Dokumen tersebut membahas model ARCH dan GARCH untuk memodelkan heteroskedastisitas pada data time series. Model ARCH memodelkan varian error yang bergantung pada nilai error masa lalu, sedangkan GARCH memodelkan varian error yang bergantung pada error dan varian masa lalu. Dokumen ini juga membahas berbagai jenis model ARCH dan GARCH serta contoh penerapannya untuk memodelkan volatilitas Indeks Harga Saham Gabungan.

1. MODEL ARCH/GARCH

2. PENDAHULUAN
OLS Heteroskedastisitas Cross Section Time series?
Ingat saat mempelajari stasioneritas
Heteroskedastisitas masih memberikan estimator OLS yang tidak bias dan konsisten, tetapi estimator tersebut sudah tidak tidak efisien, yaitu varians dari estimator tidak minimum. Akibatnya Uji t, interval kepercayaan, dan berbagai ukuran lainnya, menjadi tidak tepat. Oleh karena itu, masalah ini harus diatasi dalam mengestimasi dengan metode OLS.
Pada bagian ini kita akan berbicara mengenai suatu model yang tidak memandang heteroskedastisitas sebagai permasalahan, tetapi justru memanfaatkan kondisi tersebut untuk membuat model.

3. AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity(ARCH) dan Generalized AutoRegressive Conditional Heteroscedasticity(GARCH).
Model memanfaatkan heteroskedastisitas dalam error dengan tepat, maka akan diperoleh estimator yang lebih efisien.
Regresi heteroskedastisitas varian error berubah- ubah mengikuti satu atau beberapa variabel bebas.
Misal:
yt= b0+ b1x1t+ b2x2t+ et
dengan var (et) = k x1t2heteroskedastis
Untuk mengatasi model ditransformasikan menjadi:
yt/x1t= b0/x1t+ b1+ b2x2t /x1t+ e*t
dengan e*t= et/ x1t
Akibat dari transformasi ini,
var(e*t) = k x1t2/ x1t2= khomoskedastis.

4. Akan tetapi, adakalanya, varian dari error tidak tergantung pada variabel bebas-nya melainkan varian tersebut berubah- ubah seiring dengan perubahan waktuTime series
Data dengan karakteristik seperti ini biasanya terjadi pada:returndari pasar modal, inflasi, atau interest rate.
Sebaran datanya: ada suatu periode volatilitas sangat tinggi dan ada periode lain volatilitasnya sangat rendah. Pola volatilitas heteroskedastisitas,karena terdapat varian error yang besarnya tergantung pada volatilitas error di masa lalu.
Data yang mempunyai sifat heteroskedastisitas seperti ini dapat dimodel dengan Autoregresive Conditional Heteroscedasticity(ARCH) yang dikenalkan oleh Robert Engle.

5. ARCH
Perhatikan model regresi berganda dibawah ini:
yt= b0+ b1x1t+ b2x2t+ et
t2atau varian etheteroskedastisitas, dan mengikuti persamaan berikut:
t2= 0+ 1e2t-1; t2= var (et)
Perhatikan bahwa var (et) dijelaskan oleh dua komponen:
komponen konstanta: 0
komponen variabel: 1e2t-1; yang disebut komponen ARCH
Pada model ini, etheteroskedastis, conditionalpada et-1. Dengan menambahkan informasi “conditional” ini estimator dari b0, b1dan b2menjadi lebih efisien.

6. Model ARCH diatas, dimana var(et) tergantung hanya pada
volatilitas satu periode lalu Model ARCH (1).
 Model umum  var(et) tergantung pada volatilitas p
periode lalu, disebut model ARCH (p), yang
dituliskan dengan:

  
p
i
t i t
1
0 1
2    
Bagaimana cara mengestimasi b0, b1 dan b2
serta 0 dan 1 ?
Teknik yang digunakan  teknik maximum likelihood.

7. GARCH
Model ARCH(p) jumlah p yang besar parameter yang harus diestimasibanyak presisi estimator berkurang. Hal semacam ini sering dijumpai pada analisis data harian.
Untuk mengatasi permasalahan tersebutvar (et) dapat dijadikan model berikut:
t2= 0+ 1e2t-1+ 12t-1 GARCH (1,1)
var(et) selain diduga tergantung pada e2juga tergantung pada 2pada masa lalu.
Secara umum GARCH(p,q):
     qiqitipiitite11202

8. Var(et) tergantung padajuga pada salah satu regressor
Kadangkala besaran varian error diduga tidak hanya tergantung pada e2dan 2pada masa lalu, tetapi juga pada salah satu regresor. Perhatikan kembali model regresi:
yt= b0+ b1x1t+ b2x2t+ et
Bila diduga varian error persamaan tersebut juga tergantung pada variabel x2tmaka persamaan varian error-nya menjadi:
t2= 0+ 1e2t-1+ 12t-1+ 1x2t
Akan tetapi dalam implementasinya kita perlu lebih hati-hati terutama bila ada nilai x2tyang berharga negatif.

9. Bentuk-bentuk Lain Model ARCH dan GARCH
Apakah yang membedakan model ARCH dan GARCH?
Pola atau bentuk atau model dari varian eror-nya.
Berbagai bentuk ARCH dan GARCH, antara lain:
ARCH in mean (M-ARCH)
Threshold ARCH (TARCH)
Eksponential ARCH/GARCH (E-(G)ARCH)
Simple asymmetric ARCH (SAARCH)
Power ARCH (PARCH)

10. Model ARCH –M (ARCH -in -mean): memunculkan t2sebagai variabel bebas. yt= b0+ b1x1t + b2x2t+ b3t2+ et
Var (et) = t2dapat dinyatakan dalam bentuk GARCH (p,q), atau dengan memasukkan salah satu regressor.
Model ini tidak hanya dapat dimasukkan t2dalam model regresinya, tetapi juga: standar deviasi-nya (t).
Apa yang membedakan Model ARCH –M dengan Model GARCH?

11. Var (et) dapat tergantung pada regressorbisa dalam bentuk dummy Model Threshold ARCH (TARCH)
Perhatikan kembali model persamaan:
t2= 0+ 1e2t-1+ 12t-1+ 1x2t
varian error tergantung pada variabel x2t. Bila x2tmerupakan variabel dummy pada waktu lalu dengan lag 1, atau dinotasikan dengan: dt-1, maka persamaan tersebut menjadi:
t2= 0+ 1e2t-1+ 12t-1+ 1dt-1
secara umum dituliskan dengan
121221102   ttitiitpitdee

12. Pengaruh Nilai Tukar Dolar dan Suku Bunga SBI Terhadap IHSG
Bagaimana hasilnya?
Dependent Variable: IHSG
Method: Least Squares
Date: 09/22/04 Time: 16:47
Sample(adjusted): 1/01/2003 1/07/2004
Included observations: 54 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
910.0360
344.8347
2.639050
0.0110
KURS_US
0.032385
0.046042
0.703377
0.4850
SBI
-66.12620
6.927675
-9.545222
0.0000
R-squared
0.797108
Mean dependent var
529.1296
Adjusted R-squared
0.789152
S.D. dependent var
110.0131
S.E. of regression
50.51604
Akaike info criterion
10.73641
Sum squared resid
130145.4
Schwarz criterion
10.84691
Log likelihood
-286.8831
F-statistic
100.1829
Durbin-Watson stat
0.108459
Prob(F-statistic)
0.000000
IHSG = b0+ b1Kurs_us + b2SBI

13. Uji Heteroskedastisitas
White Heteroskedasticity Test:
F-statistic
2.911382
Probability
0.022478
Obs*R-squared
12.56573
Probability
0.027807
Test Equation:
Dependent Variable: RESID^2
Method: Least Squares
Date: 09/22/04 Time: 16:49
Sample: 1/01/2003 1/07/2004
Included observations: 54
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
396521.0
1055530.
0.375661
0.7088
KURS_US
-0.699613
276.8569
-0.002527
0.9980
KURS_US^2
-0.005077
0.019030
-0.266780
0.7908
KURS_US*SBI
8.513615
6.769105
1.257717
0.2146
SBI
-74867.90
46013.11
-1.627099
0.1103
SBI^2
16.30629
687.2254
0.023728
0.9812
R-squared
0.232699
Mean dependent var
2410.099
Adjusted R-squared
0.152771
S.D. dependent var
4035.066
S.E. of regression
3714.077
Akaike info criterion
19.38209
Sum squared resid
6.62E+08
Schwarz criterion
19.60309
Log likelihood
-517.3164
F-statistic
2.911382
Durbin-Watson stat
0.259531
Prob(F-statistic)
0.022478
Bagaimana Hasilnya?

14. Hasil Transformasi
Dependent Variable: IHSG
Method: Least Squares
Date: 09/22/04 Time: 16:52
Sample(adjusted): 1/01/2003 1/07/2004
Included observations: 54 after adjusting endpoints
Weighting series: SBI
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
C
1011.332
310.9866
3.252010
0.0020
KURS_US
0.012528
0.041858
0.299304
0.7659
SBI
-59.35252
6.392304
-9.284997
0.0000
Weighted Statistics
R-squared
-0.117235
Mean dependent var
513.9303
Adjusted R-squared
-0.161048
S.D. dependent var
43.33402
S.E. of regression
46.69326
Akaike info criterion
10.57903
Sum squared resid
111193.3
Schwarz criterion
10.68953
Log likelihood
-282.6338
F-statistic
112.9801
Durbin-Watson stat
0.112449
Prob(F-statistic)
0.000000
Unweighted Statistics
R-squared
0.792057
Mean dependent var
529.1296
Adjusted R-squared
0.783903
S.D. dependent var
110.0131
S.E. of regression
51.14099
Sum squared resid
133385.5
Durbin-Watson stat
0.100055

15. GARCH(1,1)
Dependent Variable: IHSG
Method: ML -ARCH
Date: 09/22/04 Time: 17:09
Sample(adjusted): 1/01/2003 1/07/2004
Included observations: 54 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 41 iterations
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C
909.3049
133.5022
6.811161
0.0000
KURS_US
0.015623
0.020986
0.744466
0.4566
SBI
-52.63821
5.866526
-8.972636
0.0000
Variance Equation
C
1566.652
1113.885
1.406476
0.1596
ARCH(1)
1.255666
1.101884
1.139562
0.2545
GARCH(1)
-0.712948
0.448501
-1.589624
0.1119
R-squared
0.760577
Mean dependent var
529.1296
Adjusted R-squared
0.735637
S.D. dependent var
110.0131
S.E. of regression
56.56458
Akaike info criterion
10.14233
Sum squared resid
153578.5
Schwarz criterion
10.36333
Log likelihood
-267.8430
F-statistic
30.49643
Durbin-Watson stat
0.085450
Prob(F-statistic)
0.000000
Bagaimana Modelnya? Bagaimana cara menuliskan modelnya?

16. ARCH-M GARCH(1,1)
Dependent Variable: IHSG
Method: ML -ARCH
Date: 09/22/04 Time: 17:08
Sample(adjusted): 1/01/2003 1/07/2004
Included observations: 54 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 106 iterations
Bollerslev-Wooldrige robust standard errors & covariance
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
SQR(GARCH)
0.317312
0.235984
1.344635
0.1787
C
968.5116
26.36188
36.73910
0.0000
KURS_US
0.019832
0.001591
12.46713
0.0000
SBI
-63.56387
3.166960
-20.07094
0.0000
Variance Equation
C
1535.364
441.9163
3.474331
0.0005
ARCH(1)
0.980778
0.110584
8.869042
0.0000
GARCH(1)
-0.511250
0.104594
-4.887940
0.0000
R-squared
0.807864
Mean dependent var
529.1296
Adjusted R-squared
0.783336
S.D. dependent var
110.0131
S.E. of regression
51.20806
Akaike info criterion
10.24593
Sum squared resid
123246.5
Schwarz criterion
10.50376
Log likelihood
-269.6400
F-statistic
32.93631
Durbin-Watson stat
0.109820
Prob(F-statistic)
0.000000
Baikkah Modelnya?
Perlu diperhatikan tanda
variabel Kurs_US yang
masih positif

17. MODEL TARCH
Dependent Variable: IHSG
Method: ML -ARCH
Date: 09/22/04 Time: 18:26
Sample(adjusted): 1/01/2003 1/07/2004
Included observations: 54 after adjusting endpoints
Convergence not achieved after 500 iterations
Bollerslev-Wooldrige robust standard errors & covariance
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
SQR(GARCH)
2.717333
0.213715
12.71475
0.0000
C
968.2053
12.36291
78.31531
0.0000
KURS_US
-0.007922
0.000812
-9.757067
0.0000
SBI
-45.06920
2.362412
-19.07762
0.0000
Variance Equation
C
1535.339
43.41265
35.36617
0.0000
ARCH(1)
0.414933
0.154315
2.688876
0.0072
(RESID<0)*ARCH(1)
-0.871533
0.240693
-3.620927
0.0003
GARCH(1)
0.802888
0.114755
6.996533
0.0000
KURS_US
-0.165367
0.005035
-32.84081
0.0000
R-squared
0.949284
Mean dependent var
529.1296
Adjusted R-squared
0.940268
S.D. dependent var
110.0131
S.E. of regression
26.88728
Akaike info criterion
9.167134
Sum squared resid
32531.66
Schwarz criterion
9.498631
Log likelihood
-238.5126
F-statistic
105.2877
Durbin-Watson stat
0.684882
Prob(F-statistic)
0.000000

18. Model sangat baik. Bagaimana otokorelasinya? Bagaimana Kenormalan data?
Otokorelasi tidak tepat lagi diukur dengan DWGunakan Korelogram atau Uji Unit Root
Hasilnyameragukan?

19. Bagaimana hasilnya?
ADF Test Statistic
-3.160046
1% Critical Value*
-4.1420
5% Critical Value
-3.4969
10% Critical Value
-3.1772
*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.
Augmented Dickey-Fuller Test Equation
Dependent Variable: D(RESID01)
Method: Least Squares
Date: 09/23/04 Time: 14:21
Sample(adjusted): 1/20/2003 1/12/2004
Included observations: 52 after adjusting endpoints
Variable
Coefficient
Std. Error
t-Statistic
Prob.
RESID01(-1)
-0.447804
0.141708
-3.160046
0.0027
D(RESID01(-1))
-0.043779
0.125145
-0.349828
0.7280
C
-9.421583
5.179260
-1.819098
0.0751
@TREND(1/06/2003)
0.467350
0.184320
2.535538
0.0145
R-squared
0.252970
Mean dependent var
0.708121
Adjusted R-squared
0.206280
S.D. dependent var
17.75114
S.E. of regression
15.81466
Akaike info criterion
8.433555
Sum squared resid
12004.96
Schwarz criterion
8.583651
Log likelihood
-215.2724
F-statistic
5.418141
Durbin-Watson stat
2.158713
Prob(F-statistic)
0.002720

20. Masukan AR(1) untuk menghilangkan otokorelasi
Dependent Variable: IHSG
Method: ML -ARCH
Date: 09/23/04 Time: 14:39
Sample(adjusted): 1/13/2003 1/12/2004
Included observations: 53 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 31 iterations
Bollerslev-Wooldrige robust standard errors & covariance
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
SQR(GARCH)
-0.087837
0.088683
-0.990453
0.3220
C
1077.351
289.7946
3.717637
0.0002
KURS_US
-0.004989
0.027774
-0.179646
0.8574
SBI
-54.04489
23.10312
-2.339290
0.0193
AR(1)
0.972741
0.041699
23.32781
0.0000
Variance Equation
C
1541.928
123.4076
12.49459
0.0000
ARCH(1)
0.409331
0.111098
3.684419
0.0002
(RESID<0)*ARCH(1)
-0.329912
0.256587
-1.285773
0.1985
GARCH(1)
-0.278948
0.103837
-2.686392
0.0072
KURS_US
-0.150344
0.011117
-13.52365
0.0000
R-squared
0.979293
Mean dependent var
531.5717
Adjusted R-squared
0.974960
S.D. dependent var
109.5783
S.E. of regression
17.33986
Akaike info criterion
8.590234
Sum squared resid
12928.84
Schwarz criterion
8.961987
Log likelihood
-217.6412
F-statistic
225.9600
Durbin-Watson stat
1.325697
Prob(F-statistic)
0.000000
Inverted AR Roots
.97

21. Hasilnya sudah tidak ada otokorelasi

22. Uji Jarque-BeraUji Normalitas
statistikJarque-Bera,
mempunyaiprobabilitas
0,000001.
Keputusan:tolakhipotesis
(errortermmengikuti
distribusinormal).
Ataudengankatalain,
errortermkitabelum
berdistribusinormal.

23. Model GARCH(1,1) dengan memasukan SBI
Dependent Variable: IHSG
Method: ML -ARCH
Date: 09/23/04 Time: 15:06
Sample(adjusted): 1/13/2003 1/12/2004
Included observations: 53 after adjusting endpoints
Convergence achieved after 139 iterations
Bollerslev-Wooldrige robust standard errors & covariance
Coefficient
Std. Error
z-Statistic
Prob.
C
919.2472
272.1758
3.377402
0.0007
KURS_US
-0.034497
0.013060
-2.641427
0.0083
SBI
-14.15274
15.35689
-0.921589
0.3567
AR(1)
1.000000
0.031752
33.23277
0.0000
Variance Equation
C
1543.394
529.9268
2.912467
0.0036
ARCH(1)
-0.101398
0.042591
-2.380753
0.0173
GARCH(1)
-0.710293
0.167489
-4.240834
0.0000
SBI
-110.3890
41.24571
-2.676376
0.0074
R-squared
0.982119
Mean dependent var
531.5717
Adjusted R-squared
0.979337
S.D. dependent var
109.5783
S.E. of regression
15.75140
Akaike info criterion
8.373049
Sum squared resid
11164.80
Schwarz criterion
8.670451
Log likelihood
-213.8858
F-statistic
353.0854
Durbin-Watson stat
1.858701
Prob(F-statistic)
0.000000
Inverted AR Roots
1.06
Estimated AR process is nonstationary

24. Otokorelasi?

25. Kenormalan?
Kenapa SBI tidak signifikan?

26. Penutup
Membuat model Seni
Dasar keseluruhan model yang dipelajari adalah regresi
Ujian buka buku
Jangan lupa paper
Semoga berguna untuk menyusun tesis
Wassalam