Day 4 regression with distributed lag

Economics 20 - Prof. Anderson 1
Dự báo sử dụng mô hình chuỗi thời
gian
(Time Series Models for Forecasting)
Hồi qui với biến trễ
Regression with distributed lags
Nguyễn Ngọc Anh
Trung tâm Nghiên cứu Chính sách và Phát triển
Nguyễn Việt Cường
Đại học Kinh tế Quốc dân

Giới thiệu
Chúng ta ở trong các bài trước, xem xét mô hình hồi qui,
sử dụng cho cả dữ liệu chéo, lẫn dữ liệu chuỗi thời gian.
Tuy nhiên, chúng ta ở đây lại thường quan tâm đến những
biến số thay đổi theo thời gian, chứ không phải là những
biến thay đổi theo các cá nhân
Mô hình hồi qui tĩnh cho ta biết quan hệ giữa các chuỗi
thời gian.
Ở đây, tác động của một biến X lên một biến Y được giả
thiết là chỉ có tác động trong cùng thời kỳ.

Mô hình động
Tác động mang tính động (Dynamic effects)
Chính sách cần có thời gian mới có tác dụng
Mức độ cũng như tính chất của tác động có thể
thay đổi theo thời gian
Tác động thường xuyên (Permanent) và tác
động tạm thời (Temporary effects.)

Trong kinh tế học vĩ mô
Tác động của tiền tệ M đối với Y (GDP) trong
ngắn hạn có thể khác với trong dài hạn
Người ta thường gọi là hàm phản ứng (impulse response
function)
Tăng cung tiền trong một năm ở năm thứ
Sau đó sẽ quay trở lại bình thường, không tăng M
nữa
Điều gì sẽ xảy ra với Y
time
Y

Phân bổ trễ (Distributed Lag)
Tác động được phân bổ theo thời gian
(Effect is distributed through time)
Hàm tiêu dùng : Tác động của thu nhập cũng
thay đổi theo thời gian
Tác động của thuế thu nhập đối với GDP sẽ có
độ trễ
Tác động của chính sách tiền tệ với SX cũng
qua thời gian
yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + et
it
t
i
x
yE
−
=
δ
δ
β
)(

Tác động phân bổ trễ
Hoạt động kinh tế tại các thời điểm t
Tác động tại
Thời điểm t
Tác động tại
Thời điểm
t+1
Tác động tại
Thời điểm t+2

Tác động phân bổ trễ
Tác động tại thời điểm t
Hoạt động kinh tế tại
thời điểm t Hoạt động kinh tế tại
thời điểm t-1
Hoạt động kinh tế tại
thời điểm t-2

Hai câu hỏi
1. Trễ bao lâu (How far back)?
- Độ trễ là bao lâu ?
- Trễ hữu hạn hay vô hạn
2. Liệu các hệ số có nên bị hạn chế hay không
(restricted)?
- Điều chỉnh (smooth adjustment)
- Hay để số liệu quyết định (let the data
decide)

1. Phân bổ trễ hữu hạn không hạn
chế (Unrestricted Finite DL)
Hữu hạn: biến động của một biến số chỉ có
tác động lên một biến khác trong một
khoảng thời gian cố định
Ví dụ: Tác độngc của CS tiền tệ thường có tác
động lên GDP khoảng 18 tháng
Độ trễ được giả thiết là biết một cách chắc chắn
Không hạn chế (Unrestricted - unstructured)
Tác động ở giai đoạn t+1 không có quan hệ với
tác động ở giai đoạn t

yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + βn xt-n + et
Có n độ trễ không hạn chế (unstructured lags)
Không có một dạng cấu trúc (systematic structure)
nào đối với các β’s
Các tham số β’s không bị hạn chế (ràng buộc - restricted)
Có thể sử dụng OLS: sẽ cho ta các ước
lượng nhất quán (consistent) và không
trệch

Những vấn đề nảy sinh
1. Ta sẽ mất n quan sát khi độ trễ là n
Số liệu từ năm 1960, giả sử có độ trễ là 5 thời kỳ, tức là
thời điểm sớm nhất có thể sử dụng trong mô hình hồi qui
là năm 1965
Mất độ tự do (đưa thêm biến trễ mất độ tự do)
2. Vấn đề đa cộng tuyên giữa các biến trễ xt-j
xt rất giống với xt-1 ít thông tin độc lập
Ước lượng không chính xác (xem bài trước)
Độ lệch chuẩn của ước lượng là lớn, kiểm định t có giá
trị thấp
Kiểm định giả thuyết là khó khăn (uncertain)

3. Có thể có nhiều biến trễ thì sao?
Mất nhiều độ tự do
4. Có thể ước lượng chính xác hơn nếu xây
dựng một số cấu trúc trong mô hình
Những vấn đề nảy sinh

Trễ số học
Độ trễ vẫn hữu hạn : Tác động của X cuối
cùng sẽ bằng 0
Các hệ số không độc lập với nhau
Tác động của mỗi bước trễ sẽ nhỏ dần đi
VD: Chính sách tiền tệ của năm 1995 sẽ tác
động tới GDP của năm 1998 ít hơn chính sách
tiền tệ của năm 1996

2. Trễ số học
i
βi
β0 = (n+1)γ
β1 = nγ
β2 = (n-1)γ
βn = γ
.
.
.
0 1 2 . . . . . n n+1
.
.
.
.
linear
lag
structure

Trễ số học
Áp đặt quan hệ:
βiι = (n - i+ 1) γ
β0 = (n+1) γ
β1 = n γ
β2 = (n-1) γ
β3 = (n-2) γ
.
.
βn-2 = 3 γ
βn-1 = 2 γ
βn = γ
Chỉ cần ước lượng 1 tham số , γ ,
Thay vì n+1 tham số , β0 , ... , βn .

Giả sử X là cung tiền ( dạng log) và Y là
GDP (dạng log), n=12 và γ được ước lượng
có giá trị là 0.1
Tác động của x thay đổi đối với GDP trong
giai đoạn hiện tại sẽ là β0=(n+1)γ=1.3
Tác động của CS tiền tệ một năm sau đó sẽ
là β1=nγ=1.2
n năm sau đó,tác động sẽ là βn= γ=0.1
Sau n+1 năm, tác động sẽ là 0
it
t
i
x
yE
−
=
δ
δ
β
)(

Ước lượng
Ước lượng sử dụng OLS
Chỉ cần ước lượng một tham số : γ
Phải biến đổi một chút để viết mô hình dưới
dạng có thể ước lượng được

yt = α + (n+1) γxt + n γxt-1 + (n-1) γxt-2 + . . . + γxt-n + et
Bước 1: Áp đặt ràng buộc: βι = (n - i+ 1) γ
Bước 2: Bóc tác tham số, γ .
yt = α + γ [(n+1)xt + nxt-1 + (n-1)xt-2 + . . . + xt-n] + et

Bước 3: Xác định zt .
zt = [(n+1)xt + nxt-1 + (n-1)xt-2 + . . . + xt-n]
Bước 5: Chạy OLS :
yt = α + γ zt + et
Bước 4: Xác định độ trễ , n.
Với n = 4: zt = [ 5xt + 4xt-1 + 3xt-2 + 2xt-3 + xt-4]

Ưu/ nhược điểm
Ít tham số phải ước lượng (chỉ một tham số) hơn
so với mô hình không hạn chế/ràng buộc
Sai số chuẩn thấp
T cao
Kiểm định tốt
Nhưng nếu các ràng buộc không đúng thì sao?
Ước lượng sẽ bị trệch
Ràng buộc tuyến tính có thực tế không?
Xem xét mô hình không hạn chế để đánh giá
Tiến hành kiểm định F

2
1
/
/)(
dfSSE
dfSSESSE
F
U
UR −
=
Kiểm định F
Ước lượng mô hình không ràng buộc (unrestricted
model)
Ước lượng mô hình có ràng buộc (arithmetic lag)
Tính toán chỉ số F

So sánh với giá trị F tới hạn F(df1,df2)
df1=n số ràng buộc/hạn chế (number of
restrictions)
Số bê ta trừ đi số gamma = (n+1)-1
df2=số quan sát – số biến trong mô hình không
bị ràng buộc (kể cả intercept)
df2=(T-n)-(n+2)

3. Phân bổ trễ số mũ
Ràng buộc tuyến tính có thể là quá cứng
nhắc
Muốn có dạng lồi
Ràng buộc số mũ (Polynomial – quadratic
hoặc cao hơn)
βi = γ0 + γ1i + γ2i
2
i
it
t
x
yE
β
δ
δ
=
−
)(

Phân bổ trễ số mũ (Polynomial
Lag)
.
. . .
.
0 1 2 3 4 i
β0
β1
β2
β3
β4
βi

Tương tự như mô hình trễ số học
Chỉ có hình dáng của dạng hàm phản ứng là
khác (impulse response function)
Vẫn hữu hạn : Tác động của X cuối cùng sẽ
bằng 0
Các hệ số có quan hệ với nhau
Tác động của mỗi bước trễ không nhất thiết sẽ
nhỏ hơn bước trễ trước (not uniform decline)

Ước lượng
Sử dụng OLS
Chỉ cần ước lượng một tham số : γ
Số lượng tham số bằng với bậc số mũ (number
of parameters is equal to degree of polynomial)
Phải thực hiện một số biến đổi để mô hình
có dạng ước lượng được .
Mô hình này trở thành dạng mô hình số học
(arithmetic) nếu bậc mũ là 1
OLS với mô hình đã biến đổi

i = 1, . . . , n
p = 2 và n = 4
Ví dụ: Mô hình mũ bậc 2
β0 = γ0
β1 = γ0 + γ1 + γ2
β2 = γ0 + 2γ1 + 4γ2
β3 = γ0 + 3γ1 + 9γ2
β4 = γ0 + 4γ1 + 16γ2
n = Độ trễ
p = Bậc mũ
Trong đó i = 1, . . . , nβi = γ0 + γ1i + γ2i +...+ γpi
2 p
βi = γ0 + γ1i + γ2i2

yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + β3 xt-3 + β4 xt-4 + et
yt = α + γ0 xt + (γ0 + γ1 + γ2)xt-1 + (γ0 + 2γ1 + 4γ2)xt-2
+ (γ0 + 3γ1 + 9γ2)xt-3+ (γ0 + 4γ1 + 16γ2)xt-4 + et
Bước 2: Bóc tác các tham số: γ0, γ1, γ2.
yt = α + γ0 [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4]
+ γ1 [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt-4]
+ γ2 [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt-4] + et
Bước 1: Áp đặt ràng buộc: βi = γ0 + γ1i + γ2i 2

Bước 3: xác định zt0 , zt1 and zt2 for γ0 , γ1 , and γ2.
yt = α + γ0 [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4]
+ γ1 [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt-4]
+ γ2 [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt-4] + et
zt0 = [xt + xt-1 + xt-2 + xt-3 + xt-4]
zt1 = [xt-1 + 2xt-2 + 3xt-3 + 4xt- 4 ]
zt2 = [xt-1 + 4xt-2 + 9xt-3 + 16xt- 4]

yt = α + γ0 zt0 + γ1 zt1 + γ2 zt2 + et
Bước 5: Biểu diễn βi dưới dạng của γ0 , γ1 , và γ2.
^ ^ ^ ^
β0 = γ0
β1 = γ0 + γ1 + γ2
β2 = γ0 + 2γ1 + 4γ2
β3 = γ0 + 3γ1 + 9γ2
β4 = γ0 + 4γ1 + 16γ2
^^
^
^
^
^
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
^ ^ ^
Bước 4: OLS

Ưu nhược điểm
Ít tham số để ước lượng
Chính xác hơn
Nhưng nếu ràng buộc không chính xác thì
sao?
Ước lượng trêch
Liệu ước lượng mũ có đúng khổng?
Linh hoạt hơn trễ số học
Nếu chỉ xấp xỉ đúng ?
Kiểm định F test

Kiểm định F
Ước lượng mô hình không hạn chế
Ước lượng mô hình hạn chế (polynomial lag model)
Tính toán con số kiểm định thống kê như trước
So sánh với giá trị tới hạn F(df1,df2)
df1=số ràng buộc = số các β trừ đi số γ=(n+1)−
(p+1)
df2=số quan sát – số lượng các biến trong mô hình
không ràng buộc (kể cả intercept)
df2=(T-n)-(n+2)

Độ trễ
Với cả 03 mô hình vừa nêu, ta cần phải
chọn độ trễ (lag length)
Có thể coi như là chọn điểm cắt mà
Sau đó biến số không còn tác động
VD: CS tiền tệ không còn tác động tới GDP sau
2 năm
Không có tiêu chí thỏa đáng để chọn lựa
điều này
Có nên cho độ trễ n là vô hạn hay không?

Tiêu chí chọn độ trễ (Lag-Length
Criteria)
Tiêu chí Akaike’s AIC criterion
Tiêu chí Schwarz’s SC criterion
Với mỗi tiêu chí ở trên, ta chọn bước trễ sao cho
các tiêu chí trên là nhỏ nhất. Vì khi đưa thêm biến
trễ vào sẽ làm giảm SSE, nên phần thứ 2 của
mỗi tiêu chí là một penalty function đối với việc
đưa thêm biến trễ vào mô hình
2 ( 2 )
ln nS S E n
A IC
T N T N
+
= +
− −
( )2 ln( )
( ) ln n
n T NSSE
SC n
T N T N
+ −
= +
− −

Tóm tắt
1. Trễ bao lâu??
- Độ trễ là khoảng bao lâu thì phù ?
- Không có câu trả lời (no good answer)
2. Liệu các tham số có nên bị ràng buộc không?
- Thể hiện qua số liệu
- Số học hay số mũ
-Bậc của số mũ

4. Mô hình trễ Geometric
Có độ trễ dài vô hạn
Nhưng chúng ta không thể ước lượng một
số lượng vô hạn các tham số
Buộc các hệ số của biến trễ phải tuân thủ
một trật tự nhất định
Ước lượng các tham số cho trật tự/cấu trúc này.
Đối với dạng mô hình trễ geometric thì cấu
trúc của độ trễ sẽ có dạng giảm liên tục với
tốc độ giảm dần.

Cấu trúc độ trễ của mô hình geometric
βi
.
.
.
. .
0 1 2 3 4 i
β1 = β φ
β2 = β φ2
β3 = β φ3
β4 = β φ4
β0 = β
geometrically
declining
weights

Ước lượng
Không thể ước lượng dùng OLS
Chỉ cần ước lượng hai tham số : φ,β
Phải biến đổi để biểu diễn mô hình dưới
dạng thức có thể ước lượng được
Sau đó sử dụng biến đổi Koyck (Koyck
transformation)
Sau đó sử dụng bình phương cực tiểu hai
bước (2SLS)

yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + . . . + et
Mô hình phân bổ trễ vô hạn:
yt = α + Σ βi xt-i + eti=0
∞
Cấu trúc trế có dạng geometric:
βi = β φi where 0<φ< 1 and βφi > 0 .

yt = α + β0 xt + β1 xt-1 + β2 xt-2 + β3 xt-3 + . . . + et
Trễ vô hạn không cấu trúc :
yt = α + β(xt + φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + et
Trễ geometric vô hạn (infinite geometric lag):
thay thế βi = β φi
β0 = β
β1 = β φ
β2 = β φ2
β3 = β φ3
...

Số nhân giữa kỳ (ví dụ 3 kỳ) (interim multiplier) :
Số nhân tác động (impact multiplier) :
β
Số nhân dài hạn :
β(1 + φ + φ2 + φ3 + . . . ) =
β + β φ + β φ2
β
1− φ
Phản ứng động (Dynamic Response):

yt − φ yt-1 = α(1− φ) + βxt + (et − φet-1)
Trễ tất cả các toán tử một bậc, nhân với φ, và sau đó lấy mô hình
gốc trừ đi
φ yt-1 = φα + β(φ xt-1 + φ2 xt-2 + φ3 xt-3 + . . .) + φ et-1
Biến đổi Koyck (Koyck Transformation)
yt = α(1− φ) + φ yt-1 + βxt + (et − φet-1)
yt = δ1 + δ2 yt-1 + δ3xt + νt

Cần sử dụng 2SLS
yt-1 độc lập với et-1 (xem mô hình)
Nhưng yt-1 lại có tương quan với vt-1
Như vậy OLS sẽ không phù hợp
OLS không thể phân biệt giữa những thay đổi
của yt do yt-1 gây ra với những thay đổi do vt
gây ra
OLS sẽ coi những thay đổi của vt như là
những thay đổi của yt-1

Sử dụng 2SLS
1. Hồi qui yt-1 lên xt-1 và tính giá trị ước
lượng của yt-1 (fitted value)
2. Sử dụng giá trị ước lượng của yt-1
trong mô hình hồi qui Koyck regression
tttt vxyy +++= − 3121
ˆ δδδ

Sao lại thế nhỉ?
Từ mô hình hồi qui bước 1, giá trị ươc lượng
yt-1 không còn tương quan với et-1 trong khi đó
yt-1 thì có tương quan
Như vậy giá trị ước lượng (fitted value) yt-1
không còn tương quan với
vt =(et -et-1 )
2SLS sẽ cho kết quả ước lượng nhất quán
(consistent) của mô hình phân bổ trễ
Geometric (Geometric Lag Model)

Mô hình kỳ vọng điều chỉnh dần
(Adaptive Expectations Model)
Một dạng mô hình của mô hình biến trễ geometric
Nếu chúng ta giả thiết rằng các cá nhân có kỳ
vọng ở dạng điều chỉnh dần (adaptive expectation)
thì mô hình biến trễ geometric là phù hợp
Giả thiết về kỳ vọng
Kỳ vọng được xác lập trên kinh nghiệm quá khứ
Kỳ vọng được điều chỉnh dựa trên những sai lầm của
quá khứ
Kỳ vọng điểu chỉnh này không phù hợp với giả
thuyết về kỳ vọng hợp lý (rational expectations)

yt = α + β x*t + et
yt = Cầu tiền tệ
x*t = lãi suất kỳ vọng
(x*t không quan sát được)
Ví dụ: Cầu tiền tệ
x*t - x*t-1 = λ (xt-1 - x*t-1)
Điều chỉnh kỳ vọng dựa trên các sai lầm của quá khứ
:

Biến đổi một chút để có thể tiến hành ước
lượng
x*t - x*t-1 = λ (xt-1 - x*t-1)
x*t = λ xt-1 + (1- λ) x*t-1
Cho x*t về một phía
λ xt-1 = [x*t - (1- λ) x*t-1]
or

Lấy mô hình ban đầu, trễ một bước và nhân với
(1− λ)
yt = α + β x*t + et (1)
yt = αλ - (1− λ)yt-1+ β [x*t - (1− λ)x*t-1]
+ et - (1− λ)et-1
Trừ đi, ta có
(1− λ)yt-1 = (1− λ)α + (1− λ)β x*t-1 + (1− λ)et-1 (2)

Thay λ xt-1 = [x*t - (1- λ) x*t-1] vào ta có
yt = αλ - (1− λ)yt-1+ βλxt-1 + ut
Trong đó ut = et - (1− λ)et-1
Đây chính là mô hình phân bổ trễ mà
φ=(1−λ)
Chúng ta có thể ước lượng mô hình này
băng 2SLS

Ví dụ: hàm tiêu dùng
C là tiêu dùng, Y* là thu nhập kỳ vọng
trong tương lai
Để quyết định mức tiêu dùng, các cá nhân phải
dự đoán về thu nhập trong tương lai của mình
Nếu người ta điều chỉnh kỳ vọng theo giả
thuyết điều chỉnh dần
ttt eyc ++= *
βα
)( *
11
*
1
*
−−− −=− tttt yyyy λ

Thay vào ta sẽ có dạng
Sử dụng 2SLS
Ước lượng bằn OLS:
Sử dụng thay cho
tttt vycc +++= −− 13121 δδδ
1
3
2
1
1
−−=
=
−=
=
ttt eev
βλδ
λδ
λαδ
ttt eyaac ++= −110
1
ˆ −tc 1−tc

Mô hình điều chỉnh dần
Một dạng khác của mô hình điều chỉnh dần
Giả thiết rằng các cá nhân điều chỉnh mọi
thứ dần dần
Việc điều chỉnh có thể tốn kém, nên không điều
chỉnh ngay
Ví dụ : Hàn trong kho của các công ty
y*t = α + β xt + et

Hàng trong kho sẽ được điều chỉnh dần tới
mức tối ưu
Tham số γ cho biết tỷ lệ chênh lệch giữa
con số thực tế và con số mong muốn điều
chỉnh
Việc điều chỉnh ngay lập tức có thể có tốn
kém
Mô hình trên rất giống, nhưng không giống
tuyệt đối mô hình kỳ vọng điều chỉnh dần
(AE model)
yt - yt-1 = γ (y*t - yt-1)

Biến đổi một chút
yt - yt-1 = γ (y*t - yt-1)
= γ (α + βxt + et - yt-1)
= γα + γβxt - γyt-1+ γet
yt = γα + (1 - γ)yt-1 + γβxt + γet
Tìm yt :

Kết luận
Trong bài giảng này ta đã xem xét mô hình
phân bổ trễ
Một bước tiến so với mô hình tĩnh
Nhưng nói chung, mô hình vẫn giả thiết
rằng chúng ta vẫn có số liệu là cân bằng
(stationary processes.)
Việc dãy số không cân bằng sẽ được xem
xét tiếp trong các phần tiếp sau

Day 4 regression with distributed lag

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Viewers also liked

Viewers also liked (12)

Similar to Day 4 regression with distributed lag

Similar to Day 4 regression with distributed lag (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (19)

Day 4 regression with distributed lag