Modul Matematika Fase E Kelas X.docx

INFORMASI UMUM
I. IDENTITAS MODUL
II. KOMPETENSI AWAL
III. PROFIL PELAJAR PANCASILA
IV. SARANA DAN PRASARANA
V. TARGET PESERTA DIDIK
VI. MODEL PEMBELAJARAN
MODUL AJAR
EKSPONEN DAN LOGARITMA
Nama Penyusun : Serly Ancelyna, S.Pd.
Satuan Pendidikan : MAN 2 Samarinda
Kelas/Fase : X (Sepuluh)/E
Mata Pelajaran : Matematika
Prediksi Alokasi Waktu : 15 JP
Tahun Penyusunan : 2023
Perkalian berulang adalah perkalian yang dilakukan secara berulang dengan faktor yang sama.
Perhatikan contoh berikut ini.
1. 2×2×2×2×2×2 ditulis dengan 26
2. 5×5×5×5×5×5×5×5 ditulis dengan 58
3. 15×15×15×15 ditulis dengan 154
4. 7×7×7×7×7×7×7×7×7×7 ditulis dengan 710
5. a×a×a×a×a×a×a ditulis dengan a7
Beriman, bertakwa kepada Tuhan yag maha Esa, bergotong royong, bernalar kritis, kreatif,
inovatif, mandiri, berkebhinekaan global
• Meja belajar siswa di kelas
• Kertas grafik
• Aplikasi GeoGebra jika memungkinkan
Peserta didik reguler/tipikal: umum, tidak ada kesulitan dalam mencerna dan memahami materi
ajar.
Blended learning melalui model pembelajaran dengan menggunakan Project Based Learning
(PBL) terintegrasi pembelajaran berdiferensiasi berbasis Social Emotional Learning (SEL).

A. TUJUAN PEMBELAJARAN
B. PEMAHAMAN BERMAKNA
C. PERTANYAAN PEMANTIK
D. KEGIATAN PEMBELAJARAN
1. Mengidentifikasi sifat-sifat eksponen.
2. Mengidentifikasi bentuk akar.
3. Mengidentifikasi fungsi eksponen.
4. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan fungsi eksponen.
• Siswa dapat mengidentifikasi sifat-sifat eksponen dan bentuk akar.
• Siswa juga dapat merepresentasikan fungsi eksponen dan menyelesaikan masalah yang
terkait dengan fungsi eksponen.
• Siswa juga diharapkan mampu mengidentifikasi hubungan antara eksponen dan logaritma,
banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan eksponen.
• Siswa diharapkan mampu menggunakan eksponen untuk menyelesaikan permasalahan
tersebut.
• Bagaimana kalian menuliskan bentuk 2×2×2×2×2×2 dengan lebih singkat?
• Bagaimana bentuk sederhana dari perkalian 15×15×15×15?
• Apakah ada bentuk lain dari 26 ?
PERTEMUAN KE-1
DEFINISI EKSPONEN
Kegiatan Pendahuluan (10 Menit)
 Doa; absensi; menyampaikan tujuan pembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
 Memotivasi siswa untuk tercapainya kompetensi dan karakter yang sesuai denganProfil
Pelajar Pancasila; yaitu 1) beriman, bertakwa kepada Tuhan Yang Maha Esa, dan
berakhlak mulia, 2) mandiri, 3) bernalar kritis, 4) kreatif, 5) bergotong royong, dan 6)
berkebinekaan global, yang merupakan salah satu kriteria standar kelulusandalam satuan
pendidikan.
Kegiatan Inti (90Menit)
 Siswa diminta untuk membentuk kelompok yang terdiri atas 4 orang kemudian sajikan
permasalahan yang terdapat pada Eksplorasi 1 tentang penyebaran suatu virus di suatu
wilayah
Setelah mencoba langsung, siswa diarahkan untuk menjawab setiap pertanyaan.
1. Berikut ini tabel yang sudah dilengkapi.
Fase Penularan 1 2 3 4 5 6 7 8
Banyak orang
yang tertular
2 4 8 16 32 64 128 256
KOMPONEN INTI

Guru dapat menanyakan kepada siswa bagaimana siswa menemukan bilangan- bilangan
tersebut. Bilangan-bilangan tersebut diperoleh karena setiap orang akan menulari dua
orang lainnya pada fase selanjutnya.
2. Banyak orang yang tertular pada fase ke-10 adalah 1.024. Pola dari penularan tersebut
adalah 2n sehingga untuk mendapatkan banyaknya orang yang tertular pada fase ke-10
adalah 210 =1.024. Siswa mungkin akan menjawab bahwa mereka mengalikan
bilangan pada fase sebelumnya dengan 2 atau mengatakan bahwa mereka akan
mengalikan 2 sebanyak 10 kali karena yang akan dicari adalah banyaknya orang yang
tertular pada fase ke-10.
3. Jika banyak fase yang terjadi adalah n, banyak orang yang tertular virus tersebut
direpresentasikan dalam bentuk 2n .
4. Hubungan antara fase penularan dan banyaknya orang yang tertular virus tersebut
adalah untuk mendapatkan banyak orang yang tertular pada fase ke-n, maka pola yang
digunakan adalah 2n di mana n adalah fase penularan.
 Siswa diajak untuk menemukan sifat-sifat eksponen berikut ini.
1. am •an = am + n
2. = am - n
3. = am × n
 Siswa diminta untuk memperhatikan Tabel 1.1 pada Buku Siswa dan mencoba
menyelesaikan beberapa bentuk eksponen yang ada pada Eksplorasi 1.2 yang menggiring
mereka untuk menemukan sifat-sifat tersebut. Berikut jawaban dari pertanyaan pada
eksplorasi ini.
 Mintalah siswa untuk memahami sifat-sifat eksponen yang disajikan pada buku. Ajak siswa
untuk mengamati syarat yang ada pada masing-masing sifat tersebut. Misalnya pada Sifat 1
mengapa nilai a ≠ 0 dan seterusnya. Hal ini dapat menjadi diskusi yang menarik untuk
dibahas dengan siswa. Setelah itu, lanjutkan kegiatan siswa untuk membuktikan sifat-sifat
eksponen yang lainnya pada kegiatan Ayo Berpikir Kreatif.
Kegiatan Penutup (10 MENIT)
 Siswa dan guru menyimpulkan pembelajaran hari ini.
 Refleksi pencapaian siswa/formatif asesmen, dan refleksi guru untuk mengetahui
ketercapaian proses pembelajaran dan perbaikan.
 Menginformasikan kegiatan pembelajaran yang akan dilakukan pada pertemuan berikutnya.
 Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan memberikan pesan dan motivasi tetap semangat
belajar dan diakhiri dengan berdoa.
PERTEMUAN KE-2
FUNGSI EKSPONEN
pembelajaran
pendidikan.

Kegiatan Inti (90 Menit)
 Siswa diminta untuk menyelesaikan permasalahan yang terkait dengan pengenalan fungsi
eksponensial. Masalah yang disajikan adalah mengenai penularan virus. Siswa selanjutnya
diminta untuk menjawab setiap pertanyaan yang diberikan
1. Untuk menentukan banyaknya orang yang tertular pada fase selanjutnya, ajak siswa
untuk mendata banyak orang yang tertular pada setiap fase, salah satunya dengan
bantuan tabel.
Siswa boleh menggunakan cara yang lainnya juga, misalnya dengan mendata tanpa
membuat tabel.
FasePenularan 1 2 3 4 5 6 7 8
Banyakorang yang
tertular 3 9 27 81 243 729 2.187 6.561
Dari data tersebut tampak bahwa banyak orang yang tertular virus pada setiap fasenya
membentuk sebuah pola. Misalkan N adalah banyaknya orang yang tertular virus pada
setiap fasenya, karena N = 3n .
Siswa cukup menentukan banyak orang yang tertular pada beberapa fase saja dan
melihat apa ada hubungan atau pola yang muncul.
2. Banyaknya orang yang tertular pada fase ke-20 adalah N = 320 = 3.486.784.401.
Siswa bisa mencari hasil penghitungan tersebut dengan menggunakan kalkulator.
3. Dari grafik tersebut diperoleh bahwa yang merepresentasikan peningkatan jumlah
orang yang tertular virus tersebut jika proses penularan terjadi terus- menerus adalah
grafik nomor III. Jika diperhatikan peningkatan kasus pada setiap fasenya (tabel pada
bagian a), peningkatan jumlah orang yang tertular virus tersebut cukup signifikan
pertambahannya sehingga grafik III paling tepat menggambarkan kondisi tersebut.
Guru dapat menanyakan kepada siswa apa yang digambarkan pada grafik I dan II.
4. Fungsi yang tepat menggambarkan penularan virus tersebut adalah fungsi eksponen. Ini
yang akan dipelajari oleh siswa pada bagian ini.
 Setelah mengerjakan Eksplorasi 1.3, guru kemudian mengajak siswa untuk mendiskusikan
permasalahan tersebut. Apakah ada hubungan yang menarik antara fase dan banyaknya
orang yang tertular pada setiap fasenya. Eksplorasi 1.1 akan membantu siswa untuk
memahami permasalahan ini.
 Diskusi dilanjutkan dengan pembahasan tentang fungsi eksponensial. Siswa diperkenalkan
dengan definisi fungsi eksponensial. Pada bagian ini guru dapat menambahkan eksplorasi
misalnya dengan menunjukkan beberapa bentuk grafik fungsi eksponensial dengan
menggunakan aplikasi misalnya GeoGebra atau Desmos.
 Guru kemudian melanjutkan penjelasan mengenai pertumbuhan eksponensialdengan
merujuk pada kurva f(x) = 3x pada Gambar 3. Penjelasan kemudiandilanjutkan dengan
penjelasan mengenai definisi fungsi pertumbuhan eksponen.Selanjutnya guru menjabarkan
contoh yang disajikan pada Contoh 3 dan Contoh4 serta dapat memberikan contoh lain dari
pertumbuhan eksponensial dari sumberyang lainnya.
 Minta siswa untuk mendiskusikan jawaban mereka pada kegiatan Ayo Berpikir Kritisdi atas.
Jika ada jawaban yang berbeda, guru memfasilitasi siswa untuk mendiskusikanjawabannya
sampai memperoleh jawaban yang tepat.

 Kegiatan dilanjutkan dengan menjelaskan tentang fungsi peluruhan eksponensial.Guru
menjelaskan dan menggambarkan bagaimana fungsi peluruhan eksponenterjadi dan
mengajak siswa untuk mendiskusikan perbedaan fungsi pertumbuhaneksponen dan
peluruhan eksponen. Kegiatan kemudian dilanjutkan denganmemberikan Contoh 5 kepada
siswa.Pada Contoh 5, ajak siswa untuk mendiskusikan mengapa fungsi yang
digunakanuntuk permasalahan tersebut adalah . Jika siswa mengalamikesulitan, maka guru
dapat membimbing siswa kembali untuk melihat peluruhandosis obat pada setiap fasenya.
PERTEMUAN KE-3
BENTUK AKAR
pembelajaran
pendidikan.
 Guru menjelaskan hubungan antara bilangan pangkat dan akar.Merujuk pada Contoh 5
sebelumnya, guru menjelaskan bagaimana hubungan antaraakar dan bilangan pangkat.
Penjelasan kemudian dilanjutkan dengan memberikanbentuk umum dari bentuk akar. Siswa
juga diminta untuk mengingat kembali sifatsifat eksponen yang sudah dipelajari
sebelumnya.
 Guru menjelaskan bagaimana merasionalkan bentuk akar dari beberapa bentuk akar yang
perlu dirasionalkan. Guru mengajak siswa mendiskusikan mengapa bentuk akar tersebut
perlu untuk dirasionalkan.
 Minta siswa untuk saling membandingkan dan mendiskusikan cara yang mereka gunakan
masing-masing.

E. ASESMEN
1. Asesmen Formatif:
1. Sederhanakanlah !
3. Alma menabung di bank sebesar Rp500.000,00 pada awal tahun. Setiap tahun Alma
mendapat bunga 8% setahun.
a. Buatlah tabel yang menunjukkan banyaknya tabungan Alma setiap tahun dalam 5
tahun terakhir.
b. Berapa jumlah uang yang dimiliki Alma setelah 10 tahun menabung?
c. Berapa tahun yang dibutuhkan Alma sehingga tabungannya dapat mencapai
Rp5.000.000,00?
2. Asesmen Sumatif

F. PENGAYAAN DAN REMEDIAL
Ajak siswa untuk mencari tahu pada buku atau situs internet yang menyajikancontoh-contoh
fungsi eksponensial dan mendiskusikan temuan mereka. Yang lebihpenting adalah mereka
dapat menjelaskan seperti apa fungsi eksponensial disajikanpada permasalahan atau konteks
yang mereka temukan. Diskusi dapat dilakukansecara berkelompok atau diskusi besar di dalam
kelas.
G. REFLEKSI GURU DAN PESERTA DIDIK
Sebagai penutup dari pembelajaran subbab ini, ajak siswa untuk merefleksikan apayang sudah
mereka pelajari melalui dua pertanyaan:
 Apa itu bilangan eksponen?
Sampel jawaban: bilangan eksponen adalah bilangan yang berbentuk anmenyatakan hasil
kali bilangan a sebanyak n faktor. a adalah bilangan real dann adalah bilangan bulat positif.
 Seperti apa bentuk fungsi eksponen?
Sampel jawaban: Sebuah fungsi eksponen dinyatakan dengan f(x) = n×ax , dimana a adalah
bilangan pokok, a>0, a≠1, n adalah bilangan real tak nol dan xadalah sebarang bilangan real.
 Apa yang membedakan fungsi pertumbuhan eksponen dan peluruhan eksponen?
 Sampel jawaban: fungsi pertumbuhan eksponen menunjukkan tingkatpertumbuhan yang
berbanding lurus dengan besarnya nilai kuantitas.Penambahan jumlah kuantitasnya bisa
dikatakan signifikan, sedangkanpeluruhan eksponensial menggambarkan penurunan secara
konsisten padaperiode waktu tertentu.

Lampiran 1
LEMBAR KERJA PESERTA DIDIK (LKPD)
Materi : Eksponen
Alokasi Waktu : 15 Menit
Petunjuk:
1. Diskusikan LKPD ini bersama anggota kelompok kalian
2. Isilah titik-titik pada setiap pertanyaan yang ada dengan teliti
3. Jika mengalami kesulitan dalam melakukan kegiatan, dapat bertanya kepada Guru.
A. Definisi Logaritma
B. Sifat – Sifat Logaritma
LAMPIRAN- LAMPIRAN

n,
a c
3. Untuk bentuklain, silahkancari rumusnyasendiri
a
loga
b
.........
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
a
logb
c
.........
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
d
logb .........
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
..................................................................................................................................................
C. Latihan Mandiri
Kerjakan soalberikutdengan jujurdan kerja keras.
1. Tentukan nilaidari
a. 9log81 .........
b. 2log64−2log16 .........
c. 2log24 2log10−2log15 .........
d. 4log1610 .........
2. Jika5log4 mdan4log3 nyatakan12log100dalammdann.
3. Pendudukkota A padatahun 2010 sebanyak 300.000jiwa. Pertumbuhanpenduduk kota
Arata-rata per tahunadalah 6%.Jika diasumsikan pertumbuhan penduduk setiaptahunsama,
dalamberapa tahun pendudukkota A menjadi1juta jiwa?
4. Berapawaktuyangdibutuhkan sehingga uang Diniyang tadinyaRp2.000.000,00
dapatmenjadiRp6.500.000,00 jikadiamenabung disuatubank yangmemberinya bunga
sebesar12%?

Secara umum bentuk logaritma dituliskan
Perhatikan contoh soal berikut.
Tentukan hasil dari
Lampiran 2
BAHAN BACAAN GURU DAN PESERTA DIDIK

Lampiran 4
DAFTAR PUSTAKA
Eksponen, Pangkat, bilangan atau variabel yang ditulis di sebelah kanan atas bilangan lain
(variabel) yang menunjukkan pangkat.
Akar, salah satu operasi aljabar yang nilainya merupakan hasil dari perkalian suatu bilangan yang
sama atau bentuk lain untuk menyatakan suatu bilangan yang berpangkat.
Fungsi, pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggota
himpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).
Pertumbuhan eksponen, tingkat pertumbuhan yang berbanding lurus dengan besarnya nilai
kuantitas.
Peluruhan eksponen, penurunan secara konsisten pada periode waktu tertentu.
Susanto, Dicky. 2021. Matematika SMA/SMK/ Kelas X. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan.
Nurdiansyah, Hadi dkk. 2016. Matematika untuk SMA/MA Kelas X (Kelompok Peminatan
Matematika dan Ilmu Alam). Jakarta : Yrama Widya
Sutisna, E., 2020. Modul Pembelajaran SMA, Matematika Peminatan Kelas X. Kementerian
Pendidikan dan Kebudayaan Indonesia.
Indryastuti. 2013. Perspektif Matmatika 1. Solo : Tiga Serangkai
Mengetahui, Samarinda, Juli 2023
Kepala MAN 2 Samarinda Guru Matematika
Drs. H. Saharuddin, M.Pd. Serly Ancelyna, S.Pd.
NIP. 19681001 199603 1 002 NIP. 19960210 202012 2 016
Lampiran 3
GLOSARIUM

INFORMASI UMUM
I. IDENTITAS MODUL
II. KOMPETENSI AWAL
MODUL AJAR
LOGARITMA
Mengingatkan siswa apa yang sudah dipelajari pada pertemuan sebelumnya mengenai bentuk
eksponen dan sifat-sifat eksponen. Jika guru meminta siswa menuliskan refleksi di jurnal, maka
dapat menekankan kembali hal-hal yang siswa masih belum terlalu jelas sebagaimana tecermin
dalam refleksi mereka.
• Meja belajar siswa di kelas
• Kertas grafik
• Aplikasi GeoGebra jika memungkinkan
ajar.

1. Mengidentifikasi sifat-sifat logaritma
2. Menyelesaikan permasalahan sehari-hari yang berkaitan dengan logaritma.
• Siswa dapat mengidentifikasi sifat-sifat logaritma dan bentuk akar.
• Siswa juga dapat merepresentasikan fungsi logaritma dan menyelesaikan masalah yang
terkait dengan fungsi logaritma.
• Siswa juga diharapkan mampu mengidentifikasi hubungan antara eksponen dan logaritma,
banyak masalah dalam kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan logaritma.
• Siswa diharapkan mampu menggunakan logaritma untuk menyelesaikan permasalahan
tersebut.
• Bagaimana bentuk logaritma dan permasalahan sehari-hari seperti apa yang dapat
diselesaikan dengan menggunakan logaritma.
PERTEMUAN KE-1
LOGARITMA
 Doa; absensi; menyampaikan tujuanpembelajaran; dan menyampaikan penilaian hasil
pembelajaran
pendidikan.
 Ajak siswa untuk mendiskusikan tentang permasalahan yang disajikan pada Eksplorasi 1.4.
Permasalahan yang ada pada Eksplorasi 1.4 juga masih berhubungan dengan bentuk
eksponen, tetapi untuk permasalahan kali ini yang akan dicari adalah waktu yang dibutuhkan
sampai banyak bakteri mencapai jumlah tertentu. Berikan kesempatan kepada siswa terlebih
dahulu untuk menyelesaikan Eksplorasi 1.4.
 Di awal minta siswa untuk membuat tabel pertumbuhan koloni bakteri terlebih dahulu
seperti yang sudah dilakukan pada eksplorasi-eksplorasi sebelumnya. Untuk menentukan
waktu yang dibutuhkan oleh koloni bakteri hingga berjumlah 64.000 tentu masih mudah
untuk siswa. Dengan bantuan tabel akan mudah untuk siswa menentukan bahwa 64.000
bakteri akan muncul setelah 5 jam.
KOMPONEN INTI

Tabel 1.1 Pertumbuhan Koloni Bakteri
Waktu (x) 0 1 2 3 4 5 10
Banyak bakteri 2.000 4.000 8.000 16.000 32.000 64.000 128.000
 Setelah siswa berhasil menentukan waktu yang dibutuhkan hingga terdapat 64.000 bakteri,
diskusi dilanjutkan dengan menentukan waktu sehingga dihasilkan 100.000 bakteri. Diskusi
ini menarik karena setelah siswa perhatikan pada tabel yang mereka buat, 100.000 tidak
terdata. Ajak siswa untuk memperkirakan kira-kira di antara waktu yang mana mereka bisa
menentukan waktu sampai dihasilkan 100.000 bakteri. Waktu yang dibutuhkan ternyata
tidaklah bulat. Berikan kesempatan kepada siswa untuk memperkirakan waktu yang paling
mendekati. Selain itu, bimbing siswa untuk memodelkan permasalahan tersebut dalam
bentuk eksponensial.
 Setelah siswa selesai memperkirakan waktu yang paling mendekati sehingga bisa dihasilkan
100.000 bakteri, guru kemudian menjelaskan bahwa ada konsep lain yang dapat membantu
siswa untuk menentukan waktu tersebut yaitu dengan menggunakan konsep logaritma. Guru
dapat menjabarkan dan menjelaskan kembali penjelasan yang sudah dipaparkan di Buku
Siswa.
Kegiatan Penutup (10 Menit)
belajar dandiakhiri dengan berdoa.
PERTEMUAN KE-2
DEFINISI LOGARITMA
pembelajaran
pendidikan.
 Guru menjelaskan definisi Logaritma dan hubungannya dengan eksponen.
 Guru juga menjelaskan beberapa contoh tambahan dan meminta siswa untuk memberikan
contoh bentuk eksponen selain yang sudah ada di buku dan mengubahnya ke dalam bentuk
logaritma.
 Alternatif pembuktian lain dari
Bukti:
Misalkan

PERTEMUAN KE-3
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
pembelajaran
pendidikan.
 Penjelasan kemudian dilanjutkan untuk memaparkan sifat-sifat yang berlaku pada logaritma.
 Diskusikan satu per satu sifat-sifat tersebut dan konfirmasi pemahaman siswa. Ajak dan
bimbing siswa untuk membuktikan sifat-sifat logaritma tersebut.
Pembuktian Sifat 5:
Misalkan
Kalian dapat menuliskan bentuk eksponennya sebagai berikut:

Terbukti
Pembuktian Sifat 6:
Terbukti
Pembuktian Sifat 7:
Berdasarkan Definisi Logaritma:

Selanjutnya,
Terbukti
E. ASESMEN
 Guru melakukan pengamatan selama diskusi berlangsung. Hasil pengamatan berupa
jawaban siswa dan partisipasi siswa dalam diskusi dapat dicatat dalam jurnal untuk ditinjau
kembali
 Guru memeriksa kelengkapan lembar pengamatan siswa
 Asesmen ini dibuat Individu, kelompok, peforma dan tertulis- formatif dan sumatif
Pengayaan

Menara Hanoi
Menara Hanoi adalah teka-teki terkenal yang ditemukan pada tahun 1883 oleh Edouard Lucas,
seorang matematikawan Perancis. Lucas mendasarkan teka-teki itu pada legenda ini:
Pada awal waktu, para imam di sebuah kuil diberikan tiga tiang emas. Di salah satu tiang, 64
cakram emas ditumpuk, masing-masing sedikit lebih kecil dari yang di bawahnya. Para imam
diberi tugas itu memindahkan semua cakram ke salah satu tiang lainnya sambil berhati-hati
untuk mengikuti aturan ini:
 Pindahkan hanya satu cakram pada satu waktu.
 Jangan pernah meletakkan cakram yang lebih besar di atas cakram yang lebih kecil.
Saat mereka menyelesaikan tugas, kuil akan runtuh dan dunia akan lenyap.
Pada materi pengayaan ini, peserta didik akan mencari tahu berapa lama waktu yang
dibutuhkan untuk memindahkan semua cakram dari satu tiang ke tiang lainnya. Kita akan mulai
dengan mengasumsikan cakram begitu besar dan berat sehingga para imam hanya dapat
memindahkan satu cakram per menit.
Remedial
Bayangkan tiang diberi label A, B, dan C dan bahwa cakram mulai di Tiang A. Karena akan
terlalu sulit untuk memikirkan untuk memindahkan 64 cakram, maka mungkin lebih baik
mempertimbangkan teka-teki dalam bentuk yang jauh lebih sederhana.
1. Misalkan teka-teki dimulai dengan hanya 1 cakram pada Tiang A. Berapa lama yang
diperlukan untuk memindahkan cakram ke Tiang B?
2. Misalkan teka-teki dimulai dengan 2 cakram pada Tiang A. Berapa lama yang diperlukan
untuk memindahkan kedua cakram ke Tiang B? Apa gerakannya?

3. Coba lagi dengan 3 cakram. Berapa lama waktu yang dibutuhkan? Apa gerakannya?
4. Prediksikan bagaimana total waktu yang dibutuhkan untuk memecahkan tekateki akan
berubah setiap kali menambah satu cakram.
5. Prediksikan berapa lama waktu yang dibutuhkan untuk memindahkan 64 cakram. Tuliskan
prediksi tersebut untuk dibandingkan di akhir eksplorasi.
Pada akhir pembelajaran bab ini, minta siswa untuk memikirkan kembali apa saja yang sudah
mereka pelajari dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan penuntun sebagai upaya guru untuk
memastikan bahwa siswa sudah mencapai tujuan pembelajaran.
Uji Kompetensi juga diberikan untuk mengukur ketercapaian tujuan pembelajaran dari bab ini.
1. Apa itu eksponen dan logaritma?
Eksponen atau bilangan berpangkat didefinisikan sebagai berikut:
Jika a adalah bilangan real dan n adalah bilangan bulat positif, maka an
menyatakan hasil
kali bilangan a sebanyak n faktor dan ditulis dengan
Logaritma didefinisikan sebagai berikut.
Misalkan a adalah bilangan positif dengan 0<a<1 atau a>1, b>0, maka berlaku a
log b = c
jika dan hanya jika b = ac . Di mana a adalah bilangan pokok atau basis logaritma, b adalah
numerus, dan c adalah hasil logaritma.
2. Apa perbedaan dari fungsi pertumbuhan eksponensial dan fungsi penurunan eksponensial?
Berikan masing-masing satu contoh.
Fungsi pertumbuhan eksponen menunjukkan tingkat pertumbuhan yang berbanding lurus
dengan besarnya nilai kuantitas, misalnya pertumbuhan bakteri atau virus (siswa boleh
memberikan contoh lainnya).
Penambahan jumlah kuantitasnya bisa dikatakan signifikan sedangkan peluruhan
eksponensial menggambarkan penurunan secara konsisten pada periode waktu tertentu,
misalnya peluruhan zat radioaktif (siswa boleh memberikan contoh lainnya).
3. Apa hubungan antara eksponen dan logaritma?
Eksponen merupakan kebalikan dari logaritma. Kita kembalikan pada definisi logaritma,
yaitu misalkan a adalah bilangan positif dengan 0<a<1 atau a>1, b>0, maka berlaku b = c
jika dan hanya jika b = ac
di mana a adalah bilangan pokok atau basis logaritma, b adalah
numerus, dan c adalah hasil logaritma.
4. Berikan 1 contoh penerapan logaritma dalam kehidupan sehari-hari, misalnya penentuan
waktu yang dibutuhkan oleh bakteri untuk membelah menjadi sejumlah bakteri. Jawaban
siswa bisa bervariasi.

Lampiran 1
1. Selesaikanlah.
2. Diketahui:
Banyak bakteri = 500
Pembelahan menjadi 2 terjadi setiap 1 jam.
a. Fungsi yang menyatakan hubungan antara banyak bakteri setelah jam tertentu adalah
f(x) = 500(2)x
b. Waktu yang dibutuhkan sehingga koloni bakteri tersebut berjumlah 5.000 bakteri
adalah:
LAMPIRAN- LAMPIRAN

Jadi, waktu yang dibutuhkan sehingga koloni bakteri menjadi 5.000 bakteri adalah 3,32
jam.
c. Waktu yang dibutuhkan sehingga koloni bakteri tersebut mencapai 100.000 bakteri
adalah:
Jadi, waktu yang dibutuhkan sehingga koloni bakteri menjadi 100.000 bakteri adalah
7,64 jam.
3. Diketahui:
Ketinggian bola = 5 m
Tinggi lambungan ke-n = dari tinggi sebelumnya.
a. Ketinggian bola tersebut pada lambungan ke-5
Model matematika yang menggambarkan kondisi di atas adalah
Ketinggian bola pada lambungan ke-5 adalah:
b. Akan ditentukan lambungan ke-n ketika ketinggian bola adalah 0
Perhatikan tabel pengamatan berikut ini:
Fase Tinggi
0 5
1 3,75
2 2,8125
3 2,109375
4 1,582031
5 1,186523
6 0,889893
7 0,667419
8 0,500565
9 0,375423
10 0,281568

11 0,211176
12 0,158382
13 0,118786
14 0,08909
15 0,066817
Jika diperhatikan, pada lambungan ke-15, ketinggian bola sudah 6 cm atau dengan
kata lain bola bisa berhenti melambung. Ajak siswa untuk mendiskusikan hal
tersebut. Kapan bola benar-benar berhenti melambung. Untuk memudahkan siswa
melakukan mencari tinggi bola di setiap fase lambungan, guru dapat mengarahkan
siswa untuk menggunakan Microsoft Excel.
4. Tabungan awal = Rp2.500.000,00
Bunga = 10% per tahun.
a. Banyak tabungan Dina pada 5 tahun pertama
Model matematika untuk permasalahan di atas adalah
Sehingga tabungan pada 5 tahun pertama adalah
b. Lama Dina harus menyimpan uang di bank agar tabungannya tersebut menjadi dua
kali lipat (Rp5.000.000) dari tabungan awalnya
Akan dicari nilai x yang memenuhi:
Jadi, tabungan Alma akan cukup Rp5.000.000,00 setelah 7 tahun.

DEFINISI LOGARITMA
Misalkan a adalah bilangan positif dengan 0
Di mana,
a adalah bilangan pokok atau basis logaritma
b adalah numerus
c adalah hasil logaritma
Jadi, antara eksponen dan logaritma saling terkait. Logaritma adalah inversi atau kebalikan dari
eksponen. Perhatikan tabel di bawah ini.
Tabel 1.4 Contoh Bentuk Eksponen dan Bentuk Logaritma
Bentuk logaritma yang juga perlu kalian ketahui adalah logaritma dengan basis 10 yang biasa
disebut dengan Logaritma Umum. Bentuk logaritma umum ini biasanya juga dapat kalian tulis
dengan menghilangkan basis logaritmanya. Bentuk logaritma umum didefinisikan sebagai berikut.
DEFINISI LOGARITMA UMUM
Logaritma yang memiliki basis 10 disebut dengan logaritma umum dan dituliskan sebagai berikut:
SIFAT-SIFAT LOGARITMA
Seperti halnya eksponen, logaritma juga memiliki sifat-sifat yang penting untuk kalian ketahui.
Sifat-sifat logaritma yang perlu kalian ketahui adalah sebagai berikut.
Lampiran 2

Lampiran 3
GLOSARIUM
Lampiran 4
DAFTAR PUSTAKA
Logaritma, Eksponen pangkat yang diperlukan untuk memangkatkan bilangan dasar supaya
mendapatkan bilangan tertentu (jika bilangan dasarnya 10, maka log 100 = 2, artinya 10 pangkat 2
= 100).
Persamaan, kalimat terbuka yang menyatakan hubungan “sama dengan”.
Pertidaksamaan, kalimat terbuka yang menggunakan tanda ketidaksamaan
Range, Semua nilai y atau f(x) dari suatu fungsi
Subtitusi , penggantian.
Variabel , Peubah
Mengetahui, Samarinda, Juli 2023
NIP. 19681001 199603 1 002 NIP. 19960210 202012 2 016

INFORMASI UMUM
I. IDENTITAS MODUL
II. KOMPETENSI AWAL
MODUL AJAR
BARISAN
Barisan dan deret sangat erat kaitannya dengan konsep pola bilangan yang telah kalian pelajari
pada tingkat SMP. Penerapan barisan dan deret sangat mudah ditemui dalam kehidupan sehari-
hari.
Seperti yang ada di halaman bab pembuka, konsep barisan dan deret terkait dengan menghitung
susunan kursi dengan banyaknya kursi yang berbeda di tiap barisnya. Kalian dapat menentukan
banyak objek yang disusun dengan pola piramida di mana objek tersebut dapat bertambah atau
berkurang secara konstan. Kalian juga dapat menentukan panjang lintasan dari bola yang
dipantulkan.
 Meja belajar siswa di kelas
 Kertas berbentuk persegi atau persegi panjang
ajar.

1. Mendeskripsikan perbedaan antara barisan aritmetika dan barisan geometri.
2. Menentukan suku ke-n dan beda dari barisan aritmetika.
3. Menentukan suku ke-n dan rasio dari barisan geometri.
4. Menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep barisan
aritmetika dan barisan geometri.
Menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep barisan
aritmetika dan barisan geometri.
1. Apakah barisan bilangan merupakan barisan aritmetika atau barisan geometri?
2. Bagaimana menentukan suku ke-n dari suatu barisan?
3. Bagaimana menentukan rumus Un dari suatu bilangan?
PERTEMUAN KE-1
BARISAN ARITMETIKA
pembelajaran
pendidikan.
 Siswa diajak menemukan kembali rumus menentukan suku ke-n dari barisan aritmetika
dengan konteks jumlah kursi pada gedung pertunjukan seni.
 Siswa diminta untuk menentukan jumlah kursi pada baris ke-15. Beri kesempatan terlebih
dahulu kepada siswa untuk menjawab dengan cara mereka sendiri.
 Lalu siswa diajak menjawab beberapa pertanyaan yang menggiring ke pemahaman
mengenai rumus suku ke-n pada barisan aritmetika.
• Berapa beda atau selisih banyak kursi pada tiap baris? 4 kursi
• Baris ke-1 = 20
• Baris ke-2 = 24 = 20+4 (20 ditambah 4 sebanyak 1 kali) = 20+(1×4)
• Baris ke-3 = 28 = 20+4+4 (20 ditambah 4 sebanyak 2 kali) = 20+(2×4)
• Baris ke-4 = 32 = 20+4+4+4 (20 ditambah 4 sebanyak 3 kali) = 20+(3×4)
• Baris ke-5 = 36 = 20+4+4+4+4 (20 ditambah 4 sebanyak 4 kali) = 20+(4×4)
• Jadi, pada Baris ke-15 = 20 ditambah 4 sebanyak 14 Kali = 20+(14 ×4) = 76
KOMPONEN INTI

 Setelah mendapatkan jumlah kursi pada baris ke-15, maka siswa diajak menyimpulkan
rumus menentukan suku ke-n pada barisan aritmetika adalah Un = a + (n – 1) b.
 Setelah pemaparan konsep mengenai menentukan jumlah suku ke-n barisan aritmetika,
siswa diminta untuk menyimak contoh soal yang ditampilkan pada Buku Siswa.
 Selanjutnya, untuk memantapkan pemahaman konsep barisan aritmetika, siswa diberikan
kesempatan untuk mengerjakan soal latihan 1.
PERTEMUAN KE-2
BARISAN GEOMETRI
pembelajaran
pendidikan.
 Siswa diminta untuk menentukan jumlah bakteri setelah membelah selama 20 jam. Beri
kesempatan kepada siswa untuk menjawab dengan cara mereka sendiri.
 Setelah itu, siswa diajak menjawab pertanyaan berikut untuk membangun pemahaman
mengenai rumus menentukan suku ke-n barisan geometri.
• Suku pertama pada permasalahan di atas adalah 2
• Tiap dua jam, membelah menjadi 3, maka rasio pada barisan di atas adalah 3
Dalam 20 jam, terjadi pembelahan sebanyak 20 jam : 2 jam = 10 kali → n = 10.
U10 = …
U1 = 2
U2 = 2 × 3 (2 dikali 3 sebanyak 1 kali) = 2 × 31
U3 = 2 × 3 × 3 (2 dikali 3 sebanyak 2 kali) = 2 × 32
U4 = 2 × 3 × 3 × 3 (2 dikali 3 sebanyak 3 kali) = 2 × 33
U5 = 2 × 3 × 3 × 3 × 3 (2 dikali 3 sebanyak 4 kali) = 2 × 34
U10 = 2 dikali 3 sebanyak 9 kali
U10 = 2 × 39
 Setelah mendapatkan jumlah bakteri setelah pembelahan selama 20 jam, maka siswa diajak
menyimpulkan rumus menentukan suku ke-n pada barisan geometri
adalah Un = a .rn - 1

 Setelah uraian konsep mengenai menentukan jumlah suku ke-n barisan geometri, siswa
diminta untuk menyimak contoh soal yang ditampilkan pada Buku Siswa.
 Selanjutnya, untuk memantapkan pemahaman konsep barisan geometri, siswa diberikan
E. ASESMEN
ASESMEN PERTEMUAN PERTAMA
INSTRUMEN ASESMEN INDIVIDU
□ Kuis bentuk uraian (10 menit)
1
Lengkapilah susunan bilangan berikut berdasarkan pola yang ada :
3, 5, 9, 15, 23, ... , 45, ... , ...
2
Susunan lantai dari beberapa buah persegi yang diarsir seperti pada gambar di samping
ini. Susunan persegi tersebut membentuk suatu pola tertentu.
Berapakah banyak persegi yang berwarna coklat pada pola ke – 7?
3
a. Tuliskan 3 suku pertama dari barisan yang ditentukan oleh Un = 3n2 -1
b. Suku keberapakah dari barisan itu yang besarnya 191 ?
RUBRIK PENILAIAN KELOMPOK (LKS-1)
No. Indikator
Bagian
LKS
Skor
1 2 3 4
1 Siswa dapat
menentukan pola
dari suatu barisan
Masalah 1-
5
Terisi
benar
≤ 25%
Terisi
benar
> 25%
Terisi benar
> 70%
sampai ≤
Terisi
benar
> 85%
sampai ≤ 85%
70 %
Nilai akhir = jumlah skor x 25

RUBRIK PENILAIAN INDIVIDU
Tujuan Pembelajaran Indikator Ketercapaian Pembelajaran
Nomor
Soal
Menentukan pola dari suatu barisan Siswa dapat menentukan pola dari suatu
barisan
1 - 3
Nomor
Soal
Contoh Produk Siswa Yang Mencapai
Tujuan Pembelajaran
Skor
Contoh Produk Siswa Yang
Belum Mencapai Tujuan
Pembelajaran
1 Diketahui : 3, 5, 9, 15, 23, ... , 45, ... , ...
Solusi :
3 ---
Pola barisan : setiap suku berikutnya
ditambah bilangan genap mulai dari 2, 4,
6, 8, 10, 12, 14, 16
Jadi 9 suku pertama barisannya adalah 3,
5, 9, 15, 23, 33 , 45, 59 , 73
2
Diketahui : gambar susunan lantai
Solusi :
Jika banyak persegi coklat dibuat barisan
:
1, 5, 9, … (setiap suku berikutnya
ditambah
4), maka barisan menjadi 1, 5, 9, 13, 17,
21
Jadi banyak persegi coklat pola ke-7
adalah 21
3 ---
3
a. Diketahui : Un = 3n2 – 1
solusi :
untuk n = 1 maka 3 . 12 – 1 = 3 – 1 = 2
untuk n = 2 maka 3 . 22 – 1 = 12 – 1 =
11
untuk n = 3 maka 3 . 32 – 1 = 27 – 1 =
26
b. Diketahui Un = 191 solusi :
3n2 – 1 = 191
3n2 = 192
n2 = 64 n = 8
Jadi 191 adalah suku ke-8
4 ---
Nilai akhir = Jumlah skor x 10

ASESMEN PERTEMUAN KEDUA
1. Tentukan suku ke-35 dari : 5, 9, 13, …
2. Tentukan x jika x+1, 2x, x+7 membentuk barisan aritmetika
3. Suku ke-4 dan ke-9 suatu barisan aritmatika berturut-turut adalah 110 dan 150. Suku
ke-30 barisan aritmatika tersebut
No. Indikator
Bagian
LKS
Skor
1 2 3 4
1 Siswa dapat
menjelaskan
pengertian barisan
aritmetika
Masalah 1
dan
masalah 2
Terisi
benar ≤
25%
Terisi benar >
25% sampai ≤
70 %
Terisi benar
> 70%
sampai ≤
85%
Terisi
benar >
85%
2 Siswa dapat
menentukan rumus
suku ke-n suatu
barisan aritmetika
Masalah 3 Terisi
benar ≤
25%
Terisi benar >
25% sampai ≤
70 %
Terisi benar
> 70%
sampai ≤
85%
Terisi
benar >
85%
3 Siswa dapat
menyelesaikan
masalah kontekstual
yang terkait dengan
barisan aritmetika
Latihan
soal no 6,
7, 8
Terisi
benar ≤
25%
Terisi benar >
25% sampai
≤ 70 %
Terisi benar
> 70%
sampai ≤
85%
Terisi
benar >
85%
Nilai akhir
jumlah skor
x 100
12
Tujuan Pembelajaran Indikator Ketercapaian Pembelajaran Nomor
Soal
Menentukan rumus suku ke-n suatu
barisan aritmetika
Siswa dapat menentukan rumus suku ke-n
suatu barisan aritmetika 1-3
Nomor
Soal
Mencapai Tujuan Pembelajaran
Skor
Pembelajaran
1 suku ke-35 dari : 5, 9, 13, …
Diketahui :
a= 5, b= 4, n = 35 maka Un = a + (n-1)b
3 -
-
-

U35 = 5 + (34 x 4) = 141
2 x+1, 2x, x+7 membentuk barisan 3 x+1, 2x, x+7 membentuk
Aritmetika barisan
2U2 = U3 – U1 aritmetika
2 (2x) = (x+7) – (x+1) U2 = U3 – U1 (salah rumus)
4x = 6 (2x) = (x+7) – (x+1)
x = 1 ½ 2x = 6
x = 3
3 Diketahui : U4 = 110, U9 = 150 4 -
Ditanya : U30
U4 = 110 a + 3b = 110
-
-
U9 = 150 a + 8b = 150
5b = 40
b = 8 a = 86
Jadi U30 = a + 29 b = 86 + 29.8 = 318
ASESMEN PERTEMUAN KETIGA
1. Tentukan jumlah 14 suku pertama dari deret : 13 + 8 + 3 + …
2. Tentukan suku pertama dari deret aritmetika jika diketahui beda = 7, dan jumlah 15
suku pertama = 945.
3. Tentukan jumlah semua bilangan asli antara 10 dan 150 yang habis dibagi 3.
No. Indikator
Bagian
LKS
Skor
1 2 3 4
1 Siswa dapat
menjelaskan
pengertian deret
aritmetika
Terisi
benar
≤ 25%
Terisi benar
> 25%
sampai
≤ 70 %
Terisi benar
> 70%
sampai
≤ 85%
Terisi
benar
> 85%
2 Siswa dapat
menentukan rumus
jumlah n suku
pertama suatu deret
aritmetika
Latihan
soal
Terisi
benar
≤ 25%
Terisi benar
> 25%
sampai
≤ 70 %
Terisi benar
> 70%
sampai
≤ 85%
Terisi
benar
> 85%
3 Siswa dapat
menyelesaikan
masalah kontekstual
yang terkait dengan
Latihan
soal
Terisi
benar
≤ 25%
Terisi benar
> 25%
sampai
Terisi benar
> 70%
sampai
Terisi
benar
> 85%

deret aritmetika ≤ 70 % ≤ 85%
Nilai akhir
jumlah skor
x 100
12
Tujuan Pembelajaran Indikator Ketercapaian Pembelajaran Nomor
Soal
Menentukan rumus jumlah n suku
pertama suatu deret aritmetika
Siswa dapat menentukan rumus jumlah n
suku pertama suatu deret aritmetika
1-2
Menyelesaikan masalah kontekstual
yang terkait dengan deret aritmetika
Siswa dapat menyelesaikan masalah
kontekstual yang terkait dengan deret
aritmetika
3
Nomor
Soal
Mencapai Tujuan Pembelajaran
Skor Contoh Produk Siswa Yang
Pembelajaran
1 Diketahui : Deret 13 + 8 + 3 + …
a=13, b = -5
Ditanya : S14
Sn = ½ n (2a + (n-1)b)
S14 = ½ 14 (2.13 + 13. (-5))
= 7 (26 – 65)
= -429
3 Diketahui : Deret 13 + 8 + 3 + …
a=13, b = -5
Ditanya : S14
Sn = ½ n (a + (n-1)b)
S14 = ½ 14 (13 + 13. (-5))
= 7 (13 – 65)
= -442
2 Diketahui : b = 7 , S15= 945
Ditanya : a
945 = 15/2 (2a + 14.7)
126 = 2a + 98
2a = 28 a = 14
3 Diketahui : b = 7 , S15= 945
Ditanya : a
945 = 15/2 (a + 14.7)
126 = a + 98 a = 28
3
Diketahui :
bilangan antara 10 dan 150 yang habis
dibagi 3
: 12, 15, 18, …, 147
a= 12, b = 3, Un = 147
Ditanya : Sn
Un = 147 147 = 12 + (n-1) 3
135 = 3(n-1)
n – 1 = 45 n = 46
S14 = ½ 46 (12 + 147)
= 23(159)
= 3657
4 Diketahui :
bilangan antara 10 dan 150 habis
dibagi 3 : 12, 15, 18, …, 150
a= 12, b = 3, Un = 150
Ditanya : Sn
Un = 150 150 = 12 + (n-1) 3
138 = 3(n-1)
n – 1 = 46 n = 47
S14 = ½ 47 (12 + 150)
= ½ 47 (162)
= 3807

Pengayaan
Pada bagian pengayaan, siswa diharapkan dapat melihat pengaruh terhadap suatu barisan
geometri jika nilai rasio, suku pertama, dan jumlah banyak suku diubahubah.
Sebelum menentukan barisan geometri sendiri, siswa dibentuk kelompok yang terdiri dari 4
orang siswa. Selanjutnya, siswa diberi kesempatan untuk membuat barisan geometri dengan
aturan yang berbeda di tiap kelompok.
Contoh:
Kelompok 1:
tiap siswa anggota kelompok memilih suku pertama yang berbeda-beda, dengan rasio dan
banyak suku sama.
Kelompok 2:
tiap siswa anggota kelompok memilih rasio yang berbeda-beda, dengan suku pertama dan
banyak suku sama.
Kelompok 3:
tiap siswa anggota kelompok memilih banyak yang berbeda-beda, dengan suku pertama dan
rasio sama.
Lalu, siswa diminta untuk membuka link aplikasi GeoGebra melalui komputer/ laptop/
handphone untuk melihat tampilan grafik dari barisan yang mereka buat.
Remedial
Apa yang terjadi pada suku-suku pada barisan tersebut setelah diubah nilai rasionya? Jelaskan.
RefleksiGuru:
Tutup pembelajaran dengan meminta siswa melakukan refleksi terhadap apa yang sudah
mereka pelajari dengan menjawab pertanyaan refleksi.
Alternatif jawaban pertanyaan pada refleksi:
• Perbedaan deret aritmetika dan deret geometri yaitu pada beda dan rasio dari deret tersebut.
Lalu, deret merupakan penjumlahan dari suatu barisan, maka suku-suku pada deret bilangan
dipisahkan tanda (+) atau operasi penjumlahan, sedangkan barisan tidak.
• Deret tak hingga konvergen merupakan deret tak hingga yang jumlahnya masih terbatas,
sedangkan deret divergen adalah deret tak hingga yang jumlahnya tak terbatas sehingga
dinyatakan dengan •}∞.
Refleksi Peserta Didik:
Pada subbab 2.1, kalian telah belajar mengenai barisan aritmetika dan geometri.
1. Apa perbedaan antara barisan aritmetika dan geometri?
2. Bagaimana kalian mengetahui suatu barisan merupakan barisan aritmetika atau geometri?

Lampiran 1
Latihan 2.1
1. Tuliskan dua suku berikutnya dari barisan bilangan di bawah ini.
a. 8, 5, 2, -1, … c. -15, -11, -7, …
b. 2, 3, 5, 8, d. …10, 8, 4, -2, …
Pertanyaan singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 1.
• Apakah barisan di atas barisan aritmetika?
• Jika iya, berapa beda dari barisan tersebut? Lalu, tentukan dua suku berikutnya dari barisan
di atas.
• Jika tidak, maka aturan apa yang terdapat pada barisan bilangan tersebut?
2. Tentukan suku ke-50 dari barisan berikut: 5, –2, –9, –16, …
• Berapa beda pada barisan tersebut?
• Un = a + (n – 1)b
Maka, suku ke – 50 = U50 = ...
3. Jika diketahui barisan aritmetika dengan suku
Latihan 2.2
1. Tuliskan dua suku berikutnya dari barisan bilangan di bawah ini.
• Apakah barisan di atas merupakan barisan geometri atau aritmetika?
Bagaimana kalian mengetahuinya? Lalu, tentukan dua suku berikutnya dari barisan di atas.
• Jika bukan keduanya, maka aturan apa yang ada pada barisan bilangan tersebut? Ayo
diskusikan dengan teman kelompokmu.
2. Tentukan suku ke-10 dari barisan 64, 32, 16, 8, ….
• Berapa rasio pada barisan tersebut?
LAMPIRAN- LAMPIRAN

Lampiran 2
• Un = arn-1
Maka, suku ke-10 = U10 = … … … … …
3. Jika diketahui barisan geometri dengan suku ke-2 = 80 dan suku ke-6 = 5.
Tentukan tiga suku pertama dari barisan geometri tersebut.
1. Barisan
Materi barisan diawali dengan menggiring siswa menjawab pertanyaan singkat terkait kegiatan
eksplorasi 2.1.
Berikut jawaban untuk pertanyaan arahan pada bagian 2.1.
Terdiri dari berapa suku barisan bilangan tersebut? 4 suku
Suku ke-1 dilambangkan dengan U1 = 4
Dari kegiatan Eksplorasi 2.1, siswa digiring untuk membangun pemahaman bahwa pola
bilangan dengan aturan tertentu akan membentuk barisan bilangan.
2. Barisan Aritmetika
Pada bagian ini, siswa diberikan pemahaman mengenai barisan aritmetika melalui pertanyaan-
pertanyaan singkat. Berikut alternatif jawaban pada pertanyaan bagian 2.1.1.
• Selanjutnya, aturan apa yang ada pada barisan bilangan 4, 6, 8, 10 tersebut? Suku
berikutnya hasil dari suku sebelum ditambah 2.
• Operasi penghitungan apa yang ada di antara suku-suku pada barisan bilangan di atas?
Penjumlahan
• Berapakah beda atau selisih antara dua suku yang berdekatan?
U2 – U1 = 6 – 4 = 2
U3 – U2 = 8 – 6 = 2
U4 – U3 = 10 – 8 = 2
• Apakah beda atau selisih antara dua suku yang berdekatan selalu sama? Iya.
2. Barisan Geometri
Dalam mempelajari barisan geometri diawali dengan mengajak siswa melakukan eksplorasi
2.3.
Eksplorasi 2.1 Melipat Kertas

Lampiran 3
GLOSARIUM
Lampiran 4
DAFTAR PUSTAKA
Pada bagian ini, siswa diminta melakukan eksplorasi yaitu melipat kertas dan menentukan
banyak bagian sama besar yang terbentuk dari lipatan kertas tersebut seperti yang tampak pada
Gambar 2.1 Selanjutnya siswa diminta untuk mengisi Tabel 2.2
Tabel 2.2 Jumlah Lipatan Kertas dan Bagian Sama Besar yang Terbentuk
Jumlah melipat kertas 1 kali 2 kali 3 kali 4 kali
Banyaknya bagian sama
besar yang terbentuk
2 bagian 4 bagian 8 bagian 16 bagian
Pada bagian ini, guru dapat meminta siswa menampilkan jawaban pada tabel dan menunjukkan
hasil lipatan pada kertas.
Barisan Bilangan, merupakan kumpulan bilangan yang memiliki urutan dan disusun menurut pola
tertentu.
Aritmetika, operasi dasar bilangan
Geometri, ruang bangun dengan berfokus pada pengukuran, pernyataan terkait bentuk, posisi relatif
sebuah gambar ilmu ukur, padang ruang, dan lain sebagainya.
Rasio, salah satu teknik atau cara dalam membandingkan dua besaran
Buku Siswa dan Buku Guru
Mengetahui, Samarinda, Agustus 2023
NIP. 19681001 199603 1 002 NIP. 19960210 202012 2 016

INFORMASI UMUM
I. IDENTITAS MODUL
II. KOMPETENSI AWAL
MODUL AJAR
DERET
Barisan dan deret sangat erat kaitannya dengan konsep pola bilangan yang telah kalian pelajari
pada tingkat SMP. Penerapan barisan dan deret sangat mudah ditemui dalam kehidupan sehari-
hari.
Seperti yang ada di halaman bab pembuka, konsep barisan dan deret terkait dengan menghitung
susunan kursi dengan banyaknya kursi yang berbeda di tiap barisnya. Kalian dapat menentukan
banyak objek yang disusun dengan pola piramida di mana objek tersebut dapat bertambah atau
berkurang secara konstan. Kalian juga dapat menentukan panjang lintasan dari bola yang
dipantulkan.
ajar.

1. Menentukan jumlah suku ke-n dari deret aritmetika dan deret geometri.
2. Menyelesaikan permasalahan kehidupan sehari-hari yang berkaitan dengan konsep deret
aritmetika dan deret geometri.
3. Menentukan jumlah suku dari deret geometri tak hingga.
geometri tak hingga.
aritmetika dan deret geometri.
geometri tak hingga.
1. Apa perbedaan barisan dan deret?
2. Apakah perbedaan deret aritmetika atau deret geometri?
3. Bagaimana menentukan jumlah n suku pertama dari suatu deret?
4. Bagaimana menentukan jumlah deret geometri tak hingga?
PERTEMUAN KE-1
DERET ARITMETIKA
pembelajaran
pendidikan.
 Guru menyampaikan cerita tentang Carl Friedrich Gauss yang memecahkan soal terkait
penjumlahan bilangan 1 – 100.
Setelah itu, siswa diajak mencermati kembali deret bilangan tersebut.
1 + 2 + 3 + 4 +.................... + 98 + 99 + 100 = …
• Apakah bilangan pada deret di atas membentuk barisan? Ya
• Barisan apakah yang dibentuk dari suku-suku pada deret di atas? Barisan aritmetika.
 Selanjutnya, guru menggiring siswa untuk memahami bagaimana menemukan kembali
rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika.
KOMPONEN INTI

PERTEMUAN KE-2
DERET GEOMETRI
pembelajaran
pendidikan.
 Guru mengarahkan siswa untuk memahami rumus jumlah n suku pertama deret geometri
melalui eksplorasi 2.6. Diawali dengan menjawab pertanyaan terkait dengan data pada Tabel
2.4.
• Apakah jumlah pasien membentuk barisan bilangan? Ya.
• Berapa beda atau rasio dari barisan di atas? Rasio = 3
• Terdiri dari berapa suku barisan tersebut? Terdiri dari 5 suku.
Tabel 2.4 Proses Menemukan Kembali Rumus Jumlah Deret Geometri
Dari tabel 2.5 Guru membimbing siswa dalam menemukan kembali rumus jumlah n suku
pertama deret geometri.
 Setelah penjabaran konsep mengenai menentukan jumlah n suku pertama deret aritmetika
dan geometri, siswa diminta untuk menyimak contoh soal yang ditampilkan pada Buku
 Siswa. Selanjutnya, untuk memantapkan pemahaman konsep deret bilangan, siswa diberikan

PERTEMUAN KE-3
DERET GEOMETRI TAK HINGGA
pembelajaran
pendidikan.
 Siswa diminta untuk menyimak permasalahan yang ada pada eksplorasi 2.7. pada buku
siswa
 Siswa diajak untuk mencobakan langsung melempar bola seperti yang ada pada Gambar 2.9
yaitu siswa melemparkan bola dari ketinggian tertentu, misal dari atas meja.
 Setelah itu, siswa diminta melemparkan bola dengan cara yang berbeda yaitu dari bawah ke
atas.
 Selanjutnya siswa diarahkan untuk menjawab pertanyaan terkait eksplorasi 2.7.
- Menurutmu, apakah tinggi pantulan bola pada permasalahan di atas membentuk deret
geometri? Ya. Bagaimana kalian mengetahuinya?
- Karena disebutkan pada permasalahan bahwa setiap kali bola memantul, tingginya
menjadi kali dari tinggi pantulan sebelumnya. Maka adalah rasio pada deret geometri.
- Setelah melakukan percobaan, apakah kalian mengetahui dengan pasti berapa kali bola
memantul sampai akhirnya berhenti? Tidak. Karena banyak pantulan bola tidak terhitung.
E. ASESMEN
1. Tentukan suku ke-10 dan jumlah 10 suku pertama dari deret berikut:
a. 4 + 2 + 1 + …

b. 4 + 1 + (-2) + …
2. Tentukan suku ke-9 barisan aritmetika, jika diketahui jumlah dari suku ke-2, suku ke-5,
dan suku-20 adalah 54.
3. Sebuah pipa dipotong menjadi 5 bagian. Panjang masing-masing bagian membentuk
barisan geometri. Jika potongan pipa terpendek sepanjang 4 cm, dan potongan pipa
terpanjang adalah 324 cm, maka tentukan panjang pipa semula.
4. Pada suatu ruang pertemuan, jumlah kursi pada baris tertentu lebih banyak 2 kursi dari
baris sebelumnya. Perbandingan banyak kursi pada baris ke-5 dan baris ke-13 adalah 1 : 2.
Baris terakhir terisi 50 kursi. Berapa total kursi pada ruang pertemuan tersebut?
5. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga … …, jika diketahui
1. Buatlah suatu barisan geometri, dengan menentukan suku pertama, rasio, dan banyak suku
pada tabel di bawah ini.
Barisan geometri 1.
Suku pertama ………….
Rasio ………….
Banyak suku ………….
… , … , … , … , …. , ….
2. Dari barisan yang telah kalian buat, ubahlah rasionya menjadi bilangan yang lebih besar,
sajikan barisan geometri yang baru pada tabel di bawah ini.
Barisan geometri 2.
Suku pertama ………….
Rasio ………….
Banyak suku ………….
… , … , … , … , …. , ….
3. Prediksilah, bagaimana suku-suku pada barisan tersebut jika rasionya diganti dengan dari
rasio pada barisan geometri pertama.
4. Kalian dapat melihat perubahan dari suku-suku pada barisan geometri serta tampilan
grafiknya pada aplikasi Geogebra melalui link berikut:
https://www.geogebra.org/m/k8b2b2kn
(sumber: Geogebra.org, penulis: Firmansyah)
RefleksiGuru:
Tutup pembelajaran dengan meminta siswa melakukan refleksi terhadap apa yang sudah
mereka pelajari dengan menjawab pertanyaan refleksi.
Alternatif jawaban pertanyaan pada refleksi:

• Perbedaan deret aritmetika dan deret geometri yaitu pada beda dan rasio dari deret tersebut.
Lalu, deret merupakan penjumlahan dari suatu barisan, maka suku-suku pada deret bilangan
dipisahkan tanda (+) atau operasi penjumlahan, sedangkan barisan tidak.
• Deret tak hingga konvergen merupakan deret tak hingga yang jumlahnya masih terbatas,
sedangkan deret divergen adalah deret tak hingga yang jumlahnya tak terbatas sehingga
dinyatakan dengan •}∞.
Refleksi Peserta Didik:
Dalam bab ini, kalian sudah belajar mengenai barisan dan deret.
1. Apa itu barisan?
2. Apa perbedaan barisan aritmetika dan barisan geometri?
3. Apa itu deret?
4. Apa perbedaan barisan dan deret?
5. Apa perbedaan deret aritmetika dan deret geometri?
6. Apa perbedaan deret geometri tak hingga konvergen dan divergen?

Lampiran 1
Latihan 2.3
1. Tentukanlah jumlah bilangan kelipatan 4 di antara bilangan 10 hingga 100.
Petunjuk singkat di bawah ini dapat membantu kalian dalam menjawab soal nomor 1.
• Sebelum menentukan jumlah deret bilangan, kalian harus menentukan terlebih dahulu
jumlah Tuliskan terlebih dahulu bilangan kelipatan 4 dari 10 hingga 100:
• 12 + … + … + …. + …………….. + …. + ….
• Suku terakhir dari deret bilangan tersebut adalah ………...
• Suku terakhir: Un=a+(n - 1)b
• Selanjutnya, menentukan S5 dengan nilai n yang telah diketahui sebelumnya.
• Jadi, jumlah bilangan kelipatan 4 di antara bilangan 10 hingga 100 adalah ……………
2. Suku pertama dan rasio dari suatu deret geometri berturut-turut adalah 9 dan 3.
Tentukan banyak suku jika diketahui jumlah deret bilangan tersebut adalah 9.837.
• Dari soal, diketahui:
a = … r = … Sn = …
• Dengan tiga informasi di atas, maka dapat ditentukan n = …
3. Diketahui deret geometri berikut ini:
Tentukan nilai Y.
• Dengan nilai a ,r dan Sn yang telah terdapat pada soal, kalian akan mendapatkan nilai n.
• Setelah memperoleh nilai n, kalian dapat menentukan nilai Y.
Latihan 2.4
1. Suku pertama suatu deret geometri tak hingga adalah x. Tentukan x yang memenuhi sehingga
jumlah deret geometri tak hingga tersebut adalah 10.
• Soal di atas hanya berisi informasi yaitu S∞ = 10.
• Karena S∞ = 10 maka deret geometri tak hingga yang dimaksud pada soal adalah deret
geometri tak hingga konvergen.
• Hubungkan rumus jumlah deret geometri tak hingga dengan syarat rasio pada deret
konvergen.
2. Agar deret geometri 1 + (m - 1) + (m -1)2 + (m - 1)3 +..... merupakan deret konvergen, tentukan
nilai m.
• Tentukan terlebih dahulu rasio dari deret tersebut.
3. Tentukan jumlah deret geometri tak hingga 4 + 12 + 36 + 108 + …
• Selidiki terlebih dahulu, deret geometri tak hingga tersebut merupakan deret konvergen atau
divergen.
LAMPIRAN- LAMPIRAN

• Tentukan S∞.
Latihan 2.5
Soal Pemahaman
1. Suku ke-3 suatu barisan aritmetika adalah 28.500 dan suku ke-7 adalah 22.500.
Tentukan nilai n agar suku ke-n = 0.
2. Suku ketiga dan kelima barisan geometri berturut-turut adalah 20 dan 80.
Tentukan suku ke-10 barisan tersebut.
3. Hitunglah jumlah dari deret berikut.
Soal Aplikasi
6. Pertambahan penduduk di suatu desa setiap tahunnya membentuk barisan geometri. Pada tahun
2021, penduduk bertambah sebanyak 10 orang, lalu pada tahun 2023 sebanyak 90 orang.
Berapa jumlah pertambahan penduduk pada tahun 2025?
7. Pak Artus seorang peternak ayam. Ia mengumpulkan telur ayam sebanyak 30.000 butir selama
2 bulan. Banyak telur yang Pak Artus kumpulkan membentuk barisan aritmetika. Pada hari
pertama ia mengumpulkan telus ayam sebanyak 50 butir. Berapa butir telur yang Pak Artus
kumpulkan pada hari terakhir?
8. Penambahan jumlah pasien yang terjangkit virus Covid-19 di suatu kota melonjak dua kali lipat
di tiap minggunya. Berdasarkan data yang di rumah sakit, pada minggu pertama terdapat 24
orang yang dinyatakan positif. Pada minggu ketiga, tercatat 96 pasien positif Covid-19. Berapa
total jumlah pasien pada bulan kedua?
9. Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian 8 meter. Apabila ketinggian yang dicapai saat
memantul tiga perlima kali tinggi sebelumnya, tentukan panjang lintasan yang dilalui bola
tersebut hingga berhenti memantul.
Soal Penalaran
10. Keliling lima buah lingkaran membentuk barisan aritmetika. Jika luas lingkaran terbesar adalah
1.386 cm2 dan luas lingkaran terkecil adalah 154 cm2. Tentukan keliling lingkaran pada urutan
ketiga.
11. Sisipkan 5 bilangan di antara 3 dan 192 agar susunan bilangan tersebut membentuk barisan
geometri.
12. Sisi segitiga sama sisi panjangnya 20 cm. Di dalamnya terdapat segitiga sama sisi kedua
dengan menghubungkan titik-titik tengah sisi-sisi segitiga pertama.
Hal yang sama untuk segitiga ketiga, keempat, kelima, dan keenam. Berapa total keliling
semua segitiga?

DERET ARITMETIKA
Carl Friedrich Gauss (1777-1855) adalah seorang matematikawan Jerman yang telah menunjukkan
bakatnya sejak kecil. Ketika duduk di kelas 4 SD, guru matematikanya memberikan soal berupa
penjumlahan bilangan 1 + 2 + 3 + 4+ … … … + 98 + 99 + 100 = …
Tidak membutuhkan waktu yang lama, Gauss yang saat itu masih berusia 10 tahun langsung
menjawab “5050”.
Berikut cara Gauss menyelesaikan penjumlahan bilangan tersebut.
Ia mengelompokkan suku-suku pada deret tersebut sehingga memiliki nilai yang sama ketika
dijumlahkan.
Sekarang, ayo cermati kembali deret bilangan di atas.
1 + 2 + 3 + 4 +................ + 98 + 99 + 100 = …
• Apakah bilangan pada deret di atas membentuk barisan?
• Barisan apakah yang dibentuk dari suku-suku pada deret di atas?
Deret aritmetika adalah suatu deret yang diperoleh dari menjumlahkan sukusuku pada barisan
aritmetika.
Lampiran 2

Jumlah 10 suku pertama deret aritmetika: S10

Lampiran 3
GLOSARIUM
Lampiran 4
DAFTAR PUSTAKA
• Deret aritmatika, penjumlahan dari suku-suku yang ada di barisan aritmatika
• Deret Geometri, barisan bilangan berurutan dengan suatu rasio yang tetap.
• Deret geometri tak hingga, deret geometri yang memiliki banyak sukunya tak terhingga.
Mengetahui, Samarinda, September 2023
NIP. 19681001 199603 1 002 NIP. 19960210 202012 2 016

INFORMASI UMUM
I. IDENTITAS MODUL
II. KOMPETENSI AWAL
MODUL AJAR
NOTASI, DAN JENIS VEKTOR
Untuk mempelajari vektor kalian perlu mengulang kembali sistem koordinat Kartesius yang
merupakan tempat kedudukan titik-titik.
Sistem koordinat dapat berdimensi dua (dibentuk oleh dua sumbu yang saling tegak lurus) dan
berdimensi tiga (dibentuk oleh tiga sumbu yang saling tegak lurus satu sama lain).
Perpotongan sumbu-sumbu terjadi di titik O. Arah dapat dinyatakan dengan kanan-kiri, atas-
bawah dan depan-belakang. Sudut berkaitan dengan arah. Pada mata angin sudut 0°
menunjukkan arah timur, sudut 90° menunjukkan arah utara, dan arah timur laut sama dengan
sudut 45°.
Kalian akan mengulang sifat komutatif dan sifat asosiatif pada penjumlahan vektor. Kalian
akan menerapkan aturan perkalian pada operasi perkalian skalar dengan vektor.
 Busur
 Penggaris

ajar.

 Menyatakan vektor dalam berbagai representasi
 Menunjukkan jenis-jenis vektor
 Vektor dan Operasinya bertujuan mengembangkan kemampuan siswa untuk memahami dan
bernalar mengenai vektor dan operasinya.
 Siswa dapat menggambar vektor dan operasinya baik secara manual maupun dengan
menggunakan teknologi.
 Siswa akan merepresentasikan vektor secara grafis dan memberikan notasinya.
 Siswa akan memahami vektor negatif atau vektor lawan dengan baik jika sudah memahami
konsep vektor dengan benar. Mereka akan melihat bagaimana sistem koordinat Kartesius
memudahkan dalam menentukan besar dan arah vektor, yang selanjutnya sangat berguna
dalam melakukan operasi vektor.
 Tiga operasi vektor yang dibahas dalam bab ini adalah penjumlahan vektor, pengurangan
vektor, dan perkalian skalar dengan vektor. Selain melibatkan komponen-komponen vektor,
penjumlahan dan pengurangan vektor dapat juga dilakukan dengan metode segitiga, metode
jajar genjang dan metode poligon.
 Siswa melakukan eksplorasi untuk memahami konsep vektor.
 Siswa melakukan eksplorasi untuk menunjukkan vektor dalam sistem koordinat Kartesius.
 Siswa melakukan operasi vektor dengan beberapa cara. Pemahaman vektor dan operasinya
ini berkaitan dengan Trigonometri di mana komponen-komponen vektor dapat berkaitan
dengan sinus dan cosinus. Vektor dan operasinya terutama digunakan dalam bidang
mekanika (mata pelajaran fisika) untuk menentukan resultan gerak dan gaya suatu benda.
Contohnya, pengaruh gerak angin pada gerak pesawat dan besar gaya total yang bekerja
pada sebuah pesawat.
 Apa peran titik O dalam sistem koordinat Kartesius?
 Bagaimana menyatakan arah dalam sistem koordinat Kartesius?
 Bagaimana menyatakan koordinat suatu titik dalam sistem koordinat Kartesius?
pembelajaran
pendidikan.
KOMPONEN INTI

 Mulai aktivitas pembelajaran dengan meminta siswa menceritakan pengalaman dalam
menggunakan papan petunjuk suatu lokasi.
 Buat diskusi singkat tentang pentingnya petunjuk arah dan jarak untuk mencapai suatu
lokasi dan meminta siswa memikirkan petunjuk arah dan jarak di udara dan laut.
 Pancing siswa untuk berpikir dengan menanyakan, besaran apa lagi yang mempunyai arah,
contohnya kecepatan dan gaya.
 Kemudian minta siswa melakukan Eksplorasi dengan menggunakan busur dan penggaris
untuk menentukan gerak lempeng bumi yang melalui Indonesia.
 Siswa dapat melakukan eksplorasi secara individu terlebih dahulu kemudian diskusi secara
berpasangan atau dalam kelompok, atau langsung bekerja sama berpasangan atau di dalam
kelompok.
Pastikan siswa untuk mengamati gambar dengan teliti dan memahami arti anak panah dalam
peta. Dari eksplorasi siswa dapat membedakan anak panah terpanjang, anak panah
terpendek, dan anak panah yang sama atau ekuivalen.
 Siswa perlu menentukan tiga anak panah berbeda yang melalui Indonesia.
Ketiganya menunjukkan gerak lempeng yang berbeda.
Pastikan kerjaan siswa ketika mereka mengonversi panjang untuk mendapatkan besar
kecepatan gerak lempeng. Perhatikan patokan anak panah dalam peta yang panjangnya
menunjukkan 5 cm per tahun
Tabel 3.1 Besar dan Arah Kecepatan Lempeng Bumi
Anak Panah Arah (°)
Panjang
(cm)
Perbandingan
Panjang
Kecepatan gerak
(cm/tahun)
Pertama 60 1,6 8
Kedua 315 1 1,6
Ketiga 55 1,6 8
Pastikan siswa dapat mengukur sudut dengan benar termasuk sudut-sudut yang lebih besar
dari 90o.

Manfaat menggambar gerak lempeng dengan anak panah pada peta adalah memudahkan
untuk membaca datanya, berapa cepat dan ke mana arah gerak.
Karenanya, para ilmuwan dapat memperkirakan pertemuan lempeng-lempeng yang akan
terjadi lebih dahulu.
Pada bagian eksplorasi, biarkan siswa mencoba dan tidak dituntut pasti mendapatkan
jawabannya. Tujuannya adalah supaya mereka memahami apa yang dimaksud dengan
vektor dan kegunaannya dalam kehidupan sehari-hari.
E. ASESMEN
1. Asesmen Diagnostik:
Mengetahui kondisi awal mental para peserta didik
2. Asesmen Formatif:
Diskusi:melatih kemampuan peserta didik dalam berkolaborasi dengan kelompoknya,
melatih berbicara dan berani mengungkapakan pendapat, memunculkan ide-idenya,
bekerja sama dalam tim
3. Asesmen Sumatif
Dilaksanakan diakhir pembelajaran untuk mengukur tingkat capaian pemahaman sains
peserta didk untuk menentukan langkah selajutnya.
kembali
Kapal Bahari berada pada posisi 30° dan sejauh 45 km dari tempat kapal bersandar di
pelabuhan. Kapal Nusantara menuju pelabuhan dengan sudut 20° dan berjarak 8 km dari tempat
kapal bersandar. Gambarlah vektor perpindahan kapal Bahari terhadap Kapal Nusantara.
Gunakan busur dan penggaris untuk menentukan sudut dan jaraknya.
Alternatif Penyelesaian :

Jarak tegak antar kedua kapal ≈19,8 km
Jarak mendatar antar kedua kapal ≈31,5 km
Panjang vektor yang terbentuk ≈37 km (Jarak antara kapal Bahari dan Nusantara)
Sudut vektor yang terbentuk terhadap garis horizontal ≈32°
Sebagai penutup dari pembelajaran subbab ini, ajak siswa untuk merefleksikan apa yang sudah
mereka pelajari melalui empat pertanyaan berikut.
1. Apakah kalian dapat memberikan contoh-contoh vektor dalam kehidupan sehari-hari?
Sampel Jawaban: Contoh-contoh vektor adalah posisi, perpindahan, kecepatan, dan
gaya.
2. Apakah kalian dapat menggambar vektor dan menyebutkan notasinya?
Sampel Jawaban: Menggambar anak panah. Notasi dapat satu huruf atau dua huruf,
dapat huruf tebal atau ada anak panah.
3. Dapatkah kalian menentukan vektor-vektor ekuivalen?
Sampel Jawaban: Vektor-vektor ekuivalen adalah vektor-vektor dengan panjang dan
arah yang sama.
4. Dapatkah kalian membuat vektor negatif atau vektor lawan dari suatu vektor?
Sampel Jawaban: Vektor lawan adalah vektor dengan panjang dan arah yang
berlawanan dari suatu vektor.
Aktivitas ini dapat dilakukan secara bersamaan dengan melakukan Think-Pair-Share, yaitu
meminta masing-masing siswa memikirkan jawaban pertanyaan refleksi tersebut, kemudian
berpasangan saling membagikan jawaban, memodifikasi jawaban sesuai hasil berbagi dengan
pasangan, dan kemudian menyampaikan di kelas. Guru dapat melakukan penilaian formatif
berdasarkan jawaban dari siswa sehingga dapat menekankan kembali konsep utama sesuai
dengan tujuan pembelajaran, atau memperbaiki miskonsepsi yang masih dimiliki oleh siswa.
Aktivitas ini juga dapat dilakukan secara mandiri oleh individu siswa dengan menuliskan dalam
jurnal refleksi mereka jika waktu yang tersedia singkat dan tidak memungkinkan untuk
mengadakan diskusi bersama. Guru kemudian dapat mengumpulkan hasil refleksi dan
memberikan umpan balik terhadap pemahaman masing-masing siswa.

Lampiran 1
Latihan 3.1
1. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 60 km/jam dan menuju arah timur.
Tentukan titik awal dan titik akhir. Beri nama vektornya dan tuliskan skalanya.
Petunjuk menyelesaikan soal.
Tuliskan nama arah setiap mata angin.
Untuk menggambar panjang vektor pikirkan skala 1 cm mewakili berapa km/jam.
Beri nama vektor tersebut berdasarkan titik awal (pangkal vektor) dan titik akhir
(ujung vektor).
2. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 45 km/jam dan menuju arah tenggara.
Petunjuk menyelesaikan soal.
Tentukan arah tenggara pada mata angin.
3. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 60 km/jam dan menuju arah barat daya.
4. Gambarkan vektor kecepatan mobil dengan kelajuan 60 km/jam dan arah gerak membentuk
sudut 45°. Tentukan titik awal dan titik akhir. Beri nama vektornyadan tuliskan skalanya.
5. a. Gambarkan vektor kecepatan pesawat terbang dengan kelajuan 450 km/jam dan arah
terbang membentuk sudut 120°.
b. Gambarkan vektor negatif dari nomor a.
Latihan 3.2
1. Tentukan nama, besar, dan arah dari setiap vektor di bawah ini.
LAMPIRAN- LAMPIRAN

2. Gambarkan vektor-vektor negatif dari vektor-vektor OP, OQ, dan OR. Gunakan skala untuk
menggambar panjangnya.
3. Perhatikan peta kota Bandung di bawah ini.
a. Tentukan satu titik di Universitas Padjadjaran dan satu titik di Lebak Siliwangi.
b. Buat vektor dari kedua titik tersebut, tentukan besar dan arah vektornya.
c. Buat vektor dengan nilai (besar) yang lebih besar daripada nomor a tetapi arah sama.
d. Buat vektor dengan nilai (besar) yang lebih kecil daripada nomor a tetapi arah sama.
e. Buat vektor yang ekuivalen dengan vektor pada nomor a.

TERMINOLOGI, NOTASI, DAN JENIS VEKTOR
Peta di bawah menunjukkan prediksi kecepatan gerak lempeng bumi yang ditunjukkan oleh anak
panah. Batas-batas lempeng ditandai dengan warna putih. Ukuran 5 cm/tahun diberikan oleh anak
panah di bawah sebagai patokan. Lempeng bumi yang bergerak dapat bertemu dengan lempeng
bumi lainnya. Pertemuan dua lempeng bumi dapat menyebabkan terjadinya gempa bumi atau
tsunami.
Gambar 3.4 Prediksi Kecepatan Lempeng Bumi
Sumber: https://spotlight.unavco.org/how-gps-works/gps-and-tectonics/gps-and-tectonics.html,
1. Panjang dan Arah Vektor
Kalian perhatikan vektor CD dengan panjang 4 cm dan arahnya membentuk sudut 45o dengan
horizontal. Kalian dapat menyebutkan vektor CD dengan panjang 4 cm dan arah Timur Laut
jika merujuk pada arah mata angin.
Gambar 3.7 Besar dan Arah Vektor
2. Vektor Negatif atau Vektor Lawan
Andi berjalan sejauh 100 m dengan arah 30°, kemudian Andi kembali ke posisi semula.
Lampiran 2

Vektor nol adalah vektor dengan panjang nol dan tidak punya arah tertentu atau vektor dengan
titik pangkal dan ujung yang sama. Vektor nol dinyatakan dengan titik secara grafis.
Jika Andi berjalan sejauh 100 m ke timur kemudian 100 m ke barat maka Andi mengalami
perpindahan 0.
3. Vektor Ekuivalen (Vektor yang Sama)
Jika ada vektor lain dengan panjang 3 cm dan sudut 45°, maka dikatakan vektor tersebut
ekuivalen dengan vektor CD.
Ketiga vektor, dalam gambar 3.9, sama atau ekuivalen walaupun ketiganya mempunyai titik
awal yang berbeda, sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. CD = EF = KL
Vektor CD ekuivalen dengan vektor EF dan vektor KL.
Gambar 3.9 Vektor-Vektor Ekuivalen
Pada peta lempeng bumi, coba kalian perhatikan vektor-vektor yang ekuivalen atau sama.
Dapatkah kalian memberi contoh dua vektor ekuivalen dalam kehidupan sehari-hari?

Lampiran 3
GLOSARIUM
Lampiran 4
DAFTAR PUSTAKA
Vektor lawan, vektor yang besarnya sama tetapi berlawanan arahnya dengan suatu vektor.
Vektor ekuivalen, Dua himpunan A dan B dikatakan ekuivalen bila banyaknya anggota himpunan
A sama dengan banyaknya anggota himpunan B. Notasinya n(A) = n(B).
Vektor berkebalikan, vektor yang memiliki besar sama tapi arah yang berlawanan
Mengetahui, Samarinda, Januari 2023
NIP. 19681001 199603 1 002 NIP. 19960210 202012 2 016

INFORMASI UMUM
I. IDENTITAS MODUL
II. KOMPETENSI AWAL
MODUL AJAR
VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT
Mengingatkan siswa apa yang sudah dipelajari pada pertemuan sebelumnya mengenai notasi,
vektor ekuivalen, dan vektor negatif. Uji pemahaman siswa bahwa vektor mempunyai titik
pangkal dan titik ujung, hal ini menjadi dasar untuk memahami vektor dalam sistem koordinat
Kartesius. Jika guru meminta siswa menuliskan refleksi di jurnal, maka guru dapat menekankan
kembali hal-hal yang belum jelas dipahami oleh siswa sebagaimana tecermin dalam refleksi
mereka.
Penggaris, busur, dan kertas berpetak
ajar.

Menyatakan vektor dalam komponenkomponen sistem koordinat
 Menyatakan vektor dalam berbagai representasi
 Menunjukkan jenis-jenis vektor
 Menyatakan vektor dalam komponen-komponennya berdasarkan sistem koordinat Kartesius
 Bagaimana menyatakan notasi vektor dalam sistem koordinat dan bagaimana arah
dinyatakan dalam sistem koordinat Kartesius.
PERTEMUAN KE-1
pembelajaran
pendidikan.
 Diskusikan peran koordinat dalam menentukan arah perjalanan, misalnya berkendara di
jalan tol dapat singgah di tempat rest area terlebih dahulu. Setiap benda bergerak pasti
berubah posisi atau lokasinya. Pilot pesawat terbang mengubah ketinggiannya atau rutenya
agar perjalanan aman dan menyenangkan. Perubahan-perubahan ini pastinya berkaitan
dengan koordinat lokasi, perlu ditanyakan dan dilaporkan ke menara pengawas. Minta para
siswa mencari tahu cara kerja GPS (Global Positioning System).
 Ceritakan beberapa hal tentang Rene Descartes yang menemukan sistem koordinat Kartesius
dan minta siswa mencermati apa yang perlu dilakukan dalam eksplorasi.
 Ingatkan siswa untuk mencatat pertanyaan-pertanyaan yang mungkin timbul selama
eksplorasi. Siswa bekerja secara berpasangan untuk melakukan eksplorasi.
 Setelah siswa melakukan eksplorasi, diskusikan hasil-hasil eksplorasi dengan meminta dua
kelompok mempresentasikan hasilnya.
 Kumpulkan pertanyaan-pertanyaan siswa dan diskusikan dalam kelas, Tanyakan, bagaimana
menyatakan notasi vektor dalam sistem koordinat dan bagaimana arah dinyatakan dalam
sistem koordinat Kartesius.
Jawaban Eksplorasi 3.2 no. 1 adalah sebagai berikut.
KOMPONEN INTI

 Tunjukkan bahwa dua titik diperlukan untuk membuat satu vektor. Vektor OP dapat
dinyatakan dalam (3 4). Ingatkan, bahwa tidak ada tanda koma dalam penulisan karena
penulisan menunjukkan vektor baris. Jelaskan bahwa selain vektor baris ada juga penulisan
dalam vektor kolom. Kedua hal ini akan dibahas lebih detil. Bangkitkan rasa ingin tahu
dengan bertanya, bagaimana penulisan vektor baris dari PQ dan QR.
 Pada penjelasan konsep dan contoh-contoh dijelaskan perbedaan sistem koordinat Kartesius
berdimensi dua dengan berdimensi tiga dan konsep-konsep lainnya. Minta siswa
memberikan contoh gerak benda yang memerlukan sistem koordinat Kartesius dua dimensi
dan tiga dimensi. Contoh, gerak mobil di jalan raya untuk sistem koordinat Kartesius dua
dimensi. Buat diskusi bagaimana teknologi digunakan dalam aplikasi untuk menentukan
lokasi berdasarkan sistem koordinat Kartesius.
 Gerak pesawat terbang dapat merujuk pada sistem koordinat Kartesius dua dimensi dan tiga
dimensi. Ketika pesawat terbang berada di landasan pacu, yang digunakan adalah sistem
koordinat Kartesius dua dimensi. Begitu pesawat mengudara, yang digunakan adalah sistem
koordinat Kartesius tiga dimensi.
 Aplikasi perjalanan dibuat dengan sistem koordinat Kartesius untuk menunjukkan rute yang
dapat berubah setiap saat karena situasi lalu lintas yang selalu berubah.
 Fokuskan terlebih dahulu pada pemahaman vektor satuan dalam sistem koordinat dua
dimensi dan tiga dimensi. Untuk sistem koordinat berdimensi tiga dapat menggunakan
sistem tiga jari yang ada dalam Gambar 3.17. Setiap vektor dinyatakan dalam komponen-
komponen menurut arahnya, dapat berupa vektor kolom atau vektor baris. Tanyakan apa arti
penulisan OP (3 4). Berjalan 3 ke timur kemudian 4 ke utara. Jelaskan bahwa 3 dan 4 adalah
komponen-komponen vektor. Minta siswa menyatakan komponen-komponen vektor PQ dan
QR dan menjelaskan bagaimana cara mendapatkannya. Dari P ke Q berjalan 5 ke barat dan
12 ke selatan maka vektor PQ dituliskan (5 12) atau . Dari Q ke R berjalan 4 ke timur dan 3
ke utara maka vektor QR dituliskan (3 4) atau .
 Tunjukkan vektor-vektor yang ekuivalen dalam sistem koordinat, penulisan vektor baris dan
kolom dari u dan v adalah (3 4) atau . Panjang vektor ditentukan berdasarkan teorema
Pythagoras dengan menarik akar dari penjumlahan kuadrat komponen.
 Ingatkan bahwa setiap vektor sembarang dapat ditentukan vektor satuannya sehingga
memudahkan untuk mengetahui arah vektor. Tanyakan, mengapa vektor satuan dari suatu
perjalanan menjadi penting. Tunjukkan cara mendapatkan vektor posisi dan tanyakan
mengapa peran vektor posisi penting. Jelaskan juga vektor berkebalikan dan manfaatnya.

Salah satu manfaat dari vektor satuan adalah mengetahui komponen-komponen dari vektor-
vektor yang bukan vektor posisi atau vektor perpindahan seperti vektor gaya. Jelaskan contoh
di bawah ini.
Yang diketahui adalah vektor posisi, tetapi dengan vektor satuan dapat diketahui komponen-
komponen vektor gaya.
E. ASESMEN
kembali
 Jelaskan ada beberapa sistem koordinat sesuai dengan tujuannya. Contoh sistem koordinat
bola dan sistem koordinat silinder. Kedua sistem koordinat ini digunakan untuk benda yang
bergerak dalam lintasan berbentuk lengkung. Vektor satuan dalam kedua sistem koordinat
ini tidak tetap, berbeda dengan sistem koordinat Kartesius.
 Mintalah siswa mengerjakan Latihan untuk memeriksa pemahaman mereka.
 Mereka perlu terbiasa dengan sistem koordinat Kartesius untuk menggambar dan
menganalisis vektor termasuk konsep vektor satuan dan vektor posisi.
1. Apakah kalian dapat menunjukkan komponen-komponen suatu vektor dan menentukan
panjangnya?
Sampel Jawaban: Siswa memberikan contoh-contoh vektor, menyatakan komponen-
komponennya, dan menghitung panjangnya.
Saran: Lebih baik kalau siswa bertukar soal dengan temannya.

2. Bagaimana menyatakan komponen-komponen dalam vektor kolom dan vektor baris?
Sampel Jawaban: Siswa dapat menggunakan soal nomor 1 untuk menjawabnya.
3. Apa perbedaan vektor posisi, vektor kolom, dan vektor berkebalikan?
Sampel Jawaban: Setiap vektor dapat dinyatakan dalam vektor kolom atau vektor baris.
Vektor posisi adalah vektor yang titik pangkalnya merupakan titik O.

Lampiran 1
Latihan 3.3
1. Nyatakan kedua vektor posisi dalam vektor kolom dan vektor baris.
2. Gambarkan vektor posisi yang diberikan oleh OP = 2i + 2j – 2k dan OQ = –i + 2j – k
Petunjuk tentukan sumbu x, y, dan z.
3. Tentukan vektor satuan dan vektor berkebalikan vektor-vektor dalam soal nomor 2.
4. a. Nyatakan vektor-vektor di bawah ini sebagai vektor kolom atau vektor baris.
Latihan 3.4
1. Perhatikan gambar dari aplikasi flightradar24 yang menunjukkan 202.157 pesawat terbang
di angkasa Bumi pada tanggal 29 Juni. Pesawat berukuran kecil maupun besar, juga
pesawat komersial maupun bukan komersial.
Sumber: https://www.independent.co.uk/travel/news-and-advice/flights-sky-map-worldwide-air-
traffic-aviationbusiest-
day-june-a8428451.html
Apa peran vektor dan sistem koordinat dalam mengatur lalu lintas penerbangan?
LAMPIRAN- LAMPIRAN

Lampiran 2
2. Nyatakan vektor satuan dari vektor perpindahan seseorang yang sedang naik gunung
dengan bersepeda. Tentukan arahnya dalam sistem koordinat.
3. Gunakan ubin di rumahmu sebagai sistem koordinat. Tentukan vektor perpindahan jika
kalian berjalan dari suatu lokasi benda ke lokasi benda lainnya, misalnya dari lokasi lemari
ke lokasi kursi. Ambillah posisi tengah untuk setiap lokasi.
4. Menurut kalian, apakah vektor kecepatan dapat dinyatakan dalam sistem koordinat?
VEKTOR DAN SISTEM KOORDINAT
Pilot pesawat terbang melaporkan posisinya selama penerbangan dari satu titik ke titik lain di udara
kepada petugas menara pengawas bandara. Pilot akan meminta izin jika ingin mengubah ketinggian
atau dan arah penerbangan.
Gambar 3.10 Posisi Pesawat Terbang dalam Sistem Koordinat Kartesius
Posisi memerlukan kerangka acuan atau sistem koordinat. Sistem Koordinat Kartesius dicetuskan
oleh Rene Descartes, ahli matematika berkebangsaan Prancis. Descartes menemukannya ketika
mengamati lalat merayap di langit-langit rumahnya.
1. Vektor Berdimensi Dua pada Sistem Koordinat
Perhatikan sistem koordinat Kartesius di bawah ini.
Gambar 3.12 Vektor Berdimensi Dua

Koordinat titik O adalah (0, 0) dan Q adalah (x, y). Vektor satuan diperlukan untuk
menunjukkan bagaimana mencapai titik Q dari titik O. i adalah vektor satuan dalam arah-x
(horizontal) dan j adalah vektor satuan dalam arah-y (vertikal). Vektor satuan mempunyai besar
1 satuan. Arah horizontal negatif dinyatakan dengan -i dan arah vertikal negatif dinyatakan
dengan -j. Vektor OQ dinyatakan sebagai berikut. OQ = x i + y j
Ada dua komponen yang membentuk vektor OQ, komponen horizontal dan komponen vertikal.
Jika dari titik O arah komponen horizontal adalah timur-barat, maka arah komponen vertikal
adalah utara-selatan. Komponen-x merupakan proyeksi ortogonal vektor pada sumbu-x.
Komponen-y merupakan proyeksi ortogonal vektor pada sumbu-y.
Vektor dengan dua komponen disebut sebagai vektor berdimensi dua.
Gambar 3.13 Panjang Vektor Berdimensi Dua
Panjang vektor sama dengan jarak antara titik pangkal dengan titik ujung. Jarak antara dua titik
sama dengan panjang sisi miring dari segitiga siku-siku.
2. Komponen-Komponen Vektor
3. Vektor-Vektor Ekuivalen pada Sistem Koordinat Kartesius
Dua mobil berbeda bergerak dengan kelajuan 10 m/detik dan dalam arah yang sama. Keduanya
mempunyai vektor kecepatan yang sama walau berada pada posisi berbeda.
Gambar 3.15 Dua Vektor Kecepatan Ekuivalen
Kalian masih ingat bahwa dua vektor ekuivalen jika mempunyai besar dan arah sama, tidak
bergantung pada letaknya.

Perhatikan dua vektor perpindahan dalam sistem koordinat di bawah ini.
Gambar 3.16 Dua Vektor Ekuivalen pada Sistem Koordinat
Vektor u dan v ekuivalen, dinyatakan dengan 4 i + 3 j, walau keduanya mempunyai koordinat
titik pangkal dan koordinat titik ujung yang berbeda. Komponen horizontal dan komponen
vertikal adalah 4 dan 3.
4. Vektor Berdimensi Tiga pada Sistem Koordinat Kartesius
Vektor dengan tiga komponen, disebut sebagai vektor berdimensi tiga. Jika dari titik O arah
komponen horizontal adalah timur-barat, arah komponen vertikal adalah utaraselatan, maka
arah satunya lagi adalah atas-bawah atau depan-belakang atau tegak lurus terhadap bidang xy.
Sistem koordinat tiga dimensi dapat diperagakan dengan tiga jari. Ibu jari menghadap ke kalian
adalah sumbu-x, jari telunjuk mengarah ke kanan adalah sumbu-y dan jari tengah mengarah ke
atas adalah sumbu-z.
i adalah vektor satuan dalam arah-x (horizontal), j adalah vektor satuan dalam arah-y (vertikal)
dan k adalah vektor satuan, yang tegak lurus terhadap bidang xy.
Arah horizontal negatif dinyatakan dengan -i, arah vertikal negatif dinyatakan dengan -j dan
arah negatif dalam z dinyatakan dengan -z.
Panjang vektor diberikan sebagai berikut.
Gambar 3.19 Panjang Vektor Berdimensi Tiga

Vektor dapat saja berada dalam ruang berdimensi-n, tetapi kita hanya belajar vektor berdimensi
dua dan vektor berdimensi tiga.
5. Vektor Kolom dan Vektor Baris
Vektor yang dituliskan dalam bentuk kolom adalah vektor kolom. Vektor yang dituliskan
dalam bentuk baris adalah vektor baris. Komponen-komponen vektor kolom dituliskan
sebagai berikut.
6. Vektor Satuan dari Suatu Vektor
Vektor satuan dapat saja diperluas pemahamannya.
Kalian perhatikan vektor PQ yang berada pada sistem koordinat Kartesius.
Vektor satuan PQ adalah vektor PQ dibagi dengan panjangnya.
Gambar 3.20 Vektor PQ
Vektor satuan menunjukkan arah vektor dalam suatu ruang.
Contoh soal: Menentukan vektor satuan dari v.

7. Vektor Posisi
Vektor OA dan OB merupakan vektor posisi, karena dimulai dari titik asal O dan berakhir di A
dan B. Vektor posisi selalu dimulai dari titik O dan berakhir pada suatu titik lain. Vektor posisi
OA dan OB adalah (–3 2) dan (7 5).
Gambar 3.21 Vektor Posisi OA dan OB
8. Vektor Berkebalikan

Lampiran 3
GLOSARIUM
Lampiran 4
DAFTAR PUSTAKA
Vektor satuan, vektor yang bernilai 1 satuan.
Vektor posisi, vektor yang berpangkal di O dan berujung di suatu titik dalam sistem koordinat.
Mengetahui, Samarinda, Januari 2023
NIP. 19681001 199603 1 002 NIP. 19960210 202012 2 016

INFORMASI UMUM
I. IDENTITAS MODUL
II. KOMPETENSI AWAL
MODUL AJAR
OPERASI VEKTOR
Mengingatkan siswa apa yang sudah dipelajari pada pertemuan sebelumnya mengenai vektor
dan sistem koordinat.
 Penggaris, busur, dan kertas berpetak
ajar.

Modul Matematika Fase E Kelas X.docx

Modul Matematika Fase E Kelas X.docx

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Modul Matematika Fase E Kelas X.docx

Similar to Modul Matematika Fase E Kelas X.docx (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Modul Matematika Fase E Kelas X.docx