Barisan dan Deret (Aritmatika, Geometri, Tak hingga) beserta contoh soal dan ...ElsaBieber
BARISAN DAN DERET
Definisi Barisan :
Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh :
1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst
2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst
Definisi deret :
Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un maka U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret.
Contoh :
1 + 2 + 3 + 4 +… + Un
2 + 4 + 6 + 8 +… + Un
A. Baris dan Deret Aritmatika
Definisi baris aritmatika :
Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.
Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)b
Dengan
o a = U1= Suku pertama
o b = beda
o n = banyaknya suku
o Un = Suku ke-n
Materi barisan dan deret tak hingga kelas 11, beserta contoh soal dan pembahasan
Barisan dan Deret (Aritmatika, Geometri, Tak hingga) beserta contoh soal dan ...ElsaBieber
BARISAN DAN DERET
Definisi Barisan :
Barisan adalah daftar urutan bilangan dari kiri ke kanan yang mempunyai karakteristik atau pola tertentu. Setiap bilangan dalam barisan merupakan suku dalam barisan.
Contoh :
1,2,3,4,5,6,…,…,…,…,… dst
2,4,6,8,10,12,…,…,…,… dst
Definisi deret :
Penjumlahan suku-suku dari suatu barisan disebut deret. Jika U1,U2,U3,…..Un maka U1 + U2 + U3 +… +Un adalah deret.
Contoh :
1 + 2 + 3 + 4 +… + Un
2 + 4 + 6 + 8 +… + Un
A. Baris dan Deret Aritmatika
Definisi baris aritmatika :
Jika beda antara suatu suku apa saja dalam suatu barisan dengan suku sebelumnya adalah suatu bilangan tetap b maka barisan ini adalah barisan aritmatika. Bilangan tetap b itu dinamakan beda dari barisan.
Polanya : a, a+b, a+2b, a+3b,…..,a+(n-1)b
Dengan
o a = U1= Suku pertama
o b = beda
o n = banyaknya suku
o Un = Suku ke-n
Materi barisan dan deret tak hingga kelas 11, beserta contoh soal dan pembahasan
Apa itu Barisan Aritmetika?
• Barisan bilangan yang selisih antara dua suku barisan yang berurutan nilainya
selalu tetap atau sama. Selisih yang selalu tetap ini dinamakan beda.
• Contoh
1) Barisan 1, 3, 5, 7, 9, 11, … merupakan barisan aritmetika dengan beda 2
2) Barisan 6, 3, 0, -3, -6, -9, … merupakan barisan aritmetika dengan beda -3
3) Barisan 4, 5, 7, 10, 14, 19, … bukan barisan aritmetika
Kompetensi Dasar :
1. Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin, rasa percaya diri dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berfikir dalam memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.2. Mendeskipsikan konsep barisan dan deret tak hingga sebagai fungsi dengan daerah asal himpunan bilangan asli.3. Menerapkan konsep barisan dan deret tak hingga dalam penyelesaian masalah sederhana.
2. Barisan bilangan yang suku
berikutnya didapat dari
penambahan suku sebelumnya
dengan bilangan yang tetap
(tertentu) dinamakan barisan
aritmetika.
Bilangan yang tetap itu dinama-
kan beda
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
2
3. Contoh:
2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, . . .
U1 U2 U3 U4 U5 U6 U7
Beda setiap suku adalah tetap,
yaitu = 2 (barisan naik).
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
3
4. Contoh:
12, 10, 8, 6, 4, 2, . . .
U1 U2 U3 U4 U5 U6
Beda setiap suku adalah tetap,
yaitu = -2 (barisan turun).
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
4
5. Suku ke-n barisan aritmetika dapat
ditentukan dengan rumus:
Un = a +(n-1)b
Un = Suku ke-n
b = beda
a = suku pertama
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
5
6. Bila suku-suku pada barisan
aritmetika naik dijumlahkan
maka akan terbentuk deret
aritmetika naik, begitu pula
bila suku-suku pada barisan
aritmetika turun dijumlahkan
maka akan terbentuk deret
aritmetika turun
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
6
7. Contoh:
2, 4, 6, 8, 10, 12, …
S 5 = U 1 + U2 + U3 + U 4 + U 5
= 2 + 4 + 6 + 10 + 12
= 34
Jadi, Jumlah lima suku pertama
adalah 34.
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
7
8. Jumlah suku ke-n barisan aritmetika
dapat ditentukan dengan rumus:
n(a1 + Un )
S n=
2
Sn = Jumlah suku ke-n
b = beda
a1 = suku pertama
Un = suku ke-n
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
8
10. Suatu yayasan pada tahun pertama
menampung 40 anak yatim. Jika
tiap tahun bertambah 5 orang.
Tentukan jumlah anak yatim yang
ditampung pada tahun ke sepuluh.
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
10
11. JAWAB:
a = 40 orang
b = 5 orang
U10 = ….?
Un = a + (n-1)b
U10= 40 + (10-1)5
= 40 + (9)5
= 40 + 45 = 85
Jadi, jumlah anak pada tahun ke-10 = 85
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
11
12. Dalam sebuah ruangan terdapat 15
baris kursi. Banyaknya kursi pada
baris pertama 30 buah, dan pada
setiap baris berikutnya terdapat 3
kursi lebih banyak dari baris di
depannya.
Tentukan banyaknya kursi pada
baris ke-15.
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
12
13. JAWAB:
a = 30 kursi
b = 3 kursi
U15 = ….?
Un = a + (n-1)b
U15 = 30 + (15 - 1)3
= 30 + (14)3
= 30 + 42 = 82
Banyak kursi baris ke-15 = 82
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
13
14. Dalam sebuah ruangan terdapat 20
baris kursi. Banyaknya kursi pada
baris pertama 20 buah, dan pada
setiap baris berikutnya terdapat 5
kursi lebih banyak dari baris di
depannya.
Tentukan banyaknya kursi pada
baris ke-20.
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
14
15. JAWAB:
a = 20 kursi
b = 5 kursi
U20 = ….?
Un = a + (n-1)b
U20 = 20 + (20 - 1)5
= 20 + (19)5
= 20 + 95 = 115
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
15
16. Suatu yayasan pada tahun pertama
menampung 45 anak yatim. Jika tiap
tahun bertambah 7 orang.
Tentukan jumlah anak yatim yang
ditampung pada tahun ke sebelas.
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
16
17. JAWAB:
a = 45 orang
b = 7 orang
U10 = ….?
Un = a + (n-1)b
U10 = 45 + (11-1)7
= 45 + (10)7
= 45 + 70 = 115
Jadi, jumlah anak pada tahun ke-11 = 115
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
17
18. Dalam sebuah ruangan terdapat 20
baris kursi. Banyaknya kursi pada baris
pertama 25 buah, dan pada setiap baris
berikutnya terdapat 4 kursi lebih
banyak dari baris di depannya.
Tentukan banyaknya kursi pada baris
ke-18.
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
18
19. JAWAB:
a = 25 kursi
b = 4 kursi
U18 = ….?
Un = a + (n-1)b
U18 = 25 + (18 - 1)4
= 25 + (17)4
= 25 + 68 = 93
Banyak kursi baris ke-18 = 93
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
19
20. Dalam sebuah ruangan terdapat 16
baris kursi. Banyaknya kursi pada baris
pertama 15 buah, dan pada setiap
baris berikutnya terdapat 3 kursi lebih
banyak dari baris di depannya.
Tentukan banyaknya kursi dalam
ruangan tersebut.
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
20
21. JAWAB:
a = 15 kursi
b = 3 kursi
U16 = ….?
Un = a + (n-1)b
U16 = 15 + (16 - 1)3
= 15 + (15)3
= 15 + 45 = 60
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
21
22. a = 15
U16 = 60
S10 = ….?
Sn = ½ n (a + Un)
S16 = ½ .16 (15 + 60)
= 8 (75 )
= 600
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
22
23. Dalam sebuah ruangan terdapat 20
baris kursi. Banyaknya kursi pada
baris pertama 20 buah, dan pada
setiap baris berikutnya terdapat 5
kursi lebih banyak dari baris di
depannya.
Tentukan banyaknya kursi dalam
ruangan tersebut.
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
23
24. JAWAB:
a = 20 kursi
b = 5 kursi
U20 = ….?
Un = a + (n-1)b
U20 = 20 + (20 - 1)5
= 20 + (19)5
= 20 + 95 = 115
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
24
25. a = 20
U20 = 115
S20 = ….?
Sn = ½ n (a + Un)
S20 = ½ .20 (20 + 115)
= 10 ( 135 )
= 1.350
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
25
27. Suku ke-n barisan geometri dapat
ditentukan dengan rumus:
Un = arn-1
Un = Suku ke-n
r = rasio
a = suku pertama
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
27
28. Jumlah suku ke-n barisan geometri
dapat ditentukan dengan rumus:
n
a(1 - r )
Sn = Untuk r < 1
1- r
Sn = Jumlah suku ke-n
r = rasio
a = suku pertama
Un = suku ke-n
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
28
29. Jumlah suku ke-n barisan geometri
dapat ditentukan dengan rumus:
n
a(r - 1)
Sn = Untuk r > 1
r -1
Sn = Jumlah suku ke-n
r = rasio
a = suku pertama
Un = suku ke-n
Kiat Sukses Matematika Menuju Ujian Nasional KSM
29