FONKSİYONLARIN LİMİTİ

3. LİMİTTE BELİRSİZLİK
DURUMLARI
0
BELİRSİZLİĞİ
0
Trigonometrik Fonksiyonların Limiti
∞
BELİRSİZLİĞİ
∞
∞ − ∞ BELİRSİZLİĞİ
0.∞ BELİRSİZLİĞİ

4. Limit hesaplamalarında karşılaşılan 0 , ∞, ∞−∞ 0.∞ 0 0 , ∞0 ve1∞
, ,
0 ∞
biçimindeki ifadelere belirsiz
0 ∞
ifadeler denir. Bu bölümde , , ∞ ∞ 0.∞
− ve
0 ∞
belirsizliklerini inceleyeceğiz.
0
BELİRSİZLİĞİ
0
Bu belirsizlik halini şöyle açıklayabiliriz:
0 0 Bölme işlemi yapılınca, bölüme her reel sayı
yazılabilir.

5. f ( x) lim f ( x )
lim
x→a g ( x)
= x→a
lim g ( x )
Limiti hesaplanırken;
x→a
0
lim f ( x) = 0 ve lim g ( x) = 0 ise
x→a x→a 0
belirsizliği oluşur. Bu durumda f(x) ve g(x) ifadeleri, (x-a)
çarpanına sahiptir. Yani f (x) = (x-a).f1 (x) ve g(x) = (x-a). g1 (x)
olacağından,
f ( x) ( x − a ). f1 ( x) f1 ( x)
lim = lim = lim
x→a g ( x) x → a ( x − a ).g ( x ) x→a g ( x)
1 1
0
olur. Bu limitte yine belirsizliği varsa, aynı işlemler tekrar edilir.
0

6. ÖRNEK:
x − 4x + 4
2
lim 2 değerini bulalım.
x→2 x − 5 x + 6
ÇÖZÜM:
x − 4 x + 4 2 − 4.2 + 4 4 − 8 + 4 0
2 2
lim 2 = 2 = =
x→2 x − 5 x + 6 2 − 5.2 + 6 4 − 10 + 6 0
⇒ lim
( x − 2) = lim x − 2 = 0 = 0
2
x → 2 ( x − 2 )( x − 3) x→2 x − 3 −1

7. TRİGONOMETRİK
FONKSİYONLARIN LİMİTİ
Teorem: a ∈ R olmak üzere:
1. lim sin x = sin a dır.
x→ a
2. lim cos x = cos a dır
x→ a
3. lim sin x = 1 dir.
x→ a x

8. İSPAT: Bir çemberde 1'in ve 2'nin doğruluğu kolayca görülebilir.
Biz 3'ün ispatını yapalım. Şekildeki orijin merkezli birim
çemberde, AOP açısının ölçüsüne x radyan dersek; |PR| = sin x,
|OR|=cos x ve |AC| = tan x olur.
OPR üçgeninin alanı, OAP daire diliminin alanı, OAC
üçgeninin alanı arasındaki sıralama;
A(OPR) < A(OAP) < A(OAC)
1 2 x 1
sin x. cos x < π .1 . < .1. tan x
2 2π 2
sin x. cos x < x < tan x olur.

9. y
B(0,1) C
P tan x
1
sin x
x A(1,0)
x
O cos x

10. i. x → 0 + için sin x > 0’dır. Eşitsizliğinin her üç yanını sin x ile
x 1
bölelim: cos x > > olur. Her üç tarafın limitini
alalım. sin x cos x
x 1
lim cos x ≤ lim ≤ lim
x →0 +
x → 0 sin x
+
x → 0 + cos x
x x
1 ≤ lim+ ≤1 ise; lim+ =1 bulunur.
x →0 sin x x →0 sin x

11. −
ii. x→0 için, sin x < 0’dır. Eşitsizliğin her üç yanını sin x’e
x 1
bölelim: cos x > > olur. Her üç tarafın
limitini sin x cos x
alalım:
x 1
lim cos x ≥ lim ≥ lim
x →0 −
x →0 sin x
−
x →0 − cos x
x x
1 ≥ lim− ≥1 ise; lim− =1
x →0 sin x x →0 sin x

12. x
Soldan ve sağdan limitler eşit olduğu için; lim = 1 olur.
x →0 sin x
sin x
lim = 1 olduğunu gösterelim:
x →0 x
sin x 1 1 1
lim = lim = = =1 bulunur.
x →0 x x →0 x x 1
lim
sin x x →0 sin x

13. SONUÇLAR:
sin x a tan ax a
1. lim = 2. lim =
x →0 bx b x →0 bx b
sin ax a tan ax a
3. lim = ve lim =
x →0 sin bx b x →0 tan bx b
sin ax a tan ax a
4. lim = ve lim =
x →0 tan bx b x →0 sin bx b

14. ∞
BELİRSİZLİĞİ
∞
∞
un belirsizliğini şöyle açıklayabiliriz:
∞
1
∞ ∞ şeklinde yazarsak; 0
= belirsizliğine dönüşür.
∞ 1 0
∞
∞
Bunun için da belirsiz bir ifadedir.
∞

15. f ( x) = a x + a x + ... + a
n
n
n −1
n −1
0
g ( x) = b x + b x + ... + b
m
m
m −1
m −1
0
Birer polinom fonksiyonu olduğuna göre;
lim f ( x) =  ∞ ve lim g ( x ) =  ∞
x→ ∞
ise;
x→ ∞
f ( x) +∞ −∞ +∞ −∞
lim limitinin hesabında , , ,
g ( x)
x → ∞
+∞ +∞ −∞ −∞
belirsizliklerinden biri ile karşılaşılır.bu durumda
∞ belirsizliği vardır, denir.
∞

16. Bu belirsizliği yok etmek için, pay ve paydan yüksek
dereceli x parantezine alınıp, kısaltmalar yapılarak limit
hesabına geçilir.
 
n
1
x a + a + ... + a  
n

 x
n −1
f ( x) ax
n 0
 =
n
lim = lim lim
n
 
m
g ( x)
x → ∞ x→ ∞
1 bx
x→ ∞ m
x b + b + ... + b  
m

m
 x
m m −1 0
Bu durumda;
 
 an , m = n ise
 bm
f ( x) a x n
 , m > n ise
= lim n m = 
lim g ( x) x→∞ bm x 0
x →∞ ∞veya − ∞ , m < n ise olur.



17. Örnek:
x 4 + 5x
lim 2 − x 3 = ?
x → +∞
Çözüm:
x 4 − 5 x ( + ∞ ) + 5( + ∞ ) + ∞
4
lim 2 − x 3 = 2 − ( + ∞ ) 3 = − ∞
x → +∞
Belirsizliği bulunur. Bu
durumda;
 5  5
x 1 + 3 
4
x ⋅ 1 + 3 
x − 5x
4
 x =  x 
lim 2 − x3 = lim 3  2  lim  2 
x → +∞ x → +∞
x  3 − 1 x→+∞  3 − 1
x  x 
=
( + ∞ )(1 + 0) = + ∞ = −∞
( 0 − 1) −1

18. ∞ - ∞ BELİRSİZLİĞİ
∞ - un belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz:
∞ ları eşit düşünürsek sonuç 0, ilk ∞ u daha büyük düşünürsek
pozitif bir değer; ikinci ∞ u daha büyük kabul edersek sonuç negatif
bir değerdir. Bu durumda kesin bir şey söylenemediği için
∞ - ∞ belirsiz bir ifadedir.
lim ( f ( x) − g ( x)) = ∞ − ∞
x→a
ya da
lim ( f ( x) − g ( x)) = ∞ − ∞
x→ ∞
0 ∞
belirsizliği genellikle; ya da belirsizliklerinden birine
dönüşür. 0 ∞

19. ÖRNEK:
 2 1 
lim  x 2 − 1 − x − 1  değerini hesaplayalım,
x →1  
ÇÖZÜM:
 2 1  2 1 2 1
lim  x 2 − 1 − x − 1  = 12 − 1 − 1 − 1 = 0 − 0 = ∞ − ∞
x →1  
belirsizliği
 2 1   2 − x −1   1− x  0
lim  x 2 − 1 − x − 1  = lim  ( x − 1)( x + 1)  = lim  ( x − 1)( x + 1)  = 0
x →1   x→1 
 
 x →1 
 

belirsizliğine dönüşür.
 1− x  −1 −1
lim  ( x − 1)( x + 1)  = lim x + 1 = 2 bulunur.

x →1 

 x →1

20. ÖZELLİK
a > 0 olmak üzere;
b
lim ax + bx + c = a . lim ± x +
2
dır.
x → ±∞ x → ±∞ 2a

21. 0.∞ BELİRSİZLİĞİ
0.∞un belirsiz olduğunu şöyle açıklayabiliriz: Sıfır çarpma
işleminin yutan elemanı olduğunadan,çarpma işlemini buna göre
yaparsak ; 0.∞ = 0 ∞
olur. Çarpma işlemini a göre yaparsak;
∞.0 = ∞ olur. Buna göre çarpma işleminin sonucu sıfır mıdır;
∞.0
sonsuz mudur? Kesin bir şey söyleyemediğimiz için işleminin
sonucu belirsizdir.
lim ( f ( x).g ( x)) = 0.∞
x →a
veya lim ( f ( x).g ( x)) = 0.∞
x → ±∞

22. lim ( f ( x).g ( x)) = 0.∞
x →a
veya lim ( f ( x).g ( x)) = 0.∞
x → ±∞
belirsizliğinin oluşması durumuında;
f ( x) 0
lim ( f ( x).g ( x)) = lim
x→a x→a 1
=
0
veya
g ( x)
g ( x) ∞
lim ( f ( x).g ( x)) = lim
x →a x→a 1
= biçimine dönüştürülerek
∞ limit hesabı yapılır.
f ( x)
Not: x → ±∞ olması durumunda da aynı işlem yapılır.

23. Örnek:
1
lim x + 4 ⋅ ( 3x + 1) = ?
x →∞
Çözüm:
1
lim x + 4 ⋅ ( 3x + 1) = 0 ⋅ ∞ belirsizliği vardır.
x →∞
3x + 1 ∞
lim x + 4 = ∞ belirsizşliğine dönüştürülür.
x →∞
3x + 1
lim x + 4 = 3 olarak bulunur.
x →∞

24. Örnek:
x 4
lim  2 ⋅ sin x  = ?
x → +∞  
Çözüm:
x 4 +∞ 4
lim  2 ⋅ sin x  = 2 ⋅ sin + ∞ = ∞ ⋅ sin 0 = 0 ⋅ ∞ belirsizliği vardır.
x → +∞  
4
sin
x = 0 belirsizliğine x → +∞ için 1
lim 2 0 dönüşür. → 0 olduğundan;
x → +∞ x
x
4 4
sin sin
x = x ⋅ 2 =1 ⋅ 2 = 2 bulunur.
lim 2
x→ ∞
+
lim 4
1
→0
x 2
x

25. Örnek: lim (π − 2 x ) ⋅ tan 3x = ?
π
+
 
x → 
2
Çözüm:
lim (π − 2 x ) ⋅ tan 3x = 0 ⋅ ∞ belirsizliği vardır. π - 2x = h diyelim.
+
π 
x → 
2
π h π
x= − olur. x→ iken h → 0 dır.Değerleri yerine yazalım:
2 2 2
  π h   3π 3h 
lim+ (π − 2 x ) tan 3x = lim h. tan 3 ⋅  2 − 2  = lim h. tan 2 − 2 
h→0     h →0  
π 
x → 
2
 π 3h  3h h 0
= lim h. tan −  = lim h. cot = lim = belirsizliğine
h →0  2 2  h →0 2 h →0 3h 0
tan dönüşür.
3h 2
2 ⋅ 2 = 1⋅ 2 = 2
lim 3h 3 3 3 bulunur.
h →0
tan
2