2. LOGIKA
Standar Kompetensi
Menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang
berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor
Kompetensi Dasar
1. Mendiskripsikan pernyataan dan bukan pernyataan (kalimat terbuka).
2. Mendiskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi,
dan ingkarannya.
3. Mendiskripsikan invers, konvers, dan Kontraposisi.
4. Menerapkan modus ponens, modus tollens dan prinsip silogisme
dalam menarik kesimpulan.
Hal.: 2 Logika Adaptif
3. LOGIKA
Indikator:
1. Membedakan pernyataan dan kalimat terbuka.
2. Menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan.
3. Mendeskripsikan ingkaran, konjungsi, disjungsi,
implikasi, biimplikasi dan ingkarannya.
4. Mendiskripsikan invers, konvers, dan kontraposisi.
Hal.: 3 Logika Adaptif
4. PERNYATAAN DAN BUKAN PERNYATAAN
A. PERNYATAAN
Pernyataan adalah kalimat yang hanya bernilai benar saja atau salah saja, tidak
bisa sekaligus benar dan salah
Suatu pernyataan biasanya dilambangkan dengan huruf kecil seperti :a, b, c , dll.
Contoh:
a : 2 adalah bilangan genap (bernilai benar)
b : 4 habis dibagi 3 (bernilai salah)
Pernyataan yang benar dikatakan mempunyai nilai kebenaran B (benar),
sedangkan pernyataan yang salah dikatakan mempunyai nilai kebenaran S
(salah).
Kata nilai kebenaan dilambangkan dengan τ (tau).
Contoh:
a: 8 adalah bilangan genap, merupakan pernyataan yang benar, τ(a)=B
p : 5 lebih kecil dari 4, merupakan pernyataan yang salah, τ(p)=S
Hal.: 4 Logika Adaptif
5. B. KALIMAT TERBUKA
B. KALIMAT TERBUKA
Kalimat terbuka adalah yang memuat peubah/variable, sehingga belum dapat
ditentukan nilai kebenarannya (benar/salah)
Contoh:
1.2 x +11 =8
2. itu adalah benda cair
A. NEGASI
Jika p merupakan sebuah pernyataan, maka ingkaran atau negasi dari p ditulis dengan
lambang ~p.
Contoh:
p: 7 adalah bilangan prima , maka ~p: 7 bukan bilangan prima
q : 3+2 sama dengan 6 , maka ~q: 3+2 tidak sama dengan 6
Tabel kebenaran
p ~p
B S
S B
Hal.: 5 Logika Adaptif
6. B. DISJUNGSI
B. DISJUNGSI
Disjungsi adalah gabungan dari dua pernyataan yang dirangkai dengan menggunakan
kata hubung atau.
Disjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang: p ∨ q
p∨q
Tabel kebenaran disjungsi
adalah sebagai berikut:
P q p ∨q “ Ingatlah “
B B B “ Siswa harus membawa pencil dan bolpoint “
B S B
S B B
S S S
Hal.: 6 Logika Adaptif
7. B. KONJUNGSI
C. KONJUNGSI
Konjungsi adalah pernyataan yang dibentuk dari dua pernyataan yang dirangkai
dengan kata hubung atau.
Konjungsi pernyataan p dan pernyataan q, ditulis dengan lambang:
p∧q Dibaca p dan q
Tabel kebenaran
“ Ingatlah “
P q p∧q “ Siswa harus membawa pencil dan bolpoint “
B B B
B S S
S B S
S S S
Hal.: 7 Logika Adaptif
8. IMPLIKASI
D. IMPLIKASI
Implikasi adalah pernyataan majemuk yang dibentuk dari dua pernyataan p dan
pernyataan q dalam bentuk jika p maka q
Implikasi jika p maka q ditulis dengan lambang: p ⇒ q
Dibaca jika p maka q atau
•p hanya jika q
•q jika p
•p syarat cukup bagi q
•q syarat perlu bagi p
Tabel kebenaran implikasi Kalimat untuk mengingat :
adalah sebagai berikut:
“ jika kamu lulus ujian maka kamu saya beri hadiah “
P q p⇒q
B B B
B S S
S B B
S S B
Hal.: 8 Logika Adaptif
9. BIIMPLIKASI
E. BIIMPLIKASI
Biimplikasi dari pernyataan-pernyataan p dan q dapat dituliskan sebagai berikut:
p⇔q
dibaca :
p jika dan hanya jika q
Jika p maka q dan jika q maka
p
p syarat perlu dan cukup bagi
q
q syarat perlu dan cukup bagi
p
Tabel kebenaran
P q p⇔ q
B B B
B S S
S B S
S S B
Hal.: 9 Logika Adaptif
10. PERNYATAAN MAJEMUK
Pernyataan majemuk adalah pernyataan yang dibentuk dari beberapa pernyataan
tunggal (componen) yang dirangkai dengan menggunakan kata hubung logika.
Contoh pernyataan majemuk:
1. ~ p ∧ q
2. ( p ∨ ~ q ) ⇒ p
Contoh:
Tentukan nilai kebenaran dari ( p ∨ ~ q ) ⇒ p
Untuk menentukan nilai kebenaran, biasanya menggunakan tabel kebenaran
P q ~q ( p∨ ~ q ) p ∨ ~ q ) ⇒ p
(
B B S B B
B S B B B
S B S S B
S S B B S
Jadi nilai kebenaran dari ( p ∨ ~ q ) ⇒ p adalah B,B,B,S
Atau ditulis: τ [( p ∨ ~ q ) ⇒ p ] = B B B S
Hal.: 10 Logika Adaptif
11. TAUTOLOGI
TAUTOLOGI
Tautologi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu benar untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Contoh:
Tunjukkan bahwa pernyataan majemuk p ⇒ ( p ∨ q) adalah sebuah tautologi
Tabel p q (pvq) p ⇒ ( p ∨ q)
B B B B
B S B B
S B B B
S S S B
Jadi pernyataan p ⇒ ( p ∨ q) merupakan tautologi
KONTRADIKSI
Kontradiksi adalah sebuah pernyataan majemuk yang selalu salah untuk semua
kemungkinan nilai kebenaran dari pernyataan-pernyataan komponennya.
Hal.: 11 Logika Adaptif
12. PERNYATAAN MAJEMUK
DUA BUAH PERNYATAAN MAJEMUK YANG EKUIVALEN
Dua buah penyataan majemuk dikatakan ekuivalen, jika kedua pernyataan majemuk
itu memiliki nilai kebenaran yang sama untuk semua kemungkinan nilai kebenaran
pernyataan komponen-komponennya
Lambang dari dua buah pernyataan majemuk yang equivalen adalah p ≡ q
Ekuivalen
~ ( p ∨ q ) ≡ (~ p ∧ ~ q )
~ ( p ∧ q ) ≡ (~ p ∨ ~ q )
~ ( p ⇒q ) ≡ ( p ∧ ~ q )
( p ⇒ ) ≡(~ p ∨q )
q
~ ( p ⇔q ) ≡ ( p ∧ ~ q ) ∨( q ∧ ~ p )
Hal.: 12 Logika Adaptif
13. PERNYATAAN MAJEMUK
Lanjutan
~ ( p ∨ q ) ≡ (~ p ∧ ~ q )
p : Mama mengantar adik , q : Saya belajar
(p V q) : Mama mengantar adik atau saya belajar
~(p V q) : (~p∧~q) =Mama tidak mengantar adik dan saya tidak belajar
~ ( p ⇒ q) ≡ ( p ∧ ~ q)
p : Saya naik kelas , q : Saya dapat hadiah
p⇒q : Jika Saya naik kelas maka Saya dapat hadiah
~(p⇒q) =(p∧~q) : Saya naik kelas dan Saya tidak dapat hadiah
Saya naik kelas tetapi Saya tidak dapat hadiah
Hal.: 13 Logika Adaptif
14. Pada disjungsi dan konjungsi berlaku sifat
komutatif, asososiatif dan ditributif
Sifat Komutatif
p∨q ≡q∨ p
p∧q ≡ q∧ p
Sifat Asosiatif
( p ∨ q ) ∨ r ≡ p ∨ (q ∨ r )
( p ∧ q ) ∧ r ≡ p ∧ (q ∧ r )
Sifat Distributif
Distributif konjungsi terhadap disjungsi
p ∨ (q ∧ r ) ≡ ( p ∨ q) ∧ ( p ∨ r )
Distibutif konjungsi terhadap disjungsi
p ∧ (q ∨ r ) ≡ ( p ∧ q) ∨ ( p ∧ r )
Hal.: 14 Logika Adaptif
15. . HUBUNGAN KONVERS, INVERS, DAN
KONTRAPOSISI DENGAN IMPLIKASI
p⇒q
Jika kita mempunyai sebuah kalimat implikasi
, maka kita bisa membuat beberapa buah kalimat implikasi yang lain, yaitu
q ⇒ p , disebut konvers dari implikasi p ⇒ q
~ p ⇒~ q , disebut invers dari implikasi p⇒q
~ q ⇒ ~ p , disebut kontraposisi dari implikasi p ⇒ q
p q ~p ~q p⇒q ~q⇒~p q⇒p ~p⇒~q
B B S S B B B B B
B S S B S S B B B
S B B S B B S S S
S S B B B B B B B
p ⇒ q ≡ ~ q ⇒~ p Implikasi ekuivalen dengan kontraposisinya
q ⇒ p ≡ ~ p ⇒~ q Konvers ekuivalen dengan invers
Hal.: 15 Logika Adaptif
16. KUANTOR UNIVERSAL
KUANTOR UNIVERSAL
Semua siswa Kelas X SMA Satu pandai.
Kata semua atau setiap merupakan kuantor universal (umum)
Lambang dari kuator universal adalah:
∀x, p ( x) dibaca, untuk semua x berlakulah p(x) atau
∀ x ∈ S , p( x) dibaca, untuk semua x anggota S berlakulah p(x)
Hal.: 16 Logika Adaptif
17. Lanjutan
KUANTOR EKSISTENSIAL
Beberapa siswa kelas X SMA Satu pandai.
Kata beberapa atau ada merupakan kuantor eksistensial (khusus)
Misalkan:
U=himpunan semua siswa SMA di Jakarta
A=himpunan semua siswa SMA Satu
B=himpunan semua siswa kelas X SMA satu yang pandai
Pernyataan “Beberapa siswa kelas X SMA Satu pandai”, dapat ditulis dengan
lambang berikut: ∃x, x ∈ A dan x ∈ B
dibaca: Beberapa siswa SMA Satu pandai, atau
Sekurang-kurangnya ada seorang ada seorang siswa kelas X SMA
Satu yang pandai.
Hal.: 17 Logika Adaptif
18. INGKARAN PERNYATAAN BERKUANTOR
INGKARAN PERNYATAAN BERKUANTOR
~ [∀x, p ( x)] ≡ ∃x, ~ p ( x)
~ [∃x, p( x)] ≡ ∀x, ~ p ( x)
Contoh:
p : Semua siswa Satu rajin belajar
~p : Ada siswa Satu yang tidak rajin belajar
q : Ada siswa Satu yang rumahnya di Kelapa Gading
~q : Semua siswa Satu rumahnya tidak di Kelapa Gading
r : Jika semua siswa kelas satu naik kelas maka Saya senang
~r : Semua siswa kelas satu naik kelas dan Saya tidak senang
~r : Semua siswa kelas satu naik kelas tetapi Saya tidak senang
Hal.: 18 Logika Adaptif
19. Penarikan kesimpulan
Penarikan kesimpulan
Proses penarikan kesimpulan terdiri atas beberapa pernyataan yang diketahui nilai
kebenarannya disebut premis
Kemudian dengan menggunakan prinsip logika dapat diturunkan pernyataan baru
(kesimpulan/ konklusi)
Penarikan kesimpulan tersebut sering juga disebut argumentasi
Suatu argumentasi dikatakan sah jika premis-premisnya benar, maka konklusinya
juga benar
Hal.: 19 Logika Adaptif
20. Penarikan kesimpulan
Lanjutan
1. SILLOGISME
p⇒q premis 1
q⇒r premis 2
p⇒r kesimpulan/konklusi
Contoh:
Jika hari ini hujan, maka saya tidak berangkat ke sekolah premis 1
Jika saya tidak berangkat sekolah, maka ayah akan marah premis 2
Maka konklusinya adalah: Jika hari ini hujan, maka ayah akan marah
Hal.: 20 Logika Adaptif
21. Penarikan kesimpulan
2. Modus ponen
p⇒q premis 1
p premis 2
q kesimpulan/konklusi
Contoh:
Jika saya punya uang banyak, maka saya akan membeli rumah premis 1
Saya punya uang banyak premis 2
Maka konklusinya adalah Saya akan membeli rumah
Hal.: 21 Logika Adaptif
22. Penarikan kesimpulan
3. Modus tollens
p⇒q premis 1
~q premis 2
~p kesimpulan/konklusi
Contoh:
Jika hari ini cuaca cerah , maka saya datang ke pestamu premis 1
Saya tidak datang ke pestamu premis 2
Maka konklusinya adalah Hari ini cuaca tidak cerah
Suatu argumentasi dikatakan sah jika konjungsi dari premis-premisnya berimplikasi
dengan konklusinya merupakan TAUTOLOGI
Hal.: 22 Logika Adaptif
23. No
No
Lazy Or
Or
Lazy
Man!
Man!
Belajarlah
Belajarlah
sepanjang hayat
sepanjang hayat
Hal.: 23 Logika Adaptif
