Dokumen ini membahas tentang persamaan differensial eksak, termasuk pengenalan kondisi eksak, cara memeriksanya, dan penerapan dengan contoh. Juga dicakup adalah faktor integrasi untuk persamaan tidak eksak, serta bentuk umum dan solusi dari berbagai jenis persamaan differensial. Terdapat penjelasan tentang persamaan differensial linier dan bernoulli dengan contoh serta langkah-langkah penyelesaian.

1. 4. PERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK
Suatu PD : M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dikatakan PD
Eksak jika ada suatu fungsi F(x,y) sehingga :
dF = M(x,y) dx + N(x,y) dy …….(1)
Rumus differensial :
Maka dari (1) dan (2) diperoleh :
2)
.........(
..........
..........
y
F
x
F
dy
dx
dF






(3)
..........
..........
..........
y)........
M(x,
x
F



.(4)
..........
..........
..........
y)........
N(x,
y
F




2. Untuk memeriksa apakah suatu PD merupakan PD eksak
adalah :
Untuk mencari solusi dari PD Eksak dapat melalui
persamaan (3) atau persamaan (4).
Dari persamaan (3)
Untuk mencari c(y) turunkan F(x,y) terhadap y
x
N





y
M
c(y)
y)
A(x,
dx
y)
M(x,
y)
F(x,
y)
M(x,
x
F
 






y)
N(x,
(y)
c'
y
F







y
A
 






 c
dy
)
y
A
-
y)
N(x,
(
c(y)
y
A
-
y)
N(x,
(y)
c'

3. Dari persamaan (4)
Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x
c(x)
y)
B(x,
dy
y)
N(x,
y)
F(x,
y)
N(x,
F
 






y
y)
M(x,
(x)
c'
F







x
B
x
 






 c
dx
B
)
x
-
y)
M(x,
(
c(x)
x
B
-
y)
M(x,
(x)
c'

4. Contoh :
1. (x2 – y) dx – x dy = 0
Untuk mencari c(x) turunkan F(x,y) terhadap x
Jadi,
1
y
M
)
,
( 2






 y
x
y
x
M
1
x
N
....
.........
)
,
( 





 x
y
x
N
c(x)
-xy
xdy
-
dy
y)
N(x,
y)
F(x,
y)
N(x,
y
F
  







y
y
x







 2
x
y)
M(x,
(x)
c'
F
 



 c
x
dx 3
2
2
3
1
x
c(x)
x
(x)
c'
c
x
3
1
xy
-
y)
F(x, 3




5. 2. (x2 + y2) dx + 2xy dy = 0
3. (2x + ey) dx + x ey dy = 0
4. (x + y cos x) dx + sin x dy = 0
5. (x + y + 1) dx + (x – y + 3) dy = 0
6. ( 3y – 2x + 4) dx – ( 4x – 3y – 2 ) dy = 0

6. 5. REDUKSI KEPERSAMAAN DIFFERENSIAL EKSAK
Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 adalah PD tidak eksak
dan dapat ditemukan suatu fungsi I(x,y) sedemikian
sehingga PD :
I(x,y) { M(x,y) dx + N(x,y) dy } = 0
merupakan PD eksak, maka fungsi I(x,y) dinamakan
factor integrasi dari PD tersebut.
 Ada beberapa jenis faktor integrasi antara lain :
1. Jika suatu fungsi dari x saja,
maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.
)
(x
f
N
x
N
y
M






 dx
x
f
e
)
(

7. 2. Jika suatu fungsi dari y saja
maka adalah faktor integrasi dari PD tsb.
3. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 merupakan
PD Homogen dan xM + yN ≠ 0 ,
maka , adalah faktor integrasi dari PD tsb.
4. Jika M(x,y) dx + N(x,y) dy = 0 dapat ditulis
dlm bentuk : y f(x,y) dx + x g(x,y) = 0 , dimana
f(x,y) ≠ g(x,y) , maka adalah faktor integrasi
dari PD tersebut.
)
(y
g
M
x
N
y
M







 dy
y
g
e
)
(
yN
xM 
1
yN
xM 
1

8. Contoh:
1. (2y –x3) dx + x dy = 0
2. 3x2y2 dx + (4x3y – 12 ) dy = 0
3. (x2 + y2 + x) dx + xy dy = 0
4. (x2 + 3y2 ) dy – 2xy dx = 0
5. (xy + y2) dx – x2 dy = 0
6. (x2y3 + 2y) dx + (2x - 2x3y2 ) dy = 0

9. Latihan :
1. (x2 – y) dx – xdy = 0
2. (x + ycos x)dx + sin x dy = 0
3. (1 + e2)dr + 2re2 d = 0
4. (4x3y3 + x-1)dx + (3x4y2 – y-1)dy = 0
5. {x (x2 + y2) – y}dx + {y (x2 + y2)- x}dy = 0


10. 6. PERSAMAAN DIFFERENSIAL LINIER
ORDE PERTAMA
Bentuk umum :
Persamaan ini mempunyai faktor integrasi :
Solusi umum dari PD ini adalah :
Q(x)
P(x) 
 y
dx
dy
 dx
)
(x
P
e
c
dx
e
x
Q
e
y
x
P
x
P




 )
(
dx
)
(
dx
)
(

11. Contoh :
1.
P(x) = 1 , Q(x) = 2 + e2x
Faktor Integrasi : I =
maka solusinya :
Jadi ,
2.
3.
2x
e
2 

 y
dx
dy
x
dx
e
e 

  





 c
e
e
dx
e
e
dx
e
e
ye x
x
x
x
x
x
x 3
3
2
3
1
2
)
2
(
)
2
(
x
x
ce
e
y 


 2
3
1
2
x
e
x
y
dx
dy 2
x
2 

4x
2 

 y
dx
dy

12. 7. PERSAMAAN DIFFERENSIAL BERNOULLI
 Bentuk umum :
 Dengan transformasi :
akan menghasilkan persamaan differensial linier orde
satu :
yang mempunyai solusi umum :
)
(
)
( x
Q
y
x
yP
dx
dy n


dx
dz
dx
dy
y
z n
n
-
1
1
y
1
dan n
1

 

)
(
)
1
(
)
(
)
1
( x
Q
n
x
zP
n
dx
dz




c
dx
e
x
Q
n
e
z
dx
x
P
n
dx
x
P
n




 


)
(
)
1
(
)
(
)
1
(
.
)
(
)
1
(
.

13. Contoh :
1.
2.
3.
4.
)
1
( 3
2 x
e
y
y
dx
dy



)
3
( 2
2
x
x
y
x
y
dx
dy



dx
)
( 6
6
x
x
y
dx
y
dy
x 


x
xy
y
dx
dy
ln
x 2



14. PERSAMAAN DIFFERENSIAL ORDE PERTAMA
DERAJAT TINGGI
Bentuk umum :
atau F(x,y,p2,….,pn) = 0 dimana p = dy/dx
Ada beberapa cara untuk menyelesaikannya
1. Jika PD diatas dapat diuraikan menjadi n faktor
linier sedemikian shg persamaan dpt ditulis sebagai :
(p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0
dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y
0
)
,....,
,
,
,
(
2













n
dx
dy
dx
dy
dx
dy
y
x
F

15. Langkah2 menentukan solusi umum
(1). Uraikan PD tsb menjadi n faktor linier, yaitu :
(p – F1) (p – F2)….. (p – Fn) = 0….(*)
dimana F1, F2, …., Fn adalah fgs x dan y
(2). Selesaikan n persamaan differensial orde satu
derajat satu dari (*), yaitu :
(p – F1)
(p – F2)
…………………………………………………………………..
(p – F1)
0
)
,
,
(
f
0
)
,
(
dx
dy
1
1 



 c
y
x
y
x
F
0
)
,
,
(
f
0
)
,
(
dx
dy
2
2 



 c
y
x
y
x
F
0
)
,
,
(
0
)
,
(
dx
dy




 c
y
x
f
y
x
F n
n

16. (3). Solusi umum dari PD merupakan perkalian
dari solusi umum setiap PD orde satu derajat satu
tersebut, yaitu :
f1(x,y,c) . f2(x,y,c) …… fn(x,y,c) . = 0

17. 2. Jika PD tidak mengandung y, dan x dapat dipisahkan.
Bentuk PD : F(x , p) = 0 dan x = f(p)
Langkah2 menentukan solusi umum
(1). Differensialkan x terhadap p, yaitu :
(2).Karena maka shg :
(3).Solusi umum dari PD telah diperoleh
x = f(p) p adalah parameter
y =
dp
p
p
f
dp
dx
)
(
f
dx
)
( '
'



dx
dy
p  dy
1
p
dx 
c
dp
(p)
f
p
y
dp
(p)
f
p
dy
dp
(p)
f
dy
1
'
1
'






p
  c
dp
p
pf )
(
'

18. 3. Jika PD tidak mengandung x, dan y dapat dipisahkan.
Bentuk PD : F(y , p) = 0 dan y = f(p)
Langkah2 menentukan solusi umum :
(1). Differensialkan y terhadap p, yaitu :
(2). Karena maka sehingga :
(3). Solusi umum dari PD telah diperoleh
y = f(p) p adalah parameter
x =
dp
p
p
f
dp
dy
)
(
f
dy
)
( '
'



dx
dy
p  dx
p
dy 
  c
dp
p
f
p
)
(
1 '
c
dp
(p)
f
p
1
x
dp
(p)
f
p
1
dx
dp
(p)
f
dx
p
'
1
'







19. contoh :
1. x2p2 + xy p – 6y2 = 0
2. 7p3 + 3p2 = x
3. p3 + 5p2 + 7p = y
4. x4p4 - 5x2y2 + 4y4 = 0