This document discusses the derivation of logarithmic and exponential functions. It provides rules for deriving logarithmic and exponential functions, such as the derivative of the logarithmic function being equal to the derivative of the argument divided by the argument. Examples are given of deriving various logarithmic and exponential functions both directly and by first applying logarithm or exponential properties. Practice problems are presented at the end to derive additional logarithmic and exponential functions.

1. UNIVERSIDAD DEL MAGDALENA
FACULTAD DE CIENCIAS EMPRESARIALES Y ECONÓMICAS
CALCULO DIFERENCIAL APLICADO
DOCENTE: RODIN MARÍN CALDERÓN
DERIVADA DE LA FUNCIÓN LOGARÍTMICA
Si 𝑓(𝑢) = ln|𝑢| y 𝑢 = 𝑢(𝑥), entonces 𝑓′(𝑢) =
𝑢′
𝑢
. Es decir, la derivada de la función logarítmica es
igual a la derivada del argumento dividido entre el argumento del logaritmo.
Ejemplos.
Derive las siguientes funciones logarítmicas.
A. 𝑓(𝑥) = ln|5𝑥2
− 3| aplicando la regla para la derivada de la función logaritmo, se obtiene:
𝑓′(𝑥) =
10𝑥
5𝑥2−3
Al derivar funciones logarítmicas, en muchas ocasiones, resulta más fácil aplicar primero las
propiedades de los logaritmos y después derivar la función.
PROPIEDADES DE LOS LOGARITMOS
1. ln|𝑋. 𝑌| = ln|𝑋| + ln|𝑌| 2. ln |
𝑋
𝑌
| = ln|𝑋| − ln|𝑌| 3. ln|𝑋𝑛| = 𝑛 ln|𝑋|
Veamos:
B. 𝑔(𝑥) = ln|𝑥3| al aplicar la regla para derivar una función logarítmica, se obtiene:
𝑔′(𝑥) =
3𝑥2
𝑥3 simplificando las potencias de 𝑥, se obtiene:
𝑔′(𝑥) =
3
𝑥
y esa es la derivada de 𝑔(𝑥), totalmente simplificada.
Ahora hallamos la derivada de 𝑔(𝑥) aplicando primero la propiedad del logaritmo:
𝑔(𝑥) = ln|𝑥3| al aplicar la propiedad 3 de los logaritmos, la función se transforma en:
𝑔(𝑥) = 3 ln|𝑥| ahora derivamos la función aplicando la regla para derivar logaritmos, la
constante queda igual, solo derivamos la función:
𝑔′(𝑥) = 3.
1
𝑥
=
3
𝑥
→ 𝑔′(𝑥) =
3
𝑥
observamos que es exactamente igual a la anterior.
C. 𝑦 = ln √𝑥4 − 5 esta función es equivalente a:
𝑦 = ln(𝑥4
− 5)
1
2 ahora aplicamos la regla para derivar logaritmos y la regla de la cadena:

2. 𝑦′ =
1
2
(𝑥4−5)
−1
2 . 4𝑥3
(𝑥4−5)
1
2
resolvemos las operaciones indicadas:
𝑦′ =
4𝑥3
2(𝑥4−5)
1
2
(𝑥4−5)
1
2
ahora, del producto de los extremos resulta el nuevo numerador y del
producto de los medios resulta el nuevo denominador, así:
𝑦′ =
4𝑥3
2(𝑥4−5)
1
2(𝑥4−5)
1
2
por último, dividimos 4 entre 2, y multiplicamos en el denominador
las potencias de igual base, y obtenemos la derivada ya simplificada:
𝑦′ =
2𝑥3
𝑥4−5
.
Ahora vamos a derivar la misma función, pero aplicando previamente las propiedades de los
logaritmos:
𝑦 = ln √𝑥4 − 5 esta función es equivalente a:
𝑦 = ln(𝑥4
− 5)
1
2 ahora aplicamos la propiedad 3 de los logaritmos:
𝑦 =
1
2
ln(𝑥4
− 5) a continuación, derivamos aplicando la regla de derivada de logaritmos:
𝑦′
=
1
2
4𝑥3
(𝑥4−5)
=
4𝑥3
2(𝑥4−5)
aquí multiplicamos, numerador por numerador y denominador
por denominador, y ahora dividimos 4 entre 2 y obtenemos:
𝑦′ =
2𝑥3
𝑥4−5
resultado igual al método anterior.
Ahora derivaremos logaritmos aplicando primero las propiedades siempre que sea posible.
D. 𝑓(𝑥) = ln|(5𝑥 + 2)4(8𝑥 − 3)6| primero aplicamos la propiedad 1 de los logaritmos:
𝑓(𝑥) = ln|(5𝑥 + 2)4| + ln|(8𝑥 − 3)6| aplicamos la propiedad 3 de los logaritmos:
𝑓(𝑥) = 4 ln|5𝑥 + 2| + 6ln|8𝑥 − 3| ahora si derivamos, aplicamos la regla de derivada para
logaritmos:
𝑓′(𝑥) = 4.
5
5𝑥+2
+ 6.
8
8𝑥−3
resolvemos las operaciones indicadas:

3. 𝑓′(𝑥) =
20
5𝑥+2
+
48
8𝑥−3
resolvemos la operación entre fracciones algebraicas:
𝑓′(𝑥) =
20(8𝑥−3)+48(5𝑥+2)
(5𝑥+2)(8𝑥−3)
resolvemos las operaciones indicadas:
𝑓′(𝑥) =
160𝑥−60+240𝑥+96
(5𝑥+2)(8𝑥−3)
se reducen términos semejantes:
𝑓′(𝑥) =
400𝑥+36
(5𝑥+2)(8𝑥−3)
E. 𝑦 = ln |
2𝑥+3
3𝑥−4
| aplicamos la propiedad 2 de los logaritmos:
𝑦 = ln|2𝑥 + 3| − ln|3𝑥 − 4| derivamos aplicando la regla de derivada para logaritmos:
𝑦′
=
2
2𝑥+3
−
3
3𝑥−4
resolvemos la operación entre fracciones algebraicas:
𝑦′ =
2(3𝑥−4)−3(2𝑥+3)
(2𝑥+3)(3𝑥−4)
resolvemos operaciones indicadas:
𝑦′ =
6𝑥−8−6𝑥−9
(2𝑥+3)(3𝑥−4)
y, por último, se reducen términos semejantes:
𝑦′ =
−17
(2𝑥+3)(3𝑥−4)
Ejercicios propuestos.
Derivar las siguientes funciones, simplifique siempre que sea posible.
1. 𝑓(𝑥) = ln|√1 + 𝑥2| 2. 𝑔(𝑥) = ln|ln|𝑥|| 3. ℎ(𝑥) = ln |√(
𝑥+1
1−𝑥
)
3
5
|
4. 𝑦 = ln |
𝑥+1
√𝑥−2
| 5. 𝑓(𝑥) = ln |
4𝑥−7
5𝑥+2
| 6. 𝑔(𝑥) = ln |√
1+𝑥2
1−𝑥2|
7. 𝑦 = ln|(𝑥2
+ 2)2(3𝑥2
− 1)4| 8. 𝑦 = ln|𝑥2
√3𝑥 − 9|
9. 𝑓(𝑥) = ln |√
1+𝑥2
1−𝑥2
4
|
DERIVADA DE LA FUNCION EXPONENCIAL
Si 𝑓(𝑢) = 𝑒𝑢
, donde 𝑢 = 𝑢(𝑥), entonces 𝑓′(𝑢) = 𝑒𝑢
. 𝑢′
Esta regla indica que la derivada de la función exponencial es igual a la misma función exponencial
por la derivada del exponente.
Ejemplos.
Derive las siguientes funciones exponenciales.

4. A. 𝑓(𝑥) = 𝑒5𝑥
aplicamos la regla para derivar la función exponencial:
𝑓′(𝑥) = 𝑒4𝑥
.4 esta expresión es equivalente a:
𝑓′(𝑥) = 4𝑒4𝑥
B. 𝑔(𝑥) = 3𝑒2𝑥2+1
aplicamos la regla para derivar la función exponencial:
𝑔′(𝑥) = 3𝑒2𝑥2+1
. 4𝑥 resolvemos las operaciones indicadas:
𝑔′(𝑥) = 12𝑥𝑒2𝑥2+1
C. 𝑦 =
𝑥
𝑒𝑥 aplicamos la regla del cociente, y cuando se vaya a derivar el denominador, se
aplica la derivada de la función exponencial:
𝑦′ =
1.𝑒𝑥−𝑥.𝑒𝑥.1
(𝑒𝑥)2 resolvemos las operaciones indicadas:
𝑦′ =
𝑒𝑥−𝑥𝑒𝑥
𝑒2𝑥 factorizamos en el numerador, factor común:
𝑦′ =
𝑒𝑥(1−𝑥)
𝑒2𝑥 y, por último, dividimos potencias de igual base, y se obtiene:
𝑦′ =
1−𝑥
𝑒𝑥
D. 𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑒3𝑥
aplicamos la regla para derivar un producto y de la función exponencial:
𝑓′(𝑥) = 2𝑥𝑒3𝑥
+ 𝑥2
𝑒3𝑥
.3 y, ahora, factorizamos:
𝑓′(𝑥) = 𝑥𝑒3𝑥(2 + 3𝑥)
Ejercicios propuestos.
Derive las siguientes funciones, y simplifique siempre que sea posible:
1. 𝑓(𝑥) =
𝑒𝑥−1
𝑒𝑥+1
2. 𝑔(𝑥) = (1 + 𝑒5𝑥)4
3. ℎ(𝑥) = 𝑥4
𝑒2𝑥3
4. 𝑦 =
𝑒𝑥 − 𝑒−𝑥
𝑒𝑥 + 𝑒−𝑥
5. 𝑦 = ln |
𝑒4𝑥 − 1
𝑒4𝑥 + 1
| 6. 𝑦 =
ln|𝑥|
𝑒𝑥 7. 𝑦 = ln |
𝑥
𝑒𝑥| 8. 𝑦 = 𝑒3𝑥+1
. ln|𝑥2
+ 1|