Suma, resta y valor numérico de expresiones algebraicas. multiplicación y división. Producto notable de expresiones algebraicas. Factorización por producto notable.

1. República Bolivariana de Venezuela
Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria
Universidad Politécnica Territorial “Andrés Eloy Blanco”
Yuriannys Rodríguez
Trayecto Inicial UPTAEB
Matemática
Barquisimeto, Enero 2021

2. *Suma y resta de expresiones algebraicas:
Lasuma o adición esla operación binaria que tiene por objetivo reunir dos o más sumandos.
-Monomios: Es un producto de un número real por una o varias variables
Ejemplo de monomio:
3X
5𝑋2
3
5
𝑎4
Ejercicios:
a)3X+9X= 12X b)8a-a= 7a
c)7XY+5XY= 12XY d)4XYZ+6XYZ-XYZ= 9XYZ
-Polinomios: Es una expresión algebraica que consta de más de un término. Se clasifican en
dos partes Binomios y Trinomios.
.Binomios: Un polinomio que tiene dos términos, a+b, x-y.
.Trinomios: Son polinomios que contienen tres términos, a+b+c, 𝑥2
-5x+6, 6y+𝑎2
Ejercicios:
Dados los polinomios P, Q:
P(X)3X+4
Q(X)5X+2
Calcular:
a)P(X)+Q(X)
b)P(X)-Q(X)
a)P(X)+Q(X) b)P(X)-Q(X)
3X+4 + 5X+2= 3X+4 – (5X+2)=
3X+5X + 4+2= 3X+4 – 5X-2=
8X+6 3X-5X + 4-2=
-2 + 2

3. Dados los polinomios:
P(X)𝑋4
- 2𝑋2
– 6X – 1
Q(X)𝑋3
- 6𝑋2
+ 4
R(X) 2𝑋4
– 2X – 2
Calcular:
c) P(X) + Q(X) – R(X)
(𝑋4
- 2𝑋2
– 6X – 1) + (𝑋3
- 6𝑋2
+ 4) – (2𝑋4
– 2X – 2)=
𝑋4
- 2𝑋2
– 6X3 – 1 + 𝑋3
- 6𝑋2
+ 4 – 2𝑋4
+ 2X + 2=
𝑋4
- 2𝑋4
+ 𝑋3
- 2𝑋2
- 6𝑋2
- 6X+2X-1+4+2=
-𝑋4
+𝑋3
- 8𝑋2
– 4X+5
d) Q(X) + R(X) – P(X)
(𝑋3
- 6𝑋2
+ 4) + (2𝑋4
– 2X – 2) - (𝑋4
- 2𝑋2
– 6X – 1)
𝑋3
- 6𝑋2
+ 4 + 2𝑋4
– 2X – 2 - 𝑋4
-2𝑋2
+ 6X + 1
2𝑋4
-𝑋4
+𝑋3
-6𝑋2
+ 2𝑋2
- 2X-6X-4-2+1
𝑋4
+𝑋3
- 4𝑋2
- 4X+3
*Valor numérico de una expresión algebraica: Se trata de una simple
sustitución de números por letras para después hacer los cálculos indicados por la
expresión y obtener así un resultado.
Ejemplo: Dada la expresión:
Sustituimoslasletras porlos númerosteniendo en cuenta los signosaritméticos:

4. Ejercicios:
Calcula el valor el valor numérico de esta expresión algebraica
Cuando:
-4
Calcula los siguientes valores numéricos:
para
5
*Multiplicación de expresiones algebraicas: Es una operación matemática
que consiste en obtener un resultado llamado producto a partir de dos factores algebraicos
llamada multiplicando y multiplicador.
-Ley de signos: La ley de signos que usaremos usualmente en la multiplicación algebraica,
sobre todo en los ejercicios. La ley de signos nos dice que:
 La multiplicación de signos iguales es siempre positiva.
 La multiplicación de signos diferentes es siempre negativa.
(+)(+)=+ (+)(-)=-
(-)(-)=+ (-)(+)=-
-Leyes de la multiplicación:

5. Ley conmutativa: Esta ley nos dice que el orden de los factores no altera el producto,
esto es, ab=ba veamos dos ejemplos:
o x𝑦2
=𝑦2
x
o xy𝑧2
=yx𝑧2
=x𝑧2
y=y𝑧2
x=𝑧2
xy=𝑧2
yx
Ley asociativa: La ley asociativa nos dice no importa de qué manera se agrupen los
factores, esta no altera el producto, esto es, a(bc)=(ab)c, aclarando con un ejemplo:
o x𝑦2
𝑧3
=x(𝑦2
𝑧3
)= 𝑦2
(x𝑧3
)=z3(x𝑦2
)
Ley distributiva: esta ley será muy importante para nuestras operaciones, y nos dice que la
multiplicación de un factor por una suma de dos o más términos es igual a la suma de cada
termino multiplicado por el factor dado, esto es, a(b+c)=ab+ac, veamos estos ejemplos:
o 3(4+1)=3⋅4+3⋅1=12+3=15
o 5(x+3)=5⋅x+5⋅3=5x+15
Ejercicios:
Multiplicar: (?–3)(?+4)
Solución:
(x–3)(x+4)=x⋅ x+x⋅ 4+(−3)⋅ x+(−3)⋅ 4=
𝑋2
+4x+(−3x)+(−12)=
𝑋2
+4x−3x−12=
𝑋2
+x−12
Multiplicar: (?+3)(?2+2?+1)
Solución:
(x+3)(x2+2x+1)=x⋅𝑋2
+x⋅2x+x⋅1+3⋅𝑋2
+3⋅2x+3⋅1=
𝑥3
+2𝑋2
+x+3𝑋2
+6x+3=
𝑥3
+5𝑋2
+7x+3
*División de expresiones algebraicas: La división algebraica es una operación
entre dos expresiones algebraicas llamadas dividendo y divisor para obtener otra
expresión llamado cociente por medio de un algoritmo.

6. Ejercicios:
Dividir: 14𝑥20
+21𝑥16
+28𝑥10
y 7𝑥8
.
14𝑥20+21𝑥16+28𝑥10
7𝑥8 =
14𝑥20
7𝑥8 +
21𝑥16
7𝑥8 +
28𝑥10
7𝑥8
=
14𝑥20−8
7
+
21𝑥16−8
7
+
28𝑥10−8
7
=2𝑥12
+3𝑥8
+4𝑥2
Dividir:36𝑥8
+ 24𝑥6
- 12𝑥4
y 6𝑥2
36𝑥8
+24𝑥6
−12𝑥4
6𝑥2 =
36𝑥8
6𝑥2 +
24𝑥6
6𝑥2 -
12𝑥4
6𝑥2
=6𝑥6
+ 4𝑥4
- 2𝑥2
*Productos notables de expresión algebraica: Los productos notables son
operaciones algebraicas, donde se expresan multiplicaciones de polinomios, que no
necesitan ser resueltas tradicionalmente, sino que con la ayuda de ciertas reglas se pueden
encontrar los resultados de las mismas.
Cada producto notable es una fórmula que resulta de una factorización, compuesta por
polinomios de varios términos como por ejemplo binomios o trinomios, llamados factores.
Factorización: Es descomponer una expresión algebraica en factores cuyo producto es
igual a la expresión propuesta. La factorización se considera la operación inversa a la
multiplicación ,pues el propósito de esta última es hallar el producto de dos o más factores,
mientras que en la factorización, se buscan los factores de un producto.
Binomio al cuadrado
Es la multiplicación de un binomio por sí mismo, expresada en forma de potencia, donde los
términos son sumados o restados:
a. Binomio de suma al cuadrado: es igual al cuadrado del primer término, más el doble del
producto de los términos, más el cuadrado del segundo término. Se expresa de la siguiente
manera:

7. (a + b)2 = (a + b) *(a + b).
Ejemplo
(4a + 2b) = (4a)2 + 2 (4a * 2b) + (2b)2
(4a + 2b) = 8a2 + 2 (8ab) + 4b2
(4a + 2b) = 8a2 + 16 ab + 4b2.
Ejemplo
(x + 5)² = x² + 2 (x * 5) + 5²
(x + 5)² = x² + 2 (5x) + 25
(x + 5)² = x² + 10x+ 25.
b. Binomio de una resta al cuadrado: se aplica la misma regla del binomio de una suma,
solo que en este caso el segundo término es negativo. Su fórmula es la siguiente:
(a – b)2 = [(a) + (- b)]2
(a – b)2 = a2 +2a *(-b) + (-b)2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2.
Ejemplo
(2x – 6)2 = (2x)2 – 2 (2x * 6) + 62
(2x – 6)2 = 4x2 – 2 (12x) + 36
(2x – 6)2 = 4x2 – 24x + 36.

8. Producto de binomios conjugados
Dos binomios son conjugados cuando los segundos términos de cada uno son de signos
diferentes, es decir, el del primero es positivo y el del segundo negativo o viceversa. Se
resuelve elevando cada monomio al cuadrado y se restan. Su fórmula es la siguiente:
(a + b) *(a – b)
Ejemplo
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 + (-6ab) + (6 ab) + (-9b2)
(2a + 3b) (2a – 3b) = 4a2 – 9b2.
Producto de dos binomios con un término común
Es uno de los productos notables más complejos y poco utilizados porque se trata de una
multiplicaciónde dos binomios que tienen un término en común. La regla indicalo siguiente:
 El cuadrado del término común.
 Más la suma los términos que no son comunes y luego multiplicarlos por el
término común.
 Más la suma de la multiplicación de los términos que no son comunes.
Se representa en la fórmula: (x + a) *(x + b) y es desarrollada como se muestra en la imagen.
El resultado es un trinomio cuadrado no perfecto.
(x + 6)* (x + 9) = x2 + (6 + 9)* x + (6 * 9)
(x + 6)*(x + 9) = x2 + 15x + 54.
Existe la posibilidad de que el segundo término (el término diferente) sea negativo y su
fórmula es la siguiente: (x + a) *(x –b)
Ejemplo
(7x + 4) * (7x – 2) = (7x *7x) + (4 – 2)* 7x + (4 * -2)

9. (7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + (2)*7x – 8
(7x + 4) * (7x – 2) = 49x2 + 14x – 8.
También puede ser el caso de que ambos términos diferentes sean negativos. Su fórmula
será: (x – a)* (x – b).
Ejemplo
(3b – 6) * (3b – 5) = (3b * 3b) + (-6 – 5)* (3b) + (-6 * -5)
(3b – 6) * (3b – 5) = 9b2 + (-11)* (3b) + (30)
(3b – 6) * (3b – 5) = 9b2 – 33b + 30.
Polinomio al cuadrado
En este caso existen más de dos términos y para desarrollarlo, cada uno se eleva al
cuadrado y se suman junto con el doble de la multiplicación de un término con otro; su
fórmula es: (a + b + c)2 y el resultado de la operación es un trinomio al cuadrado.
Ejemplo
(3x + 2y + 4z)2 = (3x)2 + (2y)2 + (4z)2 + 2 (6xy + 12xz + 8yz)
(3x + 2y + 4z)2 = 9x2 + 4y2 + 16z2 + 12xy +24xz + 16yz.
Binomio al cubo
Es un producto notable complejo. Para desarrollarlo se multiplica el binomio por su
cuadrado, de la siguiente manera:
a. Para el binomio al cubo de una suma:

10.  El cubo del primer término, más el triple del cuadrado del primer término por el
segundo.
 Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
 Más el cubo del segundo término.
(a + b)3 = (a + b) *(a + b)2
(a + b)3 = (a + b) * (a2 + 2ab + b2)
(a + b)3 = a3 + 2a2b + ab2 + ba2 + 2ab2 + b3
(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Ejemplo
(a + 3)3 = a3 + 3(a)2
*(3) + 3(a)*(3)2 + (3)3
(a + 3)3 = a3 + 3 (a)2
*(3) + 3(a)*(9) + 27
(a + 3)3 = a3 + 9 a2 + 27a + 27.
b. Para el binomio al cubo de una resta:
 El cubo del primer término, menos el triple del cuadrado del primer término por
el segundo.
 Más el triple del primer término, por el segundo al cuadrado.
 Menos el cubo del segundo término.
(a – b)3 = (a – b) *(a – b)2
(a – b)3 = (a – b) * (a2 – 2ab + b2)
(a – b)3 = a3 – 2a2b + ab2 – ba2 + 2ab2 – b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3.
Ejemplo 2

11. (b – 5)3 = b3 + 3(b)2
*(-5) + 3(b)*(-5)2 + (-5)3
(b – 5)3 = b3 + 3(b)2
*(-5) + 3(b)*(25) -125
(b – 5)3 = b3 – 15b2 +75b – 125.
Cubo de un trinomio
Se desarrolla multiplicándolo por su cuadrado. Es un producto notable muy extenso porque
se tienen 3 términos elevados al cubo, más el triple de cada término elevado al cuadrado,
multiplicado por cada uno de los términos, más seis veces el producto de los tres términos.
Visto de una mejor forma:
(a + b + c)3 = (a + b + c)*(a + b + c)2
(a + b + c)3 = (a + b + c)* (a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc)
(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3a2b + 3ab2 + 3a2c + 3ac2 + 3b2c + 3bc2 + 6abc.
Ejemplo
Ejercicios resueltos de productos notables
Ejercicio
Desarrollar el siguiente binomio al cubo: (4x – 6)3.
Solución

12. (4x – 6)3 = (4x)3 – 3(4x)2(6) + 3 (4x) *(6)2 – (6)2
(4x – 6)3 = 64x3 – 3(16x2) (6) + 3 (4x)* (36) – 36
(4x – 6)3 = 64x3 – 288x2 + 432x – 36.
Ejercicio 2
Desarrollar el siguiente binomio: (x + 3)(x+8).
Solución
(x + 3)(x + 8) = x2 + (3 + 8)x + (3*8)
(x + 3)(x + 8) = x2 + 11x + 24.
*Bibliografía:
-aulafacil.com
-ciencias-basicas.com
-Leccionesdemates.com
-lifeder.com
-es.slideshare.net
-proyectodescartes.org
-www.superprof.es
-Algebra desde cero- matemáticas con Juan- video youtube