Modul ini membahas konsep limit fungsi dan kekontinuan fungsi. Definisi limit fungsi adalah nilai L yang diapropimasi oleh fungsi f(x) ketika x mendekati c. Rumus-rumus limit fungsi seperti teorema penggantian dan teorema apit pun dibahas. Kekontinuan fungsi didefinisikan sebagai limit fungsi sama dengan nilai fungsi di titik tersebut. Contoh fungsi kontinu dan diskontinu disajikan.

1. Modul ke:
Fakultas
Program Studi
02Teknik
Teknik Sipil
Reza Ferial Ashadi, ST, MT
MATEMATIKA I
Konsep limit fungsi di satu titik
Rumus-rumus limit fungsi
Pendahuluan Konsep kekontinuan fungsi

2. Konsep Limit
Definisi
(Pengertian limit secara intuisi),
Untuk mengatakan bahwa
lim‫ݔ‬→ܿ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ܮ‬ berarti bahwa
bilamana x dekat tetapi berlainan
dari c, maka f(x) dekat ke L.

3. Lanjut...
Contoh :
Tentukan nilai dari lim‫2→ݔ‬
‫ݔ‬2+‫6−ݔ‬
‫2−ݔ‬
Penyelesaian :
Nilai ݂ሺ‫ݔ‬ሻ
‫ݔ‬2+‫6−ݔ‬
‫2−ݔ‬
untuk x mendekati 2 dapat dilihat ditabel berikut :
x 1,75 1,85 1,95 1,97 1,99 1,999 … 2 … 2,001 2,01 2,1 2,2 2,9 3,1
f(x) 3,75 4,85 4,95 4,97 4,99 4,999 …
0
0
… 5,001 5,01 5,1 5,2 5,9 6,1
Dari tabel dapat dilihat jika variabel x = 2, maka ݂ሺ2ሻ =
0
0
, yaitu suatu bentuk
tak-tentu, tapi jika x mendekati 2 dari arah kiri, maka nilai f(x) mendekati 5.
Demikian juga jika x mendekati 2 dari arah kanan, maka nilai f(x) mendekati 5.

4. Lanjut...
Oleh karena itu dapat ditulis :
lim
‫2→ݔ‬
‫ݔ‬2 + ‫ݔ‬ − 6
‫ݔ‬ − 2
= 5

5. Rumus-rumus Limit Fungsi

6. Lanjut...
Contoh :
Carilah
lim
‫3→ݔ‬
2‫ݔ‬4
Penyelesaian
lim
‫3→ݔ‬
2‫ݔ‬4
= 2 lim
‫3→ݔ‬
‫ݔ‬4
= 2ቂlim
‫ݔ‬→3
‫ݔ‬ቃ
4
= 2[3]4
= 162

7. Lanjut...
(Teorema Penggantian).
Jika f suatu fungsi polinom atau fungsi
rasional, maka :
lim
‫ܿ→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ݂ሺܿሻ
asalkan dalam kasus fungsi rasional nilai
penyebutnya tidak nol di c.

8. Lanjut...
CONTOH :
‫݅ݎܽܥ‬ lim
‫2→ݔ‬
7‫ݔ‬5
− 10‫ݔ‬4
− 13‫ݔ‬ + 6
3‫ݔ‬2 − 6‫ݔ‬ − 8
Penyelesaian
lim
‫2→ݔ‬
7‫ݔ‬5 − 10‫ݔ‬4 − 13‫ݔ‬ + 6
3‫ݔ‬2 − 6‫ݔ‬ − 8
=
7ሺ2ሻ5 − 10ሺ2ሻ4 − 13ሺ2ሻ + 6
3ሺ2ሻ2 − 6ሺ2ሻ − 8
= −
11
2

9. Lanjut...
Teorema Apit
Andaikan f, g, h adalah fungsi-fungsi yang
memenuhi f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) untuk semua x dekat
c, kecuali mungkin di c.
Jika
lim‫ݔ‬→ܿ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = lim‫ܿ→ݔ‬ ℎሺ‫ݔ‬ሻ = ‫,ܮ‬ ݉ܽ݇ܽ lim‫ܿ→ݔ‬ ݃ሺ‫ݔ‬ሻ = ‫ܮ‬
x
y
c
L
f
g
h

10. Kekontinuan Fungsi
x x x
y y
y
f
f
f
c c c
lim‫ܿ→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ tidak ada
lim‫ݔ‬→ܿ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ada, tetapi
lim
‫ݔ‬→ܿ
݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≠ ݂ሺܿሻ
lim
‫ݔ‬→ܿ
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ݂ሺܿሻ

11. Lanjut...
Definisi
(Kekontinuan di satu titik). Kita
katakan bahwa f kontinu di c jika
beberapa selang terbuka di sekitar c
terkandung dalam daerah asal f dan
lim
‫ܿ→ݔ‬
݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ݂ሺܿሻ

12. Lanjut...
Dengan definisi ini kita bermaksud
mensyaratkan tiga hal :
1. lim‫ܿ→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ܽ݀ܽ
2. ݂ሺܿሻ ܽ݀ܽ ሺ‫,݅݊݇ܽݕ‬ ܿ ܾ݁‫ܽ݀ܽݎ‬ ݈݀ܽܽ݉ ݀ܽ݁‫ܽݎ‬ℎ ܽ‫݈ܽݏ‬ ݂ሻ
3. lim‫ܿ→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = ݂ሺܿሻ
Jika salah satu dari ketiga fungsi ini tak terpenuhi, maka
f tak-kontinu (diskontinu) di c.

13. Lanjut...
CONTOH :
݂ሺ‫ݔ‬ሻ =
1
‫ݔ‬ − 2
ࢊ࢏࢙࢑࢕࢔࢚࢏࢔࢛ ‫ܽ݀ܽ݌‬ ‫ݔ‬ = 2,݇ܽ‫ܽ݊݁ݎ‬
1. f(2) tak terdefinisikan
2. lim‫2→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ tidak ada
3. lim‫2→ݔ‬ ݂ሺ‫ݔ‬ሻ ≠ f(2)
x
y
2

14. Lanjut...
CONTOH :
Tunjukkan bahwa fungsi f(x) = 2x + 1 kontinu di x = 1
Penyelesaian :
1. f(1) = 2(1)+1 = 3 → f(1) terdefinisi
2. lim‫ݔ‬→1 ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = lim‫1→ݔ‬ሺ2‫ݔ‬ + 1ሻ = 2ሺ1ሻ + 1 = 3 →lim‫ݔ‬→1 ݂ሺ‫ݔ‬ሻ terdefinisi
3. lim‫ݔ‬→1 ݂ሺ‫ݔ‬ሻ = f(1)
Ke tiga syarat fungsi disebut kontinu terpenuhi, maka fungsi f(x) = 2x + 1
kontinu di x = 1
-1/2
x
1
1
3
f(x) = 2x + 1

15. Referensi
1. _______. e-paper.
ishaq.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/.../Kontinuitas+Fungsi.pdf
2. _______. e-paper.
http://matematikablogscience.blogspot.co.id/2012/03/limit-fungsi.html
3. _______. e-paper.https://eldamathict.files.wordpress.com/2012/03/limit-
fungsi-dan-turunan_kelas-xi_sma-ipa_matematika_nugroho-soedyarto.pdf
4. Purcell, Edwin J dan Varberg, Dale. 1990. KALKULUS dan Geometri Analitis.Jilid
1. Jakarta.Penerbit Erlangga.

16. Terima Kasih
Reza Ferial Ashadi, ST, MT