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はじめにゼミ授業おわりに

にわとりかんさつにっき in お茶大

ますこもえ (twitter ID: @MoCo7)

August 29, 2010

にわとりかんさつにっき in お茶大 1/24


自己紹介

お茶大の学生 (M2)
所属: shift/reset 推進委員会
好きなもの: OCaml，Coq，圏論，ect.



研究室



ボス: ProofGeneral



浅井先生



浅井先生

昨日の
OCaml Meeting の
talker の 1 人



浅井先生

昨日の
OCaml Meeting の
talker の 1 人 ⇑
この本の筆者



学生

D1 1 人

M2 4 人

M1 2 人

B4 1 人



Coq ゼミ

2008 年前期開催
Coq を勉強しよう ! というゼミでした
内容:
1 install，関数，大域的変数，Speciﬁcation の定義
2 命題論理
3 関数の拡張，述語論理
4 implication 以外の論理演算，等式の証明
5 帰納的なデータ型，再帰関数の定義，帰納法
6 リスト，帰納的な命題の定義
7 演習 (TAPL 8 章，soundness)
http://pllab.is.ocha.ac.jp/lab.html



ゼミで学んだこと

型 = 命題
プログラム = 証明




/)◦∀◦( yay! /)◦∀◦(
型 = 命題
プログラム = 証明
(◦∀◦)/ yay! (◦∀◦)/




Coq 楽しそう
証明に良さそうだ




Coq 楽しそう
証明に良さそうだ
後期: CPDT をやって転覆
M2 は研究に Coq を使えていない ... ! (使いたい !)



Coq 楽しいよ Coq

ICFP2009 の B. C. Pierce の招待講演
“Lambda, the Ultimate TA: Using a Proof Assistant
to Teach Programming Language Foundations”
from
Theory of PL for PL geeks
to
Software Foundation to the masses
http://www.cis.upenn.edu/~bcpierce/sf



今年の大学院の授業

大学院の授業: 先生達が好きなことをやる
浅井先生は ...
functional derivation の手法で色々な
セマンティクスのインタプリタを導く



時折出る課題

{ 引き算，四則演算 } インタプリタを ...
普通に書く
reduction semantics で書く
CPS 変換
非関数化
factorial 関数や ﬁbonacci 関数を ...
CPS 変換
非関数化



factorial 関数 (CPS)

let rec fac n =
if n <= 0 then 1
else n * fac ( n - 1 )
let rec fac_cps n k =
if n <= 0 then k 1
else
fac_cps ( n - 1 ) ( fun x - > k ( n * x ) )
let main n = fac_cps n ( fun x - > x )



factorial 関数 (非関数化)

type cont = C0 | C1 of int * cont
let rec apply k x = match k with
| C0 - > x
| C1 (n , k ) - > apply k ( n * x )
let rec fac_defunc n k =
if n <= 0 then apply k 1
else fac_defunc ( n - 1 ) ( C1 (n , k ) )
let main n = fac_defunc n C0


y

時折出る無茶振り (?)

~
じゃ、正当性の
証明は Coq で。



売られた喧嘩は買いましょう !!



売られた喧嘩は買いましょう !!
出さ定理証明し



CPS 変換の正当性 (factorial)

Theorem
∀n ∈ N, f acds n = f accps n id




Theorem

Lemma
∀n ∈ N, k ∈ N → N,
k (f acds n) = f accps n k
証明: n に関する帰納法




Theorem

Lemma
∀n ∈ N, k ∈ N → N,
k (f acds n) = f accps n k
上の定理は k = id にすれば示せる



非関数化の正当性 (factorial)

Theorem
∀n ∈ N, f accps n id = f acdef unc n C0




Theorem

Lemma
∀n ∈ N, k ∈ N → N, c ∈ cont,
(∀a ∈ N, k a = apply c a) → f accps n k = f acdef unc n c




Theorem

Lemma
∀n ∈ N, k ∈ N → N, c ∈ cont,
(∀a ∈ N, k a = apply c a) → f accps n k = f acdef unc n c
上の定理は k = id，c = C0 に
すれば示せる


CPS 変換 & 非関数化の正当性 (ﬁbonacci)

let rec fib n =
if n <= 1 then 1
else fib ( n - 1 ) + fib ( n - 2 )

定式化: ほぼ factorial と同じ格好
証明: well founded induction で頑張る



CPS 変換 & 非関数化の正当性 (ﬁbonacci)

let rec fib n =
if n <= 1 then 1
else fib ( n - 1 ) + fib ( n - 2 )

定式化: ほぼ factorial と同じ格好
証明: well founded induction で頑張る
?? 非関数化すると apply 関数と相互再帰の形になり
Coq で上手く定義出来ない ... (証明も美しくない)



ﬁbonacci (CPS, OCaml)

let rec fib_cps n k =
if n < 2 then k 1
else
fib_cps ( n - 1 ) ( fun x - >
fib_cps ( n - 2 ) ( fun y - > k ( x + y ) ) )



ﬁbonacci (defunctionalized, OCaml)

type cont =
| C0
| C1 of int * cont_t
| C2 of int * cont_t
let rec apply k x = match k with
| C0 - > x
| C1 (n , k ) - >
fib_defunc ( n - 2 ) ( C2 (x , k ) )
| C2 ( n1 , k ) - > apply k ( n1 + x )
and fib_defunc n k =
if n < 2 then apply k 1
else fib_defunc ( n - 1 ) ( C1 (n , k ) )



ﬁbonacci (Coq)
Fixpoint app ( k : cont_fib ) ( x : nat ) ( count : nat )
{ struct count } : option nat : =
match count with
| O = > None
| S count ’ = >
match k with
| C0_fib = > Some x
| C1_fib n k = >
fib_defunc ( minus n 1 ) ( C2_fib x k ) count ’
| C2_fib n1 k = > app k ( plus n1 x ) count ’
end
end
with fib_defunc ( n : nat ) ( k : cont_fib ) ( count : nat )
{ struct count } : option nat : =
match count with
| O = > None
| S count ’ = >
match n with
| O | S O = > app k 1 count ’
| S m = > fib_defunc m ( C1_fib m k ) count ’
end
end .



真面目な研究もやっています

D1 の先輩: Coqer
· · · 強正規化性の証明，プログラム抽出
M1 の後輩: Coqer / Agdar
· · · functional derivation の証明 (今は Agda 勉強中)



ちなみに

私の研究: shift/reset の直接実装
最近は
Caml Light に shift/reset 導入
functional derivation の手法を利用して，
deﬁnitional interpreter =⇒ ZINC の証明
怪しい変換の部分に Coq を使いたい ... かも ?
圏論の方で Coq を使いたい ... かも ??



おわり

u u
h

¤ h
¤ h


coqun

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