1. OSA II. Kaksiosaisen artikkelin ensimmäinen osa ilmestyi Dimensiossa 1/2007
Jatkuvat ei-missään derivoituvat
funktiot lukion pitkässä
matematiikassa
PAAVO HEISKANEN , FM, Fysiikan ja matematiikan lehtori, Jokelan lukio
Tein keväällä 2006 kahdessa lukiossa kyselyn jatkuvuuden ja derivoituvuuden osaamisesta. Tämän
kyselyn tulokset antavat olettaa, että pitkän matematiikan opiskelijat hallitsevat varsin heikosti jatkuvuuden ja derivoituvuuden välisen yhteyden (Heiskanen,
2006). Koska derivoituvuus on selkeästi vahvempi
ominaisuus kuin jatkuvuus, tavoitteena lienee kuitenkin, että derivaatan opiskeltuaan opiskelijat hallitsevat näiden käsitteiden välisen yhteyden paremmin.
Esittelen artikkelissani Tallin (2002) kehittelemän
menetelmän, jolla voidaan luoda havainnollinen kuva derivoituvuudesta käyttäen hyväksi paikallinen
suoruus -käsitettä. Tarkastelen myös kuinka jatkuvia
ei-missään derivoituvia funktioita voitaisiin käsitellä
lukion pitkässä matematiikassa ja miten niitä voitaisiin käyttää hyväksi derivoituvuus-käsitteen hallinnan syventämisessä.
Tutkin matematiikan pro gradu -tutkielmassani,
”Jatkuvuus- ja derivoituvuus-käsitteet lukion pitkässä
matematiikassa”, muun muassa jatkuvia ei-missään derivoituvia funktiota, lyhyesti CND-funktioita (Continuous Nowhere Differentiable). Lukiossa suorittamani kyselyn perusteella monet lukion pitkän matematiikan opiskelijat pitävät outona ajatusta, että tällaisia
funktioita on olemassa. Opiskelijoilla on käsitys, että yleensä jatkuvat funktiot ovat derivoituvia lukuun
ottamatta muutamia pisteitä. Käsitys ei ole lainkaan
yllättävä, sillä näinhän tilanne yleensä onkin kaikissa lukiossa vastaan tulevissa funktioissa. Tyypillisenä
esimerkkinä jatkuvasta funktiosta, joka on epäderivoituva, esitetään itseisarvofunktio f ( x) x , joka
ei ole derivoituva kohdassa x = 0. Monet opiskelijoista ymmärtävät kyllä, että jatkuvuus ei takaa derivoituvuutta, mutta heille saattaa jäädä käsitys, että
jatkuvalla funktiolla voi olla ”piikkejä” eli epäderivoituvuuskohtia vain äärellinen määrä tietyllä välillä
eli, että jatkuva funktio voi olla epäderivoituva vain
yksittäisissä pisteissä.
Reaalifunktiot ja jatkuvuus
Reaaliarvoiset funktiot ovat olleet 1600-luvulta lähtien
yleinen työkalu geometristen käyrien tutkimiseen sekä mekaniikan ja tähtitieteen laskuihin. Funktio-sana
ja merkintä y = f(x) ovat peräisin vasta 1700-luvulta.
Tuolloin käsitellyt reaalifunktiot olivat pääsääntöisesti alkeisfunktioista muodostettuja, mahdollisesti eri
kaavoilla eri määrittelyjoukoissa. Tällöin reaalifunktiot olivat siis jatkuvia lukuun ottamatta korkeintaan
määrittelyjoukkojen rajapisteitä. Tämä historia huomioonottaen on aivan luonnollista ajatella, että reaalifunktio on jatkuva lukuun ottamatta korkeintaan
yksittäisiä pisteitä. Ei ole siis lainkaan yllättävää, että
monet lukion pitkän matematiikan opiskelijat olettavat funktioiden olevan jatkuvia tai ainakin jatkuvia lukuun ottamatta yksittäisiä pisteitä (Heiskanen,
2006, s.202).
1800-luvulla funktion määritelmä alkoi tarkentua. Määriteltiin, että mikä tahansa piirretty käyrä on
funktio tai jos jokaista x vastaa yksikäsitteinen äärellinen y, niin y on x:n funktio. Nykymuotoinen funktion
määritelmä on peräisin Lejeune Dirichletiltä vuodelta 1837. Hän määritteli seuraavasti: Funktio f: A B
koostuu kahdesta joukosta, määrittelyjoukosta A ja arvojoukosta B, ja säännöstä, joka määrittää jokaiselle x
A yksikäsitteisen y B . Kun otetaan huomioon, että
derivaatta-käsite kehittyi varsin pitkälle jo Newtonin
ja Leibnizin aikaan 1600-luvun lopulla, niin nykyinen funktio-käsite on itse asiassa melko tuore (Heiskanen, 2005).
Derivoituvuus ja paikallinen suoruus
Tall (2002) esittelee metodin, jolla voidaan tutkia
funktion derivoituvuutta graafisesti tietokoneen avulla. Funktion kuvaajaa lähennetään pisteessä, jossa derivoituvuutta tutkitaan. Tall määrittelee kognitiivisen
juuren (cognitive root) käsitteeksi, joka on opiskelijalle
ymmärrettävä sillä hetkellä ja toimii siemenenä muodollisen käsitteen määrittelyssä. Esimerkiksi paikallinen
suoruus on kognitiivinen juuri derivoituvuuden käsitteelle. Tarkastellaan paikallisen suoruuden käsitettä
muutaman esimerkin avulla, joita on demonstroitu
Kawasakin Visual Calculus -ohjelmalla. Tutkitaan en-
eDimensio 1

2. siksi funktiota f(x) = sin(x), jonka kuvaaja piirretään
ensin välillä [–4,4], ja sen jälkeen lähennetään kuvaa
kohdassa x = 1 (kuva 1). Ohjelman avulla nähdään
selvästi, kuinka kuvaaja paikallisesti lähestyy suoraa
kohdassa x = 1, kun kuvaa lähennetään tarpeeksi.
Kuva 1: Funktion f(x) = sin(x) kuvaaja ja suurennos
piirrettynä Visual Calculus -ohjelmalla.
Toisena esimerkkinä tutkitaan funktion f ( x) x
kuvaajaa kohdassa x = 0. Ohjelman avulla nähdään
helposti, että kuvaaja ei suoristu origossa, vaikka kuvaa lähennettäisiin kuinka paljon tahansa (kuva 2).
Näin opiskelijat voivat geometrisesti tutkia funktioiden derivoituvuutta ja ”nähdä”, mitä derivoituvuus
on. Heille voidaan luoda derivoituvuudesta ja epäderivoituvuudesta ymmärrettävä visuaalinen havainto.
Paikallista suoruutta voi tutkia myös ilman tietokonetta esimerkiksi graafisen laskimen ZOOM-toiminnon avulla.
Kuva 2: Funktion f ( x ) x kuvaaja ja suurennos
piirrettynä Visual Calculus -ohjelmalla.
Opetuksessa voidaan käyttää hyväksi myös tilanteita, joissa tietokoneen esitysmuoto ja vastaava teoreettinen muotoilu muodostavat ristiriidan. Tutkitaan
x 2 1 kohdassa x = 0.
esimerkiksi funktiota f ( x)
Kun on opiskeltu derivaatan ketjusääntö, voivat opiskelijat laskea funktion f derivaatan analyyttisesti. Las-
2 eDimensio
kemisen jälkeen voidaan piirtää funktion kuvaaja välillä [–100,100]. Kuvaajaan näyttää muodostuvan
terävä piikki, joten geometrisen tarkastelun mukaan
funktio ei olisi derivoituva kohdassa x = 0. Lähentämällä kuvaajaa havaitaan kuitenkin, että kyseiseen
kohtaan ei muodostu terävää kärkeä vaan se ”oikenee” eli kuvaaja lähestyy paikallisesti suoraa, jolloin
funktio voidaan perustella derivoituvaksi kohdassa x
= 0 myös geometrisesti. Tilanne on esitetty kuvassa 3. Kun opiskelijoiden kanssa on tarkasteltu aikaisemmin derivaattaa tangentin kulmakertoimena, voi
painottaa, että tutkittavassa kohdassa derivoituvan
funktion kuvaaja lähenee paikallisesti nimenomaan
tangenttia.
Tämä esimerkki selventää myös sitä, että derivoituvuus on funktion paikallinen ominaisuus. Kun tutkitaan funktion derivoituvuutta annetussa kohdassa,
pitää kuvaajaakin tutkia paikallisesti. Tarkasteltaessa funktion kuvaajaa isolla alueella, kuten esimerkissä on aluksi tehty, ei voida sanoa sen derivoituvuudesta yksittäisessä kohdassa mitään. Vasta kun kuva
on lähennetty tarkasteltavan kohdan ”lähiympäristöön”, voidaan tutkia paikallista ominaisuutta derivoituvuus.
CND-funktiot lukio-opetuksessa
Jotta opiskelijat voisivat ymmärtää muodollisen todistuksen merkityksen matematiikassa, tulisi Tallin (2002,
s. 10-11) mukaan heille esittää esimerkkejä siitä, mikä
voi mennä pieleen käsitteiden intuitiivisessa tulkinnassa. Opiskelijoille voidaan näyttää esimerkiksi, että on
olemassa funktioita, jotka eivät ole missään pisteessä
paikallisesti suoria, jolloin heille muodostuu visuaalinen mielikuva siitä, mitä funktion epäderivoituvuus
tarkoittaa. Tämä ei onnistu helposti enää Visual Calculus -ohjelmalla, mutta tarkastelu voidaan toteuttaa
esimerkiksi Mathematicalla.
CND-funktioista voidaan tarkastella esimerkkinä
Weierstrassin funktiota, joka on klassinen esimerkki
tällaisista funktioista. Tarkasti Weierstrassin funktio
määritellään seuraavasti
f:
b k cos(a k x) ,
f ( x)
k 0
missä 0 < b < 1 ja a on pariton positiivinen kokonaisluku siten, että
ab 1
3
.
2
Lukiossa funktiosta voisi tarkastella esimerkkinä yhtä erikoistapausta, jossa esimerkiksi a = 7 ja b = 0,9 .

3. Tällöin funktio saadaan muotoon
0,9k cos(7 k x) .
W ( x)
k 0
Funktion rakennetta äärettömänä summana
voidaan selvittää opiskelijoille kirjoittamalla auki
osasummia
n 1
Sn
0,9k cos(7 k x)
k 0
ja tarkastelemalla näiden kuvaajia. Weierstrassin funktiohan saadaan raja-arvona W ( x) lim Sn .
n
Kuvassa 4 on esitetty osasummien kuvaajat n:n arvoilla 1, 2, 3 ja 4 välillä [–1,1] . Kuvista voidaan todeta opiskelijoiden kanssa, että aina n:n arvon kasvaessa yhdellä muodostuu kuvaajaan yhden huipun tilalle
seitsemän huippua (huomaa, että a = 7 ).
Osasummien kuvaajia tarkastelemalla voidaan luoda havainnollinen kuva siitä, kuinka funktion rakenne kehittyy n:n arvon kasvaessa. Opiskelijoille voidaan korostaa, että monimutkaiselta näyttävä funktio
on kuitenkin vain tavallisten trigonometristen funktioiden summa. Kuvaajien avulla nähdään, kuinka
funktioon alkaa muodostua yhä terävämpiä huippuja
Kuva 3: Tilanne, jossa kuvaaja voi antaa väärän
mielikuvan derivoituvuudesta.
n:n arvon kasvaessa. Tässä yhteydessä on hyvä muistuttaa mieleen paikallisen suoruuden käsite derivoituvuutta tutkittaessa, ja että funktio ei ole derivoituva
terävässä kärkipisteessä eli ”piikissä”. Kuvaajien tulkintaan opiskelijoiden kanssa kannattaa mielestäni
käyttää reilusti aikaa, koska on tärkeää, että opiskelijoille muodostuu selvä geometrinen käsitys, kuinka
Weierstrassin funktio rakentuu n:n arvon kasvaessa.
1
1.5
1
0.5
0.5
0
0
-0.5
-1
-0.5
-1.5
-0.5
0
0.5
-1
1
-0.5
0
0.5
1
0.5
1
10
2
5
1
0
0
-1
-5
-2
-1
-0.5
0
0.5
1
-1
-0.5
0
Kuva 4: Weierstrassin funktion osasummien kuvaajia.
eDimensio 3

4. Weierstrassin funktion muodostuminen näiden tutkittujen funktioiden raja-arvona, kun n kasvaa rajatta, on syytä käydä huolella läpi. Mutta koska emme
voi laskea äärettömän monen funktion summaa, joudumme tarkastelemaan aina osasummia.
x
[–0,1, 0,1]
10
8
6
Weierstrassin funktio ja paikallinen suoruus
Kun funktion rakennetta on käyty läpi ja tutkittu,
kuinka huiput käyvät yhä terävämmiksi n:n arvon kasvaessa, siirrytään tutkimaan tiettyä osasummaa geometrisesti. Funktion rakenteen tutkiminen onnistuu
hyvin jo esimerkiksi osasummalla, jossa n:n arvo on 51
(kuva 5). Tämän osasumman kuvaajien piirtäminen
onnistuu vielä suhteellisen nopeasti, mutta suurempien osasummien kuvaajien piirtäminen alkaa olla jo
aika hidasta tavallisella tietokoneella.
4
2
0
-0.1
x
-0.05
0
0.05
0.1
0
0.005
0.01
0
0.0005
0.001
[–0,01, 0,01]
10
10
8
6
5
4
0
2
-5
0
-0.01
-1
-0.5
0
0.5
Kuva 5: Weierstrassin funktion osasumman S51 kuvaaja
välillä [–1,1].
Tutkitaan funktion derivoituvuutta origossa
osasumman S51 avulla. Käytetään paikallisen suoruuden käsitettä ja tutkitaan, läheneekö funktion kuvaaja suoraa paikallisesti, mikäli sitä lähennetään origossa. Kuvassa 6 on esitetty 10-, 100-, ja 1000-kertaiset
suurennokset kuvassa 5 esitetystä kuvaajasta origon
läheisyydessä.
Suurennoksia tarkastelemalla huomataan, että tutkittavan funktion kuvaaja ei lähene suoraa origon ympäristössä eli että se ei ole derivoituva origossa. Kuitenkin funktio on jatkuva origossa jatkuvien funktioiden tasaisena raja-arvona. Jatkuvuutta voi tarkastella
opiskelijoiden kanssa funktion kuvaajista toteamalla esimerkiksi, että kuvien perusteella funktio näyttää olevan jatkuva. On syytä kuitenkin muistaa, että
kaikki edellä käsitellyt osasummat ovat todellisuudessa derivoituvia äärellisen monen derivoituvan funktion summana. Osasummia tarkastelemalla voidaan
kuitenkin luoda mielikuva siitä miksi Weierstrassin
funktiosta lopulta tulee ei-missään derivoituva. Ana-
4 eDimensio
-0.005
1
x
[–0,001, 0,001]
-0.001
-0.0005
10
8
6
4
2
Kuva 6: Weierstrassin funktion osasumman S51 kuvaajan
lähennys kohdassa x=0.
lyyttinen todistus jatkuvuudesta ja epäderivoituvuudesta löytyy esimerkiksi lähteestä Heiskanen (2006).
Sama tarkastelu voidaan tehdä missä kohdassa tahansa, ja päädytään samaan tulokseen. Kun vastaava
tarkastelu tehdään useammassa opiskelijoiden mielivaltaisesti valitsemassa kohdassa ja tarkastellaan,

5. kuinka kuvaajan perusteella funktio on jatkuva mutta epäderivoituva näissä kohdissa, muodostuu opiskelijoille mielikuva, että on olemassa jatkuvia ei-missään derivoituvia funktioita. Tarkoituksena ei ole, että
opiskelijat ymmärtävät funktioiden analyyttisen rakenteen tai että funktioiden ominaisuuksia todistetaan analyyttisesti, vaan että heille muodostuu mielikuva tällaisten funktioiden rakenteesta ja olemassaolosta.
Epäderivoituvuuskohdissa Weierstrassin funktion
kuvaajaan muodostuu piikki. Tällöin siis funktio vaihtuu epäderivoituvuuskohdassa kasvavasta laskevaksi
tai päinvastoin. CND-funktio on rakenteeltaan ”sahalaitainen”, eli se ei voi olla monotoninen. On syytä tuoda esille, että Weierstrassin funktio ei ole ainoa
CND-funktio. Muita vastaavia funktioita voidaan esitellä opiskelijoille lyhyesti ja tarkastella samalla, kuinka näiden kaikkien rakenne on ”sahalaitainen”. Esimerkkejä löytyy esimerkiksi lähteistä Thim (2003) ja
Heiskanen (2006).
Lukion oppikirjoissa ei mainita lainkaan erikoistapauksia, kuten CND-funktioita. Mielestäni tällaisten
erikoistapausten esitteleminen lukion pitkän matematiikan opiskelijoille selvittäisi jatkuvuuden ja derivoi-
tuvuuden ominaisuuksia sekä niiden välistä yhteyttä.
Vaikka funktioita ei voida käydä tarkasti analyyttisesti läpi, niiden geometrinen tarkastelu auttaisi käsitteiden hahmottamisessa. Jos opiskelija tietäisi, että
on olemassa funktioita, jotka ovat kaikkialla jatkuvia
mutta eivät ole missään derivoituvia, ja ymmärtäisi,
millaisia ne ovat rakenteeltaan, olisi hänellä jo varsin
paljon tietoa käsitteistä jatkuvuus ja derivoituvuus
Viitteet:
Gaul, R. & Kim, N. 2002. How Many continuous Nowhere Differentiable
Functions Are There? Nebraskan yliopisto: Mathematics Awareness Month. http://www.unomaha.edu/wwwmath/MAM/2002/Poster02/Contnondiff.pdf
(11.11.2006).
Heiskanen, P. 2005. Derivaatta antiikista nykyaikaan. Matematiikan LuK-tutkielma, Jyväskylän yliopisto: Matematiikan ja
tilastotieteen laitos. http://personal.inet.fi/koti/paavoheiskanen/opiskelu/luk.pdf
(12.11.2006).
Heiskanen, P. 2006. Jatkuvuus- ja derivoituvuus-käsitteet lukion pitkässä matematiikassa. Matematiikan pro gradu -työ,
Jyväskylän yliopisto: Matematiikan ja tilastotieteen laitos.
http://personal.inet.fi/koti/paavoheiskanen/opiskelu/gradu.pdf (11.11.2006).
Tall, D. 2002. Using Technology to Support an Embodied Approach
to Learning Concepts in Mathematics. Teoksessa Carvalho,
L.M. & Guimarães, L.C.: História e Tecnologia no Ensino da
Matemática, vol. 1, pp. 1-28, Rio de Janeiro, Brasil. Saatavana
sähköisenä: http://www.warwick.ac.uk/staff/David.Tall/pdfs/dot2003a-rio-plenary.pdf
(11.11.2006).
Thim, J. 2003. Continuous Nowhere Differentiable Functions. Master
Thesis, Luleå tekniska universitet. www.ludd.luth.se/~ivileel/master_thesis.pdf
(11.11.2006).
eDimensio 5