Chương 2 trình bày về mô hình hồi qui hai biến, bao gồm ước lượng và kiểm định giả thuyết thông qua phương pháp bình phương bé nhất. Tài liệu giải thích các giả thuyết cổ điển của mô hình hồi qui tuyến tính, phương sai, hệ số xác định, và kiểm định sự phù hợp của mô hình. Cuối cùng, nội dung cũng đề cập đến cách trình bày kết quả hồi qui và đánh giá các hệ số hồi qui ước lượng.

1. Chương 2
Mô hình hồi qui hai biến
Ước lượng và kiểm định giả thiết
1. Phương pháp bình phương bé nhất
Giả sử : Yi = β1 + β2Xi + Ui (PRF)
và có một mẫu n quan sát (Yi, Xi).
Cần ước lượng (PRF).
Ta có : ˆ
Yi = Yi + ei (SRF)
với ˆ ˆ ˆ
Yi = β1 + β 2 Xi

2. Theo phương pháp OLS, để
ˆ ˆ ˆ
Yi càng gần với Yi thì β1 , β 2 cần thỏa mãn :
n n
∑ ˆ 1 − β 2 Xi ) 2 → min
e = ∑ ( Yi − β
2
i
ˆ
i =1 i =1
ˆ ˆ
Suy ra β1 , β 2 cần thỏa mãn :
 n 2
 ∂∑ ei n
 i =1 ˆ ˆ
= ∑ 2( Yi − β1 − β 2 Xi )( −1) = 0
 ∂β1 ˆ i =1
 n
 ∂ e2
 ∑ i n
ˆ ˆ
 ˆ
i =1
= ∑ 2( Yi − β1 − β 2 Xi )( −Xi ) = 0
 ∂β 2 i =1

3. giải hệ, ta có :
n
∑ X Y − nX Y
i i
ˆ
β2 = i =1 ˆ ˆ
β1 = Y − β 2 X
n
∑X
i =1
2
i − n( X) 2
Có thể chứng minh được :
n n
∑ x y = ∑ X Y − nX Y
i =1
i i
i =1
i i x i = Xi − X
n n với y i = Yi − Y
∑x
i =1
2
i = ∑ X − n( X)
i =1
2
i
2

4. Nên có thể biểu diễn :
ˆ
β2 =
∑x y i i
∑x 2
i
Ví dụ 1: Giả sử cần nghiên cứu chi tiêu
tiêu dùng của hộ gia đình phụ thuộc thế
nào vào thu nhập của họ, người ta tiến
hành điều tra, thu được một mẫu gồm
10 hộ gia đình với số liệu như sau :

5. Y 70 65 90 95 110 115 120 140 155 150
X 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260
Trong đó : Y – chi tiêu hộ gia đình
(USD/tuần)
X – thu nhập hộ gia đình
(USD/tuần)
Giả sử Y và X có quan hệ tuyến tính. Hãy
ước lượng mô hình hồI qui của Y theo X.

6. 2. Các giả thiết cổ điển của mô hình
hồi qui tuyến tính
• Giả thiết 1 : Biến độc lập Xi là phi
ngẫu nhiên, các giá trị của chúng phải
được xác định trước.
• Giả thiết 2 : Kỳ vọng có điều kiện của
sai số ngẫu nhiên bằng 0 :
E (Ui / Xi) = 0 ∀i

7. • Giả thiết 3 : (Phương sai thuần nhất )
Các sai số ngẫu nhiên có phương sai
bằng nhau :
Var (Ui / Xi) = σ2 ∀i
• Giả thiết 4 : Không có hiện tượng tương
quan giữa các sai số ngẫu nhiên :
Cov (Ui , Uj ) = 0 ∀ i ≠ j
• Giả thiết 5 : Không có hiện tượng tương
quan giữa biến độc lập Xi và sai số ngẫu
nhiên Ui : Cov (Xi , Ui ) = 0 ∀ i

8. • Định lý Gauss – Markov : Với các giả
thiết từ 1 đến 5 của mô hình hồi qui
tuyến tính cổ điển, các ước lượng OLS
là các ước lượng tuyến tính, không
chệch và có phương sai bé nhất trong
lớp các ước lượng tuyến tính, không
chệch.

9. 3. Phương sai và sai số chuẩn của các
ước lượng
Phương sai Sai số chuẩn
ˆ
Var( β1 ) = σ βˆ =
2 ∑ Xi2
σ2 ˆ
se( β1 ) = σ βˆ = σ βˆ
2
1
n∑ x i
2 1 1
ˆ 1 ˆ
Var( β 2 ) = σ βˆ =
2
σ2 se( β 2 ) = σ βˆ = σ βˆ
2
2
∑ xi
2 2 2
Trong đó : σ2 = var (Ui). Do σ2 chưa biết
nên dùng ước lượng của nó là 2 ∑ ei2
ˆ
σ =
n−2

10. 4. Hệ số xác định và hệ số tương quan
a. Hệ số xác định : Dùng để đo mức độ phù
hợp của hàm hồi qui.
ESS dn
RSS
R = 2
=1−
TSS TSS
Trong đó : TSS = ESS + RSSn
n
TSS = ∑( Y − Y) = ∑y
i
2
i
2
i =1 i =1
n
ESS= ∑( Y − Y) 2
ˆi
i =1
n n
RSS= ∑( Y − Y ) 2 = ∑ei2
i
ˆi
i =1 i =1

11. Miền xác định của R2 :
0 ≤ R2 ≤ 1
R2  1 : hàm hồi qui càng phù hợp.
R2  0 : hàm hồi qui càng ít phù hợp
Ví dụ : …

12. b. Hệ số tương quan : Là số đo mức độ
chặt chẽ của quan hệ tuyến tính giữa
X và Y.
r=
∑ ( X − X)( Y − Y)
i i
=
∑ xi yi
∑ ( X − X) ∑ ( Y − Y)
i
2
i
2
∑ x i2 ∑ y i2
2
Chứng minh được : r = R
Và dấu của r trùng với dấu của hệ số của
ˆ
X trong hàm hồi qui ( β 2 ).

13. Tính chất của hệ số tương quan :
1. Miền giá trị của r : -1 ≤ r ≤ 1
| r|  1 : quan hệ tuyến tính giữa X và
Y càng chặt chẽ.
2. r có tính đối xứng : rXY = rYX
3. Nếu X, Y độc lập thì r = 0. Điều
ngược lại không đúng.

14. 5. Phân phối xác suất của các ước lượng
Giả thiết 6 : Ui có phân phối N (0, σ2),
Với giả thiết 6, các ước lượng có thêm
các tính chất sau :
1. Khi số quan sát đủ lớn thì các ước
lượng xấp xỉ với giá trị thực của phân
phối :
ˆ → β , β → β
β1 n→ ∞ ˆ n→ ∞
1 2 2

15. ˆ
β1 − β1
ˆ
2. β1 ~ N( β1 , σ β ) ⇒ Z =
2
~ N( 0,1)
ˆ1
σβˆ 1
ˆ
β2 − β2
ˆ
β 2 ~ N( β 2 , σ )
2
⇒ Z= ~ N( 0,1)
ˆ
β2
σβˆ2
( n − 2)σˆ2
3. ~ χ ( n − 2)
2
σ 2
4. Yi ~ N (β 1+ β 2Xi, σ 2)

16. 6. Khoảng tin cậy của các hệ số hồi qui
• Sử dụng phân phối của thống kê t :
ˆ
βj − βj
t= ~ t (n − 2) j = 1,2
e ˆ
sˆ ( β j )
Ta có khoảng tin cậy của β1 :
ˆ e ˆ ˆ e ˆ
β1 − sˆ ( β1 ). t α / 2 (n − 2) ≤ β1 ≤ β1 + sˆ ( β1 ). t α / 2 (n − 2)
Ta có khoảng tin cậy của β2 :
ˆ e ˆ ˆ e ˆ
β 2 − sˆ ( β 2 ). t α / 2 (n − 2) ≤ β 2 ≤ β 2 + sˆ ( β 2 ). t α / 2 (n − 2)

17. 7. Kiểm định giả thiết về các hệ số hồi qui
• Giả sử H0 : β2 = a ( a = const)
H1 : β 2 ≠ a
Có 2 cách kiểm định :
1. Dùng khoảng tin cậy :
Khoảng tin cậy của β2 là [α, β]
- Nếu a ∉ [α, β] ⇒ bác bỏ H0
- Nếu a ∈ [α, β] ⇒ chấp nhận H0
2. Dùng kiểm định t : ˆ
β2 − β2
Thống kê sử dụng : t = sˆ ( β ) ~ t (n − 2)
e ˆ2

18. Có hai cách đọc kết quả kiểm định t :
Cách 1 : dùng giá trị tới hạn.
- Tính ˆ
β2 − a
t=
e ˆ
sˆ ( β 2 )
- Tra bảng t tìm tα/2(n-2)
- Nếu | t| > tα/2(n-2) ⇒ bác bỏ H0.
- Nếu | t| ≤ tα/2(n-2) ⇒ chấp nhận H0.

19. Cách 2 : Dùng p-value (mức ý nghĩa
chính xác)
p = P(| T| > ta)
ˆ
β2 − a
với ta = t = ˆ ˆ
se( β 2 )
- Nếu p ≤ α ⇒ bác bỏ H0.
- Nếu p > α ⇒ chấp nhận H0.

20. 8. Kiểm định sự phù hợp của hàm hồi
qui. Phân tích hồi qui và phân tích
phương sai
• Giả thiết H0 : β2 = 0 ( hàm hồi qui
không phù hợp)
H1 : β2 ≠ 0 (hàm hồi qui phù hợp)
Sử dụng phân phối của thống kê F :
F=
( (β )
ˆ 2 − β 2 ) 2 ∑ x i2 / 1
~ F(1, n − 2)
∑e 2
i /( n − 2)

21. Khi β2 = 0 , F có thể viết :
ˆ 22 ∑ x i2
β ESS/ 1 R2 / 1
F= = = (*)
∑ ei /( n − 2) RSS/( n − 2) (1 − R ) /( n − 2)
2 2
Nên có thể dùng qui tắc kiểm định sau :
- Tính 2
R /1
F=
(1 − R ) /( n − 2)
2
- Nếu F > Fα(1, n-2) ⇒ bác bỏ H0
⇒ hàm hồi qui phù hợp.

22. Mặt khác, cũng từ (*) cho thấy :
Phân tích phương sai cho phép đưa ra
các phán đoán thống kê về độ thích
hợp của hồi qui ( xem bảng phân tích
phương sai).
* Một số chú ý khi kiểm định giả thiết :
- Khi nói “chấp nhận giả thiết H0”,
không có nghĩa H0 đúng.
- Lựa chọn mức ý nghĩa α : α có thể
tùy chọn, thường người ta chọn mức
1%, 5%, nhiều nhất là 10%.

23. 9. Dự báo
a. Dự báo giá trị trung bình :
Cho X =X0 , tìm E(Y/X0).
- Dự báo điểm của E(Y/X0) là :
ˆ ˆ ˆ
Y0 = β1 + β 2 X0
- Dự báo khoảng của E(Y/X0) là :
ˆ 0 − sˆ ( Y0 ). t αn/−22) ≤ E( Y / X0 ) ≤ Y0 + sˆ ( Y0 ). t αn/−22)
Y e ˆ ( ˆ e ˆ (
Trong đó :
 1 ( X0 − X) 2 
va ˆ
ˆ r( Y0 ) =  + ˆ2
 ×σ
n
 ∑ xi 
2


24. b. Dự báo giá trị cá biệt :
Cho X =X0 , tìm Y0.
ˆ 0 − sˆ ( Y0 − Y0 ). t αn/−22) ≤ Y0 ≤ Y0 + sˆ ( Y0 − Y0 ). t αn/−22)
Y e ˆ ( ˆ e ˆ (
Trong đó :
ˆ ˆ
var( Y0 − Y0 ) = var( Y0 ) + σ 2
nên
ˆ a ˆ
vˆ r( Y0 − Y0 ) = vˆ r( Y0 ) + σ 2
a ˆ

25. dải tin cậy của
Y giá trị cá biệt
dải tin cậy của
giá trị trung
bình
X X
* Đặc điểm của dự báo khoảng

26. 10. Trình bày kết quả hồi qui
ˆi ˆ ˆ
Y =β 1 +β 2 Xi R2 =
ˆ
se = sê (β1 ) sê (β 2 )
ˆ n =
t = t1 t2 F =
p = p(>t1) p(>t2) p(> F) =
Trong đó : ˆ
β1 − 0 ˆ
β2 − 0
t1 = t2 =
e ˆ
sˆ ( β1 ) e ˆ
sˆ ( β 2 )
ˆ
Yi = 24,4545 + 0,5091 Xi R2 = 0,9621
se = (6,4138) (0,0357) n = 10
t = (3,813) (14,243) F = 202,87
p = (0,005) (0,000) p = (0,000)

27. 11. Đánh giá kết quả của phân tích hồi
qui
• Dấu của các hệ số hồi qui ước lượng
được phù hợp với lý thuyết hay tiên
nghiệm không.
• Các hệ số hồi qui ước lượng được có ý
nghĩa về mặt thống kê hay không.
• Mức độ phù hợp của mô hình (R2).
• Kiểm tra xem mô hình có thỏa mãn các
giả thiết của mô hình hồi qui tuyến tính
cổ điển hay không.