Dokumen tersebut membahas tentang pewarnaan graf dan beberapa teorema terkait dengan pewarnaan graf. Teorema-teorema tersebut meliputi bilangan kromatik minimum yang dibutuhkan untuk mewarnai graf, hubungan antara derajat titik dan bilangan kromatik graf kritis, serta karakteristik graf bipartit.

1. VERTEX COLORING
(PEWARNAAN TITIK)
Oleh:
1. Muhammad Wiranto (160311600201)
2. Sindy Karmila (160311604621)

2. Roda dengan n jari-jari, Wn, adalah graf yang terdiri
dari n-cycle dan satu titik tambahan yang berdekatan
dengan semua titik cycle.
Pada Gambar 2.1.1 kita menampilkan W4 dan W5.
Gambar 2.1.1
Perhatikan bahwa tidak ada
dua titik yang berdekatan yang
memiliki warna yang sama.
Dengan graf G, kita
mendefinisikan pewarnaan G
sebagai penetapan warna pada
titik G sehingga tidak ada dua
titik yang berdekatan yang
menerima warna yang sama.

3. • Berdasarkan graf G, berapa banyak warna
yang diperlukan untuk mewarnai G?
• Jika G memiliki titik sebanyak p, kita dapat
mewarnai G dengan warna sebanyak p.
• Berapa jumlah warna paling sedikit
sehingga G bisa diwarnai?
• Untuk graf G yang diberikan, kita
menunjukkan jumlah minimum warna
yang diperlukan untuk mewarnai G oleh
𝝌(𝑮), bilangan kromatik dari graf G. Jadi,
𝜒 𝐺 = 𝑛 berarti graf G dapat diwarnai
oleh n warna, dan G tidak dapat diwarnai
oleh n-1 warna. Misalnya, pada Gambar
2.1.1, 𝜒 𝑊4 = 3 dan 𝜒 𝑊5 = 4
Gambar 2.1.1

4. • Satu-satunya graf dengan p titik dan bilangan
kromatik sama dengan p adalah Kp.
• Misalkan kita ingin menentukan bilangan
kromatik dari graf G yang diberikan.
• Jika kita menganggap bahwa 𝜒 𝐺 = 𝑛, kita
harus menunjukkan bahwa G tidak dapat
diwarnai dengan warna n-1 dan
menunjukkan bahwa memungkinkan untuk
mewarnai G dengan n warna.
• Salah satu cara untuk melakukannya adalah
dengan menunjukkan pewarnaan G oleh n
warna.
• Misalnya, berapa bilangan kromatik dari graf
G pada Gambar 2.1.2? Kita melihat bahwa
ada subgraph isomorphic ke K4. Dengan
demikian 𝜒 𝐺 ≥ 4
Gambar 2.1.2

5. Gambar 2.1.2
• Sekarang kita mencoba mewarnai G dengan
empat warna.
• Ketika kita mencoba ini, kita melihat bahwa
titik a dan b harus menerima warna yang
sama, karena masing-masing terletak pada
subgraph K4, dan subgraph K4 berbagi segitiga
umum.
• Untuk alasan yang sama, titik b dan c harus
memiliki warna yang sama.
• Tetapi titik a dan c berdekatan, sehingga
mereka tidak dapat memiliki warna yang
sama.
• Jadi 𝜒 𝐺 ≥ 5.
5
5
4
1 1
2 2
3 3

6. Misalkan G graf, dan misalkan v menjadi titik G. Jika kita
menghapus v dan semua sisi yang terhubung dengan v dari
G, graf yang dihasilkan disebut G - v. Demikian pula, jika e
adalah sisi G, graf yang diperoleh dari G dengan
menghapus e adalah G – e. Kita tinggalkan semua titik di G
ketika kita menghapus sisi. Jika v adalah titik pusat dari Kp,
maka Kp - v isomorfik ke Kp-1.
Gambar 2.1.3 Gambar 2.1.4
Gambar 2.1.2

7. Misalkan G graf. Jika H adalah subgraph dari
G, dan H ≠ G, maka H disebut sebagai proper
subgraph dari G. Jika 𝜒 𝐻 < 𝜒 𝐺 untuk
setiap proper subgraph H dari G, maka kita
katakan bahwa G adalah kritis. Graf dari
Gambar 2.1.2 dan 2.1.5 kritis, dan graf
lengkap Kn juga kritis untuk setiap n
Gambar 2.1.5
Gambar 2.1.2

8. Teorema 2.1.2.
Setiap graf kritis terhubung.
Setiap graf G berisi subgraph kritis H
sedemikian hingga 𝜒 𝐻 = 𝜒 𝐺
Teorema 2.1.1.

9. • Bukti. Jika G kritis, maka teorema ini benar
untuk H = G. Jika G tidak kritis, maka ada
proper subgraph dari H1 dari G dengan
𝜒 𝐻1 = 𝜒 𝐺 . Jika 𝐻1 kritis, maka kita sudah
selesai; himpunan H = H1. Jika H1 tidak kritis,
maka ada proper subgraph H2 dari H1,
sedemikian hingga 𝜒 𝐻2 = 𝜒 𝐻1 = 𝜒 𝐺 .
Karena G terbatas, untuk beberapa k kita
harus memperoleh subgraph Hk seperti
bahwa Hk sangat kritis. Kemudian H = Hk
• Roda W5 ditunjukkan pada Gambar 2.1.1,
adalah kritis dengan 𝜒 𝑊5 = 4. Perhatikan
bahwa derajat setiap titik W5 setidaknya tiga.
Gambar 2.1.1

10. Teorema 2.1.3.
Jika G adalah kritis dengan bilangan kromatik
empat, maka derajat setiap titik setidaknya tiga.
Bukti:
Misalkan teorema itu salah. Kemudian ada graf G yang
kritis dengan bilangan kromatik empat dan sebuah titik v
dari G sedemikian sehingga derajat v paling banyak dua.
Karena G kritis, G - v dapat diwarnai hanya dengan tiga
warna. Jadi kita mewarnai G - v dengan tiga warna. Kita
menempatkan kembali titik v; v bersebelahan dengan
paling banyak dua titik, jadi setidaknya ada satu dari tiga
warna yang tersisa untuk warna v. Tetapi ini adalah
kontradiksi, karena G memiliki kromatik nomor empat.
Jadi, derajat setiap titik setidaknya tiga.

11. Teorema 2.1.3.
Jika G adalah kritis dengan bilangan kromatik 𝜒,
maka derajat setiap titik setidaknya 𝜒 − 1.
Buktinya sama; daripada empat kita
subsitusikan 𝜒. Contoh lain yang
mengilustrasikan teorema yang lebih umum
adalah graf kritis pada Gambar 2.12, di mana
𝜒 = 5, dan derajat setiap titik setidaknya
empat.

12. Teorema 2.1.4.
Jika G adalah graf kritis dengan p titik dan q
sisi, dan G memiliki bilangan kromatik 𝜒,
maka hubungan 𝜒 − 1 𝑝 ≤ 2𝑞 berlaku
Bukti.
Dengan Teorema 2.1.3, derajat setiap titik G
setidaknya 𝜒 − 1, dan ada p titik. Jadi jumlah
derajat titik-titik G setidaknya 𝜒 − 1 𝑝.
Dengan Teorema 1.1.1, jumlah derajat dari titik
G sama dengan 2q. Sehingga Teorema 2.1.4
terbukti.

13. • Kita tahu bahwa jika graf G berisi subgraph
isomorfik ke K4 atau Wn untuk n ganjil, lalu
𝜒(𝐺) ≥ 4. Graf dalam Gambar 2.1.6 dan 2.1.7
juga memiliki bilangan kromatik 4, tetapi
tidak mengandung segitiga dan itu
membuatnya sulit untuk memeriksa bahwa
kedua graf tersebut tidak dapat diwarnai oleh
tiga warna.
• Ukuran lilitan graf adalah panjang dari cycle
terpendek dalam graf. Ukuran lilitan graf pada
Gambar 2.1.6 dan Gambar 2.1.7 adalah
empat. Graf pada Gambar 2.1.7 juga kritis.
Ada graf yang ukuran lilitan tinggi yang
berubah-ubah dan kromatik tinggi nomor [7],
[17] yang berubah-ubah.
Gambar 2.16 Graf Grùtzsch.
Gambar 2.16

14. Teorema 2.1.5. (Erdös-Lovdrz).
Untuk setiap dua bilangan bulat
𝑚, 𝑛 ≥ 2, ada graf dengan bilangan
kromatik n yang ukuran lilitannya
melebihi m.

15. • Masalah pewarnaan yang belum terpecahkan adalah dugaan dari Lovász
berikut. Jika G adalah graf sehingga 𝜒 𝐺 − 𝑣 − 𝑤 = 𝜒 𝐺 − 2 untuk
setiap pasangan dari titik-titik yang berdekatan v dan w, maka G adalah
graf lengkap.
• Sebuah graf G disebut bipartite jika 𝜒(𝐺) ≤ 2. Sebuah contoh khusus dari
graf bipartite, graf bipartite yang lengkap Km, n, didefinisikan dalam Bab 1.
Graf kubus 𝑄3 dari Gambar 1.2.5 adalah contoh lain dari graf bipartite,
tetapi graf dodecahedron tidak.
• Misalkan G menjadi graf, dan misalkan x dan y menjadi titik G. Jarak dari x
ke y di G, dilambangkan dengan d (x, y), adalah panjang dari jalur
terpendek dari x ke y. Jika tidak ada jalur dari x ke y, kita katakan d (x,
y)=∞. Pada Gambar 2.1.2, d (a, b) = 2, d (a, c) = 1

16. Teorema 2.1.6.
Graf G bipartite jika dan hanya jika setiap
cycle di G memiliki panjang yang tetap.
Bukti.
Asumsikan bahwa G adalah bipartite,
Anggaplah bahwa G mengandung cycle ganjil
C. Kemudian 𝜒 𝐶 = 3. Jadi 𝜒 𝐺 ≥ 3, tetapi
hal ini kontradiksi karena G bipartite . Maka
G tidak bisa mengandung cycle ganjil.

17. Sekarang asumsikan bahwa G adalah graf tanpa cycle ganjil. Tanpa
kehilangan keumumannya, kita asumsikan bahwa G terhubung.
Pilih titik x0 dari G. Kita warnai G sebagai berikut ini. Jika x adalah titik
dari G, kita warnai x merah jika d (x0, x) genap, dan kita warnai x biru
jika d (x0, y) ganjil. (Jadi misalnya, karena d (x0, x0) = 0, x0 berwarna
merah karena 0 genap.) Karena setiap jarak genap ataupun ganjil,
setiap titik sekarang berwarna. Sekarang kita harus menunjukkan
bahwa tidak ada dua titik yang berdekatan memiliki warna yang sama.
Kita mempertimbangkan dua titik yang berdekatan x dan y.

18. Kita memilih jalur terpendek dari xo ke x dan jalur
terpendek dari xo ke y. Misalkan u menjadi titik biasa
terakhir di jalur terpendek ini. (Lihat Gambar 2.1.8.) Titik
u mungkin sama dengan xo, atau u bisa juga x atau y.
Sekarang kita pertimbangkan d (u, x) dan d (u, y). Jika u
adalah salah satu dari x atau y, maka baik d (u, x) = d (u,
y) + 1 atau d (u, x) = d (u, y) -1. Dalam kasus lain, salah
satu jaraknya ganjil dan yang satunya genap. Kita
menyebutnya mereka memiliki keseimbangan (paritas)
yang berbeda. Jika u bukan salah satu dari x atau y, kita
sekarang menghitung panjang cycle pada Gambar 2.1.8.
Ini adalah d (u, x) + 1 + d (u, y). Kita tahu ini genap. Maka
d (u, x) dan d (u, y) memiliki keseimbangan (paritas) yang
berbeda. Karena
d (x0, x) = d (x0, u) + d (u, x)
dan
d (x0, y) = d (x0, u) + d (u, y)
dan d (x0, x) dan d (x0, y) juga memiliki keseimbangan
(paritas) yang berbeda. Jadi x dan y menerima warna
yang berbeda, dan 𝜒 𝐺 ≤ 2, jadi G adalah bipartite.
Gambar 2.1.8

19. Teorema 2.1.6 menunjukkan bahwa pohon adalah bipartite. Setiap cycle dalam
satu pohon memiliki panjang genap, karena tidak ada cycle di pohon. Dengan kata
lain, jika ada cycle di pohon, maka cyclenya memiliki panjang genap. Pernyataan
'jika-lalu' selalu benar jika tidak ada keadaan yang membuat bagian 'jika' benar.
Pernyataan seperti itu benar-benar kosong. Kita memberi contoh yang aneh.
Semua biola saya memiliki panjang −1. Ini benar karena saya tidak punya biola.
Diameter graf G adalah jarak maksimum antara dua titik G. Misalnya, diameter Pn,
adalah n; diameter Wn adalah 2 jika n > 3; diameter Kn adalah 1; dan diameter Km,n
adalah 2 jika m atau n setidaknya dua. Dalam aplikasi teori graf untuk jaringan
komunikasi, diameter adalah hal yang penting. Seseorang mengharapkan graf
dengan diameter kecil dan sedikit sisi yang memungkinkan, bersama dengan
batasan-batasan tertentu lainnya. Ini adalah bidang penelitian yang sangat aktif
sekarang.