1. KELOMPOK 1
MATEMATIKA
^PENALARAN DALAM MATEMATIKA^
2. Nama Kelompok & NIM
1. Dewi Astuti A1E311351
2. Dynar Richa Putri C.P A1E311348
3. Elva Muzdalifah A1E311237
4. Fristanto Satriya N. A1E311426
5. Kahfi K. A1E311294
6. Novi Anggraini A1E311345
7. Rahmaniyyah A1E311375
8. Teti Tirnawati A1E311409
3. A. Berfikir Kritis dan Penalaran Induktif
Di dalam proses berfikir kritis ini diperlukan penlaran Induktif & atau Deduktif.
Dalam hal ini marilah kita bicarakan terlebih dahulu penalaran Induktif. Proses penalaran
Induktif atau berf kir Induktif yang akan kita bicarakan meliputi pengenalan pola, dugaan
& pembentukan Generalisasi.
1. Bekerja dengan pola
Contoh :
Identifikasikan dua huruf abjad terakhir pada deretan huruf terdaftar sebagai berikut.
C, A, G, E, K, L, O, M, -, -.
Jawab :
Kita mengetahui urutan huruf abjad adalah A, B, C, D, E, F, G, H, I,..... Lihat sekarang
pola urutan yang terdapat pada permasalahan kita. Dengan mudah kita poroleh dua huruf
abjad terakhir adalah S & Q.
2. Pola Bilangan
Contoh :
Bila n suatu bilangan asli ganjil maka n+2 juga bilangan ganjil. Apa yang dapat kita
katakan tentang n+(n+2)?
Jawab :
Marilah kita perhatikan pola berikut.
1 = 1 =1.1
1+3 = 4 =2.2
1+3+5 = 9 =3.3
4. Tanpa menjumlahkan 1+3+5+7+9+11 kita dapat menduga bahwa jumlahnya adalah 6.6 =
36. gunakan pola yang kita peroleh itu untuk mendapatkan 1+3+5+...+99.
Jawabannya adalah 50.50 = 2.500
3. Pola Geometri
4. Barisan Bilangan
Contoh :
Perhatikan Barisan 3, 6, 12, 24,....
Tentukan Polanya.
Jawab :
3 = 3.1 = 3.2º
6 = 3.2 = 3.2¹
12 = 3.4 = 3.2²
24 = 3.8 = 3.2³
B. Penalaran Deduktif & Sistem Matematika
Berbeda dengan penalaran Induktif, penalaran Deduktif merupaka sistem
penalaran yang berlangsung dari hal yang umum (generalisasi) ke hal yang khusus. Di
dalam membuktikan dengan penalaran Deduktif, pola nya diatur sebagai berikut.
^Simpulan didasarkan atas pernyataan generalisasi yang berlaku umum dan pernyataan
khusus. Dalam penalaran deduktif, tidak menerima generalisasi dari hasil observasi seperti
yang diperoleh dari penalaran induktif.
Dasar penalaran deduktif yang berperan besar dalam matematika adalah kebenaran
suatu pernyataan haruslah didasarkan pada kebenaran pernyataan-pernyataan lain.
5. C. Logika
Bahan penting untuk berfikir kritis & penalaran deduktif (disebut juga
penalaran matematik ) adalah Logika. Kata pernyataan yang seringkali disebutkan dimuka
tidak didefinisikan, hanya dikatakan bahwa suatu pernyataan itu adalah benar atau salah
dan tidak akan terjadi pernyataan itu benar dan salah secara bersama. Jadi “pernyataan”
jadi pernyataan itu sendiri merupakan pengertian pangkal dan bahwa pernyataan itu
bernilai “benar” saja atau “salah” saja merupakan suatu aksioma. Pernyataan yang
bernilai benar saja atau salah saja dinamakan proposisi.
1. Proposisi Majemuk
Proposisi –proposisi yang dihubungkan dengan perangkai “dan”, “atau”, “tidak”
(yang disebut perangkai logika) dinamakan proposisi majemuk. Proposisi yang tanpa
perangkai
logika dinamakan proposisi sederhana.
Definisi :
Suatu proposisi majemuk adalah proposisi yang terjadi dari proposisi-proposisi sederhana
yang dihubungkan dengan perangkai logika.
Lawan dari hitam biasanya dikatakan putih, tetapi negasi dari hitam adalah tidak
hitam, dengan pengertian termsuk putih, biru, coklat dan sebagainya.
2. Negasi
Bila proposisi p dinegasikan maka menjadi –p.
Definisi :
Negasi proposisi p adalah suatu proposisi : “tidak benar bahwa p” yang ditulis –p.
Dengan demikian berarti tidak akan terjadi p dan –p keduanya benar atau ke-2 nya salah.
6. Tabel Negasi :
p -p
B S
S B
3. Konjungsi
Penggunaan perangkai logika “dan” sebagai berikut.
Definisi :
Untuk sembarang proposisi p dan q, proposisi “p dan q” (yang dinyatakan dangan p^q)
disebut suatu konjungsi.
Tabel Konjungsi :
p -q p^q
B B B
B S S
S B S
S S S
7. 4. Disjungsi
Penggunaan kata perangkai “atau” sebagai berikut.
Definisi :
Untuk sembarang proposisi p dan q, proposisi “p atau q” (yang dinyatakan dengan p V q )
disebut suatu disjungsi. “atau” di dalam buku ini berarti “atau inklusif” yaitu “dan/atau”.
Tabel Disjungsi :
p q pVq
B B B
B S B
S B B
S S S
8. 5. Negasi Rangkap
Nagasi rangkap p adalah negasi dari negasi p (-(-p))
Tabel di bawah ini menunjukkan tabel kebenaran –(-p)
Tabel Negasi Rangkap :
p -p -(-p)
B S B
S B S
9. 6. Kondisional
Perangkai logika yang lain ialah kalimat yang memuat “jika” .... Maka”.
Bila proposisi p dan q di kombinasikan menjadi proposisi “jika p maka q” yang
disimpulkan
p q disebut kondisional.
Tabel di bawah menunjukan tabel kebenaran kondisional.
Tabel Kondisional :
p q p q
B B B
B S S
S B B
S S B
10. 7. Bikondisional
Jika kondisional p q dan demikian juga q p ditulis p q
disebut bikondisional. Kalimat “jika p maka q dan juga” jika q
maka p “ disingkat dengan kalimat “ p jika dan hanya jika q”
Dengan demikian proposisi p q dibaca “p jika dan hanya jika q”
Definisi :
Bikondisional p q adalah (p q)^(q p)
Cara membaca p q sebagai berikut.
A. P jika dan hanya jika q
B. Q jika dan hanya jika p
C. P Q dan konversnya
D. Q P dan konversnya
E. P merupakan syarat cukup dan perlu untuk q.
11. 8. Ekivalen
Di himpunan telah kita kenal pengertian ekivalen, misalnya {1, 2, 3} ekivalen
dengan {a, b, c}, namun kedua himpunan itu tidak sama. Himpunan {a, b, c} sama dengan
{c, a, b} dan kedua himpunan tersebut juga ekivalen. Di logika juga terdapat pengertian
ekivalen.
Definisi :
p dan q disebut ekuivalen, bila p mempunyai nilai kebenaran yang sama dengan nilai
kebenaran q.
Ini berarti p q benar bila p dan q kedua-duanya benar atau p dan q kedua-duanya salah.
Bila hanya salah satu benar maka p q salah.
9. Hukum De Morgan
Dengan menggunakan tabel kebenaran, kita akan melihat keekivalenan –(p V q)
dengan –p^ (-q) dan (p^q) dengan (-p) V (-q).
10. Benar Secara Logika
Suatu proposisi majemuk dikatakan benar secara logika, bila proposisi majemuk
tersebut selalu benar apapun nilai kebenaran dari komponen proposisi yang
membentuknya. Suatu proposisi yang semacam itu disebut suatu tautologi.
12. 11. Salah secara Logika
Suatu proposisi majemuk dikatakan salah secara logika bila proposisi tersebut selalu salah
apapun nilai kebenaran dari komponen proposisi yang membentuknya. Proposisi semacam ini disebut
kontradiksi.
D. Kuantifikasi
Seringkali kita jumpai proposisi yang memuat kata-kata seperti semua, beberapa. Kata-
kata ini disebut kuantifikasi (yang merupakan keterangan tentang ide kuantitas).
Suatu proposisi yang mennjukkan sesuatu tentang “beberapa” dikatakan
“dikuantifikasikan”.
1. Diagram Venn
2. Kuantifikasi Universal
3. Kuantifikasi Eksistensial
4. Negasi Kuantifikasi
E. Pemanfaatan Logika Deduktif
Suatu argumen adalah suatu himpunan proposisi (disebut premis) yang menghasilkan
proposisi lain (disebut simpulan). Suatu argumen adalah sahih (valid) bila kebenaran konjungsi
proposisi-proposisi pada premis mengakibatkan secara logik kebenaran konklusi (simpulan). Bila
kebenaran proposisi –proposisi pada premis tedak menghasilkan secara logik kebenaran
konklusi, maka argumen tersebut tidak sahih (invalid). Argumen yang tidak sahih sering kali disebut
sesat fikir.
