Download to read offline
![Grup Siklik
Definisi 1 : (terhadap perkalian)
Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a ∈ G sedemikian hingga G ={𝒂𝒏 | n ∈ Z}. Elemen a
disebut generator dari grup siklik tersebut.
Definisi 2 : (terhadap penjumlahan)
Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a ∈ G sedemikian hingga G ={na | n ∈ Z}.
Definisi 3 :
Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a ∈ G, maka generator a yang membangun suatu Subgrup
[a] dinamakan Subgrup Siklik dari (G,*).
Jadi yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu suatu Subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur.
Definisi 4 :
Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a ∈ G, maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a]
dimana [a] = G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.](https://image.slidesharecdn.com/grupsiklikrepaired-221002145312-f82c8592/85/Grup-Siklik-Repaired-pptx-2-320.jpg)
More Related Content
Similar to Grup Siklik [Repaired].pptx
Grup Siklik [Repaired].pptx
- 1. Grup Siklik dan SubGrup Siklik
- 2. Grup Siklik Definisi 1: (terhadap perkalian) Grup (G, .) disebut siklik, bila ada elemen a ∈ G sedemikian hingga G ={𝒂𝒏 | n ∈ Z}. Elemen a disebut generator dari grup siklik tersebut. Definisi 2 : (terhadap penjumlahan) Grup (G,+) disebut siklik, bila ada elemen a ∈ G sedemikian hingga G ={na | n ∈ Z}. Definisi 3 : Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a ∈ G, maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a] dinamakan Subgrup Siklik dari (G,*). Jadi yang dimaksud dengan Subgrup Siklik yaitu suatu Subgrup yang dibangkitkan oleh satu unsur. Definisi 4 : Misalkan (G,*) adalah suatu Grup dan a ∈ G, maka generator a yang membangun suatu Subgrup [a] dimana [a] = G, maka Subgrup tersebut dinamakan Grup Siklik.
- 3. Dengan kata lain,Grup Siklik adalah Subgrup yang unsur-unsurnya merupakan unsur-unsur dari Grup itu sendiri. Suatu Grup Siklik bisa beranggotakan terhingga banyaknya unsur, bisa juga beranggotakan tak hingga unsur-unsur. Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur terhingga dinamakan Grup Siklik berhingga dan Grup Siklik yang beranggotakan banyaknya unsur tak terhingga dinamakan Grup Siklik tak hingga. Contoh 1
- 4.
- 5.
- 6. Tentukan generator (pembangun)dari Z6 dalam operasi + Contoh 4
- 7. Teorema 1 :Grup siklik adalah grup abelian
- 8. Dari contoh 2,tunjukan bahwa Grup Siklik tersebut merupakan Grup Komutatif.
- 9. Teorema 2: Setiapsubgrup dari grup siklik adalah siklik.
- 10.
- 11. Teorema 3 :Subgrup dari grup siklik berhingga. Misalkan G adalah grup siklik dengan n elemen dan G =<a>. Jika 𝒃 ∈ 𝑮 dan 𝒃 = 𝒂𝒔 maka b membangun subgrup siklik H dari G yang memuat 𝒏 𝒅 elemen dengan d=gcd(n,s) 𝒛𝟏𝟖, + 𝒛𝟏𝟖={0,1,2,3,.........,17} 𝒛𝟏𝟖=<1> Kita akan mencari subgrup dari 𝒛𝟏𝟖, karena 𝒛𝟏𝟖 ini dibangun oleh 1, maka 1 kita anggap sebagai a. Kemudian kita pilih b di G. Misalkan b=2 maka 𝟐 = 𝟏𝟐 , maka 2 akan membentuk subgrup dari 𝒛𝟏𝟖 yang memuat 𝒏 𝒅 elemen dengan d=gcd(n,s). → 𝒅 = 𝒈𝒄𝒅 𝟏𝟖, 𝟐 = 𝟐 𝒏 𝒅 = 𝟏𝟖 𝟐 =9 Berarti kardinalitas dari H adalah 9. Jadi 2 membangun subgrup siklik H yang memuat 9 elemen. → {𝟐𝟏 , 𝟐𝟐 , 𝟐𝟑 , 𝟐𝟒 , 𝟐𝟓 , 𝟐𝟔 , 𝟐𝟕 , 𝟐𝟖 , 𝟐𝟗 } →{2,4,6,8,10,12,14,16,0}
- 12. Misalkan b=3 maka3= 𝟏𝟑 , maka 3 akan membentuk subgrup dari 𝒛𝟏𝟖 yang memuat 𝒏 𝒅 elemen dengan d=gcd(n,s). → 𝒅 = 𝒈𝒄𝒅 𝟏𝟖, 𝟑 = 𝟑 𝒏 𝒅 = 𝟏𝟖 𝟑 =6 Berarti kardinalitas dari H adalah 6. Jadi 3 membangun subgrup siklik H yang memuat 6 elemen. → {𝟑𝟏 , 𝟑𝟐 , 𝟑𝟑 , 𝟑𝟒 , 𝟑𝟓 , 𝟑𝟔 } →{3,6,9,12,15,0} Akibat: Jika a pembangun dari grup siklik berhingga G dengan order n, maka pembangun yang lain untuk G adalah elemen-elemen yang mempunyai 𝒂𝒓 dengan r dan n prima relatif. 𝒛𝟏𝟖=<1> 𝒛𝟏𝟖 =18 Bilangan yang prima relatif dengan n adalah 1, 5, 7, 11, 13, 17. Jika kita diminta untuk mencari pembangun yang lainnya dari G, maka pembangun yang lainnya adalah elemen-elemen yang mempunyai 𝒂𝒓 dengan r dan n prima negatif. Maka 1, 5, 7, 11, 13, 17 adalah sebagai r. Pembangun yang lain dari G adalah 𝒂𝒓 = 𝒂𝟏 → 𝟏𝟏 , 𝟏𝟓 , 𝟏𝟕 , 𝟏𝟏𝟏 , 𝟏𝟏𝟑 , 𝟏𝟏𝟕 Jadi, 𝒛𝟏𝟖=<1>,<5>,<7>,<11>,<13>,<17>. Nah, akibat ini juga bisa gunakan untuk mencari subgrup-subgrup lain dari elemen berhingga.
- 13. Kita akan mencarisubgrup dari 𝒛𝟏𝟖, karena 𝒛𝟏𝟖 ini dibangun oleh 1, maka 1 kita anggap sebagai a. Kemudian kita pilih b di G. Misalkan b=2 maka 𝟐 = 𝟏𝟐 , maka 2 akan membentuk subgrup dari 𝒛𝟏𝟖 yang memuat 𝒏 𝒅 elemen dengan d=gcd(n,s). → 𝒅 = 𝒈𝒄𝒅 𝟏𝟖, 𝟐 = 𝟐 𝑯 = 𝒏 𝒅 = 𝟏𝟖 𝟐 =9 Berarti kardinalitas dari H adalah 9. Jadi 2 membangun subgrup siklik H yang memuat 9 elemen. → {𝟐𝟏, 𝟐𝟐, 𝟐𝟑, 𝟐𝟒, 𝟐𝟓, 𝟐𝟔, 𝟐𝟕, 𝟐𝟖, 𝟐𝟗} →{2,4,6,8,10,12,14,16,0} Kardinalitas dari H = 9 = n Anggaplah H grupnya, jadi sekarang kita punya H order 9. Cari bilangan yang prima relatif dengan 9 adalah 1,2,4,5,7 dan 8 ini sebagai r Sekarang kita punya pembangun yang lain untuk H adalah elemen yang punya bentuk 𝒂𝒓 dengan r dan n prima negatif. Berarti, pembangun yang lain untuk H adalah 𝟐𝟏, 𝟐𝟐, 𝟐𝟒, 𝟐𝟓, 𝟐𝟕, 𝟐𝟖 → 2,4,8,10,14,16 H=<2>=<4>=<8>=<10>=<14>=<16> Jika a pembangun dari grup siklik berhingga G dengan order n, maka pembangun yang lain untuk G adalah elemen-elemen yang mempunyai 𝒂𝒓 dengan r dan n prima negatif. <4>={𝟒𝟏 , 𝟒𝟐 , 𝟒𝟑 , 𝟒𝟒 , 𝟒𝟓 , 𝟒𝟔 , 𝟒𝟕 , 𝟒𝟖 , 𝟒𝟗 } = {4,8,12,16,2,6,10,,14,0}
- 14. Defenisi: Diketahui (G, *)merupakan grup siklik. Jika elemen-elemen pada G berhingga maka order dari G adalah jumlah elemen pada G. Jika elemen-elemen pada G tidak berhingga maka order dari G adalah tidak berhingga. Order dari G dinotasikan dengan |G|
- 15.
- 16.