2. Логик Логик нь гол төлөв шалгааны үнэн зөвийг тодорхойлдог ба өгүүлбэр дээр сууриладаг компютерийн шинжлэх ухааны гол үндэс суурь болдог. Үүнийг эртний Грекд зохиосон ба одоогийн логик бүтцийн английн эрдэмтэн George Boole(1815-1864) хөгжүүлсэн байна. 2 3. Тэмдэгтүүд p юмуу q аль нэг p юмуу q аль нэг гэхдээ хоёулаа биш p бас q p биш P, q-г илтгэнэ P, зөвхөн q-г P , q-г илэрхийлэх хүрэлцээтэй нөхцөл p юмуу q аль нэг p юмуу q аль нэг p юмуу q аль нэг Хэрэв p үнэн бол q үнэн Хэрэв p үнэн байх бол q үнэн P-н q-тэй тэнцүү Нийцэл Үгүйсгэл Түүнчлэн Дурын Оршин байгаа Цор ганц оршин байгаа Х олонлогийн зэрэг Холбодог төрөл (нийлбэрүүдийн үржвэр) Салгадаг төрөл (үржвэрүүдийн нийлбэр) Холбогдог бүрэлдхүүн Салгадаг бүрэлдхүүн 3 4. Таамаглал “Засгийн газрийн ордон саарал” Уг өгүүлбэрийн үнэн худлыг тогтоо. Үүнийг бид математик логикд таамаглах өгүүлбэр гэдэг ба таамаглал нь үнэн эсвэл худал гэсэн 2 хэсэгт хуваагдах ба дээрх тохиолдолд хоёулаа байх боломжгүй байна. Монгол улсын ерөнхийлөгч эмэгтэй хүн Заан хүнээс илүү жинтэй Кино үзэх чиний нэр хэн бэ? 3+3=6 4 5. Логик хамаарал Бид ямар нэгэн өгүүлбрүүдийг “хэрэв if”,”эсвэл or”,”ба and” гэсэн холбоос үгсээр холбодог ба эдгээрийг математикд “логик холбоос” гэх ба нийт 6 холбоосууд байдаг. Салгагч холбоос Disjunction “or” P болон q өгүүлбэрээс нэгдсэн шинэ өгүүлбэр үүсгэх ба p or q буюу гэж бичдэг. Үүнийг өгүүлбэрээр илэрхийлбэл “Сайханжаргал эсвэл Сайнжаргал кино үзсэн” гэх ба эндээс 2 тусдаа өгүүлбэриийг нэгтгэсэн нэг өгүүлбэрийг үүсэгэсэн холбоос нь эсвэл байна. Үүнийг сэлгэмэлээр илэрхийлбэл дараах үнэний хүснэгт үүснэ. 5 6. Салгагч холбоос Disjunction “or” Энд p өгүүлбэр үнэн эсвэл худал гэсэн 2 боломж байх ба мөн q өгүүлбэр үнэн худал гэсэн 2 боломжтой байна. Тэгвэл эдгээр бүх боломжийн хувьд дээрх хүснэгт “эсвэл or” холбоосд хүчинтэй байна. 6 7. Exclusive or Үүнийг эсвэл нөхцөлийн хэлбэр ба аль нэг нь үнэн үед үнэн байх холбоос юм. p&q, тэмдэглэдэг. Үнэний хүснэгт нь Жишээ нь Дараах 2 өгүүлбэрийн хувьд p өгүүлбэр нь Сайханжаргал архитектор, q нь Сайханжаргал зохион бүтээгч гэдэг өгүүлбэрийг холбвол:Сайханжаргал архитетор эсвэл Сайнжаргал зохион бүтээгч. 7 8. Нийлүүлэгч холбоос “Conjunction and” Хэрэв дараах 2 өгүүлбрийн хоёулаа үнэн үед үнэн байдаг холбоос юм. P and q болон , dot(.) Үнэний хүснэгт нь: Жишээ нь: P: Төрийн ордон саарал өнгөтэй. Q: Төрийн ордон Улаанбаатарт байдаг. P and Q: Төрийн ордон саарал өнгөтэй ба Улаанбаатарт байдаг. 8 9. “Үгүйсгэл not” Үгүйсгэл тухайн өгүүлбэрийг үгүйсгэх ба ~p гэж бичих ба уг өгүүлбэр нь үнэн бол зөвхөн худал гэсэн утгыг авдаг. Жишээ нь P:Сайнжаргал сайн хүү. ~P: Сайнжаргал сайн хүү биш. P: 8+1=5 ~P: 8+1≠5 9 10. Нөхцөлт Оператор “if…then” Уг холбоос нь нэгнээсээ хамаарсан байх ба хэрэв p, тэгээд q гэсэн утгийг илэрхийлдэг. p->q Үнэний хүснэгт нь. Жишээ нь: Болдын аав Болдыг улирлын шалгалтандаа 95-с дээш оноо авбал машин авч өгнө гэж амалж. 10 11. Жишээ Тэгвэл p утга бол Болд 95-с дээш авах. Q утга бол Аав нь машин авч өгөх амлалтаа биелүүлэхба энд 4 тохиолдол байж болно. Болд 95-с дээш оноо авсан “T”, Аав нь машин авч өгсөн “T” бол Болдын аав амалсандаа хүрсэн “T”. Болд 95-с дээш оноо авсан “T”, Аав нь машин авч өгөөгүй “F” бол Болдын аав амалсандаа хүрээгүй “F”. Болд 95-с дээш оноо аваагүй “F”, Аав нь машин авч өгсөн “T” бол Болдын аав амалсандаа хүрсэн “T”. Болд 95-с дээш оноо аваагүй “F”, Аав нь машин авч өгөөгүй “F” бол Болдын аав амалсандаа хүрэх байсан “T”. 11 12. Нөхцөлт оператор Өгүүлэх хэрэв р, тэгээд q Харилцан ярилцах хэрэв q, тэгээд р Урвуу хэрэв р биш, q биш Сөргөлдсөн хэрэв q биш, p биш Үнэний хүснэгт нь 12 13. 2 талын нөхцөлт оператор Хэрэв р болон q-ийн хоёул ижил бол үнэн байх ба тэмдэглэгээ нь ба дараах нөхцлүүд биелдэг: энэ нь болон нөхцлийг зэрэг хангана. 13 14. Жишээ Дараах нөхцөлийн үнэний хүснэгтийг байгуул. бол дараах нөхцөлийн үнэний хүснэгтийг ол. 14 15. Жишлэг S олонлог ба түүнд харъяалагдах r болон s таамаглалын хувьд тэдгээр таамаглалууд нь харилцан ижил үнэн утгатай бол таамаглалын жишлэгийг s&rболон s≡rгэж тэмдэглэдэг. 15 16. Давуу эрхийн дүрэм Бид алгебр тоо бодохдоо үржих хуваах үйлдлийг эхэнд нь боддог ба логик бодолтонд эдгээр үйлдлүүдийг ба эхэлж хийх үйлдлүүд байдаг. Дараах дарааллаар логик зүй тогтлыг боддог. ~ ^ . . Дараах дүрмийг жишээгээр авч үзье. 16 17. Жишээ Дараах үнэний хүснэгтийг байгуул Дан үнэн үр дүн гаргахыг Tautology буюу нийцэл ба эсрэгээрээ худал үр дүн гарахыг Contradiction буюу зөрчил гэдэг. 17 18. Логик дүрэм Нийцэл болон зөрчил нь р-ийн дурын утганд identity хууль дараах байдлаар тодорхойлогдоно. байх ба бусад дүрмиүүдийг үүнтэй ижилээр баталж болно. 18 21. Баталгаа болон логик хэмжээсүүд Бид дараах хүүрнэх өгүүлбэр “Тэр сайн оюутан” үзье. Уг өгүүлбэр нь таамаглал биш ба үнэн худлыг шууд мэдэж болохгүй байна. Түүнийг “Тэр хэн бэ?” гэдэг жишээ өгүүлбэр шиг пропорцианал функц эсвэл баталгаанууд хэрэгтэй. Үүнийг р(x) өгүүлбэрийн х баталгаа хэрэгтэй ба бид х өгхөд тодорхой үр дүн гарна. Уг өгүүлбэрт хариулснаар “Тэр бол Болд” Болд сайн оюутан буюу үүнийг баталгааг бид олох боломжтой болно. Өөрөөр хэлбэл х+2=y гэх таамаглал ба үүнийг бид x, y-т тодорхой олонлогоос утга өгсөнөөр үнэн худалыг батлах боломжтой P(x) функуээс хамаарсан үр дүн гарна. 21 23. Жишээ: Бүх бодит дурын х-ийн хувьд түүний квадрат нь тэгээс ямагт их байна. Үнэн Бүх бодит х-ийн хувьд байна. Худал 23 24. Теорем 2.1 нэгтгэгдсэн, De Margan’sдүрэм. Хэрэв р пропорцианал бол а болон b үнэн байна. . . Баталгаа: а тохиолдолд бол худал байлгах ядаж нэг х гэсэн утга D дискурст байна. D дискурс нь тухайн х-ийн оршин байгаа олонлог. 24 25. Жишээ: Дараах таамаглалыг шийд. Бүх гэмт хэрэг үйлдсэн хүмүүс гэмт хэрэгтэн байна. А: Гэмт хэрэгтний олонлог. В: Гэмт хэргийн олонлог. ядаж нэг х хэрэгтэн у хэрэг үйлдсэн. бүх хэрэгтэн у хэрэг үйлдээгүй. 25 26. Хэвийн хэлбэр Хэрэв гэсэн дүрэмтэй гэсэн атомын хувьсагчаас хамааарсан өгүүлбэр байг. Хэрэв бид хувьсагчийн боломжит бүх үнэн утгын дүрэм А –ийн үнэний хүснэгтийг байгуулж болно. Хэрэв А дүрмийн бүх утга үнэн бол А –г тэнцүү үнэн гэх ба tautology гэдэг. Хэрэв А дүрмийн бүх утга худал бол А –г тэнцүү хулал гэх ба contradiction гэдэг. Үнэний үр дүнгээс ядаж нэг комбинаци үнэн байх олдсон бол А –г хангаж болох буюу satisfiableгэдэг. 26 27. Асуудлын дүгнэлт Төгсгөлөг тооны асуудлыг тодорхойлохдоо өгөгдсөн дүрмийн дагуу tautology нийцэж байгаа болон цор ганц хангах утга satisfiableбайна гэдгийг тодорхойлж болно. Асуудалд дүгнэлт үргэлж оршин байх ба бид үржвэрийг (product=disjunction) нийлбэрийг (sum=conjunction) 27 30. DNF Энгийн үржвэрүүдийн нийлбэртэй тэнцүү байх томъёог Disjunсtive Normal Form гэх ба дараах байдалтай байна. Жишээ нь: DNF ол 30 32. Minterm X болон y гэсэн 2 хувьсагч авъя. Эдгээрийн бүх боломжит нэгдэлтийн хувьд минтэрм гэх ба хамгийн бага нөхцөл юм. Мөн 2 минтерм эквивалент байхгүй. N хувьсагчтай минтерм нь 2^n байх ба 2 хувьсагчтай бол 4 үүснэ. 32 34. PDNF Энэ нь минтермүүдийн distunctionнийлбэр байна. Жишээ нь: PDNF бич 34 35. CNF, PCNF Нйилбэрийн үржвэрүүдтэй тэнцүү байх томъёог Conjunctive Normal Form гэдэг. CNF нь дараалал биш юм. CNF –ийн нийлбэрүүд нь үнэн байх юм бол үнэн үр дүн гардаг. Эхлээд бид Maxterm –ийг авч үзье. Минтермийн conjunction ^- ийг disjunction v сольж өгөгдсөн тооны хувьсагч болон түүний урвуу хувьсагч байх ба хоёулаа байж болохгүй. Maxterm–үүдийн conjunction үржвэр байна. 35
