jurnal 1 fractal Art of Circle oleh Cecep Lasmana

1. “Art of Circle”
U1 U2 U3
Tugas anda lakukan pengamatan dari gambar diatas untuk menyelesaikan persoalan dibawah ini !
1. Nyatakan Un sebagai banyaknya lingkaran di setiap gambar ke-n.
2. Nyatakan Sn sebagai jumlah seluruh lingkaran gambar ke-n.
3. Buktikan kebenaran Un dan Sn dengan menggunakan induksi matematika.

2. Solusi:
1. Menentukan pola Un
𝑈1 = 8
𝑈2 = 27
𝑈3 = 46
Maka, pola untuk deret tersebut adalah
8 27 64 𝑎. 𝑛 + 𝑏
19 19 𝑎. 𝑛0
+ 𝑏
𝑈𝑛 = 𝑎. 𝑛 + 𝑏
8 = 𝑎 + 𝑏
27 = 2𝑎 + 𝑏
64 = 3𝑎 + 𝑏
Eliminasi persamaan 1 dan 2
27 = 2𝑎 + 𝑏
8 = 𝑎 + 𝑏
19 = 𝑎
−
Substitusi ke persamaan 1
8 = 𝑎 + 𝑏
8 = (19)+ 𝑏
𝑏 = 8 − 19
𝑏 = −11
Diperoleh untuk 𝑎 = 19 ; 𝑏 = −11
Maka, dapat disimpulkan rumus Un untuk deret diatas adalah
𝑈𝑛 = 19𝑛 − 11
2. Menentukan pola Sn
𝑆1 = 8
𝑆2 = 35

3. 𝑆3 = 81
Maka pola Sn untuk deret tersebut adalah
𝑆𝑛 =
𝑛
2
(𝑎 + 𝑈𝑛)
𝑆𝑛 =
𝑛
2
(8 + 19𝑛 − 11)
𝑆𝑛 =
8𝑛 + 19𝑛2
− 11𝑛
2
𝑆𝑛 =
19𝑛2
− 3𝑛
2
3. Pembuktian Un dan Sn dengan induksi matematika
8 + 27 + 46 + .. . . + 19𝑛 − 11 =
19𝑛2
−3𝑛
2
, untuk setiap bilangan asli n. Benarkah pernyataan tersebut ?
Jawab :
Untuk menjawab pertanyaan tersebut kita dapat mensubstitusikan n dalam pernyataan tadi dengan n bilangan asli.
- Jika n = 1 maka 8 =
19(1)2
−3(1)
2
, diperoleh jawaban yang benar.
- Jika n = 2 maka, 8 + 27 =
19(2)2
−3(2)
2
diperoleh jawaban yang benar.
- Jika n = 3 maka, 8 + 27 + 46 =
19(3)2
−3(3)
2
diperoleh jawaban yang benar.
Sekarang kita akan menerapkan langkah-langkah pembuktian dengan induksi matematika untuk membuktikan :
8 + 27 + 46 + ... . + 19𝑛 − 11 =
19𝑛2
− 3𝑛
2
Bukti :

4. 1) Misalkan p(n) menyatakan 8 + 27 + 46 + .. . . + 19𝑛 − 11 =
19𝑛2
−3𝑛
2
p(1) adalah 8 =
19(1)2
−3(1)
2
, pernyataan benar
2) Diasumsikan bahwa p(k) benar untuk suatu bilangan asli k, yaitu :
8 + 27 + 46 + .. . . + 19𝑘 − 11 =
19𝑘2
−3𝑘
2
, pernyataan benar
Selanjutnya harus ditunjukkan bahwa p(k + 1) benar, yaitu :
8 + 27 + 46 + .. . . + 19(𝑘+ 1) − 11 =
(19(𝑘 + 1)2
− 3(𝑘 + 1))
2
=
19( 𝑘2+ 2𝑘 + 1) − 3𝑘 − 3
2
=
19𝑘2
+ 38𝑘 + 19 − 3𝑘 − 3
2
=
19𝑘2
+ 35𝑘 + 16
2
Hal ini ditunjukkan sebagai berikut :
8 + 27 + 46 + … .+ 19𝑘 − 11+ 19( 𝑘 + 1) − 11 = (8 + 27 + 46 + .. . . + 19𝑘 – 11) + 19(𝑘 + 1) − 11
=
19𝑘2
− 3𝑘
2
+ 19(𝑘+ 1) − 11
=
19𝑘2
− 3𝑘
2
+ 19𝑘 + 19 − 11
=
19𝑘2
− 3𝑘
2
+ 19𝑘 + 8
=
19𝑘2
− 3𝑘 + 38𝑘 + 16
2
=
19𝑘2
+ 35𝑘 + 16
2

5. Ternyata untuk 8 + 27 + 46 + … . + 19𝑘 − 11 + 19( 𝑘 + 1)– 11 =
19( 𝑘+1)2
−3( 𝑘+1)
2
untuk 𝑝(𝑘 +
1) pernyataannya benar.
Sehingga p(n) benar untuk setiap bilangan asli n.