...

1. Завдання
ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
6 клас
0. У даному завданні написати лише відповідь:
а) У скільки разів сходи на 6 поверх будинку довший за сходи на 2
поверх цього самого будинку?
б) У шаховому турнірі з трьома учасниками було зіграно всього 6
партій. Скільки партій зіграв кожний?
1. Розставте дужки у виразі 7 – 6 – 5 – 4 – 3 – 2 – 1 = 0 так, щоб була
правильною рівність.
2. Дядько Іван купив на оптовому ринку партію ручок і пропонує покупцям
або одну ручку за 5 гривень, або три ручки за 10 гривень. Від кожного покупця
він отримує однаковий прибуток. Яка оптова ціна ручки?
3. Наталя та Інна купили однакові коробки чаю в пакетиках. Відомо, що
одного пакетика вистачає на дві або три чашки чаю. Наталі вистачило пакетиків
із коробки лише на 41 чашку чаю, а Інні – лише на 58 чашок чаю. Скільки
пакетиків чаю було в коробці?
4. Знайдіть різницю між сумою усіх парних чисел від 2 до 2014 та сумою усіх
непарних чисел від 1 до 2013.
5. Розташуйте 10 точок на 5 відрізках так, щоб на кожному відрізку було по
4 точки.
0 завдання оцінюється в 4 бали.
1-5 завдання оцінюється в 7 балів.
Користування калькуляторами
забороняється.

2. Завдання
ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
7 клас
0. У даному завданні написати лише відповідь:
а) У шаховому турнірі з трьома учасниками було зіграно всього 6
партій. Скільки партій зіграв кожний?
б) На скільки збільшиться величина дробу, якщо до чисельника додати
десяту частину знаменника?
1. Якою цифроюзакінчується різниця 1· 2 · 3· 4 · ... · 98 · 99 – 1 ·3 ·5 ·7 · ... ·
97 · 99?
2. Учні сьомого класу під час контрольної роботи передавали один одному
записки. Після контрольної сім учнів сказали: «Я передав на одну записку
більше, ніж отримав». Інші сказали: «Я передав на дві записки менше, ніж
отримав». Доведіть, що хтось з учнів помилився.
3. В серединікута АОВ, рівного 
120 , проведеніпроменіОС іОD так, що кожен
з них є бісектрисою якогось із кутів, що утворилися при цьому. Знайдіть
величину кута АОС. Укажіть всі можливі варіанти.
4. Є десять кавунів і терези, за допомогою яких за одне зважування можна
визначитизагальну масу будь-якихтрьохкавунів. Як за допомогоюшеститаких
зважувань визначити загальну масу всіх кавунів?
5. Є три попарно різних натуральних числа cba ,, . Доведіть, що числа
ba 2014 , cb 2014 та ac 2014 не можуть бути трьома послідовними
натуральними числами.
0 завдання оцінюється в 4 бали.
1-5 завдання оцінюється в 7 балів.
Користування калькуляторами
забороняється.

3. Завдання
ІІ етапу Всеукраїнської учнівської олімпіади з математики
8 клас
0. У даному завданні написати лише відповідь:
а) Сума цифр двоцифрового числа16. Якщо в цьомучислі переставити
цифри, то воно збільшиться на 18. Знайти це число.
б) Числа 100 і 90 поділили на одней те саме число. У першомувипадку
в остачі мали 4, а в другому 18. На яке число ділили?
1. Якою цифрою закінчується різниця 1·2·3·4 · ... · 2014·2015 – 1·3·5·7 · ... ·
2013·2015?
2. Розв’яжіть рівняння xaxa 932
 для всіх значень параметра а.
3. Вітя, Антон та Сергійко грали сніговими кульками. Першу снігову кульку
кинув Антон. Потім у відповідь на кожну кульку, що в нього влучила, Вітя кидав
6 кульок, Сергійко – 5 кульок, а Антон – 4 кульки. Через деякий час гру було
закінчено. Знайдіть, в кого скільки снігових кульок влучено, якщо повз ціль
пролетіли 13 кульок. (У себе самого сніговими кульками не кидаються).
4. Доведіть, що число 2014...32
2014
1
...
3
1
2
1
1 






а) ціле;
б) ділиться на 2015.
5. На колі розташовано точки: 2013 білих і одна червона. Розглядаються всі
можливі многокутники з вершинами в цих точках. Яких серед них буде більше:
з червоною вершиною, чи без неї?
0 завдання оцінюється в 4 бали.
1-5 завдання оцінюється в 7 балів.
Користування калькуляторами
забороняється.

4. Завдання
I етапу
Всеукраїнської олімпіади з математики
8 клас
№1. Розв’яжіть рівняння: х2
+ 2х + у2
+ 6у + 10 = 0
№2. Відомо, що а, в, с – три різні цифри. Якщо додати шість двоцифрових
чисел, які можна одержатиз них без повторення, то їх сума дорівнює
528. Знайти ці цифри.
№3. Довести, що сума кубів трьохпослідовних цілих чисел ділиться на 3.
№4. Знайдіть значення виразу:
5 ∙ 415
∙ 99
− 4 ∙ 320
∙ 89
5 ∙ 29 ∙ 619− 7 ∙ 229 ∙ 276
№5. Довести, що пряма, яка проходить через вершину рівнобедреного
трикутника паралельно основі, ділить зовнішній кут при вершині
трикутника навпіл.
№6. Три групи рибалоквпіймали 113 рибин. Кожномурибалці першої групи
дісталося по 13 рибин, другої групи – по 5 рибин, а третьої групи – по 4
рибини. Скільки рибалок було в кожній групі, якщо всього їхбуло 16

5. Звертаємо увагу, що пропоновані матеріали є вказівками до розв’язання задач
ІІ етапу олімпіади з математики і не містять повного обґрунтування.
6 клас
1. Дужки у виразі можна розмістити по-різному. Наприклад:
7 – (6 – 5) – 4 – (3 – 2) – 1 = 0,
(7 – 6) – (5 – 4) – (3 – 2 – 1) = 0.
2. Відповідь:оптоваціна ручки – 2 гривні50 копійок. Якщо оптоваціна ручки
– x гривень, то 5–x=10–3x, звідси x=2,5.
3. Відповідь:20. Якбипакетиків було не більше 19, то їхвистачило б не більше
ніж на 19·3=57 чашок чаю. Отже, пакетиків щонайменше 20. Більше 20 бути не
може, бо інакше їх вистачить щонайменше на 42 чашки чаю.
4. Відповідь: 1007.
Розв’язання. Розіб’ємо усі числа на пари.
1007)20132014(...)34()12(  , оскільки там усього 1007 пар чисел.
5. Вказівка: Намалювати п’ятикутну зірку.
7 клас
1. Відповідь: цифрою 5. Зменшуване число закінчується цифрою 0 (бо воно
містить множники 2 і 5). Від’ємник закінчується цифрою 5 (бо воно містить
множники 3 і 5, а інші множники всі непарні). Тому різниця закінчується на 5.
2. Відповідь. Кожна записка рахується двічі: один раз як відправлена, друга –
як одержана. Оскільки, сім дітей відправили сумарно на 7 записок більше, ніж
одержали, то решта в сукупності повинні були одержати на 7 записок більше,
ніж відправили. Але це неможливо, оскільки кожнийіз них одержав на 2 записки
більше, ніж відправив, то всі разом вони одержали на парне число записок
більше. А число 7 – непарне.
3. Потрібно розглянути 5 випадків. Відповідь: кут АОС може дорівнювати

80,60,40,30 або .90
4. Відповідь. Пронумеруємо кожнийіз кавунів: №1, №2, №3, №4, №5, №6, №7,
№8, №9 и №10. Тоді зважування можна проводити в такому порядку:
1) №1 + №2 + №3, 2) №4 + №5 + №6, 3) №7 + №8 + №9,
4) №1 + №2 + №10, 5) №1 + №3 + №10, 6) №2+№3 + №10.
Додаючи результати трьох послідовних зважувань, одержимо суму
подвоєної загальної маси кавунів №1, №2, №3 і потроєної маси кавуна №10. Із
одержаної суми віднімемо подвоєну загальну масу кавунів №1, №2, №3 і
одержимо масу кавуна №10. Тепер залишається додати загальну масу кавуна
№10 з результатами перших трьох зважувань.
5. Відповідь. Якщо усі три числа додати та поділити на 3, то вийде їх середнє
арифметичне, воно дорівнює з одного боку
)201420142014(2014 3
1
 accbba ,
а з іншого боку воно дорівнює середньому з цих трьох послідовних чисел.
Таким чином одне з чисел дорівнює 2014. Наприклад, це 20142014ba ,
тому ba  . А це суперечить тому, що усі 3 числа попарно різні.

6. 8 клас
1. Відповідь: цифрою 5. Зменшуване число закінчується цифрою 0 (бо воно
містить множники 2 і 5). Від’ємник закінчується цифрою 5 (бо воно містить
множники 3 і 5, а інші множники всі непарні). Тому різниця закінчується на 5.
2. Відповідь:
3
1


a
x , якщо 3a ; коренів нема, якщо 3a ; x будь-якечисло,
якщо 3a
3. Відповідь:У Сергія, Віті та Антона поцілили по одномуразі. Якщо у Вітю,
Антона і Сергія поцілили x, y, z кульок відповідно, то всього було кинуто
13+x+y+zкульок(оскільки 13 кульок не досяглицілі). С іншого боку, Вітя кинув
6x, Сергій – 5y, а Антон – (4z+1) кульок (разом з першою кулькою). Одержуємо
рівняння: 6x+5y+4z+1=13+x+y+z, звідки 5x+4y+3z=12. Так як x, y, z –
невід’ємні числа, x може бути рівним 0, 1 або 2, y може бути 0, 1, 2 або 3, z: 0, 1,
2, 3 або 4. Перебором знаходимо розв’язок (1, 1, 1), (0, 3, 0) и (0, 0, 4). Але,
оскільки в самого себе кидати кульками неможна, то серед чисел x, y, z не може
бути двох нулів. Тому можливий тільки перший випадок.
4. а) Розкриваючи дужки, одержимо суму цілих доданків.
б) Згрупуємо дроби в дужки парами: 1+ ,
2014
1
2013
1
2
1
 , … та зведемо їх до
спільного знаменника. Всі чисельники звичайних дробів будуть ділитися на
2015, апісля розкриття дужокодержимоцілечисло, що дорівнюєсумічисла 2015
і чисельників. Тому вказане число ділиться на 2015.
5. Вказівка: Кожному многокутнику без червоної вершини відповідає
многокутник, що має всі ті самі білі вершини і червону. Отже, многокутників з
червоною вершиною не менше за многокутники без неї. Але є ще трикутники з
червоною вершиною, яким не відповідає жоден многокутник без червоної
вершини. Отже, з червоною вершиною многокутників більше.