Expresión algebraica, Producto Notable y Factorizaciòn

1. REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACIÓN UNIVERSITARIA
UNIVERSIDAD POLITÉCNICA TERRITORIAL
“ANDRES ELOY BLANCO”
BARQUISIMETO ESTADO LARA
BARQUISIMETO MARZO 2021
PARTICIPANTE:
Jeancarlos Freitez
CI: 14031831
Sección: DL0300

2. El lenguaje
algebraico:
Expresa la
información
matemática
mediante letras y
números.
 Signos (+ , -), que dice si es positivo o
negativo.
 Literal: letras asignadas a la variable.
 Coeficiente: numero que dice por cuantas
veces esta multiplicanda esa expresión.
 Grado: es el exponente al que esta
elevada una literal
Es una combinación de letras,
números y signos de operaciones.
Las letras suelen representar
cantidades desconocidas y se
denominan variables o incógnitas.
Las expresiones algebraicas nos
permiten traducir al lenguaje
matemático expresiones del lenguaje
habitual.
Lenguaje Numérico:
Expresa la información
matemática a través de
los números, pero en
algunas
ocasiones, es necesario
utilizar letras para
expresar
números desconocidos.

3. Raciona
l
Irracional
Enteras
fraccionales
Se llama así a la expresiones
algebraica donde al menos una
variable esta afectada a
exponentes fraccionario o
figura bajo un signo de
radicación
SE llama así a las
expresiones algebraicas
donde las Variables
aparecen en el numerador y
están afectadas solo a
exponentes naturales.
Se llama así a las
expresiones algebraicas
donde al menos una variable
esta afectada a exponente
entero negativo o figura en
el denominador
3𝑋 + 4
1
2
𝑦 + 3𝑦 +
1
6
3 − 4z

4.  Monomios: tiene solo un termino (𝜋𝑟2), 4𝑥2
 Binomio: tiene dos termino 2𝑥3 + 𝑥2 , 𝑥2 + 𝑥
 Trinomio-. Tiene tres termino. 𝑥2 + 2𝑥 + 1 , 4𝑥2 + 4𝑥 + 1
 Polinomio: tiene de 4 términos en adelante
𝑥4
+ 𝑥3
+ 3𝑥2
+ 2𝑥 + 2
Suma : para sumar dos o mas polinomios se escriben
unos a continuación de los otros con sus propios signos y
se reducen términos semejantes, si los hay.
Resta: una resta de polinomio es equivalente a una suma
algebraica, donde cada termino del sustraendo se cambia
por su opuesto.

5. Ejemplo: 𝑎 − 𝑏 + 2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐 + −4𝑎 + 5𝑏
Eliminamos los paréntesis:
𝑎 − 𝑏 + 2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐 − 4𝑎 + 5 =
Reducir los términos semejantes:
𝑎 − 𝑏 + 2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐 − 4𝑎 + 5 = −𝑎 + 7𝑏 − 𝑐
Ejercicio: 𝑝 𝑥 + 𝑞(𝑥)
𝑝 𝑥 = 4𝑥 − 5𝑦 ; 𝑞 𝑥 = (−3𝑥 + 6𝑦 − 8)
𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = 4𝑥 − 5𝑦 + −3𝑥 + 6𝑦 − 8
𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = 4𝑥 − 5𝑦 − 3𝑥 + 6𝑦 − 8
𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = 4𝑥 − 3𝑥 − 5𝑦 + 6𝑦 − 8
𝑝 𝑥 + 𝑞 𝑥 = 𝑥 + 𝑦 − 8
Ejercicio N° 2
𝐴(𝑥) = −5𝑥2 + 3𝑥 − 1 y 𝐵(𝑥) = 𝑥2 + 7𝑥 + 1
𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 =
𝐴 𝑥 + 𝐵 𝑥 =
−5𝑥2+3𝑥 −1
𝑥2+7𝑥+1
−4𝑥2+10𝑥
Ejemplo:
4𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 2𝑥 + 5𝑧 − 6 =
Eliminando paréntesis:
4𝑥 − 3𝑦 + 2𝑧 − 2𝑥 − 5𝑧 + 6 =
Procedemos a resolver
(4𝑥 − 2𝑥) − 3𝑦 + (2𝑧 − 5𝑧) + 6) = 2x − 3y − 3z + 6
Ejercicio: 𝑝 𝑥 − 𝑞(𝑥)
𝑝 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥2 + 6 ; q(x) 5𝑥2 − 4𝑥 + 6 =
𝑝 𝑥 − 𝑞(𝑥)= 𝑥3
− 𝑥2
+ 6 − 5𝑥2
− 4𝑥 + 6
𝑝 𝑥 − 𝑞 𝑥 = 𝑥3 − 𝑥2 + 6 − 5𝑥2 + 4x − 6
𝑝 𝑥 − 𝑞 𝑥 = 𝑥3
− 𝑥2
− 5𝑥2
+ 4𝑥 + 6 − 6
𝑝 𝑥 − 𝑞 𝑥 = 𝑥3
− 6𝑥2
+ 4𝑥
Ejercicio n°2: 𝑞 𝑥 − 𝑝 𝑥 =
𝑞 𝑥 = −
3
5
𝑎𝑏 +
1
6
𝑎2
𝑏2
− 8 𝑦 𝑝 𝑥
= −4𝑎3
𝑏3
−
1
10
𝑎𝑏 +
2
3
𝑎2
𝑏2
− 9
𝑞 𝑥 − 𝑝 𝑥 = −
3
5
𝑎𝑏 +
1
6
𝑎2𝑏2 − 8 − (−4𝑎3𝑏3 −
1
10
𝑎𝑏 +
2
3
𝑎2
𝑏2
− 9)
𝑞 𝑥 − 𝑝 𝑥 = −
3
5
𝑎𝑏 +
1
6
𝑎2
𝑏2
− 8 + 4𝑎3
𝑏3
+
1
10
𝑎𝑏 −
2
3
𝑎2
𝑏2
+ 9
𝑞 𝑥 − 𝑝 𝑥
= −
3
5
𝑎𝑏 +
1
10
𝑎𝑏 +
1
6
𝑎2𝑏2 −
2
3
𝑎2𝑏2 + 4𝑎3𝑏3
+ −8 + 9
𝑞 𝑥 − 𝑝 𝑥 = −
1
2
𝑎𝑏 −
1
2
𝑎2
𝑏2
+ 4𝑎3
𝑏3
+ 1

6. Multiplicación de monomio
Reglas:
Se multiplican los coeficientes
Se multiplican las potencias de igual base.
Se escribe el coeficiente obtenido seguido de las variables
obtenidas como productos de potencias.
El signo del producto vendrá dado por la ley de los signos
Ejercicio n°1
2𝑥3
∗ −3𝑥 = 2 ∗ −3 𝑥3
𝑥
= −6 𝑥3𝑥
= −6𝑥3+1
= −6𝑥4
Ejercicio n°2
−𝑥𝑦2
∗ −5𝑥4
𝑦3
𝑚 = −1 −5 𝑥 𝑥4
𝑦2
𝑦3
m
= 5𝑥1+4
𝑦2+3
𝑚
= 5𝑥5
𝑦5
𝑚
Multiplicación de polinomio
Importante saber:
a) Ley de los signos
+ 𝑝𝑜𝑟+ = +
− 𝑝𝑜𝑟 − = +
+ 𝑝𝑜𝑟 − = −
− 𝑝𝑜𝑟 + = −
b) producto de potenciación de igual base-:
Para multiplicar potencias de la misma base se escribe
la base y se coloca por exponente la suma de los
exponentes de los factores
Ejemplo: 𝑎4
∗ 𝑎3
∗ 𝑎2
= 𝑎4+3+2
= 𝑎9
Multiplicación de polinomio por
monomios
 Se multiplica el monomio por cada
uno de los términos del polinomio,
teniendo en cuenta en cada caso la
regla de los signos.
 Se separan los productos parciales con
sus propios signos
Ejercicio n°1
3𝑥2 − 6𝑥 + 7 4𝑎𝑥2 = 3𝑥2 4𝑎𝑥2 − 6𝑥 4𝑎𝑥2 + 7 4𝑎𝑥2
= 12𝑎𝑥4
− 24𝑎𝑥3
+ 28𝑎𝑥2
Ejercicion°2
3𝑥3
− 𝑥2
−2𝑥 = 3𝑥3
−2𝑥 − 𝑥2
−2𝑥
= −6𝑥4 + 3𝑥3
Multiplicación de polinomio por polinomio
 Se multiplica los términos del multiplicando por cada
uno de los términos del multiplicados, tenido en cuenta
la ley de los signos.

7. Producto notable
se llama producto notable a cierto productos que
cumplen reglas fijas cuyo resultado puede ser escrito por
simple inspección. Es decir, sin verificar la multiplicación.
suma de un binomio al cuadrado:
El Cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al
cuadrado del primer termino mas el doble producto del
primer termino por el segundo mas el cuadrado del
segundo termino.
𝑎 + 𝑏 2
= 𝑎2
+ 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Ejercicio n° 1
4𝑎 + 5𝑏2 2
= 16𝑎2
+ 2 ∗ 4𝑎 ∗ 5𝑏 + 25𝑏4
4𝑎 + 5𝑏2 2
= 16𝑎2
+ 40𝑎𝑏2
+ 25𝑏4
Ejercicio n° 2
𝑥 + 4 2 = 𝑥2 + 2𝑥 ∗ 4 + 42
𝑥 + 4 2 = 𝑥2 + 8𝑥 + 16
Resta de un binomio al cuadrado:
El Cuadrado de la diferencia de dos términos es igual
al cuadrado del primer termino menos el doble del
primer termino por el segundo mas el cuadrado del
segundo termino.
𝑎 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Ejercicio n°1
𝑥 − 5 2 = 𝑥2 − 2𝑥 ∗ 5 + 52
𝑥 − 5 2 = 𝑥2 − 10𝑥 + 25
Ejercicio n°2
4𝑎2
− 3𝑏3 2
= 4𝑎2 2
− 2 4𝑎2
3𝑏3
+ 3𝑏3 2
4𝑎2 − 3𝑏3 2 = 16𝑎4 − 24𝑎2𝑏3 + 9𝑏6
Binomios conjugados:
La suma de dos términos multiplicada por su diferencia es igual
a la diferencia de sus cuadrados
𝑎 + 𝑏 𝑎 − 𝑏 = 𝑎2
− 𝑏2
Ejercicios n°1 𝑎 + 𝑥 𝑎 − 𝑥 = 𝑎2
− 𝑥2
Ejercicios n°2 2𝑎 + 3𝑏 2𝑎 − 3𝑏 = 2𝑎 2
− 3𝑏 2
= 4𝑎2
− 9𝑏2

8. Factorización:
Es una expresión algebraica es convertir en el producto
indicado de sus factores
Factor común monomio:
Ejemplos: 𝑎2 + 2𝑎 = 𝑎 𝑎 + 2
𝑎2
+ 2𝑎 tiene como factor común a 𝑎. Escribimos el factor
común 𝑎 como el coeficiente de un paréntesis escribimos los
cocientes de dividir.
𝑎2
𝑎
= 𝑎
2𝑎
𝑎
= 2
Ejercicios N° 1 ∶ 10𝑎2 − 5𝑎 + 15𝑎3 = 5𝑎 2𝑎 − 1 + 3𝑎2
Ejercicio N° 2: 5𝑚2 + 15𝑚3 = 5𝑚2 1 + 3𝑚
Factor común polinomios
Descomponer 𝑥 𝑎 + 𝑏 +
𝑚 𝑎 + 𝑏 los dos términos de esta
expresión tiene como factor común
𝑎 + 𝑏
Se escribe este factor común como
coeficiente de un paréntesis en el cual
escribimos los coeficientes de dividir
los dos términos de la expresión
𝑎 + 𝑏
𝑥 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏
=
𝑥 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏
= 𝑥
𝑚 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏
=
𝑚 𝑎 + 𝑏
𝑎 + 𝑏
= 𝑚
Luego, 𝑥 𝑎 + 𝑏 + 𝑚 𝑎 + 𝑏 =
𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑚
Ejercicio N°1: 2𝑥 𝑎 − 1 − 𝑦 𝑎 − 1 = 𝑎 − 1 2𝑥 − 𝑦
Ejercicio N°2 𝑚 𝑥 + 2 + 𝑥 + 2 = 𝑥 + 2 𝑚 + 1

9. Factor común por agrupación de términos
Descomposición 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦
Los dos primeros términos a 𝑥 como factor común y los
dos últimos, el factor común 𝑦
Agrupamos los dos primeros en un paréntesis y los dos
últimos en otro paréntesis del signo +
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦
= 𝑥 𝑎 + 𝑏 + 𝑦 𝑎 + 𝑏
Ahora es: 𝑎 + 𝑏 es factor común de esos términos y
queda:
𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑦
También se puede agrupar el 1° y 3° termino en un
paréntesis, ya que tienen a 𝑎 como factor común y el 2° y
4° agrupados por ser 𝑏 su factor común y tendremos:
𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑥 + 𝑏𝑦
= 𝑥 𝑎 + 𝑏 + 𝑦 𝑎 + 𝑏
= 𝑎 + 𝑏 𝑥 + 𝑦
Ejercicio N°1 descomponer
3𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 4𝑚 − 8𝑛 = 3𝑚2 − 6𝑚𝑛 + 4𝑚 − 8𝑛
= 3𝑚 𝑚 − 2𝑛 + 4 𝑚 − 2𝑛
= 𝑚 − 2𝑛 3𝑚 + 4
Ejercicio N°2 descomponer
2𝑥2
− 3𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦 = 2𝑥2
− 3𝑥𝑦 − 4𝑥 + 6𝑦
= 𝑥 2𝑥 − 3𝑦 − 2 2𝑥 − 3𝑦
= 2𝑥 − 3𝑦 𝑥 − 2

10. a) Se colocan todos los coeficientes del polinomio
ordenados en forma decreciente:
coeficiente
valor dado a 𝑥
1 +2 -1 - 2
1
1 +2 -1 -2
1
1
b) Se coloca el primer coeficiente
Factorizar 𝑥3 + 2𝑥2 − 𝑥 − 2
Se le dan valores a 𝑥 que sean factores del termino independiente o sea 1, -1, 2 y -2, veamos
si el polinomio se anula para 𝑥 = 1: 𝑥 = −1; 𝑥 = 2 𝑦 𝑥 = −2. si se anula para alguno de
estos valores, el polinomio será divisible por 𝑥 menos ese valor.
Procedemos a seguir:

11. c) Se multiplica por el valor de 𝑥 y su resultado se coloca
debajo del segundo coeficiente(2), es decir se efectúa el
producto 1 ∗ 1 = 1
1 +2 -1 -2
1
1
1
d) Se suma algebraicamente el segundo coeficiente
2 y el resultado de la multiplicación: 1, la suma es 3
1 +2 -1 -2
1
1 3
1
e) Este se multiplica por 𝑥 = 1 y este producto se
coloca debajo del 3er coeficiente. (-1)
1 +2 -1 -2
1
1 3
1 3

12. f) Este suma este producto 3 y el 3er coeficiente. La
suma es 2
1 +2 -1 -2
1
1 3 2
1 3
g) Se repite el procedimiento pero con el nuevo
resultado de la suma 2
1 +2 -1 -2
1
1 3 2 0
1 3 2
Como el resultado fue cero al final, el polinomio
dado se anula para 𝑥 = 1, luego es divisible por ( x –
1 ) y los números 1, 3, y 2 obtenidos son los
coeficientes del polinomio de 2° grado.
1𝑥2
+ 3𝑥 + 2 = 𝑥2
+ 3x + 2
Este polinomio 𝑥2
+ 3𝑥 + 2 se factoriza:
𝑥2
+ 3𝑥 + 2 = 𝑥 + 1 𝑥 + 2
Luego el polinomio original
𝑥3
+ 2𝑥2
− 𝑥 − 2 se factoriza
𝑥3
+ 2𝑥2
− 𝑥 − 2 = 𝑥 − 1 𝑥2
+ 3𝑥 + 2
𝑥3
+ 2𝑥2
− 𝑥 − 2 = 𝑥 − 1 𝑥 + 1 𝑥 + 2

13. https://www.google.com/search?client=firefox-b-d&q=expresiones++algebraica
https://www.google.com/search?client=firefox-b-d&q=expresiones++algebraica
Bibliografia
https://books.google.co.ve/books?id=CCuF0Edcq3wC&pg=PA201&dq=factorizacion+por+el+met
odo+ruffini&hl