linear equations

1. .
.
Пример 1.
- Общий интеграл

2. Пример 2.

10. Пример 1


11. Пример 2


15. Методы решения ЛДУ
(Метод Бернулли)

16.    
   
 
   
 
решение
общее
xe
Ce
y
e
C
x
y
x
v
x
u
y
Ответ
C
x
u
dx
du
u
e
e
u
e
v
x
v
dx
v
dv
v
dx
dv
v
v
e
v
u
v
v
e
v
v
u
v
u
e
uv
u
v
v
u
u
v
v
u
y
x
v
x
u
y
замена
e
y
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
































































:
1
ln
0
0

17. Линейное неоднородное ДУ. Метод Иоганна
Бернулли
   
x
Q
y
x
P
y 


Любую величину можно представить в форме произведения двух
сомножителей, причем один из множителей можно выбрать по
своему желанию.
uv
y 
В результате линейное неоднородное ДУ сводиться к двум уравнениям
с разделяющимися переменными:
где u v
и - новые функции переменной .
x
или








)
(
0
)
(
x
Q
v
u
v
x
P
v








)
(
0
)
(
x
Q
u
v
u
x
P
u

18. Решить уравнение .
3
x
y
x
y 


    .
,
3
x
x
Q
x
x
P 


Решение:
Положим ,
uv
y 
тогда .
u
v
v
u
y 




Пример 1.
Получим ,
3
x
uv
x
u
v
v
u 




)
1
(
.
3
x
v
u
v
x
v
u 


















)
(
0
)
(
x
Q
v
u
v
x
P
v
Получили систему уравнений











x
v
u
v
х
v 0
3

19. .
0
3


 v
x
v ,
dx
dv
v 

,
3
x
dx
v
dv

,
3
 

x
dx
v
dv
,
ln
3
ln С
x
v 
 Здесь v – любое частное решение,
поэтому для простоты возьмём С=0
.
3
x
v 
Подставляя во второе уравнение системы, получим
x
x
u 
 3
Решим первое уравнение системы
Здесь
dx
du
u 

Здесь
 
 2
x
dx
du
dx
x
du 2
1

,
1
C
x
u 

 постоянную С писать обязательно

20. Окончательно получим
3
1
x
x
C
uv
y 







 (общее решение)

21. Решить уравнение
Решение: y=uv
)
1
(
1




 x
e
x
y
y x
).
1
(
)
1
(
),
1
(
1














x
e
v
u
x
u
u
v
x
e
x
uv
v
u
v
u
x
x
x
x
e
v
x
e
v
x





 )
1
(
)
1
(
).
)(
1
( C
e
x
uv
y x
















)
1
(
0
1
x
e
v
u
x
u
u
x
 1

 x
u
C
e
v x



22. Расставь по порядку!
Алгоритм решения линейного ДУ 1-го порядка
__ Приводят уравнение к виду    
x
Q
y
x
P
y 


,
uv
y  u
v
v
u
y 




находят
__ Используя подстановку
и подставляют эти выражения в
уравнение.
__ Группируют члены уравнения, выносят одну из функций
за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в
скобках нулю и решив полученное уравнение.
__ Подставляют найденную функцию в оставшееся
выражение и находят вторую функцию.
__ Записывают общее решение, подставив выражения для
найденных функций и в равенство
__ Если требуется найти частное решение , то определяют С из
начальных условий и подставляют в общее решение.
u
u
v
v uv
y 
ил
и

23. Проверим!
Алгоритм решения линейного ДУ 1-го порядка
1. Приводят уравнение к виду    
x
Q
y
x
P
y 


,
uv
y  u
v
v
u
y 




находят
2. Используя подстановку
и подставляют эти выражения в
уравнение.
3. Группируют члены уравнения, выносят одну из функций
за скобки. Находят вторую функцию, приравняв выражение в
скобках нулю и решив полученное уравнение.
4. Подставляют найденную функцию в оставшееся
выражение и находят вторую функцию.
5. Записывают общее решение, подставив выражения для
найденных функций и в равенство
6. Если требуется найти частное решение , то определяют С из
начальных условий и подставляют в общее решение.
u
u
v
v ,
uv
y 
ил
и

24. Сделай сам, помоги другу!
Решить уравнения:
1.
2.
Ответ:
.
cos
2
x
x
y
y
x 

 Ответ:  .
sin C
x
x
y 


26. Линейные дифференциальные
уравнения первого порядка
   
x
g
y
x
p
y 



1 метод: метод замены или метод Бернулли
v
u
v
u
y
uv
y 




















)
(
0
)
(
)
(
)
(
x
g
v
u
v
x
p
v
x
g
uv
x
p
v
u
v
u

27. Пример
x
xy
y 2
2 


v
u
v
u
y
uv
y 



















x
v
u
xv
v
x
xuv
v
u
v
u
2
0
2
2
2
;
2xdx
v
dv


2
x
e
v 

xdx
du
e x
2
2


)
( 2
2
x
d
e
du x
 C
e
u x


2
2
1 x
Ce
y 


1.
2.
3.
4.
;
ln 2
x
v 

;
1
:
2
х
Се
у
Ответ 



28. Линейные уравнения
1-го порядка

y 
y
)
1
(
)
(
)
( x
Q
y
x
P
y 


Как отличить!
Особенность
таких уравнений:
функция y и её
производная y’
входят в
уравнение в
первой степени,

31. 2 метод: метод вариации произвольной
константы или метод Лагранжа
  ;
0



 y
x
p
y ;
)
( dx
x
p
y
dy


)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
e
x
C
x
p
e
x
C
dx
x
p
dx
x
p









  

1.
2.
3.


 dx
x
p
e
x
C
y
)
(
)
(
   
x
g
y
x
p
y 





 dx
x
p
y )
(
ln


 dx
x
p
Ce
y
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
x
g
e
x
C
x
p
e
x
C
x
p
e
x
C
dx
x
p
dx
x
p
dx
x
p








 






)
(
)
(
)
(
x
g
e
x
C
dx
x
p








dx
x
p
e
x
g
x
C
)
(
)
(
)
(

32. Пример
x
xy
y 2
2 


;
0
2 

 xy
y ;
2xdx
y
dy

 ;
ln
ln 2
C
x
y 


2
x
e
C
y 


  ;
2
x
e
x
C
y 

      ;
2
2
2
x
e
x
C
e
x
C
y x
x




 

      ;
2
2
2
2
2
2
x
e
x
xC
e
x
xC
e
x
C x
x
x



 


  ;
2
2
x
e
x
C x

 
  ;
2
2
x
xe
x
C 

  C
e
x
C x


2
  2
2
x
x
e
C
e
y 

 ;
1
:
2
x
Ce
y
Ответ 


1.
2.
3.
;
2
2
dx
xe
dC x


33. But what if we can’t use the
product rule backwards?
Then multiplying through by the integrating
factor:
Then we can solve in the usual way:
?
?
?

34. You could
skip to here
provided you
don’t forget to
multiply the
RHS by the IF.
What shall we do first so that we have an
equation like before?
STEP 2:
Determine IF
STEP 3:
Multiply
through by IF
and use
product rule
backwards.
STEP 4:
Integrate and
simplify.
?
?
?
?

35. Решить уравнение
Решение: y=uv
)
1
(
1




 x
e
x
y
y x
).
1
(
)
1
(
),
1
(
1














x
e
v
u
x
u
u
v
x
e
x
uv
v
u
v
u
x
x
x
x
e
v
x
e
v
x





 )
1
(
)
1
(
).
)(
1
( C
e
x
uv
y x
















)
1
(
0
1
x
e
v
u
x
u
u
x
 1

 x
u
C
e
v x



36. Сделай сам, помоги другу!
Решить уравнения:
1.
2.
Ответ:
Ответ:
Дескрипторы:
- верно определяет вид
уравнения
- верно определяет метод
решения,

38. Основные правила интегрирования

39. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

40. Сущность интегрирования методом замены переменной
(способом подстановки) заключается в преобразовании
интеграла в интеграл , который
легко вычисляется по какой-либо из основных формул
интегрирования.
Для нахождения интеграла заменяем
переменную x новой переменной u с помощью
подстановки . Дифференцируя это равенство,
получим . Подставляя в подынтегральное
выражение вместо x и dx их значения, выраженные
через u и du, имеем
После того как интеграл относительно новой
переменной u будет найден, с помощью подстановки
он приводится к переменной x.
 du
u
F

 dx
x
f

 dx
x
f

 
u
x 

 du
u
dx 

   
      .
du
u
F
du
u
u
f
dx
x
f 

 

 

 
x
u 


41. Схема метода
Например:

42. Пример 1. Решить интеграл   .
2
3
5
dx
x
 
Решение:
Введём подстановку . Дифференцируя, имеем
, откуда . Подставив в данный интеграл
вместо и их выражения, получим:
Заменив u его выражением через x, получим:
u
x 
2
3
du
dx 
3 du
dx
3
1

2
3 
x dx
  .
18
1
6
3
1
3
1
2
3 6
6
5
5
C
u
C
u
du
u
dx
x 





 

    .
2
3
18
1
2
3
6
5
C
x
dx
x 





43. Пример 2.
  dx
x
x 1
Найти

44. Пример 3. dx
x
x cos
sin
1
3
 

45. Пример 4.


dx
x
e x 2
3

46. или
Пример 5. dx
x
x

2
ln
Такой приём называется внесением под дифференциал

47. Пример 6. dx
x
x
arctg
  2
3
1

48. Пример 7. dx
x
x

ln
cos

49.  
  







 .
1
3
1
3
9
1
2
3
6
1
6
1
1
3 2
2
2
3
2
1
2
C
x
x
C
t
dt
t
dx
x
x
Пример 8.
  dx
x
x 1
3 2
.
6
1
.
.
,
6
,
1
3 2









 dt
dx
x
е
т
dt
dx
x
тогда
t
x
Пусть

50.   










.
2
cos
12
1
6
2
1
2
1
2
cos
2
sin
6
6
7
7
C
x
C
t
dt
t
x
dx
x
 x
dx
x
2
cos
2
sin
7
.
2
1
2
sin
.
.
,
2
sin
2
,
2
cos 









 dt
dx
x
е
т
dx
x
dt
тогда
t
x
Пусть
Пример 9.

52. Интегрирование по
частям
Integration by parts

54. 2. Решением интеграла
является:

56. 3. Решением интеграла
является:

57. 4. Решением интеграла
является:

58. 5. Решением интеграла
является:

59. dx
x
2
cos2

C
x
C
x
x
C
x
x







2
cos
3
2
Е)
C
2sinx
-
Д)
C
2sinx
С)
2
sin
2
B)
2
sin
2
)
A
3
6. Решением интеграла
является:

60. 7. Решением интеграла
является:

61. 8. Решением интеграла
является:

62. 9. Решением интеграла
является:

63. 10. Решением интеграла
является:

64. Ответы теста:
1) Д 6) А
2) А 7) С
3) А 8) А
4) В 9) Д
5) Е 10) С

65. С помощью этой формулы вычисление
интеграла сводится к вычислению
интеграла , если последний
окажется проще исходного, где u(x), v(x) –
непрерывные дифференцируемые
функции.
 

 vdu
uv
udv
udv
 du
v
Метод интегрирования по
частям

66. К числу интегралов, вычисляемых
интегрированием по частям,
относятся, например, интегралы вида
где P(x) – многочлен (в частности,
степенная функция )
f(x) – одна из следующих функций:
 ,
)
(
)
( dx
x
f
x
P
arctgx
x
x
x
x
eax
,
arcsin
,
ln
,
cos
,
sin
, 

n
x

67. cos
x x dx


polynomial factor u x

du dx

cos
dv x dx

sin
v x

u dv uv v du
 
 
LIPET
C
x
x
x
dx
x
x
x
dx
x
x









 
cos
sin
sin
sin
cos
Example 1:

68. Example 2:
logarithmic factor ln
u x

1
du dx
x

u dv uv v du
 
 
LIPET
xdx
dv 
2
2
x


C
x
x
x
dx
x
x
x
x
dx
x
x








 
4
ln
2
1
2
ln
2
ln
2
2
2
2

69. This is still a product, so we
need to use integration by
parts again.
Example 3:
2 x
x e dx

u dv uv v du
 
 
LIPET
2
u x
 x
dv e dx

2
du x dx

x
v e

u x
 x
dv e dx

du dx
 x
v e


 







dx
xe
e
x
dx
x
e
e
x
dx
e
x
x
x
x
x
x
2
2
2
2
2
 
C
e
xe
e
x
dx
e
xe
e
x
x
x
x
x
x
x







 
2
2
2
2
2

70. Example 4:
cos
x
e x dx

LIPET
x
u e
 sin
dv x dx

x
du e dx
 cos
v x
 
sin sin
x x
e x x e dx
 

 
sin cos cos
x x x
e x e x x e dx
    

x
u e
 cos
dv x dx

x
du e dx
 sin
v x

sin cos cos
x x x
e x e x e x dx
  
This is the
expression
we started
with!
uv v du

71. Example 4(cont.):
cos
x
e x dx

LIPET
u v v du
 
cos
x
e x dx 

2 cos sin cos
x x x
e x dx e x e x
 

sin cos
cos
2
x x
x e x e x
e x dx C

 

sin sin
x x
e x x e dx
 

x
u e
 sin
dv x dx

x
du e dx
 cos
v x
 
x
u e
 cos
dv x dx

x
du e dx
 sin
v x

sin cos cos
x x x
e x e x e x dx
  
 
sin cos cos
x x x
e x e x x e dx
    

This is called
“solving for the
unknown
integral.”
It works when
both factors
integrate and
differentiate
forever.

72. Задачи для самостоятельной
работы:
dx
x
x
 2
sin
dx
e
x x


arctgxdx
x


73. Integration by Parts
for Definite Integrals
Formula
Exampl
e

74. Тренировочные
упражнения

75. Тренировочные
упражнения

77. Задания экзамена A-Level
1.
2.
2.