Matematika ekonomi

1. Modul ke:
Matematika Ekonomi
Himpunan dan Bilangan
Pusat Bahan Ajar dan E-learning
01

2. 2
Selamat Datang
di Perkuliahan
MATEMATIKA EKONOMI
MAFIZATUN NURHAYATI, SE.MM.
08159122650
mafiz_69@yahoo.com

3. 3
BUKU BACAAN
• Dumairi, Matematika Terapan untuk Bisnis dan Ekonomi, Edisi
ke III BPFE Yogyakarta
• Josep Bintang Kalangi, Matematika Ekonomi dan Bisnis.
Salemba Empat. Buku 1 dan Buku 2.

4. 4
MATERI PERKULIAHAN
1. Teori Himpunan
2. Deret
3. Penerapan Deret
4. Fungsi Linier
5. Penerapan Fungsi Linier : keseimbangan pasar, pajak dan subsidi
6. Penerapan Fungsi Linier : Analisis Break Even Point, fungsi konsumsi
7. Fungsi Kuadrat
8. Diferensial sederhana, diferensial majemuk
9. Penerapan ekonomi diferensial : analisis profit maximum, elastisitas,
optimasi bersyarat
10. Kaidah integral tak tentu dan tertentu
11. Penerapan integral : Surplus konsumen dan surplus produsen
12. Kaidah matriks, Determinan invers matriks
13. Penyelesaian persamaan linier
14. Linier Programming

5. 5
PENILAIAN
POKOK PENILAIAN BOBOT NILAI
Kehadiran kuliah (minimal 65%) 10%
Tugas 40%
Ujian Tengah Semester (UTS) 20%
Ujian Akhir Semester (UAS) 30%

6. 6
KEHADIRAN KULIAH
HADIR 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
1
2
3 100 67 33
4 100 75 50 25 D
5 100 80 60 40 20 O
6 100 83 67 50 33 17 S
7 100 86 71 57 43 29 14 E
8 100 88 75 63 50 38 25 13 N
9 100 89 78 67 56 44 33 22 11
10 100 90 80 70 60 50 40 30 20 10
11 100 91 82 73 64 55 45 36 27 18 9
12 100 92 83 75 67 58 50 42 33 25 17 8
13 100 92 85 77 69 62 54 46 38 31 23 15 8
14 100 93 86 79 71 64 57 50 43 36 29 21 14 7
MAHASISWA

7. 7
KETUA KELAS
• TUGAS KETUA KELAS:
– Mengkoordinasi kelas, terkait dengan:
• ketidakhadiran dosen,
• tugas (PR)
• modul kuliah

8. 8
ATURAN PERMAINAN (umum)
• Kehadiran mahasiswa minimal 65%, bila kurang dari 65% nilai E.
• Tidak ada toleransi keterlambatan kehadiran mahasiswa.
• Anda diberi kesempatan 4 kali tidak hadir di kelas.
• Tidak hadir dikelas dianggap tidak masuk. Tidak perlu surat ijin.
• Mahasiswa harus berpakaian sopan dan berperilaku sopan.
• Dilarang memakai kaos oblong di kelas
• Dilarang memakai sandal di kelas.
• Mahasiswa dilarang makan, merokok, mencoret tembok, kursi
dan melakukan aktivitas lain yang mengganggu di dalam kelas
• Segala alat komunikasi selama perkuliahan berlangsung dinon-
aktifkan atau dibuat getar.

9. 9
• Tugas dikumpulkan tepat waktu. Terlambat
mengumpulkan tugas tidak akan dinilai.
• Ketahuan curang didalam mengerjakan tugas,
UTS dan UAS, kertas kerja tidak dikoreksi, nilai
langsung E.
• Terlambat masuk kuliah dan sudah diabsen,
dianggap tidak hadir, tidak akan diabsen.
ATURAN PERMAINAN (khusus)

10. 10
HIMPUNAN DAN
BILANGAN

11. 11
HIMPUNAN
• Himpunan (set) adalah suatu kumpulan atau
gugusan dari sejumlah objek (benda).
• Objek-objek yang mengisi atau membentuk
sebuah himpunan disebut anggota atau unsur
atau elemen.

12. 12
Menyatakan HIMPUNAN
1. CARA DAFTAR / Enumerasi
yaitu menuliskan semua anggota himpunan di
antara 2 kurung kurawal.
contoh:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
berarti himpunan A beranggotakan bilangan-
bilangan bulat positif 1,2, 3, 4 dan 5.

13. 13
2. CARA KAIDAH / Dengan Sifat
yaitu menuliskan sifat – sifat / karakteristik tertentu yang
ada pada semua anggota himpunan di antara 2 kurung
kurawal.
contoh:
a. A = {x; 0 < x < 6}
berarti himpunan A beranggotakan obyek x, dimana x
adalah bilangan-bilangan bulat positif yang lebih besar dari
nol tetapi lebih kecil dari enam.
b. A = { x ; 1  X  5 }
berarti himpunan A beranggotakan obyek x yang harganya
paling sedikit sama dengan satu dan paling banyak sama
dengan lima.

14. 14
Contoh :
1. A = Himpunan bilangan bulat antara 1 dan 5
2. B = Himpunan yang anggotanya adalah : kucing, meja,
buku, air
3. C = Himpunan bilangan riil yang lebih besar daripada 1
Enumerasi Dengan sifat
A = { 1, 2, 3 , 4 ,5} A = { x | x Z, 1  x  5
B = { kucing, meja, buku,
air}
B tidak dapat dinyatakan dengan
cara menuliskan sifat – sifatnya
karena tidak ada sifat yang sama
di antara anggota – anggotanya
C tidak bisa dinyatakan
dengan menuliskan anggota
– anggotanya karena jumlah
anggota C yang tak berhingga
banyaknya
C = { x | x R, x > 1}
Jika suatu objek x merupakan anggota dari himpunan A, maka
dituliskan x A dan dibaca : “ x adalah anggota A”, atau x ada di
dalam A”, atau “x adalah elemen A”. Sebaliknya jika x bukan
anggota A, dituliskan x  A.

15. Lambang-lambang dari Teori Himpunan dan Artinya
No. Lambang Arti Contoh Penggunaan
1.  anggota
(element)
x  A : obyek x adalah anggota
dari himpunan A
2.  himpunan bagian
(subset)
A  B: A adalah humpunan
bagian dari B
3.  gabungan
(union)
A  B : gabungan antara him-
punan A dan himpunan B
4.  irisan
(intersection)
A  B : irisan antara himpunan A
dan himpunan B
5 - selisih A – B : selisih antara A
dikurangi B
6. A
atau A’
komplemen A
(bukan A)
A = { x; x adalah semua
bilangan positif}.
A = { x ; x adalah semua bilangan
yang tidak positif}
7. U
Atau S
himpunan universal
himpunan semesta
-
8. 
atau { }
himpunan kosong -
15

16. 16
HUKUM-HUKUM DALAM
PENGOPERASIAN HIMPUNAN
• Misalkan S adalah semesta pembicaraan dan A, B, C adalah
himpunan – himpunan dalam S, maka operasi himpunan
memenuhi beberapa hukum berikut :
1. Hukum Komutatif
A  B = B  A ;
A  B = B  A;
A  B = B  A
2. Hukum Asosiatif
( A  B )  C = A  ( B  C ) ;
( A  B )  A = A  ( B  A ) ;
( A  B )  C = A  ( B  C )

17. 17
3. Hukum Distributif
( A  B )  C = ( A  C )  ( B  C );
( A  B )  C = ( A  C )  ( B  C ) ;
4. Hukum Identitas
A   = A ; A  S = A ; A   = A
5. Hukum Null
A  S = S ; A   =  ; A  A = 
6. Hukum Komplemen
A  Ac
= S ; A  Ac
= 
7. Hukum Idempoten
A  A = A ; A  A = A
8. Hukum Involusi
( Ac
) c
= A

18. 18
9. Hukum Absorbsi (penyerapan)
A  ( A  B ) = A ;
A  ( A  B)
10 Hukum de Morgan
( A  B ) c
= Ac
 Bc
;
( A  B) c
= Ac
 Bc
11. Hukum I / O
 c
= S ;
S c
= 

19. 19
1. U={bilangan cacah<8), A={1,3,7}, B={0,2,4},
C={1,2,6}. Tentukan himpunan :
a. A – (BC) b. (ABC)’
c. (BC) – A d. C’(AB)
2. U={bilangan riil}, A={X2-6X-16≤0),
B={X2-X-20≤0). Tentukan himpunan :
a. AB b. AB
c. A – B d. B – A
Latihan Soal :

20. 20
3. Jika himpunan universal U = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,
8, 9}, sedangkan P = { 2, 4, 6, 8 } dan Q = { 0, 5, 9 }
serta R = { 3, 7, 9 }, tentukan :
1. P , Q , R
2. P  Q, P  Q, P  Q, P  R.
3. P – Q, Q – P, P – ( Q – R ), ( P – Q ) – R,
P  Q
1. P  ( Q  R ),
2. (P  Q)  (P  R),
3. P  (Q  R),
4. (P  Q)  (P  R).
5. (P  Q), P  Q, (P  Q), P  Q

21. 21
12. Misalkan himpunan A = { x, y, z } ,
B = { x, y, 2}. Dan C = { 1, 2, 3 }, maka tentukan
1. A  B, A  B, A  C, A  C
2. A  B  C; (A  B)  C; A  ( B  C)
3. B – A; B – C; C – B; A – C; C – A; ( B  C ) – A
13. Dengan himpunan A, B, dan C seperti pada soal
nomor 2 ujilah kedua hukum distributif
1. A  ( B  C ) = (A  B)  ( A  C)
2. A  ( B  C ) = (A  B)  ( A  C)

22. BILANGAN
• Bilangan adalah ungkapan dari penulisan satu
atau beberapa simbul bilangan.
– Misalnya :
• 187, terdiri dari simbul bilangan 1, 8, 7.

23. JENIS-JENIS BILANGAN

25. Bilangan Riil
Bil Rasional Bil Irrasional
Bil Bulat Bil Pecahan Negatif Positif
Bil Bulat Negatif Bil Cacah
Nol Bil Asli
Bil Genap Bil Gasal Bil Prima

26. 26

27. 27
KETERANGAN:
A = Bilangan asli yaitu {1,2,3,…}
C = Bilangan cacah yaitu {0,1,2,3,…}
B = Bilangan bulat yaitu { …,-2,-1,0,1,2,…}
Q = Bilangan rasional misal 1/3 ; 4/1 ; 0,25
I = Bilangan irasional bukan bilangan rasional
misal: √3 ; 0,143964032…
R = Bilangan real terdiri dari bilangan asli,
cacah, bulat, rasional dan irasional
M = bilangan imajiner bukan bilangan real
misal: √-1 , log (–1), dan lain-lain

28. 28
Sifat-sifat operasi dasar pada bilangan real
Pada penjumlahan:
1. a+b = b+a, untuk setiap a,b bilangan real disebut
sifat komutatif pada penjumlahan.
2. (a+b)+c = a+(b+c), untuk setiap a,b,c bilangan real
disebut sifat asosiatif pada penjumlahan.
3. Ada bilangan nol yang merupakan bilangan real
sedemikian hingga 0+a = a+0 = a; untuk setiap a
bilangan real disebut sifat identitas, di mana 1
sebagai elemen identitas penjumlahan.
4. Untuk setiap a bilangan real terdapat –a anggota
bilangan real sedemikian hingga a+(-a) = (-a) + a = 0
disebut sifat invers.

29. 29
Pada perkalian:
1. a.b = b.a, untuk setiap a,b bilangan real disebut
sifat komutatif pada perkalian.
2. (a.b).c = a.(b.c), untuk setiap a,b,c bilangan real
disebut sifat asosiatif pada perkalian.
3. Ada a yang tidak sama dengan nol, bilangan real
maka ada 1/a sedemikian hingga a.1/a = 1/a.a = 1
untuk setiap a bilangan real disebut sifat identitas,
di mana 1 elemen identitas sedangkan 1/a adalah
invers perkalian dari a.
4. a.(b+c) = a.b + a.c dan (b+c) a = b.a + c.a untuk
setiap a,b,c bilangan real disebut sifat distributif.

30. 30
+ =
+
+
+
=
=
= =
Operasi bilangan pecahan

31. 31
Kaidah-kaidah Dasar dalam Pemangkatan dan Pengakaran
No. Kaidah Dasar Contoh
1. x 0
= 1 30
= 1
2. 0x
= 0 03
= 0
3. x1
= x 31
= 3
4. xa
. xb
= xa + b
32
. 33
= 3 2 + 3
= 243
5. (xa
)b
= xab
(32
)3
= 3 2 . 3
= 36
= 729
6. (xy)a
= xa
ya
(3 . 4)2
= 32
. 42
= 9 . 16 = 144
7. (x / y)a
= xa
/ ya
(3/4)2
= 32
/ 42
= 9/16
8. 1 / xa
= x-a
1 / 32
= 3 -2
atau: 1 / 9 = 9 -1
9 xa
/ xb
= x a-b
= 1 / x b-a
32
/ 33
= 3 2-3
= 3 -1
= 1/3
10. x a/b
= b
xa
2 ¾
= 4
23
= 4
8
11. a
xy = a
x . a
y 2
3.4 = 2
3 2
4 = 2 . 2
3 = 2 3
12. a
x = x1/a 2
3 = 31/2
13. a
 b
x = ab
x 2
 3
9 = 2.3
9 = 6
9
14. a
x/y = a
x / a
y 2
3/4 = 2
3 / 2
4 = 3 / 4 = 1/2 3

32. 32
SOAL-SOAL PANGKAT DAN AKAR
1. Jika f(x) = x3
– x2
+ 6 , carilah:
a. f (0)
b. f (-2)
c. f (a)
d. f (y2
)
2. Jika f (x) = (3x2
– 8) / (x – 1), carilah :
a. f (3)
b. f (-1)
c. f (x-2)
d. f (a-b)
3. Jika f (y) = (y2
-4 / y), carilah :
a. f (-1)
b. f (4)
c. f (a2
)
d. f (x+2)
4. Jika f (y) = 2y
+ y,
carilah:
a. f (0)
b. f (-1)
c. f (5)
d. f (y+b)
5. Jika f (x) = 3x – x2
,
carilah:
a. f (1)
b. f (-2)
c. f (a)
d. f (1/h)

33. 33
6.
7.
34
7. Dipunyai a, b, dan c merupakan bilangan-
bilangan asli berbeda sehingga
c
b
a
1
1
1

 =
6
5
.
Tentukan nilai a2
+ b2
+ c2
.
8.

34. 34
LOGARITMA
• Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan
dari proses pengakaran. Logaritma dari suatu
bilangan adalah pangkat yang harus dikenakan pada
bilangan pokok logaritma untuk memperoleh
bilangan tersebut.
Contoh:
100 = 102
maka 10
log 100 = 10
log 102
= 2,
atau pada umumnya a
log ap
= p , karena ap
= ap
Adapun 10 10
log 100 = 102
= 100 ;
atau pada umumnya a a
log b = b

35. 35
• Suatu bilangan pokok logaritma, namakan a, harus positif dan
tidak sama dengan satu; jadi a > 0 dan a  1.
• Dari sekian banyak kemungkinan bilangan pokok yang ada,
lazimnya yang dipakai dalam logaritma adalah bilangan 10
dan bilangan e ( = 2,718287).
• Berdasarkan jenis bilangan pokok yang digunakan ini maka
dikenal dua macam logaritma.
• Pertama, logaritma persepuluhan atau logaritma Brigg (nama
penemunya, hidup antara tahun 1560 – 1631), yaitu logaritma
dengan bilangan pokok 10.
• Sedangkan yang lain, logaritma alam atau logaritma Napier
(hidup antara tahun 1550 – 1617), yaitu logaritma dengan
bilangan pokok e.
• Logaritma Brigg dituliskan dengan simbul log, adapun
logaritma Napier dituliskan dengan simbul ln.

36. 36
e
log x . x
log 10 . 10
log e = 1
e
log x . 10
log e = 10
log x
ln x . 0,4343 = log x
ln x = log x / 0,4343
ln x = 2,3026 log x
• Untuk mengubah logaritma natural menjadi
logaritma Brigg dapat diperoleh dengan
kaidah rantai:
Contoh:
• ln 10 = 2,3026 log 10 = 2,3026
• log e = 0,4343 ln e = 0,4343
• ln 2 = 2,3026 log 2 = 0,693

37. 37
No. KAIDAH-KAIDAH LOGARITMA
1. a
log ap
= p
2 a a
log b = b
3 a
log x y = a
log x + a
log y
4 a
log x / y = a
log x - a
log y
5 a
log xn
= n a
log x
6 a
log a = 1
7 a
log 1 = 0
8 a
log b = 1 / b
log a atau a
log b . b
log a = 1
9 a
log b . b
log c . c
log a = 1
10 a
log b . c
log a = c
log b

38. 38
CONTOH-CONTOH
Kaidah 1
a. 10
log 100 = 10
log 102
= 2
b. 10
log 10000 = 10
log 104
= 4
Kaidah 2
a. 10 10
log 100 = 10
log 102
= 102
= 100
b. 10 10
log 10000 = 10
log 104
= 104
= 10000
Kaidah 3
a. 10
log (10000) (100) = 10
log 10000 + 10
log 100
= 10
log 104
+ 10
log 102
= 4 + 2 = 6
b. 10
log (1000) (100) = 10
log 1000 + 10
log 100
= 10
log 103
+ 10
log 102
= 3 + 2 = 5

39. 39
Kaidah 4
a. 10
log 10000/100 = 10
log 10000 - 10
log 100
= 10
log 104
- 10
log 102
= 4 – 2 = 2
b. 10
log 1000 /100 = 10
log 1000 - 10
log 100
= 10
log 103
+ 10
log 102
= 3 – 2 = 1
Kaidah 5
a. 10
log 1002
= 2 10
log 100 = 2 10
log 102
= 2 . 2 = 4
b. 10
log 1003
= 3 10
log 100 = 3 10
log 102
= 3 . 2 = 6
Kaidah 6
10
log 10 = 1, sebab 101
= 10
Kaidah 7
10
log 1 = 0, sebab 100
= 1

40. 40
Kaidah 8
10
log 100 = 2, sebab 102
= 100
10
log 10 = 1/2 , sebab 1001/2
= 100 = 10
dengan demikian :
10
log 100 . 100
log 10 = 2 . 1/2 = 1
Kaidah 9
10
log 100 = 2 , sebab 102
= 100
100
log 10000 = 2 , sebab 1002
= 10000
10000
log 10 = 1/4 , sebab 100001/4
= 4
10000 = 10
dengan demikian :
10
log 100 . 100
log 10000 . 10000
log 10 = 2 . 2 . 1/4 = 1

41. 41
SOAL-SOAL LOGARITMA
1. Hitunglah :
a. log xy
b. log x/y
c. log x2
y
d. log x2
/ y
apabila x = 100 dan y = 50
2. Carilah x jika :
a. log x = 0,3010
b. log x = 1,2304
c. log x2
= 1,7482
d. log x2
= 2,6021
3. Carilah x dari persamaan x37
= 2500 (7,50) 37
4. Carilah x jika 100x
= 50.000
5. Carilah x jika x5
= 50.000

42. 42
38

43. Terima Kasih
Mafizatun Nurhayati, SE. MM.