1. Equazione dell’ellisse!

2. In questa lezione vediamo…
!
Luogo geometrico dell’ellisse1
2
3 Ellisse con i fuochi sull’asse y
Ellisse con i fuochi sull’asse x

3. Sfida
?!
Il pianeta Math++ compie un moto di rivoluzione intorno
ai due pianeti Redooc e Tarta1 e mantiene costante la
somma delle distanze dai pianeti!
Math++ segue una traiettoria particolare?

4. Ora vediamo…
!
Luogo geometrico dell’ellisse1
2
3 Ellisse con i fuochi sull’asse y
Ellisse con i fuochi sull’asse x

5. L’ellisse è una curva molto importante: è la traiettoria seguita dai pianeti del sistema
solare!
1. Luogo geometrico dell’ellisse
L’ellisse è il luogo geometrico dei punti del piano la cui somma delle distanze da due punti
fissi, detti fuochi, è costante
1. Luogo geometrico dell’ellisse
y
xO 2F
DISTANZA
FOCALE
CENTRO
FUOCO
FUOCO
1F
Nel disegno vediamo l’ellisse con i suoi elementi
principali:
• i fuochi e
• la distanza focale, la distanza tra e che
indichiamo con
• il centro, è il punto medio del segmento
1F 2F
1F 2F
c2
21FF

6. 1. Luogo geometrico dell’ellisse
2121 FFPFPF >+
Indichiamo eaPFPF 221 =+ cFF 221 =
caca >⇒> 22
Questa relazione serve quando risolvi i problemi: per controllare se hai fatto bene i
conti!
y
xO 2F1F
c2
P
Prendiamo un punto sull’ellisse e disegniamo il triangolo
Come in tutti i triangoli, ogni lato è minore della somma degli
altri due (infatti si chiama disuguaglianza triangolare)
21FPFP
Allora la relazione diventa2121 FFPFPF >+

7. Ora vediamo…
!
Luogo geometrico dell’ellisse1
2
3 Ellisse con i fuochi sull’asse y
Ellisse con i fuochi sull’asse x

8. Anche l’ellisse ha una sua equazione!
Iniziamo con l’ellisse che ha:
• il centro (punto medio del segmento che ha i fuochi come estremi) nell’origine
degli assi cartesiani
• i fuochi si trovano o sull’asse delle ascisse o su quello delle ordinate.
L’asse che contiene i fuochi è l’asse maggiore e l’altro è l’asse minore
2. Equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse x2. Ellisse con i fuochi sull’asse x
)0;(1 cF − )0;(2 cF
La lunghezza del segmento che congiunge i fuochi è e il centro è il punto medio di
questo segmento. Allora i fuochi hanno coordinate
c2
Ellisse con i fuochi sull’asse!x

9. Facciamo un po’ di conti: spostiamo una radice a secondo membro
22222222
)(2)(2)()( ycxaycxaycxycx +−−=++⇒=+−+++
ed eleviamo al quadrato
2222222
)(4)(4)( ycxaycxaycx +−−+−+=++
2. Ellisse con i fuochi sull’asse x
Scegliamo un punto dell’ellisse. La somma delle distanze dai due fuochi è
costante e la chiamiamo a2
);( yxP
aPFPF 221 =+
Calcoliamo e con la formula della distanza tra due punti1PF 2PF
22
2
22
1
)(
)(
ycxPF
ycxPF
+−=
++=
aycxycxPFPF 2)()( 2222
21 =+−+++=+⇒

10. Sviluppiamo i quadrati e isoliamo la radice a secondo membro
Riordiniamo un po’:
222
222222222
)(444
)(4242
ycxaacx
ycxayccxxayccxx
+−−=−
+−−++−+=+++
222224222222
)2(2)( yaccxxaacxaxcycxaacx ++−=+−⇒+−−=−
)()( 22222222224222222
caayaxcacaayaxcxa −=+−⇒−=+−
Per vedere meglio l’equazione, chiamiamo . Possiamo farlo perché
perché !
222
bca =− 022
>−ca
ca >
2. Ellisse con i fuochi sull’asse x
Ora dividiamo per ed eleviamo di nuovo al quadrato per togliere la radice4

11. La formula ha ora un aspetto decisamente migliore
222222
bayabx =+
Dividiamo per e troviamo
l’equazione dell’ellisse (in forma canonica) con
i fuochi sull’asse x
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
022
>ba
Vediamo che 22222
abcab <⇒−=
y
xO 2F1F
A
D
C
B
2. Ellisse con i fuochi sull’asse x
Se un’ellisse ha i fuochi sull’asse allora nella sua equazionex 22
ba >
L’ellisse appare «schiacciata» su quest’asse. Immagina di tener fermi i punti e
e «tirare» verso l’esterno i punti eA
B
C
D

12. Come facciamo a riconoscere un’ellisse con centro nell’origine?!
2. Ellisse con i fuochi sull’asse x
Esempio:
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
Dobbiamo provare a scrivere l’equazione che abbiamo nella forma canonica!
L’equazione rappresenta un’ellisse?
Come primo passo, cerchiamo di avere il secondo membro . Dobbiamo dividere
entrambi i membri per :
259 22
=+ yx
1
25
9
25
22
=+
yx
1=
25
Ora vogliamo che davanti a e ci sia quindi l’equazione è
2
x 2
y 1
9
2525
22
=+
yx
1
L’ellisse ha , e252
=a
9
252
=b
4
75
4
25
25222
=−=−= bac
22
9
25
25 ba >⇒>I suoi fuochi sono sull’asse perché !x

13. Ora vediamo…
!
Luogo geometrico dell’ellisse1
2
3 Ellisse con i fuochi sull’asse y
Ellisse con i fuochi sull’asse x

14. Dopo aver fatto tutti i conti, arriviamo all’equazione
3. Ellisse con i fuochi sull’asse y
I passaggi per trovare l’equazione sono gli stessi.
Questa volta però
• I fuochi hanno coordinate e
• Preso punto dell’ellisse, scriviamo
cioè scriviamo b al posto di a!
);0(1 cF );0(2 cF −
);( yxP
bPFPF 221 =+
che è identica al caso precedente!
12
2
2
2
=+
b
y
a
x
Ellisse con i fuochi sull’asse!y
Questa volta però abbiamo 22222
abacb >⇒=−
y
xO
2F
1F
A
D
C
B
c2
P

15. 3. Ellisse con i fuochi sull’asse y
L’equazione dell’ellisse con i fuochi sull’asse ha
quindi la stessa equazione di quella con i fuochi
sull’asse . Ora però vale
y
x
22
ab >
L’ellisse appare «schiacciata» sull’asse
Immagina di tener fermi i punti e e di «tirare»
il punto verso l’alto e verso il basso!!
y
A
B
C
D
Esempio:
L’equazione è un’ellisse con i fuochi
sull’asse . Infatti, se dividiamo entrambi i membri per
l’equazione diventa:
164 22
=+ yx
16y
1
164
22
=+
yx
e quindi i fuochi sono sull’asse22
416 ab =>= y
y
xO
A
D
2F
1F
D
C
B

16. !!
Soluzione alla sfida
La traiettoria di Math++ è un’ellisse!
Infatti mantiene costante la somma delle distanze dai
due pianeti!
I due fuochi della sua traiettoria sono Redooc e Tarta1

17. Nell’interrogazione potrebbero chiederti…!
• Qual è l’equazione in forma canonica dell’ellisse
Su quale asse sono i suoi fuochi?53 22
=+ yx
• Trova l’equazione del luogo geometrico dei punti del
piano la cui somma delle distanze da e
è
)2;0( −A )2;0(B
12
• Per quale valore di l’equazione
rappresenta un’ellisse con i fuochi sull’asse ?
1
4 2
22
=+
k
yx2
k
y

18. Rewarded education!