Dokumen ini menjelaskan teori dan persamaan terkait bola dalam geometri, termasuk pusat dan jari-jari bola, serta hubungan antara koordinat kartesian, silinder, dan bola. Disediakan juga contoh soal, metode eliminasi, dan penjelasan tentang hubungan bidang dengan bola, serta cara menentukan persamaan bidang singgung dan kerucut selubung. Materi ini ditujukan untuk pembelajaran kalkulus dan geometri analitik.

2. Persamaan Pusat Bola
 Bola berpusat M (a,b,c)
Jika diketahui sebaran titik P (x,y,z) pada permukaan sebuah
bola, maka jarak P ke M adalah r. Sehingga:
= − + − + − =
atau dengan bentuk lain:
= − + − + −
 Bola berpusat O (0,0,0)
Jika P (x,y,z) sebarang titik pada permukaan bola, maka jarak
P ke O (0,0,0) adalah r. Sehingga:
= − + − + − =
atau dengan bentuk lain:
= + +
Contoh:
1. x − + y − + z − =
2. x + y + z =
P (x,y,z)
M (a,b,c)
O
r

3. Persamaan Umum Bola
− + − + − =
+ + − − − + + + − =
atau
+ + + + + + =
dimana
− = A − = B − c = C + + − = D
= − = − = − Jari − jari = + + −
Pusat − , − , −

4. Latihan Soal
Contoh:
1. Tentukan pusat dan jari-jari bola dari persamaan berikut:
a. + + + − − − =
b. + + − − − + =
2. Tentukan persamaan bola jika diketahui fakta berikut dan gambarlah dengan menggunakan GeoGebra:
a. Pusat (0,4,3); radius: 3
b. Pusat (2,-1,8); radius: 6
c. Pusat (0,5,-9); diameter: 8
d. Pusat (-3,7,5); diameter: 10
e. Titik-titik ujung diameter bola adalah (3,0,0) dan (0,0,6)
f. Titik-titik ujung diameter bola adalah (2,-2,2) dan (-1,4,6)

5. Persamaan Bola Melalui 4 Titik
Jika diketahui empat buah titik , , , Q , , , , , dan S , , , maka:
+ + + + + + =
+ + + + + + =
+ + + + + + =
+ + + + + + =
+ + + + + + =
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
=
Metode Eliminasi
Dicari Determinan
Latihan:
Kerjakan soal latihan pada buku halaman 62,
nomor 5.

6. Persamaan Parameter Bola
Di dalam kalkulus, kita sudah mengenal persamaan parametric untuk surface of evolution yaitu:
cos , sin ,
Dimana , adalah persamaan parametric dari sebuah kurva yang terotasi. Untuk sebuah lingkaran, persamaan
parametriknya adalah cos , sin . Oleh sebab itu, persamaan parametric dari suatu bola adalah:
cos c , cos sin , sin
Dengan mengubah variable dari (u,v) ke
�
− �, � , maka didapatkan persamaan parameter bola dengan pusat P(0,0,0):
= cos � sin �
= sin � sin �
= cos �
Sedangkan dengan pusat M (a,b,c), didapatkan:
= + cos � sin �
= + sin � sin �
= + cos �

7.  Koordinat Silinder dan Koordinat bola
1. Koordinat Cartesius ( x, y, z )
2. Koordinat Silinder ( r, θ, z )
3. Koordinat bola ( ρ, θ, φ )
y
x
z
P (x,y,z)
θ
r
z
P (r,θ, z )
θ
φ
ρ
P (ρ , θ, φ )
Koordinat Bola pada Sistem Koordinat
Kartesius, Bola dan Silinder

8.  Koordinat Silinder
Hubungan koordinat silinder dan cartesius
- Silinder ke cartesius - Cartesius ke silinder
= cos � r = +
y = sin � � = −
= =
Contoh:
1. Tentukan koordinat cartesius dan koordinat silinder dari titik berikut − , − , dan
,
�
,
Peny:
,
�
, − , ,
− , − , ,
�
,

9. 2. Tentukan persamaan ini dalam koordinat silinder pada persamaan cartesius
+ = − dan + =
Peny:
+ = − + =
= − = cos �
= cos �
3. Tentukan persamaan cartesius suatu persamaan + = dan
cos � =
Peny:
+ = cos � =
+ + = � − � � =
2
+
2
+
2
= � − � � =
cos � − sin � =
− =

10.  Koordinat Bola
Hubungan koordinat bola ke koordinat cartesius
, �, � , ,
Bola ke Kartisius
= sin � cos � = + +
y = sin � sin � � = −
= cos � � = cos−
2+ 2+ 2
Contoh Soal:
Tentukan koordinat cartesius sebuah titik yang
mempunyai koordinat bola ,
�
,
�
.
Peny:
, / , / , , −

11. 2. Tentukan grafik dari = cos �
Peny:
= cos � = cos �
+ + =
+ + − + =
+ + − =
Ini merupakan persamaan bola yang titik pusatnya di (0,0,1) dan jari-jarinya 1.

12. Persamaan Bola dalam Koordinat Bola
a. Bola pusat O dengan jari-jari a adalah r = a.
b. Bola pusat (a,0,0) dengan jari-jari a adalah = sin � cos �
c. Bola pusat (0,a,0) dengan jari-jari a adalah = sin � sin �
d. Bola pusat (0,0,a) dengan jari-jari a adalah = sin �
Soal latihan:
Tentukan persamaan bola dalam koordinat bola jika diketahui:
a. Berpusat (0,4,0) dengan jari-jari 5
b. Berpusat (0,0,3) dengan diameter 8
c. Ujung-ujung diameternya adalah (0,3,0) dan (0,11,0)
d. Pusat terletak pada sumbu-y positif dan berjari-jari 6

13. Bola dan Bidang Rata
Jika diketahui sebuah bola S berjari-jari r
dan berpusat M. Lalu terdapat bidang V
dengan d adalah jarak terdekat pusat M
dengan bidang V. Maka terdapat tiga
kemungkinan hubungan antara kedua objek
geometri tersebut, yaitu:
1. Bidang memotong bola, maka <
2. Bidang menyinggung bola, maka =
3. Bidang di luar bola, maka >

14. Contoh Soal
Bagaimana kedudukan bola : + + + + + − = dan bidang
�: + + = . Bila berpotongan, tentukan pusat dan jari-jari lingkaran
perpotongannya.
Jawab:

15. 1. Tentukan letak bola A terhadap bidang V jika diketahui persamaan bola dan bidang sebagai berikut:
a. A: − + − + + = dan V: 2x + 3y + 4z – 2 = 0
b. A: + + = dan V: 3x + 5y + 7z = 29
2. Tunjukkan bahwa bidang 2x – 2y + z + 12 = 0 menyinggung bola: x2 + y2 + z2 – 2x – 4y + 2z = 0. Tentukan
pula titik singgungnya.
Soal Latihan

16. Bidang Singgung Bola
Bola P berpusat , ,
: + + + + + + =
Bidang
: + + + =
Titik Singgung
N , ,
Karena MN ⊥ bidang singgung
V, dan sebarang titik Q (x,y,z),
MN⊥ NQ, maka:
=
∙
=
∙
= ∙
Karena:
• = − , − , −
• = − , − , −
Maka:
∙ =
− , − , − ∙ − , − , − =
− − + − − + − − =
+ + − + − + − − + + + − =
+ + + + + + + + + =
Persamaan Bidang Singgung Bola di Titik N , ,
• Jika persamaan bola + + = + + =
• Jika persamaan bola − + − + − = − − +
− − + − − =

17. Contoh Soal

18. 1. Carilah persamaan bola dengan pusat (1,1,4) dan menyinggung bidang + = .
2. Tentukan persamaan bola yang berjari-jari 3 dan menyinggung bidang + + + = di titik T(1,1,-2).
3. Ditentukan titik P pada bola + + − + − = , pada titik mana bidang singgungnya sejajar
bidang − + = .
4. Tentukan persamaan bidang singgung bola + + − + − − = di titik (0,-2,4).
Soal Latihan

19. Bidang singgung dengan bilangan arah A, B, C dicari sebagai berikut:
i. Tentukan garis normal n melalui pusat bola M, dengan
bilangan arah: A, B, C.
ii. Tentukan titik tembus normal n dengan bola (ada dua
titik tembus T1 dan T2)
iii. Buat bidang singgung di T1 dan T2
Atau:
Misalkan bidangnya Ax + By + Cz + D = 0; D dicari dengan
jarak pusat bola ke bidang = jari-jari, D didapat (terdapat dua
harga)
Contoh:
Tentukan persamaan bidang singgung bola + + − + − − = di titik
(0,-2,4).

20. Bidang Singgung dari Titik P(x1, y1, z1) di Luar Bola
Dari sebuah titik P di luar terdapat tak terhingga bidang singgung yang kesemuanya akan melukiskan sebuah
kerucut singgung (kerucut selubung) di mana P sebagai puncak.
Pembahasan tentang persamaan bidang kerucut terutama berkaitan dengan
persamaannya akan dibahas di Bab V. Namun pembicaraan kali ini dapat pula
dicari persamaan kecucut selubung dari titik P di luar bola.
Kerucut selubung suatu bola B dapat didefinisikan tempat kedudukan garis-garis
melalui P yang menyinggung bola B.
Cara mencari persamaan kerucut sebagai berikut:
Misal: P(x1,y1,z1) bola B: x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0
i. Buat sembarang garis pelukis melalui titik P
=
= +
= +
= +
…………(1) dimana a, b, c, dan t adalah parameter.
ii. Potongkan garis g ini dengan bola B = 0, akan kita dapatkan persamaan kuadrat dalam t (sesuai dengan
adanya dua titiktembus ). Kenakan syarat diskriminan D = 0 (agar garisnya menyinggung), akan diperoleh
persamaan: f(a,b,c) = 0 .............................(2)
iii. Dari persamaan (1) dan (2) eliminasikan a, b, c dan t akan diperoleh persamaan kerucut yang diminta.

21. Contoh Soal
Tentukan bayang-bayang bola pada bidang xOy, apabila bola x2 + y2 + z2 = 11 disinari dari titik
P(2,4,4)!
Jawab:
i. Garis g yang melalaui titik =
= +
= +
= +
….(1)
ii. Potongan garis g dengan bola:
(2 + at)2 + (4 + bt)2 + (4 + ct)2 = 11
(a2 + b2 + c2).t2 + (4a + 8b + 8c).t + 25 = 0
Agar menyinggung bola dipersyaratkan diskriminan D = 0:
(4a + 8b + 8c)2 – 100(a2 + b2 + c2) = 0 ........................... (2)
iii. Substitusikan a, b dan c dari persamaan (1) ke dalam persamaan (2) dan setelah dibagi
dengan t2:
(4(x – 2) + 8(y – 4) + 8(z – 4))2 – 100((x – 2)2 + (y – 4)2 + (z – 4)2) = 0 , atau:
21x2 + 9y2 + 9z2 – 16xy – 16xz – 32yz + 44x + 88y + 88z – 396 = 0
Bayang-bayang bola pada bidang xOy adalah:
z = 0 dan 21x2 + 9y2 + 9z2 – 16xy – 16xz – 32yz + 44x + 88y + 88z – 396 = 0
Penyelidikan lebih lanjut pada bidang z = 0, memperlihatkan bahwa bayang bola tersebut berupa
ellips.

22. Bidang Kutup Sebuah Titik Terhadap Bola
Diketahui titik P(x1, y1, z1) di luar bola x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0.
Akan dicari Bidang Kutub:
Misalkan Q(x0, y0, z0) sebarang titik pada lingkaran singgung, maka bidang
singgun di Q pada bola B: x2 + y2 + z2 + Ax + By + Cz + D = 0, adalah:
x0x + y0y + z0z +1/2 A(x + x0) + 1/2B(y + y0 ) + C(z + z0) + D = 0
bidang ini melalui P(x1,y1,z1) maka:
x0x1 + y0y1 + z0z1 +1/2A(x1+x0) + 1/2B(y1+y0) + 1/2C(z1+z0) + D = 0,
jalankan x0,y0,z0, didapat:
x1x + y1y + z1z + 1/2A(x + x1) +1/2B(y + y1) + 1/2C(z+ z1) + D = 0.
Bidang Kutub

23. Kutub Sebuah Bidang Terhadap Bola
Bila diketahui sebuah bola dan sebuah bidang V, maka kita dapat mencari sebuah titik P sebagai titik kutubnya
bidang V terhadap bola B.
Contoh:
Tentukan titik kutubnya bidang V: x – 6y – 5z – 2 = 0, terhadap bola B: x2 + y2 + z2 – 3x + 2y – z + 2 = 0.
Jawab:
Misalkan titik kutubnya P(x1,y1,z1), maka persamaan bidang kutub dari titik P adalah:
x1x + y1y + z1z – 1 (x + x1) + (y + y1) – (z + z1) + 2 = 0, karena bidang ini harus identik dengan: x – 6y – 5z – 2
= 0, maka:
−
=
+
−
=
−
−
=
− + − +
−
Sehingga didapatkan = , = − , dan = − / , maka titik kutubnya adalah P(5/2, -7, -9/2).

24. Bidang Kutub di Lapang Tak Hingga
Bola B: xβ + yβ + zβ = Rβ + + =
dan
Titik , , berjarak t dari pusat bola O
x1= t cos α
y1= t cos
z1= t cos
cos ∙ + cos ∙ + cos ∙ =
⇓
lim
�→~
=
⇓
cos + cos + cos =
Persamaan bidang kutub
Jika P bergerak ke lapang takhingga sepanjang garis OP, maka
kosinus arahnya tetap, sedang t menjadi besar tak terhingga, dalam
keadaan limit, lim
�→~
�2
�
= .
Jika a, b, c bilangan arah OP, maka persamaan menjadi: ax + by + cz = 0
Bidang inilah bidang kutub dari sebuah titik di lapang takhingga ke arah: a, b, c terhadap bola x2 + y2 + z2 = R2.
Karena bidang tersebut melalui pusat O, berdiri tegaklurus pada arah a, b, c sehingga bidang ini disebut bidang
diametral sekawan pada arah: a, b, c; perpotongan bidang ini dengan bola berupa sebuah lingkaran besar
Bila bolanya (x – a)2 + (y – b)2 + (z – c)2 = R2 yakni bola pusat M(a, b, c) jari-jari R, maka bidang diametral
dengan arah A, B, C adalah A(x – a) + B(y – b) + C(z – c) = 0.

25. • Dari titik P(x1, y1, z1) di luar bola B pusat M(a,b,c) jari-jari R dapat dibuat sebarang garis
potong PAB, garis singgung PQ.
• Secara geometrik ternyata PA. PB = tetap = PQ2. Nilai yang tetap inilah yang dinamakan
kuasa P terhadap bola B atau KPB.
• Mencari nilai KPB : PQ2 = PM2 – QM2
KPB = (x1 – a)2 + (y1 – b)2 + (z1 – c)2 – R2
ternyata nilai ruas kiri persamaan bola (= ruas kanan nol) setelah koordinat P(x1,y1,z1)
disubstitusikan.
• Ada tiga kemungkinan:
i. KP > 0, bila P di luar bola
ii. KP = 0, bila P pada bola.
iii. KP < 0, bila P di dalam bola
Contoh:
Tentukan kuasa P(1, 2, -1) terhadap bola: x2 + y2 + z2 – 2x + y = 7
Kuasa Titik Terhadap Bola

26. Bidang Kuasa Dua Bola
• Tempat kedudukan titik-titik yang mempunyai kuasa sama terhadap dua bola: B1 = 0 dan B2 = 0 berupa
sebuah bidang yang dinamakan bidang kuasa.
• Persamaan bidang kuasa dirumuskan dengan B1 = B2 atau B1 – B2 = 0.
B1: xβ + yβ + zβ + A1x + B1y + C1z + D1 = 0
Bβ: xβ + yβ + zβ + Aβx + Bβy + Cβz + Dβ = 0
=
⇓
x0
2 + y0
2 + z0
2 + A1x0 + B1y0 + C1z0 + D1 = x0
2 + y0
2 + z0
2 + A2x0 + B2y0 + C2z0 + D2
⇓
(A1 – A2)x0 + (B1 - B2) y0 + (C1 – C2)z0 + (D1 – D2) = 0
x0, y0, z0 jalankan akan didapat:
(A1 – A2)x + (B1 - B2) y + (C1 – C2)z + (D1 – D2) = 0
Persamaan bidang kuasa dua bola

27. i. Bidang kuasa tegak lurus sentral M1M2
ii. Bila B1 dan B2 saling berpotongan, maka bidang kuasanya bidang potong pesekutuan (irisan) dari kedua
bola tersebut.
iii. Bila kedua bola bersinggungan, bidang kuasanya bidang singgung persekutuan di titik singgung
iv. Bila kedua bola tidak berpotongan (saling asing) bidang kuasanya berada di antara kedua bola tersebut.
v. Bila kedua bola sepusat, maka bidang kuasanya di lapang jauh takhingga.
Latihan:
Jika diketahui B1: x2 + y2 + z2 + 3x – y + 5z – 7 = 0 dan
B2: x2 + y2 + z2 – x + 2y + z + 3 = 0
Tentukan: bidang kuasa dari kedua bola tersebut!
Sifat-Sifat Bidang Kuasa Dua Bola

28. Letak Dua Bola
Misal bola B1 pusat M1 jari-jari R1, bola B2 pusat M2 jari-jari R2, ada beberapa kemungkinan
letak B1 dan B2
a. Dua bola berpotongan, bila: M1M2 < R1 + R2
b. Dua bola bersinggungan:
1) di luar, bila M1M2 = R1 + R2
2) di dalam, bila M1M2 = |R1 − R2|
c. Dua bola saling asing, bila:
M1M2 > R1 + R2
d. Bola yang satu di dalam yang lain, bila:
M1M2 > |R1 − R2|

29. 1. Syarat Berpotongan Tegak Lurus
Yang disebut sudut antara dua bola yang berpotongan adalah sudut antara dua bidang
singgung di satu titik bersekutuan.
Bila B1 dan B2 berpotongan tegak lurus, maka:
a. M1M2
2 = R1
2 + R2
2
b. Kuasa M1 terhadap B2 besarnya = R1
2
2. Syarat Berpotongan Membagi Dua.
Bila bola B1 membagi dua sama bola B2, maka:
a. M1M2
2 = R1
2 − R2
2
b. Kuasa M2 terhadap B1 besarnya= −R2
2
Tentukan: Persamaan bola yang melalui (1,-3,4), memotong tegak lurus
B1: x2 + y2 + z2 - 4x – 2y + 12z + 4 = 0, membagi dua sama besar
B2: x2 + y2 + z2 + 2x + 8y - 4z + 14 = 0, selain itu diketahui bahwa titik (-4, -1, 0) mempunyai kuasa
13 terhadap bola tersebut!

30. Latihan Soal
1. Tuliskan persamaan bola yang diketahui:
a. Pusatnya di titik (-6,2,-3) dan jari-jarinya 2.
b. Pusatnya di titik (2,3,2) dan menyinggung sumbu-x di titik (2,0,0).
c. Pusatnya di titik (2,4,5) dan menyinggung bidang xy.
d. Jika diameternya adalah ruas garis yang menghubungkan titik (-2,3,7) dan (-4,1,5).
e. Jika terletak dalam kuadran pertama, berjari-jari 6 dan menyinggung bidang-bidang koordinat.
f. Berpusat di titik (1,1,4) dan menyinggung bidang x + y = 12.
g. Yang melalui titik-titik (3,1,-3), (-2,4,1), dan (-5,0,0) serta titik pusatnya terletak pada bidang
+ − + = .
h. Berjari-jari 3 dan menyinggung bidang + + + = di titik (1,1,3).
2. Tentukan persamaan bola-bola yang saling bersinggungan ketika titik pusat kedua bola tersebut secara
berturut-turut adalah (-3,1,2) dan (5,-3,6) dan jari-jarinya sama.
3. Tentukan persamaan bidang singgung pada bola − + + + − = yang sejajar dengan
bidang + − = .