資料結構-20個經典題型

1. 國營事業 + 公職考試
(含中華電信)
資料結構(data structure)
重點整理

2. Issue 1 時間複雜度(time complexity)
重點摘要1
1. 用來衡量演算法執行所需時間。
2. 為衡量演算法優劣的重要參數。
3.常用的衡量標準為:
• Big-oh
• Theta
• Omega
Big-oh
Omega
Theta
2

3. Issue 1 時間複雜度(time complexity)
題 1:
T(n) = 4n+1009
Big-oh=
題 2:
T(n) = 4n3+19n +2000
Big-oh=
小試身手 參考解答:
題 1:
T(n) = 4n+1009
Big-oh = O(n)
題 2:
T(n) = 4n3+19n +2000
Big-oh = O(n3)
3

4. Issue 1 時間複雜度(time complexity)
考古練習 (105高考三級)
請算出下列兩題之時間複雜度，並請以big-oh進行表示:
1.for (int i = 0; i * i < n; i++) S
2.for (int i = 1; i < n+1; i*=2) S
4

5. Issue 1 時間複雜度(time complexity)
考古練習 (105高考三級) 解答(1)
1.for (int i = 0; i * i < n; i++) S
解答:
i會從 0, 1, 4, 9,.......i2 ，故為O(n1/2)
例如: 當n等於25時，i僅會到5，因5的平方即等於25
5

6. Issue 1 時間複雜度(time complexity)
考古練習 (105高考三級) 解答(2)
2.for (int i = 1; i < n+1; i*=2) S
解答:
i會從 1, 2, 4, 8,....... ，故為O(logn)
例如: 當n等於16時，i僅會到4，因2的4次方即等於16，並小於n+1
6

7. Issue 2 陣列(array)和鏈結(linked list)
重點摘要1
陣列(array)特色:
1. Array是一種是先宣告資料結構.
2. Array用以存放同質性資料.
3. Array支援循序和隨機存取.
4.隨機存取時間複雜度為O(1).
鏈結(linked list)特色:
1. Linked list可以動態配置.
2. Linked list需額外link空間.
3. Linked list僅支援循序存取.
4.循序存取時間複雜度為O(n).
Compare/
7

8. Issue 2 陣列(array)和鏈結(linked list)
重點摘要2
1. Row major (以列為基礎)
A(i,j) = l + [ (i-1)*n +(j-1)]*d
2. Col major (以行為基礎)
A(i,j) = l + [ (j-1)*m +(i-1)]*d
陣列常考公式: (假設l為初值，並且有m列n行，且元素大小為d)
8
Tips:
Row major只能算出行…
Col major只能算出列…

9. 此題宣告後如下:
並且由後往前做輸出的動作
故為反向輸出:
5 4 3 2 1
Issue 2 陣列(array)和鏈結(linked list)
小試身手
試問下列結束後印出為何?
int main() {
int A[] ={1,2,3,4,5};
for(int i=5; i>0; i--){
print(A[i]);
}
}
參考解答:
1 2 3 4 5
9

10. Issue 2 陣列(array)和鏈結(linked list)
10
重點摘要1
你該瞭解的鏈結演算法:
1. 插入
2. 刪除
3. . 回收
4. 翻轉
void insert (Node *x) {
Node *t=new Node x( );
t → data=50;
t → link=x → link;
x → link=t;
}

11. Issue 2 陣列(array)和鏈結(linked list)
11
重點摘要1
你該瞭解的鏈結演算法:
1. 插入
2. 刪除
3. . 回收
4. 翻轉
delete (Node*x , Node*y) {
if (y == null) First=x→ link;
else y→link=x →link;
delete x;
}
假設有一個First串列，刪除有2種
可能，一種為刪除的x位在第一個，
一種為不為第一個:

12. Issue 2 陣列(array)和鏈結(linked list)
12
重點摘要1
你該瞭解的鏈結演算法:
1. 插入
2. 刪除
3. 回收
4. 翻轉
void ret (Node *t){
Node *p=t;
while (p→link!=null) {
p=p→link;
}
P→link=AV;
AV=t;
單向鏈結回收演算法:

13. Issue 2 陣列(array)和鏈結(linked list)
13
重點摘要1
你該瞭解的鏈結演算法:
1. 插入
2. 刪除
3. 回收
4. 翻轉
void invert (Node *s) {
Node*r, *q, *p;
q = null;
p = s;
while(p!=null){
r = q; q = p; p = p→link;
}
s=q;
}

14. Issue 3 遞迴(Recursive)
重點摘要1
遞迴(recursive)特色:
1. 程式簡單,明確, 易讀性高.
2. 程式較精簡 (故節省記憶體空間).
3. 執行時需耗費stack空間.
4. 執行時間較長.
非遞迴(iterative)特色
1. 程式易讀性較差 (故難維護).
2. 程式較冗長.
3. 執行時耗費記憶體空間.
4. 執行會比較快.
Compare/
14

15. Issue 3 遞迴(Recursive)
重點摘要2
1. 連加 (1+2+3…..+n)
2. 連乘(1*2*3…..*n)
3. . 費式數列 (常考題型)
4. 最大公因數
5. 河內塔(Hanoi) (常考題型)
你該瞭解的遞迴演算法: int sum ( int n){
if(n==0) return 0;
else
return(n +sum(n-1));
15

16. Issue 3 遞迴(Recursive)
重點摘要2
1. 連加 (1+2+3…..+n)
2. 連乘(1*2*3…..*n)
3. . 費式數列 (常考題型)
4. 最大公因數
5. 河內塔(Hanoi) (常考題型)
你該瞭解的遞迴演算法: int sum ( int n){
if(n==0) return 0;
else
return(n *sum(n-1));
16

17. Issue 3 遞迴(Recursive)
1. 連加 (1+2+3…..+n)
2. 連乘(1*2*3…..*n)
3. . 費式數列 (常考題型)
4. 最大公因數
5. 河內塔(Hanoi) (常考題型)
你該瞭解的遞迴演算法:
int F ( int n){
if(n==0) return 0;
else if(n==1) return 1;
else{
return F(n-1)+F(n-2);
17
重點摘要2

18. Issue 3 遞迴(Recursive)
1. 連加 (1+2+3…..+n)
2. 連乘(1*2*3…..*n)
3. . 費式數列 (常考題型)
4. 最大公因數
5. 河內塔(Hanoi) (常考題型)
你該瞭解的遞迴演算法:
int GCD ( int a, int b){
if(a%b==0)
return b;
else
return GCD(b,a%b);
18
重點摘要2

19. Issue 3 遞迴(Recursive)
1. 連加 (1+2+3…..+n)
2. 連乘(1*2*3…..*n)
3. . 費式數列 (常考題型)
4. 最大公因數
5. 河內塔(Hanoi) (常考題型)
你該瞭解的遞迴演算法:
void Hanoi (n:disc , A , B , C : peg) {
if (n==1)
move disc from A to C
else {
Hanoi (n 1 ,A ,C ,B);
move the disk n from A to C;
Hanoi (n 1 ,B ,A ,C);
}
}
重點摘要2

20. Issue 4 堆疊(stack)和佇列(queue)
重點摘要1
堆疊(stack)特色:
1. 具有LIFO的特性.
2. 可做到反向輸出.
3. 支援DFS演算法.
4. 實際案例: 自助餐盤拿放.
佇列(queue)特色
1. 具有FIFO特性.
2. 為順向的輸出.
3. 支援BFS演算法.
4. 實際案例: 排隊(先排的先服務).
Compare/
20

21. Issue 4
考古練習 (105地方四等)
21
堆疊(stack)和佇列(queue)
下列何者是結構化程式語言常使用的資料結構，對於所儲
存的資料採用先進後出的存取方式，例如要記錄老鼠走迷
宮所走過的路徑？
(A)Stack (B)Queue (C)Tree (D)List
參考解答: (A)

22. Issue 5
重點摘要1
插入(push)
22
用陣列(array)實作堆疊(stack)
bool push (int item) {
if (isFull ( ))
return false;
else
stack [++top]=item;
}
刪除(pop)
bool pop (int &item) {
if (isEmpty ( ))
return false;
else
item=stack [top--];
}

23. Issue 6
重點摘要1
23
用陣列(array)實作佇列(queue)
插入(add)
bool add (int item) {
if (isFull ( )) return false;
else {
queue[++ rear]=item;
return true;
}
}
刪除(delete)
bool delete (int & item) {
if (isEmpty ( )) return false;
else {
queue[++ front];
return true;
}
}

24. Issue 7
重點摘要1
插入(push)
24
用鏈結(linked list)實作堆疊(stack)
void push (int item) {
Node *t=new (t);
t → data=item;
t → link=top;
top=t;
刪除(pop)
int pop ( ) {
if (top==null) return-1;
else {
Node *t=top;
top=top→link;
item=t→data;
ret (t);
return item;
}
}

25. Issue 8
重點摘要1
插入(push)
25
用鏈結(linked list)實作佇列(queue)
void add (int item) {
Node t=new Node( );
t→data=item;
t→link=null;
if (front==rear) front=rear=t;
else {
rear→link=t;
rear=t;
}
}

26. Issue 9
重點摘要1
26
前,中, 後序相互轉換
例如:
• 前序: +AB
• 中序: A+B
• 後序: AB+
重點1: 中序轉後序
1. 依據優先權及結合性加上完整括號。
2. 將運算子(operator)取代最近的右括號。
3. 輸出（省略左括號）。
重點2: 中序轉前序
1. 依據優先權及結合性加上完整括號。
2. 將運算子(operator)取代最近的左括號。
3. 輸出（省略右括號）。

27. Issue 9
考題練習
27
前,中, 後序相互轉換
請由括號法將下列算式轉為後序式:
A * B + C – D
參考解答:
(((A * B) +C) - D) ➔ AB*C+D-

28. Issue 10
重點摘要1
28
樹與二元樹(binary tree)
樹(tree)的定義:
由一或多個 Node
所構成的有限集合，
其中Root稱為樹根，
此節點沒有父節點。

29. Issue 10
重點摘要2
29
樹與二元樹(binary tree)
Binary tree 三定理 (考前請背熟!!)
(一) 第i level 之Node 個數最多為2i - 1 個。
(二) 高（深）度為k 的二元樹，其Node 個數最多有2k -1 個。
(三) 一非空二元樹，若n0 為leaf 個數，n2 為degree 為2 的個數，
則n0 = n2 + 1。

30. Issue 10
考題練習
30
樹與二元樹(binary tree)
一B.T.有12 個node，degree = 1 之node 數5 個，
問leaf node 數共有多少？
參考解答: 4個

31. Issue 10
重點摘要3
31
樹與二元樹(binary tree)
完整二元樹(complete binary tree):

32. Issue 10
重點摘要4
32
樹與二元樹(binary tree)
前, 中, 後序追蹤(traversal)
➔拜訪二元樹中所有的Node 資料。
➔L 要在R 之前拜訪。
➔DLR為前序，LDR為中序，
LRD為後序…
D
L R

33. Issue 10
考題練習
33
樹與二元樹(binary tree)
問: 請以中序追蹤此樹結果為何?
參考解答: DBEAFCG

34. Issue 10
重點摘要5
34
樹與二元樹(binary tree)
引線二元樹(thread binary tree):

35. 35
Issue 11 圖形(graph)
重點摘要1
定義:
圖形G 是由頂點集合V 以及邊集合E 所組成，表示如下：
G：〈V , E〉
V：頂點集合(Vertex)
E：邊集合(Edge)

36. 36
Issue 11 圖形(graph)
重點摘要2.1
術語:
1.完整圖: 若無向圖有n個頂點，則有n(n-1) /2個邊
2.子圖: G = < V , E>，則S 為G 的Subgraph 表示S = < V' , E' >
其中V‘屬於V，E’屬於E
3:路徑: 邊之集合而成，例：{(1 , 2) , (2 , 3) , (1 , 3)…}
4.路徑長度: 指路徑包含的邊數目

37. 37
Issue 11 圖形(graph)
重點摘要2.2
術語:
5.簡單路徑: 指路徑上除了起點和終點可以相同外，其餘點皆不相同。
6.迴圈: 為一simple path，且起點和終點相同。
7:連通: 對無向圖而言，所有成對的頂點，皆有path 相通時稱之。
8.強連通: 對有向圖而言所有到node 皆可達到對方。

38. 38
Issue 11 圖形(graph)
重點摘要2.3
術語:
9.分支度:
A
B
C
如上圖, A的out degree為2

39. 39
Issue 12 相鄰矩陣(adjency matrix)
重點摘要1
概念: 1.於陣列中找有無邊相連為O (1)。
作法：check A [i , j]為0或1
2.找頂點Vi的degree之
時間複雜度為O (n)。

40. 40
Issue 13 相鄰串列(adjency list)
重點摘要1
概念:
假設有e個邊:
1. check Vi 相鄰頂點是否包含Vj 為O (e)。
2. check Vi 的分支度為O (e)。

41. 41
Issue 14 深度先搜尋(Depth First Search)
重點摘要1
概念:
說明：選擇一起始拜訪頂點，挑選步驟如下：
step 1：從目前拜訪頂點的未拜訪相鄰頂點之集合選一拜訪
step 2：若無，則回溯目前拜訪之前一頂點並做step 1
step 3：反覆step1 , step 2，直到所有頂點皆拜訪或無頂點可拜訪。
採用stack支援

42. 42
Issue 14 深度先搜尋(Depth First Search)
考題練習
問: 請以深度追蹤此樹結果為何?
(從A點出發)
參考解答: ABDECFG
採用stack支援

43. 43
Issue 15 廣度先搜尋(Breadth First Search)
重點摘要1
概念:
說明：選擇一起始拜訪頂點，之後挑選步驟如下：
step 1：將目前選擇到的頂點之未拜訪的相鄰頂點逐一拜訪。
step 2：若目前頂點之相鄰頂點皆拜訪完畢，往先拜訪的頂點走，回step 1。
step 3：反覆step1 , step 2，直到所有頂點拜訪完畢，或無頂點可拜訪。
採用queue支援

44. 44
Issue 15 廣度先搜尋(Breadth First Search)
考題練習
問: 請以廣度追蹤此樹結果為何?
(從A點出發)
參考解答: ABCDEFG
採用queue支援

45. 45
Issue 16 Kruscal’s algo.
重點摘要1
概念:
(1) 依序排最小成本邊(Vi , Vj)。
(2) 若(Vi , Vj)之加入不會使spanning tree 形成cycle，則加入，否則放棄。
(3) repeat step 1 , 2 直到挑了n 1 個邊或無邊可挑為止。

46. 46
考題練習
Issue 16 Kruscal’s algo.
A
B
C
D
E
1
5
1
3
6
2
8
採用kruscal‘s algo
則最低成本為何?
參考解答: 7

47. 47
Issue 17 Prime’s algo.
重點摘要1
概念:
一圖形G < V , E >，含有n 個頂點，V = {1 , 2 , … , n}，另外設U={1}，
每次尋找一最短的edge (μ, v)，其中μ是U 集合的元素，V 是V U 集合
之元素，將此邊加入T 中，且把V 點從V 集合中刪除並加入U 集合中，
直到U 集合 = V 集合。

48. 48
Issue 17 Prime’s algo.
考題練習
A
B
C
D
E
10
5
1
3
6
2
8
採用prime‘s algo(由A開始)
則最低成本為何?
參考解答: 11

49. 49
Issue 18 搜尋(search)
重點摘要1
• 線性搜尋 (linear search)
✓ 由頭到尾依資料的順序一筆一筆
的進行比對搜尋。
✓ 右邊為non-sential之作法。
void non-sential (F, n, k){
int i;
while (i <=n) {
if (F [i].key ==k)
return i;
else
i=i+1;
}
return 0;
}

50. 50
Issue 18 搜尋(search)
重點摘要1.2
• 線性搜尋 (linear search)
✓ 由頭到尾依資料的順序一筆一筆
的進行比對搜尋。
✓ 右邊為sential之作法，即將欲找
值放在最前面，由後往前找。
void sential (F , n , k) {
F [0] . key=k;
int i=n;
while ( F [i] . key!=k) {
i=i-1 ;
}
return i;
}

51. 51
Issue 18 搜尋(search)
重點摘要2
• 二分搜尋 (binary search)
✓ 資料需要事先排序。 (常考)
✓ 通常採用陣列作為存放機制。
int BS (int A [ ] , int key,int l, int μ) {
if (l <=μ) {
int mid=(l +μ)/2;
if (key == A [mid]) return mid;
else if (key<A[mid])
return binarySearch (A ,key , l , mid-1) ;
else
return binarySearch (A ,key ,mid+1 ,μ) ;
}
else
return -1 ; //Not Found
}
}

52. 52
Issue 19 排序(sort)
重點摘要1
• 插入排序 (insertion sort)
• 選擇排序 (selection sort)
• 氣泡排序 (bubble sort)
• 快速排序 (quick sort)
• 合併排序 (merge sort)
• 堆積排序 (heap sort)
初等排序: 平均時間複雜度為O(n2)
高等排序: 平均時間複雜度為O(nlogn)

53. 53
Issue 19 排序(sort)
插入排序 (insertion sort)
將第i 筆記錄插入到前面( i-1)筆已排好的記錄串列中，使之成為i 筆已
排序好的串列。
例如: 3, 8, 2. 10進行插入排序
Initial: 3, 8, 2, 10
Pass1: 3, 8, 2, 10
Pass2: 2, 3, 8, 10
Pass3: 2, 3, 8, 10

54. 54
Issue 19 排序(sort)
選擇排序 (selection sort)
從第i 到n 筆資料中挑出最小值，與第i 筆元素swap。
例如: 3, 8, 2. 10進行選擇排序
Initial: 3, 8, 2, 10
Pass1: 2, 8, 3, 10
Pass2: 2, 3, 8, 10
Pass3: 2, 3, 8, 10

55. 55
Issue 19 排序(sort)
氣泡排序 (bubble sort)
針對元素進行兩兩交換，每回合最大值會於最後一筆。
例如: 3, 8, 2. 10進行氣泡排序
Initial: 3, 8, 2, 10
Pass1: 3, 2, 8, 10
Pass2: 2, 3, 8, 10
Pass3: 2, 3, 8, 10

56. 56
Issue 19 排序(sort)
快速排序 (quick sort)
1. 每回合挑選一鍵值，並將此鍵值插入到最適當的位置。
2. 將未排序的集合反覆做step 1 的動作。
例如: 3, 8, 2. 10進行快速排序
Initial: 3, 8, 2, 10
Pass1: [2], 3, [8, 10] (分成兩群，左邊比3小，右邊比3大)
Pass2: 2, 3, [8, 10]
Pass3: 2, 3, 8, 10

57. 57
Issue 19 排序(sort)
合併排序 (merge sort)
merge sort 常用於外部排序。
例如: 3, 8, 2. 10進行合併排序
Initial: 3, 8, 2, 10
Pass1: 3, 8, 2, 10
Pass2: 2, 3, 8, 10
將數列分為兩段進行排序
將兩段數列合併進行排序

58. Heap(堆積)可分為：
1. Max-Heap（最大堆積）
定義：(1) 為一Complete Binary Tree
(2) 父點鍵值必定大於子點鍵值
(3) root 是所有node 中鍵值最大的
58
Issue 19 排序(sort)
堆積排序 (heap sort) 1/3
2. Min-Heap（最小堆積）
定義：(1) 為一Complete Binary Tree
(2) 父點鍵值必定小於子點鍵值
(3) root 是所有node 中鍵值最小的

59. Heap(堆積)練習： 若下圖最大堆積加入13，則為何?
59
Issue 19 排序(sort)
堆積排序 (heap sort) 2/3
13
13
10
加入於最後一個節點 調整為max heap

60. Heap(堆積)特性：
Heap 特性
1. Heap 用array 來儲存（∵為Complete Binary Tree）。
2. Heap 中插入元素：Time Complexity : O (log n)。
3. 刪除最大or 最小鍵值元素：Time Complexity : O (log n)。
． Max-Heap ： 最大鍵值落在Root ， ∴ 找最大只須： O(1)
60
Issue 19 排序(sort)
堆積排序 (heap sort) 3/3

61. 61
Issue 20 雜湊(hash function)
重點摘要1
概念:
又稱為home address

62. 62
Issue 20 雜湊(hash function)
重點摘要2
Overflow處理機制:
一. 線性探測(linear probing)。
二. 二次方探測。
三. 再散置(rehashing)。
四. link list。
範例
有4筆資料分別為10, 20, 22, 4,
且hash function為h(x) = k mod 5
請問以線性探測與link list處理overflow
結果為何?

63. 63
Issue 20 雜湊(hash function)
解題1 (採用線性探測)
10
20
22
4
0
1
2
3
4
10 mod 5 =0
20 mod 5 = 0 (往下一格找)
22 mod 5 = 2
4 mod 5 =3
解法

64. 64
Issue 20 雜湊(hash function)
解題1 (採用linked list)
10
22
4
0
1
2
3
4
20 null
10 mod 5 =0
20 mod 5 = 0 (增加一個link)
22 mod 5 = 2
4 mod 5 =3
解法