The document discusses various algebraic expressions and operations on them including:
- Summing and subtracting monomials and polynomials
- Multiplying monomials, polynomials, and binomial expressions using rules like distributing terms
- Dividing monomials and polynomials by breaking them into fractions
- Evaluating numerical values of expressions by substituting values for variables
- Special multiplication rules for perfect square binomials, difference of squares, and conjugates
- Multiplying polynomials with a common term using a specific formula
An algebraic expression is a combination of letters and numbers linked by operation signs: addition, subtraction, multiplication, division and exponentiation. Algebraic expressions allow us, for example, to find areas and volumes. Some examples given are the circumference of a circle (2πr), the area of a square (s=l2), and the volume of a cube (V=a3). The document then provides examples and explanations of algebraic addition, subtraction, multiplication, division, and factorization.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones de primer grado, incluyendo la definición de una ecuación, los términos primer miembro y segundo miembro, las propiedades de las ecuaciones, y los pasos para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. También describe cómo usar ecuaciones para resolver problemas, con un ejemplo de resolución de un problema paso a paso.
Una ecuación lineal involucra sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia. Se puede representar como una recta en el plano cartesiano. Tiene la forma de un polinomio de primer grado donde las incógnitas no están elevadas a potencias ni multiplicadas entre sí.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo factor común, diferencia de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos e inspección. Proporciona definiciones de cada método y ejemplos resueltos para ilustrar cómo aplicarlos.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
El documento proporciona instrucciones sobre cómo factorizar diferentes tipos de expresiones algebraicas, incluyendo polinomios, trinomios cuadrados perfectos, sumas y diferencias de potencias, y expresiones con cuatro términos que cumplen con ciertas características. Se explican conceptos como el factor común, agrupación de términos, y cómo identificar y descomponer diferentes tipos de expresiones en factores.
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones donde las letras representan cantidades desconocidas llamadas variables. El lenguaje algebraico permite expresar información de forma concisa utilizando letras y símbolos. Un monomio es una expresión con un solo término, mientras que un polinomio contiene varios términos o monomios.
An algebraic expression is a combination of letters and numbers linked by operation signs: addition, subtraction, multiplication, division and exponentiation. Algebraic expressions allow us, for example, to find areas and volumes. Some examples given are the circumference of a circle (2πr), the area of a square (s=l2), and the volume of a cube (V=a3). The document then provides examples and explanations of algebraic addition, subtraction, multiplication, division, and factorization.
El documento explica conceptos básicos sobre ecuaciones de primer grado, incluyendo la definición de una ecuación, los términos primer miembro y segundo miembro, las propiedades de las ecuaciones, y los pasos para resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita. También describe cómo usar ecuaciones para resolver problemas, con un ejemplo de resolución de un problema paso a paso.
Una ecuación lineal involucra sumas y restas de variables elevadas a la primera potencia. Se puede representar como una recta en el plano cartesiano. Tiene la forma de un polinomio de primer grado donde las incógnitas no están elevadas a potencias ni multiplicadas entre sí.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar polinomios, incluyendo factor común, diferencia de cuadrados, trinomios cuadrados perfectos e inspección. Proporciona definiciones de cada método y ejemplos resueltos para ilustrar cómo aplicarlos.
Suma, Resta y Valor numérico de Expresiones algebraicas.
Multiplicación y División de Expresiones algebraicas.
Productos Notables de Expresiones algebraicas.
Factorización por Productos Notables.
El documento proporciona instrucciones sobre cómo factorizar diferentes tipos de expresiones algebraicas, incluyendo polinomios, trinomios cuadrados perfectos, sumas y diferencias de potencias, y expresiones con cuatro términos que cumplen con ciertas características. Se explican conceptos como el factor común, agrupación de términos, y cómo identificar y descomponer diferentes tipos de expresiones en factores.
Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones donde las letras representan cantidades desconocidas llamadas variables. El lenguaje algebraico permite expresar información de forma concisa utilizando letras y símbolos. Un monomio es una expresión con un solo término, mientras que un polinomio contiene varios términos o monomios.
El documento resume 10 casos de factorización de expresiones algebraicas, incluyendo: factor común, agrupación de términos, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, trinomios de la forma x + bx + c, trinomios con más de una x cuadrada, diferencia de cubos y raíces impares. Cada caso presenta una regla y ejemplo para ilustrar cómo factorizar expresiones que caen en esa categoría.
Clasificación de las expresiones algebraicasPROFEVENTURA85
Este documento clasifica y explica las expresiones algebraicas. Define monomios como expresiones de un solo término y polinomios como expresiones de dos o más términos. Explica que los polinomios de dos términos se llaman binomios y los de tres términos son trinomios. Además, proporciona conceptos adicionales como monomios semejantes, polinomios homogéneos y el grado de una expresión algebraica.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales. La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a. El documento explica la ecuación cuadrática, la fórmula para resolverla, y proporciona ejemplos paso a paso.
Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica la forma estándar de funciones exponenciales y=abx, y describe el comportamiento y dominio de valores de funciones exponenciales para diferentes valores de a y b. También cubre propiedades básicas de funciones exponenciales y logarítmicas, como leyes de exponentes y cómo escribir expresiones entre formas exponenciales y logarítmicas. Finalmente, presenta ejemplos y ejercicios de práctica sobre ecuaciones con exponentes y log
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y describe sus componentes y métodos de resolución. Las ecuaciones de segundo grado se componen de tres términos - cuadrático, lineal y constante - y existen tres clases: completas, puras y mixtas. Se resuelven encontrando las raíces mediante factorización, la fórmula cuadrática, o resolviendo ecuaciones incompletas. El vértice y los puntos de corte con los ejes x e y proporcionan información para graficar la parábola.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones y tres métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: sustitución, igualación y reducción. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y enfatiza la importancia de comprobar las soluciones obtenidas. Finalmente, presenta un problema real sobre el precio de materiales escolares que involucra resolver un sistema de ecuaciones.
Este documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y factorizaciones. Define expresiones algebraicas como combinaciones de letras, números y signos matemáticos que representan cantidades desconocidas. Explica cada operación algebraica con ejemplos y los productos notables como multiplicaciones especiales que destacan por cumplir ciertas reglas.
Este documento trata sobre los fundamentos básicos de los polinomios. Explica qué son las expresiones algebraicas y los diferentes tipos como monomios, binomios, trinomios y polinomios. También describe las partes de un monomio como el coeficiente, la parte literal y el grado. Finalmente, cubre operaciones básicas con polinomios como suma, resta, multiplicación y factorización.
Suma, resta y valor numérico de expresiones algebraicas.
multiplicación y división.
Producto notable de expresiones algebraicas.
Factorización por producto notable.
El documento describe 10 métodos para factorizar expresiones algebraicas: 1) factor común, 2) agrupación de términos, 3) trinomio cuadrado perfecto, 4) diferencia de cuadrados, 5) trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, 6) trinomio de la forma x2 + bx + c, 7) suma o diferencia de potencias, 8) trinomio de la forma ax2 + bx + c, 9) cubo perfecto de tetranomios, y 10) divisores binómicos. Explica cada método con ej
El documento define intervalos, desigualdades e inecuaciones. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos extremos, y clasifica intervalos en abiertos, cerrados y semiabiertos. Luego, define una desigualdad como una expresión algebraica relacionada por signos de comparación, y explica propiedades de desigualdades como sumar o multiplicar términos. Finalmente, introduce el valor absoluto y sus propiedades.
Este documento trata sobre diferentes métodos de factorización. Explica cómo calcular el máximo común divisor de dos números y cómo identificar el factor común de varios términos. También describe cómo factorizar expresiones al extraer factores comunes monomios, polinomios o mediante agrupamiento. Finalmente, detalla cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo el uso de factores comunes, la factorización de binomios como diferencia y suma de cuadrados y cubos, y trinomios cuadrados perfectos. También cubre la factorización por otros métodos como aspas dobles y divisores binómicos. Proporciona ejemplos para ilustrar cada método.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones donde se buscan los valores de las incógnitas para satisfacer ambas ecuaciones. Explica tres métodos para resolver sistemas: igualación, sustitución y reducción. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica para aplicar estos métodos.
Paso 2 profundizar y contextualizar el conocimiento de la unidad 1 ffALGEBRAGEOMETRIA
This document provides an overview of algebraic expressions and factorization techniques covered in Unit 1. It defines basic algebraic expressions, polynomials, monomials, binomials, trinomials and more. It then describes 10 cases of factorization, including common factors, difference of squares, sum/difference of cubes, and more. Examples are provided for each case to demonstrate the factorization processes.
Este documento presenta un problema de dietas que involucra tres ingredientes (A, B, C) con diferentes contenidos nutricionales. Se pide determinar la cantidad de cada ingrediente necesaria para cumplir con los requerimientos totales de proteínas, lípidos y carbohidratos. El documento explica cómo organizar la información en una tabla y establecer un sistema de ecuaciones para resolver el problema.
Ecuaciones de Primer Grado con Una IncógnitaValeriaVeron05
El documento explica las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define los términos clave como igualdad matemática, miembros, términos, coeficientes e incógnita. Describe la técnica de resolución de pasar términos entre los miembros para despejar la incógnita. Como ejemplo, resuelve la ecuación 2x - 11 = 5x + 4 para hallar que la incógnita x es igual a -5.
Este documento resume los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. Explica que los sistemas pueden ser compatibles o incompatibles, determinados o indeterminados. También describe los métodos gráficos y analíticos como igualación y sustitución para encontrar una única solución, infinitas soluciones, o determinar que no hay solución.
El documento resume dos casos de factorización de trinomios. En el primer caso, factoriza x^2 + 7x + 12 como (x + 4)(x + 3). En el segundo caso, factoriza 6x^2 - 7x - 3 como (6x - 9)(6x + 2). Explica que en el segundo caso el primer término tiene un coeficiente distinto de 1, por lo que se multiplica todo el trinomio por el coeficiente de x^2 antes de factorizar. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de la factorización como resolver ecuaciones de segundo grado y fracciones algebraic
The document discusses various algebraic expressions and operations including:
1) Finding the numeric value of algebraic expressions by substituting values for variables and simplifying.
2) Adding, subtracting, multiplying, and dividing algebraic expressions using properties like the distributive property.
3) Factoring expressions using factoring by grouping, difference of squares, and perfect square trinomials.
1. The document discusses algebraic expressions and operations such as addition, subtraction, multiplication, and division of algebraic expressions. It provides examples and step-by-step solutions to problems involving these operations.
2. Key concepts covered include the properties and rules of exponents, signs, and how to perform operations on monomials, polynomials, and algebraic expressions. Special products like the difference and sum of cubes are also explained.
3. Worked examples provide solutions to problems involving adding, subtracting, multiplying, and dividing algebraic monomials and polynomials. Concepts like factoring trinomials using special products are demonstrated through examples.
El documento resume 10 casos de factorización de expresiones algebraicas, incluyendo: factor común, agrupación de términos, trinomio cuadrado perfecto, diferencia de cuadrados, trinomios de la forma x + bx + c, trinomios con más de una x cuadrada, diferencia de cubos y raíces impares. Cada caso presenta una regla y ejemplo para ilustrar cómo factorizar expresiones que caen en esa categoría.
Clasificación de las expresiones algebraicasPROFEVENTURA85
Este documento clasifica y explica las expresiones algebraicas. Define monomios como expresiones de un solo término y polinomios como expresiones de dos o más términos. Explica que los polinomios de dos términos se llaman binomios y los de tres términos son trinomios. Además, proporciona conceptos adicionales como monomios semejantes, polinomios homogéneos y el grado de una expresión algebraica.
Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números reales. La fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas es x = (-b ± √(b2 - 4ac))/2a. El documento explica la ecuación cuadrática, la fórmula para resolverla, y proporciona ejemplos paso a paso.
Este documento trata sobre funciones exponenciales y logarítmicas. Explica la forma estándar de funciones exponenciales y=abx, y describe el comportamiento y dominio de valores de funciones exponenciales para diferentes valores de a y b. También cubre propiedades básicas de funciones exponenciales y logarítmicas, como leyes de exponentes y cómo escribir expresiones entre formas exponenciales y logarítmicas. Finalmente, presenta ejemplos y ejercicios de práctica sobre ecuaciones con exponentes y log
Este documento define las ecuaciones de segundo grado y describe sus componentes y métodos de resolución. Las ecuaciones de segundo grado se componen de tres términos - cuadrático, lineal y constante - y existen tres clases: completas, puras y mixtas. Se resuelven encontrando las raíces mediante factorización, la fórmula cuadrática, o resolviendo ecuaciones incompletas. El vértice y los puntos de corte con los ejes x e y proporcionan información para graficar la parábola.
Este documento introduce los sistemas de ecuaciones y tres métodos para resolver sistemas de dos ecuaciones de primer grado con dos incógnitas: sustitución, igualación y reducción. Explica cada método a través de ejemplos numéricos y enfatiza la importancia de comprobar las soluciones obtenidas. Finalmente, presenta un problema real sobre el precio de materiales escolares que involucra resolver un sistema de ecuaciones.
Este documento explica conceptos básicos de álgebra como expresiones algebraicas, sumas, restas, multiplicaciones, divisiones y factorizaciones. Define expresiones algebraicas como combinaciones de letras, números y signos matemáticos que representan cantidades desconocidas. Explica cada operación algebraica con ejemplos y los productos notables como multiplicaciones especiales que destacan por cumplir ciertas reglas.
Este documento trata sobre los fundamentos básicos de los polinomios. Explica qué son las expresiones algebraicas y los diferentes tipos como monomios, binomios, trinomios y polinomios. También describe las partes de un monomio como el coeficiente, la parte literal y el grado. Finalmente, cubre operaciones básicas con polinomios como suma, resta, multiplicación y factorización.
Suma, resta y valor numérico de expresiones algebraicas.
multiplicación y división.
Producto notable de expresiones algebraicas.
Factorización por producto notable.
El documento describe 10 métodos para factorizar expresiones algebraicas: 1) factor común, 2) agrupación de términos, 3) trinomio cuadrado perfecto, 4) diferencia de cuadrados, 5) trinomio cuadrado perfecto por adición y sustracción, 6) trinomio de la forma x2 + bx + c, 7) suma o diferencia de potencias, 8) trinomio de la forma ax2 + bx + c, 9) cubo perfecto de tetranomios, y 10) divisores binómicos. Explica cada método con ej
El documento define intervalos, desigualdades e inecuaciones. Explica que un intervalo es un conjunto de números reales comprendidos entre dos extremos, y clasifica intervalos en abiertos, cerrados y semiabiertos. Luego, define una desigualdad como una expresión algebraica relacionada por signos de comparación, y explica propiedades de desigualdades como sumar o multiplicar términos. Finalmente, introduce el valor absoluto y sus propiedades.
Este documento trata sobre diferentes métodos de factorización. Explica cómo calcular el máximo común divisor de dos números y cómo identificar el factor común de varios términos. También describe cómo factorizar expresiones al extraer factores comunes monomios, polinomios o mediante agrupamiento. Finalmente, detalla cómo factorizar trinomios de la forma x2 + bx + c.
Este documento describe diferentes métodos para factorizar expresiones algebraicas, incluyendo el uso de factores comunes, la factorización de binomios como diferencia y suma de cuadrados y cubos, y trinomios cuadrados perfectos. También cubre la factorización por otros métodos como aspas dobles y divisores binómicos. Proporciona ejemplos para ilustrar cada método.
Este documento explica los sistemas de ecuaciones de primer grado. Define un sistema de ecuaciones como un conjunto de ecuaciones donde se buscan los valores de las incógnitas para satisfacer ambas ecuaciones. Explica tres métodos para resolver sistemas: igualación, sustitución y reducción. Finalmente, proporciona ejercicios de práctica para aplicar estos métodos.
Paso 2 profundizar y contextualizar el conocimiento de la unidad 1 ffALGEBRAGEOMETRIA
This document provides an overview of algebraic expressions and factorization techniques covered in Unit 1. It defines basic algebraic expressions, polynomials, monomials, binomials, trinomials and more. It then describes 10 cases of factorization, including common factors, difference of squares, sum/difference of cubes, and more. Examples are provided for each case to demonstrate the factorization processes.
Este documento presenta un problema de dietas que involucra tres ingredientes (A, B, C) con diferentes contenidos nutricionales. Se pide determinar la cantidad de cada ingrediente necesaria para cumplir con los requerimientos totales de proteínas, lípidos y carbohidratos. El documento explica cómo organizar la información en una tabla y establecer un sistema de ecuaciones para resolver el problema.
Ecuaciones de Primer Grado con Una IncógnitaValeriaVeron05
El documento explica las ecuaciones de primer grado con una incógnita. Define los términos clave como igualdad matemática, miembros, términos, coeficientes e incógnita. Describe la técnica de resolución de pasar términos entre los miembros para despejar la incógnita. Como ejemplo, resuelve la ecuación 2x - 11 = 5x + 4 para hallar que la incógnita x es igual a -5.
Este documento resume los diferentes tipos de sistemas de ecuaciones lineales y métodos para resolverlos. Explica que los sistemas pueden ser compatibles o incompatibles, determinados o indeterminados. También describe los métodos gráficos y analíticos como igualación y sustitución para encontrar una única solución, infinitas soluciones, o determinar que no hay solución.
El documento resume dos casos de factorización de trinomios. En el primer caso, factoriza x^2 + 7x + 12 como (x + 4)(x + 3). En el segundo caso, factoriza 6x^2 - 7x - 3 como (6x - 9)(6x + 2). Explica que en el segundo caso el primer término tiene un coeficiente distinto de 1, por lo que se multiplica todo el trinomio por el coeficiente de x^2 antes de factorizar. Finalmente, menciona algunas aplicaciones de la factorización como resolver ecuaciones de segundo grado y fracciones algebraic
The document discusses various algebraic expressions and operations including:
1) Finding the numeric value of algebraic expressions by substituting values for variables and simplifying.
2) Adding, subtracting, multiplying, and dividing algebraic expressions using properties like the distributive property.
3) Factoring expressions using factoring by grouping, difference of squares, and perfect square trinomials.
1. The document discusses algebraic expressions and operations such as addition, subtraction, multiplication, and division of algebraic expressions. It provides examples and step-by-step solutions to problems involving these operations.
2. Key concepts covered include the properties and rules of exponents, signs, and how to perform operations on monomials, polynomials, and algebraic expressions. Special products like the difference and sum of cubes are also explained.
3. Worked examples provide solutions to problems involving adding, subtracting, multiplying, and dividing algebraic monomials and polynomials. Concepts like factoring trinomials using special products are demonstrated through examples.
This document provides information on various mathematical concepts including:
1. A monomial is the product of a real number and one or more variables. A polynomial contains more than one variable, constants, and exponents.
2. When adding or subtracting polynomials, like terms are combined. When multiplying polynomials, each term in one polynomial is multiplied by each term in the other and the results are added.
3. Fractions can be added by finding a common denominator and adding the numerators. Fractions are multiplied by multiplying the numerators and multiplying the denominators.
4. Equations can be solved using techniques like reduction, substitution, and factoring polynomials.
5. Factoring is the process of writing an
Las expresiones algebraicas y Factorización de productos notables MariannaPatacnMosque
This document discusses algebraic expressions and factorizing notable products. It begins by defining algebra and different algebraic terms such as monomials and polynomials. It then explains operations like addition, subtraction, multiplication, and division of algebraic expressions. It also covers evaluating algebraic expressions for numeric values. The document focuses on notable products, describing different types like the square of a binomial, binomials with similar terms, conjugate binomials, and the cube of a binomial. It provides examples for each type. Finally, it discusses factorizing expressions using notable products, including the difference of squares, common factors, and perfect square trinomials.
The document provides definitions and explanations of key concepts in algebra including:
- Sum, subtraction, multiplication, division and their properties
- Evaluating algebraic expressions by substituting numeric values
- Factorization using techniques like difference of squares, difference of cubes, and perfect squares
- Products notable including formulas for (a+b)2, (a-b)2, (a+b)3 and (a-b)3
- Examples of simplifying algebraic expressions using definitions and properties like distributive, commutative, associative properties.
The document discusses algebraic expressions and polynomials. It defines key terms like term, coefficient, literal factor, monomial, binomial, trinomial, and polynomial. It covers adding, subtracting, multiplying and factorizing monomials and polynomials. It also discusses the different types of polynomials based on degree. It provides examples and formulas for operations involving algebraic expressions like the sum and difference of two cubes, the multiplication of a binomial and its conjugate, and factoring polynomials by taking out the greatest common factor.
The document discusses algebra and its basic concepts. It begins by introducing algebra and defining it as the aspect of mathematics involving the use of numbers and letters. It then provides examples of solving algebraic puzzles using letters to represent unknown numbers. The document goes on to define key algebraic terms like constants, variables, coefficients and terms. It also outlines fundamental algebraic rules like commutativity, associativity and distributivity. It discusses how to collect like terms and factorize expressions. Finally, it covers topics like expanding and simplifying brackets, fractions and factorizing expressions.
Produccion escrita expresiones algebraicasJuinAndresDiaz
The document discusses various algebraic operations including:
1) Summing algebraic expressions by adding like terms.
2) Subtracting algebraic expressions by adding the opposite of like terms.
3) Multiplying algebraic expressions by multiplying each term in one factor by each term in the other factor.
4) Dividing algebraic expressions using long division.
The document discusses different methods for factorizing algebraic expressions, including:
1) Taking out a common factor by finding common factors between terms.
2) Using the difference of squares formula a2 - b2 = (a + b)(a - b).
3) Factorizing trinomials of the form x2 + ax + b by finding two numbers whose sum is a and product is b.
4) Factorizing trinomials that are perfect squares by expressing them as the square of a binomial expression.
5) Solving a quadratic equation ax2 + bx + c = 0 by using the quadratic formula.
This document provides a guide for factorizing algebraic expressions. It begins with definitions of factorizing and factoring common terms. It then covers various factoring methods including: factoring a common monomial, factorizing a common polynomial, factoring by grouping terms, factoring a perfect square trinomial, factoring the difference of squares, factoring a trinomial in the form x^2 + bx + c, factoring a trinomial with a coefficient on the x^2 term, factoring the difference of cubes, and challenges for students to practice these methods. The document is intended as a review for students to study factorizing skills.
The document discusses several topics related to algebraic operations:
1. It explains the basic rules for adding, subtracting, multiplying, and dividing algebraic expressions such as monomials and polynomials. This includes ordering terms and combining like terms.
2. It provides examples of evaluating algebraic expressions for given variable values by performing the indicated arithmetic operations on the numerical terms.
3. It describes notable identities, which are special multiplication formulas for expressions like the square of a binomial that allow skipping steps in algebraic operations.
The document discusses various algebraic concepts including:
- Expressions involving numbers, letters and signs known as algebraic expressions.
- Methods for adding, multiplying, and dividing algebraic expressions.
- Factorization, which involves writing a polynomial as a product of factors.
- Functions and their key elements such as domain, range, and rule of correspondence.
This document discusses algebraic expressions and their manipulation. It begins by defining an algebraic expression as containing letters, numbers, and signs. It notes that letters behave like numbers in algebraic expressions. The document then provides an example of a second-degree algebraic expression and explains how to simplify it by combining like terms. It concludes by defining the degree of a algebraic expression as the highest exponent of the letter in the expression.
1. The document provides a review of notable algebraic products, including definitions, rules, and examples of:
- The square of the sum of two quantities
- The square of the difference of two quantities
- The product of the sum and difference of two quantities
- The cube of the sum of a binomial
- The cube of the difference of a binomial
- The product of two binomials with a common term
2. Students are provided with practice problems applying these notable product rules and asked to identify which rule each problem falls under.
3. Links are provided for an online quiz and practice test for students to evaluate their understanding of the material.
Algebra is the use of symbols to represent values and their relationships. Key concepts in algebra include:
- Variables represent unknown values and are often represented by letters.
- Polynomials are expressions involving variables and coefficients with addition, subtraction, multiplication, and non-negative exponents.
- The degree of a polynomial refers to the highest exponent on any term.
- Important algebraic operations include addition, subtraction, multiplication, and factorization of polynomials.
- Systems of linear equations can be solved using several methods like substitution, elimination, and cross-multiplication. The consistency of the system determines if there is a unique solution, infinite solutions, or no solution.
The document provides instructions for graphing and solving various types of quadratic equations. It defines standard form, vertex form, and intercept form of quadratics. It explains how to graph quadratics by finding the vertex and intercepts. Methods covered include factoring, taking square roots, completing the square, and using the quadratic formula. Examples are included to demonstrate each process.
The document defines algebraic expressions and provides examples of basic operations - addition, subtraction, multiplication, and division - that can be performed on algebraic expressions. It also covers evaluating algebraic expressions for given variable values and important algebraic identities called "notable products", including differences and sums of squares and cubes. Examples are given for each type of operation and identity.
Factoring is writing a polynomial as a product of two or more polynomials. The main techniques for factoring polynomials are finding the greatest common factor, factoring trinomials of the form ax^2 + bx + c, using special factoring patterns like the difference and sum of squares, and factoring polynomials with four or more terms by grouping. The goal is to factor the polynomial completely into prime factors that cannot be further factored.
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Global Situational Awareness of A.I. and where its headedvikram sood
You can see the future first in San Francisco.
Over the past year, the talk of the town has shifted from $10 billion compute clusters to $100 billion clusters to trillion-dollar clusters. Every six months another zero is added to the boardroom plans. Behind the scenes, there’s a fierce scramble to secure every power contract still available for the rest of the decade, every voltage transformer that can possibly be procured. American big business is gearing up to pour trillions of dollars into a long-unseen mobilization of American industrial might. By the end of the decade, American electricity production will have grown tens of percent; from the shale fields of Pennsylvania to the solar farms of Nevada, hundreds of millions of GPUs will hum.
The AGI race has begun. We are building machines that can think and reason. By 2025/26, these machines will outpace college graduates. By the end of the decade, they will be smarter than you or I; we will have superintelligence, in the true sense of the word. Along the way, national security forces not seen in half a century will be un-leashed, and before long, The Project will be on. If we’re lucky, we’ll be in an all-out race with the CCP; if we’re unlucky, an all-out war.
Everyone is now talking about AI, but few have the faintest glimmer of what is about to hit them. Nvidia analysts still think 2024 might be close to the peak. Mainstream pundits are stuck on the wilful blindness of “it’s just predicting the next word”. They see only hype and business-as-usual; at most they entertain another internet-scale technological change.
Before long, the world will wake up. But right now, there are perhaps a few hundred people, most of them in San Francisco and the AI labs, that have situational awareness. Through whatever peculiar forces of fate, I have found myself amongst them. A few years ago, these people were derided as crazy—but they trusted the trendlines, which allowed them to correctly predict the AI advances of the past few years. Whether these people are also right about the next few years remains to be seen. But these are very smart people—the smartest people I have ever met—and they are the ones building this technology. Perhaps they will be an odd footnote in history, or perhaps they will go down in history like Szilard and Oppenheimer and Teller. If they are seeing the future even close to correctly, we are in for a wild ride.
Let me tell you what we see.
Codeless Generative AI Pipelines
(GenAI with Milvus)
https://ml.dssconf.pl/user.html#!/lecture/DSSML24-041a/rate
Discover the potential of real-time streaming in the context of GenAI as we delve into the intricacies of Apache NiFi and its capabilities. Learn how this tool can significantly simplify the data engineering workflow for GenAI applications, allowing you to focus on the creative aspects rather than the technical complexities. I will guide you through practical examples and use cases, showing the impact of automation on prompt building. From data ingestion to transformation and delivery, witness how Apache NiFi streamlines the entire pipeline, ensuring a smooth and hassle-free experience.
Timothy Spann
https://www.youtube.com/@FLaNK-Stack
https://medium.com/@tspann
https://www.datainmotion.dev/
milvus, unstructured data, vector database, zilliz, cloud, vectors, python, deep learning, generative ai, genai, nifi, kafka, flink, streaming, iot, edge
Learn SQL from basic queries to Advance queriesmanishkhaire30
Dive into the world of data analysis with our comprehensive guide on mastering SQL! This presentation offers a practical approach to learning SQL, focusing on real-world applications and hands-on practice. Whether you're a beginner or looking to sharpen your skills, this guide provides the tools you need to extract, analyze, and interpret data effectively.
Key Highlights:
Foundations of SQL: Understand the basics of SQL, including data retrieval, filtering, and aggregation.
Advanced Queries: Learn to craft complex queries to uncover deep insights from your data.
Data Trends and Patterns: Discover how to identify and interpret trends and patterns in your datasets.
Practical Examples: Follow step-by-step examples to apply SQL techniques in real-world scenarios.
Actionable Insights: Gain the skills to derive actionable insights that drive informed decision-making.
Join us on this journey to enhance your data analysis capabilities and unlock the full potential of SQL. Perfect for data enthusiasts, analysts, and anyone eager to harness the power of data!
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Beyond the Basics of A/B Tests: Highly Innovative Experimentation Tactics You...Aggregage
This webinar will explore cutting-edge, less familiar but powerful experimentation methodologies which address well-known limitations of standard A/B Testing. Designed for data and product leaders, this session aims to inspire the embrace of innovative approaches and provide insights into the frontiers of experimentation!
The Ipsos - AI - Monitor 2024 Report.pdfSocial Samosa
According to Ipsos AI Monitor's 2024 report, 65% Indians said that products and services using AI have profoundly changed their daily life in the past 3-5 years.
The Building Blocks of QuestDB, a Time Series Databasejavier ramirez
Talk Delivered at Valencia Codes Meetup 2024-06.
Traditionally, databases have treated timestamps just as another data type. However, when performing real-time analytics, timestamps should be first class citizens and we need rich time semantics to get the most out of our data. We also need to deal with ever growing datasets while keeping performant, which is as fun as it sounds.
It is no wonder time-series databases are now more popular than ever before. Join me in this session to learn about the internal architecture and building blocks of QuestDB, an open source time-series database designed for speed. We will also review a history of some of the changes we have gone over the past two years to deal with late and unordered data, non-blocking writes, read-replicas, or faster batch ingestion.
ViewShift: Hassle-free Dynamic Policy Enforcement for Every Data LakeWalaa Eldin Moustafa
Dynamic policy enforcement is becoming an increasingly important topic in today’s world where data privacy and compliance is a top priority for companies, individuals, and regulators alike. In these slides, we discuss how LinkedIn implements a powerful dynamic policy enforcement engine, called ViewShift, and integrates it within its data lake. We show the query engine architecture and how catalog implementations can automatically route table resolutions to compliance-enforcing SQL views. Such views have a set of very interesting properties: (1) They are auto-generated from declarative data annotations. (2) They respect user-level consent and preferences (3) They are context-aware, encoding a different set of transformations for different use cases (4) They are portable; while the SQL logic is only implemented in one SQL dialect, it is accessible in all engines.
#SQL #Views #Privacy #Compliance #DataLake
ViewShift: Hassle-free Dynamic Policy Enforcement for Every Data Lake
Expresiones algebraicas
1. Alumna: Estefany Samuel
Prof: Nelson Torcate
Sección: 100
Turismo
República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación
Universidad Politécnica territorial “Andrés Eloy Blanco”
2. SUMA, RESTA Y VALOR NUMÉRICO DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Suma:
La suma o adición es la operación binaria que tiene por objetivo el reunir dos o más sumados.
Monomios:
Estas expresiones algebraicas son del tipo (a×n) en donde a representa un número real que se
denomina coeficiente, y x es una indeterminada, es decir un elemento no conocido al que llanos
parte literal. Ejemplo:
Polinomios:
Es una expresión algebraica que consta de más de un termino. Se expresan de la forma : a+b+c,
a+×-y estos se clasifican en binomios, es decir un polinomio que tiene dos términos. Ejemplo:
Trinomios:
Son polinomios que tienen tres términos. Ejemplo: a+b+c
2𝑥4
+ 3𝑥4
= 5𝑥4
3𝑥2
+ 4𝑥2
= 7𝑥2
9𝑥2
𝑦2
+ 13𝑥2
𝑦2
= 22𝑥2
𝑦2
𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 = (5𝑥3
+ 7𝑥2
− 2𝑥) + (3𝑥3
− 3𝑥2
+ 𝑥)
𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 = 5𝑥3
+ 3𝑥3
+ 7𝑥2
− 3𝑥2
− 2𝑥 + 𝑥
𝑃 𝑥 + 𝑄 𝑥 = 83
+ 4𝑥2
− 𝑥
𝑎2 + 11𝑎 + 30 = 𝑎 + 6 (𝑎 + 5)
𝑦𝑥2
+ 3𝑦 + 2 = (y − 1)(y − 2) 𝑥2 − 𝑥 − 56 = 𝑥 + 7 (𝑥 − 8)
3. Es la operación inversa de la suma esta es la operación de comparación, en la que se
establece la diferencia entre dos polinomios, o bien lo que le falta a un polinomio para llegar
a ser igual al otro. Ejemplo:
Valor numérico de expresiones algebraicas:
Es él resultado final que se obtiene al sustituir los valores de todas las incógnitas que
aparecen en la expresión. Por ejemplo : si él valor de x es 5 entonces, él valor de 2x es 10,
esto es: 2x= 2•5= 10
Ejemplo: calcular el valor numérico para: x+5
Cuando x=2
sustituimos en la expresión: x+5=2+15=17
Él valor numérico de la expresión es: 17
3𝑥 − 4𝑥 = −𝑥 −3𝑥 − −4𝑥 = −7𝑥 2𝑥 − (2𝑥2) = 2𝑥 − 2𝑥2
𝑎 = 2 𝑏 = 3
3𝑎 + 2𝑏
𝑎 = 7 + 𝑐 = −9
−5𝑎 + 4𝑐
𝑎 = −6 𝑏 = 2 𝑐 =
1
2
𝑑 =
3
4
𝑎
𝑏
+
𝑐
𝑑
4. MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN DE
EXPRESIONES ALGEBRAICAS
La multiplicación de monomios y polinomios consiste en realizar una operación entre
los términos llamados multiplicando y multiplicador para encontrar un tercer término
llamado producto. Ejemplo:
multiplicación de monomios:
A continuación se presenta un caso para comprender de mejor manera la
multiplicación de monomios. Ejemplo:
(𝑎3
) 𝑎2
𝑎5
= 𝑎3+2+5
= 𝑎10 (3𝑥3𝑦2)(2𝑥2𝑦4) = 6𝑥5𝑦6 3𝑥 −4 = −12𝑥
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑟 3𝑎2
𝑝𝑜𝑟 6𝑎4
𝑠𝑒 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛
𝑙𝑜𝑠 𝑐𝑜𝑒𝑓𝑖𝑐𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 +3 +6 = +18
𝑦 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑐𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑙𝑒𝑡𝑟𝑎𝑠 𝑎2
𝑎4
= 𝑎2+4
= 𝑎6
𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑢𝑙𝑡𝑎𝑑𝑜 𝑠𝑒𝑟𝑎: 3𝑎2
6𝑎4
= 18𝑎
−3𝑥 5𝑎 = −15𝑎𝑥
−7𝑛 −𝑏𝑥 = +7𝑏𝑛𝑥
(5𝑥5
)(𝑥2
) = 5𝑥7
5. Multiplicación de monomios por
polinomios:
Consiste en multiplicar él termino del
monomio por cada uno de los términos que
contiene él polinomio. Ejemplo:
Multiplicación de polinomios por
polinomios:
Se multiplica los términos del multiplicando por
cada uno de los términos del multiplicador,
teniendo en consideración "La ley de los
signos", y el acomodo de los términos
semejantes. Ejemplo:
2𝑎 3𝑎 − 5𝑏 = 6𝑎2
− 10𝑎𝑏
3𝑥 4𝑥 + 7𝑦 = 12𝑥2 + 21𝑥𝑦
5𝑏 2𝑎 + 3𝑏 = 10𝑎𝑏 + 15𝑏2
𝑎 − 7 3𝑎 − 5 = 6𝑎2 − 10𝑎 − 21𝑎 + 35
= 6𝑎2
− 31𝑎 + 35
(5𝑚2
+2𝑛) 3𝑚 + 7𝑛3
− 2 =
= 15𝑚3
+ 35𝑚2
𝑛3
− 10𝑚2
+ 6𝑛𝑚 + 14𝑛4
− 4𝑛
6. Consta de las mismas partes que la división aritmética, así que si hay dos
expresiones algebraicas, p(x) dividiendo, y q(y) siendo él divisor, de modo que él
grado de p(x) sea mayor o igual 0 siempre hallaremos a 2 expresiones algebraicas
dividiéndose. Ejemplo:
División de monomios:
Se dividen los coeficientes y las literales se restan junto con sus exponentes. Ejemplo:
8𝑥4
÷ 2𝑥2
= 4𝑥4−2
= 4𝑥2
8𝑥6
÷ 7𝑥3
=
8
7
𝑥6−3
=
8
7
𝑥3
−5𝑚3
𝑛4
𝑝5
4𝑚2𝑛2𝑝3
=
−5𝑚3−2
𝑛4−2
𝑝5−3
4
=
−5𝑚𝑛2𝑝2
4
−9𝑎𝑏6
−3𝑎−3𝑏6
= −2𝑎2𝑏
30𝑎3
3𝑎−3 =
30𝑎3
3𝑎−3
(𝑎3
)
(𝑎−3)
=
30𝑎(3+3)
3𝑎(−3+3)
=
30𝑎6
3𝑎0 = 10𝑎6
6𝑎2
𝑏2
−2𝑎𝑏
=
6𝑎2
𝑏2
−2𝑎𝑏
=
(𝑎−1
𝑏−1
)
(𝑎−1𝑏−1)
=
6𝑎(2−1)
𝑏(2−1)
−2𝑎(1−1)𝑏(1−1)
= −2𝑎2𝑏
7. PRODUCTO NOTABLES DE EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
Los productos notables son simplemente multiplicaciones especiales entre expresiones
algebraicas, que por sus características destacan de las demás multiplicaciones. Las
características que hacen que un producto sea notable, es que se cumplen ciertas
reglas, tal que el resultado puede ser obtenido mediante una simple inspección, sin la
necesidad de verificar o realizar la multiplicación paso a paso. Ejemplo:
(𝑎 + 𝑏)2
= 𝑎 + 𝑏 ∗ 𝑎 + 𝑏 = 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
(𝑥 + 1)3
= 𝑥3
+ 3. 𝑥2
. 1 + 3. 𝑥. 12
+ 12
+ 3. 𝑥2
+ 3𝑥 + 1
(2𝑥 + 1)3= (2𝑥)3 + 3. (2𝑥)2. 1 + 3. 2𝑥. 12 + 13 = 8𝑥3 + 12𝑥2 + 6𝑥 + 1
8. *Binomio de suma al cuadrado:
Para elevar un binomio al cuadrado (es decir,
multiplicarlo por si mismo), se suman los
cuadrados de cada término con el doble del
producto de ellos. Se expresa de la siguiente
manera: (a + b)2 = (a + b) · (a + b).
Ejemplo 1
(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5)² = x² + 10x+ 25.
Ejemplo 2
(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2
*Binomio de una resta al cuadrado:
se aplica la misma regla del binomio de una
suma, solo que en este caso el segundo término es
negativo. Su fórmula es la siguiente:
(a – b)2 = [(a) + (- b)]2
(a – b)2 = a2 +2a * (-b) + (-b)2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Ejemplo 1
(2x – 6)2 = (2x)2 – 2 (2x * 6) + 62
(2x – 6)2 = 4x2 – 2 (12x) + 36
(2x – 6)2 = 4x2 – 24x + 36
Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia,
donde los términos son sumados o restados:
9. PRODUCTO DE BINOMIOS CONJUGADOS
Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos diferentes, es decir,
el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa. Se resuelve elevando cada monomio al
cuadrado y se restan. Su fórmula es la siguiente: (a + b) * (a – b)
Ejemplo
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 – 9b2
Productos de dos binomios con un termino común
Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una multiplicación de dos binomios que tienen
un término en común.
La regla indica lo siguiente:
*El cuadrado del término común.
*Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el término común.
*Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.
Ejemplo:
(x + 6) * (x + 9) = x2 + (6 + 9) * x + (6 * 9)
(x + 6) * (x + 9) = x2 + 15x + 54.
Ejemplo2
(7x + 4) * (7x – 2) = (7x * 7x) + (4 – 2)* 7x + (4 * -2)
(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + (2)* 7x – 8
(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + 14x – 8.
10. TAMBIÉN PUEDE SER EL CASO DE QUE AMBOS TÉRMINOS
DIFERENTES SEAN NEGATIVOS. SU FÓRMULA SERÁ: (X – A) * (X– B).
EJEMPLO:
(3B – 6) * (3B – 5) = (3B * 3B) + (-6 – 5)* (3B) + (-6 * -5)
(3B – 6) * (3B – 5) = 9B2 + (-11) * (3B) + (30)
(3B – 6) * (3B – 5) = 9B2 – 33B + 30.
Polinomio al cuadrado:
En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se eleva al
cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un término con otro;
su fórmula es: (a + b + c)2 y el resultado de la operación es un trinomio al
cuadrado.
Ejemplo
(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2 (6xy +12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy +24xz +16yz
11. Es un producto notable complejo. Para desarrollarlo se multiplica el binomio por su cuadrado, de la
siguiente manera:
a). Para el binomio al cubo de una suma:
-Él cubo del primer término, más él triple del cuadrado del primer término por él segundo.
-Más él triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
-Más el cubo del segundo término.
Ejemplo:
(a + 3)3 = a3 + 3(a)2*(3) + 3(a)*(3)2 + (3)3
(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2*(3) + 3(a)*(9) + 27
(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27
b). Para el binomio al cubo de una resta:
-Él cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por el segundo.
-Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
-Menos el cubo del segundo término.
Ejemplo:
(b – 5)3 = b3 + 3(b)2*(-5) + 3(b)*(-5)2 + (-5)3
(b – 5)3 = b3 + 3(b)2*(-5) + 3(b)*(25) -125
(b – 5)3 = b3 – 15b2 +75b – 125
12. CUBO DE UN TRINOMIO
Se desarrolla multiplicándolo por su cuadrado. Es un producto notable muy extenso
porque se tienen 3 términos elevados al cubo, más el triple de cada término elevado
al cuadrado, multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el producto
de los tres términos. Visto de una mejor forma:
(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a + b + c)2
(a + b + c)3 = (a + b + c) * (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac +2bc)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2
(𝑥 + 𝑦 + 1)3 = 𝑥3 + 𝑦3 + 13 + 3 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 1 (𝑦 + 1)
(𝑥 + 𝑦 + 1)3
= 𝑥3
+ 𝑦3
+ 1 + 3(𝑥2
+ 𝑥 + 𝑥𝑦 + 𝑦)
13. FACTORIZACIÓN POR PRODUCTOS NOTABLES
Es descomponer una expresión algebraica en factores cuyo producto es igual a la expresión
propuesta. La factorización se considera la operación inversa a la multiplicación, pues el
propósito de ésta última es hallar el producto de dos o más factores; mientras que en la
factorización, se buscan los factores de un producto dado.
Productos notables es el nombre que reciben multiplicaciones con expresiones algebraicas
cuyo resultado se puede escribir mediante simple inspección, sin verificar la multiplicación que
cumplen ciertas reglas fijas. Su aplicación simplifica y sistematiza la resolución de muchas
multiplicaciones habituales. Cada producto notable corresponde a una fórmula de
factorización. Por ejemplo, la factorización de una diferencia de cuadrados perfectos es un
producto de dos binomios conjugados, y recíprocamente.
Binomios al cuadrado:
1(x + 5)2 =
= x2 + 2 · x · 5 + 52 =
= x 2 + 10 x + 25
2(2x + 5)2 =
= (2x)2 + 2 · 2x ·5 + 52=
= 4x2 + 20 x + 25
3(2x − 5)2 =
= (2x)2 - 2 · 2x ·5 + 52 =
= 4x2 − 20 x + 25
Binomios al cubo:
1 (2x − 3)3 = (2x)3 − 3 ·
(2x)2 · 3 + 3 · 2x · 32 - 33=
= 8x3 - 36 x2 + 54 x - 27
2(x + 2)3 = x3 + 3 ·
x2 · 2 + 3 · x· 22 + 23=
= x3 + 6x2 + 12x + 8
Sumas por diferencias:
1(3x − 2) · (3x + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x2 − 4
2(x + 5) · (x − 5) =
= x2 − 25
3(3x² − 2) · (3x² + 2) =
= (3x)2 − 22 =
= 9x4 − 4
Ejemplos de ejercicios resueltos de productos notables