Logika matematika membahas manipulasi pernyataan matematika berdasarkan penalaran yang dapat diuji kebenarannya secara matematis. Mencakup logika proposisi dan predikat serta konsep-konsep seperti negasi, konjungsi, disjungsi, implikasi, biimplikasi, ekuivalensi pernyataan majemuk, dan penarikan kesimpulan melalui modus ponens, modus tollens, dan silogisme.

1. LOGIKA MATEMATIKA
A. Pengertian
Logika matematika adalah pola berpikir berdasarkan penalaran dan
dapat di uji kebenarannya secara matematika. LOGIKA MATEMATIKA
Logika matematika meliputi: logika pernyataan atau proposisi
(propositional logic) suatu yang menelaah manipulasi antar pernyataan
dan logika penghubung atau predikat (predicate logic) yang menelaah
manipulasi hubungan relasioanal antara pernyataan pertama dengan
pernyataan kedua. Oleh karena itu logika matematika adalah ilmu yang
menelaah manipulasi antar pernyataan matematik (mathematical
Statement). Namun sebelum melangkah lebih jauh, kita perlu memahami
terlebih dahulu pengertian pernyataan dan pengertian penghubung.
Berikut ini diberikan definisi suatu pernyataan :
Sebuah pernyataan atau proposisi adalah sebuah kalimat deklaratif
yang mempunyai tepat satu nilai kebenaran, yaitu: ” Benar ” (B) saja
atau” Salah ” (S) saja, tetapi tidak sekaligus keduanya.
1. Kalimat terbuka Kalimat
terbuka adalah kalimat yang belum dapat di tentukan nilai
kebenarannya. Atau dengan kata lain kalimat yang masih bervariabel.
Contoh a. 2x + 5 = 7 b. x2 + 1 = 10 c. Jarak kota A dan kota B 200 km d.
Usia A lebih muda dari B, dll.
2. Pernyataan
Jika variabel pada kalimat terbuka diganti maka akan menjadi
pernyataan. Dan pernyataan tersebut dapat bernilai salah atau benar.
Contoh pernyataan a. 2 x 5 = 10 b. 20 : 2 = 6 c. Toni lebih muda dari
Susi Pernyataan a bernilai benar Pernyataan b bernilai salah,
Pernyataan c bisa benar atau salah Latihan 1. Diantara kalimat-
kalimat berikut ini tentukan manakah yang merupakan pernyataan
dan manakah yang merupakan kalimat terbuka. Jika pernyataan
tentukan nilai kebenarannya. a. x + 5 > 0. b. x 2 + 5 ≥ 0. c. Satu windu
sama dengan n tahun. d. Bilangan asli merupakan himpunan bagian
bilangan bulat. e. 2k + 1 merupakan bilangan ganjil, untuk k bilangan
cacah. f. 2k merupakan bilangan genap, untuk k bilangan real. g. Itu
adalah benda cair. h. Dua kali bilangan asli adalah bilangan genap 2.
Diberikan kalimat terbuka berikut : x 2 - 1 = 0 , x bilangan real.
Tentukan Himpunan x agar kalimat itu menjadi suatu pernyataan.

2. 3. NEGASI
Negasi disebut juga ingkaran atau pengingkaran . Ingkaran
dari suatu pernyataan diperoleh dengan menambahkan” tidak benar”
di awal kalimat, atau dengan cara menyisipkan kata ” tidak” atau ”
bukan” pada pernyataan tersebut.
Misalkan p adalah adalah pernyataan Negasi p adalah: Untuk
sembarang pernyataan p, negasi dari p dilambangkan dengan ‫݌‬ ̂dan
dibaca “ bukan p” Suatu pernyataan yang bernilai salah (S ) jika p
benar (B), dan bernilai benar (B ) jika p salah (S)
Berikut adalah tabel kebenaran pernyataan negasi
Contoh
4. KONJUNGSI
Pada bagian sebelumnya telah dipelajari suatu pernyataan
tunggal. Namun selanjutnya akan dipelajari dua atau lebih
pernyataan tunggal yang digabung dan disebut denganpernyataan
majemuk. Konjungsi merupakan kata penyambung antar beberapa
pernyataan yang biasanya berupa kata “dan”. Kata penghubung “dan”
pada perkataan majemuk dilambangkan dengan “ ‫ר‬ “ yang disebut
Konjungsi. Konjungsi didefinisikan sebagai berikut :
Konjungsi Pernyataan majemuk p dan q disebut Konjungsi dari
p dan q dinyatakan dengan: ‫݌‬ ‫ר‬ ‫݌‬ adalah sebuah pernyataan bernilai
benar jika pernyataan p dan q keduanya bernilai benar, dan bernilai
salah jika salah satu p atau q (keduanya) salah
Tabel Kebenaran Konjungsi

3. Contoh
p q P ^ q Logika matematika
B B B Jika p benar dan q benar maka p dan q adalah benar
B S S Jika p benar dan q salah maka p dan q adalah salah
S B S Jika p salah dan q benar maka p dan q adalah salah
S S S Jika p salah dan q salah maka p dan q adalah salah
5. Disjungsi
Disjungsi adalah gabungan dua pernyataan yang menggunakan
kata
penghubung logika “atau” sehingga membentuk dua pernyataan
majemuk. Kata penghubung “atau” dalam logika matematika
dilambangkan dengan “v ”. Disjungsi dua pernyataan p dan q dapat
dituliskan “p v q” dan dibaca ”p atau q”. Dalam kehidupan sehari-hari,
kata “atau” dapat berarti salah satu atau kedua-duanya, dapat pula
berarti salah satu tetapi tidak kedua-duanya. Dari pengertian kata
“atau” di atas maka muncul dua macam disjungsi yaitu sebagai
berikut.
 Disjungsi inklusif, yaitu dua pernyataan yang bernilai benar
apabila paling sedikit satu dari keduanya bernilai benar.
Disjungsi inklusif dua pernyataan p dan q ditulis p v q.
 Disjungsi eksklusif, yaitu dua pernyataan bernilai benar apabila
hanya satu dari dua pernyataan bernilai benar. Disjungsi
eksklusif dua pernyataan p dan q ditulis p v q.
Tabel kebenaran dua macam disjungsi di berikan sebagai berikut.
Disjungsi Inklusif Disjungsi Ekslusif

4. P q pv q p q pv q
B B B B B S
B S B B S B
S B B S B B
S S S S S S
p q P v q Logika matematika
B B B Jika p benar dan q benar maka p atau q adalah benar
B S B Jika p benar dan q salah maka p atau q adalah benar
S B B Jika p salah dan q benar maka p atau q adalah benar
S S S Jika p salah dan q salah maka p atau q adalah salah
6. Implikasi
Gabungan dua pernyataan p dan q sehingga membentuk
pernyataan
majemuk dengan menggunakan kata penghubung “Jika..., maka...”
dinamakan implikasi, ditulis “p→q”. Pernyataan p dinamakan
anteseden atau hipotesis, sedangkan pernyataan q dinamakan
konsekuen atau kesimpulan.
Pernyataan implikasi “p→q” bernilai salah apabila hipotesis benar dan
kesimpulan salah. Selain itu, pernyataan implikasi “p→q” bernilai
benar.
p q p→q
B B B
B S S
S B B
S S B
p q p => q Logika matematika
B B B Jika awalnya BENAR lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
B S S Jika awalnya BENAR lalu akhirnya SALAH maka dianggap SALAH
S B B Jika awalnya SALAH lalu akhirnya BENAR maka dianggap BENAR
S S B Jika awalnya SALAH lalu akhirnya SALAH maka dianggap BENAR
7. Biimplikasi
Biimplikasi atau bikondisional ialah suatu pernyataan majemuk
yang
berbentuk ”p jika dan hanya jika q” yang berarti “jika p maka q dan
jika q maka p”. Pernyataan “p jika dan hanya jika q” dilambangkan
dengan “p↔ q”.
Pernyataan biimplikasi “p↔q” bernilai benar jika p dan q mempunyai
nilai kebenaran yang sama (semua benar atau semua salah),
sedangkan jika nilai kebenaran p dan q tidak sama maka p ↔ q
merupakan pernyataan yang salah.

5. p q p  q Logika matematika
B B B
P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap
benar)
B S S
P adalah BENAR jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap
salah)
S B S
P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah BENAR (dianggap
salah)
S S B
P adalah SALAH jika dan hanya jika q adalah SALAH (dianggap
benar)
8. Pernyataan majemuk yang ekuivalen
Dua pernyataan dikatakan ekuivalen apabila kedua pernyataan
tersebut mempunyai nilai kebenaran yang sama. Dua penyataan p
dan q yang ekuivalen dinotasikan dengan p ≡ q. Untuk menunjukkan
bahwa dua penyataan ekuivalen atau ekuivalensi dari dua
pernyataan, kita dapat menggunakan tabel kebenaran.
9. Negasi dari pernyataan majemuk
Negasi dari suatu pernyataan majemuk dapat dibentuk dari
negasi
pernyataan-pernyataan tunggal dengan menggunakan ekuivalensi,
yaitu apabila negasi pernyataan-pernyataan majemuk itu mempunyai
nilai kebenaran yang sama dengan pernyataan majemuk negasi dari
komponen-komponennya. Dalam hal ini, terdapat ekuivalensi sebagai
berikut.
~( p ^ q) ≡ ~p v ~q
~( p q) ≡ ~p^~q
~( p →q) ≡ p^ ~q
~( p ↔q) ≡ (p ^ ~q) v (q ^ ~p)
Untuk membuktikan ekuivalensi tersebut, dapat dilakukan dengan
tabel
kebenaran.
10. Implikasi
Implikasi yaitu pernyataan majemuk yang diawali dengan kata jika
dan dihubungkan dengan kata hubung “maka” yang disimbolkan
dengan “=>”. Misal “p => q” dibaca “p maka q”.
11. Biimplikasi
Biimplikasi yaitu bentuk kompleks sari implikasi yang
berarti “jika dan hanya jika”yang disimbolkan dengan “<=>”. Misal p
<=> qdibaca “p jika dan hanya jika q”

6. 12. Ekuivalensi Pernyataan Majemuk
Ekuivalensi pernyataan majemuk yaitu persesuaian yang bisa
diterapkan dalam konsep-taan majemuk yang telah dijelaskan diatas,
dengan metode ini kita dapat mengetahui negasi dari konjungsi,
disjungsi, implikasi dan juga biimplikasi. Konsep ekuivalensi
dinyatakan dalam rumus-rumus tertentu, seperti rumus berikut ini.
13. Konvers
Konvers merupakan kebalikan dari implikasi yaitu ditandai
dengan pertukaran letak. Misalkan “p => q” , maka koners nya
adalah “q => p”.
14. Invers
Invers adalah lawan dari implikasi. Dalam invers, pernyataan
yang terdapat pada pernyataan majemuk merupakan negasi dari
pernyataan pada implikasi. Misal p => q, maka inversnya adalah ” ~p
=> ~q”
15. Kontraposisi
Sementara kontraposisi merupakan kebalikan daripada invers
sama halnya dengan konvers, hanya pernyataan majemuknya
merupakan negasi atau ingkaran. Misalkan invers “~p => ~q” . Maka
kontraposisi nya adalah “~q => ~p”
16. Kuantor Pernyataan
Pernyataan kuantor yaitu bentuk pernyataan yang didalamnya
terdapat konsep kuantitas. terdapat dua jenis kuantor, yaitu kuantor
universal dan kuantor eksistensial.
 Kuantor universal digunakan dalam pernyataan yang menggunakan
konsep setiap atau semua
 Kuantor eksistensial digunakan dalam pernyataan yang mengandung
konsep ada, sebagian, beberapa, atau terdapat.
17. Ingkaran dari pernyataan berkuantor
Pernyataan berkuantor memiliki negasi atau ingkaran. Negasi
dari berkuantor universal adalah kuantor eksistensial begitu juga
sebaliknya. Perhatikan contoh berikut.
 p : beberapa mahasiswa memiliki semangat belajar yang tinggi

7.  ∼p : semua mahasiswa tidak memiliki semangat belajar yang
tinggi
18. Penarikan Kesimpulan
Kesimpulan dapat dilakukan dari beberapa pernyataan yang
diketahui nilai kebenarnya yang disebut premis. Kemudian dengan
menggunakan prinsip-prinsip yang ada diperoleh pernyataan yang
baru yang disebut kesimpulan/konklusi yang diturunkan dari premis
yang ada. Penarikan kesimpulan seperti itu sering disebut dengan
argumentasi. Suatu argumentasi dikatakan sah Jika premis-
premisnya benar maka konklusinya juga benar. Terdapat 3 metode
dalam penarikan kesimpulan, yaitu : Modus ponens, Modus Tolens,
dan Silogisme.
Perhatikan Contoh Berikut.
 Modus ponens
premis1:p→q
premis2:p (modusponens)
__________________
Kesimpulan: q
Arti Modus Ponens adalah “jika diketahui p → q dan p, maka bisa
ditarik kesimpulan q“.
sebagai contoh :
premis 1 : Jika paman datang ke desa adik akan merasa senang
premis2:Pamantidakdatang
__________________
Kesimpulan:Adiktidakmerasasenang
 Modus Tollens
Premis1:p→q
premis2:~q(modustollens)
__________________
Kesimpulan: ~p
Modus Tollens berarti “jika diketahu p → q dan ~q, maka bisa ditarik
kesimpulan ~p“.
sebagai contoh :

8. premis 1 : Jika hari hujan, maka aku memakai payung
premis 2 : Aku memakai payung
___________________
Kesimpulan : Hari hujan
 Silogisme
premis 1 : p→q
premis 2 : q → r ( silogisme)
_________________
Kesimpulan: p →r
Silogisme berarti “jika diketahu p → q dan q→r, maka bisa ditarik
kesimpulan p→r“.
sebagai contoh :
Premis 1 : Jika harga BBM naik, maka harga bahan pokok naik.
Premis 2 : Jika harga bahan pokok naik maka semua orang tidak
senang.
__________________________________________________
Kesimpulan: Jika harga BBM naik, maka semua orang tidak senang.
Soal No. 2
Tentukan negasi (ingkaran) dari pernyataan-pernyataan berikut:
a) p : Semua dokter memakai baju putih saat bekerja.
b) p : Semua jenis burung bisa terbang
c) p : Semua anak mengikuti ujian fisika hari ini.
Pembahasan
Pernyataan yang memuat kata "Semua" atau "Setiap" negasinya memuat kata
"Beberapa" atau "Ada" seperti berikut:
a) ~p : Ada dokter tidak memakai baju putih saat bekerja.
b) ~p : Beberapa jenis burung tidak bisa terbang
c) ~p : Beberapa anak tidak mengikuti ujian fisika hari ini.
Soal No. 3
Ingkaran dari pernyataan “Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap”
adalah....
A. Semua bilangan prima adalah bilangan genap.

9. B. Semua bilangan prima bukan bilangan genap.
C. Beberapa bilangan prima bukan bilangan genap.
D. Beberpa bilangan genap bukan bilangan prima.
E. Beberapa bilangan genap adalah bilangan prima.
(Soal UN Matematika Tahun 2008 P12)
Pembahasan
p : Beberapa bilangan prima adalah bilangan genap
~p : Semua bilangan prima bukan bilangan genap
Soal No. 4
Tentukan pernyataan majemuk hasil penggabungan pasangan-pasangan
pernyataan berikut dengan menggunakan operasi konjungsi (DAN):
a) p : Hari ini Jakarta hujan
q : Hari ini Jakarta banjir
b) p : Iwan memakai topi
q : Iwan memakai dasi
c) p : Mahesa anak jenius.
q : Mahesa anak pemalas.
Pembahasan
a) p : Hari ini Jakarta hujan
q : Hari ini Jakarta banjir
p ∧ q : Hari ini Jakarta hujan dan banjir
b) p : Iwan memakai topi
q : Iwan memakai dasi
p ∧ q : Iwan memakai topi dan dasi
c) p : Mahesa anak jenius.
q : Mahesa anak pemalas.
p ∧ q : Mahesa anak jenius tetapi pemalas

10. Kata "dan" bisa diganti dengan "tetapi", "walaupun", "meskipun" selaraskan
dengan pernyataan.
Soal No. 5
Diberikan dua pernyataan sebagai berikut:
a) p : Hari ini Jakarta hujan lebat.
q : Hari ini aliranlistrikputus.
Nyatakandengankata-kata:
a) p ∧ q
b) p ∧~q
c) ~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q
Pembahasan
a) Hari ini Jakartahujanlebatdan aliranlistrikputus
b) Hari ini Jakarta hujanlebatdanaliranlistriktidakputus
c) Hari ini Jakartatidakhujanlebatdan aliranlistrikputus
d) Hari ini Jakarta tidakhujanlebatdanaliranlistriktidakputus
Soal No. 6
Diberikandata:
Pernyataanpbernilai salah
Pernyataanqbernilai benar
Tentukannilai kebenarandari konjungsidi bawahini:
a) p ∧ q
b) p ∧~q
c) ~p ∧ q
d) ~p ∧ ~q
Pembahasan
Tabel Nilai kebenaranuntukkonjungsi :
p q p ∧ q
B B B
B S S