SPL 1, 2, 3 dan 4 merupakan SPL homogen karena tidak memiliki konstanta di sisi kanan persamaannya. Oleh karena itu, SPL-SPL tersebut memiliki solusi tak hingga banyak yang dapat dituliskan dalam bentuk parameter.
Penyelesaian persamaan linier simultan melibatkan penentuan nilai variabel bebas yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. Metode yang dapat digunakan antara lain metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, dan metode iterasi Gauss-Seidel. Metode eliminasi Gauss mengubah matrik koefisien menjadi bentuk segitiga atas atau bawah dengan operasi baris elementer.
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan LinearSulthan Isa
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Ringkasan:
Dokumen ini membahas metode-metode penyelesaian sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua dan tiga variabel, yaitu metode grafik, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi. Contoh soal dan penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya diberikan untuk setiap metode.
Dokumen ini membahas tentang menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan pertidaksamaan tunggal. Terdapat contoh soal yang dijelaskan cara penyelesaiannya seperti menentukan titik potong sumbu x dan y, serta menggunakan titik uji (0,0) untuk menggambar grafiknya sesuai dengan informasi yang diketahui. Presentasi ini diakhiri dengan ucapan terima kasih.
SPL 1, 2, 3 dan 4 merupakan SPL homogen karena tidak memiliki konstanta di sisi kanan persamaannya. Oleh karena itu, SPL-SPL tersebut memiliki solusi tak hingga banyak yang dapat dituliskan dalam bentuk parameter.
Penyelesaian persamaan linier simultan melibatkan penentuan nilai variabel bebas yang memenuhi semua persamaan yang diberikan. Metode yang dapat digunakan antara lain metode eliminasi Gauss, metode eliminasi Gauss-Jordan, dan metode iterasi Gauss-Seidel. Metode eliminasi Gauss mengubah matrik koefisien menjadi bentuk segitiga atas atau bawah dengan operasi baris elementer.
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan LinearSulthan Isa
Sistem Persamaan dan Pertidaksamaan Linear
Ringkasan:
Dokumen ini membahas metode-metode penyelesaian sistem persamaan dan pertidaksamaan linear dua dan tiga variabel, yaitu metode grafik, eliminasi, substitusi, dan eliminasi-substitusi. Contoh soal dan penjelasan langkah-langkah penyelesaiannya diberikan untuk setiap metode.
Dokumen ini membahas tentang menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan linear dua variabel dan pertidaksamaan tunggal. Terdapat contoh soal yang dijelaskan cara penyelesaiannya seperti menentukan titik potong sumbu x dan y, serta menggunakan titik uji (0,0) untuk menggambar grafiknya sesuai dengan informasi yang diketahui. Presentasi ini diakhiri dengan ucapan terima kasih.
Bab ini membahas persamaan diferensial orde satu yang meliputi:
1) Persamaan diferensial terpisah yang dapat diselesaikan dengan pengintegralan.
2) Reduksi persamaan tak terpisah menjadi terpisah melalui transformasi variabel.
3) Persamaan diferensial eksak yang selesaiannya didapat dari integral total.
4) Contoh-contoh penerapan metode tersebut untuk menyelesaikan berbagai persamaan diferensial orde satu.
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) menjelaskan cara menentukan himpunan penyelesaian SPtLDV dengan menggambar garis pertidaksamaan, mengambil titik uji (0,0), dan meng substitusikannya ke dalam pertidaksamaan untuk mengetahui daerah mana yang memenuhi syarat. Contoh soal menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaks
Dokumen tersebut membahas tentang pemisahan variabel untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam menentukan potensial listrik di dalam pipa logam persegi panjang. Metode ini memungkinkan fungsi potensial ditulis sebagai hasil kali dua fungsi yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel saja. Dengan menggunakan kondisi batas dan sifat ortogonalitas fungsi trigonometri, didapatkan penyelesaian tunggal berupa deret Fourier.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear serta kuadrat. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum, cara penyelesaian, contoh soal, serta rumus-rumus yang terkait.
Eliminasi Gauss digunakan untuk mengubah matriks kompleks menjadi matriks segitiga atas dengan mengubah elemen matriks menjadi nol melalui operasi baris. Langkah-langkahnya meliputi mengubah elemen (baris i, kolom j) menjadi nol dengan mengkalikan baris lain dan menjumlahkannya. Metode ini memungkinkan penggunaan lebih dari satu baris sekaligus untuk menghindari perubahan elemen n
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai penyelesaian pertidaksamaan non-linear, termasuk pertidaksamaan kuadrat, linear, pecahan, irasional/akar, nilai mutlak, dan tingkat tinggi. Langkah-langkah penyelesaiannya meliputi menentukan harga nol, menggambar garis bilangan, dan menentukan himpunan penyelesaian berdasarkan tanda pertidaksamaan. Beberapa contoh soal juga diberikan untuk mengilustras
Dokumen tersebut membahas tentang eliminasi Gaussian untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi sehingga dapat menyelesaikan sistem persamaan linear. Terdapat 6 langkah eliminasi Gaussian yaitu menentukan kolom tak nol paling kiri, menukar baris, membuat utama 1, menghilangkan elemen di bawah utama 1, menutup baris teratas, dan menghilangkan elemen di atas utama 1. Contoh penyelesaian sistem
Sistem persamaan non-linear dapat diubah menjadi sistem persamaan linear dengan memisalkan variabel non-linear menjadi variabel linear, kemudian diselesaikan dan hasilnya dikembalikan ke pemisalan semula.
Sistem persamaan linier merupakan model matematika untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan hubungan antara variabel-variabel dengan koefisien tetap. Dokumen ini menjelaskan bentuk umum sistem persamaan linier, metode penyelesaiannya secara analitis dan numerik serta contoh penerapannya untuk memecahkan masalah pembuatan boneka.
Bab ini membahas persamaan diferensial orde satu yang meliputi:
1) Persamaan diferensial terpisah yang dapat diselesaikan dengan pengintegralan.
2) Reduksi persamaan tak terpisah menjadi terpisah melalui transformasi variabel.
3) Persamaan diferensial eksak yang selesaiannya didapat dari integral total.
4) Contoh-contoh penerapan metode tersebut untuk menyelesaikan berbagai persamaan diferensial orde satu.
Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) menjelaskan cara menentukan himpunan penyelesaian SPtLDV dengan menggambar garis pertidaksamaan, mengambil titik uji (0,0), dan meng substitusikannya ke dalam pertidaksamaan untuk mengetahui daerah mana yang memenuhi syarat. Contoh soal menentukan himpunan penyelesaian sistem pertidaks
Dokumen tersebut membahas tentang pemisahan variabel untuk menyelesaikan persamaan Laplace dalam menentukan potensial listrik di dalam pipa logam persegi panjang. Metode ini memungkinkan fungsi potensial ditulis sebagai hasil kali dua fungsi yang masing-masing hanya bergantung pada satu variabel saja. Dengan menggunakan kondisi batas dan sifat ortogonalitas fungsi trigonometri, didapatkan penyelesaian tunggal berupa deret Fourier.
Dokumen tersebut membahas tentang persamaan dan pertidaksamaan linear serta kuadrat. Terdapat penjelasan mengenai bentuk umum, cara penyelesaian, contoh soal, serta rumus-rumus yang terkait.
Eliminasi Gauss digunakan untuk mengubah matriks kompleks menjadi matriks segitiga atas dengan mengubah elemen matriks menjadi nol melalui operasi baris. Langkah-langkahnya meliputi mengubah elemen (baris i, kolom j) menjadi nol dengan mengkalikan baris lain dan menjumlahkannya. Metode ini memungkinkan penggunaan lebih dari satu baris sekaligus untuk menghindari perubahan elemen n
Dokumen tersebut memberikan penjelasan mengenai penyelesaian pertidaksamaan non-linear, termasuk pertidaksamaan kuadrat, linear, pecahan, irasional/akar, nilai mutlak, dan tingkat tinggi. Langkah-langkah penyelesaiannya meliputi menentukan harga nol, menggambar garis bilangan, dan menentukan himpunan penyelesaian berdasarkan tanda pertidaksamaan. Beberapa contoh soal juga diberikan untuk mengilustras
Dokumen tersebut membahas tentang eliminasi Gaussian untuk mereduksi matriks menjadi bentuk eselon baris tereduksi sehingga dapat menyelesaikan sistem persamaan linear. Terdapat 6 langkah eliminasi Gaussian yaitu menentukan kolom tak nol paling kiri, menukar baris, membuat utama 1, menghilangkan elemen di bawah utama 1, menutup baris teratas, dan menghilangkan elemen di atas utama 1. Contoh penyelesaian sistem
Sistem persamaan non-linear dapat diubah menjadi sistem persamaan linear dengan memisalkan variabel non-linear menjadi variabel linear, kemudian diselesaikan dan hasilnya dikembalikan ke pemisalan semula.
Sistem persamaan linier merupakan model matematika untuk menyelesaikan masalah yang melibatkan hubungan antara variabel-variabel dengan koefisien tetap. Dokumen ini menjelaskan bentuk umum sistem persamaan linier, metode penyelesaiannya secara analitis dan numerik serta contoh penerapannya untuk memecahkan masalah pembuatan boneka.
Metode iterasi Jacobi dapat digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linear dengan menghitung nilai variabel secara berulang hingga mencapai toleransi kesalahan yang diinginkan. Algoritma Jacobi menghitung nilai baru variabel berdasarkan nilai lama variabel lainnya. Analisis galat dilakukan dengan membandingkan nilai baru dan lama setiap variabel. Kasus sistem persamaan linear 3 variabel ditunjukkan dapat dise
- Solving linear systems using Gaussian elimination;
- Gauss-Jordan row reduction and reduced row echelon form;
- Equivalent systems, rank, and row space;
- Inverses of matrices.
03.03. Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Menggunak...BayuYudhaSaputra
Menentukan Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Variabel Menggunakan Bahasa Pemrograman C++ akan dibahas dalam postingan ini. Contoh program c++ ini termasuk contoh program c++ sederhana, contoh program c++ matematika, contoh program c++ sistem persamaan linear, dan contoh program c++ aturan cramer.
Masalah yang akan diselesaikan adalah menentukan penyelesaian dari sistem persamaan linier dua variabel menggunakan aturan Cramer. Program menawarkan input kepada pengguna untuk menginput koefisien persamaan linier dan konstanta.
Langkah pertama untuk menyelesaikan masalah ini adalah menawarkan prompt kepada pengguna untuk menginput nilai koefisien dan konstanta. Input ini disimpan dalam variabel koefx1, koefy1, konstan1, koefx2, koefy2 dan konstan2.
Langkah kedua adalah menampilkan sistem persamaan linier sesuai dengan input dari pengguna.
Langkah ketiga mengecek hasil operasi dari koefx1 * koefy2 – koefy1 * koefx2, apakah hasilnya 0 atau bukan.
Jika pernyataan koefx1 * koefy2 – koefy1 * koefx2 == 0 bernilai true maka nilai konstan1 * koefy2 – konstan2 * koefy1 == 0 || koefx1 * konstan2 – koefx2 * konstan1 == 0 dicek kembali. Jika pernyataan ini bernilai true maka pesan “Penyelesaian sistem persamaan linier tidak tunggal”. Jika nilai ini bernilai false maka muncul pesan “Sistem persamaan linier ini tidak mempunyai penyelesaian”.
Jika pernyataan koefx1 * koefy2 – koefy1 * koefx2 == 0 bernilai false maka ditentukan nilai penyelesaianX = (konstan1 * koefy2 – konstan2 * koefy1) / (koefx1 * koefy2 – koefy1 * koefx2). Kemudian, nilai penyelesaianY = (koefx1 * konstan2 – koefx2 * konstan1)/ (koefx1 * koefy2 – koefy1 * koefx2). Kemudian, kedua penyelesaian ini ditampilkan di layar console.
Masalah ini dapat diakses di:
Liang. 2014. Introduction to Programming with C++ 3rd Edition. London: Pearson Education yang bisa diakses pada tautan berikut:
https://www.pearson.com/en-us/subject-catalog/p/Liang-Companion-Website-for-Introduction-to-Programming-with-C-Access-to-Videonotes-3rd-Edition/P200000003422/978013338026
Baris kode ini bisa diakses pada tautan berikut:
https://github.com/bayuYudhaSaputra/introduction-programming-CPP-liang/blob/main/03.03.SolveLinearEquation.cpp
Oleh : #bayuyudhasaputra
Fungsi Eksponensial & Logaritma, Barisan & Deret, Sistem Persamaan LinearKristantoMath
Dokumen tersebut berisi materi pelajaran aljabar dan trigonometri yang mencakup fungsi eksponensial dan logaritma, sistem persamaan linear, barisan dan deret, serta soal-soal latihan terkait materi tersebut.
Dokumen tersebut membahas tentang remidi matematika khususnya sistem persamaan linear dua variabel dan cara penyelesaiannya melalui metode substitusi dan metode grafik."
Penyelesaian persamaan linier simultan dibahas melalui metode analitik seperti aturan Crammer dan invers matrik, serta metode numerik seperti eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan, dan iterasi Gauss-Seidel. Metode eliminasi Gauss mengubah matrik koefisien menjadi bentuk segitiga atas/bawah untuk menentukan nilai variabel bebas.
Penyelesaian persamaan linier simultan dibahas melalui metode analitik seperti aturan Crammer dan invers matrik, serta metode numerik seperti eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan, dan iterasi Gauss-Seidel. Metode eliminasi Gauss mengubah matrik koefisien menjadi bentuk segitiga atas/bawah untuk menentukan nilai variabel bebas.
03.01.Menentukan Penyelesaian Persamaan Kuadrat Menggunakan Bahasa Pemrogaman...BayuYudhaSaputra
Menyelesaikan Persamaan Kuadrat Menggunakan Bahasa Pemrograman C++ akan dibahas dalam artikel. contoh program c++ ini termasuk contoh program C++ sederhana, contoh program c++ perhitungan, contoh program matematika, contoh program c++.
Untuk menyelesaikan masalah ini, langkah pertama yang dilakukan oleh program adalah meminta input nilai kepada pengguna. Nilai yang diinput harus berupa bilangan double. Ketiga nilai ini disimpan dalam variabel dengan nama berturut-turut koefisienX2, koefisienX dan konstanta.
Kemudian pada langkah kedua, program mengecek apakah variabel koefisienX2 bernilai 0 atau bukan. Jika nilai variabel ini 0 maka program akan menampilkan pesan error “Warning: koefisien x kuadrat tidak boleh 0” dan program berhenti. Jika variabel ini bernilai bilangan double bukan 0 maka program akan dilanjutkan ke langkah ketiga, yaitu menampilkan persamaan kuadrat sesuai dengan nilai ketiga variabel ini.
Liang. 2014. Introduction to Programming with C++ 3rd Edition. London: Pearson Education yang bisa diakses pada tautan berikut:
https://www.pearson.com/en-us/subject-catalog/p/Liang-Companion-Website-for-Introduction-to-Programming-with-C-Access-to-Videonotes-3rd-Edition/P200000003422/978013338026
Baris kode ini bisa diakses pada tautan berikut:
https://github.com/bayuYudhaSaputra/introduction-programming-CPP-liang/blob/main/03.01.SolveQuadraticEquation.cpp
by: #bayuyudhasaputra
Dokumen tersebut membahas tentang penyelesaian sistem persamaan linier dengan metode eliminasi Gauss-Jordan. Metode ini dilakukan dengan mengubah sistem persamaan ke dalam bentuk matriks augmentasi, lalu melakukan operasi baris elementer untuk mengubah matriks menjadi bentuk baris eselon tereduksi. Program yang dibuat dapat memproses sistem persamaan linier secara otomatis dengan mengikuti algoritma eliminasi Gauss-Jordan.
Similar to Metodenumerikuntukmenyelesaikansistempersamaanlinier 150316044738-conversion-gate01 (20)
Paper ini bertujuan untuk menganalisis pencemaran udara akibat pabrik aspal. Analisis ini akan fokus pada emisi udara yang dihasilkan oleh pabrik aspal, dampak kesehatan dan lingkungan dari emisi tersebut, dan upaya yang dapat dilakukan untuk mengurangi pencemaran udara
Laporan Pembina Pramuka SD dalam format doc dapat anda jadikan sebagai rujukan dalam membuat laporan. silakan download di sini https://unduhperangkatku.com/contoh-laporan-kegiatan-pramuka-format-word/
Teori Fungsionalisme Kulturalisasi Talcott Parsons (Dosen Pengampu : Khoirin ...nasrudienaulia
Dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Talcott Parsons, konsep struktur sosial sangat erat hubungannya dengan kulturalisasi. Struktur sosial merujuk pada pola-pola hubungan sosial yang terorganisir dalam masyarakat, termasuk hierarki, peran, dan institusi yang mengatur interaksi antara individu. Hubungan antara konsep struktur sosial dan kulturalisasi dapat dijelaskan sebagai berikut:
1. Pola Interaksi Sosial: Struktur sosial menentukan pola interaksi sosial antara individu dalam masyarakat. Pola-pola ini dipengaruhi oleh norma-norma budaya yang diinternalisasi oleh anggota masyarakat melalui proses sosialisasi. Dengan demikian, struktur sosial dan kulturalisasi saling memengaruhi dalam membentuk cara individu berinteraksi dan berperilaku.
2. Distribusi Kekuasaan dan Otoritas: Struktur sosial menentukan distribusi kekuasaan dan otoritas dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya yang dianut oleh masyarakat juga memengaruhi bagaimana kekuasaan dan otoritas didistribusikan dalam struktur sosial. Kulturalisasi memainkan peran dalam melegitimasi sistem kekuasaan yang ada melalui nilai-nilai yang dianut oleh masyarakat.
3. Fungsi Sosial: Struktur sosial dan kulturalisasi saling terkait dalam menjalankan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat. Nilai-nilai budaya dan norma-norma yang terinternalisasi membentuk dasar bagi pelaksanaan fungsi-fungsi sosial yang diperlukan untuk menjaga keseimbangan dan stabilitas dalam masyarakat.
Dengan demikian, konsep struktur sosial dalam teori fungsionalisme kulturalisasi Parsons tidak dapat dipisahkan dari kulturalisasi karena keduanya saling berinteraksi dan saling memengaruhi dalam membentuk pola-pola hubungan sosial, distribusi kekuasaan, dan pelaksanaan fungsi-fungsi sosial dalam masyarakat.
1. METODE NUMERIK UNTUK MENYELESAIKAN
SISTEM PERSAMAAN LINIER
AHMAD PUJI ARDI
12313079
PROGRAM STUDI TEKNIK GEOFISIKA
FAKULTAS TEKNIK PERTAMBANGAN DAN PERMINYAKAN
INSTITUT TEKNOLOGI BANDUNG
2015
2. A.Eliminasi Gauss
Setiap sistem persamaan linier aljabar dapat diekspresikan secara umum sebagai
11212111 ... bxaxaxa nn
22222121 ... bxaxaxa nn
... ...
... ...
... ...
nnnnnn bxaxaxa ...2211
Penyelesaian Eliminasi Gauss dilakukan melalui dua langkah utama penyelesaian
secara berurutan, yakni :
Forward Elimination of unknowns
Langkah pertama ini digunakan untuk mengurangi set persamaan sehingga
nantinya terbentuk sistem triangular atas. Langkah awalnya berupa :
1. Mengeliminasi variabel pertama ( 1x ) pada baris kedua sampai baris
terakhir dengan cara mengurangi koefisien semua variabel pada semua
baris dengan
n
n
a
a
a
1
11
1
sehingga nantinya menghasilkan nol pada koefisien
1x untuk baris kedua hingga terakhir . Didapatkan persamaan baris semua
baris :
11212111 ... baaa nn xxx
1
11
21
21
11
21
2212
11
21
221 ...0 b
a
a
bnnn xa
a
a
axa
a
a
ax
... ... ... ... ...
1
11
1
1
11
1
212
11
1
21 ...0 b
a
a
b n
nnn
n
nn
n
n xa
a
a
axa
a
a
ax
Atau dinyatakan dengan
11212111 ... baaa nn xxx
222221 '''0 ... baa nn xxx
... ... ...
nnnnn baa xxx '''0 ...221
2. Dari hasil langkah (1), eliminasi variabel kedua ( 2x ) pada baris ketiga
sampai baris terakhir dengan cara mengurangi koefisien semua variabel
3. pada semua baris dengan
n
n
a
a
a
2
22
2
'
'
'
sehingga nantinya menghasilkan nol
pada koefisien 2x untuk baris ketiga hingga terakhir. Didapatkan hasil pada
semua baris :
11212111 ... baaa nn xxx
1
11
21
21
11
21
2212
11
21
221 ...0 b
a
a
bnnn xa
a
a
axa
a
a
ax
2
22
32
32
22
32
3323
22
32
3321 '
'
'
''
'
'
'...'
'
'
'00 b
a
a
bnnn xa
a
a
axa
a
a
axx
... ... ... ... ...
2
22
2
2
22
2
32
22
2
321 '
'
'
''
'
'
'...'
'
'
'00 b
a
a
b n
nnn
n
nnn
n
n xa
a
a
axa
a
a
axx
Atau dinyatakan dengan
11212111 ... baaa nn xxx
222221 '''0 ... baa nn xxx
2221 ''''00 ... ba nn xxx
... ... ...
nnnn ba xxx ''''00 ...21
3. Lakukan langkah dengan prinsip yang sama diatas sampai menyisakan satu
buah variabel dan satu buah konstanta
11212111 ... baaa nn xxx
22222 ''' ... baa nn xx
33333 ''''''''' ... baa nn xx
... ...
)1()1(
n
nn
n
nn ba x
Backward subtitution
Setelah mendapatkan persamaan yang terakhir cari nilai variabel terakhir
tersebut dengan membagi konstanta dengan koefisien variabel tersebut
)1(
)1(
n
nn
n
n
n
a
b
x
Kemudian substitusikan nilai nx ke persamaan diatasnya sehingga
memperoleh nilai untuk variabel lainnya.
4. 1
11
21
2 R
a
a
R
1
11
21
3 R
a
a
R
ROUND MAP ELIMINASI GAUSS (UNTUK MATRIKS 3X3)
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa
3
2
1
3332
2322
131211
'
'
''0
''0
b
b
b
aa
aa
aaa
3
2
1
33
2322
131211
"
'
"00
''0
b
b
b
a
aa
aaa
33
3
3
"
"
a
b
x
2323222 ''' baa xx
22
3232
2
'
''
a
xab
x
1313212111 baaa xxx
11
2123131
1
a
xaxab
x
pivot
pivot
1
22
32
3
'
'
R
a
a
R
FORWARD ELIMINATION
BACKWARD SUBSTITUTION
5. 2
12
1
1
'
R
a
R 2
32
3
1
'
R
a
R
11
1
a
R
1
21
2
1
R
a
R
1
21
3
1
R
a
R 22
2
'a
R
33
3
"a
R
B.Eliminasi Gauss-Jordan
Metode eliminasi Gauss-Jordan merupakan modifikasi dari metode eliminasi Gauss
dimana pada metode ini dilakukan normalisasi oleh koefisien pivotnya sehingga
menghasilkan matrik identitas bukan lagi matriks triangular lagi seperti eliminasi
Untuk lebih jelasnya dapat lihat langkah penyelesaian dengan metode Gauss-Jordan :
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa
3
2
1
333231
232221
1312 '''1
b
b
b
aaa
aaa
aa
3
2
1
3332
23
1312
'
"
'
''0
"10
''1
b
b
b
aa
a
aa
3
2
1
3332
2322
1312
'
'
'
''0
''0
''1
b
b
b
aa
aa
aa
3
2
1
33
23
13
"
"
"
"00
"10
"01
b
b
b
a
a
a
3
2
1
23
13
"'
"
"
100
"10
"01
b
b
b
a
a
3
2
1
'"
'"
'"
100
010
001
b
b
b
11 '"bx 22 '"bx 33 '"bx
3
23
2
1
"
R
a
R
3
13
1
1
"
R
a
R
6. C. Gauss-Siedel
Metode Gauss-Siedel merupakan metode iterasi atau aproksimasi yang mengasumsikan
bahwa persoalan dianalogikan seperti matrik BXA dengan batasan bahwa
matriknya merupakan matriks 3X3, elemen diagonalnya tidak sama dengan nol, dan
persamaannya bersifat konvergen.
Untuk lebih jelasnya lihat langkah penyelesaian persamaan linier dengan metode
Gauss-Siedel :
Sistem Persamaan Linier :
3333232131
2323222121
1313212111
baaa
baaa
baaa
xxx
xxx
xxx
33
2321313
3
a
xaxab
x
22
3231212
2
a
xaxab
x
11
2123131
1
a
xaxab
x
Iterasi pertama :
Mencari nilai 1x dengan mengasumsikan 02 x dan 03 x
11
2123131
1
a
xaxab
x
11
1
1
a
b
x
Mencari nilai 2x dengan mengasumsikan 03 x dan 1x (baru)
22
3231212
2
a
xaxab
x
22
1212
2
a
xab
x
Mencari nilai 3x dengan menggunakan nilai 2x (baru) dan 1x (baru)
33
2321313
3
a
xaxab
x
Iterasi kedua :
Mencari nilai 1x dengan menggunakan 3x (baru) dan 2x (baru)
11
2123131
1
a
xaxab
x
Mencari nilai 2x dengan menggunakan dan 1x (baru) dan 3x (baru)
22
3231212
2
a
xaxab
x
Mencari nilai 3x dengan menggunakan dan 2x (baru) dan 1x (baru)
33
2321313
3
a
xaxab
x
Iterasi selanjutnya .....
7. Selanjutnya kita harus mengecek konvergensi dari nilai yang didapat dengan nilai
sebenarnya yakni dengan rumus :
s
j
i
j
i
j
i
ia
x
xx
%100
1
,
D. LU Decomposition
LU Decomposition merupakan metode dimana matriks yang berada disebelah kiri A
dimanipulasi menjadi matriks lower ( L ) dan matriks upper ( U ). Metode ini
merupakan pengembangan dari eliminasi Gauss dengan eliminasi Gauss-Jordan dengan
beberapa modifikasi.
BXA
U L
L BD
D
U X D
X
U
33
2322
131211
"00
''0
a
aa
aaa
L
1
01
001
3231
21
ff
f
Metode Eliminasi Gauss
11
21
21
a
a
f ,
11
31
31
a
a
f ,
22
32
32
'
'
a
a
f
10. C. Menggunakan Gauss-Siedel
Sistem persamaan :
66
425
24
321
321
321
xxx
xxx
xxx
4
2 23
1
xx
x
1
254 31
2
xx
x
1
66 21
3
xx
x
Iterasi Pertama :
Mencari nilai 1x dengan mengasumsikan 02 x dan 03 x
4
)0()0(2
1
x 50,0
4
2
1
x
Mencari nilai 2x dengan mengasumsikan 03 x dan 5,01 x
1
)0(2)5,0(54
2
x 50,11
1
5,74
2
x
Mencari nilai 3x dengan menggunakan nilai 50,112 x dan 5,01 x
1
)5,11()5,0(66
3
x 5,2
1
5,1136
3
x
Iterasi Kedua :
Mencari nilai 1x dengan menggunakan nilai 50,112 x dan 50,23 x
4
)5,11()5,2(2
1
x 4
4
16
1
x %5,872,1 x
Mencari nilai 2x dengan menggunakan nilai 41 x dan 50,23 x
1
)5,2(2)4(54
2
x 29
1
29
2 x %34,602,2 x
Mencari nilai 3x dengan menggunakan nilai 292 x dan 41 x
1
)29()4(66
3
x 1
1
1
3 x %3502,3 x
Iterasi Ketiga :
Mencari nilai 1x dengan menggunakan nilai 292 x dan 13 x
4
)29()1(2
1
x 5,7
4
30
1
x %67,463,1 x
Mencari nilai 2x dengan menggunakan nilai 5,71 x dan 13 x
1
)1(2)5,7(54
2
x 5,39
1
5,39
2 x %58,263,2 x
Mencari nilai 3x dengan menggunakan nilai 5,392 x dan 5,71 x
1
)5,39()5,7(66
3
x 5,11
1
5,11
3 x %30,913,3 x
12. Kesimpulan dari aplikasi metode –metode tersebut pada satu soal yang sama
a. Eliminasi Gauss
Kelebihan :
Dapat menentukan kekonsistenan sistem persamaan
Mengilangkan kebutuhan untuk menulis ulang variabel setiap angka
Lebih mudah dipecahkan
Kekurangan :
Masalah akurasi nilai jika terjadi pembulatan pecahan
Sulit untuk penggunaan sistem persamaan dengan variabel yang banyak
b. Gauss-Jordan
Kelebihan :
Mengubah sistem persamaan linier menjadi matriks identitas yang
sederhana
Dapat menyelesaikan persamaan dengan matriks invers
Mudah dalam menyelesaikan persamaan dengan banyak variabel
Dapat mengurangi kesalahan dalam perhitungan
Kekurangan :
Nilai konstanta yang dimasukkan terbatas
Pada keadaan tertentu, tidak dapat menunjukkan nilai x secara langsung
c. Gauss-Siedel
Kelebihan :
Pembulatan dapat diperkecil
Ketelitiannya maksimal
Kekurangan :
Hanya terbatas pada matriks 3x3
Tidak dapat menunjukkan nilai dengan baik jika sistem persamaan bersifat
divergen (hanya untuk sistem yang konvergen)
Rawan terjadi kesalahan pivot
d. LU Decomposition
Kelebihan :
Lebih mudah dipecahkan
Dapat mengurangi kesalahan dalam perhitungan
Dapat menentukan kekonsistenan sistem persamaan
Mudah dalam menyelesaikan persamaan dengan banyak variabel
Kekurangan :
Banyak dalam penulisan variabel
Butuh ketelitian lebih untuk setiap langkah penyelesaian