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第9章 ネットワーク上の他の確率過程




        大澤 昇平
      ohsawide@gmail.com
          Apr. 11
      複雑ネットワーク勉強会
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          •9.1 進化ゲーム

          •9.2 ランダム・ウォーク
          •9.3 カスケード故障




                           1
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          •9.1 進化ゲーム

          •9.2 ランダム・ウォーク
          •9.3 カスケード故障




                           2
9.1.1 進化ゲームとは

•   囚人のジレンマ:局所最適が全体最適にならない        利得表
                                          相手: C   相手: D
•   利得表において,自分は戦略 D(裏切り)を取ったほうが
    有利.                           自分: C   (3, 3) (0, 5)
•   相手に関しても同様                     自分: D   (5, 0) (1, 1)
     • 利得が (1, 1) になる.
     • 全体最適は,(3, 3)



•   どのようにすれば相互協力が実現するか → 進化ゲーム

•   プレイヤーの行動の基準
     • 伝搬:利得が高い誰かの行動を真似る
     • 突然変異:レイヤーは気まぐれで行動を変える




                                                          3
9.1.2 ネットワーク上の進化ゲーム

進化ゲームのダイナミクス(p.197 図9.1 参照)
(1) 初期条件(t=0)として,各頂点に C, D を確率 1/2 で割り振る
(2) 各頂点は,隣人のそれぞれと利得表に従ってゲームを行なう
(3) 各頂点について,隣人のそれぞれとゲームを行なって得た利得の合計を,自分の総利得とする
(4) 戦略の更新を行なう.ノード v を無作為に選択し,隣人のうち最も利得の大きい人の戦略をコピー
(5) t = 1 として,ステップ 2~4 を行なう
(6) 以降 t=2, 3, … として続ける.ネットワーク全体での C, D の割合が一定値に落ち着いたら終了.




                                                        4
9.1.3 空間的互恵性

空間的互恵性 クラスターを作ることで生き残る仕組み

• v1 が死ぬと,必ず D の戦略をコピーする
• v2 が死ぬと,v1 の戦略ではなく v3 の戦略をコピーする
• v3 が死ぬと,v2 の戦略ではなく v4 の戦略をコピーする
• v4 が死ぬと,必ず C の戦略をコピーする
⇒ 結果的に,状態は変化しない
これは,ノードがクラスターをなしていることに起因する




                                    5
9.1.4 スケールフリー・ネットワーク上の進化ゲーム

•   次数の大きい頂点(ハブ)と,小さい頂点によって,ゲームの参加の仕方が異なる
•   スケールフリー・ネットワーク上では,ハブの方が圧倒的に有利

     次数の大きい頂点(ハブ)                             次数の小さい頂点
             10                 90

     利得: 1        利得: 1 利得: T        利得: T    利得: 0       利得: 0
                                                                  C
             ・・・・          ・・・・・・・・・
                                                                  D




                      利得: 10                     利得: 2T

     戦略が C でも成立する                            戦略が D でないと成立しない


    (参考)利得表
                  相手: C   相手: D

     自分: C        (1, 1) (0, 𝑇)
     自分: D        (𝑇, 0) (𝜖, 𝜖)
                                                                      6
9.1.5 進化ゲームの固定確率

•   真似のみでゲームが進んだ場合,いずれグラフは
     • 全員が C
     • 全員が D
    のいずれかに収束する

•   ここで,全員が C になって終了する確率を,C の固定確率という

•   レギュラー・ランダムグラフにおいては,C の固定確率が大きいための条件が知られている
    [Ohtsuki, 2006]




                                                 7
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          •9.1 進化ゲーム

          •9.2 ランダム・ウォーク
          •9.3 カスケード故障




                           8
9.2.1 ネットワーク上のランダムウォーク

•   古典的なネットワーク上のランダムウォークは,数学や物理学などにおいて古くから調べられてい
    る
•   今回対象にするランダムウォーク
     • 有限ネットワーク
     • 単純ランダムウォーク

ネットワーク上での移動は,以下の推移確率行列で表現:
                            𝐴 𝑖𝑗
                   𝐵 𝑖𝑗 = 𝑁
                          𝑙=1 𝐴 𝑖𝑙
ここで,次の制約条件が成立:
                            𝑁

                                 𝐵 𝑖𝑗 = 1
                           𝑗=1
ノード 𝑖 上にウォーカーが存在する確率 𝑃𝑗 𝑡 は,マスター方程式で表現
                                    𝑁

                      𝑃𝑖 𝑡 + 1 =         𝑃𝑗 𝑡 𝐵 𝑗𝑖
                                   𝑗=1




                                                     9
9.2.1 ネットワーク上のランダムウォーク

定常密度の計算
定常密度に対して,
                         𝑁                  𝑁

               𝑃𝑖 ∗ =         𝑃𝑗∗ 𝐵 𝑗𝑖 ;         𝑃𝑖∗ = 1
                        𝑗=1                𝑖=1
行列で書くと,
                 ∗ ∗                        ∗ ∗
                𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃∗ =
                               𝑛           𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃∗ 𝐵
                                                          𝑛


参考:固有方程式
                                  𝜆𝒑 = 𝒑𝐵




                                                                10
9.2.2 ページランク

•   枝に方向がある場合のランダムウォーク

•   ページランク以前:ネットワークに依存しない方法で決定
•   検索エンジンの重要性
     (i) ページと検索後の関連度
     (ii) ページとネットワーク上の重要性(ex. 中心性)

•   Google は,ページランクを用いて,(ii) の計算を行なっている

ページランクが考えるウェブページの重要性の基準(p. 208, 図9.8)
(1) 多くのページからリンクされるページは重要
(2) 重要なページからリンクされるページは重要
(3) 厳選されたリンクをう受けることは貴重


ページランクの基準(連立一次方程式)
                        𝑁                  𝑁                           𝑁
                                                 𝐴 𝑗𝑖
                𝑥𝑖 =         𝐵 𝑗𝑖 𝑥 𝑗 =          𝑁             𝑥𝑗 ,         𝑥𝑖 = 1
                                                𝑙=1     𝐴 𝑗𝑙
                       𝑗=1                𝑗=1                         𝑖=1




                                                                                     11
9.2.2 ページランク:dangling node への対応

•   WWW のネットワークには多くの dangling node(行き止まり)が存在している
     • 例)画像からなるページ
•   今までのページランクの定義では,dangling node のいずれかにウォーカーが停滞してしまう

•   そこで,ウォーカーの挙動の定義を以下のように修正
      (1) 確率 1-q で通常通りランダムウォーク(行き先が存在しない場合は,そこに留まる)
      (2) 確率 q で自身を含むランダムなノードにジャンプ

•   (2) により,dangling node に対応できる
•   修正した確率遷移行列

                                                      𝑞                  𝐴 𝑖𝑗
                𝑖 がdangling nodeでない場合:      𝐵 𝑖𝑗 =        + (1 − 𝑞)    𝑁
                                                      𝑁               𝑙=1 𝐴 𝑖𝑙

                                                  𝑞
                                                      + 1 − 𝑞 , (𝑖 = 𝑗)
                                                  𝑁
                𝑖 が dangling node の場合:   𝐵 𝑖𝑗 =            𝑞
                                                             ,   (𝑖 ≠ 𝑗)
                                                           𝑁




                                                                                 12
9.2.3 HITS

•   HITS: Kleinberg によって提案された新しい中心性

オーソリティ度 𝑥 𝑖 とハブ度 𝑦 𝑖
                                   𝑁                         𝑁

                           𝑥𝑖 ∝         𝐴 𝑗𝑖 𝑦 𝑗 ,   𝑦𝑖 ∝         𝐴 𝑖𝑗 𝑥 𝑗
                                  𝑗=1                       𝑗=1


ベクトル表現
                                        𝒙 ∝ 𝐴 𝑇 𝒚,     𝒚 ∝ 𝐴𝒙

以下の更新式で収束計算
                      𝒙 𝑡+1 = 𝐴𝑇 𝒚 𝑡 ,               𝒚 𝑡 + 1 = 𝐴𝒙 𝑡 + 1
以下のように変形可能
                      𝒙 𝑡 + 1 = 𝐴 𝑇 𝐴𝒙 𝑡 ,            𝒚 𝑡 + 1 = 𝐴𝐴 𝑇 𝒚 𝑡

よって, 𝒙∗ = 𝒙 ∞ , 𝒚∗ = 𝒚 ∞   とすると,
                             𝒙∗ = 𝐴 𝑇 𝐴𝒙∗ ,           𝒚∗ = 𝐴𝐴 𝑇 𝒚∗

これは固有方程式なので,𝒙∗ は 𝐴 𝑇 𝐴 の最大固有ベクトル,𝒚∗ は𝐴𝐴 𝑇 の最大固有ベクトルになる




                                                                             13
9.2.4 情報探索

•   6 次の隔たりでは,手紙の転送はランダムではなく,近い人を選んで送られる
     • グラフの最短距離が必ず選ばれるわけではない
     • どのような方法で人を探しているか明らかにする必要がある
情報探索のルール
• 正方格子を考える
• 𝑟 −𝛼 に比例する確率でショートカットを張る                   𝑟 −𝛼 に比例する
• ウォーカーは,ターゲットにより近い場所に動く                   確率でリンク形成


平均到達時間 𝑇 の下限は 𝑁 𝛽 に比例
              2−𝛼
                   ,   (0 ≤ 𝛼 ≤ 2)
                3
         𝛽=    𝛼−2
                   ,    (𝛼 > 2)      𝑟=5
               𝛼−1




                                                     14
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          •9.1 進化ゲーム

          •9.2 ランダム・ウォーク
          •9.3 カスケード故障




                           15
9.3 カスケード故障

•   ネットワークの枝には,物量が流れる場合がある
     • Ex. 航空網における人,電力網における電気,インターネットでのパケット,道路網での車

•   許容量を超えた物量がノードを通る場合,そのノードは故障することがある
•   そうした場合に,他のノードにも負荷がかかり,連鎖的に故障が拡散する場合がある

カスケード故障のダイナミクス
(1) ある頂点 v を除去
(2) v を除去したネットワークにおいて,再度各頂点の媒介中心性を計算
(3) 容量を超えた頂点をすべて除去
(4) 頂点を除去したネットワークにおいて,残った各頂点の媒介中心性を再計算
(5) ステップ 3 とステップ 4 を,容量超過の頂点がなくなるまで繰り返す


•   故障の連鎖の例(p. 222, 表9.2)




                                                     16

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第9章 ネットワーク上の他の確率過程

  • 1. 第9章 ネットワーク上の他の確率過程 大澤 昇平 ohsawide@gmail.com Apr. 11 複雑ネットワーク勉強会
  • 2. ADGENDA •9.1 進化ゲーム •9.2 ランダム・ウォーク •9.3 カスケード故障 1
  • 3. ADGENDA •9.1 進化ゲーム •9.2 ランダム・ウォーク •9.3 カスケード故障 2
  • 4. 9.1.1 進化ゲームとは • 囚人のジレンマ:局所最適が全体最適にならない 利得表 相手: C 相手: D • 利得表において,自分は戦略 D(裏切り)を取ったほうが 有利. 自分: C (3, 3) (0, 5) • 相手に関しても同様 自分: D (5, 0) (1, 1) • 利得が (1, 1) になる. • 全体最適は,(3, 3) • どのようにすれば相互協力が実現するか → 進化ゲーム • プレイヤーの行動の基準 • 伝搬:利得が高い誰かの行動を真似る • 突然変異:レイヤーは気まぐれで行動を変える 3
  • 5. 9.1.2 ネットワーク上の進化ゲーム 進化ゲームのダイナミクス(p.197 図9.1 参照) (1) 初期条件(t=0)として,各頂点に C, D を確率 1/2 で割り振る (2) 各頂点は,隣人のそれぞれと利得表に従ってゲームを行なう (3) 各頂点について,隣人のそれぞれとゲームを行なって得た利得の合計を,自分の総利得とする (4) 戦略の更新を行なう.ノード v を無作為に選択し,隣人のうち最も利得の大きい人の戦略をコピー (5) t = 1 として,ステップ 2~4 を行なう (6) 以降 t=2, 3, … として続ける.ネットワーク全体での C, D の割合が一定値に落ち着いたら終了. 4
  • 6. 9.1.3 空間的互恵性 空間的互恵性 クラスターを作ることで生き残る仕組み • v1 が死ぬと,必ず D の戦略をコピーする • v2 が死ぬと,v1 の戦略ではなく v3 の戦略をコピーする • v3 が死ぬと,v2 の戦略ではなく v4 の戦略をコピーする • v4 が死ぬと,必ず C の戦略をコピーする ⇒ 結果的に,状態は変化しない これは,ノードがクラスターをなしていることに起因する 5
  • 7. 9.1.4 スケールフリー・ネットワーク上の進化ゲーム • 次数の大きい頂点(ハブ)と,小さい頂点によって,ゲームの参加の仕方が異なる • スケールフリー・ネットワーク上では,ハブの方が圧倒的に有利 次数の大きい頂点(ハブ) 次数の小さい頂点 10 90 利得: 1 利得: 1 利得: T 利得: T 利得: 0 利得: 0 C ・・・・ ・・・・・・・・・ D 利得: 10 利得: 2T 戦略が C でも成立する 戦略が D でないと成立しない (参考)利得表 相手: C 相手: D 自分: C (1, 1) (0, 𝑇) 自分: D (𝑇, 0) (𝜖, 𝜖) 6
  • 8. 9.1.5 進化ゲームの固定確率 • 真似のみでゲームが進んだ場合,いずれグラフは • 全員が C • 全員が D のいずれかに収束する • ここで,全員が C になって終了する確率を,C の固定確率という • レギュラー・ランダムグラフにおいては,C の固定確率が大きいための条件が知られている [Ohtsuki, 2006] 7
  • 9. ADGENDA •9.1 進化ゲーム •9.2 ランダム・ウォーク •9.3 カスケード故障 8
  • 10. 9.2.1 ネットワーク上のランダムウォーク • 古典的なネットワーク上のランダムウォークは,数学や物理学などにおいて古くから調べられてい る • 今回対象にするランダムウォーク • 有限ネットワーク • 単純ランダムウォーク ネットワーク上での移動は,以下の推移確率行列で表現: 𝐴 𝑖𝑗 𝐵 𝑖𝑗 = 𝑁 𝑙=1 𝐴 𝑖𝑙 ここで,次の制約条件が成立: 𝑁 𝐵 𝑖𝑗 = 1 𝑗=1 ノード 𝑖 上にウォーカーが存在する確率 𝑃𝑗 𝑡 は,マスター方程式で表現 𝑁 𝑃𝑖 𝑡 + 1 = 𝑃𝑗 𝑡 𝐵 𝑗𝑖 𝑗=1 9
  • 11. 9.2.1 ネットワーク上のランダムウォーク 定常密度の計算 定常密度に対して, 𝑁 𝑁 𝑃𝑖 ∗ = 𝑃𝑗∗ 𝐵 𝑗𝑖 ; 𝑃𝑖∗ = 1 𝑗=1 𝑖=1 行列で書くと, ∗ ∗ ∗ ∗ 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃∗ = 𝑛 𝑃1 , 𝑃2 , … , 𝑃∗ 𝐵 𝑛 参考:固有方程式 𝜆𝒑 = 𝒑𝐵 10
  • 12. 9.2.2 ページランク • 枝に方向がある場合のランダムウォーク • ページランク以前:ネットワークに依存しない方法で決定 • 検索エンジンの重要性 (i) ページと検索後の関連度 (ii) ページとネットワーク上の重要性(ex. 中心性) • Google は,ページランクを用いて,(ii) の計算を行なっている ページランクが考えるウェブページの重要性の基準(p. 208, 図9.8) (1) 多くのページからリンクされるページは重要 (2) 重要なページからリンクされるページは重要 (3) 厳選されたリンクをう受けることは貴重 ページランクの基準(連立一次方程式) 𝑁 𝑁 𝑁 𝐴 𝑗𝑖 𝑥𝑖 = 𝐵 𝑗𝑖 𝑥 𝑗 = 𝑁 𝑥𝑗 , 𝑥𝑖 = 1 𝑙=1 𝐴 𝑗𝑙 𝑗=1 𝑗=1 𝑖=1 11
  • 13. 9.2.2 ページランク:dangling node への対応 • WWW のネットワークには多くの dangling node(行き止まり)が存在している • 例)画像からなるページ • 今までのページランクの定義では,dangling node のいずれかにウォーカーが停滞してしまう • そこで,ウォーカーの挙動の定義を以下のように修正 (1) 確率 1-q で通常通りランダムウォーク(行き先が存在しない場合は,そこに留まる) (2) 確率 q で自身を含むランダムなノードにジャンプ • (2) により,dangling node に対応できる • 修正した確率遷移行列 𝑞 𝐴 𝑖𝑗 𝑖 がdangling nodeでない場合: 𝐵 𝑖𝑗 = + (1 − 𝑞) 𝑁 𝑁 𝑙=1 𝐴 𝑖𝑙 𝑞 + 1 − 𝑞 , (𝑖 = 𝑗) 𝑁 𝑖 が dangling node の場合: 𝐵 𝑖𝑗 = 𝑞 , (𝑖 ≠ 𝑗) 𝑁 12
  • 14. 9.2.3 HITS • HITS: Kleinberg によって提案された新しい中心性 オーソリティ度 𝑥 𝑖 とハブ度 𝑦 𝑖 𝑁 𝑁 𝑥𝑖 ∝ 𝐴 𝑗𝑖 𝑦 𝑗 , 𝑦𝑖 ∝ 𝐴 𝑖𝑗 𝑥 𝑗 𝑗=1 𝑗=1 ベクトル表現 𝒙 ∝ 𝐴 𝑇 𝒚, 𝒚 ∝ 𝐴𝒙 以下の更新式で収束計算 𝒙 𝑡+1 = 𝐴𝑇 𝒚 𝑡 , 𝒚 𝑡 + 1 = 𝐴𝒙 𝑡 + 1 以下のように変形可能 𝒙 𝑡 + 1 = 𝐴 𝑇 𝐴𝒙 𝑡 , 𝒚 𝑡 + 1 = 𝐴𝐴 𝑇 𝒚 𝑡 よって, 𝒙∗ = 𝒙 ∞ , 𝒚∗ = 𝒚 ∞ とすると, 𝒙∗ = 𝐴 𝑇 𝐴𝒙∗ , 𝒚∗ = 𝐴𝐴 𝑇 𝒚∗ これは固有方程式なので,𝒙∗ は 𝐴 𝑇 𝐴 の最大固有ベクトル,𝒚∗ は𝐴𝐴 𝑇 の最大固有ベクトルになる 13
  • 15. 9.2.4 情報探索 • 6 次の隔たりでは,手紙の転送はランダムではなく,近い人を選んで送られる • グラフの最短距離が必ず選ばれるわけではない • どのような方法で人を探しているか明らかにする必要がある 情報探索のルール • 正方格子を考える • 𝑟 −𝛼 に比例する確率でショートカットを張る 𝑟 −𝛼 に比例する • ウォーカーは,ターゲットにより近い場所に動く 確率でリンク形成 平均到達時間 𝑇 の下限は 𝑁 𝛽 に比例 2−𝛼 , (0 ≤ 𝛼 ≤ 2) 3 𝛽= 𝛼−2 , (𝛼 > 2) 𝑟=5 𝛼−1 14
  • 16. ADGENDA •9.1 進化ゲーム •9.2 ランダム・ウォーク •9.3 カスケード故障 15
  • 17. 9.3 カスケード故障 • ネットワークの枝には,物量が流れる場合がある • Ex. 航空網における人,電力網における電気,インターネットでのパケット,道路網での車 • 許容量を超えた物量がノードを通る場合,そのノードは故障することがある • そうした場合に,他のノードにも負荷がかかり,連鎖的に故障が拡散する場合がある カスケード故障のダイナミクス (1) ある頂点 v を除去 (2) v を除去したネットワークにおいて,再度各頂点の媒介中心性を計算 (3) 容量を超えた頂点をすべて除去 (4) 頂点を除去したネットワークにおいて,残った各頂点の媒介中心性を再計算 (5) ステップ 3 とステップ 4 を,容量超過の頂点がなくなるまで繰り返す • 故障の連鎖の例(p. 222, 表9.2) 16