Dokumen tersebut membahas tentang pangkat, akar, dan logaritma. Pangkat menunjukkan banyaknya perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri. Akar adalah basis yang memenuhi suatu bilangan berkenaan dengan pangkat akarnya. Logaritma adalah kebalikan dari pemangkatan dan pengakaran, yang menyederhanakan operasi matematika. Ketiga konsep ini saling berhubungan dan mematuhi kaidah-kaidah tertentu.

1. A.
PANGKAT
Pangkat dari sebuah bilangan ialah suatu indeks yang menunjukan banyaknya perkalian
bilangan yang sama secara beruntun. Notasi xa berarti bahwa x harus dikalikan dengan x itu
sendiri secara berturut-turut sebanyak a kali. Notasi pemangkatan sangat berfaedah untuk
merumuskan penulisan bentuk perkalian secara ringkas. Sebagai contoh: perkalian bilangan 7
sebanyak 5 kali tak perlu dituliskan dengan lengkap 7 x 7 x 7 x 7 x 7, melainkan cukup diringkas
menjadi 75. Jadi,
7 x 7 x 7 x 7 x 7 = 75
5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 57
0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 x 0,3 = 0,36
Notasi pemangkatan berfaedah pula untuk meringkas bilangan-bilangan kelipatan
perkalian-sepuluh yang nilainya sangat besar atau sangat kecil. Sebagai contoh : bilangan
100.000 dapat diringkas menjadi 10-5. Begitu pula,
1.000.000.000 = 109
5.000.000.000 = 5 . 109
7.500.000.000 = 7,5 . 109 = 75 . 108
0,000.000.001 = 10-9
0,000.000.034 = 34 . 10-9 atau 3,4 . 10-8
Pemangkatan sebuah bilangan dan pengaoperasian bilangan-bilangan berpangkat
mematuhi kaidah-kaidah tertentu. Berdasarkan kaidah-kaidah yang segera akan dipaparkan
berikut ini, kita dapat pula memetik berbagai faedah lain dari notasi pemangkatan.
1. Kaidah Pemangkatan Bilangan.
a.
Bilangan bukan-nol berpangkat nol adalah satu.
X 0 = 1 ( x ≠ 0 ) Contoh : 30 = 1
b.
Bilangan berpangkat satu adalah bilangan itu sendiri.
X 1 = x)
c.
31=3
Nol berpangkat sebuah bilangan adalah tetap nol.
0x = 0
03 = 0
d. Bilangan berpangkat negatif adalah balikan pengali (multiplicative inverse) dari
bilangan itu sendiri.
X –a = 1
x-a
3-2 = 1 =
=(
9-1)
32
1

2. d.
Bilangan berpangkat pecahan adalah akar dari bilangan itu sendiri, dengan suku
pembagi dalam pecahan menjadi pangkat bilangan yang bersangkutan.
a
35=
f.
2
=
= 1,55
Bilangan pecahan berpangkat adalah hasilbagi suku-suku berpangkatnya.
(
)a = x a
ya
(
)2 = 32
=
52
g. Bilangan-bilangan dipangkatkan lagi adalah bilangan berpangkat hasilkali pangkatpangkatnya.
( xa ) b = xab
( 32)4 = 324 = 38 = 6561
h. Bilangan dipangkatkan pangkat-berpangkat adalah bilangan berpangkat hasil
pemangkatan pangkatnya.
=xc
Dimana c = ab
32 = 4 3 16 = 43.046.721
2. Kaidah Perkalian Bilangan Berpangkat
a. Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis
berpangkat jumlah pangkat-pangkatnya.
xa . xb = xa+b
32 . 34 = 32+4 = 36 = 729
b. Hasilkali bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda,
adalah perkalian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan.
Xa . ya = ( x y)a
32 . 52 = (3 . 5)2 = 152 = 225
3.
Kaidah Pembagian Bilangan Berpangkat
Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang basisnya sama adalah bilangan basis
berpangkat selisih pangkat-pangkatnya.
xa : ya =x a-b
32 : 34 = 32-4 = 3-2 =
2

3. Hasilbagi bilangan-bilangan berpangkat yang pangkatnya sama, tetapi basisnya berbeda,
adlah pembagian basis-basisnya dalam pangkat yang bersangkutan.
xa:ya=(
)a
32 : 52 = ( )2
=
Bandingkan kaidah ke-12 ini dengan kaidah ke-6 di muka.
3

4. B.
AKAR
Akar merupakan bentuk lain untuk menyatakan bilangan berpangkat. Akar dari sebuah
bilangan ialah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan dengan pangkat akarnya.
Berdasarkan konsep pemangkatan kita mengetahui, bahwa jika bilangan-bilangan yang sama
(misalnya x) dikalikan sejumlah tertentu sebanyak (katakanla) a kali, maka kita dapat
menuliskannya menjadi xa ; x disebut basis dan a disebut pangkat. Andaikan xa = m, maka x
dapat juga disebut sebagai akar pangkat a dari m, yang jika ditulis dalam bentuk akar menjadi
x=
Jadi, = x
sebab xa =m ; atau dengan
perkataan lain = x
jika xa = m.
=3
sebab 32 = 9
=4
sebab 42 = 64
Dalam notasi , a disebut pangkat dari akar sedangkan m disebut radikan. Pangkat 2 dari
akar biasanya tidak dicantumkan dalam penulisan, sehingga tanda akar yang tidak
mencantumkan pangkat dengan sendirinya harus dibaca dan ditafsirkan sebagai akar berpangkat
2. Jadi,
=
=
Apabila pangkat akarnya berupa bilangan genap, maka radikan positif akan menghasilkan
dua macam akar : yang satu positif dan satunya lagi negatif. Hal ini selaras dengan kaidah
perkalian dalam operasi tanda, bahwa baik bilangan positif maupun bilangan negatif jika
berpangkat genap akan menghasilkan bilangan positif. Jadi, sesungguhnya
= ± 3 (baca : + 3),
2
2
bukan hanya + 3 ; sebab ( + 3 ) = 9 dan ( - 3) = 9 juga. Sama halnya,
= ± 5 dan bukan
hanya + 5,
= ± 2 dan bukan hanya + 2.
Apabila pangkat akarnya genap dan radikannya negatif, hasilnya adalah berupa bilangan
khayal (lihat kembali Bab 2). Sebagai contoh
adalah bilangan khayal, sebab baik + 3
maupun – 3 jika dipangkatkan 2 tidak ada yang menghasilkan – 9.
Apabila pangkat akranya berupa bilangan ganjil, baik radikan positif maupun radikan
negatif hanya akan menghasilkan satu macam akar ; radikan positif menghasilkan akar positif,
radikan negatif menghasilkan akar negatif.
= + 4 sebab hanya ( + 4 ) ( + 4 ) ( + 4 ) = 64
= - 4 sebab hanya ( - 4 ) ( - 4 ) ( - 4 ) = - 64
Seperti halnya dalam hal pemangkatan, pengakaran bilangan pun mematuhi sejumlah
kaidah. Kaidah-kaidah tersebut dirinci di bawah ini.
4

5. 1.
Kaidah Pengakaran Bilangan
a.
Akar dari sebuah bilangan adalah basis yang memenuhi bilangan tersebut berkenaan
dengan pangkat akarnya.
Berdasarkan
= x jika xa = m (x adalah basis)
Maka:
= x 1/b
Sebab ( x 1/b)b = x b/b = x1 = x dalam hal ini x 1/b adalah basis
Contoh :
= 64 = 4
c. Akar dari sebuah bilangan berpangkat adalah bilangan itu sendiri berpangkat pecahan,
dengan pangkat dari bilangan bersangkutan menjadi suku terbagi sedangkan dari akar
menjadi suku pembagi.
a
= x1/b
2
= 3 ⅖ = 1,55
Kaidah ke-2 ini sesungguhnya merupakan pengembangan atau analogi dari kaidah ke-1
sebelumnya. (Bandingkan pula kaidah ke-2 ini dengan kaidah ke-5 mengenai
pemangkatan bilangan pecahan, dalam Seksi 3 di muka).
d. Akar dari suatu perkalian bilangan adalah perkalian dari akar-akarnya.
a
=
.
=
=
= 2,4 = 8
( lihat juga kaidah ke-6 dibawah nanti )
e. Akar dari sebuah bilangan pecahan adalah pembagian dari akar suku-sukunya.
=
=
= = 0,5
( Bandingkan kaidah ini dengan kaidah ke-8 nanti ).
2.
Kaidah Penjumlahan (Pengurangan) Bilangan Terakar
Bilangan-bilangan terakar hanya dapat ditambahkan atau dikurangkan apabila akar-akarnya
sejenis. Yang dimaksud dengan akar-akar yang sejenis ialah akar-akar yang pangkat dan
radikannya sama.
Jumlah (selisih) bilangan-bilangan terakar adalah jumlah (selisih) koefisienkeofisiennya terakar.
m
0
±n
0
= (m ± n)
0
5

6. Contoh:
3.
5
+2
=7
= 7 (1,73) = 12,11
Kaidah Perkalian Bilangan Terakar
Hasilkali bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasilkali bilangan-bilangannya.
Perkalian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.
=
.
=
=
=8
(Identik dengan kadiah ke-3 sebelumnya).
Akar ganda dari sebuah bilangan adalah akar pangkat baru dari bilangan bersangkutan;
pangkat baru akarnya ialah hasilkali pangkat dari akar-akar sebelumnya.
a
4.
a
=
=
=5
Kaidah Pembagian Bilangan Terakar
Hasilbagi bilangan-bilangan terakar adalah akar dari hasilbagi bilangan-bilangannya.
Pembagian hanya dapat dilakukan apabila akar-akarnya berpangkat sama.
=
=
=
= 0,5
(Identik dengan kaidah-kaidah ke-4 sebelumnya).
6

7. C.
LOGARITMA
Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan dan/atau
pengakaran. Ia dapat dipakai untuk menyederhanakan operasi-operasi perkalian, pembagian,
pencarian pangkat dan penarikan akar. Logaritma dari suatu bilangan ialah pangkat yang harus
dikenakan pada (memenuhi) bilangan pokok logaritma untuk memperoleh bilangan tersebut.
Andaikata sebuah bilangan berpangkat ( x a ) sama dengan bilangan positif tertentu (m),
maka dalam bentuk pemangkatan kita dapat menuliskannya menjadi:
xa = m
dimana x adalah basis
dan a adalah pangkat.
Pangkat a disebut juga logaritma dari m terhadap basis x, yang jika dituliskan dalam bentuk
logaritma menjadi:
A = xlog m
atau a = logx m.
Bilangan pokok (basis) logaritma, x dalam contoh di atas, dapat dituliskan di pojok kiri atas dari
tanda log (singkatan logaritma) atau di pojok kanan bawah dari tanda tersebut. Berdasarkan
kesamaan bentuk pemangkatan dan logaritma sebagaimana ditunjukan diatas, kita dapat pula
menarik analogi untuk pernyataan-pernyataan di bawah ini:
52 = 25; pangkat 2 adalah logaritma dari 25 terhadap basis 5 , atau 5 log 2 = 2.
43 = 64; pangkat 3 adalah logaritma dari 64 terhadap basis 4, atau 4 log 64 = 3.
102 = 100; pangkat 2 adalah logaritma dari 100 terhadap basis 10, atau 10 log 100 = 2.
Selain dengan bentuk pemangkatan, bentuk logaritma juga erat berhubungan dengan
pengakaran. Keeratan hubungan di antara ketiga macam bentuk ini dapat dilihat sebagai berikut:
Bentuk Pangkat
Bentuk Akar
Bentuk Logaritma
xa=m
=x
x
log m = a
Suku- suku di ruas kanan menunjukan bilangan yan dicari atau hendak di hitung pada masingmasing bentuk.
Dalam pemangkatan, kita mengetahui basis ( x ) serta pangkat ( a ), dan ingin mengetahui
bilangan yang merupakan hasil pemangkatan basis tersebut ( yaitu m ). Dalam pengakaran, kita
mengetahui sebuah bilangan tertentu yang disebut radikan ( m ) serta pangkat dari akarnya ( a ),
dan ingin mengetahui hasil pengakaran radikan tadi ( yaitu x ). Sedangkan dalam logaritma, kita
mengetahui basis logaritma ( x ) serta bilangan logaritma ( m ), dan ingin mengetahui hasil
logaritmanya ( yaitu a ).
Perhatikan kedudukan a, m dan x pada masing-masing bentuk diatas. Bilangan a yang
merupakan hasil logaritma, tak lain adalah pangkat dari basis dalam bentuk pangkat dan pangkat
dari akar dalam bentuk akar. Sedangkan m yang merupakan hasil pemangkatan, tak lain adalah
radikan dalam bentuk akar da bilangan logaritma dalam bentuk logaritma. Adapun x yang
7

8. merupakan hasil pengakaran, tak lain adalah basis baik dalam bentuk pangkat maupun dalam
bentuk logaritma.
Berdasarkan uraian-uraian di atas, dapatlah disimpulkan bahwa:
x
log m = a
Contoh :
1.
2.
3.
4.
5.
1.
jika x a = m atau
= x
6
log 36 = 2 sebab 62 = 36 atau
=6
5
4
log 625 = 4 sebab 5 = 625 atau
=5
x
2
Jika log 49 = 2, berarti x = 49 , x =
=7
3
10
Jika log m = 10 berarti 3 = m, m = 59 049
Jika 10 log 1.000 = a , berarti 10a = 1.000, 10a = 103, a = 3
Basis Logaritma
Logaritma dapat dihitung untuk basis berapapun. Akan tetapi pada umumnya basis
logaritma selalu berupa bilangan positif dan tidak sama dengan satu. Basis logaritma yang paling
lazim dipakai, karena pertimbangan praktis dalam perhitungan, adalah bilangan 10. Karena
kelaziman tersebut maka basis 10 ini pada umumnya tidak dicantumkan dalam notasi logaritma.
Dengan demikian log m berarti adalah 10 log m, lo 24 = 10 log 24, 10 log 65 dapat dituliskan
menjadi log 65 saja. (Uraian-uraian selanjutnya di dalam buku ini juga mengikuti kelaziman
tersebut; untuk setiap notasi logaritma yang tidak mencantumkan basis tertentu, berarti
merupakan logaritma berbasis 10).
Logaritma berbasis 10 disebut juga logaritma biasa (common logarithm) atau logaritma
Briggs (berdasarkan nama penemunya, Henry Briggs, 1561 – 1630). Di samping bilangan 10,
basis lain yang juga lazim dipakai dalam logaritma adalag e ( e = 2,718287 atau sering diringkas
menjadi 2,72). Logaritma berbasis e disebut juga logaritma alam (natural logarithm) atau
logaritma Napier (John Napier, penemunya, hidup antara tahun 1550 – 1617). Jika notasi
logaritma Briggs dilambangkan dengan log, maka logaritma Napier dilambangkan dengan In.
Dengan demikian In m berarti e log m, In 24 = e log 24, e log 65 dapat ditulis menjadi In 65 saja.
2.
Kaidah-kaidah Logaritma
a.
x
1.
b.
sebab x 1 = x
log x = 1
Contoh:
10
log 10 = 1
x
8
log 8 = 1
sebab x 0 = 1
log 1 = 0
Contoh :
1.
2.
10
log 1 = 0
2.
8
lg 1 = 0
8

9. c.
x
log x a = a
Contoh :
10
1.
e.
sebab x a = x a
log 10 2 = 2
8
2.
log 8 3 = 3
x
log m a = a x log m
Contoh :
10
log 100 2 = 2 10 log 100 = 2 10 log 10 2 = 2 . 2 = 4
8
log 512 4 = 4 8 log 512 = 4 8 log 8 3 = 4 . 3 =12
1.
2.
x x log m = m
Contoh :
f.
10 10 log 100 = 10 10 log 10 2 = 10 2 = 100
8 8 log 512 = 8 8 log 8 3 = 8 3 = 512
1.
2.
g.
x
log m n = x log m + x log n
Contoh :
10
1.
log (100)(1000) = 10 log 100 + 10 log 1000 = 2 + 3 = 5
3
2.
log (243)(27) = 3 log 243 + 3 log 27 = 5 + 3 = 8
x
g.
log
=
x
log m –
x
log n
Contoh :
1.
2.
h.
10
3
x
log m.
Contoh :
m
log x = 1
10
2.
3
x
10
sehingga
x
log m =
log 100. 100 log 10 = 10 log 102 x 100 log 1001/2 = 2 x ½ = 1
log 81. 81 log 3 = 3 lg 34 x 81 log 81 0,25 = 4 x 0,25 = 1
log m. m log n +
Contoh :
1.
= 3 log 243 – 3 log 27 = 5 – 3 = 2
log
1.
i.
= 10 log 100 – 10 log 1000 = 2 – 3 = - 2
log
n
log x = 1
log 100. 100log 10000 . 10000log 10 = 10log 102 x
= 2 x 2 x 0,25 = 1
100
log 1002 x
10000
log 10000
0,25
2.
3
log 9 . 9log 729 . 729 log 3 = 3log 32 x 9log x 93 x 729log 729 1/6 = 2 x 3 x =
9

10. 3.
Penyelesaian Persamaan dengan Logaritma
Logaritma dapat digunakan untuk mencari bilangan yang belum diketahui (bilangan anu)
dalam sebuah persamaan, khususnya persamaan eksponensial dan persamaan logaritmik.
Persamaan eksponensial ialah persamaan yang bilangan anunya berupa pangkat, misalnya 5x =
125 dan 3x+1 = 27. Sedangkan persamaan logaritmik ialah persamaan bilangan anunya berupa
bilangan logaritma, sebagai contoh log (3x + 298) = 3.
Untuk menyelesaikan sebuah persamaan eksponensial dengan menggunakan logaritma,
pertama-tama logaritmakan dulu kedua ruas persamaan, kemudian selesaikan bilangan anunya
berdasarkan persamaan logaritmik yang baru terbentuk.
Untuk menyelesaikan sebuah persamaan eksponensial dengan menggunakan logaritma,
pertama-tama logaritmakan dulu kedua ruas persamaan, kemudian selesaikan bilangan anunya
berdasarkan persamaan logaritmik yang baru terbentuk.
Contoh:
1.
Hitunglah x untuk 3 x +1 = 27
Dengan melogaritmakan kedua ruas:
log 3 x+1 = 27
( x + 1 ) log 3 = log 27
x+1=
=
=1
x = 3 – 1 = 2 Bukti : 3 2+1 = 33 = 27
Untuk contoh ini, karena kebetulan soalnya relatif sederhana, kita dapat pula
memecahkannya secara langsung tanpa menggunakan logaritma:
3 x+1 = 27
3 x+1 = 33
x + 1 = 3,
2.
x=3–1=2
Carilah x jika (0,32 + x ) = 789
(0,32 + x ) = 789
log (0,32 + x )15 = log 789
15 log (0,32 + x ) = 2,8971
log (0,32 + x ) =
log (0,32 + x ) = 0,1931
(0,32 + x) = antilog 0, 1931
(0,32 + x) = 1, 56
x = 1,56 – 0,32 = 1,24
10

11. 3.
Selesaikan x untuk log (3x + 298) = 3
Berdasarkan definisi logaritma, kita dapat menuliskan
log (3x + 298) = 3
ke dalam bentuk pangkat menjadi:
(3x + 298) = 103
sehingga:
3x + 298 = 1000
3x = 702, x = 234
11