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Expresiones algebraicas.
- 1. Álvarez A, Bianca G Doubront A, Carla B Sección: Ag0101 REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN SUPERIOR UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL ‘’ANDRÉS ELOY BLANCO’’ BARQUISIMETO, ESTADO LARA
- 2. Una expresión algebraica es una combinación de letras y números ligadas por los signos de las operaciones: adición, sustracción, multiplicación, división y potenciación No es más que la representación de una o varias operaciones o relaciones matemáticas 1) Suma o adición Es una operación que tiene por objeto reunir dos o más expresiones algebraicas (sumandos) en una sola expresión algebraica (suma). a) Suma entre Monomios La suma de monomios es otro monomio que tiene la misma parte literal y cuyo coeficiente es la suma de los coeficientes. axn + bxn = (a + b)xn Expresiones Algebraicas Ejemplos 1) 3𝑥 + 6𝑦 2) 𝑥2 − 5𝑥 + 3 3) 2𝑥𝑦+ 3 𝑦 𝑦−1 Ejemplos 1) El triple de la suma de a y c: 3(a + c) 2) El cubo de x, disminuido en 2: 𝑥3 - 2 Suma entre Monomios Ejemplos 1) 2x2 y3 z + 3x2 y3 z • 2x2 y3 z + 3x2 y3 z = (2 + 3)x2 y3 z = 5x2 y3 z 2) 4xy + 3xy − 5xy • 4xy + 3xy − 5xy =(4 + 3 – 5)xy = (7 – 5)xy = 2xy 3) Sumar: a – 3b ; 2b + 6d ; d • (a – 3b) + (2b + 6d) + d = a + (- 3b + 2b) + (6d +d) = a – b + 7d El doble de un número: 2x El triple de un número: 3x El cuarto de un número: 𝑥 4 Un número al cuadrado: 𝑥2 Un número impar: 2x + 1 Dos números consecutivos: x y x+1 Expresiones algebraicas comunes (2𝑥𝑦3 ) + −3𝑥𝑦3 = −𝑥𝑦3
- 3. b) Suma entre Polinomios Para sumar dos o más polinomios, se deben sumar los coeficientes de los términos cuya parte literal sean iguales La suma se puede hacer de dos formas distintas: en horizontal y en vertical. Suma Horizontal: Se escribe primero un polinomio y seguido en la misma línea se escribe el otro polinomio que vamos a sumar Suma Vertical: Se escribe el primer polinomio ordenado y después se escribe el siguiente polinomio (ordenado) debajo del anterior. Debe coincidir justo debajo el término semejante al de arriba. Después se suman cada columna 2) Resta o Sustracción Es una operación que consiste en encontrar la diferencia que hay entre dos términos. Al primer término se le denomina minuendo y al segundo término sustraendo. . Suma entre Polinomios Horizontal Ejemplos 1) Sumar: 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 ; −𝟑𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 (𝑥2 − 2𝑥) + (−3𝑥2 − 2𝑥 + 1) = 𝑥2 − 2𝑥 − 3𝑥2 − 2𝑥 + 1 = (𝑥2 − 3𝑥2 ) + (−2𝑥 −2𝑥) + 1 = −2𝑥2 − 4𝑥 + 1 2) Sumar: 𝒙𝟒 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝒙 + 𝟏 ; 𝒙𝟑 − 𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 − 𝟓 (𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 + 1) + (𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 5 = 𝑥4 − 3𝑥2 + 𝑥 + 1 + 𝑥3 − 𝑥2 + 2𝑥 − 5 = 𝑥4 + 𝑥3 + (− 3𝑥2 − 𝑥2 ) + (x + 2x) + (1 − 5) = 𝑥4 + 𝑥3 − 4𝑥2 + 3𝑥 − 4 Suma entre Polinomios Vertical Ejemplos 1) Sumar: 4𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟓 ; − 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟓𝒙 + 𝟏 4𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 + 5 − 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 + 1 4 − 1 𝑥3 + 2 − 3 𝑥2 + −1 + 5 𝑥 + 5 + 1 = 3𝑥3 − 𝑥2 + 4𝑥 + 6
- 4. a) Resta entre Monomios En la resta de monomios se escribe el minuendo con sus propios signos y el sustraendo con los signos cambiados y se resuelve aplicando las reglas de la suma de monomios b) Resta entre Polinomios La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo. Para luego reducir términos semejantes si los hay 3) Multiplicación o Producto Es la operación que consiste en tomar los dos factores y hallar una tercera cantidad llamada producto ab = c Producto Factores Para multiplicar expresiones algebraicas se deben seguir las propiedades de las potencias y la regla de los signos Para restar monomios es necesario que sean semejantes Resta entre Monomios Ejemplos 1) De 𝟖𝒙 restar 𝟔𝒙 (8x) – (6x) = 8x + ( – 6x) = (8 – 6)x = 2x 2) De - 11𝒙𝟑 𝒚𝟐 restar − 𝟒𝒙𝟑 𝒚𝟐 ( - 11𝑥3 𝑦2 ) – ( - 4𝑥3 𝑦2 ) = - 11𝑥3 𝑦2 + 4𝑥3 𝑦2 (- 11 + 4)𝑥3 𝑦2 = - 7𝑥3 𝑦2 Resta entre Polinomios Ejemplos 1) De 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 − 𝟑𝐱𝐲 restar −𝒚𝟐 + 𝟑𝒙𝟐 − 𝟒𝒙𝒚 (𝑥2 + 𝑦2 - 3xy) – ( −𝑦2 + 3𝑥2 − 4xy) = 𝑥2 + 𝑦2 − 3xy + 𝑦2 − 3𝑥2 + 4xy = (𝑥2 −3𝑥2 ) + (𝑦2 + 𝑦2 ) + (- 3xy + 4xy) = (1 – 3)𝑥2 + (1 + 1)𝑦2 + −3 + 4 𝑥𝑦 = −2𝑥2 + 2𝑦2 + xy 2) De 𝟐𝒙𝟑 + 𝟓𝐱 − 𝟑 restar 𝟐𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 + 𝟒𝐱 (2𝑥3 + 5x – 3) – (2𝑥3 - 3𝑥2 + 4x) = 2𝑥3 + 5x – 3 – 2𝑥3 + 3𝑥2 - 4x = (2𝑥3 - 2𝑥3 ) + 3𝑥2 + (5x – 4x) – 3 = (2 – 2)𝑥3 + 3𝑥2 + (5 – 4)x – 3 = 0𝑥3 + 3𝑥2 + x – 3 = 3𝑥2 + x - 3 Para restar monomios es necesario que sean semejantes La resta de polinomios consiste en sumar al minuendo el opuesto del sustraendo P(x) − Q(x) = (2x³ + 5x − 3) − (2x³ − 3x² + 4x) Minuendo Sustraendo
- 5. a) Multiplicación entre monomios El producto de dos monomios es otro monomio. (axn )(bxm ) = (ab)xn+m Tal que: • Su coeficiente es el producto de los coeficientes • La variable tiene un exponente igual a la suma de los exponentes de las variables b) Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio aplicando la propiedad distributiva para la suma, teniendo en cuenta las leyes de la multiplicación de monomios c) Multiplicación de polinomio Para multiplicar dos polinomios: • Se ordenan los polinomios en forma decreciente o creciente • Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos lios elementos del. segundo polinomio • Se suman los monomios del mismo grado (suma de términos semejantes) Multiplicación entre Monomios Ejemplos 1) (𝟑𝒙𝟐 ) −𝟓𝒙 • (3𝑥2 ) −5𝑥 = 3 −5 𝑥2 x = −15𝑥2+1 = −15𝑥3 2) (−𝒙𝒚𝟐 ) −𝟓𝒙𝟐 𝒚 • (−𝑥𝑦2 ) −5𝑥2 𝑦 = −1 −5 𝑥𝑥2 )( 𝑦2 𝑦 = 5x3 y3 Multiplicación de un Monomio por un Polinomios Ejemplos 1) (5x)(𝟑𝐱𝟒 − 𝐱 + 𝟏) • (5x)(3𝑥4 − x + 1) = 15𝑥5 − 5𝑥2 + 5𝑥 2) 𝟐𝒙𝟐 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟐 • 2𝑥2 𝑥2 + 4𝑥 + 2 = 2𝑥2 (𝑥2 ) + 2𝑥2 4𝑥 + 2𝑥2 2 = • 2x4 + 8x3 + 4x2 Multiplicación de Polinomios Ejemplos 1) (𝒙𝟑 − 𝟑)(−𝒙𝟑 + 𝟐𝒙𝟓 ) • (𝑥3 − 3)(−𝑥3 + 2𝑥5 ) = 𝑥3 − 3 2𝑥5 − 𝑥3 = • 𝑥3 2𝑥5 + 𝑥3 −𝑥3 + −3 2𝑥5 + −3 −𝑥3 = • 2x8 − x6 − 6x5 + 3x3 2) 𝒙𝟓 + 𝟐𝒙𝟑 − 𝒙 − 𝟖 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 • 𝑥5 + 2𝑥3 − 𝑥 − 8 𝑥2 − 2𝑥 + 1 = 𝑥7 − 2𝑥6 + 3𝑥5 − 4𝑥4 + 𝑥3 − 6𝑥2 + 15𝑥 − 8
- 6. • El polinomio obtenido otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios. 4) División o cociente a) Monomios entre monomios Para dividir un monomio 𝑎𝑥𝑚 entre otro 𝑏𝑥𝑛 se divide primero los coeficientes entre sí y luego las potencias. Si m≥n entonces 𝑎𝑥𝑚 𝑏𝑥𝑛 = 𝑎 𝑏 𝑥𝑚−𝑛 b) Polinomios entre monomios Se divide cada término del polinomio P(x) entre el polinomio Q(x) y el resultado de la división es un nuevo polinomio C(x) obtenido de la suma de todos los cocientes de la división de monomios c) Polinomios entre polinomios Se usa un procedimiento similar al de la división de números enteros; Puede escribirse: P(x) = Q(x)C(x)+R(x) Monomios entre Monomios Ejemplos 1) (𝟔𝒂𝒃𝟕 ) ÷ (𝟗𝒃𝟐 ) = 6 9 𝑎𝑏7 𝑏−2 = 2 3 𝑎𝑏7−2 = 2 3 ab5 2) −𝟖𝒙𝟔 ÷ 𝟐𝒙𝟒 = −8 2 𝑥6 𝑥−4 = −4𝑥6−4 = −4x2 Polinomios entre Monomios 2) 𝟖𝒙𝟑 + 𝟓𝒙𝟐 − 𝐱 + 𝟏 𝟒𝒙𝟐 Ejemplos −8𝑥3 𝟐𝑥 + 5 4 1) 𝟐𝒙𝟐 +𝐱 − 𝟐 x / 5𝑥2 − 𝑥 + 1 -2𝑥2 2𝑥 + 1 − 5𝑥2 / 𝑥 − 2 / − 𝑥 + 1 −𝑥 / −2 Polinomios entre Polinomios P(x)= Q(x)C(x)+R(x) Ejemplos 1) x2 + 0x – 1 x + 1 2) 𝟓𝒙𝟑 + 𝟎𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟑 𝒙𝟐 + 𝒙 +2 - x2 - x x – 1 −5𝑥3 − 5𝑥2 − 10𝑥 5x − 5 / - x – 1 / −5𝑥2 − 12𝑥 + 3 x +1 5𝑥2 + 5𝑥 + 10 / 0 / −7𝑥 + 13 La división de expresiones algebraicas consta de las mismas partes que La división aritmética
- 7. El valor numérico de una expresión algebraica, para un determinado valor, es el número que se obtiene al sustituir en ésta el valor numérico dado y realizar las operaciones indicadas. El resultado obtenido variará tantas veces como cambie el valor de la letra en la expresión algebraica Los productos notables son operaciones algebraicas donde se expresan multiplicaciones de polinomios, que no necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas reglas se pueden encontrar los resultados de las mismas 1) Binomio al cuadrado Un binomio al cuadrado es igual al cuadrado del primer término más (menos) el doble producto de Valor Numérico de una Expresión Algebraica Ejemplos 1) Evaluar la expresión: 𝒎𝟐 𝒏 + 𝒎𝒏𝟐 − 𝒎𝒏 𝟐 para m= 4 y n = -2 • 𝑚2 𝑛 + 𝑚𝑛2 − 𝑚𝑛 2 = 4 2 −2 + 4 −2 2 − 4 −2 2 = • 16(-2) +4(4) - (−8) 2 = - 32 + 16 + 8 2 = −16 + 4 = −12 2) Determina el valor numérico del polinomio: P(x) = 2𝑥3 − 5𝑥2 + 3𝑥 − 4 para x = 0 y x = - 2 a) x = 0 P(0) = 2(0)3 − 5 0 2 + 3 0 − 4 = 2 0 − 5 0 − 4 = −4 b) x = - 2 P(-2) = 2(−2)3 − 5 −2 2 + 3 −2 − 4 = 2 −8 − 5 4 − 6 − 4 = −16 − 20 − 10 = −36 − 10 = −46 Productos Notables de Expresiones Algebraicas Los productos notables sirven para simplificar los cálculos matemáticos donde se involucra la multiplicación de polinomios
- 8. ambos términos más el cuadrado del segundo término Cuadrado de la Suma (x + a)2 = x2 + 2ax + a2 Cuadrado de la Diferencia (x - a)2 = x2 - 2ax + a2 2) Binomio al cubo Un binomio al cubo es igual al cubo del primero más (menos) el triple del cuadrado del primero por el segundo, más el triple del primero por el cuadrado del segundo, más (menos) el cubo del segundo. Cubo de la Suma (x + a)3 = x3 + 3x2a + 3xa2 + a3 Cubo de la Diferencia (x - a)3 = x3 - 3x2a + 3xa2 - a3 3) Binomios Conjugados Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada términos de cada uno son de signos diferentes, es decir, el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa . Se resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se restan. Su fórmula es la Binomio al Cuadrado Ejemplos 1) (𝒙 + 𝟓)𝟐 • (𝑥 + 5)2 = 𝑥2 + 2 𝑥 5 + (5)2 = 𝑥2 + 10𝑥 + 25 2) (𝟐𝒙 + 𝟑𝒚)𝟐 • (2𝑥 + 3𝑦)2 = (2𝑥)2 +2 2𝑥 3𝑦 + (3𝑦)2 = 4x2 + 12xy + 9y2 3) (𝐱 − 𝟏)𝟐 • (𝑥 − 1)2 = 𝑥2 − 2𝑥 1 + 1 2 = 𝑥2 − 2𝑥 + 1 4) ( 𝟓 𝟑 𝐱 − 𝟒)𝟐 • ( 5 3 𝑥 − 4)2 = ( 5 3 𝑥)2 −2 5 3 𝑥 4 + 4 2 = 25 9 x2 − 40 3 x + 16 Binomio al Cubo Ejemplos 1) (𝒙 + 𝟑)𝟑 • (𝑥 + 3)3 = 𝑥3 +3𝑥2 3 + 3𝑥(3)2 + (3)3 = 𝑥3 + 9𝑥2 + 27𝑥 + 27 2) (𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 )𝟑 • (𝑎3 + 𝑏3 )3 = (𝑎3 )3 +3(𝑎3 )2 𝑏3 + 3 𝑎3 𝑏3 2 + (𝑏3 )3 = • a9 + 3a6 b3 + 3a3 b6 + b9 3) (𝟒𝒙 − 𝟔)𝟑 • (4𝑥 − 6)3 = (4𝑥)3 −3(4𝑥)2 6 + 3 4𝑥 6 2 − 6 3 = • 64x3 − 288x2 + 432x − 216 4) (xy2z – a)3 • (xy2z – a)3 = 𝑥3 𝑦6 𝑧3 −3𝑥2 𝑦4 𝑧2 𝑎 + 3𝑥𝑦2 𝑧𝑎2 − 𝑎3 = • x3 y6 z3 −3x2 y4 z2 a + 3y2 a2 xz − a3 Fácilisimo
- 9. siguiente: (x + a)(x – a) = x2 - a2 (x - a)(x + a) = x2 - a2 4) Binomios con un término común Cuando se presenta el producto de dos binomios con término común, es más simple el desarrollo y queda de la siguiente manera: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab (x + a)(x - b) = x2 + (a - b)x – ab (x - a)(x - b) = x2 + (- a - b)x + ab 5) Trinomios al cuadrado Un trinomio al cuadrado es igual al cuadrado del primero, más el cuadrado del segundo, más el cuadrado del tercero, más el doble producto del primero por el segundo, más el doble producto del primero por el tercero, más el doble producto del segundo por el tercero. (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + ac + bc) Los haré todos! Trinomio al Cuadrado Ejemplos 1) (𝟑𝒙 + 𝟐𝒚 + 𝟒𝒛)𝟐 (3𝑥 + 2𝑦 + 4𝑧)2 = (3𝑥)2 +(2𝑦)2 + (4𝑧)2 + 2(6xy + 12xz + 8yz) = 2) (𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏)𝟐 (𝑥2 − 𝑥 + 1)2 = (𝑥2 )2 +(−𝑥)2 +(1)2 +2 −𝑥3 + 𝑥2 − 𝑥 = 𝑥4 + 𝑥2 + 1 − 2𝑥3 + 2𝑥2 − 2𝑥 = x4 − 2x3 + 3x2 − 2x + 1 9𝑥2 + 4𝑦2 + 16𝑧2 + 12𝑥𝑦 + 24𝑥𝑧 + 16𝑦𝑧
- 10. 6) Trinomios al cubo Tienen tres términos elevados al cubo, más el triple de cada término elevado al cuadrado, multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el producto de los tres términos. (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc 7) Suma de Cubos La suma de cubos de dos términos es igual al produc- to de la suma de estos términos por el cuadrado imperfecto de su diferencia 𝑎 + 𝑏 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 + 𝑏3 8) Diferencia de Cubos La diferencia de cubos de dos términos es igual al producto de la diferencia de estos términos por el cuadrado imperfecto de su suma 𝑎 − 𝑏 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎3 − 𝑏3 Trinomio al cubo (a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc Ejemplos 1) (𝐱𝟐 − 𝐱 + 𝟏)𝟑 • (𝑥2 − 𝑥 + 1)3 = 𝑥6 − 𝑥3 + 1 − 3𝑥5 + 3𝑥4 +3𝑥4 + 3𝑥2 + 3𝑥2 − 3𝑥 − 6𝑥3 = x6 − 3x5 + 6x4 − 7x3 + 6x2 − 3x + 1 2) (𝟑𝐱𝟐 + 𝐱 + 𝟐)𝟑 • (3𝑥2 + 𝑥 + 2)3 = 27𝑥6 + 𝑥3 + 8 + 27𝑥5 + 9𝑥4 +54𝑥4 +36𝑥2 + 6𝑥2 + 12𝑥 + 36𝑥3 = 27x6 + 27x5 + 63x4 + 37x3 + 42x2 + 12x + 8 Suma de Cubos 𝒂 + 𝒃 𝒂𝟐 − 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝟑 + 𝒃𝟑 Ejemplos 1) (𝒙 + 𝟐)(𝒙𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟒) • 𝑥 + 2 𝑥2 − 2𝑥 + 4 = 𝑥3 + 23 = x3 + 8 2) (𝟑𝒙 + 𝟏)(𝟗𝒙𝟐 − 𝟑𝒙 + 𝟏) • 3𝑥 + 1 𝑥2 − 3𝑥 + 1 = (3𝑥)3 +13 = 27x3 + 1 Diferencia de Cubos 𝒂 − 𝒃 𝒂𝟐 + 𝒂𝒃 + 𝒃𝟐 = 𝒂𝟑 − 𝒃𝟑 Ejemplos 1) (𝟐𝐚 − 𝟑𝐛𝟐 )(𝟒𝐚𝟐 + 𝟔𝐚𝐛𝟐 + 𝟗𝐛𝟒 • 2𝑎 − 3𝑏2 4𝑎2 + 6𝑎𝑏2 + 9𝑏4 = (2𝑎)3 −(3𝑏2 )3 = 8a3 − 27b6 2) (𝒙𝟐 +𝟒𝒙 + 𝟏𝟔) 𝒙 − 𝟒 • (𝑥2 +4𝑥 + 16) 𝑥 − 4 = 𝑥3 − 43 = x3 − 64 El trinomio cuadrado imperfecto es aquel trinomio que no cumple con las reglas del trinomio cuadrado perfecto,
- 11. Factorizar una expresión algebraica, es un proceso que consiste en expresar una suma o diferencia de términos como el producto de dos o más factores. Los métodos más empleados para factorizar son: 1) Factor común monomio Para factorizar un polinomio en la que sus términos tengan un factor común, se toma como primer factor el divisor común de todos los términos del polinomio y el segundo factor es la suma algebraica de los cocientes que resultan de dividir los términos entre el factor común 2) Factor común polinomio Cuando todos los términos de un polinomio tienen un factor común que es un polinomio, se procede de la misma forma que en el caso anterior: se escribe el polinomio común como factor de los cocientes obtenidos al dividir cada término del polinomio entre dicho factor común Factor Común Monomio Ejemplos 1) Factorizar: 𝟖𝒙𝟑 − 𝟒𝒙𝟐 + 𝟐𝒙 MCD(8,4,2) = 2 • Factor común: 2x • 8𝑥3 − 4𝑥2 + 2𝑥 = 2𝑥 8𝑥3 2𝑥 − 4𝑥2 2𝑥 + 2𝑥 2𝑥 = 2x(4x2 − 2x + 1) 2) Factorizar: 𝟔𝒂𝒙𝟑 + 𝟗𝒂𝟐 𝒙𝟐 − 𝟏𝟖𝒂𝟑 𝒙 • Factor común: 3ax • 6𝑎𝑥3 + 9𝑎2 𝑥2 − 18𝑎3 𝑥 = 3𝑎𝑥( 6𝑎𝑥3 3𝑎𝑥 + 9𝑎2𝑥2 3𝑎𝑥 − 18𝑎3𝑥 3𝑎𝑥 ) = • 3ax(2x2 + 3ax − 6a2 ) Factor Común Polinomio Ejemplos 1) Factorizar: 𝟐𝒙 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 − 𝒚 𝒂 + 𝒃 + 𝒄 • Factor común: a + b + c • 2𝑥 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 − 𝑦 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = • 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 2𝑥 𝑎+𝑏+𝑐 𝑎+𝑏+𝑐 − 𝑦 𝑎+𝑏+𝑐 𝑎+𝑏+𝑐 = (𝑎 + 𝑏 + 𝑐)(2𝑥 − 𝑦) 2) Factorizar: 𝒙𝟐 + 𝒙𝒚 + 𝒙𝒛 + 𝒛𝒚 • 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑧𝑦 = x x + y + z(x + y) • Factor común: x + y • 𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑧 + 𝑧𝑦 = x x + y + z x + y = • x + y x x+y x+y + z x+y x+y = 𝑥 + 𝑦 (𝑥 + 𝑧) Se debe tener muy claro los diferentes tipos de productos notables, para poder entender con facilidad la factorización de una expresión algebraica.
- 12. 3) Factor común por agrupación de términos Las propiedades asociativa y conmutativa de la adición, conjuntamente con la propiedad distributiva, permiten factorizar un polinomio por agrupación de sus términos 4) Factorización de trinomios cuadrados perfectos Un trinomio cuadrado perfecto es el que resulta de desarrollar el cuadrado de la suma o la diferencia de un binomio. Para factorizar un trinomio cuadrado perfecto, se extrae la raíz cuadrada del primer y tercer término y se separan estas raíces por el signo del segundo término. El binomio así formado, se eleva al cuadrado. 5) Factorización de un trinomio de la forma: 𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 Para factorizar este trinomio se debe verificar que su primer término sea un cuadrado perfecto, luego se buscan dos números que multiplicados den como resultados su tercer término y cuya suma sea el el coeficiente del término central Factor común por agrupación de términos Se agrupan los términos que tengan algún factor común, de tal modo que la expresión se pueda factorizar por partes Factorización de trinomios cuadrados perfectos Ejemplos 1) Factorizar: 𝒙𝟐 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟐𝟓 • 𝑥2 = 𝑥 • 25 = 5 • 10x = 2x(5) • 𝑥2 + 10𝑥 + 25 = (x + 5)2 2) Factorizar: 𝟒𝒙𝟒 − 𝟏𝟐𝒙𝟐 𝒚 + 𝟗𝒚𝟐 • 4𝑥4 = 2𝑥2 • 9𝑦2 = 3𝑦 • 12𝑥2 𝑦 = 2(2𝑥2 ) 3𝑦 • 4𝑥4 − 12𝑥2 𝑦 + 9𝑦2 = (2x2 − 3y)2 Factor Común por Agrupación de Términos Ejemplos 1) Factorizar: 𝟔𝒙𝟐 𝒚 + 𝟐𝟒𝒙𝒚 + 𝟏𝟎𝒙 + 𝟒𝟎 • 6𝑥2 𝑦 + 24𝑥𝑦 + 10𝑥 + 40 = 6𝑥2 𝑦 + 24𝑥𝑦 + 10𝑥 + 40 = 6𝑥𝑦 𝑥 + 4 + 10 𝑥 + 4 = x + 4 6xy + 10 2) Factorizar: 𝒙𝟑 + 𝟒𝒙𝟐 + 𝟑𝒙 + 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 + 𝟑 • 𝑥3 + 4𝑥2 + 3𝑥 + 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 𝑥3 + 4𝑥2 + 3𝑥 + 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = 𝑥 𝑥2 + 4𝑥 + 3 + 𝑥2 + 4𝑥 + 3 = (x + 1)(x2 + 4x + 3)
- 13. 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥2 + 𝑚 + 𝑛 𝑥 + 𝑚𝑛 = 𝑥 + 𝑚 𝑥 + 𝑛 𝑚 + 𝑛 = 𝑏 𝑚. 𝑛 = 𝑐 6) Factorización de un trinomio de la forma: 𝐚𝐱𝟐 + 𝐛𝐱 + 𝐜 Se multiplica y se divide el trinomio por el coeficiente del primer término. El trinomio obtenido es: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 y por lo tanto al factorizarlo se extrae la raíz cuadrada del primer término y se buscan dos números cuya suma sea el valor de b y cuyo producto sea el valor de c 7) Factorización de la diferencia de cuadrados perfec- tos Para factorizar una diferencia de cuadrados perfecto se extrae la raíz cuadrada del minuendo y del sustraendo y se multiplica la suma de estas raíces cuadradas por su diferencia 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 Factorización de un Trinomio de la forma: 𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Ejemplos 1) Factorizar: 𝒙𝟐 + 𝟗𝒙 + 𝟏𝟒 • 𝑥2 = x • 2 + 7 = 9 • 2 7 = 14 • 𝑥2 + 9𝑥 + 14 = x + 2 x + 7 2) Factorizar: 𝒙𝟐 − 𝟓𝒙 − 𝟐𝟒 • 𝑚 = 3 ; 𝑛 = − 8 • 𝑥2 − 5𝑥 − 24 = (x + 3)(x − 8) Factorización de un Trinomio de la forma: 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 Ejemplos 1) Factorizar: 𝟑𝒙𝟐 − 𝟏𝟎𝒙 + 𝟑 • 3𝑥2 − 10𝑥 + 3 = 3 3𝑥2−10𝑥+3 3 = 9𝑥2−30𝑥+9 3 = (3𝑥)2−10 3𝑥 +9 3 = • (3𝑥−9)(3𝑥−1) 3 = 3(𝑥−3)(3𝑥−1) 3 = x − 3 3x − 1 2) Factorizar: 𝟐𝟎𝒙𝟐 + 𝟕𝒙 − 𝟔 • 20𝑥2 + 7𝑥 − 6 = 20 20𝑥2+7𝑥−6 20 = 400𝑥2+140𝑥−120 20 = 20𝑥 2+7 20𝑥 −120 20 = 20𝑥+15 20𝑥−8 20 = 5 4𝑥+3 4 5𝑥−2 20 = 5 4 4𝑥+3 5𝑥−2 20 = 20 4𝑥+3 5𝑥−2 20 = (4x + 3)(5x − 2) Siempre es posible encontrar dos números m y n Uno mayor y otro menor b = m + n c = mn La variable del segundo término es la misma la del primer término pero con exponente a la mitad El coeficiente de primer término es diferente de uno Para factorizar 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 𝒔e multiplica y divide el trinomio por el coeficiente de 𝒙𝟐 Recordar
- 14. 8) Factorización de la suma de cubos Se factoriza en un producto de dos factores. En el primero se escribe la suma de las raíces cubicas y en el segundo se escribe el cuadrado de la primera raíz menos el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz. As´: 𝑥3 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 ) 9) Factorización de la diferencia de cubos Se factoriza en un producto de dos factores. En el primero se escribe la suma de las raíces cubicas y en el segundo se escribe el cuadrado de la primera raíz más el producto de las raíces más el cuadrado de la segunda raíz. Así: 𝑥3 − 𝑦3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2) Factorización de la diferencia de cuadrados Ejemplos 1) Factorizar: 𝟐𝟓𝒙𝟐 − 𝟏𝟔 • 25𝑥2 = 5𝑥 • 16 = 4 • 25𝑥2 − 16 = 5x + 4 5x − 4 2) Factorizar: 𝒙𝟐 𝟒 − 𝟏 • 𝑥2 4 = 𝑥2 4 = 𝑥 2 • 1 = 1 • 𝑥2 4 − 1 = ( x 2 + 1)( x 2 − 1) Factorización de la suma de cubos Ejemplos 1) Factorizar: 𝟐𝟕𝒙𝟑 + 𝟔𝟒𝒙𝟗 • 3 27𝑥3 = 3𝑥 • 3 64𝑦9 = 4𝑥3 • 27𝑥3 + 64𝑥9 = 3x + 4x3 9x2 − 12x4 + 16x6 2) Factorizar: 𝟏𝟐𝟓𝒙𝟑 + 𝟏𝟎𝟎𝟎 • 125𝑥3 + 1000 = (5𝑥 + 10)(25𝑥2 − 50𝑥 + 100) Factorización de la diferencia de cubos Ejemplos 1) Factorizar: 𝟖𝐱𝟑 − 𝟏𝟐𝟓 • 8𝑥3 − 125 = (2x − 5)(4x2 + 10x + 25) 2) Factorizar: 𝐱𝟏𝟐 − 𝐲𝟏𝟐 • 𝑥12 −𝑦12 = (x4 −y4 )(x8 + x4 y4 + y8 ) 3 8𝑥3 = 3 23𝑥3 = 2𝑥 3 125 = 3 53 = 5 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 𝑥3 − 𝑦3 = (𝑥 − 𝑦)(𝑥2 + 𝑥𝑦 + 𝑦2 ) 𝑥3 + 𝑦3 = (𝑥 + 𝑦)(𝑥2 − 𝑥𝑦 + 𝑦2 )