Dokumen tersebut membahas tentang fungsi non-linear khususnya fungsi kuadrat, elips, hiperbola, dan parabola. Fungsi-fungsi tersebut dapat diaplikasikan dalam analisis ekonomi seperti permintaan, penawaran, keseimbangan pasar, analisis pajak, biaya dan pendapatan. Contoh soal juga diberikan untuk memahami penerapan fungsi non-linear dalam konteks ekonomi.

1. Fungsi Non Linear
1
Daru Wahyuni
Program Studi Akuntansi
Fakultas Ekonomi
Universitas Negeri Yogyakarta

2. 2
• Fungsi non linear merupakan fungsi yang
pangkat tertinggi dari variabelnya lebih dari
satu.
• Secara grafis fungsi non linear bukan
merupakan garis lurus
• 4 macam bentuk fungsi non linear yang
paling sering dijumpai dalam analisis
ekonomi adalah fungsi kuadrat, fungsi kubik,
fungsi eksponensial, dan fungsi logaritmik
• Pada kesempatan ini hanya akan dipelajari
fungsi kuadrat saja

3. 3
Fungsi Kuadrat
• Fungsi Lingkaran
Lingkaran merupakan tempat kedudukan titik-titik
yang berjarak tetap (jari-jari) terhadap suatu titik
tertentu (titik pusat)
BU : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0
dimana a dan b sama dan setanda
Manipulasi atas bentuk umum di atas
menggambarkan pusat dan jari-jari lingkaran dengan
formula
(x – i)2 + (y – j)2 = r2
dimana i dan j masing-masing adalah jarak pusat
lingkaran terhadap sumbu X dan sumbu Y,
sedangkan r adalah jari-jari lingkaran.

4. 4
Rumus:
a
c
i
2


a
d
j
2


a
e
j
i
r 

 2
2
Contoh Soal
Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran yang dibentuk oleh
persamaan
x2 + y2 - 14x - 12y – 15 = 0

5. 5
x2 + y2 - 14x - 12y – 15 = 0
x2 - 14x + k1 + y2 - 12y + k2 = 15 + k1 + k2
x2 - 14x + 49 + y2 - 12y + 36 = 15 + 49 + 36
(x – 7) 2 + ( y – 6) 2 = 100
(x – 7) 2 + ( y – 6) 2 = 10 2
Pusat lingkaran (7, 6) dengan jari-jari 10
Jawaban

6. 6
7
1
.
2
14
2






a
c
i 6
1
.
2
12
2






a
d
j
10
100
1
15
36
49
2
2









a
e
j
i
r
Cara lain
Pusat lingkaran (7, 6) dengan jari-jari 10

7. 7
•
15 x
-1
13,14
y
-1,14
7
6
16
17
-4
-3
Gambar Lingkaran dengan persamaan
x2 + y2 - 14x - 12y – 15 = 0

8. Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran
yang dibentuk dengan persamaan:
x2 + y2 - 2x - 4y – 20 = 0
8

9. 9
• Fungsi Elips
BU : ax2 + by2 + cx+ dy + e = 0
dimana a dan b setanda tetapi tidak sama besar
Manipulasi atas bentuk umum di atas
menggambarkan pusat dan jari-jari elips dengan
formula
dimana i dan j masing-masing adalah jarak
pusat elips terhadap sumbu X dan sumbu Y,
sedangkan r1 dan r2 adalah jari-jari elips.
    1
2
2
2
2
1
2




r
j
y
r
i
x

10. 10
Contoh Soal
Tentukan pusat dan jari-jari panjang dan pendek elips yang dibentuk
oleh persamaan
4x2 + 9y2 +16x - 18y – 11 = 0
4x2 + 9y2 +16x - 18y = 11
4x2 + 16x + k1 + 9y2 - 18y + k2 = 11 + k1 + k2
4(x2 + 4x + 4) + 9(y2 - 2y + 1) = 11 + 16 + 9
4(x + 2) 2 + 9( y – 1) 2 = 36
    1
2
1
3
2
2
2
2
2



 y
x Pusat elips (-2, 1) dengan jari-jari panjang 3
dan jari-jari pendek 2

11. 11
•
-0,49
x
-2
y
-4,6
2,49
0,6
1
Gambar Ellips dengan persamaan
4x2 + 9y2 +16x - 18y – 11 = 0
3
-1
1
-5

12. Tentukan titik pusat dan jari-jari elips yang
dibentuk dari persamaan
9x2 + 16y2 + 36x – 32y – 92 = 0!
12

13. 13
• Fungsi Hiperbola
BU : ax2 + by2 + cx + dy + e = 0
dimana a dan b berlawanan tanda
Manipulasi atas bentuk umum di atas
menggambarkan pusat hiperbola dengan
formula:
dimana i dan j adalah koordinat pusat
hiperbola
    1
2
2
2
2




n
j
y
m
i
x

14. 14
• Persamaan untuk asimtot-asimtotnya
dapat dicari dengan rumus:
n
j
y
m
i
x 



atau
m
i
x
n
j
y 




15. 15
Latihan Soal
Tentukan pusat hiperbola dan persamaan asimtot
persamaan hiperbola 9x2 - 4y2 -18x - 16y – 43 = 0
9x2 - 4y2 - 18x - 16y = 43
9x2 - 18x + k1 - 4y2 - 16y + k2 = 43 + k1 + k2
9(x2 - 2x + 1) - 4(y2 + 4y + 4) = 43 + 9 - 16
9(x - 1) 2 - 4( y + 2) 2 = 36
Jadi titik pusat hiperbola (1,-
2),
m = 2, n = 3.
    1
3
2
2
1
2
2
2
2



 y
x

16. 16
3
2
2
1 







y
x
n
j
y
m
i
x
Persamaan asimtot:
3x – 3 = ± (2y + 4)
Asimtot 1: 3x - 3 = 2y + 4 atau 3x - 2y - 7 = 0
Asimtot 2: 3x - 3 =-2y - y atau 3x + 2y + 1 = 0

17. 17
•
2,33
x
-3,5
y
-2
1
-0,5
-0,33
3,46
-1,46
9x2 - 4y2 - 18x - 16y = 43
3
-1

18. 18
Latihan soal:
Tentukan pusat dan persamaan asimtot
hiperbola yang dibentuk dengan persamaan
9x2 - 16y2 - 54x + 64y - 127 = 0

19. 19
• Fungsi Parabola
1. Sumbu Simetri sejajar dengan sumbu Y
BU: y = ax2 + bx + c
Titik Puncak ditentukan oleh:
a
b
x
2


a
ac
b
y
4
4
2




20. 20
2. Sumbu Simetri sejajar dengan sumbu X
BU: x = ay2 + by + c
Titik Puncak ditentukan oleh:
a
b
y
2


a
ac
b
x
4
4
2




21. Latihan soal:
Tentukan titik puncak parabola yang dibentuk
dengan persamaan y = x2 + 4x + 2
Jawab:
x = -4/2 = -2
y = (42 – 4.1.2) / -4.1
= (16 – 8) /-4
= -2
Titik puncak parabola (-2, -2)
21

22. 22
-2
-2
x
y
y = x2 + 4x + 2
2
-4
SS

23. Membentuk Persamaan Parabola
23

24. Contoh:
Bentuklah persamaan parabola dengan
sumbu simetri sejajar dengan sumbu Y
dan parabola itu melalui
titik (4, -1); (6, 1) dan (2, 1)!
24

25. 25
Dari (1) dan (3)
-1 = 16a + 4b + c
1 = 4a + 2b + c –
-2 = 12a + 2b …. (5)
Dari (4) dan (5)
2 = 20a + 2b
-2 = 12a + 2b -
4 = 8a
a = 1/2
b = -4
c = 7

26. 26
4
-1
x
y
y = 1/2x2 - 4x + 7
1
2
SS
6

27. Membentuk Persamaan Parabola
27

28. 28

29. 29
Fungsi non linier (khususnya fungsi kuadrat-
terutama fungsi parabola) dapat diaplikasikan
pada analisis ekonomi. Pada dasarnya aplikasi
yang bisa dilakukan sama dengan aplikasi
fungsi linier yaitu berkaitan dengan:
• Fungsi Permintaan dan Penawaran
• Analisis Keseimbangan Pasar
• Analisis Pengaruh Pajak dan Subsidi
• Analisis Biaya dan Revenue
Pemahaman mengenai aplikasi fungsi linier dalam
ekonomi sangat mempermudah ketika melakukan
analisis fungsi non linier dalam ekonomi

30. Permintaan, Penawaran, dan Keseimbangan
Pasar.
Analisis D, S, dan Eq pada fungsi non linier sama
dengan analisis pada fungsi linier, namun secara grafis
kurva permintaan dan penawaran merupakan bagian
dari kurva lingkaran atau elips, atau hiperbola atau
parabola yang terletak di kuadran 1
30
Penerapan Fungsi Non Linear dalam Ekonomi

31. 31
Q
P
Pe
Qe
E
D
S
Permintaan, Penawaran, dan Keseimbangan Pasar
Contoh:

32. 32
Q
P
Pe
Qe
E
D
S
Pengaruh Pajak terhadap Keseimbangan Pasar
Stx
Etx
Ptx
Qtx
Tx
TxK/unit = Ptx – Pe
TxP/unit = Tx - TxK

33. 33

34. 34
Keseimbangan Pasar
sebelum pajak: Pd = Ps
Keseimbangan Pasar
sebelum pajak: Pd = Pstx
Tx Konsumen/unit = 16 – 11 = 5
Tx Konsumen total = 5 . 2 = 10
Tx Produsen /unit = 10 – 5 = 5
Tx Produsen total = 5. 2 = 10

35. 35
4
2
20
11
3
28
2
16
Q
P
S
Stx
D
TP Parabola Suppy
setelah Pajak:
(0; 12)
(4; 28)
ANALISIS GRAFIS
4
12
18

36. 36
Permintaan dan penawaran sebuah barang ditunjukkan oleh gambar
berikut.
Tentukan :
Pajak bagian konsumen dan bagian produsen, bila pemerintah
membebankan pajak sebesar 64 per unit.
200
-10 -6
36
45
175
S
D
P
Q

37. 37
Fungsi permintaan suatu barang adalah Q = -2P + 12,
sedangkan biaya produksi yang dikeluarkan produsen
untuk memproduksi barang tersebut ditunjukkan
dengan fungsi TC = 2Q2 - 14 Q + 30. Tentukan :
a. Tingkat produksi yang menghasilkan TR maksimum
b. Tingkat produksi yang menghasilkan TC minimum
c. Tingkat produksi yang manghasikan BEP

38. 38
Kepuasan seorang konsumen dari
mengkonsumsi suatu barang dicerminkan
dengan fungsi utilitas U = -3Q2 + 72 Q. Berapa
unit barang yang harus dikonsumsi agar
kepuasannya maksimum dan berapa besarnya
kepuasan maksimun tersebut?

39. 39
Output suatu perusahaan akan terjual sebanyak 50 jika harganya
600 dan sebanyak 200 jika harganya 150. Biaya total yang
dikeluarkan ditunjukkan dengan fungsi TC = 5Q2 – 1.000Q +
85.000. Hitung :
a. Tingkat produksi yang menghasilkan penerimaan total
maksimum dan besarnya penerimaan total maksimum
tersebut.
b. Keuntungan atau kerugian bila memproduksi 120 unit output

40. Terimakasih
40
Program Studi Akuntansi
Fakultas Ekonomi
Universitas Negeri Yogyakarta