)( x − 5)
4 2
= 4 ( x − 2 x + 1) 9. 4ax (a − 2ax + x ) − a + 2a x − ax
4 2 2 2 2 3 2 2
13. a x − x + a x − x
6 2 2 6
= 4 ( x − 1)( x − 1) = 4ax 2 (a − x ) − a (a 2 − 2ax + x 2 )
2
= (a 6 x 2 − x 2 ) + (a 6 x − x )
2 2
= 4 ( x + 1) ( x − 1) = 4ax (a − x ) − a (a − x )
2 2
= x 2 (a 6 − 1) + x (a 6 − 1)
2 2 2
= (4ax − a )(a − x )
2
= (x 2 + x )(a 6 − 1)
2
5. a − ab
7 6
= a (4 x − 1)(a − x )
2
= x (x + 1)(a 3 − 1)(a 3 + 1 )
2
= a (a 6 − b 6 )
= a (2 x + 1)(2 x − 1)(a − x )
2
= a (a 3 + b3 )(a 3 − b 3 ) = x (x + 1)(a − 1)(a 2 + a + 1)(a + 1)(a 2 − a + 1)
= a (a + b)(a 2 − ab + b 2 )(a − b)(a 2 + ab + b2 ) ( )(
14. a − ax x − 82 x + 81
2 4 2
)
= a (a − x )( x − 81)( x − 1)
2 2
= a (a − x )( x + 9)(x − 9)( x + 1)(x − 1)
EJERCICIO 110
4. m − 12m + 16
3
3. a − 3a − 4a + 12
3 2
1. x + x − x − 1 2. x − 4 x + x + 6
3 2 3 2
1 − 3 − 4 12 + 2 1 0 − 12 16 +2
1 1 −1 −1 +1 1 − 4 1 6 −1
2 − 2 − 12 2 4 − 16
1 2 1 −1 5 − 6
1 −1 −6 0 1 2 −8 0
1 2 1 0 1 −5 6 0
= (a 2 − a − 6)(a − 2) = (m + 2m − 8)(m − 2)
2
= (x 2 + 2 x + 1)(x − 1) = ( x 2 − 5x + 6)( x + 1)
= (a − 3)(a + 2)(a − 2) = (m + 4)(m − 2)(m − 2)
= (x + 1) (x − 1) = ( x − 3)( x − 2)( x + 1)
2
= (m + 4)(m − 2)
2

123. 11. x − 4 x + 3x + 4 x − 4
4 3 2
5. 2 x 3 − x 2 − 18 x + 9
1 −4 3 4 −4 +1 15. x + 6 x + 3x + 140
4 3
2 − 1 − 18 9 +3
6 15 − 9 1 −3 0 4 1 6 0 3 140 − 4
2 5 −3 0 1 −3 0 4 0 −4 −8 32 − 140
= (2 x + 5x − 3)( x − 3)
2
= ( x 3 − 3x 2 + 4)( x − 1) 1 2 −8 35 0
2 5 −3 −3 1 − 3 0 4 −1 = ( x 3 + 2 x 2 − 8x + 35)(x + 4)
−6 3 −1 4 −4 1 2 −8 35 −5
2 −1 0 1 −4 4 0 − 5 15 − 35
= (2 x − 1)(x − 3)(x + 3) = ( x 2 − 4 x + 4)( x − 1)( x + 1) 1 −3 7 0
= ( x 2 − 3x + 7)( x + 4)( x + 5)
6. a + a − 13a − 28 = ( x − 2) ( x − 1)(x + 1)
3 2 2
1 1 − 13 − 28 +4
12. x − 2 x − 13x + 14 x + 24
4 3 2
4 20 28
1 − 2 − 13 14 24 + 2
16. 8a − 18a − 75a + 46a + 120
4 3 2
1 5 7 0 2 0 − 26 − 24
= (a + 5a + 7)(a − 4)
2
1 0 − 13 − 12 0
8 − 18 − 75 46 120 − 2
− 16 68 14 − 120
7. x3 + 2x2 + x + 2 = ( x 3 − 13x − 12)(x − 2)
1 2 1 2 −2 8 − 34 − 7 60 0
1 0 − 13 − 12 −1
−2 0 −2 −1 1 12 = (8a − 34a − 7a + 60)(a + 2)
3 2
8 − 34 −7 60 +4
1 0 1 0 1 − 1 − 12 0
= ( x + 1)(x + 2)
− 8 − 60
= ( x 2 − x − 12)(x − 2)( x + 1)
2 32
8 − 2 − 15 0
8. n − 7n + 6 = ( x − 4)(x + 3)( x − 2)( x + 1)
3
1 0 −7 6 +1 = (8a − 2a − 15)(a + 2)(a − 4)
2
13. a − 15a − 10a + 24
4 2
1 1 −6
1 0 − 15 − 10 24 + 1 [
= (8a) − 2 (8a) − 120 (a + 2)(a − 4)
2
]
1 1 − 6 0 1 1 − 14 − 24 120 4
= (n 2 + n − 6)(n − 1) 1 1 − 14 − 24 0
30 3 4 ⋅ 3 = 12
5⋅ 2 = 10
= (n + 3)(n − 2)(n − 1)
10 2
= (a 3 + a 2 − 14a − 24)(a − 1)
5 5 ⇒ 12 − 10 = 2
9. x 3 − 6 x 2 + 32 1 1 − 14 − 24 −2 1
1 −6 0 32 − 2 −2
− 2 16 − 32
2 24
=
(8a − 12)(8a + 10)(a + 2)(a − 4)
1 − 1 − 12 0
4⋅2
1 − 8 16 0 = (a 2 − a − 12)(a − 1)(a + 2)
= (2a − 3)(4a + 5)(a + 2)(a − 4)
= (x 2 − 8 x + 16)(x + 2)
= (a − 4)(a + 3)(a − 1)(a + 2)
= ( x − 4) ( x + 2)
2
14. n − 27n − 14n + 120
4 2
10. 6 x + 23x + 9 x − 18 1 0 − 27 − 14 120 +2
3 2
17. x 4 − 22 x 2 − 75
6 23 9 − 18 − 3 2 4 − 46 − 120
1 0 − 22 0 − 75 +5
− 18 − 15 18 1 2 − 23 − 60 0 5 25 15 75
6 5 −6 0 = (n3 + 2n2 − 23n − 60)(n − 2) 1 5 3 15 0
= (6x + 5x − 6)( x + 3) 2 − 23 − 60 −3 = ( x + 5x + 3x + 15)(x − 5)
2
1 3 2
[
= ( 6 x ) + 5 ( 6 x) − 36 ( x + 3)
2
] −3 3 60
1 5 3 15 − 5
(6x + 9)(6x − 4)(x + 3) 1 − 1 − 20 0 − 5 0 − 15
=
3⋅ 2 = (n − n − 20)(n − 2)(n + 3)
2
1 0 3 0
= (2 x + 3)(3x − 2)( x + 3) = (n − 5)(n + 4)(n − 2)(n + 3) = ( x + 3 )(x − 5)( x + 5)
2

124. 21. 4 x 5 + 3x 4 − 108x 3 − 25x 2 + 522 x + 360
24. x − 25x + x − 25
5 3 2
18. 15x + 94 x − 5x − 164 x + 60
4 3 2
4 3 − 108 − 25 522 360 − 2 1 0 − 25 1 0 − 25 − 1
15 94 − 5 − 164 60 + 1 −8 10 196 − 342 − 360 −1 1 24 − 25 25
15 109 104 − 60
4 − 5 − 98 171 180 0 1 − 1 − 24 25 − 25 0
15 109 104 − 60
= (4 x 4 − 5x 3 − 98x 2 + 171x + 180)( x + 2)
0
= ( x 4 − x 3 − 24 x 2 + 25x − 25)( x + 1)
= (15x 3 + 109 x 2 + 104 x − 60)( x − 1) 4 − 5 − 98 171 180 + 3 1 − 1 − 24 25 − 25 +5
15 109 104 − 60 −6 21 − 231 − 180
12 5 20 − 20 25
− 90 − 114 60
4 7 − 77 − 60 0 1 4 −4 5 0
− 10
= (4 x 3 + 7 x 2 − 77 x − 60)( x + 2)( x − 3)
15 19 0
= ( x 3 + 4 x 2 − 4 x + 5)( x + 1)( x − 5)
= (15x 2 + 19 x − 10)( x − 1)( x + 6) 7 − 77 − 60 +4
4 1 4 −4 5 −5
[
= (15x ) + 19 (15x) − 150 ( x − 1)( x + 6)
2
] 16 92 60 −5 5 −5
=
(15x + 25)(15x − 6)( x − 1)(x + 6) 4 23 15 0 1 −1 1 0
5⋅ 3 = (4 x + 23x + 15)( x + 2)( x − 3)( x − 4)
2
= ( x 2 − x + 1)( x + 1)( x − 5)( x + 5)
= (3x + 5)(5x − 2)( x − 1)( x + 6) [ ]
= ( 4 x ) + 23( 4 x ) + 60 ( x + 2)( x − 3)( x − 4)
2
25. 2a − 8a + 3a − 12
5 4
[
= (4 x + 20)(4 x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 4) ÷ 4 ] 2 − 8 0 0 3 − 12 + 4
19. x − 21x + 16x + 108x − 144
5 3 2
1 0 − 21 16 108 − 144 +2 = ( x + 5)(4 x + 3)( x + 2)( x − 3)( x − 4) 8 0 0 0 12
22. n − 30n − 25n − 36n − 180
5 3 2
2 4 − 34 − 36 144 2 0 0 0 3 0
0 − 30 − 25 − 36 − 180 − 2
= (2a + 3)(a − 4)
1
1 2 − 17 − 18 72 0 4
−2 52 − 54 180
= ( x 4 + 2 x 3 − 17 x 2 − 18x + 72)( x − 2)
4
26. x + 2 x − 15x − 3x − 6 x + 45
5 4 3 2
1 − 2 − 26 27 − 90 0
1 2 − 17 − 18 72 −3 1 2 − 15 − 3 − 6 45 + 3
−3 42 − 72 = (n4 − 2n3 − 26n 2 + 27n − 90)(n + 2)
3 3 15 0 − 9 − 45
1 −2 − 26 27 − 90 −5
1 −1 − 14 24 0 1 5 0 − 3 − 15 0
−5 35 − 45 90
= ( x 3 − x 2 − 14 x + 24)( x − 2)( x + 3) = ( x 4 + 5x 3 − 3x − 15)( x − 3)
1 −7 9 − 18 0
1 − 1 − 14 24 +2 1 5 0 −3 − 15 −5
= (n − 7n + 9n − 18)(n + 2)(n + 5)
3 2
2 2 − 24 −5 0 0 15
1 −7 9 − 18 +6
1 1 − 12 0 1 0 0 −3 0
6 −6 18
= ( x 2 + x − 12)( x − 2)( x + 3)(x − 2) = ( x − 3)( x − 3)( x + 5)
3
1 −1 3 0
= ( x + 4)( x − 3)( x − 2)( x + 3)( x − 2)
= (n − n + 3)(n + 2)(n + 5)(n − 6) 27.
2 x 6 + 6 x 5 + 4 x 4 − 42 x 3 − 113x 2 − 108 x − 36
= ( x + 4) ( x − 3) ( x + 3)( x − 2) 1 6 4 − 42 − 113 − 108 − 36 − 1
2
23. 6x − 13x − 81x + 112 x + 180 x − 144
5 4 3 2
6 − 13 − 81 112 180 − 144 +2 −1 − 5 1 41 72 36
20. a − 23a − 6a + 112a + 96
5 3 2
12 − 2 − 166 − 108 144 1 5 − 1 − 41 − 72 − 36 0
1 0 − 23 − 6 112 96 − 1 6 −1 − 83 − 54 72 0 = ( x 5 + 5x 4 − x 3 − 41x 2 − 72 x − 36)( x + 1)
−1 1 22 − 16 − 96 = (6x 4 − x 3 − 83x 2 − 54 x + 72)( x − 2) 1 5 − 1 − 41 − 72 − 36 − 1
1 − 1 − 22 16 96 0 6 − 1 − 83 − 54 72 −3 −1 − 4 5 36 36
= (a 4 − a 3 − 22a 2 + 16a + 96)(a + 1) − 18 57 78 − 72 1 4 − 5 − 36 − 36 0
1 −1 − 22 16 96 −2 6 − 19 − 26 24 0 = ( x 4 + 4 x 3 − 5x 2 − 36 x − 36)( x + 1)(x + 1)
−2 6 32 − 96 = (6x 3 − 19 x 2 − 26x + 24)( x − 2)( x + 3) 1 4 − 5 − 36 − 36 − 2
1 −3 − 16 48 0 6 − 19 − 26 24 + 4 − 2 − 4 18 36
= (a 3 − 3a 2 − 16a + 48)(a + 1)(a + 2) 24 20 − 24 1 2 − 9 − 18 0
− 6 = ( x 3 + 2 x 2 − 9 x − 18)(x + 1) (x + 2)
2
1 −3 − 16 48 +3 6 5 0
3 0 − 48 = (6x 2 + 5x − 6)( x − 2)( x + 3)( x − 4) 1 2 − 9 − 18 −2
1 0 − 16 0 [ 2
]
= ( 6 x ) + 5( 6 x ) − 36 ( x − 2)( x + 3)( x − 4) − 2 0 18
= (a 2 − 16)(a + 1)(a + 2)(a − 3) (6x + 9)(6x − 4)(x − 2)(x + 3)(x − 4) 1 0 −9 0
=
= (a + 4)(a − 4)(a + 1)(a + 2)(a − 3) = ( x 2 − 9)(x + 1) (x + 2)
2 2
3⋅ 2
= (2 x + 3)(3x − 2)( x − 2)( x + 3)( x − 4) = ( x + 3)( x − 3)( x + 1) ( x + 2)
2 2

125. 29. x 6 − 41x 4 + 184 x 2 − 144
28. a − 32a + 18a + 247a − 162a − 360
6 4 3 2
1 0 − 41 0 184 0 − 144 +1
1 0 − 32 18 247 − 162 − 360 − 1
1 1 − 40 − 40 144 144
− 1 1 31 − 49 − 198 360
1 1 − 40 − 40 144 144 0
1 − 1 − 31 49 198 − 360 0
= ( x 5 + x 4 − 40 x 3 − 40 x 2 + 144 x + 144)( x − 1)
= (a 5 − a 4 − 31a 3 + 49a 2 + 198a − 360)(a + 1) 1 1 − 40 − 40 144 144 −1
1 − 1 − 31 49 198 − 360 +2 −1 0 40 0 − 144
2 2 − 58 − 18 360 1 0 − 40 0 144 0
1 1 − 29 − 9 180 0 = ( x 4 − 40 x 2 + 144)( x − 1)( x + 1)
= (a 4 + a 3 − 29a 2 − 9a + 180)(a + 1)(a − 2) = ( x 2 − 36)( x 2 − 4)( x − 1)( x + 1)
1 1 − 29 − 9 180 +3 = ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2)( x − 1)( x + 1)
3 12 − 51 − 180 31. a − 8a + 6a + 103a − 344a + 396a − 144
6 5 4 3 2
1 4 − 17 − 60 0 1 −8 6 103 − 344 396 − 144 + 2
= (a 3 + 4a 2 − 17a − 60)(a + 1)(a − 2)(a − 3)
2 − 12 − 12 182 − 324 144
1 −6 −6 91 − 162 72 0
1 4 − 17 − 60 −3
= (a − 6a − 6a + 91a − 162a + 72)(a − 2)
5 4 3 2
−3 − 3 60
1 − 6 − 6 91 − 162 72 +2
1 1 − 20 0 2 − 8 − 28 126 − 72
= (a 2 + a − 20)(a + 1)(a − 2)(a − 3)(a + 3) 1 − 4 − 14 63 − 36 0
= (a + 5)(a − 4)(a + 1)(a − 2)(a − 3)(a + 3) = (a 4 − 4a 3 − 14a 2 + 63a − 36)(a − 2)(a − 2)
30. 2 x − 10 x − 34 x + 146 x + 224 x − 424 x − 480
6 5 4 3 2 1 − 4 − 14 63 − 36 +3
2 − 10 − 34 146 224 − 424 − 480 −1 3 − 3 − 51 36
−2 12 22 − 168 − 56 480 1 −1 − 17 12 0
= (a − a − 17a + 12)(a − 2) (a − 3)
3 2 2
2 − 12 − 22 168 56 − 480 0
= (2 x − 12 x − 22 x + 168 x + 56 x − 480)(x + 1)
5 4 3 2 1 − 1 − 17 12 −4
− 4 20 − 12
2 − 12 − 22 168 56 − 480 −2
1 −5 3 0
− 4 32 − 20 − 296 480
= (a − 5a + 3)(a − 2) (a − 3)(a + 4)
2 2
2 − 16 10 148 − 240 0
32. x − 20 x − 2 x + 64 x + 40 x − 128
7 5 4 3 2
= (2 x 4 − 16x 3 + 10 x 2 + 148 x − 240)(x + 1)(x + 2) 1 0 − 20 − 2 64 40 0 − 128 + 2
2 − 16 10 148 − 240 +2 2 4 − 32 − 68 − 8 64 128
4 − 24 − 28 240 1 2 − 16 − 34 − 4 32 64 0
2 − 12 − 14 120 0 = ( x 6 + 2 x 5 − 16 x 4 − 34 x 3 − 4 x 2 + 32 x + 64)( x − 2)
= (2 x 3 − 12 x 2 − 14 x + 120)(x + 1)(x + 2)(x − 2) 1 2 − 16 − 34 − 4 32 + 64 −2
− 2 0 32 4 0 − 64
2 − 12 − 14 120 +4
8 − 16 − 120 1 0 − 16 − 2 0 32 0
= ( x − 16 x − 2 x + 32)( x − 2)( x + 2)
5 3 2
2 − 4 − 30 0
1 0 − 16 − 2 0 32 + 4
= (2 x − 4 x − 30)( x + 1)( x + 2)(x − 2)( x − 4)
2
4 16 0 − 8 − 32
[ ]
= ( 2 x ) − 4 ( 2 x ) − 60 (x + 1)(x + 2)(x − 2)( x − 4)
2
1 4 0 −2 −8 0
=
(2 x − 10)(2 x + 6)(x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 4) = ( x 4 + 4 x 3 − 2 x − 8)( x − 2)( x + 2)( x − 4)
2 1 4 0 −2 −8 −4
= (x − 5)(2 x + 6)(x + 1)(x + 2)(x − 2)( x − 4) −4 0 0 8
= 2 (x − 5)(x + 3)(x + 1)(x + 2)(x − 2)(x − 4)
1 0 0 −2 0
= ( x − 2)( x − 2)( x + 2)( x − 4)( x + 4)
3

126. EJERCICIO 111
1. a 2 x , ax 2 mcd ax 7. 15a 2b3 c , 24ab2 x , 36b 4 x 2
11. 42am2n , 56m3n2 x , 70m4n2 y
2 2
2. ab c , a bc mcd abc 15 5 24 3 36 3 42 14 56 14 70 14
3 3 8 4 12 4 3 3 4 4 5 5
3. 2x 2 y , x 2y 3 mcd x 2 y
1 2 2 3 3 1 1 1
4. 6a 2b 3 ,15a 3b 4 1 1 14 ⋅ 3 = 42 14 ⋅ 4 = 56 14 ⋅ 5 = 70
6 3 15 3 5 ⋅ 3 = 15 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24 32 ⋅ 4 = 36 mcd 14 ⇒ 14m2n
2 2 5 5 mcd 3 ⇒ 3b 2
1 1 12. 75a 4b 3c 2 ,150a 5b 7 x 2 , 225a 3b 6 y 2
8. 12x 2 yz 3 ,18 xy 2 z , 24 x 3 yz2
3⋅2 = 6 3 ⋅ 5 = 15 75 15 150 15 225 15
12 3 18 3 24 3
mcd 3 ⇒ 3a 2b 3 5 5 10 5 15 5
4 2 6 3 8 4
1 2 2 3 3
3 2 2
5. 8am n, 20x m 2 2 2 2 2 2
1 1
8 2 20 2 1 1 1
15 ⋅ 5 = 75 15 ⋅ 5 ⋅ 2 = 150 15 ⋅ 5 ⋅ 3 = 225
4 2 10 2 3 ⋅ 2 2 = 12 32 ⋅ 2 = 18 3 ⋅ 4 ⋅ 2 = 24
mcd 15 ⋅ 5 ⇒ 75a 3b 3
2 2 5 5 mcd 3 ⋅ 2 ⇒ 6 xyz
1 1 9. 28a 2b 3c 4 , 35a 3b 4 c 5 , 42a 4b 5 c 6 13. 4a 2b , 8a 3b 2 , 2a 2bc ,10ab 3c 2
23 = 8 22 ⋅ 5 = 20 28 7 35 7 42 7 4 2 8 2 2 2 10 2
2 2 4 4 1 5 5
mcd 2 = 4 2 4 4 5 5 6 6
1 1 1 1 1 1
⇒ 4m2
7 ⋅ 4 = 28 7 ⋅ 5 = 35 7 ⋅ 6 = 42 22 = 4 2 ⋅ 4 = 8 2 = 2 2 ⋅ 5 = 10
2 2 3 4
6. 18mn , 27a m n mcd 7 ⇒ 7a b c 2 3 4 mcd 2 ⇒ 2ab
18 3 27 3 3 4 4 2 2 3 4 5 7
10. 72x y z , 96x y z ,120x y z 14. 38a 2 x 6 y 4 , 76mx 4 y 7 , 95x 5 y 6
6 3 9 3
72 8 96 8 120 8 38 19 76 19 95 19
2 2 3 3
9 3 12 3 15 3 2 2 4 4 5 5
1 1
3 3 4 4 5 5 1 1 1
32 ⋅ 2 = 18 33 = 27
1 1 1 19 ⋅ 2 = 38 19 ⋅ 4 = 76 19 ⋅ 5 = 95
mcd 3 = 9 2
8 ⋅ 32 = 72 8 ⋅ 3 ⋅ 4 = 96 8 ⋅ 3 ⋅ 5 = 120 mcd 19 ⇒ 19 x 4 y 4
⇒ 9mn2
mcd 8 ⋅ 3 ⇒ 24x 2 y 2 z3
EJERCICIO 112
9. 3x 3 + 15x 2 = 3x 2 ( x + 5)
1. 2a 2 + 2ab = 2a (a + b) 5. x − x = x ( x − 1)
2
ax 2 + 5ax = ax ( x + 5)
4a 2 − 4ab = 2 2 a (a − b) x 3 − x 2 = x 2 ( x − 1)
mcd x ( x + 5)
mcd 2a mcd x ( x − 1)
a 2 − b 2 = (a + b)(a − b)
2. 6 x y − 6 x y = 2 ⋅ 3x y ( x − 1)
3 2 2
6. 30ax 2 − 15x 3 = 5⋅ 3x 2 (2a − x )
10.
a 2 − 2ab + b 2 = (a − b)
2
9 x 3 y 2 + 18 x 2 y 2 = 32 x 2 y 2 (x + 2) 10axy 2 − 20 x 2 y 2 = 5⋅ 2 xy 2 (a − 2 x )
mcd 3x 2 y mcd 5x
mcd (a − b)
12a b = 4 ⋅ 3 a b
2 3 2 3
18a x y = 6 ⋅ 3 a x y
2 3 4 2 3 4
11. m3 + n 3 = (m + n)(m2 − mn + n 2 )
3. 7.
4a b − 8a b = 4a b (a − 2b)
3 2 2 3 2 2
6a x y − 18a xy = 6a xy
2 2 4 2 4 2 4
(x − 3) 3am + 3an = 3a (m + n)
mcd 4a b 2 2
mcd 6a xy 2 4 mcd m + n
4. ab + b = b (a + 1) 8. 5a − 15a = 5a (a − 3)
2 ( )( )
12. x 2 − 4 = x + 2 x − 2
a + a = a (a + 1)
2
a − 3a = a
3 2
(a − 3)
2
x 3
− 8 = ( x − 2)(x + 2 x + 4)
2
mcd a + 1 mcd a (a − 3) mcd x − 2

127. 2ax 2 + 4ax = 2ax (x + 2) 21. 4 x 4 − y 2 = (2 x 2 + y )(2 x 2 − y)
13.
x 3 − x 2 − 6 x = x ( x 2 − x − 6) = x (x − 3)( x + 2) (2 x + y) = (2 x 2 + y)(2 x 2 + y)
2 2
mcd x ( x + 2) mcd 2 x 2 + y
9 x 2 − 1 = (3x + 1)(3x − 1)
( )( ) ) (
14.
22. 3x 5 − 3x = 3x x 4 − 1 = 3x x 2 + 1 x 2 − 1
9 x 2 − 6 x + 1 = (3x − 1)
2
mcd 3x − 1 = 3x ( x + 1)(x + 1)(x − 1) 2
4a 2 + 4ab + b2 = (2a + b)
2 9x3 − 9 x = 9 x ( x − 1) = 3 x( x + 1)( x − 1)
2 2
15.
2a 2 − 2ab + ab − b2 = (2a 2 − 2ab) + (ab − b 2 ) mcd 3x ( x + 1)(x − 1)
= 2a (a − b) + b (a − b)
23. a + ab = a (a + b ) 24. 2 x 3 − 2 x 2 = 2 x 2 ( x − 1)
2
= (2a + b)(a − b)
ab + b 2 = b (a + b) 3x 2 − 3x = 3x ( x − 1)
mcd 2a + b
a + a b = a (a + b)
3 2 2
4 x 3 − 4 x 2 = 4 x 2 ( x − 1)
3x 2 + 3x − 60 = 3( x 2 + x − 20)
x ( x − 1)
16. mcd a + b mcd
= 3( x + 5)( x − 4)
6x 2 − 18 x − 24 = 6 ( x 2 − 3x − 4) 25. x 4 − 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 9) = x 2 ( x + 3)( x − 3)
= 3⋅ 2 ( x − 4)( x + 1) x 4 − 5x 3 + 6x 2 = x 2 ( x 2 − 5x + 6) = x 2 ( x − 3)( x − 2)
3 ( x − 4) x 4 − 6x 3 + 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 6 x + 9) = x 2 ( x − 3)
2
mcd
17. 8 x 3 + y 3 = (2 x + y )(4 x 2 − 2 xy + y 2 ) mcd x 2 ( x − 3)
4ax 2 − ay 2 = a (4 x 2 − y 2 )
= a (2 x + y )(2 x − y )
26. a b + 2a b + ab = ab a + 2ab + b = ab a + b
3 2 2 3 2 2
( ) ( ) 2
mcd 2x + y a 4b − a 2b 3 = a 2b (a 2 − b 2 ) = a b (a + b)(a − b)
2
( ) mcd ab (a + b)
18. 2a − 12a b + 18ab = 2a a − 6ab + 9b
3 2 2 2 2
= 2a (a − 3b) ( ) = 2 (x + 2)(x − 1)
2
27. 2 x + 2 x − 4 = 2 x + x − 2
2 2
a x − 9ab x = ax (a − 9b )
3 2 2 2
2x 2
− 8x + 6 = 2 ( x − 4 x + 3) = 2 ( x − 3 )( x − 1)
2
= ax (a + 3b)(a − 3b)
2 x − 2 = 2 (x − 1)
3
= 2 ( x + 1)( x − 1)
2
a (a − 3b)
mcd 2 ( x − 1)
mcd
19. ac + ad − 2bc − 2bd = (ac + ad ) − (2bc + 2bd )
= a (c + d ) − 2b (c + d ) 28. ax 3 − 2ax 2 − 8ax = ax (x 2 − 2 x − 8) = ax ( x − 4)( x + 2)
= (a − 2b)(c + d ) ax − ax − 6a = a ( x − x − 6)
2 2
= a ( x − 3)( x + 2)
2c + 4cd + 2d = 2 (c + 2cd + d )
2 2 2 2
a x − 3a x − 10a x = a x (x − 3x − 10) = a 2 x ( x − 5)( x + 2)
2 3 2 2 2 2 2
= 2 (c + d ) a ( x + 2)
2
mcd
mcd c + d
20. 3a 2 m2 + 6a 2 m − 45a 2 = 3a 2 (m2 + 2m − 15) 29. 2an − 16an + 32a = 2a n − 8n + 16
4 2 4 2
) (
= 3a (m + 5)(m − 3) = 2a (n − 4)(n − 4) = 2a (n + 2) (n − 2)
2 2 2 2
2
6am2 x + 24amx − 30ax = 6ax (m2 − 4m − 5) 2an − 8an = 2an (n − 4)
3
= 2an (n + 2)(n − 2)
2
= 3⋅ 2ax (m + 5)(m − 1) 2a n + 16a = 2a (n + 8)
2 3 2
= 2a (n + 2)(n − 2n + 4)
2 3 2 2
mcd 3a (m + 5) mcd 2a (n + 2)

128. ( ) ( )( )
30. 4a 2 + 8a − 12 = 4 a 2 + 2a − 3 = 2 2 a + 3 a − 1 39. 3a 2 − 6a = 3a (a − 2)
2a − 6a + 4 = 2 (a − 3a + 2) = 2 (a − 2)(a − 1)
2 2 a − 4a = a (a 2 − 4) = a (a + 2)(a − 2)
3
6a + 18a − 24 = 6 (a + 3a − 4) = 3⋅ 2 (a + 4)(a − 1)
2 2 a 2b − 2ab = ab (a − 2)
mcd 2 (a − 1) a 2 − a − 2 = (a − 2)(a + 1)
a−2
4a − b = (2a + b)(2a − b)
2 2 mcd
31.
8a + b = (2a + b)(4a − 2ab + b )
3 3 2 2
3x 2 − x = x (3x − 1)
4a + 4ab + b = (2a + b)
2 2 2 40.
27 x 3 − 1 = (3x − 1)(9 x 2 + 3x + 1)
mcd 2a + b
x 2 − 2 x − 8 = ( x − 4)( x + 2) 9 x 2 − 6x + 1 = (3x − 1)
2
3ax − a + 6 x − 2 = (3ax − a ) + (6 x − 2)
32.
x 2 − x − 12 = ( x − 4)( x + 3)
= a (3x − 1) + 2 (3x − 1)
x 3 − 9 x 2 + 20 x = x ( x 2 − 9 x + 20) = x ( x − 5)( x − 4)
mcd x− 4 = (a + 2)(3x − 1)
a + a = a (a + 1)
2 mcd 3x − 1
33.
a − 6a − 7a = a (a − 6a − 7) = a (a − 7)(a + 1)
3 2 2
a 6 + a = a (a 5 + 1) = a (a + 1)(a 4 − a 3 + a 2 − a + 1)
mcd a (a + 1) 41. a 4 − 1 = (a 2 + 1)(a 2 − 1) = (a 2 + 1)(a + 1)(a − 1)
34. x 3 + 27 = ( x + 3)( x 2 − 3x + 9) a 3 + a 2 + a + 1 = (a 3 + a 2 ) + (a + 1)
2 x 2 − 6 x + 18 = 2 ( x 2 − 3x + 9) = a 2(a + 1 ) + (a + 1) = (a 2 + 1)(a + 1)
x 4 − 3x 3 + 9 x 2 = x 2 ( x 2 − 3x + 9) a 3 x + a 2 x + ax + x = (a 3 x + a 2 x ) + (ax + x )
mcd x 2 − 3x + 9 = a 2 x (a + 1) + x (a + 1)
35. x + ax − 6a = ( x + 3a)( x − 2a ) = (a 2 x + x )(a + 1) = x (a 2 + 1)(a + 1)
2 2
x 2 + 2ax − 3a 2 = ( x + 3a )( x − a )
a 5 + a 3 + a 2 + 1 = (a 5 + a 3 ) + (a 2 + 1)
x 2 + 6ax + 9a 2 = (x + 3a )
2
= a 3 (a 2 + 1) + (a 2 + 1)
mcd x + 3a
36. 54 x 3 + 250 = 2 (27 x 3 + 125) = 2 (3x + 5)(9 x 2 − 15x + 25) = (a 3 + 1)(a 2 + 1) = (a + 1)(a 2 − a + 1)(a 2 + 1)
18ax 2 − 50a = 2a (9 x 2 − 25) = 2a (3x + 5)(3x − 5) mcd (a + 1)(a + 1)
2
18 x 2 + 60x + 50 = 2 (9 x 2 + 30 x + 25) = 2 (3x + 5)
2
mcd 2 (3x + 5) 42. 2m2 + 4mn + 2n 2 = 2 m2 + 2mn + n 2( )
(x [
− 1) = (x + 1)(x − 1) ] = 2 (m + n)
2 2 2
2
37.
x 2 − 4 x − 5 = (x − 5)( x + 1) m + m n + mn + n = m2 (m + n) + n 2 (m + n)
3 2 2 3
x 4 − 1 = (x 2 + 1)(x 2 − 1) = (x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) = (m2 + n 2 )(m + n)
mcd x+1 m3 + n 3 = (m + n)(m2 − mn + n 2 )
38. 4ax 2 − 28ax = 4ax ( x − 7) m3 − mn 2 = m (m2 − n 2 )
a 2 x 3 − 8a 2 x 2 + 7a 2 x = a 2 x ( x 2 − 8 x + 7) = a 2 x (x − 7)( x − 1) = m (m + n)(m − n)
ax − 15ax + 56ax = ax ( x − 15x + 56) = ax ( x − 8)(x − 7)
4 3 2 2 2 2
mcd m + n
mcd ax ( x − 7)

129. 3 2 3
( ) ( )
43. a − 3a + 3a − 1 = a − 1 − 3a a − 1 46. 2a 2 − am + 4a − 2m = (2a 2 − am) + (4a − 2m)
= (a − 1)(a + a + 1) − 3a (a − 1) 2
= a (2a − m) + 2 (2a − m)
= (a − 1)(a + a + 1 − 3a ) 2
= (a + 2)(2a − m)
= (a − 1)(a − 2a + 1) = (a − 1)(a − 1) 2am − m = m2 (2a − m)
2 2 2 3
a − 2a + 1 = (a − 1)
2 2
[
6a 2 + 5am − 4m2 = (6a ) + 5m ( 6a ) − 24m2
2
]
a − a = a (a − 1) = a (a + 1)(a − 1)
3 2
[
= (6a + 8m)(6a − 3m) ÷ 2 ⋅ 3 ]
a − 4a + 3 = (a − 3)(a − 1)
2
= (3a + 4m)(2a − m)
mcd a − 1 16a + 72am − 40m = 8 (2a 2 + 9am − 5m2 )
2 2
[
= 8 (2a ) + 9m (2a ) − 10m
2
]
[
= 8 (2a + 10m)(2a − m) ÷ 2 ]
16a 3 x + 54 x = 2 x (8a 3 + 27)
= 8 (a + 5m)(2a − m)
44.
= 2 x (2a + 3)(4a 2 − 6a + 9) mcd 2a − m
12a 2 x 2 − 42ax 2 − 90 x 2 = 6x 2 (2a 2 − 7a − 15) 47. 12ax − 6ay + 24bx − 12by = 12ax − 6ay + 24bx − 12by ) ( ( )
2
[
= 6 x ( 2a ) − 7 (2a ) − 30
2
] = 6a (2 x − y) + 12b (2 x − y )
[
= 6 x (2a − 10)(2a + 3) ÷ 2
2
] = (6a + 12b)(2 x − y)
= 3⋅ 2 x (a − 5)(2a + 3)
2 = 3⋅ 2 (a + 2b)(2 x − y )
32a x + 24a x − 36ax = 4ax (8a 2 + 6a − 9)
3 2 3a + 24b = 3(a + 8b )
3 3 3 3
= 3 (a + 2b)(a − 2ab + 4b )
[ ]
2 2
= 4ax (8a) + 6 (8a ) − 72
2
+ 9ab − 18b = 9(a + ab − 2b )
[ ] 9a 2 2 2 2
= 4ax (8a + 12)(8a − 6) ÷ 4
= 3 (a + 2b)(a − b) 2
= 22 ax (2a + 3) (8a − 6)
12a + 24ab = 12a (a + 2b) = 4 ⋅ 3a (a + 2b)
2
= 23 ax (2a + 3)(4a − 3)
mcd 3 (a + 2b)
32a 4 x − 144a 2 x + 162 x = 2 x (16a 4 − 72a 2 + 81)
= 2 x (4a 2 − 9)
2
( ) ( ) 48. 5a 2 + 5ax + 5ay + 5xy = 5a a + x + 5 y a + x
= 2 x [(2a + 3)(2a − 3)] = (5a + 5 y)(a + x ) = 5(a + y)(a + x )
2
15a − 15ax + 15a y − 15x y = 15a (a + y ) − 15x (a + y)
mcd 2 x (2a + 3)
3 2 2 2 2 2
= (15a − 15x )(a + y ) 2 2
= 15(a − x )(a + y) 2 2
= 5⋅ 3(a + x )(a − x )(a + y)
20a − 20ay + 20a x − 20 xy = 20a (a + x) − 20 y (a + x)
(xy + y ) = x y + 2 xy + y
3 2 2 2 2 2
2 2 2 2 3 4
= (20a − 20 y )(a + x)
45. 2 2
= y ( x + 2 xy + y ) = y ( x + y)
2 2 2 2 2
= 20 (a − y )(a + x) 2 2
x2 y − 2 xy − 3y = y ( x − 2 xy − 3 y ) = y ( x − 3 y)( x + y)
2 3 2 2
= 5⋅ 4 (a + y)(a − y )(a + x)
ax y + ay = ay ( x + y ) = ay ( x + y )( x − xy + y )
5(a + y)(a + x )
3 4 3 3 2 2
mcd
x 2 y − y 3 = y (x 2 − y 2 ) = y ( x + y )( x − y)
mcd y (x + y)

130. 5. 8a − 6a x + 7a x − 3ax 2a 3 + 3a 2 x − 2ax 2
4 3 2 2 3
EJERCICIO 113 ;
= a (8a − 6a x + 7ax − 3x
3 2 2 3
) = a (2a 2 + 3ax − 2 x 2 )
12 x 2 + 8 x + 1 2 x 2 − 5x − 3
1. 8a − 6a x + 7ax − 3x
3 2 2 3
2a 2 + 3ax − 2 x 2 ( 3x )
− 12 x 2 + 30 x + 18 6
− 8a − 12a x + 8ax
3 2 2
4a
38 x + 19 (÷ 2) − 18a x + 15ax − 3x ÷ − 3
2 2 3
2 x 2 − 5x − 3 2x + 1
6a 2 x + 9ax 2 − 6 x 3 6a 2 x − 5ax 2 + x 3
− 2x2 − x x
− 6a 2 x + 5ax 2 − x 3 1
− 6x − 3 (÷ − 3) 14ax − 7 x ÷ 7 x 2
2 3
2x + 1 2x + 1
6a x − 5ax 2 + x 3
2
2a − x
− 2x − 1 1 mcd 2 x + 1
− 6a 2 x + 3ax 2 3ax
− 2ax 2 + x 3 ÷ − x 2
2. 3 (2a 3 − a 2 − 6a ) ; (6a 2 − 2a − 20) ÷ 2 2a − x 2a − x
6a 3 − 3a 2 − 18a 3a 2 − a − 10 − 2a + x 1 mcd a (2a − x )
− 6a + 2a + 20a
6. (12ax − 3ax + 26ax − 5ax + 10a ) ÷ a
3 2
2a 4 3 2
− a 2 + 2a (÷ − a ) 12 x 4 − 3x 3 + 26 x 2 − 5x + 10 3x 4 + 3x 3 − 4 x 2 + 5x − 15 (5)
3a − a − 10
2
a −2 − 12 x − 12 x + 16 x − 20 x + 60
4 3 2
4
− 3a 2 + 6a
− 15x 3 + 42 x 2 − 25x + 70 (− 1)
3a
5a − 10 (÷ 2) 15x 4 + 15x 3 − 20 x 2 + 25x − 75 15x 3 − 42 x 2 + 25x − 70 (19)
a−2 a− 2 − 15x 4 + 42 x 3 − 25x 2 + 70 x x
−a+2 1 mcd a− 2
57 x − 45x + 95x − 75 (5)
3 2
285x 3 − 798 x 2 + 475x − 1. 330 285x 3 − 225x 2 + 475x − 375
3. 3(5a − 6a x + ax ) ; 3a − 4a x + ax
3 2 2 3 2 2
− 285x + 225x − 475x + 375
3 2
1
= 15a 3 − 18a 2 x + 3ax 2 = a (3a 2 − 4ax + x 2 ) − 573x 2
− 955 (÷ − 191)
= a (15a 2 − 18ax + 3x 2 ) 285x 3 − 225x 2 + 475x − 375 3x 2 + 5
15a − 18ax + 3x
2 2
3a − 4ax + x
2 2
− 285x 3
− 475x 95x
− 15a 2 + 20ax − 5x 2 5 − 225x 2
− 375 (÷ − 75)
2ax − 2 x 2 (÷ 2 x ) 3x 2 + 5 3x 2 + 5
3a 2 − 4ax + x 2 a− x − 3x 2 − 5 1 mcd 3x 2 + 5
− 3a + 3ax 6 x − 4 x y − 3x y + 5xy − 2 y 3x − 2 x 2 y + 9 xy 2 − 6 y 3 ( 7)
2 4 3 2 2 3 4 3
3a 7.
− ax + x 2 (÷ − x) − 6 x + 4 x y − 18 x y + 12 xy
4 3 2 2 3
2x
a− x a− x − 21x y + 17 xy − 2 y
2 2 3 4
(÷ − y )2
−a+ x 1 mcd a (a − x ) 21x − 14 x y + 63xy − 42 y
3 2 2 3
21x − 17 xy + 2 y 2
2
− 21x + 17 x y − 2 xy
3 2 2
x
4. (2 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 6) ÷ 2
3x y + 61xy − 42 y
2 2 3
(÷ y)
x 3 + 2 x2 − 2 x + 3 x3 + x 2 − x + 2
21x 2 − 17 xy + 2 y2 3x 2 + 61xy − 42 y 2
− x3 − x2 + x − 2 1
− 21x 2 + 427 xy + 294 y 2 7
x − x+1
(÷ − 148 y)
2
− 444 xy + 296 y 2
x 3 + x2 − x + 2 x2 − x + 1
3x 2 + 61xy − 42 y 2 3x − 2 y
− x3 + x2 − x x
− 3x 2 + 2 xy x
2 x − 2 x + 2 (÷ 2 )
(÷ 21y )
2
63xy − 42 y 2
x2 − x + 1 x2 − x + 1 3x − 2 y 3x − 2 y
− x2 + x − 1 1 mcd x2 − x + 1 − 3x + 2 y 1 mcd 3x − 2 y

131. (
8. ax + 3ax − 2ax + 6ax − 8a ÷ a ;
4 3 2
)
(
9. 3 2m4 − 4m3 − m2 + 6m − 3 ) ;
(x 4
+ 4 x − x − 4 x) ÷ x
3 2
x 4 + 3x 3 − 2 x 2 + 6 x − 8 x3 + 4 x2 − x − 4
(3m 5
− 6m + 8m − 10m + 5m) ÷ m
4 3 2
6m − 12m3 − 3m2 + 18m − 9
4
3m4 − 6m3 + 8m2 − 10m + 5
− x4 − 4x3 + x2 + 4x x
− 6m + 12m − 16m + 20m − 10
4 3 2
− x 3 − x 2 + 10 x − 8 (− 1)
2
x3 + 4x2 − x − 4 x 3 + x 2 − 10 x + 8
− 19m + 38m − 19 2
(÷ − 19)
3m − 6m + 8m − 10m + 5
4 3 2
m − 2m + 1
2
− x 3 − x 2 + 10x − 8 1
− 3m4 + 6m3 − 3m2 3m2
3x 2 + 9 x − 12 (÷ 3)
x 3 + x 2 − 10 x + 8 x 2 + 3x − 4
5m2 − 10m + 5 (÷ 5)
m − 2m + 1
2
m − 2m + 1
2
− x 3 − 3x 2 + 4 x x
− m2 + 2m − 1 mcd m2 − 2m + 1
− 2 x 2 − 6x + 8 ( ÷ − 2) 1
x 2 + 3x − 4 x 2 + 3x − 4
− x − 3x + 4
2
1 mcd x 2 + 3x − 4
10. Factor común a
7 (3a 5 − 6a 4 + 16a 3 − 2a 2 + 5a ) ; 3 (7a 5 − 14a 4 + 33a 3 + 4a 2 − 10a )
= 21a 5 − 42a 4 + 112a 3 − 14a 2 + 35a ; = 21a 5 − 42a 4 + 99a 3 + 12a 2 − 30a
21a 4 − 42a 3 + 112a 2 − 14a + 35 21a 4 − 42a 3 + 99a 2 + 12a − 30
− 21a + 42a − 99a − 12a + 30
4 3 2
1
13a − 26a + 65
2
(÷ 13)
21a − 42a + 99a + 12a − 30 a 2 − 2a + 5
4 3 2
− 21a 4 + 42a 3 − 105a 2 21a 2
− 6a 2 + 12a − 30 (÷ − 6)
a − 2a + 5
2
a − 2a + 5
2
− a 2 + 2a − 5 1 mcd a (a 2 − 2a + 5)
12. Factor común 2 :
11. (45ax + 75ax − 18ax − 30a ) ÷ 3a ;
3 2
2 x 3 + 2ax 2 + 2a 2 x + 2a 3 ; 10 x 3 + 4ax 2 + 10a 2 x + 4a 3
(24ax 3
+ 40ax 2 − 30ax − 50a ) ÷ 2a 5x 3 + 2ax 2 + 5a 2 x + 2a 3 x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3
4 (15x 3
+ 25x 2 − 6 x − 10) ; 5 (12 x 3 + 20 x 2 − 15x − 25) − 5x 3 − 5ax 2 − 5a 2 x − 5a 3 5
60 x + 100 x − 24 x − 40
3 2
60 x + 100 x − 75x − 125 (÷ 5)
3 2
− 3 ax 2 − 3a 3 (÷ − 3a )
− 60 x − 100 x + 75x + 125 1
3 2
x 3 + ax 2 + a 2 x + a 3 x2 + a2
51x + 85 (÷ 17) − x3 − a2 x x
12 x + 20 x − 15x − 25
3 2
3x + 5 ax 2
+ a3 (÷ a )
− 12 x 3 − 20 x 2 4 x2 x2 + a2 x2 + a 2
− 15x − 25 (÷ − 5) −x −a 2 2
1 mcd 2 (x 2 + a 2 )
3x + 5 3x + 5
− 3x − 5 1 mcd a (3x + 5)

132. 13. Factor común 3 : 16. a − a
7 6
+ a4 + 1 a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1 ( a )
9 x + 15ax + 3a x − 3a ;
3 2 2 3
− a + 2a − a
7 6 5
−a +a
3 2
a2
12 x 3 + 21ax 2 + 6a 2 x − 3a 3 ( 3) a 6 − a5 + a4 − a 3 + a 2 + 1
12 x 3 + 21ax 2 + 6a 2 x − 3a 3 3x 3 + 5ax 2 + a 2 x − a 3 a 6 − 2a 5 + a 4 + a2 − a a6 − a5 + a 4 − a 3 + a2 + 1
− 12 x − 20ax − 4a x + 4a
3 2 2 3
4 −a +a −a +a −a
6 5 4 3 2
−1 1
ax 2
+ 2a x + a
2 3
(÷ a) − a5 + a3 −a−1 (− 1)
a 6 − a5 + a4 − a3 + a 2 +1 a5 − a3 + a + 1
3x + 5ax + a x − a
3 2 2 3
x 2 + 2ax + a 2
−a 6
+a 4
−a −a
2
a
− 3x 3 − 6ax 2 − 3a 2 x 3x
− a 5 + 2a 4 − a 3 − a+1 (− 1)
− ax 2 − 2a 2 x − a 3 (÷ − a) a5 − a3 + a + 1 a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1
x + 2ax + a
2 2
x + 2ax + a 2
2
− a + 2a − a − a + 1
5 4 3
1
− x 2 − 2ax − a 2 1 mcd 3( x 2 + 2ax + a 2 ) 2a 4 − 2a 3 +2 (÷ 2 )
14. Factor común 2ab : a 5 − 2a 4 + a 3 + a − 1 a4 − a3 + 1
8a 4b + 4a 3b 2 + 4ab 4 ; 12a 4b − 18a 3b2 + 12a 2b 3 − 6ab 4 −a +a5 4
− a a
3 (4a 3 + 2a 2b + 2b 3 ) 6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3 − a4 + a3 −1 (− 1)
12a 3 + 6a 2b + 6b 3 6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3 a4 − a3 + 1 a4 − a3 + 1
− 12a + 18a b − 12ab + 6b
3 2 2 3
2 −a +a − 1
4 3
1 mcd a4 − a3 + 1
24a b − 12ab + 12b
2 2 3
(÷ 12b)
6a 3 − 9a 2b + 6ab 2 − 3b 3 2a 2 − ab + b 2
17. Factor común 2a :
− 6a 3 + 3a 2b − 3ab 2 3a
6ax 4 − 4ax 3 + 6ax 2 − 10ax + 4a ;
− 6a 2b + 3ab2 − 3b 3 (÷ − 3b) 36ax 4 − 24ax 3 − 18ax 2 + 48ax − 24a
2a − ab + b 2
2
2a 2 − ab + b 2 18 x 4 − 12 x 3 − 9 x 2 + 24 x − 12 3x 4 − 2 x 3 + 3x 2 − 5x + 2 ( 9)
− 2a 2 + ab − b 2 1 mcd 2ab (2a 2 − ab + b 2 ) − 18 x 4 + 12 x 3 − 18 x 2 + 30 x − 12 6
− 27 x 2 + 54 x − 24 (− 1)
15. Factor común 3a 2 n 2 :
27 x 4 − 18 x 3 + 27 x 2 − 45x + 18 27 x 2 − 54 x + 24 ( 4 x)
9a 5n2 − 33a 4 n 3 + 27a 3n 4 − 6a 2 n5 ;
− 27 x + 54 x − 24 x
4 3 2
x2
9a n + 12a n − 21a n + 6a n
5 2 4 3 3 4 2 5
3a 3 − 11a 2n + 9an2 − 2n3 3a 3 + 4a 2 n − 7an2 + 2n3 (5)
36 x 3 + 3x 2 − 45x + 18 (÷ 3)
− 3a 3 − 4a 2 n + 7an2 − 2n 3 1 108 x − 216 x + 96 x
3 2
12 x 3 + x 2 − 15x + 6 ( 25)
− 108 x − 9 x + 135x − 54
( ÷ − n)
3 2
9
− 15a 2 n + 16an2 − 4n 3
15a + 20a n − 35an + 10n
3 2 2 3
15a − 16an + 4n
2 2
(12) − 225x 2 + 231x − 54 (÷ − 3)
− 15a 3 + 16a 2 n − 4an2 a 300 x 3 + 25x 2 − 375x + 150 75x 2 − 77 x + 18 (111)
− 300 x + 308 x − 72 x
(÷ n)
3 2
4x
36a 2 n − 39an2 + 10n3
180a − 192an + 48n
2 2
36a − 39an + 10n
2 2 333x 2 − 447 x + 150 (÷ 3)
− 180a 2 + 195an − 50n 2 5 8 . 325x 2 − 8 .547 x + 1. 998 111x 2 − 149 x + 50 (2 . 628)
3an − 2n 2 (÷ n) − 8 . 325x 2 + 11.175x − 3 .750 75
2 . 628 x − 1. 752
36a − 39an + 10n
2 2
3a − 2n
− 36a 2 + 24an 12a 291. 708 x 2 − 391.572 x + 131. 400 2 . 628 x − 1. 752 (÷ 876)
− 291. 708 x 2 + 194 .472 x
− 15an + 10n2 (÷ − 5n) 111x
3a − 2n 3a − 2n − 197 .100 x + 131.400 (÷ − 65. 700)
3x − 2 3x − 2
− 3a + 2n 1 mcd 3a 2 n 2 (3a − 2n)
− 3x + 2 1 mcd 2a (3x − 2)

133. EJERCICIO 114 2. 8 x + 6 x y − 3xy − y 2 x − x y − 2 xy + y
3 2 2 3 3 2 2 3
− 8 x 3 + 4 x 2 y + 8 xy 2 − 4 y 3 4
10 x 2 y + 5xy 2 − 5 y 3 (÷ 5 y ) 3. ( x + x − x − x ) ÷ x ;
4 3 2
1. 2 x − 5x − 6 x + 9 2 x − 5x − 3
3 2 2
− 2 x 3 + 5x 2 + 3x x 2 x 3 − x 2 y − 2 xy 2 + y 3 2 x 2 + xy − y 2 (2 x + 2 x − 2 x − 2) ÷ 2
3 2
x3 + x2 − x − 1 x3 + x2 − x − 1
− 2 x − x y + xy
− 3x + 9
3 2
(÷ − 3)
2
x
− x3 − x2 + x + 1
− 2 x 2 y − xy 2 + y 3 (÷ − y )
1
2 x 2 − 5x − 3 x−3
0
− 2 x + 6x
2
2x 2 x + xy − y
2 2
2 x + xy − y
2 2
5x 3 − 5x 2 + 2 x − 2 x 3 + x 2 − x − 1 (10)
x −3 − 2 x 2 − xy + y 2 1
− 5x − 5x + 5x + 5
3 2
5
x 3 − 2 x 2 − 5x + 6 x − 3 ( x) 0
− x 3 + 3x 2 x2 6 x 2 − xy − y 2 2 x 2 + xy − y 2 − 10 x + 7 x + 3
2
(− 1)
x − 5x + 6
2
− 6 x − 3xy + 3 y
2 2
3 10 x 3 + 10 x 2 − 10 x − 10 10 x 2 − 7 x − 3 (17)
− 10 x 3 + 7 x 2 + 3x
− 4 xy + 2 y 2 (÷ − 2 y )
x 2 − 3x x 2 − 5x + 6 x
+ 5x − 6 1 2 x 2 + xy − y 2 2x − y 17 x − 7 x − 10
2
2x − 6 (÷ 2) − 2 x + xy 2
x 170 x 2 − 119 x − 51 17 x 2 − 7 x − 10
− 170 x + 70 x + 100
x − 5x + 6 x−3
(÷ y)
2 2
10
2 xy − y 2
− x2 + 2x x 2x − y 2x − y − 49 x + 49 (÷ − 49)
− 3x + 6 (÷ − 3) − 2x + y 1 mcd 2 x − y 17 x 2 − 7 x − 10 x−1
x−3 x−3 − 17 x 2 + 17 x 17 x
− x+3 1 mcd x−3 10 x − 10 (÷ 10)
4. 3a + 9a x + 4a x − 3ax + 2 x a + 3a x + a x − 3ax − 2 x
4 3 2 2 3 4 4 3 2 2 3 4
x −1 x−1
− 3a − 9a x − 3a x + 9ax + 6x 3
4 3 2 2 3 4
− x+1 1 mcd x − 1
a 2 x 2 + 6ax 3 + 8 x 4 (÷ x 2 ) 5. Factor común x
a 4 + 3a 3 x + a 2 x 2 − 3ax 3 − 2 x 4 a 2 + 6ax + 8x 2 ( 3a ) 2 (2 x 5 + 2 x 4 − 2 x 2 − 2 x )
− a − 6a x − 8a x 4 x4 + 4 x3 − 4 x − 4 4 x 3 − 4 x 2 + 3x − 3 ( 2 )
4 3 2 2 2
a
− 3a 3 x − 7a 2 x 2 − 3ax 3 − 2 x 4 (÷ − x) − 4 x 4 + 4 x 3 − 3x 2 + 3 x x
3a + 18a x + 24ax
3 2 2
3a + 7a x + 3ax + 2 x (11)
3 2 2 3
8 x − 3x − x − 4
3 2
− 3a 3 − 7a 2 x − 3ax 2 − 2 x 3 1 8x3 − 8x2 + 6x − 6 8 x 3 − 3x 2 − x − 4 (5)
11a 2 x + 21ax 2 − 2 x 3 (÷ x ) − 8 x 3 + 3x 2 + x + 4 1
33a + 77a x + 33ax + 22 x
3 2 2 3
11a + 21ax − 2 x
2 2
(14) − 5x + 7 x − 2
2
(− 1)
− 33a 3 − 63a 2 x + 6ax 2 3a 40 x 3 − 15x 2 − 5x − 20 5x 2 − 7 x + 2 ( 41)
14a 2 x + 39ax 2 + 22 x 3 (÷ x) − 40 x 3 + 56 x 2 − 16 x 8x
154a + 294ax − 28 x
2 2
14a + 39ax + 22 x
2 2
41x 2 − 21x − 20
− 154a 2 − 429ax − 242 x 2 11 205x 2 − 287 x + 82 41x 2 − 21x − 20
− 135ax − 270x 2 (÷ − 135x) − 205x 2 + 105x + 100 5
14a 2 + 39ax + 22 x 2 a + 2x a + 2x a + 2x − 182 x + 182 (÷ − 182)
− 14a 2 − 28ax 14a − a − 2x 1 41x 2 − 21x − 20 x−1 x−1 x−1
(÷ 11x) − 41x + 41x − x +1 1
2
11ax + 22 x 2 0 41x
4a + 8a x − ax − 2 x
3 2 2 3
a + 2x 20 x − 20 (÷ 20) 0
− 4a − 8a x
3 2
4a 2
3x 6
− 4 x − 3x + 4 x
4 3
x−1 (3x ) 4
− ax 2 − 2 x 3 (÷ − x 2 ) − 3 x + 3x
6 5 5
3x
a + 2x a + 2x 3x − 4 x − 3x + 4 x
5 4 3
Continua.
− a − 2x 1 mcd a + 2x

134. Continuación. 16. 3x 3 , 6x2 , 9x 4 y2 mcm 18x 4 y2
5. 3x − 3x
5 4
3x 5 − 4 x 4 − 3x 3 + 4 x (÷ x ) 17. 9a 2bx , 12ab 2 x 2 , 18a 3b 3 x mcm 36a 3b 3 x 2
− 3x + 4 x + 3x − 4 x
5 4 3
1
18. 10m2 , 15mn2 , 20n3 mcm 60m2n3
x + 3x − 4 x
4 3
(÷ x)
19. 18a 3 , 24b2 , 36ab 3 mcm 72a 3b 3
3x 4 − 4 x 3 − 3x 2 +4 x 3 + 3x 2 − 4 (13)
− 3x 4 − 9 x 3 + 12 x 3x
20. 20m2n3 , 24m3n , 30mn2
− 13x − 3x + 12 x + 4
3 2
(÷ − 1) 20 24 30 6
13x 3 + 39 x 2 − 52 13x 3 + 3x 2 − 12 x − 4 ( 3) 20 4 5 5 6 ⋅ 5 ⋅ 4 = 120
− 13x − 3x + 12 x + 4
3 2
1 4 4 1 4 ⇒ mcm 120m3n3
36 x 2 + 12 x − 48 (÷ 12) 1 1
39 x 3 + 9 x 2 − 36 x − 12 3x 2 + x − 4
− 39 x 3 − 13x 2 + 52 x 13x 21. ab 2 , bc 2 , a 2 c 3 , b 3c 3 mcm a 2b 3c 3
− 4 x 2 + 16x − 12 (÷ − 4) 22. 2x2 y , 8xy 3 , 4a 2 x 3 , 12a 3 mcm 24a 3 x 3 y 3
3x + x − 4
2
x − 4x + 3
2
23. 6a 2 , 9x , 12ay 2 , 18x 3 y mcm 36a 2 x 3 y 2
− 3x 2 + 12 x − 9 3
13x − 13 (÷ 13)
24. 15mn2 , 10m2 , 20n3 , 25mn4
x2 − 4 x + 3 x−1 15 10 20 25 5
− x2 + x x
3 2 4 5 5 52 ⋅ 3 ⋅ 22 = 300
− 3x + 3 (÷ − 3) 3 2 4 1 3 ⇒ mcm 300m2n4
x−1 x−1
1 2 4 2
− x+1 1 mcd x ( x − 1) 1 2 2
1
EJERCICIO 115
25. 24a 2 x 3 , 36a 2 y 4 , 40x 2 y 5 , 60a 3 y 6
2 2 2 2
1. a , ab mcm a b 24 36 40 60 2
2. x2 y , xy 2 mcm x2 y2 12 18 20 30 2
2
3. ab c , a bc mcm a b c 2 2 2 6 9 10 15 3 2 3 ⋅ 3 2 ⋅ 5 = 360
2 3 10 5 5 ⇒ mcm 360a 3 x 3y 6
4. a 2 x 3 , a 3bx 2 mcm a 3bx 3
2 3 2 1 3
5. 6m2n , 4m3 mcm 12m3n
2 1 2 2
6. 9ax 3 y , 15x 2 y 5 mcm 45ax 3y 5 1 1
7. a 3 , ab 2 , a 2b mcm a 3b2
8. x2 y , xy 2 , xy 3 z mcm x2 y3 z 26. 3a 3 , 8ab , 10b 2 , 12a 2b 3 , 16a 2b2
2 2 3 3 2
9. 2ab , 4a b , 8a mcm 8a b 3 8 10 12 16 2
10. 3x 2 y 3z , 4x 3 y3 z2 , 6x 4 mcm 12x 4 y 3z2 3 4 5 6 8 2
2
11. 6mn , 9m n , 12m n mcm 36m n 2 3 3 3 3 3 2 5 3 4 2 2 4 ⋅ 3⋅ 5 = 240
3 1 5 3 2 2 ⇒ mcm 240a 3b 3
12. 3a 2 , 4b 2 , 8x 2 mcm 24a 2b2 x 2
3 5 3 1 3
13. 5x 2 , 10xy , 15xy 2 mcm 30x 2 y 2 1 5 1 5
14. ax 3 y2 , a 3 xy , a 2 x 2 y 3 mcm a 3 x 3 y3 1
15. 4ab , 6a 2 , 3b2 mcm 12a 2b2

135. EJERCICIO 116
2a = 2a 9a 2 x − 18a 2 y = 32 a 2 ( x − 2 y )
13. 3a 2 − 6ab = 3a (a − 2b)
1. 21.
4x − 8 = 2( x − 2) 2
x 2 − 4 xy + 4 y 2 = ( x − 2 y )
2
2a 2 = 2a 2
mcm 4a ( x − 2) 6ab = 2 ⋅ 3ab
6ab = 2 ⋅ 3ab
2. ab − b = b (a − b)
2
mcm 6a b (a − 2b) 2 mcm 3 ⋅ 2a 2b ( x − 2 y )
2 2
3b2 = 3b 2 14. 5x 5 − 5x 4 = 5x 4 x − 1 ( ) ⇒ 18a 2b ( x − 2 y )
2
mcm 3b (a − b) 2
xy 2 = xy 2 9 x 4 − 36 x 2 = 32 x 2 ( x 2 − 4)
22.
3. x y + xy = xy ( x + y )
= 32 x 2 ( x + 2)( x − 2)
2 2
x2 y3 = x2 y3
x y = x2 y mcm 5x y ( x − 1)
2
3x 3 − 3x 2 − 18x = 3x ( x 2 − x − 6)
4 3
mcm x 2 y ( x + y ) ( )
15. 27a b + 81a b = 3 a b a + 3b = 3x ( x − 3)( x + 2)
4 3 2 3 3
4. 4 + 8a = 2 (1 + 2a )
2
9a 2 = 32 a 2
6 x = 2 ⋅ 3x 3
3
8 = 23 18b3 = 2 ⋅ 32 b 3
mcm 2 ⋅ 32 x 3 ( x + 2)( x − 2)( x − 3)
mcm 23 (1 + 2a ) = 8 (1 + 2a ) mcm 2 ⋅ 33 a 3b3 (a + 3b)
⇒ 18 x 3 ( x 2 − 4) ( x − 3)
5.
6a 2b = 2 ⋅ 3 a 2b ⇒ 54a 3b 3 (a + 3b)
3a 2b 2 + 6ab 3 = 3ab 2 (a + 2b) 23. 4 x 3 − 12 x 2 y + 9 xy 2 = x 4 x 2 − 12 xy + 9 y 2 ( )
16. 9 x y + 9 xy = 3 xy x + y
3 3 2 2 2
( )
6a 2b 2 (a + 2b) = x (2 x − 3 y)
2
mcm 10 = 5⋅ 2
14 x = 7 ⋅ 2 x 2 x − 3x y = x 3 (2 x − 3 y)
2 2 4 3
6. 6 x 2 = 2 ⋅ 3x 2
6 x 2 + 4 xy = 2 x (3x + 2 y )
mcm 5⋅ 2 ⋅ 32 x 2 y ( x 2 + y 2 )
a2 x2 = a2 x2
mcm 14 x (3x + 2 y ) mcm a x (2 x − 3 y )
2 2
⇒ 90 x 2 y ( x 2 + y 2 )
2 3
9m = 32 m 24. 9 x − 45x = 3 x x − 5
2 2
( )
( )
7.
17. x 2 y − xy = xy x − 1
6mn − 12mn = 2 ⋅ 3mn (n − 2)
2
12 x y = 3 ⋅ 2 x y
2 2 2 2 2
mcm 2 ⋅ 32 mn (n − 2)
x3 + x2 = x2 (x + 1) 8 x 3 = 23 x 3
4 x = 22 x
⇒ 18mn (n − 2) mcm 32 ⋅ 2 3 x 3 y 2 ( x − 5)
mcm 2 2 x 2 y ( x − 1)( x + 1)
⇒ 72 x 3 y 2 ( x − 5)
8. 15 = 5 ⋅ 3
3x + 6 = 3 ( x + 2) ⇒ 4 x y ( x − 1)
n2 x 2 + n2 y 2 = n2 (x 2 + y 2 )
2 2
( )
25.
mcm 15 ( x + 2) 18. 6m + 18m = 2 ⋅ 3m m + 3
2
nx 2 + 2nxy + ny 2 = n (x 2 + 2 xy + y 2 )
9. 10 = 5 ⋅ 2
8m − 24 = 2 3 (m − 3)
5 − 15b = 5 (1 − 3b) = n (x + y)
2
24 = 23 ⋅ 3
mcm 10 (1 − 3b) 2n = 2n
mcm 23 ⋅ 3m (m + 3)(m − 3)
10. 4ax − 12ay = 2 a ( x − 3 y ) an 3 = an3
⇒ 24m (m2 − 9)
2
mcm 2an3 (x + y ) ( x 2 + y 2 )
2
36a 2 = 2 2 ⋅ 32 a 2
19. 3ax + 3a = 3a ( x + 1)
mcm 2 2 ⋅ 32 a 2 ( x − 3 y ) 26. 4 x 3 + 24 x 2 + 36 x = 2 2 x x 2 + 6 x + 9 ( )
2a 2b 2 = 2a 2b 2
⇒ 36a ( x − 3 y ) = 2 x ( x + 3)
6 x − 18 = 2 ⋅ 3 ( x − 3)
2 2
2
12 xy 2 = 22 ⋅ 3xy 2
11. mcm 6a b (x + 1)(x − 3)
2 2
2 x − 8 x + 8 x = 2 x ( x 2 − 4 x + 4)
3 2
2ax y + 5x y = x y (2a + 5)
2 3 2 3 2 3
20. x + 4 x + 4 = ( x + 2) = 2 x ( x − 2)
2 2 2
mcm 12 x 2 y 3 (2a + 5)
x + x − 2 x = x ( x + x − 2)
3 2 2
x 3 + x 2 − 6 x = x ( x 2 + x − 6)
12. mn 3 − mn 2 = mn 2 (n − 1)
= x ( x + 2)( x − 1) = x ( x + 3)( x − 2)
mn = mn
x2 = x2 8 x = 23 x 2
2
m2 = m 2
mcm m2 n 2 (n − 1) mcm x ( x + 2) ( x − 1) mcm 8 x 2 ( x + 3) ( x − 2)
2 2 2 2

136. 27. 6 x 3 + 6 x 2 = 2 ⋅ 3x 2 (x + 1)
28. ax − a + bx − b = a ( x − 1) + b ( x − 1) = (a + b)( x − 1)
2 x 2 − 2 x + 2 = 2 ( x 2 − x + 1)
a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)
2
x + 1 = ( x + 1)( x − x + 1)
3 2
4 xy 2 = 2 2 xy 2
3x = 3x 3x − 3x 2 = 3x 2 ( x − 1)
3 3 3
mcm 2 ⋅ 3x 3 (x + 1)( x 2 − x + 1) mcm 2 2 ⋅ 3 x 2 y 2 (a + b) ( x − 1) ⇒ 12 x 2 y 2 (a + b) ( x − 1)
2 2
⇒ 6 x 3 ( x + 1)(x 2 − x + 1)
29. 5ab 3 − 5b 4 = 5b 3 (a − b) 30. 14 x + 14 = 7 ⋅ 2 x + 1 ( )
12a − 24ab + 12b 2 = 2 2 ⋅ 3 (a 2 − 2ab + b 2 )
2
x + 2 x + 1 = ( x + 1)
2 2
= 2 2 ⋅ 3 (a − b) 7 x 2 + 7 = 7 ( x 2 + 1)
2
6a b = 2 ⋅ 3a b
2 2
28 x = 7 ⋅ 2 2 x
x 2 + 1 = (x 2 + 1 )
4b = 2 2 b
2 a = 2a
mcm 28 x ( x + 1) ( x 2 + 1)
2
mcm = 5⋅ 2 2 ⋅ 3a 2b 3 (a − b) ⇒ 60a 2b 3 (a − b)
2 2
EJERCICIO 117
( ) 11. x + y = (x + y)(x − xy + y )
3 3 2 2
( ) 6. a + 2a b + ab = a a + 2ab + b
3 2 2 2 2
1. 6 x − 6 = 2 ⋅ 3 x − 1
3x + 3 = 3 ( x + 1) = a (a + b)
(x + y) = (x + y) 2
3 3
a + a b = a (a + b) mcm ( x + y) ( x − xy + y )
3
mcm 2 ⋅ 3 ( x − 1)( x + 1)
2 2
3 2 2
⇒ 6 ( x − 1) mcm a (a + b) 12. x − y = ( x − y )( x + xy + y ) 2 3 3 2 2
2 2
2. 10 x − 40 = 5 ⋅ 2 (x − 4)
2 7. 2bx + 6bx − 8b = 2b (x + 3x − 4)
2
2
(x − y) = (x − y) 2
3 3
= 2b ( x + 4)( x − 1) mcm ( x − y ) ( x + xy + y )
= 5 ⋅ 2 ( x + 2)(x − 2)
3 2 2
3ax + 12a = 3a ( x + 4) 13. 4 x − 7 x − 2 = ( 4 x) − 7 ( 4 x ) − 8
5x + 10 = 5 (x + 2)
2 2
mcm 2b ⋅ 3a ( x + 4)( x − 1) = [(4 x − 8)(4 x + 1)] ÷ 4
mcm 5⋅ 2 (x + 2)(x − 2)
⇒ 6ab ( x + 4)( x − 1) = ( x − 2)(4 x + 1)
⇒ 10 (x − 4) 2
8. x + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3) 2
x + 3x − 10 = ( x + 5)( x − 2) 2
3. x − 4 y = ( x + 2 y )( x − 2 y )
x − 25x = x ( x − 25)
2 2
mcm ( x − 2)(4 x + 1)( x + 5)
3 2
x + 2 x y = x (x + 2 y)
= x ( x + 5)( x − 5)
3 2 2
a + a − 30 = (a + 6)(a − 5) 2
mcm x ( x + 2 y )( x − 2 y )
2
14.
mcm x ( x + 5)( x − 5)( x − 3) a + 3a − 18 = (a + 6)(a − 3) 2
⇒ x (x − 4 y ) 2 2 2
⇒ x ( x − 25)( x − 3) mcm (a + 6)(a − 3)(a − 5)
2
4. x − 6 x + 9 = ( x − 3) 15. x + 2 x − 15x = x ( x + 2 x − 15)
2
9. ( x − 1) = ( x − 1)
2 2 2 4 3 2 2 2
3a x − 9a = 3a ( x − 3)
2 2 2
x − 1 = ( x + 1)( x − 1) 2
= x ( x + 5)( x − 3) 2
mcm 3a ( x − 3) x − 9 x + 5x − 45 = x ( x − 9) + 5 ( x − 9)
2
mcm ( x + 1)( x − 1)
2 2 3 2 2 2
= ( x + 5)( x − 9) 2
5. 4a − 12ab + 9b = (2a − 3b) 10. ( x + 1) = ( x + 1)
2 2 2 2 2
= ( x + 5)( x + 3)( x − 3)
4a − 9b = (2a + 3b)(2a − 3b)
2 2
x + 1= x + 1 2 2
mcm x ( x + 5)( x + 3)( x − 3)
mcm (2a + 3b)(2a − 3b)
2
mcm ( x + 1)( x + 1)
2 2
2
⇒ x ( x + 5)( x − 9 ) 2 2

137. 16. x 6 − 4 x 3 − 32 = ( x 3 − 8)( x 3 + 4) 25. 10 x 2 + 10 = 5⋅ 2 ( x 2 + 1)
= ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)(x 3 + 4) 15x + 15 = 5⋅ 3 ( x + 1)
ax 4 + 2ax 3 + 4ax 2 = ax 2 ( x 2 + 2 x + 4) 5x − 5 = 5( x 2 − 1) = 5( x + 1)( x − 1)
2
mcm ax 2 ( x − 2)( x 2 + 2 x + 4)( x 3 + 4) mcm 5⋅ 2 ⋅ 3( x 2 + 1)( x + 1)( x − 1) ⇒ 30( x 2 + 1)( x 2 − 1)
( ) ( )( )
17. 12 x − y = 2 ⋅ 3 x + y x − y
2 2 2
26. ax − 2bx + ay − 2by = x (a − 2b) + y (a − 2b)
8 (x − y) = 2 (x − y )
2 2
= ( x + y)(a − 2b)
3
mcm 2 ⋅ 3 ( x + y )( x − y ) ⇒ 24 ( x + y )( x − y ) x 2 + xy = x ( x + y)
3 2 2
18. 5( x + y ) = 5 (x + y) x 2 − xy = x ( x − y)
2 2
10 (x + y ) = 5⋅ 2 ( x + y )
2 2 2 2
mcm x ( x + y)( x − y)(a − 2b) ⇒ x ( x 2 − y 2 )(a − 2b)
mcm 10( x + y )( x + y) 4a 2b + 4ab 2 = 2 2 ab (a + b)
2 2 2
27.
6a (m + n) = 2 ⋅ 3a (m + n) 6a − 6b = 2 ⋅ 3 (a − b)
3 3
19.
4a b (m + n ) = 2 a b (m + n)(m − mn + n )
2 3 3 2 2 2 2
15a − 15b = 5⋅ 3(a − b 2 ) = 5⋅ 3 (a + b)(a − b)
2 2 2
mcm 2 ⋅ 3 a b (m + n) (m − mn + n ) mcm 2 2 ⋅ 3⋅ 5ab (a + b)(a − b) ⇒ 60ab (a 2 − b 2 )
2 2 3 2 2
⇒ 12 a b (m + n) (m − mn + n ) ( )( )
3
28. x − 25 = x + 5 x − 5
2 2 2 2
20. ax (m − n) = ax (m − n) x − 125 = ( x − 5)( x + 5x + 25)
3 3 3 2
x (m − n ) = x (m − n)(m + mn + n )
3 3 3 3
2 x + 10 = 2 ( x + 5) 2 2
mcm ax (m − n) (m + mn + n )
3 3
mcm 2 ( x + 5)(x − 5)(x + 5x + 25)
2 2
2
21. 2a + 2a = 2a (a + 1) 2
29. a b − 6a b + 9ab = ab (a − 6ab + 9b ) 3 2 2 3 2 2
3a − 3a = 3a (a − 1) = ab (a − 3b)
2 2
a − a = a (a − 1) = a (a + 1)(a − 1)
4 2 2 2
a − 2ab − 3b = (a − 3b)(a + b)
2 2 2
mcm 2 ⋅ 3a (a + 1)(a − 1) ⇒ 6a (a − 1) 2
ab + b = b (a + b) 2 2 2 3 2
22. x + 2 x = x ( x + 2) mcm ab (a − 3b) (a + b)
2 2 2
x − 2 x = x ( x − 2)
2m + 2mn = 2m (m + n)
3 2 2
2
30.
x − 4 = ( x + 2)(x − 2)
4mn − 4n = 2 n (m − n)
2
2 2
mcm x ( x − 2)( x + 2) ⇒ x ( x − 4)
6m n − 6mn = 2 ⋅ 3mn (m − n ) = 2 ⋅ 3mn (m + n)(m − n)
2 2 2
3 3 2 2
23. x + x − 2 = ( x + 2)( x − 1)
2
mcm 2 ⋅ 3mn (m + n)(m − n) ⇒ 12mn (m − n ) 2 2 2
x − 4 x + 3 = ( x − 3)( x − 1)
2
31. 20 ( x − y ) = 2 ⋅ 5 ( x + y)( x − y )
x − x − 6 = ( x − 3)( x + 2)
2 2 2
2
mcm ( x + 2)( x − 1)( x − 3) 15( x − y) = 5⋅ 3 ( x − y )
2 2
24. 4 + 12a + 9a = (2 + 3a ) 12 ( x + y ) = 2 ⋅ 3 ( x + y )
2 2 2 2
2
3a + 14a + 8 = (3a ) + 14 (3a ) + 24 mcm 2 ⋅ 5⋅ 3 ( x + y ) ( x − y ) ⇒ 60 ( x + y ) ( x − y)
2 2 2 2 2 2 2
= [(3a + 12)(3a + 2)] ÷ 3 = (a + 4)(3a + 2) 32. ax + 5ax − 14a = a ( x + 5x − 14) = a ( x + 7)( x − 2) 2 2
6a + 13a + 6 = (6a ) + 13(6a ) + 36
x + 14 x + 49 x = x ( x + 14 x + 49) = x ( x + 7)
2 2
3 2 2 2
= [(6a + 9)(6a + 4)] ÷ 3⋅ 2 = (2a + 3)(3a + 2)
x + 7 x − 18 x = x ( x + 7 x − 18) = x ( x + 9)( x − 2) 4 3 2 2 2 2
mcm (a + 4) (2a + 3)(3a + 2)
2
mcm ax ( x + 7) ( x − 2)( x + 9) 2 2

138. ( ) ( )
33. 2 x 3 − 12 x 2 + 18 x = 2 x x 2 − 6 x + 9 = 2 x x − 3 38. 16 + 8x 2 + x 4 = (4 + x 2 )
2 2
3x − 27 x = 3x (x − 9) = 3x ( x + 3)(x − 3)
16 − 8 x 2 + x 4 = (4 − x 2 ) = (2 − x) (2 + x )
4 2 2 2
2 2 2 2
5x + 30 x + 45x = 5x ( x + 6 x + 9) = 5x ( x + 3)
16 − x 4 = (4 + x 2 )(4 − x 2 ) = (4 + x 2 )(2 + x)(2 − x)
3 2 2 2
mcm 2 ⋅ 3⋅ 5x (x + 3) ( x − 3) ⇒ 30 x ( x + 3) (x − 3)
2 2 2 2
mcm (4 + x 2 ) (2 + x) (2 − x)
2 2
2 2 2
34. 3 − 3a = 3(1 − a ) = 3 (1 + a )(1 − a )
2 2
39. 1 + a = 1 + a
2 2
6 + 6a = 2 ⋅ 3 (1 + a )
(1 + a ) = (1 + a) 2 2
12 + 12a = 2 ⋅ 3 (1 + a ) 2 2 2
1 + a = (1 + a )(1 − a + a ) 3 2
9 − 9a = 3 (1 − a ) 2
mcm (1 + a ) (1 − a + a )(1 + a )
2 2 2
mcm 2 ⋅ 3 (1 + a )(1 + a )(1 − a )
2 2 2
40. 8n − 10n − 3 = (8n) − 10 (8n) − 24
2 2
⇒ 36 (1 + a )(1 − a ) = 36 (1 − a )
= [(8n − 12)(8n + 2)] ÷ 4 ⋅ 2 = (2n − 3)(4n + 1)
2 2 4
2 (3n − 2) = 2 (3n − 2)
2 2
35. 20n + 13n + 2 = ( 20n) + 13 ( 20n) + 40 2 2
135n − 40 = 5 (27n − 8) = 5 (3n − 2)(9n + 6n + 4)
3 3
= [(20n + 8)(20n + 5)] ÷ 4 ⋅ 5 = (5n + 2)(4n + 1)
2
12n − 8 = 2 (3n − 2) 10n − 11n − 6 = (10n) − 11(10n) − 60
2 2 2
mcm 5⋅ 2 (3n − 2) (9n + 6n + 4) 2 2
= [(10n − 15)(10n + 4)] ÷ 5⋅ 2 = (2n − 3)(5n + 2)
2
mcm (2n − 3)(5n + 2)(4n + 1)
⇒ 20(3n − 2) (9n + 6n + 4)
2 2
36. 12mn + 8m − 3n − 2 = 4m (3n + 2) − (3n + 2) 41. 6a + ab − 2b = 36a + 6ab − 12b
2 2 2 2
= (4m − 1)(3n + 2) = [(6a + 4b)(6a − 3b)] ÷ 2 ⋅ 3
48m n − 3n + 32m − 2 = 16m (3n + 2) − (3n + 2)
2 2 = (3a + 2b)(2a − b)
2
= (16m − 1)(3n + 2) 15a + 22ab + 8b = (15a) + 22b (15a ) + 120b 2 2 2 2
2
= (4m + 1)(4m − 1)(3n + 2) = [(15a + 12b)(15a + 10b)] ÷ 3⋅ 5
6n − 5n − 6 = (6n) − 5( 6n) − 36 2 = (5a + 4b)(3a + 2b)
2
= [(6n − 9)(6n + 4)] ÷ 3⋅ 2 10a + 3ab − 4b = (10a) + 3b (10a) − 40b 2 2 2 2
= (2n − 3)(3n + 2) = [(10a + 8b)(10a − 5b)] ÷ 2 ⋅ 5
mcm (4m + 1)(4m − 1)(3n + 2)(2n − 3) = (5a + 4b)(2a − b)
⇒ (16m − 1) (3n + 2)(2n − 3) 2 mcm (3a + 2b) (2a − b)(5a + 4b)
37. 15a x + 16a x − 15a x = a x (15x + 16 x − 15) 42. 12 x + 5xy − 2 y = (12 x ) + 5 y (12 x ) − 24 y
2 5 2 3 2 3 2 2 4 2 2 2 2
[
= a 2 x 3 (15x ) + 16 (15x ) − 225
2
] [
= (12 x + 8 y )(12 x − 3 y ) ÷ 4 ⋅ 3]
=a x 2 3
[(15x + 25)(15x − 9) ÷ 5⋅ 3] = (3x + 2 y )(4 x − y )
= a 2 x 3 (3x + 5)(5x − 3) 15x + 13xy + 2 y = (15x ) + 13 y (15x ) + 30 y 2
2 2 2
18 x + 60x + 50 x = 2 x (9 x + 30 x + 25)
3 2 2
[
= (15x + 10 y )(15x + 3 y ) ÷ 5⋅ 3 ]
[
= 2 x ( 9 x ) + 30 ( 9 x ) + 225
2
] = (3x + 2 y )(5x + y )
[
= 2 x (9 x + 15)(9 x + 15) ÷ 3⋅ 3 ] 20 x 2 − xy − y 2 = (20 x ) − y (20 x ) − 20 y 2
2
= 2 x (3x + 5) [
= (20 x − 5 y )(20 x + 4 y ) ÷ 5⋅ 4 ]
2
12ax 3 + 20ax 2 = 2 2 ax 2 (3x + 5) = (4 x − y )(5x + y )
mcm = 22 a 2 x 3 (3x + 5) (5x − 3) (4 x − y)(5x + y)(3x + 2 y)
2
mcm
= 4a 2 x 3 (3x + 5) (5x − 3)
2

139. 6b 2 x 2 + 6b 2 x 3 = 2 ⋅ 3b 2 x 2 (1 + x ) ( ) [
= a b (a − b) ] = ab2 (a − b)
2 2 2
47. a ab − b
2
43.
3a 2 x − 3a 2 x 2 = 3a 2 x (1 − x ) b (a + ab) = b [a (a + b)] = a 2b (a + b)
2 2 2
2
1 − x 4 = (1 + x 2 )(1 − x 2 ) = (1 + x 2 )(1 + x )(1 − x ) a 4b 2 − a 2b 4 = a 2b 2 (a 2 − b 2 ) = a 2b 2 (a + b)(a − b)
mcm 2 ⋅ 3a 2b 2 x 2 (1 + x 2 )(1 + x )(1 − x ) a 2b − ab2 = ab (a − b)
⇒ 6a 2b 2 x 2 (1 + x 2 )(1 − x 2 ) mcm a 2b 2 (a + b) (a − b)
2 2
44. x 4 + 8x − 4 x 3 − 32 = x 3 (x − 4) + 8 ( x − 4)
= ( x 3 + 8)( x − 4) 48. m3 − 27n3 = (m − 3n)(m2 + 3mn + 9n2 )
= ( x + 2)( x 2 − 2 x + 4)(x − 4) m2 − 9n2 = (m − 3n)(m + 3n)
a 2 x 4 − 2a 2 x 3 − 8a 2 x 2 = a 2 x 2 ( x 2 − 2 x − 8) m2 − 6mn + 9n2 = (m − 3n)
2
= a 2 x 2 (x − 4)( x + 2) m2 + 3mn + 9n 2 = (m2 + 3mn + 9n 2 )
2 x 4 − 4 x 3 + 8 x 2 = 2 x 2 (x 2 − 2 x + 4) mcm (m − 3n) (m2 + 3mn + 9n2 )(m + 3n)
2
mcm 2a 2 x 2 ( x + 2)(x 2 − 2 x + 4)( x − 4)
EJERCICIO 118
45. x 4 − 10 x 2 + 9 = ( x 4 − 10x 2 + 9 + 4 x 2 − 4 x 2 )
= ( x 4 − 6 x 2 + 9) − 4 x 2 a2 a 21mn3 x 6 3nx 4
1. = 10. =
28m4n2 x 2 4m3
= ( x 2 − 3) − 4 x 2
2 ab b
= ( x 2 − 2 x − 3)( x 2 + 2 x − 3) 2a 1 42a 2c 3n 21n
2. = 11. =
= ( x − 3)( x + 1)( x + 3)( x − 1) 8a 2b 4ab 26a 4 c 5m 13a 2 c 2m
x + 4 x + 3 = ( x 2 + 4 x + 3 + 1− 1)
2
7x 3 y 4 z6 1
x 2y 2 1
12. 34x 7 y 8z10 = 2x 4 y 4 z4
= ( x + 4 x + 4) − 1
2
3. x 3 y 3 = xy
= ( x + 2) − 1
2
30x 6 y 2 2x 2 y 2
= ( x + 2 + 1)( x + 2 − 1) = ( x + 3)( x + 1) ax 3 a 13. = 3 3
4. x 5 y = x 2 y
3 4 3
45a x z 3a z
x 2 − 4 x + 3 = ( x 2 − 4 x + 3 + 1 − 1)
4 4
a 5b 7
= ( x 2 − 4 x + 4) − 1
1
14. =
2 3
6m n 3a 8b 9c 3a 3b2 c
= 2mn3
= ( x − 2) − 1
2 5.
3m
21a 8b10 c12 a 4b 9c10
= ( x − 2 + 1)( x − 2 − 1) = ( x − 1)( x − 3) 15. =
9x 2 y 3 63a 4bc 2 3
x 3 − 9 x + x 2 − 9 = x 2 ( x + 1) − 9 ( x + 1)
3
6. 24a 2 x 3 y 4 = 8a 2 xy
= ( x 2 − 9)( x + 1) 54x 9 y11z13 6
16. 63x10 y12 z15 = 7xyz2
= ( x + 3)( x − 3)( x + 1) 8m4n3 x 2 m3n
7. =
mcm (x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1) ⇒ ( x 2 − 9)( x 2 − 1) 24mn2 x 2 3
15a12b15 c 20
=
a
17.
1 − a = (1 − a )(1 + a + a )
3 2 75a11b16 c 22 5bc 2
46. 12x 3y 4 z5 3x 2 y 2 z4
=
1 − a = (1 − a )
8. 32xy 2 z 8 75a7m5 3a 4
18. =
1 − a = (1 + a )(1 − a )
2 100a 3m12n3 4m7n3
1 − 2a + a = (1 − a )
2 12a 2b3 1
2
9. =
60a 3b5 x 6 5ab 2 x 6
mcm (1 − a ) (1 + a + a )(1 + a )
2 2

140. EJERCICIO 119
3ab 3ab 3b 15. 2ax + ay − 4bx − 2by
1. 2a 2 x + 2a 3 = 2a 2 x + a = 2a x + a
( ) ( ) ax − 4a − 2bx + 8b
xy xy 1 2 x (a − 2b) + y (a − 2b) (2 x + y)(a − 2b) = 2 x + y
= =
2. 3x 2 y − 3xy 2 = 3xy x − y = 3 x − y x (a − 2b) − 4 (a − 2b) (x − 4)(a − 2b) x − 4
( ) ( )
a 2 − ab − 6b 2
2ax + 4bx 2 x (a + 2b) 2 x 16.
3. 3ay + 6by = = a x − 6a 2bx + 9ab 2 x
3
3 y (a + 2b) 3 y
(a − 3b)(a + 2b) = (a − 3b)(a + 2b) = a + 2b
x 2 − 2 x − 3 ( x − 3)( x + 1) =
ax (a 2 − 6b + 9b 2 ) ax (a − 3b) ax (a − 3b)
2
4. = = x+1
x−3 x−3
10a 2b 3c a 2b 3c b 3c m2 + n 2 m2 + n 2 1
= 2 2 2 2 = 2 2
5. = =
80 (a 3 − a 2b) 8a 2 (a − b) 8 (a − b)
17. m4 − n 4
(m + n )(m − n ) m − n
x2 − 4 (x + 2)(x − 2) = x − 2 x3 + y3 (x + y)(x − xy + y ) = x − xy + y
=
2 2 2 2
6. 5ax + 10a =
5a ( x + 2) 5a
18.
(x + y) 3
(x + y) ( x + y) 3 2
7. 3x − 4 x − 15
2
(m − n) 2
=
(m − n) = m − n 2
x 2 − 5x + 6 19.
m −n2 2
(m + n)(m − n) m + n
( 3x ) 2 − 4 ( 3x ) − 45
= (a − x) 3
(a − x) (a − x) 3 2
(x − 3)(x − 2) = =
20.
a 3 − x3 (a − x)(a + ax + x ) a + ax + x
2 2 2 2
=
[(3x − 9)(3x + 5)] ÷ 3 = (x − 3)(3x + 5) = 3x + 5 a 2 − a − 20 (a − 5)(a + 4) a + 4
(x − 3)(x − 2) (x − 3)(x − 2) x − 2 21. a 2 − 7a + 10 = =
(a − 5)(a − 2) a − 2
15a b (n − 3m)
15a bn − 45a bm
[(a + 1)(1− a)] = (1− a)
2
(1− a )
2 2
3 2 2
2
= =
8.
10a b n − 30a b m 10a b (n − 3m) 2b
2
=
2 2 2 2 2 2
(x + y)(x − y) = x − y
22. a 2 + 2a + 1 a+1 ( )
2
x −y 2 2
9. x + 2 xy + y =
2
( x + y)
2
x+ y 2
a b −a b a 2b 2 (a 2 − b 2 )
4 2 2 4
a 2b 2
= 2 2 2 2 = 2 2
3x y + 15xy
2
3xy ( x + 5) 3xy
23.
a 4 − b4 (a + b )(a − b ) a + b
= =
10. x − 25 2
(x + 5)(x − 5) x − 5 x2 − y2 (x + y)(x − y) x+ y
24. x 3 − y 3 = = 2
a 2 − 4ab + 4b 2 (a − 2b) a − 2b
2
( )(
x − y x 2 + xy + y 2 x + xy + y )
2
= =
11.
a − 8b
3 3
(a − 2b)(a 2 + 2ab + 4b2 ) a 2 + 2ab + 4b2 25. 24a 3b + 8a 2b 2
36a 4 + 24a 3b + 4a 2b 2
x 3 + 4 x 2 − 21x x (x + 4 x − 21) (x + 7)(x − 3) x + 7
2
= = = 8a 2b (3a + b) 2b (3a + b)
x ( x 2 − 9) (x + 3)(x − 3) x + 3
12. 2b
x3 − 9x = = =
4a (9a 2 + 6ab + b 2 ) (3a + b) 3a + b
2 2
13. 6 x + 5x − 6
2
n3 − n
15x 2 − 7 x − 2 26. 2
n − 5n − 6
( 6 x ) 2 + 5 ( 6 x ) − 36
= n (n 2 − 1) n (n + 1)(n − 1) n (n − 1)
(15x) 2 − 7 (15x ) − 30 = = =
(n − 6)(n + 1) (n − 6)(n + 1) n − 6
=
[(6x + 9)(6x − 4)]÷ 3⋅ 2 = (2 x + 3)(3x − 2) = 2 x + 3 27. 8n3 + 1
[(15x − 10)(15x + 3)]÷ 5 ⋅ 3 (3x − 2)(5x + 1) 5x + 1 8n 3 − 4n 2 + 2n
a3 + 1
= 3
a3 + 1
= 3
a3 + 1
=
1
=
(2n + 1)(4n − 2n + 1) = 2n + 1
2
a (a − 1) + (a − 1) (a + 1)(a − 1) a − 1 2n (4n − 2n + 1 )
14. a 4 − a 3 + a − 1 2
2n

141. 28. a − (b − c) 43. 3m + 5mn − 8n
2 2 2 2
39. 3x + 19 x + 20
2
(a + b)2 − c2 6 x 2 + 17 x + 12 m3 − n 3
(a + b − c)(a − b + c) = a − b + c (3x ) 2 + 19 ( 3x) + 60 ( 3m) 2 + 5n ( 3m) − 24n 2
=
=
(a + b − c)(a + b + c) a + b + c
=
( 6 x) 2 + 17 (6 x ) + 72 (m − n)(m + mn + n ) 2 2
29. (a + b) − (c − d )
2 2
=
[(3x + 15)(3x + 4)] ÷ 3 =
[(3m + 8n)(3m − 3n)] ÷ 3
(a + c) − (b − d )
2 2
[(6 x + 8)(6x + 9)]÷ 2 ⋅ 3 (m − n)(m + mn + n ) 2 2
=
(a + b + c − d )(a + b − c + d ) (x + 5)(3x + 4) = x + 5 =
(3m + 8n)(m − n)
=
(a + b + c − d )(a − b + c + d ) (3x + 4)(2 x + 3) 2 x + 3 (m − n)(m + mn + n ) 2 2
a + b− c+ d 3m + 8n
= =
a− b+ c+ d m2 + mn + n 2
4a − 15a − 4
4 2
3x 3 + 9 x 2 3x ( x + 3) 3x 2 40.
2
a 2 − 8a − 20
30. x 2 + 6 x + 9 = = 44. 15a b − 18a b
3 2
(x + 3)2 x + 3 (4a ) 2 2
− 15(4a 2 ) − 16 20a b − 24ab 2
2 2
31. 10a 2 (a 3 + b 3 ) =
(a − 10)(a + 2) 3a b (5a − 6) 3a 2
= =
6a 4 − 6a 3b + 6a 2b2 4ab (5a − 6) 4b
[(4a − 16)(4a + 1)] ÷ 4
2
2 2
10a 2 (a + b)(a 2 − ab + b 2 ) 5 (a + b) =
(a − 10)(a + 2) 45. 9 x − 24 x + 16
2
= =
6a 2 (a 2 − ab + b 2 ) 9 x − 16 x 4 2
3
(a − 4)(4a + 1)
2 2
a (4a 2 − 8ab) 4a 2 (a − 2b) 4a =
(a − 10)(a + 2) =
(3x − 4) 2
= = x (9 x − 16)
x (3a 2 − 6ab) 3ax (a − 2b) 3x
2 2
32.
(a + 2)(a − 2)(4a + 1) 2
x 3 − 6x 2 x 2 ( x − 6) x 2
=
(a − 10)(a + 2) =
(3x − 4) =
3x − 4
2
33. x 2 − 12 x + 36 = = x (3x + 4)(3x − 4) x (3x + 4)
(x − 6)2 x − 6
2 2
=
(a − 2)(4a + 1) 2
34. ( x − 4 y) 2
a − 10 46. 16a 2 x − 25x
x 5 − 64 x 2 y 3 12a 3 − 7a 2 − 10a
x (16a 2 − 25)
(x − 4 y) 2
41. 125a + a 4 =
= a (12a 2 − 7a − 10)
x ( x − 64 y ) 2a + 20a 2 + 50a
3
2 3 3
a (125 + a 3 ) x (4a + 5)(4a − 5)
( x − 4 y) 2
= =
=
x ( x − 4 y)( x + 4 xy + 16 y )
2 2 2 2a (a + 10a + 25)
2
[
a (12a ) − 7 (12a ) − 120
2
]
x − 4y (5 + a)(25 − 5a + a ) 2 x (4a + 5)(4a − 5)
=
=
x ( x + 4 xy + 16 y
2 2 2
)
=
2 (a + 5)
2
[
a (12a − 15)(12a + 8) ÷ 3⋅ 4 ]
x − 3xy
3 2
x (x − 3 y 2 2
)= x a 2 − 5a + 25 x (4a + 5)(4a − 5) x(4a + 5)
= = =
35. x 4 − 6 x 2 y 2 + 9 y 4 = 2 2 (a + 5) a (4a − 5)(3a + 2) a (3a + 2)
x − 3y 2 ( )
2
x 2 − 3y 2
36. m n + 3m n + 9mn
3 2
a 2 n2 − 36a 2 47. 8 x 4 − xy 3
42. 4x − 4x3 y + x2 y2
m − 27
3 4
an 2 + an − 30a
mn (m2 + 3m + 9) mn a 2 (n 2 − 36) x (8 x 3 − y 3 )
= = =
(m − 3)(m 2
+ 3m + 9) m− 3
=
a (n2 + n − 30) x (4 x 2 − 4 xy + y 2 )
2
x 4 − 8 x 2 + 15 ( x − 5)( x − 3) x 2 − 5
2 2
a (n + 6)(n − 6)
=
(2 x − y)(4 x + 2 xy + y ) 2 2
= 2 = =
(x + 3)(x 2 − 3) x 2 + 3 (n + 6)(n − 5) x (2 x − y )
2
37.
x −9
4
a (n − 6)
a 4 + 6a 2 − 7 (a + 7)(a − 1) a 2 + 7
2 2 4 x 2 + 2 xy + y 2
= =
= 2 = n−5 x (2 x − y )
a + 8a − 9 (a + 9)(a 2 − 1) a 2 + 9
38. 4 2

142. 48. 3an − 4a − 6bn + 8b 53. 4a − ( x − 3)
2 2
6n2 − 5n − 4 8n 3 − 125
(2a + x) − 9 2 58.
3n (a − 2b) − 4 (a − 2b) 25 − 20n + 4n 2
= (2a + x − 3)(2a − x + 3)
( 6n) 2 − 5 ( 6n) − 24 =
(2a + x + 3)(2a + x − 3) =
(2n − 5)(4n + 10n + 25)
2
=
(3n − 4)(a − 2b) 2a − x + 3 (2n − 5) 2
[(6n − 8)(6n + 3)] ÷ 2 ⋅ 3 =
2a + x + 3
=
4n 2 + 10n + 25
=
(3n − 4)(a − 2b) = a − 2b 54.
m − am + n − an 2n − 5
(3n − 4)(2n + 1) 2n + 1 1 − 3a + 3a 2 − a 3
m (1 − a ) + n (1 − a ) 59. 6 − x − x
2
49. x 4 − 49 x 2 = 15 + 2 x − x 2
x + 2 x 2 − 63x
3 (1− a ) − 3a (1− a)
3
− ( x 2 + x − 6)
(x 2
+ 7 x )( x 2 − 7 x ) (m + n)(1− a) =
= = − ( x 2 − 2 x − 15)
x ( x 2 + 2 x − 63) (1− a)(1+ a + a ) − 3a (1− a) 2
(m + n)(1− a) (x + 3)( x − 2) = x − 2
x 2 ( x + 7)( x − 7) x ( x + 7) =
= = =
(1− a)(1− 2a + a ) (x − 5)(x + 3) x − 5
x ( x + 9)( x − 7)
2
x+9
m+ n m+ n
x4 + x − x3 y − y = =
50. a 2 − 2a + 1 (a − 1)2 60. 3 + 2 x − 8 x
2
x3 − x − x2 y + y
6x 2 + 3 4 + 5x − 6 x 2
x 3 (x − y) + (x − y ) 55.
= 42 x − 9 x 3 − 15x − (8 x 2 − 2 x − 3)
x 2 (x − y) − (x − y)
5
=
3(2 x 2 + 1) − (6x 2 − 5x − 4)
(x 3 + 1)(x − y) =
= 3x (14 x 4 − 3x 2 − 5) (8 x) 2 − 2 (8x ) − 24
(x − 1)(x − y)
2 =
(6 x) 2 − 5( 6x ) − 24
2x2 + 1
(x + 1)(x − x + 1) 2
=
[(8x − 6)(8x + 4)] ÷ 2 ⋅ 4
=
(x + 1)(x − 1) [
x (14 x 2 ) − 3(14 x 2 ) − 70
2
] =
x2 − x + 1 2x2 + 1
[(6x − 8)(6x + 3)] ÷ 2 ⋅ 3
=
x−1
=
[
x (14 x 2 − 10)(14 x 2 + 7) ÷ 2 ⋅ 7 ] =
(4 x − 3)(2 x + 1) = 4 x − 3
(3x − 4)(2 x + 1) 3x − 4
51. 2 x + 6 x − x − 3
3 2
2x2 + 1 1
= =
x 3 + 3x 2 + x + 3 x (7 x − 5)(2 x 2 + 1) x (7 x 2 − 5)
2
m2 n 2 + 3mn − 10
2 x 2 ( x + 3) − ( x + 3) 61.
56. a − a − 1 + a
2 3
= 4 − 4mn + m2 n 2
x 2 ( x + 3) + (x + 3) a + 1− a3 − a
(mn + 5)(mn − 2) = mn + 5
2
=
(2 x − 1)(x + 3) = 2 x − 1
2 2
a 2 (1 − a ) − (1 − a ) =
(mn − 2) 2
mn − 2
=
(x + 1)(x + 3) x + 1
2 2
a (1 − a ) + (1 − a )
2
52. a m − 4am + a n − 4an
3 3
=
(a 2
− 1)(1 − a ) a 2 − 1
= 2 62. x + x y − 4b x − 4b y
3 2 2 2
a 4 − 4a 3 − 12a 2 (a 2
+ 1)(1 − a ) a + 1 4b − 4bx + x
2 2
am (a 2 − 4) + an (a 2 − 4) 8 x 3 + 12 x 2 y + 6 xy 2 + y 3 x 2 ( x + y ) − 4b 2 ( x + y)
= =
a 2 (a 2 − 4a − 12)
57.
6 x 2 + xy − y 2 (2b − x) 2
a (m + n)(a 2 − 4) 6 xy (2 x + y ) + (8 x 3 + y 3 ) ( x − 4b )(x + y)
2 2
= =
a 2 (a − 6)(a + 2) (6 x ) 2 + y ( 6 x ) − 6 y 2 =
(x − 2b) 2
(m + n)(a + 2)(a − 2) 6 xy (2 x + y ) + (2 x + y )(4 x − 2 xy + y ) ( x + 2b)(x − 2b)(x + y)
2 2
=
=
a (a − 6)(a + 2) [(6x + 3y)(6 x − 2 y)] ÷ 3 ⋅ 2 =
(x − 2b) 2
(m + n)(a − 2) =
(2 x + y )(4 x + 4 xy + y ) = (2 x + y )
2 2 2
(x + 2b)( x + y)
=
a (a − 6) (2 x + y )(3x − y ) 3x − y =
x − 2b

143. 63. x6 + x3 − 2 71. x 4 − 7 x 2 − 2 x + 8
69. x + 3x − 4
3 2
x − x3 y − x + y
4 1 0 −7 −2 8 −2
1 3 0 −4 −2
=
(x + 2)(x − 1) 3 3
−2 −2 4
−2 4 6 −8
1 −2 −3
x (x − y ) − ( x − y)
3 4 0
1 1 −2 0
(x + 2)(x 3 − 2 x 2 − 3x + 4)
=
(x + 2)(x − 1) = x + 2
3 3 3
= ( x + 2)( x 2 + x − 2)
1 −2 −3
(x − 1)(x − y) x − y
4 1
= ( x + 2)( x + 2)(x − 1)
3
1 −1 − 4
64. (x − x − 2)(x − 9) = ( x + 2) ( x − 1)
2 2 2
1 −1 −4 0
(x − 2 x − 3)(x + x − 6)
2 2
x 3 + x 2 − 8 x − 12 (x + 2)(x − 1)(x 2
− x − 4)
=
(x − 2)(x + 1)(x + 3)(x − 3) = 1 1 1 − 8 − 12 −2 x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 10 x + 24
(x − 3)(x + 1)(x + 3)(x − 2) −2 2 12
1 − 2 − 9 10 24 − 2
1 −1 − 6
65. (a − 4a + 4)(4a − 4a + 1)
0
2 2
− 2 8 2 − 24
(a + a − 6)(2a − 5a + 2)
2 2 = ( x + 2)( x 2 − x − 6) 1 − 4 − 1 12 0
(a − 2) (2a − 1) 2 2 = ( x + 2)( x − 3)( x + 2) (x + 2)(x 3
− 4 x 2 − x + 12)
=
(a + 3)(a − 2)[(2a ) − 5(2a) + 4] = ( x + 2) ( x − 3)
2
2
1 −4 −1 12 3
(a − 2)(2a − 1) 2
⇒
(x + 2) (x − 1) = x − 1
2
3 − 3 − 12
=
a + 3)[(2a − 4)(2a − 1)] ÷ 2
1 −1 −4
( (x + 2) (x − 3) x − 3
2 0
(a − 2)(2a − 1) = 2a − 1 2 (x + 2)(x − 3)(x − x − 4) 2
=
(a + 3)(a − 2)(2a − 1) a + 3 ⇒
(x + 2)(x − 1)(x − x − 4) = x − 1 2
66. (x 3
− 3x)( x 3 − 1) 70. x − x − 8 x + 12
3 2
(x + 2)(x − 3)(x − x − 4) x − 3 2
1 − 1 − 8 12 2 72. a − a − a + 1
(x + x 3 + x 2 )( x 2 − 1)
5 3 2
4
2 2 − 12 = a 2 (a 3 − 1) − (a 3 − 1)
x ( x 2 − 3)( x − 1)( x 2 + x + 1) 1 1 −6 0
= (a 2 − 1)(a 3 − 1)
=
x ( x + x + 1)( x + 1)(x − 1)
2 2
= ( x − 2)( x + x − 6) 2
= (a − 1) (a + 1)(a 2 + a + 1)
2
x −3 2
= ( x − 2)( x + 3)( x − 2) a − 2 a − 6a 3 + 8a 2 + 5a − 6
5 4
=
x ( x + 1) = ( x − 2) ( x + 3)
2
1 −2 −6 8 5 −6 1
67. (4n + 4n − 3)(n + 7n − 30)
2 2
x 4 − 2 x 3 − 7 x 2 + 20x − 12
1 −1 − 7 1 6
(2n − 7n + 3)(4n + 12n + 9)
2 2
1 − 2 − 7 20 − 12 2
1 −1 − 7 1 6 0
(a − 1)(a − a 3 − 7 a 2 + a + 6)
[(4n) + 4 (4n) − 12](n + 10)(n − 3)
4
2
2 0 − 14 12
= 1 −1 −7 1 6 1
[(2n) − 7 (2n) + 6](2n + 3)
2 2 1 0 −7 6 0
1 0 −7 −6
(n + 10)(n − 3)[(4n + 6)(4n − 2)]÷ 2 ⋅ 2 (x − 2)( x 3
− 7 x + 6) 1 0 −7 −6 0
= −7
(2n + 3) [(2n − 6)(2n − 1)]÷ 2 ⋅
2 1 0 6 2
(a − 1) (a2 3
− 7a − 6)
2 4 −6 0 −7 −6 −1
(n + 10)(n − 3)(2n + 3)(2n − 1) = n + 10
1
1 2 −3 0 −1 1 6
=
(2n + 3) (n − 3)(2n − 1) 2n + 3
2
= ( x − 2)( x − 2)( x 2 + 2 x − 3) 1 −1 −6 0
68. (x − y )(x + y) 6 6
= ( x − 2) ( x + 3)( x − 1)
2
(a − 1) (a + 1)(a − a − 6)
2 2
(x − y )(x + x y + xy + y )
3 3 3 2 2 3
(x − 2) (x + 3) 2 = (a − 1) (a + 1)(a − 3)(a + 2)
2
=
(x + y )(x − y )(x + y)
3 3 3 3 ⇒
(x − 2) (x + 3)( x − 1)
2
⇒
(a − 1) (a + 1)(a + a + 1)
2 2
( x − y )[ x ( x + y ) + y ( x + y ) ] (a − 1) (a + 1)(a − 3)(a + 2)
2
3 3 2 2
1
= a2 + a + 1
=
(x + y )(x + y) = x + y
3 3 3 3 x −1 =
(a − 3)(a + 2)
(x + y )(x + y) x + y
2 2 2 2

144. EJERCICIO 120 9 − 6x + x 2
=
(x − 3) = x − 3 2
x − 7 x + 12 ( x − 4)(x − 3) x − 4
11. 2
4 − 4 x 4(1 − x ) 4 ( x − 1) 2
1. 6 x − 6 = =− =−
6 ( x − 1) 6 ( x − 1) 3
a 2 − b2
a 2 − b2 (a − b ) = − 1 2 2 12. b3 − a 3
2 =− (a + b)(a − b)
2.
b −a
2
(a 2 − b2 ) =
(b − a)(b + ab + a ) 2 2
m2 − n 2 (m + n)(m − n) = (m + n)(m − n) = m + n
3. =
(n − m) (n − m)(n − m) (m − n)(m − n) m − n
2
=−
(a + b)(a − b) = − a+b
(a − b)(b + ab + a ) b 2 2 2
+ ab + a 2
x − x − 12 ( x − 4)( x + 3)
2
(x − 4)(x + 3) = − x + 3
= =−
4. 16 − x (4 − x)(4 + x) (x − 4)(4 + x) 4 + x
2
3ax − 3bx − 6a + 6b
13.
3y − 6 x 2b − 2a − bx + ax
5. 2mx − my − 2nx + ny 3x (a − b) − 6 (a − b)
=
3( y − 2 x ) 2 (b − a ) − x (b − a )
=
2 x (m − n) − y (m − n) 3 ( x − 2)(a − b) 3 ( x − 2)(a − b)
= = =3
3 ( y − 2 x) 3 3 (2 x − y) (2 − x)(b − a) (x − 2)(a − b)
= =− =−
(2 x − y)(m − n) (2 x − y)(m − n) m − n
a2 − x2
2x − 9x − 5
2
14. x − ax − 3x + 3a
2
6.
10 + 3x − x 2 (a + x)(a − x)
=−
[(2 x) 2
− 9(2 x ) − 10 ] =
x (x − a ) − 3( x − a)
x 2 − 3x − 10
=
(a + x)(a − x) = (a + x)(a − x) = a + x
=−
(2 x − 10)(2 x + 1) = − (x − 5)(2 x + 1) = − 2 x + 1 (x − 3)(x − a) (3 − x)(a − x) 3 − x
(x − 5)( x + 2) ( x − 5)(x + 2) x + 2
3bx − 6 x
8 − a3 15.
7. 2 8 − b3
a + 2a − 8
3x (b − 2)
=
(2 − a)(4 + 2a + a ) = − (a − 2)(4 + 2a + a ) = − a
2 2 2
+ 2a + 4 =
(2 − b)(4 + 2b + b ) 2
(a + 4)(a − 2) (a + 4)(a − 2) a+4
3x (b − 2) 3x
=− =−
a2 + a − 2 (b − 2)(4 + 2b + b ) 4 + 2b + b 2 2
8. n − an − m + am
(a + 2)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) = (a + 2)(a − 1) = a + 2 (1 − a) 3
(1 − a ) = − 1 − a
3
=
n (1 − a) − m (1 − a) (n − m)(1 − a ) (m − n)(a − 1) m − n
=− ( ) 2
16.
a −1 (1 − a)
4 x 2 − 4 xy + y 2 (2 x − y ) (2 x − y) = − 2 x − y
2 2
= =−
5(y − 2 x) 5 (2 x − y )
9. 2 x 3 − 2 x 2 y − 2 xy 2
5 y − 10 x 5
17.
3 y 3 + 3xy 2 − 3x 2 y
3mx − nx − 3my + ny
10. ny 2 − nx 2 − 3my 2 + 3mx 2 2 x ( x 2 − xy − y 2 ) 2 x ( x 2 − xy − y 2 ) 2x
= =− =−
3m ( x − y) − n ( x − y) 3y ( y + xy − x 2 )
2
3 y ( x − xy − y 2 )
2
3y
=
− 3m ( y 2 − x 2 ) + n ( y 2 − x 2 )
(3m − n)(x − y) = (3m − n)(x − y) = x − y = 1 (a − b) = (a − b)
3 3
=a−b
=
(n − 3m)( y − x ) (3m − n)(x − y ) (x + y)(x − y) x + y
2 2 2 2
18.
(b − a) (a − b)
2 2

145. 2 x 3 − 2 xy 2 + x 2 − y 2
2 x 2 − 22 x + 60 25.
2 xy 2 + y 2 − 2 x 3 − x 2
19.
75 − 3x 2
2 x (x 2 − y 2 ) + (x 2 − y 2 )
=
[(2 x) 2
− 22 (2 x) + 120 ] =
y 2 (2 x + 1) − x 2 (2 x + 1)
3(25 − x 2 )
(2 x + 1)(x 2
− y2 )
(x 2
− y2 )
(2 x − 12)(2 x − 10) = =− = −1
=
3 (5 − x)(5 + x)
(2 x + 1)( y 2
−x ) (x 2 2
− y2 )
=
(2 x − 12)(x − 5) = 2 (6 − x)(5 − x) = 2 (6 − x) 26.
30 x 2 y − 45xy 2 − 20 x 3
3(5 − x )(5 + x ) 3(5 − x)(5 + x) 3( x + 5) 8 x 3 + 27 y 3
5x (6 xy − 9 y 2 − 4 x 2 )
=
6an − 3b n
2 2 2
(2 x + 3y)(4 x − 6xy + 9 y ) 2 2
20.
b 4 − 4ab2 + 4a 2 5x (4 x − 6 xy + 9 y ) 5x
2 2
=− =−
3n2 (2a − b2 ) 3n2 (2a − b 2 ) 3n 2 (2 x + 3y)(4 x − 6xy + 9 y ) 2 x + 3y 2 2
= = =
(b 2
− 2a )
2
(2a − b )(2a − b )
2 2
2a − b 2
n + 1 − n3 − n2
27. n 3 − n − 2n 2 + 2
(x − y ) − z 2 2
21. ( y + z) − x 2
=
(n + 1) − n (n + 1) 2
n (n − 1) − 2 (n − 1)
(x − y − z)(x − y + z)
2 2
=
( y + z − x)( y + z + x) =
(1− n )(n + 1) = (1− n )(n + 1) = n + 1
2 2
(z + y − x)( y − x − z) = y − x − z (n − 2)(n − 1) (2 − n)(1− n ) 2 − n
2 2
=
(z + y − x)( y + z + x) x + y + z
(x − 2) (x + x − 12)
2 2
3a 2 − 3ab
28.
(2 − x)(3 − x) 2
22. bd − ad − bc + ac
=
(2 − x) ( x + 4)(x − 3)
2
3a (a − b) (2 − x)(3 − x) 2
=
d (b − a ) − c (b − a ) (x − 2)(x + 4)(3 − x) = ( x − 2)(x + 4)
=
3a (a − b) 3a (a − b ) (3 − x) 3− x 2
3a
= = =
(d − c)(b − a) (c − d )(a − b) c− d
5x 3 − 15x 2 y
29. 90 x 3 y 2 − 10 x 5
(x − 5) 3
5x 2 ( x − 3 y )
23. 125 − x 3 =
10 x 3 (9 y 2 − x 2 )
=
( x − 5) 3
( x − 3y )
(5 − x)(25 + 5x + x ) 2 =
2 x (3y − x)(3 y + x)
=−
(x − 5) =−
(x − 5) 3 2
=−
x − 3y
=
−1
(x − 5)(x + 5x + 25) x + 5x + 25 2 x ( x − 3 y)(3 y + x) 2 x (3 y + x)
2 2
13x − 6 − 6 x 2 (6x 2 − 13x + 6) = − 1 (x − 1)(x − 8x + 16)
2 2
24.
6 x − 13x + 6
2 =−
6x 2 − 13x + 6
30.
(x − 4 x)(1− x )
2 2
=
(x + 1)(x − 1)(x − 4)(x − 4) = (1− x)(4 − x) = 4 − x
x ( x − 4)(1+ x)(1− x) x (1 − x) x

146. EJERCICIO 121
a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 2ax 4 − ax 3 − ax 2 − 2ax + 2a ( 3)
3. Factor común a
1.
a 4 − a 3 x − 2a 2 x 2 + 2ax 3
Factor común a 3ax 4 − 4ax 3 + ax 2 + 3ax − 3a (2)
a 3 − a 2 x + ax 2 − x 3 a 3 − a 2 x − 2ax 2 + 2 x 3 6 x 4 − 3x 3 − 3x 2 − 6 x + 6 6 x 4 − 8 x 3 + 2 x 2 + 6 x − 6 (5)
− a 3 + a 2 x + 2ax 2 − 2 x 3 1 − 6x + 8x − 2 x − 6x + 6
4 3 2
1
3ax 2 − 3x 3 ÷ 3x 2 5x − 5x − 12 x + 12
3 2
( 6)
a − a x − 2ax + 2 x
3 2 2 3
a− x 30 x − 40 x + 10 x + 30 x − 30 30 x 3 − 30 x 2 − 72 x + 72 (÷ 6)
4 3 2
− a3 + a2 x a2 − 2x2 − 30 x 4 + 30 x 3 + 72 x 2 − 72 x x
− 2ax 2 + 2 x 3 mcd = a (a − x) − 10 x 3 + 82 x 2 − 42 x − 30 ( ÷ − 2)
+ 2ax − 2 x 2 3
= a − ax
2
5x − 5x 2 − 12 x + 12
3
5x 3 − 41x 2 + 21x + 15 (12)
a 4 − a 3 x + a 2 x 2 − ax 3 a 2 − ax − 5x 3 + 41x 2 − 21x − 15 1
−a +a x
4 3
a +x2 2
36 x − 33x − 3
2
(÷ 3)
a 2 x 2 − ax 3 60 x 3 − 492 x 2 + 252 x + 180 12 x 2 − 11x − 1 ( 437)
− a 2 x 2 + ax 3 − 60 x 3 + 55x 2 + 5x 5x
a − a x − 2a x + 2ax
4 3 2 2 3
a − ax 2
− 437 x + 257 x + 180
2
(− 12)
− a4 + a3x a2 − 2x2 5 . 244 x 2 − 4 .807 x − 437 5. 244 x 2 − 3. 084 x − 2 .160 ( ÷ 12)
− 2a 2 x 2 + 2ax 3 − 5. 244 x 2 + 3. 084 x + 2 .160 1
+ 2a x − 2ax
2 2 3
− 1723x + 1723 (÷ − 1. 723)
a +x 2 2
437 x 2 − 257 x − 180 x−1
= 2 Rta.
a − 2x2 − 437 x 2 + 437 x 437 x
x 4 + 3x 3 + 4x 2 − 3x − 5
2. x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5 180 x − 180 (÷ 180)
x 4 + 3x 3 + 4 x 2 − 3x − 5 x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5 x−1 x−1 mcd = a (x − 1)
− x − 3x − 6x − 3x − 5
4 3 2
1 − x +1 1 = ax − a
− 2x 2 − 6x − 10 ÷ − 2 ⇒ 2ax − ax − ax − 2ax + 2a
4 3 2
ax − a
x + 3x + 6x + 3x + 5
4 3 2
x + 3x + 5
2 − 2ax 4 + 2ax 3 2x 3 + x 2 − 2
− x 4 − 3x 3 − 5x 2 x2 ax 3 − ax 2
x 2 + 3x + 5 − ax 3 + ax 2
x 2 + 3x + 5 x 2 + 3x + 5 − 2ax + 2a
+ 2ax − 2a
− x − 3x − 5
2
1 mcd x + 3x + 52
⇒ x + 3x + 4x − 3x − 5
4 3 2
x + 3x + 5
2
3ax 4 − 4ax 3 + ax 2 + 3ax − 3a ax − a
− x 4 − 3x 3 − 5x 2 x2 − 1
− 3ax 4 + 3ax 3 3x 3 − x 2 + 3
− x 2 − 3x − 5
− ax 3 + ax 2
x 2 + 3x + 5
+ ax 3 − ax 2
x 4 + 3x 3 + 6x 2 + 3x + 5 x 2 + 3x + 5
3ax − 3a
− x 4 − 3x 3 − 5x 2 x2 + 1
− 3ax + 3a
x 2 + 3x + 5
2x 3 + x 2 − 2
− x 2 − 3x − 5 = Rta.
3x 3 − x 2 + 3
x2 − 1
= Rta.
x2 + 1

147. 6 x 3 − 13x 2 + 18 x − 8 (10) Continuación
4. 10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12 ( 6) 5. x 4 − 2x 3y + 2x 2 y 2 − xy 3 x 2 − xy
60 x 3 − 54 x 2 + 66 x + 72 (÷ 6) −x + x y x 2 − xy + y 2
4 3
60 x 3 − 130 x 2 + 180 x − 80
− 60 x 3 + 54 x 2 − 66 x − 72 1 − x 3 y + 2x 2 y 2 − xy 3
− 76 x 2 + 114 x − 152 (÷ − 38) + x3y − x2y 2
10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12 2 x 2 − 3x + 4 x 2 y 2 − xy 3
− 10 x + 15x − 20 x
3 2
5x − x 2 y 2 + xy 3
6 x 2 − 9 x + 12 (÷ 3)
2x 4 − 5x 3 y + 4x 2 y 2 − xy 3 x 2 − xy
2 x − 3x + 4
2
2 x − 3x + 4
2
− 2x + 2x y 4 3
2x 2 − 3xy + y 2
− 2 x 2 + 3x − 4 1 mcd = 2 x 2 − 3x + 4
− 3x 3 y + 4x 2 y 2
6 x 3 − 13x 2 + 18 x − 8 2 x 2 − 3x + 4 + 3x 3 y − 3x 2 y 2
− 6 x 3 + 9 x 2 − 12 x 3x − 2 x 2 y 2 − xy 3
− 4 x 2 + 6x − 8 − x 2 y 2 + xy 3
+ 4 x 2 − 6x + 8 x 2 − xy + y 2
= Rta.
2x 2 − 3xy + y 2
10 x 3 − 9 x 2 + 11x + 12 2 x 2 − 3x + 4 2a 5 − a 4 + 2a 3 + 2a 2 + 3 ( 3)
6.
− 10 x + 15x − 20 x
3 2
5x + 3 3a 5 − a 4 + 3a 3 + 4a 2 + 5 (2)
6 x − 9 x + 12
2 6a 5 − 3a 4 + 6a 3 + 6a 2 + 9 6a 5 − 2a 4 + 6a 3 + 8a 2 + 10 (÷ 2)
− 6 x 2 + 9 x − 12 − 6a 5 + 2a 4 − 6a 3 − 8a 2 − 10 1
=
3x − 2
Rta.
− a 4
− 2a − 1 2
(÷ − 1)
5x + 3
3a − a + 3a + 4a
5 4 3 2
+5 a 4 + 2a 2 + 1
x 4 − 2 x 3 y + 2 x 2 y 2 − xy 3 (2) − 3a 5 − 6a 3 − 3a 3a
5. Factor común x
2 x 4 − 5x 3 y + 4 x 2 y 2 − xy 3
− a − 3a + 4a − 3a + 5 (− 1)
4 3 2
2 x 3 − 4 x 2 y + 4 xy 2 − 2 y 3 2 x 3 − 5x 2 y + 4 xy 2 − y 3
a4 + 2a 2 +1 a 4 + 3a 3 − 4a 2 + 3a − 5
− 2 x 3 + 5x 2 y − 4 xy 2 + y 3 1
− a 4 − 3a 3 + 4a 2 − 3a + 5 1
x2 y − y3 (÷ y) − 3a + 6a − 3a + 6
3 2
(÷ − 3)
2 x 3 − 5x 2 y + 4 xy 2 − y 3 x 2 − y 2 (5)
a 4 + 3a 3 − 4a 2 + 3a − 5 a 3 − 2a 2 + a − 2
− 2x3 + 2 xy 2 2x
− a 4 + 2a 3 − a 2 + 2a a
− 5x 2 y + 6 xy 2 − y 3 (÷ − y) 5a − 5a + 5a − 5
3 2
(÷ 5)
5x 2 − 5y 2 5x 2 − 6 xy + y 2
a 3 − 2a 2 + a − 2 a3 − a2 + a − 1
− 5x 2 + 6 xy − y 2 1
− a3 + a2 − a + 1 1
6 xy − 6 y 2
(÷ 6 y) − a 2
−1 (÷ − 1)
5x 2 − 6 xy + y 2 x− y
a3 − a2 + a − 1 a2 + 1
− 5x 2 + 5xy 5x
− a3 −a a
− xy + y 2
(÷ − y) −a 2
−1 (÷ − 1)
x− y x− y
a2 + 1 a2 + 1
− x+ y 1 mcd x ( x − y ) = x 2 − xy
− a2 − 1 1 mcd = a 2 + 1
Continúa
Continúa

148. Continuación Continuación
6. ⇒ 2a 5 − a 4 + 2a 3 + 2a 2 + 3 a2 +1
7. 1− 2x − x 2 − 2x 3 + x 4 1+ x + x 2
− 2a 5 − 2a 3 2a 3 − a 2 + 3
− 1− x − x 2
1− 3x + x 2
−a 4
+ 2a + 3 2
− 3x − 2x 2 − 2x 3 + x 4
+ a4 + a2
+ 3x + 3x 2 + 3x 3
3a 2 + 3
x 2 + x 3 + x4
− 3a 2 − 3
− x2 − x3 − x4
1− 2x + x 2
3a 5 − a 4 + 3a 3 + 4a 2 + 5 a2 + 1 = Rta.
1− 3x + x 2
− 3a 5
− 3a 3
3a − a + 5
3 2
8. 2m + 2m n − mn − n
3 2 2 3
−a 4
+ 4a + 5 2
= m (2m2 − n 2 ) + n (2m2 − n 2 ) = (m + n)(2m2 − n 2 )
+ a4 + a2
3m3 + 3m2 n + mn + n 2
5a 2 + 5
= m (3m2 + n) + n (3m2 + n) = (m + n)(3m2 + n)
− 5a 2 − 5
mcd = m + n
2a 3 − a 2 + 3
= Rta. 2m3 + 2m2 n − mn 2 − n 3 m + n
3a 3 − a 2 + 5
− 2m3 − 2m2 n 2m2 − n 2
1− x − x +x 3 4
1− 2 x − x − 2 x + x 2 3 4
7. − mn 2 − n 3
− 1+ 2 x + x 2 + 2 x 3 − x4 1
+ mn2 + n3
x + x2 + x 3 (÷ x) 3m + 3m n + mn + n 2
3 2
m+ n
1− 2 x − x − 2 x + x2 3 4
1+ x + x 2
( 3) − 3m − 3m n
3 2
3m2 + n
− 1− x − x 2 1
mn + n 2
− 3x − 2 x 2 − 2 x 3 + x 4 (÷ − x) − mn − n 2
3 + 3x + 3x 2
3+ 2x + 2x − x 2 3
2m2 − n 2
− 3− 2x − 2x2 + x3 = Rta.
1 3m2 + n
x + x2 + x3 (÷ x ) 6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5
9. 3a 6 + 7a 4 − a 2 + 15 ( 2)
3+ 2x + 2x − x 2 3
1+ x + x 2
6a 6 + 14a 4 − 2a 2 + 30 6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5
− 3 − 3x − 3x 2 3
− 6a − 3a + 4a
6 5 4
+ 2a − 10a − 5a
3 2
a
− x − x2 − x3 (÷ − x)
− 3a + 18a + 2a − 12a − 5a + 30
5 4 3 2
(÷ − 1)
1+ x + x 2 1+ x + x 2
6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5 3a 5 − 18a 4 − 2a 3 + 12a 2 + 5a − 30
− 1− x − x 2 1 mcd = 1 + x + x 2
− 6a 5 + 36a 4 + 4a 3 − 24a 2 − 10a + 60 2
⇒ 1− x −x +x 3 4
1+ x + x 2
39a 4 − 26a 2 + 65 (÷ 13)
− 1− x − x 2
1− 2x + x 2
3a 5 − 18a 4 − 2a 3 + 12a 2 + 5a − 30 3a 4 − 2a 2 + 5
− 2x − x 2 − x 3 + x 4 − 3a 5 + 2a 3 − 5a a
+ 2 x + 2x + 2x 2 3 − 18a 4
+ 12a 2 − 30 (÷ − 6)
3a 4 − 2a 2 + 5 3a 4 − 2a 2 + 5
x 2 + x3 + x 4
− 3a + 2a − 5
4 2
1 mcd = 3a 4 − 2a 2 + 5
− x 2 − x3 − x 4
Continúa
Continúa

149. Continuación
9. 6a 5 + 3a 4 − 4a 3 − 2a 2 + 10a + 5 3a 4 − 2a 2 + 5 3a 6 + 7a 4 − a 2 + 15 3a 4 − 2a 2 + 5
− 6a 5
+ 4a 3
− 10a 2a + 1 − 3a + 2a − 5a
6 4 2
a2 + 3
3a 4 − 2a 2 +5 9a 4 − 6a 2 + 15
2a + 1
− 3a 4 + 2a 2 −5 − 9a 4 + 6a 2 − 15 = Rta.
a2 + 3
5x 6 − 10x 4 + 21x 3 − 2 x + 4 (3)
10. 3x 6 − 6 x 4 + 11x 3 + 2 x − 4 (5)
15x 6 − 30x 4 + 63x 3 − 6x + 12 15x 6 − 30x 4 + 55x 3 + 10x − 20 (÷ 5)
− 15x 6 + 30x 4 − 55x 3 − 10 x + 20 1
8x 3 − 16x + 32 (÷ 8)
3x − 6x + 11x + 2 x − 4
6 4 3
x3 − 2x + 4
− 3x 6 + 6x 4 − 12 x 3 3x 3
− x3 + 2 x − 4 (÷ − 1)
x − 2x + 4
3
x3 − 2 x + 4
− x3 + 2x − 4 1 mcd = x 3 − 2 x + 4
5x 6 − 10x 4 + 21x 3 − 2 x + 4 x3 − 2x + 4 3x 6 − 6x 4 + 11x 3 + 2 x − 4 x3 − 2x + 4
− 5x + 10x − 20x
6 4 3
5x + 13
− 3x + 6 x − 12 x
6 4 3
3x 3 − 1
x3 − 2x + 4 − x3 + 2 x − 4
5x 3 + 1
− x3 + 2x − 4 + x3 − 2x + 4 = Rta.
3x 3 − 1
11. n − 3n − n + 3n + 7n − 21n
6 5 4 3 2
= n5 (n − 3) − n3 (n − 3) + 7n (n − 3) = (n − 3)(n5 − n 3 + 7n)
n6 + 2n5 − n4 − 2n3 + 7n2 + 14n
= n5 (n + 2) − n3 (n + 2) + 7n (n + 2) = (n + 2)(n5 − n3 + 7n)
n6 − 3n5 − n4 + 3n3 + 7n2 − 21n n5 − n 3 + 7n n6 + 2n5 − n4 − 2n3 + 7n 2 + 14n n5 − n3 + 7n
− n6 + n4 − 7n 2 n− 3 − n6 + n4 − 7n 2 n+ 2
− 3n 5
+ 3n 3
− 21n 2n 5
− 2n 3
+ 14n
n− 3
+ 3n5 − 3n3 + 21n − 2 n5 + 2n3 − 14n = Rta.
n+ 2
12. a 7 + 2a 6 − 5a 5 + 8a 4 + a 3 + 2a 2 − 5a + 8 a 6 + 2a 5 − 5a 4 + 10a 3 + 4a 2 − 10a + 16 ( 2)
− a 7 − 2a 6 + 5a 5 − 10a 4 − 4a 3 + 10a 2 − 16a a
− 2a − 3a + 12a − 21a + 8
4 3 2
(÷ − 1)
2a + 4a − 10a + 20a + 8a
6 5 4 3 2
− 20a + 32 2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8 (a )
− 2a − 3a + 12a − 21a + 8a
6 5 4 3 2
a2
a 5 + 2a 4 − a 3 + 16a 2 − 20a + 32
2a + 3a 4 − 12a 3 + 21a 2 − 8a
5
a 5 + 2a 4 − a 3 + 16a 2 − 20a + 32
− 2a 5 − 4a 4 + 2a 3 − 32a 2 + 40a − 64 2
− a − 10a − 11a + 32a − 64
4 3 2
(− 1) Continúa

150. Continuación
12. a + 2a −
5 4
a 3 + 16a 2 − 20a + 32 a 4 + 10a 3 + 11a 2 − 32a + 64 ( 2)
− a 5 − 10a 4 − 11a 3 + 32a 2 − 64a a
− 8a − 12a + 48a − 84a + 32
4 3 2
(÷ − 4)
2a 4 + 20a 3 + 22a 2 − 64a + 128 2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8
− 2a 4 − 3a 3 + 12a 2 − 21a + 8 1
17a + 34a − 85a + 136
3 2
(÷ 17)
2a 4 + 3a 3 − 12a 2 + 21a − 8 a 3 + 2a 2 − 5a + 8
− 2a 4 − 4a 3 + 10a 2 − 16a 2a
− a − 2a
3 2
+ 5a − 8 (− 1)
a + 2a − 5a + 8
3 2
a + 2a − 5a + 8
3 2
− a 3 − 2a 2 + 5a − 8 1 mcd = a 3 + 2a 2 − 5a + 8
a 7 + 2a 6 − 5a 5 + 8a 4 + a 3 + 2a 2 − 5a + 8 a 3 + 2a 2 − 5a + 8 a 6 + 2a 5 − 5a 4 + 10a 3 + 4a 2 − 10a + 16 a 3 + 2a 2 − 5a + 8
4
− a 7 − 2a 6 + 5a 5 − 8a 4 a4 + 1 − a 6 − 2a 5 + 5a − 8a 3 a3 + 2
a + 2a − 5a + 8
3 2
2a 3
+ 4a − 10a + 16
2
− a 3 − 2a 2 + 5a − 8 − 2a 3 − 4a 2 + 10a − 16
a4 + 1
= Rta
a3 + 2
EJERCICIO 122
5x 2x + y 10x 2 + 5xy
a 2 2a 2a 3 15. 2x + y ⋅ 2x + y = 4x 2 + 4xy + y 2
3 2a 6a
⋅ = 8. a + ⋅ a = a 2 + a
1. 2 2 2 4
2a 2a 4a 2 x+3 x−3 x2 − 9
5 4a 20a 3a a + b 3a 2 + 3ab 16. x + 1 ⋅ x − 3 = x 2 − 2x − 3
2. ⋅ = 9. a + b ⋅ a + b = a 2 + 2ab + b2
9x 2 4a 36ax 2
2 a 2 − a + 1 2a 2 − 2a + 2
m 2a 2am
⋅ =
x − 4 x + 2 x 2 − 2x − 8 17. a + 1 ⋅ a 2 − a + 1 =
3.
ab 2 2a 2a 2b 2 10. x + 3 ⋅ x + 2 = x 2 + 5x + 6 a3 + 1
3x 3xy 2 9x 2 y 2 x − 2y 3xy 3x 2y − 6xy 2
2a a 2 2a 3 ⋅ =
4. 8y ⋅ 3xy 2 = 24xy 3 11. x + a ⋅ a 2 = a 2 x + a 3
18.
3x 3xy 9x 2 y
4m n 4mn x −1 x +1 x2 −1
5. ⋅ = x − y 2 2x − 2y
⋅ = 19. x + 1 ⋅ x + 1 = x 2 + 2x + 1
5n2 n 5n3 12.
6 2 12
2x + 7 3 6x + 21 5 x a + b 5ax + 5bx a + b 9ab 9a 2b + 9ab 2
⋅ = ⋅ =
13. a − b ⋅ a + b = a 2 − b 2
6. 20.
5 3 15 7a 2 9ab 63a 3b
2x x 2x 2 x +1 x − 2 x2 − x − 2
7. x − 1⋅ x = x 2 − x x − 5 3x 3x 2 − 15x ⋅ = 2
14. ⋅ = 21.
x + 5 x − 2 x + 3x − 10
a 3x 3ax
EJERCICIO 123
4. 10a 2 + 15a − 2 5a
− 10a 2 2a + 3
2. 9x y − 6x y + 3xy x +3
3 2 2 3 2
6a 3 − 10a 2 3. x
1.
2a 3xy − x2 x 15a − 2
6a 3 10a 2 9x 3 y 6x 2 y 2 3xy 3 − 15a
= − = − + 3
2a 2a 3xy 3xy 3xy 3 −2
= 3a − 5a
2 =x+
= 3x 2 − 2xy + y 2 x = 2a + 3 −
2
5a

151. 5. 9x 3 − 6x 2 + 3x − 5 3x 2x 3 − 7 x 2 + 6x − 8 2x 2 − x + 1
11.
− 9x 3
3x − 2x + 1
2
− 2x 3 + x 2 − x x−3
− 6x 2
− 6x + 5 x − 8
2
+ 6x 2
6 x 2 − 3x + 3
3x
− 3x 2x − 5
2x − 5
−5 =x−3+ 2
5 2x − x + 1
= 3x − 2x + 1−
2
3x 2a 4 − 3a 3 + a 2 a2 − a + 1
12.
6. x 2 − 5 x − 16 x+2
− 2a + 2a − 2a
4 3 2
2a 2 − a − 2
− x 2 − 2x x−7
− a3 − a2
− 7 x − 16
+ 7 x + 14 a 3 − a2 + a
−2 − 2a 2 + a
2
=x−7− 2a 2 − 2a + 2
x+2
− a +2
7. 12x 2 − 6x − 2 4x − 1
a−2
− 12x + 3x 2
3x = 2a − a − 2 − 2
2
a − a +1
− 3x − 2
− 3x − 2 3x + 2 13. x 4 − 4 x 2 − 3x x2 − 2
= 3x + = 3x −
4x − 1 4x − 1 − x + 2x
4 2
x2 − 2
8. a 3
+ 3b 3
a + 2b
− 2 x 2 − 3x
− a 3 − 2a 2b a 2 − 2ab + 4b 2
2x 2 −4
− 2a 2b
− 3x − 4
2a 2b + 4ab 2
3x + 4
4ab 2 + 3b 3 =x −2− 2
2
x −2
− 4ab 2 − 8b 3
14. 10n3 − 18n2 − 5n + 3 2n2 − 3n + 1
− 5b 3
− 10n + 15n − 5n
3 2
5n
5b 3
= a 2 − 2ab + 4b 2 −
a + 2b − 3n − 10n + 3
2
9. x − x − 6x + 1 x − 3
3 2 2 3n2 + 10n − 3
= 5n −
− x3 + 3x x −1 2n2 − 3n + 1
− x 2 − 3x + 1 15. 8x 4 4x 2 + 5x + 6
x2 −3 − 8x 4 − 10x 3 − 12x 2 2x 2
− 3x − 2 − 10x 3 − 12x 2
− 3x − 2 3x + 2
= x − 1+ = x − 1− 10x 3 + 12x 2
x2 − 3 x2 − 3 = 2x 2 −
4x 2 + 5x + 6
10. 3 x 3 + 4 x 2 y + 2xy 2 − 6y 3 3x − 2 y
− 3x 3 + 2x 2 y x 2 + 2 xy + 2y 2 16. 6m5 + 3m4n 3m3 − mn2 + n3
6 x 2 y + 2 xy 2 − 6m 5
+ 2m n − 2m n
3 2 2 3
2m2 + mn
− 6x 2 y + 4 xy 2 3m4n + 2m3n2 − 2m2n3
6xy 2 − 6y 3 − 3m4n + m2n3 − mn4
− 6 xy 2 + 4 y 3 2m3n2 − m2n3 − mn4
− 2y 3
2m3n2 − m2n3 − mn4
= 2m2 + mn +
2y 3 3m3 − mn2 + n3
= x + 2xy + 2y −
2 2
3x − 2 y

152. EJERCICIO 124
m3
3 13. m2 − 2m + 4 −
8. x + 2 − m+ 2
4a x−1
1. a +
a+2
(x + 2)(x − 1) − 3 =
(m 2
− 2m + 4)(m + 2) − m3
a (a + 2) + 4a =
x−1 m+ 2
=
a+ 2 x2 + x − 2 − 3 x2 + x − 5 m3 + 8 − m 3 8
= = = =
a + 2a + 4a a + 6a a (a + 6)
2 2
x−1 x−1 m+ 2 m+ 2
= = =
a+2 a+2 a+2 x 2 − 6x
9. x − 3x −
2
n2 x+2 3x ( x + 2)
2. m − n − 14. x 2 − 5x −
m
=
(x 2
− 3x )( x + 2) − ( x 2 − 6 x ) x−2
=
(m − n) m − n 2
=
m2 − mn − n2 x+2 (x 2
− 5x )( x − 2) − 3x ( x + 2)
x − x − 6x − x + 6x
3 2 2 =
m m
= x−2
3 x+2 x 3 − 7 x 2 + 10 x − 3x 2 − 6 x
3. x + 5 − =
x−2 x − 2x
3
x ( x − 2)
2 2
x−2
= =
=
(x + 5)(x − 2) − 3 x+2 x+2
=
x 3 − 10 x 2 + 4 x
x−2 x2 − y2 x−2
10. x + y +
x + 3x − 10 − 3 x + 3x − 13
2 2
x− y
= =
x−2 x−2
=
(x + y)(x − y) + x 2
− y2
7ab 2 − b 3
x− y 15. a + 3ab − b +
2 2
ab 2a − b
4. a + a + b x2 − y2 + x2 − y2
=
x− y
(a 2
+ 3ab − b 2 )(2a − b) + 7ab 2 − b 3
a (a + b) + ab =
2a − b
= 2x2 − 2 y2
a+b =
x− y 2a 3 + 5a 2b − 5ab 2 + b 3 + 7ab 2 − b 3
a 2 + ab + ab a 2 + 2ab =
2a − b
=
a+b
=
a+b 2 (x 2 − y 2 )
= 2a 3 + 5a 2b + 2ab 2
x− y =
2a − b
− 2
5. 1 a + a − 3 2 ( x + y)( x − y )
a =
x− y
a (a − 3) + 1 − a 2
= 2 x + 2 y = 2 (x + y) x3 + 2
=
a 16. − ( x + 1)
x − x+1
2
a 2 − 3a + 1 − a 2 3a − 1 3mn
=
a
=−
a
11.
m− n
+ m − 2n
=
(x 3
+ 2) + ( x 2 − x + 1)(− x − 1)
a+ x =
(m − n)(m − 2n) + 3mn x2 − x + 1
6. 1 − m− n x3 + 2 − x3 − 1 1
a− x = = 2
m − 3mn + 2n + 3mn m + 2n x2 − x + 1 x − x+1
(a − x) − (a + x)
2 2 2 2
= =
= m− n m− n
a− x
a− x−a− x 2x 5ax − 6x 2 x3 − 2x2 + 1
= =− 12. 2a − 3x − 17. x + 3 −
a− x a− x a + 2x x2 − 4x + 3
2a + x =
(2a − 3x)(a + 2 x) − (5ax − 6x ) 2
=
( x + 3)(x 2
− 4 x + 3) − ( x 3 − 2 x 2 + 1)
7. −1 a + 2x x2 − 4x + 3
a+ x
2a 2 + ax − 6 x 2 − 5ax + 6 x 2 x3 − x2 − 9x + 9 − x3 + 2x2 − 1
2a + x − (a + x ) = =
= a + 2x x2 − 4x + 3
a+ x
2a + x − a − x 2a 2 − 4ax x 2 − 9 x + 8 ( x − 8)( x − 1) x − 8
a = = = =
=
a+ x
=
a+ x a + 2x x 2 − 4 x + 3 ( x − 3)( x − 1) x − 3

153. 2a 3 − 11a + 9
20. a − 3a + 5 +
2
x − 27 3
a2 + a − 2
3a 2b + 3ab 2 19. x − 3 − x 2 − 6 x + 9
18. 3a +
a 2 − b2 =
(a 2
− 3a + 5)(a 2 + a − 2) + 2a 3 − 11a + 9
3a (a 2 − b 2 ) + 3a 2b + 3ab 2 =
(x − 3)(x 2
− 6 x + 9) − (x − 27)
3
a2 + a − 2
= x 2 − 6x + 9 a 4 − 2a 3 + 11a − 10 + 2a 3 − 11a + 9
a 2 − b2 =
x 3 − 9 x 2 + 27 x − 27 − x 3 + 27 a2 + a − 2
3a 3 − 3ab 2 + 3a 2b + 3ab 2 =
=
a 2 − b2
x2 − 6x + 9
=
a4 − 1 (a − 1)(a + 1)
=
2 2
− 9 x + 27 x − 9 x ( x − 3) (a + 2)(a − 1) (a + 2)(a − 1)
3a 2 (a + b)
2
3a 3 + 3a 2b = =
= = (x − 3) 2
(x − 3)
2
(a + 1)(a + 1)(a − 1)
(a + b)(a − b)
2
a 2 − b2 =
− 9x 9x (a + 2)(a − 1)
3a 2 = =
= x − 3 3− x a3 + a2 + a + 1
a−b =
a+2
EJERCICIO 125
4. 3 x x 3
2 ,2 , 3 mcm = a 3b 2
a 1 ab ab a
1. ; mcm = ab ab ÷ b = a
b ab a 3b 2 ÷ ab 2 = a 2 a 3b 2 ÷ a 2b = ab a 3b 2 ÷ a 3 = b 2
ab ÷ ab = 1
3x 3x (a ) 3a x 2
x x ( ab) abx
2
3 3 (b 2 ) 3b 2
a a⋅a a 2 = 3 2 = 3 2 ; 2 = 3 2 = 3 2 ; = =
2
= = ab ab ab ab ab ab a 3 a 3b 2 a 3b 2
b ab ab 2
3a x abx 3b 2
1 1⋅ 1 1 a2 1 ⇒ 3 2 , 3 2 , 3 2 Rta.
= = ⇒ , Rta. ab ab ab
ab ab ab ab ab
5. 7 y 1 5x
, , mcm = 36 x 2 y 3
x 4 6 x 2 9 xy 12 y 3
2. , mcm = 6a 2 x
2a 3a 2 x 36 x 2 y 3 ÷ 6 x 2 = 6 y 3 36 x 2 y 3 ÷ 9 xy = 4 xy 2 36 x 2 y 3 ÷ 12 y 3 = 3x 2
6a 2 x ÷ 2a = 3ax
7 y 7 y (6 y ) 42 y 4 1 1(4 xy ) 4 xy 2
3 2
6a 2 x ÷ 3a 2 x = 2 2 = 2 3 = 2 3 ; = 2 3 = ;
6x 36 x y 36 x y 9 xy 36 x y 36 x 2 y 3
x x ( 3ax ) 3ax 2
= = 5x 5x (3x 2 ) 15x 3 42 y 4 4 xy 2 15x 3
2a 6a 2 x 6a 2 x = = ⇒ 2 3 , 2 3 , Rta.
4 4⋅2 8 12 y 2 36 x 2 y 3 36 x 2 y 3 36 x y 36 x y 36 x 2 y 3
= =
3a 2 x 6a 2 x 6a 2 x a−1 5 a+2
6. , , mcm = 6a 2
3ax 2 8 3a 6a a2
⇒ 2 , Rta.
6a x 6a 2 x 6a 2 ÷ 3a = 2a 6a 2 ÷ 6a = 1 6a 2 ÷ a 2 = 6
a − 1 (a − 1) (2a) 2a 2 − 2a 5 5⋅ 1 5
1 3 5
mcm = 8x 3 = = ; = = ;
3. 2x 2 , 4x , 8x 3 3a 6a 2 6a 2 6a 6a 2 6a 2
8 x 3 ÷ 2x 2 = 4 x a + 2 (a + 2) 6 6a + 12 2a 2 − 2a 5 6a + 12
2 = 2 = 2 ⇒ , , Rta.
a 6a 6a 6a 2 6a 2 6a 2
8 x 3 ÷ 4 x = 2x 2
x− y x+ y
8x 3 ÷ 8x 3 = 1 7. 2 , , 5 mcm = 3x 2 y 2
x y 3xy 2
1 1⋅ 4x 4x
= = 3x 2 y 2 ÷ x 2 y = 3 y
2x 2 8x 3 8 x 3
3 3x ⋅ 2x 2 6x 2 3x 2 y 2 ÷ 3xy 2 = x
= = 3
4x 8x 3 8x x − y ( x − y) (3y ) 3xy − 3y 2 x + y ( x + y ) x x 2 + xy
5 5 ⋅1 5 = = ; = = ;
= =
2 2 2 2 2
x y 3x y 3x y 3xy 2 3x 2 y 2 3x 2 y 2
8x 3 8 x 3 8x 3
5 (3x 2 y 2 ) 15x 2 y 2 3xy − 3 y 2 x 2 + xy 15x 2 y 2
4x 6x 2 5 5= = ⇒ , , Rta.
⇒ 3 , , Rta. 3x 2 y 2 3x 2 y 2 2 2
3x y 3x 2 y 2 3x 2 y 2
8x 8x 3 8x 3

154. 2 3
11. , mcm = 5x + 5
m+ n m− n 1 5 x+1
8. , , mcm = 10m n 3 2
2m 5m3n 10n 2 (5x + 5) ÷ 5 = x + 1 (5x + 5) ÷ (x + 1) = 5
10m3n 2 ÷ 2m = 5m2 n 2
2 2 ( x + 1) 2 x + 2 3 3⋅ 5 15
10m3n 2 ÷ 5m3n = 2n = = ; = =
5 5x + 5 5x + 5 x + 1 5x + 5 5x + 5
10m3n 2 ÷ 10n 2 = m3 2x + 2 15
⇒
m + n (m + n) (5m n ) 5m3n 2 + 5m2 n 3
, Rta.
2 2
5x + 5 5x + 5
= 3 2 =
2m 10m n 10m3n 2 a b
m − n (m − n) ( 2n) 2mn − 2n 2 12. a + b , a 2 − b 2 mcm = a − b
2 2
= =
5m3n 10m3n 2 10m3n 2
(a 2
− b 2 ) ÷ (a + b) = a − b (a 2
− b 2 ) ÷ (a 2 − b 2 ) = 1
1(m ) 3 3
a (a − b) a 2 − ab
1 m
= = a
10n 2 10m3n 2 10m3n 2 = 2 2 = 2 2 ;
a+b a −b a −b
5m3n 2 + 5m2 n 3 2mn − 2n 2 m3
⇒ 3 2 , 3 2 , Rta. b 1b b
10m n 10m n 10m3n 2 = =
a 2 − b2 a 2 − b 2 a 2 − b 2
a 2 − ab b
a + b a − b a 2 + b2 ⇒ , Rta.
9. 6 , 2a , 3b 2 mcm = 6ab 2 a 2 − b2 a 2 − b2
6ab 2 ÷ 6 = ab 2
x 2 − 1 = ( x + 1)( x − 1)
x 1
13. , 2
6ab ÷ 2a = 3b
2 2
x2 − 1 x − x−2
6ab 2 ÷ 3b 2 = 2a x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1)
a + b (a + b)(ab
2
) a 2b 2 + ab 3 mcm = ( x − 1)( x − 2)( x + 1)
= = ;
6 6ab 2 6ab 2 = ( x 2 − 1)(x − 2)
a − b (a − b) (3b ) 3ab 2 − 3b 3
2
= = ; = x3 − 2x2 − x + 2
2a 6ab 2 6ab 2 x − 2x − x + 2
3 2
x −1
2
x − 2 x2 − x + 2 x2 − x − 2
3
a +b
2
=
2
(a + b )(2a ) 2a 3 + 2ab2
=
2 2
− x3 +x x− 2 − x3 + x2 + 2x x−1
3b 2 6ab 2 6ab 2
− 2x 2
+2 − x2 + x + 2
a b + ab
2 2 3
3ab − 3b
2 3
2a 3 + 2ab 2
⇒ 2 , 2 , Rta. 2x2 −2 x2 − x − 2
6ab 6ab 6ab 2
x x ( x − 2) x2 − 2x
= 3 = 3 ;
2a − b 3b − a a − 3b x − 1 x − 2x − x + 2 x − 2x2 − x + 2
2 2
mcm = 12a 2b 2
1( x − 1)
10. , ,
3a 2 4b 2 2 1 x−1
= =
12a 2b 2 ÷ 3a 2 = 4b 2 x2 − x − 2 x3 − 2x2 − x + 2 x3 − 2x2 − x + 2
12a 2b 2 ÷ 4b 2 = 3a 2 x2 − 2x x−1
⇒ ; 3 Rta.
12a b ÷ 2 = 6a b
2 2 2 2
x3 − 2x2 − x + 2 x − 2x2 − x + 2
2a − b (2a − b) 4b 8ab 2 − 4b 3
2
2 = = 14. a−3
mcm = 8 (a + 5)
; 3a
4 (a + 5)
2 2
3a 12a b 12a 2b 2 ,
8
3b − a (3b − a ) 3a 9a 2b − 3a 3
[8 (a + 5)] ÷ [ 4 (a + 5)] = 2
2
2 = 2 2 = ; 8 (a + 5) ÷ 8 = a + 5
4b 12a b 12a 2b 2
2 (a − 3)
a − 3b (a − 3b) 6a b
a−3 2a − 6
6a 3b 2 − 18a 2b 3
2 2
= =
4 (a + 5) 8 (a + 5) 8 (a + 5)
;
= 2 2 =
2 12a b 12a 2b 2
8ab 2 − 4b 3 9a 2b − 3a 3 6a 3b 2 − 18a 2b 3 3a 3a (a + 5) 3a 2 + 15a
⇒ = =
8 (a + 5) 8 (a + 5)
, , Rta. 8
12a 2b 2 12a 2b 2 12a 2b 2
2a − 6 3a 2 + 15a
⇒
8 (a + 5) 8 (a + 5)
, Rta.

155. x2
mcm = 6 (a − x) mcm = a (a 2 − b 2 )
15. x 2 1 a
3 (a − x)
, 19. , ,
6 a 2 − b 2 a 2 + ab a 2 − ab
[6 (a − x)] ÷ [3(a − x)] = 2 [6 (a − x)] ÷ 6 = a − x [a (a 2
]
− b 2 ) ÷ (a 2 − b 2 ) = a
x2
=
2x2 x x (a − x ) ax − x 2
= = [a (a 2
− b )] ÷ (a
2 2
+ ab) = a − b
3 (a − x) 6 (a − x ) 6 6 (a − x ) 6 (a − x )
;
2x2 ax − x 2
[a (a 2
− b )] ÷ (a
2 2
− ab) = a + b
⇒ a−b
6 (a − x ) 6 (a − x)
, Rta. 2 2a 1
= =
a 2 − b 2 a (a 2 − b 2 ) a + ab a (a 2 − b 2 )
; 2
16. 3 , 2 , x + 3 mcm = x 2 ( x − 1)
x2 x x2 − x a a (a + b) a 2 + ab
= =
a − ab a (a 2 − b 2 ) a (a 2 − b 2 )
[x (x − 1)] ÷ x = x − 1 [x (x − 1)]÷ x = x (x − 1)
2
2 2 2
a−b a 2 + ab
[x (x − 1)] ÷ (x − x) = x2 2
⇒
a (a − b
2a
2 2
)
,
a (a − b 2 2
)
,
a (a 2 − b 2 )
Rta.
3 3( x − 1)
3x − 3 3x x x 2 3
= =
x 2 x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1)
; mcm = x 2 − 1
20. x + 1 , x − 1 , x 2 − 1
2 2 (x − x) 2 x 2 − 2 x (x − 1) ÷ ( x + 1) = x − 1
2 2
= =
x x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1)
;
(x 2
− 1) ÷ ( x − 1) = x + 1 (x 2
− 1) ÷ ( x 2 − 1) = 1
x + 3 x ( x + 3) x 2 + 3x 3x 3x ( x − 1) 3x 2 − 3x
= = = 2 = 2
x 2 − x x 2 ( x − 1) x 2 ( x − 1) x+1 x −1 x −1
3x − 3 2x2 − 2x x 2 + 3x x 2 x ( x + 1) x 3 + x 2
2
x3 x3
⇒ = 2 = 2 ; 2 = 2
x ( x − 1) x ( x − 1) x ( x − 1)
, , Rta.
2 2 2
x−1 x −1 x −1 x −1 x −1
3x 2 − 3x x 3 + x 2 x3
mcm = 8 (a 2 − b 2 )
1 a b
17. , , ⇒ , 2 , 2 Rta .
2a + 2b 4a − 4b 8 x −1
2
x −1 x −1
[8 (a 2
]
− b 2 ) ÷ (2a + 2b) = 4 (a − b)[8 (a 2
]
− b2 ) ÷ 8 = a 2 − b2
[8 (a 2
− b )] ÷ (4a − 4b) = 2 (a + b)
2
21.
1
,
m
,
n
m2 − n 2 m2 + mn m2 − mn
mcm = m (m2 − n2 )
4 (a − b)
1
=
2a + 2b 8 (a 2 − b 2 )
; [m (m − n )] ÷ (m − n ) = m [m (m − n )] ÷ (m + mn) = m − n
2 2 2 2 2 2 2
a 2a (a + b) 2a 2 + 2ab
[m (m − n )] ÷ (m − mn) = m + n
2 2 2
= =
4a − 4b 8 (a 2 − b 2 ) 8 (a 2 − b 2 )
; 1 m
=
m2 − n 2 m (m2 − n 2 )
;
b b (a − b ) a 2b − b 3
2 2
= = m (m − n) m2 − mn
8 8 (a − b ) 8 (a 2 − b 2 )
m
2 2
= =
m2 + mn m (m2 − n 2 ) m (m2 − n 2 )
;
4 (a − b) 2a 2 + 2ab a 2b − b 3
⇒ n (m + n) mn + n2
8 (a − b ) 8 (a − b ) 8 (a 2 − b 2 )
, , Rta. n
= =
m − mn m (m2 − n2 ) m (m2 − n2 )
2 2 2 2
2
18. xy , x 2 + xy , xy + y 2 mcm = xy ( x + y)
x y 3
m m2 − mn n (m + n)
⇒
m (m − n ) m (m2 − n 2 ) m (m2 − n 2 )
, , Rta.
[xy (x + y)]÷ xy = x + y [xy (x + y)] ÷ (x 2
+ xy) = y
2 2
[xy (x + y)] ÷ (xy + y ) = x n+1 n−1 n +1 2
mcm = n 2 − 1
2
22. n − 1 , n + 1 , n2 − 1
x ( x + y) x + xy
(n − 1) ÷ (n − 1) = n + 1
2
x
= = 2
xy xy ( x + y ) xy ( x + y )
y y 3 2
3x (n 2
− 1) ÷ (n + 1) = n − 1
(n − 1) ÷ (n − 1) = 1 2 2
= =
x 2 + xy xy ( x + y ) xy + y 2 xy ( x + y ) n + 1 (n + 1)(n + 1) (n + 1) n − 1 (n − 1)
; 2 2
= = ; = ;
x + xy
2
y 2
3x n−1 n −1 2
n −12
n+1 n −1
2
⇒
xy ( x + y ) xy ( x + y ) xy ( x + y )
, , Rta.
n 2 + 1 n2 + 1
= 2
(n + 1) , (n − 1) , n2 + 1 Rta.
⇒ 2
2 2
n −1 n −1
2
n −1 n2 − 1 n2 − 1

156. a 2 − b 2 a 2 + b2 a 4 + b4 a 2 5
mcm = (a + 4)(3a + 5)(3a − 5)
23. , , mcm = a 4 − b 4 27. , ,
a + 4 9a 2 − 25 3a − 5
a 2 + b2 a 2 − b2 a 4 − b4
(a 4
− b 4 ) ÷ (a 2 + b 2 ) = a 2 − b 2 [(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (a + 4) = (3a + 5)(3a − 5)
(a 4
− b ) ÷ (a − b ) = a + b
4 2 2 2 2
(a 4
− b ) ÷ (a − b ) = 1
4 4 4
[(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (9a − 25) = a + 4 2
a 2 − b 2 (a − b )
2 2 2
a 2 + b 2 (a + b )
2 2 2
[(a + 4)(3a + 5)(3a − 5)] ÷ (3a − 5) = (a + 4)(3a + 5)
2 = 2 =
3 (3a + 5)(3a − 5)
; ;
a +b
2
a − b4
4
a −b
2
a − b4
4
3 27a 2 − 75
= =
a + 4 (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25)
;
a 4 + b4 a 4 + b4
=
a 4 − b 4 a 4 − b4 2 2 (a + 4) 2a + 8
= =
(a − b2 ) (a 2 + b2 ) 9a 2 − 25 (a + 4) (3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25)
2 2 ;
a 4 + b4
2
⇒ , Rta.
a −b a 4 − b4 a 4 − b4 5 (a + 4)(3a + 5)
4 4
5 15a 2 + 85a + 100
= =
3x x−1 1 3a − 5 (a + 4)(3a + 5)(3a − 5) (a + 4)(9a 2 − 25)
24. x − 1 , x + 2 , x 2 + x − 2 mcm = x 2 + x − 2
27a 2 − 75 2a + 8 15a 2 + 85a + 100
⇒
( x 2 + x − 2) ÷ ( x − 1) = x + 2 (a + 4)(9a 2
− 25)
,
(a + 4)(9a 2
− 25)
,
(a + 4)(9a 2
− 25)
Rta.
(x 2
+ x − 2) ÷ ( x + 2 ) = x − 1 x+1 x+ 2
28. x 2 − 4 , x 2 + x − 6 , x 2 + 5x + 6 mcm ( x + 2)( x + x − 6)
3x 2
(x 2
+ x − 2 ) ÷ ( x 2 + x − 2) = 1
3 x 3x ( x + 2 ) 3x 2 + 6 x
= = ;
[(x + 2)(x 2
]
+ x − 6) ÷ ( x 2 − 4) = x + 3
x − 1 x2 + x − 2 x2 + x − 2
[(x + 2)(x 2
+ x − 6)] ÷ ( x 2
+ x − 6) = x + 2
x − 1 ( x − 1)
2
[(x + 2)(x + x − 6)] ÷ ( x + 5x + 6) = x − 2
1 1
= ; 2 = 2 2
x + 2 x2 + x − 2 x + x − 2 x2 + x − 2
3x 2 + 6 x ( x − 1) , 1 2
x+1
=
(x + 1)(x + 3)
=
x2 + 4x + 3
x − 4 ( x + 2)( x + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)
⇒ , 2 Rta. 2 2
;
x2 + x − 2 x + x−2 x2 + x − 2
25. 2 , 5x + 15 , 10 x + 30 mcm = 10( x + 3)
x x x−1 x+2
=
(x + 2)(x + 2) = (x + 2) 2
x 2 + x − 6 ( x + 2)( x 2 + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)
;
[10(x + 3)] ÷ 2 = 5(x + 3) 3x ( x − 2 ) 3x 2 − 6 x
[10(x + 3)] ÷ [5(x + 3)] = 2
3x
= =
x + 5x + 6 ( x + 2)( x + x − 6) ( x + 2)( x 2 + x − 6)
2 2
[10(x + 3)] ÷ [10(x + 3)] = 1
x2 + 4x + 3 (x + 2) 3x − 6 x
2
2
x 5x ( x + 3) 5x 2 + 15 ⇒
(x + 2)(x + x − 6) (x + 2)(x + x − 6) (x + 2)(x + x − 6)
, , Rta.
= = 2 2 2
2 10( x + 3) 10( x + 3)
x 2x x−1 x−1 a+3 5a a+1
= =
5x + 15 10( x + 3) 10 x + 30 10( x + 3)
; 29. , 2 , 2
a 2 + a − 20 a − 7a + 12 a + 2a − 15
⇒
5x 2 + 15 2x x−1 mcm = (a + 5)(a 2 − 7a + 12)
10( x + 3) 10( x + 3) 10( x + 3)
, , Rta.
2x − 1 3x + 1 4x + 3
[(a + 5)(a 2
]
− 7a + 12) ÷ (a 2 + a − 20) = a − 3
mcm = 6( x + 4)
26.
x+ 4
, ,
3x + 12 6 x + 24 [(a + 5)(a 2
− 7a + 12)] ÷ (a 2
− 7a + 12 ) = a + 5
[6(x + 4)]÷ (x + 4 ) = 6 [6(x + 4)]÷ [3(x + 4 )]= 2 [(a + 5)(a 2
− 7a + 12)] ÷ (a
+ 2a − 15) = a − 42
[6(x + 4)]÷ [6 (x + 4 )] = 1 a+3 (a + 3)(a − 3) = a −9 2
2 x − 1 6 (2 x − 1) 12 x − 6 =
+ a − 20 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3)
;
= = a2 2
x + 4 6 ( x + 4) 6( x + 4)
;
5a (a + 5) 5a + 25 2
3x + 1 2 (3x + 1)
5a
6x + 2 = =
− 7a + 12 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3)
;
= = a2 2
3x + 12 6 ( x + 4) 6( x + 4)
;
4x + 3
=
4x + 3 a+1
=
(a + 1)(a − 4) = a − 3a − 4 2
6x + 24 6( x + 4) a2 + 2a − 15 (a + 5)(a − 7a + 12) (a + 5)(a − 4)(a − 3)
2
12 x − 6 6x + 2 4x + 3
⇒ a2 − 9 5a 2 + 25 a 2 − 3a − 4
6( x + 4) 6( x + 4) 6( x + 4)
, , Rta.
⇒
(a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 5)(a − 4)(a − 3) (a + 5)(a − 4)(a − 3)
, , Rta.

157. a+1 2x − 3 2x − 1
mcm = 2 (3x + 2)(2 x + 1)
2a 1 3
30. , , mcm = a 3 − 1 34. 6 x 2 + 7 x + 2 , 2 x + 1 , 6 x + 4
a3 − 1 a2 + a + 1 x − 1
(a − 1) ÷ (a − 1) = 1 (a − 1) ÷ (a + a + 1) = a − 1
3 3 3 2 [2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (6x + 7 x + 2) = 2
2
(a − 1) ÷ (a − 1) = a + a + 1
3 2 [2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (2 x + 1) = 2 (3x + 2)
a+1 a+1 2a 2a (a − 1) 2a − 2 2 [2 (3x + 2)(2 x + 1)] ÷ (6x + 4) = 2 x + 1
= = =
2 (2 x − 3)
; ;
a3 − 1 a3 − 1 a2 + a + 1 a3 − 1 a3 − 1 2x − 3 4x − 6
= =
6 x 2 + 7 x + 2 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
;
1 a + a+1 a + 1 2a 2 − 2 a 2 + a + 1
2
= ⇒ 3 , , 3 Rta.
a−1 a3 − 1 a − 1 a3 − 1 a −1 3 6 (3x + 2) 18 x + 12
= =
2 x + 1 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
;
mcm = 3 (x 3 − 1)
1 1 2
31. , ,
x − 1 x3 − 1 3 2 x − 1 (2 x − 1)(2 x + 1) 4x2 − 1
= =
[3(x − 1)] ÷ (x − 1) = 3(x + x + 1)
3 2 6 x + 4 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
[3(x − 1)] ÷ (x − 1) = 3 [3(x − 1)] ÷ 3 = x − 1
4x − 6 18 x + 12 4x2 − 1
⇒
2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1) 2 (3x + 2)(2 x + 1)
3 3 3 3 , , Rta.
1 3 ( x + x + 1) 3x 2 + 3x + 3
2
= =
x − 1 3 ( x 3 − 1) 3 (x 3 − 1)
;
EJERCICIO 126
2 2 (x − 1) 2 x − 2
3 3
1 3
= ; = = b gb g
x − 2 3x + 2 3 x − 2 + 2 3x + 2 3x − 6 + 6 x + 4 9x − 2
x 3 − 1 3 (x 3 − 1) 3 3 (x 3 − 1) 3 (x 3 − 1) 1. + = = =
4 6 12 12 12
3x 2 + 3 x + 3 3 2x3 − 2 2 1 3b ⋅ 2 + 5a 5a + 6b
⇒ + = =
3 ( x − 1) 3 (x − 1) 3 ( x 3 − 1)
3
, 3
, Rta. 2.
5a 2 3ab 15a 2b 15a 2b
3 b 1 − − 4b (a − 2b) + 3a (b − a )
32. , , 3. a 2b + b a =
2a 2 + 2ab a 2 x + abx 4ax 2 − 4bx 2 15a 20b 60ab
mcm = 4ax (a − b ) 4ab − 8b 2 + 3ab − 3a 2 − 3a 2 + 7ab − 8b 2
= =
2 2 2
60ab 60ab
[4ax (a 2
)] ÷ (2a + 2ab) = 2 x (a − b)
2
−b 2 2 2
a + 3b a b − 4ab
+
2 2
=
( ) (
5ab a + 3b + 3 a 2b − 4ab 2 )
[4ax (a − b )] ÷ (a x + abx) = 4 x (a − b)
2 2 2 2 4. 3ab 5a 2b 2 15a 2b 2
5a 2b + 15ab 2 + 3a 2b − 12ab 2
[4ax (a − b )] ÷ (4ax − 4bx ) = a (a + b)
2 2 2 2 2 =
15a 2b 2
3[2 x (a − b)] 6ax − 6bx 2 2 2 8a 2b + 3ab 2 ab (8a + 3b) 8a + 3b
3 = = =
= =
2a + 2ab 4ax (a − b ) 4ax (a − b )
2 2
; 2 2 2 2 2 15a 2b 2 15a 2b 2 15ab
a − 1 2a 3a + 4
b [4 x (a − b)] 4abx − 4b x 2
5. + +
b 3 6 12
= =
a x + abx 4ax (a − b ) 4ax (a − b ) 4 (a − 1) + 2 ⋅ 2a + 3a + 4 4a − 4 + 4a + 3a + 4 11a
2 2
; 2 2 2 2 2
= = =
a (a + b)
12 12 12
1 a + ab 2
= = 2 n ⋅ n + 3m + 2mn 3m + 2mn + n2
4ax − 4bx 4ax (a − b ) 4ax (a − b )
n 3
6. 2 + + = =
2 2 2 2 2 2 2 2
m mn m m2n m2n
6ax 2 − 6bx 2 4abx − 4b2 x a 2 + ab 1− x x + 2 1
⇒ 7. + 2 +
4ax (a − b ) 4ax (a − b ) 4ax 2 (a 2 − b2 )
2 2 2
, 2 2 2
, Rta.
2x x 3ax 2
a+1 3 (a + 1) 3ax (1 − x ) + 6a (x + 2) + 2
mcm = (a − 1)
1 3
33. a − 1 , , =
(a − 1)2 (a − 1)3 6ax 2
(a − 1) ÷ (a − 1) = (a − 1)
3 2 3ax − 3ax + 6ax − 12a + 2 9ax + 12a − 3ax 2 + 2
2
= =
6ax 2 6ax 2
(a − 1) ÷ (a − 1) = a − 1 (a − 1) ÷ (a − 1) = 1
3 2 3 3
2a − 3 3x + 2 x − a 10 x (2a − 3) + 3a (3x + 2) + 6 ( x − a )
+ + =
1
=
(a − 1) ; a + 1 = (a + 1)(a − 1) = a − 1 ;
2
2 8. 3a 10 x 5ax 30ax
a − 1 (a − 1) (a − 1) 3
(a − 1) (a − 1) 2 3 3 20ax − 30 x + 9ax + 6a + 6 x − 6a
=
30ax
3 (a + 1) 3a + 3 (a − 1) , a − 1 , 3a + 3 Rta. 2
29ax − 24 x x (29a − 24) 29a − 24
2
= ⇒
(a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1) (a − 1)
3 3 3 3 3 =
30ax
=
30ax
=
30a

158. x+ 2 x2 − 2 2 − x3
3 x + 2 x2 + 2 12. 3x + 5x 2 + 9 x 3
9. + +
5 2x 6x2
15x 2 ( x + 2) + 9 x ( x 2 − 2) + 5 (2 − x 3 )
6 x 2 ⋅ 3 + 15x (x + 2) + 5(x 2 + 2) =
= 45x 3
30 x 2
15x + 30 x + 9 x 3 − 18 x + 10 − 5x 3
3 2
18 x + 15x + 30 x + 5x 2 + 10
2 2
=
= 45x 3
30 x 2
19 x + 30 x − 18 x + 10
3 2
38 x 2 + 30 x + 10 2 (19 x + 15x + 5) 19 x 2 + 15x + 15 =
2
= 2 = = 45x 3
30 x 30 x 2 15x 2
1 b 2 − a 2 ab + b 2
x − y 2x + y y − 4x 13. + + 2 2
10. + + ab ab 3 ab
ab 2 + a (b 2 − a 2 ) + b (ab + b 2 )
12 15 30
5 (x − y) + 4 (2 x + y ) + 2 ( y − 4 x ) =
= a 2b 3
60
5 x − 5 y + 8 x + 4 y + 2 y − 8 x 5x + y ab + ab − a 3 + ab 2 + b 3 − a 3 + 3ab 2 + b 3
2 2
= = = =
60 60 a 2b 3 a 2b 3
m − n n − a 2a − m a + 3b 2a − 3m 3
11. + + 14. + +
mn na am ab am a
a (m − n) + m (n − a ) + n (2a − m) m (a + 3b) + b (2a − 3m) + 3bm
= =
amn abm
am − an + mn − ma + 2an − mn an 1 am + 3bm + 2ab − 3bm + 3bm am + 2ab + 3bm
= = = = =
amn amn m abm abm
EJERCICIO 127
a − 1+ a + 1 2a x + y x − y ( x + y)( x + y ) + ( x − y )( x − y)
1 1 6. + =
1. a + 1 + a − 1 = a 2 − 1 = a 2 − 1 x− y x+ y x2 − y2
2 1 =
(x + y ) + (x − y)
2 2
2. + x2 − y2
x+ 4 x−3
2( x − 3) + x + 4 2 x − 6 + x + 4
x + 2 xy + y 2 + x 2 − 2 xy + y 2 2 x 2 + 2 y 2
2
3x − 2 = = 2
= = 2 = 2 x2 − y2 x − y2
x 2 + x − 12 x + x − 12 x + x − 12
x ( x − 1) + ( x + 1)
2
3 6 x x+1
3. + 7. + =
1 − x 2x + 5 x 2 − 1 ( x − 1)2 (x − 1)2 (x + 1)
3 (2 x + 5) + 6 (1 − x ) 6 x + 15 + 6 − 6 x 21 x2 − x + x 2 + 2 x + 1 2 x2 + x + 1
= = =
(1 − x)(2 x + 5) (1− x)(2 x + 5) (1 − x)(2 x + 5) =
(x − 1) (x + 1) (x − 1) (x + 1)
2 = 2
2 (x + 5) + 3x 2 x + 10 + 3x 5x + 10
x x
4. + 2 3x
x− y x+ y 8. + = = =
x − 5 x 2 − 25 x 2 − 25 x 2 − 25 x 2 − 25
x ( x + y) + x ( x − y) x + xy + x − xy
2 2
2x 2
= = = 2 1 x−y 3 x + 2y + x − y 4x + y
x2 − y2 x2 − y2 x − y2 9. 3x − 2y + 9x 2 − 4y 2 = 9x 2 − 4y 2 = 9x 2 − 4 y 2
m+ 3 m+ 2
5. m − 3 + m − 2 x + a 3a 2 − x 2 ( x − 3a )( x + a ) + 3a − x
2 2
10. + 2 2 =
x + 3a x − 9a x − 9a
(m − 2)(m + 3) + (m − 3)(m + 2)
2 2
= x 2 + ax − 3ax − 3a 2 + 3a 2 − x 2
(m − 3)(m − 2) =
x 2 − 9a 2
m2 + m − 6 + m 2 − m − 6 2m2 − 12 2 (m2 − 6) − 2ax 2ax
= = =
(m − 3)(m − 2) (m − 3)(m − 2) (m − 3)(m − 2) = =
x 2 − 9a 2 9a 2 − x 2

159. a a 1 1 x+3
11. 2 + 18. + +
1− a 1+ a 2 x + x 2 x − x2 1− x 2
a (1 + a 2 ) + a (1 − a 2 ) a + a3 + a − a3 2a x + x 2 = x (1 + x)
= = =
(1 − a )(1+ a )
2 2
(1− a )(1 + a ) 2 2
1− a 4 x − x 2 = x (1 − x) mcm = x (1− x 2 )
2 2 2b (a + b) + 2a (a − b) 1 − x = (1 + x)(1− x)
2
+ =
ab (a − b )
12.
a 2 − ab ab + b 2 1 − x + 1+ x + x ( x + 3)
2 2
=
2ab + 2b 2 + 2a 2 − 2ab 2a 2 + 2b 2 x (1 − x 2 )
= =
ab (a 2 − b 2 ) ab (a 2 − b 2 ) 2 + x 2 + 3x (x + 1)(x + 2) = x+ 2
= =
ab a x (1− x 2 ) x (1− x)(1+ x) x (1− x)
13. +
9a 2 − b 2 3a + b x− y x+ y 4 xy
19. x + y + x − y + x 2 − y 2 mcm = x 2 − y 2
ab + a (3a − b) ab + 3a 2 − ab 3a 2
= = = 2
9a − b
2 2
9a − b
2 2
9a − b 2
=
(x − y )(x − y ) + (x + y )(x + y ) + 4 xy
1 1 a−b+ a+b 2a x2 − y2
+ 2 = 2 =
14. a 2 − b 2
a−b ( ) (
a+b a−b )( ) ( )(
a+b a−b )2
=
x 2 − 2 xy + y 2 + x 2 + 2 xy + y 2 + 4 xy
x2 − y2
3(x + y) + 2 ( x + y )
2 2 2
3 2
15. + = 2 x 2 + 2 y 2 + 4 xy 2 (x + 2 xy + y )
( x + y) (x + y )(x + y)
2 2
x + y2
2 2 2 2 2
= =
x −y
2 2
x −y
2 2
3x 2 + 6 xy + 3 y 2 + 2 x 2 + 2 y 2
2 (x + y ) 2 (x + y)
2
=
(x 2
+y 2
)(x + y) 2
=
(x + y )(x − y )
=
x− y
5x 2 + 6 xy + 5y 2 1 a a+5
= + +
(x + y 2 )( x + y )
2 20.
2 a − 5 a 2 − 4a − 5 a 2 + 2a + 1
a − 5= a − 5
x a+ x a
16.
a 2 − ax
+
ax
+
ax − x 2 a 2 − 4a − 5 = (a − 5)(a + 1)
a 2 − ax = a (a − x ) a 2 + 2a + 1 = (a + 1) mcm = (a − 5)(a + 1)
2 2
ax = ax mcm = ax (a − x )
=
(a + 1) 2
+ a (a + 1) + (a + 5)(a − 5)
ax − x = x (a − x )
2 (a − 5)(a + 1) 2
a 2 + 2a + 1 + a 2 + a + a 2 − 25
x 2 + (a + x)(a − x ) + a 2 =
=
ax (a − x )
(a − 5)(a + 1) 2
3a + 3a − 24 3(a + a − 8)
2 2
x2 + a2 − x2 + a2 2a 2 2a = =
=
ax (a − x )
=
ax (a − x)
=
x (a − x)
(a − 5)(a + 1) (a − 5)(a + 1)
2 2
1 − 85a
mcm = a (25a 2 − 9)
3 2
3 x−1 x+8 21. + +
17. + + a 5a − 3 25a 2 − 9
2x + 4 2x − 4 x2 − 4
3 (25a 2 − 9) + 2a (5a + 3) + a (1 − 85a )
2 x + 4 = 2 ( x + 2) =
a (25a 2 − 9)
2 x − 4 = 2 ( x − 2) mcm = 2 (x 2 − 4)
75a 2 − 27 + 10a 2 + 6a + a − 85a 2 7a − 27
x 2 − 4 = ( x − 2)( x + 2) = =
a (25a 2 − 9) a (25a 2 − 9)
3 (x − 2) + ( x − 1)( x + 2) + 2 ( x + 8) x+1 x− 3 x− 2
= mcm = 10 ( x − 2)
2 ( x 2 − 4) 22. 10 + 5x − 10 + 2
3x − 6 + x 2 + x − 2 + 2 x + 16 =
(x + 1)(x − 2) + 2 (x − 3) + 5(x − 2)( x − 2)
= 10 ( x − 2)
2 ( x 2 − 4)
x 2 − x − 2 + 2 x − 6 + 5x 2 − 20 x + 20 6 x 2 − 19 x + 12
=
x 2 + 6x + 8
=
(x + 2)(x + 4) = x + 4 =
10 ( x − 2)
=
10 ( x − 2)
2 (x
2
− 4) 2 (x + 2)( x − 2) 2 (x − 2)

160. x+5 x+ 4 x−3 x2 − 4 1 3
23. + + 27. + +
x + x − 12 x 2 + 2 x − 15 x 2 + 9 x + 20
2
x3 + 1 x + 1 x2 − x + 1
x 2 + x − 12 = ( x + 4)( x − 3) x 3 + 1 = ( x + 1)( x 2 − x + 1) mcm = x 3 + 1
x + 2 x − 15 = ( x + 5)( x − 3)
2
x 2 − 4 + x 2 − x + 1 + 3x + 3
=
x + 9 x + 20 = ( x + 5)( x + 4)
2 x3 + 1
mcm = ( x + 5)( x + 4)( x − 3) 2x2 + 2x 2 x ( x + 1) 2x
= = =
( x + 5)(x + 5) + (x + 4)(x + 4) + (x − 3)(x − 3) x + 1 ( x + 1)( x 2 − x + 1) x 2 − x + 1
3
=
( x + 5)(x + 4)(x − 3)
x 2 + 10 x + 25 + x 2 + 8 x + 16 + x 2 − 6 x + 9
= x+1
(x + 5)( x + 4)( x − 3)
1 1
28. x − 1 + x − 1 x + 2 + x − 1 x + 2 x + 3
( )( ) ( )( )( )
3x 2 + 12 x + 50
= mcm = ( x − 1)( x + 2)( x + 3)
( x + 5)(x + 4)(x − 3)
=
(x + 2)(x + 3) + x + 3 + x + 1
24.
1 1− 2 x 2
+ 3 +
x (x − 1)(x + 2)(x + 3)
x − 2 x − 8 x2 + 2x + 4 x 2 + 5x + 6 + 2 x + 4 x 2 + 7 x + 10
= =
x − 8 = ( x − 2)( x + 2 x + 4) mcm = x − 8
3 2 3
(x − 1)(x + 2)(x + 3) (x − 1)(x + 2)(x + 3)
x + 2 x + 4 + 1 − 2 x + x ( x − 2)
2 2
(x + 5)(x + 2) = x + 5
= =
x3 − 8 (x − 1)(x + 2)(x + 3) (x − 1)(x + 3)
− x2 + 2x + 5+ x2 − 2x 5
= = 3
x3 − 8 x −8
a+1 x−2 x− 3 2x − 1
mcm = (a + 1)
2 a 3
+ +
25. + + 29.
2 x 2 − 5x − 3 2 x 2 − 3 x − 2 x 2 − 5 x + 6
a + 1 (a + 1)2 (a + 1)3
2 x 2 − 5x − 3 = ( x − 3)(2 x + 1)
2 (a + 1) + a (a + 1) + a + 1
2
= 2 x 2 − 3x − 2 = ( x − 2)(2 x + 1)
(a + 1) 3
x 2 − 5x + 6 = (x − 3)( x − 2)
2a 2 + 4a + 2 + a 2 + a + a + 1
mcm = ( x − 3)( x − 2)(2 x + 1)
=
(a + 1) 3
3a + 6a + 3 3(a + 2a + 1) 3 (a + 1)
2 2 2
3 =
(x − 2)(x − 2) + (x − 3)(x − 3) + (2 x − 1)(2 x + 1)
=
(a + 1)
=
(a + 1)
3 =
(a + 1) 3 3 =
a+1 (x − 3)(x − 2)(2 x + 1)
x 2 − 4 x + 4 + x 2 − 6x + 9 + 4 x 2 − 1
=
2x x+1 1 (x − 3)(x − 2)(2 x + 1)
26. 3x 2 + 11x + 6 + x 2 − 9 + 3x + 2
6 x 2 − 10 x + 12
=
3x + 11x + 6 = ( x + 3)(3x + 2)
2
(x − 3)(x − 2)(2 x + 1)
x − 9 = (x + 3)( x − 3)
2
3 x + 2 = 3x + 2 mcm = ( x 2 − 9)(3x + 2)
a− 2 a+ 3 a+1
2 x ( x − 3) + ( x + 1)(3x + 2) + x 2 − 9 30. + + mcm = (a − 1)(a + 2)(a − 3)
= a−1 a+ 2 a− 3
(x 2
− 9)(3x + 2)
(a + 2)(a − 2)(a − 3) + (a − 1)(a + 3)(a − 3) + (a − 1)(a + 1)(a + 2)
2 x 2 − 6 x + 3 x 2 + 5x + 2 + x 2 − 9 =
= (a − 1)(a + 2)(a − 3)
(x 2
− 9)(3x + 2)
a 3 − 3a 2 − 4a + 12 + a 3 − a 2 − 9a + 9 + a 3 + 2a 2 − a − 2
=
6x − x − 7 (a − 1)(a + 2)(a − 3)
2
=
(x 2
− 9)(3x + 2) 3a 3 − 2a 2 − 14a + 19
=
(a − 1)(a + 2)(a − 3)

161. EJERCICIO 128 x −1 x − 2 x + 3
7. − −
3 4 6
x − 3 x + 2 2 ( x − 3) − (x + 2) 2 x − 6 − x − 2 x − 8 4 ( x − 1) − 3 ( x − 2) − 2 ( x + 3)
1. − = = = =
4 8 8 8 8 12
a + 5b b − 3 4 x − 4 − 3x + 6 − 2 x − 6 − x − 4 x+4
2. − = = =−
a2 ab 12 12 12
b (a + 5b) − a (b − 3) ab + 5b 2 − ab + 3a 3a + 5b 2 3 2a + 1 4a 2 + 1
= = = 8. − −
a 2b a 2b a 2b 5 10a 20a 2
2 1 2 ( 2m) − ( 3n) 4m − 3n 4a 2 (3) − 2a (2a + 1) − (4a 2 + 1)
3. − = = =
3mn 2 2m2 n 6m2 n 2 6m2 n 2 20a 2
a − 3 4 − 3ab 2 12a − 4a − 2a − 4a 2 − 1 4a 2 − 2a − 1
2 2
4. − = =
5ab 3a 2b3 20a 2 20a 2
3ab2 (a − 3) − 5(4 − 3ab 2 ) 3 x − 1 x2 + 2x + 3
= 9. − −
15a b 2 3 5x 3x 2 15x 3
3a 2b 2 − 9ab2 − 20 + 15ab2 3a 2b 2 + 6ab2 − 20 3x 2 ( 3) − 5x ( x − 1) − ( x 2 + 2 x + 3)
= = =
15a 2b3 15a 2b 3 15x 3
2a + 3 a − 2 9 x − 5x + 5x − x 2 − 2 x − 3
2 2
5. − =
4a 8a 15x 3
2 (2a + 3) − (a − 2) 4a + 6 − a + 2 3a + 8 3x 2 + 3x − 3 3 ( x + x − 1) x 2 + x − 1
2
= = = = = =
8a 8a 8a 15x 3
15x 3 5x 3
y − 2 x x − 3y 1 2+ b 5
6. − 10. 2a − 3ab − 6a 2b 3
20 x 24 y
6 y ( y − 2 x ) − 5x ( x − 3 y ) 3ab3 − 2ab 2 (2 + b) − 5
= =
120 xy 6a 2b 3
6 y 2 − 12 xy − 5x 2 + 15xy 6 y 2 + 3xy − 5x 2 3ab − 4ab 2 − 2ab 3 − 5 ab 3 − 4ab 2 − 5
3
= = = =
120 xy 120 xy 6a 2b 3 6a 2b 3
EJERCICIO 129
a+b b− a
4. a 2 + ab − ab + b 2
mcm = (x − 4)(x − 3) a 2 + ab = a (a + b) ab + b 2 = b (a + b)
1 1
1. − ;
x−4 x−3
mcm = ab (a + b)
x − 3 − ( x − 4) x − 3− x + 4 1
= = = b (a + b) − a (b − a )
(x − 4)(x − 3) (x − 4)(x − 3) (x − 4)(x − 3) = =
ab + b 2 − ab + a 2
=
a 2 + b2
ab (a + b) ab (a + b) ab (a + b)
m− n m+ n
2. m + n − m − n mcm = m2 − n 2 m+ n m + n 2 2
(m + n)(m + n) − (m 2
+n 2
)
5. m − n − m2 − n 2 = m2 − n 2
=
(m − n)(m − n) − (m + n)(m + n)
m2 − n 2 m2 + 2mn + n2 − m2 − n 2 2mn
= = 2 2
m2 − 2mn + n2 − m2 − 2mn − n 2 − 4mn 4mn m2 − n 2 m −n
= = 2 =
m2 − n 2 m − n 2 n 2 − m2
6.
1
−
1
x + x2 x − x2
x + x2 = x x + 1 ; x − x2 = x 1− x ( ) ( )
1 − x 1 + x (1 − x)(1 − x ) − (1 + x )(1 + x)
3. −
1 + x 1− x
=
1− x 2
mcm = x 1 − x 2 ( )
1 − 2 x + x 2 − 1− 2 x − x 2 − 4 x 4x
=
( =
)
1− x − 1+ x 1− x − 1− x
=
− 2x
=
−2 2
= = = 2 = 2
1− x 2 1− x 2 x 2 − 1 ( x 1− x2 )
x 1− x 2 (
x 1− x 2 1− x x − 1) ( )

162. a+ x x x+3
− −
1
(a − x) a − x
7. 2 2 2 13.
6x 2 + x − 2 4 x 2 − 4 x + 1
=
(a + x)(a + x) − x (a − x) 6 x 2 + x − 2 = (3x + 2)(2 x − 1)
(a − x) (a + x) 2
4 x 2 − 4 x + 1 = (2 x − 1)
2
mcm = (2 x − 1) (3x + 2)
2
=
a 2 + 2ax + x 2 − ax + x 2
=
a 2 + ax + 2 x 2 (2 x − 1)(x + 3) − (3x + 2)
(a − x) (a + x)
2
(a − x) (a + x) 2 =
(3x + 2)(2 x − 1) 2
a +1 1 2 x 2 + 5x − 3 − 3x − 2 2x2 + 2x − 5
8. − = =
6a + 3 12a + 6
(3x + 2)(2 x − 1) 2
(3x + 2)(2 x − 1) 2
6a + 3 = 3 (2a + 1) ; 12a + 6 = 6 (2a + 1)
mcm = 6 (2a + 1) x−1 x+2
14. 4 x + 4 − 8 x − 8 mcm = 8 (x 2 − 1)
2 (a + 1) − 1 2a + 2 − 1 2a + 1 1
= = = =
6 (2a + 1) 6 (2a + 1) 6 (2a + 1) 6 2 (x − 1)( x − 1) − ( x + 2)( x + 1)
=
a−4 a+3 8 ( x 2 − 1)
9. a 2 − 6a + 9 − a 2 + a − 12
2 x − 4 x + 2 − x 2 − 3x − 2
2
x2 − 7x
= =
a − 6a + 9 = (a − 3) ; a + a − 12 = (a + 4)(a − 3) 8 (x 2 − 1) 8 ( x 2 − 1)
2 2 2
mcm = (a − 3) (a + 4)
2
mcm = y ( x − y )
x 1
=
(a + 4)(a − 4) − (a − 3)(a + 3) 15. −
xy − y 2 y
(a + 4)(a − 3) 2
x − (x − y ) x− x+ y y 1
= = = =
=
a 2 − 16 − a 2 + 9
=
−7 y (x − y) y (x − y) y (x − y) x− y
(a + 4)(a − 3) 2
(a + 4)(a − 3) 2
mcm = a (a 2 − b2 )
b b
a 2 + 4ab − 3b 2 b 16. −
− mcm = a − 9b 2 2 a 2 − b 2 a 2 + ab
10. a 2 − 9b 2 a + 3b
ab − b (a − b) ab − ab + b 2 b2
a 2 + 4ab − 3b 2 − b (a − 3b) = = =
= a (a − b )
2 2
a (a − b ) a (a 2 − b 2 )
2 2
a 2 − 9b 2
a 2 + 4ab − 3b 2 − ab + 3b 2 2a − 3 a−1
= −
a 2 − 9b 2 17.
6a + 9 4a 2 + 12a + 9
a (a + 3b)
a 2 + 3ab a 6a + 9 = 3(2a + 3) ; 4a 2 + 12a + 9 = (2a + 3)
2
= = =
a 2 − 9b 2 (a + 3b)(a − 3b) a − 3b
mcm = 3(2a + 3)
2
x+1
mcm = ( x − 1) ( x + 1)
x
(2a + 3)(2a − 3) − 3(a − 1)
2
−
x − 1 ( x − 1)2
11. 2
=
3(2a + 3)
2
x ( x − 1) − ( x + 1)( x + 1)
= 4a 2 − 9 − 3a + 3 4a 2 − 3a − 6
(x + 1)(x − 1) 2
=
3(2a + 3)
2 =
3(2a + 3)
2
x2 − x − x2 − 2x − 1 − 3x − 1 3x + 1
= = =−
(x + 1)(x − 1) 2
(x + 1)(x − 1) 2
(x + 1)(x − 1) 2
x+1 x−1
18. − mcm = ( x 2 + x + 1)( x 2 − x + 1)
x2 + x + 1 x2 − x + 1
mcm = (a − b) (a + ab + b )
1 1 3
− 2 2
a − b3 (a − b)3
12. 3
x + 1 − ( x − 1)
=
(a − b) − (a + ab + b )
2 2 2
(x 2
+ x + 1)( x 2 − x + 1)
=
(a − b) (a + ab + b )
3 2 2
=
x + 1− x + 1
=
2
a − 2ab + b − a − ab − b
2 2 2 2
− 3ab (x 2
+ x + 1)( x 2 − x + 1) (x 2
+ x + 1)( x 2 − x + 1)
= =
(a − b) (a 3 2
+ ab + b 2
) (a − b) (a 3 2
+ ab + b 2 )

163. x 3 x
a −1 24. x 2 + x − 2 − x 2 + 2 x − 3 − x 2 + 5x + 6
mcm = 2a(a − 1)
1 1
19. 2 − − 2
a + a 2a − 2 2 a + 2 x 2 + x − 2 = ( x + 2)( x − 1)
2 (a − 1)(a − 1) − a (a + 1) − a (a − 1) x 2 + 2 x − 3 = ( x + 3)( x − 1)
=
2a(a − 1) 2
x 2 + 5x + 6 = ( x + 3)( x + 2)
2 (a − 2a + 1) − a − a − a + a
2 2 2
mcm = ( x + 2)( x − 1)( x + 3)
=
2a(a 2 − 1) x ( x + 3) − 3 ( x + 2) − x ( x − 1)
=
=
2a 2 − 4 a + 2 − 2a 2 ( x + 2)( x − 1)( x + 3)
2a(a 2 − 1) x 2 + 3 x − 3x − 6 − x 2 + x x−6
= =
=−
4a − 2 ( x + 2)( x − 1)( x + 3) ( x + 2)( x − 1)( x + 3)
2a(a 2 − 1) x+ 2 1− 9 x
mcm = ( x 3 − 1)( x − 1)
3
25. − −
x 2 + x + 1 ( x − 1)2 (x 3 − 1)( x − 1)
2 (2a − 1) 2a − 1 1 − 2a
= − = − =
2a(a 2 − 1) a (a 2 − 1) a (a 2 − 1) 3( x − 1) − (x + 2)(x 2 + x + 1) − (1 − 9 x)
2
=
1 1 1
(x − 1)(x − 1)
3
20. − − 3x 2 − 6x + 3 − x 3 − x 2 − x − 2 x 2 − 2 x − 2 − 1 + 9 x
4a + 4 8a − 8 12a 2 + 12 =
(x − 1)(x − 1)
3
mcm = 24 (a 2 + 1)(a 2 − 1)
x3
6 (a 2 + 1)(a − 1) − 3 (a 2 + 1)(a + 1) − 2 (a 2 − 1) =−
(x − 1)(x − 1)
3
=
24 (a 2 + 1)(a 2 − 1) a 2 + b2 a+b 1
26. a 3 − b 3 − 2a 2 + 2ab + 2b 2 − 2a − 2b
6 (a 3 − a 2 + a − 1) − 3(a 3 + a 2 + a + 1) − 2a 2 + 2
=
24 (a 2 + 1)(a 2 − 1) a 3 − b 3 = (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
6a 3 − 6a 2 + 6a − 6 − 3a 3 − 3a 2 − 3a − 3 − 2a 2 + 2 2a + 2ab + 2b 2 = 2 (a 2 + ab + b 2 )
2
=
24 (a 2 + 1)(a 2 − 1) 2a − 2b = 2 (a − b)
3a − 11a + 3a − 7
3 2
mcm = 2 (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
=
24 (a − 1)
4
2 (a 2 + b 2 ) − (a + b)(a − b) − (a 2 + ab + b 2 )
=
2 (a − b)(a 2 + ab + b 2 )
mcm = x ( x − y )
y 1 1
21. x − xy − x − x − y
2
2a + 2b − a 2 + b 2 − a 2 − ab − b 2
2 2
=
y − (x − y) − x 2 (a − b) (a 2 + ab + b 2 )
=
x (x − y) 2b 2 − ab 2b 2 − ab
= =
y− x+ y− x 2 (a − b)(a + ab + b 2 2
) 2 (a 3
− b3 )
=
x (x − y) 3a a−1 10a − 1
27. − −
2 ( y − x) 2 (x − y)
2a 2 − 2a − 4 4a 2 + 8a − 32 8a 2 + 40a + 32
2 y − 2x 2
= = =− =− 2a 2 − 2a − 4 = 2 (a 2 − a − 2) = 2 (a − 2)(a + 1)
x (x − y) x (x − y) x (x − y) x
4a 2 + 8a − 32 = 4 (a 2 + 2a − 8) = 4 (a + 4)(a − 2)
mcm = a (a + b )
a 1 1
22. − − 8a 2 + 40a + 32 = 8 (a 2 + 5a + 4) = 8 (a + 4)(a + 1)
a + ab a a + b
2
a − (a + b) − a −a−b a+b 1 mcm = 8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
= = =− =−
a (a + b) a (a + b) a (a + b) a 12a (a + 4) − 2 (a − 1)(a + 1) − (10a − 1)(a − 2)
=
8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
mcm = x (x 2 − y 2 )
1 1 2y
23. − −
x 2 − xy x 2 + xy x 3 − xy 2 12a 2 + 48a − 2a 2 + 2 − 10a 2 + 20a + a − 2
=
8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)
x + y − (x − y) − 2 y x− y− x+ y 0
= = = =0
x (x − y ) x (x − y ) x (x − y ) 69a
2 2 2 2 2 2
=
8 (a + 4)(a − 2)(a + 1)

164. 1 a2 + 9x2 a
− 3 −
28.
4a − 12 x a − 27 x 3 2 (a 2 + 3ax + 9a 2 ) 2a 2 − 3 a + 1 9a 2 − 14
29. 10a + 10 − 50 − 50a + 50
4a − 12 x = 4 (a − 3x )
10a + 10 = 10 (a + 1)
a 3 − 27 x 3 = (a − 3x)(a 2 + 3ax + 9a 2 )
50 = 50
2 (a 2 + 3ax + 9a 2 ) = 2 (a 2 + 3ax + 9a 2 ) 50a + 50 = 50 (a + 1)
mcm = 4 (a 3 − 27 x 3 ) mcm = 50 (a + 1)
a 2 + 3ax + 9 x 2 − 4 (a 2 + 9 x 2 ) − 2a (a − 3x) 5 (2a 2 − 3) − (a + 1)(a + 1) − (9a 2 − 14)
= =
4 (a 3 − 27 x 3 ) 50 (a + 1)
a 2 + 3ax + 9 x 2 − 4a 2 − 36x 2 − 2a 2 + 6ax 10a − 15 − a − 2a − 1 − 9a 2 + 14
2 2
=
= 50 (a + 1)
4 (a 3 − 27 x 3 )
− 2a − 2 2 (a + 1) 1
− 5a 2 + 9ax − 27 x 2 5a 2 − 9ax + 27 x 2 = =− =−
= =− 50 (a + 1) 50 (a + 1)
4 (a − 27 x ) 4 (a − 27 x )
3 3 3 3 25
EJERCICIO 130
a−b a+b
mcm = ab (a + b)
a
4x − 7 + −
mcm = (x − 3)( x + 2)
2 3 5.
1. x − 3 + x + 2 − x 2 − x − 6 a 2 + ab ab ab + b 2
b (a − b) + (a + b)(a + b) − a 2
2 ( x + 2) + 3 ( x − 3) − (4 x − 7) =
= ab (a + b)
(x − 3)(x + 2)
ab − b 2 + a 2 + 2ab + b 2 − a 2 3ab 3
2 x + 4 + 3x − 9 − 4 x + 7 x+2 1 = = =
= = = ab (a + b) ab (a + b) a+b
(x − 3)(x + 2) (x − 3)(x + 2) x−3
a + 12
mcm = 12 (a + 2)
a 1
2. − +
3a + 6 6a + 12 12a + 24 x− y x+ y 4 x2
6. x + y − x − y + x 2 − y 2 mcm = x 2 − y 2
4a − 2 + a + 12 5a + 10 55 (a + 2)
= = = =
12 (a + 2) 12 (a + 2) 12 (a + 2) 12
=
( x − y)(x − y) − ( x + y)( x + y) + 4 x 2
x −y
2 2
mcm = 3x 2 (x 2 + 1)
x 1 1
3. + − x 2 − 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy − y 2 + 4 x 2
x 2 + 1 3x x 2 =
x2 − y2
3x 3 + x (x 2 + 1) − 3 (x 2 + 1)
= 4 x 2 − 4 xy 4 x (x − y) 4x
3x 2 (x 2 + 1) =
x2 − y2
= =
( x + y)( x − y) x + y
3x 3 + x 3 + x − 3x 2 − 3 4 x 3 + x − 3x 2 − 3
= =
3x 2 ( x 2 + 1) 3x 2 (x 2 + 1)
mcm = ax (a − x )
x 1 1
7. a 2 − ax + a + x
a+ 3 a −1 a−4
+ + mcm = 4 (a 2 − 1)
x 2 + x (a − x ) + a (a − x )
4. 2
a − 1 2a + 2 4a − 4
=
4 (a + 3) + 2 (a − 1)(a − 1) + (a − 4)(a + 1) ax (a − x )
=
4 (a − 1)
2
x 2 + ax − x 2 + a 2 − ax a2 a
= = =
4a + 12 + 2a − 4a + 2 + a − 3a − 4
2 2
3a − 3a + 10
2 ax (a − x ) ax (a − x ) x (a − x )
= =
4 (a − 1)
2
4 (a 2 − 1)

165. x+1 x+4 x+5
8. x 2 − x − 20 − x 2 − 4 x − 5 + x 2 + 5x + 4 a − 1 a − 2 a 2 + 2a − 6
12. − + mcm = 18 (a 2 − 1)
3a + 3 6a − 6 9a 2 − 9
x 2 − x − 20 = ( x − 5)( x + 4)
6 (a − 1)(a − 1) − 3 (a − 2)(a + 1) + 2 (a 2 + 2a − 6)
x 2 − 4 x − 5 = ( x − 5)( x + 1) =
18 (a 2 − 1)
x 2 + 5x + 4 = ( x + 4)( x + 1)
6a 2 − 12a + 6 − 3a 2 + 3a + 6 + 2a 2 + 4a − 12
mcm = ( x − 5)(x + 4)( x + 1) =
18 (a 2 − 1)
(x + 1)(x + 1) − (x + 4)(x + 4) + (x − 5)(x + 5)
= 5a 2 − 5a 5a (a − 1)
(x − 5)(x + 4)(x + 1) = = =
5a
x 2 + 2 x + 1 − x 2 − 8 x − 16 + x 2 − 25
18 (a − 1) 18 (a + 1)(a − 1) 18 (a + 1)
2
=
(x − 5)(x + 4)(x + 1) 1 2 3
x 2 − 6 x − 40 13. a 2 + 2a − 24 + a 2 − 2a − 8 − a 2 + 8a + 12
=
(x − 5)(x + 4)(x + 1) a 2 + 2a − 24 = (a + 6)(a − 4)
=
(x − 10)(x + 4) = x − 10 a 2 − 2a − 8 = (a − 4)(a + 2)
(x − 5)(x + 4)(x + 1) (x − 5) (x + 1)
a 2 + 8a + 12 = (a + 6)(a + 2)
9.
2x + 1
−
x2
+
2x mcm = (a + 6)(a + 2)(a − 4)
12 x + 8 6 x 2 + x − 2 16 x − 8
a + 2 + 2 (a + 6) − 3 (a − 4)
12 x + 8 = 4 (3x + 2) =
(a + 6)(a + 2)(a − 4)
6 x 2 + x − 2 = (3x + 2)(2 x − 1) a + 2 + 2a + 12 − 3a + 12 26
= =
16 x − 8 = 8 (2 x − 1) (a + 6)(a + 2)(a − 4) (a + 6)(a + 2)(a − 4)
mcm = 8 (3x + 2)(2 x − 1)
x + y x + 2y
mcm = xy ( x + y )
y
2 (2 x + 1)(2 x − 1) − 8 x 2 + 2 x (3 x + 2) 14.
xy
− −
xy + y 2 x 2 + xy
=
8 (3x + 2)(2 x − 1) (x + y)(x + y) − x (x + 2 y) − y 2
=
=
8 x2 − 2 − 8 x 2 + 6x 2 + 4 x xy ( x + y )
8 (3x + 2)(2 x − 1) x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy − y 2 0
= = =0
6x + 4 x − 2 xy ( x + y) xy ( x + y )
2
=
8 (3x + 2)(2 x − 1)
a+3 a−1
2 (3x 2 + 2 x − 1)
a3
3x 2 + 2 x − 1 15. + − mcm = a 3 + 1
= = a + 1 a2 − a + 1 a + 1
3
8 (3x + 2)(2 x − 1) 4 (3x + 2)(2 x − 1)
a 3 + (a + 1)(a + 3) − (a − 1)(a 2 − a + 1)
=
mcm = ax (a + x )
1 1 1
10. ax − a 2 + ax + a + x a3 + 1
a 3 + a 2 + 4a + 3 − a 3 + a 2 − a + a 2 − a + 1 3a 2 + 2a + 4
a + x − x + ax ax + a a ( x + 1) x+1 = =
= = = = a3 + 1 a3 + 1
ax (a + x ) ax (a + x) ax (a + x ) x (a + x )
3x 2
mcm = ( x 2 − y 2 )( x 2 + y 2 ) 16. mcm = ( x 2 − 1)( x 2 + x + 1)
1 1 2y 1 2x
11. − + + 2 − 3
x + y x − y x2 + y2 x−1 x −1 x −1
=
(x − y)( x 2
+ y 2 ) − ( x + y)( x 2 + y 2 ) + 2 y ( x 2 − y 2 )
=
(x + 1)(x 2
+ x + 1) + 2 x ( x 2 + x + 1) − 3x 2 ( x + 1)
(x 2
−y 2
)(x 2
+y 2
) (x − 1)(x
2 2
+ x + 1)
x + xy − x y − y − x − xy − x y − y + 2 x y − 2 y
3 2 2 3 3 2 2 3 2 3
x + x + x + x + x + 1 + 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x − 3x 3 − 3x 2
3 2 2
= =
(x 2
−y 2
)(x 2
+y 2
) (x − 1)(x
2 2
+ x + 1)
− 4y 4y3 3
x + 4x + 1
2
= = =
x4 − y4 y4 − x4 (x − 1)(x
2 2
+ x + 1)

166. a+b 1 3a 2 1− x2 x2 6x
2 − −
2 − + 3 3 mcm = a 3 + b 3 22.
17. 2
a − ab + b a + b a + b 9− x 9 + 6x + x2 9 − 6x + x2
(a + b)(a + b) − (a − ab + b 2 ) + 3a 2 9 − x 2 = (3 + x )(3 − x ) ; 9 + 6 x + x 2 = (3 + x )
2
2
=
a + b3 9 − 6 x + x 2 = (3 − x ) mcm = (3 + x ) (3 − x )
3 2 2 2
;
=
a 2 + 2ab + b 2 − a 2 + ab − b 2 + 3a 2
=
(1− x )(9 − x ) − x (3 − x)
2 2 2 2
− 6 x (3 + x )
2
a 3 + b3
(3 + x) (3 − x) 2 2
3a + 3ab
2
3a (a + b) 3a 9 − x 2 − 9 x 2 + x 4 − 9 x 2 + 6 x 3 − x 4 − 54 x − 36 x 2 − 6 x 3
= = =
a 3 + b3 (a + b)(a 2 − ab + b2 ) a 2 − ab + b2 =
(3 + x) (3 − x)
2 2
2 2x + 3 6 x + 12 9 − 54 x − 55x 2
=
18. x − 2 + x 2 + 2 x + 4 − x 3 − 8 mcm = x 3 − 8
(3 + x) (3 − x)
2 2
2 ( x 2 + 2 x + 4) + (2 x + 3)(x − 2) − (6 x + 12) x+1 x−1
mcm = 18 ( x 2 − 1)
x 5
= 23. − + −
x3 − 8 2 x + 2 3x − 3 6x + 6 18 x − 18
2 x 2 + 4 x + 8 + 2 x 2 − 4 x + 3x − 6 − 6x − 12 9 x ( x − 1) − 6 ( x + 1)( x + 1) + 3( x − 1)( x − 1) − 5 ( x + 1)
= =
x3 − 8 18 ( x 2 − 1)
4 x − 3x − 10 ( x − 2)(4 x + 5)
2
4x + 5 9 x 2 − 9 x − 6 x 2 − 12 x − 6 + 3x 2 − 6 x + 3 − 5x − 5
= = = 2 =
x3 − 8 x3 − 8 x + 2x + 4
18 ( x 2 − 1)
3x + 2 5x + 1 4x − 1 6 x 2 − 32 x − 8 2 (3x − 16x − 4) 3x 2 − 16 x − 4
2
19. x 2 + 3x − 10 − x 2 + 4 x − 5 + x 2 − 3x + 2 = = =
18 ( x 2 − 1) 18 ( x 2 − 1) 9 ( x 2 − 1)
x 2 + 3x − 10 = ( x + 5)(x − 2) ; x 2 + 4 x − 5 = ( x + 5)(x − 1) a+2 a−3
mcm = 8 (a 2 − 1)
7a
− −
x 2 − 3x + 2 = ( x − 2)( x − 1); mcm = (x + 5)( x − 2)( x − 1)
24.
2a + 2 8a 2 − 8 4a − 4
(3x + 2)(x − 1) − (5x + 1)(x − 2) + (4 x − 1)(x + 5) 4 (a + 2)(a − 1) − 7a − 2 (a − 3)(a + 1)
= =
(x + 5)(x − 2)(x − 1) 8 (a 2 − 1)
3x 2 − 3x + 2 x − 2 − 5x 2 + 10 x − x + 2 + 4 x 2 + 20 x − x − 5 4a 2 + 4a − 8 − 7a − 2a 2 + 4a + 6 2a 2 + a − 2
=
(x + 5)(x − 2)(x − 1) =
8 (a − 1)2
=
8 (a 2 − 1)
2 x + 27 x − 5
2
a−3 2a + 5 4a − 1
= mcm = 120 (2a + 1)
(x + 5)(x − 2)(x − 1) 25. 20a + 10 + 40a + 20 − 60a + 30
12 (a − 3) + 6 (2a + 5) − 4 (4a − 1)
=
1 1 1 1
mcm = n (n − 1)
3
120 (2a + 1)
2 + − −
(n + 1) n − 1 (n − 1)3 n
20.
12a − 36 + 12a + 30 − 16a + 4
=
120 (2a + 1)
n (n − 1) + n (n − 1) − n − (n − 1)
2 3
= 2 (4a − 1)
n (n − 1)
3 8a − 2 4a − 1
= = =
120 (2a + 1) 120 (2a + 1) 60 (2a + 1)
n2 − n + n 3 − 2n 2 + n − n − n3 + 3n2 − 3n + 1 2n 2 − 4n + 1
= = 2 1 3
n (n − 1) n (n − 1) 26. 2 x 2 + 5x + 3 − 2 x 2 − x − 6 + x 2 − x − 2
3 3
2 x 2 + 5x + 3 = (2 x + 3)( x + 1)
a2 − 5 a2 + 5
mcm = (a − 25)(a + 5)
1
− 2 + 4 2 x 2 − x − 6 = (2 x + 3)( x − 2 )
4 2
21. 2
a + 5 (a 2 + 5) a − 25
x 2 − x − 2 = ( x − 2)( x + 1)
a − 25 − (a − 5)(a − 5) + (a + 5)(a + 5)
4 2 2 2 2
mcm = (2 x + 3)( x + 1)( x − 2)
=
(a 4
− 25)(a + 5) 2
=
2 ( x − 2) − ( x + 1) + 3 (2 x + 3)
a − 25 − a + 10a − 25 + a + 10a + 25
4 4 2 4 2
a + 20a − 25
4 2 (2 x + 3)( x + 1)(x − 2)
= =
(a 4
− 25)(a + 5) 2
(a 4
− 25)(a + 5)2
=
2 x − 4 − x − 1+ 6x + 9
=
(2 x + 3)( x + 1)(x − 2) (2 x + 3)(x + 1)( x − 2)
7x + 4

167. a−1 a−2
mcm = (a − 2)(a + 3)(a − 1)
1
27. a − 2 − a + 3 + a − 1 EJERCICIO 131
=
(a − 1) (a + 3) − (a − 2) (a − 1) + (a − 2)(a + 3)
2 2
1.
1
+
m
=
1
−
m
mcm = m2 − n2
(a − 2)(a + 3)(a − 1) m − n n2 − m2 m − n m2 − n2
m+n−m
=
(a − 2a + 1)(a + 3) − (a − 4a + 4)(a − 1) + a + a − 6
2 2 2
= 2 2 = 2 2
n
m −n m −n
(a − 2)(a + 3)(a − 1)
a 3 + 3a 2 − 2a 2 − 6a + a + 3 − a 3 + a 2 + 4a 2 − 4a − 4a + 4 + a 2 + a − 6
=
(a − 2)(a + 3)(a − 1) x2 2x x2 2x x 2x
− = + = +
x − xy y − x x ( x − y) x − y x − y x − y
7a 2 − 12a + 1 2. 2
=
(a − 2)(a + 3)(a − 1)
mcm = x − y
x + 2 x 3x
= =
2 + 3a 2 − 3a x− y x− y
mcm = (4 − 9a 2 )(2 − 3a )
a
28. − −
2 − 3a 2 + 3a (2 − 3a )2 1 x 1 x
+ = −
2 x − x 2 x 2 − 4 x (2 − x) 4 − x 2
3.
=
(2 + 3a)(4 − 9a ) − (2 − 3a ) − a (2 + 3a )
2 3
(4 − 9a )(2 − 3a ) 2 mcm = x (4 − x 2 )
8 − 18a 2 + 12a − 27a 3 − 8 + 36a − 54a 2 + 27a 3 − 2a − 3a 2
=
2 + x − x2
=
(2 − x)(1+ x) = 1+ x
=
(4 − 9a )(2 − 3a ) 2
x (4 − x 2 ) x (2 − x )( x + 2) x (2 + x)
46a − 75a 2 a+b a a+b a
= + = −
a 2 − ab b 2 − a 2 a (a − b) a 2 − b 2
4.
(4 − 9a )(2 − 3a)
2
mcm = a (a 2 − b2 )
1
+
1
−
1
mcm = 10 (1 + a 2 )(1 − a 2 ) =
(a + b)(a + b) − a 2
=
a 2 + 2ab + b2 − a 2
=
2ab + b2
a (a − b ) a (a − b ) a (a 2 − b2 )
29.
5 + 5a 5 − 5a 10 + 10a 2 2 2 2 2
2 (1 + a 2
)(1 − a) + 2 (1 + a )(1 + a ) − (1 − a ) 2 2
x−4 x x−4 x
= − = +
10 (1 + a )(1 − a ) x 2 − 2 x − 3 6 − 2 x ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3)
2 2
5.
2 − 2a + 2 a 2 − 2a 3 + 2 + 2 a + 2a 2 + 2 a 3 − 1 + a 2 mcm = 2 ( x − 3)( x + 1)
=
10 (1 + a 2
)(1− a ) 2
2 ( x − 4) + x ( x + 1) 2x − 8 + x2 + x x 2 + 3x − 8
= = =
5a 2 + 3 2 ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3)( x + 1) 2 ( x − 3)( x + 1)
=
10 (1 − a 4
) 6. x 2 + 2 x − 8 +
1
=
1
−
1 1
(2 − x)(x + 3) (x + 4)(x − 2) (x − 2)(x + 3)
mcm = ( x − 2)( x + 3)( x + 4)
1 1 x x x + 3 − ( x + 4)
− + − =
30.
3 − 3x 3 + 3x 6 + 6 x 2 2 − 2 x 2 (x − 2)(x + 3)(x + 4)
3 − 3x = 3 (1 − x ) 3 + 3x = 3 (1 + x )
x + 3− x − 4
; =
(x − 2)(x + 3)(x + 4)
6 + 6 x 2 = 6 (1 + x 2 ) ; 2 − 2 x 2 = 2 (1 − x 2 ) −1 1
= =
mcm = 6 (1 + x )(1 − x ) = 6 (1 − x )
2 2 4 (x − 2)(x + 3)(x + 4) (2 − x)(x + 3)(x + 4)
2 (1 + x )(1 + x ) − 2 (1 + x )(1 − x ) + x (1 − x ) − 3x (1 + x )
1 2 7 1 2 7
2 2 2 2
+ + = − +
2 x + 2 1 − x 4 x − 4 2 ( x + 1) x − 1 4 (x − 1)
7.
=
6 (1 − x ) 4
mcm = 4 ( x 2 − 1)
2 + 2 x + 2 x 2 + 2 x 3 − 2 + 2 x − 2 x 2 + 2 x 3 + x − x 3 − 3x − 3x 3
= 2 ( x − 1) − 8 ( x + 1) + 7 ( x + 1)
6 (1 − x 4 ) =
4 ( x 2 − 1)
2x x
= = 2 x − 2 − 8x − 8 + 7 x + 7 x− 3
6 (1 − x 4 ) 3(1 − x 4 ) =
4 ( x 2 − 1)
=
4 ( x 2 − 1)

168. 1 a+1 2
2a 3a 2a 2a 3a 2a 12. a − 3 + +
8. + + = + −
a + 3 a − 3 9 − a2 a + 3 a − 3 a2 − 9 (3 − a )(a − 2) (2 − a )(1 − a )
1 a+1 2
mcm = a 2 − 9 = − +
a − 3 (a − 3)(a − 2) (a − 2)(a − 1)
2a (a − 3) + 3a (a + 3) − 2a
= mcm = (a − 3)(a − 2)(a − 1)
a2 − 9
2a 2 − 6a + 3a 2 + 9a − 2a 5a 2 + a =
(a − 2)(a − 1) − (a + 1)(a − 1) + 2 (a − 3)
=
a2 − 9
= 2
a −9 (a − 3)(a − 2)(a − 1)
a 2 − 3a + 2 − a 2 + 1 + 2a − 6
x + 3y 3y 2 x x + 3y 3y 2 x =
9. + 2
y+ x x − y 2 − = + 2 −
y − x y + x x − y2 x − y (a − 3)(a − 2)(a − 1)
−a−3 a+3
mcm = x 2 − y 2 = =
(a − 3)(a − 2)(a − 1) (3 − a)(a − 2)(a − 1)
=
(x + 3y)( x − y) + 3y 2
+ x (x + y)
x −y2 2 2x 2 x3 + 2x2 1
13. + + 2
x 2 − xy + 3xy − 3 y 2 + 3 y 2 + x 2 + xy 2 x 2 + 3xy x−1 1− x 3 x + x+1
= = 2
x2 − y2 x − y2 2 x 2 x ( x + 1)
2
1
= − + 2
x x− 3 1 x−1 x3 − 1 x + x+1
10. x 2 + 2 x − 3 + +
(1− x)(x + 2) x + 2 mcm = x 3 − 1
x x− 3 1 2 x ( x 2 + x + 1) − 2 x 2 ( x + 1) + ( x − 1)
= − + =
(x + 3)(x − 1) (x − 1)(x + 2) x + 2 x3 − 1
mcm = ( x + 3)( x + 2)( x − 1) 2 x 3 + 2 x 2 + 2 x − 2 x 3 − 2 x 2 + x − 1 3x − 1
= = 3
x ( x + 2) − ( x − 3)( x + 3) + ( x + 3)( x − 1) x3 − 1 x −1
=
(x + 3)(x + 2)(x − 1) x+ 2 x+1 4 x 2 + 6x + 3
14. 3x − 1 + 3 − 2 x + 6 x 2 − 11x + 3
x + 2x − x + 9 + x + 2x − 3
2 2 2
x + 4x + 6
2
= =
(x + 3)(x + 2)(x − 1) (x + 3)( x + 2)(x − 1) =
x+ 2
−
x+1
+
4 x 2 + 6x + 3
3x − 1 2 x − 3 (2 x − 3)(3x − 1)
3 1 4 3 1 4
11. − − = − + mcm = (2 x − 3)(3x − 1)
2a + 2 4a − 4 8 − 8a 2 2 (a + 1) 4 (a − 1) 8 (a 2 − 1)
(x + 2)(2 x − 3) − (x + 1)(3x − 1) + 4 x 2
+ 6x + 3
mcm = 8 (a 2 − 1) =
(2 x − 3)(3x − 1)
12 (a − 1) − 2 (a + 1) + 4 2 x 2 − 3x + 4 x − 6 − 3x 2 + x − 3x + 1 + 4 x 2 + 6 x + 3
= =
8 (a − 1)
2
(2 x − 3)(3x − 1)
12a − 12 − 2a − 2 + 4 10a − 10 10 (a − 1) 5 =
3x + 5x − 2
2
=
(x + 2)(3x − 1) = x + 2
=
8 (a 2 − 1)
= = =
8 (a 2 − 1) 8 (a − 1)(a + 1) 4 (a + 1) (2 x − 3)(3x − 1) (2 x − 3)(3x − 1) 2 x − 3
EJERCICIO 132
2x 3 3a 2 5x 2 15 ⋅ 2a 2 x 5 2x 4
2a 2 6b2 12a 2b2
⋅ = = ab 5. 15a 3 ⋅ y ⋅ 7xy 2 = 15 ⋅ 7a 3 xy 3 = 7ay 3
1.
3b 4a 12ab
x 2 y 10a 3 9m 90x 2 ya 3m 6a 3y 7a 3m 5n4 7 ⋅ 3 ⋅ 5amn4 n2
2. ⋅ ⋅ = = 6. 6m2 ⋅ 10n2 ⋅ 14ax = 14 ⋅ 6 ⋅10am2n2 x = 8mx
5 3m2 x 3 15x 3m2 xm
5x 2 4y 2 14m 14 ⋅ 5 ⋅ 4x 2my 2 8 2x2 + x 8 x (2 x + 1) 4 2x
3. 7y 3 ⋅ 7m3 ⋅ 5x 4 = 49 ⋅ 5x 4m3 y 3 = 7x 2m2 y + = ⋅ =
2 (2 x + 1) 3
7. 6 4x + 2 3
5 2a 3b 10 ⋅ 3ab 3
⋅ ⋅ = = 5x + 25 7 x + 7 5( x + 5) 7 ( x + 1) x + 1
4. ⋅ = ⋅ =
10 ( x + 5)
a b2 10 10ab2 b 8. 14 10 x + 50 14 4

169. m+ n n2 1 − x a 2 + a x 2 1 − x a (a + 1) x 2
9. ⋅ 21. a + 1 ⋅ x − x 2 ⋅ a = a + 1 ⋅ ⋅ =x
mn − n 2 m2 − n 2 x (1 − x) a
m+ n n2 n n x2 + 2x x2 − 2x − 8 x2 + 4x
= ⋅ = = ⋅ ⋅ 2
n (m − n) (m + n)(m − n) (m − n) 2
m − 2mn + n 2 22.
x 2 − 16 x 3 + x 2 x + 4x + 4
2
xy − 2 y x + 2 xy + y
2 2 2
x ( x + 2)
( x − 4)(x + 2) ⋅ x (x + 4)
⋅ = ⋅
10.
x 2 + xy x 2 − 2 xy (x − 4)( x + 4) x (x + 1) (x + 2)(x + 2) 2
y ( x − 2 y) (x + y) = y (x + y) = xy + y x ( x + 2) ( x − 4)( x + 4)
2 2 2
2
1
= ⋅ = =
x (x + y) x ( x − 2 y) x ( x + 2) ( x − 4)( x + 4)( x + 1) x + 1
2 2 2
x x 2
11.
x 2 − 4 xy + 4 y 2
⋅ 2
x2 (m + n) − x ⋅ (m − n) − x
2 2 2 2
x 2 + 2 xy x − 4y2 23.
(m + x) − n m + mn − mx
2 2 2
=
(x − 2 y) ⋅ x
2
=
x (x − 2 y)
=
x − 2 xy
2 2
(m + n + x)(m + n − x) ⋅ (m − n + x)(m − n − x)
x ( x + 2 y) ( x + 2 y)( x − 2 y ) ( x + 2 y) x + 4 xy + y =
(m + n + x)(m − n + x) m (m + n − x)
2 2 2
2 x + 2 x x − 3x
2
2 x ( x + 1)2
x ( x − 3) m− n − x
⋅ = ⋅ =1 =
12. 2x x − 2x − 3
2
2x 2
(x − 3)(x + 1) 2
m
24. 2a + 2ab x3 − x
3 2
a 2 − ab + a − b x
⋅
3 ⋅ ⋅
13.
a 2 + 2a + 1 6a 2 − 6ab 2ax − 2ax a x + b2 x x + 1
2 2
(a + 1)(a − b) ⋅ 3 = 1 = 1 2a (a 2 + b2 ) x ( x 2 − 1) x
= = ⋅ ⋅ =1
(a + 1)(a + 1) 6a (a − b) 2a (a + 1) 2a + 2a 2ax ( x − 1) x (a 2 + b2 ) x + 1
2
(x − y) ⋅ x + x + 1 = (x − y) ⋅ x + x + 1 = x − y 25. a − 5a + 6 ⋅ 6a ⋅ a − 25
3
2
2
2 2
x − 1 (x − y) (x − 1)(x + x + 1) 3a − 15 a − a − 30 2a − 4 2
14. 3 2
x−1 2
(a − 3)(a − 2) ⋅ 6a (a + 5)(a − 5)
2a − 2 a − 4a − 5 2 (a − 1) (a − 5)(a + 1) = ⋅
3 (a − 5) (a − 6)(a + 5) 2 (a − 2)
2
⋅ = ⋅
2 (a − 25) 3(a + 1)
15.
2a − 50 3a + 3
2 2
a (a − 3) a − 3a 2
=
(a − 1)(a − 5) = a − 1 = a − 1 = a − 6 = a − 6
3(a + 5)(a − 5) 3(a + 5) 3a + 15 x − 3xy − 10 y x − 16 y x − 6xy 2 2 2 2 2
⋅ ⋅
2 x − 3x − 2 3x + 6 ( x − 2)(2 x + 1) 3 ( x + 2)
26.
2
x − 2 xy − 8 y x + 4 xy x + 2 y 2 2 2
⋅ = ⋅ =1
3 (2 x + 1) ( x − 2)( x + 2) (x − 5y)(x + 2 y) ⋅ (x + 4 y)(x − 4 y) ⋅ x (x − 6 y)
16. 6x + 3 x −4 2
=
y + 9 y + 18 5 y − 25 ( y + 6)( y + 3) 5 ( y − 5)
2
(x − 4 y)(x + 2 y) x (x + 4 y) x + 2y
⋅ = ⋅ = y+6
5( y + 3) (x − 5y)(x − 6 y) = x − 11xy + 30 y
17. y−5 5 y + 15 y−5 2 2
=
x + 2 x − 3x 2 x + 3x
3 2 2 x + 2y x + 2y
18. ⋅
4 x 2 + 8x + 3 x 2 − x x 2 + 4ax + 4a 2 2ax − 4a 2 6a + 6 x
⋅ ⋅ 2
x ( x 2 + 2 x − 3) x (2 x + 3)
27.
3ax − 6a 2 ax + a x + 3ax + 2a 2
= ⋅
(2 x + 3)(2 x + 1) x ( x − 1) =
(x + 2a) ⋅ 2a (x − 2a) ⋅ 6 (a + x)
2
x ( x + 3)( x − 1) x ( x + 3) x 2 + 3x 3a ( x − 2a ) a ( x + 1) ( x + 2a )( x + a )
= = =
(2 x + 1)( x − 1) 2x + 1 2x + 1 4 ( x + 2a ) 4 x + 8a
= =
a ( x + 1) ax + a
x − 27 a 2 + a + 1
3
19. ⋅ a 2 − 81 a + 11 2a − 12 a 3 + 5a 2
a 3 − 1 x 2 + 3x + 9
28. 2a 2 + 10a ⋅ a 2 − 36 ⋅ 2a + 18 ⋅ 2a + 22
(x − 3)(x + 3x + 9) ⋅ a + a + 1 = x − 3
2 2
= (a + 9)(a − 9) ⋅ a + 11 ⋅ 2 (a − 6) ⋅ a (a + 5) 2
(a − 1)(a + a + 1) x + 3x + 9 a − 1
2 2
=
2a (a + 5) (a + 6)(a − 6) 2 (a + 9) 2 (a + 11)
a 2 + 4ab + 4b 2 2a + 4b (a + 2b) 2 (a + 2b) 2 a (a − 9) a − 9a
2
2
⋅ = ⋅ = = =
20. 3 (a + 2b)3 3 (a + 2b)3 3 4 (a + 6) 4a + 24

170. x 4 + 27 x x4 + x 1 x2
⋅ 4 2 ⋅ 2 ⋅
x − x + x x − 3x + 9 x x ( x + 3) x − 3
30. 3 2 3
a 2 + 7a + 10 a 2 − 3a − 4 a 3 − 2a 2 − 3a
29. ⋅ ⋅
a 2 − 6a − 7 a 2 + 2a − 15 a 2 − 2a − 8 x ( x 3 + 27) x ( x 3 + 1)
x
= ⋅ ⋅
(a + 5)(a + 2) ⋅ (a − 4)(a + 1) ⋅ a (a − 2a − 3) x ( x − x + 1) x ( x 2 − 3x + 9) ( x + 3) ( x − 3)
2 2 2
2
=
(a − 7)(a + 1) (a + 5)(a − 3) (a − 4)(a + 2) (x + 3)(x − 3x + 9) ( x + 1)( x 2 − x + 1)
2
1
= ⋅ ⋅ 2
=
a (a − 3)(a + 1) a (a + 1) a + a
= =
2 x − x+
2
1 x −
2
3x + 9 (x − 9)(x + 3)
(a − 3)(a − 7) a − 7 a − 7 =
x+1
x2 − 9
 12   10 − 3x 
EJERCICIO 133  x+ 2−   x− 2+ 
5.  x + 1  x+5 
 a  a  12
1.  a + b   a − b + 1
 
⇒ x+ 2−
x+1

a ab + a a (b + 1)
=
(x + 2)(x + 1) − 12
⇒ a+ = =
b b b x+1
a a (b + 1) − a ab + a − a ab x 2 + 3x + 2 − 12 x 2 + 3x − 10 ( x + 5)( x − 2)
⇒ a− = = = = = =
b+1 b+1 b+1 b+1 x+1 x+1 x+1
a (b + 1) ab 10 − 3x
⇒ ⋅ = a2 ⇒ x−2+
b b+1 x+5
 2  1  =
(x − 2)(x + 5) + 10 − 3x = x 2
+ 3x − 10 + 10 − 3x
=
x2
2.  x − x + 1  x + x + 2 
   x+5 x +5 x+5
2 x ( x + 1) − 2 x 2 + x − 2 ( x + 2)( x − 1) ⇒
(x + 5)(x − 2) ⋅ x2
=
x 2 ( x − 2) x 3 − 2 x 2
=
⇒ x− = = = x+1 x+5 x+1 x+1
x+1 x+1 x+1 x+1
1 x ( x + 2) + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1)( x + 1)  x 
 1+   x −
x2 

⇒ x+ = = = 6.  y  x + y
x+2 x+2 x+2 x+2
x y+ x
⇒
(x + 2)(x − 1) ⋅ (x + 1) 2
= ( x − 1)( x + 1) = x 2 − 1
⇒ 1+
y
=
y
x+1 x+2
x2 x ( x + y) − x 2 x 2 + xy − x 2 xy
 x  x ⇒ x− = = =
 1−   1+  x+ y x+ y x+ y x+ y
3.  a + x   a
y + x xy
x a+ x− x a ⇒ ⋅ =x
⇒ 1− = = y x+ y
a+ x a+ x a+ x
 ax + x 2   x 
x a+ x a+ x−   1+ 
⇒ 1+ = 7.  a + 2x   a + x
a a
a a+ x ax + x 2
⇒ ⋅ =1 ⇒ a+ x−
a+ x a a + 2x
 ab   b 2  =
(a + x)(a + 2 x) − (ax + x ) 2
a+   1−  a + 2x
4.  a − b  a2 
ab a (a − b) + ab a 2 − ab + ab a + 3ax + 2 x 2 − ax − x 2 a 2 + 2ax + x 2 (a + x )
2
2
a2 = = =
⇒ a+ = = = a + 2x a + 2x a + 2x
a−b a−b a−b a−b
b2 a 2 − b2 x a + x + x a + 2x
⇒ 1− = ⇒ 1+ = =
a2 a2 a+ x a+ x a+ x
a 2 a 2 − b 2 (a + b)(a − b) (a + x) 2
a + 2x
⇒ ⋅ = =a+b ⇒ ⋅ =a+ x
a−b a2 (a − b) a + 2x a+ x

171.  x 3 − 6x   8   mn   n3 
x− 2   x + 1−   m−   1+ 3 
8.  x − 25   x + 3 9.  m+ n  m 
x 3 − 6 x x (x − 25) − (x − 6 x ) mn m (m + n) − mn m2 + mn − mn m2
2 3
⇒ x− 2 = ⇒ m− = = =
x − 25 x − 25
2
m+ n m+ n m+ n m+ n
n3 m3 + n3 (m + n)(m − mn + n )
x 3 − 25x − x 3 + 6 x − 19 x 19 x
= = 2 =
2 2
x 2 − 25 x − 25 25 − x 2 ⇒ 1+ = =
m3 m3 m3
8 (x + 1)(x + 3) − 8
⇒ x + 1− =
m2 (m + n)(m − mn + n ) m2 − mn + n2
2 2
x+3 x+3
⇒ ⋅ =
x 2 + 4 x + 3 − 8 x 2 + 4 x − 5 (x + 5)( x − 1) m+ n m3 m
= = =
x+3 x+3 x+3
 a  b  b2 
19 x (x + 5)(x − 1) 11.  1 +

  1−   1+ 2 
⇒ ⋅ b   a   a − b2 
25 − x 2 x+3
a b+ a
19 x (x − 1) 19 x 2 − 19 x 19 x 2 − 19 x ⇒ 1+
b
=
b
= = =
(5 − x)(x + 3) 5x + 15 − x 2 − 3x 15 + 2 x − x 2 b a−b
⇒ 1− =
 14 x 2   a 2 + 5x 2 
a a
 a + 2x −  a− x+  b2 a2
10.  2a + x   a + 4x  ⇒ 1+ 2 2 =
14 x 2 a −b a − b2
2
⇒ a + 2x −
2a + x b+ a a−b a2 a2 a
⇒ ⋅ ⋅ = =
(a + 2 x )(2a + x) − 14 x 2
b a (a + b)(a − b) ab b
=
2a + x
 2  6  1
2a 2 + 5ax + 2 x 2 − 14 x 2 2a 2 + 5ax − 12 x 2 (a + 4 x )(2a − 3x ) 2+   3−   1+ 
= = = 12.  x + 1  x + 2  x
2a + x 2a + x 2a + x
a 2 + 5x 2 2 2 ( x + 1) + 2 2 x + 4 2 ( x + 2)
⇒ a− x+ ⇒ 2+ = = =
a + 4x x+1 x+1 x+1 x+1
(a − x)(a + 4 x) + a + 5x 2 3( x + 2) − 6 3x + 6 − 6 3x
2
6
= ⇒ 3− = = =
a + 4x x+ 2 x+2 x+2 x+ 2
a 2 + 3ax − 4 x 2 + a 2 + 5x 2 2a 2 + 3ax + x 2 (a + x )(2a + x ) 1 x+1
= = = ⇒ 1+ =
a + 4x a + 4x a + 4x x x
⇒
(a + 4 x)(2a − 3x) ⋅ (a + x )(2a + x) 2 ( x + 2 ) 3x x + 1
2a + x a + 4x ⇒ ⋅ ⋅ =6
x+1 x+ 2 x
= (2a − 3x )(a + x ) = 2a 2 − ax − 3x 2
EJERCICIO 134 x − 1 2x − 2 x − 1 6
÷ = ⋅ =1
x 2
2x x y xy 2 3
7. 3 6 3 2 ( x − 1)
÷ = ⋅ =
1.
3y 2 y 3 3y 2 2x 6 3a 2 5a 3 3a 2 ab (a + 3b) 3b
8. a 2 + 6ab + 9b 2 ÷ a 2b + 3ab 2 = ⋅ =
5(a + 3b)
3a 2b 3a 2b 1 3 (a + 3b)2 5a 3
÷ a 2b 3 = ⋅ =
x 3 − x 5x 2 − 5x x (x − 1) 2 (x + 3) x + 1
2. 2
5x 5x 2 a 2b3 5b 2 x 2 2
÷ = ⋅ =
2 x + 6x 2 x + 6 2 x ( x + 3) 5x ( x − 1) 5x
2 4 2 4 9.
5m 10m 5m 14an an 2
3. ÷ = ⋅ =
7n3 14an4 7n3 10m4 m2
1 2
a 2x 5 10. a 2 − a − 30 ÷ a 2 + a − 42
4. 6a x ÷ = 6a 2 x 3 ⋅ 2 = 30x 2
2 3
5 a x
=
1
⋅
(a + 7)(a − 6) = a+7
15m2 20y 2 15m2 38a 3 x 4 3m2a 2 x
5. 19ax 3 ÷ 38a 3 x 4 = 19ax 3 ⋅ 20y 2 = 2y 2 (a − 6)(a + 5) 2 2 (a + 5)
11x 2 y 3 11x 2 y 3 x2
20x 2 − 30 x 4 x − 6 5x (4 x − 6) x + 1 1
1 11. 15x 3 + 15x 2 ÷ x + 1 = ⋅ =
6. 7m2 ÷ 22y = 7m2 ⋅ 22y 4 = 14m2 y 15x 2 (x + 1) (4 x − 6) 3x
4

172. a 2 − 6a + 5 a 2 + 2a − 35 16 x 2 − 24 xy + 9 y 2 64 x 3 − 27 y 3
12. a 2 − 15a + 56 ÷ a 2 − 5a − 24 18. ÷
16 x − 12 y 32 x 2 + 24 xy + 18 y 2
=
(a − 5)(a − 1) ⋅ (a − 8)(a + 3) (4 x − 3y) ⋅ 2 (16x + 12 xy + 9 y ) = 1
2 2 2
(a − 8)(a − 7) (a + 7)(a − 5) =
4 (4 x − 3y ) (4 x − 3 y)(16 x + 12 xy + 9 y ) 22 2
(a − 1)(a + 3) = a + 2a − 3 2
= a 2 − 6a a 2 + 3a − 54 a (a − 6) a (a + 9)
(a − 7)(a + 7) a − 49 2
19. a 3 + 3a 2 ÷ a 2 + 9a = 2 ⋅ =
1
a (a + 3) (a + 9)(a − 6) a + 3
8 x 2 + 26 x + 15 6x 2 + 13x − 5
13. ÷ 15x 2 + 7 x − 2 6 x 2 + 13x + 6
16 x 2 − 9 9x2 − 1 20. ÷
25x 3 − x 25x 2 + 10 x + 1
(2 x + 5)(4 x + 3) ⋅ (3x + 1)(3x − 1) = 3x + 1
=
(4 x + 3)(4 x − 3) (2 x + 5)(3x − 1) 4 x − 3 =
(3x + 2)(5x − 1) ⋅ (5x + 1) = 5x + 1 = 5x + 1 2
x (5x − 1)(5x + 1) (2 x + 3)(3x + 2) x (2 x + 3) 2 x + 3x
2
x − 121x x − 11x
3 2
14. ÷ x3 − 1 7x2 + 7x + 7
x 2 − 49 x+ 7 21. ÷
2x − 2x + 2 7x3 + 7
x ( x 2 − 121)
(x + 7) = x + 11
2
= ⋅
(x + 7)(x − 7) x (x − 11) x − 7 =
(x − 1)(x + x + 1) ⋅ 7 (x + 1)
2 3
2 ( x − x + 1) 7 ( x + x + 1)
2 2
ax 2 + 5 a 3 x 2 + 5a 2
15. ÷ (x − 1) ⋅ x + 1 x − x + 1 = (x − 1)(x + 1) = x − 1 2
4a 2 − 1 2a − 1 =
2 ( x − x + 1)
2
( )( ) 2
2 2
ax 2 + 5 2a − 1 1
= ⋅ =
(2a + 1)(2a − 1) a 2 (ax 2 + 5) a 2 (2a + 1) 22.
2mx − 2my + nx − ny
÷ 8m + 4n
3x − 3 y
a 4 − 1 a 4 + 4a 2 + 3
16.
a3 + a2
÷
3a 3 + 9a =
(2m + n)(x − y) ⋅ 1 = 1
3( x − y) 4 (2m + n) 12
=
(a 2
+ 1)(a 2 − 1)
⋅
3a (a 2 + 3)
=
3 (a − 1)
x 2 − 6x + 9 x 2 + 5x − 24
a (a + 1)
2
(a 2
+ 3)(a 2 + 1) a 23. ÷ 2
4x2 − 1 2 x + 17 x + 8
x 3 + 125
17. x 2 − 64 ÷
x 3 − 5x 2 + 25x
=
(x − 3) ⋅ (2 x + 1)(x + 8) = x − 3
2
x 2 + x − 56
(2 x + 1)(2 x − 1) (x + 8)(x − 3) 2 x − 1
=
(x + 5)(x − 5x + 25) ⋅ (x + 8)(x − 7)
2
2a 2 + 7ab − 15b 2 a 2 − 3ab − 40b 2
(x + 8)(x − 8) x (x − 5x + 25) 2
24.
a 3 + 4a 2b
÷ 2
a − 4ab − 32b 2
=
(x + 5)(x − 7) = x − 2 x − 35 2
(a + 5b)(2a − 3b) ⋅ (a − 8b)(a + 4b) = 2a − 3b
x ( x − 8) x − 8x =
a (a + 4b) (a − 8b)(a + 5b) a
2
2 2
EJERCICIO 135
 2   x 
 a   2a  x−  ÷ x− 
 1+  ÷  1+  2.  x + 1  x + 1
 a + b  b
x ( x + 1) − 2 x 2 + x − 2
1.
2
a a + b + a 2a + b ⇒ x− = =
⇒ 1+ = = x+1 x+1 x+1
a+b a+b a+b
2a b + 2a x x ( x + 1) − x x 2
⇒ 1+ = ⇒ x− = =
b b x+1 x+1 x+1
2 a + b b + 2a 2 a + b b b x2 + x − 2 x2 x2 + x − 2 x + 1 x2 + x − 2
⇒ ÷ = ⋅ = ⇒ ÷ = ⋅ 2 =
a+b b a + b b + 2a a + b x+1 x+1 x+1 x x2

173.  1   1 
 a2   2  6.  1 − x 3 + 2  ÷  x + x − 1
 1− a +  ÷  1+     
3.  1 + a   a 2 − 1
x 3 + 2 − 1 x 3 + 1 ( x + 1)( x − x + 1)
2
1
a 2 (1 − a )(1 + a) + a 1 − a 2 + a 2 ⇒ 1− = 3 = 3 =
2
1 x +2
3
x +2 x +2 x +2
3
⇒ 1− a + = = =
1+ a 1+ a 1+a 1+ a
1 x ( x − 1) + 1 x 2 − x + 1
2 a2 − 1+ 2 a2 + 1 ⇒ x+ = =
⇒ 1+ 2 = = 2 x−1 x−1 x−1
a −1 a2 − 1 a −1
1 a2 + 1 1 a2 − 1 a − 1 ⇒
(x + 1)(x 2
− x + 1) x 2 − x + 1
÷
⇒ ÷ 2 = ⋅ = x3 + 2 x−1
1+ a a − 1 1 + a a 2 + 1 a 2 + 1
=
(x + 1)(x 2
− x + 1)
⋅
x−1
=
(x + 1)(x − 1) = x 2 − 1
 2   3  x +2 3
x − x+1
2
x3 − 2 x3 + 2
x+  ÷x+ 
4.  x + 3  x + 4  1   3 
x+  ÷  1+ 2 
2 x ( x + 3) + 2 x 2 + 3x + 2 ( x + 1)( x + 2) 7.  x + 2  x − 4
⇒ x+ = = =
x+3 x+3 x+ 3 x+3
x ( x + 2) + 1 x 2 + 2 x + 1 ( x + 1)
2
1
3 x ( x + 4 ) + 3 x 2 + 4 x + 3 ( x + 3)( x + 1) ⇒ x+
x+ 2
=
x+2
=
x+2
=
x+2
⇒ x+ = = =
x+4 x+4 x+ 4 x+4
3 x 2 − 4 + 3 x 2 − 1 ( x + 1)( x − 1)
⇒
( x + 1)(x + 2) ÷ (x + 3)( x + 1) ⇒ 1+
x2 − 4
=
x2 − 4
= 2 =
x − 4 ( x + 2)( x − 2 )
x+3 x+4
( x + 1) ( x + 1)(x − 1)
2
( x + 1)(x + 2) ⋅ x+ 4 (x + 2)( x + 4) = x + 6x + 8 ⇒ ÷
(x + 2)(x − 2)
2
= = x+2
x+ 3 ( x + 3)(x + 1) (x + 3) 2
x 2
+ 6x + 9
=
( x + 1) ⋅ (x + 2)( x − 2) = ( x + 1)( x − 2) = x
2
2
− x−2
x + 2 ( x + 1)( x − 1) x−1 x−1
 b 2
  b 
5.  a + b + a − b  ÷  1 − a + b 
     2n − 1  2 n − 1
8.  n − n 2 + 2  ÷  n + 1 − n 
  
⇒ a+b+
b
=
(a + b)(a − b) + b = a − b + b = a
2 2 2 2 2 2 
a−b a−b a−b a−b 2n − 1 n (n + 2) − (2n − 1) n3 + 2n − 2n + 1 n3 + 1
2
⇒ n− = = = 2
b a+b−b a n2 + 2 n2 + 2 n2 + 2 n +2
⇒ 1− = =
n − 1 n (n + 1) − (n − 1) n3 + n − n + 1 n3 + 1
a+b a+b a+b 2
a2 a a 2 a + b a (a + b) a 2 + ab ⇒ n2 + 1−
n
=
n
=
n
=
n
⇒ ÷ = ⋅ = =
a−b a+b a−b a a−b a−b n3 + 1 n3 + 1 n3 + 1 n n
⇒ 2 ÷ = 2 ⋅ =
n +2 n n + 2 n3 + 1 n2 + 2
EJERCICIO 136 64a 2 − 81b 2 ( x − 9) 8a 2 + 9ab
2
4. ⋅ ÷
x 2 − 81 8a − 9b (x + 9)2
3x 8y z2 2 3x 2 2x 2
1. 4y ⋅ 9x ÷ 3x 2 = 3 ⋅ z 2 = z2
=
(8a + 9b)(8a − 9b) ⋅ (x − 9) ⋅ (x + 9) 2 2
(x + 9)(x − 9) 8a − 9b a (8a + 9b)
=
( x − 9)( x + 9) x − 81
=
2
5a  2a 5x  5a 2ab 2 2a 2b
2. ÷ ⋅ = ⋅ = a a
b  b 2 4a 2  b 5x x
x − x − 12 x − x − 56 x 2 − 5x − 24
2 2
5. ⋅ ÷
x 2 − 49 x 2 + x − 20 x+5
a + 1 3a − 3
⋅
a2 + a
÷ 2 =
(x − 4)(x + 3) ⋅ (x − 8)(x + 7) ⋅ x + 5 = 1
3. a − 1 2a + 2 a + a − 2 (x + 7)(x − 7) (x + 5)(x − 4) (x − 8)(x + 3) x − 7
a + 1 3 (a − 1) (a + 2)(a − 1) a 2 − 8a + 7 a 2 − 36 a 2 − a − 42
= ⋅ ⋅ ⋅ ÷
a − 1 2 (a + 1) a (a + 1)
6.
a 2 − 11a + 30 a 2 − 1 a 2 − 4a − 5
3 (a + 2)(a − 1) 3a 2 + 3a − 6 (a − 7)(a − 1) ⋅ (a + 6)(a − 6) ⋅ (a − 5)(a + 1) = 1
= = =
2a (a + 1) 2a 2 + 2 a (a − 6)(a − 5) (a + 1)(a − 1) (a − 7)(a + 6)

174. x 4 − 27 x x 2 + 20 x + 100 x 2 − 100 x ( x − 3)(x + 3x + 9) ( x + 10)
2
x− 3 x− 3
2
⋅ 3 ÷ = ⋅ ⋅ =
7. 2
x + 7 x − 30 x + 3x 2 + 9 x x−3 (x + 10)(x − 3) x (x 2 + 3x + 9) (x + 10)(x − 10) x − 10
(a + 1) ÷  a
2
+ a 4 x + 8  a 2 + 1 a (a + 1) 4 (x + 2) a 2 + 1 3 (a − 2)(x − 3)
⋅ =
3
÷
2
⋅ = ⋅ =
x−3
=
x−3
8.
3a − 6  6a − 12 x − 3  3 (a − 2) 6 (a − 2) x − 3 3 (a − 2) 2a (a 2 + 1)( x + 2) 2a ( x + 2) 2ax + 4a
8 x 2 − 10 x − 3 4 x 2 − 9 8 x 2 + 14 x + 3 (2 x − 3)(4 x + 1) (2 x + 3)(2 x − 3) (3x + 2) = (2 x − 3) = 4 x 2 − 12 x + 9 2 2
9. 6 x 2 + 13x + 6 ⋅ 3x 2 + 2 x ÷ 9 x 2 + 12 x + 4 = ⋅ ⋅
(2 x + 3)(3x + 2) x (3x + 2) (2 x + 3)(4 x + 1) x (2 x + 3) 2 x 2 + 3x
(a + b) 2
− c2
⋅
(a + c) 2
− b2
÷
a + b + c (a + b + c)(a + b − c) (a + b + c)(a − b + c)
= ⋅ ⋅
a2
=
a (a + b + c) a 2 + ab + ac
=
10.
(a − b) 2
−c 2 a + ab − ac
2
a2 (a − b + c)(a − b − c) a (a + b − c) a+b+ c a − b− c a − b− c
a − 5a  a 2 + 6a − 55 ax + 3a  a (a − 5) b (b + 1)(b − 1)(a + 11) b (b − 1) b2 − b
2 2
2 ÷ ⋅ 2 2 = ⋅ = =
11. b+b  b −1 2
ab + 11b  b (1 + b) a (a + 11)(a − 5)( x + 3) x+3 x+3
m3 + 6m2 n + 9mn 2 4m2 − n2 m3 + 27n 3
12. 3⋅ 2 ÷
2m n + 7mn + 3n 8m − 2mn − n 16m2 + 8mn + n2
2 2 2
m (m + 3n) (2m + n)(2m − n) ⋅ (4m + n) m (4m + n)
2 2
4m + mn 2
= ⋅ = =
n (m + 3n)(2m + n) (2m − n)(4m + n) (m + 3n)(m − 3mn − 9n ) n (m − 3mn + 9n ) m n − 3mn + 9n
2 2 2 2 2 2 3
(a 2
− ax ) 1
2
 a3 − a2 x a2 − x2 
2 ⋅ 3 2 ÷ 2 2 ⋅ 3 
13.
a + x a + a x  a + 2ax + x a + ax 2 
2
=
(a 2
− ax) 1
2
a (a + x ) (a 2 + x 2 ) a 2 − ax a (a − x ) 1
2
2 ⋅ 2 ⋅ = 2 = =
a + x a (a + x ) a (a − ax)(a + x )(a − x ) a (a − x ) a 2 (a − x ) a
2 2
14.
(a 2
− 3a )
2
⋅
27 − a 3
÷
a 4 − 9a 2
9− a (a + 3) − 3a (a + 3a)
2 2 2 2
=
(a − 3a) ⋅ (3 − a)(9 + 3a + a ) ⋅ (a + 3a) = (a
2 2 2 2 2 2
− 3a)(a 2 + 3a) a (a 2 − 3a )(a + 3) 3
= = a − 3a 2
(3 + a)(3 − a) a + 3a + 9 (a − 3a)(a + 3a) 2 2 2
3+ a a+3
EJERCICIO 137
x 2x + x
x+
a ab − a 2 = 2 = 2 ( 3x ) = 2
b = b = a (b − 1) = a
a−
5. x 4x − x 3x
1. 1 b2 − 1 (b + 1)(b − 1) b + 1 x−
b− 4 4
b b x y x2 − y2
−
1 x3 − 1 (x + y)(x − y) = x − y
x = x = ( x − 1)( x + x + 1) = x 2 + x + 1
x −
2 y x xy
2
= =
6.
1+
y x+ y y (x + y) y
2. 1 x−1 x−1
1− x x
x x
3 x2 + 4x + 3
a b a 2 − b2 x+ 4+ (x + 1)(x + 3) = x + 3
b a = ab = (a + b)(a − b) = a − b
− x= x =
7. 5 x 2 − 4 x − 5 ( x − 5)( x + 1) x − 5
3.
1+
b a+b b (a + b) b x− 4−
x x
a a
1 1 m+n 4 a 2 − 4a + 4
+
m n = mn = m + n
a− 4+
a= a =
(a − 2)(a − 2) = a − 2
4. 1 1 n − m n − m
−
8.
1−
2 a−2 (a − 2)
m n mn a a

175. 2a 2 − b 2 20 x 2 + 7 x − 6 EJERCICIO 138
−b
a x
9. 4a 2 + b 2 14. 4 x+1
2 − 25
1+
+1 x x−1
4ab 1. 1
2a − b 2 − ab
2
(4 x + 3)(5x − 2) −
1
a x−1 x+1
= = x
4a 2 + b 2 + 4ab 4 − 25x 2 x − 1+ x + 1
4ab x2 x−1 2 x ( x + 1) 2
= = =x +x
4b (2a 2 − b 2 − ab) x (4 x + 3)(5x − 2) x + 1 − ( x − 1) 2
= =
4a 2 + b 2 + 4ab (2 + 5x)(2 − 5x) x2 − 1
4b (a − b)(2a + b) 4 x 2 + 3x
= =− 1 2
(2a + b) 2
5x + 2 +
x−1 x+1
4b (a − b) 4ab − 4b
1 2. x − 2 2 x + 6
2
1+ +
= = x−1 x+1
2a + b 2a + b 15. x
1
3a 10b + 3a 1+ 2
x −1 x + 1 + 2 ( x − 1)
2+
5b = 5b 3 x − 1+ 1 x2 − 1
= =
10b 3a + 10b 5b x ( x + 1) x + 1
10.
a+
= 2
x−1
= =
(x 2
− x − 2) + x (2 x + 6)
x ( x + 1)
3 3 x − 1+ 1 x2 x
x2 x −1
2
x (3x − 1)
a− x+
a+ x a 2 + ab − ab
ab =
11.
a2 −
a2 a−
a+b
= 2
a+b (x − 1)(3x + 5x − 2)
2
a+ x a − ab + ab x (3x − 1)
16. ab
a+ x
a2 − x2 + x2 a−b a−b = =
a+ x (x − 1)(3x − 1)(x + 2) x 2
+ x−2
= 3 a 2 (a − b) a−b
a + a2 x − a2 = =
a 2 (a + b) a+b a
−
b
a+ x a−b a+b
5 3. a + b a
a2 1 x − 1−
= = x+ 3 +
a (a + x − 1)
2
a+ x−1 17. 35 a−b b
x + 5−
a + 5−
14 x+ 3 a (a + b) − b (a − b)
(a − b)(a + b)
a x2 + 2x − 8
12. 8 7
1+ + 2 x+ 3 =
a a = 2 b (a + b ) + a (a − b)
x + 8 x − 20
a 2 + 5a − 14
x+ 3 b (a − b )
= 2 a
a + 8a + 7
=
( x + 4)(x − 2) = x + 4 a 2 + ab − ab + b 2 a 2 + b 2
a2 ( x + 10)(x − 2) x + 10 =
a+b
=
a+b
=
b
a (a + 7)(a − 2) 7a + 9 ab + b 2 + a 2 − ab a 2 + b 2 a + b
=
(a + 7)(a + 1 ) a+ 2−
a+3 b b
a (a − 2) a − 2a 5a − 11
2 18. x+ 3 x+1
= = a − 4+ −
a+1 a+1 a+1 x+4 x+2
a 2 + 5a + 6 − 7a − 9
4. x − 1 x−3
1 9 20 −
− + a+3 x+2 x+4
a a2 a3 = 2
13. 16
a
−a
a − 3a − 4 + 5a − 11
a+1
(x + 3)(x + 2) − (x + 1)( x + 4)
a − 9a + 20 (x + 4)(x + 2)
(a + 1)(a − 2a − 3)
2
=
( x − 1)(x + 4) − (x − 3)(x + 2)
2
a3 =
= (a + 3)(a + 2a − 15)
2
16 − a 2
(x + 2)(x + 4)
a
=
(a + 1)(a − 3)(a + 1) x 2 + 5x + 6 − x 2 − 5x − 4
=
(a − 5)(a − 4) (a + 3)(a + 5)(a − 3) =
x 2 + 3x − 4 − x 2 + x + 6
a (4 + a )(4 − a )
(a + 1) = a + 2a + 1
2
2
2
=
2 2 1
a−5 a−5 5− a = = =
=− 2
a (a + 4)
=− 3 =
a + 4a 2 a 3 + 4a 2
(a + 3)(a + 5) a + 8a + 15
2
4 x + 2 2 (2 x + 1) 2 x + 1

176. a+ x b+ x
2x −
1+ a− x b− x
1+ x2
m2 m2 − n2 7. 9. 2 2
+ 2 x5 + 2 −
n m+ n 2x + a− x b− x
5. m − n n 1− x4
+
1+ x2 + 2 x
(a + x)(b − x) − (b + x)(a − x)
n m
(a − x)(b − x)
m2 (m + n) − n (m2 − n 2 ) 1+ x 2 =
= 2 (b − x ) − 2 (a − x )
n (m + n) 2 x (1 − x 4 ) + 2 x 5 + 2
= (1+ x )(1 − x ) (a − x)(b − x)
m (m − n) + n2
2 2
ab − ax + bx − x 2 − ab + bx − ax + x 2
nm x2 + 2x + 1 =
= 2b − 2 x − 2a + 2 x
m3 + m2 n − m2 n + n 3 2x − 2 x 5 + 2 x5 + 2
m+ n 1− x 2 2bx − 2ax 2 x (b − a )
= = =x
= 2b − 2a 2 (b − a )
m2 − mn + n 2
=
(x + 1) 2
2a − a
2 (x + 1)
m a a
−
m3 + n 3 a + x 2a + 2 x 2 (a + x )
m+ n
(x + 1)(1− x) 10. a a
=
a (a + x ) + a (a − x)
= 2 +
m − mn + n 2
=
(x + 1) ⋅ (x + 1)(1 − x)
2
a− x a+ x (a − x)(a + x)
m 2 ( x + 1) a
(m + n)(m− mn + n 2 )
2
(x + 1) (1− x)
2
= 2 2
m+ n = a + ax + a 2 − ax
= 2 a− x
m2 − mn + n2
m =
(x 2
+ 2 x + 1)(1 − x ) a
2 a a− x a− x
= m2 − mn + n2 ⋅ 2
m
=m = 22 = ⋅ =
m − mn + n2 x2 − x3 + 2x − 2x2 + 1− x 2a 2 2a 2 4a
=
2 a− x
1+ x − x 2 − x 3 a + 2b b a (a + 2b) + b (a − b)
= +
2 a−b a a (a − b)
=
a2 1
11. a + b
+
3b (a + b)(a − b) + 3ab
+
b3 a
a a−b a (a − b)
6. a b − a
− a 2 + 2ab + ab − b 2
b a−b x+ y x− y =
− a 2 − b 2 + 3ab
x− y x+ y
a 3 + b3 8. x + y x + 2 y a 2 + 3ab − b 2
ab3 − = =1
= x+ y a 2 + 3ab − b 2
a (a − b) − b (b − a )
x
7 12
b (a − b) (x + y) − (x − y)
2 2
1− + 2
x x
(a + b)(a − ab + b2 )
2
=
(x − y)(x + y) 12.
x−
16
ab 3 (x + y) − x (x + 2 y )
2 x
= x 2 − 7 x + 12
a − ab − b 2 + ab
2
x (x + y)
x2
b (a − b)
=
x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 + 2 xy − y 2 x 2 − 16
( )(
a + b a 2 − ab + b2 ) =
x− y x
ab 2 x 2 + 2 xy + y 2 − x 2 − 2 xy (x − 4)( x − 3)
= x
a 2 − b2 = x
a−b
4 xy (x − 4)(x + 4)
x− y
( )(
a + b a 2 − ab + b 2 )a−b = 2
y =
( x − 4)(x − 3) ⋅ 1
=
ab 2
⋅
(
a+b a−b )( x ) x ( x − 4)(x + 4)
4x2 4x2 x−3 x−3
a 2 − ab + b2 4 xy x = =
= 2
=
x− y y
⋅ 2= =
y ( x − y) xy − y
2 x ( x + 4) x2 + 4x
ab

177. a 2 b2 2b + c 1
− 1+ 22. 1− 1
b a a −b −c 2+
13. 1 1 b 17. c − 2b x
+ + 1− −1
b a a2 a −b +c 3
a 3 − b3 a − b − c + 2b + c 1
= 1−
a −b −c 1
= 2+
= 2 ab 2 a − b + c − c + 2b x−3
a + ab + b
a −b+ c 3
a 2b a+b 1
a − b3
3
a−b−c = 1−
= 2 =
2+
3
a + ab + b 2 a+b
x−3
a a−b+c
a+b a −b+c a −b +c 1
= 1−
= (a − b)(a 2 + ab + b 2 ) ⋅
a = ⋅ =
a −b −c a +b a−b−c 2x − 3
a 2 + ab + b2
x−3
= a (a − b) = a 2 − ab a 1− a x−3
+ = 1−
1− a a
18. 1 − a 2x − 3
a
− 2x − 3 − x + 3 x
4 y2 a 1− a = =
x − 2y − 2x − 3 2x − 3
x+ y a 2 + (1 − a )
2
14.
a (1 − a )
5y 2 2
x − 3y − =
23.
2
x+ y
(1 − a ) − a 2 2 1+
2
(x − 2 y)(x + y) − 4 y 2
a (1 − a )
1+
x
x+ y a 2 + 1 − 2a + a 2 2 a 2 − 2a + 1 2
=
(x − 3y)(x + y) − 5y 2 =
1 − 2a + a 2 − a 2
=
1 − 2a
=
1+
2
x+ y x+2
6 x + 12
x − xy − 6 y 2
2 x + 1− x
x+2
= 2
x 2 − 2 xy − 8 y 2 x−5 =
19. 2x
=
(x − 3y)(x + 2 y) = x − 3y x− 4+
11x − 22
x−2
1+
x+2
(x − 4 y)(x + 2 y) x − 4 y x+7 2
=
6 ( x + 2) x + 2 + 2x
x+1 − x+2
2 2 x−5 x+2
+
1− a 1+ a x−5
x−5 2 x + 2 2x + 4
= = =1 = = 2⋅ =
11( x − 2) x + 7
15. 2 3x + 2
−
2 3x + 2 3x + 2
x− 4+ x+7
1+ a 1− a x−2 x+2
2 (1 + a ) + 2 (1 − a )
x+7
1
24.
=
(1− a)(1+ a) =
1
1
= 1⋅
x
=
x x−
x
x2
2 (1 − a ) − 2 (1 + a ) 20. 1+ 1 x + 1 x +1 x +1 x−
x x x +1
(1+ a)(1− a) 1 1 =
1
2 + 2a + 2 − 2a 4 1 21. = x− 2
x
= =− =− 1+
1
1+
1
x + x − x2
2 − 2a − 2 − 2a 4a a 1 x −1
1− x +1
x x
1 1
1 1 = =
− x x−
x
x+ y+ z x− y+ z 1+ x
16. x −1
1 1 x +1
− 1
x− y+ z x+ y+ z = 1
x − 1+ x =
x− y+ z− x− y− z x −1 x2 + x
x−
=
(x + y + z)(x − y + z) = − 2 y = − 1 =
1
= 1⋅
x −1
=
x −1 x
1 1
x+ y+ z− x+ y− z 2y 2x − 1 2x − 1 2 x − 1 = = = −1
−x
(x − y + z)(x + y + z) x −1 x2 − x 2 − x
x x

178. 1
25.
a +1
a + 2−
1
a−
a
1 1 1 1 1 a−1 a−1
= = = = = = 1⋅ =
a+ 2− 2
a+1 a (a + 1) a+ 2−
a (a + 2)(a − 1) − a a 2 + a − 2 − a a 2 − 2 a 2 − 2
a −1 a + 2− a +1 a −1
( )( ) a−1 a−1 a−1
a
x−1 x−1 x−1 x−1 x−1
= = = = = x−1
26.
x + 2−
x2 + 2
x+ 2− 2
x2 + 2 x2 + 2
x + 2− 2 x + 2−
(x 2 + 2)(x + 1) x + 2 − x − 1
x−2 x + x− x+ 2 x +2 x2 + 2
x−
x+1 x+1 x+1
EJERCICIO 139
x2 − 2x + 1
9. x − 2 x 2 − x + 2 Para x → 1
3
x−2 2−2 0
1. x + 3 Para x → 2 = =0
2+3 5 (x − 1) 2
x ( x − 2 ) − ( x − 2)
2
x−2 3−2 1
2. x − 3 Para x → 3 = =∞
3−3 0 =
(x − 1) 2
(x − 1)(x − 2)
2
x2 − a2 a2 − a2 0
3. x 2 + a 2 Para x → a =
a 2 + a 2 2a 2
=0
=
(x − 1) 2
=
x−1
=
1− 1
=
0
=0
(x − 1)(x + 1)(x − 2) x 2
− x − 2 12 − 1 − 2 − 2
x2 + y2 y 2 + y 2 2y 2
4. x 2 − y 2 Para x → y y2 − y 2
= =∞
a3 − 8
0
10. Para a → 2
a + 11a − 26
2
x −1 2 −1 1 1
3
Para x → 2
3
= = =0
3 ∞ (a − 2)(a + 2a + 4) = a
2 2
+ 2a + 4 22 + 2 ⋅ 2 + 4 12 4
= = =
(a + 13)(a − 2)
5.
x−2 2−2 0 a + 13 2 + 13 15 5
x2 − 9
6. x 2 + x − 12 Para x → 3
x2 − 7x + 6 (x − 6)( x − 1) = x − 6 = 1− 5 = − 4 = ∞
11. x 2 − 2 x + 1 Para x → 1
(x − 1)2 x − 1 1− 1 0
(x + 3)(x − 3) = x + 3 = 3 + 3 = 6
(x + 4)(x − 3) x + 4 3 + 4 7
x 3 − 3x − 2
Para x → 2
a −a−6 2 12. x 3 − 7 x + 6
7. a 2 + 2a − 15 Para a → 3
x 3 − 3x − 2 = 1 0 − 3 − 2 2
(a − 3)(a + 2) = a + 2 = 3 + 2 = 5 2 4 2
(a + 5)(a − 3) a + 5 3 + 5 8 1 2 1 0
⇒ (x − 2)( x + 2 x + 1)
2
x 2 − 7 x + 10
8. Para x → 2
x − 2x2 − x + 2
3
x3 − 7x + 6 = 1 0 − 7 6 2
(x − 5)(x − 2) 2 4 −6
x 2 ( x − 2) − ( x − 2) 1 2 −3 0
(x − 5)(x − 2) = x − 5 = 2 − 5 = − 3 = − 1 ⇒ (x − 2)( x + 2 x − 3)
2
=
(x − 1)(x − 2) x − 1 4 − 1 3
2 2
(x − 2)(x + 1) = (x + 1) = (2 + 1) = 9
2 2 2
(x − 2)(x + 2 x − 3) x + 2 x − 3 2 + 2 ⋅ 2 − 3 5
2 2 2

179. x 2 − 16 x2 − y2
13. Para x → 4 19. Para y → x
x3 − 4x2 − x + 4 xy − y 2
( x − 4)( x + 4) = ( x − 4)(x + 4) = x + 4 = 4 + 4 = 8 (x + y)(x − y) = x + y = x + x = 2 x = 2
x ( x − 4) − ( x − 4) ( x − 1)( x − 4) x − 1 4 − 1 15
2 2 2 2
y (x − y) y x x
4x2 − 4x + 1 1 x3 − a3
14. Para x → 20. Para x → a
4 x 2 + 8x − 5 2 a2 x − a3
(2 x − 1) = 2 x − 1 = 2 ⋅ 2 − 1 = 1 − 1 = 0 = 0
2
1 (x − a)(x + ax + a )
2 2
a (x − a )
(2 x + 5)(2 x − 1) 2 x + 5 2 ⋅ 1 + 5 1 + 5 6
2
2 x 2 + ax + a 2 a 2 + a 2 + a 2 3a 2
= = = 2 =3
8x − 6x + 1
2
1 a2 a2 a
15. Para x →
4 x 3 + 12 x 2 − 15x + 4 2
x 3 − 3x + 2
⇒ 8 x 2 − 6 x + 1 = (8 x ) − 6 (8 x ) + 8 Para x → 1
2
21.
2 x 3 − 6x 2 + 6x − 2
= (8 x − 4)(8 x − 2) = (2 x − 1)(4 x − 1) ⇒ x 3 − 3x + 2
⇒ 4 x 3 + 12 x 2 − 15x + 4 = 4 12 − 15 4 − 4 1 0 −3 2 1
− 16 16 − 4 1 1 −2
4 −4 1 0 1 1 −2 0 = ( x − 1)( x 2 + x − 2)
= ( x + 4)(4 x 2 − 4 x + 1) = ( x + 4)(2 x − 1) = ( x − 1)( x + 2)( x − 1)
2
1 = ( x − 1) ( x + 2)
2
⇒
(2 x − 1)(4 x − 1) = 4 x − 1 = 4 ⋅ 2 − 1 = 1 = ∞
(2 x − 1)2 (x + 4) (2 x − 1)(x + 4)  2 ⋅ 1 − 1  1 + 4 0
  
⇒ 2 x 3 − 6 x 2 + 6x − 2
 2 2  2 −6 6 −2 1
2 −4 2
x 3 − 9 x + 10
16. Para x → 2 −4 = ( x − 1)(2 x 2 − 4 x + 2)
x − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18
4 2 2 0
⇒ x 3 − 9 x + 10 = ( x − 1)( x − 1)(2 x − 2)
0 −9 = ( x − 1) (2 x − 2)
2
1 10 2
4 − 10
( x − 1) (x + 2) = x + 2 = 1 + 2 = 3 = ∞
2 2
2 −5 = ( x − 2)( x 2 + 2 x − 5) ⇒
1 0
(x − 1) (2 x − 2) 2 x − 2 2 ⋅1− 2 0
2
⇒ x 4 − x 3 − 11x 2 + 9 x + 18
1 − 1 − 11 9 18 2 x4 − x3 − 7x2 + x + 6
22. Para x → 3
2 2 − 18 − 18 x 4 − 3x 3 − 3x 2 + 11x − 6
1 1 −9 −9 0 = (x − 2)( x 3 + x 2 − 9 x − 9) ⇒ x4 − x3 − 7x2 + x + 6
⇒
(x − 2)(x + 2 x − 5)
2 1 −1 − 7 1 6 −2
(x − 2)(x + x − 9 x − 9)
3 2 −2 6 2 −6
1 − 3 −1 3 0
x2 + 2x − 5 22 + 2 ⋅ 2 − 5 3 1
= = 3 2 =
x + x − 9 x − 9 2 + 2 − 9 ⋅ 2 − 9 − 15
3 2 =−
5 (x + 2)(x 3
− 3x 2 − x + 3)
x3 − a3 1 −3 −1 3 1
17. Para x → a 1 −2 −3
x−a
(x − a)(x 2
+ ax + a 2 ) 2
1 −2 −3 0
x−a
= x + ax + a 2 = a 2 + a 2 + a 2 = 3a 2 = (x + 2)(x − 1)( x 2 − 2 x − 3)
a 2 − 2ab + b2 (a − b) = a − b = a − a = 0
2
= (x + 2)(x − 1)( x − 3)(x + 1)
Para b → a
a (a − b)
18.
a 2 − ab a a Continúa

180. Continuación Continuación 8x 2 + 6x − 9 3
Para x →
22. ⇒ x − 3x − 3x + 11x − 6
4 3 2
26. 12 x 2 − 13x + 3
(x − 1)(x − x − 10 x − 8)
4
1 − 3 − 3 11 − 6 − 2 3 2
24. (8x)2 + 6 (8x) − 72
− 2 10 − 14 6 1 − 1 − 10 −8 4 ⇒
(12 x) 2 − 13(12 x) + 36
1 −5 7 −3 0 4 12 8 (8x + 12)(8x − 6)
= ( x + 2)( x 3 − 5x 2 + 7 x − 3) =
1 3 2 0 (12 x − 9)(12 x − 4)
1 −5 7 −3
= ( x − 1)( x − 4)( x 2 + 3x + 2)
1
1 −4 3 =
(2 x + 3)(4 x − 3)
1 −4 3 0 (x − 1)(x − 4) (4 x − 3)(3x − 1)
⇒
= ( x + 2)( x − 1)( x 2 − 4 x + 3) (x − 1)(x − 4)(x + 3x + 2) 2 3
2x + 3 2⋅ 4 + 3
9
2 = 36 = 18
= = =
= ( x + 2)( x − 1)( x − 3)( x − 1) 1 1 1 3x − 1 3 5 10 5
= = = 3⋅ − 1
⇒
(x + 2)(x − 1)(x − 3)(x + 1) x 2 + 3x + 2 12 + 3⋅ 1 + 2 6 4 4
(x + 2)(x − 1)( x − 3)(x − 1) x 3 + 6x 2 + 12 x + 8
Para x → − 2
27. x 4 − 8x 2 + 16
x + 1 3+ 1 4
= = = =2 x 5 − 4 x 3 + 8 x 2 − 32
x − 1 3− 1 2 ⇒ x 3 + 6 x 2 + 12 x + 8
25. Para x → 2
3x 3 − 5x 2 − 4 x + 4 x − 3x 3 + 10 x 2 − 4 x − 40
5
1 6 12 8 − 2
23. x 4 + 2 x 3 − 3x 2 − 8 x − 4 Para x → 2 ⇒ x 5 − 4 x 3 + 8 x 2 − 32 −2 −8 −8
⇒ 3x − 5x − 4 x + 4
3 2 1 0 − 4 8 0 − 32 2 1 4 4 0
3 −5 −4 2 4 0 16 32 = ( x + 2)( x + 4 x + 4) = ( x + 2)
3
4 2 2
6 2 −4 1 2 0 8 16 0 ⇒ x 4 − 8 x 2 + 16
3 1 −2 0 ( x − 2)(x 4
+ 2 x 3 + 8 x + 16) 1 0 −8 0 16 − 2
= ( x − 2)(3x 2 + x − 2) 1 2 0 8 16 − 2 − 2 4 8 − 16
⇒ x + 2 x − 3x − 8 x − 4
4 3 2 −2 0 0 − 16 1 −2 −4 8 0
1 2 −3 −8 −4 2 1 0 0 8 0 (x + 2)(x 3
− 2 x 2 − 4 x + 8)
2 8 10 4 = ( x − 2)( x + 2)( x 3 + 8) 1 −2 −4 8 −2
1 4 5 2 0 ⇒ x 5 − 3x 3 + 10 x 2 − 4 x − 40 −2 8 −8
(x − 2)(x 3
+ 4 x 2 + 5x + 2) 1 0 − 3 10 − 4 − 40 2 1 −4 4 0
−2 = ( x + 2) ( x − 4 x + 4)
2
1 4 5 2 2 4 2 24 40
−2 −4 −2
= ( x + 2) ( x − 2)
2 2
1 2 1 12 20 0
1 2 1 0 ( x − 2) ( x 4
+ 2 x + x + 12 x + 20)
3 2
( x + 2) 3
= ( x − 2)( x + 2)( x 2 + 2 x + 1) 2 1 12 20 − 2 ⇒
1
( x + 2) ( x − 2)
2 2
⇒
(x − 2)(3x + x − 2) 2
− 2 0 − 2 − 20
x+ 2 − 2+ 2 0
= = = =0
(x − 2)(x + 2)(x + 1) 2
1 0 1 10 0 (x − 2) (− 2 − 2)
2 2
16
=
3x 2 + x − 2 ( x − 2)(x + 2)( x 3
+ x + 10)
9 x 3 + 3x 2 + 3x + 1
(x + 2)(x + 1) 2
1 0 1 10 −2
28. 27 x 3 + 1
Para x → −
1
3
3⋅ 2 2 + 2 − 2 − 2 4 − 10
3x 2 (3x + 1) + (3x + 1)
12 1
= = =
(2 + 2)(2 + 1) 2
36 3 1 −2 5 0 =
27 x 3 + 1
= ( x − 2)( x + 2) ( x 2 − 2 x + 5)
2
x 2 − 5x + 4
24. x 4 − 2 x 3 − 9 x 2 + 2 x + 8 Para x → 1 (3x + 1)(3x + 1)
2
(x − 2)(x + 2)(x + 8) 3
=
(3x + 1)(9 x − 3x + 1)
⇒ x − 5x + 4 = ( x − 1)( x − 4) ⇒
2
(x − 2)(x + 2) (x − 2 x + 5)
2 2 2
⇒ x 4 − 2 x3 − 9 x2 + 2x + 8 3x 2 + 1
x3 + 8 =
1 −2 −9 = 9 x 2 − 3x + 1
1 − 1 − 10 − 8
2 8 1
(x + 2)(x 2
− 2 x + 5)
 1
2
4
2 +83 3 −  + 1
16 4  3 4
1 − 1 − 10 − 8 = = = = 3=
(2 + 2)(22 − 2 ⋅ 2 + 5) 20 5 =
0
2
 1  1 3 9
9  −  − 3 −  + 1
Continúa  3  3

181. 1
− 3
3
Para x → 1
x 2 + x + 1− 3 x 2 + x − 2
= =
(x − 1)(x + 2) = x + 2 = 1+ 2 = 3 = 1
29.
x−1 x −1 x3 − 1 x3 − 1 (x − 1)(x 2 + x + 1) x 2 + x + 1 12 + 1+ 1 3
 1  
x−1 
2
(
30. x + 3x − 10  1 + )  Para x → 2
x − 2
(x + 5)(x − 2) x − 2  = (x + 5)(x − 1)⇒ (2 + 5)(2 − 1) = 7
 
EJERCICIO 140
12 x 2 + 31x + 20 x 3 − 29
7. x 2 + 5x − 4 −
1.
18 x 2 + 21x − 4 x−5
(12 x) 2 + 31(12 x) + 240
=
(x − 5)(x 2
+ 5x − 4) − x 3 + 29
=
(18 x) 2 + 21(18x ) − 72 x−5
=
(12 x + 16)(12 x + 15) = (3x + 4)(4 x + 5) = 4 x + 5 =
x 3 − 29 x + 20 − x 3 + 29 49 − 29 x
=
x−5 x−5
(18x + 24)(18x − 3) (3x + 4)(6x − 1) 6x − 1
170 − x 2
1 2 1  2a + 1 x + 34 +
2.  + 2 + 3  ÷  a + 2 −  x−5
a a a   a 
x 2 + 29 x − 170 + 170 − x 2 29 x
 a 2 + 2a + 1  a 2 + 2a − 2a − 1 = =
=  ÷  x−5 x−5
 a3   a 
49 − 29 x 29 x 49 − 29 x x − 5 49 − 29 x
⇒ ÷ = ⋅ =
=
(a + 1) 2
⋅
a
=
a+1 a+1
= 3 2
x−5 x−5 x − 5 29 x 29 x
a3 (a + 1)(a − 1) a 2 (a − 1) a − a 4x 2 − 5xy + y 2 4x 2 5xy y 2 4x 5y y 2
= − + = − +
8.
x 3 + 3x 2 + 9 x 3x 3x 3x 3x 3 3 3x
3. m−n− x m n x 1 1 1
x 5 − 27 x 2 9. = − − = − −
mnx mnx mnx mnx nx mx mn
x ( x 2 + 3x + 9) x 2 + 3x + 9 1 x 3 − xy 2
= = =
x ( x − 27) x (x − 3)(x + 3x + 9) x (x − 3) 10. x − y = x + xy
2
2 3 2
(x + y ) x (x − y ) x (x 2 − y 2 )
2 2
4. − ⇒ = x (x + y)
y xy x− y
x ( x + y ) − x (x − y )
2 2
x (x + y )( x − y )
= ⇒ = x ( x + y )⇒ x (x + y ) = x ( x + y )
xy x− y
x 3 + 2 x 2 y + xy 2 − x 3 + 2 x 2 y − xy 2 4 x 2 y 9 x − 3x 2 x 3 − 1
= = = 4x 11. x 2 − 2 x + 1 − =
xy xy x−3 x−1
a 4 − 2b 3 + a 2b (b − 2) ⇒
( x − 1) (x − 3) − 3x (3 − x ) = (x − 1)(x
2
+ x + 1)
2
5. x−3 x−1
a 4 − a 2b − 2b 2
x 3 − 5x 2 + 7 x − 3 − 9 x + 3x 2
a 4 − 2b 3 + a 2b 2 − 2a 2b ⇒ = x2 + x + 1
= x−3
(a − 2b)(a + b)
2 2
x3 − 2x2 − 2x − 3 2
⇒ = x + x+1
a (a + b ) − 2b (b + a ) (a − 2b)(a + b ) a + b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x−3
= = =
(a − 2b)(a + b)2
(a − 2b)(a + b) a + b
2 2 2 2
⇒
( x − 3)( x
+ x + 1) 2
2
= x + x + 1 ⇒ x 2 + x + 1= x 2 + x + 1
x−3
1 + 5a a − 5a + 1 + 5a a + 1 (a + 1)(a − a + 1)
3 3 2
a+ = = = a 4 − 5a 2 + 4 2 + 4a
6. a2 − 5 a2 − 5 a2 − 5 a2 − 5 12. a 3 + a 2 − 4a − 4 = a − 3 + 2a + 1
a−
a + 5 a2 + a − a − 5 a2 − 5
= = ⇒
(a − 2)(a − 1)(a + 2)(a + 1) = 2a − 5a − 3 + 2 + 4a
2
a+1 a+1 a+1 (a − 2)(a + 1)(a + 2) 2a + 1
⇒
(a + 1)(a − a + 1) a 2 − 5 2
2
⋅ = a −a+1 2a − a − 12
(2a + 1)(a − 1) ⇒ a − 1 = a − 1
a −52
a+1 ⇒ a − 1= ⇒ a − 1=
2a + 1 2a + 1

182. 1 1 2a 16 − 81x 2
13. + + 17. 72 x 2 − 5x − 12
a − b a + b a 2 − ab + b 2
a 3 + b 3 + (a − b)(a 2 − ab + b 2 ) + 2a (a 2 − b 2 ) =
(4 − 9 x)(4 + 9 x)
= (72 x ) 2 − 5 (72 x ) − 864
(a 3
+b 3
) (a − b)
=
(4 − 9 x)(4 + 9 x)
a + b + a − 2a b + 2ab 2 − b 3 + 2a 3 − 2ab 2
3 3 3 2
= (72 x − 32)(72 x + 27)
(a 3
+ b 3 ) (a − b)
(4 − 9 x)(4 + 9 x) = − (4 − 9 x)(4 + 9 x) = − 9 x + 4
4a − 2a b =
(9 x − 4)(8x + 3) (4 − 9 x)(8x + 3) 8 x + 3
3 2
=
(a 3
+ b 3 ) (a − b)
1 2 3   x x 6 
 − +  ÷ + + 
18.  x x + 2 x + 3  x + 2 x + 3 x 2 + 5x + 6
 a 2
a 4
  1+ a 
3
 −  ⋅  1− a + 2 
14.  1 − a 2 1 − a 4   x 2 + 5x + 6 − 2 x ( x + 3) + 3x ( x + 2) x ( x + 3) + x ( x + 2) + 6
a 
= ÷
x ( x 2 + 5x + 6) x 2 + 5x + 6
 a 2 (1 + a 2 ) − a 4   a 2 (1 − a ) + 1 + a 3 
=

 ⋅
 

 x 2 + 5x + 6 − 2 x 2 − 6x + 3x 2 + 6x x 2 + 5x + 6
 1− a 4   a2  = ⋅
x (x + 5x + 6) x + 3x + x 2 + 2 x + 6
2 2
 a 2 + a 4 − a 4   a 2 − a 3 + 1+ a 3  2 x 2 + 5x + 6 1 1
=  ⋅  = ⋅ 2 =
 1− a4   a2  x 2 x + 5x + 6 x
a2 a2 + 1 1 b 1+
b
= ⋅ = a−b
1− a 4 a 2 1− a2 19.
a +
b2 a − 3b
 x2 − 9 1− 2 2 −
x − 3  a 2 x 2 − 16a 2  2 1  a a−b
15.  x 2 − x − 12 ÷ x 2 + 3x  ⋅ 2 x 2 + 7 x + 3 ⋅  a 2 x + a 2 x 2 
    a−b+b
b
 ( x + 3)( x − 3) x ( x + 3) a 2 ( x − 4)( x + 4)  2 x + 1 x + 4 = 2a 2 +
a−b
= 
 ( x − 4)( x + 3) ⋅ x − 3  ⋅ ( x + 3)(2 x + 1) ⋅  a 2 x 2  = x a −b 2a − 2b − a + 3b
   
a2 a−b
a
3x 3 − x 2 − 12 x + 4
16. a 2b a−b
6x + x 3 − 25x 2 − 4 x + 4
4
= +
a (a 2 − b 2 ) a + b
⇒ 3x 3 − x 2 − 12 x + 4 a−b
3 − 1 − 12 4 − 2
a 2b a
− 6 14 − 4 = +
a (a 2 − b 2 ) a + b
3 −7
a 2b + a 2 (a − b) a 2b + a 3 − a 2b
2 0
= ( x + 2)(3x − 7 x + 2) = ( x + 2)( x − 2)(3x − 1) = =
a (a 2 − b 2 ) a (a 2 − b 2 )
2
6 x 4 + x 3 − 25x 2 − 4 x + 4
a3 a2
1 − 25 − 4 4 −2 = =
a (a 2 − b 2 )
6 a − b2
2
− 12 22 6 −4
1  x − 36
2
x  1 1
6 − 11 −3 2 0 20.  ÷ 2 ⋅ ⋅
3 x x − 4 36 4
x− x−
(x + 2)(6x 3
− 11x 2 − 3x + 2) x x
6 − 11 −3 2 2 1  (x + 6)( x − 6) ( x + 2)( x − 2) 1 1
=  ⋅  ⋅ 2
 x − 36 ⋅ x 2 − 4
12 2 −2 3 x x 
x x
6 1 −1 0
(x + 6)(x − 6) ⋅ (x + 2)(x − 2) ⋅
= ( x − 2) ( x + 2)(6x 2 + x − 1)
x x
= ⋅
3x x x 2 − 36 x 2 − 4
= ( x − 2)( x + 2)(2 x + 1)(3x − 1) x 2 ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2) 1
= =
⇒
(x + 2)(x − 2)(3x − 1) = 1 3x 2 ( x + 6)( x − 6)( x + 2)( x − 2) 3
(x − 2)(x + 2)(2 x + 1)(3x − 1) 2 x + 1

183. 3a 5 1 1 1 1 1
+ + 23. − − +
(a − 2b) 2
a − 5b a − 2b 3x − 9 6 x + 12 2 ( x − 3)2 9
x − 6+
21. x
3a − 14ab + 10b
2 2
1 1 1 x
a 2 − 4ab + 4b2 = − − 2 +
3 ( x − 3) 6 ( x + 2) 2 ( x − 3) x 2 − 6x + 9
3a (a − 5b) + 5 (a − 2b) + (a − 2b)(a − 5b)
2
2 ( x − 3)( x + 2) − ( x − 3) − 3( x + 2) + 6 ( x + 2)
2
=
(a − 2b) (a − 5b) 2
=
6 ( x − 3) ( x + 2)
2
3a 2 − 14ab + 10b 2
2 x 2 − 2 x − 12 − x 2 + 6 x − 9 − 3x − 6 + 6 x 2 + 12 x
(a − 2b) 2
=
6 ( x − 3) ( x + 2)
2
3a − 15ab + 5a − 20ab + 20b + a − 7ab + 10b
2 2 2 2 2
= 7 x 2 + 13x − 27
(a − 5b)(3a 2
− 14ab + 10b 2 ) =
6 ( x − 3) ( x + 2)
2
9a − 42ab + 30b
2 2
3(3a − 14ab + 10b )
2
3
2
= = =
(a − 5b)(3a 2
− 14ab + 10b2 ) (a − 5b)(3a − 14ab + 10b ) a − 5b
2 2
x+1 x−1 a 2 + b2 b2
a−b+
x−1
−
x + 1 x2 + 1 a+b b+ a 1
2x ⋅ ⋅
22. x − 1 ⋅ ÷ 24. a 2 − 2b 2 a − b 2a − b
x + 1 2a 2 − 2b a 2 − b a+b− 1+
+ a−b b
x+1 x−1
a 2 − b 2 + a 2 + b 2 ab + b 2
(x + 1) − (x − 1)
2 2
a+b 1
= 2 ⋅ a ⋅
x2 − 1 x2 + 1
a2 − b a − b 2 − a 2 + 2b 2 a − b b + 2a − b
= ⋅ ⋅
(x − 1) + (x + 1) 2 (a − b) 2 x a−b
2 2 2 b
x2 − 1 2a 2 b (a + b)
a+b 1 2a (a − b) b (a + b) b
2
x + 2 x + 1− x + 2 x − 1 x + 1
2 2
4x x +1 1
2 2
= 2 ⋅ a ⋅ = ⋅ ⋅ =1
= ⋅ = ⋅ = a−b 2a b 2 (a + b) a (a − b) 2a
2 ( x 2 + 1) 4 x
b
x 2 − 2 x + 1+ x2 + 2 x + 1 4 x 2 a−b b
EJERCICIO 141
x x x 5 x−4
x 1 4. 2 + 2 − 12 = 6 − 4 mcm = 12
7. −5=0 mcm = 3
1. + 5= − x 3
6 3 6 x + 24 − x = 2x − 15
x − 4 − 15 = 0
x + 30 1 − 3x 6 x − x − 2x = − 15 − 24
⇒ = x − 19 = 0
6 3 3x = − 39
x + 30 = 2 (1 − 3x ) − 39 x = 19
x=
x + 30 = 2 − 6 x 3 x + 2 5x
x = − 13 8. x − = mcm = 12
x + 6 x = 2 − 30 12 2
3x 1 5 3x
7 x = − 28 5. − + 2x = − mcm = 20 12x − x − 2 = 30x
4 5 4 20
11x − 30x = 2
− 28 15x − 4 + 40x = 25 − 3x
x= − 19x = 2
7 55x + 3x = 25 + 4
x=−4 58x = 29
x=−
2
3x 2x 1 29 19
2. − + = 0 mcm = 15 x=
5 3 5 58
5x − 1 3
9x − 10x + 3 = 0 x=
1 9. x − = 4x − mcm = 15
2 3 5
−x=−3 2 5 7 3 15x − 25x + 5 = 60x − 9
6. − = − + 1 mcm = 30x
x=3 3x x 10 2x − 10x − 60x = − 9 − 5
20 − 150 = 21x − 45 + 30x
1 1
+ −
1
=
1
mcm = 20x − 70x = − 14
3. − 130 + 45 = 51x
2x 4 10x 5 − 14
10 + 5 x − 2 = 4x − 85 x=
=x − 70
51
5x − 4 x = − 10 + 2
−5 1
x=−8 =x x=
3 5

184. 8x − 3
10. 10 x − = 2 ( x − 3) mcm = 4 10 x + 1 16 x + 3
4 15. 4 − = 4x − mcm = 12
6 4
40 x − 8 x + 3 = 8 ( x − 3)
48 − 2 (10 x + 1) = 48 x − 3 (16 x + 3)
40 x − 8x = 8 x − 24 − 3
48 − 20 x − 2 = 48 x − 48 x − 9
40 x − 16 x = − 27
− 20 x + 46 = − 9
− 27
x= − 20 x = − 55
24
− 55
9 x=
x= − − 20
8
11
x− 2 x−3 x− 4 x=
11. − = mcm = 60 4
3 4 5
20 ( x − 2) − 15 (x − 3) = 12 ( x − 4)
16. 2 ( x − 1) − ( x − 3) = 3 ( x + 3) + 6
1 1 1
mcm = 6
20 x − 40 − 15x + 45 = 12 x − 48
5x − 12 x = − 48 − 5 3( x − 1) − 6 ( x − 3) = 2 ( x + 3) + 1
− 7 x = − 53 3x − 3 − 6x + 18 = 2 x + 6 + 1
x=
53 − 3x + 15 = 2 x + 7
7 − 5x = − 8
x−1 x− 2 x− 3 x−5 8
12. − − =− x=
2 3 4 5 5
mcm = 60
30 ( x − 1) − 20 ( x − 2) − 15( x − 3) = − 12 ( x − 5) 17.
6x + 1 11x − 2 1
− − (5x − 2) = (6 x + 1)
5
mcm = 36
3 9 4 6
30x − 30 − 20 x + 40 − 15x + 45 = − 12 x + 60
12 (6 x + 1) − 4 (11x − 2) − 9 (5x − 2) = 30 (6 x + 1)
− 5x + 55 = − 12 x + 60
− 5x + 12 x = 60 − 55 72 x + 12 − 44 x + 8 − 45x + 18 = 180 x + 30
7x = 5 − 17 x + 38 = 180 x + 30
5 − 197 x = − 8
x= 8
7 x=
197
7 − 5x
(
13. x − 5x − 1 − ) 10
= 1 mcm = 10
4x + 1 1 13 + 2 x 1
10 x − 10 (5x − 1) − (7 − 5x) = 10 18. = (4 x − 1) − − ( x − 3) mcm = 6
3 3 6 2
10 x − 50 x + 10 − 7 + 5x = 10 2 (4 x + 1) = 2 (4 x − 1) − (13 + 2 x ) − 3( x − 3)
− 35x + 3 = 10 8 x + 2 = 8 x − 2 − 13 − 2 x − 3x + 9
− 35x = 7 2 = − 6 − 5x
−7 8 = − 5x
x=
35 8
1 − =x
x= − 5
5
5x − 6 1
14. 2 x − + ( x − 5) = − 5x 19.
2
5
(5x − 1) + 10 (10x − 3) = − 2 (x − 2) − 6
3 1
5
mcm = 10
4 3
mcm = 12 4 (5x − 1) + 3 (10 x − 3) = − 5 ( x − 2) − 12
24 x − 3(5x − 6) + 4 ( x − 5) = − 60 x 20x − 4 + 30 x − 9 = − 5x + 10 − 12
24 x − 15x + 18 + 4 x − 20 = − 60x 50 x − 13 = − 5x + 10 − 12
13x − 2 = − 60x 50 x − 13 = − 5x − 2
13x + 60x = 2 55x = 11
1
x=
2 x=
73 5

185. 3 x − 1 5x + 4 x + 2 2 x − 3 1
20. − − = − x
2 3 8 5 10 3x + 5 2
25. 10 − = 3 12 −
11
mcm = 120 6 4
60 (3x − 1) − 40 (5x + 4) − 15 (x + 2) = 24 (2 x − 3) − 12 60 − 3x − 5 47 x
⇒ = − mcm = 24
180x − 60 − 200 x − 160 − 15x − 30 = 48 x − 72 − 12 6 12 8
− 35x − 250 = 48 x − 84 4 (55 − 3x ) = 94 − 3x
− 83x = 166 220 − 12 x = 94 − 3x
x= − 2 − 12 x + 3x = 94 − 220
7x − 1 5− 2x 4x − 3 1+ 4x2 − 9 x = − 126
21. − = + − 126
3 2x 4 3x x=
mcm = 12 x −9
x = 14
4 x (7 x − 1) − 6 (5 − 2 x ) = 3x (4 x − 3) + 4 (1 + 4 x 2 )
28x 2 − 4 x − 30 + 12 x = 12 x 2 − 9 x + 4 + 16 x 2
x
8 x − 30 = − 9 x + 4 1  1+ 2
1
17 x = 34 26. 9 x − 2 − 7 x  − = +24
3
x 2 2
x=2  2 − x  x + 2 11
⇒ 9x − 2 − 7x  = +
2 x + 7 2 ( x − 4) 4 x 2 − 6 7 x 2 + 6
2  2  4 4
22. − − =  2 − x  x + 13
3 5x 15x 3x 2 ⇒ 9x − 2 − 7  = mcm = 4
 2  4
mcm = 15x 2
36x − 8 − 14 (2 − x) = x + 13
5x 2 (2 x + 7) − 6 x ( x 2 − 4) − x (4 x 2 − 6) = 5 (7 x 2 + 6)
36x − 8 − 28 + 14 x = x + 13
10 x 3 + 35x 2 − 6 x 3 + 24 x − 4 x 3 + 6x = 35x 2 + 30
50 x − 36 = x + 13
30 x = 30
49 x = 49
30
x= x=1
30
x=1
2  x + 1 3  x − 6  3x 7 12 x − 5 2 x − 3 4 x + 9 7
23. 3  5  = 4  3  mcm = 60 27. − − − + + =0 mcm = 160
    8 10 16 20 4 80
8 (x + 1) = 15( x − 6) 60 x − 112 − 10 (12 x − 5) − 8 (2 x − 3) + 40 (4 x + 9) + 14 = 0
8 x + 8 = 15x − 90 60 x − 112 − 120 x + 50 − 16 x + 24 + 160 x + 360 + 14 = 0
8 x − 15x = − 90 − 8 84 x + 336 = 0
− 7 x = − 98 84 x = − 336
− 98 − 336
x= x=
−7 84
x= −4
x = 14
3  2 x − 1 4  3x + 2  1  x − 2  1 x + 24
− ( x − 20) − (2 x − 1) =
 −  −   + =0 5x 3
24.
5 6  3  4  5 3  5 28. mcm = 68
4 17 34
mcm = 60 85x − 12 ( x − 20) − 68 (2 x − 1) = 2 ( x + 24)
6 (2 x − 1) − 20 (3x + 2) − 4 ( x − 2) + 12 = 0 85x − 12 x + 240 − 136 x + 68 = 2 x + 48
12 x − 6 − 60 x − 40 − 4 x + 8 + 12 = 0 − 63x + 308 = 2 x + 48
− 52 x − 26 = 0 − 65x = − 260
26 1 − 260
x= − =− x=
52 2 − 65
x=4

186. x 1 x 2 1  5x  EJERCICIO 142
29. 5 + =  2 −  − +  10 − 
4 3 2 3 4  3
mcm = 5 (2 x − 1)
20 + x 1  4 − x  2 1  30 − 5x  3 3
⇒ =  − +   1. 5 + 2 x − 1 = 0
4 3 2  3 4  3 
20 + x 4 − x 2 30 − 5x 3(2 x − 1) + 15 = 0
⇒ = − +
4 6 3 12 6 x − 3 + 15 = 0
mcm = 12 6 x = − 12
3 (20 + x ) = 2 (4 − x ) − 8 + 30 − 5x x= −2
60 + 3x = 8 − 2 x − 8 + 30 − 5x 2 3
2. = mcm = 16 x 2 − 1
60 + 3x = − 7 x + 30 4x − 1 4x + 1
10 x = − 30 2 (4 x + 1) = 3(4 x − 1)
x=−3 8 x + 2 = 12 x − 3
5 (x + 2) 4 22 − x 8 − x 20 − 3x − 4x = − 5
30. + − = 3x − 20 − − mcm = 36
12 9 36 12 18 5
15( x + 2) + 16 − 22 + x = 108 x − 720 − 3(8 − x ) − 2 (20 − 3x ) x=
4
15x + 30 − 6 + x = 108 x − 720 − 24 + 3x − 40 + 6 x 5 1
3. x 2 − 1 = x − 1 mcm = x − 1
2
16 x + 24 = 117 x − 784
− 101x = − 808
5 = x +1
x=8
4=x
 x  x  x
 3 −  −  1−  = 7 −  x −  3 1
31.  2  3  2 4. − =0 mcm = x 2 − 1
x + 1 x2 − 1
6 − x 3− x x
⇒
2
−
3
= 7−
2
mcm = 6 3 ( x − 1) − 1 = 0
3(6 − x ) − 2 (3 − x) = 42 − 3x 3x − 3 − 1 = 0
18 − 3x − 6 + 2 x = 42 − 3x 3x = 4
12 − x = 42 − 3x 4
x=
2 x = 30 3
5x + 8 5x + 2
x = 15 5. = mcm = (3x + 4)(3x − 4)
3x + 4 3x − 4
5  x  3
32. (x + 3)( x − 3) − x − 4 =  x − 5  −  3x − 4  (3x − 4)(5x + 8) = (5x + 2)(3x + 4)
2
   
5 4 x 12 x − 3 15x 2 + 4 x − 32 = 15x 2 + 26 x + 8
⇒ x − 9− x − =
2 2
−
4 5 4
− 26 x + 4 x = 8 + 32
41 16 x − 60 x + 15
⇒− = − 22 x = 40
4 20
41 − 44 x + 15 40
⇒− = mcm = 20 x= −
4 20 22
− 205 = − 44 x + 15 20
− 220 = − 44 x x= −
11
5= x
10x 2 − 5x + 8
 3x − 1 2  x + 2  1 6. =2 mcm = 5x 2 + 9 x − 19
33. 2 x −  2 x − 8  = 3  6  − 4 5x 2 + 9 x − 19
   
16 x − 3x + 1 2 x + 4 1 10 x 2 − 5x + 8 = 2 (5x 2 + 9 x − 19)
⇒ 2x − = − mcm = 72
8 18 4 10 x 2 − 5x + 8 = 10x 2 + 18 x − 38
144 x − 9 (13x + 1) = 4 (2 x + 4) − 18 − 5x − 18 x = − 38 − 8
144 x − 117 x − 9 = 8 x + 16 − 18
− 23x = − 46
27 x − 9 = 8 x − 2
− 46
19 x = 7 x=
7
− 23
x= x= 2
19

187. mcm = 12 ( x 2 − 1)
1 1 1
7. + = 3 2 8
3x − 3 4 x + 4 12 x − 12 13. = + mcm = x 2 − 7 x + 12
x − 4 x − 3 x 2 − 7 x + 12
4 ( x + 1) + 3 ( x − 1) = x + 1
3( x − 3) = 2 ( x − 4) + 8
4 x + 4 + 3x − 3 = x + 1
7x − x = 0 3x − 9 = 2 x − 8 + 8
6x = 0 3x − 2 x = 9
x= 0 x=9
x x 2 − 8x 7
8. − = mcm = 4 (4 x − 5) 6 x − 1 3 ( x + 2) 1 + 3 x
4 4x − 5 4 14. − = mcm = 18 (5x − 6)
18 5x − 6 9
x (4 x − 5) − 4 (x 2 − 8 x ) = 7 (4 x − 5) (6x − 1)(5x − 6) − 54 (x + 2) = 2 (1+ 3x)(5x − 6)
4 x 2 − 5x − 4 x 2 + 32 x = 28 x − 35 30 x 2 − 41x + 6 − 54 x − 108 = − 26 x − 12 + 30 x 2
27 x = 28 x − 35 − 95x − 102 = − 26 x − 12
− x = − 35 − 69 x = 90
x = 35 90
x= −
2x − 9 2x − 3 x
mcm = 10 (2 x − 1)
69
9. + =
10 2x − 1 5 x = − 1 23
7
(2 x − 9)(2 x − 1) + 10 (2 x − 3) = 2 x (2 x − 1) 5 3 6
15. 1 + x − 1 − x − 1 − x 2 = 0 mcm = 1 − x
2
4 x 2 − 20 x + 9 + 20 x − 30 = 4 x 2 − 2 x
− 21 = − 2 x
5 (1 − x ) − 3(1 + x) − 6 = 0
− 21
=x 5 − 5x − 3 − 3 x − 6 = 0
−2
− 8x − 4 = 0
10 2 = x
1
− 8x = 4
10.
(3x − 1) 2
=
18x − 1
mcm = 2 ( x − 1) 1
x −1 2 x= −
2
2 (9 x 2 − 6x + 1) = (x − 1)(18 x − 1) 1+ 2 x 1 − 2 x 3x − 14
16. − =− mcm = 1 − 9 x 2
18 x 2 − 12 x + 2 = 18x 2 − 19 x + 1 1+ 3x 1 − 3x 1− 9 x 2
− 12 x + 19 x = 1 − 2 (1+ 2 x)(1− 3x) − (1− 2 x)(1+ 3x) = − 3x + 14
7x = − 1 1− x − 6x 2 − 1− x + 6x 2 = − 3x + 14
1 − 2 x = − 3x + 14
x= −
7 x = 14
2x + 7 2x − 1
11. 5x + 2 − 5x − 4 = 0 mcm = (5x + 2) (5x − 4)
3x − 1 1 7
(2 x + 7)(5x − 4) − (2 x − 1)(5x + 2) = 0 17. x 2 + 7 x + 12 = 2 x + 6 + 6 x + 24
10x 2 + 27 x − 28 − 10x 2 + x + 2 = 0 ⇒ x 2 + 7 x + 12 = ( x + 3)( x + 4)
28 x = 26 ⇒ 2 x + 6 = 2 ( x + 3)
⇒ 6 x + 24 = 6 ( x + 4) mcm = 6 ( x + 3)( x + 4)
13
x=
14
(5x − 2)(7 x + 3) − 1= 0 mcm = 7 x 5x − 1 6 (3x − 1) = 3( x + 4) + 7 ( x + 3)
12.
7 x (5x − 1)
( ) 18 x − 6 = 3x + 12 + 7 x + 21
18 x − 6 = 10 x + 33
(5x − 2)(7 x + 3) − 7 x (5x − 1) = 0 8 x = 39
35x 2 + x − 6 − 35x 2 + 7 x = 0
39
8x = 6 x=
8
3 x=47
x= 8
4

188. mcm = 2 ( x − 1) ( x + 1)
1 3 3 2
21
18. − =− 1 2 3
(x − 1) 2 x − 2 2 x + 2 − = −
3
2 24.
x − 1 x − 2 2x − 2 2x − 4
2 ( x + 1) − 3 ( x − 1)( x + 1) = − 3( x − 1)
2
7
1 2 3
2 x + 2 − 3x + 3 = − 3x + 6 x − 3
2 2 − = − 3
x − 1 x − 2 2x − 2 2x − 4
2 x + 5 = 6x − 3 1 2 3 7
− 4x = − 8 − = −
x − 1 x − 2 2 x − 2 6 x − 12
x=2
mcm = 6 ( x − 1)( x − 2)
5x + 13 4 x + 5 x
19. − = mcm = 15 ( x − 3) 6 ( x − 2) − 12 ( x − 1) = 9 ( x − 2) − 7 ( x − 1)
15 5x − 15 3
6 x − 12 − 12 x + 12 = 9 x − 18 − 7 x + 7
(5x + 13)(x − 3) − 3(4 x + 5) = 5x (x − 3) − 6 x = 2 x − 11
5x 2 − 2 x − 39 − 12 x − 15 = 5x 2 − 15x
− 8 x = − 11
− 14 x − 54 = − 15x − 11 3
x = 54 x= = 18
−8
2x − 1 x−4
mcm = 3 (2 x + 1)(3x − 2)
2
20. 2 x + 1 − 3x − 2 = 3 1 2 11 2
25. x + 3 − 5x − 20 = 3x − 12 − x + 3
2
3 (2 x − 1)(3x − 2) − 3 ( x − 4)(2 x + 1) = 2 (2 x + 1)(3x − 2)
18 x 2 − 21x + 6 − 6 x 2 + 21x + 12 = 12 x 2 − 2 x − 4 mcm = 15( x − 4)(x + 3)
18 = − 2 x − 4 15( x + 3)
22 = − 2 x 15( x − 4) − 6 (x + 3) = − 30 ( x − 4)
2
− 11 = x
15x + 45
4 x + 3 3x + 8 15x − 60 − 6 x − 18 = − 30 x − 120
21. 2 x − 5 − 3x − 7 = 1 mcm = (2 x − 5)(3x − 7) 2
2 (9 x − 78) = 15x + 45 − 2 (30 x − 120)
(4 x + 3)(3x − 7) − (3x + 8)(2 x − 5) = (2 x − 5)(3x − 7) 18 x − 156 = 15x + 45 − 60 x + 240
12 x 2 − 19 x − 21 − 6 x 2 − x + 40 = 6 x 2 − 29 x + 35 18 x − 156 = − 45x + 285
− 20 x + 19 = − 29 x + 35 63x = 441
9 x = 16 x=7
16 1 4 10 3
x= − = −
9 26. 6 − 2 x 5 − 5x 12 − 4 x 10 − 10 x
x =17
mcm = 20 (1 − x )(3 − x )
9
10 x − 7 3x + 8 5x 2 − 4
22. = − mcm = 12 (5x + 1) 10 (1 − x ) − 16 (3 − x ) = 50 (1 − x ) − 6 (3 − x )
15x + 3 12 20 x + 4
10 − 10 x − 48 + 16x = 50 − 50 x − 18 + 6 x
4 (10 x − 7) = (3x + 8)(5x + 1) − 3 (5x 2 − 4)
6 x − 38 = − 44 x + 32
40 x − 28 = 15x 2 + 43x + 8 − 15x 2 + 12 50 x = 70
40 x − 28 = 43x + 20 7
x=
− 3x = 48 5
x = − 16 x=125
4x − 1 x − 2 8x − 3
mcm = 10 (2 x − 7) 6x 2
mcm = 3 (9 x 2 − 1)
23. + = − 1 10
3 2 2
5 2x − 7 10 27. − 2 =
3 9 x − 1 3x − 1
2 (4 x − 1)(2 x − 7 ) + 10 ( x − 2) = (8 x − 3)(2 x − 7 ) − 13 (2 x − 7)
2 (9 x 2 − 1) − 18 x 2 = 6 (3x + 1)
16 x 2 − 60 x + 14 + 10 x − 20 = 16 x 2 − 62 x + 21 − 26 x + 91
− 50 x − 6 = − 88 x + 112 18 x 2 − 2 − 18 x 2 = 18 x + 6
38 x = 118 − 2 = 18 x + 6
118 − 8 = 18 x
x=
38 4
x = 3 19
2
− =x
9

189. 5x 2 − 27 x 1 x−2 2x − 5 x−2
28. − = x−6 mcm = x (5x + 3) 33. x 2 + 8 x + 7 = x 2 − 49 − x 2 − 6 x − 7
5x + 3 x
x (5x 2 − 27 x ) − (5x + 3) = x (5x + 3)(x − 6) ⇒ x 2 + 8x + 7 = (x + 7)(x + 1)
5x 3 − 27 x 2 − 5x − 3 = 5x 3 − 27 x 2 − 18 x ⇒ x 2 − 49 = ( x + 7)( x − 7)
− 5x − 3 = − 18 x ⇒ x 2 − 6x − 7 = ( x − 7)(x + 1)
13x = 3 mcm = ( x + 7)( x − 7)(x + 1) = ( x 2 − 49)( x + 1)
(x − 2)(x − 7) = (2 x − 5)(x + 1) − (x − 2)(x + 7)
3
x=
13
4x + 1 6 4x − 1 x 2 − 9 x + 14 = 2 x 2 − 3x − 5 − x 2 − 5x + 14
29. − = mcm = 16 x 2 − 1
4 x − 1 16 x 2 − 1 4 x + 1 − 9 x + 14 = − 8x + 9
(4 x + 1)2
− 6 = (4 x − 1)
2 − x= −5
x=5
16 x 2 + 8 x + 1 − 6 = 16 x 2 − 8 x + 1
16 x − 5 = 1 4x + 5 2x + 3 2x − 5
34. 15x 2 + 7 x − 2 − 12 x 2 − 7 x − 10 − 20 x 2 − 29 x + 5 = 0
16 x = 6
3 ⇒ 15x 2 + 7 x − 2 = (3x + 2)(5x − 1)
x=
⇒ 12 x 2 − 7 x − 10 = (4 x − 5)(3x + 2)
8
 x − 1  x + 1  5x ( x − 1)
30. 3   + 2 = ⇒ 20 x 2 − 29 x + 5 = (4 x − 5)(5x − 1)
 x + 1  x − 4  x 2 − 3x − 4
mcm = (3x + 2)(5x − 1)(4 x − 5)
mcm = x 2 − 3x − 4
3( x − 1)( x − 4) + 2 ( x + 1) = 5x ( x − 1)
2 (4 x + 5)(4 x − 5) − (2 x + 3)(5x − 1) − (2 x − 5)(3x + 2) = 0
16 x 2 − 25 − 10 x 2 − 13x + 3 − 6 x 2 + 11x + 10 = 0
3x 2 − 15x + 12 + 2 x 2 + 4 x + 2 = 5x 2 − 5x
− 2 x − 12 = 0
− 11x + 14 = − 5x
− 2 x = 12
− 6 x = − 14
x= −6
−7
x=
−3 7 3 2 3 ( x + 1)
35. − = −
x=23
1
2x + 1 x + 4 x + 1 2x2 + 9x + 4
 x + 2  x−2  x 2 + 78 mcm = (2 x + 1)( x + 4)( x + 1)
31. 2   − 3 = 2
 x − 2  2 x + 3 2 x − x − 6 7 ( x + 4 )( x + 1) − 3 (2 x + 1)( x + 1) = 2 (2 x + 1)( x + 4 ) − 3 ( x + 1)
2
mcm = (x − 2)(2 x + 3) 7 x 2 + 35x + 28 − 6 x 2 − 9 x − 3 = 4 x 2 + 18 x + 8 − 3x 2 − 6 x − 3
26 x + 25 = 12 x + 5
2 ( x + 2)(2 x + 3) − 3( x − 2) = x 2 + 78
2
14 x = − 20
4 x + 14 x + 12 − 3x 2 + 12 x − 12 = x 2 + 78
2
10
x= −
26 x = 78 7
x= 3 x = −17 3
1 1 3
32. − =
x 2 + 3x − 28 x 2 + 12 x + 35 x 2 + x − 20 36.
(x + 3) 2
=
x − 1 2 (7 x + 1)
+
⇒ x + 3x − 28 = ( x + 7)( x − 4)
2
(x − 3) 2
x + 1 x2 − 2x − 3
⇒ x 2 + 12 x + 35 = ( x + 7)( x + 5) mcm = (x − 3) ( x + 1)
2
⇒ x 2 + x − 20 = ( x + 5)( x − 4)
(x + 3) (x + 1) = (x − 3) (x − 1) + 2 (7 x + 1)(x − 3)
2 2
mcm = ( x + 7)( x + 5)(x − 4)
x 3 + 7 x 2 + 15x + 9 = x 3 − 7 x 2 + 15x − 9 + 14 x 2 − 40 x − 6
x + 5 − ( x − 4) = 3 ( x + 7)
9 = − 15 − 40 x
x + 5 − x + 4 = 3x + 21
24 = − 40 x
9 = 3x + 21
− 12 = 3x
3
− =x
− 4= x 5

190. x− 4 x+1 12 ( x + 3)
mcm = ( x + 5) ( x − 2)
2
37. − =−
x+5 x− 2 (x + 5)2
(x + 5)(x − 2)(x − 4) − (x + 5) (x + 1) = − 12 (x + 3)(x − 2)
2
x 3 − x 2 − 22 x + 40 − x 3 − 11x 2 − 35x − 25 = − 12 x 2 − 12 x + 72
− 57 x + 15 = − 12 x + 72
− 45x = 57
57
x= −
45
x = − 1 15
4
x− 3 x−2 x+ 2 x+3
38. − = − mcm = ( x − 4)( x − 3)( x + 1)( x + 2)
x− 4 x− 3 x+1 x+ 2
(x − 3) (x + 1)(x + 2) − (x
2 2
− 4)( x − 4)( x + 1) = ( x + 2) (x − 4)( x − 3) − ( x 2 − 9)( x − 4)( x + 1)
2
x 4 − 3x 3 − 7 x 2 + 15x + 18 − x 4 + 3x 3 + 8 x 2 − 12 x − 16 = x 4 − 3x 3 − 12 x 2 + 20 x + 48 − x 4 + 3x 3 + 13x 2 − 27 x − 36
3x + 2 = − 7 x + 12
10 x = 10
x=1
x+ 6 x+1 x−5
mcm = ( x + 2)( x − 3)( x − 1)( x + 4)
x
39. − = −
x+ 2 x− 3 x−1 x+ 4
( x + 6)(x − 3)(x − 1)(x + 4) − ( x 2
− 1)( x + 2)( x + 4) = ( x − 5)( x + 2)( x − 3)( x + 4) − x ( x + 2)( x − 3)( x − 1)
x + 6 x − 13x − 66 x + 72 − x − 6 x 3 − 7 x 2 + 6 x + 8 = x 4 − 2 x 3 − 25x 2 + 26 x + 120 − x 4 + 2 x 3 + 5x 2 − 6 x
4 3 2 4
− 60 x + 80 = 20 x + 120
− 80 x = 40
1
x= −
EJERCICIO 143 2
(
1. a x + 1 = 1 ) ( )
4. 3 2a − x + ax = a + 9
2
7. ax − a (a + b) = − x − (1 + ab)
1 6a − 3x + ax = a 2 + 9
x + 1= ax − a 2 − ab = − x − 1 − ab
a x (a − 3) = a 2 + 9 − 6a ax + x = a 2 − 1
1
− 1+ x + 1= − 1 x (a − 3) = (a − 3) x (a + 1) = (a + 1)(a − 1)
2
a
1− a x=a−3 x= a−1
x=
a 5. a ( x + b) + x (b − a ) = 2b (2a − x)
ax + ba + xb − ax = 4ab − 2bx ( ) ( )
8. a 2 a − x − b 2 x − b = b 2 x − b ( )
xb + 2bx = 4ab − ab a −a x−b x+b =b x−b
3 2 2 3 2 3
ax − 4 = bx − 2 3bx = 3ab
2. − a 2 x − 2b 2 x = − a 3 − 2b 3
3ab
ax − bx = 4 − 2 x= a 2 x + 2b 2 x = a 3 + 2b 3
3b
x (a − b) = 2 x= a
x (a 2 + 2b 2 ) = a 3 + 2b 3
x=
2
6.
(x − a) − (x + a)
2 2
= a (a − 7 x )
a 3 + 2b 3
a−b x 2 − 2ax + a 2 − x 2 − 2ax − a 2 = a 2 − 7ax x=
a 2 + 2b 2
− 4ax + 7ax = a 2
3. ax + b = a − bx 3ax = a 2
2 2
( x + a)( x − b) − ( x + b)( x − 2a) = b (a − 2) + 3a
ax + bx = a 2 − b 2 x=
a2
x 2 − bx + ax − ab − x 2 + 2ax − bx + 2ab = ab − 2b + 3a
x (a + b) = (a + b)(a − b)
3a
a − 2bx + 3ax + ab = ab − 2b + 3a
x=
x= a−b 3 x (3a − 2b) = 3a − 2b
9.
x=1

191. (
10. x + a = a + x − a a − 1
2 2
)
2
( ) 16. (m + 4 x)(3m + x) = (2 x − m) 2
+ m (15x − m)
x 2 + a 2 = a 2 + 2ax + x 2 − a 2 + a 3m + 13mx + 4 x = 4 x − 4mx + m2 + 15mx − m2
2 2 2
a = 2ax + a
2
2mx = − 3m2
a (a − 1) 3m2
=x x= −
2a 2m
a −1 3m
=x x= −
2 2
11. m (n − x) − m (n − 1) = m (mx − a )
mn − mx − mn + m = m2 x − am ( ) ( ) (
17. a a − x − a a + 1 − b b − x − b 1 − b + a 1 + a = 0
2 2 2 2
) ( ) ( )
− mx − m2 x = − am − m a 3 − a 2 x − a 3 − a 2 − b3 + b2 x − b + b 3 + a + a 2 = 0
− xm (1 + m) = − m (a + 1) − a 2 x + b2 x − b + a = 0
x=
a+1 x (b 2 − a 2 ) − (b − a ) = 0
m+ 1
x (b − a )(a + b) = b − a
12. x − a + 2 = 2ax − 3 (a + x ) − 2 (a − 5) x (a + b) = 1
x − a + 2 = 2ax − 3a − 3x − 2a + 10 1
x=
x − a = 2ax − 5a − 3x + 8 a+b
x + 4a − 8 = 2ax − 3x
4 (a − 2) = 2ax − 4 x
4 (a − 2) = 2 x (a − 2) 18. (ax − b) = (bx − a)(a − x) − x (b − a ) + a
2 2 2 2
+ b (1 − 2b)
2= x a x − 2abx + b = abx + bx − a − ax − bx + a x + a 2 + b − 2b2
2 2 2 2 2 2 2 2
ax (1 − 3b) = b (1 − 3b)
13. a ( x − a ) − 2bx = b (b − 2a − x ) b
x=
ax − a 2 − 2bx = b 2 − 2ab − bx a
ax − bx = b2 − 2ab + a 2
x (a − b) = (b − a )(b − a ) (x + b) − (x − a ) − (a + b)
2 2 2
=0
19.
x= −
(a − b)(b − a) x + 2bx + b − x + 2ax − a − a − 2ab − b = 0
2 2 2 2 2 2
a−b 2bx + 2ax − 2a 2 − 2ab = 0
x = − (b − a ) 2 x (b + a ) − 2a (a + b) = 0
x= a−b
2 ( x − a )(a + b) = 0
14. ax + bx = ( x + a − b) − (x − 2b)( x + 2a)
2 2 x = 2a
x=a
x (a + b) = x 2 + 2ax − 2bx + a 2 − 2ab + b2 − x 2 − 2ax + 2bx + 4ab
x (a + b) = a 2 + 2ab + b2
x (a + b) = (a + b)
2
20. (x + m) 3
− 12m3 = − ( x − m) + 2 x 3
3
x= a+b x 3 + 3x 2 m + 3xm2 + m3 − 12m3 = − x 3 + 3x 2 m − 3xm2 + m3 + 2 x 3
2 x 3 + 6 xm2 − 2 x 3 = 12m3
( ) ( ) (
15. x a + b − 3 − a a − 2 = 2 x − 1 − x a − b ) ( ) 6 xm2 = 12m3
ax + bx − 3 − a 2 + 2a = 2 x − 2 − ax + bx
12m3
2ax − 2 x = a 2 − 2a + 1 x=
6m2
2 x (a − 1) = (a − 1) x = 2m
2
a−1
x=
2

192. EJERCICIO 144 x − 3a 2a − x 1
7. − =− mcm = a 2b
a2 ab a
m 1 2 b (x − 3a ) − a (2a − x ) = − ab
1. − = mcm = mx
x m m bx − 3ab − 2a 2 + ax = − ab
m − x = 2x
2
bx + ax = 2ab + 2a 2
m = 3x x (a + b) = 2a (a + b)
2
m2 x = 2a
=x
3 x + m x + n m2 + n2
8. − = −2 mcm = mn
a b 4a m n mn
2. + = mcm = 2x
x 2 x n ( x + m) − m ( x + n) = m2 + n 2 − 2mn
2a + bx = 8a
xn + mn − mx − mn = m2 − 2mn + n 2
bx = 6a
x (n − m) = (m − n)
2
6a
x=
b x (n − m) = − (n − m)(m − n)
x 1− x 1 x = − (m − n)
3. − = mcm = 2a 2
2a a 2 2a x = n− m
ax − 2 (1 − x ) = a x−b x− a
9. = 2− mcm = ab
ax − 2 + 2 x = a a b
b ( x − b) = 2ab − a ( x − a )
x (a + 2) = a + 2
a+2 bx − b 2 = 2ab − ax + a 2
x=
a+2 bx + ax = a 2 + 2ab + b2
x=1 x (a + b) = (a + b)
2
m n n x=a+b
4. + = + 1 mcm = mx
mcm = 2 (2a + b)
x m x 4x 3
10. − 3= −
m2 + nx = mn + mx 2a + b 2
m2 − mn = mx − nx 8 x − 6 (2a + b) = − 3 (2a + b)
m (m − n) = x (m − n) 8 x − 12a − 6b = − 6a − 3b
m= x 8 x = 6a + 3b
3 (2a + b)
a − 1 1 3a − 2 x=
5. + = 8
2a + 3x 2 (6 x − a )
a 2 x
mcm = 2ax 11. = mcm = ( x + a )(4 x + a )
x+a 4x + a
2 x (a − 1) + ax = 2a (3a − 2)
2ax − 2 x + ax = 6a 2 − 4a
(2a + 3x)(a + 4 x) = (2 x + 2a)(6x − a)
2a 2 + 11ax + 12 x 2 = 12 x 2 + 10ax − 2a 2
3ax − 2 x = 2a (3a − 2)
ax = − 4a 2
x (3a − 2) = 2a (3a − 2)
x = − 4a
x = 2a
2 ( x − c) 2 x + c
12. = mcm = 4 (4 x − b)( x − b)
4 x − b 4 ( x − b)
a − x b − x 2 (a − b)
6. − = 8 ( x − c)( x − b) = (2 x + c)(4 x − b)
a b ab
mcm = ab 8 x − 8 xb − 8 xc + 8bc = 8 x 2 − 2 xb + 4 xc − bc
2
b (a − x ) − a (b − x ) = 2 (a − b) − 6 xb − 12 xc = − 9bc
− 6 x (b + 2c) = − 9bc
ab − bx − ab + ax = 2 (a − b)
3bc
x (a − b) = 2 (a − b) x=
2 (b + 2c)
x= 2

193. 1 m 1 1 5 x + a 5x − b
13. − =
n x mn x
− mcm = xmn
19. 3x + b = 3x − a mcm = (3x + b)(3x − a )
xm − m n = x − mn
(3x − a)(5x + a ) = (5x − b)(3x + b)
2
xm − x = m2 n − mn
15x 2 − 2ax − a 2 = 15x 2 + 2bx − b 2
x (m − 1) = mn (m − 1) − 2ax − 2bx = a 2 − b 2
x = mn
− 2 x (a + b) = (a + b)(a − b)
( x − 2b)(2 x + a) = 2 mcm = x − a a − 2b + x
( )( ) b− a
14.
( x − a)(a − 2b + x) x=
2
( x − 2b)(2 x + a) = 2 ( x − a)(a − 2b + x)
2 x 2 + ax − 4bx − 2ab = − 4bx + 2 x 2 − 2a 2 + 4ab 20. x + a − x − a =
(
a 2 x + ab ) mcm = ( x − a )( x + a )
ax = 6ab − 2a 2 x−a x+a x2 − a2
ax = 2a (3b − a) ( x + a ) − (x − a )
2 2
= a (2 x + ab)
x = 2 (3b − a) x + 2ax + a − x + 2ax − a = 2ax + a 2b
2 2 2 2
x+ m n+ x
mcm = (m + x )(x − n)
4ax = 2ax + a 2b
15. =
x − n m+ x 2ax = a 2b
(x + m) = (x + n)(x − n)
2
x=
ab
x + 2mx + m2 = x 2 − n 2
2 2
2mx = − m2 − n 2 2 x − 3a 11a
21. − 2= 2 mcm = x 2 − 16a 2
m +n
2 2 x + 4a x − 16a 2
x= −
2m (2 x − 3a)(x − 4a) − 2 (x 2
− 16a 2 ) = 11a
x (2 x + 3b)( x + b) 2 x − 11ax + 12a − 2 x + 32a 2 = 11a
2 2 2
16. = 2 x 2 − bx + b 2 mcm = x + 3b
x + 3b
− 11ax + 44a 2 = 11a
x (2 x + 3b)( x + b) = ( x + 3b)(2 x − bx + b 2 2
) − 11ax = 11a − 44a 2
− 11ax = 11a (1− 4a)
2 x 3 + 5x 2b + 3b 2 x = 2 x 3 + 5bx − 2b 2 x + 3b 3
2
3b 2 x + 2b 2 x = 3b 3
3b
x = − (1 − 4a)
x= x = 4a − 1
5
3  x x  1  x x  5a + 13b
17.  +  =  −  + x2 x+ a
mcm = a (x + a)
1
4  b a 3  b a
22. x + a + a 2 + ax = a
12a
3  ax + bx  1  ax − bx  5a + 13b
⇒  =  +
4  ab  3  ab  a + x 2 = (x + a)
2
12a
3ax + 3bx ax − bx 5a + 13b
⇒ = + mcm = 12ab a + x 2 = x 2 + 2ax + a 2
4ab 3ab 12a
3 (3ax + 3bx ) = 4 (ax − bx ) + b (5a + 13b) a − a 2 = 2ax
9ax + 9bx = 4ax − 4bx + 5ab + 13b 2 a (1 − a)
=x
5ax + 13bx = 5ab + 13b 2 2a
x (5a + 13b) = b (5a + 13b) 1− a
=x
x=b 2
x + a (x − b) 3ab − 3b 2 2 (a + x) 3(b + x ) 6 (a 2 − 2b2 )
2
18. = + mcm = 3 (3x − a ) − = mcm = ab
3 3x − a 9 x − 3a 23. b a ab
(x + a )(3x − a ) = 3 (x − b) 2a (a + x) − 3b (b + x ) = 6 (a 2 − 2b2 )
2
+ 3ab − 3b 2
3x + 2ax − a = 3x − 6bx + 3b + 3ab − 3b
2 2 2 2 2
2a 2 + 2ax − 3b 2 − 3bx = 6a 2 − 12b2
2ax + 6bx = a 2 + 3ab
2ax − 3bx = 4a 2 − 9b2
2 x (a + 3b) = a (a + 3b)
x (2a − 3b) = (2a − 3b)(2a + 3b)
a
x= x = 2a + 3b
2

194. ( ) ( )( )
24. m n − x − m − n m + x = n −
2 1
n
(2mn − 3m n)
2 2
mcm = n
nm (n − x ) − n (m − n)(m + x) = n − (2mn
3 2
− 3m2 n)
mn 2 − mnx − m2 n + mn2 − mnx + n2 x = n 3 − 2mn2 + 3m2 n
− 2mnx + n 2 x = − 4mn2 + 4m2 n + n3
nx (n − 2m) = n (n2 − 4mn + 4m2 )
x (n − 2m) = (n − 2m)
2
x = n − 2m
EJERCICIO 145
10. x → Lo que tenia
x → N º buscado
1. 6. x → N º buscado 1 1 
x −  x + x = 39 mcm = 24
3x x 3 1 1  3 8 
x− = 2 x − 11 + x − 49 = 2  x − x
8 5 8 6 12  24 x − 8 x − 3x = 936
8 x − 3x = 8 (2 x − 11) x 3 x 13x = 936
⇒ + x − 49 = mcm = 120 x = 72 bs.
5x = 16x − 88 5 8 6
− 11x = − 88 24 x + 45x − 5. 880 = 20 x 11. x → Nº buscado
− 88 49 x = 5 .880 x
3x − 48 = mcm = 3
x= 3
− 11 x = 120
9x − 144 = x
x=8
7. x → Edad de A 8x = 144
2. x → N º buscado
5x 3x x = 18
x+ = 3x − 14 → Edad de B
6 5 12. x → Nº buscado
6 x + 5x = 6 (3x − 14) 3x  3x  4x − 19 =
x
+ 30 mcm = 2
x+ − 4= 2  mcm = 5
11x = 18 x − 84 5  5 2
8x − 38 = x + 60
− 7 x = − 84 5x + 3x − 20 = 6 x 7x = 98
− 84 2 x = 20
x= x = 14
−7
x = 10 años → Edad de A 13. x → Nº buscado
x = 12
3⋅ 10 30 x
3. x → N º que se resta ⇒ = = 6 años → Edad de B 80 − = x − 10 mcm = 2
5 5 2
6x 160 − x = 2x − 20
22 − x = 11 +
8. x → Lo que tiene A
5 − 3x = − 180
5(22 − x) = 55 + 6x 7x x = 60
→ Lo que tiene B
110 − 5x = 55 + 6 x 8 14. x → Nº buscado
− 11x = − 55  7x  7x
−2=
4x
mcm = 40
x + 90 = 2   mcm = 8
x=5  8 8 5
35x − 80 = 32 x
4. x → Nº que tiene diferencia 8 x + 720 = 14 x 3x = 80
5 7 − 6 x = − 720 80
x − x = 30 mcm = 8 x=
4 8 x = $ 120 → Tiene A 3
10x − 7x = 240 7 ⋅ 120 x = 26 2
3
3x = 240 ⇒ = $ 105 → Tiene B
8 15. x → Ancho del buque
x = 80 800 − 744 =
8x
9. x → Long. pieza
5. x → Nº buscado 9
3x 8x
3 1 x− = 40 mcm = 5 56 =
x − 17 = x − x mcm = 30 5 9
5 6 504 = 8x
5x − 3x = 200
30x − 510 = 18 x − 5x 504
2x = 200 =x
− 510 = − 17 x 8
x = 100 m 63 Pies = x
30 = x

195. EJERCICIO 146
1. x → N º menor x → N º menor x → N º menor
2. 3.
x + 1→ N º mayor x + 1→ N º mayor x + 1→ N º mayor
4 ( x + 1) 7x 3 ( x + 1) 3x 2 (x + 1)
= x− 4 − 17 = mcm = 40 x − 81 = − mcm = 20
5 8 5 4 5
4x + 4
= x− 4 35x − 680 = 24 ( x + 1) 20 x − 1. 620 = 15x − 8 (x + 1)
5
35x − 680 = 24 x + 24 20 x − 1. 620 = 15x − 8 x − 8
4 x + 4 = 5 ( x − 4)
11x = 704 13x = 1. 612
4 x + 4 = 5x − 20
x = 64 → N º menor x = 124 → N º menor
− x = − 24
⇒ x+1 ⇒ x+1
x = 24 → N º menor
= 64 + 1 = 65→ N º mayor = 124 + 1 = 125 x → N º mayor
⇒ x+1
= 24 + 1 = 25 → N º mayor
4. x → N º menor 2 x → N º menor
5.
x + 1 → N º mayor 2 x + 2 → N º mayor x → Tiene B
6.
3( x + 1) x + 1 → Tiene A
1
(x + 1) + 33 x − 8 = 20 mcm = 660
1
(2 x + 2)2
− ( 2 x ) = 324
2
5 4 ( x + 1)
4 x 2 + 8 x + 4 − 4 x 2 = 324
132 ( x + 1) + 20x − 5. 280 = 99 (x + 1) x − 8=
5
− 4 mcm = 5
8 x = 320
132 x + 132 + 20x − 5.280 = 99 x + 99 5x − 40 = 4 x + 4 − 20
x = 40
152 x − 99 x = 5.148 + 99 5x − 4 x = 40 − 16
⇒ 2 x = 2 ⋅ 40 = 80 → N º menor
53x = 5. 247 x = $ 24 → Tiene B
⇒ 2 x + 2 = 80 + 2 = 82 → N º mayor
x = 99 → N º menor ⇒ x + 1 = 24 + 1 = $ 25 ⇒ Tiene A
⇒ x + 1 = 99 + 1 = 100 → N º mayor
8. x → N º menor
x → Gane ayer x + 1 → N º medio
7.
x + 1 → Gane hoy x + 2 → N º mayor
2x x x+1 x+ 2
x + x + 1− 25 = + + =9 mcm = 22 .140
5 20 27 41
5(2 x − 24) = 2 x 1.107 x + 820 ( x + 1) + 540 ( x + 2) = 199 . 260
10 x − 120 = 2 x 1.107 x + 820 x + 820 + 540 x + 1. 080 = 199 . 260
8x = 120 2 . 467 x = 197 . 360
x = $ 15 → Gane ayer x = 80 → N º menor
⇒ x + 1 = 15 + 1 = $ 16 → Gane hoy ⇒ x + 1 = 80 + 1 = 81 → N º medio
⇒ x + 2 = 80 + 2 = 82 → N º mayor
9. x → N º menor
x + 1 → N º medio 10. x → N º menor
x + 2 → N º mayor x + 1 → N º medio
3x 5 ( x + 2 )
x + 2 → N º mayor
3( x + 1) 3x
+ − 31 = x + 1 mcm = 30
− 1 = ( x + 2) mcm = 770
5 6 1
−
18 x + 25 ( x + 2) − 930 = 30 x + 30 7 10 11
18 x + 25x + 50 − 930 = 30 x + 30 330 ( x + 1) − 231x − 770 = 70 ( x + 2)
43x − 30 x = 880 + 30 330 x + 330 − 231x − 770 = 70 x + 140
13x = 910 29 x = 580
x = 70 x → N º menor x = 20 → N º menor
⇒ x + 1 = 70 + 1 = 71 → N º medio ⇒ x + 1 = 20 + 1 = 21 → N º medio
⇒ x + 2 = 70 + 2 = 72 → N º mayor ⇒ x + 2 = 20 + 2 = 22 → N º mayor

196. x → Edad B
11. 12. x → Edad B
x + 2 → Edad A
x − 1 → Edad A
x − 2 → Edad C
x + 1 → Edad C
7 ( x + 2)
x + x − 2 − 12 = 17 ( x − 1)
8 (x + 1) − x = 5 − 4
2 2
mcm = 5
8 (2 x − 14) = 7 ( x + 2)
5 ( x + 2 x + 1) − 5x = 17 ( x − 1) − 20
2 2
16 x − 112 = 7 x + 14
5x + 10 x + 5 − 5x = 17 x − 17 − 20
2 2
9 x = 126
− 7 x = − 42
x = 14 → Edad B
x = 6 → Edad B
⇒ x + 2 = 14 + 2 = 16 → Edad A
⇒ x − 1 = 6 − 1 = 5 → Edad A
⇒ x − 2 = 14 − 2 = 12 → Edad C
⇒ x + 1 = 6 + 1 = 7 → Edad C
EJERCICIO 147 5. x → Parte mayor
x → N º mayor 260 − x → Parte menor
x → N º mayor 3.
1. x − 44 → N º menor 2 x − 40
59 − x → N º menor =2
x−5
x−2
=3 3(260 − x )
=2 x − 44
59 − x 2 x − 40 = 6 (260 − x )
x − 2 = 3 ( x − 44)
x − 5 = 2 (59 − x ) 2 x − 40 = 1.560 − 6 x
x − 2 = 3x − 132
x − 5 = 118 − 2 x 8 x = 1. 600
− 2 x = − 130
3x = 123 x = 200 → Parte mayor
x = 65 → N º mayor
x = 41 → N º mayor ⇒ 260 − x
⇒ x − 44 = 65 − 44 = 21 → N º menor = 260 − 200 = 60 → Parte menor
⇒ 59 − x = 59 − 41 = 18 → N º menor
6. x → Parte de A
196 − x → Parte de B
x → N º mayor x → N º mayor 3x
2. 4. − 16
436 − x → N º menor x − 56 → N º menor 8 =1
196 − x
x − 73 x−8
=2 =3 5
436 − x x − 56 3x − 128 5
x − 73 = 2 (436 − x )
⋅ =1
x − 8 = 3 ( x − 56) 8 196 − x
x − 73 = 872 − 2 x x − 8 = 3 x − 168 5 (3x − 128) = 8 (196 − x )
3x = 945 − 2 x = − 160 15x − 640 = 1.568 − 8 x
x = 315 → N º mayor x = 80 → N º mayor 23x = 2 . 208
⇒ 436 − x = 436 − 315 = 121 → N º menor ⇒ x − 56 = 80 − 56 = 24 → N º menor x = 96 soles → Parte de A
⇒ 196 − x
= 196 − 96 = 100 soles → Parte de B
EJERCICIO 148
1. x → Ganó el 1 día
er 2. x → Perdió miercoles 3. x → Tiene A
x 3 2
→ Ganó el 2º día x → Perdió jueves x → Tiene B
2 5 3
x 1 2
→ Ganó el 3 er día x → Perdió viernes x → Tiene C
4 2 5
x x 3 1 2x 2 x
x + + = 175 mcm = 4 x + x + x = 252 mcm = 10 x+ + = 248 mcm = 15
2 4 5 2 3 5
4 x + 2 x + x = 700 10x + 6x + 5 x = 2 . 520 15x + 10x + 6x = 3 . 720
7 x = 700 21x = 2 . 520 31x = 3 . 720
x = $ 100 → Ganó el 1er día x = $ 120 → Perdió miercoles x = 120 suc. → Tiene A
3 2
⇒
x 100
= = $ 50 → Ganó el 2º día ⇒ ⋅120 = $ 72 → Perdió jueves ⇒ ⋅ 120 = 80 sucres → Tiene B
2 2 5 3
1 2
x 100
⇒ = = $ 25 → Ganó el 3 er día ⇒ ⋅120 = $ 60 → Perdió viernes ⇒ ⋅ 120 = 48 sucres → Tiene C
4 4 2 5

197. 4. x → Edad A Continuación
3
x → Edad B 6. 1. 000 Km. → 1ª semana
5
11
9 ⇒ ⋅1. 000 = 1.100 Km. → 2ª semana
x → Edad C 10
40
121
3x 9x ⇒ ⋅1. 000 = 1. 210 Km. → 3ª semana
x+ + = 73 mcm = 40 100
5 40
1. 331
40x + 24x + 9x = 2 . 920 ⇒ ⋅1. 000 = 1. 331Km. → 4ª semana
1. 000
73x = 2 . 920
x = 40
40 años → edad de A
x
3
⇒ ⋅ 40 = 24 años → edaddeB 7. x → 1ª Persona ;
2
→ 2 ª Persona
5
x x
9 → 3ª Persona ; → 4 ª Persona
⇒ ⋅ 40 = 9 años → edadde C 8 40
40
x
5. x → 1 día
er → 5ª Persona
400
1
x → 2º día x x x
x+ + + +
x
= 330 .500 mcm = 400
3 2 8 40 400
1 400 x + 200 x + 50 x + 10 x + x = 132 ' 200 . 000
x → 3º día
9 661x = 132 ' 200 . 000
1
x → 4º día x = 200 . 000 colones
27
1 1 1 200 . 000 colones → 1ª Persona
x+ x+ x+ x = 120 mcm = 27 x 200 . 000
3 9 27 ⇒ = = 100 . 000 colones → 2 ª Persona
27x + 9x + 3x + x = 3 . 240 2 2
40x = 3 . 240 x 200 . 000
⇒ = = 25 . 000 colones → 3ª Persona
x = 81 Km. 8 8
x 200 . 000
81 Km. → 1er día ⇒ = = 5. 000 colones → 4 ª Persona
40 40
1
⇒ ⋅ 81= 27 Km. → 2º día x 200 . 000
3 ⇒ = = 500 colones → 5ª Persona
400 400
1
⇒ ⋅ 81= 9 Km. → 3º día
9
1
⇒ ⋅ 81= 3 Km. → 4º día
27 8. x → Re c. en barco
4
6. x → 1ª semana x → Re c. en tren
9
11
x → 2ª semana 5
10 x → Re c. en avión
18
121
x → 3ª semana 4 x 5x
100 x+ + = 9 . 362 mcm = 18
9 18
1. 331 18x + 8x + 5x = 168 . 516
→ 4ª semana
1.000
31x = 168. 516
11 121 1. 331
x+ x+ x+ x = 4 . 641 mcm = 1. 000 x = 5 . 436 Km.
10 100 1. 000
5 . 436 Km. → Re c. en barco
1. 000x + 1.100x + 1. 210x + 1. 331x = 4' 641. 000
4 4
4 . 641x = 4' 641. 000 ⇒ x = ⋅ 5 . 436 = 2 . 416 Km. → Re c. en tren
9 9
x = 1. 000 Km. 5 5
⇒ x = ⋅ 5 . 436 = 1. 510 Km. → Re c. en avión
Continúa 18 18

198. EJERCICIO 149
1. x → Tenía al principio 5. x → Aves en la granja 8. x → Tenía al principio
2 ( x − 20) 4 x
x − 20 − = 10 mcm = 3 x → Palomas x − − 15 = 30 mcm = 2
3 5 2
3x − 60 − 2 ( x − 20) = 30 4
x− x=
x
Re sto
2x − x − 30 = 60
3x − 60 − 2 x + 40 = 30
5 5 x = 90
x 3 3 $ 90 → Tenía al principio
x − 20 = 30 ⋅ = x → Gallinas
5 4 20
x = 50 4 x 3x
$ 50 → Tenía al principio x− − = 4 mcm = 20
5 20
2. x → Tenía al principio 20x − 16x − 3x = 80 9. x → Tenía al principio
x x
− = 21 mcm = 4 x = 80 3
x − x + 1. 300 = x + 100
2 4 80 → Aves en la granja 4
2x − x = 84 mcm = 4
4 4
x = 84 ⇒ x = ⋅ 80 = 64 → Palomas
5 5 4 x − 3x + 5 . 200 = 4 x + 400
84 Q. → Tenía al principio 3 3 − 3x = − 4 . 800
⇒ x= ⋅ 80 = 12 → Gallinas
3. x → Tengo ahora 20 20 x = 1. 600
4 ( x + 7) 4 → Gallos 1. 600 suc. → Tenía al principio
x + 7− = 20 mcm = 5
5 6. x → Tenía al principio
5x + 35 − 4 (x + 7) = 100 4
x− x=
x
→ quedó
5x + 35 − 4 x − 28 = 100 5 5
2 x 2
x + 7 = 100 ⋅ = x → Perdí
3 5 15 10. x → Tenía al principio
x = 93
4 2 3 x
$ 93 → Tengo ahora x− x− x − 8 = 0 mcm = 15 x− x= → quedó
5 15 4 4
4. x → Tenía al principio 15x − 12x − 2x − 120 = 0 2 x x
⋅ = → Libros
2x 3 x = 120 3 4 6
x− = x → quedó
5 5 120 soles → Tenía al principio 3 x 2
x − x − = x − 38
5 3 1 4 6 5
⋅ x = x → prestó 7. x → Tenía al principio
6 5 2 mcm = 60
5
Luego x− x + 42 = x + 2 mcm = 12 60x − 45x − 10x = 24x − 2 . 280
12
2 1
x − x − x = 500 mcm = 10 12x − 5x + 504 = 12x + 24 − 19x = − 2 . 280
5 2 x = 120
− 5x = − 480
10x − 4x − 5x = 5 . 000
x = 96 $ 120 → Tenía al principio
x = 5 . 000
$ 96 → Tenía al principio
5 . 000 bs. → Tenía al principio
EJERCICIO 150
1. x → Edad actual A
2. x → Edad actual B
3x → Edad actual B
3x → Edad actual A
x − 15 = (3x − 15) mcm = 6
1
6 3x + 20 = 2 ( x + 20)
6x − 90 = 3x − 15 3x + 20 = 2 x + 40
3x = 75 x = 20 años → Edad actual B
x = 25 años → Edad actual A ⇒ 3x = 3⋅ 20 = 60 años → Edad actual A
⇒ 3x = 25⋅ 3 = 75 años → Edad actual B

199. 3. x → Edad actual A 8. x → Edad padre
x − 25 → Edad hijo
x − 5 = ( x + 5) mcm = 11
9
11 3( x − 15)
11x − 55 = 9 x + 45 x − 25 − 15 = mcm = 8
8
2 x = 100 8 x − 320 = 3x − 45
x = 50 5x = 275
50 años → Edad actual A x = 55
55 años → Edad padre
4. x → Edad actual A ⇒ x − 25 = 55 − 25 = 30 años → Edad hijo
2 ( x − 6) = x + 24
2 x − 12 = x + 24
x = 36
9. 2 x → Edad padre hace 10 años
36 años → Edad actual A
x → Edad hijo hace 10 años
2 x + 10 → Edad actual padre
5. x → Edad hijo
x + 10 → Edad actual hijo
3x → Edad padre
3 ( x + 10 + 10)
2 ( x + 16) = 3x + 16 2 x + 10 + 10 = mcm = 2
2
2 x + 32 = 3x + 16 4 x + 40 = 3x + 60
16 = x x = 20
16 años → Edad hijo ⇒ 2 x + 10 = 2 ⋅ 20 + 10 = 50 años → Ed . act . padre
⇒ 3x = 3⋅ 16 = 48 años → Edad padre ⇒ x + 10 = 20 + 10 = 30 años → Ed . act . hijo
6. x → Edad padre
2
x → Edad hijo 10. x + 18 → Edad de A
5 x → Edad de B
2 ( x − 8)
5( x − 18)
2x
= − 8 mcm = 35
7 5 x + 18 − 18 = mcm = 2
2
10 x − 80 = 14 x − 280
2 x = 5x − 90
200 = 4 x
90 = 3x
50 = x
30 = x
50 años → Edad padre
30 años → Edad de B
2 2
⇒ x = ⋅ 50 = 20 años → Edad hijo ⇒ x + 18 = 30 + 18 = 48 años → Edad A
5 5
7. x → Edad actual de A 11. 3x → Edad A
65 − x → Edad actual de B x → Edad B
5( x + 10) 3x − 4 + x − 4 = x + 16
65 − x + 10 = mcm = 12
12 4x − 8 = x + 16
900 − 12 x = 5x + 50 3x = 24
850 = 17 x x=8
50 = x 8 años → Edad B
50 años → Edad actual de A ⇒ 3x = 3 ⋅ 8 = 24 años → Edad A
⇒ 65 − x = 65 − 50 = 15 años → Edad actual de B

200. EJERCICIO 151 6. x → Tiene A EJERCICIO 152
2
x → Tiene B
3
1. x → Tiene B 1. x → N º años que pasan
x + 22 = ( x − 22) mcm = 15
2 7
2 x → Tiene A
3 5
3
(
28 + x = x + 38 mcm = 4 )
4 ( x + 20) 10 x + 330 = 21x − 462
4
2 x − 20 = mcm = 5 112 + 4 x = 3x + 114
5 792 = 11x
10 x − 100 = 4 x + 80 x=2
72 = x $ 72 → Tiene A
6 x = 180 2 → años pasan
2 2
x = 30 ⇒ x = ⋅ 72 = $ 48 → Tiene B
3 3 2. x → N º años que pasan
30 soles → Tiene B 7. x → Tiene B
⇒ 2 x = 2 ⋅ 30 = 60 soles → Tiene A 4
7
(
30 + x = x + 25 mcm = 6
6
)
x → Tiene A
2. x → Tiene B 5 180 + 6 x = 7 x + 175
x
→ Tiene A
4
x + 13 = x − 5 mcm = 5 5= x
2 5 5 → años pasan
x 4x + 65 = 5x − 25
x − 24 = + 24 mcm = 2
2 90 = x $ 90 → Tiene B 3. x → N º años hace
2x − 48 = x + 48
x = 96
4 4
⇒ x = ⋅ 90 = $ 72 → Tiene A 48 − x =
9
10
52 − x ( )
5 5
96 colones → Tiene B mcm = 10
8. x → Tiene A
x 96 x 480 − 10 x = 468 − 9 x
⇒ = = 48 colones → Tiene A → Tiene B
2 2 2 12 = x
3. x → Tiene A x 1 12 → años hace
+ x = x + 5 mcm = 6
2 x → Tiene B 2 3
3x + 2x = 6x + 30 4. x → N º años hace
3
(2 x − 6) = x + 6 mcm = 5 5x = 6x + 30
5 1
(
18 − x = 27 − x )
6 x − 18 = 5x + 30 30 = x $ 30 → Tiene A 4
x = 48 x 30 mcm = 4
⇒ = = $ 15 → Tiene B 72 − 4 x = 27 − x
$ 48 → Tiene A 2 2
9. x → Empezaron A y B 45 = 3x
⇒ 2 x = 2 ⋅ 48 = $ 96 → Tiene B
x → Tiene A 3 15 = x
4. x − x = x − 24 mcm = 5
3 5 15 → años hace
x → Tiene B 5x − 3x = 5x − 120
5
− 3x = − 120 5. x → La suma de dinero
x + 30 = (x − 30) mcm = 5
3 9
5 5 x = 40 3
5
( )
50 + x = x + 22 mcm = 5
3x + 150 = 9 x − 270 40 balboas → Empezaron A y B
150 + 3x = 5x + 110
420 = 6 x 10. x → Empezaron A y B
3 x 40 = 2 x
70 = x x− x = → Le queda B
4 4 20 = x
$ 70 → Tiene A x
→ 3ª parte de lo queda B $ 20 → La suma de dinero
3 3 12
⇒ x = ⋅ 70 = $ 42 → Tiene B
x + 288
6. x → Gastó cada uno
5 5 x
+ 24 = → ha ganado A
5. x → Tiene A yB 12 12
x + 30 x 
= x− 
x + 288 
 mcm = 12
3
( )
90 − x = 50 − x mcm = 11
x − 30 = mcm = 2 4  12  11
2 270 − 3x = 550 − 11x
3x = 12 x − x − 288
2x − 60 = x + 30
3x = 11x − 288 8 x = 280
x = 90
− 8 x = − 288 x = 35
90 suc. → Tiene A yB
x = 36 35 Q. → Gastó cada uno
36 soles → Empezaron A y B

201. 7. x → Edad actual hermano
3
x → Edad actual persona 9. x → Le dió A a B
4 8. x → ganó cada uno
(x + x) + 4 x + x = 75
3 54 + x + 32 + x = 4x + 66
1
(
153 − x = 12 + x mcm = 4
4
)
2x + 86 = 4x + 66 612 − 4 x = 12 + x
3
3x + x = 75 mcm = 4 20 = 2x 600 = 5x
4
10 = x 120 = x
12 x + 3x = 300
$ 10 → ganó cada uno
x = 20 120 bs. → Le dió A a B
20 años → Edad actual hermano
3 3
⇒ x = ⋅ 20 = 15 años → Edad actual persona
4 4
EJERCICIO 153 EJERCICIO 154
Continuación
x 1. x → Numerador
1. x + 3 → Long. rect . 4. + 24 = x mcm = 2 x − 2 → Deno min ador
2
x → Ancho rect . x + 48 = 2x x 1
=
(x + 4)(x + 1) − 22 = x (x + 3) 48 = x x−2+7 2
x 1
x 2 + 5x + 4 − 22 = x 2 + 3x 48m ⋅12m → Dimensiones =
x+5 2
2 x = 18 5. x → Long. del cuadrado 2x = x + 5
x=9 Equiv. al rect . x=5
9m → Ancho rect . x + 7 → Long. del rect . 5 → Numerador
⇒ x + 3 = 9 + 3 = 12m → Long. rect . x − 6 → Ancho del rect . 5 − 2 = 3 → Deno min ador
(x + 7)(x − 6) = x 2 5
→ fracción
2. x → Una de las dim ensiones
3
x + x − 42 = x
2 2
2. x → Numerador
2 x → La otra dim ensión
x = 42 x + 1 → Deno min ador
(x + 5)(2 x + 5) − 160 = 2 x 2
⇒ x + 7 = 42 + 7 = 49 → Long. del rect . x
=
1
2 x 2 + 15x + 25 − 160 = 2 x 2 ⇒ − = − = → x + 1+ 15 3
x 6 42 6 36 Ancho del rect.
x 1
15x = 135 49m ⋅ 36m → Dimensiones =
x + 16 3
x= 9 x → Ancho
6. 3x = x + 16
9m⋅ 18m → Dimensiones x + 30 → Longitud 2 x = 16
(x + 30 − 20)(x + 15) + 150 = x (x + 30) x=8
3. x + 2 → Una dim ensión 8 → Numerador
x → Otra dim ensión (x + 10)(x + 15) + 150 = x + 30x
2
8 + 1= 9 → Deno min ador
(x − 5)(x − 3) + 115 = x (x + 2) x 2 + 25x + 150 + 150 = x 2 + 30 x 8
→ Fracción
300 = 5x 9
x − 8 x + 15 + 115 = x + 2 x
2 2
3. x − 8 → Numerador
60 = x
− 10 x = − 130 x → Deno min ador
60m → Ancho
x = 13 x − 8+1 3
⇒ x + 30 = 60 + 30 = 90m → Long. =
15m ⋅ 13m → Dimensiones x+1 4
90m ⋅ 60m → Dimensiones x− 7 3
=
x 7. x → Ancho x+1 4
4. + 24 → Long. del rect . x + 10 → Longitud 4 ( x − 7) = 3( x + 1)
2
x
− 12 → Ancho del rect . (x + 8)(x + 1) = x (x + 10) 4 x − 28 = 3x + 3
2 x = 31
x + 9 x + 8 = x + 10 x
2 2
x x  x  31 − 8 = 23 → Numerador
 + 24  − 12 = x  − 12 8 = x → Ancho 31 → Deno min ador
2 2  2 
⇒ x + 10 = 8 + 10 = 18 → Long. 23
Continúa → Fracción
18m ⋅ 8m → Dimensiones 31

202. 4. x → Numerador 5. x → Numerador 6. x → Numerador
2 x + 1→ Deno min ador 2 x + 6 → Deno min ador x + 1→ Deno min ador
x−4 1 x + 15 4 x  x 
= = = 3  −2
2x + 1 3 2x + 6 − 1 3 x + 1+ 4  x + 1
3 ( x − 4) = 2 x + 1 x + 15 4
= mcm = (x + 5)( x + 1)
x 3x
2x + 5 3 = −2
3x − 12 = 2 x + 1 x+5 x+1
x = 13 3 ( x + 15) = 4 (2 x + 5) x ( x + 1) = 3x (x + 5) − 2 (x + 5)(x + 1)
13 → Numerador 3x + 45 = 8 x + 20
x 2 + x = 3x 2 + 15x − 2 x 2 − 12 x − 10
2 ⋅ 13 + 1 = 27 → Deno min ador 25 = 5x
x = 3x − 10
13 5= x
→ Fracción 10 = 2 x
27 5 → Numerador
5= x
2 ⋅ 5 + 6 = 16 → Deno min ador
5 → Numerador
7. x → Numerador 5
→ Fracción 5 + 1 = 6 → Deno min ador
3x − 1→ Deno min ador 16
5
x+8 11 x → Numerador → Fracción
8. 6
=
3x − 1 + 4 12 x − 22 → Deno min ador
x + 8 11 x x − 15
= − = 3 mcm = x − 22
3x + 3 12 x − 22 x − 22
12 ( x + 8) = 33( x + 1) x − ( x − 15) = 3 ( x − 22)
12 x + 96 = 33x + 33 15 = 3x − 66
63 = 21x 81 = 3x
3= x 27 = x
3 → Numerador 27 → Numerador
3 ⋅ 3 − 1 = 8 → Deno min ador 27 − 22 = 5 → Deno min ador
3 27
→ Fracción → Fracción
8 5
EJERCICIO 155
x → cifra de unidades
1. 2. x → cifra de unidades
x + 2 → cifra de decenas
x − 4 → cifra de decenas x → cifra de unidades
10 ( x + 2) + x 3.
10 ( x − 4) + x 2 x → cifra de decenas
10 x + 20 + x
10 x − 40 + x 10 ( 2 x ) + x − 9
11x + 20 → El Número
11x − 40 → El Número 21x − 9 → N º dis min uido en 9
11x + 20
=7 11x − 40 21x − 9
2 ( x + 1) =4 =6
2 ( x − 2) 3x
11x + 20 = 14 ( x + 1) 11x − 40 = 8 x − 16 21x − 9 = 18x
11x + 20 = 14 x + 14 3x = 24 3x = 9
6 = 3x x=8 x= 3
2= x 8 → cifra de unidades 63 → N º buscado
2 → cifra de unidades 8 − 4 = 4 → cifra de decenas
2 + 2 = 4 → cifra de decenas 48 → N º buscado
42 → N º buscado

203. 4. x → cifra de unidades EJERCICIO 156
x + 1 → cifra de decenas 1. x → Días trabaj. juntos
Continuación
10 ( x + 1) + x 1 1 1
+ = mcm = 6x 4. 8x + 2x + 5x = 12
3 (11x + 10)
3 6 x
15x = 12
2x + x = 6
33x + 30 → N º multip.* 3 12
3x = 6 x=
33x + 30 = 21(2 x + 1) x=2
15
4
33x + 30 = 42 x + 21 2 días → Hacen la obra x=
5
9 = 9x 2. x → Tiempo en llenar depósito 4
1= x de día hacen la obra
1 1 1 5
+ = mcm = 20x
1 → Cifra de unidades 10 20 x 5. x → Tiempo en llenar depósito
1 + 1 = 2 → Cifra de decenas 2x + x = 20 1 1 1 1
3x = 20 + + = mcm = 60x
21 → N º buscado 5 6 12 x
20 12x + 10x + 5x = 60
5. x → cifra de unidades x=
3 27x = 60
7 − x → cifra de decenas
x=6 2 60
10 (7 − x ) + x + 8
3
x=
6 2 min. → En llenar depósito
3 27
78 − 9 x → N º aumentado en 8 3. x → Hacen obra juntos x=2 2 9
78 − 9 x 2 2 min → Llenar el depósito
=6 1 1 1 1
2 (7 − x ) + + = mcm = 12 x 9
4 6 12 x 6. x → Tiempo en llenar depósito
78 − 9 x = 12 (7 − x ) 3x + 2x + x = 12 1 1 1 1
6 x = 12 + − = mcm = 40x
78 − 9 x = 84 − 12 x 4 8 20 x
3x = 6 x=2 10x + 5x − 2x = 40
x=2 2 días → Hacen obra juntos 13x = 40
52 → N º buscado 4. x → Hacen obra juntos 40
x=
1 1 1 1 13
x → cifra de unidades + + =
6. 12 6 2 2 x
1
5 x = 3 13
1
x + 2 → cifra de decenas 2 1 5 1
+ + = mcm = 12x 3 13 min. → Llenar el depósito
1
10 (x + 2) + x 3 6 12 x
11x + 20 → El Número
Continúa
11x + 20 − 27 = 10 x
11x − 7 = 10 x EJERCICIO 157
x= 7
7 → cifra de unidades
ABCD = x
7 + 2 = 9 → cifra de decenas 1.
AB = 5
97 → N º buscado
X
BC =
7. x → cifra de unidades 12
2 x → cifra de decenas CD = 30
10 ( 2 x) + x − 4 x = 5 + 30 +
x
21x − 4 → N º dis min en 4 12
x
21x − 4 x = 35 +
= 20 12
2x − x
12x = 420 + x
21x − 4 = 20x
11x = 420
x=4
420
84 → N º buscado x= = 38 11
2
11

204. 2. 3. 5.
AB = x ABCD = x
AB = x
BD = 15 AB = 10
BD = 30
AC = 50 BC =
x
AC = 40 12
X
CD = x CD = 15
12 CD =
12 ABCD = AB + BC + CD
AB + BD = AC + CD
x
x x = 10 + + 15
x + 15 = 50 + mcm = 12 AB + BD = AC + CD 12
12 x x
x = 25 +
12x + 180 = 600 + x x + 30 = 40 + mcm = 12 12
12
11x = 420 mcm = 12
12x + 360 = 480 + x
12x = 300 + x
420 11x = 120
x= 11x = 300
11 120
x= 300
x = 38 11
2 x=
11 11
x = 10 10
11 x = 27 11
3
4.
6.
AB = x
BD = 45
AC = 50 x ABC = x
AB = AB = 20
x 12
CD =
12 BC = 30 x
BC =
AC + CD = AB + BD ABC = x 12
x ABC = AB + BC ABC = AB + BC
50 + = x + 45 mcm = 12
12 x
x=
x
+ 30 mcm = 12 x = 20 + mcm = 12
600 + x = 12x + 540 12 12
60 = 11x 12x = x + 360 12x = 240 + x
60 11x = 360 11x = 240
=x 240
11 360 x=
x=
5 11 = x
5
11 11
x = 32 11
8 x = 21 11
9

205. 7. 8. 10.
ABCD = x
AB = 15
ABCD = x
ABC = x x
AB = 30 BC =
AB = 50 12
x CD = 5
BC = x
12 BC = ABCD = AB + BC + CD
12
CD = 15 x
ABC = AB + BC x = 15 + +5
ABCD = AB + BC + CD 12
x x
x x = 50 + mcm = 12 x = 20 + mcm = 12
x = 30 + + 15 mcm = 12 12 12
12 12x = 600 + x 12x = 240 + x
12x = 360 + x + 180 11x = 240
11x = 600
11x = 540 240
600 x=
540 x= 11
x= 11
x = 21 11
9
11 x = 54 11
6
x = 49 11
1
9. 11.
AB = x ABCD = x
BD = 15 AB = x AB = 40
AC = 30 BD = 15 x
BC =
12
x AC = 35
CD = CD = 10
12 x
AB + BD = AC + CD CD = ABCD = AB + BC + CD
12
x AB + BD = AC + CD x
x + 15 = 30 + x = 40 + + 10
12 12
x
x x + 15 = 35 + x
x− = 15 mcm = 12 12 x = 50 + mcm = 12
12
12 12x + 180 = 420 + x
12x − x = 180 12x = 600 + x
11x = 240
11x = 180 11x = 600
240
180 x= 600
x= 11 x=
11 11
x = 21 11
9
x = 16 11
4 x = 54 11
6
Continúa

206. 11. Continuación
EJERCICIO 158
1. x → N º mayor
x − 6 → N º menor
− 10 = ( x − 6) mcm = 8
x 3
2 8
4 x − 80 = 3x − 18
x = 62 → N º mayor
62 − 6 = 56 → N º menor
AB = x
BD = 10
AC = 40 2. x → Le dió A a B
CD =
x 11
10
( )
120 − x = 90 + x mcm = 10
12
AB + BD = AC + CD 1. 320 − 11x = 900 + 10 x
x 420 = 21x
x + 10 = 40 +
12 20 = x
x $ 20 → Le dió A a B
x− = 30
12
mcm = 12
12x − x = 360
11x = 360
360
x=
11
x = 32 11
8
4. x → Persona favorecida
3. x → Nº buscado
5
x+6 x → Persona que recibió menos
+5 7
8 5
x + 46 x + x = 48 . 000 mcm = 7
→ Cociente sumado 5 7
8 7x + 5x = 336 . 000
x + 46
12x = 336 . 000
8 = x + 46 → Nueva sum ÷ en 2
2 16 x = 28 . 000
x + 46 28 . 000 soles → Pers. favorecida
=4
16 5
⋅ 28 . 000 = 20 . 000
x + 46 = 64 7
x = 18 → Nº buscado 20 . 000 soles → Pers. que rec .men.

207. 5. x → Parte mayor x → Edad de A
9.
84 − x → Parte menor 2
x → Edad de B
x = (84 − x )
1 1 5
mcm = 20 12. Continuación
10 4 2 2 4
⋅ x= x → Edad de C
2 x = 5 (84 − x) 3 5 15
7x 3 21x
2 x = 420 − 5x 2 4 ⋅ = → Vr. total vta.
x+ x+ x = 25 mcm = 15 4 2 8
7 x = 420 5 15
de todos los lib.
x = 60 15x + 6x + 4x = 375
Luego
60 → Parte mayor 25x = 375
21x 51x
84 − 60 = 24 → Parte menor x = 15 − = 54 mcm = 40
8 40
15 años → Edad de A
105x − 51x = 2 .160
6. x → Parte mayor 2
⋅15 = 6 años → Edad de B 54x = 2 .160
120 − x → Parte menor 5
x = 40
4
3
120 − x = x mcm = 5 ⋅15 = 4 años → Edad de C 7x 7 ⋅ 40
5 15 = = 70
4 4
600 − 5x = 3x 70 → Total libros comprados
600 = 8x
75 = x → Parte mayor
10. x → Costo auto
120 − 75 = 45 → Parte menor
x
8 . 000 + = x + 2 . 000 mcm = 3
3
24 . 000 + x = 3x + 6 . 000 13. x → 1ª parte
7. x → Sueldo mensual 18 . 000 = 2x 5x
→ 2ª parte
x 3 7 9 . 000 = x 6
+ x = x → mensual
2 8 8 9 . 000 bs → Costo auto 3 5x 1
⋅ = x → 3ª parte
7  5 6 2
15x − 15  x = 300 mcm = 8
8  1 1 1
⋅ x = x → 4ª parte
120 x − 105x = 2 . 400 11. x → Libros compre 3 2 6
7x 5x 5x 1 1
15x = 2 . 400 − = 8 mcm = 2 x+ + x + x = 150
2 2 6 2 6
x = 160
7x − 5 x = 16 mcm = 6
$ 160 → Sueldo mensual 6x + 5x + 3x + x = 900
2x = 16
x = 8 → Lib. compre 15x = 900
x = 60
60 → 1ª parte
8. x → Lo que tenía
1 12. x → Cierto N º de libros 5
⋅ 60 = 50 → 2ª parte
x → Gastó en ropa 3x 6
5 → Vr. cierto N º de libros 1
3 4 ⋅ 60 = 30 → 3ª parte
x → Gastó en libros 2
8 3x  7  21x 3
 = → Vr. del N º 1
1 3 4  10 40 4 ⋅ 60 = 10 → 4ª parte
x − x − x − 102 = 0 mcm = 40 6
5 8 de lib. ant .
40x − 8x − 15x − 4 . 080 = 0 3x 21x 51x
17x = 4 . 080
+ = → Vr. total de
4 40 40
x = 240 lib. compré
1 3x 7 x
⋅ 240 = $ 48 → Gastó en ropa x+ = → total lib. comp.
5 4 4
3
⋅ 240 = $ 90 → Gastó en libros
8 Continúa

208. 14. 18. x → Edad actual B 22. x → libros que compró
x x 5x
→ Edad actual A x+ = → Libros más
4 4 4
400 320
4
x
− 10 =
1
10
( )
x − 10 mcm = 40 5x
=
x
10 x − 400 = 4 x − 40 4
320 400
6 x = 360 = −2 mcm = x
x x
x = 60
320 = 400 − 2x
60 años → Edad actual B
ABC = x 2x = 80
60
AB = 45 = 15 años → Edad actual A x = 40
4
x 40 libros → compró
BC =
400
19. x → N º mayor
12
= $ 10 → Pagópor c / u
ABC = AB + BC 40
x − 1 → N º menor
x = 45 +
x
mcm = 12 x → Suma repartida
( ) ( )
2 1 23.
12 x 2 − x − 1 − 43 = x−1 x
11 − 30 → Re cibió A
12x = 540 + x
( )
1 2
11x = 540 x − x + 2 x − 1 − 43 =
2 2
x−1 3x
11 + 20 → Re cibió B
540
( )
x= 1 7
11 2 x − 44 = x−1 x 3x
11 − 30 + + 20 + 30 = x
x = 49 11
( )
1
11 2 x − 44 = x − 1 2 7
15. x → Edad A mcm = 14
22 x − 484 = x − 1
x − 10 → Edad B 7 x + 6 x + 280 = 14 x
21x = 483
280 = x
(3
)
x − 10 − 15 = x − 15 mcm = 4
4
x = 23
280
23 → N º mayor − 30 = $ 110 → Re c. A
4 x − 40 − 60 = 3x − 45 2
23 − 1 = 22 → N º menor
4 x − 100 = 3x − 45 3 ( 280)
+ 20 = $ 140 → Re c. B
x = 55 x → Vr. sortija 7
20.
55 años → Edad A 24. x → Lib. comprad.
 3. 000 + x 
55 − 10 = 45 años → Edad B 7  = 1.500 + x mcm = 12 6x
 12  → Vr. de x lib.
16. x → Puede hacerla A 21. 000 + 7 x = 18 . 000 + 12 x
5
1 1 1 x 2x
+ = mcm = 60x 3. 000 = 5x x− = → Re sto
10 x 6 3 3
600 = x
6x + 60 = 10x 2x 9 3x
⋅ = → Vr. vta resto
60 = 4 x
600 sucres → Vr. sortija 3 4 2
15 = x 3x 6x
x → Nº personas − = 9 mcm = 10
21. 2 5
15 días → Puede hacerla A
x+ x=
1 6x
→ Nº más de pers. 15x − 12x = 90
17. x → Parte mayor 5 5 3x = 90
650 − x → Parte menor 120 100
= x = 30
x 6x x
= 650 − x − 50 30 → Libros comprados
5 5
x 100 120 25. x → Fortuna
= 600 − x mcm = 5 = − 2 mcm = x
5 x x x x x
x − − − = 2 . 500
x = 3 . 000 − 5x 100 = 120 − 2x 2 4 6
6x = 3 . 000 2x = 20 mcm = 12
x = 500 x = 10 12x − 6x − 3x − 2x = 30 . 000
500 → Parte mayor 10 personas → Se repartió $ x = 30 . 000
⇒ 650 − 500 = 150 → Parte menor 30 . 000 colones → Fortuna

209. Continuación
26. x → sueldo anual 30. x → Pesos
33. x + 2 x + 1= x + 111
2 2
3x x x 3
x− − − = 810 x → N º piezas de 20 ctvs
5 8 20 4 2 x = 110
mcm = 40 2 3x x x = 55
⋅ = → N º piezas de 10 ctvs
40x − 24 x − 5x − 2x = 32 . 400 3 4 2 55 → hom bres en el lado
9x = 32 . 400
x + (0 , 20 x) +
3 0 ,10 x
= 9 , 60 del 1er cuadrado
x = 3 . 600 4 2
mcm = 4 (55) + 36
2
3 . 600 balboas → sueldo anual
4 x + 0 , 6 x + 0 , 2 x = 38 , 4 = 3. 061 → Homb. en la tropa
27. x → Ahorros
4 , 8 x = 38 , 4
x−
3x 5x 5x
− = → Le quedaba 34. x → Lo que tenía
x=8
8 12 24 5x x
3 5x x 8 → Pesos x− − 20 = + 16
⋅ = 3
8 4
5 24 8 ⋅ 8 = 6 → piezas de 20 ctvs mcm = 8
5x x 4
− = 400 mcm = 24 8x − 5x − 160 = 2x + 128
24 8 8
= 4 → piezas de 10 ctvs x = 288
5x − 3x = 9 . 600 2
$ 288 → tenía
2x = 9 . 600
31. x → Capital primitivo
x = 4 . 800 x → Empezó a jugar
1 35.
$ 4 . 800 → ahorros x → 1er año 2 x − 60 → Le quedaba
5
− 180
28. x → Parte mayor x 4x
x− = → Le quedaba
3
10
(2 x − 60) = 6x 10
350 − x → Parte menor 5 5  6 x − 180 7 x
x + x − 60 −  − =0
350 − x −
3x
5
= x−
17
15
(350 − x) 3 4x 6x
⋅ = → 2º año  10  8
10 5 25 mcm = 40
mcm = 15
4x 6x 26x 80 x − 2 . 400 − 24 x + 720 − 35x = 0
5. 250 − 15x − 9 x = 15x − 5. 950 + 17 x + = → Tenia al term.
5 25 25 21x = 1. 680
− 24 x − 32 x = − 11. 200
el 2º año x = 80
− 56 x = − 11. 200
x = 200 3 26x 78x 80 Lempiras → Empezó a jugar
⋅ = → 3er año
200 → Parte mayor 5 25 125
350 − 200 = 150 → Parte menor x 6x 78x 36. x → Cifra unidades
x− + + = 13 . 312
5 25 125 x + 5 → Cifra decenas
29. x → Suma repartida 125x − 25x + 30x + 78x = 1' 664 . 000
10 ( x + 5) + x − 18 = 6 ( x + 5 + x)
$ 15 → Re cibió A 208x = 1' 664 . 000
10 x + 50 + x − 18 = 12 x + 30
x − 15 = B + C x = 8 . 000
2= x
x − 15 − C = B 8 . 000 Q. → Capitalprimitivo
2 → Cifra unidades
C= A+ B
32. x → Edad de A 2 + 5 = 7 → Cifra decenas
C = 15 + ( x − 15 − C)
72 → N º buscado
C= x − C
2
( )
x − 10 = x + 5 mcm = 3
3
2C = x 3x − 30 = 2 x + 10 37. x → Unidades
x x = 40 9 − x → Decenas
C=
2 40 años → Edad de A 10 (9 − x ) + x − 27 = 10 x + 9 − x
2 x x
15 + 15 + ⋅ + = x 90 − 10 x + x − 27 = 10 x + 9 − x
3 2 2 33. x → Cant . hom bres
x x en el lado del 1er cuadrado 54 = 18 x
30 + + = x mcm = 6 3= x
3 2 x + 36 → Hombres en la tropa
2
180 + 2 x + 3x = 6 x 3 → Unidades
180 = x
(x + 1)
2
= x 2 + 36 + 75 9 − 3 = 6 → Decenas
Continúa 63 → N º buscado
$ 180 → Suma recibida

210. 38. x → Mangos que había Continuación
2 x − 12
41. x − 12 −  x + 4  = 0

x
x− − 4= → Quedaban  mcm = 8
3 3 4  8 
1  2 x − 12  2 x + 42 2 x − 24 − x − 4 = 0
  + 6=
3 3  9 x − 28 = 0
2 x + 42 x = 28
9 + 9 = x + 102
⇒ $ 28 → Tenía el lunes antes de
2 9
42. x → Capital primitivo
x  2 x + 42   x + 102 
x− − 4−   − =0 x 3x − 12 . 000
3  9   9  x+ − 6 . 000 = → Tenía
2 2
mcm = 9 3 x − 12 . 000
9 x − 3x − 36 − 2 x − 42 − x − 102 = 0 2 3x − 36 . 000
− 6 . 000 = → 2º año
2 4
3x = 180
3x − 12 . 000 3x − 36 . 000 9 x − 60 . 000
x = 60 + = → Tenía
2 4 4
60 → Mangos había 9 x − 60 . 000
4 9 x − 108 . 000
− 6 . 000 = → 3º año
39. x → Ganó c / u 2 8
9x − 60 . 000 9x − 108 . 000
7
10
( )
80 + x = 50 + x mcm = 10 4
+
8
= 32 . 250 mcm = 8
18x − 120 . 000 + 9x − 108 . 000 = 258 . 000
560 + 7 x = 500 + 10 x
27x = 486 . 000
60 = 3x
x = 18 . 000
20 = x $ 18 . 000 → Capital primitivo
$ 20 → Ganó c / u 43. x → Pr ecio traje
40. x → Pluma fuente $ 15 → Pr ecio bastón
3 3x
x → Lapicero s + 15 =
5 4
x + 15 − 5 = 2s
5
6
(x − 0 , 20) = 5 x + 0 , 30
3
x + 10
→ Pr ecio sombrero
mcm = 30 2
25x − 5 = 18 x + 9 x + 10 3x
+ 15 = mcm = 4
7 x = 14 2 4
2x + 20 + 60 = 3x
x=2
80 = x
$ 2 → Costo la pluma
$ 80 → Pr ecio traje
3⋅ 2
= $ 1, 20 → Costo lapicero 80 + 10
5 = $ 45 → Pr ecio sombrero
2
41. x → Tenía el lunes antes de 44. x → Espacio recorrido por perro y conejo
x x+4 Perro Conejo
+ 2= → Lunes
2 2 sup uesto 2 5
 x + 4 x − 4
x− = → Quedaba Pr egunta ? 50
 2  2
2 ⋅ 50
x−4 Luego: → Saltos del perro con respecto a la ventaja
5
2 + 2 = x + 4 → Martes Perro Conejo
2 4
sup uesto 3 8
x − 4  x + 4  x − 12
− = → Quedaba Pr egunta x ?
2  4  4
8x
x − 12 Luego: → Saltos que avanza el conejo
3
4 + 2 = x + 4 → Miercoles
al ser alcanzado
2 8 Continúa Continúa

211. Continuación 46.
44. Perro Conejo
sup uesto 2 5
Pr egunta x ?
5x
Luego : → Saltos que da el perro
2
para alcanzar al conejo
Entonces: AB = x
8x 2 ⋅ 50 5x AC = 50
− = mcm = 6
3 5 2 x
16x − 120 = 15x CD =
12
x = 120 BD = 6
5 ⋅120 AB + BD = AC + CD
= 300 → Saltos del perro
2 x
para alcanzar el conejo x + 6 = 50 +
12
x
x− = 44 mcm = 12
45. x → Espacio recorrido 12
12x − x = 528
por perro y liebre
11x = 528
Perro Liebre
528
sup uesto 3 4 x=
11
Pr egunta ? 60
x = 48
3 ⋅ 60
Luego: → Saltos del perro con
4 47. x → Aporta A
respecto a la ventaja 3
x → Aporta B
Perro Liebre 4
sup uesto 5 8 x 4x
x− = → 1er año A
Pr egunta x ? 5 5
3x 3x + 12 . 000
8x + 3. 000 = → 1er año B
Luego: → Saltos que avanza la 4 4
5
4x 4 x + 8 . 000
liebre al ser alcanzada + 1. 600 = → 2º año A
5 5
Perro Liebre
3x + 12 . 000 1  3x + 12 . 000 
sup uesto 3 4 −   mcm = 36
4 9 4 
Pr egunta x ?
27 x + 108 . 000 − 3x − 12 . 000
4x
Luego: → Saltos que da el perro 36
24 x + 96 . 000 3 (8 x + 32 . 000)
3
para alcanzar a la liebre =
36 36
Entonces :
8 x + 32 . 000
8x 3 ⋅ 60 4x → 2º año B
− = 12
5 4 3 Entonces :
8x 4x
− 45 = mcm = 15 4 x + 8 . 000 8 x + 32 . 000
5 3 = mcm = 60
5 12
24x − 675 = 20x
48 x + 96 . 000 = 40x + 160 . 000
4x = 675
8 x = 64 . 000
x = 168 , 75
x = 8 . 000
4
⋅168 , 75 = 225 → Saltos del perro 8 . 000 bs → Aportó A
3
para alcanzar la liebre 3⋅ 8 . 000
= 6 . 000 bs → Aportó B
4

212. 50. Buey → $ 80
48. x → Años para que la edad P + 80 = 2C
del padre sea = a la C + 80 =
13 P
suma de sus hijos 2
60 + x = 16 + x + 14 + x Luego:
60 + x = 30 + 2x P + 80
=C
30 = x 2
P + 80 13 P
30 años → Edad del padre sea + 80 = mcm = 2
2 2
igual a la suma
P + 80 + 160 = 13 P
de sus hijos
240 = 12 P
20 = P
49. x → Km. recorridos $ 20 → Costo el perro
x x 20 + 80
+ = 12 mcm = 50 =C mcm = 2
50 10 2
x + 5 x = 600 20 + 80 = 2C
6x = 600 100 = 2C
x = 100 50 = C
100 → Km. recorridos $ 50 → Costo el caballo
EJERCICIO 159
1. a = 30m Continuación
v = 8m s 5. a = 550 Km
18 . 000
3. x = v = 100 Km
v ' = 5m s 50 h
x = 360 Km de A v ' = − 120 Km
30 ⋅ 8
x= De B.
h
8−5 De A.
240 Como la dis tan cia entre A y B
x= 550 ⋅ 100
es 200 Km x=
100 − (− 120)
3
x = 80m Entonces B recorrió
360 Km − 200 Km = 160 Km 55 . 000
x=
2. a = 160 Km 220
v = 50 Km h x = 250 Km
Como los trenes pasan
v ' = − 30 Km h 4. a = 80 Km por A y B a las 8 am
160 ⋅ 50 v = 90 Km h Entonces De A.
x=
50 − (− 30) v ' = 70 Km h
x = 250 Km
8 . 000 v = 100 Km h
x= 80 ⋅ 90
80 x=
x = 100 Km. 90 − 70 Tiempo empleado para
7 . 200 los 250 Km. es
3. a = 200 Km x=
20 250 Km
= 2 , 5 horas
v = 90 Km h x = 360 Km 100 Km h
El tiempo empleado
v ' = 40 Km h 2 , 5 horas → 2 h 30 min.
en encontrarse será .
Luego :
200 ⋅ 90 360 Km
x= = 4 horas 8 am + 2 h 30 min = 10 : 30
90 − 40 90 Km h
10 : 30 am → Se encuentran
Continúa

213. 6. a = 70 Km
v = 9 Km h 8. Re corrido tren de c arg a
1 en 3 horas es
v ' = − 5 Km h 7. A y B dis tan tes 29 Km 2
x → Dis tan cia recorrida por
⇒ 29 2 Km − 2 1 Km = 27 Km
1
2 42
Km
h
(3 h) = 126 Km
a = 27 Km
A al encontrarse a = 126 Km
70 ⋅ 9 v = 5 Km h
x= v = 60 Km h
9 − (− 5)
v ' = − 4 Km
x=
630 h v ' = 42 Km h
14 27 ⋅ 5
x= 126 ⋅ 60
5 − (− 4)
x = 45 Km → A
x=
Como A recorrió 45 Km 60 − 42
135
Entonces B x= 7 . 560
9 x=
70 Km − 45 Km = 25 Km → B 18
x = 15 Km
9. a = 186 Km x = 420 Km
v=v Luego A recorre
420 Km → Alcanza el tren de
v'= − v 15 Km + 2 1 Km = 17 2 Km
1
2 pasajeros al de c arg a
186 v B recorre
x=
v − (− v )
El tiempo empleado es:
29 2 Km − 17 2 Km = 12 Km
1 1
420 Km
186v = 7 horas
x= 60 Km h
2v
x = 93 Km.
EJERCICIO 162
1. b = 10 cm 4. v = 9 m s 7. r = 5m 10. P = 8 , 24 g
h = 8 cm e = 108 m π = 3 ,14 V = 8 cm3
b ⋅h e 108 m A = π ⋅r2 p
A= t= ⇒ t= D=
2 v 9ms
A = 3 ,14 (5m) v
2
10 cm ⋅ 8 cm
A= t = 12 s A = 3 ,14 ⋅ 25m2 D=
8 , 24 g
2 8 cm3
A = 40 cm2 5. b = 4 m A = 78 , 5m2
c = 3m D = 1, 03 g
8. r = 5m cm3
a =b +c
2 2 2
2. d = 8 m π = 3 ,14
a 2 = ( 4m) + ( 3m)
2 2
d 2 C = 2π ⋅ r 11. L = 4m
A= a 2 = 16m2 + 9m2 C = 2 ⋅ 3 ,14 ⋅ 5m 2
2 L 3
a = 25m C = 10m ⋅ 3 ,14 A=
(8 m)
2 2
2
4
A= a = 25m2 C = 31, 4 m ( 4m) 2 3
2 A=
A = 32 m2 a = 5m 9. h = 9m 4
6. a = 13 m r = 2m A = 4m2 3
3. t = 15 s c = 5m π = 3 ,14 A = 6 , 92m2
b2 = a 2 − c2 h⋅π ⋅r 2
v = 9ms v=
b = (13m) − (5m) 3 12. N = 6
2 2 2
e= v⋅t
9m ⋅ 3 ,14 ( 2m)
S = 180 (6 − 2)
2
( ) b = 169m − 25m
2 2 2 ∃
v=
e = (15 s) 9 m s 3
b 2 = 144m2
S = 180 ( 4)
∃
e = 135 m v = 12m2 ⋅ 3 , 14
b = 144m 2
v = 37 , 68m2 S = 720
∃
b = 12m

214. EJERCICIO 163 Continuación c ⋅ t ⋅r
17. I=
p '⋅ p + f ⋅ p ' 100
1. e = v ⋅ t 8. V = Vo − a ⋅ t 12. =f
p 100 I = c ⋅ t ⋅ r
v=
e
Rta V + a ⋅ t = V0 Rta p' ⋅ p f ⋅ p ' 100 I
t + =f = c Rta
a ⋅ t = V0 − V p p t ⋅r
e
t= Rta f ⋅ p' 100 I
v V0 − V p'+ =f = t Rta
a= Rta p r⋅c
t
 b + b ' f ⋅ p' 100 I
2. A= h   V0 − V = f − p' = r Rta
 2  t= Rta p c⋅t
2 A = h (b + b ')
a
f ⋅ p ' = p ( f − p ')
9. D = P 18. E = I ⋅R
2A f ⋅ p'
= h Rta V =p E
b+ b' Rta = R Rta
DV = P f − p' I
1 P E
3. e = a ⋅ t 2 V= Rta e = I Rta
2 D 13. v = R
2e = a ⋅ t 2 d
P = VD Rta
e V2
2e v =
2 19. e=
= a Rta 10. a = b + c
2 2 2
d 2a
t2
a2 − c2 = b2 v 2 ⋅ d = e Rta 2ae = V 2
1
4. A = a ⋅ l ⋅ n a 2 − c 2 = b Rta e 2ae = V Rta
2 d = 2 Rta
2A = a ⋅ l ⋅ n v
a2 − b2 = c2
20. u = a + (n − 1) r
1 2
2A e = V0 ⋅ t + a⋅t
= a Rta a − b = c Rta 14. u − (n − 1) r = a Rta
2 2
l ⋅n 2
2A 11. V = a ⋅ t 2e = 2V0 ⋅ t + a ⋅ t 2 u − a = (n − 1) r
= l Rta
n⋅ a V 2e − a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t u− a
= t Rta = n−1
2A a 2e − a ⋅ t 2 r
= n Rta = V0 Rta
l⋅ a V 2⋅ t u− a
a= Rta + 1= n
t r
5. A = π ⋅ r 1
2
1 1 1 15. e = V0 ⋅ t − a ⋅ t 2 u− a+ r
A 2 12. = − 2 = n Rta
=r f p' p r
π 2e = 2V0 ⋅ t − a ⋅ t 2 u − a + r = nr
p '⋅ p f ⋅ p− f ⋅ p'
A = 2e + a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t u − a = nr − r
= r Rta f ⋅ p '⋅ p f ⋅ p '⋅ p
π 2e + a ⋅ t 2 u − a = r (n − 1)
p ' ⋅ p = f ( p − p ') = V0 Rta
6. a = b + c − 2bx
2 2 2 2⋅t u− a
f ( p − p ') =r Rta
a 2 − b 2 − c 2 = − 2bx p'= a ⋅ t 2 = 2V0 ⋅ t − 2e n−1
p
a2 − b2 − c2 2V ⋅ t − 2e
− =x f ⋅ p f ⋅ p' a= 0 2 21. u = a ⋅r n − 1
2b p'= − t
2 (V0 ⋅ t − e)
p p u
b +c −a
2 2 2 = a Rta
= x Rta f ⋅ p' a= Rta r n −1
2b p'= f − t2
p u n−1
=r
7. V = Vo + a ⋅ t f ⋅ p' h ⋅π ⋅ r 2 a
p'+ =f 16. V=
p 3
V − a ⋅ t = V0 Rta n −1 u
= r Rta
p '⋅ p + f ⋅ p ' 3V
= h Rta a
V − V0 = a ⋅ t =f π ⋅r 2
p
Q
V − V0
=a Rta p '(p + f )= p⋅ f 3V 2
=r
22. I=
t
t π ⋅h
p⋅ f Q = I⋅ t Rta
V − V0 p'= Rta
=t Rta p+ f 3v
= r Rta Q
a π ⋅h =t Rta
Continúa I

215. EJERCICIO 164 2x + 1 2x + 5
1. x − 5 < 2x − 6 ( )( )
8. x + 2 x − 1 + 26 < x + 4 x + 5 ( )( ) 13. >
3x − 1 3x + 2
− 5 + 6 < 2x − x x 2 + x − 2 + 26 < x 2 + 9 x + 20 (3x + 2)(2 x + 1) > (2 x + 5)(3x − 1)
1< x 24 − 20 < 9 x − x 6 x 2 + 7 x + 2 > 6 x 2 + 13x − 5
1 → Lim. inf erior de x 4 < 8x 2 + 5 > 13x − 7 x
2. 5x − 12 > 3x − 4 1
<x 7 > 6x
5x − 3x > 12 − 4 2
7
2x > 8 9. 3 ( x − 2) + 2 x ( x + 3) > (2 x − 1)( x + 4) 6
>x
x>4 3x − 6 + 2 x 2 + 6 x > 2 x 2 + 7 x − 4
x+ 3 4 x
4 → Lim. inf eror de x 9x − 6> 7x − 4 14. − >
3 x+2 3
x − 6 > 21− 8x 9x − 7x > − 4 + 6
3.
x + 8x > 21+ 6 2x > 2
(x + 2)(x + 3) − 12 > x ( x + 2)
9x > 27 x 2 + 5x + 6 − 12 > x 2 + 2 x
x>1
5x − 2 x > 6
x>3
( ) ( )(
10. 6 x 2 + 1 − 2 x − 4 3x + 2 < 3 5x + 21 ) ( ) 3x > 6
3 → Lim. inf erior de x
6 x 2 + 6 − 6 x 2 + 8 x + 8 < 15x + 63 x>2
4. 3x − 14 < 7x − 2
8 x + 14 < 15x + 63
− 14 + 2 < 7x − 3x 5 20 2
8 x − 15x < 63 − 14 15. − <
− 12 < 4x 3 x + 1 9 x 2 − 1 3x − 1
− 7 x < 49
−3<x
7 x > − 49 5(3x − 1) − 20 < 2 (3x + 1)
5 x 15x − 5 − 20 < 6 x + 2
5. 2x − > + 10 x> −7
3 3 15x − 6 x < 25 + 2
6x − 5 > x + 30 ( )(
11. x − 4 x + 5 < x − 3 x − 2) ( )( ) 9 x < 27
6x − x > 30 + 5 x 2 + x − 20 < x 2 − 5x + 6 x< 3
5 x > 35 5x + x < 20 + 6
x>7 6 x < 26 1
>
1
−
1
16.
x 5x x2 + x x 2 − x x2 − 1
3x − 4 + < +2 26
6.
4 2
x< x − 1> x + 1− x
6
12x − 16 + x < 10x + 8 13 x>2
x<
12x + x − 10x < 16 + 8 3 17. x → Nº s. enteros
3x < 24
12. (2 x − 3) 2
+ 4 x 2 ( x − 7) < 4 ( x − 2)
x
3
x
+ 15 > + 1
x <8
4 x − 12 x + 9 + 4 x − 28 x < 4 x − 24 x + 48 x − 32
2 3 2 3 2 3 2
7. ( 2
)
x −1 − 7> x − 2 ( 2
) − 12 x − 48 x < − 9 − 32
2x + 90 > 3x + 6
90 − 6 > 3x − 2x
x − 2x + 1− 7 > x − 4 x + 4
2 2
− 60x < − 41
84 > x
− 6 − 4 > − 4x + 2x 60x > 41
Nº s. enteros menores
− 10 > − 2 x 41
x> que 84 Rta
10 < 2 x 60
5< x
EJERCICIO 165
1. x − 3 > 5 y 2x + 5 > 17 2. 5 − x > − 6 y 2x + 9 > 3x 3. 6x + 5 > 4x + 11 4 − 2x > 10 − 5x
x−3>5 2x + 5 > 17 − x> −6−5 −x>−9 2x > 6 3x > 6
x>5+3 2x > 12 x < 11 x <9 x>3 x>2
x>8 x>6 x < 9 Rta x > 3 Rta
x > 8 Rta

216. 4. 5x − 4 > 7x − 16 y 8 − 7x < 16 − 15x
8. ( x − 1)( x + 2) < ( x + 2)( x − 3) y (x + 3)(x + 5) > (x + 4)(x + 3)
12 > 2x 8x < 8
6>x x <1 x2 + x − 2 < x2 − x − 6 x 2 + 8 x + 15 > x 2 + 7 x + 12
x < 1 Rta 2x < − 4 x> − 3
x<−2
x x 3
5. − 3 > + 2 y 2x + < 6 x − 23 25 − 3< x < − 2 Rta
2 4 5
2x − 12 > x + 8 10x + 3 < 30x − 117 x+ 2 x− 2 x−1 x− 5
> y <
x > 20 120 < 20x 9. x+8 x+3 x+ 4 x−1
6<x
(x + 2)(x + 3) > (x − 2)(x + 8) (x − 1) < (x − 5)(x + 4)
2
x > 20 Rta
x 2 + 5x + 6 > x 2 + 6 x − 16 x 2 − 2 x + 1< x 2 − x − 20
6. 2x − 3 < x + 10 y 6x − 4 > 5x + 6
22 > x 21< x
2x − x < 10 + 3 6x − 5x > 6 + 4
21< x < 22 Rta
x < 13 x > 10
10 < x < 13 Rta 10. x → Nº s. enteros
x x 2 x
7. − 1> − 1 2 y 2x − 3 3 > x +
1
5
3x − 6 > + 4 y 4x + 8 < 3x + 15
4 3 5 2
3x − 12 > 4x − 18 10x − 18 > 5x + 2 6x − 12 > x + 8 x<7
18 − 12 > 4 x − 3x 5 x > 20 5x > 20
6>x x>4 x>4
4 < x < 6 Rta 4 < x < 7 Luego son 5 y 6 Rta
EJERCICIO 166
K
6. B =
4. x = KYZ
K
A = KBC 5. A = A
1. x = Ky 2. x = Ky 3.
4 = K ( 3)(6) B 1 K
9 = K6 2 = K3 30 = K (2)(5) K 3 1
=
4
=K 3=
9 2 30 18 5 2
=K =K =K
6 3 10 2 15 = K 1
= 2K
=K 3
3 2 3= K 9 K
x = ⋅8 24 = y 10 = Ky9 A= 1
=K
2 3 A = 3(7)( 4) 7
6
x = 12 3 ⋅ 24 10 =
2 15
=y A = 84 9
y9 A= =2 7
1 1
2 7 1 1 1
10 = 2 y = 6 ⇒ =
36 = y 12 A 12 6A
5= y ⇒ 6A = 12 ⇒ A = 2
K 11. A → Area del 12. Ap → Area piramide
7. A =
KB
8. x = (
K y 9. x = K y 2 − 1 10. x = 2 )
y −1 cuadrado a → apotema
C
( )
Z
K 12 48 = K 52 − 1 K d → Diagonal pb → perim. de la b.
8= 4K 9= 2
3
3=
8 48 = K 25 − 1 ( )
3 −1 (
A = Kd 2 ) Ap = Kapb
8 = 4K 24 = 4 K K 18m = K ( 6m)
2 2 480m2 = K (12m)(80m)
48 9=
2 =K 6 =K =K 8 480m2 = K (960m2 )
24 18m2
2⋅7 7 ⋅6 72 = K =K
A= 10 = 2= K 36m2 480m2
=K
( )
14 Z 72 960m2
x = 2 72 − 1 x= 2 1
A =1
Z=
42
x = 2 ⋅ 48
5 −1 2 (
=K
) 1
2
=K
10 1
A = (10m)
72
x = 96
2
Z=4 5 1 x= 2
1
Ap = ( 6m)( 40m)
24 2
x=3 100m2 240m2
A= Ap =
2 2
A = 50m2 Ap = 120m2

217. K
13. Vp → Vol. piramide x=
14. Ao → Area circulo 15. Lo → Long. circunf. 16.
y2
h → Altura r → Radio r → Radio K
Ab → Area base Lo = Kr 4= 2
Ao = Kr 2 6
Vp = KhAb 616 cm = K (14cm)
2 2 44cm = K ⋅ 7cm 36 ⋅ 4 = K
96m3 = K ⋅ 8m (36m2 ) 616 cm2
44
=K
144 = K
=K
96m = K (288m ) 7 144
9=
3 3
196 cm2
44 r y2
1 22 66cm =
=K =K 7 144
3 7 462 cm = 44r y2 =
9
Vp = ⋅ 12m (64m2 )
1
Ao =
22
(7 cm)2 462
cm = r 144
3 7 44 y=±
Ao = 22 ⋅ 7 cm2 9
768m3 10 2 cm = r
1
Vp = 12
3 Ao = 154 cm2 y= ±
3
Vp = 256 m3
y= ±4
EJERCICIO 167
6. C → Espacio ( h) 5 − 2x
1. A = KB 11. y =
t → Tiempo 3
10 = K 5
2 = K ⇒ A = 2B h → Altura (e) 12. F → Fuerza de atracc.
2. e → Espacio e= K⋅t 2 m → Masa cuerpo1
V → Velocidad m ' → Masa cuerpo 2
19 , 6 m = K ( 2s)
2
t → Tiempo d → Dis tan cia
19 , 6 m
e = KVt =K K ⋅m ⋅m '
4s2 F=
Si K = 1⇒ e = Vt d2
m
4 ,9 2 = K
3. Ar → Area rombo s
13. h → Altura ∆
D → Diag mayor e = 4 ,9 t2
A → Area del ∆
D ' → Diag menor
KmV 2 B → Base
A = KDD '
7. F = K⋅A
24 cm = K ⋅ 8 cm ⋅ 6 cm
2 r h=
B
24 cm2 = K ⋅ 48 cm2 8. y → Función
K ⋅ 20 cm2
1 x → Vble. indep. 10 cm =
=K y = 2x + 3
4 cm
2 10 cm = K ⋅ 5 cm
1
A = DD ' 9. L → Lado de un cuad. 2 =K
2
inscrito en un circulo 2A
KB h=
4. A = r → Radio B
C
L = K ⋅r
3B
K=3 ⇒A= 14. W → Energ. cinetica
C K= 2
m → Masa
5. C = Kr L= 2⋅ r
V → Velocidad
132 cm = K ⋅ 21cm
132 cm 10. y → Función W = KmV 2
=K x → Vble. indep. 1
21cm K=
44 x2 2
=K y= +2 1
7 2 W = mV 2
44 2
C= r
7

218. KB
15. B → Area base piramide 18. A =
K K C
V → Volumen 16. x = 17. x = 2
y y K ⋅ 24
h → Altura 3=
K K 4
KV 2= 3=
B= 5 22 12 = K ⋅ 24
h
10 = K 12 = K 1
K ⋅ 400 =K
100 = 10 12 2
12 x= x=
y y2 1
1. 200 = K ⋅ 400 B
A= 2
3=K C
3V B
B= A=
h 2C
EJERCICIO 173
2. Continuación
1. x + y = 5 3. Continuación
y=5−x 1− y
=m 1− 2 y
5 − x → Entero y + 2 x − 14 + y =
1 − y = 2m 3
Para que y sea entero 1− 2 y
y + el mayor valor que − y = 2m − 1 → Entero
3
y = 1 − 2m
podemos dar a x es 4 . 2− 4y
→ Entero
Por tan to las soluciones ⇒ 2 x + 3 (1 − 2m) = 37 3
enteras y + son: 2 x + 3 − 6m = 37 2 3 y 1y
− −
x =1 y = 4 2 x = 34 + 6m 3 3 3
2− y
x=2 y=3 2 (17 + 3m) − y+
x= 3
x=3 y=2 2 2− y
x = 4 y =1 x = 17 + 3m =m
3
y = 1 − 2m → m entero 2 − y = 3m
2. 2x + 3y = 37 x = 17 + 3m − y = 3m − 2
2x = 37 − 3y m = 0 y = 1 x = 17 sol y = 2 − 3m
37 − 3y m= 1 y = − 1 → no
x= 3x + 5(2 − 3m) = 43
2 m= −1 y = 3 x = 14 sol
3x + 10 − 15m = 43
x=
36 1 2y y
+ − − m= − 2 y = 5 x = 11 sol
2 2 2 2 3x = 33 + 15m
m= − 3 y = 7 x = 8 sol
x = 18 − y +
1− y
m = − 4 y = 9 x = 5 sol 3(11+ 5m)
2 x=
m = − 5 y = 11 x = 2 sol 3
1− y x = 11 + 5m
x − 18 + y = m = − 6 y = 13 x = − 1 → no
2 y = 2 − 3m
1− y 3. 3x + 5y = 43
→ Entero x = 11+ 5m
2 3x = 43 − 5y m= 0 x = 11 y = 2 sol
3 − 3y 43 − 5y
→ Entero x= m= 1 x = 16 y = − 1 → No
2 3
2 1 2y y m= − 1 x = 6 y = 5 sol
+ − − x=
42 1 3y 2y
+ − −
2 2 2 2 m= − 2 x = 1 y = 8 sol
3 3 3 3
1− y 1− 2y m= − 3 x = − 4 → No
1− y + → Entero x = 14 − y +
2 3
Continúa Continúa

219. 7. x + 5y = 24
4. x + 3 y = 9 5. Continuación
x = 24 − 5 y
x = 9 − 3y y = 24 − 7m
x = 24 + 1 − 1 − 5 y
9 − 3y → Entero x = 8m − 11
25 1 5 y
3 − y → Entero m=0 x = − 11 → No x= − −
5 5 5
3− y = m m =1 x = − 3 → No 1
− y = m− 3 m=2 x = 5 y = 10 sol x + = 5− y
5
y = 3− m m = 3 x = 13 y = 3 sol 5− y = m
x + 3(3 − m) = 9 m = 4 x = 21 y = − 4 → No − y = m− 5
x + 9 − 3m = 9 m = − 1 x = − 19 → No y = 5− m
x = 3m x + 5(5 − m) = 24
y = 3− m 6. 15x + 7 y = 136 x + 25 − 5m = 24
x = 3m 7 y = 136 − 15x x = 5m − 1
m= 0 x = 0 y = 3 → No 136 − 15x y = 5− m
y=
m= 1 x = 3 y=2 sol 7 x = 5m − 1
133 3 14 x x
m= 2 x = 6 y=1 sol y= + − − m= 0 x = − 1 → No
7 7 7 7
m = 3 x = 9 y = 0 → No 3− x m= 1 x=4 y= 4 sol
m = 4 x = 12 y = − 1 → No y = 19 − 2 x + m= 2 x=9 y=3 sol
7
3− x m= 3 x = 14 y= 2 sol
y − 19 + 2 x =
5. 7 x + 8 y = 115 7 m= 4 x = 19 y=1 sol
7 x = 115 − 8 y 3− x m= 5 x = 24 y= 0 → No
→ Entero
115 − 8 y
7 m= 6 x = 29 y = − 1 → No
x= 24 − 8x
7 → Entero m= − 1 x = − 6 → No
7
112 3 7 y y
x= + − − 24 7 x x 8. 9x + 11y = 203
7 7 7 7 − −
7 7 7 9x = 203 − 11y
3− y
x = 16 − y + 24 − x
7 − x+ 203 − 11y
7 x=
3− y 9
→ Entero 24 − x
7 =m 198 5 9y 2y
7 x= + − −
24 − 8 y 9 9 9 9
→ Entero 24 − x = 7m
7 5 − 2y
− x = 7m − 24 x = 22 − y +
24 7 y y 9
− − x = 24 − 7m
7 7 7 5 − 2y
x − 22 + y =
24 − y 15(24 − 7m) + 7 y = 136 9
− y+
7 360 − 105m + 7 y = 136 5 − 2y
24 − y → Entero
=m − 105m + 7 y = − 224 9
7 25 − 10y
24 − y = 7m 7 (15m − 32) → Entero
y= 9
− y = 7m − 24 7 18 7 9y y
y = 15m − 32 + − −
y = 24 − 7m 9 9 9 9
x = 24 − 7m
7 x + 8 (24 − 7m) = 115 2−y+
7−y
y = 15m − 32 9
7 x + 192 − 56m = 115
m= 0 x = 24 y = − 32 → No 7−y
7 x − 56m = − 77 =m
m= 1 x = 17 y = − 17 → No 9
7 (8m − 11) m= 2 x = 10 y = − 2 → No 7 − y = 9m
x=
7 m= 3 x= 3 y = 13 sol − y = 9m − 7
x = 8m − 11 m= 4 x= −4 → No y = 7 − 9m
Continúa m = − 1 x = − 31 → No Continúa
x = 31 y = − 47 → No

220. 8. Continuación 10. 8 x + 13 y = 162 11. Continuación
8x = 162 − 13 y
9 x + 11(7 − 9m) = 203 162 − 13y 10 2 5x x
x= + − −
9 x + 77 − 99m = 203 8 5 5 5 5
2− x
9 (14 + 11m)
160 2 8 y 5y
x= + − − 2− x+
x= 8 8 8 8 5
9 2− x
2 − 5y 2− x+
x = 14 + 11m x = 20 − y +
8 5
y = 7 − 9m 2− x
2 − 5y =m
x = 14 + 11m x − 20 + y = 5
8
m= 0 x = 14 y= 7 sol 2 − 5y 2 − x = 5m
m= 1 x = 25 y = − 2 → No → Entero − x = 5m − 2
8
m= − 1 x = 3 y = 16 sol 10 − 25 y x = 2 − 5m
→ Entero
m = − 2 x = − 8 → No 8 7 (2 − 5m) + 5 y = 104
10 24 y y
− − 14 − 35m + 5 y = 104
8 8 8
10 − y 5 (18 + 7m)
9. 5x + 2 y = 73 − 3y + y=
8 5
2 y = 73 − 5x
10 − y y = 18 + 7m
73 − 5x =m
y= 8 x = 12 − 5m
2 10 − y = 8m y = 18 + 7m
72 1 4 x x
y= + − − − y = 8m − 10 m= 0 x=2 y = 18 sol
2 2 2 2
1− x y = 10 − 8m m= 1 x= −3 → No
y = 36 − 2 x +
2 8 x + 13(10 − 8m) = 162 m= − 1 x= 7 y = 11 sol
1− x 8x + 130 − 104m = 162 m= − 2 x = 12 y=4 sol
y − 36 + 2 x =
8 (4 + 13m) m= − 3 x = 17 y = − 3 → No
2
1− x x=
=m 8
2
x = 4 + 13m 12. 10 x + y = 32
1− x = 2m
y = 10 − 8m y = 32 − 10 x
− x = 2m − 1
x = 4 + 13m y = 32 + 2 − 2 − 10 x
x = 1 − 2m
m= 0 x= 4 y = 10 30 2 10 x
5(1− 2m) + 2 y = 73 y= + −
sol
10 10 10
m= 1 x = 17 y = 2 sol
5 − 10m + 2 y = 73 2
m= 2 x = 30 y = − 6 → No y = 3+ − x
2 (34 + 5m) 10
y= m = − 1 x = − 9 → No 2
2
11. 7x + 5y = 104 y − = 3− x
y = 34 + 5m 10
5y = 104 − 7x 3− x = m
x = 1− 2m
104 − 7x − x = m− 3
y = 34 + 5m y=
5 x = 3− m
m= 0 x=1 y = 34 sol
10 (3 − m) + y = 32
100 4 5x 2x
m= 1 x= −1 → No y= + − −
5 5 5 5
m= − 1 x = 3 y = 29 sol 4 − 2x 30 − 10m + y = 32
y = 20 − x + y = 2 + 10m
m= − 2 x = 5 y = 24 sol 5
m= − 3 x = 7 y = 19 sol 4 − 2x m= 0 x= 3 y=2 sol
y − 20 + x =
m= − 4 x = 9 y = 14 sol 5 m= 1 x=2 y = 12 sol
m = − 5 x = 11 y=9 4 − 2x m= 2 x=1 y = 22 sol
sol → Entero
m = − 6 x = 13 y=4 sol 5 m= 3 x= 0 y = 32 → No
12 − 6x m= 4 x= −1 → No
m = − 7 x = 15 y = − 1 → No → Entero
5 m= − 1 x=4 y = − 8 → No
Continúa

221. 13. 9 x + 4 y = 86 14. Continuación 16. 10 x + 13 y = 294
4 y = 86 − 9 x 10 x = 294 − 13 y
294 − 13 y
y=
86 − 9 x 9 x + 11(45 − 9m) = 207 x=
4 10
9 x + 495 − 99m = 207
84 2 8x x 290 4 10 y 3 y
y = + −
4 4 4 4
− 9 (11m − 32) x= + −
10 10 10 10
−
x=
2− x 9 4 − 3y
y = 21 − 2 x + x = 11m − 32 x − 29 + y =
4 10
2− x y = 45 − 9m 4 − 3y
y − 21+ 2 x = → Entero
4 x = 11m − 32 10
2− x m= 0 x = − 32 → No 28 − 21y
=m → Entero
4 m= 1 x = − 21 → No 10
2 − x = 4m 28 20 y y
m= 2 x = − 10 → No − −
− x = 4m − 2 10 10 10
m= 3 x=1 y = 18 sol
x = 2 − 4m 28 − y
m= 4 x = 12 y=9 sol − 2y +
9 (2 − 4m) + 4 y = 86
10
m= 5 x = 23 y= 0 → No 28 − y
18 − 36m + 4 y = 86 m= 6 x = 34 y = − 9 → No =m
10
4 (17 + 9m) m = − 1 x = − 43 → No 28 − y = 10m
y=
4 − y = 10m − 28
y = 17 + 9m y = 28 − 10m
x = 2 − 4m 10 x + 13 (28 − 10m) = 294
m= 0 x=2 y = 17 sol 10 x + 364 − 130m = 294
15. 11x + 12 y = 354
m= 1 x = − 2 → No
11x = 354 − 12 y 10 (13m − 7)
m= − 1 x= 6 y= 8 sol x=
354 − 12 y 10
m= − 2 x = 10 y = − 1 → No x=
11 x = 13m − 7
x=
352 2 11y y
+ − − y = 28 − 10m
14. 9x + 11y = 207 11 11 11 11
9x = 207 − 11y m= 0 x= −7 → No
2− y
207 − 11y x = 32 − y + m=1 x=6 y = 18 sol
x= 11
9 2− y m= 2 x = 19 y = 8 sol
198 9 9y 2y x − 32 + y = m= 3 x = 32 y = − 2 → No
x= + − − 11
9 9 9 9 2− y m= −1 x = − 20 → No
9 − 2y =m
x = 22 − y + 11
9 2 − y = 11m 17. 11x + 8y = 300
9 − 2y − y = 11m − 2 8y = 300 − 11x
x − 22 + y =
9 y = 2 − 11m 300 − 11x
y=
9 − 2y
11x + 12 (2 − 11m) = 354
8
→ Entero
9 296 4 3x 8x
11x + 24 − 132m = 354 y= + − −
45 − 10y 8 8 8 8
→ Entero
9 11(30 + 12m) 4 − 3x
x= y = 37 − x +
45 9y y 11 8
− −
9 9 9 x = 30 + 12m 4 − 3x
y − 37 + x =
45 − y y = 2 − 11m 8
=m
9 m= 0 x = 30 y = 2 4 − 3x
sol → Entero
45 − y = 9m 8
m= 1 x = 42 y = − 9 → No
− y = 9m − 45 12 − 9x
m = − 1 x = 18 y = 13 sol → Entero
y = 45 − 9m 8
m= − 2 x = 6 y = 24 sol
Continúa
Continúa m = − 3 x = − 6 → No

222. Continuación
18. Continuación 20. Continuación
12 8x x
− − y = 192 − 21m
17.
8 8 8 2 + y = 5m
m = 0 x = − 195 → No
12 − x y = 5m − 2
=m m = 7 x = − 20 → No
8
m=8 x = 5 y = 24 sol 5x − 8 (5m − 2) = 1
12 − x = 8m
m = 9 x = 30 y = 3 sol 5x − 40m + 16 = 1
− x = 8m − 12
m = 10 x = 55 y = − 18 → No 5 (8m − 3)
x = 12 − 8m x=
m = − 1 x = − 220 → No 5
11(12 − 8m) + 8 y = 300 x = 8m − 3
132 − 88m + 8 y = 300 19. 3x − 4 y = 5
y = 5m − 2
3x = 5 + 4 y
8 (21 + 11m) m= 1 x=5 y= 3 sol
y= 5+ 4y
8 x= m= 2 x = 13 y = 8 sol
3
y = 21 + 11m m= 3 x = 21 y = 13 sol
2 3 3y y
x = 12 − 8m x= + + +
3 3 3 3
m= 0 x = 12 y = 21 sol 2+ y
m= 1 x=4 y = 32 sol x = 1+ y +
3
m= 2 x= −4 → No 2+ y 21. 7 x − 13 y = 43
x − 1− y =
m= − 1 x = 20 y = 10 sol 3 7 x = 43 + 13 y
m= − 2 x = 28 y = − 1 → No 2+ y 43 + 13 y
=m x=
3 7
2 + y = 3m
18. 21x + 25 y = 705 x=
42 1 7 y 6 y
+ + +
21x = 705 − 25 y y = 3m − 2 7 7 7 7
705 − 25 y 3x − 4 (3m − 2) = 5 1+ 6 y
x= x = 6+ y +
21 3x − 12m + 8 = 5 7
1+ 6 y
x=
693 12 21y 4 y
+ − − 3 (4m − 1) x − 6− y =
21 21 21 21 x= 7
12 − 4 y
3 1+ 6y
x = 33 − y + x = 4m − 1 → Entero
21 7
y = 3m − 2 6 + 36 y
12 − 4 y → Entero
→ Entero m = 1 x = 3 y = 1 sol 7
21
192 − 64 y m = 2 x = 7 y = 4 sol 6 35 y y
→ Entero + +
21 m = 3 x = 11 y = 7 sol 7 7 7
6+ y
192 63 y y
− − 5y +
21 21 21 20. 5x − 8y = 1 7
192 − y 5x = 1+ 8y 6+ y
− 3y + =m
21 1+ 8y 7
x= 6 + y = 7m
192 − y 5
=m 1+ 8y y = 7m − 6
21 → Entero
192 − y = 21m 5 7 x − 13(7m − 6) = 43
− y = 21m − 192 2 + 16y
→ Entero 7 x − 91m + 78 = 43
5
7 (13m − 5)
y = 192 − 21m
2 15y y
21x + 25 (192 − 21m) = 705 + + x=
7
5 5 5
21x + 4 .800 − 525m = 705 2+y x = 13m − 5
3y +
21(25m − 195) 5 y = 7m − 6
x= 2+y m= 1 x = 8 y=1 sol
21 =m
x = 25m − 195 5 m = 2 x = 21 y = 8 sol
m = 3 x = 34 y = 15 sol
Continúa Continúa

223. 22. 11x − 12 y = 0 24. 7 x − 11y = 83 25. Continuación
11x = 12 y 7 x = 83 + 11y 3+ y
4 + 3y +
83 + 11y 8
12 y
x= x= 3+ y
11 7 =m
77 6 7 y 4 y 8
11y y
x= + x= + + + 3 + y = 8m
11 11 7 7 7 7
6+ 4y y = 8m − 3
y
x = 11 + y +
x− y=
11 7 8 x − 13 (8m − 3) = 407
y 6+ 4y 8x − 104m + 39 = 407
=m x − 11− y =
8 (13m + 46)
11 7
y = 11m 6+ 4y x=
→ Entero 8
11x − 12 (11m) = 0 7
x = 13m + 46
12 + 8 y
11x − 132m = 0 → Entero y = 8m − 3
7
x = 12m 7 5 7y y m = 1 x = 59 y = 5 sol
y = 11m + + +
7 7 7 7 m = 2 x = 72 y = 13 sol
m = 1 x = 12 y = 11 sol 5+ y m = 3 x = 85 y = 21 sol
1+ y +
m = 2 x = 24 y = 22 sol 7
26. 20 y − 23x = 411
m = 3 x = 36 y = 33 sol 5+ y
=m 20 y = 411 + 23x
7
411 + 23x
23. 14 x − 17 y = 32 5 + y = 7m y=
20
14 x = 32 + 17 y y = 7m − 5
400 11 20 x 3x
x=
32 + 17 y 7 x − 11(7m − 5) = 83 y= + +
20 20 20 20
+
14 7 x − 77m + 55 = 83 11 + 3x
28 4 14 y 3 y y = 20 + x +
x= + + + 7 (11m + 4) 20
14 14 14 14 x= 11 + 3x
4 + 3y 7 y − 20 − x =
x= 2+ y+ x = 11m + 4 20
14 11 + 3x
4 + 3y y = 7m − 5 → Entero
→ Entero 20
14 m = 1 x = 15 y = 2 sol 77 + 21x
20 + 15 y m = 2 x = 26 y = 9 sol → Entero
→ Entero 20
14 m = 3 x = 37 y = 16 sol 60 17 20 x x
14 6 14 y y + + +
+ + + 20 20 20 20
14 14 14 14 25. 8x − 13y = 407 17 + x
6+ y 8x = 407 + 13y 3+ x +
1+ y + 20
14 407 + 13y 17 + x
6+ y x= =m
=m 8 20
14 400 7 8y 5y 17 + x = 20m
6 + y = 14m x= + + +
8 8 8 8 x = 20m − 17
y = 14m − 6 7 + 5y
x = 50 + y + 20 y − 23 (20m − 17) = 411
14 x − 17 (14m − 6) = 32 8
7 + 5y 20 y − 460m + 391 = 411
14 x − 238m + 102 = 32 x − 50 − y =
20 (23m + 1)
14 (17m − 5)
8
y=
x= 7 + 5y 20
14 → Entero
8 x = 20m − 17
x = 17m − 5
35 + 25y y = 23m + 1
y = 14m − 6 → Entero
8 m = 1 x = 3 y = 24 sol
m = 1 x = 12 y = 8 sol 32 3 24y y
+ + + m = 2 x = 23 y = 47 sol
m = 2 x = 29 y = 22 sol 8 8 8 8
m = 3 x = 43 y = 70 sol
m = 3 x = 46 y = 36 sol Continúa

224. 27. 5 y − 7 x = 312 1. Continuación 2. Continuación
2 2y y y = 1− m
5 y = 312 + 7 x − −
2 2 2 m=0 x = 7 y = 1 sol
312 + 7 x
y= 2− y m =1 x = 9 y = 0 → No
5 − y+
310 2 5x 2 x
2 m = − 1 x = 5 y = 2 sol
y= + + + 2− y m = − 2 x = 3 y = 3 sol
5 5 5 5 =m
2
2 + 2x m = − 3 x = 1 y = 4 sol
y = 62 + x + 2 − y = 2m
5 m = − 4 x = − 1 → No
− y = 2m − 2
2 + 2x 1 de $ 5 y 4 de $ 10
y − 62 − x = y = 2 − 2m
5 3 de $ 5 y 3 de $ 10
2 + 2x 2 x + 5 (2 − 2m) = 42
→ Entero 5 de $ 5 y 2 de $ 10
5 2 x + 10 − 10m = 42
6 + 6x 7 de $ 5 y 1 de $ 10
→ Entero 2 (5m + 16) 3. 5x + 3 y = 62
5 x=
5 1 5x x 2 3y = 62 − 5x
+ + + x = 5m + 16
5 5 5 5 62 − 5x
y = 2 − 2m y=
1+ x 3
1+ x + m= 0 x = 16 y=2 sol
5 60 2 3x 2 x
m= 1 x = 21 y=0 → No
y= + − −
1+ x 3 3 3 3
=m
5 m= 2 x = 26 y = − 2 → No 2 − 2x
y = 20 − x +
1 + x = 5m m= −1 x = 11 y = 4 sol 3
x = 5m − 1 m= − 2 x = 6 y=6 sol 2 − 2x
y − 20 + x =
5 y − 7 (5m − 1) = 312 m= − 3 x =1 y=8 sol 3
2 − 2x
5 y − 35m + 7 = 312 m = − 4 x = − 4 → No → Entero
3
5 (7m + 61)
1 de $ 2 y 8 de $ 5
10 − 10 x
y= 6 de $ 2 y 6 de $ 5 → Entero
5 3
y = 7m + 61 11 de $ 2 y 4 de $ 5 ó 9 1 9x x
+ − −
x = 5m − 1 16 de $ 2 y 2 de $ 5 3 3 3 3
m = 1 x = 4 y = 68 2. x → Monedas de $ 5 1− x
3 − 3x +
y → Monedas de $ 10 3
m = 2 x = 9 y = 75
1− x
m = 3 x = 14 y = 82 5x + 10 y = 45 =m
3
5x = 45 − 10 y
1− x = 3m
EJERCICIO 174 45 − 10 y
x= − x = 3m − 1
1. x → Billetes $ 2 5
x = 1 − 3m
40 5 5 y 5 y
y → Billetes $ 5 x= + −
5 5 5
−
5 5(1 − 3m) + 3 y = 62
2x + 5y = 42
5 − 5y 5 − 15m + 3 y = 62
2x = 42 − 5y x = 8− y +
5 3(5m + 19)
42 − 5y x − 8 + y = 1− y y=
x= 3
2 1− y = m
40 2 3y 2y y = 5m + 19
x= + − − − y = m− 1 x = 1 − 3m
2 2 2 2
y = 1− m m= 0 x = 1 y = 19 sol
2 − 3y
5x + 10 (1 − m) = 45
x = 20 − y +
2 m= 1 x= −2 → No
2 − 3y 5x + 10 − 10m = 45 m= − 1 x = 4 y = 14 sol
x − 20 + y =
2 5 (2m + 7) m= − 2 x = 7 y = 9 sol
2 − 3y x=
→ Entero 5 m = − 3 x = 10 y = 4 sol
2 x = 2m + 7 1 y 19 ; 4 y 14 ; 7 y 9 ;
Continúa Continúa 10 y 4

225. 5. x → Metros de lana 6. x → niños
4. x → Sombreros y → adultos
y → Metros de seda
y → Pares de zapatos
1, 50x + 2 , 50 y = 42 0 , 45x + y = 17 (20)
8 x + 15 y = 340
→ Si multiplico por 2 la 9 x + 20 y = 340
8 x = 340 − 15 y
ecuación inicial no se 9 x = 340 − 20 y
340 − 15 y
x= altera . Luego 340 − 20 y
8 x=
336 4 8 y 7 y 3x + 5y = 84 9
x= + − − 3x = 84 − 5y 333 7 18 y 2 y
8 8 8 8 x= + − −
9 9 9 9
4 − 7y 84 − 5y
x = 42 − y + x= 7 − 2y
8 3 x = 37 − 2 y +
9
4 − 7y 81 3 3y 2 y
x − 42 + y = x= + − − 7 − 2y
8 3 3 3 3 x − 37 + 2 y =
9
4 − 7y 3− 2 y
→ Entero x = 27 − y + 7 − 2y
8 3 → Entero
9
28 − 49 y 3− 2 y
→ Entero x − 27 + y = 98 − 28 y
8 3 → Entero
3− 2y 9
24 4 48 y y
+ − − → Entero 90 8 27 y y
8 8 8 8 3 + − −
15 − 10 y 9 9 9 9
4− y
3− 6y + → Entero 8− y
8 3 10 − 3 y +
9
4− y 12 3 9 y y
=m + − − 8− y
8 3 3 3 3 =m
3− y 9
4 − y = 8m
4 − 3y + 8 − y = 9m
− y = 8m − 4 3
3− y − y = 9m − 8
y = 4 − 8m =m y = 8 − 9m
8 x + 15(4 − 8m) = 340
3
3 − y = 3m 9 x + 20 (8 − 9m) = 340
8 x + 60 − 120m = 340 − y = 3m − 3 9 x + 160 − 180m = 340
8 (15m + 35) y = 3 − 3m
x= 9 (20m + 20)
8 3x + 5(3 − 3m) = 84 x=
9
x = 15m + 35
3x + 15 − 15m = 84 x = 20m + 20
y = 4 − 8m
3(5m + 23) y = 8 − 9m
m = 0 x = 35 y= 4 sol x=
3 m= 0 x = 20 y = 8 sol
m= 1 x = 50 y= − 4 → No
x = 5m + 23 m=1 x=0 y = − 1 → No
m = − 1 x = 20 y = 12 sol
y = 3 − 3m m= −1 x= 0 y = 17 → No
m= − 2 x = 5 y = 20 sol
m= 0 x = 23 y = 3 sol m= − 2 x = − 20 → No
m = − 3 x = − 10 → No
m= 1 x = 28 y = 0 → No 20 niños y 8 adultos
5 sombreros y 20 pares de zap.
m = − 1 x = 18 y = 6 sol
20 sombreros y 12 pares de zap.
m = − 2 x = 13 y = 9 sol 7. x → Caballos
35 sombreros y 4 pares de zap. y → Vacas
m= − 3 x = 8 y = 12 sol
m= − 4 x = 3 y = 15 sol 460 x + 440 y = 41. 000 (÷ 20)
m = − 5 x = − 2 → No 23x + 22 y = 2 . 050
3m de lana y 15m de seda 22 y = 2 . 050 − 23x
8m de lana y 12m de seda 2 . 050 − 23x
y=
13m de lana y 9m de seda 22
2 . 046 4 22 x x
18m de lana y 6m de seda y= + − −
22 22 22 22
23m de lana y 3m de seda
Continúa

226. 7. Continuación
8. Continuación
4− x
y = 93 − x + y = 3m − 1
22
4− x m = 0 x = − 1 → No
=m
22 m = 1 x = 4 y = 2 sol
4 − x = 22m Los Nº s son 4 y 2
− x = 22m − 4
x = 4 − 22m
23 (4 − 22m) + 22 y = 2 . 050
92 − 506m + 22 y = 2 . 050 9. x → Monedas de 0 , 25
y → Monedas de 0 ,10
22 (23m + 89)
y= 0 , 25x + 0 ,10 y = 2 ,10 (100)
22
y = 23m + 89 25x + 10 y = 210
x = 4 − 22m 10 y = 210 − 25x
m= 0 x = 4 y = 89 sol 210 − 25x
y=
m= 1 x = − 18 → No 10
200 10 20 x 5x
m= − 1 x = 26 y = 66 sol y= + − −
10 10 10 10
m = − 2 x = 48 y = 43 sol
10 − 5x
m = − 3 x = 70 y = 20 sol y = 20 − 2 x +
10
m = − 4 x = 92 y = − 3 → No 2− x
4 caballos y 89 vacas y − 20 + 2 x =
2
26 caballos y 66 vacas 2− x
=m
48 caballos y 43 vacas 2
70 caballos y 20 vacas 2 − x = 2m
3x + 3 = 5 y + 5 − x = 2m − 2
8.
3x − 5 y = 2 x = 2 − 2m
3x = 2 + 5 y 25(2 − 2m) + 10 y = 210
2 + 5y 50 − 50m + 10 y = 210
x=
3 10 (5m + 16)
2 + 5y y=
→ Entero 10
3 y = 5m + 16
4 + 10 y x = 2 − 2m
→ Entero
3
m= 0 x=2 y = 16 sol
3 1 9y y
+ + + m= 1 x=0 → No
3 3 3 3
1+ y m= − 1 x = 4 y = 11 sol
1 + 3y + m= − 2 x = 6 y = 6 sol
3
1+ y m= − 3 x = 8 y = 1 sol
=m
3 m = − 4 x = 10 y = − 4 → No
1 + y = 3m 2 mon. de 0 , 25 y 16 mon. de 0 ,10
y = 3m − 1 4 mon. de 0 , 25 y 11 mon. de 0 ,10
3x − 5 (3m − 1) = 2 6 mon. de 0 , 25 y 6 mon. de 0 ,10
3x − 15m + 5 = 2 8 mon. de 0 , 25 y 1 mon. de 0 ,10
3 (5m − 1)
x=
3
x = 5m − 1
Continúa

227. EJERCICIO 175
23. x − y = 2 con 3x + y = 18
21. x + 1= 0 y−4=0
x=0 y=−2 x = 0 y = 18
x = −1 y=4
x=2 y=0 x=6 y=0
Escala 1:2
y=4
,4)
(-1
18
y= +
3x
0
2
(5,3)
y =
x=-1
x-
0
Intersección → (− 1 , 4)
22. 3x = 2y con x+y=5 Intersección → (5 , 3)
3x − 2 y = 0 x=0 y=5
x =1 y =12
1
x=5 y=0
24. 2x − y = 0 con 5x + 4y = − 26
x =1 y = 2 x=0 y= −6 2
1
x=−2 y=−4
0
y=
2y
-
=
2x
3x
x+
0
x+
x+
x+
x+
5x
+
y=
y=
y=
y=
y=
4y
(2,3)
5
=
-2
6
6
6
6
6
0
(-2,-4)
Intersección → (2 , 3) Intersección → (− 2 , − 4)

228. 25. 5x + 6y = − 9 con 4x − 3y = 24
27. 3x + 8y = 28 con 5x − 2y = − 30
x = 0 y = −1 21
x=0 y= −8
x=4 y=2 x=0 y = 15
x=3 y=−4 x=3 y=−4
x=0 y=3 1
2 x=−2 y = 10
Escala 1:2
5x 0
+
6y
-30
=
-9
=
2y
-
(3,-4)
5x
3x +
24
)
8y =
,5
28
=
(- 4
y
-3
4x
0
Intersección → (3 , − 4)
Intersección → (− 4 , 5)
26. x + 5 = 0 con 6x − 7y = − 9 28. y − 4 = 0 con 7x + 2y = 22
x=−5 x=2 y=3 y=4 x = 0 y = 11
x=−5 y=−3 x=2 y=4
-9
7x
=
x+
x+
x+
x+
y
+
-7
2y
2
2
2
2
x+5=0
6x
= 22
2
2
2
2
)
0
,4
y-4=0
(2
(-5,-3)
0
Intersección → (− 5 , − 3) Intersección → (2 , 4)

229. 29. 6x = − 5y con 4x − 3y = − 38 30. 5x − 2y = − 14 con 8x − 5y = − 17
6x + 5y = 0 x = − 2 y = 10 x=0 y=7 x =1 y=5
x=5 y=−6 x =1 y = 14 x=−2 y=2 x=−4 y=−3
Escala 1:2
38
-
=
y
-3
-14
4x
-17
=
(-5 ,6)
2y
=
5y
-
5x
-
8x
0 6x
= 0
-5
y
(-4 ,-3 )
Intersección → (− 5 , 6) Intersección → (− 4 , − 3)
EJERCICIO 176
1. x + 6 y = 27 ; 7 x − 3 y = 9 2. 3x − 2 y = − 2 ; 5x + 8 y = − 60 3. 3x + 5 y = 7 ; 2x − y = − 4
x = 27 − 6 y 7 x = 9 + 3 y 3x = − 2 + 2 y 5x = − 60 − 8 y 5 y = 7 − 3x − y = − 4 − 2x
9 + 3y 2 − 2y 60 + 8 y 7 − 3x
x= x= − x= − y= y = 4 + 2x
7 3 5 5
9 + 3y 2− 2y 60 + 8 y 7 − 3x
27 − 6 y = − =− = 4 + 2x
7 3 5 5
7 (27 − 6 y ) = 9 + 3y 5 (2 − 2 y ) = 3 (60 + 8 y ) 7 − 3x = 5(4 + 2 x)
189 − 42 y = 9 + 3 y 10 − 10 y = 180 + 24 y 7 − 3x = 20 + 10 x
180 = 45 y − 170 = 34 y − 13 = 13x
4= y − 5= y − 1= x
x + 6 ( 4) = 27 3 x − 2 (− 5) = − 2 2 (− 1) − y = − 4
x + 24 = 27 3x + 10 = − 2 − 2− y= − 4
x=3 3x = − 12 − y= −2
sol : x = 3 y = 4 x= −4 y=2
sol : x = − 4 y= −5 sol : x = − 1 y = 2

230. 4. 7 x − 4 y = 5 ; 9 x + 8 y = 13
7x = 5+ 4 y 9 x = 13 − 8 y
5+ 4 y 13 − 8 y 7. 15x − 11y = − 87
x= x=
7 9 15x = 11y − 87
9 (5 + 4 y ) = 7 (13 − 8 y ) 11y − 87
x=
45 + 36 y = 91 − 56 y 15
92 y = 46
− 12 x − 5 y = − 27
46 1
y= = 12 x = 27 − 5 y
92 2
 1 27 − 5 y
9 x + 8   = 13 x=
 2 12
9 x + 4 = 13 12 (11y − 87) = 15 (27 − 5 y)
9x = 9 132 y − 1. 044 = 405 − 75 y
x=1 207 y = 1. 449
1 1. 449
sol : x = 1 y = y= =7
2 207
5. 9 x + 16 y = 7 ; 4 y − 3x = 0 12 x + 5 (7) = 27
16 y = 7 − 9 x 4 y = 3x 12 x + 35 = 27
7 − 9x 3x 12 x = − 8
y= y=
16 4 8 2
x= − =−
4 (7 − 9 x) = 16 ( 3x ) 12 3
2
28 − 36 x = 48x sol : x = − y=7
3
28 = 84 x
28 1
x= =
84 3
4 y − 1= 0
4y = 1
8. 7 x + 9 y = 42
y=
1 9 y = 42 − 7 x
4 42 − 7 x
1 1 y=
sol : x = y= 9
3 4
6. 14 x − 11y = − 29 ; 13 y − 8 x = 30 12 x + 10 y = − 4
14 x = 11y − 29 − 8 x = 30 − 13y 10 y = − 4 − 12 x
11y − 29 13 y − 30 4 + 12 x
x= x= y= −
14 8 10
8 (11y − 29) = 14 (13y − 30) 10 (42 − 7 x ) = − 9 (4 + 12 x )
88 y − 232 = 182 y − 420 420 − 70 x = − 36 − 108x
188 = 94 y 38 x = − 456
2= y x = − 12
13(2) − 8 x = 30 12 (− 12) + 10 y = − 4
26 − 8 x = 30 − 144 + 10 y = − 4
− 8x = 4 10 y = 140
1 y = 14
x= −
2 sol : x = − 12 y = 14
1
sol : x = − y=2
2

231. 9. 6 x − 18 y = − 85 ; 24 x − 5 y = − 5
− 18 y = − 6 x − 85 − 5 y = − 5 − 24 x EJERCICIO 177
6 x + 85 5 + 24 x
y= y=
18 5
5 (6 x + 85) = 18 (5 + 24 x ) 1. x + 3 y = 6 ; 5x − 2 y = 13
30 x + 425 = 90 + 432 x
x = 6 − 3y
335 = 402 x 5 (6 − 3 y ) − 2 y = 13
x=
335 5
=
30 − 15 y − 2 y = 13
402 6 − 17 y = − 17
 5
6   − 18 y = − 85
 6 y=1
5 − 18 y = − 85 x + 3 (1) = 6
− 18 y = − 90 x + 3= 6
y=5 x=3
sol : x =
5
y=5 sol : x = 3 y = 1
6
4. x − 5 y = 8 ; − 7 x + 8 y = 25
2. 5x + 7 y = − 1 ; − 3x + 4 y = − 24 8 y = 25 + 7 x
5x = − 1 − 7 y 25 + 7 x
y=
1+ 7 y 8
x= −
5  25 + 7 x 
x − 5  =8
 1+ 7 y   8 
3  + 4 y = − 24
 5  8 x − 5(25 + 7 x ) = 64
3 + 21y 8x − 125 − 35x = 64
+ 4 y = − 24 6. 10 x + 18 y = − 11 ; 16 x − 9 y = − 5
5
− 27 x = 189 10 x = − 11 − 18 y
3 + 21y + 20 y = − 120
x= −7 11 + 18 y
41y = − 123 x=−
− 7 − 5y = 8 10
y= −3
− 5 y = 15  11 + 18 y 
− 3x + 4 (− 3) = − 24 − 16 
 10 
 − 9y = − 5
y= −3
− 3x − 12 = − 24 sol : x = − 7 y = − 3 − 16 (11 + 18 y) − 90 y = − 50
− 3x = − 12
5. 15x + 11y = 32 ; 7 y − 9 x = 8 − 176 − 288 y − 90 y = − 50
x=4
7 y = 8 + 9x − 378 y = 126
sol : x = 4 y = − 3
8 + 9x 126 1
3. 3x + 4 y = 8 ; 8 x − 9 y = − 77 y= y= − =−
7 378 3
4 y = 8 − 3x
 8 + 9x   1
8 − 3x 15x + 11  = 32 10 x + 18  −  = − 11
y=  7   3
105x + 11(8 + 9 x) = 224
4 10 x − 6 = − 11
 8 − 3x 
8x − 9   = − 77 105x + 88 + 99 x = 224 10x = − 5
 4 
204 x = 136 1
32 x − 9 (8 − 3x ) = − 308 x= −
2
136 2
32 x − 72 + 27 x = − 308 x= = 1 1
204 3 sol : x = − y= −
59 x = − 236 2 3
 2
x=−4 15   + 11y = 32
 3
3 (− 4) + 4 y = 8 10 + 11y = 32
− 12 + 4 y = 8 11y = 22
4 y = 20 y= 2
y=5 2
sol : x= y=2
sol : x= −4 y=5 3

232. 8. 32 x − 25 y = 13 ; 16 x + 15 y = 1
16 x = 1 − 15 y
7. 4 x + 5 y = 5 ; − 4 x − 10 y = − 7 1 − 15 y
10 y = 7 − 4 x x=
16
7 − 4x
y=  1 − 15 y 
32   − 25 y = 13 9. 11x − 13y = − 163 ; − 8x + 7 y = 94
10  16  11x = − 163 + 13y
 7 − 4x 
4x + 5  =5 2 (1 − 15 y ) − 25 y = 13 163 − 13y
 10  x= −
2 − 30 y − 25 y = 13 11
8 x + 7 − 4 x = 10
2 − 55 y = 13  163 − 13y 
4x = 3 8  + 7 y = 94
 11 
− 55 y = 11
8 (163 − 13y ) + 77 y = 1. 034
3
x= 1
4 y= − 1. 304 − 104 y + 77 y = 1. 034
 3 5
4   + 5y = 5  1 − 27 y = − 270
 4 16 x + 15  −  = 1
 5 y = 10
3 + 5y = 5
5y = 2
16 x − 3 = 1 11x − 13(10) = − 163
2 16 x = 4 11x − 130 = − 163
y= 1 11x = − 33
5 x=
3 2 4 x= − 3
sol : x = y= 1 1
4 5 sol : x= y= − sol : x= − 3 y = 10
4 5
EJERCICIO 178
6x − 5y = − 9 ( 2) 3x − 4 y = 41 ( 3)
1. 3. 5. 10 x − 3 y = 36
4 x + 3y = 13 (− 3) 11x + 6 y = 47 (2)
2x + 5y = − 4 (− 5)
12 x − 10 y = − 18 9 x − 12 y = 123
10 x − 3 y = 36
− 12 x − 9 y = − 39 22 x + 12 y = 94 − 10 x − 25 y = 20
− 19 y = − 57 31x = 217 − 28 y = 56
y= 3 x= 7 y= −2
4 x + 3( 3) = 13 3(7) − 4 y = 41 10 x − 3 (− 2) = 36
4 x + 9 = 13 21 − 4 y = 41
10 x = 30
4x = 4 − 4 y = 20 x=3
x=1 y= −5 sol : x = 3 y = − 2
sol : x = 1 y = 3 sol : x = 7 y = − 5
6. 11x − 9 y = 2 (5)
2. 7 x − 15 y = 1 9 x + 11y = − 14 ( 4)
− x − 6 y = 8 ( 7)
4. 13x − 15y = − 2 (− 3)
6 x − 5 y = − 34 (− 6) 55x − 45 y = 10
7 x − 15 y = 1
36 x + 44 y = − 56 − 39 x + 45 y = 6
− 7 x − 42 y = 56
− 36 x + 30 y = 204
16x = 16
− 57 y = 57
74 y = 148 x=1
y= −1
y=2 11(1) − 9 y = 2
7 x − 15 (− 1) = 1 6 x − 5 (2) = − 34 11 − 9 y = 2
7 x + 15 = 1 6 x − 10 = − 34 − 9y = − 9
7 x = − 14 6 x = − 24 y=1
x=−2 x= −4 sol : x = 1 y=1
sol : x = − 2 y = − 1 sol : x = − 4 y = 2

233. 12 x − 14 y = 20 ( 7)
7. 18 x + 5y = − 11 ( 2) 9.
11. 36x − 11y = − 14 (2)
− 14 x + 12 y = − 19 ( 6)
12 x + 11y = 31 (− 3) 24 x − 17 y = 10 (− 3)
84 x − 98 y = 140
36 x + 10 y = − 22 72 x − 22 y = − 28
− 84 x + 72 y = − 114
− 36 x − 33 y = − 93 − 72 x + 51y = − 30
− 26 y = 26
− 23 y = − 115 29 y = − 58
y= −1
y=5 y= −2
12 x − 14 (− 1) = 20
18 x + 5(5) = − 11 36x − 11(− 2) = − 14
12 x + 14 = 20
18 x + 25 = − 11 36 x + 22 = − 14
12 x = 6
18 x = − 36 36 x = − 36
1
x= − 2 x= x= −1
2
sol : x = − 2 y=5 sol : x = − 1 y = − 2
1
sol : x = y= −1
8. 9x + 7y = − 4 (− 11) 2 12. 12 x − 17 y = 104 (5)
11x − 13y = − 48 ( 9) 10. 15x − y = 40 (8) 15x + 19 y = − 31 (− 4)
19 x + 8 y = 236
− 99 x − 77 y = 44 60 x − 85 y = 520
120x − 8 y = 320
99 x − 117 y = − 432 − 60 x − 76 y = 124
19 x + 8 y = 236
− 194 y = − 388 − 161y = 644
139 x = 556 y= −4
y=2
x=4
9 x + 7 ( 2) = − 4 12 x − 17 (− 4) = 104
15 (4) − y = 40
9 x + 14 = − 4 12 x + 68 = 104
60 − y = 40
9 x = − 18 12 x = 36
− y = − 20
x= −2 x=3
y = 20
sol : x = − 2 y = 2 sol : x = 3 y = − 4
sol : x = 4 y = 20
EJERCICIO 179
1. 8x − 5 = 7 y − 9 2. x − 1 = y + 1 3. 3 ( x + 2) = 2 y 2 ( y + 5) = 7 x
8x − 7 y = − 9 + 5 x− y= 2 3x + 6 = 2 y 2 y + 10 = 7 x
8x − 7 y = − 4 x − 3 = 3y − 7 3x − 2 y = − 6 7 x − 2 y = 10
6x = 3y + 6 x − 3y = − 4 3x − 2 y = − 6 ; 7 x − 2 y = 10
6x − 3y = 6 x− y = 2 3x = − 6 + 2 y 7 x = 10 + 2 y
8x − 7 y = − 4 (3) x − 3y = − 4 (− 1) x= −
6− 2y
x=
10 + 2 y
6x − 3y = 6 ( − 4) x− y = 2 3 7
− x + 3y = 4 − 7 (6 − 2 y ) = 3(10 + 2 y )
24 x − 21y = − 12
− 24 x + 12 y = − 24 − 42 + 14 y = 30 + 6 y
2y = 6
8 y = 72
− 9 y = − 36 y=3
y=9
y=4 x − 3= 2
7 x − 2 ( 9) = 10
6 x − 3 ( 4) = 6 x=5
7 x − 18 = 10
6 x − 12 = 6 sol : x = 5 y = 3
7 x = 28
6 x = 18
x=4
x=3
sol : x = 4 y = 9
sol : x = 3 y = 4

234. 4. x − 1 = 2 ( y + 6) 6. Continuación 8. Continuación
x − 1 = 2 y + 12 − 5 y = − 40  30 
x − 2 y = 13 − 2x + 7  −  = − 6
y=8  89 
x = 13 + 2 y − 178 x − 210 = − 534
x − 2 (8) = − 10
x + 6 = 3 (1 − 2 y) x − 16 = − 10 − 178 x = − 324
x + 6 = 3− 6y x=6 324
x= = 1 89
73
x + 6y = − 3 178
sol : x = 6 y = 8
x = − 3− 6y 30
sol : x = 1 89
73
y= −
13 + 2 y = − 3 − 6 y 89
7. ( x − y ) − (6 x + 8 y) = − (10 x + 5 y + 3)
− 3 − 6 y − 2 y = 13 9. 2 ( x + 5) = 4 ( y − 4 x )
− 8 y = 16 x − y − 6 x − 8 y = − 10 x − 5 y − 3
2 x + 10 = 4 y − 16 x
y= −2 − 5x − 9 y = − 10 x − 5 y − 3
18 x − 4 y = − 10
x − 2 (− 2) = 13 5x − 4 y = − 3
10 ( y − x) = 11y − 12 x
x + 4 = 13 (x + y) − (9 y − 11x) = 2 y − 2 x 10 y − 10 x = 11y − 12 x
x=9 x + y − 9 y + 11x = 2 y − 2 x 2x − y = 0
sol : x = 9 y = − 2 12 x − 8 y = 2 y − 2 x 18 x − 4 y = − 10
5. 30 − (8 − x ) = 2 y + 30 14 x − 10 y = 0
2x − y = 0 (− 9)
30 − 8 + x = 2 y + 30 5x − 4 y = − 3 (5)
18 x − 4 y = − 10
x − 2y = 8 14 x − 10 y = 0 (− 2) − 18 x + 9 y = 0
5x − 29 = x − (5 − 4 y ) 25x − 20 y = − 15 5 y = − 10
5x − 29 = x − 5 + 4 y − 28x + 20 y = 0 y= −2
4 x − 4 y = 24
2 x − (− 2) = 0
− 3x = − 15
x− y=6 x=5
2x + 2 = 0
x − 2y = 8 5 (5) − 4 y = − 3 2x = − 2
x− y =6 (− 1) 25 − 4 y = − 3 x= −1
x − 2y = 8 − 4 y = − 28 sol : x = − 1 y = − 2
− x+ y =−6 y=7
− y=2 sol : x = 5 y = 7 10. 3x − 4 y − 2 (2 x − 7) = 0
y=−2 3x − 4 y − 4 x + 14 = 0
x − 2 (− 2 ) = 8 − x − 4 y = − 14
x+4=8
( ) (
8. 5 x + 3 y − 7 x + 8 y = − 6) x + 4 y = 14
x=4
5x + 15y − 7 x − 8 y = − 6 5 ( x − 1) − (2 y − 1) = 0
− 2x + 7 y = − 6 5x − 5 − 2 y + 1 = 0
sol : x = 4 y = − 2
6. 3x − (9 x + y ) = 5 y − (2 x + 9 y) 7 x − 9 y − 2 ( x − 18 y) = 0 5x − 2 y = 4
3x − 9 x − y = 5 y − 2 x − 9 y 7 x − 9 y − 2 x + 36 y = 0 x + 4 y = 14
− 4 x + 3y = 0 5x + 27 y = 0 5x − 2 y = 4 ( 2)
− 2x + 7y = − 6 (5)
4 x − (3y + 7) = 5 y − 47 x + 4 y = 14
5x + 27 y = 0 ( 2) 10x − 4 y = 8
4 x − 3 y − 7 = 5 y − 47
4 x − 8 y = − 40 − 10 x + 35y = − 30 11x = 22
x − 2 y = − 10 10x + 54 y = 0 x= 2
− 4 x + 3y = 0 89 y = − 30 2 + 4 y = 14
x − 2 y = − 10 ( 4) 30 4 y = 12
y= −
89 y=3
− 4 x + 3y = 0
sol : x = 2 y = 3
4 x − 8 y = − 40 Continúa
Continúa

235. 11. 12 (x + 2 y ) − 8 (2 x + y ) = 2 (5x − 6 y )
12 x + 24 y − 16 x − 8 y = 10 x − 12 y 12. x ( y − 2) − y ( x − 3) = − 14
− 4 x + 16 y = 10 x − 12 y xy − 2 x − xy + 3 y = − 14
− 14 x + 28 y = 0 − 2 x + 3 y = − 14
− x + 2y = 0 y ( x − 6) − x ( y + 9) = 54
20 ( x − 4 y ) = − 10 xy − 6 y − xy − 9 x = 54
20 x − 80 y = − 10 − 9 x − 6 y = 54
2x − 8y = − 1 3x + 2 y = − 18
− x + 2 y = 0 ( 2) − 2 x + 3 y = − 14 ( 3)
2x − 8y = − 1 3x + 2 y = − 18 ( 2)
− 2x + 4 y = 0 − 6 x + 9 y = − 42
2x − 8y = − 1 6 x + 4 y = − 36
− 4y = −1 13 y = − 78
1 y=−6
y=
4 − 2 x + 3(− 6) = − 14
 1 − 2 x − 18 = − 14
− x + 2  = 0
 4
− 2x = 4
− 4x + 2 = 0 x=−2
− 4x = − 2 sol : x = − 2 y= −6
1
x=
2
1 1
sol : x = y=
2 4
EJERCICIO 180
5x 3y
3x − y=9 ; x− = 15
1. + y = 11 2. 12 4
2
5x − 12 y = 108 ; 4 x − 3 y = 60
3x + 2 y = 22
5x = 108 + 12 y
y
x+ =7 108 + 12 y
2 x= x y x
2 x + y = 14 5 3. + =5 ; 3 y − = 26
7 3 14
3x + 2 y = 22 ; 2 x + y = 14  108 + 12 y 
4  − 3 y = 60 3x + 7 y = 105 ; 42 y − x = 364
 5 
3x = 22 − 2 y 2 x = 14 − y 3x + 7 y = 105
22 − 2 y 14 − y 4 (108 + 12 y ) − 15 y = 300
x= x= − x + 42 y = 364 (3)
3 2 432 + 48 y − 15 y = 300
3x + 7 y = 105
2 (22 − 2 y ) = 3 (14 − y ) 33 y = − 132
− 3x + 126 y = 1. 092
44 − 4 y = 42 − 3 y y= −4
133 y = 1.197
− y=−2 4 x − 3 (− 4) = 60
y= 9
y=2 4 x + 12 = 60
3x + 7 (9) = 105
2 x + 2 = 14 4 x = 48
2 x = 12 x = 12 3x + 63 = 105
x=6 sol : x = 12 y= −4 3x = 42
sol : x=6 y=2 x = 14
sol : x = 14 y = 9

236. x y y x 9. Continuación
= ; = −1 x y 11 x y − 59
4. 7. − =− ; + =
5 4 3 3 8 5 10 5 4 40 8 x − 5( 4) = − 4
4 x = 5y y= x− 3 5x − 8 y = − 44 ; 8 x + 10 y = − 59 8x − 20 = − 4
4 x − 5y = 0 x− y= 3 5x − 8 y = − 44 (5) 8x = 16
4 x − 5y = 0
8 x + 10 y = − 59 ( 4) x= 2
x − y= 3 (− 4) 25x − 40 y = − 220 sol : x = 2 y = 4
4 x − 5y = 0 32 x + 40 y = − 236
− 4 x + 4 y = − 12
57 x = − 456
10. 12 x + 5 y + 6 = 0
− y = − 12 x= −8
12 x + 5y = − 6
y = 12
5 (− 8) − 8 y = − 44 5x 7 y
x − 12 = 3 − = − 12
− 40 − 8 y = − 44 3 6
x = 15
− 8y = − 4 10 x − 7 y = − 72
sol : x = 15 y = 12
1 12 x + 5 y = − 6 (5)
y=
3x 1 5y
2 10 x − 7 y = − 72 (− 6)
5. − y= 2 ; 2x = 1
5 4 2 sol : x = − 8 y= 60 x + 25 y = − 30
2
12 x − 5 y = 40 4 x = 5y − 60 x + 42 y = 432
4 x − 5y = 0 67 y = 402
x y 1 3y
4 x − 5y = 0 8. + =0 ; x− =7 y= 6
7 8 7 4
12 x − 5y = 40 (− 1) 8 x + 7 y = 0 ; 4 x − 21y = 196 10 x − 7 (6) = − 72
4 x − 5y = 0 8x = − 7 y 4 x = 196 + 21y 10 x − 42 = − 72
− 12 x + 5y = − 40 − 7y 196 + 21y 10 x = − 30
x= x=
− 8x = − 40 8 4 x= − 3
x=5 − 28 y = 8 (196 + 21y ) sol : x = − 3 y = 6
4 (5) − 5 y = 0 − 28 y = 1.568 + 168 y
20 − 5y = 0 − 196 y = 1. 568
− 5y = − 20 y= −8
11. 5 = 3 ( y + 2)
x
y= 4 − 7 (− 8)
x=
sol : x = 5 y = 4 x = 15( y + 2)
8
x= 7
x = 15 y + 30
2 x 3y 1 5x sol : x = 7 y = − 8
− =1 ; y− = 2 y 224
6.
3 4 8 6 + 3x =
5 5
8 x − 9 y = 12 ; 3 y − 20 x = 48 2x + 1 y
9. = ; 2 x − 3y = − 8 y + 15x = 224
8 x − 9 y = 12 5 4
15x = 224 − y
− 20 x + 3 y = 48 (3) 4 (2 x + 1) = 5 y
224 − y
8x + 4 = 5y x=
8 x − 9 y = 12 15
− 60 x + 9 y = 144 8x − 5y = − 4 15 (15 y + 30) = 224 − y
− 52 x = 156 2 x − 3y = − 8 (− 4) 225 y + 450 = 224 − y
x= −3 8x − 5y = − 4 226 y = − 226
y= −1
8 (− 3) − 9 y = 12 − 8 x + 12 y = 32
− 24 − 9 y = 12
8x − 5y = − 4 x = 15(− 1) + 30
− 9 y = 36 7 y = 28 x = − 15 + 30
y= −4 y=4 x = 15
sol : x = − 3 y = − 4 Continúa sol : x = 15 y = − 1

237. x y 1 x y 13
12. − =− ; − = x+1 y− 4 x− 4 y− 2
5 6 30 3 20 12 15. = ; =
6x − 5y = − 1 ; 20 x − 3y = 65 10 5 5 10
6x − 5y = − 1 ( 3) x + 1= 2 ( y − 4) ; 2 ( x − 4) = y − 2
20 x − 3y = 65 (− 5) x + 1= 2 y − 8 ; 2x − 8 = y − 2
x − 2y = − 9 2x − y = 6
18 x − 15y = − 3
x = 2y − 9
− 100 x + 15y = − 325
2 (2 y − 9) − y = 6
− 82 x = − 328
4 y − 18 − y = 6
x= 4
3y = 24
6 ( 4) − 5 y = − 1
y=8
− 5 y = − 25
x = 2 (8) − 9
y=5
x= 7
sol : x = 4 y = 5
sol : x = 7 y = 8
x− 3 y− 4 x− 4 y+ 2 3y + 3 1 + 5x
13. − =0 ; + =3 16. x= − ; y= −
3 4 2 5 4 4
4 ( x − 3) − 3( y − 4) = 0 ; 5( x − 4) + 2 ( y + 2) = 30 4 x = − 3y − 3 ; 4 y = − 1 − 5x
4 x − 12 − 3 y + 12 = 0 ; 5x − 20 + 2 y + 4 = 30 4 x + 3y = − 3 4 y + 5x = − 1
4 x − 3y = 0 5x + 2 y = 46 4 x + 3y = − 3 ( 4)
(− 3)
3y
x= 5x + 4 y = − 1
4
 3y  16x + 12 y = − 12
5   + 2 y = 46
 4 − 15x − 12 y = 3
15y + 8 y = 184
x =−9
23y = 184
y=8 4 (− 9) + 3y = − 3
3(8) − 36 + 3y = − 3
x=
4 3y = 33
x=6
y = 11
sol : x = 6 y=8
sol : x = − 9 y = 11
x−1 y−1 13 x+1 y+1 2 x+ y x− y 2x
14. − =− ; − =− 17. = ; = y+3
2 3 36 3 2 3 6 12 3
18 ( x − 1) − 12 ( y − 1) = − 13 ; 2 x + 2 − 3y − 3 = − 4 2 (x + y) = x − y ; 2 x = 3 ( y + 3)
18 x − 12 y = − 7 2 x − 3y = − 3
2x + 2 y = x − y ; 2 x = 3y + 9
18 x − 12 y = − 7
x + 3y = 0 ; 2 x − 3y = 9
2 x − 3y = − 3 (− 4) x = − 3y
18x − 12 y = − 7
2 (− 3 y) − 3 y = 9
− 8 x + 12 y = 12
− 6 y − 3y = 9
10x =5
− 9y = 9
1
x= y= −1
2
 1
2   − 3y = − 3 x = − 3 (− 1)
 2
x= 3
− 3y = − 4
sol : x = 3 y = − 1
4
y=
3
1 4
sol : x= y=
2 3

238. y−3
18. 3x − =6
5
15x − y + 3 = 30 x−2 y− x 22. y ( x − 4) = x ( y − 6)
20. − = x−7
15x − y = 27 4 2 xy − 4 y = xy − 6 x
15x = 27 + y x − 2 − 2 ( y − x ) = 4 ( x − 7) 6x − 4 y = 0
27 + y 3x − 4 x − 2 y = − 28 + 2 5 11
x= x + 2 y = 26 − =0
15 x− 3 y−1
3y −
x−2
=9
3x − y 3 y − x
− = y − 13 5 ( y − 1) − 11( x − 3) = 0
7 8 6
5 y − 5 − 11x + 33 = 0
21y − x + 2 = 63 3 (3x − y ) − 4 (3 y − x ) = 24 ( y − 13)
11x − 5 y = 28
− x + 21y = 61 13x − 15 y − 24 y = − 312
6x − 4 y = 0 (5)
− x = 61 − 21y 13x − 39 y = − 312
11x − 5 y = 28 (− 4)
x = 21y − 61
x + 2y = 26 (− 13)
27 + y = 15 (21y − 61) 13x − 39 y = − 312
30 x − 20 y = 0
27 + y = 315 y − 915 − 44 x + 20 y = − 112
− 13x − 26 y = − 338
− 314 y = − 942 − 14 x = − 112
13x − 39 y = − 312
y=3 x=8
− 65 y = − 650
27 + 3 11(8) − 5 y = 28
x= y = 10
15 − 5 y = 28 − 88
x=2 x + 2 (10) = 26
− 5 y = − 60
sol : x = 2 y=3 x + 20 = 26
y = 12
x=6
sol : x = 8 y = 12
x+ y y− x 7 sol : x = 6 y = 10
19. − =
6 3 24
4 (x + y) − 8 ( y − x) = 7
3 ( x + 3 y ) 21
4 x + 4 y − 8 y + 8x = 7 23. =
5x + 6 y 17
12 x − 4 y = 7 3x − 2 y
x x− y 5
21. 12 −
6
= 3y + 2 51( x + 3 y ) = 21(5x + 6 y)
+ =
2 6 12 72 − 3x + 2 y = 6 (3 y + 2) 51x + 153 y = 105x + 126 y
6 x + 2 ( x − y) = 5 − 3x + 2 y − 18 y = 12 − 72 − 54 x + 27 y = 0
6x + 2 x − 2 y = 5 3x + 16 y = 60 2x − y = 0
8x − 2 y = 5 5 y − 3x 4x − 7 y
= x− y =−2
12 x − 4 y = 7 3 2y + 1
8x − 2 y = 5 (− 2 ) 5 y − 3x = 3 ( x − y ) 4 x − 7 y = − 2 (2 y + 1)
− 3x − 3x + 5 y + 3 y = 0 4x − 7 y = − 4 y − 2
12 x − 4 y = 7
6x − 8 y = 0 4 x − 3y = − 2
− 16 x + 4 y = − 10
− 4x =−3 3x + 16 y = 60 2x − y = 0 (− 2)
3 6x − 8 y = 0 ( 2) 4 x − 3y = 2
x= − 4x + 2 y = 0
4 3x + 16 y = 60
 3 12 x − 16 y = 0 4 x − 3y = − 2
12   − 4 y = 7
 4 15x = 60 y=2
9− 4y = 7 x=4 2x − 2 = 0
− 4y = − 2 2x = 2
6 (4) − 8 y = 0
1
− 8 y = − 24 x=1
y=
2
y=3 sol : x = 1 y = 2
3 1
sol : x= y= sol : x = 4 y = 3
4 2

239. x− y−1 3
28. =−
7 7 x 3 y 33 x+ y+1 17
=− − 8= −
24. 2 x − 3y + 6 3x − 2 y − 1
26.
4 2 4 17 ( x − y − 1) = − 3( x + y + 1)
7 (3x − 2 y − 1) = − 7 (2 x − 3 y + 6) x − 32 = 6 y − 33 17 x − 17 y − 17 = − 3x − 3 y − 3
21x − 14 y − 7 = − 14 x + 21y − 42 x − 6y = − 1 20 x − 14 y = 14
35x − 35y = − 35 y − x 2x + y 17 10x − 7 y = 7
− =−
x− y= −1
3 2 24 x+ y−1
8 ( y − x ) − 12 (2 x + y ) = − 17
= − 15
6 10 x− y+1
=
x− y+ 4 y+ 2 8 y − 8 x − 24 x − 12 y = − 17 x + y − 1 = − 15 ( x − y + 1)
6 ( y + 2) = 10 ( x − y + 4)
32 x + 4 y = 17 x + y − 1 = − 15x + 15 y − 15
6 y + 12 = 10 x − 10 y + 40 x − 6 y = − 1 ( 2) 16 x − 14 y = − 14
− 28 = 10 x − 16 y 32 x + 4 y = 17 (3) 8x − 7 y = − 7
− 14 = 5x − 8 y 2 x − 12 y = − 2 10 x − 7 y = 7
x − y = − 1 (− 8) 96 x + 12 y = 51 8x − 7 y = − 7 (− 1)
5x − 8 y = − 14 98 x = 49 10 x − 7 y = 7
− 8x + 8 y = 8 1 − 8x + 7 y = 7
x=
2 = 14
5x − 8 y = − 14 2x
1
− 3x =−6 − 6y = − 1 x= 7
2
x=2 1 − 12 y = − 2 10 ( 7) − 7 y = 7
2− y= −1 − 12 y = − 3 − 7 y = − 63
− y= −3 1 y=9
y= 3 y= sol : x = 7 y = 9
4
sol : x = 2 y = 3 1 1
sol : x = y = 6x + 9 y − 4 2
2 4 29. =
4x − 6y + 5 5
5 (6 x + 9 y − 4) = 2 (4 x − 6 y + 5)
x+ y x− 2 y−7
25. =−7 = 30x + 45 y − 20 = 8 x − 12 y + 10
x− y 27. x+ 2 y−5
22 x + 57 y = 30
x + y = − 7 (x − y) ( y − 5)(x − 2) = ( y − 7)(x + 2) 2 x + 3y − 3 6
=
x + y = − 7x + 7 y xy − 2 y − 5x + 10 = xy + 2 y − 7 x − 14 3x + 2 y − 4 11
8x − 6 y = 0 2 x − 4 y = − 24 11(2 x + 3y − 3) = 6 (3x + 2 y − 4)
x+ y+1 3 x − 2 y = − 12 22 x + 33 y − 33 = 18x + 12 y − 24
= x = − 12 + 2 y 4 x + 21y = 9
x+ y−1 4
x+1 y− 3 22 x + 57 y = 30 ( 2)
4 ( x + y + 1) = 3( x + y − 1) =
x−1 y−5 4 x + 21y = 9 (− 11)
4 x + 4 y + 4 = 3x + 3 y − 3
x+ y= − 7 ( y − 5)(x + 1) = (x − 1)( y − 3) 44 x + 114 y = 60
− 44 x − 231y = − 99
8x − 6 y = 0 xy + y − 5x − 5 = xy − 3x − y + 3
− 117 y = − 39
− 2x + 2 y = 8
x + y = − 7 (6) 1
− x+ y=4 y=
8x − 6 y = 0 3
x= y−4  1
6 x + 6 y = − 42 4 x + 21  = 9
− 12 + 2 y = y − 4  3
14 x = − 42 4x + 7 = 9
y=8
x= −3 4x = 2
x = 8− 4
− 3+ y = − 7 1
x=4 x=
y= − 4 2
sol : x = 4 y = 8 1 1
sol : x = − 3 y = − 4 sol : x = y=
2 3

240. 3x + 4 y 30 EJERICIO 181
3x + 2 y =−
30. =−9 32. x − 6y 23
x + y − 15
23(3x + 4 y ) = − 30 ( x − 6 y ) 1. x + y = a + b ; x − y = a − b
3x + 2 y = − 9 ( x + y − 15) x+y=a+b
69 x + 92 y = − 30x + 180 y
3x + 2 y = − 9 x − 9 y + 135 x−y=a−b
99 x − 88 y = 0
12 x + 11y = 135 x =a
9x − 8y = 0
4 x 5( y − 1) 9x − y a +y=a +b
− = −1 =−
63
3 8 3+ x − y 37 y=b
32 x − 15( y − 1) = − 24
37 (9 x − y ) = − 63(3 + x − y)
sol: x = a y = b
32 x − 15 y + 15 = − 24
333x − 37 y = − 189 − 63x + 63 y
32 x − 15y = − 39 2. 2x + y = b + 2
396 x − 100 y = − 189
12 x + 11y = 135 (8) 2bx + by = b 2 + 2b
396 x − 100 y = − 189
32 x − 15 y = − 39 (− 3) 9x − 8y = 0 (− 44)
bx − y = 0
96 x + 88 y = 1. 080 − 2bx + 2 y = 0
396 x − 100 y = − 189
− 96x + 45y = 117 − 2bx + 2 y =0
− 396 x + 352 y = 0
133 y = 1.197 2bx + by = b 2 + 2b
252 y = − 189
y= 9 2 y + by = b 2 + 2b
−3
12 x + 11(9) = 135 y=
4 y (2 + b) = b (b + 2)
12 x = 135 − 99  − 3 y=b
9x − 8  =0
12 x = 36  4  2x + b = b + 2
x=3 9x + 6 = 0 2x = 2
sol : x = 3 y = 9 9x = − 6 x=1
−2 sol : x = 1 y=b
x=
3
2x + 5
31. − (5 − y ) = − 60 sol : x =
−2
y=
−3
3. 2x − y = 3a ;
17 3 4
2 x + 5 − 17 (5 − y ) = − 1. 020 x − 2y = 0
4x + 1 2 y − 5 − 2x + 4y = 0
2 x − 85 + 17 y = − 1. 025 33. x− =
9 3
2x − y = 3a
2 x + 17 y = − 940 9 x − (4 x + 1) = 3(2 y − 5)
− 2x + 4y = 0
y + 62
− (1 − x ) = 40 9 x − 4 x − 1 = 6 y − 15
2 5x − 6 y = − 14 3y = 3a
y + 62 − 2 (1 − x ) = 80 3 y + 2 x + 18 y=a
y− =
y − 2 + 2 x = 18 7 10 2x − a = 3a
70 y − 10 (3 y + 2) = 7 ( x + 18) 2x = 4a
2 x + y = 20
70 y − 30 y − 20 = 7 x + 126 x = 2a
2 x + 17 y = − 940
− 146 = 7 x − 40 y sol: x = 2a y = a
2x + y = 20 (− 1) 7 x − 40 y = − 146 (− 5)
2 x + 17 y = − 940 5x − 6 y = − 14 ( 7) 4. x − y = 1− a ; x + y = 1+ a
− 2 x − y = − 20 − 35x + 200 y = 730 x − y = 1− a
16 y = − 960 35x − 42 y = − 98 x + y = 1+ a
y = − 60 158 y = 632
2x =2
2 x − 60 = 20 y= 4
x =1
2 x = 80 5x − 6 ( 4) = − 14
5x = − 14 + 24 1+ y = 1+ a
x = 40
x= 2 y=a
sol : x = 40 y = − 60
sol : x = 2 y= 4 sol: x = 1 y = a

241. a+b
x x 8. ax − by = 0 ; x+ y=
5. a + y = 2b ; b − y = a − b ab
abx − b 2 y = 0 abx + aby = a + b
x + ay = 2ab ; x − by = ab − b 2
x + ay = 2ab abx − b2 y =0
− abx − aby = − a − b
−x + by = b 2 − ab
ay + by = b 2 + ab − b 2 y − aby = − (a + b)
y (a + b) = b (b + a ) − yb (b + a ) = − (a + b)
y=b 1
− yb = − 1 ⇒ y =
x + ab = 2ab b
x = ab
 1
ax − b   = 0
 b
sol : x = ab y=b
1
ax = 1 ⇒ x =
x y a
6. + =2
b a 1 1
sol : x = y=
ax + by = 2ab a b
abx + b 2 y = 2ab 2
9. mx − ny = m + n nx + my = m2 + n 2
2 2
;
x y a 2 + b2
+ = mnx − n y = m n + n
2 2 3
mnx + m2 y = m3 + mn 2
a b ab
− mnx + n y 2
= − m2 n − n3
bx + ay = a 2 + b 2
mnx + m2 y = m3 + mn 2
− abx − a 2 y = − a 3 − ab 2
abx + b2 y = 2ab 2 n 2 y + m2 y = m3 − m2n + mn 2 − n 3
− abx − a 2 y = − a 3 − ab 2 y (m2 + n 2 ) = m2 (m − n) + n 2 (m − n)
b2 y − a 2 y = − a 3 + ab 2 y (m2 + n 2 ) = (m2 + n 2 )(m − n)
y (b − a ) = a (b − a
2 2 2 2
) y = m− n
y= a m2 x − mny = m3 + mn 2
ax + ba = 2ab n 2 x + mny = m2 n + n 3
a ( x + b) = 2ab m2 x + n 2 x = m3 + mn 2 + m2 n + n 3
x + b = 2b
x (m2 + n 2 ) = m (m2 + n 2 ) + n (m2 + n 2 )
x=b
x (m2 + n 2 ) = (m + n)(m2 + n 2 )
sol : x = b y = a
x = m+ n
x+ y=a+b
7. sol : x = m + n y = m− n
− ax − ay = − a 2 − ab
x y
ax + by = a 2 + b 2 10. + = 2m ; mx − ny = m3 − mn 2
m n
− ax − ay = − a 2
− ab
xn + ym = 2m n
2
xmn − n2 y = m3n − mn 3
ax + by = a 2 + b2
xmn + ym2 = 2m3n
by − ay = b 2 − ab
− xmn + n y = mn − m3n
2 3
y (b − a ) = b (b − a )
ym2 + yn2 = mn3 + m3n
y=b
y (m2 + n2 ) = mn (n2 + m2 )
x+b=a+b
x=a y = mn
sol : x = a y=b xn + m n = 2m n
2 2
xn = m2 n ⇒ x = m2
sol : x = m2 y = mn

242. 14. x + y = 2c ; a 2 ( x − y ) = 2a 3
11. x + y = a − a x − a y = − 2a c
2 2 2
; a 2 x − a 2 y = 2a 3
ax + ay = a 2
− a2 x − a2 y = − 2a 2 c
ax − by = a (a + b) + b 2
a x − a y = 2a
2 2 3
ax − by = a 2 + ab + b 2 − 2a 2 y = 2 a 3 − 2 a 2 c
− ax − ay = − a2 − 2a 2 y = 2a 2 (a − c)
ax − by = a + ab + b
2 2
− y= a− c
− ay − by = ab + b2 y = c− a
− y (a + b) = b (a + b) x + c − a = 2c
− y=b x− a= c ⇒ x= c+ a
y= −b sol : x = a + c y= c− a
x−b= a a 2 − b2
15. ax − by = 0 ; ay − bx =
x= a+b ab
sol : x= a+b y= −b b 2 ax − b 3 y = 0 a 2by − b 2ax = a 2 − b 2
b 2 ax − b3 y = 0
− b ax + a by
2 2
= a 2 − b2
12. x − y = m − n a 2by − b 3 y = a 2 − b 2
mx − my = m2 − mn by (a 2 − b 2 ) = a 2 − b 2
mx − ny = m 2
−n 2
by = 1
− mx + my = − m2 + mn 1
y=
my − ny = mn − n 2 b
 1
y (m − n) = n (m − n) ax − b   = 0
 b
y=n
ax = 1
x − n = m− n
1
x=m x=
a
sol : x = m y=n 1 1
sol : x = y=
a b
x − y = ab (b − a )
x y
16. + =a+b ;
b2 a 2
x y x 2 y 2b − a 2 2
a 2 x + b 2 y = a 3b2 + a 2b 3 ; x − y = ab 2 − a 2b
13. + =0 ; + =
a b b a ab
a x − a 2 y = a 3b2 − a 4b
2
bx + ay = 0 ax + 2by = 2b2 − a 2
− a 2 x − b2 y = − a 3b2 − a 2b3
− abx − a2 y = 0 2
a x − a y = a 3b2
2
− a 4b
abx + 2b2 y = 2b 3 − a 2b
− b2 y − a 2 y = − a 2b 3 − a 4b
2b2 y − a 2 y = 2b 3 − a 2b
− y (a 2 + b 2 ) = − a 2b (b2 + a 2 )
y (2b 2 − a 2 ) = b (2b 2 − a 2 )
− y = − a 2b
y=b
x b y = a 2b
+ =0 2
a b x ab
+ =a+b
bx + ab = 0 b2 a 2
bx = − ab x + b = ab2 + b3
3
x= −a x = ab2
sol : x = − a y=b sol : x = ab 2 y = a 2b

243. x+b y−b a+b
19. + =
m3 − n 3 a b b
nx + my = m + n mx − ny =
b ( x + b) + a ( y − b) = a (a + b)
17. ;
mn
m2 nx + m3 y = m3 + m2 n m2 nx − mn2 y = m3 − n 3 bx + b 2 + ay − ab = a 2 + ab
− m nx − m y
2 3
=−m −m n3 2
abx + ab2 + a 2 y − a 2b = a 3 + a 2b
m2 nx − mn2 y = m3 − n3 − abx − ab 2 − a 2 y = − a 3 − 2a 2b
− m y − mn y =
3 2
− m n− n
2 3
x−a y−a a+b
− =−
− ym (m + n ) = − n (m + n
2 2 2 2
) b a a
ym = n a ( x − a ) − b ( y − a ) = − b (a + b)
n ax − a 2 − by + ba = − ba − b 2
y=
m abx − a 2b − b 2 y + b 2 a = − b 2 a − b 3
 n abx − a 2b − b 2 y = − 2b 2 a − b 3
nx + m   = m + n
 m
− abx − ab 2 − a2 y = − a 3 − 2a 2b
nx + n = m + n
abx −a b 2
−b y=2
− 2b 2 a − b 3
nx = m
− ab 2 − a 2b − a 2 y − b 2 y = − a 3 − 2a 2b − 2b 2 a − b 3
m
x= ab 2 + a 2b + a 3 + b3 = a 2 y + b 2 y
n
m n b 2 (a + b) + a 2 (b + a ) = y (a 2 + b 2 )
sol : x = y=
n m
(b 2
+ a 2 )(a + b) = y (a 2 + b 2 )
a+b= y
18. (a − b) x − (a + b) y = b2 − 3ab
x+b a+b−b a+b
ax − bx − ay − by = b2 − 3ab + =
a b b
(a + b) x − (a − b) y = ab − b 2
b ( x + b) + a 2 = a (a + b)
ax + bx − ay + by = ab − b 2
bx + b 2 + a 2 = a 2 + ab
− ax + bx + ay + by = − b 2 + 3ab bx = ab − b 2 ⇒ bx = b (a − b) ⇒ x = a − b
ax + bx − ay + by = − b + ab 2
sol : x = a − b y = a + b
2bx + 2by = − 2b2 + 4ab x y 1 x y a 2 + b2
+ = + = 2 2
2b ( x + y ) = 2b (2a − b)
20. ;
a + b a + b ab b a a b
x + y = 2a − b abx + aby = a + b a 2bx + ab 2 y = a 2 + b 2
ax − bx − ay − by = b2 − 3ab − a bx − a by = − a − ab
2 2 2
− a 2bx − a 2by = − a 2 − ab
ax + bx − ay + by = − b + ab 2
a bx + ab y
2 2
= a2 + b2
2ax − 2ay = − 2ab
ab 2 y − a 2by = b 2 − ab
2a (x − y ) = − 2ab
ayb (b − a ) = b (b − a )
x− y= −b
ayb = b
x + y = 2a − b
ay = 1
x− y= −b 1
y=
2x = 2 (a − b) a
 1
x=a−b abx + ab   = a + b
 a
a−b− y= −b abx + b = a + b
− y= − a 1
abx = a ⇒ bx = 1 ⇒ x =
y=a b
sol : x= a−b y=a sol : x =
1
y=
1
b a

244. EJERCICIO 182
12 5 13 18 7 19
1 2 7 2 1 4 4. + =− ; + =− 6. Continuación
1. + = ; + = x y 2 x y 2
4 11
x y 6 x y 3 36 15 39 + = 50
2 4 7 − − = x 1
− − =− x y 2 4
x y 3 36 14 38
+ =− 4
2 1 4 + 44 = 50
+ = x y 2 x
x y 3 4 + 44x = 50x
1 1
−3 − =
y 2 4 = 6x
= −1
y −2=y 2
=x
3=y 36 − 7x = − 19x 3
2 1 4 12x = − 36 2 1
+ = sol: x = y=
x 3 3 3 4
x=−3
6 + x = 4x
sol: x = − 3 y = − 2 9 10 7 15
6 = 3x ⇒ 2 = x 7. + = − 11 ; − =−4
9 3 5 4 x y x y
sol: x = 2 y = 3 5. + = 27 ; + = 22
x y x y 27 30
3 2 1 2 5 23 + = − 33
2. − = ; + = 3 1 x y
x y 2 x y 12 + =9
x y 14 30
6 4 − =−8
− + = −1 12 4 x y
x y − − = − 36
x y 41
6 15 23 = − 41
+ = 5 4
+ = 22 x
x y 4 x y − 1= x
19 19 7 15
= −
7
= − 14 − − =−4
y 4 x 1 y
4=y 1 − 7y − 15 = − 4y
=x
3 2 1
− = 2 − 15 = 3y
x 4 2 5 4 4
+ = 22 ⇒ 10 + = 22 −5=y
6−x= x 1 y y sol: x = − 1 y = − 5
6 = 2x 2
3=x 10y + 4 = 22y 1 3 3 1 5 4
4 = 12y 8. − = ; + =−
sol: x = 3 y = 4 2x y 4 x 2y 3
1
5 4 7 6 =y 1
−
3 3
=
3. + =7 ; − =4 3 2x y 4
x y x y
1 1
15 12 sol: x = y= 1 5 2
+ = 21 2 3 − − =
x y 2x 4 y 3
6 8 4 11
14 12
− =8 6. x − y = − 23 ; x + y = 50 −
17 17
=
x y 4 y 12
12 16
29 − + = 46 − 12 = 4 y
= 29 x y
− 3= y
x 12 33
1= x + = 150 1 5 4
+ =−
x 2 (− 3)
x y
5 4 3
+ =7 49
1 y = 196 6 − 5x = − 8 x
y
5y + 4 = 7 y 3x = − 6
1
4 = 2y =y x= −2
4
2=y Continúa sol : x = − 2 y = − 3
sol: x = 1 y = 2

245. 2 1 11 1 3 4 3 1 107 6 1 14
9. 5x − 3 y = − 45 ; 10 x − 5 y = 5 3 7 2 1 8 103
+ = + =
10. x − 3 y = 3 ; 4 x + y = 84 11.
10 x 3y 60
;
5x 4 y 5
2 1 11
− + = 3 7 1 3 2 107
10 x 6 y 90 − = + =
2 6 8 4 x 12 y 6 5x 3 y 30
− = 3 1 7
10 x 5 y 5 3 24 309 − − =−
− − =− 5x 8 y 5
31 31 4x y 84
− =
30 y 18 − 295 − 295 13 13
=
− 18 = 30 y = 24 y 6
12 y 84
3
− =y y=7 1
=y
5
3 7 2 4
1 3 4
+ = − =
x 3 ( 7) 3
6 1 14
10 x  3 5
5 
+ =
 5 5x  1 5
9 − x = 2x 4 
3 + 30 x = 24 x
 4
9 = 3x
1 6 + 5x = 14 x
6x = − 3 ⇒ x = − 3= x
2 6 = 9x
1 3 sol : x = 3 y = 7
sol : x=− y=− 2
2 5 =x
3
1 1 1 1 2 1
12. + =a ; − =b 2 3b 2 − 3a a b sol : x = y=
x y x y 13. − = ; + =2 3 4
x y a x y
1 1
+ = a 2 2 m+ n m n
14. x + y = mn ; x − y = 0
x y 2a 3ab
− = 2 − 3a
1 1 x y
− + =−b 2n 2 n m + n
x y 2a 2b + =
− − =−4 x y m
2 2 x y
= a−b ⇒ =y 2m 2n
a−b
b (− 3a − 2) − = 0
y
1 1 = − 3a − 2 x y
− =b
2 (m + n) m + n
x 2 y
a−b b= y =
x m
2 − x (a − b) = 2bx a b
+ =2 2m = x
2 − ax + xb = 2bx x b
m n
− ax = bx − 2 a + x = 2x − =0
2m y
− ax − bx = − 2 a= x
y − 2n = 0
x (a + b) = 2 ⇒ x =
2 sol : x = a y = b
a+b y = 2n
2 2 sol : x = 2m y = 2n
sol : x = y=
a+b a−b
EJERCICIO 183
4 5 5 −3
1. 2 4 ⋅ 3 − 2 ⋅ 5 = 12 − 10 = 2 5. 5(− 8) − (− 3)(− 2) = − 40 − 6 = − 46
3 −2 −8
2 7 9 − 11
2. 3 2 ⋅ 5 − 3 ⋅ 7 = 10 − 21= − 11 6. 9 ⋅ 7 − (− 11)(− 3) = 63 − 33 = 30
5 −3 7
−2 5 − 15 − 1
3. 4 3
− 2 ⋅ 3 − 4 ⋅ 5 = − 6 − 20 = − 26 7. − 15⋅ 2 − 13(− 1) = − 30 + 13 = − 17
13 2
12 − 1
7 (− 2) − 9 ⋅ 5 = − 14 − 45 = − 59
7 9
4. 8. 12 (− 9) − (13) (− 1) = − 108 + 13 = − 95
5 −2 13 − 9

246. −5 −8
(− 5)(− 21) − (− 8)(− 19) = 105 − 152 = − 47
10 3
9. 17 13 10 ⋅13 − 3 ⋅17 = 130 − 51= 79 10.
− 19 − 21
31 − 85
8 (0) − 2 (− 3) = 0 + 6 = 6 31⋅ 43 − (− 85)(− 20) = 1. 333 − 1. 700 = − 367
8 2
11. 12.
−3 0 − 20 43
EJERCICIO 184
6. ax − by = − 1
1. 7x + 8y = 29 4. 15x − 44y = − 6
ax + by = 7
5x + 11y = 26 − 27x + 32y = − 1
−1 − b
29 8 − 6 − 44
7 b
26 11 319 − 208 111 −1 32 x=
x= = = =3 x= a −b
7 8 77 − 40 37 15 − 44
a b
5 11 − 27 32
− b + 7b 6b 3
− 192 − 44 − 236 1 x= = =
7 29 x= = = ab + ab 2ab a
5 26 182 − 145 37 480 − 1.188 − 708 3
y= = = =1 a −1
7 8 37 37 15 − 6
a 7
5 11 − 27 − 1 y=
y= a −b
sol: x = 3 y =1 15 − 44
a b
− 27 32
2. 3x − 4y = 13 7a + a 8a 4
− 15 − 162 − 177 1 y= = =
8x − 5y = − 5 y= = = 2ab 2ab b
− 708 − 708 4
13 −4 sol: x =
3
y=
4
1 1 a b
−5 − 5 − 65 − 20 − 85 sol: x = y=
x= = = =−5 3 4
3 −4 − 15 + 32 17
8 −5
3 13
8 − 5 − 15 − 104 − 119 5. 8x = − 9y 7. 3x − ( y + 2) = 2 y + 1
y= = = = −7
3 −4 17 17 8 x + 9y = 0 3x − y − 2 = 2 y + 1
8 −5 7 3x − 3 y = 3
2x + 5 + 3y =
sol: x = − 5 y= −7 2 x− y=1
4x + 10 + 6y = 7
3. 13x − 31y = − 326 5 y − ( x + 3) = 3x + 1
4 x + 6y = − 3
25x + 37y = 146 5 y − x − 3 = 3x + 1
0 9
− 326 − 31 − 4 x + 5y = 4
−3 6
146 37 x= 1 −1
x= 8 9
13 − 31 4 5 5+ 4
4 6 x= x= =9
25 37 −1
1 5− 4
0 + 27 27 9
− 12 . 062 + 4 . 526 − 7 . 536 x= = = =2 4
1
−4 5
x= = = −6 48 − 36 12 4
481+ 775 1. 256 1 1
8 0
13 − 326 −4 4 4+ 4
4 −3 y= y= =8
25 146 y= 1 −1 1
y= 8 9
13 − 31 −4 5
4 6
25 37 sol : x = 9 y=8
− 24 − 0 − 24
1. 898 + 8 .150 10 . 048 y= = =−2
y= = =8 12 12
1. 256 1. 256
sol: x = 2 41
y=−2
sol: x = − 6 y = 8

247. 8. ax + 2y = 2
x+2 y−3 5 2y + 3
ax 11. − = 13. 2x − = y+2
− 3y = − 1 3 8 6 17
2
ax − 6y = − 2 8 ( x + 2) − 3 ( y − 3) = 20 34 x − (2 y + 3) = 17 ( y + 2)
2 2 8 x + 16 − 3 y + 9 = 20 34 x − 2 y − 3 = 17 y + 34
−2 −6 − 12 + 4 −8 1 8x − 3 y + 25 = 20 34 x − 19 y = 37
x= = = = 8x − 3y = − 5 4x + 1
a 2 − 6a − 2a − 8a a 3y − = 3x + 5
a −6 y − 5 2x − 3 21
− =0
6 5 63 y − (4 x + 1) = 21(3x + 5)
a 2
5 ( y − 5) − 6 (2 x − 3) = 0 63 y − 4 x − 1 = 63x + 105
a − 2 − 2a − 2a − 4a 1
y= = = = 5 y − 25 − 12 x + 18 = 0 − 67 x + 63 y = 106
a 2 − 8a − 8a 2
a −6 − 12 x + 5 y − 7 = 0 37 − 19
1 1 − 12 x + 5y = 7 106 63
sol: x = y= x=
a 2 −5 −3 34 − 19
7 5 − 67 63
x y
+ =−4 x=
9. 8 −3 2 . 331 + 2 . 014 4 . 345
4 6 x= = =5
3x + 2y = − 48 − 12 5 2 .142 − 1. 273 869
x y − 25 + 21 − 4 34 37
− =0 x= = = −1
8 12 40 − 36 4 − 67 106
y=
3x − 2y = 0 8 −5 34 − 19
− 48 2 − 12 7 − 67 63
y=
0 − 2 96 − 0 96 8 −3 3. 604 + 2 . 479
x= = = =−8 y= =7
3 2 − 6 − 6 − 12 − 12 5 869
3 −2 56 − 60 − 4 sol : x = 5 y = 7
y= = = −1
3 − 48 40 − 36 4
sol : x = − 1 y= −1 x+ y
3 0 0 + 144 14. =4
y= = = − 12 x− y
3 2 − 12
3 −2 12. 3x − 2 y = 5 x + y = 4 ( x − y)
sol: x = − 8 y = − 12 mx + 4 y = 2 (m + 1) x + y = 4x − 4 y
5 −2 − 3x + 5 y = 0
10. 3x + ay = 3a + 1
x− y−1 1
x 2 (m + 1) 4 =
+ ay = 2 x= x+ y+1 9
a 3 −2
x + a 2 y = 2a m 4 9 ( x − y − 1) = x + y + 1
3a + 1 9x − 9 y − 9 = x + y + 1
20 + 4 (m + 1) 4 (6 + m)
a
a2 x= = =2 8 x − 10 y = 10
2 (6 + m)
2a
x= 12 + 2m
3 a 4 x − 5y = 5
1 a2 3 5
0 5
3a 3 + a 2 − 2a 2 a (3a − 1)
2 m 2 (m + 1)
x= = =a y= 5 −5 0 − 25 − 25
3a 2 − a a (3a − 1) 3 −2 x= = =
− 3 5 15 − 20 − 5
=5
3a + 1 m 4
3 4 −5
1 2a 6 (m + 1) − 5m m+ 6 1 −3 0
y= y= = =
3 a
2 (6 + m) 2 (6 + m) 2 4 5 − 15 − 0
1 a2 y= = =3
1 −3 5 −5
6a − 3a − 1 3a − 1 1 sol : x = 2 y=
y= = = 2 4 −5
a (3a − 1) a (3a − 1) a
1
sol : x = 5 y= 3
sol : x = a y=
a

248. x + 9 y + 21
16. x − 9 = y + 39
15. x − y = 2b (x + 9)( y + 39) = ( x − 9)( y + 21)
x y xy + 39 x + 9 y + 351 = xy + 21x − 9 y − 189
+ =2
a+b a−b 18 x + 18 y = − 540
x (a − b) + y (a + b) = 2 (a 2 − b 2 ) x + y = − 30
x + 8 y + 19
2b −1 =
x − 8 y + 11
2 (a 2 − b2 ) a + b
x= ( y + 11)( x + 8) = ( y + 19)(x − 8)
1 −1
xy + 8 y + 11x + 88 = xy − 8 y + 19 x − 152
a−b a+b
− 8 x + 16 y = − 240
2b (a + b) + 2 (a 2 − b2 ) 2a (b + a) − x + 2 y = − 30
x= = = b+ a
a+b+ a−b 2a − 30 1
1 2b − 30 2 − 60 + 30 − 30
x= = = = − 10
a − b 2 (a 2 − b2 ) 1 1 2+1 3
y= −1 2
1 −1
a−b a+b 1 − 30
− 1 − 30 − 30 − 30 − 60
2 (a 2 − b 2 ) − 2b (a − b) 2a (a − b) y= = = = − 20
y= = =a−b 1 1 3 3
2a 2a −1 2
sol : x = a + b y = a − b
sol : x = − 10 y = − 20
EJERCICIO 185
2. x − 2y = 10 2x + 3y = − 8
1. x − y = 1 x+y=7
x=0 y=−5 x=0 y= −2 2
x = 0 y = −1 x=0 y=7
3
y=0 x = 10 y=0 x=−4
y=0 x= 1 y=0 x=7
x
+
y
=
=
=
=
=
1
7
7
7
7
7
=
-y
x
10
2x
x
x
x
x
=
+
(4,3) y
3y
-2
x
=
-8
8
8
8
(2,-4)
sol : x=2 Y=-4
sol : x=4 y=3

249. 3. 5x − 3y = 0 7 x − y = − 16 5. 3x + 4 y = 15 2x + y = 5
x=3 y=5 x = 0 y = 16 x=5 y= 0 x= 0 y=5
y=0 x= −2 2
7 x=1 y=3 x= 2 y=1
Escala 1:2
3x
0 + 4y
= =
y 15
-3
5x
-16
(1,3)
y=
7x -
2x
2
2
2
2
+ y=
(-3,-5)
=
=
=
=5
5
5
5
5
sol : x = - 3 y=-5 sol : x=1 y= 3
4. 3x = − 4y 5x − 6y = 38
6. 5x + 2 y = 16 4 x + 3 y = 10
3x + 4y = 0 x=−2 y=−8 x=2 y=3 x=−2 y=6
x=4 y=−3 y=−3 x=4
x=4 y= −2 x=1 y=2
3x
+ 4y
= 0
4x
x+
x+
x+
x+
+3
3y
3y
3yy=
y=
=
=1
=
10
1
1
1
5x +
+
+
+
2y =
2y
y
y
(4,-3)
16
38
=
y
-6
5x (4,-2)
sol : x = 4 y=-3 sol : x = 4 y=-2

250. x y 1
7. x + 8 = y + 2 y−4=x+2 9. − =− 3x − 2y = − 1
2 3 6
x−y= −6 −x+y=6 x=3 y=5 ; x=−3 y=−4
x=0 y=6 x=0 y=6 x y 7
+ =− 4 x + 3y = − 7
x= −6 y=0 x= −6 y=0 3 4 12
x = −1 y = −1 ; x = − 4 y = 3
-1
=
y
4x
-2
x
x
x
+
2
3x
3y
+
y
y
y
y
y
=
=
=
=
= 2
-7
8
7
+ +
x x
=
-4 (-1,-1)
y
sol : Equivalentes sol : x = - 1 y=-1
3x y 10. x + 3y = 6 3x + 9y = 10
8. 5 + 4 = 2 x − 5 y = 25
x=0 y=2 x = 0 y =19
1
12 x + 5 y = 40 x=0 y=−5
x=6 y=0 x=3 3 y=0
1
x= 0 y=8 x=5 y= −4
x=5 y= −4
12x
1 x
1 x
1 x
x+
+
3y
5y
=
y=
y
y
y
6
40
0
0
0
0
3x
+9y
=10
(5,-4)
25
x - 5y =
sol : x = 5 y=-4 sol : Incompatibles

251. 11. 2x + 3y = − 13 13. x + y = 9
x = − 2 y = − 3 ; x = − 5 y = −1 x=6 y=3 ; x=4 y=5
6x + 9y = − 39 x − y = −1
x = − 2 y = − 3 , x = − 5 y = −1 x = 0 y =1 ; x = 2 y = 3
x − 2y = − 6
x=0 y=3 ; x=2 y=4
(4,5)
= -6
2x 2y
+ x-
6x 3y
+ =
9y -1
3
-1
= x+
-3
=
9 y=
-y
9
x
sol : Equivalentes
x−2 y−3 y− 2 x− 3 11 sol : x = 4 y=5
12. − =4 + =−
2 3 2 3 3
14. x + y = 5
3 ( x − 2) − 2 ( y − 3) = 24 3( y − 2) + 2 ( x − 3) = − 22 x=0 y=5 ; x=2 y=3
3x − 6 − 2 y + 6 = 24 3 y − 6 + 2 x − 6 = − 22 3x + 4y = 18
3x − 2 y = 24 2 x + 3 y = − 10 x=2 y=3 ; x=−2 y=6
x= 6 y= − 3 x=4 y= −6 2x + 3y = 13
x= 4 y= − 6 x= −2 y= − 2 x = 2 y = 3 ; x = 5 y =1
3x
+ x+
4y
=
18 y =
5
24
2x
x
x
x
x
=
+
3y
2y
(2,3)
=
-
-1
3x
10
10
1
1
2x
+
3y
=
13
(4,-6)
sol : x = 4 y=-6 sol : x = 2 y=3

252. EJERCICIO 186
15. 2x + y = − 1
x = 0 y = −1 ; x = −1 y =1 1. x + y + z = 6
x − 2y = − 13 x − y + 2z = 5
x=−5 y=4 ; x=−3 y=5 x − y − 3z = − 10
3x − 2y = − 19 x+ y+ z = 6
x=−5 y=2 ; x=−3 y=5 x − y + 2z = 5
2 x + 3z = 11
x+ y+ z = 6
2x
x+
x+
x+
x+
x − y − 3z = − 10
+y
y=
y=
y=
y=
− 2z = − 4
=-
2x
-1
-
-
-
x− z= − 2
3 (-3,5) 2 x + 3z = 11
-1
-2
y= x − z = − 2 ( 3)
9
x
-1
2 x + 3z = 11
=
y
3x − 3z = − 6
-2
3x
5x =5
x=1
2 (1) + 3z = 11
2 + 3z = 11
3z = 9
z= 3
sol : x = - 3 y=5
1+ y + 3 = 6
16. x − y = 1 2y − x = − 4 4 x − 5y = 7
y+ 4= 6
x = 0 y = −1 x = 0 y = − 2 x = − 2 y = − 3
y=2
x =1 y = 0 x = 2 y = −1 x = 3 y =1
sol : x = 1 y = 2 z = 3
2. x + y + z = 12
2x − y + z = 7
x + 2y − z = 6
x + y + z = 12
1 -4
= = 2x − y + z = 7
-y -x
x 2y 3x + 2 z = 19
2 x − y + z = 7 ( 2)
7 x + 2y − z = 6
y=
-5 4 x − 2 y + 2z = 14
4x
x + 2y − z = 6
(-2,-3) 5x + z = 20
3x + 2 z = 19
5x + z = 20 (− 2 )
3x + 2 z = 19
− 10 x − 2 z = − 40
− 7x = − 21
sol : x = - 2 y=-3 x= 3
Continúa

253. 2. Continuación 4. Continuación
6. 5x − 2 y + z = 24
5( 3) + z = 20
2 x + y − 3z = − 1 (3) 2 x + 5 y − 2 z = − 14
15 + z = 20
x − 3y − 2 z = − 12 x − 4 y + 3z = 26
z=5
6x + 3y − 9z = − 3 5x − 2 y + z = 24 (2)
3 + y + 5 = 12
x − 3 y − 2 z = − 12 2 x + 5 y − 2 z = − 14
y + 8 = 12
7x − 11z = − 15 10x − 4 y + 2 z = 48
y= 4
sol : x = 3 y = 4 z = 5 x − z = − 1 (− 7) 2 x + 5 y − 2 z = − 14
7 x − 11z = − 15 12 x + y = 34
3. x − y + z = 2
x+ y+ z= 4 − 7 x + 7z = 7 5x − 2 y + z = 24 (− 3)
2x + 2 y − z = − 4 7 x − 11z = − 15 x − 4 y + 3z = 26
x− y+ z = 2 − 4z = − 8 − 15x + 6 y − 3z = − 72
x+ y+ z =4 z= 2 x − 4 y + 3z = 26
2x + 2z = 6 x− 2= −1 − 14 x + 2 y = − 46
x=1
12 x + y = 34 (− 2)
x+ z= 3
x − y + z = 2 ( 2) 2 (1) + y − 3 (2) = − 1
− 14 x + 2 y = − 46
2x + 2 y − z = − 4 2 + y − 6= − 1
− 24 x − 2 y = − 68
2 x − 2 y + 2z = 4 y− 4= −1
− 14 x + 2 y = − 46
2x + 2 y − z = − 4 y= 3
− 38 x = − 114
4x + z= 0 sol : x = 1 y = 3 z = 2
x=3
x + z = 3 (− 1) 5. 2 x + 3 y + z = 1 12 (3) + y = 34
4x + z = 0 6 x − 2 y − z = − 14
36 + y = 34
3x + y − z = 1
− x− z= − 3 y= −2
2 x + 3y + z = 1
4x + z = 0 3 − 4 (− 2) + 3z = 26
3x + y − z = 1
3x =−3 3 + 8 + 3z = 26
5x + 4 y =2
x= −1 3z = 15
2 x + 3y + z = 1
− 1+ z = 3 z=5
6 x − 2 y − z = − 14
z= 4 sol : x = 3 y = − 2 z = 5
− 1− y + 4 = 2 8x + y = − 13
5x + 4 y = 2 7. 4 x + 2 y + 3z = 8
− y + 3= 2
3x + 4 y + 2 z = − 1
− y= −1 8 x + y = − 13 (− 4 )
2 x − y + 5z = 3
y=1 5x + 4 y = 2
4 x + 2 y + 3z = 8 (− 2)
sol : x = − 1 y = 1 z = 4 − 32 x − 4 y = 52
3x + 4 y + 2 z = − 1
4. 2 x + y − 3z = − 1 − 27 x = 54
x − 3 y − 2z = − 12 x= − 2 − 8 x − 4 y − 6z = − 16
3x + 4 y + 2 z = − 1
3x − 2 y − z = − 5 8 (− 2) + y = − 13
2 x + y − 3z = − 1 (2) − 5x − 4 z = − 17
− 16 + y = − 13
3x − 2 y − z = − 5 5x + 4 z = 17
y= 3
4 x + 2 y + 3z = 8
4 x + 2 y − 6z = − 2 2 (− 2) + 3( 3) + z = 1
2 x − y + 5z = 3 (2)
3x − 2 y − z = − 5 − 4+ 9+ z=1
4 x + 2 y + 3z = 8
7x − 7z = − 7 5+ z = 1
4 x − 2 y + 10z = 6
x− z= −1 z= − 4
sol : x = − 2 y = 3 z = − 4 8x + 13z = 14
Continúa Continúa

254. 7. Continuación 9. 2 x + 4 y + 3z = 3 10. Continuación 12. 4 x − y + 5z = − 6
10 x − 8 y − 9z = 0 2 x + 4 y − 2z = 2
8 x + 13z = 14 (− 5) 3x + 3y − 4 z = 30
4 x + 4 y − 3z = 2 x + y + 2 z = − 17 6 x + 2 y − 3z = 33
5x + 4 z = 17 (8)
2 x + 4 y + 3z = 3 ( 3) 3x + 5 y = − 15 4 x − y + 5z = − 6 (3)
− 40x − 65z = − 70
10x − 8 y − 9z = 0 4 x + 3y = 2 ( 3) 3x + 3y − 4 z = 30
40 x + 32 z = 136
− 33z = 66
6 x + 12 y + 9z = 9 3x + 5 y = − 15 (− 4) 12 x − 3y + 15z = − 18
10x − 8 y − 9z = 0 12 x + 9 y = 6 3x + 3 y − 4z = 30
z= −2
16 x + 4 y =9 − 12 x − 20 y = 60 + 11z = 12
5x + 4 (− 2) = 17
15x
10 x − 8 y − 9z = 0 − 11y = 66 4 x − y + 5z = − 6 (2)
5x − 8 = 17
4 x + 4 y − 3z = 2 (− 3) y= −6 6 x + 2 y − 3z = 33
5x = 25
x=5 10x − 8 y − 9z = 0 4 x + 3(− 6) = 2 8x − 2 y + 10z = − 12
− 12 x − 12 y + 9z = − 6 4 x − 18 = 2 6 x + 2 y − 3z = 33
2 (5) − y + 5(− 2) = 3
− 2 x − 20 y =−6 4 x = 20 14 x + 7z = 21
10 − y − 10 = 3
x + 10 y = 3 x=5 2x + z = 3
− y=3
16x + 4 y = 9 (5) 5 − 6 + 2z = − 17 15x + 11z = 12
y= −3
sol : x = 5 y = − 3 z = − 2 x + 10 y = 3 (− 2)
2z = − 16 2 x + z = 3 (− 11)
z= −8
80 x + 20 y = 45 15x + 11z = 12
sol : x = 5 y = − 6 z = − 8
8. 6 x + 3 y + 2 z = 12 − 2 x − 20 y = − 6 − 22 x − 11z = − 33
9 x − y + 4 z = 37
78 x = 39 11. 7 x + 3 y − 4 z = − 35 − 7x = − 21
10 x + 5 y + 3z = 21
1 3x − 2 y + 5z = 38 x=3
6 x + 3 y + 2 z = 12 x=
2 x + y − 6z = − 27 2 ( 3) + z = 3
9 x − y + 4 z = 37 ( 3)
 1 7 x + 3 y − 4 z = − 35 z= − 3
6 x + 3 y + 2 z = 12 16   + 4 y = 9
 2
27 x − 3 y + 12 z = 111 x + y − 6z = − 27 (− 3) 4 ( 3) − y + 5(− 3) = − 6
8+ 4y = 9
33x + 14 z = 123 7 x + 3 y − 4 z = − 35 12 − y − 15 = − 6
4y = 1
9 x − y + 4 z = 37 (5) − 3x − 3 y + 18z = 81 − y − 3= − 6
10 x + 5 y + 3z = 21
1
y= 4x + 14z = 46 − y= −3
4
45x − 5 y + 20z = 185 y= 3
 1  1 2 x + 7 z = 23
10 x + 5 y + 3z = 21 2   + 4   + 3z = 3 sol : x = 3 y = 3 z = − 3
 2  4 3x − 2 y + 5z = 38
55x + 23z = 206
1 + 1+ 3z = 3 x + y − 6z = − 27 (2) 13. 9 x + 4 y − 10z = 6
33x + 14 z = 123 (5)
3z = 1 3x − 2 y + 5z = 38
55x + 23z = 206 (− 3) 6 x − 8 y + 5z = − 1
165x + 70z = 615
1 2 x + 2 y − 12z = − 54 12 x + 12 y − 15z = 10
z=
6 x − 8 y + 5z = − 1 (− 2)
− 165x − 69 z = − 618
3 5x − 7 z = − 16
1 1 1
z= − 3 sol : x = y= z= 2 x + 7 z = 23 12 x + 12 y − 15z = 10
2 4 3
33x + 14 (− 3) = 123 5x − 7 z = − 16
10. 3x + y + z = 1 − 12 x + 16 y − 10z = 2
33x − 42 = 123 7x = 7
x + 2y − z = 1 12 x + 12 y − 15z = 10
33x = 165 x=1
x=5 x + y + 2z = − 17 28 y − 25z = 12
2 (1) + 7 z = 23
6 (5) + 3 y + 2 (− 3) = 12 3x + y + z = 1 9 x + 4 y − 10z = 6 ( 2)
7 z = 21
30 + 3 y − 6 = 12 x + 2y − z = 1
z=3
6 x − 8 y + 5z = − 1 (− 3)
3 y + 24 = 12 4 x + 3y =2 18 x + 8 y − 20z = 12
3 y = − 12 1 + y − 6 (3) = − 27
x + 2 y − z = 1 ( 2) y − 17 = − 27 − 18 x + 24 y − 15z = 3
y= −4
sol : x = 5 y = − 4 z = − 3
x + y + 2 z = − 17 y = − 10 32 y − 35z = 15
Continúa sol : x = 1 y = − 10 z = 3 Continúa

255. 13. Continuación 14. Continuación
17. y + z = − 8 19. 3z − 5x = 10
28 y − 25z = 12 (− 8) 10 x − (− 2) + z = 10
2x + z = 9 5x − 3 y = − 7
32 y − 35z = 15 ( 7)  1
10   − (− 2) + z = 10 3y + 2 x = − 3 3y − 5z = − 13
 5
− 224 y + 200z = − 96 y+ z= −8 − 5x + 3z = 10
2 + 2 + z = 10
224 y − 245z = 105
z= 6 2 x + z = 9 (− 1) 5x − 3 y =−7
− 45z = 9 y+ z= −8 − 3y + 3z = 3
1
1 sol : x = y= − 2 z= 6 − 2x − z= − 9 − y+ z=1
z= − 5
5 3y − 5z = − 13
15. x + y = 1 − 2 x + y = − 17
 1 − y + z = 1 ( 3)
28 y − 25  −  = 12 y+ z= −1 − 2 x + y = − 17
 5
z+ x= −6 2 x + 3y = − 3 3 y − 5z = − 13
28 y + 5 = 12
x+ y = 1 4 y = − 20 − 3 y + 3z = 3
28 y = 7
1 y + z = − 1 (− 1) y= −5 − 2 z = − 10
y= − 5+ z = − 8 z= 5
4 x+ y =1
 1   1 z= − 3 − y + 5= 1
− y− z=1
6x − 8   + 5 −  = − 1 − y= −4
 4   5 2x − 3= 9
x − z= 2
6x − 2 − 1 = − 1 2 x = 12 y= 4
x− z= 2
6x = 2 x= 6 5x − 3( 4) = − 7
x+ z= −6
1 sol : x = 6 y = − 5 z = − 3 5x − 12 = − 7
x= 2x =−4
3 5x = 5
x= −2
1 1 1 x=1
sol : x = y= z= − − 2+ y=1
3 4 5 18. 3x − 2 y = 0 sol : x = 1 y = 4 z = 5
y=3
14. 5x + 3 y − z = − 11 3 y − 4 z = 25
3+ z = − 1
10 x − y + z = 10 z − 5x = − 14
z= −4
15x + 2 y − z = − 7 3 y − 4z = 25 20. x − 2 y = 0
sol : x = − 2 y = 3 z = − 4
5x + 3 y − z = − 11 − 5x + z = − 14 ( 4) y − 2z = 5
10 x − y + z = 10 16. x + 2 y = − 1 3 y − 4z = 25 x+ y+ z=8
2y + z = 0 x + y+ z=8
15x + 2 y = −1 − 20 x + 4 z = − 56
10 x − y + z = 10
x + 2 z = 11
− 20 x + 3y = − 31 x − 2y = 0 (− 1)
x + 2y = −1
15x + 2 y − z = − 7 − 20 x + 3y = − 31 ( 2) x+ y+ z=8
2 y + z = 0 (− 1) − x + 2y =0
25x + y = 3 3x − 2 y = 0 ( 3)
15x + 2 y = − 1 x + 2y = −1 3y + z = 8
− 40 x + 6 y = − 62
− 2y − z = 0
25x + y = 3 (− 2) 9x − 6y = 0 3y + z = 8 ( 2)
x − z= −1 y − 2z = 5
15x + 2 y = − 1 − 31x = − 62
− 50 x − 2 y = − 6 x − z = − 1 (− 1) 6 y + 2z = 16
x= 2
x + 2 z = 11 y − 2z = 5
− 35x =−7 3 ( 2) − 2 y = 0
− x+ z = 1 = 21
1 6− 2y = 0 7y
x= x + 2 z = 11
5 − 2y = − 6 y=3
 1 3z = 12 y=3 x − 2 ( 3) = 0
15   + 2 y = − 1
 5 z= 4 x − 6= 0
3 ( 3) − 4z = 25
3+ 2 y = − 1 x− 4= −1 ⇒ x= 3 x=6
− 4 z = 16
2y = − 4 3+ 2 y = − 1 6 + 3+ z = 8
z= − 4
y= −2 2y = − 4 ⇒ y = − 2 z= −1
sol : x = 2 y = 3 z = − 4
Continúa sol : x = 3 y = − 2 z = 4 sol : x = 6 y = 3 z = − 1

256. 21. 5x − 3z = 2
23. Continuación 24. Continuación
2z − y = − 5
x−y+z=3 6 − 2y + 18 = 0
x + 2 y − 4z = 8
x + y − z =1 − 2y + 24 = 0
x + 2 y − 4z = 8
− 2y = − 24
− y + 2 z = − 5 ( 2) 2x =4
y = 12
x + 2 y − 4z = 8 x=2
sol: x = 6 y = 12 z = 18
− 2 y + 4 z = − 10 2−y+5=3
x =−2 −y+7=3
−y=−4
5 (− 2) − 3z = 2
y=4 x y z
− 10 − 3z = 2 25. + + = 21
sol: x = 2 y = 4 z = 5 3 4 3
− 3z = 12 4 x + 3 y + 4 z = 252
z= −4 x y z
+ − =0
2 (− 4 ) − y = − 5 x y z 5 6 3
24. + − =3 6 x + 5 y − 10z = 0
− 8− y = − 5 2 2 3
− y=3 3x + 3 y − 2 z = 18 x y z
+ − =3
y=−3 x y z 10 3 6
+ − = −5 3x + 10 y − 5z = 90
sol: x = − 2 y = − 3 z = − 4 3 6 2
22. 2 x − z = 14
2 x + y − 3z = − 30 6 x + 5 y − 10z = 0 (− 2)
4 x + y − z = 41
x y z 3x + 10 y − 5z = 90
− + =0
6 3 6 − 12 x − 10 y + 20z = 0
3x − y + 5z = 53
x − 2y + z = 0
4 x + y − z = 41 3x + 10 y − 5z = 90
3x + 3 y − 2 z = 18 (2)
3x − y + 5z = 53 − 9x + 15z = 90
x − 2 y + z = 0 (3)
7x + 4 z = 94 − 3x + 5z = 30
6 x + 6 y − 4 z = 36 4 x + 3 y + 4 z = 252 (10)
7 x + 4 z = 94
3x − 6 y + 3z = 0
2 x − z = 14 (4) 3x + 10 y − 5z = 90 (− 3)
9x − z = 36
7 x + 4 z = 94 40 x + 30 y + 40z = 2 . 520
2 x + y − 3z = − 30 (2)
8 x − 4 z = 56 − 9 x − 30 y + 15z = − 270
x − 2y + z = 0
15x = 150 31x + 55z = 2 . 250
4 x + 2 y − 6z = − 60
x = 10
x − 2y + z = 0
− 3x + 5z = 30 (− 11)
2 (10) − z = 14 31x + 55z = 2 . 250
5x − 5z = − 60
20 − z = 14 33x − 55z = − 330
x − z = − 12
− z= −6 31x + 55z = 2 . 250
9 x − z = 36
z=6 = 1. 920
(− 1)
64 x
4 (10) + y − 6 = 41 x − z = − 12
x = 30
y + 34 = 41 9 x − z = 36
− 3 ( 30) + 5z = 30
y=7 − x + z = 12
− 90 + 5z = 30
sol: x = 10 y = 7 z = 6 8x = 48 5z = 120
23. x + y − z = 1 x=6 z = 24
z+x−y=3 6 − z = − 12 6 (30) + 5 y − 10 (24) = 0
z−x+y=7 − z = − 18 180 − 240 + 5 y = 0
z+x−y=3 z = 18 5 y = 60
z−x+y=7 y = 12
2z = 10 ⇒ z = 5 Continúa sol : x = 30 y = 12 z = 24
Continúa

257. y+ z 27. Continuación 28. Continuación
26. x − =4
3
y− z x+2 5x − y − 5z = 22
3x − y − z = 12 =
3 10 − x − 3y + 3z = − 22 (5)
x+ z
y− = 10 10 ( y − z ) = 3 (x + 2) 5x − y − 5z = 22
8
8 y − x − z = 80 10 y − 10z = 3x + 6 − 5x − 15 y + 15z = − 110
y− x 3x − 10 y + 10z = − 6 − 16 y + 10z = − 88
z− =5
2 2 x − 5 y − 2 z = − 20 (5) − 8 y + 5z = − 44
2 z − y + x = 10 3x − 10 y + 10z = − 6 − 8 y + 5z = − 44
3x − y − z = 12 (− 1) 10 x − 25 y − 10z = − 100 8 y − 7z = 36
− x + 8 y − z = 80 3x − 10 y + 10z = − 6 − 2z = − 8
− 3x + y + z = − 12 13x − 35 y = − 106 z= 4
− x + 8 y − z = 80 13x − 35 y = − 106 (2) 8 y − 7 (4) = 36
− 4x + 9 y = 68 5x − 2 y = 28 (− 35) 8 y − 28 = 36
− x + 8 y − z = 80 (2) 8 y = 64
26 x − 70 y = − 212
x − y + 2 z = 10 y=8
− 175x + 70 y = − 980
− 2 x + 16 y − 2 z = 160 − x − 3(8) + 3(4) = − 22
− 149 x = − 1.192
x − y + 2 z = 10 − x − 12 = − 22
x=8
x = 10
− x + 15y = 170 5 (8) − 2 y = 28
sol : x = 10 y = 8 z = 4
− 4 x + 9 y = 68 40 − 2 y = 28
− x + 15 y = 170 (− 4 ) − 2 y = − 12
29. x− y+
y− z
=3
− 4 x + 9 y = 68 y=6 2
4 x − 60 y = − 680 2 (8) − 5 (6) − 2 z = − 20 2x − 2 y + y − z = 6
16 − 30 − 2 z = − 20 2x − y − z = 6
− 51y = − 612
− 2z = − 6 x− y x− z
y = 12 − =0
z= 3 2 4
− 4 x + 9 (12) = 68 2x − 2 y − x + z = 0
− 4 x + 108 = 68 sol : x = 8 y = 6 z = 3
x − 2y + z = 0
− 4 x = − 40 z+ 4 y− z
28. y− = x−6 − x= −5
x = 10 2 2
3 (10) − 12 − z = 12 2 y − z − 4 = 2 x − 12 y − z − 2 x = − 10
30 − 12 − z = 12 − 2x + 2 y − z = − 8 2x − y − z = 6
18 − z = 12 x−7 − 2 x + y − z = − 10
z− = y−5
3
z=6 − 2z = − 4
3z − x + 7 = 3 y − 15
sol : x = 10 y = 12 z = 6 z= 2
− x − 3 y + 3z = − 22
x+ y y+4 x − 2y + z = 0
27. = y+2
7 5 x−
5
= z+ 4 2x − y − z = 6 (− 2 )
5 ( x + y ) = 7 ( y + 4) 5x − y − 2 = 5z + 20 x − 2y + z = 0
5x + 5 y = 7 y + 28 5x − y − 5z = 22 − 4 x + 2 y + 2 z = − 12
5x − 2 y = 28 − 2x + 2 y − z = − 8 − 3x + 3z = − 12
− x − 3 y + 3z = − 22 (− 2)
x− z y−4
= − 3x + 3(2) = − 12
5 2
− 2x + 2 y − z = − 8 − 3x + 6 = − 12
2 ( x − z ) = 5 ( y − 4)
2 x + 6 y − 6z = 44 − 3x = − 18
2 x − 2 z = 5 y − 20
8 y − 7z = 36 x=6
2 x − 5 y − 2 z = − 20
Continúa Continúa Continúa

258. 29. Continuación 3 2
31. + = 2
6 − 2y + 2 = 0 x y 32. Continuación
1 4 2
− 2y + 8 = 0 2 2 3
+ =
y z 2
(− 1) + + = − 6 (5)
x y z
− 2y = − 8
6 5 6
y=4 3 2
+ = 2 − − = 31 (4)
x y z
sol: x = 6 y = 4 z = 2 x y
2 2 3 5 20 10
− − =− + + = − 30
y z 2 x y z
24 20 24
1 1 3
−
2
=
1 − − = 124
30. + =5 x y z
x y x z 2
29 14
3 2 1 − = 94
+ = 6 (− 1) ( 2)
1 1 − = x z
x z x z 2
− − = 12 (− 7)
5 6
1 4 4
1 1 + = x z
+ = 5 x z 3
x y 29 14
6 4 − = 94 (3)
1 1 − =1 x z
− − =−6 x z
x z 35 42
1 4 4 + = 84
1 1 + = x z
− = −1 x z 3
y z 87 42
7 7 − = 282
1 1 = x z
− = −1 x 3
y z 122
x=3 = 366
1 1 x
+ = 7 3 2
122 = 366 x
y z + =2
3 y
1
2
=6 2 =x
y 1+ = 2 3
y 5 6
1 2 − − = − 12
=y =1
1 z
3 y 3
1 1
+ =5 2= y 6
x 1 − 15 − = − 12
3 2 1 z
3 − = 6
1 3 z 2 − =3
+ 3= 5 2 1 z
x 1− = − 2= z
1 z 2
=2 2 1 1 4 2
x − =− + + =−6
z 2 1 y −2
1
=x 4= z 3
2
sol : x = 3 y = 2 z = 4 4
1 1 3 + − 1= − 6
+ =6 y
1 z
4
2 = −8
1 y
1 4 2
2+ = 6 32. + + =−6 1
z x y z − =y
1 2
=4 + + = 3 (− 2)
3 2 4
z 1 1
x y z sol : x = y= − z= −2
1 1 4 2 3 2
=z + + =−6
4 x y z
1 1 1
sol : x = y = z= 6 4 8
2 3 4 − − − =−6
x y z
5 6
− − = − 12
x z
Continúa

259. EJERCICIO 187
1. 1 2 1 7. 5 2 −8
1 3 4 −3 −7 3
1 0 2 4 0 −1
1 2 1 5 2 −8
1 3 4 −3 −7 3
⇒6 +0+ 8− 3−0− 4 =7 ⇒ 35 + 0 + 24 − 224 + 0 − 6 = − 171
2. 1 2 −2 8. 3 2 5
1 −3 3 −1 − 3 4
−1 4 5 3 2 5
1 2 −2 3 2 5
1 −3 3 −1 − 3 4
⇒ − 15 − 8 − 6 + 6 − 12 − 10 = − 45 ⇒ − 45 − 10 + 24 + 45 − 24 + 10 = 0
3. − 3 4 1 9. 5 2 3
2 −3 0 6 1 2
1 2 7 3 4 5
−3 4 1 5 2 3
2 −3 0 6 1 2
⇒ 63 + 4 + 0 + 3 + 0 − 56 = 14 ⇒ 25 + 72 + 12 − 9 − 40 − 60 = 0
4. 2 5 −1 10. 12 5 10
3 −4 3 8 −6 9
6 2 4 7 4 −2
2 5 −1 12 5 10
3 −4 3 8 −6 9
⇒ − 32 − 6 + 90 − 24 − 12 − 60 = − 44 ⇒ 144 + 320 + 315 + 420 − 432 + 80 = 847
5. 5 −1 − 6 11. − 9 3 −4
−2 5 3 7 −5 −3
3 4 2 4 6 1
5 −1 − 6 −9 3 −4
−2 5 3 7 −5 −3
⇒ 50 + 48 − 9 + 90 − 60 − 4 = 115 ⇒ 45 − 168 − 36 − 80 − 162 − 21= − 422
6. 4 1 5 12. 11 − 5 7
3 2 −6 − 12 3 8
12 3 2 − 13 1 9
4 1 5 11 − 5 7
3 2 −6 − 12 3 8
⇒ 16 + 45 − 72 − 120 + 72 − 6 = − 65 ⇒ 297 − 84 + 520 + 273 − 88 − 540 = 378

260. EJERCICIO 188 2. Continuación
− 18 + 2 + 6 + 6 + 12 + 3 11
1. x + y + z = 11 x= = = −1
x − y + 3z = 13 3 − 4 − 1− 1− 2 − 6 − 11
2x + 2y − z = 7 1 −6 1
11 1 1 2 −1 −1
13 −1 3 y= 1 −6 3
7 2 −1 1 −6 1
11 1 1 2 −1 −1
−1 3 − 3 − 12 + 6 + 1− 6 + 36 22
x=
13 y= = = −2
1 1 1 − 11 − 11
1 −1 3 1 1 −6
2 2 −1 2 1 −1
1 1 1 z= 1 −2 −6
1 −1 3 1 1 −6
11+ 26 + 21+ 7 − 66 + 13 12 2 1 −1
x= = =2
1+ 2 + 6 + 2 − 6 + 1 6 − 6 + 24 − 1+ 6 − 2 + 12 33
z= = =−3
1 11 1 − 11 − 11
1 13 3 sol: x = − 1 y = − 2 z = − 3
y= 2 7 −1 3. 2 x + 3 y + 4 z = 3
2 x + 6 y + 8z = 5
1 11 1
4x + 9 y − 4z = 4
1 13 3
3 3 4
− 13 + 7 + 66 − 26 − 21+ 11 24
y= = =4 5 6 8
6 6 4 9 −4
1 1 11 3 3 4
1 − 1 13 5 6 8
x=
z= 2 2 7 2 3 4
1 1 11 2 6 8
1 − 1 13 4 9 −4
2 3 4
− 7 + 22 + 26 + 22 − 26 − 7 30
z= = =5 2 6 8
6 6
− 72 + 180 + 96 − 96 − 216 + 60 − 48 1
sol: x = 2 y=4 z=5 x= = =
− 48 + 72 + 96 − 96 − 144 + 24 − 96 2
2. x + y + z = − 6 2 3 4
2x + y − z = − 1 2 5 8
x − 2y + 3z = − 6 y= 4 4 −4
−6 1 1 2 3 4
2 5 8
−1 1 −1
− 40 + 32 + 96 − 80 − 64 + 24 − 32 1
−6 −2 3 y= = =
− 96 − 96 3
−6 1 1
2 3 3
−1 1 −1
x= 2 6 5
1 1 1 z= 4 9 4
2 1 −1 2 3 3
1 −2 3 2 6 5
1 1 1 48 + 54 + 60 − 72 − 90 − 24 − 24 1
z= = =
2 1 −1 − 96 − 96 4
1 1 1
sol : x = y= z=
2 3 4

261. 4. 4x − y + z = 4 5. Continuación
2x + 2y − z = 2 66 + 25 − 104 − 260 − 11+ 60 − 224
6x − 2y + 3z = 12 x= = =−2
6 + 15 + 16 + 40 − 1+ 36 112
4 −1 1 1 11 5
2 2 −1 3 5 1
12 −2 3 y = 4 − 26 −3
4 −1 1 1 11 5
2 2 −1 3 5 1
x=
4 −1 1
− 15 − 390 + 44 − 100 + 26 + 99 − 336
2 2 −1 y= = =−3
112 112
6 −2 3 1 4 11
4 −1 1 3 −2 5
2 2 −1 z= 4 1 − 26
24 − 4 + 12 − 24 − 8 + 6 6 1 1 4 11
x= = =
24 − 4 + 6 − 12 − 8 + 6 12 2 3 −2 5
4 4 1 52 + 33 + 80 + 88 − 5 + 312 560
z= = =5
2 2 −1 112 112
y = 6 12 3 sol: x = − 2 y=−3 z=5
4 4 1
2 2 −1 6. 7x + 10y + 4z = − 2
24 + 24 − 24 − 12 + 48 − 24 36 5x − 2y + 6z = 38
y= = =3 3x + y − z = 21
12 12
4 −1 4 −2 10 4
38 − 2 6
2 2 2
21 1 −1
z = 6 − 2 12
−2 10 4
4 −1 4 38 − 2 6
2 2 2 x=
7 10 4
96 − 16 − 12 − 48 + 16 + 24 60 5 −2 6
z= = =5
12 12 3 1 −1
1 7 10 4
sol: x = y=3 z=5
2 5 −2 6
− 4 + 152 + 1. 260 + 168 + 12 + 380 1. 968
5. x + 4y + 5z = 11 x= = =8
14 + 20 + 180 + 24 − 42 + 50 246
3x − 2y + z = 5
7 −2 4
4x + y − 3z = − 26
5 38 6
11 4 5 y= 3 21 −1
5 −2 1 7 −2 4
− 26 1 − 3 5 38 6
11 4 5 − 266 + 420 − 36 − 456 − 882 − 10 − 1. 230
y= = =−5
246 246
5 −2 1
x= 7 10 − 2
1 4 5
5 −2 38
3 −2 1 z= 3 1 21
4 1 −3 7 10 −2
1 4 5 5 −2 38
3 −2 1 − 294 − 10 + 1. 140 − 12 − 266 − 1. 050 − 492
z= = =−2
Continúa 246 246
sol : x = 8 y=−5 z=−2

262. 7. 4x + 7y + 5z = − 2 8. Continuación
6x + 3y + 7z = 6 − 110 + 192 + 990 − 66 + 396 − 800 602
x= = =−2
x − y + 9z = − 21 15 + 12 − 240 + 16 − 54 − 50 − 301
−2 7 5 3 − 22 2
6 3 7 2 32 6
− 21 − 1 9 y= 8 − 33 −5
−2 7 5 3 − 22 2
6 3 7 2 32 6
x=
4 7 5 − 480 − 132 − 1. 056 − 512 + 594 − 220 − 1. 806
y= = =6
6 3 7 − 301 − 301
1 −1 9 3 −5 − 22
4 7 5 2 −1 32
6 3 7 z= 8 3 − 33
− 54 − 30 − 1. 029 + 315 − 14 − 378 − 1.190 3 −5 − 22
x= = =5
108 − 30 + 49 − 15 + 28 − 378 − 238 2 −1 32
4 −2 5 99 − 132 − 1. 280 − 176 − 288 − 330 − 2 .107
z= = =7
6 6 7 − 301 − 301
y= 1 − 21 9 sol: x = − 2 y=6 z=7
4 −2 5
6 6 7 9. x + y + z = 3
x + 2y = 6
216 − 630 − 14 − 30 + 588 + 108 238
y= = = −1 2x + 3y = 6
− 238 − 238
3 1 1
4 7 −2 6 2 0
6 3 6 6 3 0
z = 1 −1 − 21 3 1 1
4 7 −2 6 2 0
x=
6 3 6 1 1 1
1 2 0
− 252 + 12 + 42 + 6 + 24 + 882 714
z= = =−3 2 3 0
− 238 − 238
1 1 1
sol: x = 5 y = −1 z= −3 1 2 0
0 + 18 + 0 − 12 + 0 + 0 6
x= = =−6
8. 3x − 5y + 2z = − 22 0+3+0−4+0+0 −1
2x − y + 6z = 32 1 3 1
8x + 3y − 5z = − 33 1 6 0
y= 2 6 0
− 22 −5 2
1 3 1
32 −1 6
1 6 0
− 33 3 −5 0 + 6 + 0 − 12 + 0 + 0 − 6
y= = =6
− 22 −5 2 −1 −1
32 −1 6 1 1 3
x=
3 −5 2 1 2 6
2 −1 6 z= 2 3 6
8 3 −5 1 1 3
1 2 6
3 −5 2
12 + 9 + 12 − 12 − 18 − 6 − 3
2 −1 6 z= = =3
−1 −1
Continúa sol : x = − 6 y=6 z=3

263. 10. 3x − 2y = − 1 11. Continuación
4x + z = − 28 − 144 − 18 + 0 + 0 − 72 − 72 − 306
x= = =6
x + 2y + 3z = − 43 − 48 − 3 + 72 − 36 − 24 − 12 − 51
−1 −2 0 4 12 3
− 28 0 1 1 6 −6
y= 4 0 −4
− 43 2 3
4 12 3
−1 −2 0
1 6 −6
− 28 0 1 − 96 + 0 − 288 − 72 + 0 + 48 − 408
x= y= = =8
3 −2 0 − 51 − 51
4 0 1 4 −3 12
1 2 3 1 3 6
3 −2 0 z= 4 −1 0
4 0 1 4 −3 12
1 3 6
0 + 0 + 86 + 0 + 2 − 168 − 80
x= = = −5 0 − 12 − 72 − 144 + 24 + 0 − 204
0 + 0 − 2 + 0 − 6 + 24 16 z= = =4
− 51 − 51
3 −1 0 sol : x= 6 y=8 z=4
4 − 28 1
x y
y = 1 − 43 3 12. + y = 2z + 3 ; x − y =1 ; x+z= + 11
3 4
3 −1 0
x + 3y = 6z + y ; ; 4x + 4z = y + 44
4 − 28 1
x + 3y − 6z = 9 4x − y + 4z = 44
− 252 + 0 − 1+ 0 + 129 + 12 − 112
y= = = −7 9 3 −6
16 16
1 −1 0
3 −2 −1
44 −1 4
4 0 − 28
9 3 −6
z= 1 2 − 43
1 −1 0
3 −2 −1 x=
1 3 −6
4 0 − 28
1 −1 0
0 − 8 + 56 + 0 + 168 − 344 − 128 −1
z= = =−8 4 4
16 16
1 3 −6
sol: x = − 5 y=−7 z=−8
1 −1 0
x y z
− + =1 − 36 + 6 + 0 − 264 + 0 − 12 − 306
11. x= = =9
3 4 4 − 4 + 6 + 0 − 24 + 0 − 12 − 34
4 x − 3y + 3z = 12
x y
1 9 −6
+ − z=1
6 2 1 1 0
2x + 6 y − 12z = 12 y= 4 44 4
x + 3y − 6z = 6 1 9 −6
x y z
− − =0 1 1 0
2 8 2
4x − y − 4z = 0 4 − 264 + 0 + 24 + 0 − 36 − 272
y= = =8
12 −3 3 − 34 − 34
6 3 −6 1 3 9
0 −1 −4 1 −1 1
12 −3 3 z= 4 −1 44
6 3 −6
x= 1 3 9
4 −3 3
1 −1 1
1 3 −6
−1 −4 − 44 − 9 + 12 + 36 + 1− 132 − 136
4 z= = =4
4 −3 3 − 34 − 34
1 3 −6 sol: x = 9 y=8 z=4
Continúa

264. EJERCICIO 191
1. x + 2y + z = 8 2x + 2y + z = 9 3x + 3y + 5z = 24
Plano ABC x + 2y + z = 8 Plano DEF 2 x + 2y + z = 9 Plano GHI 3x + 3y + 5z = 24
Para y = 0 z = 0 x=8 Para y = 0 z = 0 x = 4 2
1
Para y = 0 z = 0 x = 8
Para x = 0 z = 0 y=4 Para x = 0 z = 0 y = 4 2
1
Para x = 0 z = 0 y = 8
Para x = 0 y = 0 z=8 Para x = 0 y = 0 z = 9 Para x = 0 y = 0 z = 4 4
5
D
A
G
N
N
N
N
N
R 3
M 1 C
F I Q
2
B
E
H
Sol : x = 1 y= 2 z = 3

265. 2. x + y + z = 5 3x + 2y + z = 8 2x + 3y + 3z = 14
Plano ABC x+y+z=5 Plano DEF 3x + 2y + z = 8 Plano GHI 2x + 3y + 3z = 14
Para y = 0 z = 0 x=5 Para y = 0 z = 0 x = 2 2
3 Para y = 0 z = 0 x = 7
Para x = 0 z = 0 y=5 Para x = 0 z = 0 y = 4 Para x = 0 z = 0 y = 4 2
3
Para x = 0 y = 0 z=5 Para x = 0 y = 0 z = 8 Para x = 0 y = 0 z = 4 2
3
D
A
G
N
Q
3
1 I
F C
1
M
R
E
H
B
sol : x = 1 y=1 z=3

266. 3. 2 x + 2 y + 3z = 23 2 x + 3y + 2 z = 20 4 x + 3 y + 2z = 24
Plano ABC 2 x + 2 y + 3z = 23 Plano DEF 2 x + 3 y + 2 z = 20 Plano GHI 4 x + 3 y + 2 z = 24
Para y = 0 z = 0 x = 11 1
2 Para y = 0 z = 0 x = 10 Para y = 0 z = 0 x = 6
Para x = 0 z = 0 y = 11 1
2 Para x = 0 z = 0 y = 6 2
3 Para x = 0 z = 0 y = 8
Para x = 0 y = 0 z=72
3 Para x = 0 y = 0 z = 10 Para x = 0 y = 0 z = 12
G
D
Q
A
N
5
I F C
M
2
2
R
E
H
B
sol : x = 2 y=2 z=5

267. 4. 2 x + 2 y + 3z = 24 4 x + 5y + 2z = 35 3x + 2 y + z = 19
Plano ABC 2 x + 2 y + 3z = 24 Plano DEF 4 x + 5 y + 2 z = 35 Plano GHI 3x + 2 y + z = 19
Para y = 0 z = 0 x = 12 Para y = 0 z = 0 x = 8 4
3
Para y = 0 z = 0 x = 6 1
3
Para x = 0 z = 0 y = 12 Para x = 0 z = 0 y = 7 Para x = 0 z = 0 y = 9 1
2
Para x = 0 y = 0 z=8 Para x = 0 y = 0 z = 17 1
2 Para x = 0 y = 0 z = 19
M
G
D M
Q
M
M
A M
M
M
N
4 M
3 I F C
M M
3 M
M
R
M
E
H M M
M
B
M
sol : x = 3 y=3 z=4

268. 5. 3x + 4y + 5z = 35 2x + 5y + 3z = 27 2x + y + z = 13
Plano ABC 3x + 4y + 5z = 35 Plano DEF 2x + 5y + 3z = 27 Plano GHI 2x + y + z = 13
Para y = 0 z = 0 x = 11 2
3 Para y = 0 z = 0 x = 13 2
1
Para y = 0 z = 0 x = 6 2
1
Para x = 0 z = 0 y=8 3
4 Para x = 0 z = 0 y = 5 2
5 Para x = 0 z = 0 y = 13
Para x = 0 y = 0 z=7 Para x = 0 y = 0 z = 9 Para x = 0 y = 0 z = 13
G
D
A Q
M
3
I C F
2
4
N
R
E
B
H
sol : x = 4 y=2 z=3

269. 6. 4x + 3y + 5z = 42 3x + 4y + 3z = 33 2x + 5y + 2z = 29
Plano ABC 4x + 3y + 5z = 42 Plano DEF 3x + 4y + 3z = 33 Plano GHI 2x + 5y + 2z = 29
Para y = 0 z = 0 x = 10 2
1
Para y = 0 z = 0 x = 11 Para y = 0 z = 0 x = 14 2
1
Para x = 0 z = 0 y = 14 Para x = 0 z = 0 y = 8 1
4 Para x = 0 z = 0 y = 5 4
5
Para x = 0 y = 0 z=8 2
5 Para x = 0 y = 0 z = 11 Para x = 0 y = 0 z = 14 2
1
G
D
A
R
M
5
C F I
3 N
2
Q
H
E
B
sol : x = 2 y=3 z=5

270. 5. x → Cifra decenas EJERCICIO 199
y → Cifra unidades
10 x + y − 17 1. x → Monedas de 20 cts. 4. Continuación
=5
x+ y y → Monedas de 10 cts. 5y = 115
10 x + y − 17 = 5( x + y ) x + y= 78 (− 10) y = 23
5x − 4 y = 17 20 x + 10 y = 1.130 x + 23 = 44
10 x + y − 2 x = 21
− 10 x − 10 y = − 780
= 19
y−2 20 x + 10 y = 1.130
sol: 21 Monedas de 20 cts.
10 x + y − 2 = 19 ( y − 2)
23 Monedas de 25 cts.
10 x = 350
10 x − 18 y = − 36 x = 35 5. x → Billetes de $ 1
5x − 9 y = − 18 y → Billetes de $ 2
35 + y = 78
5x − 4 y = 17 y = 43 x + y = 287 (− 1)
5x − 9 y = − 18 (− 1) sol : 35 Mon. de 20 cts. x + 2 y = 419
5x − 4 y = 17 43 Mon. de 10 cts. − x − y = − 287
− 5x + 9 y = 18 2. x → Monedas de $ 5 x + 2 y = 419
5 y = 35 ⇒ y = 7 y → Monedas de $ 4 y = 132
5x − 4 (7) = 17 x + y = 91 (− 4) x + 132 = 287
5x − 28 = 17 x = 155
5x + 4 y = 404
5x = 45 ⇒ x = 9 sol : 97 sol : 155 Billetes de $ 1
− 4 x − 4 y = − 364
132 Billetes de $ 2
6. x → Cifra decenas 5x + 4 y = 404
y → Cifra unidades x = 40 6. x → Libros de 3 col.
10 x + y + 9 = 10 y + x y → Libros de 7 col.
40 + y = 91
9x − 9 y = − 9 y = 51 x + y = 34 (− 3)
x− y= −1 sol : 40 Mon. de $ 5 3x + 7 y = 174
10 y + x − 1 − 3x − 3 y = − 102
=6 51 Mon. de $ 4
7 3x + 7 y = 174
x + 10 y = 43 3. x → N º de adultos
y → N º de niños 4 y = 72
x− y = −1 (− 1) y = 18
x + 10 y = 43 x+ y = 700 (− 15)
x + 18 = 34
40 x + 15 y = 18 . 000
− x+ y = 1 x = 16
x + 10 y = 43 − 15x − 15 y = − 10 .500
sol : 16 libros de 3 col.
40 x + 15 y = 18 . 000
11y = 44 ⇒ y = 4 18 libros de 7 col.
x− 4= −1 ⇒ x= 3 25x = 7 .500
sol : 34 7. x → N º de trajes
x = 300
7. x → Cifra decenas y → N º de sombreros
300 + y = 700
y → Cifra unidades
y = 400
x + y= 54 (− 45)
x+ y= 9
375x + 45 y = 6 . 720
10 ( x + 1) + y − 1 = 10 y + x
sol : 300 adultos y 400 niños
− 45x − 45 y = − 2 . 430
10 x + 10 + y − 1 = 10 y + x 4. x → Monedas de 20 cts.
375x + 45 y = 6 . 720
9x − 9 y = − 9 y → Monedas de 25 cts.
= 4 . 290
(− 20)
330 x
x− y= −1 x + y = 44
x = 13
x+ y= 9 20 x + 25 y = 995
13 + y = 54 ⇒ y = 41
x− y= −1 − 20 x − 20 y = − 880 sol : 13 trajes
2x = 8 ⇒ x = 4 20 x + 25 y = 995 41 sombreros
4+ y= 9 ⇒ y= 5 sol : 45 Continúa

271. EJERCICIO 200
1. A − 1 = B + 1 4. A − 10 = 2 ( B − 10) 6. Continuación
− 6 A + 9 B = 15
A− B= 2 A − 2 B = − 10
7 A − 9 B = 20
A + 1 = 3 ( B − 1) 3
( A + 10) = B + 10
4 A = 35
A − 3B = − 4
3 ( A + 10) = 4 (B + 10) 2 ( 35) − 3B = − 5
A− B = 2 (− 1) 3 A − 4 B = 10 70 − 3B = − 5
A − 3B = − 4 B = 25
A − 2 B = − 10 (− 2)
− A+ B = − 2 sol : A → 35 Años
3 A − 4 B = 10
A − 3B = − 4 B → 25 Años
− 2 A + 4 B = 20
− 2B = − 6 7. x → Edad Hombre
3 A − 4 B = 10
B=3 y → Edad Esposa
A = 30
A − 3= 2 9y
30 − 2 B = − 10 x=
A=5 5
− 2 B = − 40
sol : A → $ 5 B → $ 3
B = 20
3
5
( x + 4) = y + 4
2. B − 2 = A + 2
sol : A → 30 Años 3x + 12 = 5 y + 20
A− B = − 4
B → 20 Años 3x − 5 y = 8
2 ( A − 2) = B + 2
5. A − 6 = 2 ( B − 6) 5x − 9 y = 0 ( 3)
2A− B= 6
A − 2B = − 6 3x − 5 y = 8 (− 5)
A − B= −4 (− 1)
A + 6 = ( B + 6) 15x − 27 y = 0
8
2A− B = 6 5 − 15x + 25y = − 40
− A+ B= 4 5 ( A + 6) = 8 ( B + 6)
y = 20
2A− B= 6 5 A − 8 B = 18
9
A = 10 A − 2B = − 6 (− 4 ) x = (20)
5
10 − B = − 4 5 A − 8 B = 18 x = 9 ( 4)
− B = − 14
− 4 A + 8 B = 24 x = 36
B = 14
5 A − 8 B = 18 sol : 36 Años → tiene el hom bre
sol : A → 10 soles
A = 42 20 Años → tiene la esposa
B → 14 soles
42 − 2 B = − 6 8. A − 25 = B + 25
3. P → Pedro
− 2 B = − 48 A − B = 50
J → Juan
B = 24
P − 3= J + 3
sol : A → 42 Años
5
17
( A + 35) = B − 35
P− J = 6 5 A + 175 = 17 B − 595
B → 24 Años
4 ( J − 3) = P + 3 5 A − 17 B = − 770
P − 4 J = − 15 6. A − 5=
3
2
(B − 5) A− B = 50 (− 5)
P− J = 6 (− 1) 2 ( A − 5) = 3 ( B − 5) 5 A − 17 B = − 770
P − 4 J = − 15 2 A − 3B = − 5 − 5 A + 5 B = − 250
− P+ J = − 6 5 A − 17 B = − 770
7
( A + 10) = B + 10
P − 4 J = − 15 9 − 12 B = − 1. 020
− 3J = − 21 7 ( A + 10) = 9 ( B + 10) B = 85
J=7 7 A − 9 B = 20 A − 85 = 50
P − 7 = 6 ⇒ P = 13 2 A − 3B = − 5 (− 3) A = 135
sol : Pedro → $ 13 7 A − 9 B = 20 sol : A → 135 Lempiras
Juan → $ 7 Continúa B → 85 Lempiras

272. 9. x → Edad padre 12. x → Edad de Enrique
10. P + 15 = 5 ( J − 15)  
B B
y → Edad hijo 11. A+ + 60 = 4  B − − 60 y → Edad hermana
2  2 
P − 5 J = − 90
( x − 6) = y − 6 x − 6 = ( y − 6)
1 3
2 A + B + 120 = 8B − 4 B − 480
5 3 ( P − 20) = J + 20 2
2 A + B + 120 = 4 B − 480 2 x − 12 = 3 y − 18
x − 6 = 5 y − 30 3 P − J = 80
2 A − 3B = − 600 2 x − 3y = − 6
x − 5y = − 24
P − 5 J = − 90 (− 3) B + 80 − 310 = A − 80
4 ( x + 6) = 5 ( y + 6)
2
5
( x + 9) = y + 9 3P − J = 80 B − 230 = A − 80
4 x + 24 = 5 y + 30
2 x + 18 = 5y + 45 − 3 P + 15 J = 270 A − B = − 150
4 x − 5y = 6
2 x − 5y = 27 3 P − J = 80 2 A − 3B = − 600
2 x − 3 y = − 6 (− 2 )
x − 5y = − 24 (− 1) 14 J = 350 A − B = − 150 (− 2)
J = 25 4 x − 5y = 6
2 x − 5y = 27 2 A − 3B = − 600
3 P − 25 = 80 − 4 x + 6 y = 12
− x + 5y = 24 − 2 A + 2 B = 300
3 P = 105 4 x − 5y = 6
2 x − 5y = 27 B = 300
P = 35 y = 18
x = 51 A − 300 = − 150
sol : 35 cts. → tenia Pedro
A = 150 cts. 2 x − 3 (18) = − 6
51 − 5 y = − 24
25 cts. → tenia Juan 2 x − 54 = − 6
− 5 y = − 75 sol : $ 1, 50 → tiene A
$ 3 → tiene B 2 x = 48
y = 15
x = 24
sol : 51 Años → Edad padre
sol : 24 Añ. → Ed . Enrique
15 Años → Edad hijo
18 Añ. → Ed . herm.
EJERCICIO 201
1. x → Veloc. bote agua tranq. 2. x → Veloc. bote agua tranq. 3. x → Tiempo ida
y → Veloc. del rio y → Veloc. del rio y → Tiempo vuelta
x + y → Veloc. bote a favor x + y → Veloc. bote a favor x+ y=5
del agua del agua 8 12
=
x − y → Veloc. bote contra x − y → Veloc. bote contra x y
la corriente agua 12 x − 8 y = 0
10 28 7 x + y = 5 (8)
=1 =
x+y x+y 4 12 x − 8 y = 0
x + y = 10 7x + 7y = 112 8 x + 8 y = 40
4 x + y = 16
=1 20 x = 40
x−y 24
=3 x=2
x−y=4 x−y
12 ( 2) − 8 y = 0
x + y = 10 3x − 3y = 24
− 8 y = − 24
x−y= 4 x−y=8
y=3
2x = 14 x + y = 16
sol : 2h → Tiempo ida
x=7 x−y= 8
3h → Tiempo vuelta
7−y=4 2x = 24
y=3 x = 12
12 − y = 8
sol: 7 Km h → Veloc.
y=4
bote agua tranq.
3 Km h → Veloc. del rio
sol: 12 Km h → Bote
4 Km h → Rio

273. 4. x → Veloc. bote agua tranq. 6. x → tiempo ida
y → Veloc. rio y → tiempo vuelta EJERCICIO 202
x + y → Veloc. bote a favor x+ y=5
de la cte 8 12
=
x − y → Veloc. bote en contra x y
de la cte 12 x − 8 y = 0 1. x → N º mayor
3x − 2 y = 0 y → N º medio
40 5
= z → N º menor
x+y 2 x + y = 5 ( 2)
5x + 5y = 80 3x − 2 y = 0 x+ y
z − 1=
3
x + y = 16 2 x + 2 y = 10
3z − 3 = x + y
40
=5 3x − 2 y = 0
x + y − 3z = − 3
x−y 5x = 10 x + y + z = 37
5x − 5y = 40
x=2 y − z = x − 13
x−y=8
2+ y = 5 x − y + z = 13
x + y = 16
y=3
x−y= 8 x + y + z = 37 (− 1)
sol : 2h → tiempo ida
2x = 24 ⇒ x = 12 x + y − 3z = − 3
3h → tiempo vuelta
12 − y = 8 ⇒ y = 4 − x − y − z = − 37
Entonces
sol: 12h → Veloc. bote x + y − 3z = − 3
32 Km
4h → Veloc. rio = 16 Km h → Veloc. rio abajo − 4 z = − 40
2h
5. x → tiempo ida 12 Km z = 10
= 4 Km h → Veloc. rio arriba
y → tiempo vuelta 3h x + y + z = 37
x+ y=6 Luego x − y + z = 13
20 40 x → Veloc. bote 2x + 2 z = 50
=
y → Veloc. rio
x y 2 x + 2 (10) = 50
40 x − 20 y = 0 x + y = 16
2 x = 30
2x − y = 0 x− y= 4
x = 15
x+ y=6 2x = 20 15 + y + 10 = 37
2x − y = 0 x = 10 y + 25= 37
3x =6 ⇒ x=2 10 + y = 16 y = 12
2 ( 2) − y = 0 y= 6 sol: 15 , 12 , 10
− y= −4 ⇒ y=4 sol :10 Km h → Veloc. bote
sol : 2h → tiempo ida
6 Km h → Veloc. rio
4h → tiempo vuelta 2. Continuación
2 x + 7 (0 , 2) = 1 , 52
2. x → Pr ecio kilo azúcar 2. Continuación 2. Continuación
y → Pr ecio kilo café − 15x − 9 y − 12 z = − 3 , 54 2x + 7 y = 1, 52 2 x + 1 , 4 = 1 , 52
z → Pr ecio kilo fríjoles 16 x + 20 y + 12 z = 5 , 80 x + 11y = 2 , 26 (− 2) 2 x = 0 , 12
5x + 3 y + 4z = 1, 18 2 x + 7 y = 1, 52 x = 0 , 06
x + 11y = 2 , 26
4 x + 5 y + 3z = 1, 45 − 2 x − 22 y = − 4 , 52 2 (0 , 06) + 0 , 2 + 2 z = 0 , 46
4 x + 5 y + 3z = 1, 45 ( 2)
2 x + y + 2 z = 0 , 46 0 , 12 + 0 , 2 + 2 z = 0 , 46
2 x + y + 2 z = 0 , 46 (− 3) 2 x + 7 y = 1, 52
5x + 3 y + 4z = 1, 18 (− 3) 8 x + 10 y + 6z = 2 , 90
− 15 y = − 3
2 z = 0 , 14
z = 0 , 07
4 x + 5 y + 3z = 1, 45 ( 4) − 6 x − 3 y − 6z = − 1, 38
1
y= sol : 6 cts. → Kilo Az.
Continúa 5
Continúa 20 cts. → Kilo café
y = 0,2
Continúa 7 cts. → Kilo fríjoles

274. 4. Continuación 6. Continuación
3. x → Cifra centenas
y → Cifra decenas 20 (45) − 3 y = 774
z − 20 = x − y
z → Cifra unidades 900 − 3 y = 774
x − y − z = − 20
x + y + z = 15 − 3 y = − 126
x + y + z = 180
3z y = 42
x+ y= x − y − z = − 20
2 45 + 42 + z = 127
2x = 160
2 x + 2 y = 3z z = 40
x = 80
2 x + 2 y − 3z = 0 sol: 45 , 42 , 40
80 − z = 35
100 x + 10 y + z − 99 = 100z + 10 y + x
z = 45
99 x − 99 z = 99 5. x → Cifra centenas
y → Cifra decenas 80 + y + 45 = 180
x− z=1
y + 125 = 180
x + y + z = 15 (− 2) z → Cifra unidades
y = 55
x+ y+ z= 6
2 x + 2 y − 3z = 0
100 x + 10 y + z sol: 80∃ , 55∃ , 45∃
− 2 x − 2 y − 2 z = − 30 = 41
x+ y
2 x + 2 y − 3z = 0
100 x + 10 y + z = 41x + 41y
− 5z = − 30
59 x − 31y + z = 0
z=6 7. x → N º de vacas
100 x + 10 y + z + 198 = 100z + 10 y + x y → N º de caballos
x − 6= 1
99 x − 99z = − 198 z → N º de terneros
x=7
x− z= − 2 x + y + z = 110
7 + y + 6 = 15
x + y + z = 6 ( 31) x y z
y + 13 = 15 + + = 15
59 x − 31y + z = 0 8 9 5
y= 2 sol : 726
31x + 31y + 31z = 186 45x + 40 y + 72 z = 5. 400
59 x − 31y + z = 0 z + x = 65
4. x → N º mayor 90x + 32z = 186 x + y + z = 110
y → N º medio 45x + 16z = 93 x + z = 65 (− 1)
z → N º menor
x + y + z = 127
x − z =−2 (− 45) x + y + z = 110
45x + 16z = 93 −x − z = − 65
z y x
+ + = 39 − 45x + 45z = 90 y = 45
2 3 9
45x + 16z = 93 45x + 40 y + 72 z = 5. 400
2 x + 6 y + 9 z = 702
y+ z 61z = 183 x + z = 65 (− 45)
x− 4=
2 z=3 45x + 40 y + 72 z = 5. 400
2x − 8 = y + z x − 3= − 2 − 45x − 45z = − 2 . 925
2x − y − z = 8 x=1 40 y + 27 z = 2 . 475
x + y + z = 127 1+ y + 3= 6 40 (45) + 27 z = 2 . 475
2x − y − z = 8 y+ 4= 6 1. 800 + 27z = 2 . 475
3x = 135 y=2 sol : 123 27 z = 675
x = 45 z = 25
2 x + 6 y + 9 z = 702 6. x → Angulo mayor x + 45 + 25 = 110
2x − y − z = 8 ( 9) y → Angulo medio x + 70 = 110
z → Angulo menor
2 x + 6 y + 9 z = 702 x = 40
x + y + z = 180
18 x − 9 y − 9 z = 72 sol : 40 vacas ;
x − 35 = z
20 x − 3 y = 774 45 caballos ;
x − z = 35
25 terneros
Continúa Continúa

275. 10. A + B + C = 140 12. x + y + z = 6
8. x → Cifra centenas
A 41(100 x + 10 y + z )
y → Cifra decenas C= 100z + 10 y + x =
2 107
z → Cifra unidades
A − 2C = 0 10 . 700z + 1. 070 y + 107 x = 4 .100x + 410 y + 41z
x + y + z = 10
A − 10 = B 3. 993x − 660 y − 10 . 659 z = 0
x+ y− 4= z
A − B = 10 1. 331x − 220 y − 3.553z = 0
x+ y− z= 4
A + B + C = 140 100 x = 300
x + z − 6= y
A− B = 10 x=3
x− y+ z= 6
2A + C = 150 1. 331x − 220 y − 3.553z = 0
x + y + z = 10
2 A + C = 150 ( 2) x + y + z = 6 (220)
x + y − z = 4 (− 1)
A − 2C = 0 1. 331x − 220 y − 3.553z = 0
x + y + z = 10
4 A + 2C = 300 220 x + 220 y + 220z = 1. 320
− x− y+ z= − 4
A − 2C = 0 1.551x − 3. 333z = 1. 320
2z = 6
5A = 300 1.551( 3) − 3. 333z = 1. 320
z= 3
A = 60 4 . 653 − 3. 333z = 1. 320
x + y + z = 10
2 ( 60) + C = 150 z=1
x− y+ z= 6
C = 30 3 + y + 1= 6
2x + 2z = 16
60 + B + 30 = 140 y+ 4= 6
x+ z=8
B = 50 y=2 sol : 321
x + 3= 8
x=5 sol : A → 60bs. B → 50bs.
5 + y + 3 = 10 C → 30bs.
13. A − 2 = B + 2
y=2 sol : 523 A− B= 4
11. A − 1= C + 1
B − 1= C + 1
A− C= 2
B− C= 2
B − 1= C
8
9. x → Angulo mayor B− C=1 A= C
5
y → Angulo medio A + 5 = 2C 5 A − 8C = 0
z → Angulo menor A − 2C = − 5 A− B =4
x + y + z = 180 A − C= 2 B−C= 2
x + y = 135 B− C= 1 A −C= 6
y + z = 110
x + y + z = 180
A + B − 2C = 3
A− C = 6 (− 8)
A + B − 2C = 3
5 A − 8C = 0
y + z = 110 (− 1) A − 2C = − 5 (− 1)
− 8 A + 8C = − 48
x + y + z = 180 A + B − 2C = 3 5 A − 8C = 0
− y − z = − 110 −A + 2C = 5
− 3A = − 48
x = 70 B =8 A = 16
70 + y = 135 8− C =1 16 − B = 4
y = 65 C= 7 B = 12
70 + 65 + z = 180 A− 7= 2 12 − C = 2
135 + z = 180 A= 9 C = 10
z = 45 sol : A → $ 9 sol : A → 16Q
sol : 70∃ , 65∃ , 45∃ B → $8 C → $ 7 B → 12Q C → 10Q

276. 14. x → Cifra centena 15. 2 A + B = C + 32
y → Cifra decena 2 A + B − C = 32 15. Continuación
z → Cifra unidades B
+ 2C = A + 9 C = 10
100 x = 400 3
x= 4 B + 6C = 3 A + 27 5 A − 7 (10) = 5
x+ y+ z= 9 3 A − B − 6C = − 27 5 A = 75
A = 15
16 (100x + 10 y + z ) A+ B
= C−1
100z + 10 y + x = 3 2 (15) + B − 10 = 32
49
4 . 900z + 490 y + 49 x = 1. 600 x + 160 y + 16z A + B = 3C − 3 B + 20 = 32
1.551x − 330 y − 4 .884z = 0 A + B − 3C = − 3 B = 12
517 x − 110 y − 1. 628z = 0 2 A + B − C = 32 sol : 15 , 12 10
517 x − 110 y − 1. 628z = 0 3 A − B − 6C = − 27
x + y + z = 9 (110) 5A − 7C = 5
517 x − 110 y − 1. 628z = 0 3 A − B − 6C = − 27
110 x + 110 y + 110z = 990 A + B − 3C = − 3
627 x − 1.518z = 990 4A − 9C = − 30
627 ( 4) − 1.518z = 990 5 A − 7C = 5 (− 4)
2 .508 − 1.518z = 990 4 A − 9C = − 30 (5)
− 1.518z = − 1.518 − 20 A + 28C = − 20
z=1 20 A − 45C = − 150
4 + y + 1= 9 − 17C = − 170
y + 5= 9
y=4 sol : 441
EJERCICIO 203
1. x → Ancho 2. Continuación 3. Continuación 4. Continuación
y → L arg o A − 2B = 0 x + y = 25 ( 3) x + y + z = 200
x − y − z = − 40
2 ( x + y ) = 18 A − B = 24 (− 1) − 3x + 2 y = 25
4 y = 5x 3x + 3 y = 75 2x = 160
A − 2B = 0
5x − 4 y = 0 x = 80
− A + B = − 24 − 3x + 2 y = 25
x + y + z = 200
x + y = 9 ( 4) B = 24 5 y = 100
x − y + z = 20
5x − 4 y = 0 A − 24 = 24 y = 20
2x + 2z = 220
4 x + 4 y = 36 A = 48 x + 20 = 25
x + z = 110
5x − 4 y = 0 sol : A → 48 balboas x=5
80 + z = 110
9x = 36 B → 24 balboas sol : 20m ⋅ 5m
z = 30
x=4 3. x → Ancho
4. x → Pr ecio carro 80 + y + 30 = 200
4+ y= 9 y → L arg o
y → Pr ecio caballo y + 110 = 200
y=5 (x + 1)( y + 1) = 26 + xy z → Pr ecio arreos y = 90
sol : 5m ⋅ 4m xy + x + y + 1 = 26 + xy x + y + z = 200 sol:$ 80 → Costo carro
A = 2B x + y = 25 x + z = y + 20
2. $ 90 → Costo caballo
A − 2B = 0 (x + 2)( y − 3) = 19 + xy x − y + z = 20 $ 30 → Costo arreos
A − 12 = B + 12 xy − 3x + 2 y − 6 = 19 + xy y + z = x + 40
A − B = 24 − 3x + 2 y = 25 x − y − z = − 40
Continúa Continúa Continúa

277. 5. x → 1er Número 7. Continuación 9. Continuación
y → 2º Número
x − y = 25 7 (0 , 3) + 6 y = 4 , 8
z → 3er Número x + y = 55 2 ,1 + 6 y = 4 , 8
x + y = z + 18 6y = 2 , 7
2x = 80
x + y − z = 18 y = 0 , 45
x = 40
x + z − 78 = y sol : 30 cts. → Costo kilo café
40 − y = 25
x − y + z = 78 45 cts. → Costo kilo té
y = 15
y + z = x + 102
sol: 40 Km h → Veloc. del 10. x → trajes de $ 40
x − y − z = − 102
x + y − z = 18 pájaro tranq. y → trajes de $ 35
x − y + z = 78 15 Km h → Veloc. del x + y = 50 (− 40)
2x = 96 viento 40 x + 35 y = 1. 910
x = 48 − 40 x − 40 y = − 2 . 000
x − y + z = 78 40 x + 35 y = 1. 910
x − y − z = − 102 8. x → N º de libros
− 5 y = − 90
y → Pr ecio de c / u
2x − 2y = − 24 y = 18
xy = ( x + 5)( y − 2)
x − y = − 12 x + 18 = 50
48 − y = − 12 xy = xy − 2 x + 5 y − 10
x = 32
y = 60 2 x − 5y = − 10
sol : 32 → trajes de $ 40
48 + 60 − z = 18 xy = ( x − 5)( y + 4) 18 → trajes de $ 35
108 − 18 = z xy = xy + 4 x − 5 y − 20
90 = z 4 x − 5y = 20
11. x → Numerador
sol: 48 , 60 , 90 2 x − 5 y = − 10
y → Deno min ador
6. x → Cifra decenas 4 x − 5 y = 20 (− 1) x −1 1
=
y → Cifra unidades 2 x − 5 y = − 10 y 3
x+y=6 − 4 x + 5 y = − 20 3x − 3 = y
10x + y − 36 = 10y + x − 2x = − 30 3x − y = 3
9x − 9y = 36 x = 15 x 1
=
x−y=4 2 (15) − 5 y = − 10 y−2 2
x+y=6 30 − 5y = − 10 2x = y − 2
x−y=4 − 5y = − 40 − 2x + y = 2
2x = 10 y=8 3x − y = 3
x=5 sol : 15 → Libros compró − 2x + y = 2
5+ y =6 $ 8 → cos tó c / u x =5
y =1 sol: 51 3 (5) − y = 3
7. x → Veloc. pájaro 9. x → Pr ecio kilo café − y = − 12
y → Veloc. viento y → Pr ecio kilo té 5
y = 12 sol :
x + y → Veloc. pájaro a favor 7 x + 6y = 4 ,8 (− 9) 12
x − y → Veloc. pájaro contra 8 x + 9 y = 6 , 45 (6)
55 12. x → 1a bolsa
=1 − 63x − 54 y = − 43 , 2
x+y y → 2a bolsa
48 x + 54 y = 38 , 7
x + y = 55 x + y = 200
25 − 15x = − 4 ,5 x − 15 = y + 15
=1 x = 0,3
x−y x − y = 30
Continúa Continúa Continúa

278. 12. Continuación 15. x → N º de personas 17. Continuación
x + y = 200 y → Pr ecio c / u
5x − 6y = 0
x − y = 30 xy = ( x + 10)( y − 5)
− 6x + 6y = − 60
2x = 230 xy = xy − 5x + 10 y − 50
−x = − 60
x = 115 5x − 10 y = − 50
x = 60
115 + y = 200 x − 2 y = − 10
60 − y = 10
y = 85 xy = ( x − 6)( y + 5) y = 50
sol: 115 soles → 1a bolsa xy = xy + 5x − 6 y − 30 sol: $ 60 → gané ayer
85 soles → 2a bolsa 5x − 6 y = 30 $ 50 → gané hoy
13. x → Pr ecio caballo 5x − 6 y = 30
y → Pr ecio coche x − 2 y = − 10 (− 3)
18. x → 1 nùmero
er
x + 20 = 3 y 5x − 6 y = 30
y → 2º nùmero
x − 3 y = − 20 − 3x + 6 y = 30
x 3
3x 2x = 60 =
20 + y = y 5
5 x = 30 x − 10 1
3x = 100 + 5 y =
30 − 2 y = − 10 y − 10 2
3x − 5 y = 100
− 2 y = − 40 5x − 3 y = 0
x − 3 y = − 20 (− 3) y = 20
2 x − y = 10 (− 3)
3x − 5 y = 100 sol : 30 → Personas
5x − 3 y = 0
− 3x + 9 y = 60 20 bs. → c / u
− 6 x + 3 y = − 30
3x − 5 y = 100 16. A + B = 1. 080
−x = − 30
4 y = 160 2A B
A− = B− x = 30
y = 40 5 4
20 A − 8 A = 20 B − 5B 2 (30) − y = 10
x − 3 ( 40) = − 20
12 A − 15B = 0 60 − y = 10
x = 100
4 A − 5B = 0 y = 50
sol : 100 soles → Costó el caballo
40 soles → Costó el coche A + B = 1. 080 (5) sol : 30 , 50
4 A − 5B = 0
14. x → Cifra decenas
5 A + 5B = 5. 400
y → Cifra unidades 19. A + 4 = B − 4
4 A − 5B = 0 A− B= −8
10 x + y = 6 ( x + y)
= 5. 400
( A − 4)
9A 9
10 x + y = 6 x + 6 y B+ 4=
A = 600 5
4 x − 5y = 0
600 + B = 1. 080 5B + 20 = 9 A − 36
10 x + y − 9 = 10 y + x
B = 480 9 A − 5B = 56
9x − 9 y = 9
sol : A → 600 sucres A − B = − 8 (− 5)
x− y=1
B → 480 sucres 9 A − 5B = 56
4 x − 5y = 0
17. x → gané ayer − 5 A + 5B = 40
x − y =1 (− 5) y → gané hoy 9 A − 5B = 56
4 x − 5y = 0
y + 10 = x 4A = 96
− 5x + 5 y = − 5
5x A = 24
−x = −5 y=
6 24 − B = − 8
x=5 5x − 6 y = 0
B = 32
5− y = 1 5x − 6 y = 0
sol : A → 24 lempiras
y= 4 sol : 54 x − y = 10 (− 6) B → 32 lempiras
Continúa

279. 20. A − 20 = 2 ( B − 20) 21. Continuación 24. Continuación
A − 2 B = − 20 12 + y = 16
−x+y=4
y=4
9
A + 30 =
7
(B + 30) sol: 12 Km h → Veloc. bote
x+y=6
7 A + 210 = 9 B + 270 2y = 10
4 Km h → Veloc. rio y=5
7 A − 9 B = 60
x+5=6
A − 2 B = − 20 (− 7 ) A B
x =1
22. − 2=
7 A − 9 B = 60 9 5
sol: 15
− 7 A + 14 B = 140 5 A − 90 = 9 B
7 A − 9 B = 60 5 A − 9 B = 90
2 B = A − 15
5B = 200 25. x → L arg o
A − 2 B = 15
B = 40 y → Ancho
5 A − 9 B = 90
A − 2 ( 40) = − 20 2 ( x + y ) = 58
A − 80 = − 20 A − 2 B = 15 (− 5)
2 x + 2 y = 58
A = 60 5 A − 9 B = 90
x + y = 29
sol : A → 60 Años − 5 A + 10 B = − 75
(x + 2)( y − 2) = xy − 46
B → 40 Años B = 15
xy − 2 x + 2 y − 4 = xy − 46
21. x → tiempo ida A − 2 (15) = 15
− 2 x + 2 y = − 42
y → tiempo vuelta A − 30 = 15
x − y = 21
x+y=3 A = 45
x + y = 29
4 8
= sol : A → 45 Años
x − y = 21
x y B → 15 Años
8x − 4y = 0 2x = 50
23. 5A − 4 = 4B x = 25
2x − y = 0
5A − 4B = 4 25 + y = 29
x+y=3
2x − y = 0 7 A − 2 = 6B y=4
7 A − 6B = 2 sol : 25 m ⋅ 4m
3x =3
5 A − 4 B = 4 (6)
x =1
1+ y = 3 7 A − 6B = 2 (− 4)
y=2 30 A − 24 B = 24 26. x → L arg o
Si 1h → tiempo de ida − 28 A + 24 B = − 8 y → Ancho
2 h → tiempo de vuelta 2A = 16 2 x + 2 y = 56
Entonces A= 8 x + y = 28
16 Km
= 16 Km h → Veloc. a favor 5(8) − 4 B = 4 ( y − 2)(x + 2) = xy
1h 40 − 4 B = 4 xy + 2 y − 2 x − 4 = xy
16 Km − 4 B = − 36
= 8 Km h → Veloc. en contra 2x − 2 y = − 4
2h
B= 9 x− y= −4
Luego
sol : A → 8 Km B → 9 Km x + y = 28
x → Veloc. del bote
24. x → Cifra decenas x− y= − 4
y → Veloc. delrio
y → Cifra unidades 2x = 24
x + y = 16
y−x=4 x = 12
x−y= 8
10x + y + 10y + x = 66 12 + y = 28
2x = 24
11x + 11y = 66 y = 16
x = 12
x+y=6 sol : 16 m ⋅ 12 m
Continúa
Continúa

280. EJERCICIO 204
1. m = 6 n = 3 9. P 5 − 1 = P 4 16. P 5 − 2 = P 3
3
A6 = 6 ⋅ 5 .... (6 − 3 + 1) P4 = 4 ! P 3 = 3!
3
A6 = 6 ⋅ 5⋅ 4 P4 = 4 ⋅ 3 ⋅ 2 P 3 = 3⋅ 2
P4 = 24 P 3 =6
3
A6 = 120
2. P5 = 5! 10. P 6 = 6!
17. m = 5 n = 3
P5 = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 P6 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 3
A 5 = 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1)
P5 = 120 P6 = 720 3
A 5 = 5⋅ 4 ⋅ 3
3. m = 7 n = 5 3
A 5 = 60
A 7 7 ⋅ 6 .... (7 − 5 + 1)
5 11. Siendo el 1º
5
C7= = P 6 = 6!
P5 5!
P6 = 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 18. P 11− 1 = P 10
7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4 ⋅ 3
5
C7= P 10 = 10!
5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1 P6 = 720
2 . 520 sin lugar fijo P 10 = 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2
5
C7= P 10 = 3 . 628 . 800
120 P 7 = 7!
5
C 7 = 21 P 7 = 7P 6
4. m = 6 n= 2 P 7 = 7 ⋅ 720 19. m = 8 n = 3
2
A 6 = 6 ⋅ 5.... (6 − 2 + 1) P 7 = 5 . 040 3
A 8 8 ⋅ 7 .... (8 − 3 + 1)
3
C8= =
2
A 6 = 6⋅ 5 P3 3!
2
A 6 = 30 12. En un banco 8⋅ 7 ⋅ 6
3
C8=
P 6 = 720 3⋅ 2
5. m = 5 n = 3
C 8 = 4⋅7⋅2
A 5 = 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1)
3
En una mesa 3
redonda 3
C 8 = 56
3
A 5 = 5⋅ 4 ⋅ 3 P 6 −1 = P 5
3
A 5 = 60 P 5 = 5!
20. m = 6 n= 3
6. m = 12 n = 5 P 5 = 120
A 6 = 6 ⋅ 5.... (6 − 3 + 1)
A 12 12 ⋅ 11.... (12 − 5 + 1)
5
5
5
C 12 = = 13. m = 9 n = 3 5
A 6 = 6 ⋅ 5⋅ 4
P5 5!
12 ⋅11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8
3
A 9 = 9 ⋅ 8 ....(9 − 3 + 1) 5
A 6 = 120
5
C 12 =
5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1 3
A 9 = 9 ⋅ 8⋅ 7
5
C 12 = 3⋅11⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 3
A 9 = 504 21. Palabras dist int as
5
C 12 = 792 P 8 = 8!
14. P 4 − 1 = P 3
7. P 7 = 7! P 8 = 8⋅7 ⋅6⋅5⋅4 ⋅3⋅2
P 3 = 3!
P 7 = 7⋅6⋅5⋅4 ⋅3⋅2 P 8 = 40 . 320
P 3 =6
P 7 = 5 . 040 Vocales fijas
15. m = 5 n = 3 P 5 = 5!
8. m = 7 n = 4
A 5 5⋅ 4 .... (5 − 3 + 1)
P 5 = 120
A 7 7 ⋅ 6 .... (7 − 4 + 1)
4 3
4
C7= =
3
C5= =
P4 4! P3 3!
7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4 5⋅ 4 ⋅ 3 22. P 5 − 1 = P 4
4
C7=
3
C5=
4 ⋅ 3⋅ 2 ⋅ 1 3⋅ 2 P 4 = 4!
4
C 7 = 7 ⋅5
3
C 5 = 5⋅ 2 P 4 = 4 ⋅3⋅2
4
C 7 = 35
3
C 5 = 10 P 4 = 24

281. EJERCICIO 205
1. (4a 2 )2 = 16a 4 11. (− 3m n) = − 27m n 3 3 9 3  3x 2 
19.  −  =
9x4
2
 4 y  16 y 2
( )
2. − 5a = − 125a 3
3
12. (a 2b3c)m = a 2mb3mcm 4
 2ab 2  16a 4b8
( ) 3
3. 3xy = 27 x 3 y 3
13. (− m nx ) = m n x 2 3 4 8 4 12
20.  −  =
 3m3  81m12
4. (− 6a b) = 36a b
2 2 4 2
14. (− 3a b) = − 243a b 2 5 10 5 5
 2m3n  32m15n5
5. (− 2 x y ) = − 8 x y
2 3 3 6 9 21.   =
15. (7 x y z ) = 49 x
5 6 8 2 10 12 16
y z
 3x 4  243x 20
6. (4a b c ) = 64a b c
2 3 4 3 6 9 12
 x
2  3a 3b 2  9a 6b 4
2
22.  −  =
2
x
16.  −  = 2  4 
7. (− 6x y ) = 36x y
4 5 2 8 10
 2y 4y
16
4
 mn2  m4 n8
8. (− 7ab c ) = − 343a b c  2m 
3 3
3 4 3 3 9 12 8m
17.  − 2  = − 6 23.  −  =
 n  n  3  81
9. (a mbn )x = a mxbnx  ab2  a 3b 6
3
 a 2b 4 
24.  −
5
a 10b 20
18.   =  =−
10. (− 2 x y z ) = 16x
3 5 6 4 12 20 24
y z  5  125  2  32
EJERCICIO 206
2
 a 5 3a 3b 7 
1. (a + 7b ) 7. ( xy − a b )
2 2 2
5 4 2
 −
11.  9

7 
= a 10 + 2a 5 (7b 4 ) + 49b8 = x 2 y 2 − 2 (xy )(a 2b 2 ) + a 4b 4 a10  a 5   3a 3b 7  9a 6b14
= − 2   +
= a + 14a b + 49b
10 5 4 8 = x y − 2a b xy + a b
2 2 2 2 4 4
81  9 7  49
(
2. 3x − 5xy
4 3 2
)  x 2y
2
=
a10 2a 8b 7 9a 6b14
− +
8.  2 + 3 
81 21 49
= 9 x 8 − 2 (3x 4 ) (5xy 3 ) + 25x 2 y 6  
 2m4 5n 3 
2
x2  x  2y 4y 12.  5 − 4 
2
= 9 x 8 − 30 x 5 y 3 + 25x 2 y 6 = + 2    +  
4  2  3  9
(
3. a b − a
2 3 5 2
) =
x 2 2 xy 4 y 2
+ +
=
4m8  2m4   5n 3  25n 6
− 2  +
25  5  4  16
= a 4b 6 − 2a 2b 3 (a 5 ) + a 10 4 3 9
4m8 25n 6
= a 4b 6 − 2a 7b 3 + a 10 2 = − m4 n 3 +
 3a 2b  2 2
25 16
 − 
( ) 9.  4 5  2
4. 7 x − 8 x y
5 3 4 2  x y2 
13.  + 
 3a 2   2b 2  4b 4 3 4
= 49 x − 2 (7 x 5 )(8x 3 y 4 ) + 64 x 6 y 8
9a 4
= − 2  +
10
16  4   5  25 x2  x  y  y
2 4
= 49 x10 − 112 x 8 y 4 + 64 x 6 y 8 = + 2    +
9a 3a b 4b 4 2 2 4
9  3   4  16
= − +
(
5. 9ab + 5a b 2 2 3 2
) 16 5 25 x 2 xy 2 y 4
= + +
= 81a 2b4 + 2 (9ab 2 )(5a 2b 3 ) + 25a 4b 6  5x 3 3xy 2 
2 9 6 16
2
 +   2 x 3y 
= 81a 2b4 + 90a 3b5 + 25a 4b 6 10.  6 5  14.  − 
 3 5
(
6. 3x y − 7 x y
2 3 3 2 2
) =
25x 6  5x 3   3xy 2  9 x 2 y 4
+ 2  + =
4x2  2 x   3y  9 y
− 2    +
2
 6  5   3   5  25
= 9 x 4 y 6 − 2 (3x 2 y 3 )(7 x 3 y 2 ) + 49 x 6 y 4
36 25 9
25x 6 9 x2 y4 4 x 2 4 xy 9 y 2
= 9 x 4 y 6 − 42 x 5 y 5 + 49 x 6 y 4 = + x4 y2 + = − +
36 25 9 5 25

282. 2
 a 3 4a 2 
2
 5x 7 3 y 6  25x14  5x 7   3 y 6  9 y12
 +  17.  −  = − 2 4   +
15.  8 7b   6 y 4 10 x 2  36 y 8  6 y   10 x 2  100 x 4
a6  a 3   4a 2  16a 4 a 6 a 5 16a 4 25x 14 x 5 y 2 9 y12
= + 2   + = + + = − +
64  8   7b  49b 2 64 7b 49b 2 36 y 8 2 100 x 4
2
 3 2x4 
2
 3a 6 4a 2  9a12  3a 6   4a 2  16a 4
18.  − 5 = − 2  +
16.  2 x − 3 
   8 9b  64  8   9b5  81b10
9  3   2x  4x
4 8
9 4 x8 9a12 a 8 16a 4
= = − +
2 − 2  + = 2 − 2x3 + 64 3b5 81b10
4x  2x  3  9 4x 9
EJERCICIO 207
1. (2a + 3b) = 8a + 3(4a )(3b) + 3 (2a ) (9b ) + 27b = 8a + 36a b + 54ab + 27b
3 3 2 2 3 3 2 2 3
2. (4a − 3b ) = 64a − 3 (16a )(3b ) + 3 ( 4a ) (9b ) − 27b = 64a − 144a b + 108ab − 27b
2 3 3 2 2 4 6 3 2 2 4 6
3. (5x + 6 y ) = 125x + 3 (25x ) (6 y ) + 3 (5x ) (36 y ) + 216 y = 125x + 450 x y + 540 x y + 216 y
2 3 3 6 4 3 2 6 9 6 4 3 2 6 9
4. (4 x − 3xy ) = 64 x − 3 (16 x ) (3xy ) + 3(4 x ) (9 x y ) − 27 x y = 64 x − 144 x y + 108 x y − 27 x y
3 2 3 9 6 2 3 2 4 3 6 9 7 2 5 4 3 6
5. (7a − 5a b )
4 2 3 3
= 343a12 − 3 (49a 8 )(5a 2b 3 ) + 3 (7a 4 )(25a 4b 6 ) − 125a 6b 9 = 343a12 − 735a10b 3 + 525a 8b 6 − 125a 6b 9
6. (a + 9a x ) = a
8 5 4 3 24
+ 3 (a 16 )(9a 5 x 4 ) + 3(a 8 )(81a 10 x 8 ) + 729a15 x12 = a 24 + 27a 21 x 4 + 243a 18 x 8 + 729a 15 x12
7. (8 x − 7 x y )
4 2 4 3
= 512 x12 − 3(64 x 8 )(7 x 2 y 4 ) + 3(8 x 4 )(49 x 4 y 8 ) − 343x 6 y12 = 512 x12 − 1. 344 x10 y 4 + 1.176 x 8 y 8 − 343x 6 y12
8. (3a b − 5a b )
2 3 2 3
= 27a 6b 3 − 3 (9a 4b2 )(5a 3b2 ) + 3 (3a 2b)(25a 6b 4 ) − 125a 9b 6 = 27a 6b 3 − 135a 7b 4 + 225a 8b5 − 125a 9b 6
1 2b 2  a 3
3
 a 2   2b 2   a   4b  8b a a b 2ab 8b
4 6 3 2 2 4 6
9.  a+  = + 3    + 3   + = + + +
2 3  8  4 3   2   9  27 8 2 3 27
 3a 2 4b 2  27a 6
3
 9a 4   4b 2   3a 2   16b4  64b 6 27a 6 27a 4b 2 36a 2b 4 64b 6
10.  −  = − 3   + 3  − = − + −
 4 5  64  16   5   4   25  125 64 20 25 125
3
 5a 2b 3b 4 
11.  6
− 
 10 
125a 6b 3  25a 4b 2   3b 4   5a 2b   9b8  27b12 125a 6b 3 5a 4b 6 9a 2b 9 27b12
= − 3   + 3  − = − + −
216  36   10   6   100  1. 000 216 8 40 1. 000
3
 7 x5 4 y6 
12.  8 − 7 
 
343x15  49 x10   4 y 6   7 x 5   16 y12  64 y 18 343x15 21x10 y 6 6 x 5 y 12 64 y18
= − 3   + 3  + = − + +
512  64   7   8   49  343 512 16 7 343

283.  x 3y   x 2   3 y   x   9 y 2  27 y 3 x 3
3
x3 9 27 y 27 y 3
13.  + 2  = 3 + 3 2   2  + 3   4  + 6 = 3 + + + 6
 2 y x  8y  4y   x   2y  x  x 8y 4 y 2 x3 x
 2a 2 5  8a 6
3
 4a 4   5   2a 2   25  125 8a 6 6a 4 15a 2 125
14.  − 3 = − 3   3  + 3  − = − + −
 5 2b  125  25   2b   5   4b 6  8b 9 125 5b 3 2b 6 8b 9
 3x   3x   9 x 2  27 x 3 144 x 9 108 x 6 27 x 3
15.  4 x − 3  = 64 x − 3 (16 x )  3  + 3 (4 x )  6  − 9 = 64 x − + − 9
4 12 8 4 12
 y  y   y  y y3 y6 y
3
 3a 4b 2  27a 3  9a 2   4b 2   3a   16b  64b 27a 27a 72ab 64b
4 6 3 2 3 6
16.  +  = 3 + 3 2   + 3   +
 2b   25  125 8b
= 3 + + +
 2b 5  8b  4b   5  5 25 125
3
 7 4 5  343  49  4 5  7  8 10 12 15 343 147 x y 21x y
4 5 8 10
17.  −x y  = − 3  x y + 3  x y − x y = − + − x12 y15
8  512  64   8 512 64 8
3
 m3 6n 2  m9  m6   6n 2   m3   36n4  216n 6 m9 m4 n 2 18n 4 216n6
18.  − 2 = − 3   2  + 3   4  − = − + −
 6 m  216  36   m   6   m  m6 216 2 m m6
EJERCICIO 208
1. x − 2 x + 1
2
= x 4 + 4 x 2 + 1+ 2 x 2 (− 2 x) + 2 x 2 (1) + 2 (− 2 x) (1) = x 4 + 4 x 2 + 1 − 4 x 3 + 2 x 2 − 4 x = x 4 − 4 x 3 + 6 x 2 − 4 x + 1
2. 2 x 2 + x + 1
= 4 x 4 + x 2 + 1+ 2 (2 x 2 )( x ) + 2 (2 x 2 ) (1) + 2 ( x)(1) = 4 x 4 + x 2 + 1 + 4 x 3 + 4 x 2 + 2 x = 4 x 4 + 4 x 3 + 5x 2 + 2 x + 1
( ) ( )
3. x 2 − 5x + 2 = x 4 + 25x 2 + 4 + 2 (x 2 ) − 5x + 2 ( x 2 )( 2) + 2 − 5x ( 2) = x 4 + 25x 2 + 4 − 10 x 3 + 4 x 2 − 20 x
= x 4 − 10 x 3 + 29 x 2 − 20 x + 4
( ) ( )
4. x 3 − 5x 2 + 6 = x 6 + 25x 4 + 36 + 2 ( x 3 ) − 5x 2 + 2 (x 3 ) (6) + 2 − 5x 2 ( 6) = x 6 + 25x 4 + 36 − 10 x5 + 12 x 3 − 60 x 2
= x 6 − 10x 5 + 25x 4 + 12 x 3 − 60x 2 + 36
( )
5. 4a 4 − 3a 2 + 5 = 16a 8 + 9a 4 + 25 + 2 (4a 4 ) − 3a 2 + 2 (4a 4 ) (5) + 2 − 3a 2 (5) ( )
= 16a + 9a + 25 − 24a + 40a − 30a = 16a − 24a + 49a 4 − 30a 2 + 25
8 4 6 4 2 8 6
( ) ( ) ( )( )
6. x + 2 y − z = x 2 + 4 y 2 + z 2 + 2 ( x) 2 y + 2 ( x) − z + 2 2 y − z = x 2 + 4 y 2 + z 2 + 4 xy − 2 xz − 4 yz
7. 3 − x 3 − x 6
= 9 + x 6 + x12 + 2 (3) (− x 3 ) + 2 (3) (− x 6 ) + 2 (− x 3 )(− x 6 ) = 9 + x 6 + x12 − 6 x 3 − 6 x 6 + 2 x 9 = x12 + 2 x 9 − 5x 6 − 6 x 3 + 9
( )
8. 5x 4 − 7 x 2 + 3x = 25x 8 + 49 x 4 + 9 x 2 + 2 (5x 4 ) − 7 x 2 + 2 (5x 4 ) ( 3x) + 2 − 7 x 2 ( 3x) ( )
= 25x + 49 x + 9 x − 70x + 30 x − 42 x = 25x − 70x + 30 x 5 + 49 x 4 − 42 x 3 + 9 x 2
8 4 2 6 5 3 8 6
9. 2a 2 + 2ab − 3b 2 = 4a 4 + 4a 2b 2 + 9b 4 + 2 (2a 2 ) ( 2ab) + 2 (2a 2 ) − 3b 2 + 2 ( 2ab) − 3b 2 ( ) ( )
= 4a + 4a b + 9b + 8a b − 12a b − 12ab = 4a + 8a b − 8a b − 12ab 3 + 9b4
4 2 2 4 3 2 2 3 4 3 2 2
(
10. m3 − 2m2n + 2n 4 = m6 + 4m4 n 2 + 4n8 + 2 (m3 ) − 2m2 n + 2 (m3 )(2n 4 ) + 2 − 2m2n (2n 4 )) ( )
= m6 + 4m4 n2 + 4n8 − 4m5n + 4m3n4 − 8m2 n5 = m6 − 4m5n + 4m4n 2 + 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8
c a2 c2  a  a  c  c a
2
c2
+ b 2 + + 2   (− b) + 2     + 2 (− b)   =
a ac bc
11. −b+ = + b 2 + − ab + −
2 4 4 16  2  2   4  4 4 16 4 2

284. 5 x2 25  x   x   5  5 x
2
− 5y + = + 25 y 2 + + 2   (− 5y ) + 2     + 2 (− 5 y)   = + 25 y 2 + − 2 xy +
x 25 2 x 50 y
12. −
5 3 25 9  5  5   3  3 25 9 3 3
x2 2x 50 y 25
= − 2 xy + + 25 y 2 − +
25 3 3 9
 2  2
13. x − x + 2 = x + x 2 + 4 + 2  x  − x + 2  x   2  + 2  2  − x = x + x 2 + 4 − x 3 + 2 x − 4 x
2 4 4 2
2 3 4 9  2
( )
   
 2   3  3
( ) 4 9 3 3
x4 5x 2 4 x 4
= − x3 + − +
4 3 3 9
a 1 x a2 1 x2  a   1  a  x  1   x  a 1 x 2a
2 2
2x
14. − + = + + + 2   −  + 2    + 2 −    = 2 + + 2 − + 2−
x 3 a x2 9 a2  x   3  x  a  3  a  x 9 a 3x 3a
a 2 2a 2 x x 2 19
= − − + +
x 2 3x 3a a 2 9
3a 2 a 4 9a 4 a 2 16  3a 2   a   3a 2   4   a   4
15. − + = + + + 2  −  + 2    + 2 −   
4 2 5 16 4 25  4   2  4   5  2   5
9a 4 a 2 16 3a 3 6a 2 4a 9a 4 3a 3 29a 2 4a 16
= + + − + − = − + − +
16 4 25 4 5 5 16 4 20 5 25
a 2 3 b2 a 4 9 b 4  a 2   3  a 2   b2   3  b 
2
16. − + = + + + 2   −  + 2    + 2 −   
4 5 9 16 25 81  4   5   4 9  5  9 
a 4 9 b 4 3a 2 a 2b 2 2b 2 a 4 3a 2 a 2b 2 9 2b 2 b 4
= + + − + − = − + + − +
16 25 81 10 18 15 16 10 18 25 15 81
( ) ( ) (
17. x 3 − x 2 + x + 1 = x 6 + x 4 + x 2 + 1 + 2 (x 3 ) − x 2 + 2 (x 3 )( x ) + 2 x 3 + 2 − x 2 ( x) + 2 − x 2 + 2 x )
= x + x + x + 1 − 2 x + 2 x + 2 x − 2 x − 2 x + 2 x = x − 2 x + 3x − x 2 + 2 x + 1
6 4 2 5 4 3 3 2 6 5 4
18. x − 3x − 2 x + 2
3 2
= x 6 + 9 x 4 + 4 x 2 + 4 + 2 (x 3 )(− 3x 2 ) + 2 ( x 3 ) (− 2 x) + 2 (x 3 )(2) + 2 (− 3x 2 )(− 2 x) + 2 (− 3x 2 ) (2) + 2 (− 2 x) (2)
= x 6 + 9 x 4 + 4 x 2 + 4 − 6x 5 − 4 x 4 + 4 x 3 + 12 x 3 − 12 x 2 − 8 x = x 6 − 6 x 5 + 5x 4 + 16x 3 − 8 x 2 − 8 x + 4
19. x + 3x − 4 x + 5
4 2
= x 8 + 9 x 4 + 16 x 2 + 25 + 2 (x 4 )(3x 2 ) + 2 (x 4 ) (− 4 x ) + 2 (x 4 ) (5) + 2 (3x 2 )(− 4 x) + 2 (3x 2 )(5) + 2 (− 4 x ) (5)
= x 8 + 9 x 4 + 16 x 2 + 25 + 6 x 6 − 8 x 5 + 10 x 4 − 24 x 3 + 30 x 2 − 40 x = x 8 + 6 x 6 − 8 x 5 + 19 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 − 40 x + 25
20. x 4 − 4 x 3 + 2 x − 3
= x 8 + 16 x 6 + 4 x 2 + 9 + 2 (x 4 )(− 4 x 3 ) + 2 (x 4 )( 2 x) + 2 (x 4 )(− 3) + 2 (− 4 x 3 ) (2 x) + 2 (− 4 x 3 )(− 3) + 2 ( 2 x ) (− 3)
= x 8 + 16 x 6 + 4 x 2 + 9 − 8 x 7 + 4 x5 − 6x 4 − 16 x 4 + 24 x 3 − 12 x = x 8 − 8x 7 + 16 x 6 + 4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 9
21. 3 − 6a + a − a
2 3
= 9 + 36a 2 + a 4 + a 6 + 2 (3) (− 6a ) + 2 (3) (a 2 ) + 2 (3) (− a 3 ) + 2 (− 6a )(a 2 ) + 2 (− 6a )(− a 3 ) + 2 (a 2 ) (− a 3 )
= 9 + 36a 2 + a 4 + a 6 − 36a + 6a 2 − 6a 3 − 12a 3 + 12a 4 − 2a 5 = a 6 − 2a 5 + 13a 4 − 18a 3 + 42a 2 − 36a + 9
x3 2x
22. − x2 + +2
2 3
x6 4x2  x3   x3   2x   x3   2x   2x 
= + x4 + + 4 + 2   (− x 2 ) + 2     + 2   ( 2) + 2 (− x 2 )   + 2 (− x 2 )(2) + 2   (2)
4 9  2  2  3  2  3  3
x6 4x2 2x4 4x3 8x x 6 5x 4 2 x 3 32 x 2 8 x
= + x4 + + 4 − x5 + + 2x3 − − 4x2 + = − x5 + + − + +4
4 9 3 3 3 4 3 3 9 3

285. a 3 2a 2 3a 1
23. − + −
2 3 4 2
a 6 4 a 4 9a 2 1  a 3   2a 2   a 3   3a   a3   1  2a 2   3a   2a 2   1   3a   1 
= + + + + 2   −  + 2    + 2   −  + 2 −    + 2−   −  + 2   − 
4 9 16 4  2 3   2 4  2 2  3  4  3   2  4   2
a 6 4a 4 9a 2 1 2a 5 3a 4 a 3 2a 2 3a a 6 2a 5 43a 4 3a 3 59a 2 3a 1
= + + + − + − − a3 + − = − + − + − +
4 9 16 4 3 4 2 3 4 4 3 36 2 48 4 4
24. x 5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 2
= x10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 4 + 2 ( x 5 ) (− x 4 ) + 2 ( x 5 )( x 3 ) + 2 ( x 5 ) (− x 2 ) + 2 ( x 5 ) ( x ) + 2 ( x 5 ) (− 2) + 2 (− x 4 ) ( x 3 ) + 2 (− x 4 )(− x 2 )
+ 2 (− x 4 ) ( x ) + 2 (− x 4 )(− 2) + 2 ( x 3 ) (− x 2 ) + 2 ( x 3 ) ( x ) + 2 ( x 3 ) (− 2) + 2 (− x 2 ) ( x) + 2 (− x 2 )(− 2) + 2 ( x) (− 2)
= x10 + x 8 + x 6 + x 4 + x 2 + 4 − 2 x 9 + 2 x 8 − 2 x 7 + 2 x 6 − 4 x 5 − 2 x 7 + 2 x 6 − 2 x 5 + 4 x 4 − 2 x 5 + 2 x 4 − 4 x 3 − 2 x 3 + 4 x 2 − 4 x
= x10 − 2 x 9 + 3x 8 − 4 x 7 + 5x 6 − 8 x 5 + 7 x 4 − 6x 3 + 5x 2 − 4 x + 4
EJERCICIO 209
1. x 2 + x + 1 = x 6 + x 3 + 1 + 3 x 2 ( )2 ( x) + 3(x 2 )2 (1) + 3( x)2 (x 2 ) + 3( x)2 (1) + 3(x 2 ) + 3( x) + 6 (x 2 )( x)(1)
= x 6 + x 3 + 1 + 3x 5 + 3x 4 + 3x 4 + 3x 2 + 3x 2 + 3x + 6 x 3 = x 6 + 3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1
2. 2 x 2 − x − 1 = 8 x 6 − x 3 − 1 + 3 2 x 2 ( )2 (− x) + 3(2 x 2 )2 (− 1) + 3(− x)2 (− 1) + 3(− x)2 (2 x 2 ) + 3(− 1)2 (2 x 2 ) + 3(− 1)2 (− x)
+ 6 (2 x 2 )(− x)(− 1)
= 8x 6 − x 3 − 1 − 12 x 5 − 12 x 4 − 3x 2 + 6x 4 + 6 x 2 − 3x + 12 x 3 = 8x 6 − 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3 + 3x 2 − 3x − 1
3. 1 − 3x + 2 x
2
= 1 − 27 x 3 + 8 x 6 + 3(1) (− 3x ) + 3(12 )(2 x 2 ) + 3(− 3x ) (1) + 3(− 3x) (2 x 2 ) + 3(2 x 2 ) (1) + 3(2 x 2 ) (− 3x)
2 2 2 2 2
+ 6 (1) (− 3x ) (2 x 2 )
= 1 − 27 x 3 + 8 x 6 − 9 x + 6x 2 + 27 x 2 + 54 x 4 + 12 x 4 − 36 x 5 − 36x 3 = 1 − 9 x + 33x 2 − 63x 3 + 66 x 4 − 36x 5 + 8 x 6
4. 2 − 3x + x
2
= 8 − 27 x 3 + x 6 + 3 (2) (− 3x ) + 3 (2) (x 2 ) + 3(− 3x ) (2) + 3(− 3x ) (x 2 ) + 3( x 2 ) (2) + 3 (x 2 ) (− 3x) + 6 (2) (− 3x) (x 2 )
2 2 2 2 2 2
= 8 − 27 x 3 + x 6 − 36 x + 12 x 2 + 54 x 2 + 27 x 4 + 6x 4 − 9 x 5 − 36 x 3 = x 6 − 9 x5 + 33x 4 − 63x 3 + 66x 2 − 36 x + 8
5. x − 2 x − 4
3 2
= x 9 − 8 x 6 − 64 + 3( x 3 ) (− 2 x 2 ) + 3 (x 3 ) (− 4) + 3 (− 2 x 2 ) (x 3 ) + 3(− 2 x 2 ) (− 4) + 3 (− 4) ( x 3 ) + 3 (− 4) (− 2 x 2 )
2 2 2 2 2 2
+ 6 (x 3 )(− 2 x 2 )(− 4)
= x 9 − 8 x 6 − 64 − 6 x 8 − 12 x 6 + 12 x 7 − 48 x 4 + 48 x 3 − 96 x 2 + 48 x 5
= x 9 − 6 x 8 + 12 x 7 − 20 x 6 + 48 x 5 − 48 x 4 + 48 x 3 − 96 x 2 − 64
6. x − x − 2
4 2
= x12 − x 6 − 8 + 3 (x 4 ) (− x 2 ) + 3 (x 4 ) (− 2) + 3 (− x 2 ) ( x 4 ) + 3 (− x 2 ) (− 2) + 3 (− 2) (x 4 ) + 3 (− 2) (− x 2 )
2 2 2 2 2 2
+ 6 (x 4 )(− x 2 )(− 2)
= x12 − x 6 − 8 − 3x10 − 6 x 8 + 3x 8 − 6 x 4 + 12 x 4 − 12 x 2 + 12 x 6 = x12 − 3x10 − 3x 8 + 11x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8

286. 2 2
2 a   a2   a2   a  2
a2 a a6 a3 2 a  a
2
7. a +
3
− = a9 + − + 3(a 3 )   + 3 (a 3 )  −  + 3   (a ) + 3 
3
  −  + 3  −  (a 3 )
2 3 8 27  2  3  2  2   3  3
 a  a   a2   a 
2 2
+ 3  −    + 6a 3    − 
 3  2   2   3
a 6 a 3 3a 8 3a 7 a 5 a 5 a 4 3a 8 a 7 7a 6 a 5 a 4 a 3
= a9 + − + − a7 + − + + − a6 = a9 + − − + + −
8 27 2 4 4 3 6 2 4 8 12 6 27
2
x2 x x6 x3  x2   x   x  x 
2 2
 x
2
2 x 
2
− + 2= − + 8 + 3    −  + 3 (x 2 )2 2 (2) + 3  −    + 3  −  (2) + 3 (2)  
8.
2 3 8 27  2   3  3  2   3  2
2 x  x2   x 
+ 3 ( 2)  −  + 6    −  ( 2)
 3  2   3
x6 x3 x 5 3x 4 x 4 2 x 2 x 6 x 5 5x 4 55x 3 20 x 2
= − + 8− + + + + 6x 2 − 4 x − 2 x 3 = − + − + − 4x + 8
8 27 4 2 6 3 8 4 3 27 3
9. a − a + a − 1
3 2
= a 9 − a 6 + a 3 − 1 + 3 (a 3 ) (− a 2 ) + 3 (a 3 ) ( a ) + 3 (a 3 ) (− 1) + 3 (− a 2 ) (a 3 ) + 3 (− a 2 ) ( a )
2 2 2 2 2
+ 3 (− a 2 ) (− 1) + 3a 2 (a 3 ) + 3a 2 (− a 2 ) + 3a 2 (− 1) + 3 (− 1) (a 3 ) + 3 (− 1) (− a 2 ) + 3(− 1) (a )
2 2 2 2
+ 6 (a 3 ) (− a 2 ) (a ) + 6 (a 3 )(− a 2 )(− 1) + 6 (a 3 )( a ) (− 1) + 6 (− a 2 )( a ) (− 1)
= a 9 − a 6 + a 3 − 1 − 3a 8 + 3a 7 − 3a 6 + 3a 7 + 3a 5 − 3a 4 + 3a 5 − 3a 4 − 3a 2 + 3a 3 − 3a 2 + 3a − 6a 6 + 6a 5 − 6a 4 + 6a 3
= a 9 − 3a 8 + 6a 7 − 10a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3 − 6a 2 + 3a − 1
3 2 9 6 3 3 2 3
) 3 2
(
10. x − 2 x + x − 3 = x − 8 x + x − 27 + 3 (x ) − 2 x + 3 (x ) ( x) + 3 ( x ) − 3 + 3 − 2 x
2
( ) ( ) (x ) + 3(− 2 x ) ( x)
2 2 2 3 2 2
+ 3 (− 2 x ) (− 3) + 3x (x ) + 3x (− 2 x ) + 3x (− 3) + 6 (x ) (− 2 x )( x ) + 6 ( x ) (− 2 x )(− 3)
2 2 2 3 2 2 2 3 2 3 2
+ 6 (x )( x ) (− 3) + 6 (− 2 x )( x ) (− 3) + 3 (− 3) ( x ) + 3 (− 3) (− 2 x ) + 3(− 3) x
3 2 2 3 2 2 2
= x 9 − 8 x 6 + x 3 − 27 − 6 x 8 + 3x 7 − 9 x 6 + 12 x 7 + 12 x 5 − 36x 4 + 3x 5 − 6 x 4 − 9 x 2 − 12 x 6 + 36 x 5
− 18 x 4 + 36 x 3 + 27 x 3 − 54 x 2 + 27 x
= x 9 − 6 x 8 + 15x 7 − 29 x 6 + 51x 5 − 60 x 4 + 64 x 3 − 63x 2 + 27 x − 27
11. x − 4 x + 2 x − 3
3 2
= x 9 − 64 x 6 + 8x 3 − 27 + 3 (x 3 ) (− 4 x 2 ) + 3(x 3 ) (2 x) + 3(x 3 ) (− 3) + 3 (− 4 x 2 ) (x 3 ) + 3(− 4 x 2 ) (2 x )
2 2 2 2 2
+ 3 (− 4 x 2 ) (− 3) + 3 (2 x ) (x 3 ) + 3 (2 x) (− 4 x 2 ) + 3 (2 x) (− 3) + 3(− 3) (x 3 ) + 3(− 3) (− 4 x 2 )
2 2 2 2 2 2
+ 3 (− 3) (2 x ) + 6 (x 3 ) (− 4 x 2 ) (2 x ) + 6 (x 3 )(− 4 x 2 )(− 3) + 6 (x 3 )(2 x ) (− 3) + 6 (− 4 x 2 ) (2 x ) (− 3)
2
= x 9 − 64 x 6 + 8x 3 − 27 − 12 x 8 + 6 x 7 − 9 x 6 + 48 x 7 + 96 x 5 − 144 x 4 + 12 x 5 − 48 x 4 − 36 x 2 + 27 x 3 − 108 x 2
+ 54 x − 48 x 6 + 72 x 5 − 36 x 4 + 144 x 3
= x 9 − 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27
( ) (
) ( ) + 3(− x ) (2 x ) + 3(− x ) (− x )
12. 1 − x 2 + 2 x 4 − x 6 = 1 − x 6 + 8 x12 − x18 + 3 − x 2 + 3 (2 x 4 ) + 3 − x 6 + 3 − x 2
2 2 2 4 2 2 6
+ 3(2 x ) + 3 (2 x ) (− x ) + 3 (2 x ) (− x ) + 3 (− x ) + 3(− x ) (− x ) + 3 (− x ) (2 x )
4 2 4 2 2 4 2 6 6 2 6 2 2 6 2 4
+ 6 (− x ) (2 x ) + 6 (2 x )(− x ) + 6 (− x )(− x ) + 6 (− x ) (2 x ) (− x )
2 4 4 6 2 6 2 4 6
= 1 − x 6 + 8 x12 − x18 − 3x 2 + 6 x 4 − 3x 6 + 3x 4 + 6 x 8 − 3x10 + 12 x 8 − 12 x10 − 12 x14 + 3x12
− 3x14 + 6 x16 − 12 x 6 − 12 x10 + 6x 8 + 12 x12
= 1 − 3x 2 + 9 x 4 − 16x 6 + 24 x 8 − 27 x10 + 23x12 − 15x14 + 6 x16 − x18

287. EJERCICIO 210
4⋅ 3 2 2 6⋅ 2
( 4
)
1. x − 2 = x − 4 x ( 2) +
4 3
2
x ( 2) −
3
x (2) + (2) = x 4 − 8 x 3 + 24 x 2 − 32 x + 16
3 4
4 ⋅ 3 2 2 6⋅ 2
2. (a + 3) = a + 4a (3) + a (3) + a ( 3) + ( 3) = a 4 + 12a 3 + 54a 2 + 108a + 81
4 4 3 3 4
2 3
5⋅ 4 3 2 10 ⋅ 3 2 3 10 ⋅ 2
3. (2 − x ) = ( 2) − 5 ( 2) x + ( 2) x − ( 2) x + (2) x 4 − x 5 = 32 − 80 x + 80x 2 − 40 x 3 + 10 x 4 − x 5
5 5 4
2 3 4
(
4. 2 x + 5 y )
4
4⋅ 3 6⋅ 2
= ( 2 x) + 4 ( 2 x) (5 y) + ( 2 x) 2 (5y ) + (2 x) (5y ) + (5 y) = 16 x 4 + 160 x 3 y + 600x 2 y 2 + 1. 000xy 3 + 625y 4
4 3 2 3 4
2 3
6 ⋅ 5 4 2 15⋅ 4 3 3 20 ⋅ 3 2 4 15⋅ 2
5. ( 6
)
a − 3 = a 6 − 6a 5 ( 3) +
2
a (3) −
3
a ( 3) +
4
a (3) −
5
a (3) + (3)
5 6
= a 6 − 18a 5 + 135a 4 − 540a 3 + 1. 215a 2 − 1. 458a + 729
6⋅ 5 15⋅ 4 20 ⋅ 3 15⋅ 2
6. ( 6
)
2 a − b = ( 2a ) − 6 ( 2a ) b +
6 5
2
( 2a ) 4 b 2 −
3
( 2a ) 3 b 3 +
4
( 2a ) 2 b 4 −
5
( 2a )b5 + b 6
= 64a 6 − 192a 5b + 240a 4b 2 − 160a 3b 3 + 60a 2b 4 − 12ab 5 + b 6
5⋅ 4 2 3 ⋅ ⋅
7. ( 5
)
x 2 + 2 y 3 = (x 2 ) + 5(x 2 ) (2 y 3 ) +
5 4
2
(x ) (2 y 3 )2 + 103 3 (x 2 )2 (2 y 3 )3 + 104 2 (x 2 )(2 y 3 )4 + (2 y 3 )5
= x10 + 10x 8 y 3 + 40 x 6 y 6 + 80 x 4 y 9 + 80 x 2 y12 + 32 y15
6 ⋅ 5 3 4 2 15⋅ 4 3 3 3 20 ⋅ 3 3 2 4 15⋅ 2 3
8. ( 6
)
x 3 + 1 = (x 3 ) + 6 (x 3 ) (1) +
6 5
2
(x ) (1) + 3 (x ) (1) + 4 (x ) (1) + 5 (x )(1)5 + (1)6
= x18 + 6x15 + 15x12 + 20 x 9 + 15x 6 + 6 x 3 + 1
5⋅ 4 10 ⋅ 3 10 ⋅ 2
9. ( 5
)
2a − 3b = ( 2a ) − 5 ( 2a ) ( 3b) +
5 4
2
( 2a ) 3 ( 3b) 2 −
3
( 2a ) 2 ( 3b) 3 +
4
( 2a )( 3b) 4 − ( 3b)5
= 32a 5 − 240a 4b + 720a 3b 2 − 1. 080a 2b 3 + 810ab 4 − 243b5
(
10. x − 5 y
4 3
) 6
6⋅5 4 4 ⋅ ⋅ ⋅
= (x 4 ) − 6 (x 4 ) (5 y 3 ) + (x ) (5 y 3 )2 − 153 4 (x 4 )3 (5 y 3 )3 + 20 3 (x 4 )2 (5y 3 )4 − 155 2 (x 4 )(5y 3 )5 + (5y 3 )6
6 5
2 4
= x 24 − 30 x 20 y 3 + 375x16 y 6 − 2 .500 x12 y 9 + 9 . 375x 8 y 12 − 18 . 750 x 4 y 15 + 15. 625 y18
6
 y
11.  2 x − 2 
 
6⋅5  y  15⋅ 4  y  20 ⋅ 3  y  15⋅ 2
2 3 4 5 6
5  y  y  y
= (2 x ) − 6 (2 x )   + (2 x ) 4   − ( 2 x) 3   + (2 x ) 2   − ( 2 x)   +  
6
 2 2  2 3  2 4  2 5  2  2
15 2 4 3 5 y 6
= 64 x 6 − 96 x 5 y + 60 x 4 y 2 − 20 x 3 y 3 + x y − xy +
4 8 64
5 2 3 4 5
 x2  4  x 
2
5⋅ 4 3  x 2  10 ⋅ 3 2  x 2  10 ⋅ 2  x 2   x 2 
12.  3 −  = ( 3) − 5 ( 3)   + ( 3)   − ( 3)   + ( 3)   −  
5
 3  3 2  3 3  3 4  3  3
10 6 5 8 x10
= 243 − 135x 2 + 30 x 4 −
x + x −
3 27 243
6⋅5 15⋅ 4 20 ⋅ 3
13. (2 m − 3n ) = (2m ) − 6 (2m ) (3n ) +
3 4 6 3 6 3 5 4
(2m ) (3n 4 )2 − 3 (2m3 )3 (3n 4 )3 + 4 (2m3 )2 (3n 4 )4
3 4
2
15⋅ 2
−
5
(2m3 )(3n 4 )5 + (3n 4 )6
= 64m18 − 576m15n 4 + 2 .160m12 n 8 − 4 . 320m9 n12 + 4 .860m6n16 − 2 . 916m3n 20 + 729n 24

288. (
14. x − 3
2
) 7
7 ⋅ 6 2 5 2 21⋅ 5 2 4 3 35⋅ 4 2 3 4 35⋅ 3 2 2 5 21⋅ 2 2
= ( x 2 ) − 7 (x 2 ) (3) + (x ) (3) − 3 (x ) (3) + 4 (x ) (3) − 5 (x ) (3) + 6 (x )(3) 6 − (3)7
7 6
2
= x14 − 21x12 + 189 x 10 − 945x 8 + 2 . 835x 6 − 5.103x 4 + 5.103x 2 − 2 .187
5 2 3 4 5
 b2  4 b 
2
5⋅ 4  b 2  10 ⋅ 3  b 2  10 ⋅ 2  b2   b2 
15.  3a −  = (3a ) − 5 (3a )   + (3a ) 3   − (3a )2   + (3a )   −  
5
 3  3 2  3 3  3 4  3  3
10 2 6 5 8 b10
= 243a 5 − 135a 4b 2 + 30a 3b4 − ab + ab −
3 27 243
7⋅6 2 5 21⋅ 5 35⋅ 4
(
16. x + 2 y
2 2
) = (x )
7 2 7
+ 7 ( x 2 ) (2 y 2 ) +
2
6
(x ) (2 y 2 )2 + 3 (x 2 )4 (2 y 2 )3 + 4 (x 2 )3 (2 y 2 )4
35⋅ 3 2 2 21⋅ 2
+
5
(x ) (2 y 2 )5 + 6 (x 2 )(2 y 2 )6 + (2 y 2 )7
= x14 + 14 x12 y 2 + 84 x10 y 4 + 280 x 8 y 6 + 560 x 6 y 8 + 672 x 4 y10 + 448 x 2 y 12 + 128 y14
17. x 3 − 1 8 = ( x 3 )8 − 8 ( x 3 )7 (1) + 8 ⋅ 7 ( x 3 )6 (1) 2 − 28 ⋅ 6 ( x 3 )5 (1) 3 + 56 ⋅ 5 ( x 3 )4 (1) 4 − 70 ⋅ 4 ( x 3 )3 (1)5
( ) 2 3 4 5
56 ⋅ 3 3 2 6 28 ⋅ 2 3
+
6
(x ) (1) − 7 (x )(1) + (1)7 8
= x 24 − 8 x 21 + 28x18 − 56x15 + 70 x12 − 56x 9 + 28x 6 − 8 x 3 + 1
9⋅8 2 7  y 36 ⋅ 7 84 ⋅ 6 126 ⋅ 5
9 2 3 4 5
 y  y
18.  x 2 −  = ( x 2 ) − 9 ( x 2 )   + (x )  2  − 3 (x 2 )6  2  + 4 (x 2 )5  2  − 5 (x 2 )4  2 
9 8 y y y
     
 2  2 2        
126 ⋅ 4 2 3  y  84 ⋅ 3 2 2  y  36 ⋅ 2
6 7 8 9
(x )  2  − 7 (x )  2  + 8 (x 2 )  2  −  2 
y y
+    
6        
9 16 21 63 10 4 63 8 5 21 6 6 9 4 7 9 2 8 y9
= x18 − x y + 9 x14 y 2 − x12 y 3 + x y − x y + x y − x y + x y −
2 2 8 16 16 32 256 512
7⋅6 21⋅ 5 35⋅ 4
(
19. 2m3 − n 4 ) = (2m )
7 3 7
− 7 (2m3 ) (n 4 ) +
2
(2m3 )5 (n 4 )2 − 3 (2m3 )4 (n 4 )3 + 4 (2m3 )3 (n 4 )4
6
35⋅ 3 21⋅ 2
−
5
(2m3 )2 (n4 )5 + 6 (2m3 )(n 4 )6 − (n4 )7
= 128m21 − 448m18n 4 + 672m15n8 − 560m12 n12 + 280m9 n16 − 84m6n 20 + 14m3n 24 − n 28
5
 x2 2 y2 
20.  2 + 3 
 
5 4 3 2 2 3 4 5
 x2   x 2   2 y 2  5⋅ 4  x 2   2 y 2  10 ⋅ 3  x 2   2 y 2  10 ⋅ 2  x 2   2 y 2   2 y 2 
=   + 5   +     +     +    + 
 2  2  3  2  2  3  3  2  3  4  2 3   3 
x10 5x 8 y 2 5x 6 y 4 20 x 4 y 6 40 x 2 y 8 32 y10
= + + + + +
32 24 9 27 81 243
 1  5a  6 ⋅ 5  1  5a  15 ⋅ 4  1  5a  20 ⋅ 3  1  5a 
6 6 5 4 2 3 3 2 4
 1 5a   1
 −  =   − 6    +     −     +    
21.  5 2   5  5  2  2  5  2  3  5  2  4  5  2 
15 ⋅ 2  1  5a   5a 
5 6
−     + 
5  5  2   2 
1 3a 3a 2 5a 3 375a 4 1. 875a 5 15 . 625a 6
= − + − + − +
15.625 625 20 2 16 16 64

289. EJERCICIO 211
NOTA: Triángulo
NOTA: Triángulo necesario para el desarrollo de los problemas del presente ejercicio
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
1 8 28 56 70 56 28 8 1
1 9 36 84 126 126 84 36 9 1
1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
( )
1. a + 2b = a 6 + 6a 5 ( 2b ) + 15a 4 (2b) + 20a 3 ( 2b) + 15a 2 ( 2b) + 6a (2b) + (2b)
6 2 3 4 5 6
= a 6 + 12a 5b + 60a 4b 2 + 160a 3b 3 + 240a 2b 4 + 192ab5 + 64b 6
(
2. 2m2 − 3n 3 ) = (2m ) − 5(2m ) (3n ) + 10 (2m ) (3n )
5 2 5 2 4 3 2 3 3 2
− 10 (2m2 ) (3n 3 ) + 5 (2m2 )(3n 3 ) − (3n 3 )
2 3 4 5
= 32m10 − 240m8n 3 + 720m6n 6 − 1. 080m4 n 9 + 810m2 n12 − 243n15
(
3. x 2 + y 3 ) = (x ) + 6 (x ) ( y ) + 15(x ) ( y )
6 2 6 2 5 3 2 4 3 2
+ 20 (x 2 ) ( y 3 ) + 15( x 2 ) ( y 3 ) + 6 (x 2 ) ( y 3 ) + ( y 3 )
3 3 2 4 5 6
= x12 + 6 x10 y 3 + 15x 8 y 6 + 20 x 6 y 9 + 15x 4 y12 + 6 x 2 y15 + y 18
(
4. 3 − y )
7 7
= ( 3) − 7 (3) ( y 7 ) + 21(3) ( y 7 ) − 35 (3) ( y 7 ) + 35( 3) ( y 7 ) − 21(3) ( y 7 ) + 7 ( 3) ( y 7 ) − ( y 7 )
7 6 5 2 4 3 3 4 2 5 6 7
= 2 .187 − 5.103 y 7 + 5.103 y14 − 2 .835 y 21 + 945y 28 − 189 y 35 + 21y 42 − y 49
(
5. 2 x 3 − 3 y 4 )
6
= (2 x 3 ) − 6 (2 x 3 ) (3 y 4 ) + 15(2 x 3 ) (3 y 4 ) − 20 (2 x 3 ) (3 y 4 ) + 15(2 x 3 ) (3 y 4 ) − 6 (2 x 3 )(3 y 4 ) + (3 y 4 )
6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
= 64 x18 − 576 x15 y 4 + 2 .160 x12 y 8 − 4 . 320 x 9 y12 + 4 .860 x 6 y16 − 2 . 916 x 3 y 20 + 729 y 24
5 5 4 3 2
 x2   x2   x2   x2   x2   x2 
6. 
 2
+ y 3  =   + 5   y 3 + 10  
  2  2  2
(y ) 3 2
+ 10  
 2
(y )3 3
+ 5  ( y 3 ) + ( y 3 )
 2
4 5
x10 5x 8 y 3 5x 6 y 6 5x 4 y 9 5x 2 y12
= + + + + + y15
32 16 4 2 2
6 6 5 4 2 3 3 2 4 5 6
 a 3  a   a   3  a   3  a   3  a   3  a   3   3
 −  =   − 6     + 15     − 20     + 15     − 6     +  
7.  3 b   3  3  b  3  b  3  b  3  b  3  b  b
a 6 2a 5 5a 4 20a 3 135a 2 486a 729
= − + − 3 + − 5 + 6
729 27b 3b 2 b b4 b b
(
8. 1 − x 4 )
8
= (1) − 8 (1) ( x 4 ) + 28 (1) ( x 4 ) − 56 (1) ( x 4 ) + 70 (1) ( x 4 ) − 56 (1) ( x 4 ) + 28 (1) ( x 4 ) − 8 (1) (x 4 ) + (x 4 )
8 7 6 2 5 3 4 4 3 5 2 6 7 8
= 1 − 8 x 4 + 28 x 8 − 56 x12 + 70 x16 − 56 x 20 + 28 x 24 − 8 x 28 + x 32

290. 7 2 3 4
 2 3  2  2  3  2  3  2  3  2  3
7 6 5 4 3
9.  3x − 2 y  =  3x  − 7  3x   2 y  + 21 3x   2 y  − 35 3x   2 y  + 35  3x   2 y 
                   
5 6 7
 2  3  2  3  3
2
− 21    + 7     −  
 3x   2 y   3x   2 y   2 y 
128 224 56 70 105 567 1. 701 2 .187
= − + − + − + −
2 .187 x 7 243x 6 y 9 x 5 y 2 3x 4 y 3 2 x 3 y 4 8 x 2 y 5 32 xy 6 128 y 7
7 2 3 4
 2 m2   2   2  m   2  m   2  m   2  m 
2 7 2 2 6 2 5 4 3
10.  −  =   − 7     + 21    − 35     + 35    
 m 2   m  m  2   m  2   m  2   m  2 
5 6 7
 2  m   2  m   m 
2 2 2 2
− 21    + 7     −  
 m  2   m  2   2 
128 224 168 35m5 21m8 7m11 m14
= 7 − 4 + − 70m2 + − + −
m m m 2 8 32 128
(
11. x + mn = x
3
) ( ) + 8 (x ) mn + 28 (x ) (mn)
8 3 8 3 7 3 6 2
+ 56 ( x 3 ) (mn) + 70(x 3 ) ( mn) + 56 (x 3 ) ( mn)
5 3 4 45 3
+ 28( x 3 ) (mn) + 8 (x 3 ) (mn) + ( mn)
2
6 7 8
= x 24 + 8 x 21mn + 28 x18m2 n2 + 56 x15m3n 3 + 70 x12 m4 n 4 + 56 x 9 m5n5 + 28 x 6m6n 6 + 8 x 3m7 n 7 + m8n8
9 2 3 4 5
 b2  8b 
2
7 b 
2
6b 
2
5b 
2
4b 
2
 3 −  = (3) − 9 (3)   + 36 (3)   − 84(3)   + 126(3)   − 126 ( 3)  
9
12.  3  3  3  3  3  3
6 7 8 9
3b  2 b   b2   b2 
2 2
+ 84(3)   − 36(3)   + 9(3)   −  
 3  3  3  3
28b12 4b14 b16 b18
= 19 . 683 − 19 . 683b 2 + 8 . 748b 4 − 2 . 268b6 + 378b8 − 42b10 + − + −
9 27 243 19 . 683
10 2 3 4 5 6
 1 9  1 8  1 7  1 6  1 5  1 4  1
13.  1−  = (1) − 10 (1)   + 45(1)   − 120 (1)   + 210(1)   − 252 (1)   + 210 (1)  
10
 x  x  x  x  x  x  x
7 8 9 10
3  1 2  1  1  1
− 120 (1)   + 45(1)   − 10 (1)   +  
 x  x  x  x
10 45 120 210 252 210 120 45 10 1
= 1− + − + 4 − 5 + 6 − 7 + 8 − 9 + 10
x x2 x3 x x x x x x x
(
14. 2m2 − 5n 5 ) = (2m ) − 6 (2m ) (5n ) + 15(2m ) (5n )
6 2 6 2 5 5 2 4 5 2
− 20 (2m2 ) (5n5 ) + 15 (2m2 ) (5n 5 )
3 3 2 4
− 6 (2m2 )(5n 5 ) + (5n 5 )
5 6
= 64m12 − 960m10n5 + 6 . 000m8n10 − 20 . 000m6n15 + 37 . 500m4 n 20 − 37 . 500m2 n 25 + 15. 625n 30
7
 x5 
15.  4 − 
 4
2 3 4 5 6 7
6 x  5 x  4 x  3 x  2 x   x5   x 5 
5 5 5 5 5
= ( 4) − 7 ( 4)   + 21( 4)   − 35 (4)   + 35 ( 4)   − 21( 4)   + 7 ( 4)   −  
7
 4  4  4  4  4  4  4
35x 20 21x 25 7 x 30 x 35
= 16 . 384 − 7 .168 x 5 + 1. 344 x10 − 140 x15 + − + −
4 64 1. 024 16 . 384

291. EJERCICIO 212
(
1. x − y )5
donde r = 3 (
2. a − 4b )7
donde r = 4 (
3. 1 + x ) 11
donde r = 5
7 ⋅ 6⋅ 5 7−3 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 11− 4
5⋅ 4 (a ) (− 4b)
4 −1
= ( x )5− 2 (− y ) = 10 x 3 y 2
2
= = (1) ( x)5 −1
1⋅ 2 1⋅ 2 ⋅ 3 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
= 35a 4 (− 64b 3 ) = 330 x 4
(
4. 3x − 2 y )
6
donde r = 4 = − 2 . 240a 4b 3  b
8
6.  2a −  donde r = 6
6 ⋅ 5⋅ 4  2
=
1⋅ 2 ⋅ 3
(3x )6 − 3 (− 2 y )
4 −1
(
5. a − 2b
2
)9
donde r = 5 6 −1
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5⋅ 4
( 2a ) 8 − 5  − 
b
9 ⋅ 8⋅ 7 ⋅ 6 2 9−4 =  
= 20 (27 x 3 ) (− 8 y 3 ) =
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
(a ) (− 2b)5−1 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5  2
= − 4 . 320 x 3 y 3  b5 
= 126 (a 10 )(16b 4 ) = 56 (8a 3 )  − 
 32 
= 2 . 016a 10b 4
= − 14a 3b5
(
7. x − 2 y
2
) 10
donde r = 7
( )
2 11
8. x − y donde r = 8
10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 10 − 6
(x ) (− 2 y)
7 −1
= 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 11− 7
( x ) (− y 2 )
8 −1
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6 =
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7
= 210 ( x 8 ) (64 y 6 )
= 330 x 4 (− y14 )
= 13. 440 x y 8 6
= − 330 x 4 y 14
(
9. a 2 + b )15
donde r = 10
10. 1 − x
2
( ) 12
donde r = 9
15⋅ 14 ⋅ 13⋅ 12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 2 15 − 9 10 −1
=
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8 ⋅ 9
(a ) (b) =
12 ⋅ 11⋅ 10 ⋅ 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 12 − 8
(1) (− x 2 )
9 −1
1⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 ⋅ 8
= 5. 005a 12b 9 = 495x 16
(
11. 2a − b
2
)6
donde r = 6 (
12. 3x 2 − y 2 )
8
donde r = 5
8 ⋅ 7 ⋅ 6 ⋅ 5 2 8− 4
(3x ) (− y 2 )
5−1
6 ⋅ 5⋅ 4 ⋅ 3⋅ 2
( 2a ) 6 −5 (− b 2 ) =
6 −1
= 1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4
1⋅ 2 ⋅ 3⋅ 4 ⋅ 5
= 6 ( 2a ) (− b10 ) = 70 (81x 8 )( y 8 )
= − 12ab10 = 5 . 670 x 8 y 8
EJERCICIO 213
9a 2 3a x 2m xm
1. 4a 2b 4 = ± 2ab 2 9. 5
− 243m5n15 = − 3mn3 16. =± 2 21. 4n
=±
25x 4 5x 121y 11y 2n
2. 25x6 y8 = ± 5x3 y4
10. 81x6 y8 z20 = ± 9x3 y4 z10 27a 3 3a
17. 3 − =− 3 125x 9 5x 3
3. 3
27a b = 3ab3 9 3
64x 9 4x 22. 3 − =−
216m12 6m4
11. 3
1. 000x9 y18 = 10x 3 y6
4. 3
− 8a 3b6 x12 = − 2ab 2 x 4 a 5b10 ab 2
18. 5 − =− 3 a18 a2
5. 64x y 8 10
= ± 8x y 4 5 12. 4 12
81a b 24
= ± 3a b 3 6
32x 15
2x 23. 9 = 3
9 27
b c bc
6. 4
16a 8b16 = ± 2a 2b 4 13. 6
64a12b18 c 30 = ± 2a 2b 3 c 5 a8 a2
19. 4 =±
4 12
81b c 3bc 3 x 20 x2
7. 5
x15 y 20z25 = x 3 y 4 z5 14. 49a 2nb 4n = ± 7a nb 2n 24.
10
30
=± 3
1. 024y 2y
128 2
8. 3
− 64a 3 x 6 y18 = − 4ax 2 y 6 20. 7 =
15. 5
− x5ny10 x = − xny2 x x14 x 2

292. EJERCICIO 214
1. 16 x 2 − 24 xy 2 + 9 y 4 4 x − 3y 2
− 16 x 2 (8x − 3y ) (− 3y ) 2 2
− 24 xy 2 + 9 y 4 = − 24 xy 2 + 9 y 4
24 xy − 9 y 2 4
0
2.
25a 4 − 70a 3 x + 49a 2 x 2 5a 2 − 7ax
− 25a 4 (10a 2
− 7ax )(− 7ax )
− 70a x + 49a x
3 2 2
= − 70a 3 x + 49a 2 x 2
70a x − 49a x
3 2 2
0
3. x 4 − 4 x 3 + 6x 2 − 4 x + 1 x 2 − 2 x + 1
− x4 (2 x 2
− 2 x)(− 2 x)
− 4 x 3 + 6x 2 = − 4 x3 + 4 x 2
4x − 4x
3 2
2x2 − 4x + 1 (2 x 2
− 4 x + 1) (1)
− 2x + 4x − 1
2
= 2 x2 − 4 x + 1
0
4. 4a 4 + 4a 3 + 5a 2 + 2a + 1 2a 2 + a + 1
− 4a 4 (4a 2
+ a)(a)
4a + 5a
3 2
= 4a 3 + a 2
− 4a 3 − a 2
4a 2 + 2a + 1 (4a 2
+ 2a + 1) (1)
− 4a − 2a − 12
= 4 a 2 + 2a + 1
0
5. n4 − 10n3 + 29n2 − 20n + 4 n2 − 5n + 2
− n4 (2n 2
− 5n)(− 5n)
− 10n + 29n3 2
= − 10n3 + 25n 2
10n3 − 25n 2
4n 2 − 20n + 4 (2n 2
− 10n + 2) ( 2)
− 4n + 20n − 4 2
= 4n2 − 20n + 4
0

293. 6. x 6 − 10 x 5 + 25x 4 + 12 x 3 − 60 x 2 + 36 x 3 − 5x 2 + 6
− x6 (2 x 3
− 5x 2 )(− 5x 2 )
− 10 x 5 + 25x 4 = − 10 x 5 + 25x 4
10 x − 25x
5 4
12 x 3 − 60 x 2 + 36 (2 x 3
− 10 x 2 + 6) ( 6)
− 12 x 3 + 60 x 2 − 36 = 12 x 3 − 60 x 2 + 36
0
7. 16a − 24a + 49a − 30a + 25
8 6 4 2
4a 4 − 3a 2 + 5
− 16a 8 (8a 4
− 3a 2 )(− 3a 2 )
− 24a 6 + 49a 4 = − 24a 6 + 9a 4
24a 6 − 9a 4
40a 4 − 30a 2 + 25 (8a 4
− 6a 2 + 5) (5)
− 40a 4 + 30a 2 − 25 = 40a 4 − 30a 2 + 25
0
8. x + 4 xy − 2 xz − 4 yz + 4 y 2 + z 2
2
x + 2y − z
−x 2
(2 x + 2 y)(2 y)
4 xy − 2 xz + 4y 2
= 4 xy + 4 y 2
− 4 xy − 4y 2
− 2 xz − 4 yz + z2 (2 x + 4 y − z)(− z)
2 xz + 4 yz −z 2
= − 2 xz − 4 yz + z 2
0
9. x + 2 x − 5x − 6 x + 9
12 9 6 3
x6 + x3 − 3
− x12 (2 x 6
+ x 3 ) (x 3 )
2 x 9 − 5x 6 = 2x9 + x6
− 2x9 − x6
− 6x 6 − 6x 3 + 9 (2 x 6
+ 2 x 3 − 3) (− 3)
6x 6 + 6x 3 − 9 = − 6x6 − 6x3 + 9
0
10.
25x 8 − 70 x 6 + 30 x 5 + 49 x 4 − 42 x 3 + 9 x 2 5x 4 − 7 x 2 + 3x
− 25x 8 (10x 4
− 7 x 2 ) (− 7 x 2 )
− 70 x 6 + 30 x 5 + 49 x 4 = − 70 x 6 + 49 x 4
70 x 6
− 49 x 4
30 x 5 − 42 x 3 + 9 x 2 (10x 4
− 14 x 2 + 3x) ( 3x)
− 30 x 5
+ 42 x − 9 x
3 2
= 30 x 5 − 42 x 3 + 9 x 2
0

294. 11. 4a 4 + 8a 3b − 8a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4 2a 2 + 2ab − 3b 2
− 4a 4 (4a 2
+ 2ab) (2ab)
8a b − 8a b
3 2 2
= 8a 3b + 4a 2b 2
− 8a 3b − 4a 2b 2
− 12 a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4 (4a 2
+ 4ab − 3b 2 ) (− 3b 2 )
12 a 2b 2 + 12ab 3 − 9b 4 = − 12 a 2b 2 − 12ab 3 + 9b 4
0
12.
x 6 − 2 x 5 + 3x 4 − x 2 + 2 x + 1 x3 − x2 + x + 1
− x6 (2 x 3
− x 2 ) (− x 2 )
− 2 x 5 + 3x 4 = − 2 x5 + x4
2 x5 − x 4
2x4 − x2 + 2x (2 x 3
− 2 x 2 + x) ( x)
2x3 − 2x4 − x2 = 2x4 − 2x3 + x2
2x3 − 2x2 + 2x + 1
− 2x3 + 2x2 − 2x − 1 (2 x 3
− 2 x 2 + 2 x + 1 ) (1)
0 = 2x3 − 2x2 + 2x + 1
x 6 − 6 x 5 + 5x 4 + 16 x 3 − 8 x 2 − 8x + 4 x 3 − 3x 2 − 2 x + 2
13.
− x6 (2 x 3
− 3x 2 ) ( − 3 x 2 )
− 6 x 5 + 5x 4 = − 6x5 + 9 x 4
6x − 9 x
5 4
− 4 x 4 + 16 x 3 − 8 x 2 (2 x 3
− 6 x 2 − 2 x) (− 2 x )
4 x 4 − 12 x 3 − 4 x 2 = − 4 x 4 + 12 x 3 + 4 x 2
4 x 3 − 12 x 2 − 8 x + 4
− 4 x 3 + 12 x 2 + 8 x − 4 (2 x 3
− 6 x 2 − 4 x + 2) ( 2)
0 = 4 x 3 − 12 x 2 − 8x + 4
14. x 8 + 6 x 6 − 8 x 5 + 19 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 − 40 x + 25 x 4 + 3x 2 − 4 x + 5
− x8 (2 x 4
+ 3x 2 ) (3x 2 ) = 6 x 6 + 9 x 4
6 x 6 − 8x 5 + 19 x 4
− 6x 6 − 9x4 (2 x 4
+ 6 x 2 − 4 x ) (− 4 x)
− 8 x 5 + 10 x 4 − 24 x 3 + 46 x 2 = − 8 x 5 − 24 x 3 + 16 x 2
8x 5
+ 24 x − 16 x
3 2
10 x 4
+ 30 x 2 − 40 x + 25 (2 x 4
+ 6 x 2 − 8 x + 5) (5)
− 10 x 4 − 30 x 2 + 40 x − 25 = 10 x 4 + 30 x 2 − 40 x + 25
0

295. 15.
x 8 − 8x 7 + 16 x 6 + 4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 − 12 x + 9 x4 − 4x3 + 2x − 3
− x8 (2 x 4
− 4 x 3 ) (− 4 x 3 ) = − 8 x 7 + 16 x 6
− 8x 7 + 16 x 6
8x 7 − 16x 6 (2 x 4
− 8x 3 + 2 x) ( 2 x )
4 x 5 − 22 x 4 + 24 x 3 + 4 x 2 = 4 x 5 − 16x 4 + 4 x 2
− 4 x + 16 x 5 4
− 4x 2
− 6x + 24 x 4 3
− 12 x + 9 (2 x 4
− 8x 3 + 4 x − 3) (− 3)
6 x 4 − 24 x 3 + 12 x − 9 = − 6 x 4 + 24 x 3 − 12 x + 9
0
16. 9 − 36a + 42a − 18a + 13a − 2a + a
2 3 4 5 6
3 − 6a + a 2 − a 3
−9 (6 − 6a)(− 6a) = − 36a + 36a 2
− 36a + 42a 2
36a − 36a 2 (6 − 12a + a )(a ) = 6a 2 2 2
− 12a 3 + a 4
6a − 18a + 13a
2 3 4
− 6a 2 + 12a 3 − a 4 (6 − 12a + 2a 2
− a 3 ) (− a 3 )
− 6a 3 + 12a 4 − 2a 5 + a 6 = − 6a 3 + 12a 4 − 2a 5 + a 6
6a − 12a + 2a − a
3 4 5 6
0
9 x − 24 x + 28 x − 22 x + 12 x 2 − 4 x + 1
6 5 4 3
3x 3 − 4 x 2 + 2 x − 1
17.
− 9x6 (6x 3
− 4 x 2 ) (− 4 x 2 ) = − 24 x 5 + 16 x 4
− 24 x 5 + 28 x 4
24 x 5 − 16 x 4 (6x 3
− 8 x 2 + 2 x) ( 2 x )
12 x 4 − 22 x 3 + 12 x 2 = 12 x 4 − 16 x 3 + 4 x 2
− 12 x 4 + 16 x 3 − 4 x 2
− 6x 3 + 8x 2 − 4 x + 1 (6x 3
− 8x 2 + 4 x − 1) (− 1)
6x − 8x + 4 x − 1
3 2
= − 6x3 + 8x2 − 4 x + 1
0
18. 16 x − 40x + 73x − 84 x + 66x 2 − 36 x + 9
6 5 4 3
4 x 3 − 5x 2 + 6 x − 3
− 16 x 6 (8x 3
− 5x 2 ) (− 5x 2 ) = − 40 x 5 + 25x 4
− 40x 5 + 73x 4
40 x 5 − 25x 4 (8x 3
− 10 x 2 + 6 x) ( 6 x)
48 x 4 − 84 x 3 + 66 x 2 = 48x 4 − 60 x 3 + 36x 2
− 48 x 4 + 60 x 3 − 36 x 2
− 24 x 3 + 30x 2 − 36 x + 9 (8x 3
− 10x 2 + 12 x − 3) (− 3)
24 x 3 − 30 x 2 + 36 x − 9 = − 24 x 3 + 30 x 2 − 36x + 9
0

296. 19. m6 − 4m5n + 4m4 n 2 + 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8 m3 − 2m2 n + 2n 4
− m6 (2m 3
− 2m2 n) (− 2m2 n)
− 4m5n + 4m4 n 2 = − 4m5n + 4m4 n 2
4m n − 4m n
5 4 2
4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8 (2m 3
− 4m2 n + 2n 4 ) (2n 4 )
− 4m n + 8m n − 4n
3 4 2 5 8
= 4m3n 4 − 8m2 n5 + 4n8
0
20. 9 x 6 − 6 x 5 y + 13x 4 y 2 − 16 x 3 y 3 + 8x 2 y 4 − 8 xy 5 + 4 y 6 3x 3 − x 2 y + 2 xy 2 − 2 y 3
− 9x6 (6x 3
− x 2 y )(− x 2 y) = − 6 x 5 y + x 4 y 2
− 6x y + 13x y
5 4 2
6x5 y − x 4 y 2 (6x 3
− 2 x 2 y + 2 xy 2 ) (2 xy 2 )
12 x 4 y 2 − 16 x 3 y 3 + 8x 2 y 4 = 12 x 4 y 2 − 4 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4
− 12 x 4 y 2 + 4 x 3 y 3 − 4 x 2 y 4
− 12 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 − 8xy 5 + 4 y 6 (6x 3
− 2 x 2 y + 4 xy 2 − 2 y 3 ) (− 2 y 3 )
12 x 3 y 3 − 4 x 2 y 4 + 8 xy 5 − 4 y 6 = − 12 x 3 y 3 + 4 x 2 y 4 − 8xy 5 + 4 y 6
0
21.
16a 6 − 24a 5b + 25a 4b 2 − 20a 3b 3 + 10a 2b 4 − 4ab5 + b 6 4a 3 − 3a 2b + 2ab2 − b 3
− 16a 6 (8a 3
− 3a 2b)(− 3a 2b) = − 24a 5b + 9a 4b 2
− 24a 5b + 25a 4b 2
24a 5b − 9a 4b 2 (8a 3
− 6a 2b + 2ab 2 ) (2ab 2 )
16a 4b 2 − 20a 3b 3 + 10a 2b 4 = 16a 4b 2 − 12a 3b 3 + 4a 2b 4
− 16a b + 12a b − 4a b
4 2 3 3 2 4
− 8a 3b3 + 6a 2b 4 − 4ab5 + b 6 (8a 3
− 6a 2b + 4ab 2 − b 3 ) (− b 3 )
8a 3b 3 − 6a 2b 4 + 4ab5 − b 6 = − 8a 3b 3 + 6a 2b 4 − 4ab5 + b 6
0
22. 36x 8 − 36x 6 y 2 + 48x 5 y 3 − 15x 4 y 4 − 24 x 3 y 5 + 28 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8 6 x 4 − 3x 2 y 2 + 4 xy 3 − 2 y 4
− 36x 8 (12 x 4
− 3x 2 y 2 )(− 3x 2 y 2 ) = − 36x 6 y 2 + 9 x 4 y 4
− 36 x y + 48 x y − 15x y
6 2 5 3 4 4
36x 6 y 2 − 9x 4 y4 (12 x 4
− 6 x 2 y 2 + 4 xy 3 ) (4 xy 3 )
48 x 5 y 3 − 24 x 4 y 4 − 24 x 3 y 5 + 28x 2 y 6 = 48 x 5 y 3 − 24 x 3 y 5 + 16x 2 y 6
− 48x y 5 3
+ 24 x y − 16 x y
3 5 2 6
(12 x 4
− 6 x y + 8xy 3 − 2 y 4 ) (− 2 y 4 )
2 2
− 24 x 4 y 4 + 12 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8 = − 24 x 4 y 4 + 12 x 2 y 6 − 16 xy 7 + 4 y 8
24 x y4 4
− 12 x y + 16xy − 4 y
2 6 7 8
0

297. 23. 25a 6 − 40a 5 x + 26a 4 x 2 − 28a 3 x 3 + 17a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6 5a 3 − 4a 2 x + ax 2 − 2 x 3
− 25a 6 (10a 3
− 4a 2 x)(− 4a 2 x ) = − 40a 5 x + 16a 4 x 2
− 40a 5 x + 26a 4 x 2
40a 5 x − 16a 4 x 2 (10a 3
− 8a 2 x + ax 2 ) (ax 2 ) = 10a 4 x 2 − 8a 3 x 3 + a 2 x 4
10a 4 x 2 − 28a 3 x 3 + 17a 2 x 4
− 10a 4 x 2 + 8a 3 x 3 − a 2 x 4 (10a 3
− 8a 2 x + 2ax 2 − 2 x 3 )(− 2 x 3 )
− 20a 3 x 3 + 16a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6 = − 20a 3 x 3 + 16a 2 x 4 − 4ax 5 + 4 x 6
20a 3 x 3 − 16a 2 x 4 + 4ax 5 − 4 x 6
0
24. 4a 8 − 12a 7 + 17a 6 − 16a 5 + 14a 4 − 10a 3 + 5a 2 − 2a + 1 2a 4 − 3a 3 + 2a 2 − a + 1
− 4a 8 (4a 4
− 3a 3 )(− 3a 3 ) = − 12a 7 + 9a 6
− 12a + 17a
7 6
12a 7 − 9a 6 (4a 4
− 6a 3 + 2a 2 ) (2a 2 )
8a 6 − 16a 5 + 14a 4 = 8a 6 − 12a 5 + 4a 4
− 8a 6 + 12a 5 − 4a 4
− 4a 5 + 10a 4 − 10a 3 + 5a 2 (4a 4
− 6a 3 + 4a 2 − a )(− a )
4a − 6a + 4a − a
5 4 3 2
= − 4a 5 + 6a 4 − 4a 3 + a 2
4a 4 − 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1
− 4a 4 + 6a 3 − 4a 2 + 2a − 1 (4a 4
− 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1) (1)
0 = 4a 4 − 6a 3 + 4a 2 − 2a + 1
25. x10 − 2 x 9 + 3x 8 − 4 x 7 + 5x 6 − 8x 5 + 7 x 4 − 6x 3 + 5x 2 − 4 x + 4 x5 − x 4 + x 3 − x 2 + x − 2
− x10 (2 x 5
− x 4 )(− x 4 ) = − 2 x 9 + x 8
− 2 x 9 + 3x 8
2 x9 − x8 (2 x 5
− 2 x 4 + x 3 ) (x 3 ) = 2 x 8 − 2 x 7 + x 6
2 x − 4 x + 5x
8 7 6
− 2 x8 + 2 x 7 − x 6 (2 x 5
− 2 x 4 + 2 x 3 − x 2 )(− x 2 )
− 2 x 7 + 4 x 6 − 8 x5 + 7 x 4 = − 2 x 7 + 2 x 6 − 2 x5 + x 4
2 x 7 − 2 x 6 + 2 x5 − x 4
2 x 6 − 6 x 5 + 6 x 4 − 6 x 3 + 5x 2 (2 x 5
− 2 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + x) ( x )
− 2 x 6 + 2 x5 − 2 x4 + 2 x 3 − x 2 = 2 x 6 − 2 x5 + 2 x 4 − 2 x 3 + x 2
− 4 x5 + 4 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 4
4 x5 − 4 x 4 + 4 x 3 − 4 x 2 + 4 x − 4 (2 x 5
− 2 x 4 + 2 x 3 − 2 x 2 + 2 x − 2)(− 2)
0 = − 4 x5 + 4 x 4 − 4 x 3 + 4 x 2 − 4 x + 4

298. EJERCICIO 215
x4 5x 2 4 x 4 x2 2
− x3 + − + − x+
1. 4 3 3 9 2 3
x4
−
4
(x 2
− x ) (− x ) = − x 3 + x 2
5x 2
− x3 +
3
 2 2  2 2x2 4x 4
x3 − x2  x − 2x +    = − +
 3  3 3 3 9
2x2 4x 4
− +
3 3 9
2x2 4x 4
− + −
3 3 9
0
a 2 2a 19 2 x x 2 a 1 x
2. − + − + − +
x 2 3x 9 3a a 2 x 3 a
a2  2a 1   1  2a 1
−  −  −  = − +
x2  x 3  3 3x 9
2a 19
− +
3x 9
2a 1  2a 2 x   x  2x x2
−  − +    = 2− +
3x 9  x 3 a  a 3a a 2
2x x2
2− +
3a a 2
2x x2
−2 + −
3a a 2
0
a2 ac bc c2 a c
− ab + b2 + − + − b+
3. 4 4 2 16 2 4
a2
−
4
(a − b) (− b) = − ab + b 2
− ab + b 2
 c   c  ac bc c2
ab − b2  a − 2b +    = − +
 4   4  4 2 16
ac bc c2
− +
4 2 16
ac bc c2
− + −
4 2 16
0

299. 9a 4 3a 3 29a 2 4a 16 3a 2 a 4
− + − + − +
4. 16 4 20 5 25 4 2 5
9a 4  3a 2 a   a  3a 3 a 2
−  −  −  = − +
16  2 2  2 4 4
3a 3 29a 2
− +
4 20
3a 3 a2  3a 2 4   4  6a 2 4a 16
−  −a+    = − +
4 4  2 5  5  5 5 25
6a 2 4a 16
− +
5 5 25
6a 2 4a 16
− + −
5 5 25
0
a 4 a 3b 3a 2b 2 b4 a2 b2
+ + − ab 3 + + ab −
5. 16 2 4 4 4 2
a4  a2  a 3b 2 2
−  + ab ( ab) = +a b
16  2  2
a 3b 3a 2b 2
+
2 4
a 3b 2 2  a2 b 2   b2  a 2b 2 b4
− −a b  + 2ab −   −  = − − ab 3 +
2  2 2 2 4 4
a 2b 2 b4
− − ab 3 +
4 4
a 2b 2 b4
+ ab −3
4 4
0
x2 2x 25 50 y x 5
+ − 2 xy + − + 25 y 2 + − 5y
6. 25 3 9 3 5 3
x2  2 x 5  5 2 x 25
−  +  = +
25  5 3   3 3 9
2x 25
− 2 xy +
3 9
 2 x 10 
 + − 5 y (− 5 y ) = − 2 xy −
2x 25 50 y
− − + 25 y 2
3 9  5 3  3
50 y
− 2 xy − + 25 y 2
3
50 y
2 xy + − 25 y 2
3
0

300. x 4 4 x 3 y 62 x 2 y 2 4 xy 3 y 4 x2 y2
− + − + − 2 xy +
7. 9 3 15 5 25 3 5
x4  2x2  4x3 y
−  − 2 xy (− 2 xy ) = − + 4x2 y2
9  3  3
4 x 3 y 62 x 2 y 2 4 xy 3
− + −
3 15 5
4x y 3
 2 x2 y 2   y 2  2 x 2 y 2 4 xy 3 y 4
− 4x2 y2  − 4 xy +    = − +
3  3 5 5 15 5 25
2 x 2 y 2 4 xy 3 y 4
− +
15 5 25
2 x y 4 xy y 4
2 2 3
− + −
15 5 25
0
a 4 3a 2 9 a 2b2 2b 2 b 4 a 2 3 b2
8. − + + − + − +
16 10 25 18 15 81 4 5 9
a4  a 2 3  3 3a 2 9
−  −  −  = − +
16  2 5  5 10 25
3a 2 9
− +
10 25
3a 2 9  a 2 6 b 2   b 2  a 2b 2 2b 2 b 4
−  − +  = − +
10 25  2 5 9   9  18 15 81
a 2b 2 2b 2 b4
− +
18 15 81
a 2b 2 2b 2 b 4
− + −
18 15 81
0
4 1 1
x2 + 4x + 2 − + x + 2−
9. y x2 x
− x2 (2 x + 2) (2) = 4 x + 4
4x + 2
 1  1 4 1
− 4x − 4  2x + 4 −  −  = − 2− + 2
 x  x x x
4 1
− 2− +
y x2
4 1
2+ −
y x2
0

301. x 2 10 x 79 20 4 x 2
− + − + 2 − 5+
10. 9 3 3 x x 3 x
x2  2x 
 − 5 (− 5) = −
10 x
− + 25
9  3  3
10 x 79
− +
3 3
10 x  2x 2   2  4 20 4
− 25  − 10 +    = − + 2
3  3 x  x 3 x x
4 20 4
− +
3 x x2
4 20 4
− + − 2
3 x x
0
a4 30 9 a2 3
− 5a 2 + 28 − 2 + 4 − 5+ 2
11. 4 a a 2 a
a4
−
4
(a 2
− 5)(− 5) = − 5a 2 + 25
− 5a 2 + 28
 2 3 3 30 9
5a 2 − 25  a − 10 + 2   2  = 3 − 2 + 4
 a a  a a
30 9
3 − +
a2 a4
30 9
−3 + 2 − 4
a a
0
a 4 2a 3 a 2 2ax x2 a2 a x
+ + 2− − 2+ 2 + −
12. 9 3x x 3 a 3 x a
a4  2a 2 a   a  2a 3 a 2
−  +  = +
9  3 x   x  3x x 2
2a 3 a 2
+
3x x 2
2a a 2
3
 2 a 2 2a x   x  2ax x2
− −  + −  −  = − − 2+ 2
3x x 2  3 x a  a 3 a
2ax x2
− − 2+ 2
3 a
2ax x2
+ 2− 2
3 a
0

302. 9a 2 3a 65 x 4 x 2 3a 1 2 x
− + − + − +
13. x 2 2 x 16 3a 9a 2 x 4 3a
9a 2  6a 1   1  3a 1
−  −  −  = − +
x2  x 4  4 2 x 16
3a 65
− +
2 x 16
3a 1  6a 1 2 x   2 x  x 4x2
−  − +    = 4− + 2
2 x 16  x 2 3a   3a  3a 9a
x 4x2
4− +
3a 9a 2
x 4x2
− 4+ −
3a 9a 2
0
50 25 5
9 x 4 + 30 x 2 + 55 + + 3x 2 + 5 +
14. x2 x4 x2
− 9x4 (6x 2
+ 5) (5) = 30 x 2 + 25
30x 2 + 55
 2 5 5 50 25
− 30 x 2 − 25  6 x + 10 + 2   2  = 30 + 2 + 4
 x x  x x
50 25
30 + +
x2 x4
50 25
− 30 − 2 − 4
x x
0
4a 2 2a 19 5x 25x 2 2a 1 5x
− + − + − +
15. 25x 2 5x 12 3a 9a 2 5x 2 3a
4a 2  4a 1   1  2a 1
−  −  −  = − +
25x 2  5x 2   2  5x 4
2a 19
− +
5x 12
2a 1  4a 5x   5x  4 5x 25x 2
−  − 1+    = − +
5x 4  5x 3a   3a  3 3a 9a 2
4 5x 25x 2
− +
3 3a 9a 2
4 5x 25x 2
− + −
3 3a 9a 2
0

303. x 4 x 3 y 3x 2 y 2 xy 3 y 4 x 2 xy y 2
− + + + − −
16. 16 4 20 5 25 4 2 5
x4  x 2 xy   xy  x3 y x2 y2
−  −  −  = − +
16  2 2 2 4 4
x 3 y 3x 2 y 2
− +
4 20
x3 y x2 y2  x2 y2   y2  x 2 y 2 xy 3 y 4
−  − xy −   −  = − + +
4 4  2 5 5 10 5 25
x 2 y 2 xy 3 y 4
− + +
10 5 25
2 2
x y xy y 4
3
− −
10 5 25
0
4a 2b 2 2ab 21 7 xy 49 x 2 y 2 2ab 1 7 xy
− + − + − +
17. 49 x 2 y 2 7 xy 20 5ab 25a 2b 2 7 xy 2 5ab
4a 2b 2  4ab 1   1  2ab 1
−  −  −  = − +
49 x 2 y 2  7 xy 2   2  7 xy 4
2ab 21
− +
7 xy 20
2ab 1  4ab 7 xy   7 xy 
−  − 1+  
7 xy 4  7 xy 5ab   5ab 
4 7 xy 49 x 2 y 2 4 7 xy 49 x 2 y 2
− + = − +
5 5ab 25a 2b 2 5 5ab 25a 2b 2
4 7 xy 49 x 2 y 2
− + −
5 5ab 25a 2b 2
0
9a 2 x 2 6ax 23 4mn 4m2 n 2 3ax 1 10mn
18. 2 2 − + − + − +
25m n 25mn 75 45ax 81a 2 x 2 5mn 5 45ax
9a 2 x 2  6ax 1  1 6ax 1
−  −  −  = − +
25m2n 2  5mn 5  5 25mn 25
6ax 23
− +
25mn 75
6ax 1  6ax 2 10mn   10mn 
−  − +  
25mn 25  5mn 5 45ax   45ax 
20 4mn 4m2n 2 20 4mn 4m2 n 2
− + = − +
75 45ax 81a 2 x 2 75 45ax 81a 2 x 2
20 4mn 4m2n 2
− + −
75 45ax 81a 2 x 2
0

304. x6 5x 4 2 x 3 32 x 2 8 x x3 2x
− x5 + + − + +4 − x2 + +2
19. 4 3 3 9 3 2 3
x6
−
4
(x 3
− x 2 )(− x 2 ) = − x 5 + x 4
5x 4
− x5 +
3
 3 2x   2x  2x4 4x3 4 x2
x5 − x 4  x − 2x2 +    = − +
 3 3 3 3 9
2 x 4 2 x 3 32 x 2
+ −
3 3 9
2x4 4x3 4x2  3 4x  8x
− + −  x − 2x2 + + 2 (2) = 2 x 3 − 4 x 2 + + 4
3 3 9  3  3
8x
2x3 − 4x2 + +4
3
8x
− 2x3 + 4x2 − − 4
3
0
1 3a 59a 2 3a 3 43a 4 2a 5 1a 6 1 3a 2a 2 a 3
− + − + − + − + −
20. 4 4 48 2 36 3 4 2 4 3 2
1  3a   3a  3a 9a 2
−  1−   −  = − +
4  4  4 4 16
3a 59a 2
− +
4 48
3a 9a 2  3a 2a 2   2a 2  2a 2 4a 4
−  1− +  = − a3 +
4 16  2 3  3  3 9
2a 2 3a 3 43a 4
− +
3 2 36
2a 2 4a 4  3a 4a 2 a 3   a 3 
− + a −
3
 1− + −  − 
3 9  2 3 2 2
a 3 3a 4 2a 5 a 6 a 3 3a 4 2a 5 a 6
− + − + =− + − +
2 4 3 4 2 4 3 4
a 3 3a 4 2a 5 a 6
− + −
2 4 3 4
0
EJERCICIO 216
1.
3 8 − 36 y + 54 y 2 − 27 y 3 2 − 3y
−8 3(2) = 12
2
− 36 y + 54 y 2 − 27 y 3 3 (2) (− 3 y) = − 36 y
2
3 (2) (− 3 y) = 54 y 2
2
36 y − 54 y 2 + 27 y 3
0 (− 3 y ) 3
= − 27 y 3

305. 2.
3 64a 6 + 240a 4b 2 + 300a 2b 4 + 125b 6 4a 2 + 5b 2
3 (4a 2 ) = 48a 4
2
− 64a 6
3 (4a 2 ) (5b 2 ) = 240a 4b 2
2
240a 4b 2 + 300a 2b 4 + 125b 6
3 (4a 2 )(5b 2 ) = 300a 2b 4
2
− 240a 4b 2 − 300a 2b 4 − 125b 6
0 (5b2 )3 = 125b 6
3.
3
x 6 + 3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1 x2 + x + 1
3 ( x 2 ) = 3x 4
2
− x6
3 ( x 2 ) ( x ) = 3x 5
2
3x 5 + 6 x 4 + 7 x 3
− 3x 5 − 3x 4 − x 3 3 (x 2 )(x 2 ) = 3x 4
3x 4 + 6 x 3 + 6 x 2 + 3x + 1 x3 = x3
3 ( x 2 + x ) = 3x 4 + 6 x 3 + 3 x 2
2
− 3 x 4 − 6 x 3 − 6 x 2 − 3x − 1
3 ( x 2 + x ) (1) = 3x 4 + 6 x 3 + 3x 2
2
0
3 ( x 2 + x ) (1) = 3x 2 + 3x
2
(1)3 = 1
3 8 x 6 − 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3 + 3x 2 − 3x − 1 2x2 − x − 1
4.
3 (2 x 2 ) = 12 x 4
2
− 8x 6
3 (2 x 2 ) (− x ) = − 12 x 5
2
− 12 x 5 − 6 x 4 + 11x 3
3 (2 x 2 )(− x ) = 6 x 4
2
12 x 5 − 6 x 4 + x 3
− 12 x 4 + 12 x 3 + 3x 2 − 3x − 1 (− x) 3
= − x3
12 x − 12 x − 3x + 3x + 1
4 3 2
3 (2 x 2 − x ) = 12 x 4 − 12 x 3 + 3x 2
2
0
3 (2 x 2 − x ) (− 1) = − 12 x 4 + 12 x 3 − 3x 2
2
3 (2 x 2 − x )(− 1) = 6 x 2 − 3x
2
(− 1) 3
= −1
5.
3 1 − 9 x + 33x 2 − 63x 3 + 66 x 4 − 36 x 5 + 8 x 6 1 − 3x + 2 x 2
−1 3 (1) = 3
2
− 9 x + 33x 2 − 63x 3 3 (1) (− 3x ) = − 9 x
2
3 (1) (− 3x ) = 27 x 2
2
9 x − 27 x 2 + 27 x 3
6 x 2 − 36 x 3 + 66 x 4 − 36 x 5 + 8 x 6 (− 3x) 3
= − 27 x 3
− 6 x + 36 x − 66 x + 36 x − 8 x
2 3 4 5 6
3 (1 − 3x ) = 3 − 18 x + 27 x 2
2
0
3 (1 − 3x ) (2 x 2 ) = 6 x 2 − 36 x 3 + 54 x 4
2
3 (1 − 3x ) (2 x 2 ) = 12 x 4 − 36 x 5
2
(2 x 2 )3 = 8 x 6

306. 6. 3
x 6 − 9 x 5 + 33x 4 − 63x 3 + 66 x 2 − 36x + 8 x 2 − 3x + 2
3 ( x 2 ) = 3x 4
2
− x6
3 ( x 2 ) (− 3 x ) = − 9 x 5
2
− 9 x 5 + 33x 4 − 63x 3
3 (x 2 ) (− 3x ) = 27 x 4
2
9 x 5 − 27 x 4 + 27 x 3
6 x 4 − 36x 3 + 66x 2 − 36 x + 8 (− 3x) = − 27 x 3 3
− 6 x + 36 x − 66 x + 36x − 8
4 3 2
3 ( x 2 − 3x ) = 3x 4 − 18x 3 + 27 x 2
2
0
3 ( x 2 − 3x ) (2) = 6 x 4 − 36x 3 + 54 x 2
2
3 ( x 2 − 3x ) (2) = 12 x 2 − 36 x
2
( 2) 3 = 8
7.
3
x 9 − 6x 8 + 12 x 7 − 20x 6 + 48x 5 − 48x 4 + 48x 3 − 96x 2 − 64 x3 − 2 x2 − 4
3 ( x 3 ) = 3x 6
2
− x9
3( x 3 ) (− 2 x 2 ) = − 6 x 8
2
− 6x 8 + 12 x 7 − 20x 6
3( x) (− 2 x 2 ) = 12 x 7
2
6 x8 − 12 x 7 + 8x 6
3
− 12 x 6 + 48 x 5 − 48 x 4 + 48x 3 − 96x 2 − 64 (− 2 x ) = − 8x 2 3 6
12 x 6 − 48x 5 + 48 x 4 − 48x 3 + 96x 2 + 64
3( x 3 − 2 x 2 ) = 3x 6 − 12 x 5 + 12 x 4
2
0
3( x 3 − 2 x 2 ) (− 4) = − 12 x 6 + 48x 5 − 48x 4
2
3( x 3 − 2 x 2 )(− 4) = 48x 3 − 96 x 2
2
(− 4)3 = − 64
8.
3 x12 − 3x10 − 3x 8 + 11x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8 x4 − x2 − 2
3 ( x 4 ) = 3x 8
2
− x12
3( x 4 ) (− x 2 ) = − 3x10
2
− 3x10 − 3x 8 + 11x 6
3 ( x 4 )(− x 2 ) = 3x 8
2
3x10 − 3x 8 + x 6
− 6 x 8 + 12 x 6 + 6 x 4 − 12 x 2 − 8 (− x ) = − x 2 3 6
6 x 8 − 12 x 6 − 6 x 4 + 12 x 2 + 8
3 ( x 4 − x 2 ) = 3 x 8 − 6 x 6 + 3x 4
2
0
3 ( x 4 − x 2 ) (− 2) = − 6x 8 + 12 x 6 − 6 x 4
2
3 ( x 4 − x 2 )(− 2) = 12 x 4 − 12 x 2
2
(− 2) = − 8 3

307. 9.
3
8x 6 − 36 x 5 + 66 x 4 − 63x 3 + 33x 2 − 9 x + 1 2 x 2 − 3x + 1
3(2 x 2 ) = 12 x 4
2
− 8x 6
3 (2 x 2 ) (− 3x) = − 36 x 5
2
− 36 x 5 + 66 x 4 − 63x 3
3 (2 x 2 ) (− 3x ) = 54 x 4
2
36 x 5 − 54 x 4 + 27 x 3
12 x 4 − 36 x 3 + 33x 2 − 9 x + 1 (− 3x) = − 27 x
3 3
− 12 x 4 + 36 x 3 − 33x 2 + 9 x − 1
3 (2 x 2 − 3x ) = 12 x 4 − 36 x 3 + 27 x 2
2
0
3(2 x 2 − 3x) (1) = 12 x 4 − 36 x 3 + 27 x 2
2
3(2 x 2 − 3x) (1) = 6 x 2 − 9 x
2
(1) 3 = 1
10.
3 27a 6 − 135a 5 + 117a 4 + 235a 3 − 156a 2 − 240a − 64 3a 2 − 5a − 4
3(3a 2 ) = 27a 4
2
− 27a 6
3(3a 2 ) (− 5a ) = − 135a 5
2
− 135a 5 + 117a 4 + 235a 3
3(3a 2 ) (− 5a ) = 225a 4
2
135a 5 − 225a 4 + 125a 3
− 108a 4 + 360a 3 − 156a 2 − 240a − 64 (− 5a) 3
= − 125a 3
108a 4 − 360a 3 + 156a 2 + 240a + 64
3 (3a 2 − 5a ) = 27a 4 − 90a 3 + 75a 2
2
0
3(3a 2 − 5a ) (− 4) = − 108a 4 + 360a 3 − 300a 2
2
3(3a 2 − 5a ) (− 4) = 144a 2 − 240a
2
(− 4) = − 64
3
11.
3 a 6 − 6a 5b + 15a 4b2 − 20a 3b3 + 15a 2b 4 − 6ab5 + b 6 a 2 − 2ab + b 2
3(a 2 ) = 3a 4
2
− a6
3 (a 2 ) (− 2ab) = − 6a 5b
2
− 6a 5b + 15a 4b2 − 20a 3b3
3 (a 2 )(− 2ab) = 12a 4b 2
2
6a 5b − 12a 4b2 + 8a 3b 3
3a 4b 2 − 12a 3b 3 + 15a 2b4 − 6ab5 + b6 (− 2ab) = − 8a b
3 3 3
− 3a 4b2 + 12a 3b3 − 15a 2b 4 + 6ab5 − b6
3(a 2 − 2ab) = 3a 4 − 12a 3b + 12a 2b2
2
0
3 (a 2 − 2ab) (b) = 3a 4b 2 − 12a 3b 3 + 12a 2b 4
2 2
3 (a 2 − 2ab) (b 2 ) = 3a 2b 4 − 6ab5
2
(b2 )3 = b6

308. 12.
3
x 6 − 9 x 5 y + 42 x 4 y 2 − 117 x 3 y 3 + 210 x 2 y 4 − 225xy 5 + 125y 6 x 2 − 3xy + 5y 2
3 ( x 2 ) = 3x 4
2
− x6
3(x 2 ) (− 3xy) = − 9 x 5 y
2
− 9 x 5 y + 42 x 4 y 2 − 117 x 3 y 3
3( x 2 ) (− 3xy) = 27 x 4 y 2
2
9 x 5 y − 27 x 4 y 2 + 27 x 3 y 3
15x 4 y 2 − 80 x 3 y 3 + 210x 2 y 4 − 225xy 5 + 125y 6 (− 3xy) = − 27 x y
3 3 3
− 15x 4 y 2 + 80 x 3 y 3 − 210x 2 y 4 + 225xy 5 − 125 y 6
3( x 2 − 3xy) = 3x 4 − 18 x 3 y + 27 x 2 y 2
2
0
3 ( x 2 − 3xy ) (5y 2 ) = 15x 4 y 2 − 80 x 3 y 3 + 135x 2 y 4
2
3 ( x 2 − 3xy ) (5 y 2 ) = 75x 2 y 4 − 225xy 5
2
(5y ) = 125y
2 3 6
13.
3
a12 − 3a10 + 15a 8 − 25a 6 + 60a 4 − 48a 2 + 64 a4 − a2 + 4
3 (a 4 ) = 3a 8
2
− a 12
3(a 4 ) (− a 2 ) = − 3a 10
2
− 3a 10 + 15a 8 − 25a 6
3 (a 4 ) (− a 2 ) = 3a 8
2
3a10 − 3a 8 + a 6
12a 8 − 24a 6 + 60a 4 − 48a 2 + 64 (− a ) = − a
2 3 6
− 12a 8 + 24a 6 − 60a 4 + 48a 2 − 64
3(a 4 − a 2 ) = 3a 8 − 6a 6 + 3a 4
2
0
3 (a 4 − a 2 ) (4) = 12a 8 − 24a 6 + 12a 4
2
3 (a 4 − a 2 ) (4) = 48a 4 − 48a 2
2
(4) 3 = 64
14.
3
a 9 − 9a 8 x + 27a 7 x 2 − 21a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5 + 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7 + 8x 9 a 3 − 3a 2 x + 2 x 3
3(a 3 ) = 3a 6
2
− a9
3(a 3 ) (− 3a 2 x ) = − 9a 8 x
2
− 9a 8 x + 27a 7 x 2 − 21a 6 x 3
3(a 3 )(− 3a 2 x ) = 27a 7 x 2
2
9a 8 x − 27a 7 x 2 + 27a 6 x 3
6a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5 + 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7 + 8 x 9 (− 3a x) = − 27a x
2 3 6 3
− 6a x + 36a x − 54a x − 12a x + 36a x − 8 x
6 3 5 4 4 5 3 6 2 7 9
3 (a 3 − 3a 2 x) = 3a 6 − 18a 5 x + 27a 4 x 2
2
0
3 (a 3 − 3a 2 x) (2 x 3 ) = 6a 6 x 3 − 36a 5 x 4 + 54a 4 x 5
2
3 (a 3 − 3a 2 x) (2 x 3 ) = 12a 3 x 6 − 36a 2 x 7
2
(2 x 3 )3 = 8 x 9

309. 15.
3
a 9 − 3a 8 + 6a 7 − 10a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3 − 6a 2 + 3a − 1 a3 − a2 + a − 1
3 (a 3 ) = 3a 6
2
− a9
3(a 3 ) (− a 2 ) = − 3a 8
2
− 3a 8 + 6a 7 − 10a 6
3 (a 3 ) (− a 2 ) = 3a 7
2
3a 8 − 3a 7 + a 6
3a 7 − 9a 6 + 12a 5 − 12a 4 + 10a 3 (− a ) = − a2 3 6
− 3a 7 + 6a 6 − 6a 5 + 3a 4 − a 3
3 (a 3 − a 2 ) = 3a 6 − 6a 5 + 3a 4
2
− 3a 6 + 6a 5 − 9a 4 + 9a 3 − 6a 2 + 3a − 1
3 (a 3 − a 2 ) (a ) = 3a 7 − 6a 6 + 3a 5
2
3a 6 − 6a 5 + 9a 4 − 9a 3 + 6a 2 − 3a + 1
0 3 (a 3 − a 2 ) (a 2 ) = 3a 5 − 3a 4
(a 3 ) = a 3
3(a 3 − a 2 + a ) = 3a 6 + 3a 4 + 3a 2 − 6a 5 + 6a 4 − 6a 3
2
3(a 3 − a 2 + a ) (− 1) = − 3a 6 + 6a 5 − 9a 4 + 6a 3 − 3a 2
2
3(a 3 − a 2 + a )(− 1) = 3a 3 − 3a 2 + 3a
2
(− 1) 3
= −1
16.
3 x 9 − 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27 x 3 − 4 x2 + 2 x − 3
3 ( x 3 ) = 3x 6 3 (x 3 ) (− 4 x 2 ) = − 12 x 8
2 2
− x9
3(x 3 )(− 4 x 2 ) = 48x 7 (− 4 x ) = − 64 x
2 2 3
− 12 x 8 + 54 x 7 − 121x 6 6
12 x − 48x + 64 x
8 7 6
3 (x 3 − 4 x 2 ) = 3x 6 − 24 x 5 + 48 x 4
2
6 x 7 − 57 x 6 + 180 x 5 − 228 x 4 + 179 x 3
3( x 3 − 4 x 2 ) (2 x ) = 6 x 7 − 48x 6 + 96 x 5
2
− 6x 7 + 48 x 6 − 108 x 5 + 48 x 4 − 8x 3
− 9 x 6 + 72 x 5 − 180 x 4 + 171x 3 − 144 x 2 + 54 x − 27 3( x 3 − 4 x 2 ) (2 x ) = 12 x 5 − 48x 4
2
9 x 6 − 72 x 5 + 180 x 4 − 171x 3 + 144 x 2 − 54 x + 27 (2 x ) = 8 x 3
3
0
3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x ) = 3x 6 + 48 x 4 + 12 x 2 − 24 x 5 + 12 x 4 − 48 x 3
2
3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x ) (− 3) = − 9 x 6 − 144 x 4 − 36 x 2 + 72 x 5 − 36 x 4 + 144 x 3
2
3 ( x 3 − 4 x 2 + 2 x )(− 3) = 27 x 3 − 108 x 2 + 54 x
2
(− 3) = − 27
3

310. EJERCICIO 217
x 6 x 5 5x 4 55x 3 20 x 2 x2 x
3
− + − + − 4x + 8 − +2
1. 8 4 3 27 3 2 3
2
x6  x 2  3x 4
− 3  =
8  2 4
2
x 5 5x 4 55x 3  x2   x  x5
− + − 3   −  = −
4 3 27  2   3 4
x5 x 4 x3  x2   x  2 x4
− + 3   −  =
4 6 27  2   3 6
3
3x 4 20x 2  x x3
− 2x3 + − 4x + 8 −  = −
2 3  3 27
3x 4 20 x 2
− + 2x3 − + 4x − 8
2 3
2
 x 2 x  3x 4 x2
0 3 −  = − x3 +
 2 3 4 3
2
 x2 x  3x 4 2x2
3  −  ( 2) = − 2x3 +
 2 3 2 3
 x2 x  2
3  −  ( 2) = 6 x 2 − 4 x
 2 3
( 2) 3 = 8
3a 8 a 7 7a 6 a 5 a 4 a 3 a2 a
2.
3
a9 + − − + + − a3 + −
2 4 8 12 6 27 2 3
3(a 3 ) = 3a 6
2
− a9
3a 8 a 7 7a 6 2a 
2
3a 8
− − 3(a 3 )   =
2 4 8  2 2
2
 a 2  3a 7
3(a )   =
3
 2 4
3
3a 8 3a 7 a 6  a2  a6
− − −   =
2 4 8  2 8
2
a5 a 4 a 3  a2  3a 4
− a7 − a6 + + − 3  a 3 +  = 3a 6 + 3a 5 +
12 6 27  2 4
2
 a2   a a5
3 a 3 +   −  = − a 7 − a 6 −
 2  3 4
 a 2   a  a5 a 4
2
a5 a 4 a 3 3 a 3 +   −  = +
a + a − − +
7 6
 2  3 3 6
12 6 27
3
 a a3
0 −  = −
 3 27

311. x3 9x2 60 36 8 x 2
3
− + 15x − 45 + − 2 + 3 − 3+
3. 8 4 x x x 2 x
2
 x  3x
2
3  =
 2 4
 x
2
x3 2
−
8
3 
 2
(− 3) = − 94
x
9x2  x
3   (− 3) =
2 27 x
− + 15x − 45
4  2 2
(− 3) 3
= − 27
 x  3x
2 2 2
9 x 27 x
− + 27 3  − 3 = − 9 x + 27
4 2 2  4
 x   2  3x
2
3x 60 36 8 54
− 18 + − 2 + 3 3  − 3   = − 18 +
2 x x x  2   x 2 x
 x   2
2
6 36
3  − 3   = − 2
 2   x x x
 2
3
3x 60 36 8 8
− + 18 − + 2 − 3   = 3
2 x x x  x x
0
a 3 3a 2 15a 5 15b 3b2 b3 a b
3
− + − + − + − 1+
4. 8b 3 4b 2 8b 2 8a 4a 2 8a 3 2b 2a
2
a3  a  3a
2
− 3  = 2
8b 3  2b  4b
2
3a 2 15a 5  a
2
− + −
4b 2 8b 2
3 
 2b 
(− 1) = − 4a
3
b 2
 a
3   (− 1) =
2 3a
 2b  2b
3a 2 3a
− +1
4b2 2b
(− 1) 3
= −1
3a 3 15b 3b 2 b3
− + − +
8b 2 8a 4a 2 8a 3
2
 a  3a 3a
2
3 − 1  = 2 − + 3
 2b  4b b
2
3a 3 15b 3b2 b 3  a   b  3a 3 3b
− + − + − 3 − 1    = − +
8b 2 8a 4a 2 8a 3  2b   2a  8b 2 2a
2
 a   b  3b 3b
2
0 3 − 1    = − 2
 2b   2a  8a 4a
3
 b b3
  = 3
 2a  8a

312. 8a 3 2a 2 a 13 x x2 x3 2a 1 x
3 − 2 + + − − 2− − −
3
5. 27 x 3x 18 x 24 36a 6a 27a 3 3x 2 3a
 2 a  4a
2 2
3  = 2
 3 x  3x
 2a   1 
2
8a 3 2a 2
− 3   −  = − 2
27 x 3  3x   2  3x
2
2a 2 a 13  2a   1  a
− + + 3   −  =
3x 2 18 x 24  3x   2  2 x
3
 1 1
−  = −
 2 8
2a 2 a 1
− +
3x 2 2 x 8
2
x2 x3  2a 1  4a 2a 3
2
4a 2 x
− + − − 2− 3 −  = 2 − +
9 x 3 36a 6a 27a 3  3 x 2  3x x 4
2
 2a 1   x  4a 2 x
3 −   −  = − + −
 3x 2   3a  9 x 3 4a
2
x2 x3  2a 1   x  2 x x
2
4a 2 x
− + + 2+ 3 −   −  = − 2
9 x 3 36a 6a 27a 3  3x 2   3a  9a 6a
3
0  x x3
−  = −
 3a  27a 3
8a 3 4a 2 3a 27b 27b2 27b3 2a 3b
3 + 2 + + 4+ + + + 1+
3
6. 27b 3b b 8a 16a 2 64a 3 3b 4a
2
8a 3  2 a  4a
2
− 3  = 2
27b 3  3b  3b
2
4a 2 3a  2a  4a 2
+ +4 3   (1) = 2
3b2 b  3b  3b
4 a 2 2a  2 a  2 2a
− − −1 3   (1) =
3b2 b  3b  b
a 27b 27b2 27b3
+ 3+ + + (1) 3 = 1
b 8a 16a 2 64a 3
2
27b 27b2 27b3  2a  4a 4a
2
a
− − 3− − − 3  + 1 = 2 + +3
b 8a 16a 2 64a 3  3b  3b b
2
 2a   3b  a 9b
0 3  + 1   = + 3 +
 3b   4a  b 4a
2
 2a   3b  9b 27b 2
3 + 1   = +
 3b   4a  8a 16a 2
3
 3b  27b 3
  =
 4a  64a 3

313. EJERCICIO 218
1 2 4 2
1. x 3 = 3
x 8. 3x 7 y 5 z 7 = 3 7 x 2 1
5
y4 7
z2 15. x = x2
3
1 5 7
2. m = 5 m3
5 1
9. a 4 b 4 c 4 = 4 ab 5 c 7 16.
3
3
m = m3
3. 4a 4 = 4 4 a 3 = 4 ab 4bc 4 c 3 5
17. 2 4 x5 = 2x 4
1 = bc abc 4 3
4. xy 2 =x y
8 3 5
4 3 10. 8mn = 8m 3 n8 3 18. a3 3
b5 = a 2 b 3
5. a b =
5 2 5 4 3
a b
= 8m 3 n3n3n2 7 6
= a 5 4
b 2b 19. 3 x 7 5
y 6 = 3x 2 y 5
= 8mn 2 3
n 2
= b 5 a4 b 1 3 5
7 5 20. 2 4 ab 3c 5 = 2a 4 b 4 c 4
3 1 1 11. 4a b c = 4a
2 3 6 23
b 7 6
c 5
6. x2y4z5 = x3 4 y 5
z 2 3 9
= 4a 23
b b b 6 c5
3 3
21. 5a 5
x 2 y 3z9 = 5ax 5 y 5 z 5
= x x 2 4 y 5
z
= 4a 2 b 2 3
b 6
c5 7 8
=x x 4 y 5
z 22. 3 6 m7 5
n8 = 3m 6 n 5
2 3 4
4 5
12. 5m n x = 5 5 m2n3 x 4
5 5 5
m n
7. 2a b = 2 a
5 2 5 4 5
b 5 23. 3 am 3
bn = 3a 2 b 3
13. a5 = a 2
= 2 5 a 4 b2 b2 b 1 3 x
7
24. m
a
n r
b3 c x = a m b n c r
= 2b 2 5
a4 b 14. 3
x7 = x 3
EJERCICIO 219
1
−
1 x2 a 2 x− 2 y y
2 −3
1. a b = 3
a2
9. −2
= 16. 3a 3 x 2 y − 1 = 1
= 7
b 2x 2 3 a 3a 2 x 2 x 2 3a 2 x 4
3 3
10. x − 1y − 5 = 3xy
5
−5
2. 3x = 5 1
x c2 b 2 c2
−
1 −2 −3
2a b 2a c 2a c 4 2
17. 1
=
1 1 = = 3 − 4x 3
a − 4b 2 = = 11. 2 x3
3. 1
a 4
b a − 4 c − 1 a 2b 3 b 4b
a 4b 2
x − 1y − 2z − 3 a 2b5 c 8
12. a − 2b − 5 c − 8 = xy 2 z3
3 2
1
− 3 3
3x y −2 3 = = 1 a 4b 5
4. 1
x2 3 y 18. 3 2 =
x2y 3 −
1
−
1 7 − − 3c 4
3m− 4n 2 3m3n 2 n4 3n 2 3a 4 b 5 c4
1 13. = =
−
m 2 n− 5 =
1 8m− 3n− 4 8m4 8m 1 3
5. 1 3a 2mn
m n 2 5
1 1
4
2
19. 1 3
= 3a 2a 3mm 2 nn 4
2 2 3 − −
4a 4a a c
14. = a − 3m n 2 4
2 −1 a2c −
2
7b2
6. a b c = −4 2
7a b c 3 3 7
b 9 2 = 3a 5m 2 n 4
2 3
4a c
−
3
4x 2 = 2 1 1 1
4x 2 y 5 = 3
7b 2 − −
7. x 3y 4 z2 z2
y 5
2m − 5n− 7 2 20. = =
15. = −
1 2 1 8 5
a 2m3n− 4 a 2m3m5n− 4n7
2 2 2 3 4
1 3
x yz x x yy x3y4
− − 5
5a 3
b 4
c− 1 = 1
2
= 2 8 3
8. 3
a b4c 3 amn

314. EJERCICIO 220
1
− 1 3
x 2 y2 = 3a 5 3a 5 x 5 y 4
=
2 1
a 1 9.
1. = x 2 y− 2 17. −
3
7
b 2 a − 2b 2 7x − 5 y 4
2
− 1
3x − 1 3 a 3
b 3c − 2 = 1
1
2. = 2 10. 2
= a 4b 3
y2 xy 3
a c b 2 −3
18. −
1
1
a − 4b 3
4mn2 4 −
3. = −1 − 2 3 3x − 1y 2
3 3 1 1
x3 m n x = = 2m2 2m2m3n 4 2m5n 4
11. y3 1 7
19. = =
a − 1b − 3 1 xy 3 y 2
xy 2
−
1
3 3
4. = 3m− 3n 4
3 3ab 3 1
1
2m− 2n 2 2 a3
= a3x − 2y 2
−
2
12. = 1 1
3c 3
3 9 − 20. −
= 9m n 2 2 x2y 2
5. 7 2
7c 3 2 3a 2b3
13. = 2a − 1 21. = 3a 2ab 3 x − 1 = 3a 3b3 x − 1
1 a a − 1x
2x 4 2 3a
= = 3ab − 2 3xy 2z3
22. x − 1y − 2z − 3 = 3xxy y z z = 3x y z
2 2 3 3 2 4 6
6. 5y 2 −
1 14.
5x 4
y 2 b2
x 2y 1
15. y − 2 = x yy = x y
−3 2 2 2 3 −
m 1 m− 2n− 1x 2
1
7. = − 2 4 −1 5
−
23. − 4 − 5 − 2 = m m n n x 2 x
2
5 5m3 m n x
1
3a − 2b3 4
3
= 2 4 −3 = 4x 2 y − 2 3
8.
c4 a c b
16. −
1
2 2 = m2n4 x 2
x y
EJERCICIO 221
−2
−
3  2 −
4
−
1
1 1 3a 2
3 13.  x 
3
=x 3
x 2 = = 8. 1
= 3
 
1. 1
x 4
x 2 x4 a2 x 1 1 1
= 4 =3 =
1 3 3 x3x x3 x
1 a 2
a = = x 3
2. 1 2
= = 2
a 2a 4 x a a4x
− 3 2 3 2
a 2
b 3 b b 3 −
3 3
−
 a
1 2
− 2 a b2
14.   = =
2
5 1 a 1
− 5 7 a5 5 7 a5 9. =  b −
3 3
5a 7 b 3
= = 4a 2 1
b 2
a2
3. 1 3
b 4a a 2 2
3
b
1 1 1 b 2b b b
3x −1
3 3 3 = 5
= = 2
= =
1
= 1
= 1
= 4a 2
2
4 a a a 2 2 4a a a 2a a a
4. − − x
2 2
x x x x2 1
−
2 3
−
4 5
y3 5
y3  −2  3
1
−
1
1 1
= = 15.  x  = x = 1 = 6
2 3 3 5 7
− 2 n 4 3
2 n 4 3 x y z 6
2m n = 5 4 = 10. 2 4 3
x2 7
z4   x
5. 2 5 2 x 3z7 x6
m 5 m
2 3
− 1 1 − 1
1 1 x − 2m − 3n 5 = = a− 3 = a 2 =
1
= 11. 2
xm 2 3 5
n 2 16. 3
6. 4 x 3
xmn 2 3 5
a2
3
4x
 −2 
1 3 3 4
1 1 1 − − 2
2 x − 3 y − 4 = 2x =
3
a  = 3 = 3 =
2 2
2 y
x5 12.   17. 3
= x y = x
5 3 3 5 3 3
y 2
a2 a a a x y22
7. −
2
3
y

315. 2 2 5
a3 a3
2 5
 4 2 45
= =a 3
x2 32.   = 2 2
18.
x− 5 −
5  9 95  32 
−
5 2435
39.  − 243 =
x 2
42 42 4   2
3 2
2
3
2
3
3
4 = − 32 5
3 m 3m 3m n
19. = 3
= 92 92 9 5
243 5
243
5 4 n− 3 5n
−
4
5 =5
=
16 4 − 32 5 − 32
3
− 81 9
−
3
b 4
1 3⋅ 3 9
20. a
5 4
b− 3 = = 16 ⋅ 2 32 = = =24
1
3 3 3
= = − 2⋅ − 2 4
5 5
a a b4 81⋅ 3 243
1 3
−
21. x2 x − 1 = x2 x 2 =x2 1 1
−
33.  8  27 3
3
  =
7 3
−
1 1
 27 
3
 25
40. (2 )
= = a 2 b3 1 2
7 −2
7 6 = 
 9
3
22. a− 7 b− 6 −
2
−
2
8 9
a b 3
27 3 1 3
−
2 4 = 3
= =12 92
3x 3
=
3y 2
=
3y 2 8 2 = 3
23. 2 2
y− 4 x 3
x 3 −
1 1 252
 25 2 36 2
34.   = 92 9
 36 
1 3
m −1 3
n −3
=m n
−
2
−
3 =
1 1
2
=
24. 1 25 252 25
m n 2
36 6 1 9 ⋅ 3 27
3 = = =15 = =
25. 16 = 2 (16) 3 25 5 25⋅ 5 125
1 1
= (16) (16) = 16 16 = 64
2 −
 32  5 2435
35.   =
2  243 1
−
1
26. 8 3 = 3 82 = 3 64 = 4 32 5 1
 81
41. (5 )
4
1 −4
= 
3 1 1
5
243 3 1 16
 16
27. 81 = 81 814 2 4 = 5 = =12
32 2 1
4
= 81 4 81 = 9 ⋅ 3 = 27
16 4 16 2
2 2 = 1 = 4
=
− 81 3
−
5  27  3 64 3
81 4
36.  − 64  =
1
28. 9 2 = 5   2
92 − 27 3
2 3
1 3
642 42. 8 3 ⋅ 4 2 = 3 8 3
8 42 4
= =
(− 27) = 2 ⋅ 2 ⋅ 4 ⋅ 2 = 32
5
9 3
2
1
1 1
= = = 3
64 3
64
2 2
9 9 9 81 9 243 = 5
−
1
95
3 − 27 3 − 27 43. 9 2 ⋅ 27 3
=
( ) = 3 (− 27)
2 3
2 27
29. − 27 3
4⋅4 16
= = =17 92 92 9
− 3⋅ − 3 9
9
= 3 − 27 3 − 27 = = 81
3
= − 3⋅ − 3 = 9 1
37. − 3 = 9 = 729
3
( ) = 5 (− 32)
2
2 9
30. − 32 5
−
1 3
−
5 5 44. 243 5 ⋅128 7
= 5 − 32 5 − 32  16  4 81 4
38.   = 7
128 3 7
128 7 128 7 128
= − 2⋅− 2 = 4  81 5
= =
16 4 5
243 3
3
− 1 1 2⋅2⋅2 8
4
31. 49 2
= = 814 4 81
49 3 49 2 49
= 4 4 4
= = =2 2
3
16 16 3 3
1 1
= = 81⋅ 3 243
49 ⋅ 7 343 = = = 7 19
16 ⋅ 2 32
32

316. EJERCICIO 222
1 1 1 1
1 − − 1
1. a − 2 + a − 1b 2 + x 0 para a = 3 b = 4 6. a 2 x 3 + a 2 x 3
+ 1 + 3x 0 para a = 16 x = 8
− −1
a x 4
1
= 3− 2 + 3− 1 ⋅ 4 2 + x0 1 1
−
1
−
1
1
= 16 2 ⋅ 8 3 + 16 2 ⋅ 8 3 + 1 + 3 (1)
−
=
1 1 4
+ +1 16 ⋅ 8−1 4
32 3
1
1 2 1+ 6 + 9 16 = 16 3
8+
+ 4 16 ⋅ 8 + 3
= + + 1= = =17
9 16 3 8
9 3 9 9
1 1
1 1 = 8+ + 16 + 3 = 27 + = 27 1
−
4⋅2
8
2. 3x 2
+ x2 y −3 + x0 y 3 para x = 4 y = 1 8
1 1
= 3 ( 4) + 4 2 (1) + 1 (1) 3
−3
a −2 a −2
2 1
−1 2 − 3
3 3 3 + 34 37 7. −1 + 3a b c − 1 + b 4 + c0
= + 16 + 1 = + 17 = = = 18 1 b
2 b 2 c −1
4 2 2 2
para b = 16 c = 2 a = 3
− a −4 1
−
3
3− 2 3− 2 1
3. 2a b + −1 + a b para a = 4 b = 16 + 3( 3) ⋅ 162 ( 2) −
3 −1 −3
= + 16 4 + 1
2 4
b 16−1 1
16 ⋅ 2 −1
2
4−4 1
−
3
= 2 (4) ⋅ 16 + −1 + 4 2 ⋅ 16 4
−3
16 3 256 2
16 = + ⋅ − + 4 16 + 1
32 3 2 3 32 16
2 16 4
= 3 ⋅ 16 + 4 + 16 1
4 4 4 (16) 2 ⋅ 16 = + 32 − + 2 + 1
9 18
1 1 2 1 1 1 8 + 1 + 4 13 16 1 32 + 630 − 1 661
= + + 1 = + + = = = + 35 − = = = 36 13
18
2 16 2 4
2 16 4 16 16 9 18 18 18
16 16
3 x0 2 1
x −2
0 + x − y + + y0 para x = 8 y = 32
3 5
4 1 1 8.
4.
x
+x y
−
2
−
3
− x0 y0 +
x
para x = 16 y = 8 3y y −1
y −2 4
y 3 1 2 1
8− 2
= + 8 3 − 32 5 + −1 + 1
3 3(1) 32
4 1 1
16 − − 16
= − 2 + 16 ⋅ 8 3 − 160 ⋅ 80 + 4
= + 3 (2 3 ) − 5 32 + 2 + 1
2 1 2 32
8
83 3 8
1 16 1 2 1 1 1 2 + 18 + 3 23
= 4 162 4 16 ⋅ 82 + − 1+ = + 2 − 2 + + 1= + 3 + = = = 35
(83 )8
6
16 3 8 3 3 2 3 2 6 6
1 16 1
= 4 ⋅ 2 ⋅ 64 + − 1 + 3 = 512 + − 1 + 1
1 2
− 1 1
4⋅ 2 8 8 8 9. a 3
− 4 + a 0b − 3
a b5 − 2 para a = 27 b = 243
− −
5 3
= 512 1 b a
8
1 2
− 1 1
0 −3 3 = 27 3
− 4 + (1) 243 − 3
27 ⋅ 2435 − 2
x y −2 − −
5. −1 + 0 + 2 x + x y para x = 81 y=3
0 4 5 3
243 27
x y
− (3 ) + 243 − 3 5 (35 ) − (33 )2
1 5 5 4 2
1 3− 3 3 = 3
+ 2 (1) + 814 ⋅ 3− 2
3
= −1 + 27
81 1 1
= − 34 + 243 − 3 ( 3) − 32
2
4
1 812 4 81 3
= 81 + 3 + 2 +
3 32 1 1
1 9⋅3 1 1 = + 162 − 27 − 9 = + 126 = 126 1
3
= 83 + + = 83 + + 3 = 86 + = 86 27
1 3 3
27 9 27 27

317. EJERCICIO 223
1 1 1 1
13. x − 3 y 2 x − 2 y − 2 = x − 3 − 2 y 2 − 2 = x − 5 y 0 = x − 5
2 3 2 3 1
7. 3m 5 m− 5 = 3m 5 − 5 = 3m− 5
1. x 2 x − 3 = x 2 + b3g x − 1
−
=
3 1 3 1 1 1 1 1 1
2. a − 2a − 3 = a − 2 − 3 = a − 5 8. 2a 4 a − 2 = 2a 4 − 2 = 2a 4 14. 3a 2b 2 2a − 2b − 2 = 3 ⋅ 2a 2 − 2b 2 − 2 = 6a 0b0 = 6
3. x3 x − 3 = x3 − 3 = x0 = 1 −
1
−2− −
9. x − 2 x 3 = x 3 = x 3
1 7
15. a 3b − 1a − 2b − 2 = a 3 − 2b − 1− 2 = ab − 3
1 1 3
+1 2 2 4 1 3 1 1 1 1 3 1 4
4. a a = a
2 2 =a 2 − 2−
10. 3n2n 3 = 3n 3 = 3n 3 16. a − 2 b 4 a 2 b 4 = a − 2 + 2 b 4 + 4 = a 0b 4 = b
1 1 1 1 3 1 1 5
5. x 2 x 4 = x 2 + 4 = x 4 11. 4a − 2a − 2 = 4a − 2 − 2 = 4a − 2
2 1 1 2 2 1 1 2 3 3
17. m− 3 n 3 m− 3 n 3 = m− 3 − 3 n 3 + 3 = m− 3 n 3 = m− 1n
3 1 3 1 4 12. a − 1b − 2 ab 2
6. a 4 a 4 = a 4 + 4 = a 4 = a
3 3 5 5
= a − 1+ 1b − 2 + 2 = a 0b 0 = 1
18. 2a − 1b 4 ab − 2 = 2a − 1+ 1b 4 − 2 = 2a 0b − 4 = 2b − 4
EJERCICIO 224
2 1
3. x + 2x 3 + x 3
−2
2. x − 1+ x 2
1. a − 4 + 3a − 2 + 2 1
−
1
−4 −2 x2 + 2 − x − 2 x3 − 2 + x 3
a −a +1
4 2
−8 −6 x4 − x 2 + 1
a + 3a + 2a − 4 x 3 + 2x + x 3
2x 2 − 2 + 2x − 2
− a − 6 − 3a − 4 − 2a − 2 2 1
−4 −2 −1 + x− 2 − x− 4 − 2x − 4 x 3 − 2x 3
a + 3a +2 2 1
−8 −6 −2 x 4 + x 2 − 2 + 3x − 2 − x − 4 x 3 + 2x 3 + 1
a + 2a +a +2
4 2
x3 − 2x 3 +1
2 2
−
3 1 1 5. a3 − 2 + 2a 3
3 1 1
4. 2a 4 − a 2 + 2a 4 6. −
x 4 + 2x 4 − x
2 4
− − 4
1
−
1 3+a 3
− 4a 3
1 1
a4 + 1 −a 4 −
2
−
2 x2 − 2 +x 2
3 1 3a − 6 + 6a
3 3
5 3 1
2a − a 4 + 2a 2
x 4 + 2x 4 − x 4
2 4
− −
3 1 1 + 1 − 2a 3
+ 2a 3
3 1 1
2a − a + 2a
4 2 4 −
−
2
−
4
−2 − 2 x 4 − 4 x 4 + 2x 4
1 1 − 4a 3 + 8a 3 − 8a
1 1 3
− 2a 2 + a 4 − 2 − −
2
−
4 x 4 + 2x 4 −x 4
3 1 1 3a − 5 3
+ 10a 3
− 8a − 2
5 1 1 3
2a + a 4 − a 2 + 3a 4 − 2 − −
x4 − 4x 4 + 4x 4 −x 4
7. a 2b − 1 + a + b 8. x − 1y − 1 + x − 3 y − 3 + x − 5 y − 5
−2 −2
a b − a − 3b − 1 + a − 4 x − 3y − 2 − x − 5y − 4 + x − 7y − 6
b − 3 + a − 1b − 2 + a − 2b − 1 x − 4y − 3 + x − 6y − 5 + x − 8 y − 7
−1 − 2 − 2 −1 −3
−a b −a b −a − x − 6 y − 5 − x − 8 y − 7 − x − 10 y − 9
− 2 −1 −3 −4
a b +a +a b + x − 8 y − 7 + x − 10 y − 9 + x − 12 y − 11
−3 − 2 −1 −4
b +a b +a b x − 4y − 3 + x − 8y − 7 + x − 12 y − 11

318. 3 1 1
9. a 4 b − 3 + a 4 b − 2 − a
−
4 b−1 14. 2x − 3 + x − 1 + 4x − 2
1
−
1 x − 1 − 2x − 2 + x − 3
a 2 b−1 − 2 + 3a 2b
2 − 3x − 1 + x − 2 + 4 x − 3
5 3 1
a 4 b− 4 + a b− 3 − a b− 2
4 4 − 4x − 1 + 6x − 2 − 2x − 3 − 8x − 4
3 1
−
1 + 2x − 2 − 3x − 3 + x − 4 + 4 x − 5
− 2a 4 b − 3 − 2a 4 b − 2 + 2a 4
b−1
1 1 3
2 − 7 x − 1 + 9x − 2 − x − 3 − 7 x − 4 + 4x − 5
− −
−2 −1
3a b 4 + 3a 4
b − 3a 4 1 1
−
1 3
5 3 1 3
15. m − m 2 n 2 + n − m 2 n 2
− −
a 4 b− 4 − a 4 b− 3 +5 a 4 b−1 − 3 a 4 1 1
−
1
m2 + n2 + m 2n
1 1
− −
10. a − 1 + 2 a 2b 2 + 2b − 1 3 1 1 3
1 1
m 2 − mn 2 + m 2 n − n 2
− −
a− 1 − a 2b 2 + b− 1 1 1 3
−
1
+ mn 2 − m 2 n + n 2 − m 2 n2
3 1
− −
a− 2 + 2 + 2a − 1b − 1
1 3 1 5
a 2b 2 −
+ m 2 n − n 2 + m 2 n2 − m− 1n 2
3 1 1 3
− − − −
− a 2b 2 − 2a − 1b − 1 − 2 a 2b 2 3 1 3 5
1 3
m2 + m2n − n2 − m− 1n 2
− −
+ a − 1b − 1 + 2 a 2b 2 + 2b − 2 3 1
−
1
16. a 5 + 2a 5 − a 5
3 1
− −
a− 2 + a 2b 2 + a − 1b − 1 + 2b − 2 2
−
2
−2+a5 −a 5
3 1 1 3
11. 4x 2 − x 2 y 2 + xy − x 2 y 2 3 1
−
1
1 1 − 2a 5 − 4a 5 + 2a 5
x2 + y2 3 1
+ 2a 5 − a 5 +a
5 1 3 3
4x 2 − x 2 y 2 + x 2 y − xy 2
1 1 3
− −
− a5 − 2a 5 +a 5
1 3 3 1
4x 2 y 2 − x 2 y + xy 2 − x 2 y 2 1
−
3
− 6a 5 +a+a 5
5 1 1
4x + 3x 2 y
2 2
− x y2
2 2 1
1 2 2 1
17. m + 3m 3 + 2m 3
12. x − 2a x + a x − 3a3 3 3 3 −
1
−
2
4 2 2 1
2 − 2m 3
+ 2m 3
x + 3a x + 2a x
3 3 3 3 2 1
7 1 2 5 4
2m + 6m 3 + 4m 3
x − 2a x 2 + a x − 3ax
3 3 3 3 3 2 1
2 5 4 4 5 2
− 2m 3 − 6m 3 − 4
+ 3a x − 6ax + 3a x − 9a x
3 3 3 3 3 3 1
−
1
1 2 5 4 4
+ 2m 3 + 6 + 4m 3
+ 2a x 2 − 4a x + 2ax − 6a x
3 3 3 3 3 2
−
1
7 4 4 5 2
2m + 4m 3 + 2 + 4m 3
x3 − 7ax 3 − 3a 3 x − 9a 3 x 3 −
3 3
−
1 1 1
18. x 4y2 + 3x 4y−x4y2
13. 5a 2 − 3a + 4 − 2a − 1 5 1 3 1 1
− − − −
4y2 − 3x 4 −x 4y 2
3a + 2 − 5a − 1 x
3 3
−
15a 3 − 9a 2 + 12a − 6 x − 2 y 2 + 3x 2y2 − x − 1y
−1
10a − 6a + 8 − 4a
2
−
3 3
−
1 1
− 3x 2 y 2 − 9x − 1y + 3 x 2y2
− 25a + 15 − 20a − 1 + 10a − 2 1 1
−
−1 −2 − x − 1y − 3x 2y2 +1
15a + a 3 2
− 19a + 17 − 24a + 10a
−2 2 −1
x y − 11x y +1

319. 2 1 4 3
− −
20. a 3b 2 + 2a 3 b − a − 2b 2
2 −1 3 −3 4 −5
19. x y + 5x y + 2x y 2 1 2 1
− −
x y − x y + 3x − 1y − 1
−3 3 −2 3a 3 b 2 + 1+ a 3
b2
2 1 4
x − 1y 2 + 5 + 2xy − 2 − −
3 + 6a 3
b 2 − 3a 3
b
− 1− 5xy − 2 − 2x 2 y − 4 −
2 1
−
4 3
+ 3xy − 2 + 15x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6 + a 3
b2 + 2a 3
b − a − 2b 2
4 3 8
− −
x − 1y 2 + 4 + 13x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6 a 3b +
2a − 2b 2 − a 3 b2
2 1 3 8
− −
3 + 7a 3
b2 + a − 2b 2 − a 3
b2
EJERCICIO 225
1. a 2 ÷ a − 2 = a 2 − b2 g a 2 + 2 = a 4
−
= 7  7 7 5
12. a − 3 ÷ a − 4 = a − 3 −  − 4  = a − 3+ 4 = a − 4
 
−3 −3−2 −5
2. x ÷x =x2
=x
1 1 1  1
− − 
1 1 3 13. x − 2 y − 1 ÷ x − 3 y − 2 = x − 2 + 3 y − 1+ 2 = xy
− 2  4 +
3. m ÷ m2 4
=m = m2 4
= m4 1 1 1 1 1 2
−1 −
4. a 2 ÷ a 5 = a 2 − 5 = a − 3 14. a 2 b 3 ÷ ab = a 2 − 1b 3 = a − 2 b 3
5. x − 3 ÷ x − 7 = x − 3 − b7g x − 3 + 7 = x 4
−
= 15. a 2b − 3 ÷ a − 1b = a 2 + 1b − 3 − 1 = a 3b − 4
1 1 1
−1 − 1 2 1 1 1 2 1 1
6. a ÷ a = a =a − − +1
16. x − 2 y 3 ÷ x − 2 y − 1 = x − 2 + 2 y 3 = x0 y 3 = y 3
2 2 2
2 1 2  1 2 1 1
− − − 
7. x − 3 ÷ x − 3 = x 3  3
=x
− +
3 3 =x
−
3 3 3 1 3 3 1 3 3 5 3
17. m 4 n− 4 ÷ m− 2 n 4 = m 4 + 2 n− 4 − 4 = m 4 n− 2
2 1 2  1 2 1 3
− − −  +
8. a ÷ a 5  5
5 5
=a =a 5 5
=a 5
2
−
1 2 1 3
−2 8 − 2 −1 5 + 5
−
3 1
−
3 1
− −
5 18. 8 x y 5 ÷ 4 xy 5
= x y = 2x − 3 y 5
9. m 4 ÷m =m 2 4 2 =m 4 4
1 1 2 1 1 1 1 7
+
10. a ÷ a = a
3 3
−1
= a
−
3 19. a 3 b ÷ a − 4 b − 3 = a 3 4 b1+ 3 = a 12 b 4
4 5 −  − 5

2 1 2 2 11 3
−   + 20. x − 4 y − 5 ÷ x2 y − 1 = x − 4 − 2 y − 5 + 1 = x − 6 y − 4
11. 4 x 5 ÷ 2 x 5
= x  = 2x 5 5 = 2x 5
2
EJERCICIO 226
4 2 2 1
2. a3 − 2a 3 + 1 a + 2a 3 + a 3
1. x − 8 + 2x − 6 + x− 2 + 2 x− 4 − x− 2 +1 4 2 1 1
−
−8 −6 −4 −4 −2 − a 3 − 2a − a 3 a3 −2+a 3
−x +x −x x + 3x +2
2
−6 −4 −2
3x − x + x − 2a − 3a 3
− 3x − 6 + 3x − 4 − 3x − 2 2 1
+ 2a + 4a 3 + 2a 3
−4 −2
2x − 2x +2
2 1
− 2x − 4 + 2x − 2 − 2 a 3 + 2a 3 + 1
2 1
− a 3 − 2a 3 − 1

320. 3 1 1 1 1
3. m4 + m2 − 2 + 3m− 2 − m− 4 m2 − 1+ m− 2 4. 2x + x 4 − x 2 + 3x 4 − 2 x 4 + 1− x
−
4
− m 4 + m2 − 1 m2 + 2 − m − 2 3 1 3 1 1
−2
− 2x − 2x 4 + 2x 2 2x 4 − x 2 + 2x 4
2m − 3 + 3m
2
3 1 1
− 2m2 + 2 − 2m− 2 − x 4 + x 2 + 3x 4
− 1 + m− 2 − m− 4
3 1 1
+ x4 +x2 − x4
+ 1 − m− 2 + m− 4
1 1
2x 2 + 2x 4 − 2
1 1
− 2x 2 − 2x 4 + 2
2 4 2 4
− − −
5. 3m 3 − 5 + 10m 3
− 8m− 2 3+m 3
− 4m 3
6.
5 1
−
1
−
3 1
−
1
2 2 2 2
a4 − 4a 4 + 4a 4 −a 4 a2 −2+a 2
− −
− 3m − 1+ 4m
3 3
m − 2 + 2m
3 3 5 3 1 3 1
−
1
2 4
− a 4 + 2a 4 − a 4 a 4 + 2a 4 − a 4
− −
− 6 + 4m 3
+ 10m 3 3 1
−
1
2 4 2a 4 − 5a 4 + 4a 4
− −
+ 6 + 2m 3
− 8m 3 3 1
−
1
− 2a 4 + 4a 4 − 2a 4
2 4
− −
6m 3
+ 2m 3
− 8m− 2 1
−
1
−
3
2 4 − a 4 + 2a 4 −a 4
− −
− 6m 3
− 2m 3
+ 8m− 2 1
−
1
−
3
+ a 4 − 2a 4 +a 4
7. 4 x − 5 − 7 x − 4 − x − 3 + 9x − 2 − 7x − 1 + 2 4x − 2 + x − 1 − 3 + 2x
− 4x − 5 − x − 4 + 3x − 3 − 2x − 2 x − 3 − 2x − 2 + x − 1
− 8 x − 4 + 2x − 3 + 7 x − 2 − 7 x − 1
8x − 4 + 2x − 3 − 6 x − 2 + 4 x − 1
4 x − 3 + x − 2 − 3x − 1 + 2
− 4 x − 3 − x − 2 + 3x − 1 − 2
−12 −11
8. a b + a − 8b − 7 + a − 4b − 3 a − 7b − 6 − a −5b − 4 + a − 3b − 2
− a −12b −11 + a −10b − 9 − a −8b − 7 a −5b − 5 + a − 3b − 3 + a −1b −1
−10 − 9
a b
− a −10b − 9 + a − 8b − 7 − a − 6b − 5
a − 8b − 7 − a − 6b − 5 + a − 4b − 3
− a − 8b − 7 + a − 6b − 5 − a − 4b − 3

321. 9. m − 4n + m− 2n− 1 + n− 3 m− 4 − m− 3n− 1 + m− 2n− 2
− m− 4n + m− 3 − m− 2n− 1 n + m + m2n− 1
m− 3
− m− 3 + m− 2n− 1 − m− 1n− 2
m− 2n− 1 − m− 1n− 2 + n− 3
− m− 2n− 1 + m− 1n− 2 − n− 3
10. 15a 3 + a 2 − 19a + 17 − 24a − 1 + 10a − 2 3a + 2 − 5a − 1
− 15a 3 − 10a 2 + 25a 5a 2 − 3a + 4 − 2a − 1
− 9a 2 + 6a + 17
+ 9a 2 + 6a − 15
12a + 2 − 24a − 1
− 12a − 8 + 20a − 1
− 6 − 4a − 1 + 10a − 2
+ 6 + 4a − 1 − 10a − 2
5 3 1 3 1 1
− − −
11. a 4 b− 4 − a 4 b − 3 + 5a 4 b− 1 −
3a 4 a 2 b − 1 − 2 + 3a 2b
5 3 1 3 1 1
−
− a 4 b − 4 + 2a 4 b − 3 − 3a 4 b − 2 a 4 b− 3 + a 4 b− 2 − a 4 b− 1
3 1 1
−
a 4 b − 3 − 3a 4 b − 2 + 5a 4 b− 1
3 1 1
−
− a 4 b − 3 + 2a 4 b − 2 − 3a 4 b−1
1 1 3
− −
− a 4 b − 2 + 2a 4 b−1 −
3a 4
1 1 3
− −
+ a 4 b − 2 − 2a 4 b−1 +
3a 4
3 1 1 1
− − − −
12. x− 2 + x 2y 2 + x − 1y − 1 + 2y − 2 x−1 − x 2y 2 + y−1
3 1 1 1
− − − −
− x− 2 + x 2y 2 − x − 1y − 1 x − 1 + 2x 2y 2 + 2y − 1
3 1
− −
2y 2
2x
3 1 1 3
− − − −
− 2x 2y 2 + 2x − 1y − 1 − 2x 2y 2
1 3
− −
2x − 1y − 1 − 2x 2y 2 + 2y − 2
1 3
− −
− 2x − 1y − 1 + 2 x 2y 2 − 2y − 2

322. 1 3 3 1 1
− − 2 1 2 1
13. m − 6m 5 +m 5
m 5 + 2m 5 − m 5 −
14. 2x + 4 x 3 + 2 + 4x 3
x + 3x 3 + 2x 3
3 1 2 2
− 2 1 1 2
− m − 2m 5 + m 5 m5 − 2 −m 5 − −
− 2x − 6x 3 − 4 x 3 2 − 2x 3
+ 2x 3
3 1
2 1
− 2m 5 − 5m 5
− 2x 3 − 4x 3 + 2
3 1 1
− 2 1
2m + 4m − 2m
5 5 5
+ 2x 3 + 6 x 3 + 4
1 1 3
− − 1 1
− m 5 − 2m 5
+m 5 −
2x 3 + 6 + 4 x 3
1 1 3
− − 1 1
+ m 5 + 2m 5
−m 5 −
− 2 x 3 − 6 − 4x 3
5 1 1 1 1
15. 4x 2 + 3x 2 y 2 − x 2 y2 x2 + y2
5 1 3 1 1 3
− 4 x 2 − 4x 2 y 2 4x 2 − x 2 y 2 − xy − x 2 y 2
1
− x2 y 2
1 3
+ x2y 2 − x 2 y
3
− x2y
3 3
+ x 2 y − xy 2
3 1
− xy 2 − x 2 y 2
3 1
+ xy 2 + x 2 y 2
7 4 4 5 2 4 1 2 2
16. x3 − 7ax 3 − 3a 3 x − 9a 3 x 3 x 3 + 2a 3 x + 3a 3 x 3
7 1 2 5 1 2 2 1
− x 3 − 2a 3 x 2 − 3a 3 x 3 x − 2a 3 x 3 + a 3 x 3 − 3a
1 2 5 4
− 2a 3 x 2 − 3a 3 x 3 − 7ax 3
1 2 5 4
+ 2a 3 x 2 + 4a 3 x 3 + 6ax 3
2 5 4 4
a 3 x 3 − ax 3 − 3a 3 x
2 5 4 4
− a 3 x 3 − 2ax 3 − 3a 3 x
4 4 5 2
− 3ax 3 − 6a 3 x − 9a 3 x 3
4 4 5 2
+ 3ax 3 + 6a 3 x + 9a 3 x 3

323. 3 1 3 5 1 1 1
−
17. a2 + a 2b − b 2 − a − 1b 2 a2 +b2 +a 2b
3 1 1 1 1 1 3
−
− a 2 − ab 2 − a 2 b a − a 2b2 + b − a 2b 2
1 3
− ab 2 −b2
1 1 3
+ ab 2 + a 2 b + b 2
1
a 2b
1 3 1
−
− a 2b − b2 − a 2 b2
3 1 5
−
−b2 −a 2 b2 − a − 1b 2
3 1 5
−
+b2 +a 2 b2 + a − 1b 2
3 3 1 1 1
− −
18. m− 2 n 2 − 11m−1n +1 m 4 n 2 + 3m 4 n − m 4 n 2
3 3 5 1 3 1 1
− − − − −
− m − 2n 2 − 3m 2 n 2 + m−1n m 4 n 2 − 3m 4 − m 4 n 2
3 3
−
− 3m 2 n 2 − 10 m−1n
3 3 1 1
− −
+ 3m 2 n 2 + 9 m −1n − 3m 2 n 2
1 1
−
− m−1n − 3m 2 n 2 + 1
1 1
−
+ m−1n + 3m 2 n 2 − 1
19. x − 1y 2 + 4 + 13x 2 y − 4 + 6x 3 y − 6 x − 3 y 3 − x − 2 y + 3x − 1y − 1
− x − 1y 2 + 1 − 3xy − 2 x 2 y − 1 + 5 x 3 y − 3 + 2x 4 y − 5
5 − 3xy − 2 + 13x 2 y − 4
− 5 + 5xy − 2 − 15x 2 y − 4
2xy − 2 − 2x 2 y − 4 + 6x 3y − 6
− 2xy − 2 + 2x 2 y − 4 − 6x 3 y − 6
2 1 3 8 2 1 2 1
− − − −
20. 3 + 7a 3
b2 + a − 2b 2 − a 3
b2 3a 3 b 2
+ 1+ a 3
b2
2 1 4 2 1 4 3
− − − −
−3−a 3
b2 −a 3
b a 3
b 2 + 2a 3
b − a − 2b 2
2 1 4 3
− −
6a 3
b2 − a 3
b + a − 2b 2
2 1 4 3
− −
− 6a 3
b 2 − 2a 3
b − 2a − 2b 2
4 3 8
− −
− 3a 3
b − a − 2b 2 − a 3
b2
4 3 8
− −
+ 3a 3
b + a − 2b 2 + a 3
b2

324. EJERCICIO 227
2
 −4 1  1
⋅2
2 1
 x y 4  = x − 4 ⋅2 y 4 = x − 8 y 4 = x − 8 y 2
1. (a ) = a = a
−1 2 −1⋅ 2 −2 7.
 
2. (a − 2b −1 ) = a − 2 ⋅3 b −1⋅3 = a − 6b − 3
2
 2 1
3 1 1 1 2 2 2
⋅2 ⋅2
 2a b 3  = 2 a 2 b 3 = 4a 2 b 3 = 4ab 3
2
8.
2  
 2
3 3
⋅2
6
 a  = a2 = a2 = a
(a − 3b−1 )4 = a − 3⋅4b−1⋅4 = a −12b− 4
3
3.
  9.
6
 2 −2 
3
 4
3 3
⋅3
9 1 2 1
⋅6 − ⋅6
12
−
6
 x  = x4 = x4  x 3 y  = x 3 y 2 = x 3 y 2 = x y−
4 3
4. 10.
   
5
 2 −3 
2
 4
3 3 6 3 2 10
⋅2 ⋅5
 m  = m4 = m4 = m2  3a 5 b  = 3 a 5 b − ⋅ = 243a 5 b − = 243a b −
5 35 15 2 15
11.
5.
   
3
 −2  2
− ⋅3 −
63
 −2 −1 
1 1 1
− ⋅3 − ⋅3 −
3
−
3
−
3
6.  a  = a
3 3 =
a 3 = a−2 12.  2m n 3  = 2 3 m 2 n 3 = 8m 2 n 3 = 8m 2 n −1
   
EJERCICIO 228
2 2 2
 1 1

2
 1

2
 1
 1
  1

2

7.  4 x 3 − y
−
1
  4 3
 3  −1  −1
1.  a 2 + b 2  =  a 2  + 2  a 2   b 2  +  b 2 
2
 =  x  − 2 x4  y 2 +  y 2
                 
1 1 3 3 1
−
= a + 2a 2 b 2 + b = x 2 − 2x 4 y 2
+ y −1
 
2 2 2 2
 3 1
  3
  3
 1
  1
 −2 4 2 −1
1 1
2.  x 4 − y 3  =  x 4  − 2  x 4   y 3  +  y 3  8.  m n − m n 
          
2 2
    1   1 
3 3 1 2 1 1
= x 2 − 2x 4 y 3 + y 3 =  m− 2 n 4  − 2  m− 2 n 4   m 2 n − 1  +  m 2 n − 1 
      
2 2
 −
1
  −1  −1
+ 2m =  m 2  + 2 ( 2m)  m 2  + ( 2m)
1 1 1
3.  m 2 2 −2+ −1
      = m − 4 n 2 − 2m 2
n 4 + mn − 2
1 3 3
1 1 − −
= m− 1 + 4m
1−
2
+ 4 m2 = m − 1 + 4 m 2 + 4 m 2 = m − 4 n 2 − 2m 2 n 4 + mn − 2
( )
3
−
4. a b − a b
2 3− 3 2 2  1 1
9.  a + b 
3 3
 
= (a − 2b 3 ) − 2 (a − 2b 3 )(a 3b − 2 ) + (a 3b − 2 )
2 2
3 2 2 3
 1  1  1  1  1  1
= a − 4b 6 − 2a − 2 + 3b 3− 2 + a 6b − 4 =  a 3  + 3  a 3   b 3  + 3 a 3   b 3  +  b 3 
          
= a − 4b6 − 2ab + a 6b − 4
2 1 1 2
2 2
= a + 3a 3 b 3 + 3a 3b 3 + b
5.  a − 1 − 3b  = a −1    
3 3 3
 
−
4
( )2 − 2 (a −1 )  3b −
4
 +  3b 
−
4
     
( )
3
10.
3
x 2 − 3 y −1
3 3
− −
= a − 2 − 6a −1b 4
+ 9b 2
 2  2
3
 2
2
=  x 3  − 3  x 3  (3 y −1 ) + 3  x 3  (3y −1 ) − (3 y −1 )
2 3
     
2
 1  1
6. a ( −2
+ b ) = (a )
2
−2 2
+ 2 (a − 2 )  b 2  +  b 2 
    4 2
1 = x 2 − 9 x 3 y −1 + 27 x 3 y − 2 − 27 y − 3
= a − 4 + 2a − 2b 2 + b

325. 3 3 2 2 3
 2 − 
3
 2  2   −2   2   −2   −2 
3 3 3 4
−
3 2
3 −3
−
9
11.  m + 4n  =  m  + 3  m   4n  + 3  m   4n  +  4n  = m + 12m n + 48m n + 64n
3 2 3 3 3 2 3 2 2
            
3 2 3
 −4 − 
1
−4 2  − 
1
−4  − 
1
 −2 
1 1 3
12.  2a − 3b  = (2a ) − 3 (2a )  3b  + 3 (2a )  3b  −  3b  = 8a − 36a b + 54a b − 27b
2 −4 3 2 2 − 12 −8 − 2 − 4 −1 −
2
       
3 2 2 3
 1  1  1  1  1  1
( )
3 1 1 2
3
13. x− 3 y =  x 2  − 3  x 2   y 3  + 3  x 2   y 3  −  y 3  = x 2 − 3xy 3 + 3x 2 y 3 − y
          
4 4 3 2 2 3 4
 1 2  1  1  2  1  2  2  2  2
1 3 2 4 1 8
14.  a + b  =  a  + 4  a   b  + 6  a   b  + 4  a   b  +  b  = a + 4a b + 6ab + 4a b + b
2 3 2 2 3 2 3 3 3 2 2 3 3 2 2 3
                
4 2 3 4
 −2 − 1  −2 3  − 3 
1
−2 2  − 3 
1
−2  − 3 
1
 −1
15.  x − y  = ( x ) − 4 ( x )  y  + 6 ( x )  y  − 4 ( x )  y  +  y 
3 −2 4 3
         
1 2 4
− − −
= x −8 − 4 x − 6 y 3 + 6x − 4 y 3
− 4 x − 2 y −1 + y 3
5 5 4 3 2 2 3 4 5
 1
−
3
  1  1   −3  1   −3  1   −3  1   −3  −3
16.  x 3 + y 4
 =  x 3  + 5  x 3   y 4  + 10  x 3   y 4  + 10  x 3   y 4  + 5  x 3   y 4  +  y 4 
                    
5 4 3 3 2 9 1 15
− − − −
= x 3 + 5x 3 y 4
+ 10 xy 2
+ 10 x 3 y 4
+ 5x 3 y − 3 + y 4
5 4 3 2 2 3 4 5
5    1  1  1  1  1  1  1  1  1
( )
1
17. m − 3 n =  m 2  − 5  m 2   n 3  + 10  m 2   n 3  − 10  m 2   n 3  + 5  m 2   n 3  −  n 3 
                  
5 1 3 2 1 4 5
= m 2 − 5m2 n 3 + 10m 2 n 3 − 10mn + 5m 2 n 3 − n 3
(
18. a − 2 m
2
) 6
2 3 4 5 6
5  4   3  2   1  1
1 1 1 1
= (a 2 ) − 6 (a 2 )  2m 2  + 15 (a 2 )  2m 2  − 20 (a 2 )  2m 2  + 15(a 2 )  2m 2  − 6 (a 2 )  2m 2  +  2m 2 
6
           
1 3 5
= a12 − 12a10m 2 + 60a 8m − 160a 6m 2 + 240a 4 m2 − 192a 2 m 2 + 64m3
2 3 4 5
( ) = (x ) + 5(x )  y  −3 3   −3 2   −3    1
1 1 1 1
 + 10 (x )  y 4  + 10 (x )  y 4  + 5(x )  y 4  +  y 4 
5
−3 −3 5 −3 4
19. x + 4 y 4
        
1 1 3 5
= x −15 + 5x −12 y 4 + 10x − 9 y 2 + 10 x − 6 y 4 + 5x − 3 y + y 4
20. a ( −2
+ 3a −1 + 2) = (a − 2 ) + (3a −1 ) + (2) + 2 (a − 2 )(3a −1 ) + 2 (a − 2 )( 2) + 2 (3a −1 )(2)
2 2 2 2
= a − 4 + 9a − 2 + 4 + 6a − 3 + 4a − 2 + 12a −1 = a − 4 + 6a − 3 + 13a − 2 + 12a −1 + 4
2 2 2 2
 1 4 1
− 
1
 2   4   −4 
1 1 1
 1   4   1   −4 
1 1
 4   −4 
1 1
21.  x − x + 2 x  =  x  +  − x  +  2 x  + 2  x   − x  + 2  x   2 x  + 2  − x   2 x 
2 4 2 2
                
1 1 3 1 3 1 1 1
− −
= x + x 2 + 4x 2
− 2x 4 + 4x 4 − 4 = x − 2x 4 + x 2 + 4x 4 − 4 + 4x 2
2 2 2
 −
1 1
  −1  1  −1  −1  1  1
22.  a + 3 + a 2  =  a 2  + ( 3) +  a 2  + 2  a 2  ( 3) + 2  a 2   a 2  + 2 (3)  a 2 
2 2
            
1 1 1 1
− −
= a −1 + 9 + a + 6a 2
+ 2 + 6a 2 = a + 6a 2 + 11 + 6a 2
+ a −1

326. 2 2 2
 3 1
  3
  1
  3
  1
  3
 1

23.  m + 2m 4 − 3m 2  = ( m) 2 +  2m 4  +  − 3m 2  + 2 ( m)  2m 4  + 2 ( m)  − 3m 2  + 2  2m 4   − 3m 2 
            
3 7 3 5 7 3 5
= m2 + 4m 2 + 9m + 4m 4 − 6m 2 − 12m 4 = m2 + 4m 4 − 2m 2 − 12m 4 + 9m
2 2 2
 1 1   1 1  1 1  1 1  1 1  1 1  1 1
( ) ( ) ( )
1 1
24.  a 2 b − 3 − 2 + a − 2 b 3  =  a 2 b − 3  + − 2 2 +  a − 2 b 3  + 2  a 2 b − 3  − 2 + 2  a 2 b − 3   a − 2 b 3  + 2 − 2  a − 2 b 3 
           
2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 2
− −1 3 − − − − − −1 3
= ab + 4 + a b − 4a b + 2 − 4a b = ab − 4a b + 6 − 4a b + a b
3 2 3 2 3 3 2 3 2 3
3 3 3 2 2 2 2
           
( ) (− 1) + 3  x 4   x 2  + 3  x 4  (− 1)
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
3
25.  x + x − 1 =  x  +  x 4  + − 1 + 3  x 2   x 4  + 3  x 2 
2 4 2
           
2  2   1  1
+ 3(− 1)  x 2  + 3 (− 1)  x 4  + 6 x 2   x 4  (− 1)
1 1
      
3 3 5 1 1 1 3 3 5 3 1
= x 2 + x 4 − 1 + 3x 4 − 3x + 3x − 3x 2 + 3x 2 + 3x 4 − 6 x 4 = x 2 + 3x 4 − 5x 4 + 3x 4 − 1
26.  a 3 − 2 + a − 3  =  a 3  + − 2 3 +  a − 3  + 3  a 3 
3 3
 2
3 2
(− 2) + 3 a   −2 
2
2  2 − 
( )   a 3  + 3 (− 2)  a 3  + 3(− 2)  a 3 
2 2 2 2 2 2 2
        3
               
2 2
       2  −2 
+ 3  a   a  + 3  a  (− 2) + 6  a 3  (− 2)  a 3 
2 2 2
− −
3 3 3
         
4 2 2 2 2 4
− − −
= a 2 − 8 + a − 2 − 6a 3 + 3a 3 + 12a 3 + 12a 3
+ 3a 3
− 6a 3
− 12
4 2 2 4
− −
= a 2 − 6a + 15a − 20 + 15a 3 3 3 − 6a 3 + a −2
3 3 3 3 2 2 2
 1 1 1
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  1
  1

27.  m 6 + 2m 3 + m 2  =  m 6  +  2m 3  +  m 2  + 3  m 6   2m 3  + 3  m 6   m 2  + 3  2m 3   m 6 
                   
2 2 2
 1  1  1  1  1  1  1  1  1
+ 3  2 m 3   m 2  + 3  m 2   m 6  + 3  m 2   2m 3  + 6  m 6   2m 3   m 2 
               
1 3 2 5 5 7 7 4
= m 2 + 8m + m 2 + 6m 3 + 3m 6 + 12m 6 + 12m 6 + 3m 6 + 6m 3 + 12m
3 4 7 5 2 1
= m 2 + 6m 3 + 15m 6 + 20m + 15m 6 + 6m 3 + m 2
EJERCICIO 229
1. x − 4 + 6 x − 3 + 13x − 2 + 12 x −1 + 4 x − 2 + 3 x −1 + 2
− x −4 (2 x −2
+ 3x −1 ) (3x −1 ) = 6 x − 3 + 9 x − 2
+ 6 x − 3 + 13x − 2
− 6x −3 − 9 x −2 (2 x −2
+ 6 x −1 + 2 ) ( 2 )
4 x − 2 + 12 x −1 + 4 = 4 x − 2 + 12 x −1 + 4
− 4 x − 2 − 12 x −1 − 4

327. 1 1 1 1
− −
2. m + 6m 2 + 11 + 6m 2 + m−1 m2 + 3 + m 2
 2 
1 1
−m  2m + 3 ( 3) = 6m 2 + 9
 
1
6m 2 + 11
1
 2 1
−   − 
1 1
− 6m 2 − 9  2m + 6 + m 2   m 2 
  
1 1
− −
2 + 6m 2 + m−1 = 2 + 6m 2 + m−1
1
−
− 2 − 6m 2 − m−1
4 2 1 2 1
3. 9a 3 − 6a + 25a 3 − 8a 3 + 16 3a 3 − a 3 + 4
4
 2 1  1
− 9a 3  6a 3 − a 3   − a 3 
  
2 2
− 6a + 25a 3 = − 6a + a 3
2
+ 6a − a 3
2 1
 2 1

24a 3 − 8a 3 + 16  6a 3 − 2a 3 + 4 (4)
 
2 1 2 1
− 24a 3 + 8a 3 − 16 = 24a 3 − 8a 3 + 16
7 3 5 3 1
4. a 2 + 4a 4 − 2a 2 − 12a 4 + 9a a + 2a 4 − 3a 2
 3
  3
− a2  2a + 2a 4   2a 4 
  
7 3 7 3
+ 4a 4 − 2a 2 = 4a 4 + 4a 2
7 3
− 4a 4 − 4a 2
3 5
 3 1
 1

− 6a 2 − 12a 4 + 9a  2a + 4a 4 − 3a 2   − 3a 2 
  
3 5 3 5
+ 6a 2 + 12a 4 − 9a = − 6a 2 − 12a 4 + 9a

328. 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
− − − − −
5. mn 3
− 4m 2 n 3 + 6 − 4m 2 n 3 + m−1n 3 m2 n 3 − 2 + m 2 n 3
 2 −1 
 2m n 3 − 2 (− 2)
2 1
−
− mn 3
 
1 1 1 1
− −
− 4m 2 n 3 + 6 = − 4m 2 n 3 + 4
1 1
−
+ 4m 2 n 3 − 4
−
1 1 2
 2 −1
1
−
1 1
  −1 1
2 − 4m 2 n 3 + m−1n 3  2m n 3 − 4 + m 2 n 3   m 2 n 3 
  
1 1 2 1 1 2
− −
− 2 + 4m 2 n 3 − m−1n 3 = 2 − 4m 2 n 3 + m−1n 3
4 3 2 1 2 1
6. a 5 − 8a 5 + 10a 5 + 24a 5 + 9 a 5 − 4a 5 − 3
4
 2 1
 1

− a5  2a 5 − 4 a 5   − 4 a 5 
  
3 2 3 2
− 8a 5 + 10a 5 = − 8a 5 + 16a 5
3 2
+ 8a 5 − 16a 5
 2 
 2a 5 − 8a 5 − 3 (− 3)
2 1 1
− 6a 5 + 24a 5 + 9
 
2 1 2 1
+ 6a 5 − 24a 5 − 9 = − 6a 5 + 24a 5 + 9
5 3 1 1
− − − −
a − 3 − 6a 2 + 21a − 2 − 44a 2 + 63a −1 − 54a 2 + 27 a −1 − 2a 2 + 3
3
7.
3(a −1 ) = 3a − 2
2
− a −3
2 − 
3(a −1 )  − 2a 2  = − 6a 2
5 3 1 5
− − −
− 6a 2
+ 21a − 2 − 44a 2
 
2
 − 
3(a −1 )  − 2a 2  = 12a − 2
5 3 1
− −
+ 6a 2 − 12a − 2 + 8a 2
 
3
−
3
−
1
 − 
1
−
3
9a − 2 − 36a 2 + 63a −1 − 54a 2 + 27  − 2a 2  = − 8a 2
 
3 1
− −
− 9a − 2 + 36a 2
− 63a −1 + 54a 2 − 27
2
 − 
1
−
3
3  a −1 − 2a 2  = 3a − 2 − 12a 2 + 12a −1
 
2
 − 
1
−
3
3  a − 1 − 2a 2  (3) = 9a − 2 − 36a 2 + 36a −1
 
 − 
1
−
1
3  a − 1 − 2a 2  (3) = 27a −1 − 54a 2
2
 
(3)3 = 27

329. 4 2 2 4 2 2
3 − − −
8. x 2 − 6 x 3 + 15x 3 − 20 + 15x 3 − 6x 3 + x − 2 x3 − 2+ x 3
2
 2 4
− x2 3  x 3  = 3x 3
 
 2
2
3  x 3  (− 2 ) = − 6 x 3
4 2 4
− 6x 3 + 15x 3 − 20
 
 2
3  x 3  (− 2) = 12 x 3
4 2 2
2
+ 6 x 3 − 12 x 3 + 8
 
(− 2 ) = − 8
2 2 4
− − 3
3x 3 − 12 + 15x 3 − 6x 3 + x − 2
2 2 4
− −
− 3x 3 + 12 − 15x 3 + 6 x 3 − x − 2
2
 2  4 2
3  x 3 − 2 = 3x 3 − 12 x 3 + 12
 
 2   −2 
2 2 2
−
3  x 3 − 2  x 3  = 3x 3 − 12 + 12 x 3
   
2
 2   −2  −
2
−
4
3  x 3 − 2  x 3  = 3x 3 − 6 x 3
   
 −2 
3
−2
 x 3 = x
 
3 5 3 1 1 1
3
9. a 2 + 3a 4 − 5a 4 + 3a 4 − 1 a 2 + a 4 − 1
2
3
 1
−a 2 3  a 2  = 3a
 
2
5 3 1
 1  1 5
+ 3a 4 − 5a 4 + 3a 4 3  a 2   a 4  = 3a 4
   
2
5 3
 1  4
1
− 3a 4 − 3a − a 4 3 a 2   a  = 3a
   
3
3 1
 1 3
− 3a − 6a 4 + 3a 4 − 1  a4 = a4
 
3 1
+ 3a + 6a 4 − 3a 4 + 1
2
 1 1 3 1
3  a 2 + a 4  = 3a + 6a 4 + 3a 2
 
2
 1 1
3  a 2 + a 4  (− 1) = − 3a − 6a 4 − 3a 2
3 1
 
 1 1
3  a 2 + a 4  (− 1) = 3a 2 + 3a 4
1 1
2
 
(− 1) = − 1
3

330. EJERCICIO 230
2ax −1 19 2 xa −1 1
a2 x−2 − + − + x 2a − 2 ax −1 − + a −1 x
1. 3 9 3 3
 1  1 
− a 2 x −2  2ax −1 −   − 
 3  3 
2ax −1 19 2ax −1 1
− + =− +
3 9 3 9
−1
2ax 1
+ −
3 9
2a − 1 x 2 − 2  
 2ax −1 − + a −1 x (a −1 x)
2
2− +x a
3  3 
2a − 1 x 2a − 1 x
− 2+ − a −2 x2 = 2− + a −2 x2
3 3
2. x 2 − 4 + 2 x −1 + 4 x − 2 − 4 x − 3 + x − 4 x − 2 x −1 + x − 2
− x2 (2 x − 2 x )(− 2 x ) = − 4 + 4 x
−1 −1 −2
− 4 + 2 x −1 + 4 x − 2
+4 − 4x −2 (2 x − 4 x −1
+ x − 2 )(x − 2 )
2 x −1 − 4 x−3 + x −4 = 2 x −1 − 4 x − 3 + x − 4
−1 −3 −4
− 2x + 4x − x
3. a 4 − 10a + 4 + 25a − 2 − 20a − 3 + 4a − 4 a 2 − 5a −1 + 2a − 2
− a4 (2a 2
− 5a −1 )(− 5a −1 )
− 10a + 4 + 25a − 2 = − 10a + 25a − 2
−2
+ 10a − 25a
+4 − 20a − 3 + 4a − 4 (2a 2
− 10a −1 + 2a − 2 ) (2a − 2 )
−3 −4
−4 + 20a − 4a = 4 − 20a − 3 + 4a − 4
m4 m2
− 5m2 + 28 − 30m− 2 + 9m− 4 − 5 + 3m− 2
4. 4 2
m4
−
4
(m 2
− 5)(− 5) = − 5m2 + 25
− 5m2 + 28 (m 2
− 10 + 3m− 2 )(3m− 2 )
+ 5m2 − 25 = 3 − 30m− 2 + 9m− 4
3 − 30m− 2 + 9m− 4
− 3 + 30m− 2 − 9m− 4

331. 4 x 2 y − 2 2 xy − 1 19 5x −1 y 25x − 2 y 2 2 xy − 1 1 5x −1 y
− + − + − +
5. 25 5 12 3 9 5 2 3
4 x2 y −2  4 xy − 1 1   1  2 xy −1 1
−  −  −  = − +
25  5 2  2 5 4
2 xy −1 19
− +
5 12
2 xy −1 1  4 xy −1 5x − 1 y   5x − 1 y 
+ −  − 1+  
5 4  5 3  3 
4 5x − 1 y 25x − 2 y 2 4 5x −1 y 25x − 2 y 2
− + = − +
3 3 9 3 3 9
4 5x y 25x − 2 y 2
−1
− + −
3 3 9
a 4 2a 3 x − 1 2ax a2
+ + a2 x −2 − − 2 + a −2 x2 + ax − 1 − a −1 x
6. 9 3 3 3
a4  2a 2  2a 3 x − 1
−  + ax −1  (ax −1 ) = + a 2 x −2
9  3  3
2a 3 x − 1
+ a2 x−2
3
2a 3 x − 1  2a 2 
− − a2 x−2  + 2ax −1 − a − 1 x (− a −1 x )
3  3 
2ax 2ax
− − 2 + a −2 x2 =− − 2 + a −2 x2
3 3
2ax
+ + 2 − a −2 x2
3
7. 9m4 + 30m2 + 55 + 50m− 2 + 25m− 4 3m2 + 5 + 5m− 2
− 9 m4 (6m 2
+ 5)(5) = 30m2 + 25
+ 30m2 + 55
− 30m2 − 25 (6m 2
+ 10 + 5m− 2 )(5m− 2 )
30 + 50m− 2 + 25m− 4 = 30 + 50m− 2 + 25m− 4
−2 −4
− 30 − 50m − 25m
4a 2b2 x − 2 y − 2 2abx −1 y −1 21 7 xya −1b −1 49 x 2 y 2a − 2b − 2 2abx −1 y −1 1 7a −1b −1 xy
− + − + − +
8. 49 7 20 5 25 7 2 5
4 a 2b 2 x − 2 y − 2  4abx −1 y −1 1   1 
−  −  − 
49  7 2  2
2abx −1 y −1 21 2abx −1 y −1 1
− + = − +
7 20 7 4
−1 −1
2abx y 1
−
7 4
4 7 xya −1b −1 49 x 2 y 2 a − 2b − 2  4abx −1 y −1 7a −1b −1 xy   7a −1b −1 xy 
− +  − 1+  
5 5 25  7 5  5 
4 7 xya −1b −1 49a − 2b − 2 x 2 y 2 4 7a −1b −1 xy 49a − 2b − 2 x 2 y 2
− + − = − +
5 5 25 5 5 25

332. 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
− − − − −
9. ab 3
− 4a 2 b 3 + 6 − 4b 3 a 2
+ a −1b 3 a 2b 3 − 2 + a 2b 3
 2 −1 
 2a b 3 − 2 (− 2) = − 4a 2 b 3 + 4
2 1 1 1
− −
− ab 3
 
1 1
−
− 4a 2 b 3 + 6
1
−
1
 2 −1
1
−
1 1
  −1 1
+ 4a 2 b 3 − 4  2a b 3 − 4 + a 2 b 3   a 2 b 3 
  
1 1 2 1 1 2
− −
2 − 4a 2 b 3 + a −1b 3 = 2 − 4a 2 b 3 + a −1b 3
1 1 2
−
− 2 + 4a 2 b 3 − a −1b 3
10. a 4b 4 + 6a 2b 2 + 7 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4 a 2b 2 + 3 − a − 2b − 2
− a 4b 4 (2a b 2 2
+ 3) (3) = 6a 2b 2 + 9
+ 6a 2b 2 + 7
− 6a 2b 2 − 9 (2a b 2 2
+ 6 − a − 2b − 2 )(− a − 2b − 2 )
− 2 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4 = − 2 − 6a − 2b − 2 + a − 4b − 4
−2 −2 −4 −4
+ 2 + 6a b − a b
2 1 1 1 1 2 1 1 1 1
− − − − −
11. xy 3 − 8 x 2 y 3 + 18 − 8 x 2 y 3 + x −1 y 3
x2 y3 − 4+ x 2 y 3
 2 1 
 2 x y 3 − 4 (− 4) = − 8 x 2 y 3 + 16
2 1 1 1
− xy 3
 
1 1
− 8 x 2 y 3 + 18
1 1
 1 1 −
1
−   −
1 1
− 
1
+ 8 x 2 y 3 − 16  2x 2 y 3 − 8 + x 2 y 3   x 2 y 3 
  
1 1 2 1 1 2
− − − − − −
2 − 8 x 2 y 3 + x −1 y 3
= 2 − 8x 2 y 3 + x −1 y 3
1 1 2
− − −
− 2 + 8 x 2 y 3 − x −1 y 3
EJERCICIO 231
7. 3 81x 3y 4 = 3 92 ⋅ x2 xy 4 = 3 ⋅ 9xy 2 x = 27xy 2 x
1. 18 = 2 ⋅ 32 = 3 2
1 1 2 2
8. 108a 5b7 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ a 4ab 6b
2. 3 48 = 3 3⋅ 2 4 = 3⋅ 2 2 3 = 12 3 2 2
2
3. 3
16 = 3 2 ⋅ 23 = 2 3 2 = ⋅ 3a 2b 3 3ab = 3a 2b3 3ab
2
13 1 1 3 3 2 3⋅5 3
4. 128 = 3 26 ⋅ 2 = ⋅ 22 3
2 =2 3 2 9. 125mn6 = 5 ⋅ 5mn6 = n 5m = 3n3 5m
2 2 2 5 5 5
5. 2 4 243 = 2 4 34 ⋅ 3 = 2 ⋅ 3 4 3 = 6 4 3 10. 2a 44a b c = 2a 2 ⋅ 11a ab bc c
3 7 9 2 2 6 8
6. 50a 2b = 2 ⋅ 52 a 2b = 5a 2b = 2 ⋅ 2a ⋅ ab 3c 4 11abc = 4a 2b3c4 = 11abc

333. 3 3
11. 2 3 16x 2 y 7 19. 375a 8b
5x
= 2 3 2 3 ⋅ 2 x 2 y 6 y = 2 ⋅ 2y 2 3
2x 2 y = 4 y 2 3 2x 2 y 3 3 3 3 ⋅ 5a 2 3 2 3a 2
= 5 ⋅ 3a 6 a 2b = 3a b = 3
3a 2b
5x 5x x
2 3 14 14 4 4 3 4
12. 27m2n8 81a b =
4
3 a b = a b =a b 4
3 20.
3 3 3
2⋅3 2
9a + 18b = 9 (a + 2b) = 32 (a + 2b) = 3 a + 2b
2
= 3
33 m2n6n2 = n 3
m2n2 = 2n2 3 m2n2 21.
3 3
22. 3a 3b2 − 3a 2b 2
13. 5a 3 160x 7 y 9 z13
= 3a 2b2 (a − 1) = ab 3 (a − 1) = ab 3a − 3
= 5a 3 2 3 ⋅ 20x 6 xy 9 z12 z
8 x 2 y 4 + 16 xy 4
= 5 ⋅ 2ax 2 y 3 z 4 3
20 xz = 10ax 2 y 3 z 4 3
20xz 23.
= 2 2 ⋅ 2 xy 4 ( x + 2) = 2 y 2 2 x ( x + 2) = 2 y 2 2 x 2 + 4 x
14. 4
80a 4b 5c12 = 4 24 ⋅ 5a 4b4bc12 = 2abc 3 4
5b
24. 2 x 2 − 4 xy + 2 y 2
15. 3 4 5x 8 y14 z16 = 3 4 5x 8 y12 y 2 z16 = 3x 2 y 3z 4 4
5y 2
= 2 ( x 2 − 2 xy + y 2 ) = 2 ( x − y) = ( x − y ) 2
2
2
32 x 2 y11
(a − b)(a − b )
5
16. 2 2
5 25.
2⋅2 2 4y 2
= (a − b)(a − b)(a + b)
2
= 5
2 5 x 2 y10 y = y 5
x2y = 5
x2y
5 5 5
= (a − b) (a + b) = (a − b)
2
2 8
a+b
17. 2xy 3 128x y
26. 2am2 + 4amn + 2an 2
= 2xy 3 26 ⋅ 2x 2 y 6 y 2
= 2a (m2 + 2mn + n 2 ) = 2a (m + n) = (m + n) 2a
2
= 2 ⋅ 22 xyy 2 3
2x 2 y 2 = 8xy 3 3
2x 2 y 2
27. 9a 3 − 36a 2 + 36a
1
27a 3m7
= 32 a (a 2 − 2a + 4)
18.
3a
1 3am 3
= 3 a (a − 2) = 3 (a − 2) a = (3a − 6) a
= 3 2 ⋅ 3a 2 am6m = 3am = m3 3am 2
3a 3a
EJERCICIO 232
1 1⋅ 5 5 1 3 4a 2 3 3 ⋅ 22 a 2 y 3 ⋅ 2a a
= = = 5 7. 2 = = 3y = 3y
1. 5 5⋅5 52 5 27y 3 2 34 y 4 2 ⋅ 32 y 2 3y 2
3 3⋅2 6 1 1 9n 32 ⋅ 5mn 5 ⋅ 3 3
2. = = = 6= 6 8. 5 3
=5 = 5mn = 5mn
8 8⋅2 24 22 4 5m 5 2 m4 5m2 m2
1 2 ⋅1 2 2 5a 3 5 ⋅ 6a 3 6 a
9. 6 24x 2 = 6 24 ⋅ 32 x 2 = 22 ⋅ 3x 30a a = 2x 30a
2
3. 2 2 = 2 2 ⋅ 2 = 2 2 2 = 2 2 = 2
1 1⋅ 6 6 3 1 2 3 2 ⋅ 32 1 3
4. 3 6 = 3 6 ⋅ 6 = 3 6 2 = 6 6 = 2 6 10. 3 = = 18
3 33 3
1 2 1 2⋅3 1 6 1 1 1 52 5
5. 2 3 = 2 3 ⋅ 3 = 2 32 = 2 ⋅ 3 6 = 6 6 11. 5 3 =5 3 = 3
52 = 3 25
5 53 5
a2 a2 x 8 23 ⋅ 3x 2 3
= =
a x
=
a 2x a
= 2x 12. 3
2
=3 3 3 = 3x
6. 8x 2 ⋅ 2x 2 2x
2
2 2x 22 4x 9x 3 x 3x

334. 125 53 ⋅ 2b 2 ⋅ 5b 2
13. 2b
2 3 = 2b2 3 = 3
2b = 5 3 2b
4b5 23 b6 2b 2
2 27 x 2 2 3 3 ⋅ 4ab 2 x 2 2⋅3 1
14. 3 = 3 = 3
4ab 2 x 2 = 3
4ab 2 x 2
3 2 4
16a b 3 2 6 a 3b 6 3 ⋅ 22 ab 2 2ab 2
81a 2 34 ⋅ 22 a 2 xy 3 2 ⋅ 3xy 4 2 3
15. 2xy 4 = 2xy 4 = 4a xy = 3 4 4a 2 xy 3
4x 3 y 24 x 4 y 4 2xy
EJERCICIO 233
1 1
2 1
1. 8. 8
81x 4 y 8 = 8 34 x 4 y 8 = 3 2 x 2 y = y 3x
4
9 = 3 =3 =3 = 3
4 2 4 2
10
2 1 9. 32x10 y15
2. 6
4 = 6 22 = 2 6 = 2 3 = 3 2 1 3
3 1 = 10 25 x10 y15 = 2 2 xy 2 = x 2y 3 = x 2y 2 y = xy 2y
3. 9
27 = 3 = 3 = 3 = 3 3
9 3 9 3
12
4 1 10. 64m6n18
4. 8
16 = 2 = 2 = 2 = 2
8 4 8 2 1 1 3
12
6 1
= 26 m6n18 = 2 2 m 2 n 2 = 2mn3 = 2mn2n = n 2mn
5. 3 12 64 = 3 12 26 = 3 ⋅ 2 12
= 3⋅2 = 3 2
2
6
11. 343a 9 x12
4 2 2 1 3
6. 25a b
2 2 2 1 1 1
= 6 73 a 9 x12 = 7 2 a 2 x 2 = x 2 7a 3 = x 2 7a 2a = ax 2 7a
= 4 52 a 2b 2 = 5 a b = 5 a b = 5ab 4 4 4 2 2 2
12. 15
m10n15 x 20
1 1 2 2 4
7. 5 6 49a 2b 4 = 5 6 72 a 2b 4 = 5 ⋅ 7 a b = 5 3 7ab 2 3 3 3
= m 3 nx 3 = n 3 m2 x 4 = n 3 m2 x 3 x = nx 3 m2 x
EJERCICIO 234
1. 2 3 = 22 ⋅ 3 = 12
4m 3 2m2 = 3 ( 4m) (2m2 ) = 3 (64m3 )(2m2 ) = 3 128m5
3
8.
2. 3 5 = 32 ⋅ 5 = 45
2a 4 8ab3 = 4 ( 2a) (8ab3 ) = 4 (16a 4 )(8ab3 ) = 4 128a 5b3
4
9.
5a b = (5a) b = 25a b
2 2
3.
(a + b) 2
(a )
1  1 2 1
2 (
10. a + b ) a
a+b
=
a+b
= (a + b)(a) = a 2 + ab
4. 2 =   ⋅2 = =
2  2 4 2
(x + 1) 2 x = 2
5. 3a 2a = ( 3a ) ⋅ 2a = 9a (2a ) = 18a
2 2 2 2 2 4 (
11. x + 1 ) 2x
x+1
=
x+1
(x + 1)2 x = 2x2 + 2x
5x 2 y 3 = (5x 2 y ) 3 = (25x 4 y 2 ) 3 = 75x 4 y 2 12. (x − 1)
2 x−2
6.
x−1
7. ab 2 3 a 2b (x − 1) (x − 2) =
2
= (x − 1)(x − 2) = x 2 − 3x + 2
= 3 (ab 2 ) (a 2b) = 3 (a 3b 6 )(a 2b) = 3 a 5b 7 x−1
3
EJERCICIO 235
3= 36 =
12 12
3. 729
1. 5 = 5 = 125
6 3 6 2. 2= 2 =4 4
4 2
3
4=
12
4 =
4 12
256
3
2= 2 = 46 2 6
4
3 =4 3 4
8=
12
8 =
3 12
512

335. 12
2= 26 =
12
4. 64
3a = (3a) = 243a 5
4 20 5 20
12
3= 3 =
3 4 12
81 9.
(2b2 )4 = 20 16b8
12
5 = 53 =
12
2b2 =
4 20
125 5
12
7= 72 =
6 12
49 10
7x3 =
20
(7 x 3 )2 = 20 49 x 6
= ( 5x ) = 125x
6 3 6 3
5. 5x
= 2 a4 = 2 a4
12 12
(4 x y)
3
2 10. 2 a
3
4x2 y = 6 2
= 6 16 x 4 y 2
3 2b = 3 (2b) = 3 64b 6
12 6 12
6
7a 3b = 6 7a 3b
6. 3
2ab = (2ab)
15 5
= 32a 5b5
15 4 5x 2 = 4
4 12
(5x 2 )3 = 4 12 125x 6
5
3a 2 x =
15
(3a 2 x)3 = 27a 6 x 3
15
11. 3 3 a 2 = 3 (a 2 )
18 6
= 3 a 12
18
= 5a 3 x 2 (b ) = 2 b
15 15
5a 3 x 2 1 6 3 1 18 3 3 1 18 9
b =
2 2
8a 2 x 3 = 12 (8a 2 x 3 ) = 512a 6 x 9
4 3 12
7.
4 9 x5 = 4
18
(x 5 )2 = 4 x10
18
3a5m4 = 12 (3a 5m4 ) = 9a10m8
6 2 12
= (2m) = 32m5
10 5 10
12. 2m
8. 3
x2 =
18
(x ) 2 6
= x12
18
3 5 a3x4 = 3
10
(a x )
3 4 2
= 3 a 6 x8
10
2 y 3 = 18 (2 y 3 ) = 18 8 y 9
3
= 2 10 x 7 y 2
6
2 10 x 7 y 2
9
5m7 =
18
(5m ) 7 2
= 25m14
18
EJERCICIO 236 3 = 6 33 = 6 27
4.
1. 5 = 6 53 = 6 125
3
5 = 6 52 = 6 25
3
2 = 6 22 = 6 4
6
32 = 6 32
Luego el orden es: 5 , 3
2 Luego el orden es: 6 32 , 3 , 3 5
20
3 = 35 =
4 20
5. 243
15 = (15) = 225
6 12 2 12
2. 20
= =
5 4 20
4 4 256
7 = 7 3 = 343
4 12 12
20
15 = 15 =
10 2 20
225
Luego el orden es: 4 7 , 6
15 10
Luego el orden es: 5 4 , 4
3, 15
3. 11 = (11) = 1. 331
6 3 18
6
6. 3
2= 2 = 6 18
64
43 = ( 43) = 6 1.849
18
3= 3 =
3 6 2 6 3 18
27
18
9= 9 =
9 2 18
Luego el orden es : 43 , 11 3 81
3
Luego el orden es: 9 9 , 2 , 6
3
EJERCICIO 237
1. 7 2 − 15 2 = 7 − 15 ( ) 2= −8 2 3. 5 − 22 5 − 8 5 = (1 − 22 − 8) 5 = − 29 5
2. 4 3 − 20 3 + 19 3 = 4 − 20 + 19 ( ) 3 = 3 3 4. 2 − 9 2 + 30 2 − 40 2 = (1 − 9 + 30 − 40) 2 = − 18 2

336. 3 1  3 1  3− 2 1
10. 3x y + a − x ( ) y − 2x y
2− 2= −  2=  2=
= (3x + a − x − 2 x) y = a
5. 2
4 2  4 2  4  4 y
6.
3 3   3 − 5
3 − 3 =  − 1 3 =   3= −
2
3 (
11. x − 1 ) 3 + (x − 3) 3 + 4 3
5   5 
= ( x − 1 + x − 3 + 4) 3 = 2 x 3
5 5
1 3
7. 2 5 − 5+ 5 1 2
2 4 12. 3 2 − 3
2+2 3
2
3 3
 1 3  8 − 2 + 3 9
= 2− +  5=   5= 5 1 2   1 − 2 + 6 5
 2 4  4  4 =  − + 2 3
2=  3
2= 3
2
3 3   3  3
1 1
8. 3+5 3− 3 3 1 1  36 − 15 + 10  31 3
4 8 13. 3 2 − 3 2 + 3 2 =  3 2 = 2
5 4 6  60  60
1 1  2 + 40 − 1 41
=  + 5−  3 =   3=
4 8  8  8
3
14. x 3 a − a − 2 x
2
( ) 3 a 2 + (2a − 3x ) 3 a 2
(
9. a b − 3a b + 7a b = a − 3a + 7a ) b = 5a b = ( x − a + 2 x + 2a − 3x ) 3 a 2 = a 3 a 2
EJERCICIO 238
4. 7 450 = 7 32 ⋅ 52 ⋅ 2 = 7 ⋅ 3⋅ 5 2 = 105 2
1. 45 = 3 ⋅5 = 3 5
2
− 4 320 = − 4 2 ⋅5 = 6
− 4 ⋅ 2 3 5 = − 32 5
− 27 = − 32 ⋅ 3 = − 3 3 3 80 = 3 24 ⋅ 5 = 3⋅ 2 2 5 = 12 5
− 20 = − 2 2 ⋅ 5 = − 2 5 − 5 800 = − 5 24 ⋅ 2 ⋅ 52 = − 5⋅ 22 ⋅ 5 2 = − 100 2
Entonces: Entonces:
= 3 5− 3 3−2 5 = 105 2 − 100 2 − 32 5 + 12 5
= (3 − 2) 5 − 3 3 = 5 − 3 3 = (105 − 100) 2 + (− 32 + 12) 5 = 5 2 − 20 5
1 1 2
5. 12 = 2 ⋅3 = 3
2. 175 = 52 ⋅ 7 = 5 7 2 2
1 1 2
243 = 34 ⋅ 3 = 9 3 − 18 = − 3 ⋅2 = − 2
3 3
− 63 = − 32 ⋅ 7 = − 3 7 3
48 =
3 4
2 ⋅3 = 3 3
4 4
− 2 75 = − 2 52 ⋅ 3 = − 10 3 1 1 2
Entonces: 72 = 2 ⋅ 2 ⋅ 32 = 2
6 6
= 5 7 + 9 3 − 3 7 − 10 3 Entonces:
= (5 − 3) 7 + (9 − 10) 3 = 2 7 − 3 = 3 + 3 3 − 2 + 2 = (1 + 3) 3 = 4 3
3 3 4 22 ⋅ 3
6. 176 = 2 ⋅ 11 = 11 = 3 11
4 4 4
3. 80 = 24 ⋅ 5 = 22 5 = 4 5
2 2 2 2⋅3
− 45 = − 3 ⋅5 = − 5= −2 5
− 2 252 = − 2 2 2 ⋅ 32 ⋅ 7 = − 2 ⋅ 2 ⋅ 3 7 = − 12 7 3 3 3
1 1 6 23
3 405 = 3 34 ⋅ 5 = 3⋅ 32 5 = 27 5 320 = 2 ⋅5 = 5= 5
8 8 8
− 3 500 = − 3 2 2 ⋅ 52 ⋅ 5 = − 3⋅ 2 ⋅ 5 5 = − 30 5 1 1 2 5
275 = 5 ⋅ 11 = 11 = 11
Entonces: 5 5 5
Entonces:
= 4 5 + 27 5 − 30 5 − 12 7
= 3 11 + 11 − 2 5 + 5
= (4 + 27 − 30) 5 − 12 7 = 5 − 12 7
= (3 + 1) 11 − (2 + 1) 5 = 4 11 − 5

337. 1 1 5 3 5 15 1
7. 147 = 3⋅ 7 2 = 3 = = 15 25ax 2 = 52 ax 2 = 5x a
7 7 10. 13.
3 5 3 52 3
1 1 2 2 49b = 72 b = 7 b
− 700 = − 2 ⋅5 ⋅ 7 = − 2 7 1 3 1 3 1
5 5 − = − =− 3
2 4 2 22 4 − 9ax 2 = − 32 ax 2 = − 3x a
1 1 1
28 = 22 ⋅ 7 = 7 1 15 1 entonces :
10 10 5 −5 = −5 2 2 = − 15
1 1 6 15 3 ⋅5 3 = 5 x a − 3x a + 7 b
2 .187 = 3 ⋅3 = 9 3
3 3 1 3 1 = (5x − 3x ) a + 7 b
Entonces : 3 = 3 2 2 = 3
12 2 ⋅3 2
1 = 2x a + 7 b
= 3+9 3−2 7 + 7 Entonces:
5
1 1 1 1
 1 = 15 − 15 − 3+
= (1 + 9) 3 +  − 2 +  7
3
 3 3 4 2
5 2
14. 2 m n = 2m n
 1 1 1
9 =− +  3= 3 − 9m n = − 3 m n = − 3m n
2 2 2
= 10 3 − 7  4 2 4
5
16mn2 = 24 mn2 = 4n m
1 3 1 − 4mn2 = − 22 mn2 = − 2n m
= = 3 Entonces :
8. 3 32 3
11. 5 128 = 5 2 6 ⋅ 2 = 40 2 = 2m n − 3m n + 4n m − 2n m
1 2 1
− = =− 2
2 22 2 −
1 1
= −
1 3
=−
1
3 = (2m − 3m) n + (4n − 2n) m
3 3 1 3 3 3 32 9
= = 3 = − m n + 2n m
4 22 2 − 5 98 = − 5 7 2 ⋅ 2 = − 35 2
Entonces: 1 3 1
1 1 1 = = 3
= 3+ 3− 2 27 34 9
3 2 2 15. a 320 x = a 2 ⋅ 5x = 8a 5x
6
Entonces:
 1 1 1
=  +  3− 2 = 40 2 − 35 2 −
1
3+
1 − 7 5a 2 x = − 7a 5x
 3 2 2 3
− (a − 4b) 5x
9 9
= (40 − 35) 2 = 5 2
5 1
= 3− 2
6 2 Entonces :
= 8a 5x − 7a 5x − (a − 4b) 5x
9
=
32 ⋅ 5 3
= 5 = (8a − 7a − a + 4b) 5x = 4b 5x
9. 5 52 5 12. 2 700 = 2 2 2 ⋅ 52 ⋅ 7 = 20 7
1 6 1
− = − =− 6 1 5
6 62 6 − 15 = − 15 2 2 = − 5
45 3 ⋅5
1 5 1
− =− =− 5 5 5 16. 9 x − 9 = 32 ( x − 1) = 3 x − 1
20 2 2 ⋅ 52 10 4 = 4 = 5
24
4 x − 4 = 22 ( x − 1) = 2 x − 1
16
6= 6
1 7
Entonces: − 56 = − 56 2 = − 8 7 −5 x−1
7 7
3 1 1 Entonces:
= 5− 5− 6+ 6 Entonces:
5 10 6
= 20 7 − 8 7 − 5+ 5 = 3 x−1+ 2 x−1− 5 x −1
3 1  1 
=  −  5 +  − + 1 6 = (20 − 8) 7 = 12 7 = (3 + 2 − 5) x − 1 = 0
 5 10   6 
1 5
= 5+ 6
2 6

338. 17. 2 a 4 x + 3a 4 y = 2 a 4 ( x + 3 y ) = 2a 2 x + 3 y EJERCICIO 239
− a 2 9 x + 27 y = − a 2 32 ( x + 3 y ) = − 3a 2 x + 3 y
1.
3
54 = 3
33 ⋅ 2 = 3 2
25a 4 x + 75a 4 y = 52 a 4 ( x + 3 y ) = 5a 2 x + 3 y
− 3 24 = − 3 23 ⋅ 3 = − 2 3 3
Entonces :
− 3 16 = − 3 23 ⋅ 2 = − 2 3 2
= 2a 2 x + 3 y − 3a 2 x + 3 y + 5a 2 x + 3 y
Entonces:
= (2a 2 − 3a 2 + 5a 2 ) x + 3 y = 4a 2 x + 3 y
=33 2 −23 2 −23 3 = 3 2 −23 3
a+1 3a
18. 3a = a+1 = 3 a+1 3
40 = 3
23 ⋅ 5 = 2 3 5
a2 a 2.
− 4a + 4 = − 22 (a + 1) = − 2 a + 1 3 1. 029 = 3
73 ⋅ 3 = 7 3 3
a+1 − 625 = − 53 ⋅ 5 = − 5 3 5
(a + 1) = (a + 1)
1 3 3
= a+1
a+1 (a + 1) 2
Entonces :
Entonces : = 2 3 5 − 53 5 + 7 3 3
= 3 a +1− 2 a+1+ a + 1 = (3 − 2 + 1) a + 1 = 2 a + 1 = (2 − 5) 3 5 + 7 3 3 = 7 3 3 − 3 3 5
a+b a 2 − b2
19. (a − b) = (a − b) = a 2 − b2 3. 2 3 250 = 2 3 53 ⋅ 2 = 10 3 2
a−b (a − b) 2
− 4 3 24 = − 4 3 23 ⋅ 3 = − 8 3 3
a−b a 2 − b2
− (a + b) = − (a + b) = − a 2 − b2 − 6 3 16 = − 6 3 23 ⋅ 2 = − 12 3 2
a+b (a + b)2
3 2 .187 = 3
36 ⋅ 3 = 9 3 3
a−b
(2a − 2b) 1
= 2 (a − b) =2 a− b
a−b (a − b) 2 Entonces:
entonces :
= 10 3 2 − 12 3 2 + 9 3 3 − 8 3 3
= a 2 − b 2 − a 2 − b2 + 2 a − b = 2 a − b
= (10 − 12) 3 2 + (9 − 8) 3 3 = 3
3− 2 3 2
4. 5 3 48 = 5 3 2 3 ⋅ 6 = 10 3 6 5.
3
81 = 3
33 ⋅ 3 = 3 3 3
− 3 3 3. 645 = − 3 3 36 ⋅ 5 = − 27 3 5 − 3 3 375 = − 3 3 5 3 ⋅ 3 = − 15 3 3
− 2 3 384 = − 2 3 2 6 ⋅ 6 = − 8 3 6
3
686 = 3
73 ⋅ 2 = 7 3 2
4 3 1. 715 = 4 3 7 3 ⋅ 5 = 28 3 5 2 3 648 = 2 3 2 3 ⋅ 33 ⋅ 3 = 12 3 3
Entonces : Entonces:
= 10 3 6 − 8 3 6 − 27 3 5 + 28 3 5 = 3 3 3 + 12 3 3 − 15 3 3 + 7 3 2 = 7 3 2
= (10 − 8) 3 6 + (− 27 + 28) 3 5 = 2 3 6 + 3
5 33 33 3
7. 625 = 5 ⋅5 = 3 3 5
13 13 3 5 5
6. 24 = 2 ⋅3 = 3 3
2 2 3 3
2 2 − 3 192 = − 3 2 6 ⋅ 3 = − 6 3 3
− 3 54 = − 3 33 ⋅ 2 = − 2 3 2 2 2
3 3 13 1
33 33 3 1. 715 = 3 7 3 ⋅ 5 = 3 5
375 = 5 ⋅3 = 3 3 3 7 7
5 5
3 3
1 1
− 3 128 = − 3 2 6 ⋅ 2 = − 3 2 − 3 1.536 = − 3 2 9 ⋅ 3 = − 3 3 3
4 4 8 8
Entonces: Entonces :
= 3 3 + 33 3 − 2 3 2 − 3 2 = 3 3 5+ 3
5−6 3 3−3 3 3
= (1 + 3) 3 + (− 2 − 1) 2 = 4 3 − 3 2
3 3 3 3
= (3 + 1) 3 5 + (− 6 − 3) 3 3 = 4 3 5 − 9 3 3

339. 1 2 13
= =
( )
3 3 2 3
8. 4 23 2 12. 3 3 − 24 = 3 3 − 2 ⋅ 3 = − 6 3 3
− 4 − 81 = − 4 (− 3) ⋅ 3 = 12 3
1 9 13
= =
3
3 3 9 3 3 3
3 33 3
− − 375 = − (− 5) ⋅ 3 = 5 3
3
2 2 1 3 3 3
− 3 =− 3 3 =− 3 2
27 3 3 Entonces:
Entonces:
= − 6 3 3 + 12 3 3 + 5 3 3
1 1 1
= 3 2− 3 2+ 3 9
2 3 3 = (− 6 + 12 + 5) 3 3 = 11 3 3
 1 1 3 13 1 1
= −  2+ 9= 3 2+ 3 9
 2 3 3 6 3
4 3 − 320 = 4 3 (2) (− 5) = 16 3 − 5
6
1 9 13.
9. 63 = 63 3 3 = 3
9
2 ⋅3
− 10 3 − 40 = − 10 3 (2) (− 5) = − 20 3 − 5
24 3
1 5 13
= = 5 − 2 3 − 54 = − 2 3 ( 3) (− 2) = − 6 3 − 2
3 3 3
25 53 5
5 5 1 3 3 − 1. 024 = 3 3 ( 2) (− 2) = 24 3 − 2
9
−2 3 =−2 3 =− 3 5
64 23 ⋅ 23 2
Entonces :
Entonces:
= 16 3 − 5 − 20 3 − 5 − 6 3 − 2 + 24 3 − 2
1 1
= (16 − 20) 3 − 5 + (− 6 + 24) 3 − 2
= 3 2 − 3 5+ 3 9
5 2
 1 1 3 = − 4 3 − 5 + 18 3 − 2
=  −  3 5+ 3 9 = − 3 5+ 3
9
 5 2 10
1 7
10. 7 3 = 73 3 = 3 7
49 7
14. 3 3 2a 3 = 3a 3
2
1 4 13
3 = 3 = 4 − b 128 = − b 2 ⋅ 2 = − 4b 2
3 3 6 3
16 26 4
1 4 13 (4b − 3a) 3
2
3 = 3 = 4 Entonces :
2 23 2
7 7 = 3a 3
2 − 4b 3 2 + (4b − 3a ) 3 2
−2 = − 23 3 = − 3 7
3
8 2 = (3a − 4b + 4b − 3a ) 3 2 = 0
Entonces:
13 1  1 1 3
= 4+ 3 4+3 7−3 7= +  3 4= 3 4
4 2  4 2 4 3
250b = a 3
53 2b = 5a 3
15. a 2b
2 3 23 3 − 3 3
= −b 3
11. 135 = 3 ⋅5 = 2 3 5 3ab 3a
3 3
− 5 2a b = − 5a
3 3 3
2b
13 1 13 2 13
= = 2 3
2 32 2 26 8 3b 3a
7 1 7 2 73 Entonces :
3 = 3 = 2
4 4 4 23 8 5a 3
2b − 5a 3
2b − b 3 3a + 3b 3
3a
− 20 3
1 5
= − 20 3 3 3 = − 2 3 5 = (− b + 3b) 3 3a = 2b 3
3a
200 2 ⋅5
Entonces:
13 7  1 7
=2 3 5−2 3 5+ 2+ 3 2= +  3 2= 3
2
8 8  8 8

340. EJERCICIO 240
9. 3 6 ⋅ 14 ⋅ 2 35 = 6 2 . 940 = 6 22 ⋅ 72 ⋅15 = 84 15
1. 3 ⋅ 6 = 18 = 32 ⋅ 2 = 3 2
1 2 3
2. 5 21⋅ 2 3 = 10 63 = 10 32 ⋅ 7 = 30 7 10. 21 ⋅ 42 ⋅ 22
2 3 7
1 2 1 1 2 1 1 2 2 2
3. 14 ⋅ 21 = 294 = 7 ⋅6 = 6 = 19 . 404 = 2 ⋅ 7 ⋅ 3 ⋅11 = 6 11
2 7 7 7 7 7
13
4. 3
12 ⋅ 3 9 = 3 108 = 3 33 ⋅ 4 = 3 3 4 11. 3 45 ⋅
3
15 ⋅ 4 3
20 = 2 3 13 . 500 = 2 3
5 3 ⋅ 33 ⋅ 4 = 30 3
4
6
53
5. 15 ⋅12 3 50 = 10 3 750 = 10 3 53 ⋅ 6 = 50 3 6 5 7 3 4 1 1 1 2 1
6 12. ⋅ = = = 2
6 8 5 7 2 2 2 22 4
1 x
6. x 2a ⋅ 5a = 10a 2 = x 10 2 2 3 1 3 x 3 ax 3
a a 13. a x⋅ = = = ax
x 2 a3 x a x a 2 ax
7. 5 12 ⋅ 3 75 = 15 900 = 15 22 ⋅ 32 ⋅ 52 = 450
1 x 2 2x 2xy 2
8.
3 3
9a 2 ⋅ 8 3
3ab = 6 3
27a 3b = 6a 3
33 b = 18a 3
b 14. 3 y 2 ⋅ 6 y = 2 y 3 = 2 y 4 = y 2 2xy
4
EJERCICIO 241
1. 2− 3 5 +5 3 8. 7 5 − 11 7
5.
2 2 5 +3 3 5 5 −8 7
= 4− 6 2 25 + 10 15 35 25 − 55 35
= 2− 6 + 3 15 + 15 9 − 56 35 + 88 49
2. 7 5 +5 3 = 2 25 + 13 15 + 15 9 = 35 25 − 111 35 + 88 49
2 3 = 10 + 13 15 + 45 = 175 − 111 35 + 616
= 55 + 13 15 = 791− 111 35
= 14 15 + 10 9
= 14 15 + 30 9. 2+ 3+ 5
6. 3 7 −2 3
2− 3
3. 2 3+ 5−5 2 5 3 +4 7
4 + 6 + 10
4 15 15 21 − 10 9
− 6 − 9 − 15
= 8 45 + 4 75 − 20 30 − 8 21 + 12 49
( )
= 4 + 10 − 9 − 15
= 4 2 32 ⋅ 5 + 52 ⋅ 3 − 5 30 = 7 21 − 10 9 + 12 49
= 2 + 10 − 3 − 15
= 7 21 − 30 + 84
(
= 4 6 5 + 5 3 − 5 30 ) = 7 21 + 54
= 10 − 15 − 1
2− 3 10. 2 −3 3+ 5
4.
7. a −2 x
2 +2 3 2 + 2 3− 5
3 a + x
4 − 6 4 − 3 6 + 10
3 a 2 − 6 ax +2 6 − 6 9 + 2 15
+2 6 −2 9
+ ax − 2 x 2 − 10 + 3 15 − 25
= 4 + 6 −2 9
= 3 a − 5 ax − 2 x
2 2
= 4− 6 − 6 9 + 5 15 − 25
= 2+ 6 −6
= 3a − 5 ax − 2x = 2 − 6 − 18 + 5 15 − 5
= 6 −4
= 5 15 − 6 − 21

341. 15. a+1+ a−1
2 3− 6+ 5
11. a+1+ 2 a−1
3 + 6 +3 5
2 9− 18 + 15
(a + 1) 2
+ a2 − 1
+ 2 18 − 36 + 30 + 2 a2 − 1 + 2 (a − 1) 2
+ 6 15 − 3 30 + 3 25
= a + 1 + 3 a 2 − 1 + 2a − 2
= 2 9 + 3 ⋅ 2 + 7 15 − 36 − 2 30 + 3 25
2
= 3a + 3 a 2 − 1 − 1
= 6 + 3 2 + 7 15 − 6 − 2 30 + 15
= 7 15 + 3 2 − 2 30 + 15
16. 2 x + 2 − 2
x+2−3
12. a + a+1
a + 2 a+1 2 ( x + 2) 2
− 2 x+ 2
−6 x+2+6
a2 + a2 + a
+ 2 a2 + a + 2 (a + 1)2 =2 ( x + 2) 2
−8 x+ 2 + 6
= 2x + 4 − 8 x + 2 + 6
= a2 + 3 a2 + a + 2 (a + 1) 2
= 2 x + 10 − 8 x + 2
= a + 3 a 2 + a + 2a + 2
= 3a + 3 a 2 + a + 2
17. 3 a − 2 a + x
2 a +3 a+ x
13. 2 a −3 a−b
3 a + a−b 6 a 2 − 4 a 2 + ax
6 a 2 − 9 a 2 − ab + 9 a 2 + ax − 6 (a + x) 2
2 a 2 − ab − 3 (a − b) 2
= 6 a 2 + 5 a 2 + ax − 6 (a + x) 2
= 6a + 5 a 2 + ax − 6a − 6 x
= 6 a 2 − 7 a 2 − ab − 3 (a − b) 2
= 5 a 2 + ax − 6 x
= 6a − 7 a 2 − ab − 3a + 3b
= 3a + 3b − 7 a 2 − ab
18.
a+ x − a− x
14. 1− x + x
2 a+ x − 2 a− x
2 x + 1− x 2 (a + x)2
− a2 − x2
2 x 1− x 2 + 2 x2 − 2 a2 − x2 + 2 (a − x) 2
x 1− x 2 + (1− x )
2 2
= (a + x) 2
− 3 a2 − x2 + 2 (a − x) 2
= 3x 1 − x 2 + 2 x 2 + 1 − x 2 = a + x − 3 a 2 − x 2 + 2a − 2 x
= 3x 1 − x 2 + x 2 + 1 = 3a − x − 3 a 2 − x 2

342. EJERCICIO 242 (25x y ) 2 x = ( 2 x ) = 25 x 5
10 5 10
3 3
25x 2 y 3 =
4 12 2 8.
5.
4 x = 10 (2 2 x ) = 2 4 x 2
2 10
x = 6 x3
5
1. = 12 15. 625x 6 y 9
2 x 2 = 6 (2 x 2 ) = 6 4 x 4 (125x )
1
3 2
2 2
25 x 5 ⋅ 2 4 x 2 ⋅ 10
10 10
125x 2 =
6 12
16 x 2
6
x3 ⋅ 6 4x4 = 6 4x7 = 12
15. 625x 4 25 ⋅ 2 4 x 2 x 5
= 4x x
6 6 = 10
12
15 . 625x 6 y 9 ⋅ 12
15 . 625x 4 24 x 2
= x 6 4x 5 1
= 25 x 5 = ( 2 x ) 10 = ( 2 x) 2 = 2 x
10
= 12
244 .140 . 625x10 y 9
2. 3 2ab = 3 ( 2ab) = 3 4a b
4 2 4 2 2 3
= 12
512 x 10 y 9 = 5 12 x 10 y 9 2 2b 2 6  2b  2 8b 3
9. =   = 6 3
3 4 4a 2b2 ⋅ 4 4 8a 3 = 12 4 32a 5b 2 3 a 3  a 3 a
(4m2 )5
2 2 15
6. 3
3
4m2 =
3 2
= 12 2 ⋅ 2a ab
4 4 4 2
3 3 a2 3  a2  3 a4
2 15 5 10 = 6  2 2 = 6 4 4
= 4 m 8 4b 2
8 2 b  8 2 b
= 24a 4 2ab 2 3
(4 m n)
35 3 15 2 4 3 3 3
2 6 2 b 36 a 4
16m4 n =
9 x 2 y = 6 (9 x 2 y ) ⋅
2
3 4 4
3. 3 a 3 8 24 b4
3 15 6 12 3
= 6 81x 4 y 2 = 4 m n 1 a 1 6 25 ab5 1
4 = 6 = = 32ab5
4 2b 4 2 6 b 6 8b
6
81x 4 y 2 ⋅ 6 81x 5 = 6 6 . 561x 9 y 2 2 15 5 10 3 15 6 12 3
4 m ⋅ 4 m n
3 4
= 6 36 ⋅ 32 x 6 x 3 y 2 1 15 11 22 3 1 1 1 6  1
3
1 1
= 4 m n =
10. 2 3 2  3   = 6 3
2 2 3
= 3x 6 9 x 3 y 2
1 15 22 22 3
= 2 m n 3 3 1 3 6  1
2
3 1
=   = 6 4
4.
3
a 2b 2 =
12
(a 2b2 )4 2
1 2 9 2  9 2 3
= 15 215 ⋅ 2 7 m15m7 n 3
= a 8b8
12
2 16 1 36 1 6
3 ⋅ 4 ⋅ 243
= m 2 7 m7 n 3 = m 128m7 n 3 2 3 2 3
15 15
2 4 3a 3b = 2 12 (3a 3b)
3
1  1 1
3 3 6 35
=6   =6 3 =
=2
12 9 3
27a b 7. 2x  2x  8x 4 37
ab ⋅2 27a b = 2 27a b
12 12 12 36 1
2 = 6 (x 2 ) = 6 x 4
8 8 9 3 17 11
=
3 2
4 9
= 2 27a12 a 5b11
12
x − 3 6 4 6 x 6 8x 3 6 34
6
⋅ x = = 6 =
= 2a
12 5 11
27a b 8 8 2 4 36
16 1 4 1 2 1 1
= 8x = ( 3) 6 = ( 3) 3 = 3 32 = 3 9
EJERCICIO 243 2 4 4 4 4
4 6 6
1. =2 =2 2
2 3 3 3 3 16a 5 3 16a 5 3 3 3 3 3
5. = 3 = 8a = 3
23 a 3 = a
2 3a 1 3a 1 4 2a 3 2 4 2a 2 4 4 2
2. = = 3
10 a 5 a 5
5 1 1
1 6 2 15 2 =1 3=1 3 =1 3
3xy
4 3xy 2 =
2 6. 10 2 60 2 4 4 4 22 8
= = 3y
3. 3 6 x 3 3
x 3 3
4
75x 2 y 3
4x a 3 x 2 a 3x2 a ax
1 75x 2 y 3 1 1 2 2 = 2x = 2x = 2x = 2 ax
4. = = 25xy 2 = 5 xy = y x 7. 2 3 a 2x3 x x2
5 3xy 5 3xy 5 5 2 a x

343. 2a 3 2 13 1 1
x 3 ⋅ 22 3
6ax 2 x2 1 x2 3 2 6 2 =2 3 3 =2
3 = 3 = 2x 2 3 = 2x 2 3 3 = 2x 3 x 2 = 3 3 = 12
8. a 3 3 3a x 3
x x 9. 1 1 3 1 2 23
x 3
3x 2 6 3 3
EJERCICIO 244
1 16 16 3 3
4. 2 2 x = 2 ( 2 x ) = 2 2 x
3
1.
3
2 = 6 22 16 3 3
2 x 1 25 x 5 1
2 = 6 23 2 =2 6 = 2 6 6 6 = 6 32 x 5
16 4 4 2x 2 x x
6
22 22 6 1 6 25 1 6 2 x
= =6 = = = 32 4
23 2 26 2
(5m2n)5 = 15 55 m10n5
6 3
2
5m2 n =
3 15
5.
9 x = 6 (32 x ) = 6 36 x 3 = 3 6 x 3 m3n 2 = (m3n 2 ) = m9 n 6
3 3
5 15 15
2.
3x 2 = 6 (3x 2 ) = 6 9 x 4
3 2 15
55 m10 n 5 55 m 15 55 mn14 1 15
= = 15 = = 3 .125mn14
m9 n 6
15
n n15 n
36 x3 x3 1 34 x 5 1 6
= 6 4 =3 =3 = 3 6 6 = 81x 5
6. 18 x y z = (3 ⋅ 2 x y z ) = 3 ⋅ 2 x y z
6 6 6
3 4 5 2
9x 9x4 9x 3x x 6 3 4 5 12 2 12 4 2 6 8 10
3x 2 y 2 z 3 = 12 (3x 2 y 2 z 3 ) = 12 33 x 6 y 6 z 9
3
(2 3 a 3b)4 = 12 212 a12b 4 = 2a 12 b4
4
8a 3b =
3 12
3.
12
34 ⋅ 2 2 x 6 y 8 z10
4a 2 = (4a 2 ) = 2 6 a 6
3
= = 12 12 y 2 z
4 12 12
12
12
33 x 6 y 6 z 9
2a b 4
= 3m4 = 9 (3m4 ) = 9 27m12 = m 9 27m3
3 3
12 7.
26 a 6
2 6 a 6b 4 12 4 2 4 2 4 m 9 27m3
= 2a 12
= 2 ⋅2 a a b = =m 9 m
212 a 12 9
27m2
8. 5 4ab = 5 (2 ab) = 5 2 a b
4 2 4 4 4
= ( 2ab) 12 ⋅ ( 2a ) 12 3 2 6 4 2 2 2
6
1 1
= ( 2ab) 3 ⋅ (2a ) 6 = 3 2ab ⋅ 6 2a 1
2a 2 = 6 (2a 2 ) = 6 2 3 a 6
1 3 1
10 10 10
⇒ 3 2ab = 6 (2ab) =
2 6
4a 2b 2 46 4 2 2
2 ab 2b 2 2a 2 b 2 8 6
= 6 4a 2b 2 ⋅ 6 2a = 6 8a 3b 2 = 5 =8 6 4 =8 6 = 2a 2 b 2
1 6 3 6 a a6 a
2 a
10
EJERCICIO 245
(4 ) (3 )
2a 2b = 34 3 (2a 2b) = 81 3 23 ⋅ 2 ⋅ a 3a 3a 2b3b = 162a 2b 2a 2b
4 4
2 3
1. 2 = 4 2 2 2 = 16 ⋅ 2 = 32 5.
2. (2 3) = 2 ( 8x ) =
2
32 = 4 ⋅ 3 = 12 (2 x )
2 2
= 4 2 4 ⋅ 22 x 4 x 2 = 2 x 4 22 x 2 = 2 x ( 2 x ) 4
2 4 3 3 3 2
4
6.
3. (5 7) = 5
2 1
2
72 = 25⋅ 7 = 175 = 2 x ( 2 x) 2 = 2 x 2 x
4. (2 4) = 2 ( 81ab ) = (34 ab3 )3 = 5 35 ⋅ 35 ⋅ 32 a 3b5b4 = 9b 5 9a 3b4
2 3
3 2 3
24 = 4 3 23 ⋅ 2 = 8 3 2 7.
5 3 5

344. 8. ( 18 ) = 18 = (18) = (18) = 18 = 3 ⋅ 2 = 3
6
3
6 3
3
6
1
2
2
2 16. (5 ) 2
7 − 6 = 52 7 2 − 2 ⋅ 5⋅ 6 7 + 62
= 175 − 60 7 + 36 = 211 − 60 7
9. (4a 2 x ) = ( 4a) ( 2 x ) = 16a ( 2 x ) = 32a x
2 2 2 2 2
10. (2 x + 1) = 2 ( x + 1) = 4( x + 1) = 4 x + 4
2
2 2 17. ( )2
x + x − 1 = x2 + 2 x x − 1 + (x − 1) 2
= x + 2 x2 − x + x − 1
11. (3 x − a ) = 3 ( x − a ) = 9 ( x − a ) = 9 x − 9a
2 2
2
= 2x + 2 x2 − x − 1
( )
3
9a 3b 4 ( )
6 2
12. 4 18. x +1− 4 x
= 43 6
(32 a 3b4 )3 = (x + 1) 2
− 2 ⋅ 4 x + 1 x + 42 x 2
= 64 6 36 a 6a 3b 6b 6 = x + 1 − 8 x 2 + x + 16 x = 17 x + 1 − 8 x 2 + x
= 192ab 2 a3
( )
6
2
19. a + 1− a −1
3 1
= 192ab 2 ( a ) = 192ab 2 ( a ) = 192ab 2 a
(a + 1) (a − 1)
6 2 2 2
= − 2 a +1 a −1+
13. ( 2 − 3 = 22 − 2 2 3 + 32 ) 2
= a + 1 − 2 a 2 − 1 + a − 1 = 2a − 2 a 2 − 1
= 2 − 2 6 + 3= 5− 2 6
( )
2
20. 2 2 x − 1 + 2 x + 1
14. (4 )
2
2 + 3 = 4 2 2 2 + 2 ⋅ 4 2 3 + 32
= 22 (2 x − 1) + 2 ⋅ 2 2 x − 1 2 x + 1 + (2 x + 1)
2 2
= 32 + 8 6 + 3 = 35 + 8 6
= 4 (2 x − 1) + 4 4 x − 1 + 2 x + 1 2
15. ( 5− 7 = 5 − 2 5 7 + 7) 2
2 2
= 8x − 4 + 4 4 x2 − 1 + 2 x + 1
= 5 − 2 35 + 7 = 12 − 2 35 = 10 x − 3 + 4 4 x 2 − 1
EJERCICIO 246
3 1
27a 3 = 33 a 3 = (3a) 12 = (3a) 4 = 4 3a
3 4 12
2 1 8.
1. 3
a = a = (a) 6 = a 3 = 3 a
2 6 2
6 3
35 3 = 35 ⋅ 3 = 36 = (3) 10 = (3) 5 = 5 33 = 5 27
10
3 1 9. 5
2. 3
8 = 8 = ( 2) 6 = ( 2) 2 = 2
6
4 2 1 1
4 1 4
a 4b 6 = 8 a 4b 4b 2 = ( ab) 8 (b) 8 = ( ab) 2 (b) 4
81 = 3 = ( 3) 8 = ( 3) 2 = 3
3. 4 8 4 10.
= ab ⋅ 4 b
4. 3a = 4 3a
⇒ ab = 4 ( ab) = 4 a 2b 2
2
2 1
5. 3
4a = 2 a = (2a ) = (2a ) = 3 2a
2 6 2 2
6 3
= 4 a 2b 2 4
b= 4
a 2b 3
3 1
6. 3
2 2 = 3 2 2 ⋅ 2 = 6 2 3 = ( 2) = ( 2) = 2 6 2
11.
10 2
x10 = 15 x10 = x 15 = x 3 = 3 x2
5 3
2 1
25a 2 = 8 52 a 2 = (5a) 8 = (5a ) 4 = 4 5a (a + b) = 6 (a + b) = (a + b) 6 = (a + b)3 = 3 a + b
4 2 1
7. 3
2 2
12.
EJERCICIO 247
3
3 5 3 5 3 5 3 5 5 2a 5 3 2a 5 3 2a
⋅ = =
3. 4 5 ⋅ 5 = = =
1 3 3 3 5.
1. ⋅ = = 4 ⋅5 20
3
4a 2 3
2a 3
2 a 3 3 2a
3 3 32 3 4 52
3 2 3
2a 2ax 2a 2ax 2a 2ax 2ax 1 3x 3x 2 3
3x 2
5
⋅
2
=
5 2
=
5 2 ⋅ = = = 6. ⋅ = =
2. 4. 2ax x 3 3 3x
2 2 22 2 2ax 2ax 22 a 2 x 2 9x 3x 2 3
33 x 3

345. 3 4
32 a 3 3 4 32 a 3 3 4 9a 3 4 9a 3 1 5
22 a 5
4a 5
4a
7. ⋅ = = = 10. ⋅ = =
4
9a 4
3 a 2 3 4
3 a 4 4 3a a 5
8a 4 5
2 a 2 5
2 a 5 5 2a
2
6 3
3 x 2 2 3
6 3 x 2 2 3
6 9x 2
2 9x 3 2 5n mn 5n2 mn 5n2 mn 5n mn
8. ⋅ = = = 11. 3 mn ⋅ mn = =
3mn
=
3m
5 3 3x 3
32 x 2 5 3 33 x 3 15x 5x 3 m2n2
x 4
3x 2 x 4 3x 2 x 4 3x 2 4 3x 2 1 4
52 x 4
25x 4
25x
⋅ = = = 12. ⋅ = =
9. 3x 3 4 3 4 2 4 4 4 25ax
4
27x 2 4
3x 2 4
3 x 4 4 5a 25x 5 x 5a 5 x
EJERCICIO 248
3 − 2 1− 2 3 − 3 2 − 2 + 22 3 − 4 2 + 2 5 − 4 2
1. ⋅ = = = =4 2 −5
1+ 2 1− 2 1− 22 1− 2 −1
5 + 2 3 4 + 3 20 + 5 3 + 8 3 + 2 32 20 + 13 3 + 6 26 + 13 3
2. ⋅ = = = =2+ 3
4− 3 4+ 3 4 2 − 32 16 − 3 13
2 − 5 2 − 5 22 − 2 2 5 + 52 2 − 2 10 + 5 7 − 2 10 2 10 − 7
3. ⋅ = = = =
2+ 5 2 − 5 2 − 5
2 2 2−5 −3 3
7 +2 5 7+ 5 7 + 35 + 2 35 + 2 52
2
7 + 3 35 + 10 17 + 3 35
4. ⋅ = = =
7− 5 7+ 5 72 − 52 7−5 2
2 − 3 5 2 2 − 5 2 22 − 10 − 6 10 + 3 52 4 − 7 10 + 15 19 − 7 10
5. ⋅ = = =
2 2+ 5 2 2− 5 2 2 22 − 5 2 8−5 3
19 5 2 +4 3 95 2 + 76 3 95 2 + 76 3 95 2 + 76 3
6. ⋅ = = =
5 2 − 4 3 5 2 + 4 3 5 2 2 2 − 4 2 32 50 − 48 2
3 2 7 2 +6 3 21 22 + 18 6 42 + 18 6 42 + 18 6 21+ 9 6
7. ⋅ = = = =−
7 2 −6 3 7 2 +6 3 7 2 22 − 6 2 3 2 98 − 108 − 10 5
4 3 − 3 7 2 3 − 3 7 8 32 − 12 21 − 6 21 + 9 7 2 24 − 18 21 + 63 87 − 18 21 6 21 − 29
8. ⋅ = = = =
2 3+3 7 2 3−3 7 2 2 32 − 32 7 2 12 − 63 − 51 17
5 2 − 6 3 4 2 + 3 3 20 22 + 15 6 − 24 6 − 18 32 40 − 9 6 − 54 − 14 − 9 6 14 + 9 6
9. ⋅ = = = =−
4 2 −3 3 4 2 +3 3 4 2 −3 3
2 2 2 2 32 − 27 5 5
7 + 3 11 5 7 − 4 11 5 7 2 − 4 77 + 15 77 − 12 112 35 + 11 77 − 132 − 97 + 11 77
10. 5 7 + 4 11 ⋅ 5 7 − 4 11 = =
175 − 176
=
−1
= 97 − 11 77
5 2 7 2 − 4 2 112
5 + 2 7 − 2 10 7 5 − 2 50 + 7 2 − 2 20
11. ⋅ =
7 + 2 10 7 − 2 10 7 2 − 2 2 10 2
7 5 − 2 5 2 ⋅ 2 + 7 2 − 2 22 ⋅ 5 7 5 − 10 2 + 7 2 − 4 5 3 5 − 3 2 5− 2
= = = =
49 − 40 9 9 3
9 3 − 3 2 6 + 6 54 3 + 9 18 − 18 2 − 3 12
12. ⋅ =
6− 6 6+ 6 62 − 62
54 3 + 9 3 2 ⋅ 2 − 18 2 − 3 2 2 ⋅ 3 54 3 + 27 2 − 18 2 − 6 3 48 3 + 9 2 16 3 + 3 2
= = = =
36 − 6 30 30 10

346. a+ x 2 a− x x+2 + 2 x+2 + 2
⋅ 16. ⋅
13.
2 a+ x 2 a− x x+2 − 2 x+2 + 2
=
2 a 2 − ax + 2 ax − x 2
=
2a + ax − x ( x + 2)
2
+2 x+2 2 + 22
4a − x
=
a − ( x + 2)
2 2 2 2
2 x − 22
x + 2 + 2 2x + 4 + 2 x + 4 + 2 2x + 4
x − x−1 x − x−1 = =
14. ⋅ x+ 2− 2 x
x + x−1 x − x−1
a+4− a a+4− a
x2 − 2 x x − 1 + (x − 1) 2
17.
a+4 + a
⋅
a+4−
= a
x2 − (x − 1) 2
(a + 4) 2
−2 a+4 a + a2
x − 2 x2 − x + x − 1 =
=
x − ( x − 1)
= 2 x − 1− 2 x 2 − x (a + 4) 2
− a2
a + 4 − 2 a 2 + 4a + a 2 a + 4 − 2 a 2 + 4 a
= =
a + 4− a 4
a − a+1 a − a +1
15. ⋅ a + 2 − a 2 + 4a
a + a+1 a − a +1 =
2
a2 − 2 a a + 1 + (a + 1) 2
a+b− a−b a+b− a−b
=
⋅
a2 − (a + 1) 2 18.
a+b + a−b a+b− a−b
a− 2 a + a + a+1 (a + b) (a − b)
2 2 2
= −2 a+b a−b+
a − (a + 1) =
(a + b) 2
− (a − b) 2
2a + 1 − 2 a + a 2
= = 2 a 2 + a − 2a − 1 a + b − 2 a 2 − b2 + a − b 2a − 2 a 2 − b 2 a − a 2 − b2
−1 = = =
a+b− a+b 2b b
EJERCICIO 249
3
⋅
2+ 3 + 5 ( )
( )
1.
2 + 3− 5 2 + 3 + 5
6 + 9 + 15
=
( ) ( )
2+ 3 − 5
2 2
=
3 + 6 + 15 3 + 6 + 15 2 6 6 6 + 2 36 + 2 90 6 6 + 12 + 6 10 6 6 + 2 + 10 2 + 6 + 10
= ⋅ = = = =
( )
2 + 2 6 + 3− 5 2 6 2 6 2 6
2
24 24 ( )
4
2
⋅
( 2+ 3 − 6 )
2.
2 + 3+ 6 ( 2+ 3) − 6
2 + 6 − 12
=
( 2+ 3 − ) ( 6)
2 2
2 + 6 − 2 3 2 + 6 − 2 3 2 6 + 1 4 6 + 2 + 12 + 6 − 4 18 − 2 3 5 6 + 14 − 12 2 − 2 3
= = ⋅ = =
2 + 2 6 + 3− 6 2 6−1 2 6+1
2
2 6 −1 23 ( )

347. 2− 3
⋅
2+ 3 − 5 ( ) 3+ 5 ( )
2+ 3 − 5
3.
2+ 3+ 5 2+ 3 − 5 ( ) 4.
2 + 3+ 5
⋅
( 2+ 3) − 5
4 − 3 − 2 5 + 15
= 6 + 10 + 3 − 5
(2 + 3) − ( 5) 2 2
=
( 2+ 3 − ) ( 5)
2 2
1 − 2 5 + 15
= 10 + 6 − 2
4 + 4 3 + 3− 5 =
2 + 2 6 + 3− 5
1 − 2 5 + 15 2 − 4 3
= ⋅ 10 + 6 − 2 2 6
2+ 4 3 2− 4 3 = ⋅
2 6 2 6
2 − 4 3 − 4 5 + 8 15 + 2 15 − 4 45
= 2 60 + 2 36 − 4 6
22 − 4 3( )2
=
(2 6 ) 2
2 − 4 3 − 4 5 + 10 15 − 12 5
= 4 15 + 12 − 4 6
− 44 =
24
=
(
2 2 3 + 8 5 − 5 15 − 1 )= 2 3 + 8 5 − 5 15 − 1 (
4 15 + 3 − 6 )= 15 + 3 − 6
44 22 =
24 6
6+ 3+ 2 ( 6+ 3 + 2 )
5.
6+ 3− 2
⋅
( 6+ 3 + 2 ) 2− 5
⋅
( )
2 + 5 + 10
6 + 3 + 2 + 2 18 + 2 12 + 2 6
6.
2 + 5 − 10 ( 2+ 5) + 10
= 2 − 5 + 20 − 50
( 6+ 3 − ) ( 2)
2 2
=
2 + 2 10 + 5 − 10
11 + 6 2 + 4 3 + 2 6
= 2 5 − 5 2 − 3 2 10 + 3
6 + 2 18 + 3 − 2 = ⋅
2 10 − 3 2 10 + 3
11 + 6 2 + 4 3 + 2 6 2 18 − 7
= ⋅ 4 50 + 6 5 − 10 20 − 15 2 − 6 10 − 9
2 18 + 7 2 18 − 7 =
22 18 − 77 + 12 36 − 42 2 + 8 54 − 28 3 + 4 108 − 14 6
40 − 9
=
(2 )
2
18 − 49 =
20 2 + 6 5 − 20 5 − 15 2 − 6 10 − 9
31
66 2 − 77 + 72 − 42 2 + 24 6 − 28 3 + 24 3 − 14 6
= 5 2 − 14 5 − 6 10 − 9
72 − 49 =
31
24 2 − 4 3 + 10 6 − 5
=
23
EJERCICIO 250
2 + 5 1+ 5
2 2− 3 2− 6 2− 6 3. ⋅
1. ⋅ = = = 6 −2 1− 5 1+ 5
2+ 3 2− 3 2−3 −1
2+2 5 + 5 +5 7+3 5 7+3 5
= = =−
1− 5 −4 4
3 3 +2 5
2. ⋅
3 −2 5 3 +2 5 2+ 5 2+ 5
4. ⋅
2− 5 2+ 5
3 + 2 15 3 + 2 15 3 + 2 15
= = =−
3 − 20 − 17 17 2 + 2 10 + 5 7 + 2 10 7 + 2 10
= = =−
2−5 −3 3

348. 2 3− 7 3− 7 5 2 +3 3 3 2 +4 3
5. ⋅ 7. ⋅
3+ 7 3− 7 3 2 −4 3 3 2 +4 3
6 − 2 21 − 21 + 7 13 − 3 21 3 21 − 13 30 + 29 6 + 36 66 + 29 6 66 + 29 6
= = = = = =−
3−7 −4 4 18 − 48 − 30 30
6 + 2 5 2 6 + 5 12 + 5 30 + 10 22 + 5 30 7 − 2 11 2 7 − 11 14 − 5 77 + 22 36 − 5 77
6. ⋅ = = 8. ⋅ = =
2 6− 5 2 6+ 5 24 − 5 19 2 7 + 11 2 7 − 11 28 − 11 17
EJERCICIO 251
x + 10 − x + 19 = − 1
9.
x−8=2 6. 15 − 7 x − 1 = 12
( ) ( )
3 2 2
1. x + 10 = x + 19 − 1
( ) 3= 7x − 1
2 3
x − 8 = 22 x + 10 = x + 19 − 2 x + 19 + 1
x − 8= 4 33 = (
3 7x − 1 )
3
− 10 = − 2 x + 19
x = 12 27 = 7 x − 1
5 = x + 19
28 = 7 x
2. 5 − 3x + 1 = 0 ( )
2
4= x 52 = x + 19
5 = 3x + 1
25 = x + 19
5 = (3x + 1)
2
6= x
2
25 = 3x + 1
x + x+ 7 =7 4 x − 11 = 7 2 x − 29
24 = 3x 7. 10.
8= x ( ) (
2
x+ 7 = 7− x )
2
( ) (
2
4 x − 11 = 7 2 x − 29 )2
x + 7 = 49 − 14 x + x 4 x − 11 = 49 (2 x − 29)
3. 7 + 3 5x − 2 = 9
4 x − 11 = 98 x − 1. 421
3 5x − 2 = 2 7 = 49 − 14 x
1. 410 = 94 x
( ) 1= 7 − 2 x
3
3 5x − 2 = 23 15 = x
5x − 2 = 8 − 6= − 2 x
11. 5x − 19 − 5x = − 1
5x = 10 3= x
( ) ( )
2 2
5x − 19 = 5x − 1
x=2 32 = ( ) x
2
9= x 5x − 19 = 5x − 2 5x + 1
9 x 2 − 5 − 3x = − 1
4. − 20 = − 2 5x
9 x 2 − 5 = 3x − 1 10 = 5x
3x − 5 + 3x − 14 = 9
( )
8.
9 x 2 − 5 = (3x − 1) 100 = 5x
2 2
( ) ( )
2 2
3x − 5 = 9 − 3x − 14 20 = x
9 x − 5 = 9 x − 6x + 1
2 2
3x − 5 = 81 − 18 3x − 14 + 3x − 14
− 6 = − 6x 12.
x − 2 + 5 = x + 53
− 72 = − 18 3x − 14
1= x
( ) ( )
2 2
x− 2 +5 = x + 53
( )
2
4 =
2
3x − 14
x2 − 2x + 1 = 9 − x x − 2 + 10 x − 2 + 25 = x + 53
5.
16 = 3x − 14
10 x − 2 = 30
( x − 1) 2
= 9− x 30 = 3x
x − 1= 9 − x 10 = x x−2=3
2 x = 10 x− 2= 9
x=5 x = 11

349. 13. 9 x − 14 = 3 x + 10 − 4 9 x + 7 − x − 16x − 7 = 0
18.
( ) ( ) ( ) ( )
2 2
9 x − 14 = 3 x + 10 − 4 2 2
9x + 7 − x = 16 x − 7
9 x − 14 = 9 ( x + 10) − 24 x + 10 + 16
9 x + 7 − 2 9 x 2 + 7 x + x = 16 x − 7
− 14 = 90 − 24 x + 10 + 16
− 120 = − 24 x + 10
− 2 9 x 2 + 7 x = 6 x − 14
(− 2 )
9 x 2 + 7 x = (6 x − 14)
2 2
5 = x + 10
25 = x + 10
4 (9 x 2 + 7 x ) = 36x 2 − 168 x + 196
15 = x
36 x 2 + 28x = 36 x 2 − 168 x + 196
14. x − 16 − x + 8 = − 4
196 x = 196
( ) ( )
2 2
x − 16 = x+8−4 x =1
x − 16 = x + 8 − 8 x + 8 + 16
− 40 = − 8 x + 8
9 x + 10 − 2 x + 3 = x − 2
5= x + 8 19.
( ) ( )
2 2
25 = x + 8 9 x + 10 − 2 x + 3 = x− 2
17 = x 9 x + 10 − 4 9 x 2 + 37 x + 30 + 4 ( x + 3) = x − 2
5x − 1 + 3 = 5x + 26
15. 13x + 22 − x + 2 = 4 9 x 2 + 37 x + 30
( ) ( )
2 2
5x − 1 + 3 = 5x + 26 12 x + 24 = 4 9 x 2 + 37 x + 30
5x − 1 + 6 5x − 1 + 9 = 5x + 26
3x + 6 = 9 x 2 + 37 x + 30
6 5x − 1 = 18
(3x + 6) ( )
2 2
= 9 x 2 + 37 x + 30
5x − 1 = 3
9 x 2 + 36x + 36 = 9 x 2 + 37 x + 30
5x − 1 = 9
5x = 10 36 − 30 = 37 x − 36 x
x= 2 6= x
16. 13 − 13 + 4 x = 2 x
(13 − 2 x ) = ( )
2 2
13 + 4 x
18 x − 8 − 2 x − 4 − 2 2 x + 1 = 0
169 − 52 x + 4 x = 13 + 4 x 20.
( ) ( )
2 2
− 52 x = − 156 18 x − 8 = 2x − 4 + 2 2x + 1
x=3 18 x − 8 = 2 x − 4 + 4 4 x 2 − 6x − 4 + 4 (2 x + 1)
x=9
18 x − 8 = 10 x + 4 4 x 2 − 6x − 4
17. x− 4 + x+4 = 2 x−1
8x − 8 = 4 4 x 2 − 6x − 4
( ) ( )
2 2
x− 4 + x+ 4 = 2 x−1
2 x − 2 = 4 x2 − 6x − 4
x − 4 + 2 x − 16 + x + 4 = 4 ( x − 1)
2
(2 x − 2) ( )
2 2
= 4 x2 − 6x − 4
2 x + 2 x − 16 = 4 x − 4
2
4 x 2 − 8x + 4 = 4 x2 − 6x − 4
(2 )
x 2 − 16 = (2 x − 4)
2 2
− 2x = − 8
4 x 2 − 64 = 4 x 2 − 16x + 16 x=4
− 80 = − 16 x
5= x

350. 21. 8 x + 9 − 18 x + 34 + 2 x + 7 = 0
x − a + x + a = 4 x − 2a
( ) ( )
2 2 24.
8x + 9 + 2 x + 7 = 18 x + 34
( x− a + x+ a = ) (
2
4 x − 2a )
2
8 x + 9 + 2 16 x 2 + 74 x + 63 + 2 x + 7 = 18 x + 34
x − a + 2 x 2 − a 2 + x + a = 4 x − 2a
10 x + 16 + 2 16 x + 74 x + 63 = 18 x + 34
2
2 x + 2 x 2 − a 2 = 4 x − 2a
2 16 x + 74 x + 63 = 8 x + 18
2
2 x 2 − a 2 = 2 x − 2a
16 x + 74 x + 63 = 4 x + 9
2
x2 − a2 = x − a
( 16x )
+ 74 x + 63 = (4 x + 9)
2
( ) = (x − a)
2 2
2 2
x2 − a2
16 x 2 + 74 x + 63 = 16 x 2 + 72 x + 81
x 2 − a 2 = x 2 − 2ax + a 2
2 x = 18
2ax = 2a 2
x=9
x=a
22. x − 2 − x − 5 = 4 x − 23
x − 4ab = − 2b + x
( ) ( )
2 2 25.
x−2 − x−5 = 4 x − 23
( ) ( )
2 2
x − 4ab = x + 2b
x − 2 − 2 x 2 − 7 x + 10 + x − 5 = 4 x − 23
x − 4ab = x − 4b x + 4b 2
2 x − 7 − 4 x + 23 = 2 x 2 − 7 x + 10
4b x = 4b 2 + 4ab
− 2 x + 16 = 2 x 2 − 7 x + 10
x =b+ a
− x + 8 = x 2 − 7 x + 10
( x ) = (a + b)
2 2
(8 − x) ( )
2 2
= x 2 − 7 x + 10
x = (a + b)
2
64 − 16 x + x = x − 7 x 10
2 2
54 = 9 x
6= x x + 4a − x + 2 a − 1 = 1
26.
( x + 4a − 1 = ) ( 2
x + 2a − 1 )
2
23. x + 6 − 9 x + 70 = − 2 x + 9 x + 4 a − 2 x + 4 a + 1 = x + 2a − 1
( ) ( ) 2a + 2 = 2 x + 4a
2 2
x+6+2 x+9 = 9 x + 70
x + 6 + 4 x 2 + 15x + 54 + 4 ( x + 9) = 9 x + 70 a + 1 = x + 4a
(a + 1) = ( )
2 2
5x + 42 + 4 x 2 + 15x + 54 = 9 x + 70 x + 4a
a 2 + 2a + 1 = x + 4a
4 x 2 + 15x + 54 = 4 x + 28
a 2 − 2a + 1 = x
x 2 + 15x + 54 = x + 7
(a − 1)
2
=x
( x + 15x + 54 = ( x + 7) )
2 2
2
x 2 + 15x + 54 = x 2 + 14 x + 49
x= −5

351. EJERCICIO 252 6
= x+8− x
5.
x+8
1. x + x+5=
10 6= (x + 8) 2
− x ( x + 8)
x
6 = x + 8 − x 2 + 8x
x 2 + x 2 + 5x = 10
x 2 + 8x = x + 2
( ) ( )
2 2
x 2 + 5x = 10 − x 2
( )
x 2 + 8 x = ( x + 2)
2 2
x 2 + 5x = 100 − 20x + x 2
25x = 100 x 2 + 8x = x2 + 4 x + 4
x= 4 4x = 4
x=1
8
55 6. x− 3+ = x+9
2. 4 x − 11 + 2 x = x+9
4 x − 11
(4 x − 11) 2
+ 2 x (4 x − 11) = 55 (x − 3)(x + 9) + 8 = (x + 9) 2
x 2 + 6 x − 27 + 8 = x + 9
4 x − 11 + 2 4 x 2 − 11x = 55
( x 2 + 6 x − 27 = ( x + 1) )
2 2
2 4 x 2 − 11x = 66 − 4 x
4 x 2 − 11x = 33 − 2 x x 2 + 6 x − 27 = x 2 + 2 x + 1
4 x = 28
( )
4 x 2 − 11x = (33 − 2 x)
2 2
x= 7
4 x 2 − 11x = 1. 089 − 132 x + 4 x 2 x+4 x + 11
121x = 1. 089 7. =
x−2 x −1
x=9
( x+4 )( x −1 = ) ( x + 11 )( x−2 )
4 x + 3 x − 4 = x + 9 x − 22
2 2
3. x − x− 7 =
x 18 = 6 x
x2 − x2 − 7x = 4 3= x
( x − 4) ( ) ( 3) = ( x )
2 2 2
= x − 7x
2 2
x 2 − 8 x + 16 = x 2 − 7 x 9= x
16 = x 9
8. 2 x + 6 − 4x − 3 =
. 4x − 3
2 (x + 6)(4 x − 3) − (4 x − 3) = 9 2
x−2 x +1
4. = 2 4 x + 21x − 18 − (4 x − 3) = 9
2
x+4 x + 13
2 4 x 2 + 21x − 18 − 4 x + 3 = 9
( x−2 )( x + 13 = ) ( x +1 )( x+4 )
(2 4 x 2 + 21x − 18 = (4 x + 6) )
2 2
x 2 + 11 x − 26 = x 2 + 5 x + 4
6 x = 30 4 (4 x 2 + 21x − 18) = 16x 2 + 48 x + 36
x =5 16 x 2 + 84 x − 72 = 16 x 2 + 48 x + 36
36 x = 108
( x) 2
= 52
x= 3
x = 25

352. 6
10. x + 14 − x − 7 =
x −2 2 x −5 x−7
9. =
x + 2 2 x −1
(x + 14)(x − 7) − (x − 7) = 6 2
( )(
x − 2 2 x −1 = 2 x −5 ) ( )( x+2 ) x + 7 x − 98 − ( x − 7) = 6
2
2 x − 5 x + 2 = 2 x − x − 10
2 2
x 2 + 7 x − 98 − x + 7 = 6
12 = 4 x
( )
x 2 + 7 x − 98 = ( x − 1)
2 2
3= x
x 2 + 7 x − 98 = x 2 − 2 x + 1
(3)2 = ( x )
2
9 x = 99
9= x
x = 11
EJERCICIO 253
− 12 = 22 ⋅ 3(− 1) = 2 3 − 1 = 2 i 3
− a 2 = a 2 (− 1) = a − 1 = a i
7.
1.
− 7 = 7 (− 1) = 7 (− 1) =
− 2 = 2 (− 1) = 2 − 1 = 2 i
8. 7i
2.
− 27 = 32 ⋅ 3(− 1) = 3 3 − 1 = 3i 3
( )
9.
3. 2 − 9 = 2 32 − 1 = 6 − 1 = 6 i
10. − 4m4 = 2 2 m2 m2 (− 1) = 2m2 − 1 = 2 i m2
4. − 81 = 9 (− 1) = 9 − 1 = 9 i
2
= 2 (− 1) =
1 1 1 1
5. − 6 = 6 (− 1) = 6 − 1 = 6 i 11. −
16 4 4
−1= i
4
6. 3 − b = 3 b b (− 1) = 3b (− 1) = 3b
4 2 2 2 2
i 12. − a 2 − b2 = − 1(a 2 + b 2 ) = − 1 a 2 + b2 = i a 2 + b 2
EJERCICIO 254
3 − 64 = 3 82 (− 1) = 24 i
22 (− 1) = 2 i
4.
1. −4=
− 5 − 49 = − 5 72 (− 1) = − 35i
− 16 = 42 (− 1) = 4 i 7. 3 − 20 = 3 22 ⋅ 5 (− 1) = 6 5 i
= 2 i + 4 i = 6i 3 − 121 = 3 11 (− 1) = 33i 2
− 2 − 45 = − 2 32 ⋅ 5(− 1) = − 6 5 i
= 24 i − 35i + 33i = 22 i
52 (− 1) = 5i 3 − 125 = 3 52 ⋅ 5(− 1) = 15 5 i
2. − 25 = 2 2
( )
5. 2 − a = 2 a − 1 = 2a i
= 6 5 i − 6 5 i + 15 5 i = 15 5 i
− 81 = 9 2 (− 1) = 9 i − a = a a (− 1) = a i
4 2 2 2
− − 49 = − 72 (− 1) = − 7 i − a = a a (− 1) = a i a 4 (− 1) = a 2 i
6 4 2 3
8. − a4 =
= 5i + 9 i − 7 i = 7 i
= 2a i + a i + a i = i (2a + a + a )
4 − 9a 4 = 4 32 a 4 (− 1) = 12a 2 i
2 3 2 3
3. 2 − 9 = 2 32 (− 1) = 6 i 6. − 18 = 3 ⋅ 2 (− 1) = 3 2 i
2
− 3 − 4a 4 = − 3 2 2 a 4 (− 1) = − 6a 2 i
3 − 100 = 3 102 (− 1) = 30 i − 8 = 2 ⋅ 2 (− 1) = 2 2 i
2
= a 2 i + 12a 2 i − 6a 2 i = 7a 2 i
= 6 i + 30 i = 36 i 2 − 50 = 2 5 ⋅ 2 (− 1) = 10 2 i
2
= 3 2 i + 2 2 i + 10 2 i = 15 2 i

353. EJERCICIO 255 9. − 2 ⋅ 3 − 5 ⋅ − 10
= 2 − 1 ⋅ 3 5 − 1 ⋅ 10 −1
1. − 16 ⋅ − 25 5. 2 − 5 ⋅ 3 − 7
( − 1)
3
= 4 − 1⋅5 − 1 = 2 5 − 1⋅ 3 7 − 1 = 3 2 ⋅ 5⋅ 10
( ) 100 (− − 1)
( − 1) =3
2
= 20 −1
2
= 6 35
= 20 (− 1) = 6 35 (− 1)
= − 30 − 1
= − 20 = − 30 i
= − 6 35
− 81 ⋅ − 49 10. − 12 ⋅ − 27 ⋅ − 8 ⋅ − 50
2. − 3 ⋅ − 75
6. = 2 3 − 1⋅ 3 3 − 1⋅ 2 2 − 1⋅5 2 − 1
= 9 − 1⋅ 7 − 1 = 3 − 1 ⋅ 25 3 − 1
= 63 ( − 1)
2
= 5 32 ( −1 )
2 = 60 9 4 ( − 1) 4
= 63 (− 1) = 60 ⋅ 3⋅ 2 (1)
= 15 (− 1)
= − 63 = 360
= − 15
11. − 5 − x ⋅ 3 − y
3. 5 − 36 ⋅ 4 − 64 7. 2 − 7 ⋅ 3 − 28
= − 5 x − 1⋅3 y − 1
= 5⋅ 6 − 1 ⋅ 4 ⋅ 8 − 1 = 2 7 − 1⋅3 4 7 − 1
= 30 − 1 ⋅ 32 − 1
= 6 4 72 ( ) −1
2 = − 15 xy ( − 1) 2
( )
2
= − 15 xy (− 1)
= 960 −1 = 12 ⋅ 7 (− 1)
= 960 (− 1) = − 84
= 15 xy
= − 960 12. −4+ −9
8. − 49 ⋅ − 4 ⋅ − 9
− 3⋅ − 2 − 25 − − 16
4. = 7 − 1⋅ 2 − 1 ⋅ 3 − 1
( − 1) + 15( − 1)
2 2
= 3 − 1⋅ 2 − 1 3
10
= 42 e− 1j
( − 1) − 8 ( − 1) − 12 ( − 1)
2
= 6
2 2
= 42 e − 1j
−
= 6 (− 1) 10 (− 1) + 7 (− 1) − 12 (− 1)
= − 42 − 1
=− 6 = − 42 i = − 10 − 7 + 12 = − 5
−2 +3 −5 14. 2 − 2 + 5 − 3
13.
2 −2 −6 −5 −2−4 −3
2 4 ( − 1) + 6 10 ( − 1)
2 2
2 4 ( − 1) + 5 6 ( − 1)
2 2
− 6 10 ( − 1) − 18 ( − 1) − 8 6 ( − 1) − 20 9 ( − 1)
2 2 2 2
25
4 (− 1) − 90 (− 1) 4 (− 1) − 3 6 (− 1) − 60 (− 1)
= − 4 + 90 = − 4 + 3 6 + 60
= 86 = 56 + 3 6
EJERCICIO 256
− 16 4 −1 − 10 10 − 1 10 − 81 9 −1 9 9 3 9 3
1. = =2 2. = = = 5 3. = = = = =3 3
−4 2 −1 −2 2 −1 2 −3 3 −1 3 9 3

354. 2 − 18 6 2 −1 6 2 6 12 6 22 ⋅ 3
7. = = = = =2 3
− 90 3 10 − 1 10 −6 6 −1 6 36 6
4. = =3 =3 2
−5 5 −1 5
− 315 3 35 − 1 35
8. = =3 =3 5
− 150 5 6 −1 6 −7 7 −1 7
5. = =5 =5 2
−3 3 −1 3 4 − 27 4
27 − 1 27 4
2 1
9. = =4 = 9 = 4 32 = 3 4 = 3 2 = 3
4 −3 4
3 −1 3
10 − 36 60 − 1
= =6
6.
5 −4 10 − 1
4 − 300 4
300 − 1 300 4
2 1
10. = =4 = 25 = 4 5 2 = 5 4 = 5 2 = 5
4 − 12 4
12 − 1 12
EJERCICIO 257
1. 2 + 3 − 1 4. 5 + −1 7. 2 + − 2
5 − 2 −1 7 + 2 −1 4− − 3
9 + 7 −1
7+
7+ i
−1
6+ ( 2 −1− 3 −1 )
21+ 10 − 1
21+ 10 i 6+ ( 2 i − 3i )
2. − 4 − 5 − 1 6+ ( 2− 3 i )
− 2 + 8 −1 5. 3 − 2i
8. 7+ −5
5 − 8i
− 6 + 3 −1 2− −9
− 10 + 13 i
− 6 + 3i
− 2 + 3i − 4 + − 16
3. 12 − 11 − 1 6. 1 − i (3 + ) (
2 + 5 − 1 − 9 − 1 + 16 − 1 )
8 + 7 −1 4 + 3i
(3 + 2)+ ( 5 i − 3i + 4 i )
2 + 5i
20 − 4 − 1 (3 + 2)+ ( 5i + i)
5 + 2 + 7i
20 − 4 i
(3 + 2)+ ( 5 + 1)i
EJERCICIO 258
( ) (
1. 7 − 2 − 1 + 7 + 2 − 1 ) ( ) (
3. 9 + i 3 + 9 − i 3 ) ( ) (
5. 8 − 3 − 2 + 8 + 3 − 2 )
= (7 + 7) + (− 2 + 2) − 1 = (9 + 9) + (i − i ) 3 = (8 + 8) + (− 3 + 3) 2 − 1
= 7⋅2 = 9⋅ 2 = 8⋅ 2
= 14 = 18 = 16
( ) (
2. − 5 − 3 − 1 + − 5 + 3 − 1 ) ( ) (
4. − 7 − 5 − 1 + − 7 + 5 − 1 ) 6. ( 2+i 3 + ) ( 2 − i 3)
= (− 5 − 5) + (− 3 + 3) − 1 = (− 7 − 7) + (− 5 + 5) − 1 = ( 2+ 2 ) + (i − i ) 3
= − 5⋅ 2 = − 7⋅2
=2 2
= − 10 = − 14

355. EJERCICIO 259
( ) ( ) (
8. 4 + − 5 − 2 + − 3 )( )
5. (15 − 4 )( )
1. 3 − 2 − 1 − 5 + 3 − 1
− 1 − 8− 7 − 1
4+ −5
3− 2 − 1
15 − 4 − 1
− 2− − 3
− 5− 3 − 1
− 8+ 7 − 1
− 2−5 −1 2+ 5 −1− 3 −1
7+ 3 −1
− 2 − 5i
7 + 3i
2+( 5i − 3i )
( )(
2. 8 + 4 − 1 − 3 − 10 − 1 ) 2+( 5− 3 i )
8+ 4 −1
( )(
6. 11 + 80 − 1 − 3 − 50 − 1 ) 9. ( 2 −5 −1 − )( 3+ 6 −1 )
− 3 + 10 − 1 2 − 5i
11 + 80 − 1
5 + 14 − 1 − 3 + 50 − 1 − 3 − 6i
5 + 14 i
8 + 130 − 1 ( )
2 − 3 + (− 5i − 6 i )
( )(
3. − 1 − − 1 − − 7 − 8 − 1 )
− 1− −1
8 + 130 i
( 2− 3) + (− 11i )
+ 7+8 −1 ( 2− 3) − 11i
(
7. 5 − − 25 − 3 + 6 i ) ( )
(
10. 8 − − 7 − − 7 + − 3 )( )
6+ 7 − 1
5 − − 25
6 + 7i 8− − 7
− 3 − 6i
( )(
4. 4 − 7 − 1 − 5 − 3 − 1 ) (
2 + − 25 − 1 − 6 i ) 7− − 3
4− 7 −1
2 + (− 5i − 6 i ) (
15 + − 7 − 1 − 3 − 1 )
− 5+ 3 − 1
2 + (− 11i ) (
15 + − 7 i − 3 i )
− 1− 4 − 1
15 − ( )
2 − 11i
7+ 3 i
− 1− 4 i
EJERCICIO 260
5. ( 2+ −3 − )( 2− −3 )
( )(
1. 2 − − 1 − 2 + − 1 ) ( )(
3. − 3 − 7 − 1 − − 3 + 7 − 1 ) 2 + − 3− 2 + − 3
2− −1− 2− −1 − 3− 7 − 1 + 3− 7 − 1 = ( )
2 − 2 + (1 + 1) 3 − 1
= (2 − 2) + (− 1 − 1) − 1 = (− 3 + 3) + (− 7 − 7) − 1 = 2 3 −1
= − 2 −1 = − 7⋅2 − 1
= 2 3i
= − 14i
= − 2i
(
6. − 5 − 4 − 2 − − 5 + 4 − 2 ) ( )
( ) (
2. 7 + 3 − 1 − 7 − 3 − 1 ) ( )(
4. − 5 + − 2 − − 5 − − 2 ) − 5−4 −2+ 5−4 −2
7+ 3 −1− 7+ 3 −1 − 5+ − 2 + 5+ − 2 − 5−4 −2
= (7 − 7) + (3 + 3) − 1 = (− 5 + 5) + (1 + 1) 2 − 1 + 5− 4 − 2
= 6 −1 = 2 2 −1 −8 − 2 = − 8 2 −1
= 6i =2 2i = −8 2i

356. EJERCICIO 261 EJERCICIO 262
1. 3 − 4 − 1 5. 3 + − 2 ( )( )
1. 1 − i 1 + i
5− 3 − 1 5− − 2 = 1− i 2
15 + 5 2 − 1 ( − 1)
2
15 − 20 − 1 = 1−
− 9 − 1 + 12 ( − 1) 2
− 3 2 −1− 2 2 ( − 1) 2
= 1 − (− 1)
= 1+ 1= 2
15 − 29 − 1 + 12 (− 1) 15 + 2 2 − 1 − 4 (− 1)
15 − 29 i − 12 15 + 2 2 i + 2
(
2. 3 + 2 − 1 3 − 2 − 1 )( )
3 − 29 i 17 + 2 2 i (
= 32 − 2 − 1 ) 2
6. 4 + − 3 [
= 9 − 4 (− 1) ]
2. 4+ 7 −1 = 9 + 4 = 13
5− − 2
− 3− 2 − 1 3. ( )( 2 + 5i)
2 − 5i
20 + 5 3 − 1
= ( 2 ) − (5i )
2 2
− 12 − 21 − 1
( − 1)
2
− 4 2 −1− 2 3
( − 1) [ ( )]
2 2
− 8 − 1 − 14 = 2 − 25 − 1
20 + 5 3 i − 4 2 i − 6 (− 1)
− 12 − 29 − 1 − 14 (− 1)
= 2 − [25(− 1)]
− 12 − 29 i + 14 (
20 + 5 3 − 4 2 i + 6 )
= 2 + 25 = 27
2 − 29 i (20 + 6 ) + (5 3−4 2 i )
( )(
4. 2 3 + 4 i 2 3 − 4 i )
2 + −5
= (2 3) − (4 i )
7. 2 2
3. 7 − − 4
[
( )]
3+ −2
= 4 (3) − 16 − 1
2
5+ − 9
6 + 3 5 −1
35 − 5 4 − 1 = 12 − [16 (− 1)]
+ 2 2 −1+ 5 2 ( − 1) 2
+ 7 9 −1− 4 9 ( − 1) 2
= 12 + 16 = 28
6 + 15 i + 4 i + 10 (− 1)
35 − 10 − 1 + 21 − 1 − 36 (− 1) (
5. 5 − − 2 5 + − 2 )( )
35 − 10 i + 21i + 6
6+ ( )
15 i + 2 i − 10
= 25 − ( −2 )
2
41 + 11i ( 6 − 10 + ) ( 15 + 2 i)
= 25 − ( )
2
2 −1
4. 8 − − 9
8. 5+ − 3
5+ 2 − 3
= 25 − 2 [ ( − 1) ] 2
11 + − 25 25 + 5 3 − 1 [
= 25 − 2 (− 1) ]
= 25 + 2 = 27
88 − 11 9 − 1 ( − 1)
2
+ 2 5 3 −1+ 2 9
( )
2 ( )(
6. − 9 − − 5 − 9 + − 5 )
+ 8 25 − 1 − 9 25 −1 5 + 15 i + 2 15 i + 6 (− 1)
= 81 − ( − 5 )
2
88 − 33i + 40 i − 15 (− 1) 5 + 3 15 i − 6
= 81 − ( 5 − 1)
2
88 + 7 i + 15 3 15 i − 1
= 81 − [5 (− 1)]
103 + 7 i
= 81 + 5 = 86

357. EJERCICIO 263
1+ − 1 1+ − 1 8 − 5i 7 − 6 i 56 − 83i + 30 i 2 56 − 83i − 30 26 − 83i
1. ⋅ ⋅ = = =
1− − 1 1+ − 1 4.
7 + 6 i 7 − 6i 49 − 36 i 2 49 + 36 85
( − 1) = 1 + 2 i − 1 = 2 i = i ( ) (− 1)
2 2
1+ 2 − 1 + 4 + − 3 5 + 4 − 3 20 + 21 3 − 1 + 4 3
= 5. 5 − 4 − 3 ⋅ 5 + 4 − 3 =
1 − ( − 1) 1+ 1 ( )
2 2
2 25 − 4 3 − 1
3+ − 1 3+ − 1 20 + 21 3 i − 12 8 + 21 3 i
⋅ = =
2.
3− − 1 3+ − 1 25 − (− 48) 73
9 + 6 − 1 + (− 1) 9 + 6 i − 1 8 + 6 i 4 + 3i 2+2 −5 4 2+ −5
= = = = ⋅
( )
6.
9− −1
2
9+1 10 5 4 2 − −5 4 2 + −5
5− 3 − 1 3− 4 − 1
=
4 ( 2 ) + 9 2 5 − 1 + 2 ( 5) (− 1)
2 2
⋅
16 ( 2 ) − ( 5 − 1)
3. 2 2
3+ 4 − 1 3− 4 − 1
15 − 29 − 1 + 12 (− 1) 15 − 29 i − 12 3 − 29 i 8 + 9 10 i − 10 9 10 i − 2
= = = = =
(
9− 4 −1
2
) [
9 − 16 (− 1) ]
25 32 + 5 37
EJERCICIO 265
1. 3 x 2 − 5x + 2 = 0 2. Continuación
x 2 = 16 x − 63
4.
5x 2 x − 16 x = − 63
2
x2 − + =0 x+
3
=±
361
3 3 8 64 x 2 − 16 x + 64 = 64 − 63
5x 2
x2 − =−
3 3 x=− ±
3 19
8 8
(x − 8) 2
=1
5x 25 25 2
− 3 + 19 16 x − 8= ±1
x −
2
+ = − x1 = = =2
3 36 36 3 8 8 x = 8±1
25 − 24
2
 5 − 3 − 19 22 11 x1 = 8 + 1 = 9
x−  = x2 = =− =−
 6 36 8 8 4 x2 = 8 − 1 = 7
5 1
x− =±
6 6 3. x 2 + 11x = − 24 5. 12 x − 4 − 9 x = 0
2
5 1 121 121
x= ± x 2 + 11x + = − 24 − 9 x 2 + 12 x = 4
6 6 4 4
5+ 1 9 x 2 − 12 x = − 4
11 121 − 96
2
x1 = =1 
x+  = 12 x 4
6  2 4 x2 − =−
5− 1 4 2 9 9
x2 = = = 11 25
6 6 3 x+ =± x −
2 4x 4 4 4
+ = −
2. 4 x + 3x − 22 = 0
2 2 4 3 9 9 9
11 5 2
3x 22 x= − ±  2
x2 + = 2 2  x−  = 0
4 4  3
− 11 + 5 − 6
3x 9 11 9 x1 = = =−3 2
x +
2
+ = + 2 2 x− =0
4 64 2 64 3
− 11 − 5 − 16
 3
2
352 + 9 x2 = = = −8 2
x+  = 2 2 x1 = x2 =
 8 64 3
Continúa

358. 6. 5x − 7 x − 90 = 0
2
10. 12 x − 7 x 2 + 64 = 0 176x = 121 + 64 x 2
7 ± 7 2 − 4 (5) (− 90) 13.
x= − 7 x + 12 x + 64 = 0
2
2 (5) 64 x 2 − 176 x + 121 = 0
− 12 ± (12) − 4 (− 7) (64)
2
176 ± (176) − 4 (64)(121)
2
7 ± 49 + 1. 800 x=
x= 2 (− 7) x=
2 ( 64)
10
7 ± 1.849 7 ± 43 − 12 ± 144 + 1. 792 176 ± 30 .976 − 30 . 976
x= = x=
10 10 − 14 =
128
7 + 43 50 − 12 ± 1. 936 176 3
x1 = = =5 x= x1 = x2 = = 18
10 10 − 14 128
7 − 43 36 − 12 ± 44
x2 = =− = − 35
3
x=
10 10 − 14
7. 6 x 2 = x + 222 − 12 + 44 32
x1 = =− =−22
− 14
7
14
6x − x − 222 = 0
2
14. 8 x + 5 = 36 x 2
− 12 − 44 − 56
1 ± 1 + 4 (6)( 222)
2 x2 = = =4 − 36 x + 8 x + 5 = 0
2
x= − 14 − 14
2 (6) − 8 ± (8) − 4 (− 36) (5)
2
x=
x=
1 ± 5. 329 2 (− 36)
12 11. x 2 = 15x − 56 − 8 ± 64 + 720
1 ± 73 x=
x= x 2 + 15x + 56 = 0 − 72
12
− 15 ± (15) − 4 (1)(56) − 8 ± 784
2
1 + 73 74
x1 = = =61 x= x=
2 (1) − 72
6
12 12
1 − 73 − 72 − 15 ± 225 − 224 − 8 ± 28
x2 = = =−6 x=
12 12 x= − 72
2
− 15 ± 1 − 8 + 28 20 5
8. x + 11 = 10 x 2 x= x1 = =− =−
2 − 72 72 18
10 x 2 − x − 11 = 0
− 15 + 1 − 14 − 8 − 28 − 36 1
x1 = = =−7 x2 = = =
1 ± 12 − 4 (10) (− 11) 2 2 − 72 − 72 2
x= − 15 − 1 − 16
2 (10)
x2 = = = −8
2 2
1 ± 1 + 440
x=
20
1 ± 21
x= 12. 32 x + 18 x − 17 = 0
2
15. 27 x 2 + 12 x − 7 = 0
20
1 + 21 22 − 18 ± (18) − 4 ( 32) (− 17) − 12 ± (12) − 4 (27) (− 7)
2
2
x1 = = = 1 10
1
x=
20 20 2 ( 32) x=
2 ( 27)
1 − 21 − 20
x2 = = = −1 − 18 ± 324 + 2 .176 − 12 ± 144 + 756
20 20 x= x=
64 54
9. 49 x − 70 x + 25 = 0
2
− 18 ± 2 .500 − 12 ± 900
x= x=
70 ± (70) − 4 (49)( 25)
2
64 54
x= − 18 ± 50
2 ( 49) x= x1 =
− 12 + 30 18 1
= =
64 54 54 3
70 ± 4 . 900 − 4 . 900 − 18 + 50 32 1
x= x1 = = = − 12 − 30 − 42 7
98 64 64 2 x2 = = =−
54 54 9
70 5
x1 = x2 = = − 18 − 50 − 68
98 7 x2 = = = − 1 16
1
64 64

359. 17. 8 x 2 − 2 x − 3 = 0 18. 105 = 2 x 2 + x
16. 15x = 25x 2 + 2
2 ± ( 2) − 4 (8) (− 3) 2 x + x − 105 = 0
2
2
25x 2 − 15x + 2 = 0 x=
2 (8) − 1 ± (1) − 4 ( 2) (− 105)
2
15 ± (15) − 4 ( 25)( 2) x=
2
x= 2 ± 4 + 96 2 ( 2)
2 ( 25) x=
16 − 1 ± 1 + 840
15 ± 225 − 200 x=
x= 2 ± 100 4
50 x=
16 − 1 ± 841
15 ± 25 2 ± 10 x=
x= x= 4
50 16 − 1 ± 29
15 + 5 20 2 2 + 10 12 3 x=
x1 = = = x1 = = = 4
50 50 5 16 16 4 − 1 + 29 28
15 − 5 10 1 2 − 10 − 8 1 x1 = = =7
x2 = = = x2 = = =−
4 4
50 50 5 16 16 2 − 1 − 29 − 30
x2 = = =−72
1
4 4
EJERCICIO 266
(
3. 9 x + 1 = 3 x − 5 − x − 3 x + 2
2
) ( )( ) 25(x + 2) = (x − 7) − 81
2 2
x (x + 3) = 5x + 3
5.
1.
9 x + 1 = 3x 2 − 15 − x 2 + x + 6 25x 2 + 100 x + 100 = x 2 − 14 x + 49 − 81
x 2 + 3x = 5 x + 3
9 x + 1= 2 x 2 + x − 9 24 x 2 + 114 x + 132 = 0
x 2 + 3x − 5 x − 3 = 0
0 = 2 x − 8 x − 10
2
4 x 2 + 19 x + 22 = 0
x2 − 2x − 3= 0
8± (− 8) 2
− 4 (2) (− 10) − 19 ± (19) − 4 ( 4)( 22)
2
2± (− 2)2
− 4 (1)(− 3) x=
2 ( 2)
x=
2 ( 4)
x=
2 (1)
8 ± 64 + 80 − 19 ± 361 − 352
2 ± 4 + 12 x= x=
x= 4 8
2 − 19 ± 3
8 ± 12
2± 4 x= x=
x= 4 8
2 − 19 + 3 − 16
8 + 12 20
2+ 4 6 x1 = = =5 x1 = = =−2
x1 = = =3 4 4 8 8
2 2 − 19 − 3 − 22
8 − 12 − 4
2− 4 − 2 x2 = = = −1 x2 = = =−243
x2 = = = −1 4 4 8 8
2 2
4. (2 x − 3) − (x + 5)
2 2
= − 23
4 x 2 − 12 x + 9 − x 2 − 10x − 25 + 23 = 0
2. 3 (3x − 2) = (x + 4)(4 − x )
9 x − 6 = − x 2 + 16
3x 2 − 22 x + 7 = 0 ( ) (
6. 3x x − 2 − x − 6 = 23 x − 3 ) ( )
22 ± (22) − 4 (3)(7) 3x − 6 x − x + 6 = 23x − 69
2 2
x 2 + 9 x − 22 = 0 x=
2 (3) 3x 2 − 30 x + 75 = 0
− 9 ± (9) − 4 (1) (− 22)
2
x= 22 ± 400 x 2 − 10 x + 25 = 0
2 (1) x=
9 ± 169
6
22 ± 20
10 ± (− 10) 2
− 4 (1)( 25)
x= x=
2 x= 2 (1)
6
− 9 + 13 4 22 + 20 42 10 ± 100 − 100
x1 = = =2 x1 = = =7 x=
2 2 6 6 2
− 9 − 13 − 22 22 − 20 2 1 10
x2 = = = − 11 x2 = = = x1 = x2 = = 5
2 2 6 6 3 2

360. ( ) ( )
7. 7 x − 3 − 5 x 2 − 1 = x 2 − 5x x + 2 ( ) 10. (x + 4) − (x − 3)
3 3
= 343
7 x − 21 − 5x 2 + 5 = x 2 − 5x 2 − 10x x 3 + 12 x 2 + 48x + 64 − x 3 + 9 x 2 − 27 x + 27 − 343 = 0
7 x − 16 − 5x 2 = − 4 x 2 − 10x 21x 2 + 21x − 252 = 0
− x + 17 x − 16 = 0
2
− x 2 − x + 12 = 0
− 17 ± (17) − 4 (− 1)(− 16) (− 1) − 4 (− 1) (12)
2 2
1±
x= x=
2 (− 1) 2 (− 1)
− 17 ± 225 1 ± 49
x= x=
−2 −2
− 17 ± 15 1± 7
x= x=
−2 −2
− 17 + 15 − 2 1+ 7 8
x1 = = =1 x1 = = =−4
−2 −2 −2 −2
− 17 − 15 − 32 1− 7 − 6
x2 = = = 16 x2 = = =3
−2 −2 −2 −2
8.
(x − 5) − (x − 6) = (2 x − 3)
2 2 2
− 118 11. (x + 2) − (x − 1) = x (3x + 4) + 8
3 3
x 2 − 10 x + 25 − x 2 + 12 x − 36 = 4 x 2 − 12 x + 9 − 118 x 3 + 6x 2 + 12 x + 8 − x 3 + 3x 2 − 3x + 1 = 3x 2 + 4 x + 8
2 x − 11 = 4 x − 12 x − 109
2
6 x 2 + 5x + 1 = 0
4 x − 14 x − 98 = 0
2
− 5 ± (5) − 4 ( 6)(1)
2
2 x − 7 x − 49 = 0 x=
2 ( 6)
2
7± (− 7)2
− 4 ( 2) (− 49)
x=
− 5 ± 25 − 24
x=
2 ( 2) 12
7 ± 441
− 5+ 1 − 4 1
x= x1 = = =−
4 12 12 3
7 + 21 28 − 5− 1 − 6 1
x1 = = =7 x2 = = =−
4 4 12 12 2
7 − 21 − 14
x2 = = = −31
4 4
2
12. (5x − 4) − (3x + 5)(2 x − 1) = 20x (x − 2) + 27
2
25x 2 − 40 x + 16 − 6 x 2 − 7 x + 5 = 20x 2 − 40 x + 27
9. (5x − 2) − (3x + 1)
2 2
− x 2 − 60 = 0 19 x 2 − 47 x + 21 = 20 x 2 − 40 x + 27
25x − 20 x + 4 − 9 x − 6 x − 1 − x − 60 = 0
2 2 2
− x2 − 7x − 6 = 0
15x − 26 x − 57 = 0
2
7± (− 7 ) 2
− 4 (− 1)(− 6)
x=
26 ± (− 26) 2
− 4 (15) (− 57) 2 (− 1)
x=
2 (15) 7 ± 49 − 24
x=
26 ± 676 + 3. 420 −2
x=
30 7 ± 25
26 ± 64 x=
x= −2
30
7 + 5 12
26 + 64 90 x1 = = =−6
x1 = = =3 −2 −2
30 30
7−5 2
26 − 64 − 38 x2 = = = −1
x2 = = = − 1 15
4
−2 −2
30 30

361. EJERCICIO 267
1. x − 3x + 2 = 0
2
( ) (
5. 5x x − 1 − 2 2 x 2 − 7 x = − 8 ) ( )( ) (
8. x − 2 x + 2 − 7 x − 1 = 21 )
x 2 − 4 − 7 x + 7 − 21 = 0
(− 3) ± (− 3) 5x − 5x − 4 x + 14 x + 8 = 0
2 2 2
x= − −2 x2 + 9x + 8 = 0 x 2 − 7 x − 18 = 0
2 4
x=
3
±
9
−2 x=−
9
±
( 9) 2
−8 x= −
(− 7) ± (− 7) 2
− (− 18)
2 4 2 4 2 4
3 1 9 81 7 49
x= ± x=− ± −8 x= ± + 18
2 4 2 4 2 4
3 1 4 9 49
x1 = + = = 2 x=− ± x=
7
±
121
2 2 2 2 4 2 4
3 1 2 9 7 −2
x2 = − = = 1 x1 = − + = = −1
7 11 18
x1 = + = = 9
2 2 2 2 2 2 2 2 2
9 7 − 16 7 11 − 4
2. x 2 − 2 x − 15 = 0 x2 = − − = = −8 x2 = − = =−2
2 2 2 2 2 2
x= −
(− 2) ± (− 2) 2
− (− 15)
( )( ) ( )
2 4
x 2 − (7 x + 6) = x + 59
6. 9. 2 x 2 − x − 2 x + 5 = 7 x + 3
x = 1 ± 1 + 15
2 x − x − 3x + 10 = 7 x + 21
2 2
x = 1± 4 x 2 − 7 x − 6 − x − 59 = 0
x1 = 1 + 4 = 5 x 2 − 10x − 11 = 0
x − 8 x − 65 = 0
2
x2 = 1 − 4 = − 3
(− 8) ± (− 8) 2
x= −
(− 10) ± (− 10) 2
− (− 11)
x= − − (− 65) 2 4
2 4
3. x = 19 x − 88
2
x = 5 ± 25 + 11
x = 4 ± 16 + 65
x 2 − 19 x + 88 = 0
x= 4± 9 x = 5 ± 36
x= −
(− 19) ± (− 19) 2
− 88
x1 = 4 + 9 = 13 x1 = 5 + 6 = 11
2 4 x2 = 4 − 9 = − 5 x2 = 5 − 6 = − 1
19 361
x= ± − 88
2 4
(x − 1) + 11x + 199 = 3x 2 − (x − 2) 10. ( x − 1)( x + 2) − (2 x − 3)( x + 4) − x + 14 = 0
2 2
19 9 7.
x= ±
2 4 x − 2 x + 1 + 11x + 199 = 3x − x + 4 x − 4
2 2 2 x 2 + x − 2 − 2 x 2 − 5x + 12 − x + 14 = 0
19 3 22 x 2 + 9 x + 200 = 2 x 2 + 4 x − 4 − x 2 − 5x + 24 = 0
x1 = + = = 11
2 2 2 x − 5x − 204 = 0
2 x 2 + 5x − 24 = 0
(− 5) ±
19 3 16
x2 = − = = 8 (5) (5) 2
− (− 24)
2
5
2 2 2 x= − − (− 204) x= −
2
±
4
2 4
5 25 5 25
4. x 2 + 4 x = 285 x= ± + 204 x= − ± + 24
2 4 2 4
x 2 + 4 x − 285 = 0 5 121
5 841 x= − ±
x= ±
( 4) 2 2 4
− (− 285)
4 2 4
x= − ± 5 29 34 5 11 6
2 4 x1 = + = = 17 x1 = − + = = 3
2 2 2 2 2 2
x = − 2 ± 4 + 285 5 29 − 24 5 11 − 16
x2 = − = = − 12 x2 = − − = =−8
x = − 2 ± 289 2 2 2 2 2 2
x1 = − 2 + 17 = 15
x2 = − 2 − 17 = − 19

362. EJERCICIO 268
5x − 1
= 3 mcm = (3x + 5)( x + 1)
8x
7. +
1.
x2 x 3
− = mcm = 10 4.
1
(x − 4) + 2 (x − 5) = 5 (x 2 − 53)
1 3x + 5 x + 1
8x ( x + 1) + (5x − 1)(3x + 5) = 3(3x + 5)( x + 1)
5 2 10 4 5
2 x 2 − 5x = 3 mcm = 20
8 x 2 + 8 x + 15x 2 + 22 x − 5 = 9 x 2 + 24 x + 15
2 x 2 − 5x − 3 = 0 5( x − 4) + 8 ( x − 5) = 4 (x 2 − 53) 23x 2 + 30x − 5 = 9 x 2 + 24 x + 15
5x − 20 + 8 x − 40 − 4 x 2 + 212 = 0
5± (− 5)
2
− 4 ( 2) (− 3) 14 x 2 + 6x − 20 = 0
x= − 4 x + 13x + 152 = 0 − 6 ± (6) − 4 (14) (− 20)
2
2 ( 2)
2
x=
− 13 ± (13) − 4 (− 4)(152) 2 (14)
2
5 ± 25 + 24
x= x=
4 2 (− 4) − 6 ± 1.156 − 6 ± 34
5± 7 x= =
x= − 13 ± 169 + 2 . 432 28 28
4 x= − 6 + 34 28
−8 x1 = = =1
5 + 7 12 28 28
x1 = = =3 − 13 ± 51
4 4 x= − 6 − 34 − 40
5− 7 − 2 1 8 x2 = = = −173
x2 = = =− − 13 + 51 38 28 28
4 4 2 x1 = = =−44
3
−8 −8 1 1 1
13 3 − 13 − 51 − 64 8. − =
2. 4 x − = mcm = 2 x x2 = = =8 x− 2 x−1 6
−8 −8
mcm = 6 ( x − 2)( x − 1)
x 2
8 x 2 − 26 = 3x
6 ( x − 1) − 6 ( x − 2) = ( x − 2)( x − 1)
8 x 2 − 3x − 26 = 0 5 1
5. − = 1 mcm = x + 2 6 x − 6 − 6x + 12 = x 2 − 3x + 2
x x+2
3± (− 3) 2
− 4 (8) (− 26)
6 = x 2 − 3x + 2
x=  2
2 (8) 5  1 +  − 1 = x + 2 mcm = x
 x 0 = x 2 − 3x − 4
3 ± 9 + 832
5x + 10 − x = x + 2 x
(− 3) ± (− 3)
2
x= 2
16
x − 2 x − 10 = 0
2 x= − − (− 4)
3 ± 29 2 4
x=
16
x=−
(− 2) ± (− 2) 2
− (− 10) x=
3
±
9
+4
3 + 29 32 2 4
x1 = = =2 2 4
16 16 3 25 3 5
x = 1 ± 1 + 10 x= ± = ±
3 − 29 − 26 2 4 2 2
x2 = = = − 18
5
x = 1 ± 11
16 16 3 5 8
x1 = + = = 4
x1 = 1 + 11 2 2 2
x2 x
3. − = 3 (x − 5) mcm = 6 x2 = 1 − 11 3 5 −2
6 2 x2 = − = = −1
2 2 2
x − 3x = 18 ( x − 5)
2
15 11x + 5
x 2 − 3x = 18 x − 90 6. − = −1 mcm = x 2
x2 2x − 3 x − 2
mcm = 10 ( x + 5)
x
9. 1 − =
x 2 − 21x + 90 = 0 15x − (11x + 5) = − x 2 x+5 10
(− 21) ± (− 21) x2 + 4x − 5= 0 10 ( x + 5) − 10 (2 x − 3) = ( x + 5)( x − 2)
2
x= − − 90
2 4 ( 4) 2
10x + 50 − 20x + 30 = x 2 + 3x − 10
− (− 5)
4
x= − ±
21 81 2 4 − 10x + 80 = x 2 + 3x − 10
x= ±
2 4 x= − 2± 4+5 0 = x 2 + 13x − 90
21 9 30
x1 = + = = 15 x= − 2±3 (13)2
− (− 90)
13
2 2 2
x1 = − 2 + 3 = 1 x= − ±
21 9 12 2 4
x2 = − = = 6 x2 = − 2 − 3 = − 5 Continúa
2 2 2

363. 9. Continuación
13 169 4 x 2 1 − 3x 20 x
x= − ± + 90 12. − = mcm = 12 (x − 1)
2 4 x−1 4 3
12 (4 x 2 ) − 3 (x − 1)(1 − 3x ) = 4 ( x − 1) ( 20 x )
13 529
x= − ±
2 4
− 13 23 48 x 2 + 9 x 2 − 12 x + 3 = 80 x 2 − 80 x
x= ± − 23x 2 + 68 x + 3 = 0
2 2
− 13 23 10 − 68 ± ( 68) − 4 (− 23) ( 3)
2
x1 = + = =5
x=
2 (− 23)
2 2 2
− 13 23 − 36
x2 = − = = − 18 − 68 ± 4 . 624 + 276 − 68 ± 4 . 900 − 68 ± 70
2 2 2 x= = =
− 46 − 46 − 46
10. x − 13 = 5 − 10 5x + 3( ) mcm = x 2 x1 =
− 68 + 70
=
2
=−
1
; x2 =
− 68 − 70 − 138
= =3
x x2 − 46 − 46 23 − 46 − 46
x ( x − 13) = 5x 2 − 10 (5x + 3)
x 2 − 13x = 5x 2 − 50 x − 30
− 4 x 2 + 37 x + 30 = 0 3x − 1
− = 0 mcm = 6 x (2 x − 1)
2x 7
−
− 37 ± ( 37) − 4 (− 4) ( 30)
13.
2
x 2x − 1 6
x=
2 (− 4) 6 (2 x − 1)(3x − 1) − 6 x ( 2 x ) − 7 x (2 x − 1) = 0
− 37 ± 1. 369 + 480 6 (6 x 2 − 5x + 1) − 12 x 2 − 14 x 2 + 7 x = 0
x=
−8 36 x 2 − 30 x + 6 − 12 x 2 − 14 x 2 + 7 x = 0
37 ± 1.849 10 x 2 − 23x + 6 = 0
x=
−8
23 ± ( 23) − 4 (10)( 6)
2
− 37 ± 43 x=
x= 2 (10)
−8
− 37 + 43 6 3 23 ± 529 − 240 23 ± 289 23 ± 17
x1 = = =− x= = =
−8 −8 4 20 20 20
− 37 − 43 − 80 23 + 17 40 23 − 17 6 3
x2 = = = 10 x1 = = = 2 ; x2 = = =
−8 −8 20 20 20 20 10
x−2 5
mcm = 2 x ( x − 2)
x
11. − =
x−2 x 2
2 x ( x ) − 2 ( x − 2)( x − 2) = 5x (x − 2) 5x − 8 7 x − 4
14. =
x−1 x+2
2 x − 2 (x − 4 x + 4) = 5x − 10 x
2 2 2
2 x 2 − 2 x 2 + 8 x − 8 = 5x 2 − 10 x (x + 2)(5x − 8) = (7 x − 4)(x − 1)
0 = 5x − 18 x + 8
2
5x 2 + 2 x − 16 = 7 x 2 − 11x + 4
− (− 18) ± (− 18) − 4 (5)(8) 0 = 2 x 2 − 13x + 20
2
x=
2 (5) 13 ± (13) − 4 ( 2)( 20)
2
x=
18 ± 324 − 160 2 ( 2)
x=
10 13 ± 169 − 160 13 ± 9 13 ± 3
18 ± 164 x= = =
x= 4 4 4
10
13 + 3 16 13 − 3 10 5
18 ± 2 2 ⋅ 41 18 ± 2 41 9 ± 41 x1 = = = 4 ; x2 = = = =212
x= = = 4 4 4 4 2
10 10 5
9 + 41 9 − 41
x1 = ; x2 =
5 5

364. x + 3 5x − 1
− =0
mcm = 8 ( x 2 − 1)
15. 5 6
2x − 1 4x + 7 18. − = 38
5
x2 − 1 x + 1
mcm = (2 x − 1)(4 x + 7)
40 − 48 ( x − 1) = 29 ( x 2 − 1)
(x + 3)(4 x + 7) − (5x − 1)(2 x − 1) = 0 40 − 48 x + 48 = 29 x 2 − 29
4 x 2 + 19 x + 21 − 10 x 2 + 7 x − 1 = 0
− 29 x 2 − 48 x + 117 = 0
− 6 x 2 + 26 x + 20 = 0
3x 2 − 13x − 10 = 0 − (− 48) ± (482 ) − 4 (− 29)(117)
x=
2 (− 29)
13 ± (− 13) 2
− 4 ( 3) (− 10)
x= 48 ± 2 . 304 + 13. 572 48 ± 126
2 ( 3) x= =
− 58 − 58
13 ± 169 + 120 13 ± 289 13 ± 17
x= = = 48 + 126 174 48 − 126 − 78 10
6 6 6 x1 = = = − 3 ; x2 = = = 1 29
− 58 − 58 − 58 − 58
13 + 17 30 13 − 17 − 4 2
x1 = = = 5 ; x2 = = =−
6 6 6 6 3
x − 1 x + 1 2x + 9
1 1 1 19. + = mcm = ( x + 1)( x − 1)( x + 3)
x+1 x−1 x+ 3
16. 4 − x − 6 = x + 1
(x − 1)( x − 1)(x + 3) + ( x + 1)(x + 1)(x + 3) = (2 x + 9)( x + 1)(x − 1)
mcm = 6 (4 − x )( x + 1) (x − 2 x + 1)(x + 3) + (x + 2 x + 1)(x + 3) = (2 x + 9)(x − 1)
2 2 2
6 (x + 1) − (4 − x )(x + 1) = 6 (4 − x ) x + 3x − 2 x − 6 x + x + 3 + x + 3x + 2 x + 6 x + x + 3 = 2 x − 2 x + 9 x 2 − 9
3 2 2 3 2 2 3
6 x + 6 + x − 3x − 4 = 24 − 6 x
2
2 x 3 + 6x 2 + 2 x + 6 = 2 x 3 + 9 x 2 − 2 x − 9
x 2 + 3x + 2 = 24 − 6 x 0 = 3x 2 − 4 x − 15
x 2 + 9 x − 22 = 0
4 ± ( 4) − 4 ( 3) (− 15)
2
( 9) 2 x=
− (− 22) 2 ( 3)
9
x= − ±
2 4
4 ± 16 + 180 4 ± 196 4 ± 14
9 81 9 169 − 9 13 x= = =
x= − ± + 22 = − ± = ± 6 6 6
2 4 2 4 2 2
4 + 14 18 4 − 14 − 10
− 9 13 4 − 9 13 − 22 x1 = = = 3 x2 = = = −12
x1 = + = = 2 ; x2 = − = = − 11 6 6 6 6
3
2 2 2 2 2 2
x+ 4 x+ 2 1
17. − = mcm = 24 ( x + 5)( x + 3) 3
−
1
=
1
mcm = ( x + 2)( x − 2)( x + 1)
x + 5 x + 3 24 20.
x+ 2 x− 2 x+1
24 ( x + 3)( x + 4) − 24 ( x + 2)( x + 5) = ( x + 5)( x + 3) 3 ( x − 2)( x + 1) − ( x + 2)( x + 1) = ( x + 2)( x − 2)
24 x + 168 x + 288 − 24 x 2 − 168 x − 240 = x 2 + 8 x + 15
2
3x 2 − 3 x − 6 − x 2 − 3 x − 2 = x 2 − 4
48 = x + 8 x + 15
2
2 x 2 − 6x − 8 = x2 − 4
0 = x 2 + 8x − 33 x 2 − 6x − 4 = 0
(8) 2
(− 6) ± (− 6)
− (− 33)
2
8
x= −
2
±
4 x= − − (− 4) = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13
2 4
x = − 4 ± 16 + 33 = − 4 ± 49 = − 4 ± 7 x1 = 3 + 13 ; x2 = 3 − 13
x1 = − 4 + 7 = 3 ; x2 = − 4 − 7 = − 11

365. EJERCICIO 269 11. Continuación
20x 2 − 27 x = 14
(3x + 25)(x − 3) = 0
7.
3x + 25 = 0 x − 3= 0
1. x − x − 6= 0
2
20 x 2 − 27 x − 14 = 0
3x = − 25 x2 = 3
(x − 3)(x + 2) = 0 (20 x )2 − 27 (20 x ) − 280 = 0 25
x1 = − = −81
x1 = 3 x2 = − 2
(20x − 35)(20x + 8) = 0 3
3
2. x + 7 x = 18
2
5⋅ 4 12.
6 9
− =−
4
mcm = 3x 2
x2 x
(4 x − 7)(5x + 2) = 0
3
x + 7 x − 18 = 0
2
18 − 27 x = − 4 x 2
(x + 9)(x − 2) = 0 7
x1 = = 1 4 3
x2 = −
2 4 x 2 − 27 x + 18 = 0
x1 = − 9 x2 = 2 4 5 (4 x ) 2 − 27 ( 4 x ) + 72 = 0
8. 7 x = 15 − 30 x
2
3. 8 x − 65 = − x 2 (4 x − 24)(4 x − 3) = 0
30x 2 + 7 x − 15 = 0 4
x + 8x − 65 = 0
2
(30 x) 2 + 7 (30 x) − 450 = 0 ( x − 6)(4 x − 3) = 0
(x + 13)(x − 5) = 0 (30x + 25)(30x − 18) = 0 x − 6= 0 4x − 3 = 0
x1 = − 13 x2 = 5 x1 = 6 4x = 3
5⋅ 6
3
4. x = 108 − 3x
2
(6x + 5)(5x − 3) = 0 x2 =
4
x + 3x − 108 = 0
2
6x + 5 = 0 5x − 3 = 0 x+2 74
13. + x= mcm = x
108 2 6x = − 5 5x = 3 x x
54 2 22 ⋅ 3 − 32 −5 3 x + 2 + x 2 = 74
x1 = x2 =
27 3 12 − 9 = 3 6 5 x 2 + x − 72 = 0
9 3 9. 60 = 8 x 2 + 157 x
(x + 9)(x − 8) = 0
3 3 8 x 2 + 157 x − 60 = 0 x + 9= 0 x − 8= 0
1 (8 x)2 + 157 (8x) − 480 = 0 x1 = − 9 x2 = 8
(x + 12)(x − 9) = 0 (8x + 160)(8x − 3) = 0 14. ( x + 2) −
2 2x − 5
= 3 mcm = 3
x1 = − 12 x2 = 9 8 3
(x + 20)(8x − 3) = 0 3 ( x + 2) − (2 x − 5) = 9
2
5. 2x + 7x − 4 = 0
2
3x 2 + 12 x + 12 − 2 x + 5 − 9 = 0
x + 20 = 0 8x − 3 = 0
( 2 x) 2 + 7 ( 2 x) − 8 = 0 x1 = − 20 8x = 3 3x 2 + 10 x + 8 = 0
(2 x + 8)(2 x − 1) = 0 3 (3x ) + 10 (3x ) + 24 = 0
2
x2 =
2 8 (3x + 6)(3x + 4) = 0
(x + 4)(2 x 1) = 0 10. x ( x − 1) − 5 (x − 2) = 2 3
x+ 4= 0 2 x − 1= 0 x 2 − x − 5x + 10 − 2 = 0
( x + 2)(3x + 4) = 0
x+ 2= 0 3x + 4 = 0
x1 = − 4 x2 =
1 x 2 − 6x + 8 = 0
x1 = − 2 3x = − 4
2
(x − 4)(x − 2) = 0 x2 =
−4
= −11
6x 2 = 10 − 11x x−4=0 x− 2= 0
3
6. 3
6 x 2 + 11x − 10 = 0 x1 = 4 x2 = 2
3x + 15
mcm = 4 ( x − 2)
x
( 6x ) 2 + 11( 6 x) − 60 = 0 11. (x − 2) − (2 x + 3)
2 2
= − 80 15.
x−2
+ x=
4
(6x + 15)(6x − 4) = 0 x 2 − 4 x + 4 − 4 x 2 − 12 x − 9 + 80 = 0
4 x + 4 x ( x − 2) = (3x + 15)( x − 2)
3⋅ 2 − 3x 2 − 16 x + 75 = 0
4 x + 4 x 2 − 8 x = 3x 2 + 9 x − 30
3x 2 + 16 x − 75 = 0
(2 x + 5)(3x − 2) = 0 x 2 − 13x + 30 = 0
( 3x) 2 + 16 (3x) − 225 = 0
2x + 5= 0 3x − 2 = 0
(3x + 25)(3x − 9) = 0 (x − 10)(x − 3) = 0
5 2 x − 10 = 0 x − 3= 0
x1 = − = − 2 2 x2 =
1
3
2 3 Continúa x1 = 10 x2 = 3

366. mcm = 12 x (x − 4)
6 4 5
16. − = 4x − 1 2x + 1
x − 4 x 12 19. 2 x + 3 = 6 x + 5
72 x − 48 ( x − 4) = 5x ( x − 4)
(6x + 5)(4 x − 1) = (2 x + 1)(2 x + 3)
72 x − 48 x + 192 = 5x 2 − 20 x
24 x 2 + 14 x − 5 = 4 x 2 + 8 x + 3
5x 2 − 44 x − 192 = 0
20 x 2 + 6 x − 8 = 0
(5x ) 2 − 44 (5x) − 960 = 0 10 x 2 + 3x − 4 = 0
(5x − 60)(5x + 16) = 0 (10 x ) 2 + 3 (10 x ) − 40 = 0
5
(10x + 8)(10x − 5) = 0
(x − 12)(5x + 16) = 0 2⋅5
x − 12 = 0 5x + 16 = 0
x1 = 12 5x = − 16
(5x + 4)(2 x − 1) = 0
5x + 4 = 0 2 x − 1= 0
− 16
x2 = = − 31
5 5x = − 4 2x = 1
5
−4
17. (x − 2) − (x − 3)
3 3
= 37 x1 =
5
x2 =
1
2
x 3 − 6 x 2 + 12 x − 8 − x 3 + 9 x 2 − 27 x + 27 − 37 = 0
3x + 2 9 x + 14
3x 2 − 15x − 18 = 0 20. = 5− mcm = 12 x
4 12 x
( 3x) 2 − 15( 3x) − 54 = 0 3x (3x + 2) = 60 x − (9 x + 14)
(3x − 18)(3x + 3) = 0 9 x 2 + 6 x = 60 x − 9 x − 14
3x − 18 = 0 3x + 3 = 0 9 x − 45x + 14 = 0
2
3x = 18 3x = − 3
(9 x ) 2 − 45(9 x ) + 126 = 0
x1 = 6 x2 = − 1
x−1 x+3 (9 x − 42)(9 x − 3) = 0
18. − 2= mcm = 3 ( x + 1) 3⋅ 3
x+1 3
3 ( x − 1) − 6 ( x + 1) = ( x + 3)(x + 1) (3x − 14)(3x − 1) = 0
3x − 14 = 0 3x − 1 = 0
3x − 3 − 6 x − 6 = x + 4 x + 3
2
3x = 14 3x = 1
x + 7 x + 12 = 0
2
14 1
(x + 4)(x + 3) = 0 x1 =
3
x2 =
3
x+ 4= 0 x + 3= 0 x1 = 4 23
x1 = − 4 x2 = − 3
EJERCICIO 270
1. x + 2ax − 35a = 0
2 2 2. 10 x 2 = 36a 2 − 37ax 3. a 2 x 2 + abx − 2b 2 = 0
(x + 7a)(x − 5a) = 0 10 x + 37ax − 36a 2 = 0
2
(a 2 x) 2
+ ab (a 2 x) − 2a 2b2 = 0
x + 7a = 0 x − 5a = 0 − 37a ± ( 37a ) − 4 (10) (− 36a 2 ) (a x + 2ab)(a x − ab) = 0
2
2 2
x1 = − 7a x2 = 5a x=
2 (10)
a 2 x + 2ab = 0 a 2 x − ab = 0
− 37a ± 2 .809a − 37a ± 53a
2
a 2 x = − 2ab a 2 x = ab
x= =
20 20 − 2ab ab
− 37a + 53a 16a 4a x1 = 2 x2 = 2
x1 = = = a a
20 20 5 2b b
− 37a − 53a − 90a − 9a x1 = − x2 =
x2 = = = a a
20 20 2

367. 4. 89bx = 42 x 2 + 22b 2
9. x 2 − 2ax = 6ab − 3bx
42 x − 89bx + 22b2 = 0
2
x 2 + 3bx − 2ax − 6ab = 0
− (− 89b) ± (− 89b) − 4 (42) (22b2 ) x ( x + 3b) − 2a ( x + 3b) = 0
2
x=
2 ( 42)
(x + 3b) (x − 2a) = 0
89 ± 4 . 225b 2 89b ± 65b x + 3b = 0 x − 2a = 0
x= =
84 84 x1 = − 3b x2 = 2a
89b − 65b 24b 2b
x1 = = =
84 84 7
89b + 65b 154b 11b
( )
10. 3 2 x − mx + 4nx − 2mn = 0
2
x2 =
84
=
84
=
6 3x (2 x − m) + 2n (2 x − m) = 0
5. x 2 + ax = 20a 2 (2 x − m)(3x + 2n) = 0
x + ax − 20a 2 = 0
2
2x − m = 0 3x + 2n = 0
(x + 5a)(x − 4a) = 0 2x = m 3x = − 2 n
x + 5a = 0 x − 4a = 0 m 2n
x1 = x2 = −
x1 = − 5a x2 = 4a 2 3
6. 2 x = abx + 3a b
2 2 2
11. x 2 − a 2 − bx − ab = 0
2 x 2 − abx − 3a 2b2 = 0
(x − a ) − b (x + a) = 0
2 2
(2 x) 2 − ab ( 2 x ) − 6a 2b2 = 0
(x + a)( x − a) − b (x + a) = 0
(2 x − 3ab)(2 x + 2ab) = 0
2
(x − a − b)(x + a) = 0
(2 x − 3ab)(x + ab) = 0 x− a− b= 0 x+ a=0
x1 = a + b x2 = − a
2 x − 3ab = 0 x + ab = 0
2 x = 3ab x = − ab
3ab 12. abx 2 − x (b − 2a ) = 2
x1 = x2 = − ab
2 abx 2 − bx + 2ax − 2 = 0
7. b x + 2abx = 3a
2 2 2
abx 2 + 2ax − bx − 2 = 0
b x + 2abx − 3a = 0 ax (bx + 2) − (bx + 2) = 0
2 2 2
(b x)
2 2
+ 2ab (b x ) − 3a b = 0
2 2 2
(bx + 2)(ax − 1) = 0
(b x + 3ab)(b x − ab) = 0
2 2 bx + 2 = 0 ax − 1 = 0
b⋅b bx = − 2 ax = 1
(bx + 3a) (bx − a ) = 0 x1 =
−2
b
x2 =
1
a
bx + 3a = 0 bx − a = 0
bx = − 3a bx = a
13. x − 2ax + a − b = 0
2 2 2
3a a
x1 = − x2 =
− (− 2a ) ± ( 2a ) − 4 (a 2 − b 2 )
2
b b
x=
8. x 2 + ax − bx = ab 2
x + ax − bx − ab = 0
2
2a ± 4a − 4a 2 + 4b 2
2
2a ± 2b
x= =
x (x + a) − b ( x + a) = 0 2 2
( x − b) (x + a) = 0 2a + 2b 2 (a + b)
x1 = = =a+b
2 2
x− b= 0 x+ a= 0
x1 = b x2 = − a 2a − 2b 2 (a − b)
x2 = = =a−b
2 2

368. ( )
14. 4 x x − b + b2 = 4m2
19. x 2 + m2 x (m − 2) = 2m5
4 x − 4bx + b2 − 4m2 = 0
2
x 2 + xm3 − 2 xm2 − 2m5 = 0
− (− 4b) ± (− 4b) − 4 (4) (b2 − 4m2 )
2
x= x ( x + m3 ) − 2 m2 ( x + m3 ) = 0
2 ( 4)
4b ± 16b 2 − 16b2 + 64m2
(x + m )(x − 2m ) = 0
3 2
x= x + m3 = 0 x − 2m 2 = 0
8
4b ± 64m2 4b ± 8m x1 = − m 3
x2 = 2m2
x= =
8 8
4b + 8m 4 (b + 2m) b + 2m
20. 6x − 15ax = 2bx − 5ab
2
x1 = = =
8 8 2
6x 2 − 2bx − 15ax + 5ab = 0
4b − 8m 4 (b − 2m) b − 2m
x2 = = = 2 x (3x − b) − 5a (3x − b) = 0
8 8 2
(3x − b)(2 x − 5a) = 0
15. x − b + 4a − 4ax = 0
2 2 2
3x − b = 0 2 x − 5a = 0
x 2 − 4ax − b2 + 4a 2 = 0
3x = b 2 x = 5a
− (− 4a ) ± (− 4a) − 4 (− b 2 + 4a 2 )
2
b 5a
x= x1 = x2 =
2 3 2
4a ± 16a 2 + 4b 2 − 16a 2 4a ± 2b
x= =
2 2
4a + 2b 2 (2a + b)
2
21. 3x + a − x = 0 mcm = 4a
x1 = = = 2a + b 4 2 2a
2 2
3ax + 2a 2 − 2 x 2 = 0
4a − 2b 2 (2a − b)
x2 = = = 2a − b 2 x 2 − 3ax − 2a 2 = 0
2 2
( 2 x ) − 3a ( 2 x ) − 4a 2 = 0
2
16. x 2 − (a + 2) x = − 2a
x 2 − ax − 2 x + 2a = 0
(2 x − 4a)(2 x + a ) = 0
x (x − a) − 2 (x − a) = 0
2
(x − 2a )(2 x + a) = 0
(x − a)(x − 2) = 0 x − 2a = 0 2x + a = 0
x−a= 0 x− 2= 0
x1 = 2a 2x = − a
x1 = a x2 = 2
a
x2 = −
17. x 2 + 2 x (4 − 3a ) = 48a 2
x 2 + 8 x − 6ax − 48a = 0
x ( x + 8) − 6a ( x + 8) = 0
(x + 8)(x − 6a) = 0 22.
2 x − b 2bx − b 2
=
2 3x
x + 8= 0 x − 6a = 0
x1 = − 8 x2 = 6a 3x (2 x − b) = 2 (2bx − b2 )
6 x 2 − 3bx − 4bx + 2b 2 = 0
18. x 2 − 2 x = m2 + 2 m
x 2 − m2 − 2 x − 2m = 0 3x (2 x − b) − 2b (2 x − b) = 0
(x + m)( x − m) − 2 (x + m) = 0 (2 x − b)(3x − 2b) = 0
(x − m − 2)(x + m) = 0 2x − b = 0 3x − 2b = 0
2x = b 3x = 2b
x − m− 2 = 0 x + m= 0
b 2b
x1 = m + 2 x2 = − m x1 = x2 =
2 3

369. a + x a − 2x
23. a − x + a + x = − 4 mcm = a 2 − x 2 2x − b
mcm = 4b (x + b)
x 2x
26. − =
b x + b 4b
(a + x)(a + x) + (a − 2 x)(a − x) = − 4 (a 2
− x2 )
4 (2 x − b)( x + b) − 4bx = 2 x ( x + b)
a 2 + 2ax + x 2 + a 2 − 3ax + 2 x 2 = − 4a 2 + 4 x 2
8 x 2 + 4bx − 4b 2 − 4bx = 2 x 2 + 2bx
6a 2 − ax − x 2 = 0
6 x 2 − 2bx − 4b2 = 0
x 2 + ax − 6a 2 = 0
3x 2 − bx − 2b2 = 0
(x + 3a)( x − 2a) = 0 ( 3x) − b ( 3x ) − 6b2 = 0
2
x + 3a = 0 x − 2a = 0
x1 = − 3a x2 = 2a
(3x − 3b)(3x + 2b) = 0
3
(x − b)(3x + 2b) = 0
x2 a2 x−b= 0 3x + 2b = 0
=
x − 1 2 (a − 2)
24.
x1 = b 3x = − 2b
2 (a − 2) x 2 = a 2 ( x − 1)
2b
x2 = −
3
x (2a − 4) = a x − a
2 2 2
x (2a − 4) − a 2 x + a 2 = 0
2
− (− a 2 ) ± (− a )
2 2
− 4 (2a − 4) (a 2 ) EJERCICIO 271
x=
2 (2a − 4)
a 2 ± a 4 − 8a 3 + 16a 2
x=
2 (2a − 4) 1. 3x = 48
2
a 2 ± a 2 (a 2 − 8a + 16) x 2 = 16
4. 9x 2 − a 2 = 0
x=
4a − 8 x = 16
9x 2 = a 2
x=±4
a ± a (a − 4)
2
2 2
a 2 ± a 2 − 4a a2
x= = x2 =
4 (a − 2) 4 (a − 2) 9
2. 5x − 9 = 46
2
2a (a − 2) a
a2
a + a − 4a
2 2
2a − 4 a
2
5x 2 = 55 x=
x1 = = = =
4 (a − 2) 4 (a − 2) 4 (a − 2) 2
9
x 2 = 11 a
x=±
a − ( a − 4a )
2 2
4a a x = 11 3
x2 = = =
4 (a − 2) 4 (a − 2) a − 2
x = ± 11
( )(
5. x + 5 x − 5 = − 7)
2 1 3. 7x 2 + 14 = 0 x − 25 = − 7
2
25. x + = + 2a mcm = ax
x a
x2 + 2 = 0 x 2 = 18
ax 2 + 2a = x + 2a 2 x
x =−2
2
x = 18
ax 2 − x + 2a − 2a 2 x = 0
x= −2
x (ax − 1) − 2a (ax − 1) = 0 x = 32 ⋅ 2
x = 2 −1
(ax − 1)(x − 2a) = 0 x= ±3 2
ax − 1 = 0 x − 2a = 0 x=± 2 i
ax = 1 x = 2a
1
x1 = x2 = 2a
a

370. ( )( )
6. 2 x − 3 2 x + 3 − 135 = 0 2x − 3 x − 2
4 x − 9 − 135 = 0
2 11. = mcm = (x − 3)( x − 1)
x − 3 x −1
4 x = 144 (2 x − 3)(x − 1) = (x − 2)(x − 3)
2
x 2 = 36 2 x 2 − 5x + 3 = x 2 − 5x + 6
x = 36 x2 − 3 = 0
x= ± 6 x2 = 3
( )( ) (
7. 3 x + 2 x − 2 = x − 4 + 8 x )
2
x= ± 3
3x 2 − 12 = x 2 − 8 x + 16 + 8 x
2 x 2 − 28 = 0 x 2 − 5 4x 2 − 1 14x 2 − 1
12. + − =0
2 x 2 = 28 3 5 15
x 2 = 14 5x − 25 + 12x − 3 − 14x + 1= 0
2 2 2
3x 2 − 27 = 0
x = ± 14
3x 2 = 27
 1  1 1
8.  x + 3  x − 3 = 3
   x2 = 9
1 1 x= 9
x2 − − =0 x=±3
9 3
4
x2 =
9 x2 + 1
13. 2 x − 3 − =−7 mcm = x − 2
x= ±
4 x−2
2 x (x − 2) − 3( x − 2) − ( x 2 + 1) = − 7 (x − 2)
9
2
x= ± 2 x 2 − 4 x − 3x + 6 − x 2 − 1 = − 7 x + 14
3
( )( ) ( )(
9. 2 x − 1 x + 2 − x + 4 x − 1 + 5 = 0 ) x 2 + 5 = 14
2 x 2 + 3x − 2 − x 2 − 3 x + 4 + 5 = 0 x2 = 9
x2 + 7 = 0 x= 9
x2 = − 7 x= ±3
x= 7 −1
3
x= ± 7i 14. 3− =2 mcm = 4 x 2 − 1
4x2 − 1
3(4 x 2 − 1) − 3 = 2 (4 x 2 − 1)
5 1 7
10. − = mcm = 12x 2
2x 2 6x 2 12
30 − 2 = 7x 2 12 x 2 − 6 = 8x 2 − 2
28 = 7x 2 4x2 = 4
4 = x2 x2 = 1
4 =x x= 1
±2=x x= ±1
EJERCICIO 272
3. x 2 − 3x = 3x 2 − 4 x
x 2 = 5x 2. 4 x 2 = − 32 x
1. 0 = 2x2 − x
x 2 − 5x = 0 4 x 2 + 32 x = 0
0 = x (2 x − 1)
x ( x − 5) = 0 4 x ( x + 8) = 0
0 = x1 0 = 2 x − 1
x1 = 0 x − 5 = 0 4x = 0 x + 8 = 0
1
x2 = 5 x1 = 0 x2 = − 8 1= 2 x ⇒ =x
2 2

371. 4. 5x 2 + 4 = 2 ( x + 2) 5. (x − 3) − (2 x + 5)
2 2
= − 16 x2 x − 9 3
6. 3 − 6 = 2 mcm = 12
5x 2 + 4 = 2 x + 4 x 2 − 6 x + 9 − 4 x 2 − 20 x − 25 + 16 = 0
4 x 2 − 2 x + 18 = 18
5x − 2 x = 0
2 − 3x 2 − 26 x = 0
2 x (2 x − 1) = 0
x (5x − 2) = 0 x (3x + 26) = 0
2x = 0 2x − 1= 0
x1 = 0 5x − 2 = 0 x1 = 0 3x + 26 = 0
x1 = 0 2x = 1
5x = 2 3x = − 26
1
2 − 26 x2 =
x2 = x2 = = −82
3 2
5 3
7. (4 x − 1)(2 x + 3) = ( x + 3)( x − 1) 8.
x+1 x+ 4
− =1 mcm = ( x − 1)(x − 2)
x−1 x− 2
8 x 2 + 10 x − 3 = x 2 + 2 x − 3
7 x 2 + 8x = 0 (x + 1)(x − 2) − (x + 4)(x − 1) = (x − 1)(x − 2)
x 2 − x − 2 − x 2 − 3 x + 4 = x 2 − 3x + 2
x (7 x + 8) = 0
x1 = 0 7x + 8 = 0 0 = x2 + x
7x = − 8 0 = x (x + 1)
8 x1 = 0 x + 1= 0
x2 = −
7 x2 = − 1
x2 = − 1 7
1
EJERCICIO 273
1. x + 4 x + 1 = 5
4x + 1 = 5− x
( )
4 x + 1 = (5 − x )
2 2
3. 5x − 1 + x + 3 = 4
4 x + 1 = 25 − 10x + x 2
( )
5x − 1 + x + 3 = 16
2
0 = x 2 − 14 x + 24
5x − 1 + 2 5x 2 + 14 x − 3 + x + 3 = 16
0 = (x − 12)(x − 2)
x − 12 = 0 2 5x 2 + 14 x − 3 = 14 − 6 x
x1 = 12 → Re chazo sol extraña ( )
5x 2 + 14 x − 3 = (7 − 3x)
2 2
x− 2= 0
5x 2 + 14 x − 3 = 49 − 42 x + 9 x 2
x2 = 2 → sol que satisface
0 = 4 x − 56 x + 52
2
2. 2 x − x − 1 = 3x − 7 0 = x 2 − 14 x + 13
7− x= x−1 0 = ( x − 13)( x − 1)
(7 − x) 2
= (x − 1) 2
x − 13 = 0
49 − 14 x + x = x − 1
2 x1 = 13 → Re chazo por sol extraña
x 2 − 15x + 50 = 0 x − 1= 0
x2 = 1 → sol que satisface
(x − 10)(x − 5) = 0
x − 10 = 0
x1 = 10 → Re chazo sol extraña
x − 5= 0
x2 = 5 → sol que satisface

372. 6. Continuación
4. 2 x − x+5=1
7 x 2 − 24 x − 16 = 0
(2 x ) = (1 + )
2 2
x+5 (7 x) − 24 (7 x) − 112 = 0
2
4 x = 1+ 2 x + 5 + x + 5 (7 x − 28)(7 x + 4) = 0
3x − 6 = 2 x + 5 7
(3x − 6) = (22
x+5 )
2
(x − 4)(7 x + 4) = 0
x − 4 = 0 ⇒ x1 = 4 → sol factible
9 x − 36x + 36 = 4 x + 20
2
7x + 4 = 0
9 x 2 − 40x + 16 = 0
4
(9 x) − 40 (9 x) + 144 = 0
2 7 x = − 4 ⇒ x2 = − → sol inadmisible
7
(9 x − 36)(9 x − 4) = 0 7. 5x − 1 − 3 − x = 2 x
( ) ( )
9 2 2
5x − 1 − 2 x = 3− x
(x − 4)(9 x − 4) = 0
x− 4= 0 5x − 1 − 2 10 x 2 − 2 x + 2 x = 3 − x
x1 = 4 → sol que satisface − 2 10 x 2 − 2 x = − 8 x + 4
9x − 4 = 0
8 x − 4 = 2 10 x 2 − 2 x
9x = 4
4 4 (2 x − 1) = 2 10 x 2 − 2 x
x2 = → Re chazo por sol extraña
(4 x − 2) ( 10x )
2 2
9 = 2
− 2x
2x − 1 + x + 3 = 3
5. 16 x 2 − 16 x + 4 = 10 x 2 − 2 x
( ) ( )
2 2
2x − 1 = 3− x + 3 6 x 2 − 14 x + 4 = 0
2x − 1= 9 − 6 x + 3 + x + 3 ( 6 x ) − 14 (6 x ) + 24 = 0
2
x − 13 = − 6 x + 3 (6x − 12)(6x − 2) = 0
(6 )
x + 3 = (13 − x )
2 2 6
(x − 2)(6x − 2) = 0
36 (x + 3) = 169 − 26 x + x 2
x− 2= 0
36 x + 108 = 169 − 26 x + x 2
x1 = 2 → sol factible
0 = x 2 − 62 x + 61 6x − 2 = 0
0 = (x − 61)(x − 1) 6x = 2
x − 61 = 0 1
x2 = → sol inadmisible
x1 = 61 → Re chazo por sol extraña 3
x − 1= 0 3x + 1 + 5x = 16 x + 1
8.
x2 = 1 → sol que satisface
3x + 1 + 2 15x 2 + 5x + 5x = 16 x + 1
6. x − 3 + 2x + 1 − 2 x = 0
2 15x 2 + 5x = 8 x
( ) ( )
x − 3 + 2x + 1 = 2 x
2 2
( 15x 2
)
2
+ 5x = ( 4 x )
2
x − 3 + 2 2 x − 5x − 3 + 2 x + 1 = 4 x
2
15x 2 + 5x = 16x 2
(2 )
2 x 2 − 5x − 3 = ( x + 2)
2 2
0 = x − 5x
2
0 = x ( x − 5)
4 (2 x 2 − 5x − 3) = x 2 + 4 x + 4
x1 = 0 → sol admisible
8 x 2 − 20 x − 12 = x 2 + 4 x + 4 x − 5= 0
Continúa
x2 = 5 → sol admisible

373. 8
2x + 4x − 3 = 3 12. 2 x = x+7 +
9. x+7
2x + 4x − 3 = 9
2 x2 + 7x = ( x + 7) 2
+8
( )
4 x − 3 = (9 − 2 x )
2 2
(2 ) = ( x + 15)
2 2
x2 + 7x
4 x − 3 = 81 − 36 x + 4 x 2
4 x + 28 x = x 2 + 30x + 225
2
0 = 4 x 2 − 40 x + 84
3x − 2 x − 225 = 0
2
0 = x 2 − 10 x + 21
( 3x ) − 2 (3x ) − 675 = 0
2
0 = ( x − 7)( x − 3)
x− 7= 0 (3x − 27)(3x + 25) = 0
x1 = 7 → Re chazo por 3
sol inadmisible (x − 9)(3x + 25) = 0
x − 3= 0 x − 9 = 0 ⇒ x1 = 9 → sol aceptada
x2 = 3 → sol aceptada 25
3x + 25 = 0 ⇒ x2 = − → sol inadmisible
3
x+ x+8 = 2 x
13.
x + x + 8 = 4x
6
x+3+ =5
( )
x + 8 = ( 3x )
10. 2
x+ 3
2
( ) x + 8 = 9x2
2
x + 3 + 6= 5 x + 3
9x2 − x − 8 = 0
(x + 9) = (5 )
2 2
x+ 3
( 9 x ) − 1(9 x) − 72 = 0
2
x2 − 7x + 6 = 0
(x − 1)(x − 6) = 0 (9 x − 9)(9 x + 8) = 0
9
x − 1= 0 x − 1 = 0 ⇒ x1 = 1 → sol aceptada
x1 = 1 → sol admisible 8
x − 6= 0 9 x + 8 = 0 ⇒ x2 = − → sol rechazada
9
x2 = 6 → sol admisible 6 − x + x + 7 − 12 x + 1 = 0
14.
( ) ( )
2 2
6− x + x + 7 = 12 x + 1
4
11. x+ =5 6 − x + 2 42 − x − x 2 + x + 7 = 12 x + 1
x
( x) + 4= 5 x
2
2 42 − x − x 2 = 12 x − 12
(x + 4) = (5 x ) ( ) = (6x − 6)
2 2
42 − x − x 2
2 2
x 2 + 8 x + 16 = 25x 42 − x − x 2 = 36 x 2 − 72 x + 36
x 2 − 17 x + 16 = 0 0 = 37 x 2 − 71x − 6
(x − 16)(x − 1) = 0 ( 37 x ) 2 − 71( 37 x) − 222 = 0
x − 16 = 0 (37 x − 74)(37 x + 3) = 0
x1 = 16 → sol admisible 37
x − 1= 0 (x − 2)(37 x + 3) = 0
x2 = 1 → sol admisible x − 2 = 0 ⇒ x1 = 2 → sol aceptada
37 x + 3 = 0
3
37 x = − 3 ⇒ x2 = − → sol inadmisible
37

374. EJERCICIO 274
13. x 2 − 2x − 3 = 0
11. x − 4x + 3 = 0
2
x y
x y
0 −3
0 3
1 −4
1 0
2 −3
2 −1
3 0
3 0
−1 0
−1 8
sol : x 1 = 1 x 2 = 3 sol : x 1 = - x 2 = 3
1
14. x + 4x + 3 = 0
2
12. x − 6x + 8 = 0
2
x y x y
0 8 0 3
1 3 −1 0
2 0 − 2 −1
3 −1 −3 0
4 0 1 8
sol : x 1 = 2 x2 =4 sol: x1 = − 3 x2 = − 1

375. 15. x = 6 − x
2
17. x + 8x + 16 = 0
2
x + x−6=0
2
x y
x y 0 16
0 −6 −2 4
1 −4 −4 0
2 0 −6 4
3 6
−1 − 6
−3 0
sol : x 1 = x 2 = -4
sol : x 1 = -3 x2 = 2
18. x − 4 = 0
2
16. x = 2x − 1
2 x y
x 2 − 2x + 1= 0 1 −3
x y 2 0
3 5
0 1
−1 − 3
1 0
−2 0
2 1
−3 5
3 4
0 −4
−1 4
sol : x1 = x 2 = 1 sol : x 1 = -2 x 2 = 2

376. 19. x 2 = 3x + 10 21. 2x 2 − 9x + 10 = 0
x 2 − 3x − 10 = 0 x y
x y 0 10
0 − 10 1 3
3 − 10 2 0
5 0 3 1
−1 − 6 4 6
−2 0
sol : x 1 = -2 x 2 = 5
1
sol : x 1 = 2 x2 =2 2
20. x 2 − 4 x = − 4
22. 2x 2 − 5x − 7 = 0
x 2 − 4x + 4 = 0
x y
x y
0 −7
0 4 1 − 10
1 1 3 −4
2 0 4 5
3 1 −1 0
−1 9
1
sol : x 1 = -1 x2 =3 2
sol : x 1 = x 2 = 2

377. EJERCICIO 275
5. x → N º buscado
x 2 − 9 = 8 ( x − 2) 9. 4 x → Costo caballo
1. x → N º mayor
9 − x → N º menor x 2 − 9 = 8 x − 16 x → Costo arreos
x + (9 − x ) = 53 x2 − 8x + 7 = 0 ( 4 x ) 2 + x 2 = 860 . 625
2 2
x 2 + 81 − 18 x + x 2 = 53 (x − 7)( x − 1) = 0 16 x 2 + x 2 = 860 . 625
2 x − 18 x + 28 = 0
2
x1 = 7 x2 = 1 17 x 2 = 860 . 625
x − 9 x + 14 = 0
2
7 → N º buscado x 2 = 50 . 625
(x − 7)( x − 2) = 0 6. x + 1 → N º mayor x = ± 50 . 625
x1 = 7 x2 = 2 x → N º menor
7 → N º mayor x1 = 225 x2 = − 225
9 − 7 = 2 → N º menor (x + 1) 2
− 57 = 3x 4 ( 225) = 900
2. x → N º positivo x 2 + 2 x + 1 − 57 = 3x 900 sucres → Costo caballo
3x x 2 − x − 56 = 0 225 sucres → Costo arreos
→ Otro Número

5
3x 
(x − 8)(x + 7) = 0
x   = 2 .160 x1 = 8 x2 = − 7
 5
8 → N º menor
3x 2 = 10 .800 10. x − 7 → N º menor
x 2 = 3. 600 8 + 1= 9 → N º mayor x → N º mayor
x = ± 3. 600 7. x + 4 → L arg o (x − 7 + x)(x − 7) = 184
x1 = 60 x2 = − 60 x → Ancho
(2 x − 7)(x − 7) = 184
60 → N º positivo Area = x ( x + 4)
3 ( 60) 2 x 2 − 21x + 49 = 184
= 36 → Otro Número = x2 + 4x
5 2 x 2 − 21x − 135 = 0
Doble del area = 2 x 2 + 8 x
3. x → Edad de A (2 x) − 21(2 x ) − 270 = 0
2
(x + 8)(x + 4) = 2 x 2
+ 8x
x − 3 → Edad de B
(2 x − 30)(2 x + 9) = 0
x 2 + 12 x + 32 = 2 x 2 + 8 x
x 2 + (x − 3) = 317 (x − 15)(2 x + 9) = 0
2
x 2 − 4 x − 32 = 0
x 2 + x 2 − 6 x + 9 = 317
(x − 8)(x + 4) = 0
9
x1 = 15 x2 = −
2 x 2 − 6x − 308 = 0 2
x1 = 8 x2 = − 4 15 → N º mayor
x 2 − 3x − 154 = 0
8m + 4m = 12m → L arg o
(x − 14)(x + 11) = 0 8m → Ancho
15 − 7 = 8 → N º menor
x1 = 14 x2 = − 11
14 años → Edad de A 8. x → N º sa cos comp.
1. 000 x → Edad de A
14 − 3 = 11 años → Edad de B bs. → cos to cada saco 11.
x
x → Un Número 23 − x → Edad de B
4. 1. 000 1. 000
3x → El otro Número x + 10
=
x
−5 x (23 − x) = 102
(3x) 2 − x 2 = 1.800 1. 000 x = ( x + 10)1. 000 − 5x ( x + 10) 23x − x 2 = 102
9 x 2 − x 2 = 1.800 x 2 − 23x + 102 = 0
103 x = 103 x + 104 − 5x 2 − 50 x
8 x 2 = 1.800 5x 2 + 50 x − 104 = 0 (x − 17)(x − 6) = 0
x = 225
2
x + 10 x − 2 . 000 = 0
2 x1 = 17 x2 = 6
17 años → Edad de A
x = ± 225 (x + 50)(x − 40) = 0 6 años → Edad de B
x1 = 15 x2 = − 15 x1 = − 50 x2 = 40
15 → Un Número 40 → N º sa cos comp.
3(15) = 45→ El otro Número 1. 000
bs. = 25 bs. → cos to cada saco
40

378. 12. x → N º de libros 16. x → Re lojes comp.
180 192 20. x → Tiempo de recorrido
→ Costo c / u → Costo cada reloj
x 240 240
x + 20 =
180 180 192 3x x x−2
= +1 =
x− 6 x x 4 240 (x − 2) + 20 x ( x − 2) = 240x
180 x = 180 ( x − 6) + x ( x − 6)
768 = 3x 2
240x − 480 + 20 x 2 − 40 x = 240 x
256 = x 2
180 x = 180x − 1. 080 + x 2 − 6x 20 x 2 − 40 x − 480 = 0
0 = x 2 − 6 x − 1. 080 ± 256 = x x 2 − 2 x − 24 = 0
x1 = 16 x 2 = − 16
0 = ( x − 36)( x + 30) (x − 6)(x + 4) = 0
16 → Re lojes comp.
x1 = 36 x2 = − 30 x1 = 6 x2 = − 4
192
36 → Libros = $12 → Costo cada reloj 6 horas → Tiempo de recorrido
16
180
= $ 5 → Costo c / u 17. x → Libros comp. x → Caballos comp.
36 21.
150
→ Costo cada lib. 2 . 000
→ Pr ecio cada caballo
13. x → N º de filas x x
150 150 2 . 000 2 . 000 + 80
180
→ N º soldados cada fila + 1= + 60 =
x x x−5 x x−2
180 150 (x − 5) + x ( x − 5) = 150 x 2 . 000 ( x − 2) + 60 x ( x − 2) = 2 . 080 x
− 8= x
x 150 x − 750 + x − 5x = 150 x
2 2 . 000 x − 4 . 000 + 60 x 2 − 120 x = 2 . 080 x
180 − 8 x = x 2 60 x 2 − 200 x − 4 . 000 = 0
x 2 − 5x − 750 = 0
0 = x + 8 x − 180
2
3x 2 − 10 x − 200 = 0
(x − 30)(x + 25) = 0
0 = ( x + 18)( x − 10) ( 3x ) − 10 ( 3x ) − 600 = 0
2
x1 = 30 x2 = − 25
x1 = − 18 x2 = 10 (3x − 30)(3x + 20) = 0
30 → Libros comp.
10 → N º de filas 150
(x − 10)(3x + 20) = 0
180 = $ 5 → Costo cada lib. 20
= 18 → N º soldados 30 x1 = 10 x2 = −
3
10 18. x → Libros comp. 10 → Caballos comp.
cada fila 200
− 10 = x 2 . 000
= $ 200 → Pr ecio c / caballo
x
14. x → Costo del reloj 10
200 − 10x = x 2
x2
x % de x = x 2 + 10 x − 200 = 0 22. x → N º menor
100
x2
+ x = 75
(x + 20)(x − 10) = 0 x + 1 → N º int ermedio
x + 2 → N º mayor
100 x1 = − 20 x2 = 10
x 2 + 100 x = 7 .500 x + 2 3x
10 → Libros comp. =
x + 1 10
x 2 + 100 x − 7 .500 = 0 19. x → Plumas comp.
10 ( x + 2) = 3x ( x + 1)
(x + 150)(x − 50) = 0 24
→ Pr ecio c / u
x 10 x + 20 = 3x 2 + 3x
x1 = − 150 x2 = 50
24 24 0 = 3x 2 − 7 x − 20
50 soles → Costo del reloj − 1=
x x+4
0 = (3x ) − 7 (3x) − 60
2
15. x → Pers. comp. 24 ( x + 4) − x ( x + 4) = 24 x
1. 200 0 = (3x − 12)(3x + 5)
− 194 = x 24 x + 96 − x 2 − 4 x = 24 x
x 0 = ( x − 4)(3x + 5)
1. 200 − 194 x = x 2 x 2 + 4 x − 96 = 0
−5
x 2 + 194 x − 1. 200 = 0 (x + 12)(x − 8) = 0 x1 = 4 x2 =
3
x1 = − 12 x2 = 8
(x + 200)(x − 6) = 0 4 → N º menor
8 → Plumas comp. 4 + 1 = 5 → N º int ermedio
x1 = − 200 x2 = 6
24 4 + 2 = 6 → N º mayor
6 → Pers. comp. el auto = $ 3 → Pr ecio c / u
8

379. 23. x → Un Nº. 26. Continuación 30. x → Personas que van
x 2 − 10 x − 704 = 0 90
180
→ El otro Nº. → Valor c / u
x (x − 32)(x + 22) = 0 x
90 90
180
x1 = 32 x2 = − 22 − 1=
x =1 1 x−3 x
32 → N º mayor
90 x − x ( x − 3) = 90 ( x − 3)
4
x
180 5 352
= = 11 → N º menor 90 x − x 2 + 3x = 90 x − 270
x2 4 32
x → Long. pieza mayor x 2 − 3x − 270 = 0
720 = 5x 2 27.
144 = x 2
20 − x → Long. pieza menor (x − 18)(x + 15) = 0
x ⋅ x = 9 (20 − x)(20 − x ) x1 = 18 x2 = − 15
± 144 = x
x1 = 12 x 2 = − 12 x = 9 (400 − 40 x + x
2 2
) 18 → Personas que van
90
12 → Un Nº. x = 3. 600 − 360x + 9 x 2
2
= $ 5 → Valor c / u
18
180
= 15 → El otro Nº. 0 = 8 x 2 − 360 x + 3. 600
31. x → N º buscado
12
0 = x 2 − 45x + 450 84
x → N º naranjas comp. − 5= x
0 = (x − 30)(x − 15)
24.
x
150
→ Costo c / naranja x1 = 30 x2 = 15 84 − 5x = x 2
x
 150  15m → Long. pieza mayor x 2 + 5x − 84 = 0
 + 1 ( x − 5) = 150
 x  20 − 15 = 5m → Long. pieza menor (x + 12)(x − 7) = 0
(150 + x)(x − 5) = 150x 28. x → Tiempo en horas x1 = − 12 x2 = 7
150 x − 750 + x − 5x = 150 x
2 200
→ Veloc. del tren 7 → N º buscado
x
x 2 − 5x − 750 = 0 32. x → Edad actual A
200 200
= + 10
(x − 30)( x + 25) = 0 x x−1 x − 6= x + 6
x1 = 30 x2 = − 25 200 (x − 1) = 200 x + 10 x ( x − 1) (x − 6) = ( )
2 2
x+6
30 → N º naranjas comp. 200 x − 200 = 200 x + 10 x 2 − 10 x x 2 − 12 x + 36 = x + 6
150
= 5 ctvs. → Costo c / naranja 0 = 10 x 2 − 10 x + 200 x 2 − 13x + 30 = 0
30
0 = x − x + 20
(x − 10)(x − 3) = 0
2
25. x → Costo del caballo
x2 0 = (x − 5)(x + 4) x1 = 10 x2 = 3
+ x = 171 x1 = 5 x2 = − 4
100 10 años → Edad actual A
x + 100x = 17 .100
2
200
x → Libros comp.
= 40 Km h → Veloc. del tren 33.
x + 100 x − 17 .100 = 0
2 5
40
29. x → Dias trabj. → Pr ecio de c / libro
(x + 190)(x − 90) = 0 84
x
x1 = − 190 x2 = 90 → Valor del jornal x − 2 → N º de plumas
x
40 40
90 Q. → Costo del caballo 84 84 = −1
− 1= x x−2
26. x → Nº mayor x x+2
40 ( x − 2) = 40 x − x ( x − 2)
352 84 ( x + 2) − x ( x + 2) = 84 x
→ Nº menor 40 x − 80 = 40 x − x 2 + 2 x
x 84 x + 168 − x − 2 x = 84 x
2
x 10 x 2 − 2 x − 80 = 0
=2+ x 2 + 2 x − 168 = 0
352
x
352
x (x + 14)(x − 12) = 0 (x − 10)(x + 8) = 0
x1 = − 14 x2 = 12 x1 = 10 x2 = − 8
x2 10x
=2+ 10 → Libros comp.
352 352 12 → Dias trabj.
x 2 = 704 + 10x 40
84
= 7 col → Valor del jornal = $ 4 → Pr ecio c / libro
12 10
Continùa

380. EJERCICIO 276
1. 3x + 5x − 2 = 0 7. 2 x − 9 x + 7 = 0
2 2
b − 4ac = 5 − 4 ( 3) (− 2) = 25 + 24 = 49 b 2 − 4ac = (− 9) − 4 (2)( 7) = 81 − 56 = 25
2 2 2
Re ales y desiguales , racionales Re ales y desiguales , racionales
2. 2 x − 4 x + 1 = 0 8. 36x 2 + 12 x + 1 = 0
2
b 2 − 4ac = (− 4) − 4 (2)(1) = 16 − 8 = 8 b 2 − 4ac = (12) − 4 ( 36)(1) = 144 − 144 = 0
2 2
Re ales y desiguales , irracionales Re ales e iguales
3. 4 x − 4 x + 1 = 0 9. 4 x 2 − 5x + 3 = 0
2
b 2 − 4ac = (− 4) − 4 ( 4)(1) = 16 − 16 = 0 b 2 − 4ac = (− 5) − 4 ( 4)( 3) = 25 − 48 = − 23
2 2
Re ales e iguales Im aginarias
4. 3x − 2 x + 5 = 0 10. x + x − 1 = 0
2 2
b 2 − 4ac = (− 2) − 4 ( 3)(5) = 4 − 60 = − 56 b 2 − 4ac = (1) − 4 (1) (− 1) = 1 + 4 = 5
2 2
Im aginarias Re ales y desiguales , irracionales
5. x − 10 x + 25 = 0 11. 5x − 7 x + 8 = 0
2 2
b 2 − 4ac = (− 10) − 4 (1)( 25) = 100 − 100 = 0 b 2 − 4ac = (− 7) − 4 (5)(8) = 49 − 160 = − 111
2 2
Re ales e iguales Im aginarias
6. x − 5x − 5 = 0 12. x − 10 x − 11 = 0
2 2
b 2 − 4ac = (− 5) − 4 (1) (− 5) = 25 + 20 = 45 b 2 − 4ac = (− 10) − 4 (1) (− 11) = 100 + 44 = 144
2 2
Re ales y desiguales , irracionales Re ales y desiguales , racionales
EJERCICIO 277
4. Continuación 7. Continuación
1. x + x − 6 = 0
2
 1 1
Suma − 5 − = −
26
Suma 2 + (− 3) = − 1 Pr oducto − 3   = − 1
 3 5 5
Pr oducto 2 (− 3) = − 6 Si son raices No son raices
8. x 2 + 3x − 28 = 0
Si son raices 5. 5x 2 − 11x + 2 = 0
2. x 2 − 4x − 5 = 0 11x 2 Suma 4 − 7 = − 3
x2 − + =0
Suma 1+ 5 = 6 5 5 Pr oducto 4 (− 7) = − 28
No son raices 1 9 Si son raices
Suma 2 − =
9. 6 x + x − 2 = 0
5 5 2
3. 2 x − x − 1 = 0
2
No son raices
x 1 x 1
x2 − − = 0 6. 4 x 2 + 17 x + 4 = 0 x2 + − = 0
2 2 6 3
1 1 17 x 1 2 1
Suma 1 − = x2 + + 1= 0 Suma − =−
2 2 4 2 3 6
 1 1 1
Suma − 4 − = −
17  1  2 1
Pr oducto 1 −  = − Pr oducto    −  = −
 2 2 4 4  2   3 3
 1 Si son raices
Si son raices Pr oducto − 4  −  = 1
 4
10. 8x − 2x − 3 = 0
2
4. 3x 2 + 8x − 3 = 0
Si son raices
8x 1 3
x2 + − 1= 0 7. 5x 2 + 24x − 5 = 0 x2 − x − = 0
3 4 8
1 8 24 1 3 1
Suma − 3 + = − x2 + x − 1= 0 Suma − =−
3 3 5 2 4 4
Continúa Continúa No son raices

381. EJERCICIO 278
1 1
16. Suma 0− = −
3 3
1. Suma 3 + 4 = 7 9. Suma −
1 3 1
+ =  1
Pr oducto 3(4) = 12 2 4 4 Pr oducto 0  −  = 0
 3
 1   3 3
Luego x 2 − 7 x + 12 = 0 Pr oducto  −    = −
 2  4 8 x
Luego x 2 + =0
2. Suma − 1 + 3 = 2 x 3 3
Luego x 2 − − =0 ⇒ 3x + x = 0
2
Pr oducto − 1( 3) = − 3 4 8
3 17. Suma 5 − 5 = 0
Luego x 2 − 2 x − 3 = 0 ⇒ 4x2 − x − = 0
2 Pr oducto 5 (− 5) = − 25
3. Suma − 5 − 7 = − 12 ⇒ 8x 2 − 2 x − 3 = 0 Luego x 2 − 25 = 0
Pr oducto − 5(− 7) = 35
1 1
Luego x 2 + 12 x + 35 = 0 2 33 18. Suma − =0
10. Suma − 5 + =− 2 2
4. Suma − 10 + 11 = 1
7 7  1  1 1
 2 10 Pr oducto    −  = −
Pr oducto − 10 (11) = − 110 Pr oducto − 5  = −  2  2 4
 7 7 1
Luego x 2 − x − 110 = 0 33x 10 Luego x 2 − =0
Luego x + 2
− =0 4
1 3 7 7 ⇒ 4 x − 1= 0
2
5. Suma 1 + = ⇒ 7 x + 33x − 10 = 0
2
2 2 19. Suma 7 + 7 = 14
 1 1
Pr oducto 1   = Pr oducto 7 ( 7) = 49
 2 2 5 13
11. Suma 6 − = Luego x 2 − 14 x + 49 = 0
3x 1 3 3
Luego x 2 − + =0
2 2  5 11 13
Pr oducto 6  −  = − 10 20. Suma 8 − =
⇒ 2 x − 3x + 1 = 0
2  3 3 3
13  11 88
Luego x 2 − x − 10 = 0 Pr oducto 8  −  = −
1 11 3  3 3
6. Suma − 2 − = −
5 5 ⇒ 3x 2 − 13x − 30 = 0 13 88
Luego x −2
x− =0
 1 2 3 3
Pr oducto − 2  −  =
 5 5 1 17 ⇒ 3x 2 − 13x − 88 = 0
11x 2 12. Suma − 2 − =−
Luego x 2 + + =0 8 8 5 9 16
21. Suma − − =−
5 5  1 1 6 2 3
⇒ 5x + 11x + 2 = 0 Pr oducto − 2  −  =
 8 4
2
 5   9  15
Pr oducto  −   −  =
17 1  6  2  4
2 7 Luego x 2 + x+ =0
7. Suma 3 − = 8 4 16 15
3 3
⇒ 8 x 2 + 17 x + 2 = 0 Luego x 2 + x+ =0
3 4
 2
Pr oducto 3  −  = − 2 ⇒ 12 x 2 + 64 x + 45 = 0
 3
13. Suma 18 − 52 = − 34
Pr oducto 18 (− 52) = − 936
7x 11 2 73
Luego x 2 − −2=0 22. Suma − + =−
3 2 7 14
⇒ 3x − 7 x − 6 = 0
2 Luego x 2 + 34 x − 936 = 0  11  2  11
Pr oducto  −    = −
 2   7 7
14. Suma − 15 − 11 = − 26
3 7
Pr oducto − 15 (− 11) = 165
73 11
8. Suma −2− =− Luego x 2 + x− =0
2 2 14 7
 3 Luego x 2 + 26 x + 165 = 0 ⇒ 14 x 2 + 73x − 22 = 0
Pr oducto − 2  −  = 3
 2
15. Suma 0 + 2 = 2 23. Suma 2a − a = a
7x
Luego x + 2
+ 3= 0 Pr oducto 0 ( 2) = 0 Pr oducto 2a (− a) = − 2a 2
2
⇒ 2x + 7x + 6 = 0
2 Luego x 2 − 2 x = 0 Luego x 2 − ax − 2a 2 = 0

382. 24. Suma −
2b b
+ =−
5b 28. Suma 1 + 2 + 1 − 2 = 2
26. Suma b + a − b = a
( )( )
3 4 12
Pr oducto 1 + 2 1 − 2 = − 1
 2b   b  − b Pr oducto b (a − b) = ab − b2
2
Pr oducto  −    =
 3   4 6 Luego x 2 − 2 x − 1 = 0
Luego x 2 − ax + ab − b2 = 0
2
5b b
Luego x 2 + x− = 0
12 6 29. Suma 2 + 5 + 2 − 5 = 4
a b 3a − 2b
⇒ 12 x 2 + 5bx − 2b2 = 0 27. Suma − =
2 3 6 ( )(
Pr oducto 2 + 5 2 − 5 = − 1 )
25. Suma m − =
m m  a   b  − ab Luego x 2 − 4 x − 1 = 0
Pr oducto    −  =
2 2  2   3 6
 m m2 3a − 2b ab 30. Suma 3 + − 1 + 3 − − 1 = 6
Pr oducto m  −  = − Luego x − 2
x− =0
 2 2
( )( )
6 6
Pr oducto 3 + − 1 3 − − 1 = 10
m
Luego x 2 − x −
m2
=0 ⇒ 6 x 2 − (3a − 2b) x − ab = 0
2 2 Luego x 2 − 6 x + 10 = 0
⇒ 2 x 2 − mx − m2 = 0
EJERCICIO 279
3 95
1. x − 11x + 30 = 0 x2 −
x − 1= 0 x2 + x − 6= 0
2
6. 9.
2 7
(x − 6)(x − 5) = 0 2 x − 3x − 2 = 0
2
7 x + 95x − 42 = 0
2
x1 = 6 x2 = 5 (2 x ) 2 − 3 (2 x ) − 4 = 0 ( 7 x ) 2 + 95 (7 x) − 294 = 0
2. x 2 + 33x + 260 = 0 (2 x − 4)(2 x + 1) = 0 (7 x + 98)(7 x − 3) = 0
x= −
33
±
(33) 2
− 260
(x − 2)(2 x + 1) = 0 (x + 14)(7 x − 3) = 0
2 4 1 3
x1 = 2 x2 = − x1 = − 14 x2 =
− 33 1. 089 − 1. 040 2 7
x= ±
2 4 10
10. x2 + x + 1= 0
− 33 49 22 3
x= ± 7. x2 + x + 8= 0
2 4 3 3x + 10 x + 3 = 0
2
− 33 7 3x + 22 x + 24 = 0
2
− 10 ± (10) − 4 ( 3)( 3)
2
x= ±
2 2 ( 3x ) + 22 (3x ) + 72 = 0
2 x=
2 ( 3)
33 7 − 26
x1 = − + =
2 2 2
= − 13 (3x + 18)(3x + 4) = 0 − 10 ± 64 − 10 ± 8
x= =
− 33 7 − 40 (x + 6)(3x + 4) = 0 6 6
x2 = − = = − 20 − 10 + 8 − 2 1
2 2 2 4 x1 = = =−
x1 = − 6 x2 = − 6 6 3
3
3. x + x − 306 = 0
2
− 10 − 8 − 18
(x + 18)(x − 17) = 0 x 3
x2 =
6
=
6
=−3
x1 = − 18 x2 = 17 8. x2 − − =0 31 3
4 8 11. x2 − x+ =0
4. x + 49 x + 294 = 0
2
8x 2 − 2 x − 3 = 0 40 20
(x + 42)(x + 7) = 0 (8 x )2 − 2 (8 x) − 24 = 0
40x 2 − 31x + 6 = 0
(40 x )2 − 31( 40 x) + 240 = 0
x1 = − 42 x2 = − 7 (8x − 6)(8x + 4) = 0
5. x − 6 x − 247 = 0 (40x − 16)(40x − 15) = 0
(4 x − 3)(2 x + 1) = 0
2
(x − 19)(x + 13) = 0 3 1
(5x − 2)(8x − 3) = 0
x1 = 19 x2 = − 13 x1 = x2 = − 2 3
4 2 x1 = x2 =
5 8

383. x 5 11
12. x2 +− =0 17. x 2 − x − =0
6 9 4
18 x + 3x − 10 = 0
2
4 x 2 − 4 x − 11 = 0
(18 x) 2 + 3 (18x ) − 180 = 0
− (− 4) ± (− 4) − 4 (4) (− 11)
2
(18x + 15)(18x − 12) = 0 x=
2 ( 4)
(6x + 5)(3x − 2) = 0 4 ± 64 ⋅ 3 4 ± 8 3
−5 2 x= =
x1 = x2 = 8 8
( )
6 3
4 + 8 3 4 1+ 2 3 1+ 2 3 1
13. x2 −
7
x− =0
3 x1 = = = = + 3
20 10 8 8 2 2
20 x 2 − 7 x − 6 = 0
x2 = =
(
4 − 8 3 4 1 − 2 3 1− 2 3 1
= = − 3
)
(20 x ) − 7 (20 x ) − 120 = 0
2
8 8 2 2
(20x − 15)(20x + 8) = 0
(4 x − 3)(5x + 2) = 0
−2 4 59
3 18. x 2 + x− =0
x1 = x2 = 3 9
4 5
21x 9 x 2 + 12 x − 59 = 0
14. x2 − − 4= 0
− 12 ± (12) − 4 ( 9) (− 59)
2
5
5x − 21x − 20 = 0
2 x=
2 ( 9)
(5x )2 − 21(5x ) − 100 = 0
− 12 ± 2 . 268 − 12 ± 22 ⋅ 34 ⋅ 7 − 12 ± 18 7
(5x − 25)(5x + 4) = 0 x=
18
=
18
=
18
(x − 5)(5x + 4) = 0 (
− 12 + 18 7 6 − 2 + 3 7 − 2 + 3 7 )
2
4 x1 = = = =− + 7
x1 = 5 x2 = − 18 18 3 3
5
x2 = = =
(
− 12 − 18 7 − 6 2 + 3 7 − 2 − 3 7 )2
=− − 7
59 1
15. x − 2
x+ = 0 18 18 3 3
72 6
72 x 2 − 59 x + 12 = 0
(72 x )2 − 59 (72 x ) + 864 = 0 19. x − ax − 2a = 0
2 2
(72 x − 32)(72 x − 27) = 0 (x − 2a)(x + a) = 0
(9 x − 4)(8x − 3) = 0 x1 = 2a x2 = − a
4 3 20. x + 7bx + 10b = 0
2 2
x1 = x2 =
9 8
(x + 5b)(x + 2b) = 0
16. x − 2 x − 4 = 0
2
x1 = − 5b x2 = − 2b
− (− 2 ) ± (− 2) − 4 (1) (− 4)
2
x=
2 (1) 21. x2 −
mx m2
− =0
2 9
2 ± 20 2 ± 2 5
x= = 18x 2 − 9mx − 2m2 = 0
2 2
(18x )2 − 9m (18x) − 36m2 = 0
2 + 2 5 2 1+ 5 ( )
x1 =
2
=
2
= 1+ 5 (18x − 12m)(18x + 3m) = 0
2 − 2 5 2 1− 5 ( ) (6x − 4m)(6x + m) = 0
x2 = = = 1− 5 4m 2m m
2 2 x1 = = x2 = −
6 3 6

384. EJERCICIO 280
8. 12 x − 25x + 12
2
1. x − 16 x + 63 = 0
2 5. 12 x 2 + 5x − 2 = 0
− 5 ± (5) − 4 (12) (− 2) − (− 25) ± (− 25) − 4 (12)(12)
2
− (− 16) ± (− 16) − 4 ( 63)
2 2
x= x=
x= 2 (12) 2 (12)
2
16 ± 4 16 ± 2 − 5 ± 121 − 5 ± 11 25 ± 49 25 ± 7
x= = x= = x= =
2 2 24 24 24 24
16 + 2 18 − 5 + 11 6 1 25 + 7 32 4
x1 = = =9 x1 = = = x1 = = =
2 2 24 24 4 24 24 3
16 − 2 14 − 5 − 11 − 16 2 25 − 7 18 3
x2 = = =7 x2 = = =− x2 = = =
2 2 24 24 3 24 24 4
x 2 − 16 x + 63 = (x − 9)(x − 7)  1  2  4  3
12 x 2 − 25x + 12 = 12  x −   x − 
12 x 2 + 5x − 2 = 12  x −   x +   3  4
 4  3
2. x + 24 x + 143 = 0
2
 4 x − 1  3x + 2  12 (3x − 4)(4 x − 3)
− 24 ± (24) 2 − 4 (143) = 12  
 4  3 
 =
x= 12
12 (4 x − 1)(3x + 2) = (3x − 4)(4 x − 3)
2
− 24 ± 4 − 24 ± 2 =
x= = 12
2 2
− 24 + 2 − 22 = (4 x − 1)(3x + 2)
x1 = = = − 11
2 2 9. 8 x + 50 x + 63
2
− 24 − 2 − 26 6. 5x + 41x + 8
2
x2 = = = − 13 50 ± (50) − 4 (8)(63)
2
2 2
− 41 ± (41) − 4 (5)(8)
2
x=
2 (8)
[ ][
x 2 + 24 x + 143 = x − (− 11) x − (− 13) ] x=
2 (5)
− 50 ± 484 − 50 ± 22
= (x + 11)(x + 13) − 41 ± 1.521 − 41 ± 39 x= =
x= = 16 16
3. x − 26 x − 155 = 0
2
10 10 − 50 + 22 − 28 7
x1 = = =−
x= −
(− 26) ± ( 26) 2
− (− 155)
x1 =
− 41 + 39
=− =−
2 1 16 16 4
10 10 5 − 50 − 22 72 9
2 4
− 41 − 39 − 80 x2 = =− =−
x2 = = = −8 16 16 2
x = 13 ± 324 = 13 ± 18
10 10  7  9
x1 = 13 + 18 = 31  1 8 x 2 + 50 x + 63 = 8  x +   x + 
x2 = 13 − 18 = − 5 5x 2 + 41x + 8 = 5  x +  (x + 8)  4  2
 5
= (4 x + 7)(2 x + 9)
x 2 − 26 x − 155 = (x − 31)(x + 5) = (5x + 1)(x + 8)
4. 2 x + x − 6 = 0
2
− 1 ± (1) − 4 (2) (− 6)
2 7. 6x 2 + 7 x − 10
10. 27 x + 30 x + 7
2
x=
2 ( 2) − 7 ± (7) − 4 (6) (− 10)
2
x= − 30 ± ( 30) − 4 (27)(7)
2
− 1 ± 49 − 1 ± 7 2 (6) x=
x= = 2 (27)
4 4 − 7 ± 289 − 7 ± 17
x= = − 30 ± 144 − 30 ± 12
− 1+ 7 6 3 12 12 x= =
x1 = = =
4 4 2 − 7 + 17 10 5 54 54
x1 = = = − 30 + 12
− 1− 7 8 12 12 6 x1 = =− =−
18 1
x2 = =− =−2
4 4 − 7 − 17 − 24 54 54 3
x2 = = =−2 − 30 − 12 42 7
 3
2 x 2 + x − 6 = 2  x −  ( x + 2) x2 = =− =−
12 12
 2  5 54 54 9
6x 2 + 7 x − 10 = 6  x −  ( x + 2)  1  7
 2 x − 3  6
= 2  ( x + 2) 27 x 2 + 30 x + 7 = 27  x +   x + 
 3  9
 2  = (6 x − 5)(x + 2)
= (2 x − 3)( x + 2) = (3x + 1)(9 x + 7)

385. 14. Continuación
11. 30 x − 61x + 30
2
 1
− (− 61) ± (− 61) − 4 (30)(30) 5 − 9 x − 2 x 2 = − 2 ( x + 5)  x −
2

x=  2
2 (30)
= − ( x + 5)(2 x − 1)
61 ± 121 61 ± 11
x= = = ( x + 5)(1 − 2 x )
60 60
61 + 11 72 6
x1 = = =
60 60 5 15. 15 + 4 x − 4 x
2
61 − 11 50 5
x2 = = = − 4 ± ( 4) − 4 (15) (− 4)
2
60 60 6 − 4 ± 256
x= x=
 6  5 2 (− 4) −8
30x 2 − 61x + 30 = 30  x −   x − 
 5  6 − 4 + 16 12 3
x1 = = =−
= (5x − 6)(6 x − 5) −8 −8 2
− 4 − 16 − 20 5
12. 11x − 153x − 180
2 x2 = = =
−8 −8 2
− (− 153) ± (− 153) − 4 (11) (− 180)
2
 3  5
x= 15 + 4 x − 4 x 2 = − 4  x +  x− 
2 (11)  2  2
153 ± 31. 329 153 ± 177 = − (2 x + 3)(2 x − 5)
x= =
22 22 = (3 + 2 x)(5 − 2 x )
153 + 177 330
x1 = = = 15
22 22
153 − 177 24 12 16. 4 + 13x − 12 x
2
x2 = =− =−
22 22 11
12 x 2 − 13x − 4
 12 
11x − 153x − 180 = 11( x − 15)  x + 
− (− 13) ± (− 13) − 4 (12) (− 4)
2
2
 11 13 ± 361
x= x=
= ( x − 15)(11x + 12) 2 (12) 24
13 + 19 32 4
13. 6 − x − x
2
x1 = = =
24 24 3
x2 + x − 6 13 − 19 − 6 1
x2 = = =−
− (− 6) = − ±
1 1 1 25 24 24 4
x= − ±
2 4 2 4  4  1
12 x 2 − 13x − 4 = 12  x −   x + 
1 5 4  3  4
x1 = − + = = 2
2 2 2 = (3x − 4)(1 + 4 x )
1 5 6
x2 = − − = − = − 3 4 + 13x − 12 x = (4 − 3x )(1 + 4 x )
2
2 2 2
x 2 + x − 6 = ( x − 2)( x + 3)
6 − x − x 2 = (2 − x )(3 + x ) 17. 72 x − 55x − 7
2
14. 5 − 9 x − 2 x
− (− 55) ± (− 55) − 4 (72) (− 7)
2 2
55 ± 5. 041
x= x=
− (− 9) ± (− 9) − 4 (− 2)(5) 2 ( 72)
2
144
x=
2 (− 2) 55 + 71 126 7
x1 = = =
9 ± 121 9 ± 11 144 144 8
x= = 55 − 71 − 16 1
−4 −4 x2 = = =−
144 144 9
9 + 11 20
x1 = = =−5  7  1
−4 −4 72 x 2 − 55x − 7 = 72  x −   x + 
 8  9
9 − 11 − 2 1
x2 = = = = (8 x − 7)(9 x + 1)
−4 −4 2
Continúa

386. 21. 18 x 2 + 31x − 49
18. 6 + 31x − 30 x − 31 ± (31) − 4 (18) (− 49)
2
2
x=
− 31 ± ( 31) − 4 (− 30) (6) 2 (18)
2
x=
2 (− 30) − 31 ± 4 . 489
x=
− 31 ± 1. 681 36
x= − 31 + 67 36
− 60 x1 = = =1
− 31 + 41 10 1 36 36
x1 = = =− − 31 − 67 − 98 49
− 60 − 60 6 x2 = = =−
− 31 − 41 − 72 6
36 36 18
x2 = = =  49 
− 60 − 60 5 18 x 2 + 31x − 49 = 18 ( x − 1)  x + 
 18 
 1  6
6 + 31x − 30 x 2 = − 30  x +   x − 
 6  5 = ( x − 1)(18x + 49)
= − (6 x + 1)(5x − 6) 22. 6 x − ax − 2a
2 2
= (1 + 6 x)(6 − 5x ) − (− a ) ± (− a ) − 4 ( 6) (− 2a 2 )
2
a ± 49a 2
x= =
2 ( 6) 12
a + 7a 8a 2a
x1 = = =
12 12 3
19. 10 x 2 + 207 x − 63 a − 7a − 6a 1
x2 = = =− a
− 207 ± ( 207) − 4 (10) (− 63) 12 12 2
2
x=  2  a
2 (10) 6 x 2 − ax − 2a 2 = 6  x − a  x + 
 3  2
− 207 ± 45. 369 = (3x − 2a )(2 x + a )
x=
20
23. 5x + 22 xy − 15 y
2 2
− 207 + 213 6 3
x1 = = =
(22 y) − 4 (5) (− 15 y 2 )
2
20 20 10 − 22 y ±
x=
− 207 − 213 − 420 2 (5)
x2 = = = − 21
20 20 − 22 y ± 784 y 2 − 22 ± 28 y
x= =
 3
10 x 2 + 207 x − 63 = 10  x −  ( x + 21)
10 10
 10  − 22 y + 28 y 6 y 3
x1 = = = y
= (10 x − 3)( x + 21)
10 10 5
− 22 y − 28 y 50 y
x2 = =− = − 5y
10 10
 3y 
5x 2 + 22 xy − 15 y 2 = 5  x −  ( x + 5 y )
20. 100 − 15x − x
2  5
x 2 + 15x − 100 = (5x − 3 y )( x + 5 y )
(15) 24. 15x − 32mx − 7m
2 2
2
− (− 100)
15
x= − ±
− (− 32m) ± (− 32m) − 4 (15) (− 7m2 )
2
2 4
x=
− 15 625 2 (15)
x= ±
2 4 32m ± 1. 444m2 32m ± 38m
− 15 25 10 x= =
x1 = + = =5 30 30
2 2 2 32m + 38m 70m 7m
x1 = = =
− 15 25 − 40 30 30 3
x2 = − = = − 20
2 2 2 32m − 38m − 6m m
x2 = = =−
x 2 + 15x − 100 = ( x − 5)( x + 20) 30 30 5
 m  7m 
− x 2 − 15x + 100 = − ( x − 5)( x + 20) 15x − 32mx − 7m = 15  x +   x − 
2 2
 5  3
= (5 − x)(20 + x) = (5x + m)(3x − 7m)

387. EJERCICIO 282
( )
5. x 3 + 8 = 0 8. Continuación
1. x 4 − 1 = 0
(x 2
+ 1)( x 2 − 1) = 0
(x + 2)(x 2
− 2 x + 4) = 0
x=
−3
±
( 3) 2
−9
x+ 2= 0 2 4
x 2 + 1= 0 x 2 − 1= 0 27 − 1 − 3 3 3i
x1 = − 2 −3
x2 = − 1 x2 = 1 x= ± = ±
x − 2x + 4 = 0
2 2 4 2 2
x= ± −1 x= ± 1 − 3− 3 3 i − 3 + 3 3i
− (− 2) (− 2) 2
x3 = x4 =
x= ±i x= ±1 x= ± −4 2 2
2 4 x 2 − 3x + 9 = 0
2. x 3 + 1 = 0
12 2 3 −1
(x + 1)(x 2
− x + 1) = 0 x = 1± −
4
= 1±
2
= 1+ i 3 − (− 3) (− 3)2 − 9
x= ±
x + 1= 0 2 4
x2 = 1 + i 3 x3 = 1 − i 3
x1 = − 1 3 27 − 1 3 3 3 i
6. x − 625 = 0 x= ± = ±
4
x2 − x + 1= 0 2 4 2 2
(x − 25)(x + 25) = 0
2 2
(− 1) ± (− 1) 2
x5 =
3+ 3 3 i
x6 =
3− 3 3i
x= −
2 4
−1 (x + 5)(x − 5)(x 2 + 25) = 0 2 2
x + 5= 0 x − 5= 0
1 3 1 3 −1
x= ± − = ± x1 = − 5 x2 = 5
2 4 2 2
9. x = 8
3
x + 25 = 0
2
1 i 3 1+ i 3
x2 = + = x 2 = − 25 x3 − 8 = 0
2 2 2
1 i 3 1− i 3 x = ± 25 − 1 = ± 5i (x − 2)(x 2
+ 2 x + 4) = 0
x3 = − =
2 2 2 x3 = 5 i x4 = − 5 i x− 2= 0
3. x 4 = 81 x1 = 2
7. x + 64 = 0
3
x2 + 2 x + 4 = 0
x 4 − 81 = 0
(x + 4)(x 2
− 4 x + 16) = 0
(x − 9)(x + 9) = 0
2 2
x+ 4= 0 x=
−2
±
( 2) 2
−4
(x − 3)(x + 3)(x + 9) = 0 2
x1 = − 4 2 4
x − 3= 0 x + 3= 0 x 2 − 4 x + 16 = 0 x = − 1± 3 − 1
x1 = 3 x2 = − 3 x = − 1± 3 i
− (− 4 ) ± (− 4 ) − 4 (1)(16)
2
x + 9= 0
2
x= x2 = − 1 + 3 i
2 (1)
x2 = − 9 x3 = − 1 − 3 i
4 ± 16 − 64
x= ± 9 −1 = ± 9i x=
2
x3 = 3i x4 = − 3i 4 + − 48 4 + 4 3 −1
x2 = = = 2 + 2 3i
4. x 4 − 256 = 0 2 2 10. x 4 = 64
(x − 16)(x + 16) = 0
2 2
x3 =
4 − − 48 4 − 4
=
3 −1
= 2 − 2 3i x 4 − 64 = 0
(x + 4)(x − 4)(x + 16) = 0
2 2
2
8. x − 729 = 0
6 (
x2 − 8 x2 + 8 = 0 )( )
x+ 4= 0 x− 4= 0 x2 = 8 x2 = − 8
x1 = − 4 x2 = 4 (x − 27)(x + 27) = 0
3 3
x = 22 ⋅ 2 x= 8 −1
x 2 + 16 = 0 (x − 3)(x + 3x + 9)(x + 3)(x
2 2
− 3x + 9) = 0
x − 3= 0 x + 3= 0 x= ±2 2 x= ±2 2 i
x 2 = − 16
x1 = 3 x2 = − 3 x1 = 2 2 x3 = 2 2 i
x = ± 16 − 1 = ± 4 i
x3 = 4 i x4 = − 4 i x + 3x + 9 = 0
2
x2 = − 2 2 x4 = − 2 2 i
Continúa

388. EJERCICIO 283
6. x + 16 x − 225 = 0
4 2
10. 9 x 4 − 40 x 2 + 16 = 0
1. x − 10 x + 9 = 0
(x + 25)( x − 9) = 0
4 2
2 2
(x − 9)( x − 1) = 0
2 2 (9 x )
2 2
− 40 (9 x 2 ) + 144 = 0
(x 2
+ 25)( x + 3)(x − 3) = 0
(9 x − 36)(9 x − 4) = 0
(x + 3)(x − 3)(x + 1)(x − 1) = 0
2 2
x + 3= 0 x − 3= 0
x + 3= 0 x − 3= 0
x1 = − 3 x2 = 3 (x − 4)(9 x − 4) = 0
2 2
x1 = − 3 x2 = 3
x 2 + 25 = 0 (x + 2)(x − 2)(9 x − 4) = 0 2
x + 1= 0 x − 1= 0
x = ± 25 − 1 x+ 2= 0 x− 2= 0
x3 = − 1 x4 = 1
x3 = 5 i x4 = − 5 i x1 = − 2 x2 = 2
2. x − 13x + 36 = 0
4 2
9x2 − 4 = 0
7. x − 45x − 196 = 0
4 2
(x 2
− 4)( x − 9) = 0
2
(x − 49)(x + 4) = 0
4
2 2
x= ±
x2 − 4 = 0 x2 − 9 = 0 9
x2 = 4 x2 = 9 (x + 7)(x − 7)(x + 4) = 0 2
2 2
x3 = x4 = −
x+ 7= 0 x − 7= 0 3 3
x= ± 4 x= ± 9
x1 = 2 x3 = 3 x1 = − 7 x2 = 7 11. 25x 4 + 9 x 2 − 16 = 0
x2 + 4 = 0
x2 = − 2 x4 = − 3 25(x 2 ) + 9 x 2 − 16 = 0
2
x2 = − 4
3. x − 29 x + 100 = 0 − 9 ± ( 9) − 4 ( 25) (− 16)
4 2 2
x = 4 − 1 = ± 2i x2 =
(x − 25)(x − 4) = 0
2 2
x3 = 2 i x4 = − 2 i
2 (25)
(x + 5)(x − 5)( x + 2)(x − 2) = 0 − 9 ± 1. 681 − 9 ± 41
8. x − 6 x + 5 = 0
4 2
x2 = =
x + 5= 0 x − 5= 0 50 50
x1 = − 5 x2 = 5 (x 2
− 5)( x 2 − 1) = 0 − 9 + 41 32 16
x2 = = =
x+ 2= 0 x − 2= 0 (x 2
− 5)( x + 1)( x − 1) = 0 50 50 25
x3 = − 2 x4 = 2 x + 1= 0 x − 1= 0 16 4 4
x= ± x = x2 = −
x1 = − 1 x2 = 1 25 1 5 5
4. x − 61x + 900 = 0
4 2
− 9 − 41 − 50
(x 2
− 36)(x 2 − 25) = 0 x2 − 5= 0 x2 =
50
=
50
= −1
x2 = 5
x 2 − 36 = 0 x 2 − 25 = 0 x = ± − 1 x3 = i x4 = − i
x 2 = 36 x 2 = 25 x= ± 5
12. 4 x + 11x − 3 = 0
4 2
x = ± 36 x = ± 25 x3 = 5 x4 = − 5
x1 = 6 x3 = 5
(4 x 2 )2 + 11(4 x 2 ) − 12 = 0
9. 4 x 4 − 37 x 2 + 9 = 0
x2 = − 6 x4 = − 5 (4 x + 12)(4 x − 1) = 0
2 2
(4 x ) 2 2
− 37 (4 x 2 ) + 36 = 0
(x + 3)(4 x − 1) = 0
2 2
5. x + 3x − 4 = 0
4 2
(4 x − 36)(4 x − 1) = 0
2 2
x2 + 3 = 0
(x 2
+ 4)( x 2 − 1) = 0 (x − 9)(4 x − 1) = 0
2 2
x2 = − 3
(x 2
+ 4)( x + 1)( x − 1) = 0 x − 9 = 0 4 x − 1= 0
2 2
x = ± − 3 = ± 3 −1= ± 3i
x + 1= 0 x − 1= 0 1
x1 = − 1 x2 = 1 x =92
x= ± x1 = 3i x2 = − 3i
4
x + 4= 0
2 4x2 − 1= 0
x= ± 9
x2 = − 4 1 (2 x + 1)(2 x − 1) = 0
x1 = 3 x3 = 2 x + 1= 0 2 x − 1= 0
x = 4 − 1 = ± 2i 2
x3 = 2 i x4 = − 2 i 1 1 1
x2 = − 3 x4 = − x3 = − x4 =
2 2 2

389. 13. (2 x + 1) − ( x − 3) = 80
2 2 2 2 2 2
(
14. x 3x + 2 = 4 x − 3 + 13
2
) ( )
4 x + 4 x + 1 − x 4 + 6 x 2 − 9 = 80
4 2
3x + 2 x = 4 x − 12 + 13
4 2 2
3x 4 + 10 x 2 − 88 = 0 3x 4 − 2 x 2 − 1 = 0
(3x 2 )2 + 10 (3x 2 ) − 264 = 0 (3x 2 )2 − 2 (3x 2 ) − 3 = 0
(3x 2
+ 22)(3x − 12) = 0
2
(3x − 3)(3x + 1) = 0
2 2
(3x 2
+ 22)( x − 4) = 0
2
(x − 1)(3x + 1) = 0
2 2
(3x 2
+ 22)( x + 2)( x − 2) = 0
x+ 2= 0 x− 2= 0
(x + 1)(x − 1)(3x + 1) = 0 2
x1 = − 2 x2 = 2 x + 1= 0 x − 1= 0
3x + 22 = 0
2 x1 = − 1 x2 = 1
− 22 3x 2 + 1 = 0
x2 =
3 −1 i
22 − 1 x= =±
x= ± 3 3
3
i 3 i 3
22 3 i 66 x3 = ⋅ =
x3 = i ⋅ = 3 3 3
3 3 3
22 3 − i 66 i 3 i 3
x4 = − i ⋅ = x4 = − ⋅ =−
3 3 3 3 3 3
EJERCICIO 284
4. x 8 − 41x 4 + 400 = 0
1. x − 7 x − 8 = 0
6 3
2. x + 30 x + 81 = 0
6 3 (x 4
− 25)( x 4 − 16) = 0
(x 3
− 8)( x 3 + 1) = 0 (x 3
+ 27)( x 3 + 3) = 0
(x 2
+ 5)(x 2 − 5)( x 2 + 4)( x 2 − 4) = 0
x3 − 8 = 0 x 3 + 1= 0 x2 − 5= 0 x2 − 4 = 0
x 3 + 27 = 0 x3 + 3= 0
x3 = 8 x3 = − 1 x= ± 5 x= ± 4
x 3 = − 27 x3 = − 3
x= 3 8 x= 3 −1 x= ±2
x= 3 − 27 x=3 −3
5. x − 33x + 32 = 0
10 5
x1 = 2 x2 = − 1
x= − 3 x= − 3 3
(x − 8) = 0
3
(x 5
− 32)( x5 − 1) = 0
(x − 2)(x + 2 x + 4) = 0
2 x 5 − 32 = 0 x5 − 1= 0
3. 8 x + 15x − 2 = 0
6 3
x = 5 32 x= 5 1
x2 + 2x + 4 = 0
(ver ejerc. 282 prob.9) (8x ) 3 2
+ 15 (8 x ) − 16 = 0
3 x=2 x=1
x3 = − 1 + 3 i (8x + 16)(8x − 1) = 0
3 3 −4 −2
6. x − 13x + 36 = 0
x4 = − 1 − 3 i (x + 2)(8x − 1) = 0
3 3 (x −2
− 9)( x − 2 − 4) = 0
x −2 − 9 = 0 x −2 − 4 = 0
(x + 1) = 0
3 x3 + 2 = 0 8x 3 − 1 = 0
x −2
=9 x −2 = 4
(x + 1)(x − x + 1)
2
x =−2
3
x=
1 1
=9
1
=4
(ver ejerc. 282 prob.2) 1
8 x2
1
x2
1
x= 3 −2 x= = x2 = x2
1+ 3 i 1− 3 i 2 9 4
x5 = x6 =
2 2 1 1
x= −3 2 ± =x ± =x
9 4
1 1 1 1
x1 = ; x2 = − ; x3 = ; x4 = −
3 3 2 2

390. − 10 −5
8. x = 242 x + 243
3
−6 −3
9. x3 − 9x 2 + 8 = 0
7. x + 35x = − 216 x −10 −5
− 242 x − 243 = 0
 2  2 
3 3
x − 6 + 35x − 3 + 216 = 0 (x −5
− 243)(x −5 + 1) = 0  x − 8  x − 1 = 0
  
(x −3
+ 27)( x − 3 + 8) = 0 x − 5 − 243 = 0 x −5 + 1 = 0 3 3
−3
x + 27 = 0 −3
x + 8= 0 −5 −5 x2 − 8= 0 x 2 − 1= 0
x = 243 x = −1
x − 3 = − 27 x −3 = − 8 1 1 x3 = 8 x3 = 1
= 243 = −1
1 1 x5 x5 x = 64
3
x3 = 1
= − 27 =−8
x3 x3 1 1 x = 3 64 x=1
5 =x 5 =x
1 1 243 −1
3 =x 3 =x x= 4
− 27 −8 1
x= x= −1 1 1
1 1 3 12. 2 x 2 − 5x 4 + 2 = 0
x= − x= −
3 2 11. 3x = 16 x − 5 1
 1
4 x 2 − 5 2 x 4  + 4 = 0
 
1
3x − 16 x + 5 = 0 2
 4  4 
1 1
 1  2 x − 4  2 x − 1 = 0
9 x − 16  3x 2  + 15 = 0
1
10. x + x = 6
  
2
 
1  4  4 
1 1
x + x2 − 6= 0  2 1
 1   x − 2  2 x − 1 = 0
 3x − 15   3x 2 − 1  = 0   
  
 1  2  1
 x 2 + 3  x − 2 = 0
1 1
1 1
   3x − 15 = 0 3x − 1 = 0
2 2 x4 − 2 = 0 2 x 4 − 1= 0
1 1 1
x + 3= 0 x − 2 = 0
2 2
x=
15
x=
1 x4 = 2 24 x =1
3 3
x=−3 x=2
4
 1
 1
2 4
x=2 x= 
x = (5)  2
x = (− 3) x= 
2
x = ( 2)
2 2
 3
1
x=9 x=4 x = ( 2) x=
4
1
x = 25 x= 16
9 x = 16
EJERCICIO 285
5 + 24 3. 8 + 28
1. 5. 14 + 132 7. 11 + 2 30
m = (8) − 28
2
m = (5) − 24
2
m = (14) − 132 11 + 120
2
m= 1 m = 36
m = 64 = 8 m = (11) − 120 = 1
2
m= 1 m= 6
14 + 8 14 − 8 11 + 1 11 − 1
5+ 1 5− 1 8+ 6 8− 6 = + = +
= + = + 2 2 2 2
2 2 2 2
= 11 + 3 = 6+ 5
= 3+ 2 = 7 +1
84 − 18 3
2. 8 − 60 4. 32 − 700 8.
13 + 88 84 − 972
m = (8) − 60 m = (32) − 700 6.
2 2
m = (13) − 88
2
m = (84) − 972
2
m= 4 m = 324 = 18
m= 2 32 + 18 32 − 18
m = 81 = 9 m = 6 . 084 = 78
= −
8+ 2 8− 2 2 2 13 + 9 13 − 9 84 + 78 84 − 78
= − = + = −
2 2 = 25 − 7 2 2 2 2
= 5− 3 = 5− 7 = 11 + 2 = 81 − 3 = 9 − 3

391. 21 + 6 10
9.
14. 253 − 60 7
21 + 360
253 − 25. 200 9 1
+
m = (21) − 360
2
16 8
m = ( 253) − 25. 200
2 18.
m = 81 = 9  9 1
2
m = 38 . 809 = 197 m=   −
21 + 9 21− 9  16  8
= + = 15 + 6 253 + 197 253 − 197
2 2 = − 49 7
2 2 m= =
28 + 14 3 256 16
10. = 225 − 28 = 15 − 2 7
9 7 9 7
28 + 588 + −
15. 293 − 30 22 = 16 16 + 16 16
m = ( 28) − 588 2 2
2
293 − 19 .800 1 1 2 1
m = 196 = 14 = + = +
m = ( 293) − 19 .800 2 16 2 4
2
28 + 14 28 − 14
= + m = 66 . 049 = 257
2 2
= 21 + 7 293 + 257 293 − 257
= − 19. 6+ 4 2
2 2
14 − 4 6
11.
= 275 − 18 = 5 11 − 3 2 6 + 32
14 − 96
m = (6) − 32
2
5 2
m = (14) − 96
2 +
16. 6 3 m= 4 = 2
m = 100 = 10  5 2
2
6+ 2 6− 2
m=   − = +
14 + 10 14 − 10  6 3 2 2
= −
2 2 1 1 = 4 + 2 = 2+ 2
m= =
= 12 − 2 36 6
= 22 ⋅ 3 − 2 = 2 3 − 2 5 1 5 1
+ − 7+ 4 3
= 6 6+ 6 6 20.
12. 55 + 30 2 2 2
7 + 48
55 + 1. 800 =
1
+
1
=
1 2
+
1 3
m = ( 7) − 48 = 1
2
2 3 2 2 3 3
m = (55) − 1. 800
2
1 1 7+1 7−1
= 2+ 3 = +
m = 1. 225 = 35 2 3 2 2
55 + 35 55 − 35 3 1 = 4 + 3= 2+ 3
= + −
2 2 17. 4 2
= 45 + 10 = 3 5 + 10  3 1
2
m=   − 8+ 2 7
73 − 12 35  4 2 21.
13.
1 1 8 + 28
73 − 5. 040 m= =
16 4 m = (8) − 28
2
m = ( 73) − 5. 040
2
3 1 3 1
+ − m = 36 = 6
m = 289 = 17 = 4 4− 4 4
2 2 8+ 6 8− 6
73 + 17 73 − 17 = +
= − 1 1 2 1 2 2
2 2 = − = −
2 4 2 2 = 7 +1
= 45 − 28 = 3 5 − 2 7

392. 22. 10 + 2 21 24 − 2 143 26. 9+ 6 2
24.
10 + 84 24 − 572 9 + 72
m = (10) − 84 m = ( 24) − 572 m = (9) − 72
2 2 2
m = 16 = 4 m= 4 = 2 m= 9 = 3
10 + 4 10 − 4 24 + 2 24 − 2 9+ 3 9− 3
= + = − = +
2 2 2 2 2 2
= 7+ 3 = 13 − 11 = 6+ 3
23. 18 + 6 5 25. 30 − 20 2 27. 98 − 24 5
18 + 180 30 − 800 98 − 2 . 880
m = (18) − 180 m = ( 30) − 800 m = ( 98) − 2 . 880
2 2 2
m = 144 = 12 m = 100 = 10 m = 6 . 724 = 82
18 + 12 18 − 12 30 + 10 30 − 10 98 + 82 98 − 82
= + = − = −
2 2 2 2 2 2
= 15 + 3 = 20 − 10 = 2 5 − 10 = 90 − 8 = 3 10 − 2 2
EJERCICIO 286
Los problemas de este ejercicio se resuelven aplicando la siguiente formula:
u = a + (n - 1) r donde:
u es el término enésimo ; a es el primer termino de la progresión ; n es la cantidad de
términos ; r es la razón de cambio.
1. a = 7 n = 9 r = 10 − 7 = 3 1 3 1 1 7 21 7 7
11. a = n = 12 r = − = 15. a = n = 27 r = − =
u = 7 + 8 (3) = 7 + 24 = 31 2 4 2 4 2 4 2 4
2. a = 5 n = 12 r = 10 − 5 = 5 1  1  1 11 13 7  7  7 91 98
u = + 11  = + = = 3 4 u = + 26   = +
1
= = 49
u = 5 + 11(5) = 5 + 55 = 60 2  4 2 4 4 2  4 2 2 2
3. a = 9 n = 48 r = 15 − 12 = 3 2
12. a = n = 17 r = − =
5 2 1 7
16. a = n = 36 r = − = −
1 7 4
u = 9 + 47 (3) = 9 + 141 = 150 3 6 3 6 9 3 9 9
2  1 7  4
4. a = 3 n = 63 r = 17 − 10 = 7 u = + 16   u = + 35  − 
3  6 9  9
u = 3 + 62 (7) = 3 + 434 = 437
2 8 10 7 140 133
5. a = 11 n = 12 r = 6 − 11 = − 5 u= + = = 33 1
u= − =− = − 14 7 9
3 3 3 9 9 9
u = 11 + 11(− 5) = 11 − 55 = − 44 3 11 3 1
13. a = n = 25 r = − = 17. a = 2 n = 15 r = 1 − 2 = − 9
6. a = 19 n = 28 r = 5 − 12 = − 7 8 24 8 12 7 8 7 56
u = 19 + 27 (− 7) = 19 − 189 = − 170 3  1 2  9
u = + 24   u = + 14  − 
7. a = 3 n = 13 r = − 5 − (− 1) = − 4 8  12  7  56 
u = 3 + 12 (− 4) = 3 − 48 = − 45
3 19 2 126 110
u= + 2 = = 2 8 3
u= − =− = − 1 27
28
8 8 7 56 56
8. a = 8 n = 54 r = 0 − 8 = − 8
1 7 1 13
u = 8 + 53 (− 8) = 8 − 424 = − 416 14. a = n = 19 r = − =
3 14 3 1
18. a = − n = 21 r = − + =−
3 8 3 24 5 15 5 3
9. a = − 7 n = 31 r = 1 − (− 3) = 4 1  13  3  1
u = + 18   u = − + 20  − 
u = − 7 + 30 (4) = − 7 + 120 = 113 3  24  5  3
10. a = − 8 n = 17 r = 12 − 2 = 10 1 39 121 3 20 109
u= + = = 10 12
1
u= − − =− = − 7 15
4
u = − 8 + 16 (10) = − 8 + 160 = 152 3 4 12 5 3 15

393. 1 9 1 14 27 14 1 24. a = − 4 n = 19
19. a = − n = 13 r = − + = − 2 22. a = n = 41 r = − =−
4 4 4 5 10 5 10 2 10
r= − + 4=
u = − + 12 (− 2) = − − 24 = −
1 1 97
= − 24 4
1 14  1 3 3
4 4 4 u= + 40  − 
5  10   10 
5 1 5 1 u = − 4 + 18  
20. a = − n = 19 r = − + = 14 6  3
6 3 6 2 u= − 4 = − = − 11
5 5
5
u = − 4 + 60 = 56
5  1 5 49
u = − + 18   = − + 9 = = 81 3 3 3 9 25. a = 3 n = 39
 2 6
23. a = − n = 26 r =
6 6 6 + =
5 10 5 10 5 17
11 35 11 3 r = − − 3= −
21. a = n = 33 r = − =− 3  9 4 4
3 12 3 4 u = − + 25  
5  10   17 
u = 3 + 38  − 
11  3  11 61
 4
u= + 32  −  = − 24 = − = − 20 1
3  4 3 3 3 3 45 219
u= − + = = 21 10
9
323 317
5 2 10 u = 3− =− = − 158 2
1
2 2
EJERCICIO 287
Para resolver los problemas de este ejercicio se utilizan las siguientes formulas:
u− a u− a+ r
a = u − (n − 1) r r= n=
n−1 r
Donde u es el término enésimo ; r es la razón de cambio ; n es la cantidad de términos ;
a es el primer término de la progresión.
2
1. u = 20 r = n = 15 4. Continuación 10. a = 4 u = 30
7
4 2 r =6−4=2
 2 r= =
a = 20 − (14)   6 3 30 − 4 + 2 28
 7 n= = = 14
25  2
a = 20 − 4 = 16 a= − ( 6)   2 2
3  3
11. a = 5 u = 18
2. u = − 18 n = 32 r = 3 a=
25 12 13
− = =41 16 1
r= −5=
3
a = − 18 − (31)( 3) 3 3 3
3 3
5. a = 3 n = 6 u = 8
a = − 18 − 93 = − 111 1
8−3 5 18 − 5 +
r= = =1 n= 3
6 −1 5
3. u = 1 n = 9 r = 1 − 3 = 1 1
4 4 6. a = − 1 n = 10 u = − 4 3
 1
a = 1− (8)   = 1 − 2 = − 1 − 4 − (− 1) 3 1 13 +
1 40
 4 r= =− =− n= 3 = 3 = 40
10 − 1 9 3 1 1
1 3 3 3
25 7. a = n = 17 u = −
4. u = n= 7 2 8
3 26
Se plantea la ecuación
3 1
− − −
7 12. a = u = 18
8 2 = 8 =− 7 5
para encontrar la razón r= 26 4
17 − 1 16 128 r=6− =
25 5 5
− 2r = 7 8. a = 5 n = 18 u = − 80
3 26 4
− 80 − 5 − 85 18 − +
25 r= = =−5 n= 5 5
− 2r = 7 − 18 − 1 17 4
3
4 9. a = − 42 n = 92 u = 1. 050 5
− 2r = −
1. 050 − (− 42) 1. 092
22 68
3 18 −
r= = = 12 n= 5 = 5 = 68 = 17
Continúa 92 − 1 91 4 4 4
5 5

394. EJERCICIO 288
1. r = 19 − 15 = 4 7. a =
1
n= 9 r=
1
11. a =
7
n = 11 r =
4
a = 15 n=8 2 2 3 5
1  1 47 7 47 − 35 4
u = 15 + (7) 4 u = + (8)   r= − = =
2  2 15 3 15 5
u = 15 + 28 = 43
1 9 7  4
s=
(15 + 43)8 u= + 4=
2 2
u = + 10  
3  5
2  1 9 7 31
s = (58)(4) = 232  +  ( 9) u= + 8=
 2 2 3 3
s=
2. a = 31 n = 19 2  7 31
11 + 
r=7
45 3 3
s = = 22 1 2 s=
2 2
u = 31 + (18) 7
418
u = 31 + 126 = 157 3 1 s= = 69 2
3
8. a = n = 14 r = 6
s=
(31 + 157)(19) 10 10
3  1
2 u = + (13)  
3. 572 10  10  13
s= = 1. 786 12. a = n = 46
2 3 13 8 4
u= + =
73 13 8 2
3. a = 42 n = 24 r = − 10
10 10 5
r= − = =
 3 8
u = 42 + (23) (− 10)
20 4 20 5
 +  (14)
 10 5 13  2
u = − 188 s= u = + 45  
2 4  5
s=
(42 − 188) (24) 133 13 85
s= = 13 10
3
u= + 18 =
2 10 4 4
s = (− 146) (12) = − 1. 752  13 85
3 3 46  + 
9. a = n = 19 r =  4 4
4. a = − 10 n = 80 r = 4 4 4 s=
u = − 10 + ( 79)( 4) 3  3
2
u = + 18   4 . 508
u = − 10 + 316 = 306 4  4 s= = 563 2
1
8
s=
(− 10 + 306)(80) 3 27 57
u= + =
2 4 2 4
1 9
s = ( 296)( 40) = 11.840  3 57  13. a = − 2 n = 17 r = + 2=
19  +  4 4
4 4 
5. a = 11 n = 60 r = − 10 s=  9
u = − 2 + 16   = − 2 + 36 = 34
2
u = 11 + (59) (− 10)  4
19 (15) 285
u = 11 − 590 = − 579 s= = = 142 1 17 (− 2 + 34)
= 17 (16) = 272
2
2 2 s=
s=
(11 − 579)(60) 2
2 2 3
10. a = n = 34 r = −
s = (− 568) ( 30) = − 17 . 040 5 11 14. a = − 5 n = 12 r=−
37
+ 5=
3
2  3 8 8
6. a = − 5 n = 50 r = − 8 u = + 33  − 
5  11  3 7
u = − 5 + ( 49) (− 8)
u = − 5 + 11  = −
2 43  8 8
u = − 5 − 392 = − 397 u= − 9= −
5 5  7
12  − 5 − 
s=
(− 5 − 397)(50)  2 43
34  −  s=
 8
2 5 5 2
s=
s = (− 402 ) ( 25) = − 10 . 050 2  47 
s = 6 −  = −
141
= − 35 4
1
1. 394  8 4
s= − = − 139 2
5
10

395. EJERCICIO 289
1. u = 11 a = 3 n = 5
6. u = 3 a = 1 m = 3
11− 3 8
r= = =2 3 −1 2 1
5 −1 4 r= = =
3 +1 4 2
⇒3+2=5
1 3
5+2=7 ⇒ 1+ =
2 2
7+ 2=9
3 1
Luego ÷ 3. 5. 7. 9. 11. + =2
2 2
2. u = − 5 a = 19 m = 7 1 5
2+ =
− 5 − 19 − 24 2 2
r= = = −3
7 +1 8 3 5
Luego ÷ 1 . 2. . 3.
.
⇒ 19 − 3 = 16 2 2
16 − 3 = 13 ÷ 1 1 2 . 2. 2 2 . 3.
. 1 1
13 − 3 = 10
10 − 3 = 7 7. u = 12 a = 5 n = 6
7−3=4 12 − 5 7
4 − 3 =1 r= =
6 −1 5
1− 3 = − 2 7 32
Luego ÷ 19. 16. 13. 10. 7. 4. 1. − 2. − 5. ⇒5+ =
5 5
3. u = − 73 a = − 13 n = 7 32 7 39
+ =
− 73 + 13 − 60 5 5 5
r= = = − 10
7 −1 6 39 7 46
+ =
⇒ − 13 − 10 = − 23 5 5 5
− 23 − 10 = − 33 46 7 53
+ =
− 33 − 10 = − 43 5 5 5
32 39 46 53
− 43 − 10 = − 53 Luego ÷ 5. . . . . 12.
5 5 5 5
− 53 − 10 = − 63
÷ 5. 6 2 . 7 4 . 9 5 . 10 5 . 12.
1 3
Luego ÷ − 13. − 23. − 33. − 43. − 53. − 63. − 73. 5 5
4. u = 53 a = − 42 m = 4
53 + 42 95 8. u = 3 a = − 4 m = 5
r= = = 19
4 +1 5 3+4 7
r= =
⇒ − 42 + 19 = − 23 5 +1 6
− 23 + 19 = − 4 7 17
⇒−4+ =−
− 4 + 19 = 15 6 6
15 + 19 = 34 17 7 5
− + =−
Luego ÷ − 42. − 23. − 4. 15. 34. 53. 6 6 3
5 7 1
5. u = − 9 a = − 81 n = 7 − + =−
3 6 2
− 9 + 81 72
r= = = 12 1 7 2
7 −1 6 − + =
2 6 3
⇒ − 81+ 12 = − 69 2 7 11
− 69 + 12 = − 57 + =
3 6 6
− 57 + 12 = − 45 17 5 1 2 11
Luego ÷ − 4. − . − . − . . . 3.
− 45 + 12 = − 33 6 3 2 3 6
− 33 + 12 = − 21 1 2
÷ − 4. − 2 5 . − 1 2 . − . . − 1 5 . 3.
6 3 6
Luego ÷ − 81 − 69. − 57. − 45. − 33. − 21 − 9.
. . 2 3

396. 11. Continuación
1 3
9. u = a= n=7 13 19 5
8 4 − =
48 144 36
1 3 5
− − 5 19 1
8 4 = 8 =− 5 − =
r= 36 144 144
7 −1 6 48
2 77 29 13 5 1 1
3 5 31 Luego ÷ . . . . . .− .
⇒ − = 3 144 72 48 36 144 8
4 48 48
31 5 13 12. u = − 5 a = − 2 m = 7
− =
48 48 24 −5+2 3
r= =−
13 5 7 7 +1 8
− =
24 48 16 3 19
⇒−2− =−
7 5 1 8 8
− =
16 48 3 19 3 11
− − =−
1 5 11 8 8 4
− =
3 48 48 11 3 25
− − =−
3 31 13 7 1 11 1 4 8 8
Luego ÷ . . . . . . .
4 48 24 16 3 48 8 25 3 7
− − =−
8 8 2
10. u = 3 a = − 1 m = 6 7 3 31
− − =−
3 +1 4 2 8 8
r= =
6 +1 7 31 3 17
− − =−
4 3 8 8 4
⇒ − 1+ = −
7 7 17 3 37
− − =−
3 4 1 4 8 8
− + =
7 7 7 Luego ÷ − 2. − 2 3 . − 2 3 . − 3 8 . − 3 2 . − 3 7 . − 4 4 . − 4 5 . − 5.
8 4
1 1
8
1
8
1 4 5
+ = 7 1
7 7 7 13. u = − a= n = 10
5 4 9 10 2
+ = 7 1 6
7 7 7 − − −
9 4 13 r= 10 2 = 5 = − 2
+ = 10 − 1 9 15
7 7 7
13 4 17 1 2 11
+ = ⇒ − =
7 7 7 2 15 30
3 1 5 9 13 17 11 2 7
Luego ÷ − 1 − . . . .
. . . 3. − =
7 7 7 7 7 7 30 15 30
3 1 5 7 2 1
÷ − 1 − . . . 1 2 . 1 6 . 2 7 . 3.
. 7 7
3 − =
7 7 7 30 15 10
1 2 1
− =−
1 2 10 15 30
11. u = − a= n= 7
8 3 1 2 1
− − =−
1 2 19 30 15 6
− − −
19
r = 8 3 = 24 = − 1 2
− − =−
3
7 −1 6 144 6 15 10
2 19 77 3 2 13
⇒ − = − − =−
3 144 144 10 15 30
77 19 29 13 2 17
− = − − =−
144 144 72 30 15 30
29 19 13 Luego
− =
72 144 48 1 11 7 1 1 1 3 13 17 7
÷ . . . .− .− .− .− .− .− .
Continúa 2 30 30 10 30 6 10 30 30 10

397. EJERCICIO 290 11. Continuación.
x 3x
7. 32 → N º normal de ⇒ + x+ = 2 . 400
1. a = 7 n = 20 r = 7 2 2
dientes en la boca
u = 7 + (19)( 7) x + 2 x + 3x = 4 .800
de un adulto 6 x = 4 .800
u = 7 + 133 = 140
a = 10 n = 32 r = 2
s=
(7 + 140)(20) u = 10 + (31)(2) = 72
x = 800
x 800
2 El 1º año ahorro → = = 400 sucres
s = 147 ⋅ 10 = 1. 470 s=
(10 + 72) (32) 2 2
2 Para el 2º año
2. a = 5 n = 80 r = 5 s = 1. 312 ÷ 10 x 800
a = 400 n = 2 r== = 400
u = 5 + ( 79)(5) s = $ 131, 20 2 2
u = 5 + 395 = 400 8. a = 77 n = 72 r = 11 u = 400 + (1)( 400) = 800 sucres
s=
(5 + 400)(80) u = 77 + (71)(11) = 858 Para el 3º año
a = 400 n = 3 r = 400
2 (77 + 858) (72)
s = 405⋅ 40 = 16 . 200 s= u = 400 + ( 2)(400) = 1. 200 sucres
2
s = 935⋅ 36 = 33. 660 12. 2º y 4º = 22
3. a = 9 n = 43 r = 10
9. n = 5⋅ 12 = 60 3º y 7º = 34
u = 9 + ( 42)(10)
a=2 r=3
u = 9 + 420 = 429 El tér min o medio entre
u = 2 + (59)( 3)
s=
(9 + 429)(43) u = 2 + 177 = 179
el 2º y el 4º es el 3º
por tan to es una progresión
2
s = 219 ⋅ 43 = 9 . 417
s=
(2 + 179)(60) impar. Luego el duplo
2 del 3º tér min o es 22
4. a = 2 n = 100 r = 2 s = 181⋅ 30 = 5. 430 bs. x → 3er tér min o
u = 2 + (99)(2) 10. a = 600 r = 25 2x = 22
u = 2 + 198 = 200 Si n = 8 x = 11
s=
(2 + 200)(100) u = 600 + ( 7)( 25) Luego 11 → 3er tér min o
2 u = 775 ÷ 100 Como 3º + 7º = 34
s = 202 ⋅ 50 = 10 .100 Avanzó 7 , 75 m en 11+ 7º = 34
el 8º segundo 7º = 23
5. a = 9 n = 100 r = 2
s → Dis tan cia 23 → es el 7º tér min o
u = 9 + ( 99)(2)
recorrida en 8 seg. Interpolación para conocer
u = 9 + 198 = 207
(600 + 775)(8) el 4º tér min o
s=
(9 + 207)(100) s=
2 ÷ 11 . . . 23
2 s = 1. 375⋅ 4 Donde n = 5 a = 11 u = 23
s = 216 ⋅ 50 = 10 .800 23 − 11 12
s = 5 . 500 ÷ 100 = 55 m
r= = =3
5 −1 4
6. a = 8 n = 50 r = 3 11. s = 2 . 400 n = 3
4º tér min o → 3º + r = 11+ 3 = 14
u = 8 + (49)(3) x → Ahorro el 2º año
2º tér min o → 22 − 4º = 22 − 14 = 8
u = 8 + 147 = 155 x
→ Ahorro el 1º año
s=
(8 + 155)(50) 2 13. n = 32 a = 5 r=3
2 r=x− =
x x u = 5 + (31)(3)
2 2
s = 163⋅ 25 u = 5 + 93 = 98
Luego el 3º año Ahorro:
s = 4 . 075 ÷ 100
x 3x s=
(5 + 98) 32
s = $ 40 , 75 x+ =
2 2 2
Continúa s = 103⋅ 16 = $ 1. 648

398. 14. a = 50 r= −51 n =8
21. a = 51 r = 2 u = 813
2
17. a = 500 u = 1. 900 r = 200
 11
u = 50 + ( 7)  −  1. 900 − 500 + 200 813 − 51 + 2 764
 2 n= n= = = 382
200 2 2
100 − 77 23
u=
2
= = 11 2 Km
2
1 n = 8 años
s=
(813 + 51)( 382)
2
 23 18. n = 11 a = 1.180 u = 6 .180
 50 +  8
 s = (864)(191) = 165. 024
2 6 .180 − 1.180
s= = 246 Km r=
2 11− 1
15. 3º y 10º tér min os son 22. 5º → 31 9º → 59
5 . 000
equidis tan tes a los r= = $ 500
10 int erpolando
extremos 1º y 12º,Luego n=5 a = 31 u = 59
la suma de estos extremos 19. n = 5 u = 3. 000 r = − 300 59 − 31 28
r= = =7
es igual a las suma de a = 3. 000 − ( 4) (− 300) 5 −1 4
los tér min os equidis tan tes a = 3. 000 + 1. 200 = 4 . 200 soles 10º térm. → 59 + 7 = 66
3º + 10º = 1º + 12º 11º térm. → 66 + 7 = 73
como 1º + 12º = 53 2
1
12º térm. → 73 + 7 = 80
20. a = 161 r = 322 n = 5
⇒ 3º + 10º = 53 2
1
u = 161 + (4)( 322) = 1. 449
n = 11 a = − 2 u = − 52
16.
(1. 449 + 161)(5) 23. n = 3 a = 12 . 500 u = 20 . 500
− 52 − (− 2) 50 s= a + u = 12 .500 + 20 .500
r= = − = −5 2
11− 1 10
s=
(1. 610) (5) a + u = 33 . 000
2º térm. → − 2 − 5 = − 7
2 Luego 2 (2º term.) = 33 . 000
3º térm. → − 7 − 5 = − 12 8 . 050 2º term. = 16 . 500 colones
4º térm. → − 12 − 5 = − 17 s= = 4 . 025
2
5º térm. → − 17 − 5 = − 22 = 4 . 025 ÷ 10 = 402 , 5 pies
6º térm. → − 22 − 5 = − 27
EJERCICIO 291 8. a = − 3 n = 6
r = 6 ÷ (− 3) = − 2
1. a = 3 n = 7
[ ]
1
4. a = 1 n = 6 6. a = n= 6 u = − 3 (− 2 )
5
r = 6 ÷ 3= 2 2
u = − 3 (− 32) = 96
4 5 2
u = 3 (2 )
7 −1 r= ⋅ = 1 2
25 2 5 r = ⋅2=
5 5 9. a = 3 n = 9
u = 3 (2 6
)   2  6 −1  1   2  6−1 
u = 1    u =    1
u = 3⋅ 64 = 192  5   2  5  r = − 1÷ 3 = −
3
1 25 32 24  1 
2. a = n=8
8
u= = 16
3 55 3 .125 u= = u = 3  −  
55 3 .125
r = 3 ÷ 1= 3   3 
1 1
(3 )
1 8 −1 u= 7 =
u= 5. a = 3 n = 7 3 2 .187
3 9
2 7. a = n= 8
u = 3 = 729
6
r = 2 ÷ 3= 4 10. a =
5
n= 5
3. a = 8 n = 9 3 4 4 6
  2  7 −1  r = 3⋅ = 1 6 3
r = 4 ÷ 8=
1 u = 3    9 3 r= ⋅ =
  3 
2 5 5
9  4  
7
2
u =    5   3 
4
  1  9 −1  2 6 64 4  3  u =   
u = 8    u= = 6  5 
 2   35 243 4 6 4 . 096
u= = = 16 208
243 33 27
8 1 1 35 243 u= =
u= 8 = 5 = 2 ⋅ 53 250
2 2 32

399. 3 3 3
12. a = n=8 13. a = − n=5 14. a = − n = 10
11. a = 16 n = 8 4 5 4
r = 1 ÷ (− 4) = −
1 3  5
r = (− 2 ) = −
1 2 5 1  4 1
r= −  = − r= − −  =
4 3 3 2  3 2 4  3 3
 1  7
3  2  
7
3  5   3   1 
4 9
u = 16   −   u =  −   u= −
 4   4  3   −   u= −   
5  2   4   3 
1 1 25
u= − 5 = − u= − =−
32 3⋅ 53 375 1 1
4 1. 024 u= − 4 = − = − 23 16
7 u= − =−
36 729 2 16 4 ⋅ 38 26 . 244
EJERCICIO 292
1 1 1
1. r = u= n= 7 4. a = 2 u = 64 n=6 8. a = 8 u = n= 7
2 64 512
1 1 64 26 5 5 1
6 r=5 = 5 = 2 =2
a= 64 = 2 6 = 2 = 1 2 2
r=
6 512 = 6 1 1
=6 6 =±
1
6
 1 1 26 1 8 4 . 096 4 4
  5. a = u = 243 n=7
 2 26 3
2 64 625
2. r = u= n= 9 r=
243 6
= 729 = 6 36 = ± 3 9. a = u=1 n= 5
3 2 .187 6 1 16
64 26 3 1 16 4 24 2
r= =4 = =±
37 = 2 ⋅ 3 = 3 = 3 6. a = − 5 u = 640 n = 8
6 8
2 .187 4 625 625 54 5
a= 8 a=
 2 2 8
2 ⋅3
8 7
22 4 16
  640
 3 38 r=7
32 125 2 −5
27 2
3. r = ⋅ = 10. a = u= − n=8
625 16 5 r = 7 − 128 = 7 − 27 = − 2 64 81
32 2
u= n= 6 729 3 −
625 7. a = u= n=6 81
5 2 2 r=7
32 2 27
4 25 ⋅ 55 3 64
a = 6255 = 5 5 = 5 4 = 5 1 1
 2 2 2 ⋅5 r=5 2 =5 =
  729 243 3 2 ⋅ 2 6 7 27 2
 5 55 r=7 − = − 7 =−
2 3 4 ⋅ 33 3 3
EJERCICIO 293
1. a = 6 n = 5 3. a = 12 n = 7
2. a = 4 n = 6 1
1 1 4. a = n = 10
r = 3÷ 6= r = − 8÷ 4= − 2 r = 4 ÷ 12 = 4
[ ]
2 3
u = 4 (− 2)
5 1
 1 4    1 6   1  r = ⋅4 = 2
 1 3 u = 12     = 12  =
4 2
u = 6    = 6   =
u = 4 (− 32) = − 128   3 
 2   16  8  729  243
[2 ] = 128
 1
u= 9
− 128 (− 2) − 4
 4   1 4
 3  1      − 12
 243  3
   −6 s= 1
 8  2  − 2−1 s= 128 (2) −
s= 1
−1 4
1 252 s=
−1 s= = − 84
3 2−1
2 −3 8 . 744  3 
s= − −  1. 023
s = − (− 2 ) =
93 93 729  2  s= = 255 4
3
= 11 8
5
4
16 8 26 . 232
s= = 17 1.458 = 17 241
1.446
243
1. 458

400. 9 3
5. a = n= 8 7. a = − 6 n = 10 9. a = n= 6
4 2
r = − 3 ÷ (− 6) =
3 4 2
1
3 2
r= ⋅ = 2 r = 1÷ =
2 9 3 2 3
 1  9  3
9   2   25
5
7
u = − 6    = − 8 3  2 2 4 16
u =    = 5 u=   = 4 =
4   3  3  2   2 2  3 3 81
3  1 16  2  3
25  2  9 − 8  +6  −
 − 2  2 81  3  2
35  3  4 s= s=
s= 1 2
2
−1 −1 −1
3 2 3
28 − 38
3 . 069 − 1 486
179
s = 6 2 (− 3) s= = 4 162
17
6 .138
3 ⋅2 s = 512 = = − 11 256
253
−
1
1 − 512
− 6 . 305 − 3
s=
2 . 916
(− 3) 2 10. a= 9 n= 6
r = 1 ÷ (− 3) = −
1
18 . 915 8. a = 2 n=8
s= = 6 2 .916 = 6 972
1.419 473 3
2 . 916 1 5
r = − 1÷ 2 = −  1 1 1
1 2 u= 9 −  = − 3 = −
6. a = − n= 7  3 3 27
10  1 7  1 1
u = 2  −   = − 6 = − 1  1
− −  − 9
r = (− 10) = − 2  2  
1 2 64 27  3
5 s=
1  1 1
u= −
1
10 [ ]
(− 2)6 = − 10 = − 32
64
5 s=
− −  −2
64  2 
728
− −1
3
1
− −1 −
−
32
(− 2) + 10
1
2 s = 81
s= 5 255 −
4
− 2−1 3
s= 128 = 510 = 1 126 = 1 21
129 3 384 64 2 .184
384 s= = 6 324 = 6 27
240 20
129
s = 10 = − = − 4 103
2 324
−3 30
EJERCICIO 294
9 16
1. a = 5 u = 3 .125 n= 5 4. a = u= n= 6
2 27
3 .125 3. a = 128 u = 2 n = 7
r=4 = 25 ± 5 16
5 2 6 1 1 25 2
r= 6 = =± r = 5 27 = 5 5 =
5 (± 5) = ± 25 128 26 2 9 3 3
 1
± 25 (± 5) = 125
2
128  ±  = ± 64
 2 9  2
125 (± 5) = ± 625   =3
2  3
 1
÷ ÷ 5: ± 25:125: ± 625: 3 .125 ± 64  ±  = 32
 2  2
3  = 2
2. a = − 7 u = − 224 m = 4  1  3
32  ±  = ± 16
− 224 5  2  2 4
r=5 = 32 = 2 2  =
−7  1  3 3
± 16  ±  = 8
− 7 ⋅ 2 = − 14  2 4  2 8
 =
− 14 ⋅ 2 = − 28  1 3  3 9
8 ±  = ± 4
− 28 ⋅ 2 = − 56  2 9 4 8 16
÷ ÷ : 3: 2 : : :
− 56 ⋅ 2 = − 112 ÷ ÷ 128 : ± 64 : 32 : ± 16:8: ± 4 : 2 2 3 9 27
8 16
÷ ÷ − 7 : − 14 : − 28: − 56 : − 112: − 224 ÷ ÷ 4 2 : 3: 2 : 1 1 : :
1
3
9 27

401. 2 .187 1
5. a = 2 u= m= 6 4 27 7. a = 8 u = m= 7
64 6. a = u= n= 6 32
9 256
2 .187 1
7 27
7 64 = 7 3 = 3 r=
832 = 8 1 = ± 1
r= 5
256 = 5 3 = 3
2 27 2 r=5 8 28 2
4 45 4
 3  1
2  = 3 9 8 ±  = ± 4
 2  2
4  3 1
 3 9  =  1
3  = 9  4 3 ± 4±  = 2
 2 2  2
1  3 1
9  3  27  =  1
 = 3  4 4 2±  = ±1
2  2 4  2
1  3 3
27  3  81  =  1 1
 = 4  4  16 ± 1 ±  =
4  2 8  2 2
3  3 9
81  3  243  = 1  1 1
 = 16  4  64 ±  = ±
8  2  16 4 1 1 3 9 27 2  2 4
243  3  729 ÷÷ : : : : : 1 1 1
 = 9 3 4 16 64 256 ± ± =
16  2  32 4 2 8
÷ ÷ 2 : 3: 4 2 : 6 4 : 10 8 : 15 16 : 22 32 : 34 11
1 3 1 3 25 1  1 1
64
±  = ±
8  2 16
1 1 1 1 1
÷ ÷ 8 : ± 4 : 2 : ± 1: :± : : ± :
2 4 8 16 32
EJERCICIO 295
3 1  4 1 2 1 1
1 1 1 −2 2 5. a = r=   = 7. a = 2 r = −⋅ =−
1. a = 2 r = ⋅ = 3. a = − 5 r = = 4 4  3 3 5 2 5
2 2 4 −5 5
3 3 2 2 10 2
2 2 8 −5 −5 25 s= = = =13
s= = = =2 2 s= = =− 9 1 6 6
1 3 3 3 2 3 3 s = 4 = 4 = = 18 1
1+
1− 1− 1 2 8 5 5
4 4 5 5 1−
3 3 −6 3
1 1 1 =−8 31
8. a = − 14 r = =
2. a = r = ⋅ 2 = 1 1 6 − 14 7
2 6 3 8  1  2 6. a = 6 r = 7 ⋅ 6 = 7
4. a = − 4 r = −  −  = − 14 − 14 98
1 1 3  4 3 1 1 s= = =−
3 4 4
s= 2 = 2=3 −4 −4 1−
s= 6 = 6 = 7 =11 7 7
1−
1 2 4 s= = = − 12 6 1 6 6
2 1 1− = − 24 2
1
3 3 1− 7 7
3 3
EJERCICIO 296
12 12 12
6 6 6 2. + + 159 159
1. + + 100 10 . 000 1. 000 . 000
3. +
10 100 1. 000 1. 000 1. 000 . 000
12 12  100  1
6 6  10  1 a= r=  =
a= r=  = 100 10 . 000  12  100 159 159  103  1
10 100  6  10 a= 3 r=  =
12 12 10 106  159  103
6 6
s= 100 = 100 = 12 = 4 159 159
s= 10 = 10 = 6 = 2 1 99 99 33
1 9 9 3 1− s= 103 = 103 = 159 = 53
1− 100 100 1 999 999 333
10 10 1− 3
10 103

402. 3 5 5 3 18 18
32 32 32 6. 10 + 100 + 1. 000 8. + +
10 103 105
4. + +
100 10 . 000 1. 000 . 000 5 5  100  1 18 18  103  1
32  100  a= r=  = a= 3 r= 5  =
a=
32
r=  =
1 100 1. 000  5  10 10 10  18  100
100 10 . 000  32  100 5 5 18 18
32 32 100 = 100 = 5 = 1 103 = 103 = 1
32 s= s=
1 9 1 99 55
s = 100 = 100 = 1−
90 18
1−
1 99 99 10 10 100 100
1−
100 100 3 1 64 16 3 1 175 7
s= + = = s= + = =
10 18 180 45 10 55 550 22
18 1 1 18 18 18
144 144 144 + + 9. 2 + + +
5. + + 7.
100 103 104 100 104 106
103 106 109
1 1 1 18 18  100  1
144 144  103  1 a = 3 r = 4 ⋅103 = a= r= 4  =
a= 3 r= 6  = 10 10 10 100 10  18  100
10 10  144  103
1 1 18 18
144 144 3 3 1
s = 10 = 10 = s= 100 = 100 = 2
s= 103 = 103 = 144 = 16 1 9 900 1 99 11
1 999 999 111 1− 1−
1− 3 10 10 100 100
10 103 18 1 163 2 24
s= + = s= 2+ =
100 900 900 11 11
EJERCICIO 297
1. a = 2 r=2
4. n = 9 → Im par
Para saber cuanto 1 1
Como es una sucesión impar 6. a = u= n=4
gano el sábado → n = 6 los tér min os equidis tan, luego
4 32
u = 2 (25 ) = 64 Lempiras la multiplicación del primer
1
r=3 32 = 3 1 = 1
Para saber cuanto y último tér min o es igual 1 8 2
gané de lunes a sábado al producto entre el 3º y el 4
utilizo S para los 6 7º tér min o. 1 1
⋅2 = → 6º tér min o
primeros tér min os de Entonces la respuesta es : 32 16
la progresión. 1
= 2
÷ ÷ 2 : 4 : 8 216 7. r = u = 160 n = 5
3
Donde a = 2 r = 2 u = 64 8 160 160
5. n = 5 u= a= 4 = = 810
64 ( 2) − 2 81  2 16
s= = 126 Lempiras  
2−1  3 81
4 2
3er tér min o = =
2. n = 20 r = 2 a=1 81 9  2
160   − 810
 3
u = 1(2 19
) = 524 . 288 Se encuentra la razón s=
2
para n = 3 , entre el 3º −1
524 . 288 ( 2) − 1 3
s= y 5º tér min o.
2−1 2 .110
8 −
s = 1. 048 .575 ÷ 100 s= 3 = $ 2 .110
r= 81 = 36 = 2 1
s = $ 10 . 485 , 75 2 −
81 3 3
1 9
3. n = 8 r = u=1 8. a = 59 . 049 u = 100 . 000 n = 6
3 2 3 1
⋅ = → 2º tér min o 100 . 000 5 10 5 10
1 1 9 2 3 r=5 = =
a= 7 = = 2 .187 balboas
 1 1 1 3 1 59 . 049 95 9
  ⋅ = → 1º tér min o
 3 2 .187 3 2 2

403. 1
9. r = a = 24 . 300 n= 6 10. n = 15 a = 1 r=3
3
u = ( 3) = 4 . 782 . 969
14
5
 1 24 . 300
u = 24 . 300   = = 100 4 . 782 . 969 ( 3) − 1 14 . 348 . 906
 3 243 s= = = $ 7 .174 . 453
 1
3− 1 2
72 . 800
100   − 24 . 300 −
 3 3 72 . 800
s= = = = 36 . 400 bs.
1 2 2
−1 −
3 3
EJERCICIO 298
9. Log 0 , 72183 − Log 0 , 0095
(
1. Log 532 ⋅ 0 ,184 ) = Log 0 , 72183 + Co log 0 , 0095
= Log 532 + Log 0 , 184 = 1, 858434 + 2 , 022276
= 2 , 72591 + 1 , 26482 = 1, 88071 ⇒ 101, 88071 = 75 , 981873 ≅ 75 , 982
= 1, 99073 10. Log 9 .114 − Log 0 , 02
⇒ 10 1,99073 = 97 , 888 = Log 9 .114 + Co log 0 , 02
2. Log191, 7 + Log 432 = 3 , 959709 + 1, 698970
= 2 , 28262 + 2 , 63548 = 5 , 658679 ⇒ Anti log 5 , 658679 = 455 . 699 , 97 ≅ 455.700
= 4 , 9181 11. Log 2 = 10 (log 2)
10
= 10 (0 , 301029)
⇒ Anti log 4 , 9181= 82 . 814 , 4
3. Log 0 , 7 + Log 0 , 013 + Log 0 , 9 = 3 , 010299
= 1, 84510 + 2,11394 + 1, 95424 Anti log 3 , 010299 = 1. 024
= − 2 , 08672 12. Log 0 , 153 = 3 log 0 ,15 ( )
− 2 , 08672
⇒ 10 = 0 , 00819
= 3 (1,176091)
4. Log 7 , 5 + Log 8 ,16 + Log 0 , 35 + Log10 . 037 = 3 (− 1) + 3 (0 , 176091)
= 0 , 875061+ 0 ,911690 + 1, 544068 + 4 , 001603 = − 2 , 471727
= 4 − 1+ 2 , 332422 − 2 , 471727
10 = 0 , 00337499 ≅ 0 , 003375
= 5 , 332422
13. Log 18 , 654 = 4 (log 18 , 65)
⇒ 10 5 , 332422 = 214 . 991, 85
≅ 214 . 992 = 4 (1, 270678)
= 5 , 082715
5. Log 3 , 2 + Log 4 , 3 + Log 7 , 8 + Log103 , 4 + Log 0 , 019
Anti log 5 , 082715 = 120 . 980 , 4916
= 0 , 505149 + 0 , 633468 + 0 , 892094 + 2 , 014520 + 2, 278753
≅ 120 . 980 , 5
= 2 , 323988 ⇒ Anti log 2 , 323988 = 210, 857
6. Log 95 ,18 − Log 7 , 23
14. Log 2 ⋅ 0 , 084 ( )
2
= log (0 , 168)
2
= 1, 978317 − 0 , 859138 = 2 (log 0 , 168)
= 1,119179 ⇒ Anti log 1,119179 = 13 ,15767031≅ 13 ,1577 = 2 ( 1 , 225309)
7. Log 8 ,125 − Log 0 , 9324 = 2 (− 1) + 2 (0 , 225309)
= Log 8 ,125 + Co log 0 , 9324
= − 1, 549382 = 2 , 450618
= 0 , 909823 + 0 , 030397 − 1, 549382
10 = 0 , 028223963 ≅ 0 , 028224
= 0 , 940220 ⇒ 100 , 940220 = 8 , 714063 ≅ 8 , 7141
Anti log 2 , 450618 = 0 , 028224
8. Log 7 . 653 , 95 − Log12 , 354
15. Log 7 , 2 = 6 (log 7 , 2)
6
= log 7 . 653 , 95 + Co log 12 , 354
= 6 (0 , 857332)
= 3 , 883885 + 2, 908192
= 5 , 143994
= 2 , 792077 ⇒ Anti log 2 , 792077 = 619 , 55
Anti log 5 , 143994 = 139 . 313 , 75

404. log 3 0 , 477121
16. Log 3 = = = 0 , 238560
2 2 log 63 1, 799340
Anti log 0 , 238560 = 1, 7320483 ≅ 1, 73205 19. Log 63 = = = 0 , 359868
5
5 5
log 2 0 , 301029
17. Log 3 2 = = = 0 ,100343 100 , 359868 = 2 , 290172
3 3
100 ,100343 = 1, 259921 log 815 2 , 911157
20. Log 7 815 = = = 0 , 415879
log 5 0 , 698970 7 7
18. Log 5 = = = 0 ,174742
4
4 4 Anti log 0 , 415879 = 2 , 605431
Anti log 0 ,174742 = 1, 495348 ≅ 1, 49535
EJERCICIO 299
1. Log 515 + log 78 ,19 + co log 6 ,13 9. 3 ⋅ 0 , 2 = 5 log 3 + 4 log 0 , 2
5 4
= 2 , 711807 + 1, 893151+ 1, 212539 = 5 (0 , 47712) + 4 (1 , 30103)
= 3 , 817497 → Anti log 3 , 817497 = 6 . 568 , 96 ≅ 6 . 569
= 2 , 38561 − 2 , 79588
2. Log 23 , 054 + log 934 ,5 + co log 8 .164 = − 0 , 41027 → 10− 0 , 41027 = 0 , 3888
= 1, 36275 + 2 , 97058 + 4,0881 * En la tabla se busca 1 , 58973
= 0 , 42143 → Anti log 0 , 42143 = 2 , 63894
⇒ Anti log 0 , 58973 = 0 , 3888
3. Log 8 ,14 + log 9 , 73 + co log 0 , 6 + co log 7 , 8
1 2
= 0 , 91062 + 0 , 98811+ 0 , 22185 + 1 ,10791 10. log 5 + log 3
2 3
= 1, 22849 → Anti log 1, 22849 = 16 , 923461≅ 16 , 9235
= (0 , 69897) + (0 , 47712)
1 2
4. Log 513 , 4 + log 9 ,132 + co log 85 , 3 + co log10 , 764 2 3
= 0 , 349485 + 0 , 31808
= 2 , 71046 + 0 , 96057 + 2 , 06905 + 2 , 96802
= 0 , 7081 → Anti log 0 , 7081= 5 ,10622 = 0 , 66757
→ Anti log 0 , 66757 = 4 , 651199 ≅ 4 , 6512
5. Log 53 , 245 + log 4 . 325 , 6 + co log 32 , 815 + co log 91, 79
= 1, 72628 + 3 , 63605 + 2 , 48392 + 2 , 03721 1 1 3
11. log 2 + log 3 + log 5
5 2 4
= 1, 88346 → Anti log 1, 88346 = 76 , 4645
= (0 , 30103) + (0 , 47712) + (0 , 69897)
1 1 3
6. Log 32 , 6 + log 841, 9 + co log 0 , 017 + co log 732 ,14 5 2 4
= 1, 51322 + 2 , 92526 + 1, 76955 + 3 ,135406 = 0 , 060206 + 0 , 23856 + 0 , 5242275
= 3 , 343436 → Anti log 3 , 343436 = 2 . 205 ,139151 = 0 , 82299
Como existe un signo negativo en la operación → Anti log 0 , 82299 = 6 , 65257 ≅ 6 , 6526
entonces este afecta el resultado total , luego 12. 8 log 3 + 5 co log 5 , 6
la respuesta final es ≅ − 2 . 205 ,14
= 8 (0 , 47712) + 5 (1 , 25181)
7. Log 95 , 36 + log 0 ,14 + co log 83 , 7 + co log 2 , 936 = 3 , 81696 − 3 , 74095
= 1, 97937 + 1 ,14613 + 2 , 07727 + 1 , 53224 = 0 , 07601
= − 1, 26499 → Anti log − 1, 26499 = 0 , 054326 → Anti log 0 , 07601 = 1,19127 ≅ 1,1913
El signo negativo se anula puesto que se
13. 7 log 0 , 53 + 3 co log 2 , 5
encuentra en el numerador y en el
deno min ador luego la respuesta es positiva = 7 (1 , 72428) + 3(1 , 60206)
= − 1, 93004 − 1, 19382
8. Log 7 , 2 + log 8 ,135 + co log 0 , 003 + co log 9 .134 , 7
= − 3 ,12386 → 10− 3,12386 = 0 , 000751865
= 0 , 85733 + 0 , 91036 + 2 , 52288 + 4 , 03930
= 0 , 32987 → Anti log 0 , 32987 = − 2 ,137333 ≅ − 2 ,13734 * En la tabla se busca 4 , 87614

405. 3 3
2 5
log 3 + co log 2 21. log 0 , 0316 + co log 0 ,1615
14. 2 2
5 3
= (2 , 49969 + 0 , 79183)
3
= (0 , 47712) + ( 1 , 69897)
2 5
5 3 2
= (− 0 , 70848) = − 1, 06272 = 2 , 93728
= 0 ,190848 − 0 , 501717 3
2
= − 0 , 310869 → 10− 0 , 310869 = 0 , 488799 ≅ 0 , 4888
10−1, 06272 = 0 , 086552
* En la tabla se busca 1 , 68914
Anti log 2 , 93728 = 0 , 08655625
Log 7 , 86 + Log 8 ,14
15. 3 2
2 22. log 3 + co log 5
4 3
0 , 89542 + 0 , 91062
=
= (0 , 47712) + (1 , 30103)
3 2
2
4 3
1, 80604
= = 0 , 35784 − 0 , 46598
2
= 0 , 90302 → Anti log 0 , 90302 = 7 , 9987 = − 0 ,10814 = 1 , 89186
Anti log 1 , 89186 = 0 , 77958
Log 932 , 5 + Log 813 , 6 + Log 0 , 005
16.
2 Log15 + Co log 4
23.
2 , 96965 + 2 , 91041+ 3 , 69897 7
=
2 1,17609 + 1 , 39794
=
3 , 57903 7
=
2 0 , 57403
= = 0 , 082
= 1, 78952 Anti log 1, 78952 = 61, 59138 7
Anti log 0 , 082 = 1, 20782
Log 93 , 7 + Log104 , 2 + co log 8 , 35 + co log 7 , 3
17.
2 Log 5 + Co log 3
24.
1, 97174 + 2 , 01787 + 1 , 07831+ 1 ,13668 5
=
2 0 , 69897 + 1 , 52288
= = 0 , 04437
2 , 2046 5
= = 1,1023 → Anti log 1,1023 = 12 , 656174
2 Anti log 0 , 04437 = − 1,10756
Log 23 , 725 + Log 9 ,182 + Log 7 ,184
18.
3
25.
6
5
(
Log 5 + Co log 8 )
1, 37521+ 0 , 96294 + 0 , 85637
=
3
6
(
= 0 , 69897 + 1 , 09691
5
)
3 ,19452
=
3
= 1, 06484 Anti log 1, 06484 = − 11, 610207 6
( )
= − 0 , 20412 = − 0 , 24494 = 1 , 75506
5
Log12 . 316 + Log 0 , 25 + co log 931, 8 + co log 0 , 07 Anti log 1 , 75506 = 0 , 568926 ≅ 0 , 56893
19.
4 Log 3 + Co log 5 Log 5 + Co log 7
4 , 09047 + 1 , 39794 + 3 , 03068 + 1,15490 26. +
= 2 3
4 3 (0 , 47712 + 1 , 30103) + 2 (0 , 69897 + 1 , 15490)
1, 67399 =
= = 0 , 41849 → Anti log 0 , 41849 = 2 , 621125 6
4 3 (− 0 , 22185) + 2 (− 0 ,14613)
=
Log 56 . 813 + co log 22 .117 6
20. − 0 , 6655 − 0 , 29226
5 =
6
4 , 75446 + 5 , 65527 − 0 , 95781
= = = − 0 ,159635 = 1 , 840364
5 6
0 , 40973 10 − 0 ,159635 = 0 , 6924126
= = 0 , 081946 → Anti log 0 , 081946 = 1, 20766
5 Anti log 1 , 840364 = 0 , 69241

406. Log 2 Log 3 Log 0 , 2
27. + +
7 5 3 2 log 0 , 75 + log 39 , 162 + co log 0 , 07 + co log 3 , 89
15 (0 , 30103) + 21(0 , 47712) + 35 (1 , 30103)
29.
2
=
105 2 (1 , 87506) + 1, 59286 + 1, 15490 + 1 , 41005
4 , 51545 + 10 , 01952 − 24 , 46395 =
= 2
105 1, 90793
− 9 , 92898 = = 0 , 953965 = 8 , 99425 ≅ 8 , 9943
= = − 0 , 094562 = 1 , 905438 2
105
Anti log 1 , 905438 = 0 , 8043369 ≅ 0 , 80434
Log 32 ,14 Log 59 , 3 Co log 317, 6 3 log 0 , 2 + 2 log 0 , 3 + 4 co log 0 , 05 + co log 3 , 25
28. + + 30.
2 3 4 2
6 (1, 50705) + 4 (1, 77305) + 3 (3 , 49812) 3 (1 , 30103) + 2 (1 , 47712) + 4 (1, 30103) + 1 , 48812
= =
12 2
9 , 0423 + 7 , 0922 − 7 , 50564 − 3 + 0 , 90309 − 2 + 0 , 95424 + 5 , 20412 − 1 + 0 , 48812
= =
12 2
8 , 62886 1, 54957
= = 0 , 71907 = = 0 , 774785
12 2
Anti log 0 , 71907 = 5 , 2368483 ≅ 5 , 23685 Anti log 0 , 774785 = 5 , 95366
EJERCICIO 300
1. 36 = 2 ⋅ 3
2 2
6. 98 = 7 ⋅ 2
2
Log 36 = 2 log 2 + 2 log 3
Log 98 = 2 log 7 + log 2
= 2 (0 , 301030) + 2 (0 , 477121)
= 2 (0 , 845098) + 0 , 30103
= 0 , 60206 + 0 , 954242
Log 36 = 1, 556302 = 1, 690196 + 0 , 30103
Log 98 = 1, 991226
2. 75 = 3⋅ 5
2
7. 343 = 7
3
Log 75 = log 3 + 2 log 5
Log 343 = 3 log 7
= 0 , 477121 + 2 (0 , 698970)
= 0 , 477121 + 1, 39794 = 3 (0 , 845098)
Log 75 = 1, 875061 Log 343 = 2 , 535294
3. 30 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 Log 0 , 343 = 1 , 535294
Log 30 = log 2 + log 3 + log 5
8. 225 = 5 ⋅ 3
2 2
= 0 , 301030 + 0 , 477121+ 0 , 698970 Log 225 = 2 log 5 + 2 log 3
Log 30 = 1, 477121
= 2 (0 , 69897) + 2 (0 , 477121)
4. 48 = 2 ⋅ 3
4
= 1 , 39794 + 0 , 954242
Log 48 = 4 log 2 + log 3
= 2 , 352182
= 4 (0 , 301030) + 0 , 477121 Log 22 , 5 = 1, 352182
= 1, 20412 + 0 , 477121
9. 196 = 2 ⋅ 7
2 2
Log 48 = 1, 681241
Log 196 = 2 (log 2 + log 7)
5. 120 = 2 ⋅ 3⋅ 5
3
= 2 (0 , 30103 + 0 , 845098)
Log 120 = 3 log 2 + log 3 + log 5
= 2 (1 , 146128)
= 3(0 , 30103) + 0 , 477121 + 0 , 69897
= 2 , 292256
= 0 , 90309 + 1,176091
Log 1 , 96 = 0 , 292256
Log 120 = 2 , 079181

407. 5 7
10. 875 = 5 ⋅ 7
3
13. 22=
1
= 2 ,5 16. 23=
1
2 3
Log 875 = 3 log 5 + log 7 25 = 52
7
Log 2 3 = log
= 3 (0 , 69897) + 0 , 845098
1
Log 25 = 2 (0 , 69897) 3
= 2 , 09691 + 0 , 845098 = log 7 + co log 3
= 1, 39794
= 2 , 942008 = 0 , 845098 + 1 , 522879
Log 2 1 = 0 , 397940
2
Log 0 , 875 = 1 , 942008 = 0 , 367977
3
14. 1 2 = = 1, 5
1
143
11. 2 . 025 = 3 ⋅ 5
4 2
2 17. 13 =
Log 2 . 025 = 4 log 3 + 2 log 5 15 = 3 ⋅ 5 11
143
= 4 (0 , 477121) + 2 (0 , 69897) Log15 = log 3 + log 5 Log 13 = log
11
= 1, 908484 + 1, 39794 = 0 , 477121+ 0 , 698970
= log 143 + co log11
= 3 , 306424 = 1,176091
= 2 ,155336 + 2 , 958607
Log 202 , 5 = 2 , 306424 Log1 2 = 0 ,176091
1
Log 13 = 1,113943
12. 448 = 2 ⋅ 7 7
6
15. 1 2 = = 1, 4 225
Log 448 = 6 log 2 + log 7
5
5 18. 25 =
9
14 = 7 ⋅ 2
= 6 (0 , 30103) + 0 , 845098 Log 25 = log
225
Log14 = log 7 + log 2 9
= 1, 80618 + 0 , 845098
= 0 , 845098 + 0 , 30103 = log 225 + co log 9
= 2 , 651278
= 1,146128
Log 44 , 8 = 1, 651278 = 2 , 352183 + 1 , 045757
Log1 2 = 0 ,146128
5 Log 25 = 1, 397940
EJERCICIO 301
4. 9 = 0 , 576
x
1. 5 = 3 Log 9 x = log 0 , 576
x
3 x +1
7. 2 = 128
Log 5 = log 3
x
x log 9 = 1 , 76042
Log 23 x + 1 = log 128
x log 5 = log 3 x (0 , 95424) = 1 , 76042
x (0 , 69897) = 0 , 477121
(3x + 1) log 2 = 2 ,10721
0 , 477121 x=
1 , 76042
0 , 95424
(3x + 1)(0 , 30103) = 2 ,10721
x= = 0 , 6826 3x + 1 = 7
0 , 69897 − 0 , 23958
2. 7 = 512
x x= 3x = 6
0 , 95424
x=2
Log 7 x = log 512 x = − 0 , 2510689
x log 7 = log 512 x ≅ − 0 , 25107 2 x −1
= 2 .187
8. 3
x +1
x=
2 , 70927
= 3 , 205864 5. 3 = 729 Log 32 x −1 = log 2 .187
0 , 845098
x ≅ 3 , 2059
Log 3x +1 = 729
(2 x − 1) log 3 = 3 , 33985
(x + 1) log 3 = log 729 (2 x − 1)(0 , 477121) = 3 , 33985
3. 0 , 2 = 0 , 0016
x
(x + 1)(0 , 477121) = 2 , 86273 2 x − 1= 7
Log 0 , 2 x = log 0 , 0016
x + 1 = 6 , 00944 2x = 8⇒ x = 4
x log 0 , 2 = log 0 , 0016
x = 6 , 00944 − 1
x (1 , 30103) = 3 , 20412 x = 5 , 00944 ⇒ x ≅ 5 9. 112 x = 915
x −2
3 , 20412 6. 5 = 625 Log112 x = log 915
x=
1 , 30103 Log 5x − 2 = log 625 2x log11= 2 , 96142
x=
−3
+
0 , 20412 (x − 2) log 5 = 2 , 79588 2x =
2 , 96142
− 0 , 69897 − 0 , 69897 2 , 79588
1, 04139
x = 4 , 29203 − 0 , 29203 x− 2= 2x = 2 , 84372
0 , 69897
x= 4 x = 1, 42186
x − 2 = 4⇒ x = 6

408. EJERCICIO 302
1. a = 3 u = 48 r =6÷3=2
2 . 048 8 4
Log 48 + Co log 3 4. a = 6 u = r= =
n= +1 81 6 3
Log 2 2 . 048
Log + Co log 6
1, 68124 + 1 , 522879 81
n= +1 n=
0 , 30103 4
Log
1, 204119 3
n= +1 = 4 +1 = 5 Log 2 . 048 + Co log 81+ Co log 6
0 , 30103 n=
Log 4 + Co log 3
3 , 31133 + 2 , 09151+ 1 , 22184
243 3 n= +1
2. a = 2 u= r= 0 , 60206 + 1 , 522879
16 2
0 , 62468
Log 243 + Co log 2 n= +1
n= 16
+1 0 ,124939
3
Log n = 4 , 999879 + 1
2
Log 243 + co log16 + co log 2 n = 5 , 999879
n= +1 n ≅6
Log1, 5
2 , 38461+ 2 , 79588 + 1 , 69897
n= +1
0 ,176091
625 5
0 , 87946 5. a = 2 u = r = = 2,5
n= + 1 = 4 , 994 + 1 n = 5 , 994 n ≅ 6 8 2
0 ,176091
625
Log + Co log 2
n= 8 +1
Log 2 , 5
3. a = 4 u = 512 r = 8 ÷ 4 = 2
Log 512 + Co log 4 Log 625 + Co log 8 + Co log 2
n= +1 n= +1
Log 2 Log 2 , 5
2 , 70927 + 1 , 39794 2 , 79588 + 1 , 09691+ 1 , 69897
n= +1 n= +1
0 , 30103 0 , 39794
1, 59176
n=
2 ,10721
+1 = 7 +1 = 8 n= +1 = 4 +1 = 5
0 , 30103 0 , 39794
EJERCICIO 303
1. c = 500 r = 0 , 06 t=3 2. c = 3. 500 r = 0 , 07 t=5 3. c = 8 .132 r = 0 , 09 t = 10
C = 500 (1 + 0 , 06) C = 3.500 (1 + 0 , 07)
3
C = 8 .132 (1 + 0 , 09)
5 10
C = 500 (1, 06) Log C = Log 3.500 (1, 07)
3
Log C = Log 8 .132 (1, 09)
5 10
Log C = Log 500 (1 , 06) Log C = Log 3.500 + 5 Log 1, 07
3
= Log 8 .132 + 10 Log 1, 09
Log C = Log 500 + 3 log 1 , 06 = 3 , 54407 + 5(0 , 02938) = 3 , 91020 + 10 (0 , 03743)
Log C = 2 , 69897 + 3 (0 , 02531) = 3 , 54407 + 0 ,1469 = 3 , 91020 + 0 , 3743
Log C = 2 , 7749 Log C = 3 , 69097 Log C = 4 , 2845
Anti log 2 , 7749 = $ 595 , 51 Anti log 3 , 69097 = 4 . 908 , 94 soles Anti log 4 , 2845 = 19 . 253 , 070 bs.

409. 0 , 03
4. c = 930 r = 0 , 035 t = 7 8. c = 800 t=4 r= = 0 , 015
2
C = 930 (1 + 0 , 035)
7
C = 800 (1 + 0 , 015)
4
Log C = Log 930 (1, 035)
7
Log C = Log 800 (1 + 0 , 015)
4
= Log 930 + 7 Log 1, 035
= Log 800 + 4 log 1, 015
= 2 , 9684829 + 7 (0 , 0149403)
= 2 , 90309 + 4 (0 , 00647)
= 2 , 9684829 + 0 , 01045821
= 2 , 90309 + 0 , 02588
Log C = 3 , 073065 Anti log 3 , 073065 = $ 1.183 , 2186
Log C = 2 , 92897 Anti log C = $ 849 , 09
12 0 , 04
9. c = 900 t= =4 r= = 0 , 01
5. C = 12 . 318 t = 6 3 4
C = 900 (1 + 0 , 01)
4
17 4 , 25
r=44=1
= 4 , 25 ⇒ = 0 , 0425
4 100 Log C = Log 900 + 4 log 1 , 01
C = 12 . 318 (1 + 0 , 0425) = 2 , 954242 + 4 (0 , 004321)
6
Log C = Log 12 . 318 (1, 0425)
6
= 2 , 954242 + 0 , 017284
= Log 12 . 318 + 6 Log 1, 0425 = 2 , 971526
= 4 , 0905402 + 6 (0 , 018076) Anti log 2 , 971526 = $ 936 , 54
= 4 , 0905402 + 0 ,108456 10. r = 0 , 05 C = 972 , 60 t=4
Log C = 4 ,1989962 972 , 60
c=
Anti log 4 ,1989962 = $ 15.812 , 34204 (1 + 0 , 05) 4
Log c = log 972 , 6 + 4 co log 1, 05
= 2 , 987934 + 4 (1 , 978811)
6. C = 24 .186 t = 7 = 2 , 987934 − 0 , 084756
11 5,5
r = 5 2 = = 5,5⇒
1
= 0 , 055 Log c = 2 , 903178
2 100
Anti log 2 , 903178 = $ 800 ,16
C = 24 .186 (1 + 0 , 055)
7
11. C = 1. 893 , 5 t = 6
Log C = Log 24 .186 (1, 055)
7
9 4 ,5
= Log 24 .186 + 7 log 1, 055 r = 4 2 = = 4 ,5 ⇒
1
= 0 , 045
2 100
= 4 , 383564 + 7 (0 , 0232524) 1. 893 , 5
c=
= 4 , 383564 + 0 ,1627668 (1 + 0 , 045)6
Log C = 4 , 5463308 Log c = log 1.893 , 5 + 6 co log 1 , 045
Anti log 4 , 5463308 = 35.182 , 83244 sucres = 3 , 277265 + 6 ( 1 , 980883)
= 3 , 277265 − 0 ,114702
= 3 ,162563
7. C = 54 . 293 t=5
Anti log 3 , 162563 = $ 1. 454 , 02
15 3 , 75
r= 34 =
3
= 3 , 75 ⇒ = 0 , 0375 12. C = 54 .198 ,16
4 100 r = 0 , 08 t = 7
Log C = Log 54 . 293 (1, 0375)
5
54 .198 ,16
c=
= Log 54 . 293 + 5 log 1, 0375 (1+ 0 , 08) 7
= 4 , 734743 + 5(0 , 015988) Log c = log 54 .198 ,16 + 7 co log 1, 08
= 4 , 734743 + 0 , 07994 = 4 , 733984 + 7 (1 , 966576)
= 4 , 814683 = 4 , 733984 − 0 , 233968
Anti log 4 , 814683 = $ 65. 265 , 399 Log c = 4 , 500016
Anti log 4 , 500016 = 31. 623 , 9 ≅ 31. 624 Q.

410. 13. c = 600 r = 0 , 03 C = 695 , 56 16. c = 6 . 354 t = 4 C = 7 .151, 46
Log 695 , 56 − Log 600 Log 7 .151, 46 − Log 6 . 354
t= Log (1 + r ) =
Log1, 03 4
2 , 842334 − 2 , 778151 3 , 854394 − 3 , 803047
t= =
0 , 012837 4
0 , 064183 Log (1 + r ) = 0 , 012836
t= = 4 , 9998 ≅ 5 años
0 , 012837 Anti log 0 , 012836 = 1, 03
14. c = 1. 215 C = 1. 709 , 61 r = 0 , 05 1 + r = 1, 03
Log 1. 709 , 61− log 1. 215 r = 0 , 03 ⇒ 3 %
t=
Log (1 + 0 , 05)
3 , 232897 − 3 , 084576 1
t= 17. c = 900 r = 0 , 05 t = 2 + = 2 , 33333
0 , 021189 3
C = 900 (1 + 0 , 05)
2 , 33333
0 , 148321
t= = 7 años
Log C = Log 900 + 2 , 33333 log 1 , 05
0 , 021189
15. c = 800 t = 4 C = 1. 048 , 63 = 2 , 954242 + 2 , 33333(0 , 0211892)
log 1. 048 , 63 − log 800
Log (1 + r ) = = 2 , 954242 + 0 , 049441
4 = 3 , 003683
3 , 020622 − 2 , 903089
Log (1 + r ) = Anti log 3 , 003683 = 1. 008 , 52
4
Los int ereses producidos represen tan
Log (1 + r ) =
0 , 117533
= 0 , 029384 la diferencia entre la suma inicial y lo
4
Anti log 0 , 029384 = 1, 07 que se ha convertido
1 + r = 1, 07 ⇒ Intereses producidos = 1. 008 , 52 − 900
r = 0 , 07 ⇒ 7 % = $ 108 , 52
EJERCICIO 304
1. c = 40 . 000 r = 0 , 05 t = 10
40 . 000 (0 , 05)(1, 05)
10
a=
(1, 05) − 1 10
Log (1, 05) = 10 Log 1, 05
10
= 10 (0 , 0211892)
= 0 , 211892
Anti log 0 , 211892 = 1, 62889
Log a = log 40 . 000 + log 0 , 05 + log 1 , 62889 + co log 0 , 62889
= 4 , 602059 + 2 , 69897 + 0 , 211892 + 0 , 2014253
= 3 , 7143463
Anti log 3 , 7143463 = $ 5.180 , 21

411. 2. c = 85. 000 r = 0 , 03 t = 12
5. c = 3 . 000 r = 0 , 06 t = 5
85. 000 (0 , 03)(1 + 0 , 03)
12
a= a = 3 . 000 ⋅ 0 , 237396
(1+ 0 , 03) − 1
12
a = 712 ,188 ≅ 712 , 19 bs.
Log (1, 03) = 12 log 1, 03 3 . 000 (0 , 06)(1 , 06)
12 5
a=
= 12 (0 , 012837) (1, 06)5
−1
= 0 ,154044 180 (1 , 338226)
Anti log 0 , 154044 = 1, 425761 a=
0 , 338226
Log a = log 85. 000 + log 0 , 03 + log 1, 425761 + co log 0 , 425761 240 , 88068
a=
= 4 , 929418 + 2 , 477121 + 0 ,154044 + 0 , 370834 0 , 338226
= 3 , 931417 a = 712 ,1885367 ≅ 712 , 19 bs.
Anti log 3 , 931417 = 8 .539 , 2 soles NOTA:
0 , 237396 → Vr. que aparece
en la tabla de int erés compuesto
decreciente para el 6% en 5 años.
3. c = 600 . 000 r = 0 , 05 t = 20
1 , 338226 → Vr . que aparece
600 . 000 (0 , 05)(1 + 0 , 05)
20
a= en la tabla de int erés compuesto
(1 + 0 , 05) − 1
20
para el 6% a 5 años.
Log (1, 05) = 20 log 1, 05
20
= 20 (0 , 0211892)
= 0 , 423784 6. c = 12 . 000 r = 0 , 07 t = 12
Anti log 0 , 423784 = 2 , 65328 a = 12 . 000 ⋅ 0 ,125902
Log a = log 600 . 000 + log 0 , 05 + log 2 , 65328 + co log 1 , 65328 a = 1. 510 , 824 bs.
= 5 , 778151 + 2 , 69897 + 0 , 423784 + 1 , 781653
= 4 , 682558 7. c = 350 . 000 r=4 2 % t=3
1
Anti log 4 , 682558 = $ 48 .145 , 75 a = 350 . 000 ⋅ 0 , 363773
a = 127 . 320 , 55 sucres
8. c = 425 . 000 r = 6% t = 10
4. c = 5 ' 000 . 000 r = 0 , 06 t = 30 a = 425 . 000 ⋅ 0 ,135868
5 ' 000 . 000 (0 , 06)(1 + 0 , 06) a = 57 . 743 , 9 soles
30
a=
(1+ 0 , 06) 30
−1
9. c = 90 . 750 r = 5% t = 25
Log (1, 06) = 30 log 1, 06
30
a = 90 . 750 ⋅ 0 , 070952
= 30 (0 , 025306) a = 6 . 438 , 894 bs.
= 0 , 75918
10. c = 73 . 550 r = 5 2 % t = 30
1
Anti log 0 , 75918 = 5 , 7435
a = 73 . 550 ⋅ 0 , 068805
log a = log 5 ' 000 . 000 + log 0 , 06 + log 5 , 7435 + co log 4 , 7435
a = 5 . 060 , 60775 ≅ 5 . 060 , 61 bs.
= 6 , 69897 + 2 , 778151 + 0 , 75918 + 1 , 323901
= 5 , 5602 11. c = 473 . 000 r = 3 2 %
1
t=9
Anti log 5 , 5602 = 363. 245 , 2 bs. a = 473 . 000 ⋅ 0 ,131446
a = 62 .173 , 958 ≅ 62 .173 , 96 sucres

412. 12. c = 45. 800 r = 4% t = 30
a = 45.800 ⋅ 0 , 057830
a = 2 . 648 , 614 soles
45. 800 (0 , 04)(1, 04)
30
a=
(1, 04) − 1 30
Log (1, 04) = 30 log 1, 04
30
= 30 (0 , 017033)
= 0 , 51099
Anti log 0 , 51099 = 3 , 243321
Log a = Log 45.800 + log 0 , 04 + log 3 , 243321 + co log 2 , 243321
= 4 , 660865 + 2 , 60206 + 0 , 510989 + 1 , 649108
= 3 , 423022
Anti log 3 , 423022 = 2 . 648 , 61 soles
EJERCICIO 305
1. c = 30 . 000 r = 0 , 06 t = 9 3. c = 200 . 000 r = 0 , 05 t = 40
30 . 000 (0 , 06) 200 . 000 (0 , 05)
i= i=
(1+ 0 , 06)10 − (1+ 0 , 06) (1, 05) − 1, 05
41
Log (1, 06) = 10 log 1, 06 Log (1, 05) = 41log 1, 05
10 41
= 10 (0 , 02531) = 41(0 , 0211892)
= 0 , 2531 = 0 , 868757
Anti log 0 , 2531 = 1 , 791018 Anti log 0 , 868757 = 7 , 391915
Log i = Log 30 . 000 + log 0 , 06 + co log 0 , 731018 Log i = Log 200 . 000 + log 0 , 05 + co log 6 , 341915
= 4 , 477121 + 2 , 778151 + 0 ,136072 = 5 , 30103 + 2 , 69897 + 1 ,19777
= 3 , 391344 = 3 ,19777
Anti log 3 , 391344 = $ 2 . 462 , 38 Anti log 3 ,19777 = $ 1. 576 , 79
2. c = 90 . 000 r = 0 , 04 t = 20 4. c = 40 . 000 r = 0 , 06 t = 25
90 . 000 (0 , 04) 40 . 000 (0 , 06)
i= i=
(1, 04)21
− 1, 04 (1, 06) − 1, 06
26
En la tabla de int erés (1, 06) → 4 , 549383
26
compuesto (1, 04) = 2 , 278768 Log i = log 40 . 000 + log 0 , 06 + co log 3 , 489383
21
Log i = Log 90 . 000 + log 0 , 04 + co log 1, 238768 = 4 , 60206 + 2 , 778151 + 1 , 457251
= 4 , 95424 + 2 , 60206 + 1 , 90701 = 2 , 837462
= 3 , 4633 Anti log 2 , 337462 = $ 687 , 79
Anti log 3 , 4633 = 2 . 906 , 03 sucres