BARISAN BILANGAN

1. A. PENGERTIAN BARISAN BILANGAN
Barisan bilangan adalah bilangan-bilangan
yang diurutkan dengan pola dan aturan
tertentu.
Contoh barisan Bilangan :
1. 2, 4, 6, 8, .........
2. 3, 8, 13, 18, .........
3. 10, 7, 4, 1, .........
4. 4, 5, 7, 10, 14 , .....

2. Bilangan-bilangan yang membentuk
barisan disebut “Suku”
Misalnya :
Pada barisan 3, 8, 13, 18, .........
Suku pertama = suku ke-1= U1 = 3 , Suku
ke-2 = U2 = 8 , suku ke-3 = U3 = 13 , dan
seterusnya.
Pada setiap barisan bilangan :
Bilangan ke-n = Suku ke-n = Un

3. B. BARISAN ARITMETIKA
Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan dengan
pola penambahan bilangan tetap kepada satu suku
untuk mendapatkan suku berikutnya.
Contoh :
- Barisan Aritmetika :
1. 1, 6, 11, 16, 21, ............ (Penambahnya selalu 5 untuk
mendapat bilangan berikutnya)
2. 7 , 5 , 3 , 1 , -1, ............. (penambahnya selalu -2 (negatif 2)
untuk mendapat bilangan berikutnya)
3. 2 , 4 , 6 , 8 , .................. (penambahnya tetap , yaitu 2)
dsb

4. - Barisan bilangan yang bukan barisan
Aritmetika :
1. 1 , 4 , 9 , 16 , ....
2. 1 , 3 , 6 , 10 , .....
3. 1 , 2 , 4 , 8 , 16 , .......
dsb

5. Contoh 1 :
Diketahui barisan aritmetika :
2 , … , … , … , 34 , 42.
Bilangan ke : 1 2 3 4 5 6
a. Tentukanlah bilangan penambah tetap barisan itu!
b. Lengkapi barisan tersebut !
Jawab :
a. Penambah tetap =
Penambah tetap = 42 – 34 = 8 atau
b. 2 , 10 , 18 , 26 , 34 , 42 .
=
−
−
15
234
8
4
32
= atau
=
−
−
16
242
8
5
40
=

6. Contoh 2 :
Diketahui barisan Aritmetika : a , 9 , 13 , 17 , k , …
Tentukan nilai a dan k !
Jawab :
Penambah tetap = 13 – 9 = 4
Maka : (i) bilangan Pertama = a = 9 – 4 = 5
(ii) k = 17 + 4 = 21
Contoh 3 :
Diketahui Barisan Aritmetika , bilangan pertama = a
,
penambah tetapnya = b. Jika a = 10 dan b = 7 ,
tuliskanlah barisan tersebut sampai bilangan ke-5!

7. Jawaban Contoh 3 :
Dik. : Bilangan pertama = a = 10
Penambah tetap = b = 7
Dit. : Barisan Bilangan sampai bilangan ke-5
Jawab :
Barisan Bilangan itu : 10 , 17 , 24 , 31 , 38, …..
Catatan :
Pada Barisan Aritmetika :
Bilangan pertama disebut suku ke-1 = U1 ,
Bilangan Ke-2 = Suku ke-2 = U2 ,
Bilangan Ke-3 = Suku ke-3 = U3 , dan seterusnya
Penambah tetap disebut Beda atau b
U1 U2 U3 U4 U5
…..

8. (i). Menentukan Beda Atau Bilangan Penambah Tetap
Pada Barisan Aritmetika.
Keterangan : Up = Suku ke-p ,
Uq = suku ke-q
Up dan Uq adalah dua suku yang bebas kita
pilih dari barisan Aritmetika yang diketahui.
qp
UqUp
bBeda
−
−
==

9. Contoh :
Suatu barisan Aritmetika U1 = 2 dan U7 = 62.
a. Tentukan beda
b. Tunjukkan barisan bilangan itu.
Jawab :
a. Beda = b =
b. Barisan Aritmetika itu adalah : 2 , 12 , 22 , 32 , .........
10=
6
60
=
−
6
262−7U
1−
1
7
U
=

10. Diketahui suatu barisan aritmetika :
3 , 5 , 7 , 9 , 11 , …..
Tentukanlah :
a.U6
b.U10
c.U271
Jika kita menjawab pertanyaan c dengan cara
menjawab
soal a dan b , maka kita harus melengkapi barisan itu
sampai suku ke-271.
Untuk soal c , kita dapat menjawabnya dengan cepat
dan mudah , yaitu dengan menggunakan suatu
rumus.
Jawab :
a. U6 = 13
b. U10 = 21
c. U271 = ….?

11. Diktahui Barisan Aritmetika : 3 , 5 , 7 , 9 , 11 , .... , maka :
1. U1 = 3
2. beda = b = 2
3. a. U1 = 3 = 3+0 U1 = U1+ ( 0 )x2 U1 = U1 + (1–1) x b
b. U2 = 5 = 3+( 2 ) U2 = U1+ ( 1 )x2 U2 = U1 + (2–1) x b
c. U3 = 7 = 3+(2+2) U3 = U1+ ( 2 )x2 U3 = U1 + (3–1) x b
d. U4 = 9 = 3+(2+2+2) U4 = U1+ ( 3 )x2 U4 = U1 + (4–1) x b
e. U5 = 11= 3+(2+2+2+2) U5 = U1+ ( 4 )x2 U5 = U1 + (5–1) x b
Suku ke-n (bilangan ke n ) Un = U1 + (n–1) x b
Kesimpulan :
Untuk setiap barisan bilangan Aritmetika dengan Suku ke-1 =
U1 ,
beda = b , dan Un = Suku ke-n , maka untuk menentukan Suku
keberapapun dapat digunakan Rumus :
Misalnya :
Pada Barisan Aritmetika di atas = U271 = 3 + (271-1)2 = 3 + 270.2 = 543
Un = U1 + (n – 1)b
0 didapat dengan 1–1

12. (iii) Bentuk Umum Barisan Aritmetika adalah :
Dengan catatan :
a = Suku ke-1 = U1
b = beda = bilangan penambah tetap.
Un = suku ke-n , dimana n dapat diganti dengan bilangan
asli , sesuai dengan keperluan.
U1 , U1 +b , U1 +2b , U1 +3b , …….
U1 , U2 , U3 , U4 , …….

13. Contoh 1 :
Diketahui pada barisan aritmetika beda = 7
dan U1 = a = 34. Tentukanlah U21 !
Penyelesaian :
Dik. : b = 7 dan a = 34
Dit. : U21 = …?
Jawab :
Un = a + (n – 1)b
U21 = 34 + (21 – 1)7
= 34 + 20. 7
= 34 + 140
= 174

14. Contoh 2 :
Diketahui barisan
Aritmetika
Dengan U9 = U1 + 28.
Tentukanlah bedanya!
Penyelesaian :
Dik. : U9 = U1 + 28
Dit. : b = … ?
Jawab :
Menurut Rumus
Un = a + (n – 1)b
U9 = U1 + (9 – 1)b
U9 = U1 + 8b …. (1)
Menurut Soal :
U9 = U1 + 28 …. (2)
Maka :
U9 menurut Rumus = U9
menurut soal , yaitu :
U1 + 8b = U1 + 28
↔ 8b = 28
↔ b =
↔ b = 3,5
Jadi beda = 3,5
28
8

15. Contoh 3 :
Suatu barisan aritmetika
diketahui U8 = 38 dan U20 =
2
Tentukanlah : a. Beda
b. U1
Penyelesaian :
Dik. : U8 = 38 dan U20 = 2
Dit. : a. b = …?
b. U1 = …?
Jawab :
a. b =
b = =
b =
b = – 3
b. Un = U1 + (n – 1)b
U8 = U1 + (8 – 1) (–
3)
38 = U1 + 7.(–3)
38 = U1 + (–21)
38 = U1 – 21
U1 = 38 + 21
U1 = 59
Up – Uq
p – q
U20 – U8
20 – 8
2 – 38
20 – 8
– 36
12

16. Dari rumus Un = U1 + (n-1)b dapat diturunkan
rumus yang lebih singkat sesuai dengan barisan
Aritmetika yang diberikan.
Contoh :
1. Diketahui barisan aritmetika : 1 , 4 , 7, 10 , ......
Tentukanlah :
a. Rumus Un barisan tersebut
b. Suku ke-25

17. a. Un = U1 + (n – 1)b
Dari barisan aritmetika : 1,4,7,10, …. didapat :
a = U1 =
U
Jadi Rumus Un yang lebih singkat untuk
barisan itu adalah : Un = 3n - 2
qp
UqUp
b
−
−
= =
4
U
2
410−
=
U
2
4 2
==
2
6
1
=
1(= n )n + 3
3n
= −3n
1 +
2
3
1
3

18. b. Cara pertama :
Un = 3n – 2
U
Cara ke dua :
Un = a + (n – 1)b
U25 = 1 +(25 –1)3 = 1+24.3 = 1 +
72 = 73
Jadi U25 = 73
75=
=
73
25 25
=
3. 2
2

19. Catatan :
(i). Perhatikan bahwa Rumus : Un = U1 + (n – 1)b
berlaku untuk semua barisan Aritmetika.
(ii). Sedangkan Rumus : Un = 3n – 2 hanya
berlaku khusus untuk barisan 1, 4, 7, 10 , .....
(iii). Setiap Barisan Aritmetika dapat dibuat rumus
Singkatnya dengan menggunakan rumus
Un = U1 + (n – 1)b .

20. 2. Suatu barisan Aritmetika U1 = 5 dan U9 = 61.
Tentukanlah :
a. Rumus Un
b. U10
Jawab :
a. Un = U1 + (n-1)b
Un = 5 +(n-1)7
= 5+ 7n – 7
Un = 7n -2
b. Un = U1 +(n-1)b atau Un = 7n –2
U10 = 5 + (10-1)7 U10 = 7.10-2
= 5 + 9.7 = 70-2
= 68 = 68
19
UU
b 19
−
−
= 7
8
56
8
561
==
−
=

21. 3. Diketahui barisan Aritmetika
dengan
rumus Un = 6n + 1 , tentukanlah :
a. Beda b. U1 c. U19
Jawab :
a. Un = 6n + 1 , maka beda = b = 6
b. U1 = 6 x1 + 1 = 7
c. U19 = 6 x 19 + 1 = 114 + 1 = 115

22. 4. Rumus Un suatu barisan aritmetika adalah :
Un = 15 – 3n.
a. Tentukan beda b. Tunjukkan Barisan
itu!
Jawab :
a. Un = 15 – 3n = –3n + 15 , maka
beda = b = –3
b. U1 = 15 – (3x1) =
U2 = 15 – (3x2) =
U3 = 15 – (3x3) =
.............dan seterusnya
Maka barisan Aritmetika itu adalah :

23. 5. Diketahui barisan aritmetika dengan Un = pn + q.
Jika U2 = 19 dan U5 = 49.
a. Tentukanlah p dan q!
b. Kemudian tunjukkan barisan itu!
Jawab :
a. p = b =
Un = pn + q
U2 = p.2 + q
U2 = 10.2 + q
U2 = 20 + q
↔ 20 + q = 19
↔ q = 19 – 20 = - 1
25
UU 25
−
−
3
1949 −
= 10
3
30
==
Jadi :
p = 10
q = -1

24. b. Diketahui bahwa Un = pn + q , sudah
didapat nilai p = 10 dan q = -1 ,
maka Un = 10n + (-1) atau
Un = 10n – 1
Jadi : U1 = 10.1 – 1 = 10 – 1 = 9
U2 = 10.2 – 1 = 20 – 1 = 19
U3 = 10.3 – 1 = 30 – 1 = 29
dst
Barisan tersebut : 9 , 19 , 29 , …

25. Beberapa Rumus Singkat Un ( Suku ke-n) Suatu Barisan
Bilangan Yang Penting.
a. Barisan Bilangan yang termasuk Barisan Aritmetika :
1. Barisan Bilangan Ganjil : 1 , 3 , 5 , 7 , ...... : maka Un = 2n – 1
2. Barisan Bilangan Genap : 2 , 4 , 6 , 8 , ...... : maka Un = 2n
3. Barisan Bilangan Asli : 1 , 2 , 3 , 4 , ..... : maka Un = n
4. Barisan Bilangan Cacah : 0 , 1 , 2 , 3 , ...... : maka Un = n – 1
b. Barisan Bilangan yang Bukan Barisan Aritmetika :
1. Barisan Bilangan Persegi : 1 , 4 , 9 , 16 , ... : maka Un = n2
2. Barisan Bilangan Segitiga : 1 , 3 , 6 , 10 , … : maka Un =
3. Barisan Bil. Persegipanjang : 2 , 6 , 12 , 20 , ... : maka Un = n(n + 1)
1
2
n(n+1)
……
……
……
……

26. Perhatikan dua barisan bilangan berikut :
1. 3 , 7 , 11 , ….......
2. 3 , 12 , 48 , ...........
Perbedaan barisan bilangan tersebut adalah :
No. 1 : Selalu ditambah 4 (beda = 4)
Merupakan Barisan Aritmetika.
No. 2 : Selalu dikali 4
Merupakan Barisan Geometri.
Barisan Geometri tersebut dapat dilanjutkan, seperti berikut :
3 , 12 , 48 , 192 , 768 , …..
x 4 x 4 x 4 x 4 Pengali Tetap = 4
Barisan Aritmetika
Barisan Geometri

27. * Pada setiap Barisan Geometri Bilangan Pengali
tetap , disebut RASIO atau disingkat r
* Rasio = r =
perbandingan / Pembagian antara dua suku
yang berurutan.
Contoh :
Pada barisan : 2 , 6 , 18 , 54 , ..........
Rasio = r =
, …. dst , yaitu :U2
U1
U4
U3
U3
U2
= =
= 3
6
2
54
18
18
6= =

28. Contoh :
1. Sebutkan nama jenis barisan bilangan berikut!
a. 1 , 3 , 5 , ....... b. 1 , 2 , 4 , 8 , ....
c. 1 , 2 , 5 , 10 , .....
Jawab :
a. Barisan Aritmetika
b. Barisan Geometri
c. Barisan sembarang (Bukan Barisan
Aritmetika dan bukan pula barisan Geometri)

29. 2. Tentukan rasio barisan geometri berikut ini!
a. 5 , 10 , 20 , ...... b. 1, -2 , 4 , -8 , .......
c. U5 = 256 dan U6 = 64
Jawab :
a. U1 = 5 dan U2 = 10
Maka 5 x r = 10
r = 10 : 5 = 2 , jadi Rasio = r = 2
b. U1 = 1 dan U2 = –2
Maka r = U2 : U1 = –2 : 1 = –2
c. U5 = 256 dan U6 = 64
Maka r =
U6
U5
64
256
1
4
==

30. 3. Pada barisan geometri U2 = 15 dan U4 = 375.
a. Tentukan r
b. U1
c. Tunjukkan barisan tersebut!
Jawab :
a. U2 = 15 dan
U4 = 375
Dari U2sampai U4 kita mengalikan r sebanyak 2 kali , maka :
↔ r2
= 375 : 15 = 25 , Jadi : r2
= 25
Maka : r = √25 = 5
b. U2 = U1 x r = 15 , maka :
U1 = U2 : r = 15 : 5 = 3 , jadi U1 = 3
c. Barisan itu adalah : 3 , 15 , 75 , 375 , …..

31. (i). Rumus menentukan rasio dari suku tidak berurutan.
Jika pada barisan geometri U11= 21 dan U17 = 1344 , tentukanlah r !
Jawabannya dapat diperoleh dengan cara berikut :
1344
21
Maka pada soal di atas didapat :
U17
U11
r17
r11
= atau =
r17
r11
U17
U11
r17- 11
==
r17
r11
U17
U11
64r6
=
r = = 2
Jadi Rasio = r = 2
64
6

32. Diketahui barisan Geometri dengan U2 = -12 dan U5= 324.
a. Tentukan rasio b. Berapakah U11 ?
Jawab :
a. =
r5
r2
324
-12
- 27
Jadi :
Rasio adalah r = -3
=
r6
r2
U6
U2
r3
= - 27
Bagaimana cara menentukan jawaban b?
Kita akan temukan rumusnya melalui LKS !
r 5 - 2
=
b. U11 = 236.196
r = = -3-27
3

33. Diketahui Barisan Geometri : 2 , 6 , 18 , 54 , 162 , ...... , maka :
1. Bilangan pertama = U1 = 2
2. Pengali = rasio = r = 3
3. a. U1 = 2 = 2 x (1) U1 = U1x (30
) U1 = U1 x ( r1 –1
)
b. U2 = 6 = 2 x (3) U2 = U1x (31
) U2 = U1 x ( r2 –1
)
c. U3 = 18 = 2 x (3x3) U3 = U1x (32
) U3 = U1 x ( r3 –1
)
d. U4 = 54 = 2 x (3x3x3) U4 = U1x (33
) U4 = U1 x ( r4 –1
)
e. U5 = 162 = 2 x (3x3x3x3) U5 = U1x (34
) U5 = U1 x ( r5–1
)
Suku ke-n (bilangan ke n ) Un = U1 x ( rn –1
)
Kesimpulan :
Untuk setiap barisan Bilangan Geometri dengan Suku ke-1 = U1 ,
rasio = r , dan Un = Suku ke-n , maka untuk menentukan Suku
keberapapun dapat digunakan Rumus :
Misalnya :
Pada Barisan Geometri di atas suku ke-7 = U7 = 2 x 37-1
= 1458
Un = U1 x rn – 1

34. Barisan Geometri :
U1 , U1r , U1r2
, U1r3
, U1r4
, …… , U1rn-1
a = U1
U2= U1r
U3= U2 r
U4= U3 r
U5= U4 r Un= arn-1
U1 ar1
= ar0
= = a- 1
U2 ar2
= ar1
= = ar- 1
U3 ar3
= ar2
=- 1
U4 ar4
= ar3
=
- 1
U5 ar5
= ar4
=- 1
Un arn
= - 1
…………………………