Penyelesaian persamaan linier simultan dibahas melalui metode analitik seperti aturan Crammer dan invers matrik, serta metode numerik seperti eliminasi Gauss, eliminasi Gauss-Jordan, dan iterasi Gauss-Seidel. Metode eliminasi Gauss mengubah matrik koefisien menjadi bentuk segitiga atas/bawah untuk menentukan nilai variabel bebas.

1. PENYELESAIAN
PERSAMAAN LINIER
SIMULTAN

2. PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
• Persamaan linier simultan adalah suatu bentuk persamaan-persamaan yang
secara bersama-sama menyajikan banyak variabel bebas
• Bentuk persamaan linier simultan dengan m persamaan dan n variabel bebas
• aij untuk i=1 s/d m dan j=1 s/d n adalah koefisien atau persamaan
simultan
• xi untuk i=1 s/d n adalah variabel bebas pada persamaan simultan

3. PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
• Penyelesaian persamaan linier simultan adalah
penentuan nilai xi untuk semua i=1 s/d n yang
memenuhi semua persamaan yang diberikan.
• AX = B
• Matrik A = Matrik Koefisien/ Jacobian.
• Vektor x = vektor variabel
• vektor B = vektor konstanta.





































n
n
mn
m
m
n
n
b
b
b
x
x
x
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
1
2
1
2
22
21
1
12
11

4. PERSAMAAN LINIER SIMULTAN
• Persamaan Linier
Simultan atau Sistem
Persamaan Linier
mempunyai kemungkinan
solusi :
• Tidak mempunyai solusi
• Tepat satu solusi
• Banyak solusi

5. AUGMENTED MATRIX
• matrik yang merupakan perluasan matrik A dengan
menambahkan vector B pada kolom terakhirnya, dan
dituliskan:
• Augmented (A) = [A B]












m
mn
m
m
m
n
n
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
2
1
2
2
23
22
21
1
1
13
12
11

6. THEOREMA 4.1.
• Suatu persamaan linier simultan mempunyai
penyelesaian tunggal bila memenuhi syarat-
syarat sebagai berikut.
• Ukuran persamaan linier simultan bujursangkar,
dimana jumlah persamaan sama dengan jumlah
variable bebas.
• Persamaan linier simultan non-homogen dimana
minimal ada satu nilai vector konstanta B tidak nol
atau ada bn  0.
• Determinan dari matrik koefisien persamaan linier
simultan tidak sama dengan nol.

7. METODE ANALITIK
• metode grafis
• aturan Crammer
• invers matrik

8. METODE NUMERIK
• Metode Eliminasi Gauss
• Metode Eliminasi Gauss-Jordan
• Metode Iterasi Gauss-Seidel

9. METODE ELIMINASI GAUSS
• Metode Eliminasi Gauss merupakan metode yang
dikembangkan dari metode eliminasi, yaitu
menghilangkan atau mengurangi jumlah variable
sehingga dapat diperoleh nilai dari suatu variable bebas
• matrik diubah menjadi augmented matrik :














n
nn
n
n
n
b
b
b
a
a
a
a
a
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
2
1
2
n1
2
22
21
1
12
11

10. METODE ELIMINASI GAUSS
• ubah matrik menjadi matrik segitiga atas atau segitiga
bawah dengan menggunakan OBE (Operasi Baris
Elementer).
















n
nn
n
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
3
33
32
31
2
2
23
22
21
1
1
13
12
11
















n
nn
n
n
n
d
c
d
c
c
d
c
c
c
d
c
c
c
c
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
...
0
0
...
0
...
3
3
33
2
2
23
22
1
1
13
12
11

11. OPERASI BARIS ELEMENTER
• Metode dasar untuk menyelesaikan Sistem Persamaan
Linier adalah mengganti sistem yang ada dengan sistem
yang baru yang mempunyai himp solusi yang sama dan
lebih mudah untuk diselesaikan
• Sistem yang baru diperoleh dengan serangkaian step
yang menerapkan 3 tipe operasi. Operasi ini disebut
Operasi Baris Elementer
1. Multiply an equation through by an nonzero constant.
2. Interchange two equation.
3. Add a multiple of one equation to another.

12. METODE ELIMINASI GAUSS
• Sehingga penyelesaian dapat diperoleh dengan:
 
 
 
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
nn
n
n
x
c
x
c
x
c
d
c
x
x
c
x
c
x
c
d
c
x
d
x
c
c
x
c
d
x
1
13
2
12
1
11
1
2
4
24
3
23
2
22
2
1
,
1
1
,
1
1
...
3
1
...
1
.......
..........
..........
..........
1




















13. CONTOH :
• Selesaikan sistem persamaan berikut:
• Augmented matrik dari persamaan linier simultan
tersebut :
10
2
2
2
2
6
3
2
1
3
2
1
3
2
1









x
x
x
x
x
x
x
x
x











10
2
1
2
2
1
2
1
6
1
1
1

14. CONTOH :
• Lakukan operasi baris elementer
1
3
1
2
2B
B
B
B
















2
0
1
0
4
2
1
0
6
1
1
1
2
3 B
B 














6
2
0
0
4
2
1
0
6
1
1
1

15. CONTOH :
• Penyelesaian :
 
  1
3
2
6
1
1
2
3
)
2
(
4
1
1
3
2
6
1
2
3












x
x
x

16. ALGORITMA METODE ELIMINASI
GAUSS

17. METODE ELIMINASI GAUSS
JORDAN
• Metode ini merupakan pengembangan metode
eliminasi Gauss, hanya saja augmented matrik, pada
sebelah kiri diubah menjadi matrik diagonal
• Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai
d1,d2,d3,…,dn dan atau:
















n
nn
n
n
n
n
n
n
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
b
a
a
a
a
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
2
1
3
3
33
32
31
2
2
23
22
21
1
1
13
12
11
















n
d
d
d
d
1
...
0
0
0
...
...
...
...
...
...
0
...
1
0
0
0
...
0
1
0
0
...
0
0
1
3
2
1
n
n d
x
d
x
d
x
d
x 


 ,....,
,
, 3
3
2
2
1
1

18. CONTOH :
• Selesaikan persamaan
linier simultan:
• Augmented matrik dari
persamaan linier
simultan
• Lakukan operasi
baris elementer
8
4
2
3
2
1
2
1




x
x
x
x






8
4
2
3
1
1




















1
1
0
2
0
1
1
1
0
3
1
1
2
/
2
2
2
0
3
1
1
2
2
1
1
2
B
B
B
b
B
Penyelesaian persamaan linier simultan :
x1 = 2 dan x2 = 1

19. ALGORITMA METODE ELIMINASI
GAUSS-JORDAN

21. METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL
• Metode interasi Gauss-Seidel adalah metode yang menggunakan
proses iterasi hingga diperoleh nilai-nilai yang berubah.
• Bila diketahui persamaan linier simultan
n
n
nn
n
n
n
n
n
n
n
n
n
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a
b
x
a
x
a
x
a
x
a




















...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
...
3
3
2
2
1
1
3
3
3
33
2
32
1
31
2
2
3
23
2
22
1
21
1
1
3
13
2
12
1
11

22. METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL
• Berikan nilai awal dari setiap xi (i=1 s/d n)
kemudian persamaan linier simultan diatas
dituliskan menjadi:
•
 
 
 
1
1
2
2
1
1
2
3
23
1
21
2
2
2
1
3
13
2
12
1
11
1
....
1
...
..........
..........
..........
..........
..........
..........
....
1
....
1
2

















n
nn
n
n
n
nn
n
n
n
n
n
x
a
x
a
x
a
b
a
x
x
a
x
a
x
a
b
a
x
x
a
x
a
x
a
b
a
x

23. METODE ITERASI GAUSS-SEIDEL
• Dengan menghitung nilai-nilai xi (i=1 s/d n)
menggunakan persamaan-persamaan di atas secara
terus-menerus hingga nilai untuk setiap xi (i=1 s/d n)
sudah sama dengan nilai xi pada iterasi sebelumnya
maka diperoleh penyelesaian dari persamaan linier
simultan tersebut.
• Atau dengan kata lain proses iterasi dihentikan bila
selisih nilai xi (i=1 s/d n) dengan nilai xi pada iterasi
sebelumnya kurang dari nilai tolerasi error yang
ditentukan.
• Untuk mengecek kekonvergenan

24. CATATAN
• Hati-hati dalam menyusun sistem persamaan linier
ketika menggunakan metode iterasi Gauss-Seidel ini.
• Perhatikan setiap koefisien dari masing-masing xi pada
semua persamaan di diagonal utama (aii).
• Letakkan nilai-nilai terbesar dari koefisien untuk setiap xi
pada diagonal utama.
• Masalah ini adalah ‘masalah pivoting’ yang harus
benar-benar diperhatikan, karena penyusun yang salah
akan menyebabkan iterasi menjadi divergen dan tidak
diperoleh hasil yang benar.

26. CONTOH
• Berikan nilai awal : x1 = 0 dan x2 = 0
• Susun persamaan menjadi:
14
4
2
5
2
1
2
1




x
x
x
x
 
1
2
2
1
2
14
4
1
5
x
x
x
x




(5,1)
(4,3/2)
(7/2,7/4)

27. CONTOH
(13/4 , 15/8)
(25/8 , 31/16)
(49/16 , 63/32 )
(97/32 , 127/64)

28. CONTOH :
• Selesaikan sistem persamaan berikut:
• Augmented matrik dari persamaan linier simultan
tersebut :
10
2
2
2
2
6
3
2
1
3
2
1
3
2
1









x
x
x
x
x
x
x
x
x











10
2
1
2
2
1
2
1
6
1
1
1

29. HASIL DIVERGEN

30. HASIL KONVERGEN

31. ALGORITMA METODE ITERASI
GAUSS-SEIDEL

32. SOAL
• Selesaikan dg Eliminasi Gauss-Jordan x1 + x2 + 2x3 = 8
-x1 – 2x1 + 3x3 = 1
3x1 – 7x2 + 4x3 = 10
• x – y + 2z – w = -1
2x + y - 2z -2w = -2
-x + 2y – 4z + w = 1
3x - 3w = -3
0
5
6
3
1
3
4
2
9
2









z
y
x
z
y
x
z
y
x

33. • Selesaikan dg Gauss Seidel
• 5x1 + 2x2 + 6x3 = 0
-2x1 + x2 + 3x3 = 0
• X1 – 2x2 + x3 – 4x4 = 1
X1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 2
X1 – 12x2 – 11x3 – 16x4 = 5

34. CONTOH PENYELESAIAN
PERMASALAHAN PERSAMAAN LINIER
SIMULTAN
• Mr.X membuat 2 macam boneka A dan B. Boneka A memerlukan bahan 10
blok B1 dan 2 blok B2, sedangkan boneka B memerlukan bahan 5 blok B1
dan 6 blok B2. Berapa jumlah boneka yang dapat dihasilkan bila tersedia
80 blok bahan B1 dan 36 blok bahan B2.
• Model Sistem Persamaan Linier :
• Variabel yang dicari adalah jumlah boneka, anggap:
x1 adalah jumlah boneka A
x2 adalah jumlah boneka B
• Perhatikan dari pemakaian bahan :
B1: 10 bahan untuk boneka A + 5 bahan untuk boneka B = 80
B2: 2 bahan untuk boneka A + 6 bahan untuk boneka B = 36
• Diperoleh model sistem persamaan linier
10 x1 + 5 x2 = 80
2 x1 + 6 x2 = 36

35. CONTOH 1 :
• metode eliminasi Gauss-Jordan
• Diperoleh x1 = 6 dan x2 = 4, artinya bahan yang tersedia dapat dibuat
6 boneka A dan 4 boneka B.

36. CONTOH 2 :
• Misalkan pada contoh diatas, 4 titik yang ditunjuk
adalah (2,3), (7,6), (8,14) dan (12,10). 4 titik ini dapat
didekati dengan fungsi polinom pangkat 3 yaitu :
• Bila nilai x dan y dari 4 titik dimasukkan ke dalam
persamaan di atas akan diperoleh model persamaan
simultan sebagai berikut :
• Titik 1  3 = 8 a + 4 b + 2 c + d
• Titik 2  6 = 343 a + 49 b + 7 c + d
• Titik 3  14 = 512 a + 64 b + 8 c + d
• Titik 4  10 = 1728 a + 144 b + 12 c + d

37. • Dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss-Jordan
a = -0,303
b = 6,39
c = -36,59
d = 53,04
y = -0,303 x3 + 6,39
x2 – 36,59 x + 53,04