01 khao sat va ve do thi ham so p1. Xem thêm luyện thi đại học tại đây http://luyenthidaminh.vn/news/de-thi-dai-hoc-mon-van/De-va-Dap-an-thi-Dai-hoc-mon-Van-khoi-C-nam-2014-664.html
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dươngdiemthic3
đề Thi tuyển sinh vào 10 năm 2013 trường chuyên nguyễn trãi- Hải Dương. Xem thêm thông tin tuyển sinh vào 10 năm 2015 tại đây http://tin.tuyensinh247.com/vao-lop-10-c22.html
đề Thi tuyển sinh lớp 10 thpt tỉnh hà nội năm 2013diemthic3
đề Thi tuyển sinh lớp 10 thpt tỉnh hà nội năm 2013. Xem thêm thông tin tuyển sinh vào 10 năm 2015 tại đây http://tin.tuyensinh247.com/vao-lop-10-c22.html
Ve do thi ham so. Xem thêm thông tin luyện thi TN THPT 2015 tại đây http://luyenthidaminh.vn/news/de-thi-dai-hoc-mon-van/De-va-Dap-an-thi-Dai-hoc-mon-Van-khoi-C-nam-2014-664.html
Phương trình số phức - phần 1. Xem thêm luyện thi đại học tại đây
http://giasuminhtri.edu.vn/luyen-thi/luyen-thi-dai-hoc-mon-toan.html?gclid=CKzM777AwsQCFU5vvAodBDEAYg
Đáp án đề thi Toán đại học - 2012. Xem thêm thông tin tuyển sinh đại học 2015 tại đây
http://vnexpress.net/tin-tuc/giao-duc/tuyen-sinh/cac-mon-thi-thpt-quoc-gia-se-co-de-minh-hoa-3159595.html
GIAO TRINH TRIET HOC MAC - LENIN (Quoc gia).pdfLngHu10
Chương 1
KHÁI LUẬN VỀ TRIẾT HỌC VÀ TRIẾT HỌC MÁC - LÊNIN
A. MỤC TIÊU
1. Về kiến thức: Trang bị cho sinh viên những tri thức cơ bản về triết học nói chung,
những điều kiện ra đời của triết học Mác - Lênin. Đồng thời, giúp sinh viên nhận thức được
thực chất cuộc cách mạng trong triết học do
C. Mác và Ph. Ăngghen thực hiện và các giai đoạn hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin;
vai trò của triết học Mác - Lênin trong đời sống xã hội và trong thời đại ngày nay.
2. Về kỹ năng: Giúp sinh viên biết vận dụng tri thức đã học làm cơ sở cho việc nhận
thức những nguyên lý cơ bản của triết học Mác - Lênin; biết đấu tranh chống lại những luận
điểm sai trái phủ nhận sự hình thành, phát triển triết học Mác - Lênin.
3. Về tư tưởng: Giúp sinh viên củng cố niềm tin vào bản chất khoa học và cách mạng
của chủ nghĩa Mác - Lênin nói chung và triết học Mác - Lênin nói riêng.
B. NỘI DUNG
I- TRIẾT HỌC VÀ VẤN ĐỀ CƠ BẢN CỦA TRIẾT HỌC
1. Khái lược về triết học
a) Nguồn gốc của triết học
Là một loại hình nhận thức đặc thù của con người, triết học ra đời ở cả phương Đông và
phương Tây gần như cùng một thời gian (khoảng từ thế kỷ VIII đến thế kỷ VI trước Công
nguyên) tại các trung tâm văn minh lớn của nhân loại thời cổ đại. Ý thức triết học xuất hiện
không ngẫu nhiên, mà có nguồn gốc thực tế từ tồn tại xã hội với một trình độ nhất định của
sự phát triển văn minh, văn hóa và khoa học. Con người, với kỳ vọng được đáp ứng nhu
cầu về nhận thức và hoạt động thực tiễn của mình đã sáng tạo ra những luận thuyết chung
nhất, có tính hệ thống, phản ánh thế giới xung quanh và thế giới của chính con người. Triết
học là dạng tri thức lý luận xuất hiện sớm nhất trong lịch sử các loại hình lý luận của nhân
loại.
Với tư cách là một hình thái ý thức xã hội, triết học có nguồn gốc nhận thức và nguồn
gốc xã hội.
* Nguồn gốc nhận thức
Nhận thức thế giới là một nhu cầu tự nhiên, khách quan của con người. Về mặt lịch
sử, tư duy huyền thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là loại hình triết lý đầu tiên mà con
người dùng để giải thích thế giới bí ẩn xung quanh. Người nguyên thủy kết nối những hiểu
biết rời rạc, mơ hồ, phi lôgích... của mình trong các quan niệm đầy xúc cảm và hoang
tưởng thành những huyền thoại để giải thích mọi hiện tượng. Đỉnh cao của tư duy huyền
thoại và tín ngưỡng nguyên thủy là kho tàng những câu chuyện thần thoại và những tôn
9
giáo sơ khai như Tô tem giáo, Bái vật giáo, Saman giáo. Thời kỳ triết học ra đời cũng là
thời kỳ suy giảm và thu hẹp phạm vi của các loại hình tư duy huyền thoại và tôn giáo
nguyên thủy. Triết học chính là hình thức tư duy lý luận đầu tiên trong lịch sử tư tưởng
nhân loại thay thế được cho tư duy huyền thoại và tôn giáo.
Trong quá trình sống và cải biến thế giới, từng bước con người có kinh nghiệm và có
tri thức về thế giới. Ban đầu là những tri thức cụ thể, riêng lẻ, cảm tính. Cùng với sự tiến
bộ của sản xuất và đời sống, nhận thức của con người dần dần đạt đến trình độ cao hơn
trong việc giải thích thế giới một cách hệ thống
CÁC BIỆN PHÁP KỸ THUẬT AN TOÀN KHI XÃY RA HỎA HOẠN TRONG.pptxCNGTRC3
Cháy, nổ trong công nghiệp không chỉ gây ra thiệt hại về kinh tế, con người mà còn gây ra bất ổn, mất an ninh quốc gia và trật tự xã hội. Vì vậy phòng chông cháy nổ không chỉ là nhiệm vụ mà còn là trách nhiệm của cơ sở sản xuất, của mổi công dân và của toàn thể xã hội. Để hạn chế các vụ tai nạn do cháy, nổ xảy ra thì chúng ta cần phải đi tìm hiểu nguyên nhân gây ra các vụ cháy nố là như thế nào cũng như phải hiểu rõ các kiến thức cơ bản về nó từ đó chúng ta mới đi tìm ra được các biện pháp hữu hiệu nhất để phòng chống và sử lý sự cố cháy nổ.
Mục tiêu:
- Nêu rõ các nguy cơ xảy ra cháy, nổ trong công nghiệp và đời sống; nguyên nhân và các biện pháp đề phòng phòng;
- Sử dụng được vật liệu và phương tiện vào việc phòng cháy, chữa cháy;
- Thực hiện được việc cấp cứa khẩn cấp khi tai nạn xảy ra;
- Rèn luyện tính kỷ luật, kiên trì, cẩn thận, nghiêm túc, chủ động và tích cực sáng tạo trong học tập.
GIÁO TRÌNH 2-TÀI LIỆU SỬA CHỮA BOARD MONO TỦ LẠNH MÁY GIẶT ĐIỀU HÒA.pdf
https://dienlanhbachkhoa.net.vn
Hotline/Zalo: 0338580000
Địa chỉ: Số 108 Trần Phú, Hà Đông, Hà Nội
Để xem full tài liệu Xin vui long liên hệ page để được hỗ trợ
:
https://www.facebook.com/garmentspace/
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
HOẶC
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
https://www.facebook.com/thuvienluanvan01
tai lieu tong hop, thu vien luan van, luan van tong hop, do an chuyen nganh
1. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
I. SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ
Dạng 1. Sự biến thiên của hàm không có tham số
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính 'y và giải phương trình ' 0y = để tìm các nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên (hoặc chỉ cần bảng xét dấu 'y ) và kết luận trên cơ sở các điểm tới hạn.
Chú ý: Quy tắc xét dấu của hàm đa thức và phân thức.
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Xét sự biến thiên của các hàm số sau đây:
a) 3 2
2 3 1.y x x= − + + b) 3 2
3 3 1.y x x x= − + +
c) 4 2
2 1.y x x= − − d)
2
5 4 31 1
2 1.
5 4 2
x
y x x x x= − − + + −
Lời giải:
a) 3 2
2 3 1.y x x= − + +
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: ( ) ( )2 0
6 6 6 1 0 6 1 0
1
x
y x x x x y x x
x
=
′ ′= − + = − − → = ⇔ − − = ⇔ =
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x −∞ 0 1 +∞
'y − 0 + 0 −
Vậy hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (−∞; 0) và (1; +∞).
b) 3 2
3 3 1.y x x x= − + +
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: ( )22
3 6 3 3 1 0 0, .y x x x y x D′ ′= − + = − ≥ → ≥ ∀ ∈
Vậy hàm số đã cho luôn đồng biến trên tập xác định.
c) 4 2
2 1y x x= − −
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: ( ) ( )3 2 2 0
4 4 4 1 0 4 1 0
1
x
y x x x x y x x
x
=
′ ′= − = − → = ⇔ − = ⇔ = ±
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x −∞ −1 0 1 +∞
'y − 0 + 0 − 0 +
Hàm số đồng biến trên (−1; 0) và (1; +∞); hàm số nghịch biến trên (−∞; −1) và (0; 1).
d)
2
5 4 31 1
2 1.
5 4 2
x
y x x x x= − − + + −
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: ( ) ( )( )24 3 2
1
3 2 1 1 2 0 1
2
x
y x x x x x x x y x
x
= −
′ ′= − − + + = + − − → = ⇔ =
=
Do ( )2
1 0,x x+ ≥ ∀ nên dấu của 'y chỉ phụ thuộc vào biểu thức (x − 1)(x − 2).
Bảng xét dấu của đạo hàm:
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P1
Thầy Đặng Việt Hùng
2. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
x −∞ −1 1 2 +∞
'y + 0 + 0 − 0 +
Hàm số đồng biến trên (−∞; 1) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (1; 2).
Ví dụ 2: Xét sự biến thiên của các hàm số cho dưới đây:
a)
1
.
2 2
x
y
x
+
=
−
b)
2
3 3
.
1
x x
y
x
+ +
=
+
c)
2
1 .
1
y x
x
= − +
+
d) 2
2 2.y x x= − +
e) 2
2 .y x x= − f)
2 1
.
3 2
x
y
x
+
=
−
Lời giải:
a)
1
.
2 2
x
y
x
+
=
−
Tập xác định: { } 1 .D R=
Đạo hàm:
( )2
4
0,
2 2
y x D
x
−
′ = > ∀ ∈ →
−
hàm số luôn đồng biến trên tập xác định.
b)
2
3 3
.
1
x x
y
x
+ +
=
+
Tập xác định: { } 1 .D R= −
Đạo hàm:
( )( )
( ) ( )
2 2
2
2 2
02 3 1 3 3 2
0 2 0
21 1
xx x x x x x
y y x x
xx x
=+ + − − − +
′ ′= = → = ⇔ + = ⇔ = −+ +
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x −∞ −2 −1 0 +∞
'y + 0 − || − 0 +
Hàm số đồng biến trên (−∞; 2) và (0; +∞); hàm số nghịch biến trên (−2; −1) và (−1; 0).
c)
2
1 .
1
y x
x
= − +
+
Tập xác định: { } 1 .D R= −
Đạo hàm:
( )2
2
1 0,
1
y x D
x
′ = − − < ∀ ∈ →
+
hàm số luôn nghịch biến trên tập xác định của nó.
d) 2
2 2.y x x= − +
Hàm số xác định khi ( )22
2 2 0 1 1 0, .x x x x D R− + ≥ ⇔ − + > ∀ → =
Đạo hàm:
( )2
2 2
2 2 1
0 1.
2 2 2 2 2
x x x
y y x
x x x x
′
− + −
′ ′= = → = ⇔ =
− + − +
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x −∞ 1 +∞
'y − 0 +
Hàm số đồng biến trên (1; +∞) và nghịch biến trên (−∞; 1).
e) 2
2 .y x x= −
Hàm số xác định khi ( ) [ ]2
2 0 2 0 0 2 0; 2 .x x x x x D− ≥ ⇔ − ≤ ⇔ ≤ ≤ → =
Đạo hàm:
( )2
2 2
2 1
0 1.
2 2 2
x x x
y y x
x x x x
′
− −
′ ′= = → = ⇔ =
− −
Bảng xét dấu của đạo hàm:
3. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
x 0 1 2
'y + 0 −
Hàm số đồng biến trên (0; 1) và nghịch biến trên (1; 2).
f)
2 1
.
3 2
x
y
x
+
=
−
Hàm số xác định khi
1
2 1 0
1 22
; .2
2 2 3
3
3
x x
D
x
x
+ ≥ ≥ −
⇔ → = − + ∞ ≠ ≠
Đạo hàm:
( )
( )
( )
( ) ( )
2 2 2
2
3 2 3 2 1
3 2 3 2 1 3 5 5 12 2 1 0
3 23 2 3 2 . 2 1 3 2 . 2 1
x x
x x xxy y x
x x x x x
− − +
− − + − −+′ ′= = = → = ⇔ = − < −
− − + − +
Bảng xét dấu của đạo hàm:
x 1
2
−
2
3
+∞
y’ − || −
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số nghịch biến trên
1 2
;
2 3
−
và
2
; .
3
+∞
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
Xét sự biến thiên của các hàm số sau:
1) 2 5.y x= − + 2) 3
3 2.y x x= − +
3) 3 2
2 3 2.y x x= − + + 4) 3 2
3 3 12.y x x x= − + −
5) 4 2
2 5.y x x= − + 6) 4 2
4 1.y x x= − + −
7) 3 2
2 2.y x x x= + + − 8) 2
2 3 1.y x x= + +
9)
1
.
2
x
y
x
+
=
−
10)
2 1
.
1
x
y
x
−
=
+
11)
1
.
3 2
x
y
x
−
=
−
12)
2
3 3
.
1
x x
y
x
+ +
=
+
13)
1
.y x
x
= + 14)
1
2 3 .
1
y x
x
= − −
+
Dạng 2. Sự biến thiên của hàm có tham số
Phương pháp: Sử dụng các tính chất của tam thức bậc hai để giải
Xét tam thức bậc hai: ( ) 2
,f x ax bx c= + + gọi x1; x2 là hai nghiệm của phương trình f(x) = 0, với x1 < x2
+ Nếu a > 0:
( )
( )
2
1
1 2
0
0
x x
f x
x x
f x x x x
>
> ⇔ <
< ⇔ < <
+ Nếu a < 0:
( )
( )
1 2
2
1
0
0
f x x x x
x x
f x
x x
> ⇔ < <
>
< ⇔ <
+ ( )
0
0,
0
a
f x x R
>
> ∀ ∈ ⇔
∆ <
+ ( )
0
0,
0
a
f x x R
<
< ∀ ∈ ⇔
∆ <
+ ( ) ( )
1 2
1 2
1 2
α β
0
α β0, α;β :
0 α β
x x
a
x xf x x
a x x
< < <
> →
< < <> ∀ ∈
< → < < <
+ ( ) ( )
1 2
1 2
1 2
0 α β
0, α;β : α β
0
α β
a x x
f x x x x
a
x x
> → < < <
< ∀ ∈ < < <
< →
< < <
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ: Tìm m để hàm số
a) ( )
3
2
1
3
x
y x m x m= − + − + đồng biến trên R.
4. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
b) ( )3 21
3 2 1
3
y x mx m x= − + + − + nghịch biến trên R.
c)
( )
( )
3
21
3 2 2
3
m x
y mx m x
−
= + + − + đồng biến trên R.
Lời giải:
a) ( )
3
2 2
1 2 1
3
x
y x m x m y x x m′= − + − + → = − + −
Hàm số đồng biến trên R khi ( )0, 0 1 1 0 2.y x R m m′ ′≥ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ − − ≤ ⇔ ≥
Vậy hàm số đồng biến trên R khi m ≥ 2.
b) ( )3 2 21
3 2 1 2 3 2.
3
y x mx m x y x mx m′= − + + − + → = − + + −
Hàm số nghịch biến trên R khi ( )2 3 17 3 17
0, 0 3 2 0 .
2 2
y x R m m m
− − − +
′ ′≤ ∀ ∈ ⇔ ∆ ≤ ⇔ + − ≤ ⇔ ≤ ≤
Vậy hàm số đồng biến trên R khi
3 17 3 17
.
2 2
m
− − − +
≤ ≤
c)
( )
( ) ( )
3
2 21
3 2 2 1 2 3 2
3
m x
y mx m x y m x mx m
−
′= + + − + → = − + + −
Để hàm số luôn đồng biến trên R thì 0, .y x R′ ≥ ∀ ∈
Khi 1 0 1 2 1.m m y x′− = ⇔ = → = +
Ta thấy hàm số chỉ đồng biên trên
1
;
2
− +∞
nên không thỏa mãn yêu cầu.
Khi
( )( )2 2
1 11 0
1 0 1 0,
0 1 3 2 0 2 5 2 0
m mm
m m y x R
m m m m m
> > − >
′− ≠ ⇔ ≠ → ≥ ∀ ∈ ⇔ ⇔ ⇔
′∆ ≤ − − − ≤ − + − ≤
1
2
2.
1
2
m
m
m
m
>
≥
⇔ → ≥
≤
Vậy với m ≥ 2 thì hàm số đã cho luôn đồng biến trên R.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP
1) Tìm m để hàm số ( )
3
2
1
3
x
y x m x m= − + − + đồng biến trên R.
2) Tìm m để hàm số ( )3 2
3 3 2 1 1y x mx m x= − + − + đồng biến trên R.
3) Tìm m để hàm số ( )3 21
3 2 1
3
y x mx m x= − + + − + nghịch biến trên R.
4) Tìm m để hàm số ( ) ( )
3
2 5
1 2 3
3 3
x
y m x m x= + − + − + đồng biến trên R.
II. CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
DẠNG 1. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC I
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính 'y và giải phương trình ' 0y = để tìm các nghiệm.
+ Lập bảng biến thiên và dựa vào bảng biến thiên để kết luận về điểm cực đại, cực tiểu của hàm số.
Chú ý: Với một số dạng hàm đặc biệt (thường là hàm vô tỉ) thì ta phải tính giới hạn tại các điểm biên để cho bảng
biến thiên được chặt chẽ hơn.
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ 1: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
a) 3 2
2 3 36 10.y x x x= + − − b) 4 2
2 3.y x x= + −
5. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
c) 2 4
2 .y x x= − d) 4 31
3.
4
y x x= − +
Lời giải:
a) 3 2
2 3 36 10.y x x x= + − −
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: ( )2 2 2 3
' 6 6 36 6 6 ' 0 6 0
2
x
y x x x x y x x
x
= −
= + − = + − → = ⇔ + − = ⇔ =
Bảng biến thiên:
x −∞ −3 2 +∞
'y + 0 − 0 +
y
71 +∞
−∞ −54
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 3) và (2; +∞); hàm số nghịch biến trên (−3; 2).
Hàm số đạt cực đại tại x = −3; y = 71 và đạt cực tiểu tại x = 2; y = −54.
b) 4 2
2 3.y x x= + −
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: ( )3 2
4 4 4 1 0 0.y x x x x y x′ ′= + = + → = ⇔ =
Bảng biến thiên:
x −∞ 0 +∞
'y − 0 +
y
+∞ +∞
−3
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; +∞).
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = −3.
c) 2 4
2 .y x x= −
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: ( ) ( )3 2 2 0
4 4 4 1 0 1 0
1
x
y x x x x y x x
x
=
′ ′= − = − → = ⇔ − = ⇔ = ±
Bảng biến thiên:
x −∞ −1 0 1 +∞
'y + 0 − 0 + 0 −
y
1 1
−∞ 0 −∞
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (−∞; −1) và (0; 1); hàm số nghịch biến trên (−1; 0) và (1; +∞).
Hàm số đạt cực đại tại x = −1; y = 1 và x = 1; y = 1.
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 0; y = 0.
d) 4 31
3.
4
y x x= − +
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: ( ) ( )3 2 2 2 0
3 3 0 3 0
3
x
y x x x x y x x
x
=
′ ′= − = − → = ⇔ − = ⇔ =
Dấu của y’ chỉ phụ thuộc vào dấu của biểu thức (x − 3) nên ta có bảng biến thiên như hình vẽ
6. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
x −∞ 0 3 +∞
'y − 0 − 0 +
y
+∞ +∞
15
4
−
Từ bảng biến thiên ta thấy hàm số đồng biến trên (3; +∞) và hàm số nghịch biến trên (−∞; 3).
Hàm số đạt cực tiểu tại
15
3; .
4
x y= = −
Ví dụ 2: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
a) 2
1 .y x x= − b) 2
2 3 1.y x x= + + c)
1
.
3
x
y
x
+
=
+
Lời giải:
a) 2
1 .y x x= −
Hàm số xác định khi [ ]2
1 0 1 1 1;1 .x x D− ≥ ⇔ − ≤ ≤ → = −
Đạo hàm:
2 2
2 2
2 2
1 2 1
1 0 1 2 0
21 1
x x
y x y x x
x x
−
′ ′= − − = → = ⇔ − = ⇔ = ±
− −
Bảng biến thiên:
x −1
1
2
−
1
2
+1
'y − 0 + 0 −
y
0
1
2
1
2
− 0
Hàm số đồng biến trên
1 1
;
2 2
−
; hàm số nghịch biến trên
1
1;
2
− −
và
1
;1 .
2
Hàm số đạt cực đại tại
1 1
;
2 2
x y= = và đạt cực tiểu tại
1 1
; .
2 2
x y= − = −
b) 2
2 3 1.y x x= + +
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm:
2
2 2
2 2
3 2 1 3
2 0 2 1 3 0 2 1 3
1 1
x x x
y y x x x x
x x
+ +
′ ′= + = → = ⇔ + + = ⇔ + = −
+ +
2 2 2
0
0 0 2
2
4 4 9 5 4 5
5
x
x x
x
xx x x
<
< <
⇔ ⇔ ⇔ → = −
= ±+ = =
Giới hạn:
( )2
2 2
1 1
lim 2 3 1 lim 2 3 1 lim 2 3 1
x x x
x x x x x
x x→−∞ →−∞ →−∞
+ + = + + = − + = +∞
( )2
2 2
1 1
lim 2 3 1 lim 2 3 1 lim 2 3 1
x x x
x x x x x
x x→+∞ →+∞ →+∞
+ + = + + = + + = +∞
Bảng biến thiên:
7. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
x −∞
2
5
− +∞
'y − 0 + 0
y
+∞ +∞
5
Hàm số đồng biến trên
2
;
5
−∞ −
; hàm số nghịch biến trên
2
; .
5
+∞
Hàm số đạt cực tiểu tại
2
; 5.
5
x y= − =
c)
1
.
3
x
y
x
+
=
+
Hàm số xác định khi [ ]3 0 3 3; .x x D+ > ⇔ > − → = − + ∞
Đạo hàm:
( )
( ) ( )
( )
( )
1
3
2 3 1 3 252 3 0, .
3 2 3 3 2 3 3 2 3 3
x
x
x x xxxy y x D
x x x x x x x
+
+ −
+ − − + +++′ ′= = = = → > ∀ ∈
+ + + + + + +
Bảng biến thiên:
x −3 +∞
'y +
y
+∞
−∞
Hàm số đã cho luôn đồng biến trên miền xác định và không có cực trị.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc I:
1) 2 3
3 2y x x= − 2) 3 2
2 2 1.y x x x= − + − 3) 3 21
4 15 .
3
y x x x= − + −
4)
4
2
3.
2
x
y x= − + 5) 4 2
4 5.y x x= − + 6)
4
2 3
.
2 2
x
y x= − + +
DẠNG 2. TÌM CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ BẰNG QUY TẮC II
Phương pháp:
+ Tìm tập xác định của hàm số.
+ Tính 'y và giải phương trình ' 0y = để tìm các nghiệm.
+ Tính ''y tại các giá trị nghiệm tìm được ở trên rồi kết luận.
Chú ý: Quy tắc II tìm cực trị thường được áp dụng cho các hàm số khó lập bảng biến thiên như hàm lượng giác,
hàm siêu việt, hàm vô tỉ...
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ mẫu: Tìm các khoảng đơn điệu và cực trị của các hàm số sau:
a) sin 2 .y x x= − b)
1
cos cos2 .
2
y x x= + c) 2
2 .y x x x= + −
Lời giải:
a) sin 2 .y x x= −
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm:
1 π π
2cos2 1 0 cos2 2 2π π
2 3 6
y x y x x k x k′ ′= − → = ⇔ = ⇔ = ± + → = ± +
8. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Đạo hàm bậc hai:
π π
π 4sin 2π 2 3 0
6 3
4sin 2
π π
π 4sin 2π 2 3 0
6 3
y k k
y x
y k k
′′ + = − + = − <
′′ = − →
′′ − + = − − + = >
Vậy hàm số đạt cực đại tại
π π π 3 π
π; sin 2π π π.
6 3 6 2 6
x k y k k k
= + = + − − = − −
Hàm số đạt cực tiểu tại
π π π 3 π
π; sin 2π π π.
6 3 6 2 6
x k y k k k
= − + = − + + − = − + −
b)
1
cos cos2 .
2
y x x= +
Tập xác định: D = R.
Đạo hàm: ( )
2π1
2πcos
sin sin 2 sin 1 2cos 0 32
sin 0 π
x kx
y x x x x y
x x k
= ± += − ′ ′= − − = − + → = ⇔ ⇔
= =
Đạo hàm bậc hai: cos 2cos2y x x′′ = − −
+ Nếu
( ) ( ) ( )
2π 2π 4π 3
4 π cos 4 π 2cos 8 π 0
3 3 3 22
2 π cos 2 π 2cos 4 π 3 0
y n n n
k n
y n n n
′′ ± + = − ± + − ± + = >
= →
′′ = − − = − <
+ Nếu
( ) ( ) ( )
2π 2π 4π 3
4 π 2π cos 4 π 2π 2cos 8 π 4π 0
3 3 3 22 1
π 2 π cos π 2 π 2cos 2π 4 π 1 0
y n n n
k n
y n n n
′′ ± + + = − ± + + − ± + + = >
= + →
′′ + = − + − + = − <
Vậy hàm số đạt cực đại tại ( ) ( )
3
; 2
1 2
π; cos π cos 2π
12
; 2 1
2
k n
x k y k k
k n
=
= = + =
− = +
Hàm số đạt cực tiểu tại
3
; 2
2π 2π 1 4π 4
π; cos π cos 2π
13 3 2 3
; 2 1
4
k n
x k y k k
k n
− =
= ± + = ± + + ± + =
= +
c) 2
2 .y x x x= + −
Hàm số xác định khi [ ]2
2 0 0 2 0; 2 .x x x D− ≥ ⇔ ≤ ≤ → =
Đạo hàm:
2
2 2
2 22 2
12 2 2 1
1 0 2 1 2 1
2 2 12 2 2
xx x x x
y y x x x x x x
x x x xx x x x
≥− − + −
′ ′= + = → = ⇔ − + − ⇔ − = − ⇔
− = − +− −
2
1
2 2 1
1 1 2 2
.2 2
22 4 1 0
2 2 1
1
2 2
x
x x
x
x x
x
≥
+≥ = = + +
⇔ ⇔ → = − + = − = = −
Đạo hàm bậc hai:
( )
( ) ( )
2
2
2 22
22 2 2 2 2
1
2
1 2 2 1 12 0
22 2 2 2 2
x
x x
x x x x xx xy
x xx x x x x x x x x x
−
− − −′ − − − + −−′′ = = = = − < −− − − − −
Vậy hàm số đạt cực đại tại
2 2
; 1 2.
2
x y
+
= = +
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
9. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Tìm cực trị của các hàm số sau bằng quy tắc II:
1) 2
4.y x x= − 2) 2
2 5.y x x= − + 3) 2
4sin .y x x= −
4) 2
cos 3 .y x= 5) sin cos .
2 2
x x
y = − 6)
2
4
.
3 2
x
y
x
−
=
−
DẠNG 3. TÌM ĐIỀU KIỆN ĐỂ HÀM SỐ CÓ CỰC TRỊ
Phương pháp:
+ Hàm số có cực trị khi ' 0y = có nghiệm và đổi dấu qua các nghiệm.
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại các điểm có hoành độ x1; x2 thì khi đó x1; x2 là hai nghiệm của ' 0.y =
+ Hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x0 khi
( )
( )
0
0
0
0
y x
y x
′ =
′′ <
+ Hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x0 khi
( )
( )
0
0
0
0
y x
y x
′ =
′′ >
Các ví dụ điển hình:
Ví dụ mẫu: Cho hàm số 3 2
3 2 3 1y x mx x m= − + − + . Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn x1 + 2x2 = 3.
c) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 2.
d) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = –1.
Lời giải:
a) Ta có 2
3 6 2y x mx′ = − +
Hàm số đã cho có cực trị khi ' 0y = có nghiệm và đổi dấu khi qua các nghiệm.
⇔ y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt 2 2
6
2 3
0 9 6 0
3 6
3
m
m m
m
>
′⇔ ∆ > ⇔ − > ⇔ > ⇔
< −
Vậy với
6 6
;
3 3
m m> < − thì hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu.
b) Gọi x1; x2 là hoành độ các điểm cực đại, cực tiểu. Khi đó x1; x2 là nghiệm của phương trình ' 0y = .
Theo định lí Vi-ét ta có
1 2
1 2
2
2
3
x x m
x x
+ =
=
Theo giải thiết ta có x1 + 2x2 = 3
( )( )
1 2 1
1 2 2
1 2
2 3 4 3
2 3 2
2 2
4 3 3 2
3 3
x x x m
x x m x m
x x m m
+ = = −
→ + = ⇔ = −
= − − =
2 229
8 18 0 24 54 29 0
3
m m m m→ − + = ⇔ − + = → phương trình vô nghiệm.
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn đề bài.
c) Ta có 6 6y x m′′ = −
Hàm số đạt cực tiểu tại x = 2 khi
( )
( )
72 0 3.4 12 2 0 7
.6
12 6 0 62 0
2
y m m
m
my
m
′ = − + = =
⇔ ⇔ → =
− >′′ > <
Giá trị
7
6
m = thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
d) Hàm số đạt cực đại tại x = –1 khi
( )
( )
51 0 3 6 2 0 5
.6
6 6 0 61 0
1
y m m
m
my
m
′ − = + + = = −
⇔ ⇔ → = −
− − <′′ − < > −
10. Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Tham gia trọn vẹn khóa LTĐH môn Toán 2015 tại Moon.vn để đạt điểm số cao nhất trong kỳ TSĐH 2015!
Giá trị
5
6
m = − thỏa mãn điều kiện tồn tại cực trị nên là giá trị cần tìm.
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1. Cho hàm số ( )3 21
2 3 2.
3
y x mx m x= + + + + Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 2x1 + 3x2 = –2.
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 0.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = –2.
Bài 2. Cho hàm số ( )3 21
6 1
3
y x mx m x= + + + − . Tìm giá trị của m để
a) hàm số có cực trị.
b) hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 thỏa mãn 1 1
1 2
1 1
.
3
x x
x x
+
+ =
c) hàm số đạt cực đại tại điểm có hoành độ x = 1.
d) hàm số đạt cực tiểu tại điểm có hoành độ x = 0.
Bài 3. Tìm m để các hàm số sau không có cực trị ?
a) y = x3
– 3x2
+ 3mx + 3m + 4.
b) y = mx3
+ 3mx2
– (m – 1)x – 1.
Bài 4. Tìm a, b để hàm số
a) y = ax4
+ bx2
đạt cực trị bằng –9 tại điểm 3.x =
b)
2
ax bx ab
y
bx a
+ +
=
+
đạt cực trị tại x = 0 và x = 4.
c)
2
2
ax 2
1
x b
y
x
+ +
=
+
đạt cực đại bằng 5 tại điểm x = 1.
Bài 5. Tìm m để hàm số
a) ( ) ( ) ( )3 2 2 2
2 1 4 1 2 1y x m x m m x m= + − + − + − + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho ( )1 2
1 2
1 1 1
.
2
x x
x x
+ = +
b) 3 21
1
3
y x mx mx= − + − đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho 1 2 8.x x− ≥
c) 3 21 1
( 1) 3( 2)
3 3
y mx m x m x= − − + − + đạt cực trị tại hai điểm x1, x2 sao cho x1 + 2x2 = 1.