Dokumen tersebut membahas tentang logaritma, mulai dari sejarahnya, konsep dasar, sifat-sifat, dan kegunaannya dalam bidang fisika, kimia, dan ekonomi. Logaritma diperkenalkan oleh John Napier pada tahun 1614 dan memberikan kontribusi besar untuk kemajuan ilmu pengetahuan. Logaritma merupakan invers dari eksponen yang digunakan untuk menyelesaikan perhitungan rumit menjadi lebi

1. Bismillaahirrahmaanirrahiim
Assalaamu’alaikum Wr wb…
KELOMPOK 2
Mia Amalia (11320500)
Sofie Rodhiyah Oktani(11320500)
Yudi Wardiansyah (1132050083)
Yosep Sohih Nadir(1132050082)
UIN SUNAN GUNUNG DJATI BANDUNG

2. • Memiliki motivasi internal,kemampuan bekerjasama,konsisten dan sikap
disiplin,rasa percaya diri,dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi
berpikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaiakan masalah.
• Mampu mentranformasi diri dalam berprilaku jujur,tangguh menghadapi
masalah,kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika.
• Menunjukkan sikap bertanggung jawab,rasa ingin tahu,jujur dan prilaku
peduli lingkungan
• Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan
karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa
kebenaran langkah-langkahnya.
• Menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa logaritma
serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan yang telah
terbukti kebenarannya

3. • Menjelaskan Pengertian Logaritma (invers ekaponen) dan bilangan logaritma
• Mengidentifikasikasi sifat-sifat Logaritma sesuai dengan karakteristik
permasalahan.
• Menunjukkan ketelitian, mandiri, dan tanggung jawab.

5. • SEJARAH
• KONSEP
• SIFAT – SIFAT
• KEGUNAAN
LOGARITMA

6. Sejarah Logaritma
Metode logaritma pertama kali dipublikasikan
oleh matematikawan Scotlandia, yaitu John
Napier pada 1614 dalam bukunya yang
berjudul Mirifici Logarithmorum Canonis
Descriptio. Metode ini memberikan kontribusi
yang besar untuk kemajuan ilmu pengetahuan,
salah satunya pada bidang astronomi dengan
menjadikan perhitungan rumit menjadi mudah

7. Logaritma adalah Invers dari perpangkatan (eksponen), yaitu
mencari pangkat dari suatu bilangan pokok, sehingga hasilnya
sesuai dengan yang telah diketahui. Logaritma, dituliskan sebagai
“log” .
ac = b ↔ alog b = c
Dimana :
1. a dinamakan bilangan pokok dengan 0 < a <1 atau a > 1
2. b dinamakan nomerus, yaitu bilangan yang dicari logaritmanya,
dengan b > 0
3. c dinamakan hasil logaritma

8.  Sifat Dasar Logaritma
Sifat -1
Misalkan a dan n bilangan real, a> 0 dan a ≠1, maka
1 . 𝑎 log 𝑥 = 1 2 . 𝑎 log 1 = 0 3 . 𝑎 log 𝑎n = n
Sifat-sifat tersebut dapat diturunkan langsung dari definisi
logaritma.
1. a log a = x ⇔ ax = a sehingga x = 1 atau alog a = 1
2. a log 1 = y ⇔ ay = 1. Karena a0 = 1, maka y = 0
3. a log an = z ⇔ ax = an sehingga z = n serta alog an = n

9.  Setiap bilangan apabila dipangkatkan dengan 1 hasilnya adalah
bilangan itu sendiri.
Jadi, a1 = a ⇔ a log a= 1
 Setiap bilangan tidak sama dengan nol apabila dipangkatkan nol
hasilnya selalu satu.
Jadi, a0 = 1 ⇔ a log 1 = 0
 Log 10 adalah suatu bentuk logaritma dengan basis 10 dan
numerusnya 10. Jadi, log 10 = 1

10. BEBERAPA SIFAT OPERASI LOGARITMA
Sifat – 2
Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠ 1, dan b > 0,
berlaku . 𝑎 log (𝑏 × 𝑐) = 𝑎 log 𝑏 + 𝑎 log c
Bukti:
Berdasarkan Definisi 1.1 Logaritma maka diperoleh:
. 𝑎
log 𝑏 = 𝑥 ⟺ 𝑏 = 𝑎 𝑥
. 𝑎 log 𝑐 = 𝑦 ⟺ 𝑐 = 𝑎 𝑦
Dengan mengalikan nilai b dengan c maka
𝑏 × 𝑐 = 𝑎 𝑥
× 𝑎 𝑦
⟺ 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 𝑥+𝑦
⟺ 𝑎 log ( 𝑏 × 𝑐) = 𝑥 + 𝑦 Substitusikan nilai x dan y
⟺ 𝑎
log ( 𝑏 × 𝑐) = 𝑎
log 𝑏 + 𝑎
log 𝑐 (𝑡𝑒𝑟𝑏𝑢𝑘𝑡𝑖)
Sederhanakan: 3 log 15 jika diketahui 3 log 5 = a
Penyelesaian : 3 log 15 = 3 log (3 x 5) = 3log 3 + 3 log 5 = 1 +a

11. Sifat 3
Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a> 0, a ≠ 1 , b> 0
dan berlaku
. 𝑎
log
𝑏
𝑐
= 𝑎
log 𝑏 − 𝑎
log 𝑐
Bukti: Berdasarkan Definisi 1.2, diperoleh:
. 𝑎
log 𝑏 = x ⇔ b = 𝑎 𝑥
. 𝑎
log 𝑐 = x ⇔ c = 𝑎 𝑦
Dengan membagikan nilai bdengan c, maka diperoleh
𝑏
𝑐
=
𝑎 𝑥
𝑎 𝑦 ⟺
𝑏
𝑐
= 𝑎 𝑥−𝑦
⟺ 𝑎
log
𝑏
𝑐
= 𝑎
log 𝑎 𝑥−𝑦
⟺ 𝑎 log
𝑏
𝑐
= 𝑥 − 𝑦 substitusikan nili x dan y
⟺ 𝑎 log
𝑏
𝑐
= 𝑎 log 𝑏 − 𝑎 log 𝑐
𝐶𝑜𝑛𝑡𝑜ℎ : Sederhanakan: 4 log 8 jika diketahui 4 log 2 = a
𝑃𝑒𝑛𝑦𝑒𝑙𝑒𝑠𝑎𝑖𝑎𝑛 : 4 log 8 = 4 log
16
2
= 4 log 16 - 4 log 2 = 4 log (4)2 – 4 log 2 = 2 4 log
4 - a = 2 –a

12. Ingat :
1. log 2b = log b. logb = (logb)2
log b2 = 2 logb
Jadi log 2b ≠ log b2
2. Log -1b = (1/logb)
Log b-1 = log (1/b) = -logb
Jadi log -1b ≠ log b-1
SIFAT 3
Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a> 0, b> 0 dan a ≠ 1
berlaku : 𝑎 log𝑏 𝑛 = 𝑛 𝑎 log 𝑏

13. Contoh Sederhanakan: 2 log 32 = ……
Penyelesaian
2 log 32 = 2 log (2)5 = (5) 2log 2 = 5

14. Sifat -5
Untuk a, b, dan c bilangan real positif, a ≠1, b ≠1, dan c ≠1, berlaku :
alogb =
. 𝑐log𝑏
. 𝑐log𝑎
=
1
. 𝑏log𝑎
Bukti:
Berdasarkan Definisi 1.2, diperoleh:
alog b = x ⇔ b = ax Terdapat bilangan pokok c
sedemikian sehingga:
clog b = clog ax ⇔ clog b = x clog a ingat, Sifat-4
x=
. 𝑐log𝑏
. 𝑐log𝑎
substitusi nilai x
alogb =
. 𝑐log𝑏
. 𝑐log𝑎
Karena c adalah bilangan
sembarang dengan ketentuan di atas dapat dipenuhi c = b sehingga
diperoleh : alog b=
. 𝑐log𝑏
. 𝑐log𝑎
ingat, Sifat pokok 2
=
1
. 𝑏log𝑎
(terbukti)

15. Contoh

17. Sifat -6
Untuk a, b, dan c bilangan real positif dengan a ≠ 1 dan c ≠ 1,
berlaku alogb × blog c = a log c
alog b = x ⇔ b = ax
blog c = y ⇔ c = by
alog b × blog c = alog ax × blog by
⇔ alog b × blog c = alog b × blog by ingat, c = by
⇔ alog b × blog c = y alog b × blog b ingat, Sifat pokok 2
⇔ alog b × blog c = y alog b ingat, Sifat Dasar
logaritma
⇔ alog b × blog c = alog by ingat, c = by
⇔ alog b × blog c = alog c (terbukti)
Contoh
3 log 36 x 6log 9 =…… ?
Penyelesaian
3 log 36 x 6log 9 = 3 log 62 x 6log 9 = 2.3 log 6 . 6log 9 = 2 3 log 9
= 2 x 3log32 = 2 x 2 3log3 = 4 x 1 = 4

18. Sifat -7
Untuk a dan b bilangan real positif dengan a ≠ 1, berlaku am log bn =
𝑛
𝑚
(alog b), dengan
m, n bilangan bulat dan m ≠ 0.
Bukti:
alog b= x ⇔ ax= b
am log bn
= q ⇔ am.q = bn Dari bentuk pangkat di atas diperoleh: bn = am ·
q ⇔ (ax)n = amq
⇔ anx = amq ⇔ nx = mq
⇔ q=
𝑛
𝑚
𝑥
∴ am log bn =
𝑛
𝑚
(alog b)
Contoh
Sederhanakan: 9 log 8 = …… jika diketahui 3 log 2 = a
Penyelesaian
9 log 8 = 32log 23 =
3
2
3log2 =
3
2
𝑎

19. Sifat -8
Untuk a dan b bilangan real positif a ≠ 1, berlaku : 𝑎 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑏=b
alogb =n ⇔ an=b
an=b ⇔ b=𝑎 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑏
∴ 𝑎 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑏=b (terbukti)

20. Banyak permasalahan dalam kehidupan
sehari – hari yang dapat diselesaikan dengan
menggunakan logaritma , mulai dari hal yang
sederhana seperti halnya menghitung nilai bunga bank
hingga menghitung intensitas bunyi dengan rentang
begitu besar

21. LOGARITMA DALAM FISIKA
Tentukan skala decibel suara Pesawat jet yang baru lepas landas yang memiliki
intensitas 8,3 × 102 Watt per meter kuadrat ?
Penyelesaian :
Diketahui : I = 8,3 × 102 ( 𝑤
𝑚2)
I0 = 1,0× 10−12( 𝑤
𝑚2)
Ditanya : TI suara pesawat jet yang baru lepas landas
Jawab :
TI= 10 log
𝐼
𝐼0
= 10 log
8,3 × 102 ( 𝑤
𝑚2)
1,0×10−12( 𝑤
𝑚2)
= 10 log 8,3 x 1014
= 10log 8,3 + l1,0og1014
= 10 log 8,3 + 14 log 10
= 9,1907 + 14
= 23 ,1907 dB

22. Taraf intensitas bunyi sebuah air dari jarak 1 meter
adalah 60 dB. Tentukan taraf intensitasnya jika
diamati dari jarak 10 meter.
Jawab:
Diketahui: TI1 = 60 dB; r1 = 1 m; r2 = 10 m
TI2 = TI1 – 20 log r1/r2
= (60 dB) – 20 log (10 m/1 m) dB = (60 dB) - (20 dB)
= 40 dB.

23. LOGARITMA DALAM KIMIA
Tentukan pH dari suatu larutan yang memiliki konsentrasi ion H+ sebesar 2 ×
10−4 M. Gunakan nilai log 2 = 0,3
Ingat sifat log berikut

24. LOGARITMA DALAM EKONOMI
“Yusuf adalah seorang pelajar kelas X di kota Bandung. Ia senang berhemat
dan menabung uang. Selama ini dia berhasil menabung uangnya sejumlah Rp
1.000.000,00 di dalam sebuah celengan yang terbuat dari tanah liat. Agar uangnya
lebih aman, ia menabung uangnya di sebuah bank dengan bunga 10% per
tahun. Berapa lama Yusuf menyimpan uang tersebut agar menjadi Rp
1.464.100 ?”
Diketahui:
Modal awal (M0) = 1.000.000,- dan besar uang tabungan setelah sekian tahun (Mt)
= 1.464.100, besar bunga yang disediakan bank untuk satu tahun adalah 10% = 0,1.
Ditanya:
Berapa tahun (t) Yusuf menabung agar uangnya menjadi (Mt) = 1.464.100.-
Alternatif Penyelesaian

25. Akhir
Tahun
Bunga Uang (10% ×
𝑻𝒐𝒕𝒂𝒍 𝒖𝒂𝒏𝒈)
Total =Modal + Bunga Pola Total uang pada saat t
0 0 Rp. 1.000.000 1.000.000(1 + 0,1)0
1 Rp. 100.000 Rp. 1.100.000 1.000.000(1 + 0,1)1
2 Rp. 110.000 Rp. 1.210.000 1.000.000(1 + 0,1)2
3 Rp. 121.000 Rp. 1.310.000 1.000.000(1 + 0,1)3
4 Rp. 133.100 Rp. 1.464.100 1.000.000(1 + 0,1)4
Perhatikan pola pertambahan jumlah uang Yusuf
setiap akhir tahun pada tabel sebagai berikut :

26. Cermatilah kembali Tabel 1.2. Kita dapat menyatakan hubungan total
jumlah uang untuk ttahun sebagai berikut:
Mt= M0(1+i)t
dimana Mt: total jumlah uang diakhir tahun t , t: periode waktu , i: bunga uang
Dengan menggunakan notasi di atas, maka soal tersebut apat dituliskan sebagai
berikut:
Diketahui : M0= 1.000.000, Mt= 1.464.100, i= 0,1
Ditanya : t

27. Jadi, Yusuf harus menabung selama 4 tahun
agar medapatkan uang sebesar Rp1.464.100,-

29. 1. Nilai dari 5 log 125 adalah…………….
?a. 3
b. 4
c. 1/3
d. -1/3
e. 1

30. ac = b ↔ alog b = c
5 log 125 = c
5c = 125
C= 3
Nilai dari 5 log 125 adalah
Jawaban (a)

31. 2log (x2+1)
2 =……?
a. 𝑥2 + 1
b. x2+1
c. (x2+1)2
d. (x2+1)3
e. (x2+1)4

32. 2log (x2+1)
2 =……?
 𝑎 𝑎 𝑙𝑜𝑔𝑏=bIngat Sifat 8
2 = (x2+1)
2log (x2+1)
Jawab : (B)

33. 3log( x+1) = 2Jika maka …
a.(x+1) = 9
b.(x+1)=8
c.(x+1)=7
d.(x+1)= 10
e.(x+1) = 3

34. 3log( x+1) = 2
Maka
(X+1) = 23
(X+1) = 8
Jawab : (B)

35. 3log( x-5)+ 3log( x+1) = ?
a.3log (x2 – 4x +5 )
b.3log (x2 +4x-5 )
c.3log (x2 +4x +5 )
d.3log (-x2 + 4x -5 )
e.3log (x2 – 4x -5 )

36. 3log( x-5)+ 3log( x+1)= 3log( (x-5)(x+1))
=3log( x2+x-5x-5)
=3log (x2 – 4x -5 )

37. a. log 𝑥 − 2
b.log 𝑥 + 2
c. log 𝑥 + 4
d.log 𝑥2
− 8
e. log 𝑥3
− 8