This document discusses matrices and matrix operations. It introduces matrices, including representing real-world data as matrices and determining the rank and elements of a matrix. It also covers basic matrix operations such as addition, subtraction, multiplication of matrices and multiplication of a matrix by a number. Examples of representing data as matrices and matrix operations are provided.
latihan topikal-garis-dan-sudut-ii dalam bentuk subjektif yang menguji minda dalam topik ini.Jawapan disediakan dengan tepat dan betul sekali.Memudahkan dalam memahami topik ini.
latihan topikal-garis-dan-sudut-ii dalam bentuk subjektif yang menguji minda dalam topik ini.Jawapan disediakan dengan tepat dan betul sekali.Memudahkan dalam memahami topik ini.
Some types of matrices, Eigen value , Eigen vector, Cayley- Hamilton Theorem & applications, Properties of Eigen values, Orthogonal matrix , Pairwise orthogonal, orthogonal transformation of symmetric matrix, denationalization of a matrix by orthogonal transformation (or) orthogonal deduction, Quadratic form and Canonical form , conversion from Quadratic to Canonical form, Order, Index Signature, Nature of canonical form.
June 3, 2024 Anti-Semitism Letter Sent to MIT President Kornbluth and MIT Cor...Levi Shapiro
Letter from the Congress of the United States regarding Anti-Semitism sent June 3rd to MIT President Sally Kornbluth, MIT Corp Chair, Mark Gorenberg
Dear Dr. Kornbluth and Mr. Gorenberg,
The US House of Representatives is deeply concerned by ongoing and pervasive acts of antisemitic
harassment and intimidation at the Massachusetts Institute of Technology (MIT). Failing to act decisively to ensure a safe learning environment for all students would be a grave dereliction of your responsibilities as President of MIT and Chair of the MIT Corporation.
This Congress will not stand idly by and allow an environment hostile to Jewish students to persist. The House believes that your institution is in violation of Title VI of the Civil Rights Act, and the inability or
unwillingness to rectify this violation through action requires accountability.
Postsecondary education is a unique opportunity for students to learn and have their ideas and beliefs challenged. However, universities receiving hundreds of millions of federal funds annually have denied
students that opportunity and have been hijacked to become venues for the promotion of terrorism, antisemitic harassment and intimidation, unlawful encampments, and in some cases, assaults and riots.
The House of Representatives will not countenance the use of federal funds to indoctrinate students into hateful, antisemitic, anti-American supporters of terrorism. Investigations into campus antisemitism by the Committee on Education and the Workforce and the Committee on Ways and Means have been expanded into a Congress-wide probe across all relevant jurisdictions to address this national crisis. The undersigned Committees will conduct oversight into the use of federal funds at MIT and its learning environment under authorities granted to each Committee.
• The Committee on Education and the Workforce has been investigating your institution since December 7, 2023. The Committee has broad jurisdiction over postsecondary education, including its compliance with Title VI of the Civil Rights Act, campus safety concerns over disruptions to the learning environment, and the awarding of federal student aid under the Higher Education Act.
• The Committee on Oversight and Accountability is investigating the sources of funding and other support flowing to groups espousing pro-Hamas propaganda and engaged in antisemitic harassment and intimidation of students. The Committee on Oversight and Accountability is the principal oversight committee of the US House of Representatives and has broad authority to investigate “any matter” at “any time” under House Rule X.
• The Committee on Ways and Means has been investigating several universities since November 15, 2023, when the Committee held a hearing entitled From Ivory Towers to Dark Corners: Investigating the Nexus Between Antisemitism, Tax-Exempt Universities, and Terror Financing. The Committee followed the hearing with letters to those institutions on January 10, 202
Model Attribute Check Company Auto PropertyCeline George
In Odoo, the multi-company feature allows you to manage multiple companies within a single Odoo database instance. Each company can have its own configurations while still sharing common resources such as products, customers, and suppliers.
Synthetic Fiber Construction in lab .pptxPavel ( NSTU)
Synthetic fiber production is a fascinating and complex field that blends chemistry, engineering, and environmental science. By understanding these aspects, students can gain a comprehensive view of synthetic fiber production, its impact on society and the environment, and the potential for future innovations. Synthetic fibers play a crucial role in modern society, impacting various aspects of daily life, industry, and the environment. ynthetic fibers are integral to modern life, offering a range of benefits from cost-effectiveness and versatility to innovative applications and performance characteristics. While they pose environmental challenges, ongoing research and development aim to create more sustainable and eco-friendly alternatives. Understanding the importance of synthetic fibers helps in appreciating their role in the economy, industry, and daily life, while also emphasizing the need for sustainable practices and innovation.
Macroeconomics- Movie Location
This will be used as part of your Personal Professional Portfolio once graded.
Objective:
Prepare a presentation or a paper using research, basic comparative analysis, data organization and application of economic information. You will make an informed assessment of an economic climate outside of the United States to accomplish an entertainment industry objective.
Palestine last event orientationfvgnh .pptxRaedMohamed3
An EFL lesson about the current events in Palestine. It is intended to be for intermediate students who wish to increase their listening skills through a short lesson in power point.
Read| The latest issue of The Challenger is here! We are thrilled to announce that our school paper has qualified for the NATIONAL SCHOOLS PRESS CONFERENCE (NSPC) 2024. Thank you for your unwavering support and trust. Dive into the stories that made us stand out!
The Roman Empire A Historical Colossus.pdfkaushalkr1407
The Roman Empire, a vast and enduring power, stands as one of history's most remarkable civilizations, leaving an indelible imprint on the world. It emerged from the Roman Republic, transitioning into an imperial powerhouse under the leadership of Augustus Caesar in 27 BCE. This transformation marked the beginning of an era defined by unprecedented territorial expansion, architectural marvels, and profound cultural influence.
The empire's roots lie in the city of Rome, founded, according to legend, by Romulus in 753 BCE. Over centuries, Rome evolved from a small settlement to a formidable republic, characterized by a complex political system with elected officials and checks on power. However, internal strife, class conflicts, and military ambitions paved the way for the end of the Republic. Julius Caesar’s dictatorship and subsequent assassination in 44 BCE created a power vacuum, leading to a civil war. Octavian, later Augustus, emerged victorious, heralding the Roman Empire’s birth.
Under Augustus, the empire experienced the Pax Romana, a 200-year period of relative peace and stability. Augustus reformed the military, established efficient administrative systems, and initiated grand construction projects. The empire's borders expanded, encompassing territories from Britain to Egypt and from Spain to the Euphrates. Roman legions, renowned for their discipline and engineering prowess, secured and maintained these vast territories, building roads, fortifications, and cities that facilitated control and integration.
The Roman Empire’s society was hierarchical, with a rigid class system. At the top were the patricians, wealthy elites who held significant political power. Below them were the plebeians, free citizens with limited political influence, and the vast numbers of slaves who formed the backbone of the economy. The family unit was central, governed by the paterfamilias, the male head who held absolute authority.
Culturally, the Romans were eclectic, absorbing and adapting elements from the civilizations they encountered, particularly the Greeks. Roman art, literature, and philosophy reflected this synthesis, creating a rich cultural tapestry. Latin, the Roman language, became the lingua franca of the Western world, influencing numerous modern languages.
Roman architecture and engineering achievements were monumental. They perfected the arch, vault, and dome, constructing enduring structures like the Colosseum, Pantheon, and aqueducts. These engineering marvels not only showcased Roman ingenuity but also served practical purposes, from public entertainment to water supply.
Biological screening of herbal drugs: Introduction and Need for
Phyto-Pharmacological Screening, New Strategies for evaluating
Natural Products, In vitro evaluation techniques for Antioxidants, Antimicrobial and Anticancer drugs. In vivo evaluation techniques
for Anti-inflammatory, Antiulcer, Anticancer, Wound healing, Antidiabetic, Hepatoprotective, Cardio protective, Diuretics and
Antifertility, Toxicity studies as per OECD guidelines
The French Revolution, which began in 1789, was a period of radical social and political upheaval in France. It marked the decline of absolute monarchies, the rise of secular and democratic republics, and the eventual rise of Napoleon Bonaparte. This revolutionary period is crucial in understanding the transition from feudalism to modernity in Europe.
For more information, visit-www.vavaclasses.com
Unit 8 - Information and Communication Technology (Paper I).pdfThiyagu K
This slides describes the basic concepts of ICT, basics of Email, Emerging Technology and Digital Initiatives in Education. This presentations aligns with the UGC Paper I syllabus.
Unit 8 - Information and Communication Technology (Paper I).pdf
Matriks
1. 1
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
NAMA KURSUS : MATEMATIK
SEMESTER : 4
UNIT 3.0 : MATRIKS
Dalam unit ini anda akan pelajari :
3.1 Apa itu matriks
- 3.1.1 Mewakilkan maklumat situasi sebenar dalam bentuk matriks.
- 3.1.2 Menentukan peringkat matriks dan seterusnya mengenalpasti unsur tertentu dalam
suatu matriks.
-3.1.3 Menentukan sama ada dua matriks adalah sama.
3.2 Operasi Asas Matriks
- 3.2.1 Menambah dan menolak matriks.
- 3.2.2 Mendarab matriks dengan suatu nombor.
- 3.2.3 Mendarab dua matriks.
-3.2.4 Menerangkan ciri-ciri matriks identity
-3.2.5 Menerangkan maksud matriks songsang dan seterusnya menentukan matriks songsang
bagi suatu matriks 2 × 2.
-3.2.6 Menggunakan kaedah matriks untuk menyelesaikan persamaan linear serentak.
-3.2.7 Menyelesaikan masalah yang melibatkan matriks.
2. 2
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.1 PENGENALAN MATRIKS
3.1.1 MEWAKILKAN MAKLUMAT SITUASI SEBENAR DALAM BENTUK MATRIKS.
Pengenalan
Contoh (i) :
Jadual di bawah menunjukkan markah yang diperolehi oleh tiga orang murid dalam ujian Bahasa
Melayu dan Sejarah.
Pelajar / Subjek Bahasa Melayu Sejarah
Ahmad 90 76
Selva 88 82
Chong 86 79
Kita boleh menyusun maklumat berangka di atas dalam bentuk tanda kurungan,
(
90 76
88 82
86 79
) dengan meninggalkan maklumat lain.
Nombor-nombor yang disusun dalam bentuk baris dan lajur untuk membentuk satu
tatasusunan segi empat tepat dinamakan matriks.
Contoh (ii) :
Bilangan pelajar bagi tiga program adalah seperti berikut ;
Program 1SVM CTP : 18 lelaki, 12 perempuan
Program 1SVM MPP : 24 lelaki, 6 perempuan
Program 1SVM BKP : 0 lelaki, 25 perempuan
Susun maklumat yang diberi dalam bentuk jadual, seterusnya tulis maklumat berangka ini dalam
bentuk matriks.
Penyelesaian
Program/Jantina Lelaki Perempuan
CTP 18 12
MPP 24 6
BKP 0 25
(
𝟏𝟖 𝟏𝟐
𝟐𝟒 𝟔
𝟎 𝟐𝟓
)
3. 3
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.1.1
1. Jadual di bawah menunjukkan pungutan pingat dalam sukan SEA XXI bagi tiga buah negara yang
mendapat bilangan pingat yang paling banyak.
Pingat/Negara Emas Perak Gangsa
Malaysia 111 75 85
Thailand 103 86 89
Indonesia 72 74 80
Bentukkan satu matriks daripada maklumat di atas.
2. Rajah di bawah menunjukkan satu carta bar yang menggambarkan bilangan pekerja lelaki dan
perempuan dalam tiga jabatan di Syarikat Air Sejahtera.
Tuliskan satu matriks daripada maklumat dalam carta bar di atas.
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
Pentadbiran Pengeluaran Pemasaran
Bilangan pekerja
Lelaki Perempuan
Jabatan
4. 4
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.1.2 CIRI-CIRI MATRIKS
3.1.2 (a) Peringkat matriks
Perhatikan matriks berikut : lajur 1 lajur 2
(
2 3
4 5
6 7
)
Matriks ini mempunyai 3 baris dan 2 lajur.
Matriks yang mempunyai 𝒎 baris dan 𝒏 lajur dikenali sebagai matriks peringkat 𝒎 × 𝒏.
Peringkat matriks di atas ialah 3 × 2, dibaca sebagai matriks 3 dengan 2.
Matriks yang mempunyai bilangan baris yang sama dengan bilangan lajur dinamakan
matris segi empat sama.
Contoh :
(
9 0
4 −2
)
Matriks yang mempunyai hanya satu baris dinamakan matriks baris.
Contoh :
(3 2 7)
Matriks yang mempunyai hanya satu lajur dinamakan matriks lajur.
Contoh :
(
8
3
10
)
baris 1
baris 2
baris 3
5. 5
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.1.2 (a)
1. Salin dan lengkapkan jadual berikut.
Matriks
(−2 0 5) (
3
−4
) (
6 7
−3 0.5
) (
4 1 3
2 8 5
)
(
7 0 0
0 8 0
0 0 9
)
(8)
Bilangan baris
Bilangan lajur
Peringkat
2. Bagi setiap matriks yang berikut, nyatakan bilangan baris, bilangan lajur dan peringkat matriks.
(a) (
18
−66
) (b) (
𝑝 𝑞
2𝑟 𝑠
) (c) (
5 7 1
1 2 0
6 −8 9
) (d) (𝑥 2𝑥)
3. Kategorikan setiap matriks berikut kepada matriks baris, matriks lajur dan matriks segi empat sama.
(a) (
6
1
2
) (b) (−7 0.8) (c) (57) (d) (
1 0
5 8
)
(e) (
3
−7
) (f) (
4 −7 2
1 0 −6
−1 5 3
) (g) (7 8
1
2
) (h) (
3 4 8
2 5 9
)
4. Tuliskan satu matriks bagi setiap peringkat yang berikut.
(a) 1 × 1 (b) 2 × 1 (c) 3 × 2 (d) 2 × 3
6. 6
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Setiap nombor dalam suatu matriks dinamakan unsur bagi matriks itu.
(
4 7 6
8 9 2
) mempunyai 6 unsur, iaitu 4, 7, 6, 8, 9 dan 2.
Suatu matriks peringkat 𝑚 × 𝑛 mempunyai 𝑚𝑛 unsur.
Peringkat matriks (
4 7 6
8 9 2
) ialah 2 × 3.
Bilangan unsur matriks (
4 7 6
8 9 2
) ialah 6.
Suatu matriks biasanya diwakili oleh satu huruf besar manakala setiap unsur diwakili oleh
huruf kecil.
Kedudukan sesuatu unsur dalam suatu matriks ditunjukkan dengan menggunakan dua
subskrip, satu mewakili baris dan satu mewakili lajur.
Contoh : 𝑃 = (
5 1 2
4 0 6
)
𝑝11 = 5 𝑝12 = 2 𝑝13 = 2 𝑝21 = 4 𝑝22 = 0 𝑝23 = 6
Secara amnya, 𝒑𝒊𝒋 ialah unsur matriks 𝑷 pada baris ke-𝒊 dan lajur ke-𝒋 .
3.1.2 (b) Unsur dalam matriks
Barisan
pertama
Lajur
pertama
Barisan
kedua
Lajur
pertama
7. 7
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.1.2 (b)
1. Diberi 𝑀 = (
2 7 5
−1 0 4
6 3 −9
) , nyatakan unsur pada
(a) baris kedua dan lajur ketiga
(b) baris pertama dan lajur kedua
(c) baris ketiga dan lajur pertama
2. Diberi 𝐴 = (
6 3
−7 0.5
5 −8
) dan 𝑎𝑖𝑗 ialah unsur bagi matriks 𝐴. Nyatakan
(a) 𝑎12
(b) 𝑎31
(c) 𝑎22
(d) 𝑎32
3. Diberi 𝑃 = (
3
1
3
−0.9
−4 4 6.1
) dan 𝑝𝑖𝑗 ialah unsur bagi matriks 𝑃.
Carikan nilai bagi
(a) 𝑝11 + 𝑝22
(b) 𝑝21 + 𝑝12
(c) 𝑝23 + 𝑝13
4. Diberi 𝑄 = (
4 𝑥 + 1
2 − 𝑦 6
−5 𝑦 − 9
) dan 𝑞𝑖𝑗 ialah unsur bagi matriks 𝑄.
Carikan nilai bagi
(a) 𝑥 jika 𝑞22 = 𝑞12 − 𝑞11
(b) 𝑦 jika 𝑞21 = 𝑞31 + 𝑞32
8. 8
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.1.3 MATRIKS SAMA
Dua matriks yang sama mempunyai peringkat yang sama dan setiap unsur sepadannya sama.
Contoh :
Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut adalah sama atau tidak.
𝐴 = (
5 4
−1 0
) 𝐵 = (
5 0
−1 4
) 𝐶 = (2 9) (𝐷 =
2
9
) 𝐸 = (
4
1
2
5 −3
2 0.7
) 𝐹 = (
4 0.5
5 −3
2
7
10
)
Penyelesaian :
Matriks 𝐴 ≠ Matriks 𝐵 kerana unsur sepadan tidak sama.
Matriks 𝐶 ≠ Matriks 𝐷 kerana peringkat tidak sama
Matriks 𝐸 = Matriks 𝐹 kerana kedua-duanya mempunyai peringkat matriks yang sama dan unsur
sepadan yang sama.
Latihan 3.1.3 (a)
1. Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut adalah sama atau tidak.
(a) 𝐹 = (
1
2
5
), 𝐺 = (1 2 5) (b) 𝐻 = (
1 3
−7 8
) , 𝑇 = (
1 3
−7 8
)
(c) 𝐽 = (
1 0
0 1
) , 𝐾 = (
1
1
) (d) 𝐿 = (
4 2 8
−1 5 −3
) , 𝑀 = (
4 2 8
−1 5 −3
)
2. Diberi 𝐴 = (
1 3
1
2
4) , 𝐵 = (6 4), 𝐶 = (
1 1
1
2
0.1 −5
4 2
) , 𝐷 = (
4
6
), 𝐸 = (
3
2
5
6
7
2
−1 4
)
𝐹 = (
1 3
0.5 4
), 𝐺 = (
6
4
) , 𝐻 = (
3 0.4 6
3.5 −1 4
) , 𝐼 = (
1 1.5
1
10
−5
4 2
).
Nyatakan semua pasangan matriks yang sama.
3.1.3 (a) Ciri-ciri matriks sama
9. 9
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Diberi bahawa matriks 𝐴 = (
𝑥 2 5
4 −1 6
) dan 𝐵 = (
−3 2 5
4 𝑥 + 𝑦 6
) dan Matriks 𝐴 = Matriks 𝐵.
Nilai unsur yang tidak diketahui dalam dua matriks sama di atas boleh diperolehi dengan menyamakan
nilai unsur yang sepadan.
Bagi Matriks 𝐴, 𝑎11 = 𝑥
Bagi Matriks 𝐵, 𝑏11 = −3 Oleh itu 𝑥 = −3
Bagi Matriks 𝐴, 𝑎22 = −1
Bagi Matriks 𝐵, 𝑏22 = 𝑥 + 𝑦 Oleh itu 𝑥 + 𝑦 = −1
−3 + 𝑦 = −1
𝑦 = −1 + 3
𝑦 = 2
Latihan 3.1.3
1. Bagi setiap pasangan matriks yang sama, tentukan nilai 𝑥 dan nilai 𝑦.
(a) (𝑥 4) = (5 𝑦) (b) (
2
𝑥
0.7
) = (
2
−6
𝑦
)
(c) (
3 −1
−7 𝑦
) = (
3 𝑥
−7 9
)
(d) (
1 𝑥 + 2
𝑥 2𝑦
) = (
1 5
𝑦 + 6 2𝑦
)
(e) (
2 0
3 + 𝑥 −3
8 6
) = (
2 0
𝑦 −3
8 𝑥
)
(f) (
−5 8 − 𝑥 4
1
2
1.5 2𝑦
)=(
−5 𝑥 4
1
2
1.5 𝑦 + 𝑥
)
3.1.3 (b) Penentuan nilai unsur dalam dua matriks sama
10. 10
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2 OPERASI ATAS MATRIKS
3.2.1(a) MENAMBAH DAN MENOLAK MATRIKS
* Penambahan dan penolakan dua matriks hanya boleh dilakukan jika kedua-dua matriks itu
mempunyai peringkat yang sama.
Contoh :
(a) (
1
7
) dan (
8
2
) boleh ditambah atau ditolak kerana mempunyai peringkat yang sama
(b) (2 1 4) dan (6 −2) tidak boleh ditambah atau ditolak kerana mempunyai peringkat yang
berbeza.
* Penambahan atau penolakan dua matriks yang sama peringkat merupakan pembentukan satu matriks
yang setiap unsurnya adalah hasil tambah atau hasil tolak unsur yang sepadan dalam dua matriks
berkenaan.
Contoh :
(a) (
1
2
) + (
2
5
) = (
1 + 2
2 + 5
) = (
3
7
)
(b) (
−1 2
3 5
) − (
−6 7
−8 9
) = (
−1 − (−6) 2 − 7
3 − (−8) 5 − 9
) = (
5 −5
11 −5
)
(c) (
2 7
−1 5
) + (
−3 2
−4 3
) − (
−8 6
5 −1
) mulakan perhitungan dari kiri ke kanan
= (
2 + (−3) 7 + 2
−1 ± (−4) 5 + 3
) − (
−8 6
5 −1
)
= (
−1 9
−5 8
) − (
−8 6
5 −1
)
= (
7 3
−10 9
)
* Sekiranyan matriks 𝑀 ditambah atau ditolak dengan matriks sifar hasil penambahan atau penolakan
ialah matriks 𝑀.
Contoh :
(a) (
5 8
2 3
) + (
0 0
0 0
) = (
5 8
2 3
)
(b) (
−9
7
) − (
0
0
) = (
−9
7
)
13. 13
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
5. Anna, Bee dan Chin bekerja sebagai jurutera dalam sebuah kilang elektronik yang mengeluarkan
ketuhar. Jadual berikut menunjukkan bilangan unit ketuhar yang tidak dapat berfungsi yang telah
dianalisis dan dibaiki oleh mereka dalam dua bulan yang berturutan mengikut jenis kecacatan.
Bilangan unit Januari Februari
Jenis
kecacatan
Analisis Baiki Analisis Baiki
Anna Bee Chin Anna Bee Chin Anna Bee Chin Anna Bee Chin
Fizikal 14 8 4 10 4 0 10 8 6 9 7 0
Mekanikal 12 12 8 12 10 6 9 5 18 9 3 9
Elektrikal 8 2 4 2 0 3 1 2 4 0 1 3
Tuliskan satu matriks yang menunjukkan jumlah ketuhar yang belum dibaiki oleh mereka mengikut
jenis kecacatan dalam dua bulan tersebut.
14. 14
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.1(b) PENENTUAN NILAI UNSUR DALAM PERSAMAAN MATRIKS
Nilai unsur yang tidak diketahui dalam suatu persamaan matriks yang melibatkan operasi tambah dan
tolak boleh ditentukan dengan mengikut langkah-langkah berikut.
(a) Ringkaskan persamaan matriks dengan menjalankan operasi tambah atau tolak sehingga
memperolehi dua matriks yang sama.
(b) Samakan unsur yang sepadan dalam dua matriks yang sama itu.
(c) Selesaikan persamaan yang diperolehi.
Contoh :
(
𝑥
5
) − (
5
−4
) = (
2
3𝑦
)
(
𝑥 − 5
5 − (−4)
) = (
2
3𝑦
)
𝑥 − 5 = 2 5 − (−4) = 3𝑦
𝑥 = 7 9 = 3𝑦
𝑦 = 3
Latihan 3.2.1 (b)
1. Carikan nilai 𝑥 dan nilai 𝑦 dalam setiap persamaan matriks berikut.
(a) (
𝑥
4
) + (
2
𝑦
) = (
3
−1
)
(b) (
5
𝑦
) = (
𝑥
3𝑦) − (
7
6
)
(c) (2𝑥 5) − (3 𝑦) = (1 −2)
(d) (
3 4
𝑦 −1
) + (
𝑥 5
6 −3
) = (
8 9
2𝑦 −4
)
18. 18
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
(c) Jadual di bawah menunjukkan harga jualan untuk beberapa jenis barangan di Pasar Raya Afifah
dan The Store. Diketahui keuntungan yang diperolehi daripada jualan setiap barangan ialah 20%
harga jualan.
Pasar Raya / Barangan Afifah (RM) The Store (RM)
Periuk 29.90 32.00
Rak pinggan 69.90 64.00
Senduk 15.90 16.00
Hitungkan harga asal setiap barangan, seterusnya tulis dalam bentuk matriks.
Penyelesain
Harga asal = Harga jualan – Keuntungan
= Harga jualan − 20% Harga jualan
= 80% Harga jualan
Maka, harga asal =
80
100
× (
29.90 32.00
69.90 64.00
15.90 16.00
)
= (
23.92 25.60
55.92 51.20
12.72 12.80
)
Latihan 3.2.2(a)
1. Carikan hasil darab bagi setiap yang berikut.
(a) 2 (
4
3
) (b) 3(
1
−2
4
)
(c) 5 (
4 −3
−1 7
) (d)
1
2
(12 −18 8)
19. 19
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
2. Diberi 𝑃 = (
4 −2
6 8
) dan 𝑄 = (
9 0 3
−6 3 −12
15 −18 6
). Kirakan
(a) 3𝑃
(b) −
1
2
𝑃
(c) −2𝑄
(d)
1
3
𝑄
3. Jadual dibawah menunjukkan bilangan litar bersepadu yang dapat dihasilkan oleh tiga mesin
dalam masa semini di sebuah kilang semikonduktor.
Mesin Bilangan litar bersepadu
(unit/minit)
I 5
II 3
III 2
Tuliskan satu matriks untuk mencari jumlah litar bersepadu yang dihasilkan oleh setiap mesin itu
dalam masa 1 jam. Seterusnya, kirakan jumlah litar bersepadu yang dihasilkan oleh tiga mesin itu
dalam 1 jam.
4. Lengkapkan setiap persamaan matriks yang berikut.
(a) (
6
15
) = 3 ( )
(b) (10 −35 20) = 5( )
(c) (
28 63
−42 −14
) = 7 ( )
(d) (
0.3 −0.5
0.9 1.1
0.4 −0.1
) =
1
10
( )
21. 21
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.2 (c)
1. Carikan nilai 𝑥 dan nilai nilai 𝑦 dalam setiap persamaan matriks yang berikut.
(a) 4 (
𝑥
𝑦) = (
−12
2
) (b)
1
2
(8 𝑦) = (𝑥 −3)
2. Selesaikan setiap persamaan matriks berikut.
(a) (
𝑥
𝑦) − 2 (
𝑦
−1
) = (
3
𝑥
) (b) 4 (
𝑘 −1
3 𝑚
) + (
7 𝑚
2 𝑛
) = 2 (
5 1
7 9
)
3. Diberi 𝐴 = (
𝑎 2
6 𝑏
) , 𝐵 = (
1 𝑐
𝑑 −2
) dan 𝐶 = (
5 6
2 7
).
Carikan nilai bagi 𝑎, 𝑏, 𝑐 dan 𝑑 dalam setiap kes berikut.
(a) 𝐴 + 𝐵 = 2𝐶 (b) 𝐴 − 3𝐵 = 𝐶
(c) 2𝐴 + 3𝐵 = 4𝐶
22. 22
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.3 MENDARAB DUA MATRIKS
3.2.3 (a) CIRI-CIRI MATRIKS DALAM PENDARABAN DUA MATRIKS
Dua matriks hanya boleh didarab jika bilangan lajur matriks pertama sama dengan bilangan
baris matriks kedua
Peringkat matriks yang terhasil
= bilangan baris matriks pertama × bilangan lajur matriks kedua
Contoh :
Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut boleh didarab atau tidak. Jika boleh, nyatakan
peringkat bagi matriks hasil darab itu.
(a) (3 4) (
1 7
5 6
)
Peringkat matriks pertama = 1 × 2 1 × 2 2 × 2
Peringkat matriks kedua = 2 × 2
SAMA
(oleh itu kedua-dua matriks ini BOLEH didarab)
𝟏 × 2 2 × 𝟐
Peringkat matriks hasil darab ialah 𝟏 × 𝟐
(b) (
2 1
6 3
) (2 5)
Peringkat matriks pertama = 2 × 2 2 × 2 1 × 2
Peringkat matriks kedua = 1 × 2
TIDAK SAMA
(oleh itu kedua-dua matriks ini TIDAK boleh didarab)
23. 23
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.3 (a)
1. Tentukan sama ada setiap pasangan matriks berikut boleh didarab atau tidak. Jika boleh, nyatakan
peringkat matriks hasil darabnya.
(a) (1 0)(2 7) (b) (
3
6
) (4 −1)
(c) (
2
3
) (
1
5
) (d) (6 −1) (
5
−2
)
(e ) (
1 2
2 6
)(
7
8
) (f) (
1 2 3
4 5 6
) (
1
3
8
)
2. Diberi 𝐴 = (2 3), 𝐵 = (
1
5
) , 𝐶 = (
2 6
7 10
) dan 𝐷 = (
1 2
3 4
5 6
).
Tentukan sama ada setiap pendaraban dua matriks yang berikut dapat dilakukan atau tidak. Jika boleh,
nyatakan peringkat matriks hasil daripada pendaraban itu.
(a) 𝐴𝐵 (b) 𝐵𝐴
(c) 𝐴𝐶 (d) 𝐶𝐷
(e ) 𝐵𝐷 (f) 𝐷𝐶
24. 24
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.3 (b) HASIL DARAB DUA MATRIKS
Hasil darab suatu matriks 𝑚 × 𝑛 dengan suatu matriks 𝑛 × 𝑝 adalah suatu matriks 𝑚 × 𝑝 yang
unsurnya dibaris 𝑖 dan lajur 𝑗 merupakan hasil tambah semua hasil darab antara unsur yang sepadan di
baris 𝑖 bagi matriks pertama dan lajur 𝑗 bagi matriks kedua.
Contoh :
(
1 2
3 4
) (
5
6
)
Cara (i)
– Tentukan peringkat matriks bagi matriks pertama dan kedua
2 × 2 dan 2 × 1
− Tentukan peringkat matriks hasil darab kedua-dua matriks di atas
2 × 2 2 × 1
Peringkat matriks hasil darab ialah 2 × 1 (dua baris dan satu lajur)
(
𝐵1𝐿1
𝐵2𝐿1
)
− Konsep pendaraban matriks ialah , baris matriks pertama didarabkan dengan lajur matriks kedua.
𝐵1 1 2 5 = 1 × 5 + 2 × 6 = 17
𝐵2 3 4 6 3× 5 + 4 × 6 39
𝐿1
Maka ,
(
1 2
3 4
) (
5
6
) = (
17
39
)
25. 25
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Cara (ii)
− Susun supaya matriks pertama diletakkan di bahagian kiri dan bawah, matriks kedua diletakkan di
bahagian kanan dan atas.
(
5
6
)
(
1 2
3 4
)
− Buat garisan secara melintang bagi matriks pertama dan secara menegak bagi matriks kedua.
(
5
6
)
(
1 2
3 4
)
− Dua titik persilangan yang terhasil daripada kedua-dua matriks di atas menunjukkan dua unsur
bagi matriks hasil darab. Seterusnya, lakukan pendaraban antara baris matriks pertama dan lajur
bagi matriks kedua.
(
5
6
)
(
1 2
3 4
) 1× 5 + 2 × 6 = (
17
39
)
3 × 5 + 4 × 6
26. 26
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.3 (b) Hasil Darab Dua Matriks
1. Cari hasil darab bagi setiap yang berikut.
(a) (2 8) (
3
1
) (b) (−2 6) (
4
3
)
(c ) (1 3 7)(
4
−5
2
) (d) (
6
0
5
) (2 −1 3)
(e ) (
2 1
3 2
)(
4
1
) (f) (
−5 3
4 0
) (
2
6
)
(g) (−2 6)(
0 −1
3 4
) (h) (
4 −3
5 6
) (
−2 −1
5 2
)
27. 27
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
2. Diberi 𝑃 = (
4 1
2 8
), 𝑄 = (
−1 2 1
5 3 4
), 𝑅 = (
−2
3
) dan 𝑆 = (
6
−4
1
).
Carikan hasil darab setiap yang berikut.
(a) 𝑃𝑅 (b) 𝑃𝑄 (c ) 𝑄𝑆 (d) 𝑃2
Penyelesaian :
28. 28
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3. Jadual (i) menunjukkan markah yang diperolehi oleh Fatihah dan Nadia dalam ujian Sejarah
kertas 1 dan kertas 2.
Nama pelajar/Markah Kertas 1 Kertas 2
Fatihah 70 60
Nadia 80 65
Jadual (i)
Jadual (ii) menunjukkan pemberatan yang diberikan kepada setiap kertas.
Kertas Pemberatan
Kertas 1 0.4
Kertas 2 0.6
Jadual (ii)
(a) Bentukkan dua matriks berdasarkan maklumat dalam jadual-jadual yang diberi.
(b) Hitungkan markah Sejarah Fatihah dan Nadia.
Penyelesaian :
29. 29
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.3 (c) Penentuan Nilai Unsur Dalam Persamaan Matriks
1. Selesaikan setiap persamaan matriks yang berikut.
(a) (−𝑝 3)(
4 1
𝑝 3
) = (−2 7)
(b) (2𝑘 3𝑘) (
2
7
) = (10)
(b) (
𝑥 1
−2 𝑦
)(
2 4
8 −12
) = (
9 11
8 −12
)
2. Jika 𝑃 = (
2 𝑘
3 1
), 𝑄 = (
2 −7
3 ℎ
) dan 𝑃𝑄 = (
16 18
9 −13
), carikan nilai ℎ dan 𝑘.
30. 30
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.4 MATRIKS IDENTITI
*Simbol matriks identity ialah 𝐼.
*Matriks identiti, 𝐼 apabila didarabkan dengan sebarang matriks, 𝐴 akan menghasilkan matriks 𝐴.
𝐼𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴
*Matriks identiti untuk matriks 1 × 1, 2 × 2 dan 3 × 3 masing-masing ialah (1), (
1 0
0 1
) dan
(
1 0 0
0 1 0
0 0 1
)
Semua unsur pada pepenjuru utama adalah 1 dan semua unsur lain ialah 0.
Latihan 3.2.4 Pengiraan Yang Melibatkan Matriks Identiti
1. Permudahkan setiap yang berikut.
(a) (
5 6
7 8
) (
1 0
0 1
) − (
2 3
1 5
)
(b) (
1 0
0 1
) (
3 4
4 3
) − (
2 −1
3 −2
) (
1 0
0 1
)
(c ) (
−2 3
9 −4
) + (
1 0
0 1
) (
7 −1
−5 6
)
2. Diberi 𝐼 = (
1 0
0 1
) , 𝐾 = (
2 4
3 −1
) dan 𝐿 = (
5 6
−2 1
). Ungkapkan berikut sebagai matriks
tunggal.
(a) 𝐼𝐾 + 𝐿
(b) 𝐾 − 𝐼𝐿
(c) 𝐾𝐼𝐿
31. 31
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
𝐴 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) 𝐴−1
=
1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
(
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
)
3.2.5 MATRIKS SONGSANG
- Dalam pendaraban dua matriks 𝐴 dan 𝐵, jika 𝐴𝐵 = 𝐼 dan 𝐵𝐴 = 𝐼, maka 𝐵 ialah matriks
songsang bagi 𝐴 dan 𝐴 ialah matriks songsang bagi 𝐵.
- Jika matriks 𝐴 = (
𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) , maka songsang bagi 𝐴, 𝐴−1
boleh dicari dengan menggunakan
rumus :
1
𝑎𝑑 − 𝑏𝑐
(
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
)
* 𝐴−1
ialah matriks songsang bagi 𝐴
* 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 dikenali sebagai penentu
* Syarat : 𝑎𝑑 − 𝑏𝑐 ≠ 0
Contoh :
Matriks 𝐴 = (
5 6
7 8
)
Songsang 𝐴, 𝐴−1
=
1
5×8−6×7
(
8 −6
−7 5
)
=
1
−2
(
8 −6
−7 5
)
= −
1
2
(
8 −6
−7 5
) = (
−4 3
7
2
−
5
2
)
5 6 5 6
7 8 tukar tempat 7 8 tukar tanda
32. 32
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.5
1. Tentukan sama ada matriks 𝐵 ialah matriks songsang bagi matriks 𝐴 atau tidak.
(a) 𝐴 = (
6 5
2 2
), 𝐵 = (
2 −5
−2 6
)
(b) 𝐴 = (
−8 −3
11 4
) , 𝐵 = (
4 3
−11 −8
)
2. Cari matriks songsang bagi setiap matriks berikut menggunakan rumus.
(a) (
−3 −2
3 1
) (b) (
5 4
2 2
)
(c) (
3 −1
4 2
) (d) (
5 −4
−9 8
)
33. 33
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3. Hitungkan nilai 𝑥 jika setiap matriks berikut tidak mempunyai matriks songsang.
(a) (
𝑥 6
2 3
)
(b) (
8 1
−6 𝑥
)
(c) (
4 3
2𝑥 −9
)
4. (a) Diberi 𝑃 = (
15 11
4 3
), carikan 𝑃−1
.
(b) Diberi 𝑄 = (
−1 2
1 1
), carikan 𝑄−1
.
(c) Diberi 𝑅 = (
−7 −14
3 𝑘
), carikan nilai 𝑘 jika 𝑅−1
tidak wujud.
38. 38
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
3.2.7 PENYELESAIN MASALAH
Kaedah penyelesaian persamaan serentak boleh digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam
kehidupan seharian. Kebanyakan masalah dalam kajian Sains dan Matematik boleh diterjemahkan ke
dalam bentuk persamaan linear serentak yang boleh diselesaikan dengan kaedah matriks.
Contoh :
Sebuah kedai roti mengeluarkan 2000 buku roti seminggu. 900 daripadanya roti berperisa jagung
dengan setiap satu memerlukan 100 g tepung, 50 g marjerin dan 20 g gula manakala yang lainnya
pula roti berperisa pandan dengan setiap satu memerlukan 120 g tepung, 40 g marjerin dan 15 g gula.
Diberi bahawa harga sekilogram tepung, marjerin dan gula masing-masing ialah RM1.20, RM8.00
dan RM1.30, bentukkan tiga matriks berdasarkan maklumat di atas. Hitungkan jumlah kos
pengeluaran roti dalam seminggu dengan kaedah matriks.
Penyelesaian
Jadual maklumat adalah seperti berikut :
Kuantiti Bahan (kg) Bilangan
Tepung Marjerin Gula
Roti berperisa jagung
Roti berperisa pandan
0.10 0.05 0.020
0.12 0.04 0.015
900
1100
Harga/kg (sen) 120 800 130
Matriks (
0.1 0.05 0.020
0.12 0.04 0.015
) mewakili jisim ramuan.
Matriks (
120
800
130
) mewakili harga seunit ramuan.
Jumlah kos pengeluaran roti = (900 1100)(
0.1 0.05 0.020
0.12 0.04 0.015
)(
120
800
130
)
= (90 + 132 45 + 44 18 + 16.5) (
120
800
130
)
= (222 89 34.5) (
120
800
130
)
= (26 640 + 71 200 + 4485)
= 102 325 sen
Maka, jumlah kos ialah RM1023.25
39. 39
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
Latihan 3.2.7
Contoh (ii)
Sewaktu cuti sekolah, semua bilik Hotel Metro telah disewa. Diketahui bahawa hotel tersebut
mempunyai 400 buah bilik ;bilik standard disewa dengan harga RM170 sehari dan bilik deluxe
disewa dengan harga RM280 sehari. Jika jumlah sewa yang diperolehi sehari adalah RM76 800,
carikan bilangan setiap jenis bilik di Hotel Metro.
Penyelesaian
Katakan terdapat 𝑥 buah bilik standard dan 𝑦 buah bilik deluxe.
Maka, 𝑥 + 𝑦 = 400 (Jumlah bilangan bilik)
dan 170𝑥 + 280𝑦 = 76 800
Bentuk matriks , (
1 1
170 280
) (
𝑥
𝑦) = (
400
76800
)
(
𝑥
𝑦) =
1
280−170
(
280 −1
−170 1
)(
400
76800
)
=
1
110
(
35200
8800
)
= (
320
80
)
Maka, Hotel Metro mempunyai 320 buah bilik standard dan 80 buah bilik deluxe.
1. Selva membeli 𝑡 keping setem 15 sen dan 𝑝 keping setem 30 sen, manakala Li Yin pula membeli
𝑡 keping setem 20 sen dan 𝑝 keping setem 50 sen. Jika Selva dan Li Yin masing-masing membayar
RM6.00 dan RM9.50, carikan nilai 𝑡 dan 𝑝 dengan menggunakan kaedah matriks.
Penyelesaian
40. 40
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
2. Diberi perimeter sebuah bulatan sama dengan panjang lengkok suatu sukuan bulatan yang lain dan
jejari bulatan itu adalah 5 cm lebih pendek daripada jejari sukuan bulatan. Bentukkan dua persamaan
linear serentak, dan hitung jejari kedua-duanya dengan kaedah matriks.
41. 41
MATEMATIK
MATRIKS
SVM TAHUN 2
SEMESTER 4
PETA KONSEP
Matriks ialah nombor-nombor yang disusun
dalam baris dan lajur untuk membentuk satu
tatasusunan segi empat tepat.
Matriks yang mempunyai 𝑚 baris dan 𝑛 lajur
dikenali sebagai matriks peringkat 𝑚 × 𝑛
Matriks sama mempunyai peringkat yang sama
dan setiap unsur sepadan adalah sama
Penambahan atau
penolakan dua matriks
yang sama peringkat
sebagai pembentukan
satu matriks yang setiap
unsurnya merupakan
hasil tambah atau hasil
tolak unsur yang
sepadan dalam dua
matriks berkenaan
Hasil darab suatu matriks
𝑚 × 𝑛 dengan suatu
matriks 𝑛 × 𝑝 adalah
suatu matriks 𝑚 × 𝑝 yang
unsurnya di baris 𝑖 dan
dan lajur 𝑗 merupakan
hasil darab antara setiap
unsur yang sepadan di
baris 𝑖 bagi matriks
pertama dan lajur 𝑗 bagi
matriks kedua.
Pendaraban suatu matriks
dengan suatu nombor
sebagai pendaraban setiap
unsur matriks dengan
nombor berkenaan
Matriks songsang bagi
matriks 𝐴 ialah matriks 𝐵,
jika 𝐴𝐵 = 𝐼 dan 𝐵𝐴 = 𝐼 .
Ia boleh didapati melalui
dua kaedah :
Matriks Identiti, 𝑰
apabila didarabkan dengan
sebarang matriks 𝐴 akan
menghasilkan matriks 𝐴
𝐼𝐴 = 𝐴𝐼 = 𝐴
Kaedah penyelesaian
persamaan serentak
Kaedah rumus
𝐴 = (𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
)
𝐴
−1=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
(
𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
)
Penyelesaian persamaan linear serentak
(𝑎 𝑏
𝑐 𝑑
) (
𝑥
𝑦) = (ℎ
𝑘
)
(
𝑥
𝑦)=
1
𝑎𝑑−𝑏𝑐
( 𝑑 −𝑏
−𝑐 𝑎
)(ℎ
𝑘
)