[Toán kinh tế ứng dụng] Bài 1: Hàm tuyến tính

Nội dungNội dung
• Hệ tọa độ vuông góc
• Hàm số
• Đồ thị
• Đường thẳng
Lý thuyết
• Điểm hòa vốn (Break-
Even Point)
• Sự cân bằng cung/cầu
(Supply-Demand
Equilibrium)
• Khấu hao đều (Straight
Line Depreciation)
Ứng dụng

Hệ tọa độ vuông gócHệ tọa độ vuông góc
 Hệ tọa độ vuông góc
(Cartersian Coordinates
System) trong một mặt phẳng
được cấu tạo bởi hai trục số
thực vuông góc với nhau:
 Trục nằm ngang (Horizontal
axes) gọi là trục hoành x’Ox
 Trục thẳng đứng (Vertical axes)
gọi là trục tung y’Oy
 Giao điểm của hai trục gọi là
gốc tọa độ (Origin) O
 Hệ tọa độ vuông góc chia mặt
phẳng làm 4 vùng I, II, III và IV.
Khái niệm
x
y
M(x,y)
x
y
x'
y'
O
III
III IV

 Vị trí của một điểm M
trong mặt phẳng được
xác định bằng:
 Hoành độ x (Abscisga)
 Tung độ y (Ordinade)
 (x,y) được gọi là tọa độ
của điểm M và được ký
hiệu M(x,y).
Tọa độ của một điểm trong mặt phẳng
x
y
M(x,y)
x
y
x'
y'
O

 Cho hai điểm
M1(x1,y1) và
M2(x2,y2) trong mặt
phẳng.
 Khoảng cách giữa
hai điểm M1, M2
được tính theo
công thức:
Khoảng cách giữa hai điểm
x
y
M2(x2,y2)
x2
y2
x'
y'
0
M1(x1,y1)
x1
y1
x = x2-x1
y = y2-y1
   d M M x x y y    1 2 2 1
2
2 1
2
 x = x2 - x1 : gia số của x
 y = y2 - y1 : gia số của y

Đường thẳngĐường thẳng
 Dạng tổng quát (dạng chuẩn):
Là phương trình bậc nhất theo x và y
(A, B, C là các hằng số; A và B không đồng thời
bằng 0)
 Dạng thông dụng:
 m: độ dốc/hệ số góc (slope)
 b: tung độ gốc/hệ số tự do (intercept)
Phương trình của đường thẳng
CByAx 
bmxy 

 Gọi m là độ dốc của đường thẳng (D)
Độ dốc
m
y
x
y y
x x
tg 





2 1
2 1


Độ dốc

Xác định phương trình đường thẳng khi biết độ
dốc m và tung độ gốc b (Slope-Intercept Form)
 Ví dụ: Viết phương trình của đường thẳng có độ
dốc là -2/3 và tung độ gốc là -3. Từ đó vẽ đồ thị
của đường thẳng này.
Xác định phương trình đường thẳng
bmxy 
2
3
3
y x  

 Vẽ đồ thị bằng phần mềm Excel (2010)
• Lập bảng giá trị y theo x
• Vào Insert > Charts,
chọn một kiểu đồ thị
nào đó, chẳng hạn
Scatter

 Vẽ đồ thị bằng phần mềm Mathematica (7.0)
Plot[f[x], {x, xmin,
xmax}] vẽ đồ thị hàm
f(x) trong khoảng xmin
<= x <= xmax

Xác định phương trình đường thẳng đi qua một điểm
M(x1, y1) và biết trước độ dốc m (Point-Slope Form)
Phương trình đường thẳng có dạng: y - y1 = m(x - x1)
 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng có độ dốc là 1/2 và
đi qua điểm (-4,3).
m
y y
x x



1
1

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng có độ dốc là
1/2 và đi qua điểm (-4,3).
Giải:
Phương trình đường thẳng có dạng:
y - y1 = m(x - x1)
m = 1/2, x1 = -4, y1 = 3
y - 3 = (1/2)(x + 4)
Vậy: y = x/2 + 5

Xác định phương trình đường thẳng đi qua 2
điểm M1(x1,y1) và M2 (x2,y2)
 Độ dốc của đường thẳng là:
 Phương trình đường thẳng có dạng:
y - y1 =
hay
m
y y
x x



2 1
2 1
 
y y
x x
x x2 1
2 1
1



y y
y y
x x
x x





1
2 1
1
2 1

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đi qua 2
điểm có tọa độ (-3,2) và (-4,5).
Giải: Phương trình đường thẳng có dạng:

 -y + 2 = 3x + 9
 y = -3x - 7
y y
y y
x x
x x





1
2 1
1
2 1
y x x


 
  



2
5 2
3
4 3
3
1
( )
( )

Phương pháp bình phương tối thiểu (Least
Square):
Phương trình đường xu thế của n điểm Mi(xi,yi) (i =
1..n):
(D): y = mx + b
với m, b là nghiệm hệ phương trình:
(xi)b + (xi
2)m = xi yi
nb + (xi)m = yi

Đường thẳng nằm ngang và đường thẳng thẳng
đứng
 Phương trình đường thẳng nằm ngang: y = b
 Phương trình đường thẳng thẳng đứng: x = b
 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đứng và
đường nằm ngang đi qua điểm có tọa độ (-2,3).
Giải:
Phương trình đường thẳng nằm ngang:
y = 3
Phương trình đường thẳng thẳng đứng:
x = -2

 Ví dụ: Viết phương trình đường thẳng đứng và
đường nằm ngang đi qua điểm có tọa độ (-2,3).
ContourPlot[equation, {x,
xmin, xmax} , {y, ymin,
ymax}] vẽ đường được cho
bởi phương trình equation
(chỉ có 2 biến x và y).

Khuyến mãi: Trái tim 2D2
3
3
y x  

Đường thẳng song song và thẳng góc
Cho 2 đường thẳng (D1) và (D2) có độ dốc tương ứng là
m1 và m2
 Nếu (D1) // (D2) thì m1 = m2
 Nếu (D1)  (D2) thì m1* m2 = -1
 Ví dụ: Cho đường thẳng (D) có phương trình
y = (1/2)x - 2 và điểm A(2,-3).
Viết phương trình của đường thẳng:
a) (D1) đi qua điểm A và song song với đường thẳng (D)
b) (D2) đi qua điểm A và thẳng góc với đường thẳng (D)

Giải:
a) Gọi m1 là độ dốc của đường thẳng (D1)
(D1) // (D)  m1 = m = 1/2
(D1): y - yA = m1 (x-xA)
y-(-3) = (1/2)(x-2)
y + 3 = (1/2)x – 1  y = (1/2)x - 4
a) Gọi m2 là độ dốc của đường thẳng (D2)
(D2)  (D)  m2* m = -1  m2 = -2
(D2): y – yA = m2 (x - xA)
y + 3 = -2(x - 2)
y = -2x +1

Hàm sốHàm số
 Một hàm số (function) f từ tập hợp X đến tập hợp Y
là một quy tắc sao cho với mỗi phần tử xX có
tương ứng với nhiều nhất một phần tử yY.
Khái niệm
X: tập hợp nguồn
Y: tập hợp đích
x: biến số (tạo ảnh)
y: hàm số (ảnh)

Hàm sốHàm số
 Miền xác định D (domain)
D =
D là tập hợp gồm những phần tử x có tương ứng với
phần tử y.
 Miền giá trị V (range)
V =
V là tập hợp gồm những phần tử y có tương ứng với
phần tử x.
 Ghi chú: Hàm số f từ tập hợp X đến tập hợp Y chính là
một ánh xạ từ D đến V, có ý nghĩa f là một quy tắc sao
cho mỗi phần tử xD đều tương ứng với một và chỉ
một phần tử yV.
Miền xác định và miền giá trị của hàm số
 x X y f x / ( )
 y Y y f x / ( )

Hàm sốHàm số
 Hàm đa thức
y = Pn(x) = anxn + an-1xn-1 + … + a2x2 + a1x1 + a0
Miền xác định D = R
(có nghĩa y = f(x) được xác định với mọi xR)
 Ví dụ: Hàm số y = f(x) = 3x2 - 2x + 1 có miền xác
định
D = R = (-,)
Miền xác định của một số hàm số cơ bản

Hàm sốHàm số
 Hàm hữu tỉ
y được xác định khi Qm(x)  0
 Ví dụ: Xét hàm số:
y được xác định khi x - 1  0 tức x  1
Vậy D = R{1}
y
x
x



2
1
1
y
P x
Q x
n
m

( )
( )

Hàm sốHàm số
 Hàm vô tỉ
y được xác định khi Pn(x)  0
 Ví dụ: Xét hàm số:
y được xác định khi x - 3  0 tức x  3
Vậy D = [3,)
y x  3
y P xn ( )

Đồ thịĐồ thị
 Để nghiên cứu hàm số
f(x), ta thường biểu diễn
cặp số (x, f(x)) lên mặt
phẳng tọa độ.
 Tập hợp các điểm biểu
diễn các cặp số này gọi
là đồ thị (graph) của
hàm số f.
Khái niệm
x
y
y
y = f(x)
f(x2)
x2
f(x1)
x10 b

 Hàm số đồng biến
Hàm f đồng biến trên (a,b)
 [ x1, x2  (a,b), x1 < x2  f(x1) < f(x2)]

 Hàm số nghịch biến
Hàm f nghịch biến trên (a,b)
 [ x1, x2  (a,b), x1 < x2  f(x1) > f(x2)]

Sự biến thiên của hàm số
 








x x a b
f x f x
x x
1 2
2 1
2 1
0, ( , ),
( ) ( )
x
y
y
y = f(x)
f(x2)
x2
f(x1)
x10 b
x
y
y
y = f(x)
f(x2)
x2
f(x1)
x10 ba
 







x x a b
f x f x
x x
1 2
2 1
2 1
0, ( , ),
( ) ( )


 Dịch chuyển theo phương đứng:
Gọi (C) là đồ thị của hàm số y = f(x)
 (C) dịch lên trên: y = f(x) + h (h  0)
 (C) dịch xuống dưới: y = f(x) - h (h > 0)
 Dịch chuyển theo phương ngang:
 Dịch qua phải: y = f(x - k) (k > 0)
 Dịch qua trái: y = f(x + k) (k > 0)
 Đối xứng qua trục x: y = -f(x)
 Giãn và co đồ thị:
 Giãn đồ thị: y = c*f(x) (c > 1)
 Co đồ thị: y = c*f(x) (0 < c < 1)
Sự dịch chuyển đồ thị của hàm số

x
y
y = f(x)
y = f(x+k)
y = f(x)+h

x
y
y = f(x)
y = -f(x)

0 1 2 3 4
10
20
30
x
y
y = k*f(x)
y = f(x)/k
y = f(x)

Ứng dụngỨng dụng
 Điểm hòa vốn (Break-Even Point)
 Chi phí (Cost)
 Doanh thu (Revenue)
 Sự cân bằng cung-cầu
(Supply-Demand Equilibrium)
 Đường cung (Demand Curve)
 Đường cầu (Supply Curve)
 Khấu hao theo đường thẳng
(Straight Line Depreciation)

 Tổng chi phí (Total Cost - TC)
 TC = f(Q), Q: Sản lượng
 Chi phí cố định (Fixed Cost - FC)
 là chi phí mà một xí nghiệp nhất thiết
phải chi trả dù không sản xuất gì cả.
 Chi phí biến đổi (Variable Cost - VC)
 là chi phí tăng lên cùng với mức tăng
của sản lượng.
 Chi phí cận biên (Marginal Cost -
MC)
 là chi phí gia tăng để sản xuất thêm
một đơn vị sản phẩm
Chi phí (Cost)
 Chi phí bình quân
(Average Cost - AC)
AC
TC
Q

AFC
FC
Q

AVC
VC
Q


 Tổng doanh thu (Total Revenue – TR)
 TR = f(Q) = pQ
• Q: sản lượng
• p: giá bán [giả sử cố định]
 Doanh thu cận biên (Marginal Revenue - MR)
 là doanh thu gia tăng khi bán thêm một đơn vị sản
phẩm
 Doanh thu bình quân (Average Revenue - AR)
 AR = TR/Q
Doanh thu (Revenue)

 Ví dụ: Một công ty sản xuất giầy nhận thấy rằng chi
phí cố định là 300 USD mỗi ngày và tổng chi phí là
4300 USD mỗi ngày ứng với tổng sản lượng mỗi
ngày là 100 đôi giầy. Giả sử rằng tổng chi phí TC
(USD) có quan hệ tuyến tính với sản lượng x (đôi giầy).
a) Xác định phương trình của chi phí cố định FC theo sản
lượng x.
b) Xác định phương trình của chi phí biến đổi VC theo
sản lượng x.
c) Xác định phương trình của tổng chi phí TC theo sản
lượng x.
Chi phí (Cost)

Giải:
a) Xác định phương trình của chi phí cố định FC theo
sản lượng x:
FC = 300
b) Xác định phương trình của chi phí biến đổi VC
theo sản lượng x:
VC = f(x) = mx + b
• Cho x = 0  VC = 0  b = 0
• Cho x = 100  VC = TC - FC = 4300 - 300 = 4000 
m = 40
Vậy: VC = 40x
Chi phí (Cost)

c) Xác định phương trình của tổng chi phí TC theo
sản lượng x: TC = FC + VC = 300 + 40x
Chi phí (Cost)

 Bộ phận nghiên cứu thị trường của công ty sản
xuất linh kiện điện tử cho máy vi tính đã xác định
phương trình đường cầu của linh kiện điện tử là:
x = 10000 - 50p
Trong đó x là số lượng linh kiện được bán ở mức
giá $p mỗi linh kiện.
a) Trình bày doanh thu TR dưới dạng hàm của x.
b) Tìm miền xác định của hàm TR.
Doanh thu (Revenue)

a) Trình bày doanh thu TR dưới dạng hàm của x:
x = 10000 - 50p  p = 200 – (1/50)x
TR = px = (200 – (1/50)x)x = 200x – (1/50)x2
b) Tìm miền xác định của hàm TR:
Điều kiện:
• x  0
• p  0  200 – (1/50)x  0  x  10000
 0  x  10000 hay D = [0, 10000]
Doanh thu (Revenue)

Doanh thu (Revenue)

 x: số sản phẩm, v: chi phí
biến đổi đơn vị, p: đơn giá
 TC = FC + VC = FC + v*x
 TR = p*x
 Ở điểm hòa vốn x = xBE
Ta có: TC = TR
FC + v*xBE = xBE*p

Điểm hòa vốn (Break-Even Point)
x
$
FC
TC
300
TR=TC
QBE
TR
x
FC
p v
BE 


 Ví dụ: Một công ty sản xuất bưu thiếp nhận thấy
rằng chi phí cố định để sản xuất bưu thiếp là
9,000$ và chi phí biến đổi là 3.5$ mỗi bưu thiếp và
giá mỗi bưu thiếp là 5$. Tìm sản lượng hòa vốn của
công ty.
Giải:
Ta có: TC = 9,000 + 3.5x và TR = 5x
Ở điểm hòa vốn: TC = TR
 9,000 +3.5x = 5x
 xBE = (bưu thiếp)
9000
5 35
6000


.

Solve[equations, vars] giải
các phương trình equations
với các biến vars)

 Thuế (tax) và khấu hao (depreciation) là gì?
 Cách tính khấu hao? (mô hình khấu hao)
Mô hình khấu hao đều (Straight Line Depreciation)
Mô hình khấu hao đều
(tuyến tính, đường thẳng):
mức khấu hao được phân bổ
đều nhau trong suốt thời kỳ
khấu hao của tài sản
Nếu vẽ đồ thị với trục hoành là
thời gian, trục tung là giá trị tài sản
 các điểm sẽ tạo thành đường thẳng

D
P SV
n


BV P D t P
P SV
n
tt     


• P: giá trị ban đầu của tài sản
(nguyên giá)
• SV (salvage): giá trị còn lại
• n: thời kỳ hấu hao (vòng đời
hữu dụng)
• P - SV: giá trị tài sản đầu tư bị
giảm
• D: chi phí khấu hao cho mỗi
năm
• BVt: giá trị bút toán (giá trị sổ
sách, thư giá) của tài sản ở
cuối năm t
BVt
t21 n
t (năm)
SV
P
BV
D

 Ví dụ: Một tài sản có giá trị ban đầu là 50 triệu
đồng. Giá trị còn lại sau 5 năm là 10 triệu đồng.
Tính chi phí khấu hao hằng năm và chi phí bút toán
vào cuối năm thứ hai.
Giải:
Chi phí khấu hao hằng năm: trĐ/năm
Chi phí bút toán vào cuối năm thứ hai:
BV2 = 50 - 8*2 = 34 trĐ/năm
D 


50 10
5
8
Hàm Excel: SLN(cost, salvage, life)
Ví dụ: SLN(50,10,5)

 Đường cầu là sự tương quan giữa giá và lượng
cầu của một mặt hàng (khi các giá trị khác được
giữ không đổi).
 Phân biệt giữa cầu và lượng cầu:
 Cầu (demand) mô tả hành vi của người mua ở tất cả
mức giá  toàn bộ đường cầu
 Lượng cầu (quantity demanded) chỉ có ý nghĩa
trong mối quan hệ với một mức giá cụ thể  một
điểm cụ thể nào đó trên đường cầu
Đường cầu (Demand Curve)
D s cQD=f(P,Y,Ps,Pc,Ta,A,…) DQD=f(P) DP=f-1(QD)

Đường cầu (Demand Curve)
 Đối với một đường cầu, tương quan giữa giá và lượng
cầu là nghịch biến (giá tăng  lượng cầu giảm)
 Độ dốc của đường cầu phản ánh mức đáp ứng của
lượng cầu đối với các thay đổi về giá
DP=a+bQD (b<0)

 Đường cung là sự tương quan giữa giá và lượng
cung của một mặt hàng (khi các giá trị khác được
giữ không đổi)
 Phân biệt giữa cung và lượng cung:
 Cung (supply) mô tả toàn diện về số lượng mà
người bán muốn bán ở mọi mức giá  toàn bộ
đường cung
 Lượng cung (quantity supplied) có ý nghĩa trong
mối quan hệ với mức giá cụ thể  một điểm cụ thể
nào đó trên đường cung
Đường cung (Supply Curve)
S oQS=f(P,C,Po,Te,N,…) SQS=f(P) SP=f-1(QS)

Đường cung (Supply Curve)
 Đối với một đường cung, tương quan giữa giá và lượng
cung là đồng biến (giá tăng  lượng cung tăng)
 Độ dốc đường cung phản ánh mức đáp ứng của lượng
cung đối với các thay đổi về giá
SP=c+dQS (d>0)

 Thị trường cân bằng khi đường cung gặp đường
cầu. Giao điểm của đường cung và đường cầu là
điểm cân bằng. Ở điểm cân bằng ta có giá cân
bằng và lượng cân bằng.
Sự cân bằng giữa cung và cầu
a+bQ0=c+dQ0
Q0=(a-c)/(d-b)
(b<0, d>0)
P
D
S
P0
Q
Q

 Ví dụ: Cung và cầu về gạo
Giá P
(1000đ/
kg)
Lượng
Cầu QD
(triệu
kg/tháng
)
Lượng
Cung QS
(triệu
kg/tháng
)
2,5
2,4
2,3
2,2
2,1
9
10
12
15
20
18
16
12
7
2
Q
2.1
2.5
2.4
2.3
2.2
P0
SD
0
Q0
=12
P
10 20

Chọn Chart
Tools
> Design
> Select Data

Sự dịch chuyển của đường cung và cầu
0
Cầu: P=a+bQD, Cung: P=c+dQS
Q0=(a-c)/(d-b) (b<0, d>0)

 Ví dụ: Cho biết đường cung/cầu dịch chuyển thế
nào dưới tác động của sự kiện sau trên thị trường
dâu tây:
a) Các nhà khoa học thấy rằng ăn hàng ngày 100g
dâu tây sẽ rất tốt cho sức khỏe
b) Giá của cam đắt gấp 2 lần giá dâu tây
c) Hạn hán làm sản lượng dâu tây xuống 50% so với
vụ thu hoạch bình thường
d) Hàng ngàn nông dân chuyển vườn trồng các hoa
quả khác sang trồng dâu tây
Sự dịch chuyển của đường cung và cầu

 Hàm chi phí, doanh thu, lợi nhuận (theo sản lượng)
 TC = TC(Q)
 TR = TR(Q) = P*Q
  = TR(Q) – TC(Q)
 Hàm cung và hàm cầu (theo giá)
 QS = S(P)  P = S-1(QS)
 QD = D(P)  P = D-1(QD)
 Hàm sản xuất ngắn hạn (theo lao động)
 Q = f(L)
 Hàm tiêu dùng và tiết kiệm (Consumption & Saving)
theo thu nhập (Income)
 C = f(Y)
 S = g(Y)
Một số hàm kinh tế thông dụng (một biến)

[Toán kinh tế ứng dụng] Bài 1: Hàm tuyến tính

[Toán kinh tế ứng dụng] Bài 1: Hàm tuyến tính

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to [Toán kinh tế ứng dụng] Bài 1: Hàm tuyến tính

Similar to [Toán kinh tế ứng dụng] Bài 1: Hàm tuyến tính (20)

More from Nguyen Ngoc Binh Phuong

More from Nguyen Ngoc Binh Phuong (8)

Recently uploaded

Recently uploaded (15)

[Toán kinh tế ứng dụng] Bài 1: Hàm tuyến tính