Paraboloida adalah permukaan dengan irisan bidang sejajar koordinat tertentu berbentuk parabola. Terdapat dua jenis paraboloida, yaitu paraboloida eliptik dengan irisan berbentuk elips dan paraboloida hiperbolik dengan irisan berbentuk hiperbola. Kedua jenis paraboloida dapat didefinisikan dengan menggerakkan elips atau hiperbola pada bidang sejajar koordinat sesuai aturan tertentu.
Beginners Guide to TikTok for Search - Rachel Pearson - We are Tilt __ Bright...
Final gar fiks
1. Nama : Marhamah
Nim : 180101040632
Mata Kuliah : Geometri Analitik Ruang
Dosen : Aziz Muslim, M.Pd
2. PARABOLOIDA
Paraboloida adalah suatu permukaan yang mempunyai irisan
dengan bidang yang sejajar koordinat tertentu berupa parabola
Paraboloida terbagi menjadi 2, yaitu:
1. Paraboloida Eliptik
2. Paraboloida Hiperbolik
3. PARABOLOIDA ELIPTIK
Paraboloida eliptik adalah
suatu permukaan yang
dapat diletakkan
sedemikian rupa sehingga
irisannya yang sejajar
idang koordinat lainnya
berbentuk parabola
Elips yang terletak pada bidang XOY digerak
kan dengan aturan:
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang
XOY
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada
parabola yang terletak pada bidang X
OZ
4. Elips tetap sebangun dengan elips yang
digerakkan.
4. PARABOLOIDA ELIPTIK
Misalkan ellips pada bidang XOY yang diberikan, yaitu:
Z =0
𝑥2
𝑎2+
𝑦2
𝑏2=1
Digerakkan pada bidang z= 𝜆
(𝑥0. 0, 𝜆)
y =0
𝑥2
= 2𝑝𝑧
𝑥 𝑜
𝑦0
=
𝑎
𝑏
𝑥 𝑜
2
𝑦0
2 =
𝑎2
𝑏2
𝑦0
2=
𝑏2
𝑎2 × 𝑥 𝑜
2
𝑦0
2
=
𝑏2
𝑎2 × 2𝑝𝑧
6. Contoh soal
Diberikan ellips dengan persamaan z=0,
𝑥2
25
+
𝑦2
16
=1 dan parabola dengan persamaan x=0, 𝑦2 =
16𝑧
Tentukan luasan yang terjadi bila ellips tersebut digerakkan dengan aturan:
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola yang terletak pada bidang YOZ.
4. ellips tetap sebangun dengan ellips yang digerakkan
Penyelesaian:
z=0
𝑥2
25
+
𝑦2
16
=1
𝑥 𝑜
𝑦0
=
𝑎
𝑏
𝑥 𝑜
𝑦0
=
5
4
atau
𝑥 𝑜
2
𝑦0
2 =
25
16
9. PARABOLOIDA HIPERBOLIK
Paraboloida hiperbolik adalah
suatu permukaan yang dapat
diletakan sedemikian rupa
sehingga irisannya dengan
bidang yang sejajar dengan
salah satu bidang koordinat
berbentuk hiperbola dan irisan
dengan bidang koordinat
berbentuk parabola.
Keterangnan:
1. Irisan bidang yang sejajar bidang koordinat X
OY berbentuk hiperbola.
2. Irisan dengan bidang koordiant XOZ dan YOZ be
rbentuk parabola.
Misalkan hiperbola
Digerakkan pada bidang XOY
maka persamaannya:
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
Z= 0
Dan garis arahnya berupa
parabola pada bidang YOZ
dengan persamaan:
𝑦2
= 2𝑝𝑧
X=0
10. PARABOLOIDA HIPERBOLIK
Aturan menggerakkan hiperbola adalah sebagai berikut:
a. Bidangnya sejajar dengan bidang XOY
b. Titik pusatnya selalu terletak pada sumbu z
c. Hiperbolanya selalu sebangun dengan hiperbola semula
d. Titik puncaknya selalu terletak pada garis arah.
Luasan yang terjadi dapat ditentukan :
Hiperbola pada bidang xoy yang diberikan:
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
Z= 0
Digerakkan pada bidang z= 𝜆
((𝑥0. 0, 𝜆)
Sehingga terletak pada parabola :
y = 0
𝑥0
2 = 2𝑝𝜆
11. PARABOLOIDA HIPERBOLIK
𝑥 𝑜
𝑦0
=
𝑎
𝑏
𝑥 𝑜
2
𝑦0
2 =
𝑎2
𝑏2
𝑦0
2=
𝑏2
𝑎2 × 𝑥 𝑜
2
𝑦0
2
=
𝑏2
𝑎2 × 2𝑝𝜆
Jadi persamaan elipsnya yang terletak pada bidang z = a tersebut adalah
12. PARABOLOIDA HIPERBOLIK
Dengan mengeliminasi a pada persamaan tersebut diperoleh persamaan:
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 =
2𝑝
𝑎2 z
Contoh soal:
Diberikan hiperbolaa dengan persamaan:
𝑥2
9
−
𝑦2
16
= 1
Dan parabola dengan persamaan :
𝑦2= 8z
X =0
Digerakkan dengan aturan :
1. Bidangnya selalu sejajar dengan bidang XOY
2. Titik pusatnya tetap pada sumbu z
3. Dua dari puncaknya selalu terletak pada parabola pada bidang YOZ
4. Hiperbola tetap sebangun dengan hiperbola yang digerakkan
13. Penyelesaian
Misalkan hiperbola digerakkan pada bidang Z = 𝜆 dan terletak pada garis arah sehingga
𝑦0
2= 8z
Karena aturan 1,2, dan 4 maka terpenuhi :
𝑥 𝑜
𝑦0
=
3
4
atau
𝑥 𝑜
2
𝑦0
2 =
9
16
𝑥0
2
=
9
16
× 𝑦𝑜
2
𝑥0
2
=
9
16
× 8𝜆
jadi persamaan hiperbola yang terletak pada bidang Z = 𝜆 tersebut adalah:
𝑥2
𝑎2 −
𝑦2
𝑏2 = 1
𝑥2
9
16
×𝑦0
2
−
𝑦2
𝑦0
2 = 1
𝑥2
9
16
×8𝜆
−
𝑦2
8𝜆
=1
