1. КОМБІНАЦІЇ
МНОГОГРАННИКІВ І
ТІЛ ОБЕРТАННЯ

2. Вписаний многогранник, описана сфера
Многогранник називається вписаним у сферу, а
сфера - описаної біля многогранника, якщо всі
вершини многогранника лежать на сфері.

3. Призма, вписана в кулю
а
а1
1) Якщо призма похила, то а||а1,
точки перетину не існує.
2) Якщо призма пряма, а і а1
збігаються, центр описаної сфери -
середина відрізка, що з'єднує
центри кіл, описаних близько
підстав.
Безліч точок, рівновіддалених від
вершин нижньої основи - пряма, що
проходить через центр описаного біля
нього кола перпендикулярно площини
підстави (а)
Аналогічно у випадку верхньої
підстави (а1)
Випадки:

4. ВИСНОВОК :
Біля призми можна описати кулю тоді і тільки
тоді, коли ця призма пряма, і біля її основи
можна описати окружність.
Наслідок:
1) біля будь-якої правильної призми можна
описати кулю;
2) при будь-якій прямій трикутній призмі можна
описати кулю.

5. Піраміда, вписана в кулю
 Безліч точок, рівновіддалених від
вершини підстави - це пряма,
перпендикулярна площині
підстави і проходить через
центр описаного біля нього кола.
 Безліч точок, рівновіддалених від
кінців бічного ребра є площина,
перпендикулярна до ребра і
проходить через його середину.
вписана в кулю
піраміда

6. ВИСНОВОК :
 Біля піраміди можна описати кулю тоді і тільки тоді,
коли біля її основи можна описати окружність.
Наслідок:
 Біля будь-якого тетраедра можна описати кулю;
 Біля піраміди можна описати кулю, якщо її бічні
ребра рівні, або її бічні ребра однаково нахилені до
основи.

7. Теорема
 Через коло і точку, яка не належить цій
окружності, можна провести сферу, і притому
тільки одну.

8.  Центр сфери, описаної біля піраміди, лежить в
точці перетину перпендикуляра до площини
підстави, проведеного через центр
окружності, описаної біля підстави, і площині,
перпендикулярній кожному бічному ребру,
проведеної через середину цього ребра.

9. Куля, вписана в призму
 Куля називається
вписаною у
многогранник, якщо він
дотикається всіх його
граней

10. Теорема :
 В призму можна вписати кулю тоді і тільки
тоді, коли в перпендикулярний переріз цієї
призми можна вписати окружність, а висота
призми дорівнює діаметру цієї окружності
 Кулю можна вписати в пряму призму тоді і
тільки тоді, коли в основу призми можна
вписати окружність, а висота призми
дорівнює діаметру цієї окружності

11. Центр кулі
 Центр кулі, вписаного в призму, лежить на
прямій, проведеній паралельно бічним ребрам
через центр кола, вписаного в
перпендикулярний переріз, є серединою
відрізка, відсікаємого але цієї прямої основами
призми.
 Центр кулі, вписаної в пряму призму, лежить
на середині висоти призми, що проходить
через центр кола, вписаного в основу.

12. Теорема: якщо бічні
грані піраміди однаково
нахилені до основи, то в
таку піраміду можна
вписати кулю.
Куля, вписана в піраміду

13. Центр кулі
 Центр кулі, вписаної в піраміду, лежить в
точці перетину висоти піраміди з бісектрисою
лінійного будь-якого кута двогранного кута
при основі піраміди, стороною якого є
апофема.
!!!

14. Наслідок :
 У будь-який тетраедр можна вписати кулю.
 Якщо в основу піраміди можна вписати
окружність, а основа висоти піраміди є
центром цієї окружності, то в піраміду можна
вписати кулю.

15.  Конус у піраміді
 Куля в кубі
 Призма в кулі
 Призма в циліндрі
 Куля в призмі
 Куля в піраміді
 Піраміда в кулі
 Циліндр у призмі