Matematike 1, detyra te zgjidhura - pregaditje per provim.

1. MATEMATIKË
1
Detyratë zgjidhura– pregaditje përprovim
Nga: ErmonCervadiku
[UNIVERSITETI ILIRIA]

2. 2
Elementet e algjebrës lineare-Matricat
Veprimet me matrica
 Mbledhja e matricave
1. Janë dhënë matricat?





 

21
10
A ,







10
02
B ,








21
01
C
Njehsoni: b) 2A-2B+C
Zgjidhje:
1. b) 

















 


















 

21
01
20
04
42
20
21
01
10
02
2
21
10
222 CBA 




 
03
23
.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Të kompletohet matrica vijuese?
Nëse janë dhënë a21 = 4, a32 = 5, a13 = 3, a23 = 6, a12 = 7, a31 = -2.
A =










9__
_8_
__6
Zgjidhje: 2.












952
684
376
A .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Gjeni vlerat e ndryshme x,y,z,t që të vërtetojnë barazimin?
b) .
32
4
21
42





















 
t
yx
t
x
tz
yx
Zgjidhje: 3. b) 




















 
32
4
21
42
t
yx
t
x
tz
yx













 
321
442
tt
yxx
tz
yx
Për t’a lehtësuar mënyrën e zgjidhjes së problemit, prej shprehjes së sipërme marrim:
I) 442  xxx ;
II) 002444  yyyyyxy ;
III) 3332  tttt ;
IV) 2311  zztz .
Pra, parametrat e kërkuar që e vërtetojnë barazimin janë: ;4x ;0y ;2z ;3t
Prova:





















 
32
4
21
42
t
yx
t
x
tz
yx






































32
08
32
08
332
044
)3(21
44
32
042
;
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

3. 3
 Shumëzimi i matricave:
4. Matrica A është e tipit 2x5. Sa duhet të jetë numri i shtyllave të matricës B, që të ekzistojë prodhimi AB . Po numri i
rreshtave të matricës C që të ekzistojë prodhimi CA .?
Zgjidhje:
4. Numri i shtyllave të matricës B duhet të jetë 2, ndërsa numri i rreshtave të matricës C duhet të jetë 5.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
5. Tregoni cilat shumëzime janë të mundshme dhe gjeni matricën e prodhimit?
a) ;
3
2
1
651
431
















e) 











5
0
3
2
; f)  











210
411
302
210 ; h) 











m
m
n
m
00
01
1
0
.
Zgjidhje:
5. a)
















3
2
1
651
431
matrica e parë është e tipit (2x3), ndërsa matrica e dytë është e tipit (3x1), meqë numri i shtyllave të
matricës së parë është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë ekziston mundësia e shumëzimit të këtyre
matricave.
Matrica e prodhimit është
















3
2
1
651
431















29
19
18101
1261
, matricë e tipit (2x1)
e) 











5
0
3
2
matrica e parë është e tipit (2x1), ndërsa matrica e dytë është e tipit (2x1), meqë numri i shtyllave të matricës së
parë nuk është i barabartë me numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë nuk ekziston as mundësia e shumëzimit të këtyre
matricave.
f)  











210
411
302
210 matrica e parë është e tipit (1x3), ndërsa matrica e dytë është e tipit (3x3), meqë numri i shtyllave
të matricës së parë është i barabartë numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë ekziston mundësia e shumëzimit të këtyre
matricave.
Dhe prodhimi i këtyre matricave është:  











210
411
302
210    831440210010 
Pra, matrica e prodhimit është  831 , një matricë e tipit (1x3).
h) 











m
m
n
m
00
01
1
0
matrica e parë është e tipit (2x2), ndërsa matrica e dytë është e tipit (2x3), meqë numri i shtyllave të
matricës së parë është i barabartë numrin e rreshtave të matricës së dytë atëherë ekziston mundësia e shumëzimit të këtyre
matricave.
Dhe prodhimi i këtyre matricave është:












m
m
n
m
00
01
1
0



















mnmn
mm
mnmn
mm 0
000
0000 22
, matricë e tipit (2x3).
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

4. 4
 Detyra të kombinuara:
6. Kryeni veprimet?
a) 
























 33
75
12
34
51
413
120
;d)
3
01
11





 
.
Zgjidhje:
6. a) 
























 33
75
12
34
51
413
120









4315843
160280








33
75





 
227
510
+ 







33
75







1910
25
.
6. d)
3
01
11





 
 




 
01
11





 
01
11





 
01
11
=





 












 













 









01
11
11
10
01
11
0101
0111
01
11
00)1(110)1(1
01)1()1(11)1(1









01)1(111)1(1
01)1(011)1(0














10
01
0111
0010
.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
7. Janë dhënë matricat?







23
10
A dhe 







12
11
B ;
b) Shikoni a vlen barazimi: (A+B)2 = A2 + B2.
Zgjidhje:
7. b)   222
BABA 
I)   















































15
21
15
21
15
21
1223
1110
12
11
23
10
222
2
BA 













1110
411
11055
22101
II) 






































12
11
12
11
23
10
23
10
12
11
23
10
22
22
BA 

































106
26
30
03
76
23
1222
1121
4360
2030
.
  






1110
4112
BA dhe 






106
2622
BA
Nga kjo rrjedh që   222
BABA  .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

5. 5
8. Janë dhënë matricat:?









12
11
A dhe







12
01
B ; c) Tregoni se: ))((22
BABABA  .
Zgjidhje:
8. c) ))((22
BABABA 
I) 










































12
01
12
01
12
11
12
11
12
01
12
11
22
22
BA
.
24
02
14
01
10
01
14
01
10
01
1022
0001
1222
1121






















































 .
II) ))(( BABA   




 




















































04
12
20
10
12
01
12
11
12
01
12
11
















08
04
0080
0040
.
22
BA  = 







24
02
dhe ))(( BABA  = 







08
04
Nga kjo rrjedh që ))((22
BABABA  .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
9. Njehsoni përcaktorët e rendit të dytë?
a)
14
23
; e)
11
12


a
aa
; f)
bb
aa

1
.
Zgjidhje:
9. a) .583)24(13
14
23

e)        111111
11
1 22222
2



aaaaaaaaa
a
aa
f)   babbababba
bb
aa



))((1
1
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

6. 6
10. Njehsoni përcaktorët e rendit të tretë nëpërmjet plotësve algjebrik?
1). Të rreshtit të parë
2). Të rreshtit të dytë
3). Të shtyllës së tretë
b)
121
240
123 
Zgjidhje:
10 b) Sipas rreshtit të parë:



21
40
)1(1
11
20
)1(2
12
24
)1(3
121
240
123
312111
    84440202443  .
Sipas rreshtit të dytë:







21
23
)1(2
11
13
)1(4
12
12
)1(0
121
240
123
322212
8168)26(2)13(40  .
Sipas shtyllës së tretë:
121
240
123 




 
40
23
)1(1
21
23
)1(2
21
40
)1(1 333231
  81216401226240  .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
11. Njehsoni vlerën e përcaktorit:
b)
721
045
132


.
Zgjidhje:
11. b)
721
045
132


=
721
045
132


21
45
32


 )357()2(02())1()4(1(2511037)4(2
631050410056  .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

7. 7
12. Duke u mbështetur në zbërthimin e përcaktorit sipas plotësve algjebrik të një rreshti ose shtylle, njehsoni
përcaktorin?
b)
10312
31012
10140
12101



.
Zgjidhje: 12. Matricës të dhënë në detyrë nuk mund t’ia gjejmë përcaktorin meqë nuk është katrore.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
13. Duke zbatuar vetitë e përcaktorëve njehsoni vlerën e përcaktorëve:
b)
530
210
420
 ; d)
zyx
ztx
333
321
.
Zgjidhje: 13. b) Nëse shtylla apo rreshti i një shtylle është e barabartë me 0 atëherë përcaktori i asaj matrice është i barabartë
me 0. Shtylla e parë e matricës
530
210
420
 është 0 prandaj përcaktori i kësaj matrice është 0.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
 Matricat inverse dhe ekuacionet matricore
14. Gjeni matricën e adjunguar të këtyre matricave?
c) 







51
32
; d)











202
151
013
;
Zgjidhje:
17. c) 







51
32
511 A 3)3(21 A
1)1(12 A 222 A







21
35
adjA .
d)











202
151
013
10102511 A 2)0021(21 A 10)5(1131 A
0)22()1221(12 A 6022322 A 3)0113(32 A
10)5(20113 A 2)1203(23 A   16115333 A














16210
360
1210
adjA .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

8. 8
18. a)






 53
12
; c)





 
54
13
; e)












714
320
153
;
Zgjidhje:
18. a)






 53
12
13310)13(52
53
12
det 

A
511 A 121 A
312 A 222 A





 

23
15
adjA
adjA
A
A
det
11












 





 

3
2
13
3
13
1
13
5
23
15
13
11
A
Prova: 





 
10
011
AA

















































 







 
10
01
13
13
13
0
13
0
13
13
13
10
13
3
13
15
13
15
13
2
13
2
13
3
13
10
3
2
13
3
13
1
13
5
53
121
AA .
c) 




 
54
13
19415
54
13
det 

A
511 A 121 A
412 A 322 A








34
15
adjA





















19
3
19
4
19
1
19
5
34
15
19
11
A
Prova: 






10
011
AA

9. 9










































 















10
01
19
19
0
0
19
19
19
15
19
4
19
12
19
12
19
5
19
5
19
4
19
15
54
13
19
3
19
4
19
1
19
5
1
AA .
e)












714
320
153
35860338125)314(3
714
320
153
det 


A
1131411 A 3621 A 1731 A
1212 A 1722 A 932 A
813 A 2323 A 633 A














6238
91712
173611
adjA


































35
6
35
23
35
8
35
9
35
17
35
12
35
17
35
36
35
11
6238
91712
173611
35
11
A
Prova:










 
100
010
001
11
AAAA





















35
6
35
23
35
8
35
9
35
17
35
12
25
17
35
36
35
11
1
AA












714
320
153
=






















35
42
35
69
35
8
35
6
35
46
35
40
35
24
35
24
35
63
35
51
35
12
35
9
35
34
35
60
35
36
35
36
35
119
35
108
35
11
35
17
35
72
35
55
35
68
35
33
.
100
010
001
35
35
35
0
35
0
35
0
35
35
35
0
35
0
35
0
35
35



























--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

10. 10
19. Njehsoni 2
A nëse:
.
213
201
112










A
Zgjidhje:
19.











213
201
112
A
  11212 
 AAAA
12416
13
01
12
213
201
112
det A
22011 A 1)12(21 A 231 A
4)62(12 A 13422 A 3)14(32 A
113 A 1)32(23 A 133 A




























111
314
212
111
314
212
1
11
A
  11
AA













111
314
212













111
314
212
=













132111142
338314348
234212244
= .
011
867
332













--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
20. Njehsoni
12
5)( 
 AAAAf nëse:
.
325
436
752











A
Zgjidhje:
20.
12
5)( 
 AAAAf
.
325
436
752











A
I) 2
A










 325
436
752










 325
436
752
=













98356625151210
1212428930201812
21201414151035304

2
A
*
362517
423150
131169












11. 11
II) -5A=
**
151025
201530
352510
325
436
752
5


























III) adjA
A
A
det
11

190161058410018
25
36
52
325
436
752
det 

A
18911 A 1)1415(21 A 1212031 A
  38201812 A 4135622 A 34)428(32 A
27151213 A 29)254(23 A 2430633 A














242927
344138
111
adjA
***
1
242927
344138
111
242927
344138
111
1
1





























A
Prova:










 
100
010
001
11
AAAA
AA 1
=













242927
344138
111










 325
436
752
=
=
























100
010
001
72116189488713512017454
1021642666812319017024676
347235562
12
5)( 
 AAAAf =
=










 362517
423150
131169
+













151025
201530
352510
+













242927
344138
111
=













75615
125718
211560
.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

12. 12
15. Zgjidhni ekuacionet? c)
2
3
32
13



xx
x
d) 0
12
142



xx
x
Zgjidhje:
15. c) 


2
3
32
13
xx
x

2
3
)32(3 xxx
 2/
2
3
96 2
xxx
 31612 2
xx
031612 2
 xx







24
2016
24
40016
24
14425616
2/1x
2
3
24
36
24
2016
1 

x dhe
6
1
24
4
24
2016
2 



x .
d) 


0
12
142
xx
x
 0)2()1)(4( 2
xxx




01222
01)1)(2(02
0]1)1)(2)[(2(
0)2()1)(2)(2(
2
1 xxxx
xxx
xxx
xxxx
.
2
33
2
33
2
33
2
1293
033
32
3/2
2










xx
x
xx
Zgjidhje e vetme reale është zgjidhja e parë , përndryshe dy zgjidhjet e fundit janë komplekse.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

13. 13
- Sistemet e ekuacioneve lineare -
1. Zgjidhni sistemin?
a)
543
52


yx
yx
Zgjidhje:
Zgjidhja e sistemit me metodën e Kramerit:
a)





543
52
yx
yx
D= 1064
43
21


Dx= 101020
45
25

Dy= 20155
53
51


1
10
10

y
x
D
D
X ; 2
10
20

D
D
Y
y
;
b) Zgjidhja e sistemit përmes metodës së Gausit:





543
52
yx
yx
Ekuacionin e parë e shumëzojmë me numrin 3 dhe ekuacionin e fituar e mbledhim me ekuacionin e dytë.
Pra, 





543
1563
yx
yx
22010  yy
145522  xxx
c) Zgjidhja e sistemit përmes matricës:





543
1563
yx
yx


















 5
5
43
21
y
x
Shumëzojmë nga ana e majtë me
1
43
21








meqë matrica 





 43
21
gjendet në anën e majtë të 





y
x
; prandaj,







1
43
21


















 5
5
43
21
y
x

**11
5
5
43
21
43
21
43
21

































y
x

14. 14











 





 








10
1
10
3
5
1
5
2
13
24
10
1
43
21
1
, ngase det






 43
21
është: 102314
43
21


, adj






 43
21
=





 
13
24
, ngase 411 a 221 a
312 a 122 a











 












 





 








10
1
10
3
5
1
5
2
10
1
10
3
10
2
10
4
13
24
10
1
43
21
1











 
10
1
10
3
5
1
5
2






 43
21






y
x
=











 
10
1
10
3
5
1
5
2 **
5
5














































2
1
10
5
10
15
5
5
5
10
10
01
y
x
y
x
1 x dhe 2y
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Të caktohet vlera e parametrave a dhe b ashtu që sistemi:
byx
ayx


46
13
a) të ketë vetëm një zgjidhje;
b) të ketë pa fund shumë zgjidhje;
c) të mos ketë zgjidhje;
Zgjidhje:
2. 13  ayx
byx  46
a
a
D 612
46
3


 ba
b
a
Dx 

 4
4
1
63
6
13
 b
b
Dy
a
ab
D
D
X x
612
4



a
b
D
D
Y
y
612
63



1. Që të ketë vetëm një zgjidhje sistemi, duhet të plotësohet kushti: 0D , për çfarëdo Dx, Dy.
meqë 21260612612  aaaaD .
2. Që të ketë pafund shumë zgjidhje, duhet të plotësohet kushti: ,0D ,0xD ;0yD
D=12+6a=0 dhe Dx=4+ab=0 Dy=3b-6=0
6a=-12 4-2b=0 3b=6
a=-2 -2b=-4 b=2
b=2; Pra, a=-2, dhe b=2
3. Që të mos ketë zgjidhje sistemi, duhet të plotësohet kushti: D=0, dhe mjafton vetëm njëra Dx 0 , ose Dy 0
212606120  aaaD

15. 15
242024040  bbbabDx
7. Me metodën e Gausit të zgjidhen këto sisteme ekuacionesh?
b)
344
5323
224
321
321
321



xxx
xxx
xxx
Zgjidhje:
b)








344
5323
224
321
321
321
xxx
xxx
xxx
344 321  xxx 344 321  xxx
5323 321  xxx III/(-3)+II ***
32 41514  xx
III/(-3) 912123 321  xxx
224 321  xxx III/(-4) +I *
32 101518  xx
III/(-4) 1216164 321  xxx
 )1/(***
41514 32  xx
101518 32  xx
 ****
)1/( 64 2 x
2
3
2  x
***
3 415
2
3
14 





 x  171542115415)3(7 333 xxx
15
17
3 x
15
23
15
6845
15
68
3
15
68
633
15
17
4
2
3
4 11111 













 xxxxx
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

16. 16
10. Për çfarë vlere të parametrit  sistemi homogjen ?
03  zyx
02  zyx
0)1(  zyx 
Zgjidhje:
10.)








0)1(
02
03
zyx
zyx
zyx

Ka zgjidhje përveç zgjidhjes triviale dhe cilat janë ato.
Që sistemi të ketë zgjidhje tjera përveç zgjidhjes triviale atëherë duhet të plotësohet kushti: D=0











 121)21(3
1
11
11
21
1
21
3
11
211
113



D
372932)31(3   , D=0 037  
37  
7
3
 
Zgjidhjet e tjera te sistemit janë: ;kx  ;5ky  kz 2 ; ngase:





02
03
zyx
zyx






zyx
zyx
2
3
;213
11
13



D ;2
12
1
zzz
z
z
Dx 


 zzz
z
z
Dy 56
21
3




22
zz
D
D
X x




2
5
2
5 zz
D
D
Y
y




 k
z
2
kx  ky 5 kz 2
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

17. 17
Funksionet
1. Njehsoni? ),0(f )3(f , 






5
1
f , nëse 453)( 2
 xxxf
Zgjidhje:
1. 453)( 2
 xxxf
.44004050340503)0( 2
f
.4641527415934)3(5)3(3)3( 2
f
.
25
128
25
1253
5
25
3
41
25
1
34
5
1
5
5
1
3
5
1
2




















f
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Është dhënë funksioni: )(xf






,2
,2
,2
x
x
31
10
01



x
x
x
Njehsoni ),0(f ),5.0(f )3(f
Zgjidhje:
2) )(xf






,2
,2
,2
x
x
31
10
01



x
x
x
2)0( f .
.
2
1
2
1
2)5.0(
2
1
2
1


f
.
8
1
2
1
2)3( 3
3
 
f
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
3. Njehsoni )1( af , nëse
1
1
)( 3



x
x
xf
Zgjidhje: 3.
1
1
)( 3



x
x
xf
.
)33(
2
33
2
1133
2
1)1(
11
)1( 223233












aaa
a
aaa
a
aaa
a
a
a
af
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
4. Njehsoni ),3( xf )(3 xf , nëse
x
x
xf



2
15
)(
2
Zgjidhje: 4.
x
x
xf



2
15
)(
2
.
32
145
32
195
32
1)3(5
)3(
222
x
x
x
x
x
x
xf









x
x
x
x
xf






2
315
2
15
3)(3
22
.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

18. 18
5. Gjeni zonën e përcaktimit të këtyre funksioneve
a) ;457)( 23
 xxxxf d)
9
2
)( 2


x
x
xf
b) ;35)( xxf  e)
1
5
)( 2



x
x
xf
c) ;61)( xxxf  f) 2
9)( xxf 
Zgjidhje:
5. a) 457)( 23
 xxxxf
),( X
b) xxf 35)( 
x35 .
3
5
,
3
5
)1(/530 




 Xxx
c) xxxf  61)(
61)1/(610601  xxxxxx
 1,6x 
-1 0 1 2 3 4 5 6
d)
9
2
)( 2


x
x
xf
     0303033092
xxxxx
33  xx
      ,33,33,x
e)
1
5
)( 2



x
x
xf
.1101 22
ixxxx    ,x
f)
2
9)( xxf 
 0303030309 2
 xxxxx
 33  xx  33  xx
 33  xx  33  xx
 3,3x  
-3 0 3 x
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

19. 19
6. Cilat prej funksioneve vijuese janë çifte, cilat teke e cilat nuk janë as çifte e as teke:
a) ;15)( 24
 xxxf d) ;
1
1
ln)(
x
x
xf



b) ;2)( 35
xxxf  e) ;
1
1
)(


 x
x
a
a
xf
c) ;
1
)( 2
3


x
x
xf
Zgjidhje:
6. a) 15)( 24
 xxxf
    1515)( 2424
 xxxxxf  15)( 24
 xxxf është çift, d.m.th. ky funksion është simetrik ndaj
boshtit të ordinatës.
b)
35
2)( xxxf 
     353535
222)( xxxxxxxf   35
2)( xxxf  është tek, d.m.th. ky funksion është
simetrik ndaj origjinës së sistemit koordinativ x0y.
c)
1
)( 2
3


x
x
xf
 
  111
)( 2
3
2
3
2
3








x
x
x
x
x
x
xf 
1
)( 2
3


x
x
xf është tek
d)
x
x
xf



1
1
ln)(
x
x
x
x
x
x
xf















1
1
ln
1
1
ln
1
1
ln)(
1

x
x
xf



1
1
ln)( është tek.
e)
1
1
)(


 x
x
a
a
xf
 
    1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
)(

















 

x
x
x
x
xx
xx
x
x
x
x
x
x
x
x
a
a
a
a
aa
aa
a
a
a
a
a
a
a
a
xf 

1
1
)(


 x
x
a
a
xf është tek.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

20. 20
7. Gjeni funksionet inverse të këtyre funksioneve?
a) ;72  xy c) ;23
 xy
b)
2
xy  ; d) ;
21
2
x
x
y


Zgjidhje:
7. a) 72  xy
.
2
7
2
7
27




x
y
y
xxy
b)
2
xy 
.xyyx 
c) .222/2 33333
 xyyxxyxy
d) x
x
y
21
2


     
 
.
1
log
1
log
1
log2log
1
log2loglog/
1
212
222221
21
2
2121/
21
2
22
22222
x
x
y
y
y
x
y
y
x
y
y
y
y
yy
yyyyyy
xxx
xxxxx
x
x
xx
x
x
















--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

21. 21
Limiti i vargut
Të njehsohen limitet:
1.
7 5
lim
2n
n
n

2.
2
2
5 7 4
lim
2 3 1n
n n
n n
 
 
5.
   
   
3 3
2 2
1 1
lim
1 1n
n n
n n
  
  
6.
3
2
7 4
lim
2 5n
n n
n n
 

 
7.
3 3
3 5
lim
1n
n n
n
 

8.
2
7 5
lim
3 4n
n n
n
 

10.
2 2
lim 3 5 7 2
n
n n n n

    
Zgjidhje:
1.
5 5 57 7 7
7 5 7 0 7
lim lim lim
2 2 2 2 2 2n n n
n
n n n
n n  
 
           .
2.
 
 
2
2 2 2
2
2
2 2
7 4 7 4
5 5
5 0 05 7 4 5
lim lim lim
3 1 3 12 3 1 2 0 0 2
2 2
n n n
n
n n n n n n
n n
n
n n n n
  
   
                
      
      
   
.
5.
   
   
 3 3 3 2 3 2 3 2 3 2
2 2 2 2 2
2
2 2 2
2
2
22
3 3 1 3 3 11 1 3 3 1 3 3 1
lim lim
2 1 2 1 2 21 1
2 22 3 3
6 2 3 0
lim lim lim 3.
112 2 1 012 1
n n
n n n
n n n n n nn n n n n n n n
n n n n nn n
n
n n n
n
n
nn
 
  
               
  
       
 
        
    
 
6.
2
3 2 2
2
2
2 3 2 3
7 4 7 4
7 4
lim lim lim
2 5 2 52 5 1
1 1
n n n
n n n
n n n n n n
n n
n
n n n n
  
   
               
     
      
   
.
 
3
3 3 3 3 2 3
3
3 33 3 2
3
2 3
3 5
1
3 5 3 5 3 5
7.lim lim lim lim
3 3 11 3 3 11 1
n n n n
n
n n n n n n n n
n n n nn n
n n n
   
 
            
         
 
2 3
333
3
2 3
3 5
1
1 0 0 1
lim 1 1.
3 3 1 1 0 0 0 11
n
n n
n n n

 
 
    
    

22. 22
 
2
2 2 2 2
2 2
2
2
7 5
1
7 5 7 5 7 5
8.lim lim lim lim
24 163 4 9 24 163 4 9
n n n n
n
n n n n n n n n
n n nn n
n n
   
 
            
       
 
2
2
7 5
1
1 0 0 1 1
lim .
24 16 9 0 0 9 3
9
n
n n
n n

 
        
  
  
 
10.
2 2
2 2 2 2
2 2
3 5 7 2
lim 3 5 7 2 lim 3 5 7 2
3 5 7 2n n
n n n n
n n n n n n n n
n n n n 
    
            
    
     
2 2
2 2 2 2
2 2 2 2
3 5 7 2 3 5 7 2
lim lim
3 5 7 2 3 5 7 2n n
n n n n n n n n
n n n n n n n n 
         
  
         
2 2
2 2 2 2
3 5 7 2 4 3
lim lim
3 5 7 2 3 5 7 2n n
n n n n n
n n n n n n n n 
     
  
         
2 2
2 2 2 2
4 3 4 3
lim lim
3 5 7 2 3 5 7 2
1 1 1 1
n n
n n
n n n n
n n n n n n n n
 
 
 
       
                
       
2 22 2
3 3
4 4
4 0
lim lim
3 5 7 2 1 0 0 1 0 03 5 7 2
1 11 1
4
2.
2
n n
n
n n
n
n n n nn n n n
 
   
           
      
         
 
 
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

23. 23
Derivati i funksionit
1. Gjeni derivatin e këtyre funksioneve? a)
3 2
2 7 5y x x x    ;
b)
2 1
7y x x x
x
    ; c)
3 2 5
3
1
3 2y x x
x
   ; d)
33 2
1 1
y
x xx
  ;
e)   2
7 4 3 2y x x x    ; f)   3 5 2
7 5y x x x x   ; g)
3 7
5 4
x
y
x



;
h)  
5
2
3 7y x x   ;
Zgjidhje:
1. a)          
' ' ' ' '' 3 2 3 2
2 7 5 2 7 5y x x x x x x          3 1 2 1 1 1
3 2 2 7 1x x x  
    2 1 0
3 4 7x x x    2
3 4 7x x 
b)    
'' ' 1 1' '
1' '' 2 2 2 2
2
1 1 1 1 1
7 7 2 7
2
x x
y x x x x x x x x
x x x
       
                
     
1
2
12 2 2
2
0 1 1 1 1 1 1 1
2 7 2 7 2 7
2 2
2
x
x x x x
x x x x
x
  
            .
c)
 
'' ' ' 3 3' 2 5
' 3 2 5 3 2
3 6
1 11
3 2 3 2
x x
y x x x x
x x
     
          
    
 
'
' 3 31 3 2
3 33 2
6 6 43 3
1 12 5 2 3 2 3
3 2 5 5
3 2
x x x
x x x x
x x xx x
  
           .
d)
2 4
1 1' ' 1 13 3'
3 3
'
2 1 2 2 4 833 2 2 4
3 3 3 33 3
2 4
1 1 1 1 2 43 3y = + = + = + = =
3 3
x x
x x
x xx x x x x xx x
 
     
        
                
   
3
4 1 3 8 3 5 3 7 3 5 3 2
3 3
2 4 2 4 2 2
1
3 3 3 33
x
x x x x xx x
 
         
 
.
e)          
' ' '' 2 2 2
7 4 3 2 7 4 3 2 7 4 3 2y x x x x x x x x x              
    2 2 2 2
2 7 3 2 7 4 3 6 4 21 14 3 21 12 9 46 26x x x x x x x x x x x                
f)          
' ' '
' 3 5 2 3 5 2 3 5 2
7 5 7 5 7 5y x x x x x x x x x x x x           
     2 5 2 3 4 7 4 5 2
3 7 5 7 5 10 3 15 7 35x x x x x x x x x x x          
7 4 5 2 7 5 4 2
5 10 35 70 8 42 25 105x x x x x x x x        .
g)
      
 
   
 
' ''
'
2 2
3 7 5 4 3 7 5 4 3 5 4 3 7 53 7
5 4 5 4 5 4
x x x x x xx
y
x x x
        
    
       
2 2
15 12 15 35 47
5 4 5 4
x x
x x
  
 
 
.
h)          
'5 5 1 ' 4
' 2 2 2 2
3 7 5 3 7 3 7 5 3 7 2 3y x x x x x x x x x

              
  
.
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

24. 24
Interesi i përbërë, renta dhe miza
1. Në qoftë se kapitali prej 1500 eurosh deponohet në bankë e cila e llogaritë interesin vjetor prej 7%. Sa do të jetë
vlera e kapitalit pas 9 viteve?
Zgjidhje:
1. 1500K  7%p  9n  9 ?K  1m 
1
100
n m
nm
p
K K
m

 
  
 
 
91 9
9 9
9
7 7
1500 1 1500 1 1500 1 0.07 1500 1.07
100 1 100
K

   
               
   
1500 1.838459212   2757.69;
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
2. Sa është norma vjetore e kamatës që llogaritë banka në qoftë se kapitali prej 175 000 eurosh pas 5 viteve bëhet
235 000 euro?
Zgjidhje:
2. ?p  175000K  5n  5 235000K  1m 
51 5
51 51 1 1
100 100 1 100
n m
nm
p p p
K K K K K K K
m
 

     
              
      
5
5
1
100
K p
K
 
   
 
5 5 55 51 1 100
100 100
K Kp p
K K
       
   55
235000
100 1 100 1.342857143 1 100 1.060732713 1
175000
p
 
            
 
100 0.060732713 6%   .
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

25. 25
3. Sa të holla duhet depozituar në bankë sot, e cila llogaritë kamatën prej 8% në vit, ashtu që në 10 vitet e ardhshme të
merret?
a) rentë vjetore prej 1000 euro në fund të çdo viti;
b) rentë semestrale prej 1500 euro në fillim të çdo semestri;
c) rentë tremujore prej 700 në fillim të çdo tremujori.
Zgjidhje:
3. a) ?M  8%p  10n  1000R  1m  në fund
       
101 10
101 10
1 1.08 1 1.08 1 2.158924997-1
1000 1000 1000
1 1.08 1.08 1 1.08 1.08 1 2.158924997 0.08
n m
n m
r
M R
r r
 
 
  
      
   
=
1.158924997
1000
0.172713999
 1000 6.710081777 6710.08  ;
8
1 1 1 0.08 1.08
100 100
p
r       
b) ?M  8%p  10n  1500R  2m  në fillim
8
1 1 1 0.04 1.04
100 100 2
p
r
m
      
 
   
10 2 20
1 10 2 1 19
1 1.04 1 1.04 1 2.191123143-1
1500 1500 1500
1 1.04 1.04 1 1.04 0.04 2.106849176 0.04
n m
n m
r
M R
r r
 
   
  
       
   
=
1.191123143
1500 1500 14.13393941=21200.91
0.084273967
   ;
c) ?M  8%p  10n  700R  4m  në fillim
8
1 1 1 0.02 1.02
100 100 4
p
r
m
      
 
   
10 4 40
1 10 4 1 39
1 1.02 1 1.02 1 2.208039664-1
700 700 700
1 1.02 1.02 1 1.02 0.02 2.164744768 0.02
n m
n m
r
M R
r r
 
   
  
       
   
1.20804
700 700 27.90259361=19531.81
0.0432949
   ;
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

26. 26
4. Sot depozitojmë në bankë 50 000 euro e cila llogaritë kamatë prej 7%. Sa do të jetë renta nëse ajo merret brenda
pesë vitesh?
a) në fillim të çdo viti;
b) në fund të çdo viti;
c) në fillim të çdo katër mujori;
d) në fund të çdo katër mujori.
Zgjidhje:
4. a) 50000M  7%p  ?R  5n  1m  në fillim të çdo viti
     1 51 1 4
51 5
1 1.07 1.07 1 1.07 1.07 1
50000 50000
1 1.07 1 1.07 1
n m
n m
r r
R M
r
   
 
  
     
  
=
1.31079601 0.07
50000
1.402551731-1

 
0.091755721
50000 50000 0.227953197=11397.66
0.402551731
   ;
7 7
1 1 1 1 0.07 1.07
100 100 1 100
p
r
m
        
 
b) 50000M  7%p  ?R  5n  1m  në fund të çdo viti
     51 5
51 5
1 1.07 1.07 1 1.07 1.07 1
50000 50000
1 1.07 1 1.07 1
n m
n m
r r
R M
r
 
 
  
     
  
=
1.402551731 0.07 0.098178621
50000 50000 50000 0.243890693 12194.53
1.402551731 1 0.402551731

     

;
c) 50000M  7%p  ?R  5n  3m  në fillim të çdo katër mujori
     1 5 3 1 14
5 3 15
1 1.023 1.023 1 1.023 1.023 1
50000 50000
1 1.023 1 1.023 1
n m
n m
r r
R M
r
   
 
  
     
  
1.374861251 0.023
50000
1.40648306 1

  

0.031621808
50000 50000 0.77793669 3889.68
0.40648306
   
7
1 1 1 0.023 1.023
100 100 3
p
r
m
      
 
d) 50000M  7%p  ?R  5n  3m  në fund të çdo katër mujori
   15
15
1 1.023 1.023 1 1.40648306 0.023
50000 50000
1 1.023 1 1.40648306 1
n m
n m
r r
R M
r


  
     
  
0.03234911
50000
0.40648306
  50000 0.079582923 3979.15   ;
--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

27. 27
FORMULAT E NEVOJSHME GJATË PROVIMIT
Formulat e Kramer-it:
D
D
x x
 ,
D
D
y
y
 ,
D
D
z z
 .
Funksionet:
a
b
xk
2

 )
2
()(
a
b
fxf k


a
acbb
x
2
42
2/1


0x funksioni është  0x funksioni është 
Asimptotat:
Lxf
x


)(lim asimptota horizontale


)(lim
0
xf
xx
asimptota vertikale (x0 pika ku s’është i përkufizuar f-oni!)
lkxy  asimptota e pjerrët, ku
x
xf
k
x
)(
lim

 dhe ])([lim kxxfl
x


Monotonia:
0)('
xf funksioni është 0)('
xf funksioni është
Konkaviteti, konveksiteti:
0)(''
xf funksioni është  -konkav 0)(''
xf funksioni është  -konveks
Matematika financiare:
Interesi i thjeshtë
t
pK
i 


100
n
pK
i 


100
(në vite) m
pK
i 


1200
(në muaj) d
pK
i 


36000
(në ditë)
Interesi i përbërë
n
n
p
KK )
100
1(  mn
n
m
p
KK 

 )
100
1(
Depozita anticipative Depozita dekurzive
1
)1(



r
rr
KS
n
a
1
1



r
r
KS
n
d
100
1
p
r 
1
)1(



r
rr
KS
nm
a
1
1



r
r
KS
nm
d
m
p
r
100
1
Renta anticipative Renta dekurzive
)1(
1
1


 
rr
r
RM n
n
)1(
1



rr
r
RM n
n
100
1
p
r 
)1(
1
1


 

rr
r
RM mn
mn
)1(
1


 

rr
r
RM mn
mn
m
p
r
100
1
Huaja, anuiteti...
)1(
1



rr
r
aH n
n
1
)1(


 n
n
r
rr
Ha
Plani i amortizimit
Periudhat e
pagesës
Shuma e
borxhit
Intere
si
Kësti
n
11   nnn bHH
100
p
Hi nn  nn iab 