Matematika afariste-ligjerata-5-11

5. NJEHSIMI I PERQINDJES DHE PROMILES
1. LLOGARITJET THEMELORE

1.1. Llogaritja e thjeshtë e përqindjes
Llogaritja e përqindjes praktikohet në përvojën afariste për krahasimin e
raporteve dhe ndryshimeve midis madhësive ekonomike. Fjala përqindje ka prejardhje
nga fjala latine “pro” që do të thotë “për” dhe “centum”, që do thotë njëqind. 1 E qindta
është numri i njësive nga 100. Zakonisht shkruhet:

p(%) = 100
p
(0.1.1)
Raportet (proporcionet) themelore midis madhësive ekonomike për llogaritje të thjeshtë
prej njëqind janë:
S : 100 = P : p (1.2.2)
S = madhësia themelore (numri) nga e cila përcaktohet p (%);
P = pjesa e njëqindtë, përkatësisht numri i cili fitohet kur nga madhësia kryesore (e
numrit) llogaritet përqindja;
P = përqindja (%).
Në bazë të këtyre raporteve themelore, përherë mund të llogaritet cilado
madhësi, kur dy të tjerat janë të njohura. Janë të mundshme tri raste:
1. dihet pjesa e njëqindtë P dhe madhësia themelore S, kurse kërkohet përqindja p:

p = 100 ⋅ P
S (1.3.3)
2. dihen madhësia themelore S dhe përqindja p, kurse kërkohet pjesa e njëqindtë P:

p = S⋅p
100 (1.4.4)

3. janë të njohura pjesa e njëqindtë P dhe përqindja p, ndërsa kërkohet madhësia S:

1
Literatura e përdorur për këtë kaptinë: 28, 10, 11, 12, 4, (shiko: Literatura fq. ....... ???). Autorë të ndryshëm
përdorin simbole të ndryshme për madhësitë ekonomike, kryesisht nga literatura amerikane, pjesërisht të
vetat, kurse një pjesë nga autorë të tjerë, gjë që mund të hutojë shfrytëzuesit. Për këtë arsye
po përdorim simbolikën unike të B. Relić-it, Gospodarska matematika (Matematika ekonomike), RIF,
Zagreb, 2002.

2 Matematika Afariste Ligjerata

p = 100 ⋅ P
p (1.5.5)
Shembulli 1.
Sipërmarrësi e ka rritur prodhimin për 8% në raport me vitin e mëparshëm, kur ai ishte
5200 copë produkti. Sa copë më tepër janë prodhuar në vitin vijues dhe sa është
prodhimi gjithsej i këtij viti?
Zgjidhja:
S = 5200
p = 8%
P=?
S⋅p 5200 ⋅ 8 41600
P = →P= →P= → P = 416
100 100 100
Në vitin vijues janë prodhuar 416 copë produktesh më shumë, kurse prodhimi gjithsej i
këtij viti është: 5200 + 416 = 5616 copë.
Shembulli 2.
Nga shitja e faturuar në shumë prej 500 000,00 eurosh, sipërmarrësi me kohë i ka
inkasuar 482000,00 euro. Sa për qind të shumës janë inkasuar dhe sa është shuma e pa
inkasuar e sipërmarrësit e shprehur në përqindje?
Zgjidhja:
S = 500000,00
P = 482000,00
p=?
100 ⋅ P 100 ⋅ 482000 ,00 48200000 ,00
p= →p= →p= → p = 96 ,4%
S 500000 ,00 500000 ,00
Sipërmarrësi me kohë i ka inkasuar 96,4% të borxhit, kurse pa inkasuar kanë mbetur
3,6% të mjeteve.
Shembulli 3.
Nga prodhimi gjithsej prej 3000 tonelatash, 5% janë produkte që nuk i përgjigjen
kualitetit standard. Sa është sasia e prodhimit standard?
Zgjidhja:
S = 3000 tona

Matematika Afariste Ligjerata 3

p = 5%
P=?
S⋅p 3000 ⋅ 5 15000
P = →P= →P= → P = 150
100 100 100
3000 – 150 = 2850
Me kualitet standard janë 2850 tonelata.
Shembulli 4.
Plani vjetor i prodhimit është realizuar 90%, që është 108 litra. Sa ishte plani i
prodhimit dhe sa litra planifikohet të prodhohen në vitin e ardhshëm, nëse parashikohet
rritje 12% në krahasim me planin e këtij viti?
Zgjidhja:
P = 108 litra
p = 90%
S=?
100 ⋅ P 100 ⋅108 10800
S = →S = →S = → S = 120
p 90 90
Plani i prodhimit për vitin vijues ishte 120 litra. Për të marrë përgjigje për atë se sa
planifikohet të prodhohet vitin e ardhshëm, duhet të konstatojmë pjesën e njëqindtë të
P dhe të rritet për aq sa është planifikuar të prodhohet në këtë vit.
S = 120
p = 12%
P=?
S⋅p 120 ⋅ 12 1440
P = →P = →P = → P = 14,40 + 120 = 134 ,40
100 100 100
Për vitin e ardhshëm planifikohet të prodhohen 134,40 litra.

1.2. Llogaritja e përqindjes plus njëqind
Llogaritja e përqindjes plus njëqind aplikohet kur dihet madhësia e rritur S për
ndonjë përqindje të P (pra S+P), dhe përqindja p, kurse duhet të llogaritet madhësia
themelore S ose pjesa e njëqindtë P. Raportet themelore (proporcionet) midis madhësive
ekonomike për llogaritjen e të njëqindtës plus njëqind dalin nga:


S + P = ( S + P) (1.6.6)
S : 100 = ( S + P) : ( 100 + p) (1.7.7)
Nga kjo përmasë mund të llogaritet madhësia themelore:
( S + P ) ⋅100 (1.8.8)
=
100 + p
dhe pjesa e njëqindtë:
P = (S + P) – S (1.9.9)
p = ( S + P ) : ( 100 + p ) (1.10.10)
respektivisht:
(S + P) ⋅ p (1.11.11)
P=
100 + p
dhe
S = (S+P) – P (1.12.12)

Shembulli 5.
Pas rritjes së pagave për 15% bruto, pagat në fabrikë ishin 120000,00 kuna.
Për sa kuna janë rritur pagat bruto?
p = 15%
S + P = 120000,00 kuna
P=?
P : p = (S+P) : (100+p)
( S + P ) ⋅ p 120000 ⋅15 1800000
P = = = = 15652 .17
100 + p 100 +15 115
Pagat bruto janë rritur për 15652,17 kuna.
Shembulli 6.
Çmimi i shitjes i prodhimit është 2.500,00 euro. Sa është çmimi kushtues, nëse dallimi
në
çmim është 12%, sa është dallimi i çmimit?
Zgjidhja:
S + P = 2.500, 00 euro
p = 12%
S= ?


( S + P ) ⋅100 2500 ,00 ⋅100 250000
S= = = = 2232 ,14
100 + p 100 +12 112
Çmimi i shitjes është 2.232,14 euro. Dallimi në çmim është diferenca midis çmimit të
shitjes dhe çmimit kushtues: S - P =2500,00 - 2232,14 = 267,86 euro, kurse pjesa e
njëqindtë është:
S⋅p 2232 ,14 ⋅12
P= →P = = 267 ,86
100 100
Diferenca në çmim është 267,86 euro.

1.3. Llogaritje e të njëqindtës minus njëqind
Llogaritja e të njëqindtës minus njëqind aplikohet kur është e njohur madhësia
kryesore e zvogëluar S për aq sa është pjesa e përqindjes P. Në këtë rast është e njohur
(S-P) dhe përqindja p, prandaj duhet të llogaritet madhësia S ose pjesa e përqindjes P.

S :100 = (S – P) : (100 – P) (1.13.13)
prej nga del:
( S − P ) ⋅100
S=
100 − p (1.14.14)
dhe pjesa e përqindjes:
P = S – (S – P) (1.15.15)
Pjesa e përqindjes llogaritet nga përmasa (raporti) themelor:
P : p = (S – P) : (100 – p) (1.16.16)
prej nga del:
(S − P) ⋅ p
P=
100 − p (1.17.17)
dhe madhësia kryesore:
S = (S – P) + p (1.18.18)

Shembulli 7.
Çmimi i një kg materiali (stoku) është 300,00 euro dhe është 15% më e ulët se materiali
tjetër. Sa është çmimi i materialit të dytë, përkatësisht sa është materiali i parë më i lirë?
Zgjidhja:
S - P = 300 euro


P(p) = 15%
S=?
P=?
( S − P ) ⋅100 300 ⋅100 30000
S= = = = 352 ,94
100 − p 100 −15 85
Çmimi i materialit të dytë është 352,94 euro
( S − P) ⋅ p 300 ⋅15 4500
P= = = = 52 ,94
100 − p 100 −15 85
Materiali i parë kushton më lirë për 52,94 euro
Shembulli 8.
Vlera e pasurisë së ndërmarrjes pas çregjistrimit për 40%, është 350000,00 euro. Sa është
amortizimi, e sa vlera blerëse?
Zgjidhja:
p = 40%
S – P = 350000,00 euro
P=?
S=?
P : p = ( S – P) : (100 – p)
( S − P ) ⋅ p 350 ,000 ⋅ 40 14 ,000 ,000
P= = = = 233 ,333 .3
100 − p 100 − 40 60
Amortizimi kap shumë prej 233333,30 euro
( S − P ) ⋅100 350 ,000 ⋅100 35 ,000 ,000
S = = = = 583 ,333 .30
100 − p 100 − 40 60
Vlera blerëse e pasurisë është 583 333,30 euro.

1. 4. Llogaritja promile nga njëmijë


Promili është numri i njësive që merren nga njëmijë njësi të ndonjë madhësie
ekonomike, Fjala “promil” del nga fjalët latine “pro”, që do të thotë “për” dhe “mille”,

5
që do të thotë njëmijë. Shënohet me shenjën %o 2, kurse 5 ‰ =
1000
Rrallë përdoret në praktikën ekonomike. Është përmasë themelore për llogaritjen
promile:
S : 1000 = P : p (1.19.19)
dhe për këtë arsye përherë është mundshme të llogaritet një e panjohur nëse
dy të tjerat janë të njohura, si dhe te llogaritja e përqindjes.
Shembulli 9.
Në një litër verë ka 20 ‰ alkool. Sa alkool, shprehur në mililitra, ka në një
litër verë?
Zgjidhja:
S = 1 l = 1000 ml
p = 20 ‰
P=?
S ⋅ p 1000 ⋅ 20
P = = = 20
1000 1000
Në një litër verë ka 20 mililitra alkool.
Shembulli 10.
Për pasurinë me vlerë 500 000,00 euro, është paguar premia e sigurimit 700,00 euro. Sa
është premia e sigurimit shprehur në promilë?
Zgjidhja:
S = 500 000,00 euro
P = 700,00 euro
p=?

p = 1000 ⋅ P = 1000 ,⋅000 = 500 ,,000 = 1,4
S 500
700 700 000

Premia e sigurimit është 1,4 ‰.

2
Përdoren simbole të njëjta për madhësitë ekonomike dhe shprehen rasporte të njeta midis tyre, si edhe për
llogaritjen e përqindjes prej njëqind, vetëm se në vend të 100 shkruhet 1000.


1.5. Llogaritja e promilit plus njëmijë
Llogaritja e promilit plus njëmijë aplikohet kur është e njohur madhësia
kryesore
S të cilës i shtohet pjesa promilë (S + P) si dhe promili p. Për gjetjen e madhësisë S
përdoren përmasat:

S : 1000 = P(S + P) : (1000 + p) (1.20.200)

dhe
P : p = (S + P) (1.21.21)
prej të cilave pastaj mund të llogariten S e P si edhe kur llogaritetpjesa
e njëqindtë plus njëqind.
Shembulli 11.
Pasi të shtohet lënda e parë e re prej 200 ‰ pesha e prodhimit është 100 kg.
Sa ishte pesha e prodhimit para se të shtohej lënda e parë e re dhe për sa
kilogram është shtuar pesha e përgjithshme e prodhimit.
Zgjidhja:
p = 200 ‰
S + P = 100 kg
S=?
P=?
( S + P ) ⋅1000 100 ⋅1000 100 ,000
S = = = = 83 ,33
1000 + p 1000 + 200 1,200
( S + P) ⋅ p 100 ⋅ 200 20 ,000
P = = = = 16 ,67
1000 + p 1000 + 200 1,200
Pesha e prodhimit para shtimit të lëndës së parë të re ishte 83,33 kg, kurse pas shtimit të
lëndës së parë të re është rritur për 16,67 kg.

1.6. Llogaritja e promilit minus njëmijë


Llogaritja e promilit minus njëmijë bëhet njësoj, sikurse llogaritja e
përqindjes minus njëqind, pos faktit që konstanta në vend të 100 është njëmijë. Përmasat
kryesore janë si vijon:
S : 1000 = (S – P) : (1000 – p)
(1.22.22)
prej nga del:
( S − P ) ⋅1000
S=
1000 − p
(1.23.23)
dhe pjesa e njëmijtë:
P = S – (S – P)
(1.24.24)
Shembulli 12.
Pas çregjistrimit të pasurisë 300 ‰ vlera e saj është 200 000,00 euro. Sa është vlera e
çregjistruar dhe sa është vlera blerëse e pasurisë?
Zgjidhja:
p = 300 ‰
S - P = 200 000,00 euro
P=?
S=?
( S − P ) ⋅1000 200 ,000 ⋅1000 200 ,000 ,000
S = = = = 285 ,714 .29
1000 − p 1000 − 300 700
( S − P) ⋅ p 200 ,000 ⋅ 300 60 ,000 ,000
P = = = = 85 ,714 .29
1000 − p 1000 − 300 700
Vlera blerëse e pasurisë ishte 285,714.29, kurse çregjistrimi 85,714.29 euro.

6. DISA PROPORCIONE TE VEQANTA

1.7. Rregulla e thjeshtë dhe komplekse e treshit


Rregulla e thjeshtë dhe komplekse (e përbërë) e treshit shpesh përdoret në
praktikën e sipërmarrësve. Fjala është për raporte (përmasa) midis katër madhësive
(rregulla e thjeshtë e treshit) ose të më shumë madhësive (rregulla komplekse e treshit).
Rregulla e thjeshtë e treshit përdoret për llogaritjen e një madhësie të panjohur me
ndihmën e tri të njohurave. Ekzistojnë disa mënyra për të konstatuar ato madhësi të
katërta të panjohura. Do të përmendim dy mënyrat më të thjeshta:
1. Madhësitë identike paraqiten njëra nën tjetrën:
X1 Y1

X2 Y2
pastaj me shigjetë shënohet drejtimi nga madhësia e panjohur, p. sh. Y2*.
X1 Y1

X2 Y2
Madhësitë midis tyre mund të jenë në proporcione të drejtë dhe në të zhdrejtë.
Proporcion i drejtë midis madhësive do të thotë: kur rritet një madhësi - rritet edhe
tjetra, ndërsa proporcion i zhdrejtë do të thotë: kur rritet njëra madhësi, zvogëlohet
proporcionalisht madhësia tjetër. Për këtë arsye paraqiten dy raste:
1.1. Nëse madhësitë x dhe y janë në proporcione të drejta, atëherë edhe me shigjetën
e dytë shënohet drejtimi i njëjtë si në të parën.
X1 Y1

X2 Y2
Kjo na orienton kah raporti reciprok midis madhësive y2 : y1 = x2 : x1. Nga ky
raport mund të llogaritet:
y1 ⋅ x 2
y2 = (1.25.25)
x1
1.2. Nëse madhësitë janë në përpjesëtim të zhdrejtë, atëherë me shigjetë shënohet
drejtimi i kundërt në raport me të parin:
X1 Y1
X2 Y2

Atëherë raporti reciprok midis madhësive mund të shkruhet si Y2:Y1=X1:X2,


përkatësisht:
x1 ⋅ y1
=
y2
x2 (1.26.26)
2. Mënyra e dytë e konstatimit të raportit reciprok midis madhësive konsiston në
shumëzimin e thjeshtë të madhësive sipas diagonales së kundërt dhe me
pjesëtimin me madhësinë e cila sipas diagonales është e kundërt me madhësinë e
kërkuar. Në atë rast duhet pasur kujdes që madhësitë të vendosen si duhet,
prandaj në esencë konsiston në dy rastet paraprake, gjë që shihet më së miri nga
dy shembujt në vijim:
Shembulli 13.
Nëse dy punëtorë prodhojnë 19 tonelata produkte, sa tonelata në kushte të njëjta (ceteris
paribus), do të prodhojnë pesë punëtorë:
Zgjidhja:
Së pari vërehet se madhësitë në fjalë janë në përpjesëtim të drejtë. Madhësi janë
punëtorët dhe tonelatat e produkteve, prandaj shkruhen njëra nën tjetrën.
2 punëtorë 10 tonelata
5 punëtorë x tonelata
Shkruhet në formë të përpjesëtimit x tonelata : 10 tonelata = 5 punëtorë : 2 punëtorë,
prej nga del:
10 ⋅ 5
x= = 25 tonelata
2
Pra, 5 punëtorë do të prodhojnë 25 tonelata produktesh.
Shembulli 14.
Nëse 20 punëtorë e kryejnë një punë për 15 ditë, sa punëtorë nevojiten për ta kryer atë
për 6 ditë?
Zgjidhja:
Fjala është për madhësi në proporcion të zhdrejtë, sepse numri i punëtorëve rritet, kurse
numri i ditëve përpjesëtimisht zvogëlohet.
20 punëtorë 15 ditë
x punëtorë 6 ditë


Përpjesëtimi (proporcioni) mund të shkruhet si vijon: x punëtorë : 20 punëtorë = 15
ditë : 6 ditë, prej nga del:
20 ⋅15
x = = 50 punëtorë
6
Për ta kryer punën për 6 ditë, nevojiten 50 punëtorë.
Pra, me rastin e shtrimit të rregullës së thjeshtë të treshit qenësore është të
vendosen madhësitë e përpjesëtueshme dhe secila njësi e jashtme të shumëzohet me
njësinë e jashtme, kurse njësia e brendshme me të brendshmen, e pastaj është lehtë të
llogaritet njësia e katërt e panjohur.
Në rastet kur në rregullën komplekse të treshit kemi më shumë se katër njësi,
atëherë rregulla e treshit përdoret për konstatimin e ndonjë njësie sipas radhës më e lartë
se njësia e katërt. Për këtë arsye, madhësitë duhet të shkruhen njëra nën tjetrën, kurse
me shigjetë të shënohet kahja nga njësia e panjohur. Bëjmë krahasimin e përpjesëtimit
të secilës madhësi me madhësinë që duhet të gjendet (me atë rast shikohet vetëm raporti
(përpjesëtimi) midis dy madhësive, duke mos u kujdesur për shumat e madhësive të
trajtuara). Shigjetat vihen në të njejtin drejtim, nëse është fjala për madhësi
proporcionalisht të drejtë, ose në drejtim të kundërt, kur është fjala për madhësi me
proporcion të zhdrejtë.
Shembulli 15.
10 punëtorë prodhojnë 30 tonë produkte për 22 ditë duke punuar 7 orë në ditë. Sa
punëtorë nevojiten për të prodhuar 50 tonë duke punuar 24 ditë nga 8 orën në ditë?
Zgjidhja:
10 punëtorë 30 tona 22 ditë 7 orë
x punëtorë 50 tona 24 ditë 8 orë
Për t’i vizatuar shigjetat, duhet të konstatohet sa vijon:
1. Për më shumë tonë produktesh, duhen më shumë punëtorë (madhësi me përpjestim të
drejtë).
2. Për numër më të madh të ditëve të punës, duhet numër më i vogël i punëtorëve
(madhësi me proporcion të zhdrejtë).
3. Për numër më të madh të orëve të punës, duhet numër më i vogël i punëtorëve
(madhësi me proporcion të zhdrejtë).


Tani mund të vizatohen shigjetat në drejtimet përkatëse:

10 punëtorë 30 tonelata 22 ditë 7 orë
x punëtorë 50 tonelata 24 ditë 8 orë
Sipas drejtimit të shigjetave përcaktohen përpjesëtimet: x : 10 = 50 : 30
22 : 24
7: 8
prej nga del:
10 ⋅ 50 ⋅ 22 ⋅ 7 77000
x = = = 13,37
30 ⋅ 24 ⋅ 8 5760
Pra, për të prodhuar 50 tonelata produkte duke punuar 24 ditë nga 8 orën në ditë, duhen
≈ 13, përkatësisht 14 punëtorë.
Vërejtje: Në situata si kjo, është e drejtë që rezultati përfundimtar të rrumbullakësohet
në numrin e parë më të madh të plotë. Sikur rezultatin e mësipërm ta rrumbullakësonim
në 13 punëtorë, prodhimi nuk do të arrinte 50 tonelata. Duke bërë rrumbullakësimin në
14 punëtorë, do të tejkalojmë shumën e kërkuar, gjë që është gabim më i vogël.
Shembulli 16.
50 tonelata produkte i prodhojnë 13 punëtorë për 24 ditë pune. Pesë ditëve të pra kanë
punuar 10 punëtorë, kurse gjatë dhjetë ditëve të ardhshme kanë punuar 8 punëtorë. Sa
punëtorë duhet të punojnë gjatë 9 ditëve vijuese për të prodhuar 50 tonelata produkte?
Zgjidhja:
Zgjidhja bëhet gradualisht:
1. 50 tonelata 13 punëtorë 24 ditë
x1 tonelata 10 punëtorë 5 ditë
x1 : 50 = 10 : 13
5 : 24
50 ⋅10 ⋅ 5 2500
= = = 8,01
x1 13 ⋅ 24 312
Pra, në pesë ditët e para 10 punëtorë kanë prodhuar 8.01 tonelata produktesh.

2. 50 tonelata 13 punëtorë 24 ditë


x2 tonelata 8 punëtorë 10 ditë
x2 : 50 = 8 : 13
10 : 24
50 ⋅ 8 ⋅10 4000
= = 12 ,82
x2 = 13 ⋅ 24 312
Pra, gjatë 10 ditëve të ardhshme 8 punëtorë do të prodhojnë 12,82 tonelata produkte.
3. Gjatë 15 ditëve të para janë prodhuar: x1+x2=8,01+12,82=20,83 tonelata produkte,
kurse kanë mbetur të prodhohen edhe 50 – 20,83 =29,17 tonelata produkte.
Për këtë mund të shtrohet përpjesëtimi:
50 tonelata 13 punëtorë 24 ditë
29,17 tonelata y punëtorë 9 ditë
prej nga pason përpjesëtimi: y : 13 punëtorë = 29, 17 : 50
24 : 9
13 ⋅ 29 ,17 ⋅ 24 9101 ,04
y= = = 20 ,22
50 ⋅ 9 450
Kështu kemi arritur deri te zgjidhja, se gjatë 9 ditëve të fundit do të duhej të
punësoheshin 21 punëtorë, për të prodhuar 50 tonelata produkte.

1. 8. Veprimi i thjeshtë dhe i komplekse i pjesëtimit
Me veprimin e pjesëtimit zgjidhet problemi i ndarjes së madhësisë të dhënë në
pjesë sipas një ose më shumë kritereve. Nëse pjesëtimi bëhet sipas një kriteri, fjala është
për veprim të thjeshtë të pjesëtimit, ndërsa kur pjesëtimi bëhet sipas më shumë
kritereve, fjala është për veprim kompleks të pjesëtimit.
Përmes veprimit të pjesëtimit të thjeshtë duhet të ndahet madhësia S në pjesë,
ose bartës x1, x2, ..., xn sipas një kriteri ashtu që pjesët të jenë në përpjesëtim a1 : a2 : ... :
an dhe shtrohet pyetja sa janë të mëdha ato pjesë. Problemi matematikisht formulohet si
vijon:


x1 + x2 + ...+ xn = S (1.27.27)
x1: x2 : ...: xn = a1 : a2 : ...:an (1.28.28)
.
pastaj merret se x1 = k a1
x2= k . a2...xn = k . an , ku k është faktor i proporcionalitetit. Nëse vlerat
x1, x2,... xn shtrohen si ekuacion (1.28.28) fitohet:
S
k= (1.29.29)
a1 + a 2 + ... + a n
Madhësitë e veçanta të pjesëve fitohen në këtë mënyrë:
S
x1=ka1 = ⋅ a1 (1.30.30)
a1 + a 2 + ... + a n
S
x2=ka2 = ⋅ a2 (1.31.31)
a1 + a 2 + ... + a n
S
xn=kan = ⋅ an (1.32.32)
a1 + a 2 + ... + a n

Shembulli 17.
Të ardhurat prej shitjes së katër produkteve të njëjta kapin shumë prej 68000,00 eurosh,
por shpenzimet për to janë të ndryshme.
Produkti I. = 10000,00 euro
Produkti II. = 12000,00 euro
Produkti III. = 12500,00 euro
Produkti IV. = 14000,00 euro
Si të ndahet e ardhura për këto katër produkte?
Zgjidhja:
Pra, 68000,00 euro duhet të ndahen për produktet (bartëset) e shpenzimeve sipas
proporcionit të drejtë me shpenzimet. Fjala është për veprim të thjeshtë të pjesëtimit:
x1 + x2 + x3+ x4 = 68 000,00
x1 + x2 + x3+ x4 = 68 000,00 = 10 000 : 12 000 : 12 500 : 14 000
kurse sipas formulës (1.29.29)
68000 68000
k= = = 1,40206
10000 + 12000 + 12500 + 14000 48500


Nga kjo del sa vijon:
Produktit I. i takon x1 = ka1 = 1,49206 x 10 000,00= 14 020,60 euro.
Produktit II. i takon x2 = ka2 = 1,40206 x 12 000,00 = 16 842,72 euro.
Produktit III. i takon x3 = ka3 = 1.40206 x 12 500,00= 17 525,75 euro.
Produktit IV. i takon x4 = ka4 = 1,40206 x 14 000,00 = 19 628,84 euro.
Shitja gjithsej e realizuar kapë shumën: 67 999,91 ≈ 68 000,00 euro.
Në praktikë ndarja e këtillë e shpenzimeve është mjaft e shpeshtë në ndërmarrje. Fjala
është për të ashtuquajturin kalkulim të numrave ekuivalentë në të cilën shpenzimet e
gjithmbarshme të realizuara iu ndahen produkteve sipas kriterit të raporteve ekuivalente
midis produkteve. Llogaritet raporti i shpenzimeve të përgjithshme dhe shuma e
produktit të sasisë së prodhimit dhe numrit ekuivalent, e pastaj ai numër që fitohet si
proporcion shumëzohet me sasinë e prodhimit dhe në këtë mënyrë bëhet ndarja e
shpenzimeve. Mirëpo, janë të shpeshta rastet kur raportet midis madhësive që
realizohen me ndarjen e madhësisë së dhënë në proporcion të zhdrejtë.
Shembulli 18.
Fitimi nga një punë në shumë prej 15000,00 eurosh duhet t’iu ndahet punëtorëve sipas
kriterit të mungesës nga puna. Si të ndahet shuma e përmendur, nëse punëtori A kishte
munguar 20 orë, punëtori B 15 orë, punëtori C 10 orë dhe punëtori D 25 orë.
Zgjidhja:
x1 + x2 + x3+ x4 = 15 000,00
1 1 1 1
x1 : x2 : x3 : x4 = : : :
20 15 10 25
(Krahu i djathtë shumëzohet me emëruesin e përbashkët 300.)
x1 : x2 : x3 : x4 = 15 : 20 : 30 : 12
15000 ,00 15000 ,00
k = = = 194 ,805
15 + 20 + 30 + 12 77
Pastaj llogaritet fitimi i secilit punëtorë:
punëtori A x1 = ka1 = 194.805 x 15 = 2922,08 euro
punëtori B x2 = ka2 = 194,805 x 20 = 3896,10 euro
punëtori C x3 = ka3 = 194,805 x 30 = 5844,15 euro
punëtori D x4 = ka4 = 194,805 x 12 = 2337,66 euro


Gjithsej: 14 999,99 ≈ 15 000,00 euro
Llogaritja komplekse e pjesëtimit aplikohet kur ndarja e ndonjë madhësie
bëhet sipas më shumë se një kriteri. Ndonjë madhësi duhet të ndahet në pjesë ose për
bartës x1, x2, ..., xn, ashtu që raportet midis pjesëve të jenë b1: b2 : ... :bn (sipas kriterit të
parë) dhe c1: c2 : ... :cn (sipas kriterit të dytë) dhe m1: m2 : ... :mn (sipas kriterit të tretë)
etj. Shtrohet pyetja sa janë ato pjesë? Shuma e atyre pjesëve duhet të jetë e barabartë me
tërësinë ose përgjithësisht:
x1+ x2 + ... + xn = S (1.33.33)
x1 : x2 : …: xn = b1 : b2 : …: bn
= c1 : c2 : …: cn
...
=m1 : m2 : …: mn (1.34.34)
Nga formula (1.34.24) del se:
= (b1 ⋅ c1 ⋅ ... ⋅ m1 ) : (b2 ⋅ c 2 ⋅ ... ⋅ m 2 ) : ... : (bn ⋅ c n ⋅ ... ⋅ m n )
x1:x2::xn (1.35.35)
Nëse shprehjet në anën e djathtë shënohen me a1, a2 ... an dhe renditen në
barazimin e paraprak, fitohen përpjesëtime të njëjta si edhe për veprimin e thjeshtë të
pjesëtimit (1.28.28):
x1:x2 : …: xn = a1 : a2 : …: an (1.36.36)
vetëm se a1 paraqet
(b1 ⋅ c1 ⋅ ... ⋅ m1 ), a2 = (b2 ⋅ c 2 ⋅ ... m2 ),... a n = (bn ⋅ c n ⋅ ... ⋅ m n ).
Kjo do të thotë se përdoren faktorë të njëjtë të proporcionalitetit dhe formula të njëjta
për përcaktimin e madhësisë së pjesëve të veçanta:

=a
S
k
1 + a 2 + ... + a n
(1.37.37)
Madhësitë e veçanta të pjesëve fitohen në këtë mënyrë:
S
= ka1 = ⋅ a1
x1
a1 + a 2 + ... + a n (1.38.38)
S
= ka 2 = ⋅ a2
x2
a1 + a 2 + ... + a n


...
S
= ka n = ⋅ an
xn
a1 + a 2 + ... + a n (1.39.39)

Shembulli 19.
Shpenzimet mujore të energjisë elektrike në shumë prej 3500,00 eurosh
duhet të ndahen sipas sipërfaqes së hapësirës afariste dhe numrit të
punëtorëve në atë hapësirë.
Hapësira afariste I. ka 45 m2 dhe 3 punëtorë.
Hapësira afariste II. ka 96 m2 dhe 7 punëtorë.
Hapësira afariste III. ka 65 m2 dhe 5 punëtorë.
Hapësira afariste IV. ka 12 m2 dhe 2 punëtorë.
Hapësira afariste V. ka 18 m2 dhe 4 punëtorë.
Hapësira afariste VI. ka 20 m2 dhe 6 punëtorë.
Sa janë shpenzimet e secilës hapësirë afariste?
Zgjidhja:
X1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 3500
x1 : x2 : x3 : x4 : x5 : x6 = 45 : 96 : 65 : 12 : 18 : 20
=3:7:5:2:4:6
Me renditjen sipas formulës (1.33.33) fitohet:
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 = 135: 672 : 325 : 24 : 120
Prej këndej del se:
3500 3500
k = = = 2,596
135 + 672 + 325 + 24 + 72 + 120 1348
Ndarja e shpenzimeve mujore të energjisë elektrike është si vijon:
Hapësira afariste I. x1 = k1 = 2,596 x 135 = 350, 46 euro
Hapësira afariste II. x2 = k2 = 2.596 x 672 = 1744,51 euro.
Hapësira afariste III. x3 = k3 = 596 x 325 = 843,70 euro.
Hapësira afariste IV. x4 = k4 = 2,596 x 24 = 62,30 euro.
Hapësira afariste V. x5 = k5 = 2,596 x 72 = 186,91 euro.
Hapësira afariste VI. x6 = k6 = 2,596 x 120 = 311,52 euro.


Gjithsej: 3 499,40 euro ≈ 3 500 euro.
Mirëpo, në praktikë janë të mundshme rastet kur një ose më shumë
kritere janë me proporcion të drejtë. Në atë rast, si edhe me rastin e
pjesëtimit të thjeshtë, për përpjesëtimin e drejtë aplikohen raportet
proporcionale të drejtpërdrejta, kurse për proporcionin e zhdrejtë madhësitë
vihen në raport me njëshin.
Shembulli 20.
Këmbimorja (vendi ku bëhet këmbimi i valutave) duhet t’i ndajë shpenzimet
për tri lokacione (A, B dhe C) sipas proporcionit të drejtë të numrit të
klientëve, kurse me proporcion të zhdrejtë të largësisë nga qendra. Lokacioni
A ka 1200 klientë kurse është 500 m larg qendrës. Lokacioni B ka 800
klientë kurse nga centrali është larg 2 km. Lokacioni C ka 1500 klientë kurse
është larg qendrës 3 km. Si do t’i ndajë këmbimorja shpenzimet e
përgjithshme në shumë prej 66000,00 eurosh?
Zgjidhja:
A + B + C = 66 000
1 1 1
A : B : C = 1200 : 800 : 1500 = : :
0,5 2 3
A : B : C = 2400 : 400 : 500
66000
k = = 20
2400 + 400 + 500
Pra, shpenzimet do të ndahen si vijon:
Lokacioni A 2400 x 20 = 48 000,00 euro
Lokacioni B 400 x 20 = 80 00,00 euro
Lokacioni C 500 x 20 = 10 000,00 euro.

1. 9. Llogaritja vargore


Llogaritja vargore në praktikë aplikohet për thjeshtësimin e problemit në të
cilin është e nevojshme të përcaktohet raporti midis dy madhësive që janë të dhëna me
madhësi të tjera në përpjesëtim të drejtpërdrejtë reciprok. Fjala është për një veprim
specifik skematik, përmes të cilit problemi thjeshtësohet dhe në praktikë haset shpesh.
Shembulli 21.
10 kg mall A kushtojnë sa 7 kg të mallit B; 5 kg të mallit B kushtojnë sa 6 kg të mallit C;
7 kg të mallit C kushtojnë sa 3 kg të mallit D. Sa kushton një kg i mallit A, nëse 4 kg të
mallit D kushtojnë 5000 euro.
Zgjidhja:
Pra, duhet që në mënyrë indirekte në bazë të çmimit të mallit D dhe raporteve reciproke
midis madhësive të lidhura në proporcion të drejtë, të përcaktohet çmimi i 1 kg të mallit
A. Zgjidhja arrihet gradualisht:
1. Duhet të shkruhen raportet e dhëna:
x euro kushton 1 kg i mallit A.
10 kg të mallit B kushtojnë sa 6 kg të mallit C.
7 kg të mallit C kushtojnë sa 3 kg të mallit D.
4 kg të mallit D kushtojnë 5000 euro.
2. Pastaj gradualisht (me veprim iterativ) hap pas hapi gjendet zgjidhja:

7 6 3 5000
1) x euro kushton 1 kg i mallit A ose x = ⋅ ⋅ ⋅ euro
10 5 7 4
7 7 6 3 5000
2) 1 kg i mallit A kushton sa kg të mallit B ose ⋅ ⋅ ⋅ euro
10 10 5 7 4
6 6 3 5000
3) 1 kg i mallit B kushton sa kg të mallit C ose ⋅ ⋅ euro
5 5 7 4
3 3 5000
4) 1 kg i mallit C kushton sa kg të mallit D ose ⋅ euro
7 7 4
5000 5000
5) 1 kg i mallit D kushton sa kg të mallit ose euro
4 4
Nga kjo del:


7 6 3 5000
x euro kushton 1 kg i mallit A ose x = ⋅ ⋅ ⋅ euro,
10 5 7 4
përkatësisht 1 kg i mallit A kushton 450,00 euro.
Zgjidhja e njëjtë mund të gjendet në rrugë më të shkurtër nëse raportet (1) deri në (5) i
shënjojmë në formë skeme:
x euro 1 kg A
10 kg A 7 kg B
5 kg B 6 kg C
7 kg C 3 kg D
4 kg D 5000 euro

Me rastin e përpilimit të skemës së llogaritjes vargore duhet të respektohen këto
rregulla:
1. Skemën e fillojmë me pyetjen e shtruar në problem.
2. Secilin hap të mëtutjeshëm e fillojmë me madhësinë me të cilën e kemi përfunduar
të mëparshmin.
3. Skemën e përfundojë me madhësinë me të cilën e kemi filluar.
X mund të llogaritet si herës i shumës së krahut të djathtë dhe të majtë, respektivisht
7 ⋅ 6 ⋅ 3 ⋅ 5000 630000
x = = = 450 ,00
10 ⋅ 5 ⋅ 7 ⋅ 4 1400

1.10 Llogaritja e përzierjes
Në rastet praktike kur duhet të llogaritet se në çfarë mase përzihen disa madhësi të
njëjta që kanë ndonjë karakteristikë të përbashkët, aplikohet llogaritja e përzierjes.
Problemi i tillë mund të zgjidhet përherë përmes ndonjërës nga metodat për zgjidhjen e
ekuacioneve lineare sistemore, por në praktikë është e mundshme që problemi të
zgjidhet në mënyrë të shpejtë dhe të thjeshtë. Në realitet, duhet të gjendet intensiteti
mesatar i karakteristikës së madhësisë së njëjtë, që shënohet me m.


n

∑a x i i
m = i =1
n

∑x
i =1
i

(1.40.40)
xi = sasia i-së me madhësi të njëllojtë
ai = intensiteti i-së asaj me veti e madhësie të njëllojtë
m = intensiteti mestar i vetisë me madhësisë të njëllojtë.
Llogaritja e përzierjes mund të jetë: a) e thjeshtë dhe b) komplekse.

a) Llogaritja e thjeshtë e përzierjes
Llogaritja e thjeshtë e përzierjes është e lidhur me probleme në të cilat përzierja
është komplekse prej dy madhësive dhe ka zgjidhje të thjeshtë. Në rast të tillë vlejnë
relacionet:
a1 x1 + a 2 x 2
m=
x1 + x 2
(1.41.41)
x1 : x2 = (a2 – m) : (m – a1) (1.42.42)


Shembulli 22.
Verniku i përhirtë përfitohet me përzierjen e të bardhit me të ziun. Çmimi i 1 kg
vernik i bardhë është 40 euro, kurse i atij të zi 35 euro. Të supozojmë se nuanca nuk
është qenësore. Si të përgatitet përzierja me çmim 38 euro për 1 kg vernik?
Zgjidhja:
x1 = sasia (kg) e vernikut të bardhë L1
x2 = sasia (kg) e vernikut të zi L2
a1 = 40 euro (çmimi i vernikut të bardhë ) L1
a2 = 35 euro (çmimi i vernikut të zi) L2
m = 38 euro (çmimi mesatar i vernikut të përhirtë ) L2
Duhet të gjendet masa e përzierjes së vernikut të bardhë me atë të zi, për të fituar
vernikun e përhirtë, përkatësisht x1 : x2 .
Kjo përmasë e përzierjes mund të shkruhet në mënyrë skematike:
a1 a2 -m
m
a2 m-a1

Vetitë e madhësive që përzihen shënohen njëra nën tjetrën prej intensiteti më të vogël
kah ai më i madh; midis tyre dhe pak më djathtas intensiteti mesatar m i cili kërkohet,
kurse përzierja shënohet me shigjeta dhe përcaktohen dallimet midis a2 dhe m dhe m e
a1 dhe shënohen në diagonale. Në shembullin tonë kjo ë shtë si vijon:
35 (a1) 40 – 38 2
38 (m)
40 (a2) 38 - 35 3
x1 : x 2 = 2 : 3
Pra, duhet të përzihen verniku i bardhë dhe ai i zi në përmasën 3 : 2 për të përfituar
vernikun e përhirtë .
b) Llogaritja komplekse e përzierjes


Llogaritja komplekse e përzierjes aplikohet në situatat kur përzierja përbëhet prej
më shumë se dy madhësive të ndryshme. Problemet e tilla kanë kryesisht më shumë
zgjidhje. Do të tregojmë se si zgjidhet në formë skeme një problem i tillë .
Shembulli 23.
I kemi katër lloje të ndonjë malli me çmim 160, 140, 110 dhe 50 euro. Si duhet ta
përziejmë mallin e tillë për të përfituar 560 kg me çmim 120,00 euro?
Zgjidhja:
Do ta krijojmë skemën në të cilën në shtyllën e majtë do t’i radhisim çmimet sipas
madhësisë, në mes intensitetin e kërkuar (120, 00), kurse në shtyllën e djathtë do të
përcaktojmë përmasën e kërkuar.
(a1) 160 (m - a4 )70
(a2) 140 (m – a3)10
(m) 120
(a3)110 (a2 – m)20
(a4)50 (a1 – m)40
Nga skema e mëparshme shohim se mallin duhet ta përziejmë sipas përmasës:

x1 : x2 : x3 : x4 = 7 0: 1 0: 2 0: 4 0/ :1 0
=7:1:2:4
Me aplikimin e veprimit të pjesëtimit fitojmë : 7k + k + 2k + 4k = 560
14k = 560
Mallin do të përziejmë si vijon: k = 40
Mallin do të përziejmë si vijon:
mallin nga 160 kn 7 x 40 = 280 kg


7. NJEHSIMI DIFERENCIAL DHE ZBATIMI
1.11. Llogaritja diferenciale
Llogaritja diferenciale rrallë përdoret në praktikën afariste, por megjithatë
është e nevojshme të njihet esenca e saj, sepse pa njohjen e derivateve të disa
funksioneve elementare, nuk mund të kuptohen bazat e koncepcioneve ekonomike
neoklasike mbi të cilat mbështetet tërë sistemi ekonomik. Sipërmarrësi ose studenti pa
i njohur ato metoda nuk do të kuptojë as produktin kufizues (minimal), as të ardhurat
kufitare (minimale), as shpenzimet kufitare (minimale), as elasticitetin e prodhimit, të
kërkesës s dhe të ofertës etj. Aplikimi i atij koncepcioni është veçanërisht i rëndësishëm
në mikroekonomi, ku është treguar kryesisht i saktë, por i pamjaftueshëm dhe joreal,
sidomos sa i përket modelimit të ndërmarrjeve. Fjala është për ekuacionet diferenciale
në ekonominë e ndërmarrjes, të cilat i përshkruajnë ndryshimet e madhësive
ekonomike dhe zgjidhen me metoda matematike. Prejardhjen e ka nga fizika klasike e
Isak Njutnit (I. Newton) dhe shpjegimet e ligjeve natyrore.3
Qenësore është të përcaktohet si ndryshohet ndonjë madhësi ekonomike e
varur, në se madhësia ekonomike e pavarur i afrohet (konvergjon) ndonjë numri. Në se
i marrim dy madhësi (x dhe y), të cilat ndryshojnë (variojnë), janë të ndryshueshme
dhe quhen variabla (ndryshore), shtrohet pyetja si ndryshohet y, nëse x i afrohet
(konvergjon) ndonjë numri. Në se funksioni i dhënë y = f (x), problemi konsiston në
faktin se duhet të përcaktohet masa e ndryshimit relativ e funksionit. Nëse madhësia e
ndryshimit të variablës x shënohet me s Δx, kurse madhësia e ndryshimit të variablës y
me Δy, mund të shkruhet:
∆y f ( x + ∆x) − f ( x)
=
∆x ∆x
(1.43.43)

3
Lit. 18., 19., 21., 22., 40.


∆y f ( x + ∆x) − f ( x )
lim = lim
∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x
(1.44.44)
Nëse ekziston ndonjë vlerë kufizuese (minimale), ajo varet jo vetëm nga x
dhe shënohet se y’(x), që është funksioni i derivuar ose derivat i funksionit y. Pra,
derivati është funksion y = f (x) është vlera kufitare (minimale) të cilës i afrohet herësi
(kuocienti) i diferencave të funksionit dhe variablës së pavarur, kur rritja e variablës së
pavarur i afrohet zeros.4
Funksionet në ekonomi mund të jenë të ndryshme, siç janë funksionet e
prodhimit, të ofertës, të kërkesës etj. Fjala është për një fushë të ndërlikuar të
matematikës, në të cilën në mënyrë matematikore përshkruhet se çka ndodhë në
ekonominë e afarizmit të ndërmarrjes.
Secili funksion paraqet ndonjë lidhje funksionale të parametrave dhe
variablave nga të cilat varet vlera e funksionit. Derivati i funksionit tregon se si
ndryshohet variabla e varur, nëse ndryshohen variablat e pavarura. Derivati i
funksionit të prodhimit tregon produktin minimal të prodhimit.
Shikuar nga aspekti matematikor, në ekonomi aplikohen të ashtuquajturat
funksione elementare, përkatësisht funksionet reale të variablës reale (x dhe y = f(x) së
bashku janë elemente të numrave realë). Funksionet elementare i ndajmë në:
1.) Funksione algjebrike (funksione të cilat fitohen me një varg operacionesh
algjebrike – mbledhje, zbritje, shumëzim, pjesëtim dhe ngritje në fuqi (potencim)
me eksponentin e numrit të plotë dhe atë thyesor). Dallojmë këto funksione
algjebrike:
a) funksione racionale të tëra ose polinomet,
b) funksionet racionale thyesore,
c) funksionet iracionale.
2.) Funksionet transcedente (të gjitha funksionet që nuk janë algjebrike). Funksionet
më të rëndësishme transcedente janë:
a) funksionet eksponenciale,
b) funksionet logaritmike,

4
Lit. 13., 19., 21., 22., 23., 18., 15 (sh. Literatura, fq. 329-331).


c) funksionet trigonometrike,
d) funksionet ciklometrike,
Shkurtimisht do t’i paraqesim rregullat themelore të derivimit.
Tabela 1. Derivacionet e disa funksioneve elementare

funksioni derivacioni

(konstanta) C 0

x 1

xn nxn-1

1
x
2 x
1
n
x
n x n −1
n

ex ex

ax axlna

1
ln x
x
1 1
loga x log a e =
x x ln a
1 0,4343
log x log e ≈
x x

sin x cos x

cos x - sin x


1
tg x
cos 2 x
1
ctg x −
sin 2 x

Derivimi i produktit të konstantës dhe funksionit:
(C ⋅ f ( x))' = C ⋅ f ' ( x )
(1.45.45)
Derivimi i shumës dhe i diferencës së funkcioneve:
( f ( x ) ± g ( x ))' = f ' ( x ) ± g ' ( x )
(1.46.46)
Derivimi i produktit të funksioneve:
( f ( x ⋅ g ( x ))' = f ' ( x) ⋅ g ( x) + f ( x) ⋅ g ' ( x )
(1.47.47)
Derivimi i herësit (kuocientit) të funksioneve:
'
 f ( x)  f ' ( x) ⋅ g ( x) − f ( x) ⋅ g ' ( x)

 g ( x)  =

  ( g ( x)) 2
(1.48.48)
Derivacioni (derivati) i funksionit kompleks:
Nëse është y = f (u ) dhe u = g ( x ) , atëherë është:
dy
= f ' (u ) ⋅ g ' ( x )
dx
(1.49.49)
Shembulli 24.
Përcaktoni derivacionin (derivatin) e funksionit:
a) f (x)

= 5 x 3 − 2 x 2 + 3 x − 7 ⇒ f ' ( x) = (5 ⋅ x 3 )' −2 ⋅ ( x 2 )' +3 ⋅ ( x)' −(7)' =

= 5 ⋅ 3 x 2 − 2 ⋅ 2 x + 3 ⋅ 1 − 0 = 15 x 2 − 4 x + 3
b) f (x) = 2 x + 53 x − 7 4 x ⇒


1 1 1 1 5 7
f’ (x) = 2 ⋅ +5⋅ −7⋅ = + −
2 x 3 x 3 2 4
4 x 3
x 3
3 x 2
4 x3
4

4 5 1
c) f (x) = 2
− +
x x 3 x2
Funksionin së pari e kemi shkruar në formë të polinomit me eksponentë thyesor:
2
−
f (x)
= 4 x −2 − 5 x −1 + x 3

5
−3 −2 2 − 8 5 2
f’(x) = −8 x + 5x − x 3 =− 3 + 2 −
3 x x 3 x5
3

d) f (x) = 2 x ⇒ f ' ( x) = 2 x ln 2 ≈ 0,69315 ⋅ 2 x

1
e) f (x) = x ln x ⇒ f ' ( x) = ( x )'⋅ ln x + x ⋅ (ln x )' = 1 ⋅ ln x + x ⋅ = ln x + 1
x
f) f (x) = 5 x 3 e x

( )
f’(x) = 5 ⋅ ( x 3 )'⋅e x + x 3 ⋅ (e x )' = 5(3 x 2 e x + x 3 e x ) = 5e x (3 x 2 + x 3 )

2 x −1
g) f (x) =
3x + 2
f’(x)

( 2 x −1)'⋅(3 x + 2) − ( 2 x −1) ⋅ (3 x + 2)' 2 ⋅ (3 x + 2) − ( 2 x −1) ⋅ 3
= = =
(3 x + 2) 2 9 x 2 + 12 x + 4
6x + 4 − 6x + 3 7 7
= = 2 = 2
9 x + 12 x + 4 9 x + 12 x + 4 9 x + 12 x + 4
2

1 5
h. f(x) = 5 x + 1 ⇒ f ' ( x) = ⋅ (5 x +1)' =
2 5 x +1 2 5 x +1
3 x 2 −5
3 x 2 −5 3 x 2 −5 1 3xe
i) f(x) = e ⇒ f ' ( x) = e ⋅ ⋅ 6x =
2 3x 2 − 5 3x 2 − 5
Shembulli 25.

Përcaktoni derivacionin (derivatin) e dytë të funksionit f (x) = 2 x 3 + 3x 2 + x
Zgjidhja:


f ' (x) = 6x2 + 6x + 1
f ”(x) = (f’(x))’ = 12x + 6

Përcaktimi i ekstremit të funksionit të një variable duke
aplikuar llogaritjen diferenciale
Me aplikimin e llogaritjes diferenciale relativisht thjeshtë përcaktohen ekstremet lokale
të një variable. Procedura është si vijon:
1. Përcaktohet derivacioni (derivati) i parë i funksionit.
2. Derivacioni (derivati) i parë barazohet me zeron. Zgjidhjet e ekuacionit janë pikat
stacionare – të vlerës së variables x në të cilat funksioni do të mund të kishte ekstrem.
3, E përcaktojmë derivacionin (derivatin) e dytë të funksionit. I radhisim më parë pikat
stacionare (x0) në derivacionin (derivatin) e dytë. Nëse është f”(x0)> 0; atëherë
funksioni ka maksimumin (minimumin) në pikën (x0 , f (x0)). Nëse është f”(x0) < 0;
atëherë funksioni ka maksimumin në pikën (x0 , f (x0)). Nëse është f ”(x0) = 0, atëherë
verifikohet vlera e variacionit të rendit më të lartë për x0. Nëse f’”(x0) ≠ 0, fjala është
për pikën e infleksionit (pika në të cilën kahja e konkavitetit ndërrohet në kahje
konveksioni ose anasjalltas).

Shembulli 26.
Përcaktoni ekstremet e funksionit f(x) = x3 – 2x2 – 4x +1.
Zgjidhja:
f’(x) = 3x2 – 4x – 4

− b ± b 2 − 4ac
f’(x) = 0 ⇒ 3 x 2 − 4 x − 4 = 0 ⇒ x1, 2 =
2a
4 ± 16 + 48
=
x1,2 6

2
=2 =− ⇒
x1 x2 3 pikat stacionare
f”(x) = (3 x 2 − 4 x − 4)' = 6 x − 4

f”(x1) = f ' ' ( 2) = 6 ⋅ 2 − 4 = 8 > 0 ⇒ min( 2, f (2)) ⇒ min( 2,−7)


 2  2
f " ( x 2 ) =f " 
 3 = ⋅ 3  4 = 8 < ⇒
− 6 − − − 0 max
   

 2 2 
− , f ( − )  ⇒
 3
 3 

 2 67 
⇒m − ,
ax  
 3 27 

Shembulli 27.
Është dhënë funksioni i kërkesës q(p) = (3 + p)0,5, ku p është çmimi i produktit të
caktuar. Caktoni zonën e elasticitetit dhe të jo elasticitetit të funksionit të kërkesës!
Zgjidhja:
q(p) = ( 3 + p)0,5= 3 + p
Së pari të caktojmë domenin e funksionit të kërkesës:

3 + p ≥ 0

 D(q) = [ 0, ∞ )
p ≥ 0 
Koeficienti i elasticitetit E q,p llogaritet nga relacioni:
p dq
Eq,p = ⋅
q dp
(1.50.50)

=
p
⋅ 3 + p
 ) '
=
p
⋅
1
=
p
2( 3 + p )
3+ p  3+ p 2 3+ p
Eq,p

Shihet se është Eq,p ≥ 0 për secilën p ∈ D (q), prandaj vlen

p
Eq, p = Eq, p =
2(3 + p )

Elasticiteti: E q , p <1


p
2(3 + p )
< 1 ⇒ p < 2 (3 + p) ⇒ p > - 6, që vlen për secilin p ∈ D (q).
Pra, funksioni i kërkesës është jo elastik në tërë domenin e vet. Për p = 0 e fitojmë jo
elasticitetin e përkryer.
Në praktikë derivimi i funksionit mund të përdoret me rastin e përcaktimit të
fazës së prodhimit, të përcaktimit të rezultatit monopolistik të prodhimit etj., që mund të
shërbejnë për marrjen e vendimeve afariste.
Shembulli 28.
Është dhënë funksioni i prodhimit Q = 20x2 – 3x3, është x sasia e faktorit të prodhimit të
angazhuar. Numerikisht dhe grafikisht përcaktoni fazat e prodhimit, elasticitetin e
prodhimit në kufijtë e fazave të prodhimit dhe elasticitetin e prodhimit për një vlerë x në
zonën e prodhimit elastik.
Zgjidhja:
1. Për funksionin e prodhimit së pari caktojmë zero pikët:
20x2 – 3x3 = 0
X2 (20 – 3x) = 0
x1 = 0, 20 - 3x = 0
- 3x = - 20
3x = 20
20
x2 =
3
x2 = 6,67
Në praktikë prodhimi asnjëherë nuk është e njëjtë me zeron, nëse rritet hyrja e faktorit
prodhues. Prandaj merret një pikë pas pikës ku është prodhimi maksimal.
2. Pastaj përcaktojmë pikën e maksimumit:
Q(x) = 20x2 – 3x3
Q’(x) = 40 x – 9x2 → derivacioni (derivati) i parë i funksionit
40x – 9x2 = 0
x(40-9x) = 0
x1 = 0, 40 – 9x = 0
- 9x = - 40


9x = 40
40
x2 =
9
x2 = 4,44 – kandidatët për funksione ekstreme → max
Q” (x) = 40 – 18 x → derivacioni(derivati) i dytë i funksionit
Q”(4,44) = 40 −18 ⋅ 4,44
Q” (4,44) = 40 – 79,92
Q”(4,44) = - 39,92 < 0 → max, kushti i derivacionit të dytë
Q(4,44) = 20 x 4,44 – 3 x4,44x4,44 = 394,27 – 262,59 = 131,68
Maksimumi i prodhimit gjithsej arrihet në pikën: M (4,44; 131,68).
3. Pika e infleksionit
Pika e infleksionit është pika në të cilën lakorja kalon nga forma konvekse në atë
konkave ose anasjelltas.
Q” (x) = 40 – 18x
40 – 18x = 0

- 18x
= − 4 0/ ⋅ ( − 1)
18x = 40

x = 18
40

x = 2,22

Q (2,22) = 20 . 2,222 – 3. 2,223
Q (2,22) = 98,57 – 32,83
Q (2,22) = 65,74
Pika e infleksionit e prodhimit është: I (2,22; 65,74).

4. Produktiviteti kufitar (minimal)
Produktiviteti kufitar (minimal) i punës (kapitalit) tregon ndryshimin e sasisë së
prodhimit për njësinë e punës ose të kapitalit të shpenzuar. Kështu fitohet përgjigja


lidhur me pyetjen për sa rritet prodhimi gjithsej për secilën njësi shtesë të faktorit
prodhues.
dQ
MPQx =
dL
MPQx = 40x – 9x2
pikat zero:
40x – 9x2 = 0
x (40x – 9x) = 0
x1 = 0, 40 – 9x = 0
- 9x = - 40
40
x =
9
x2 = 4,44
pika e maksimumit M:
Q” (x) = 40 – 18 x
40 – 18x = 0
- 18x = - 40
x = 2,22
MPQ 2,22 = 40 . 2,22 – 9 . 2,222
MPQ 2,22 = 88,80 – 44,36 = 44,44
Maksimumi i produktivitetit prodhues arrihet në pikën: M (2,22; 44,44).

5. Produktiviteti mesatar i punës ose i kapitalit
Produktiviteti mesatar i punës ose i kapitalit tregon sasinë e prodhimit për njësinë e
punës ose e kapitalit të shpenzuar.

Q 20 x 2 − 3 x 3
APQ x = =
x x
APQ x = 20x – 3x2
Pika e maksimumit të APQx është njëkohësisht edhe pika ku është APQx = MPQx,
përkatësisht ku produktiviteti mesatar është i barabartë me produktivitetin minimal.
APQx = MPQx


20x – 3x2 = 40x – 9x2

20x – 40x – 3x + 9x2 =
0 / ⋅( − 1)
x (20 – 6x) = 0
x1 = 0, 20 - 6x = 0
- 6x = - 20
20
x =
6
x2 = 3,33
APQ 3,33 = 20 ⋅ 3,33 − 3 ⋅ 33 2
APQ 3,33 = 66,60 – 33,27
APQ 3,33 = 33,33
Maksimumi i produktivitetit mesatar arrihet në pikën M (3,33; 33, 33).
Ky është njëkohësisht kufiri midis fazës I dhe II. të prodhimit. Maksimumin e
produktivitetit mesatar e tregon tabela në vazhdim:
Tabela 2. Maksimumi i produktivitetit mesatar
20x2 – 3x3 20x– 3x2 40x – 9x ?
X Q APQx MPQx
0 0 0 0
1 17 17 31
2,22 (I) 65,74 29,61 (M) 44,44
3,33 111 (M) 33,33 33,33
4 128 32 16
4,44 (M) 131,68 29,66 Q e ka M 0
6 72 12 - 84
Q3,33 = 20 + 3,332 – 3 . 3,333
Q3,33 = 221,78 – 110,78
Q3,33 = 111
Q4 = 20 ⋅ 4 2 − 3 ⋅ 4 3
Q4 = 320 – 92
Q4 = 128

Q6 = 20 ⋅ 6 − 3 ⋅ 6
2 3

Q6 = 720 – 648


Q6 = 72
APQ2,22 = 20 ⋅ 2,22 − 3 ⋅ 2,22 2
APQ2,22 = 44,40 – 14,79
APQ2,22 = 29,61

APQ4 = 20 ⋅ 4 − 3 ⋅ 4
2

APQ4 = 80 – 48
APQ4 = 32
APQ4,44 = 20 ⋅ 4,44 − 3 ⋅ 4,44 2
APQ4,44 = 88,80 – 59,14
APQ4,44 = 29,66
APQ6 = 20 ⋅ 6 − 3 ⋅ 6 2
APQ6 = 120 – 108
APQ6 = 12
MPQ4 = 40 ⋅ 4 − 9 ⋅ 4 2
MPQ4 = 160 – 144
MPQ4 = 16

MPQ4,44 = 40 ⋅ 4,44 − 9 ⋅ 4,44
2

MPQ4,44 =177 ,6 −177 ,6 = 0 →Q e ka max.

MPQ6 = 40 ⋅ 6 − 9 ⋅ 6
2

MPQ6 = 240 – 324
MPQ6 = 84

Paraqitja grafike 1. Përcaktimi i fazave të prodhimit


Prodhimi i
përgjithshë
m
Prodhimtari
a mesatare
Prodhimtari
a kufitare

6. Elasticiteti i prodhimit në kufijtë e fazave të prodhimit
Elasticiteti i prodhimit është aftësia e prodhimit për të reaguar kur ndryshohet ndonjë
faktor i cili me të cilin është në ndërvarësi reciproke.

MPQ 40 x − 9 x 2
= =
EQX APQ 20 x − 3x 2

40 ⋅ 3,3333 − 9 ⋅ 3,3333 2
EQ3,33 =
20 ⋅ 3,3333 − 3 ⋅ 3,3333 2
133 ,33 −100
EQ3,33 =
66 ,66 −33 ,33
33 ,33
EQ3,33 = =1
33 ,33
Elasticiteti i prodhimit në kufirin I. e II. të fazës së prodhimit është 1. Në kufirin I. e II.
të fazë së prodhimit produktiviteti kufitar dhe ai mesatar janë të barabartë. Lakoret e
tyre në Paraqitjen grafike 1. priten.


40 ⋅ 4,4444 − 9 ⋅ 4,4444 2
EQ4,44 =
20 ⋅ 4,4444 − 3 ⋅ 4,4444 2
177 ,78 −177 ,78
EQ4,44 =
88 ,89 −59 ,26
0
EQ4,44 = =0
29 ,63
Elasticiteti i prodhimit në fazën II. e III. është baras me 0, produktiviteti kufitar
(minimal) baras me zero, kurse prodhimi gjithsej është maksimal.

40 ⋅ 2 − 9 ⋅ 2 2
=
EQ2 20 ⋅ 2 − 3 ⋅ 2 2 EQ në zonën e prodhimit elastik
80 − 36
=
EQ2 40 −12
44
= = 1,57
EQ2 28
1, 57 do të thotë se rritja e rolit të faktorit prodhues është për 1% (në nivelin prej x = 2)
shkakton ngritjen e prodhimit për 1,57%, duke supozuar se faktorët e tjerë kanë mbetur
të pandryshuar. Prodhimi ndryshon më shumë se investimi i faktorit prodhues.
Gjithashtu, është i mundshëm deviacioni (derivati) i pjesërishëm (parcial) i funksioneve
me dy ose më shumë variabla. Le t’i ketë funksioni f (x,y) dy deviacione të pjesërishme
të derivacionit të rendit të parë:
- derivacioni f sipas x, me ç’rast y e shikojmë si konstant
- derivacionin f sipas y, me ç’rast x e shikojmë si konstant.
δf δf df df
Matematikisht mund të shënohen: , ; , ; f 'x , f 'y ,
δx δy dx dy
përkatësisht
fx , fy .
Shembulli 29.
Përcaktoni deviacionet parciale të funksionit:
a) f (x, y) = 2x3 + 3x2– 3xy + 5
b) f (x, y) = 5 1n (2x – 3y)


c) f (x, y) = xy
Zgjidhja:
a) fx = 6x2 – 3y; fy = 6y – 3x
1 10
=5⋅ ⋅2 =
b) fx 2x − 3y 2x − 3 y ; fy

1 15 15
=5⋅ ⋅ (−3) = − =
2x − 3y 2x − 3y 3y − 2x
y−
fx = y ⋅ x ; fy = x ln x
1 y
c)
Shembulli 30:
Funksioni i dhënë i kërkesës:
qA = 0,5 pA-0,4 pB0,8,
ku është qA kërkesa e produktit A, pA çmimi i produktit A dhe pB çmimi i prodhimit B.
Përcaktoni koeficientin e elasticitetit parcial dhe koeficientin e elasticitetit të kryqëzuar
dhe shpjegoni rezultate e fituara.
Zgjidhja:
Elasticiteti parcial:
p A dq A
= ⋅
EqA,pA
q A dp A

pA −1, 4 0 ,8
= −0, 4 0 ,8
⋅ 0,5 ⋅ (−0,4) p A pB = −0,4
EqA,pA
0,5 p A pB
Nëse çmimi i produktit A rritet për 1%, kërkesa e produktit A do të zvogëlohet për
0,4%, pa ndryshim të çmimit të produktit B.
Elasticiteti i kryqëzuar:
p B dq A
= ⋅
EqA,pB
q A dp B

pB − 0, 4 − 0, 2
= −0, 4 0,8
⋅ 0,5 ⋅ p A ⋅ 0,8 p B = 0,8
EqA,pB
0,5 p A pB


Nëse çmimi i produktit B rritet për 1%, kërkesa për produktin A do të rritet për 0,8%, pa
ndryshim të çmimit të produktit A.
Përcaktimin e funksionit ekstrem të dy variablave do ta shpjegojmë në shembullin
konkret.
Shembulin 31.
Funksioni i të ardhurave gjithsej të ndërmarrjes X ka formën:
P (Q1, Q2) = 2Q1 Q2 – 2Q12 – Q22 + Q1+20
ku Q1 dhe Q2 janë sasi të produktit 1 e 2. Përcaktoni me çfarë sasie Q1 dhe Q2 do të
realizohen të ardhurat më të mëdha.
Zgjidhja:
Zgjidhja e problemit të dhënë konsiston në llogaritjen e maksimumit të funksionit të
dhënë. Veprimi është si vijon:
1. Përcaktojmë devijacionet (derivatet) e para parciale PQ1 dhe PQ2;
PQ1 = 2Q2 – 4Q1 + 1 PQ2 = 2Q1 - 2Q2
2. I barazojmë deviacionet e para parciale s(derivatet e para parciale) me zero dhe e
zgjidhim sistemin me dy ekuacione me nga dy të panjohura:
2Q2 – 4Q1 + 1 = 0
2Q1 – 2Q2 = 0
1 1
= = →
Q1 2 Q2 2 pika stacionare
3. Përcaktojmë derivacionet (derivatet)parciale të rendit të dytë PQ1Q1, PQ2Q2 , PQ1Q2,
PQ2Q1 :
PQ1Q1 = - 4 PQ2Q2 = –2
PQ1Q 2 = 2 PQ2Q1 = 2 → deviacionet e përziera parciale të rendit të dytë përherë
janë të barabarta.
4. I llogarisim vlerat e derivacioneve parciale të rendit të dytë në pikat stacionare (në

1 1 
këtë rast vetëm një pikë stacionare  ,  dhe derivacionet parciale janë konstante –
2 2
nuk varen nga Q1 dhe Q2):


PQ1Q1= - 4 PQ2Q2 = - 2 → derivacionet parciale të shkallës së dytë sipas variablave të
njëjta duhet të kenë parashenja të njëta nëse funksioni arrin ekstremin në pikën
stacionare. Nëse janë negative, funksioni ka maksimumin, nëse ato janë pozitive,
funksioni ka minimumin në pikën stacionare të vrojtuar.
PQ1Q2 = 2 PQ2Q1 = 2
5. Llogarisim vlerat e determinantes:

∣P Q1Q1
PQ1Q 2
Δ =¿  = PQ1Q1 ⋅ PQ 2 Q 2 − PQ 2 Q1 ⋅ PQ1Q 2
∣P Q2Q1
PQ 2Q 2
Nëse është: Δ > 0 funksioni arrin ekstremin në pikën e shikuar
Δ < 0 funksioni nuk arrin ekstremin në pikën e shikuar
Δ = 0 është e nevojshme të aplikohen metoda
më të ndërlikuara.

2
Në rastin tonë Δ =
− 4
= (− 4) ⋅ (− 2) − 2 ⋅ 2 = 4 > 0
−2
2

1 1 1 1  1 1 8 
1
Funksioni arrin maksimumin në pikën  , , P ,  = , ,
    .
2 2 2 2  2 2 4 

Pra, e ardhura maksimale në shumë prej 20,25 njësish monetare do të realizohet me
prodhimtarinë 0,5 njësish të herësit të dy produkteve.

Shembulli 32:
Lakorja e dhënë e kërkesës së dy ndërmarrjeve në kartelë: px = 50 - x
Në kushte: 1.) MC = 0
2.) Ndërmarrjet pajtohen të prodhojnë gjysmën e sasive të
prodhimit të monopolit dhe të realizojnë gjysmën e fitimit.
Llogarit rezultatin monopolistik të prodhimit.


Zgjidhja:
Rezultati monopolistik i prodhimit mund të llogaritet nga funksioni i fitimit ashtu që
ekuacioni të shumëzohet me x dhe merren parasysh kushtet e rendit të parë:

∂∏m
Πm = 50 x − x 2 , mandej pason: = 5 0− 2 x = 0 (derivacioni i parë parcial
∂x
m sipas x).

Me zgjidhjen e ekuacionit sipas x, px dhe ∏m fitohen këto dy zgjidhje optimale:

x* = 25; px* = 25; Πm* = 625
Interpretimi i zgjidhjeve të fituara:
Nëse të dy ndërmarrjet vendosin të prodhojnë sasi të njëjta, secila ndërmarrje mund të
prodhojë 12,5 njësi dhe më atë rast të fitojë 312,5 njësi të fitimit me çmim 25 njësish.
Rezultati i përgjithshëm (monopolistik) i prodhimit do të jetë: 312,5 x 2 = 625 njësi
monetare. Mirëpo, nëse ndërmarrja A vendos të mos i përmbahet marrëveshjes së
kartelit dhe prodhon 15, në vend të 12,5 njësive, rezultati i tregut i prodhimit do të jetë
27,5 njësi, ndërsa çmimi i tregut i prodhim së do të jetë 27,5 njësi. Sipas atij çmimi
ndërmarrja A do të fitonte 337,5 njësi (15 x 22,5), kurse ndërmarrja B 281,25 njësi
(12,5 x 22,5). Për këtë arsye, ndërmarrja është shumë e motivuar të shtojë prodhim në
15 njësi. Mirëpo, nëse të dy ndërmarrjet e rrisin prodhim në 15 njësi (gjithsej 30),
çmimi i tregut do të bie në 20 njësi dhe të dy ndërmarrjet do të humbnin fitimin, duke
fituar vetëm 300 njësi. Në atë rast, rezultati i përgjithshëm (monopolistik) i prodhimit
do të jetë 600 njësi monetare, do të thotë më i vogël për 25 njësi monetare. Prandaj,
bisedimet midis këtyre dy ndërmarrjeve, arritja e marrëveshjes së kartelit dhe respektimi
i asaj marrëveshjeje është zgjidhja e vetme për të dyja ndërmarrjet.5

5
Lit. 42.


8. NJEHSIMI INTEGRAL DHE ZBATIMI

1.12. Llogaritja integrale
Llogaritja integrale është fushë mjaft e gjerë dhe relativisht e ndërlikuar e
matematikës, e cila rrallë aplikohet në praktikën afariste. Ne në këtë punim shkurtimisht
do të shpjegojmë vetëm nocionet themelore të llogaritjes integrale dhe rregullat e
integrimit.6
Funksioni primitiv për funksionin e një variable y = f (x) është funksion i tillë
F(x) derivacioni i të cilit është i barabartë me funksionin fillestar f (x). Mbledhja e
funksioneve primitive për funksionin e dhënë është bashkësi e pakufishme. Shprehja e
përgjithshme F(x)+C për të gjitha funksionet primitive të funksionit të dhënë (x) i
quajmë integrale të papërcaktuara dhe i paraqesim:

F(x)+C =∫ f ( x ) dx

(1.51.51)

Tabela 3. Rregullat e përgjithshme të integrimit
Tabela e integraleve themelore
(Konstanta e integrimit të C nuk është përfshirë në tabelë)

x n +1 dx 1 x
∫ x dx =
n

n +1
( n ≠ −1) ∫a 2
+x 2
= arctg
a a
dx dx 1 a+x
∫ = ln x ∫a = ln (x <a)
x 2
−x 2
2a a −x

∫e dx = e x
x
dx 1 x −a
∫x 2
−a 2
=
2a
ln
x +a
ax
∫ a dx =
x

ln a (x >a)

dx x
∫sin xdx = −cos x
∫ = arcsin
a2 − x2 a

6
Lit. 18. (sh. Literatura, fq. 329-331).


∫cos xdx = sin x
∫
dx
= ln x + x 2 + a 2
a +x
2 2

∫tgxdx = −ln cos x
dx
∫ctgxdx = ln sin x ∫ x −a
2 2
= ln x + x 2 − a 2

Rregullat themelore të integrimit:
Integrimi i prodhimit të konstantës dhe funksionit:

∫a ⋅ f ( x)dx = a ⋅ ∫ f ( x ) dx

(1.52.52)
Shumat e integruara dhe diferencat:

∫( f ( x) + g ( x) −h( x) )dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ g ( x ) dx −∫h( x ) dx

(1.53.53)
Rregulla e supstitucionit: Nëse është x = u (t ) , atëherë:

∫ f ( x)dx = ∫ f [u (t )] ⋅ u ' (t ) dt

(1.54.54)
Integrimi parcial: Nëse u dhe v janë funksione prej x, atëherë vlen:

∫ fudv = uv − ∫vdu (1.55.55)

Shembulli 33.
Zgjidhja:
Përcaktoni integralet e papërcaktuara:

x 3+1 x4
∫ x dx ⇒ ∫ x dx = = +C
3 3
a)
3 +1 4
x 4+1 x5
∫ 5 x dx ⇒ ∫ 5 x dx = 5∫ x dx = 5 ⋅ = 5⋅ = x5 + C
4 4 4
b)
4 +1 5

∫( x − 4 x +3) dx = ∫( x 2 − 4 x +3) dx = ∫ x 2 dx − ∫ 4 xdx + ∫3dx =
2
c)


x 2+1 x 1+1 x 0+1 x3 x2 x1
∫ x dx − 4∫ xdx + 3∫ dx = −4⋅ +3⋅ = −4⋅ +3⋅ =
2

2 +1 1 +1 0 +1 3 2 1
1 3
= x − 2 x 2 + 3x + C .
3

Shembulli 34.
Caktoni funksionet e shpenzimeve të përgjithshme T = f(Q), nëse elasticiteti

ET ,Q = 0,2Q dhe nëse shpenzimet fikse janë 1,8.

Zgjidhja:
Zgjidhja e këtij problemi konsiston në zgjidhjen e ekuacionit diferencial.
Q dT
E T ,Q = ⋅
T dQ
Q dT
⋅ = 0,02 Q / (. dQ ) / (:Q )
T dQ
dT
= 0,02 dQ ⇒ e integrojmë ekuacionin
T
dt
∫T = ∫ 0,02 dQ

lnT = 0,02 Q +C
T = e 0 , 02 Q +C

T = e C ⋅ e 0, 02 Q
C është konstanta, prandaj eC është konstanta (nuk është qenësore shenja) dhe arrijmë
deri të zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial:
T(Q) = C ⋅ e 0, 02 Q
Përdorim vlerën e dhënë të shpenzimeve fikse:
T (0) = 1,8
C ⋅ e 0, 02 ⋅0 =1,8
C = 1,8


Pra, funksioni i kërkuar i shpenzimeve të përgjithshme është:
T(Q) =1,8 ⋅ e 0 , 02 Q

Shembulli 35.
-2
a) Është dhënë funksioni i shpenzimeve kufitare (minimale) t(Q) = 2Q – 4Q si
funksion i prodhimit Q. Përcaktoni funksionin e shpenzimeve të përgjithshme,
nëse shpenzimet e përgjithshme në nivel të prodhimit Q = 1 janë 10.
b) Një prodhues ka gjetur se kostoja margjinale është 3 x 2 − 80 x + 500 euro për
njësi kur prodhohen x njësi. Kostoja e përgjithshme e prodhimit të 2 njësive të
para është 1000 €. Sa është kostoja e përgjithshme e prodhimit të 5 njësive të
para ?
c) Një shitës me pakicë pranon një dërgesë prej 12000 kg miell, i cili do të
shpenzohet me shpejtësi konstante nga 300 kg në javë. Në qoftë se kostoja e
depos e miellit është 0.5 cent për kilogram për javë, sa do të duhet të paguajë
shitësi në emër të kostos për depo gjatë 40 javëve të ardhshme?
d) Çmimi p (euro) i një njësie të mallit të caktuar vlerësohet të ndryshojë me
shpejtësi
dp 217 x
=− ,
dx 16 + x 2
ku x (qind) njësi është kërkesa e konsumatorëve. Supozojmë se 300 njësi

( x = 3) kërkohen kur çmimi është 240 € për njësi.
1) Të gjendet funksioni i çmimit p ( x) sipas kërkesës.
2) Për çfarë çmimi do të kërkohen 400 njësi? Për çfarë çmimi nuk do të
kërkohet asnjë njësi?
3) Sa njësi kërkohen për çmimin 30 € për njësi ?
Zgjidhja:
a) Funksioni i shpenzimeve minimale t(Q) është i barabartë me derivacionin
e funksionit të shpenzimeve të përgjithshme T (Q) sipas variablës Q. Pra, vlen:
dT
= t (Q )
dQ


dT
= 2Q − 4Q −2 / (⋅ dQ)
dQ

dT = ( 2Q −4Q −2 ) dQ / ( ∫)

∫dT = ∫( 2Q −4Q −2 ) dQ

T = 2 ∫Q Q −4 ∫Q d
−2
d Q

Q2 Q −1
T = 2⋅ −4⋅ +C
2 −1
Zgjidhja e përgjithshme e ekuacionit diferencial është: T(Q) = Q2+4Q-1 +C. E radhisim
informatën shtesë T (1) = 10:
10 = 12 + 4 ⋅1−1 + C
C=5
Pra, funksioni i kërkuar i shpenzimeve të përgjithshme është: T(Q) = Q2+4Q-1+5.
b) Kujtojmë se kostoja margjinale është derivati i funksionit C ( x ) të kostos së
përgjithshme. Kështu,

C '( x) = 3x 2 − 80 x + 500 ,
prandaj C ( x ) duhet të jetë funksioni primitiv

C ( x) = ∫ C '( x) dx

= ∫ (3x 2 − 80 x + 500) dx
= x 3 − 40 x 2 + 500 x + K ,
për ndonjë vlerë të konstantës së integrimit K.
Vlera e K përcaktohet nga fakti se
C (2) = 1000 .
Pra,

23 − 40 ⋅ 22 + 500 ⋅ 2 + K = 1000 ,
prej nga gjejmë
K = 152 .
Prandaj,


C ( x) = x 3 − 40 x 2 + 500 x + 152 ,
dhe kostoja e prodhimit të 5 njësive të para është

C (5) = 53 − 40 ⋅ 52 + 500 ⋅ 5 + 152
= 1777.
c) Shënojmë me S (t ) koston e përgjithshme (totale) (në euro) gjatë t javëve. Meqë
mielli shpenzohet me shpejtësi konstante nga 300 kg në javë, numri i kilogramëve të
miellit në depo pas t javësh është
q (t ) = 12000 − 300t .
Prandaj, meqë kostoja e depos e miellit është 0.5 cent (d.m.th. 0.005 €) për kilogram
për javë, shpejtësia e ndryshimit të kostos së depos sipas kohës është
dS
= q (t ) ⋅ 0.005
dt
= 0.005(12000 − 300t )
= 60 − 1.5t.
Rrjedhimisht, S (t ) është

dS
S (t ) = ∫ dt
dt
= ∫ (60 − 1.5t ) dt
= 60t − 0.75t 2 + C
për ndonjë konstantë C. Për të përcaktuar vlerën e C, shfrytëzojmë faktin se në kohën e
arritjes së dergesës (kur t = 0 ) nuk ka kosto, pra

S (0) = 0 ,
d.m.th.

60 ⋅ 0 − 0.75 ⋅ 02 + C = 0
ose
C =0.
Kështu,


S (t ) = 60t − 0.75t 2 ,
dhe kostot për depo gjatë 40 javëve të ardhshme do të jenë

S (40) = 60 ⋅ 40 − 0.75 ⋅ 402
= 1200.
d)
1) Çmimi p ( x) për njësi të kërkesës gjendet duke integruar p '( x) sipas x :

p ( x) = ∫ p '( x) dx
217 x
= ∫− dx.
16 + x 2
Për këtë, bëjmë zëvendësimin
1
u = 16 + x 2 , du = 2 x dx, du = x dx ,
2
për të fituar
217 x
p ( x) = ∫ − dx
16 + x 2
217 1
= −∫ ⋅ du
u 2
217 −1/ 2
2 ∫
=− u du

217 1 1/ 2
=− ⋅ u +C
2 1
2
= −217 16 + x 2 + C.
Meqë p = 240 kur x = 3 , gjejmë

p (3) = 240
−217 16 + 32 + C = 240
C = 240 + 217 25
C = 1325,


prandaj

p ( x) = −217 16 + x 2 + 1325 .
2) Kur kërkesa është 400 njësi kemi x = 4 , dhe çmimi korrespondues është

p (4) = −217 16 + 42 + 1325
≈ 97.46.
Asnjë njësi nuk kërkohet kur x = 0 , kurse çmimi korrespondues është

p (0) = −217 16 + 02 + 1325
= 457.
3) Për të përcaktuar numrin e njësive të kërkuara për çmimin 30 € për njësi, duhet
zgjidhur ekuacionin
p( x) = 30
− 217 16 + x 2 + 1325 = 30
− 217 16 + x 2 = −1295
1295
16 + x 2 =
217
2
 1295 
16 + x = 
2

 217 
2
 1295 
x=   − 16
 217 
x ≈ 4.43.
D.m.th., kërkesa do të jetë përafërsisht 443 njësi.

1.13 Detyra dhe zgjidhje

DETYRA
1. Nga prodhimet vjetore prej 5000 tonelatash 25 tonelata janë jokualitative
(me defekte). Sa është përqindja e mallit jokualitativ?


2. Shitja e realizuar kap shumën 120000,00 euro, për të cilën llogaritet
tatimi në mbivlerë në kontigjente me shkallë 22%. Sa kapë tatimi në
mbivlerë?
3. Në një aksident komunikacioni është shkatërruan kamioni i fabrikës. Shoqëria e
sigurimit në emër të dëmit ka kompensuar vlerën e kamionit në shumë prej 9500,00
eurosh, që do të thotë 75% të vlerës së kamionit. Sa është vlera e kamionit?
4. Pasuria e ndërmarrjes është çregjistruar 50% dhe pas çregjistrimit vlen 230000,00
euro. Sa është amortizimi dhe sa ishte vlera blerëse e pasurisë.
5. Sipërmarrja është dashur të pranojë lëndë të parë më vlerë 7500,00 euro, kurse ka
marrë 12% më pak vlerë të mallit. Sa është vlera e lëndës së parë që ajo ka marrë?
6. Çmimi prodhues i produktit është zvogëluar për 15% dhe tani është 2500,00 euro. Sa
ishte çmimi i shitjes së mallit para zvogëlimit të çmimit?
7. Çmimi i shitjet është rritur prej 230 në 250 euro. Sa për qind është rritur
çmimi i shitjes i produktit?
8. Çmimi i shitjes i produktit është zvogëluar 5% ose 65 euro. Sa ishte
çmimi i shitjes përpara, e sa pas lirimit?
9. Shpenzimet fikse të ndërmarrjes kapin shumën prej 50000,00 eurosh dhe
përbëjnë 25% të shpenzimeve të përgjithshme. Sa është shuma e
shpenzimeve të përgjithshme dhe sa shpenzimet variabile, nëse
shpenzimet fikse dhe ato variabile e përbëjnë shpenzimet e përgjithshme
të fabrikës?
10. Pas rritjes prej 11% punëtori ka marrë pagën prej 350 eurosh. Për sa
euro është rritur paga e tij?
11. Produkti me peshë 1 kg përmban 500 g lëndë të parë, 300 g lëndë tjetër
të parë dhe 200 g të lëndës së tretë. Çfarë është struktura e produktit për
kah lënda e parë në përqindje?
12. Fatura që ka arritur kap shumën prej 7000,00 eurosh. Vlera e mallit në
faturë përbën 80%, shpenzimet e transportit 15%, premia e
sigurimit 5%, kurse pjesa tjetër shpenzime të tjera. Sa euro kap vlera e
mallit, sa shpenzimet e transportit, sa premia e sigurimit dhe sa
shpenzimet e tjera?


13. Sa mall mund të blihet me 5600,00 euro, nëse 300 kg kushtojnë
25000,00 euro?
14. Sa kap kamata për 23000,00 euro kredi, nëse për 250000,00 euro kredi
kamata kap shumë prej 7800,00 euro, kurse kushtet e kredisë janë të
njëjta?
15. 500 copë produkti i prodhojnë 25 punëtorë për tridhjetë ditë, duke
punuar 7 orë në ditë. Sa do të prodhonin 30 punëtorë, nëse do të punonin
25 ditë nga 8 orë në ditë?
16, 50 punëtorë mbledhin 15 tonelata mollë për 8 ditë. Ditën e parë molla
mbledhin 12 punëtorë, kurse gjatë 4 ditëve të tjera 7 punëtorë. Sa
punëtorë duhet të mbledhin mollë dy ditët e fundit, për t’u kryer puna për
8 ditë?
17. Ndërmarrja ka marrë 1380 kg lëndë të parë A, 230 kg B, 460 kg C dhe
650 kg D, për të cilat ka paguar shpenzimet e transportit 2400,00 euro.
Duhet të shpërndahen shpenzimet e transportit të lëndës së parë sipas
sasive të blera.
18. Rezerva (stoqe) janë 25 copë produktesh A me çmim 157,00 euro, 30
copë produktesh B me çmim 185,00 euro, 36 copë C me çmim 200,00
euro dhe 7 copë të produktit D me çmim 130,00 euro. Sa është çmimi
mesatar i produkteve që janë rezervë (stoqe)?
19. Sa kushton 1 kg mollë, nëse 1 kg mollë bën sa 2 kg dardha, 1 kg dardha
kushton sa 0,5 kg qershi, kurse 1 kg qershi kushton 3 euro?
20. Është dhënë funksioni i prodhimit Q = 18x2 - 4x3, ku sasia x është e
faktorit të angazhuar prodhues. Paraqitni me numra dhe grafikisht fazat
e prodhimtarisë, elasticitetin e tij në kufijtë e fazave të prodhimit dhe
elasticitetin e prodhimtarisë për një vlerë x në zonën e prodhimtarisë
elastike.
21. Lakorja (kurba) e dhënë e kërkesës: px = 20 - x
Me kushte: 1.) MC = 0
2.) Ndërmarrjet janë të pëlqimit që gjysmën
e sasive të prodhimit të monopolit dhe të


realizojnë gjysmën e fitimit.
22. Përcaktoni derivatet e funksioneve të dhëna:
a) f(x) = 2 x 3 − 7 x 2 + 5 x − 1

b) f(x) = 5 x 3

c) f(x) = 7 x 4 ln x

x2 +3
d) f(x) =
x −5
e) f(x) = 5 4 x −1
1 3
23. Përcaktoni ekstremet e funksioneve f(x) = x − 2 x 2 + 3x + 2
3
24. Funksioni dhënë i kërkesës q = 2 − p , ku p është çmimi i produktit të caktuar.
Përcaktoni zonën e elasticitetit dhe atë të joelasticitetit të funksionit të dhënë!
25. Përcaktoni ekstremet e funksionit: f(x,y) = 2x2 + y2+x+1.
−0 , 6 0,9
26. Është dhënë funksioni i kërkesës: qA = 3pA pB , ku qA është kërkesë

e produktit A, PA çmimi i produktit A dhe pB çmimi i produktit B.
Caktoni koeficientin e elasticiteti parcial dhe koeficientin e elasticitetit të
kryqëzuar dhe shpjegoni rezultatet.
27. Përcaktoni integralet e papërcaktuara:
dx
a) ∫x 2

∫(5 x +7 x −3) dx
2
b)

dx
c) ∫ x 2 −4
28. Përcaktoni funksionin e shpenzimeve të përgjithshme T = f(Q), nëse
elasticiteti është ET,Q= 0,3Q dhe nëse shpenzimet fikse janë 1,5.
29. Është dhënë funksioni i shpenzimeve minimale t(Q) = 4Q+3Q-2 si
funksion i prodhimit Q. Caktoni funksionin e shpenzimeve të
përgjithshme, nëse shpenzimet e përgjithshme në nivel të prodhimit
Q = 1 janë 3.

Matematika afariste-ligjerata-5-11

Matematika afariste-ligjerata-5-11

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (20)

More from coupletea

More from coupletea (20)

Matematika afariste-ligjerata-5-11