Документ описывает методы решения уравнений и неравенств, содержащих модули и иррациональные выражения. Приводятся основные правила, такие как необходимость операционного раскрытия модулей, построение таблиц знаков и проверка решений на соответствие оригинальным условиям. Особое внимание уделяется процессу использования пробных точек и соблюдения условий дискриминанта.

1. День 2
Модули
Иррациональные

2. Решение примеров с модулями
РЕШЕНИЕ ПРИМЕРОВ С МОДУЛЯМИ
1. Любой пример с модулем решу методом частичных областей, если нельзя
решить проще.
2. ВСЕ МОДУЛИ ПРАВИЛЬНЫЕ,
т.е. в каждом подмодульном выражении коэффициент при старшей степени +. Если
это не так, то меняем знаки в плохом подмодульном выражении на
противоположные.

3. Уравнения с модулем
Модуль = числу

4. Уравнения с модулем
Модуль равен модулю

5. Уравнения с модулем
Модуль равен неизвестному выражению
Требуем, чтобы неизвестное выражение было больше или равно нулю. Тогда содержимое
модуля равно плюс минус неизвестное выражение. Проводим отбор решений по
дополнительному условию.

6. Уравнения с модулем
МЕТОД ЧАСТИЧНЫХ ОБЛАСТЕЙ
1. ВСЕ МОДУЛИ ПРАВИЛЬНЫЕ.
2. На числовой прямой отмечаю ноль каждого модуля и черчу таблицу знаков,
с которыми раскрываются модули.
3. Сколько модулей – столько строчек. На каждой строчке стрелкой отмечаю
ноль модуля и расставляю знаки. Если на строчке одна стрелка,то до
стрелки -, а после + . Если две стрелки, то между стрелками - , а за стрелками
+.
4. Уточняю знаки в таблице методом пробной точки.
5. Решаю пример в каждой из областей, не забывая указывать условие
раскрытия модулей.
6. Решив пример, проверяю какая часть найденного решения входит в область на
которой работали.
7. Если после раскрытия модулей все неизвестные сократились и получилось
верное равенство, то в ответ берем весь промежуток, на котором
работали. Если получилось противоречие, то решения нет.
8. Объединяем в ответ все решения, найденные на промежутках – все
рамки записываем в ответ.

7. Неравенство с модулем
Модуль сравнивается с модулем или с положительным числом.
Возводим обе части в квадрат не возводя, т.е. используем формулу разности квадратов

8. Неравенство с модулем
Модуль сравнивается с неизвестным выражением или с любым числом.
Делаем эквивалентный переход, читая стишок:
Содержимое модуля
Содержимое модуля
Правая часть
Минус правая часть
Знак неравенства
Обратный знак неравенства
Палочка, палочка, носик.

9. ПРИМЕЧАНИЕ
Модули
1. Если в подмодульном выражении дискриминант меньше или равен нулю, то
модульные скобки можно опустить.
2. Если на строчке больше двух стрелок, то знаки расставляем методом
пробной точки.
3. Модуль дроби заменяем на модуль числителя и знаменателя:
4. Области с одинаковыми знаками можно при решении объединять.
5. На таблицу знаков полезно наложить ОДЗ. Иногда это существенно
сокращает число рассматриваемых промежутков.
6. Если в примере вложенный модуль, то начинаем раскрывать самый
внутренний модуль, если от внешнего модуля нельзя избавиться, решая
пример проще.

10. Иррациональные уравнения

11. Иррациональные уравнения

12. Иррациональные неравенства

13. Иррациональные неравенства

14. Иррациональные неравенства

15. Иррациональные неравенства

16. Примеры