Dokumen ini menjelaskan tentang bilangan bulat, pecahan, dan bangun datar serta bangun ruang dalam matematika. Terdapat penjelasan mengenai sifat-sifat operasi bilangan bulat, cara menentukan faktor persekutuan terbesar (FPB) dan kelipatan persekutuan terkecil (KPK), serta rumus untuk berbagai bangun datar dan bangun ruang. Selain itu, dijelaskan juga tentang pecahan, termasuk jenis dan contoh-contohnya.

1. BELAJAR MATEMATIKA
BY : NOVIA RAHAYU ZEIN

2. BILANGAN BULAT
Bilangan bulat terdiri dari bilangan cacah (0, 1, 2, 3, ...)
dan negatifnya (-1, -2, -3, ...; -0 adalah sama dengan 0
sehingga tidak lagi dimasukkan secara terpisah). Bilangan
bulat dapat dituliskan tanpa komponen desimal atau
pecahan.
Himpunan semua bilangan bulat dalam matematika
dilambangkan dengan Z, berasal dari Zahlen (bahasa
Jerman untuk "bilangan").
Himpunan Z tertutup di bawah operasi penambahan dan
perkalian. Artinya, jumlah dan hasil kali dua bilangan
bulat juga bilangan bulat. Namun berbeda dengan bilangan
asli, Z juga tertutup di bawah operasi pengurangan. Hasil
pembagian dua bilangan bulat belum tentu bilangan bulat
pula, karena itu Z tidak tertutup di bawah pembagian.

3. Tabel sifat-sifat operasi bilangan bulat
Penambahan Perkalian
closure: a + b adalah bilangan bulat a b adalah bilangan bulat
Asosiativitas: a + (b + c) = (a + b) + c a (b c) = (a b) c
Komutativitas: a + b = b + a a b = b a
Eksistensi unsur
identitas:
a + 0 = a a 1 = a
Eksistensi unsur invers: a + (−a) = 0
Distribusivitas:
a (b + c) = (a b) + (a c)
Tidak ada pembagi nol:
jika a b = 0, maka a = 0 atau
b = 0 (atau keduanya)

4. Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)
Cara menentukan FPB adalah dengan melihat faktor pada bilangan
tersebut dan dengan menggunakan faktorisasi prima. Pangkat yang
diambilnya adalah pangkat yang terendah.
Contoh 1:
Tentukan FPB dari 20 dan 30 dengan cara memperhatikan faktor
pada bilangan tersebut!
Faktor dari 20 = {1, 2, 4, 5, 10, 20}
Faktor dari 30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Jadi, FPB dari 20 dan 30 adalah 10.
Contoh 2:
Tentukan FPB dari 36 dan 90 dengan menggunakan faktorisasi
prima.
Faktorisasi prima dari 36 = 22 * 32
Faktorisasi prima dari 90 = 2 * 32 * 5
Demikian, FPB dari 36 dan 90 adalah 2 * 32 = 18.

5. Kelipatan Persekutuan Terkecil
( KPK )
Tentukan KPK dari 30 dan 45 dengan bilangan
kelipatan.
Kelipatan 30 = {30, 60, 90, 120, 150,...}
Kelipatan 45 = {45, 90, 135, 180, 225,...}
Jadi, KPK dari 30 dan 45 adalah 90.

6. Bangun Datar
Pengertian Bangun datar dalam matematika
disebut bangun geometri.

7. MACAM – MACAM BANGUN DATAR
• Persegi Panjang, yaitu bangun datar yang mempunyai sisi berhadapan
yang sama panjang, dan memiliki empat buah titik sudut siku-siku.
• Persegi, yaitu persegi panjang yang semua sisinya sama panjang.
• Segitiga, yaitu bangun datar yang terbentuk oleh tiga buah titik yang
tidak segaris.. macam macamnya: segitiga sama sisi, segitiga sama kaki,
segitiga siku-siku, segitiga sembarang.
• Jajar Genjang, yaitu segi empat yang sisinya sepasang-sepasang sama
panjang dan sejajar.
• Trapesium, yaitu segi empat yang memiliki tepat sepasang sisi yang
sejajar.
• Layang-layang, yaitu segi empat yang salah satu diagonalnya
memotong tegak lurus sumbu diagonal lainnya.
• Belah Ketupat, yaitu segi empat yang semua sisinya sama panjang dan
kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus.
• Lingkaran, yaitu bangun datar yang terbentuk dari himpunan semua
titik persekitaran yang mengelilingi suatu titik asal dengan jarak yang
sama. jarak tersebut biasanya dinamakan r, atau radius, atau jari-jari.

8. Rumus Bangun Datar
• Rumus Persegi
Luas = s x s = s2 ( Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal
(d) 2, 'sudah dibuktikan' ) Keliling = 4 x s dengan s =
panjang sisi persegi
• Rumus Persegi Panjang
Luas = p x l p = Luas : lebar l = Luas : panjang Keliling =
2p + 2l = 2 x (p + l) dengan p = panjang persegi panjang,
dan l = lebar persegi panjang
• Rumus Segitiga
Luas = ½ x a x t dengan a = panjang alas segitiga, dan t =
tinggi segitiga Panjang sisi miring segitiga siku-siku
dicari dengan rumus Phytagoras (A2 + B2 = C2)
• Rumus Jajar Genjang
Luas = a x t dengan a = panjang alas jajargenjang, dan t =
tinggi jajargenjang

9. Rumus Trapesium
Luas = ½ x (s1 + s2) x t dengan s1 dan s2 = sisi-sisi
sejajar pada trapesium, dan t = tinggi trapesium
Rumus Layang-layang
Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2
Rumus Belah Ketupat
Luas = ½ x diagonal (d) 1 x diagonal (d) 2
Rumus Lingkaran
Luas = π (pi) x jari-jari (r) 2 = πr2

10. Sifat-Sifat Bangun Datar
• Layang-layang = terbagi atas 2 digonal yang berbeda
ukurannya
• Persegi = semua sisi-sisinya sama panjang, semua sudut
sama besar, kedua diagonal berpotongan tegak lurus dan sama
panjang.
• Persegi panjang = sisi yang behadapan sama panjang, semua
sudut sama besar
•Belah ketupat = semua sisi-sisinya sama panjang, sudut yang
berhadapan sama besar, kedua diagonalnya tidak sama
panjang dan berpotongan tegak lurus.
•Jajar genjang = sisi yang berhadapan sama panjang, sudut
yang berhadapan sama besar
•Lingkaran = memiliki simetri lipat dan simetri putar yang tak
terhingga jumlahnya

11. Jika kita membagi sebuah semangka menjadi tiga bagian yang
sama kepada tiga orang siswa maka setiap siswa akan
memperoleh 1/3 bagian dari semangka semula. Bilangan 1/3
adalah pecahan, dengan 1 disebut pembilang dan 3 disebut
penyebut.
Pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan b ≠ 0, a dan b
∈ B. Jika a < b, maka bentuk a/b disebut pecahan biasa.
Contohnya 2/7, 3/5, 4/7 dan seterusnya.
Jika a > b, maka bentuk a/b disebut pecahan campuran.
Contohnya 7/2, 8/3, 6/5 dan seterusnya.
Pecahan dapat dinyatakan dalam bentuk a/b, dengan a dan b
anggota bilangan bulat serta b ≠ 0.
Selain bentuk a/b, ada pula bentuk pecahan yang lain. Bentuk
tersebut adalah persen, permil, dan bentuk desimal.
Pengertian Bilangan Pecahan

12. Perhatikan contoh berikut:
a. Bentuk persen, contohnya 75% (dibaca 75 persen). 75% artinya 75 per seratus =
75/100
b. Bentuk permil, contohnya 75‰ (dibaca 75 permil). 75‰ artinya 75 per seribu =
75/1.000
.
c. Bentuk desimal, contohnya 0,3; 0,05; 0,001; dan seterusnya.
0,3 = 3/10;
0,05 = 5/100 dan
0,001 = 1/1.000
Contoh Soal:
1. Sebutkan pembilang dan penyebut dari pecahan-pecahan berikut.
Penyelesaian:
a. Pada pecahan 3/8, pembilangnya 3 dan penyebutnya 8.
b. 6 / a + 1 , pembilangnya adalah 6 dan penyebutnya adalah a + 1.
c. 2+x / 4+y , pembilangnya adalah 2 + x dan penyebutnya adalah 4 + y.

13. 2. Dari pecahan berikut ini manakah yang termasuk pecahan biasa
dan manakah yang termasuk pecahan campuran?
Penyelesaian:
a. 2/5 disebut pecahan biasa karena pembilang < penyebut.
b. 8/7 disebut pecahan campuran karena pembilang > penyebut.
c. 9/11 disebut pecahan biasa karena pembilang < penyebut.

14. BANGUN RUANG
Bangun ruang disebut juga bangun tiga dimensi.
Bangun ruang merupakan sebuah bangun yang memiliki
ruang yang dibatasi oleh beberapa sisi dan mempunyai
volume. Jumlah dan model sisi yang membatasi bangun
tersebut menentukan nama dan bentuk bangun tersebut.
Bagian-bagian bangun ruang, antara lain:
• Sisi: bidang pada bangun ruang yang membatasi antara
bangun ruang dengan ruangan di sekitarnya.
• Rusuk: pertemuan dua sis yang berupa ruas garis pada
bangun ruang.
• Titik sudut: titik hasil pertemuan rusuk yang berjumlah
tiga atau lebih.

15. Jenis Bangun Ruang
Ciri-ciri KUBUS, antara lain :
Ø Kubus merupakan bangun ruang dengan 6 sisi sama besar (kongruen),
Ø Kubus mempunyai 6 sisi berbentuk persegi,
Ø Kubus mempunyai 12 rusuk yang sama panjang,
Ø Kubus mempunyai 8 titik sudut,
Ø Jaring-karing kubus berupa 6 buah persegi yang kongruen.
Rumus Luas Permukaan Kubus
L = 6 x r2
Keterangan :
L : luas permukaan
r : panjang rusuk
Rumus Volume Kubus
V = r3
Keterangan :
V = Volume
r = rusuk
KUBUS

16. Ciri-ciri BALOK,antara lain:
Ø Balok merupakan bangun ruang yang dibatasi 6 persegi panjang dimana 3
persegi panjang kongruen,
Ø Balok mempunyai 6 sisi berbentuk persegi panjang,
Ø Balok mempunyai 3 pasang bidang sisi berhadapan yang kongruen,
Ø Balok mempunyai 12 rusuk,
Ø 4 buah rusuk yang sejajar sama panjang,
Ø Balok mempunyai 8 titik sudut,
Ø Jaring-jaring balok berupa 6 buah persegi panjang.
Rumus Luas Permukaan Balok
L = 2 x [ (p x l) + (p x t) + (l x t) ]
Keterangan:
t : tinggi balok
p : panjang balok
l : lebar balok
Rumus Volume Balok
V = p x l x t
Keterangan:
t : tinggi balok
p : panjang balok
l : lebar balok
BALOK

17. Ciri-ciri TABUNG, antara lain:
Ø Tabung merupakan bangun ruang berupa prisma tegak dengan bidang alas
dan atas berupa lingkaran,
Ø Tinggi tabung adalah jarak titik pusat bidang lingkaran alas dengan titik
pusat lingkaran atas,
Ø Bidang tegak tabung berupa lengkungan yang disebut selimut tabung,
Ø Jaring-jaring tabung tabung berupa 2 buah lingkaran dan 1 persegi panjang.
Rumus Luas Permukaan Tabung
L = 2 x ( π r2 ) + π d x t
Rumus Volume Tabung
V = 1/3 (luas alas x t)
Keterangan:
L : luas permukaan
r : jari-jari lingkaran alas
d : diameter lingkaran alas
t : tinggi tabung
V : Volume
luas alas : π r2
TABUNG

18. Ciri-ciri KERUCUT,antara lain:
Ø Kerucut merupakan bangun ruang berbentuk limas yang
alasnya berupa lingkaran,
Ø Kerucut mempunyai 2 sisi,
Ø Kerucut tidak mempunyai rusuk,
Ø Kerucut mempunyai 1 titik sudut,
Ø Jaring-jaring kerucut terdiri dari lingkaran dan segi tiga.
Rumus Luas Permukaan Kerucut
L = π r2 + π d xt
Rumus Volume Kerucut
V = 1/3 ( π r2 x t )
Keterangan:
L : luas permukaan
r : jari-jari lingkaran alas
d : diameter lingkaran alas
t : tinggi kerucut

19. Ciri-ciri BOLA, antara lain:
Ø Bola merupakan bangun ruang berbentuk setengah
lingkaran diputar mengelilingi garis tengahnya,
Ø Bola mempunyai 1 sisi dan 1 titik pusat,
Ø Sisi bola disebut dinding bola,
Ø Bola tidak mempunyai titik sudut dan rusuk,
Ø Jarak dinding ke titik pusat bola disebut jari-jari,
Ø Jarak dinding ke dinding dan melewati titik pusat
disebut diameter.
Rumus Luas Permukaan Bola
L = 4 π r2
Rumus Volume Bola
V = 4/3 π r3
Keterangan:
L : luas permukaan
V : Volume
r : jari-jari bola
π : 22/7 atau 3,14 BOLA